2019-2020学年江苏省常州市新北区常州外国语学校九年级上学期开学考试数学试卷

2019-2020学年江苏省常州市新北区常州外国语学校九年级上学期开学考试数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）下列运算正确的是（ ）【A 】532＝+【B 】3218＝【C 】532=•【D 】2212=÷【答案】D 【分析】这题的考点是关于根式的运算，A ，C 选项计算不正确，B 选项2318=，只有选项D 正确.若关于x 的一元二次方程022=+-m x x 有一个解为x ＝－1，则另一个解为（ ）【A 】 1【B 】－3【C 】 3【D 】 4【答案】C【分析】将x ＝－1代入一元二次方程022=+-m x x ，得出m =3-，然后再解方程，得出3=x关于x 的一元二次方程0)3(2=++-k x k x 的根的情况是（ ）【A 】有两不相等实数根【B 】有两相等实数跟【C 】无实数根【D 】不能确定【答案】A【分析】这题考的是∆与方程根的情况，=∆()49)25(9543222++=++=-+k k k k k >0恒成立，所以有两个不同的实数根.某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x .应列方程是（ ）【A 】300（1＋x ）＝507【B 】300()21x +＝507 【C 】300（1＋x ）＋300()21x +＝507 【D 】300＋300（1＋x ）＋300()21x +＝507 【答案】B【分析】这题考的是一元二次方程增长率的问题，审清题意列式解答.若点（－2，1y ），（－1，2y ）（3，3y ）在双曲线xk y =（0<k ）上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）【A 】1y ＜2y ＜3y【B 】3y ＜2y ＜1y【C 】2y ＜1y ＜3y【D 】3y ＜1y ＜2y【答案】D【分析】k <0，对于反比例函数来说，经过二，四象限，每个象限内是单调递增的，结合下图像的性质，比较大小.如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝2，CE ＝6，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（ ）【A 】4【B 】32【C 】5【D 】25【答案】D【分析】连接AC ，CF ，因为ABCD 和CEFG 是正方形，所以∠ACF=90°，由题意知，AC=22，CF=26，则AF=()()54262222=+，又因为H 是AF 的中点，所以CH=21AF=52如图，点A ，B 在反比例函数()01＞x x y =的图象上，点C ，D 在反比例函数()0＞k xk y =的图象上，AC∥BD∥y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为23，则k 的值为（ ）【A 】4【B 】3【C 】2【D 】23【答案】B【分析】这题考的是k 的几何意义，根据题意可以分别将阴影部分的两个三角形面积表示出来，2321212212=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-k k ，得出3=k如图，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，EC∥AB，EB∥DC，若△ABE 面积为3，△ECD 的面积为1，则△BCE 的面积是（ ）【A 】2【B 】23 【C 】3【D 】2【答案】D【分析】这题考的是相似三角形的性质，EC∥AB，EB∥DC，所以∠A=∠CED ，∠AEB=∠D ，得出△ABE ∽△ECD ，4142==⎪⎭⎫ ⎝⎛CD BE ，所以2=CD BE ，根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，△ABE 与△BCE 等底，面积比等于对应高的比=2，所以△BCE 的面积=2.二、填空题（每空分，共24分）当 时，分式321+-a a 有意义. 【答案】23-≠a 【分析】考察分式的有意义，分母不为0，032≠+a菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为 .【答案】20【分析】菱形每条边相等，且对角线垂直平分，得出菱形的边长为5，所以周长为20若c b a 432==，且0≠abc ，则bc b a 2-+的值是 . 【答案】-2 【分析】令1432===c b a ，21=a ，.31=b 41=c ，代入计算，得出-2三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程0862=+-x x 的解，则此三角形的周长是 .【答案】13【分析】0862=+-x x ，解4,2==x x ，分两种情况讨论，3，2，6 ，这一组数据不能构成三角形的三边，所以这个三角形的三边长分别为3，6，4，则周长13若关于x 的分式方程311=--x m 的解为非负数，则m 的取值范围是 . 【答案】2-≥m 且1≠m 【分析】这道题考的是分式方程的解，311=--x m ，32+=m x 0≥，01≠-x 且如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，走接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，25:4:ABF DEF =△△S S ，则DE ： EC ＝ .【答案】2:3【分析】25:4:ABF DEF =△△S S ，根据AB ∥CD ，△DEF 与△ABF 相似，相似比的平方等于面积比，所以DE:EC=2:5，所以DE:EC=2:3如图所示，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm.点P 从点A 出发沿AB 向点B 以2cm/s 的速度运动，点Q 从点B 出发沿BC 向点C 以4cm/s 的速度运动.如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，则 秒钟后△PBQ 与△ABC 相似.【答案】2或0.8 【分析】8.028.016288428168∽②216482828168∽①4240==∴=-=-=∴====∆∆==--=∴====∆∆∴∆∆==≤≤t t t t t tPB BC AB ACPQ BC BP AB QB ABC QBP t t t tPB BC AB ACPQ BC BQ AB PB ABC PBQ ABC PBQ tBQ t AP t t 或综上，（符合题意），得，时，（符合题意），得，时，相似与、）秒钟，则（设时间为ΘΘΘ本题主要考查学生对“相似三角形的判定”等考点的理解；由相似三角形找到对应边以及比例关系；本题的关键在于有两种相似的可能.如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠A＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AM N 沿MN 所在直线翻折得到△MN A '，连接C 'A ，则C 'A 长度的最小值是【答案】272-【分析】如图1，连接CM ，过M 点作D MH C ⊥交CD 的延长线于点H ，︒=∠=∠︒=∠=∠====∴︒=∠120604604CDA B A BCD AD CD BC AB A ABCD ，，，的边长为菱形Θ 在DMH Rt ∆中，︒=∠==60221DHM AD DM ， 则31==HM HD ，725222=∴+=∆=+=∴CM HM CH CM CHM Rt DH CD CH 中，在又Θ根据翻折对称的性质可知，2''≌==∆∆AM M A MN A AMN ，然而在'CMA ∆中，已有两条边长一定，要是'CA 长度最小即要使'CMA ∠最小 的最小值上时，取得落在当''CA CM A ∴，如图2 此时272''-=-=M A CM CA本题考查菱形的性质、翻折变换（折叠问题）以及锐角三角函数关系等知识，得出'A 点位置是解题关键．二、计算题（每小题5分，共20分）（1）计算:()()()0251263π-+-+-⨯- （2） 解方程:13321++=+x x x x（3）解方程:9)3(222-=-x x （4）解方程:0)4(22=+-x x【答案】（1）24；（2）23-=x ；（3）93==x x 或；（4）2-4==x x 或 【分析】（1）原式2422311-218=+=++=（2）分式方程首先要确定分母的范围，即⎩⎨⎧≠+≠+03301x x ，得1-≠x 然后将方程两边都乘以()13+x 得：()1323++=x x x 解得23-=x ， 23经检验，方程的解为-=∴x （3）首先去括号得：91812222-=+-x x x化简：027122=+-x x由十字交叉法可得()()093=--x x解得93==x x 或 93方程的解为==∴x x 或（4）首先去括号得：0822=--x x由十字交叉法可得()()024=+-x x解得2-4==x x 或 2-4方程的解为==∴x x 或四、解答题（第18题，19题各10，第20题12分，共32分）某商场将原来每件进价80元的某种商品按每件100元出售，一天可出售100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加20件.（1）商场经营该商品原来一天可获利 元.（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？【答案】（1）2000；（2）2元或8元【分析】（1）由题意得，()200010080-100=⨯（元）（2）由题意设每件商品降价）（200<≤x x 元，则销量增加x x 10220=⨯件 ()()216010100-20=+x x ，解得82==x x 或经检验，都符合题意已知，如图，自线923+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与双曲线x k y =在第一象限内交于点C ，36AOC =△S .（1）求k 的值.（2）D 是双曲线xk y =上一点，DE 垂直x 轴于E ，若以O 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似，试求点D 的坐标.【答案】（1）332=k ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛±±⎪⎭⎫ ⎝⎛±±∴384438，或，的坐标有点D 【分析】（1）923+=x y 直线Θ与双曲线xk y =在第一象限内交于点C ），的坐标为（设点923+∴t t C 且0>t ，即923+=t t k ①729233621=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴=⋅=∆A C A AOC x t y x S Θ 923+=x y 直线又Θ与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点 ()()90992300669230，，即点解得代入，，即点解得代入B y x y x A x x y y B B A A =+==--=+==∴点)0,6(-A 代入②中解得98=t ； 将98=t 代入①中得332=k （2）由题意得，︒=∠=∠︒=∠⊥9090AOB E AOB x DE ，则， ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====∠=∠∆∆∴∆∆4384383322323:23//∽①y x y x x y x y x y OD k k OD AB ABOODE ABO ODE ABO ODE AB OD 或，得由，得直线，则即，则相似与Θ ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛∴438438，或，的坐标为点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⨯==∴==⎪⎭⎫ ⎝⎛==∆∆38438442332363329332332,ABO,∽②，或，的坐标为的值代入得点，得，即、，则的坐标为设点如下图，则D m m mm m m m OE m DE m m D AODE BO OE AB DO DOE Θ ②若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.（1）已知△ABC 是比例三角形AB ＝2，BC ＝3，请直接写出所有满足条件的AC 的长.（2）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 平分∠ABC ，∠BAC ＝∠ADC.求证：△ABC 是比例三角形.（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC ＝90°时，求ACBD 的值. 【答案】（1）6、34、29； （2）是比例三角形，即，则平分，即，则又，证：ABC AB BC CA ADAB ADB CBD ABD ABCBD AD BC CA ADCA CA BC DCA ABC ADCCBA CBDADB CAD ACB BCAD ∆⋅=∴=∠=∠=∠∴∠⋅==∆∆∴∠=∠∠=∠∠=∠∴22∽//ΘΘΘ （3）2=ACBD【分析】（1）根据比例三角形的定义分BC AB AC AC AB BC AC BC AB ⋅=⋅=⋅=222、、三种情况分别代入计算： 6293466③2929②3434①322222或或（负值舍去），解得：时，得当，解得：时，得当，解得：时，得当、是比例三角形，=∴±==⋅===⋅===⋅=∴==∆AC AC AC BC AB AC AC AC AC AB BC AC AC AC BC AB BC AB ABC Θ （2）先证明DCA ABC ∆∆∽得AD BC CA ⋅=2，再由ABD CBD ADB ∠=∠=∠知AD AB =即可（3）作得，再证知，由DBC ABH BD BH AD AB BD AH ∆∆==⊥∽21 AC BD AC BC AB BD BC AB DB BH BC AB ==⋅=⋅⋅=⋅2222121知，结合，即 解：如图，过点A 作BD AH ⊥于点H221219090//212222==∴=⋅=⋅∴⋅=⋅=∆∆∴∠=∠∠=︒=∠∴︒=∠=∴=ACBD AC BD AC BC AB BD BC AB DBBH BC AB BCBH DB AB DBC ABH DBCABH BHABCD ADC BC AD BD BH ADAB ，则即，则又，ΘΘΘΘ。