2020年北京朝阳区高三一模数学试卷
朝阳区高三一模有答案
朝阳区高三一模有答案数学试卷（理工类） 2020.3（考试时刻120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A. 42i -+ B. 42i - C. 24i - D. 24i +2. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1ab ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 324. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳固.技术人员对它们进行一一测试， 直到2件不稳固的产品全部找出后测试终止，则恰好3次就终止测试的方法种数是（ ）A. 16B. 24C. 32D. 486.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 A.0 B. 0或12-C. 14-或12-D. 0或14- 7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收治理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的治理费（即销售100元要征收x 元），因此该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，估量年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的治理费许多于14万元，则x 的取值范畴是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108.已知点集{}22(,)48160A x y x y x y =+--+≤，{}(,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N .若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是A. 1B. 2C.D. 4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9. 已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图） （第11题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .12.在极坐标系中，曲线ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是 .13.已知函数213(),2,()24log ,0 2.x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范畴是 .14.已知△ABC 中， 90,3,4C AC BC ∠=︒==.一个圆心为M ，半径为14的圆在△ABC正视图 侧视图内，沿着△ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M 至少与△ABC 的一边相切，则点M 到△ABC 顶点的最短距离是 ，点M 的运动轨迹的周长是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上. 15. （本小题满分13分） 已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若()10f α=，求sin 2α的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （Ⅲ）在（II ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望.17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB ，==1EB EF ，=BC ，且M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小； （Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P， 使得CP 与AF 所成的角为30︒？ 若存在，求出BP 的长度；若不 存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；CA FEBMD（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若 1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.20．（本小题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a ()n *∈N ，满足00a =，1n a a n ++=．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++．设1()i i A T A +=，0,1,2i =．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在唯独的数列0A ，通过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个；（Ⅲ）若数列0A ，通过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n 个．设1m m m n S a a a +=+++，1,2,,m n =，求证[](1)1mm m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数． 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2020.3一、选择题：三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=， 因此(cos sin )210αα+=， 因此 7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925， 因此 24sin 225α=.……………6分 （II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+ =(cos sin )(cos sin )22x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 因此，当0x =时，()g x 的最大值为12； 当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===， 因此X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，因此X 的数学期望为2. ……………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，因此1=2MN//AB,MN AB ， 又因为1=2EF//AB,EF AB ，因此MN//EF 且MN =EF .因此四边形MNFE 为平行四边形，因此EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，故EM//平面ADF . …………… 4分 解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分 由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M （Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM ,AD=， 设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =. 由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3，则n =. 又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅，因此EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ，因此//EM 平面ADF . ……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF 的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ，因此EB BD ⊥.又因为AB BD ⊥，因此BD ⊥平面EBAF . 故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量. 因此1cos <=2BD BD,BD n n n⋅>=⋅，又二面角D-AF -B 为锐角， 故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分NCA F EBMD（Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒. 不妨设(0,0,t)P（0t ≤≤，则=(3,-2,-),=PC AF t .因此2cos <2PC AF PC,AF PC AF ⋅>==⋅，2=， 化简得35-=， 解得0t =<. 因此在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分 （18）（本小题满分13分）解：因为2e (),1ax f x x =+因此222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,因此(0)1,f = (0)1f '=.因此曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.因此函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，现在0∆>.由()0fx '>得1x a <,或1x a+>；由()0f x '<x <<.因此函数()f x单调递增区间是(-∞和)+∞,单调递减区间. ……………9分②当1a ≥时，现在0∆≤.因此()0f x '≥，因此函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，现在0∆>.由()0f x '>得11x a a +-<<； 由()0f x '<得1x a <,或1x a->.因此当10a -<<时,函数()f x单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间. ……………12分④当1a ≤-时, 现在0∆≤，()0f x '≤，因此函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞. …………13分（19）（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，c =1b =，因此a == 故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.不妨设(1,3A，(1,3B -，因为132233222k k +=+=，又1322k k k +=，因此21k =，因此,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 因此12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k kk k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分 因此222k =，因此2213n k m -==-，因此,m n 的关系式为10m n --=.………13分 综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． ………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---．易知1T -和T 是互逆变换． ………5分 关于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n 1T -−−→1,1,0,,0n -1T -−−→2,0,2,0,,0n -1T -−−→3,1,2,0,,0n -1T -−−→1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．下用数学归纳法证唯独性：当1,2n =是明显的，假设唯独性对1n -成立，考虑n 的情形． 假设存在两个数列01,,,n a a a 及01,,,n b b b 均可通过有限次T 变换，变为,0,,0n ，那个地点000a b ==，1212n n a a a b b b n +++=+++=若0n a n <<，则由变换T 的定义，不能变为,0,,0n ；若n a n =，则120n a a a ====，通过一次T 变换，有0,0,,0,n T−−→1,1,,1,0由于3n ≥，可知1,1,,1,0（至少3个1）不可能变为,0,,0n ．因此0n a =，同理0n b =令01,,,n a a a T−−→121,,,,na a a '''，01,,,n b b b T−−→121,,,,nb b b '''，则0n n a b ''==，因此1211n a a a n -'''+++=-，1211nb b b n -'''+++=-． 因为110,,,n a a -''T−−−−→有限次-1,0,,0n ，110,,,n b b -''T−−−−→有限次-1,0,,0n ，故由归纳假设，有i i a b ''=，1,2,,1i n =-．再由T 与1T -互逆，有01,,,n a a a T−−→111,,,,0n a a -''，01,,,n b b b T−−→111,,,,0nb b -''，因此i i a b =，1,2,,i n =，从而唯独性得证． ………9分（Ⅲ）明显i a i ≤(1,2,,)i n =，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a 通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每通过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n =，因此m m S mt =(m t 为整数)，因此1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 因此m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分。
北京市朝阳区2020届高三上学期抽样检测数学试题 (含答案)
北京市朝阳区2020届第一学期抽样检测试卷高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合={x R|3x+2>0}A ∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B ⋂=（ ） A. (,1)-∞-B. 2(1,)3--C. 2(,3)3-D.(3,)+∞【答案】D 【解析】 试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知等比数列{}n a ，满足23210log log 1a a +=，且3681116a a a a =，则数列{}n a 的公比为（） A. 4 B. 2C. 2±D. 4±【答案】B 【解析】 【分析】利用对数运算公式和对数定义可由23210log log 1a a +=得到3102a a =，由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质，可由3681116a a a a =得到3114a a =，最后可以求出等比数列的公比.详解】等比数列{}n a 中，232102310310log log 1log 1()2a a a a a a +=⇒=⇒=①，36821131116)16(a a a a a a =⇒=，由等比数列各项正负性的性质可知：311,a a 同号，故3114a a =②，②除以①，得：等比数列的公比3113102a a a a q ==，故本题选B. 【点睛】本题考查了对数的运算性质及对数的定义，考查了等比数列的下标性质，考查了求等比数列的公比，考查了数学运算能力.3.已知命题:p n N ∀∈，2n >p ⌝是A. n ∀∈N ，2n ≤B. n ∀∈N ，2n <C. n N ∃∈，2n ≤D. n N ∃∈，2n >【答案】C 【解析】p ⌝为：n N ∃∈，2n ≤选C.4.已知函数84()()2x xa f x a ⨯-=∈R 是奇函数，()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，则log b a =（） A. 3- B. 13-C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质(0)0f =，可以求出a 的值，由偶函数的性质()()g x g x =-，可以求出b 的值，利用对数的运算公式，可以求出log b a 的值.【详解】因为函数84()()2x xaf x a ⨯-=∈R 奇函数，所以(0)0f =，即808a a -=⇒=，因为()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，所以()()g x g x =-，1ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)22,2x x x x bx bx bx x bx x b --+-=++⇒+-+=⇒=∈∴=R Q因此12log log 83b a ==-，故本题选A. 【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力.5.设点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（）B. C. D.2+【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心到直线10x y --=距离，然后利用圆的性质可以求出点P 到直线10x y --=距离的最大值.【详解】因为22(1)(2)2x y ++-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为r =线10x y --=的距离为d ==P 到直线10x y --=距离的最大值为d r += C.【点睛】本题考查了圆上的点到定直线距离的最大值问题，利用圆的几何性质是解题的关键. 6.设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式p q k l a a a a +>+，得到等差数列公差的正负性和p ，q ，k ，l 之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+， 因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.7.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（） A. ① B. ②C. ③D. ①②【答案】D 【解析】 【分析】①:根据圆的对称性可以阴影部分的面积是圆的面积一半，可以求出在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小； ②：当43a =-时，可以求出阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标，求出圆心到直线(2)y a x =-距离，这样可以判断出半圆与直线的关系，最后可以判断出直线(2)y a x =-与黑色阴影部分是否有公共点；③：当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，所以可以判断出本结论是否正确.【详解】①：因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故本结论是正确的； ②：当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故本结论是正确的；③：当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故本结论是错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型，考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的对称性. 8.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为(,)N n k (3)k ≥，下面列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数211(,3)22N n n n =+， 正方形数2(,4)N n n =， 五边形数231(,5)22N n n n =-， 六边形数2(,6)2N n n n =-， 以此类推，下列结论错误的是（） A. (5,4)25N =B. (3,7)18N =C. (5,10)145N =D.(10,24)1000N =【答案】C 【解析】【分析】根据三角形数、正方形数、五边形数、六边形数中第n 个数的表达式，可以得到k 边形数中第n 个数的表达式，对四个选项依次判断即可.【详解】因为三角形数221132(,3)222432N n n n n n -+=-=+， 正方形数2244242(,4)2N n n n n --=+=， 五边形数223152(,5)222452N n n n n n -+=-=-， 六边形数2262(,6)22462N n n n n n -=-=-+， 所以可以类推得到：第n 个k 边形数为22(,)242k N n k kn n =-+-(3)k ≥， 于是有(5,4)25N =，(3,7)18N =，(5,10)85N =，(10,24)1000N =，因此选项C 是错误的，故本题选C.【点睛】本题考查了合情推理的归纳推理，考查了代数式恒等变形的能力，属于基础题. 9.在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为13．将角α沿逆时针方向旋转([,])2πββπ∈角后，得到角θ，则（）A. sin θ的最大值为13，sin θ的最小值为13-B. sin θ的最大值为3，sin θ的最小值为13C. cos θ的最大值为13-，cos θ的最小值为1- D. cos θ的最大值为13-，cos θ的最小值为3-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义，可以求出锐角α的正弦，利用同角的三角函数关系式，可以求出锐角α的余弦值，结合正弦函数和余弦函数的单调性，求出sin θ、cos θ的最值，最后选出正确答案.【详解】由题意可知：1sin 3α=，(0,)6πα∈，所以有cos α==[,][,]22ππβπαβααπ∈∴+∈++Q ，即[,]2πθααπ∈++， 因为(0,)6πα∈，所以3[,][,]222πππααπ++⊆，因为sin y θ=在3[,]22ππ上单调递减，所以sin y θ=的最大值为sin()cos 2παα+==， sin y θ=的最小值为1sin()sin 3απα+=-=-；因为[,]2πθααπ∈++，所以当θπ=时，cos y θ=有最小值，最小值为1-，1cos()sin 23παα+=-=-，cos()cos απα+=-=所以cos θ的最大值为13-，故本题选C.【点睛】本题考查了三角函数定义，考查了同角的三角函数关系式，考查了正弦函数、余弦函数的在闭区间上的最值.10.在平面直角坐标系xOy 中，设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从Ω中的任意点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为P M ，p N ．所有点P M 构成的集合为M ，M 中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为()x Ω；所有点P N 构成的集合为N ，N 中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为()y Ω．给出以下命题：①()x Ω：②()()x y Ω+Ω的取值范围是；③()()x y Ω-Ω恒等于0．其中所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义画图，通过正方形对角线的位置，数形结合可以选出正确的答案.【详解】由题意，根据正方形的对称性，设正方形的初始位置为正方形OABC ,画出图形，如下图所示：正方形的边长为12.当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时，可以发现当对角线OB 在横轴时，如图所示：()x Ω的2，故结论①正确；此时 ()2,()2x y Ω=Ω=，所以有()()2x y Ω+Ω= 当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时，当正方形有一边在横轴时，()x Ω，()y Ω有最小值为1，即()1,()1x y Ω=Ω=，所以()()x y Ω+Ω有最小值为2，所以有()()2x y Ω+Ω=，故结论②正确；由于()()x y Ω=Ω，所以()()x y Ω-Ω恒等于0，故结论③正确，综上所述：结论①②③都正确，故本题选D.【点睛】本题考查了新定义的理解与运用，考查了数学阅读能力，考查了分类思想、数形结合思想.第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）11.已知向量(1,2)m =-u r ，(1,)n λ=r ．若m n ⊥u r r ，则2m n +u r r 与m ur 的夹角为_________．【答案】4π 【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合m n ⊥u r r，可以求出λ的值，再根据平面向量夹角公式求出2m n +u r r 与m u r的夹角.【详解】因为m n ⊥u r r ，所以1011202m n λλ⋅=⇒-⨯+=⇒=u r r ，即(12)1,n =r ，因此2(1,3)m n +=u r r ，设2m n +u r r 与m ur 的夹角为θ，因此有(2)2cos 21052m m n m m n θ+⋅===⨯+⋅u r r u u r r r u r ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.12.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为_______，最长棱长为_______．【答案】 (1). 2 (2). 3 【解析】 【分析】画出四棱锥的图形，由三视图求出几何元素的长度，求出体积和最长棱长即可， 【详解】四棱锥P ABCD -如下图所示：底面是直角梯形，,//,2,1AD AB AD BC AD AB BC ⊥===，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，所以四棱锥的体积为11(21)22232V =⨯⨯+⨯⨯=； 2222PD PA AD =+=, 2222PB PA AB =+=222223PC PA AC PA AB BC +=++=, 22(21)25DC =-+=所以最长棱长为3.【点睛】本题考查了四棱锥体积的求法，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力. 13.已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为_________． 【答案】3- 【解析】 【分析】设出切点坐标，对函数进行求导，求出该切点处的切线的斜率，结合直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切，可以求出a 的值.【详解】设直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切于点00(,)P x y ，'1ln()y x a y x a=-⇒=-，所以过点00(,)P x y 的切线的斜率为01k x a =-，因此有：0000000110223ln()3x a y y x x a y x a a ⎧=⎪-=⎧⎪⎪⎪=+⇒=-∴=-⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎪⎩. 【点睛】本题考查了已知曲线切线求参数问题，设切点、求导是解题关键，考查了数学运算能力.14.若函数2log ,0()2,0xx x f x a x >⎧=⎨--≤⎩有且只有一个零点，则a 的取值范围是_______． 【答案】(,1)[0,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】先判断当0x >时，函数是否有且只有一个零点，如果有且只有一个零点，那么当0x ≤时函数就不存在零点；如果函数在0x >时，没有零点，那么函数在0x ≤时，有且只有一个零点，这样就可以求出a 的取值范围.【详解】当0x >时，函数2()log f x x =，显然函数单调递增，且(1)0f =，所以函数()f x 有且只有一个零点，要想函数()f x 在全体实数范围内，有且只有一个零点，只需当0x ≤时，20x a -->或20x a --<恒成立即可.当20x a -->在0x ≤恒成立时，min 202(2)1x x xa a a -->⇒<-⇒<-=-；当20x a --<在0x ≤恒成立时，202,0200x x xa a x a --<⇒>-≤∴-<⇒≥Q ， 综上所述：a 的取值范围是(,1)[0,)-∞-+∞U .【点睛】本题考查了已知分段函数的零点求参数问题，考查了不等式恒成立问题，考查了对数函数和指数函数的单调性应用.15.设函数()sin(2)3f x x π=+，若对于任意的1[,]44x ππ∈-，在区间[,]αβ上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，则||αβ-的最小值为________． 【答案】3π【解析】 【分析】 先求出当1[,]44x ππ∈-时，函数11()sin(2)3f x x π=+的值域，再根据12()()0f x f x +=，可以求出函数22()sin(2)3f x x π=+值域的子集，结合正弦型函数的单调性，可以求出||αβ-的最小值.详解】111121[,](2)[,]sin(2)[,1]4436332x x x ππππππ∈-∴+∈-∴+∈-Q ，即11()[,1]2f x ∈-，而12()()0f x f x +=，因此22()sin(2)3f x x π=+值域包含1[1,]2-，且2[,]x αβ∈，由题意可知在区间[,]αβ上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，因此有以下两种情形： （1）152636k k πππαππ+<+≤+且32()32k k Z πβππ+=+∈，此时2133παβπ-<-≤-，所以233παβπ≤-<，因此||αβ-的最小值为3π； （2）3232k παππ+=+且13172()636k k k Z πππβππ+≤+<+∈，此时2133παβπ-<-≤-，所以233παβπ≤-<，因此||αβ-的最小值为3π；综上所述：||αβ-的最小值为3π. 【点睛】本题考查了正弦型函数的值域问题，考查了已知正弦型函数在闭区间上值域求区间长度最小值问题，考查了数形结合思想.16.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则r 的值为________．【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB 44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos∠AOB＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2＝10，r. 三、解答题（共6小題，共80分。
2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编(一)
2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编（一）复数（2020海淀一模）（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城一模）2.若复数z =(3−i)(1+i),则|z|= (A)2√2(B)2√5(C)√10(D)20（2020东城一模）(3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-（2020朝阳一模）（11）若复数21iz =+，则||z =________． （2020石景山一模） 2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i（2020丰台一模）3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城5月诊断）02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限集合（2020海淀一模）（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B ={ 1 }，则集合B 可以是（2020西城一模）1.设集合A ={x|x <3},B ={x|x <0,或x >2},则A ∩B = (A)(−∞,0)(B)(2,3) (C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)（2020东城一模）(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么A B =(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2（2020朝阳一模）（1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则AB =（A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }，， （D ）{ 1 2 3 }，，（A ）{}3（B ）{}1,3 （C ）{}1,2,3,5 （D ）{}1,2,3,4,5（2020石景山一模）1. 设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---（2020西城5月诊断）01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--（2020丰台一模）1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}，（C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，（2020石景山一模）15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．计数原理（2020朝阳一模）（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 （A ）23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 910（2020石景山一模）5. 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 81二项式定理（2020海淀一模）（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120- （B ）120（C ）160- （D ）160（2020西城一模）11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)（2020东城一模）(12) 在62()x x+的展开式中常数项为 . (用数字作答)三角函数与解三角形（2020海淀一模）（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32 （C ）22（D ）12（2020西城一模）9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④（2020东城一模）(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为(,)1322，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)(,)3122 (B) (,)-1322(C) (,)-3122(D) (,)--3122（2020朝阳一模）（8）已知函数()=3sin()(>0)f x ωxφω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2020石景山一模）（2020丰台一模）9. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为9（2020西城5月诊断）05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）35（2020西城5月诊断）13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．（2020西城一模）14.函数f(x)=sin(2x +π4)的最小正周期为 ;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为.（2020海淀一模）（14）在△ABC中，AB =4B π∠=，点D 在边BC 上，23ADC π∠=，2CD =，则AD = ；△ACD 的面积为 . （2020东城一模）(14)ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，BD =则CD = ，sin ABD ∠= .（2020海淀一模）（17）（本小题共14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-,7.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足A. 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B. 图象关于直线6x π=对称C. 32f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 当512x π=时有最小值1-]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜4}，则A∩B=（）A. {x|x＞-2}B. {x|1＜x＜2}C. {x|1≤x＜2}D. R2.在复平面内，复数z=对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.（）4的展开式中的常数项为（）A. -12B. -6C. 6D. 124.若函数f（x）=，则函数f（x）的值域是（）A. （-∞，2）B. （-∞，2]C. [0，+∞）D. （-∞，0）∪（0，2）5.如图，函数f（x）的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则f（x）的解析式可以是（）A. f（x）=sin（2x+）B. f（x）=sin（4x+）C. f（x）=cos（2x+）D. f（x）=cos（4x+）6.记不等式组，所表示的平面区域为D．“点（-1，1）∈D”是“k≤-1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 2C.D.8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线-y2=1的右焦点到其一条渐近线的距离是______．10.执行如图所示的程序框图，输出的x值为______．11.在极坐标系中，直线ρcosθ=1与圆ρ=4cosθ交于A，B两点，则|AB|=______．12.能说明“函数（x）的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内无零点”为假命题的一个函数是______．13.天坛公园是明清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所•天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是______．14.在平面内，点A是定点，动点B，C满足||=||=1，=0，则集合{P|=+，1≤λ≤2}所表示的区域的面积是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，a=，∠A=120°，△ABC的面积等于，且b＜c．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求cos2B的值．16.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5，10），[10，15），[15，20），…，[35，40]分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B．用频率估计概率，求“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）在上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望．17.如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD=90°，AB=AD=1，BC=3．（Ⅰ）求证：AF⊥CD；（Ⅱ）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD上是否存在点M，使得直线CE∥平面AFM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．18.已知函数f（x）=（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a=-1时，求证：f（x）≥x+1；（Ⅲ）讨论函数f（x）的极值．19.已知点M（x0，y0）为椭圆C：+y2=1上任意一点，直线l：x0x+2y0y=2与圆（x-1）2+y2=6交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；（Ⅲ）判断∠AFB是否为定值，并说明理由．20.在无穷数列{a n}中，a1，a2是给定的正整数，a n+2=|a n+1-a n|，n∈N*．（Ⅰ）若a1=3，a2=1，写出a9，a10，a100的值；（Ⅱ）证明：数列{a n}中存在值为0的项；（Ⅲ）证明若a1，a2互质，则数列{a n}中必有无穷多项为1．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x＞1}，集合B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：B．先求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：==-i+2所对应的点为（2，-1），该点位于第四象限故选：D．根据1=-i2将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.答案：C解析：解：（）4的展开式中的通项公式为T r+1=•（-1）r•x2r-4，令2r-4=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为=6，故选：C．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4.答案：A解析：解：当x＜1时，0＜2x＜2，当x≥1时，f（x）=-log2x≤-log21=0，综上f（x）＜2，即函数的值域为（-∞，2），故选：A．分别结合指数函数，对数函数的性质求出函数的取值范围即可．本题主要考查函数值域的计算，结合分段函数的解析式分别求出对应范围是解决本题的关键．5.答案：A解析：解：函数的周期T=2×（-）=2×=π，即=π，则ω=2，排除B，D，当x=时，f（）=1，若f（x）=sin（2x+），则f（）=sin（2×+）=sin=1，若f（x）=cos（2x+），则f（）=cos（2×+）=cos=0，不满足条件．排除C，故选：A．根据周期先求出ω的值，排除B，D，然后在通过f（）=1，进行排除即可．本题主要考查三角函数图象的识别和判断，结合条件利用排除法是解决本题的关键．6.答案：C解析：解：若点（-1，1）∈D，得满足，则k≤-1，即充分性成立，若k≤-1，则不等式组对应区域为阴影部分，则A（-1，1）∈D，即“点（-1，1）∈D”是“k≤-1”的充要条件，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，结合不等式组以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式组的关系是解决本题的关键．7.答案：D解析：解：由题意几何体是直观图如图：是正方体的一部分，三棱锥P-ABC，正方体的棱长为：2，几何体的体积为：=．故选：D．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．8.答案：B解析：解：设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），∩B∩C则n（A）=14，n（B）=10，n（C）=8，n（A∪B∪C）=20，因为n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8-20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤=6．故选：B．设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算，属中档题．9.答案：1解析：解：双曲线-y2=1的右焦点坐标为（，0），一条渐近线方程，x-2y=0∴双曲线-y2=1的右焦点到一条渐近线的距离为=1．故答案为：1．确定双曲线的右焦点与一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得到结论．本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．10.答案：解析：解：当x=2，n=1时，n≤2成立，则x==，n=2，此时n≤2成立，则x==，n=3，此时n≤2不成立，输出x=，故答案为：根据程序框图进行模拟计算即可．本题主要考查程序框图的应用，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．11.答案：2解析：解：直线ρcosθ=1的普通方程为x=1，圆ρ=4cosθ的普通方程为x2+y2-4x=0，圆心C（2，0），半径r==2，圆心C（2，0）到直线x=1的距离d=1，∴|AB|=2=2=2．故答案为：2．求出直线的普通方程和圆的普通方程，求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，由此能求出弦长．本题考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：f（x）=（x-1）2解析：解：“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内无零点”为假命题，即“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）有零点”为真命题，取函数f（x）=（x-1）2，可得：f（0）•f（2）=1×1=1＞0，f（1）=0，故答案为：f（x）=（x-1）2取函数f（x）=（x-1）2，可得：f（0）•f（2）=1×1=1＞0，f（1）=0，满足“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）有零点”为真命题，即”若f（0）•f（2）＞0，则f （x）在（0，2）内无零点”为假命题，得解本题考查了函数的零点与方程根的关系及零点定理，属中档题．13.答案：243 3402解析：解：由题意知每环石块数构成等差数列，首项a1=9，d=9，则a27=a1+26d=9+26×9=243，上、中、下三层坛所有的扇面形石块数为前27项和，即S27====3402，故答案为：243，3402根据条件知每环石块数构成等差数列，首项a1=9，d=9，利用等差数列的通项公式以及前n项和公式进行计算即可．本题主要考查等差数列的应用，结合等差数列的通项公式是解决本题的关键．14.答案：3π解析：解：由，得=λ2+1，∵1≤λ≤2，∴2≤λ2+1≤5，∴||，∴P点轨迹为以A为圆心的圆环，其面积为：5π-2π=3π，故答案为：3π．把所给等式平方，得到的范围，即P点的轨迹为圆环，得解．此题考查了向量模的几何意义，难度不大．15.答案：解：（Ⅰ）∵a=，∠A=120°，△ABC的面积等于，∴可得：=bc sin A=bc，可得：bc=4，①∴由余弦定理可得：21=b2+c2+bc=（b+c）2-bc=（b+c）2-4，可得：（b+c）2=25，解得：b+c=5，②∴联立①②可得：b=4，c=1，或b=1，c=4，∵b＜c，∴可得：b=1，c=4．可得b的值为1．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：a=，b=1，c=4，∴cos B===，∴cos2B=2cos2B-1=．解析：（Ⅰ）由已知利用三角形的面积公式可求bc=4，由余弦定理可解得b+c=5，联立①②，根据b＜c，可得b的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）根据余弦定理可求cos B的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解cos2B的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，二倍角的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：解：（Ⅰ）设M表示事件“乘客A乘车等待时间都小于20分钟”，N表示“乘客B乘车等待时间都小于20分钟”，C表示“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”，由题意得：P（A）=（0.012+0.040+0.048）×5=0.5，P（B）=（0.016+0.028+0.036）×5=0.4，∴“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率：P（C）=P（MN）=P（M）P（N）=0.5×0.4=0.2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为0.4，∴乙站乘客乘车时间等待时间小于20分钟的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，X 0 1 2 3PE（X）=3×=．解析：（Ⅰ）设M表示事件“乘客A乘车等待时间都小于20分钟”，N表示“乘客B 乘车等待时间都小于20分钟”，C表示“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”，由题意得：P（A）=（0.012+0.040+0.048）×5=0.5，P（B）=（0.016+0.028+0.036）×5=0.4，由此能求出“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出随机变量X的分布列与数学期望．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴AF⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD，∴AF⊥CD；（Ⅱ）取BC的三等分点G，H如图，连接EG，可由EF∥AD，AD∥BC，得EF∥BG，且EF=AD=BG=1，∴四边形BGEF为平行四边形，∴GE∥BF，∵DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴平面EDC⊥平面ABCD，作GN⊥CD于N，则GN⊥平面EDC，连接EN，则∠GEN为GE与平面EDC所成的角，在Rt△CGD中，求得GN=，又GE=BF=，∴sin∠GEN==，故直线BF与平面CDE所成角的正弦值为：；（Ⅲ）连接FH，易证四边形EFHC为平行四边形，∴EC∥FH，∴EC∥平面AFH，连接AH交BD于M，则CE∥平面AFM，此时，∴．解析：（Ⅰ）利用两面垂直的性质定理易证；（Ⅱ）取BC的三等分点G，H，把BF平移至EG，作GN⊥CD于N，得∠GEN即为所求；（Ⅲ）连接FH，易证EC∥平面AFH，连AH交BD于M即可．此题考查了线面垂直，面面垂直，线面所成角，线面平行等，难度适中．18.答案：（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f′（x）=，f（1）=0，f′（1）=1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1；（Ⅱ）证明：当a=-1时，f（x）=，证明f（x）≥x+1，即证ln（-x）≤x2+x，令t=-x（t＞0），也就是证t2-t-ln t＞0（t＞0）．令g（t）=t2-t-ln t，则g′（t）===．当t∈（0，1）时，g′（t）＜0，当t∈（1，+∞）时，g′（t）＞0，∴g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则g（t）≥g（1）=0，即f（x）≥x+1；（Ⅲ）解：f（x）=，则f′（x）=，当a＞0时，由f′（x）＞0，得1-ln（ax）＞0，即0＜ax＜e，∴0＜x＜；由f′（x）＜0，得1-ln（ax）＜0，即ax＞e，x＞．∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴f（x）有极大值为f（）=；当a＜0时，由f′（x）＞0，得1-ln（ax）＞0，即ax＜e，∴＜x＜0；由f′（x）＜0，得1-ln（ax）＜0，即ax＞e，x＜．∴f（x）在（-∞，）上单调递减，在（，0）上单调递增，∴f（x）有极小值为f（）=．解析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求得函数的导函数，进一步求出f（1）与f′（1），再由直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=，把证明f（x）≥x+1转化为证ln（-x）≤x2+x，令t=-x（t＞0），构造函数g（t）=t2-t-ln t，利用导数证明g（t）≥0即可；（Ⅲ）求出原函数的导函数，对a分类分析函数的单调性，进一步求得极值．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．19.答案：解：（Ⅰ）由题意可得a=，b=1，则c==1，∴椭圆C的离心率e==，左焦点F的坐标（-1，0），证明：（Ⅱ）由题意可得+y02=1，当y0=0时，直线l的方程为x=或x=-，直线l与椭圆相切，当y0≠0时，由可得（2y02+x02）x2-4x0x+4-4y02=0，即x2-2xx0+2-2y02=0，∴△=（-2x0）2-4（2-2y02）=4x02+8y02-8=0，故直线l与椭圆C相切．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当y0=0时，x1=x2，y1=-y2，x1=±，∴•=（x1+1）2-y12=（x1+1）2-6+（x1-1）2=2x12-4=0，∴⊥，即∠AFB=90°当y0≠0时，由，（y02+1）x2-2（2y02+x0x）x+2-10y02=0，则x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=x1x2-（x1+x2）+=，∴•=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=x1x2+x1+x2+1+y1y2=++==0，∴⊥，即∠AFB=90°综上所述∠AFB为定值90°．解析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式即可求出，（Ⅱ）根据判别式即可证明．（Ⅲ）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论，本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.答案：（Ⅰ）解：由a1=3，a2=1，a n+2=|a n+1-a n|，n∈N*．得a9=0，a10=1，a100=1；（Ⅱ）证明：反证法：假设∀i，a i≠0，由于a n+2=|a n+1-a n|，记M=max{a1，a2}，则a1≤M，a2≤M．则0＜a3=|a2-a1|≤M-1，0＜a4=|a3-a2|≤M-1，0＜a5=|a4-a3|=M-2，0＜a6=|a5-a4|=M-2，…，依次递推，有0＜a7=|a6-a5|≤M-3，0＜a8=|a7-a6|≤M-3…，则由数学归纳法易得a2k+1≤M-k，k∈N*．当k＞M时，a2k+1＜0，与a2k+1＞0矛盾．故存在i，使a i=0．∴数列{a n}必在有限项后出现值为0的项；（Ⅲ）证明：首先证明：数列{a n}中必有“1”项．用反证法，假设数列{a n}中没有“1”项，由（Ⅱ）知，数列{a n}中必有“0”项，设第一个“0”项是a m（m≥3），令a m-1=p，p＞1，p∈N*，则必有a m-2=p，于是，由p=a m-1=|a m-2-a m-3|=|p-a m-3|，则a m-3=2p，因此p是a m-3的因数，由p=a m-2=|a m-3-a m-4|=|2p-a m-4|，则a m-4=p或3p，因此p是a m-4的因数．依次递推，可得p是a1，a2的因数，∵p＞1，∴这与a1，a2互质矛盾．∴数列{a n}中必有“1”项．其次证明数列{a n}中必有无穷多项为“1”．假设数列{a n}中的第一个“1”项是a k，令a k-1=q，q＞1，q∈N*，则a k+1=|a k-a k-1|=q-1，若a k+1=q-1=1，则数列中的项从a k开始，依次为“1，1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；若a k+1=q-1＞1，则a k+2=|a k+1-a k|=q-2，a k+3=|a k+2-a k+1|=1，若a k+2=q-2=1，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若a k+2=q-2＞1，则从a k开始的项依次为1，q-1，q-2，1，q-3，q-4，1，…，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．解析：本题考查数列递推式，考查逻辑思维能力与推理运算能力，训练了利用反证法证明与自然数有关的命题，属于难题．（Ⅰ）由a1=3，a2=1，结合数列递推式直接求得a9，a10，a100的值；（Ⅱ）利用反证法证明，假设∀i，a i≠0，由于a n+2=|a n+1-a n|，证得当k＞M时，a2k+1＜0，与a2k+1＞0矛盾；（Ⅲ）利用反证法证明数列{a n}中必有“1”项，再利用综合法证明数列{a n}中必有无穷多项为“1”．。
北京市朝阳区2020届高三数学第一次模拟考试试题(含解析)
北京市朝阳区2020届高三第一次模拟考试数学试题（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}13,5A =,，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,3C. {}1,2,3,5D.{}1,2,3,4,5【答案】C 【解析】化简集合B ，再根据并集定义进行计算即可得到. 【详解】因为{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z {2,3}=， 所以A B ={1,2,3,5}.故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的并集运算，属于基础题. 2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+ C. 2log y x = D. ||2x y =【答案】D 【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.【详解】函数3y x =是奇函数，不符合；函数21y x =-+是偶函数，但是在(0,)+∞上单调递减，不符合；函数2log y x =不是偶函数，不符合；函数||2x y =既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增，符合. 故选：D【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.在等比数列{}n a 中，11a =，48a =-，则{}n a 的前6项和为（ ） A. 21- B. 11C. 31D. 63【答案】A 【解析】利用11a =，48a =-求出公比2q =-，再根据等比数列的前n 项和公式计算可得. 【详解】因为11a =，48a =-，设公比为q ，则341a qa =881-==-，所以2q =-， 所以6616(1)1[1(2)]2111(2)a q S q -⨯--===----， 故选：A【点睛】本题考查了等比数列通项公式的基本量的计算，考查了等比数列的前n 项和公式，属于基础题.4.如图，在ABC 中，点D ，E 满足2BC BD =，3CA CE =.若DE x AB y AC =+(,)x y R ∈，则x y +=（ ）A. 12- B. 13- C.12 D.13【答案】B 【解析】利用平面向量的线性运算可得DE 1126AB AC =-+，再根据平面向量基本定理可得11,26x y =-=，从而可得答案.【详解】因为DE AE AD =-23AC AB BD =--2132AC AB BC =-- 21()32AC AB AC AB =--- 1126AB AC =-+，又DE x AB y AC =+，所以11,26x y =-=， 所以111263x y +=-+=-.故选：B【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理，属于基础题. 5.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ） A. 28y x = B. 24y x = C. 22y x = D. 2y x =【答案】B 【解析】根据抛物线的定义求得4=AD ，然后在直角三角形中利用60DAF ∠=︒可求得2p =，从而可得答案.【详解】根据抛物线的定义可得4AD AF ==， 又60DAF ∠=︒，所以12AD p AF -=， 所以42p -=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =. 故选：B【点睛】本题考查了抛物线的定义，利用定义得4AD AF ==是解题关键，属于基础题. 6.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（ ）A.23B.25C.35D.910【答案】D 【解析】根据古典概型的概率公式计算出所求事件的对立事件的概率，再用对立事件的概率公式即可求出结果.【详解】甲、乙、丙至多有2种被选取的对立事件为：甲、乙、丙都被选取，记此事件为A ， 依题意所有基本事件为：（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中事件A 所包含的事件数为1， 所以根据古典概型的概率公式可得1()10P A =， 再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为191()11010P A -=-=. 故选：D【点睛】本题考查了对立事件的概率公式，考查了古典概型的概率公式，属于基础题. 7.在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒.若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为,a c ，根据双曲线的定义可得2AC BC a -=，根据余弦定理可得AC =，再根据离心率公式即可求得结果. 【详解】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为,a c ， 因为120ABC ∠=︒，所以AC BC >， 因为以A ，B 为焦点的双曲线经过点C 所以2AC BC a -=，2AB BC c ==，在三角形ABC 中由余弦定理得222cos1202AB BC AC AB BC+-=⨯⨯，所以222214428c c AC c+--=，解得2212AC c =，所以AC =，所以22c a -=，所以12c a =， 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，考查了双曲线的离心率，属于基础题.8.已知函数()=)(>0)f x ωx φω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6π=ϕ”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A根据相邻两个最高点的距离为π求出2ω=，可得())f x x ϕ=-，再根据正弦函数的对称轴的性质以及充分不必要条件的概念可得答案. 【详解】依题意得T π=，所以2ππω=，所以2ω=，所以())f x x ϕ=-，当3x π=，6π=ϕ时，())36f x ππ=⨯-2π==，所以()f x 的图象关于直线3x π=对称；当3x π=，76ϕπ=时，7()))362f x πππ=⨯-=-=，此时()f x 的图象也关于直线3x π=对称，所以“6π=ϕ”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的充分不必要条件， 故选：A【点睛】本题考查了三角函数的周期性，对称性，考查了充分不必要条件的概念，属于中档题.9.已知函数222,1,()2ln , 1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞B. 3[0,]2C. [0,2]D.【答案】C对x 进行分类讨论，使得x 与a 分离，再转化为关于x 的函数的最值，进而求出a 的范围. 【详解】（1）当1x ≤时，由()2a f x ≥得23(2)2x a x ≥-， 当314x <≤时，2322x a x ≤-232()4x x =-恒成立，因为222333933()()()42416443332()2()2()444x x x x x x x -+-+-+==---913316()32442()4x x =-++- 令34t x =-，则104t <≤，令193()2164y t t =++，则219(1)216y t'=-0<， 所以193()2164y t t =++在1(0,]4上递减，所以11938()212444164y ≥++==⨯， 即913316()32442()4x x -++-的最小值为2， 所以此时2a ≤，当34x ≤时，2322x a x ≥-913316()32442()4x x =-++-1393[()]324416()4x x =--++-恒成立， 因为1393[()]324416()4x x --++-1324≤-⨯0=，当且仅当0x =时取等， 所以0a ≥，（2）当1x >时，由()2a f x ≥得21ln 2xa x ≤+恒成立， 令21ln 2x y x =+(1)x >，则22ln 11(ln )2x y x -'=+，由0y '>得12x e >，由0y '<得121x e <<，所以函数21ln2x yx=+12(1,)e上递减，在12(,)e+∞上递增，所以x e=时，min2222ey e==+，所以2a e≤，综上所述：02a≤≤.故选：C【点睛】本题考查了分离参数法，等价转化思想，分类讨论思想，构造法，考查了由导数研究函数的单调性，求函数的最值，考查了基本不用等式，属于中档题.10.如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，M，N分别是棱AB，1BB的中点，点P在对角线1CA上运动.当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是（）A. 线段1CA的三等分点，且靠近点1A B. 线段1CA的中点C. 线段1CA的三等分点，且靠近点C D. 线段1CA的四等分点，且靠近点C 【答案】B将问题转化为动点P到直线MN的距离最小时，确定点P的位置，建立空间直角坐标系，取MN的中点Q，通过坐标运算可知PQ MN⊥，即||PQ是动点P到直线MN的距离，再由空间两点间的距离公式求出||PQ后，利用二次函数配方可解决问题.【详解】设正方体的棱长为1，以A为原点，1,,AB AD AA分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为2221||(1)(10)(0)2PM z z z =--+--+-25334z z =-+2221||(11)(10)()2PN z z z =--+--+-25334z z =-+所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离， 由空间两点间的距离公式可得22231||(1)(10)()44PQ z z z =--+--+-29338z z =-+2133()28z =-+所以当12c =时，||PQ 6P 为线段1CA 的中点， 由于2||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.若复数21iz =+，则||z =________. 【答案】2根据||||z z =以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为21i z =+，所以2||||||1z z i==+22|1|11i ===++. 故答案为：2【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为________.【答案】 (1). 5 (2). 4根据三视图画出直观图，根据三视图中的数据得到直观图中的数据，再计算可得答案. 【详解】如图所示是三棱锥的直观图：其中AF ⊥平面BCD ，垂足为F ，根据三视图可知，2BE ED ==，2CE EF ==，3AF =，所以BF DF BC CD ====AB AD ===，5AC ===，比较可知该三棱锥的最长棱的长为5AC =， 它的体积为1113424332BCD AF S ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 故答案为：（1）5 （2）4【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题. 13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动. 【答案】15 【解析】先求出需要增加中签率为0.71，再用0.71除以0.05得14.2，取15即可得到答案.【详解】因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加中签率0.90.190.71-=，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05， 所以至少需要邀请0.714.20.05=，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动. 故答案为：15【点睛】本题考查了阅读理解能力，解题关键是求出需要增加的中签率，属于基础题. 14.已知函数()cos2xf x x π=.数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++（*n N ∈），则数列{}n a 的前100项和是________.【答案】100 【解析】根据三角函数知识，利用n 为奇数时，()0f n =，2n 为奇数时时，()f n n =-，2n为偶数时，()f n n =，可求出1234100,,,,,a a a a a ，再相加即可得到答案.【详解】因为()cos2xf x x π=，所以(1)(3)(5)(101)0f f f f =====，(2)2,(6)6,(10)10,,(98)98f f f f =-=-=-=-，(4)4,(8)8,(12)12,,(100)100f f f f ====，所以12(2)2a a f ===-，34(4)4a a f ===，56(6)6a a f ===-，78(8)8a a f ===，，99100(100)100a a f ===， 所以1234567899100a a a a a a a a a a +++++++++2[(2)(4)(6)(8)(100)]f f f f f =+++++2(24681012100)=-+-+-+-+2252100=⨯⨯=.故答案为： 100【点睛】本题考查了特殊角的余弦函数值和诱导公式，考查了数列的前n 项和，考查了分组求和，属于基础题.15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；2的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 【答案】①②【解析】将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=也成立得①正确；1≤，故②正确；联立22322()4y xx y x y =±⎧⎨+=⎩得四个交点，满足条件的最小正方形是以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故③不正确.【详解】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1≤， 所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y=±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点(22A ，()22B -，(22C --，22D -， 依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①②【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ； （2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4Cπ这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】（1）3π（2）7b =时，8a =；4C π时，535a【分析】（1）利用正弦定理边化角得sin cos()6B Bπ，再根据两角和与差的正弦、余弦公式变形可得sin()03Bπ，再根据角的范围可得结果；（2）若选①7b =，根据余弦定理可得结果；若选②4C π，先求出sin A ，再根据正弦定理可得结果.【详解】（1）因为sin cos()6b A a B π=-，sin sin a b A B=， 所以sin sin sin cos()6B A A Bπ. 又因为sin 0A ≠，所以sin cos()6BBπ，即31sin cos sin 2B B B . 所以sin()03B π.又因为2333B πππ-<-<，所以03B π，所以3B π=.（2）若选①7b =，则在△ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3a =-（舍）.所以8a =. 若选②4Cπ，则62sin sin()sin cos cos sin3434A B C ππππ，由正弦定理sin sin a cA C=， 622，解得535a . 所以535a. 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式，考查了正弦定理、余弦定理，属于基础题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，四边形11ACC A 是正方形，点D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点，4AB =，12AA =，BC =（1）求证：1AB CC ⊥；（2）求二面角1D AC C --的余弦值； （3）若点F 在棱11B C 上，且1114B C B F ，判断平面1AC D 与平面1A EF 是否平行，并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）13（3）平面1AC D 与平面1A EF 不平行；详见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面ABC ⊥平面11ACC A 和1CC AC ⊥得1CC ⊥平面ABC .，得1AB CC ⊥； （2）以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，根据两个半平面的法向量可求得结果； （3）根据平面1AC D 的法向量与向量1A E 不垂直可得结论.【详解】（1）证明：因为四边形11ACC A 是正方形，所以1CC AC ⊥. 又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，所以1CC ⊥平面ABC 又因为AB平面ABC ，所以1AB CC ⊥.（2）由（1）知，1CC AB ⊥，11//AA CC ，所以1AA AB ⊥. 又4AB =，12AC AA ==，25BC =， 所以222AB AC BC +=.所以AC AB ⊥.如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A .则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ， 平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =. 设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =， 又(2,0,1)AD，1(0,2,2)AC ，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩ 令1x =，则2z =-，2y =.所以(1,2,2)v.设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |||||133u v u v . 由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13. （3）平面1AC D 与平面1A EF 不平行.理由如下： 由（2）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v ，1(4,1,0)A E，所以120A E v，所以1A E 与平面1AC D 不平行.又因为1A E ⊂平面1A EF ， 所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，考查了线面垂直的性质，考查了二面角的向量求法，考查了用法向量判断面面平行，属于中档题.18.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（1）中所得概率，求X 的分布列和数学期望； （3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由. 【答案】（1）1920（2）详见解析（3）此人患该疾病的概率未超过0.5，理由见解析 【解析】（1）直接用古典概型的概率公式计算可得答案；（2）可知随机变量X 服从二项分布，即~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =，根据二项分布的概率公式可得分布列和数学期望；（3）根据患病率为0.01可知10万人中由99000人没患病，1000人患病，没患病检测呈阳性的有990人，患病的检测呈阳性的950人，共有990+950=1450人呈阳性，所其中只有950人患病，所以患病率为9500.51450<，由此可得答案. 【详解】（1）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性. 所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为76198020=. （2）由题意可知~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =. X 的所有可能的取值为0，1，2，3.0331911(0)()()20208000P X C ==⨯=， 112319157(1)()()20208000P X C ==⨯=，22131911083(2)()()20208000P X C ==⨯=，33031916859(3)()()20208000P X C ==⨯=. 所以X 的分布列为故X 的数学期望1957()32020E X np ==⨯=. （3）此人患该疾病的概率未超过0.5.理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为119990001000990950194010020⨯+⨯=+=，其中患者人数为950. 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=. 所以此人患该疾病的概率未超过0.5.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了二项分布的概率公式、分布列、数学期望，属于中档题.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-. （1）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（2）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）2214x y +=；225x y +=（2）直线2l 与椭圆C 相切，详见解析【解析】（1）根据圆O 过点(1,2)可得圆O 的方程为：225x y +=，根据过点(0,)b 且斜率为1的直线过点(1,2)，可得1b =，可得直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83(,)55--，将其代入椭圆方程可得椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设圆O 上的动点000(,)(2)P x y x ≠±，所以22005x y +=，设直线1l ：00()y y k x x -=-，将其代入2214x y +=，得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=，利用判别式为0，可得2220000(1)2(1)0y k x y k y -++-=，设直线2l ：001()y y x x k-=--，将其代入2214x y +=，利用判别式为0可证直线2l 与椭圆C 相切. 【详解】（1）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=. 因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+， 又因为过点(1,2)，所以1b =.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83(,)55--，所以22283()()5511a --+=，解得24a =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）直线2l 与椭圆C 相切.理由如下：设圆O 上的动点000(,)(2)P x y x ≠±，所以22005x y +=. 依题意，设直线1l ：00()y y k x x -=-.由220044,()x y y kx y kx ⎧+=⎨=+-⎩得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=. 因为直线1l 与椭圆C 相切，所以2220000[8()]4(14)[4()4]0k y kx k y kx ∆=--+--=.所以220014()k y kx +=-.所以2220000(4)2(1)0x k x y k y -++-=.因为22005x y +=，所以220041x y -=-.所以2220000(1)2(1)0y k x y k y -++-=.设直线2l ：001()y y x x k-=--， 由220044,1()x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得220000248(1)()4()40x x x y x y k k k k +-+++-=. 则222100001116[(4)()2()(1)]x x y y k k ∆=--+-+-2220000216[(4)2(1)]x kx y y k k =--+- 2220000216[(1)2(1)]y kx y y k k =--+- 2220000216[(1)2(1)]0y k kx y y k =--++-=.所以直线2l 与椭圆C 相切.【点睛】本题考查了由椭圆上点的坐标求椭圆方程，考查了由圆上的点的坐标求圆的方差，考查了直线与椭圆相切的位置关系，考查了运算求解能力，利用判别式为0是解题关键，属于中档题.20.已知函数()11xx f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.【答案】（1）320x y -+=（2）()f x 有且仅有两个零点，详见解析（3）证明见解析 【解析】（1）根据导数的几何意义可求得结果；（2）根据单调性和零点存在性定理可得()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上各有唯一一个零点，由此可得答案；（3）根据导数的几何意义求出曲线xy e =在点00(,)xx e 处的切线为0000e e e x x x y x x =-+，设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，根据导数的几何意义求出切线方程为00e 1x y x x =--，根据0x 是()f x 的一个零点，可证两条切线重合.【详解】（1）因为()11xx f x e x +=--， 所以001010)2(e f -=+=-，()2(1)2e xx f x -'=+，02(01)203e ()f -'==+.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=. （2）函数()f x 有且仅有两个零点.理由如下： ()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠.因为22()e 0(1)xf 'x x =+>-，所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增.因为(0)20f =>，21(2)3e 0f --=-<，所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x .因为2e (2)30f =->，545()e 904f =-<，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x . 综上，()f x 有且仅有两个零点.（3）曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线方程为00()-=-x x y e e x x ，即0000e e e x x x y x x =-+.设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，则031e x x =，031e x x =，30y x =-，即切点为001(,)ex x -. 所以曲线ln y x =在点001(,)e x x -处的切线方程为 0001e ()ex x y x x +=-，即00e 1x y x x =--. 因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x e x +=-. 所以00000000011e e e (1)(1)1x x x x x x x x x -+-+=-=-=--.所以这两条切线重合 所以结论成立.【点睛】本题考查了根据导数的几何意义求切线的斜率，考查了用导数研究函数的单调性，考查了利用零点存在性判断零点个数，属于中档题. 21.设数列12:,,,n A a a a （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤.若对任意{3,4,,}k n ∈，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T .（1）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （2）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值； （3）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==，且i j S S =∅（任意,{1,2,,6}i j ∈，i j ≠）.求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列.【答案】（1）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T （2）n 的最小值为10（3）证明见解析 【解析】（1）47a =不满足存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，故数列1A 不具有性质T ；根据定义可知数列2A 具有性质T ；（2）由题可知22a =，3224a a ≤=，4328a a ≤≤，，872128a a ≤≤，所以9n ≥，再验证可知9n =时，数列A 不具有性质T ，10n =时，数列A 具有性质T ，从而可知n 的最小值为10；（3）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,,i a b S a b ∈<，则i b a S -∉，再根据定义推出矛盾，从而可证结论正确.【详解】（1）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T . （2）由题可知22a =，3224a a ≤=，4328a a ≤≤，，872128a a ≤≤，所以9n ≥.若9n =，因为9200a =且982a a ≤，所以8128100a ≥≥.同理，765436450,3225,1612.5,8 6.25,4 3.125.a a a a a ≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥ 因为数列各项均为正整数，所以34a =.所以数列前三项为1,2,4.因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4,5,6,8之一，而又因为48 6.25a ≥≥， 所以48a =.同理，有567816,32,64,128a a a a ====. 此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,200.但数列中不存在19i j ≤≤<使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T . 所以10n ≥.当10n =时，取:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200A .（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T . 所以，n 的最小值为10.（3）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,,i a b S a b ∈<，则i b a S -∉.否则，存在i S 满足：存在,i a b S ∈，a b <使得i b a S -∈，此时，从i S 中取出,,a b b a -：当a b a <-时，,,a b a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a >-时，,,b a a b -是一个具有性质T 的数列； 当a b a =-时，,,a a b 是一个具有性质T 的数列.（i ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个， 不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a ，且12337a a a <<<.令集合1337{|1,2,,336}i N a a i S =-=⊆.由假设，对任意1,2,,336i =，3371i a a S -∉，所以234516N S S S S S ⊆.（ii ）在23456,,,,S S S S S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ， 从21S N 中取出68个数，记为1268,,,b b b ，且1268b b b <<<.令集合628{|1,2,,67}i N b i b S ==-⊆.由假设682i b b S -∉.对任意1,2,,68k =，存{1,2,,336}k s ∈使得337k k s b a a =-.所以对任意1,2,,67i =，686868337337()()i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉，所以23456N S S S S ⊆.（iii ）在3456,,,S S S S 中至少有一个集合包含2N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ， 从23S N 中取出17个数，记为1217,,,c c c ，且1217c c c <<<.令集合137{|1,2,,16}i N c c i S -==⊆.由假设173i c c S -∉.对任意1,2,,17k =，存在{1,2,,67}k t ∈使得68k t k c b b =-.所以对任意1,2,,16i =，1717176868()()i i i t t t t c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉，所以17123i c c S S S -∉，所以3456N S S S ⊆.（iv ）类似地，在456,,S S S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ，从34S N 中取出6个数，记为126,,,d d d ，且126d d d <<<，则6456{|1,2,,5}i d d i S S N -⊆==.（v ）同样，在56,S S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素，不妨设这个集合为5S ， 从45S N 中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<，同理可得153326{,}e e e e S N --=⊆.（vi ）由假设可得2131326()()e e e e e e S -=---∈/. 同上可知，1245123S S S e e S S -∈/，而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾.所以假设不成立. 所以原命题得证.【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用能力，考查了反证法，考查了集合的并集运算，准确理解定义和运用定义解题是解题关键，属于难题.。
朝阳区2020届高三一模数学(理)试题及答案(word版)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数2i 1i+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i +2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 3．>e e a b>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．35．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为A ． 3πB ． 6πC ． 233ππ或 D ． 566ππ或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同(第4题图)（注：结余=收入-支出）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A．0r << B．0r <<C．0r << D．0r <<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9． 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知等差数列}{n a (n *∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；2610410n a a a a +++++=L ______．月23415689 10 7111258(第7题图)正视图侧视图俯视图11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ． 12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+u u u u r u u u r u u u r．若点M 在ABC ∆的内部(不含边界)，则实数n 的取值范围是____．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1,2,,12i =L ）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =L ，1212(,,,)B b b b =L ，则,A B 两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数21()sin 22x f x x ωω=+0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需 写出结论）．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；AMPCBA 1C 1B 1（Ⅲ）试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．19．（本小题满分14分）已知点P 和椭圆:C 22142x y +=． （Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线PA ，PB 与x轴分别交于M ，N 两点，求证：PM PN =．20．（本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2020学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类）一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1ω=时，21()sin 22x f x x =1sin 22x x =+ sin()3x π=+．令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ．解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ．所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分（Ⅱ）由21()sin 22x f x x ωω=+-1sin 2x x ωω=+ sin()3x ωπ=+．因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=．则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ．解得162n ω=+． 又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>，所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4 ． 由题意可知，13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====； 2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====；44481(4)70C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值0123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分 （Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥． 又因为1AC AA ⊥且1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ． 因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====， 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ．易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rn n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n ． 所以二面角P AM B --9分 （Ⅲ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=u u u r u u u r，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-，所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-u u u r．设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u rn n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩ 取01y =，得02(1,1,)2λλ-=-n （显然0λ=不符合题意）．又1(2,0,2)AC =-u u u r ，若1A C //平面AMP ，则10AC ⊥u u u rn ． 所以10220AC λλ-⋅=--=u u u r n ．所以23λ=． 所以在线段1BB 上存在点P ，且12BPPB =时，使得直线1A C //平面AMP ．…………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x af x x x+'=+=． （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，． ……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； （2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-． （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==．依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分 （Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >，则 2211(1)()()a x g x a x x x-'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式． 因此当0a <时，切线的条数为0．（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取21+1ee ax =>，则221112()(1e 1)2e 0aa g x a a a----=++--=>．故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2-1-21e <e a x =，则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]a a a+=-+． 设21(1)t t a=+>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-． 当1t >时，()e 2e 20t u t '=->->恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >．故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线．（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线．综上所述，当0a >时，过点P (13)，存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (13)，的切线．…………………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =．因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=．所以12PF F ∆的周长为4+．易得椭圆的离心率=c e a =．………………………………………………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=． 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<． 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x +=，21284m x x -=, 112m y +=，222m y +=．显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=+211)(1)(x x -+-===28)(m m ----+=2=220==． 因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠． 所以PM PN =． ………………………………………………………14分。
北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)
北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={1,2，4，6}，集合B ={1,5}，则A ∪B 等于( )A. {1,3，5}B. {5}C. {1,2，4，5，6}D. {1}2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)上单调递减的是( )A. y =x 12B. y =2x +12x C. y =x 43 D. y =log 12|x |+1 3. 已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1=1，a 2a 3=−8，则S 6=( )A. 1283B. −24C. −21D. 114. 在ΔOAB 中，点C 满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y=( ) A. 13B. 23C. 92D. 295. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，M 是C 上的一点，点M 关于l 的对称点为N ，若∠MFN =90°且|MF|=12，则p 的值为( )A. 18B. 12C. 6D. 6或18 6. 从甲、乙、丙、丁四人中，随机选取两名作为代表，则甲被选中的概率为( )A. 12B. 13C. 14D. 237. 已知双曲线C ：x 24−y 2b 2=1经过点(4,3)，则双曲线C 的离心率为( )A. 12B. √32C. √72D. √132 8. “φ=3π4”是“函数y =cos2x 与函数y =sin(2x +φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知定义在R 上的函数满足f(x +1)=f(x −1)，f(x)={2x −5,0<x ≤1ln x−1e5,1<x ≤2，若关于x 的不等式f(x)+a(x −2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,2]B. (−∞,2)C. (−∞,52]D. (−∞,52)10. 如图，在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是( )A. 92B. √3C. 6√55D. 2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 复数21+i 的模等于__________．12. 如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为__________．13. 张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________． 14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，函数f(x)=2x−1x+1，a n =log 2f(n+1)f(n)，则S 2013=______．15. 已知曲线C 的方程是x 4+y 2=1.关于曲线C 的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y =x 对称； ③曲线C 所围成的区域的面积大于π． 其中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．(1)求角B; (2)若，求b ．17.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM//AC．(1)求证：平面MOE//平面PAC；(2)求证：平面PAC⊥平面PCB；(3)设二面角M−BP−C的大小为θ，求cosθ的值．18.某研究机构为了调研当代中国高中生的平均年龄，从各地多所高中随机抽取了40名学生进行年龄统计，得到结果如下表所示：年龄(岁)[15,16)[16,17)[17,18)[18,19)[19,20]数量6101284(1)若同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批学生的平均年龄；(2)若在本次抽出的学生中随机挑选2个年龄在[15,17)间的学生人数记为X，求X的分布列及数学期望．19.已知圆O：x2+y2=4，若焦点在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1过点p(0,−1)，且其长轴长等于圆O的直径．(1)求椭圆的方程；(2)过点P作两条互相垂直的直线l1与l2，l1与圆O交于A、B两点，l2交椭圆于另一点C．(Ⅰ)设直线l1的斜率为k，求弦AB长；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值．20.求曲线y=f(x)=12x2−3x+2lnx在(3,f(3))处切线的斜率及切线方程．21.若数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n+1=4a n−2(n=1,2，3…)．(I)求a2，a3；(II)求证：数列{a n−2a n−1}是常数列；(III)求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．根据A与B，求出两集合的并集即可．解：∵A={1,2，4，6}，B={1,5}，∴A∪B={1,2，4，5，6}.故选C．2.答案：D解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，熟悉常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，属于基础题．分别判断各函数的奇偶性和单调性即可得到结论．解：A：y=x12定义域为[0,+∞)，为非奇非偶函数，不满足条件．B：y=2x+12x ，f(−x)=2−x+12−x=2x+12x=f(x)，则f(x)为偶函数，f(1)=2+12=52，f(2)=4+14=174，则f(1)<f(2)，则函数在(1,2)上不是减函数，不满足条件．C：y=x43，f(−x)=(−x)43=[(−x)2]23=x43=f(x)，则f(x)是偶函数，f(1)=1，f(2)=√163，则f(1)<f(2)，则函数在(1,2)上不是减函数，不满足条件．D：，，则f(x)为偶函数，由于为减函数，所以在(1,2)上是减函数，满足条件．故选D．3.答案：C解析：本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．由题意易得数列的公比q=−2代入求和公式计算可得．解：设等比数列{a n}公比为q，a1=1，a2a3=−8，则a2a3=a12q3=q3=−8，解得q=−2，∴S6=1×[1−(−2)6]1+2=−21，4.答案：C解析：本题主要考查平面向量的基本定理与应用，属于一般题． 解析：解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故x =13,y =23⇒1x +1y =92， 故选C5.答案：C解析：本题考查抛物线的性质及定义，考查转换思想，属于中档题． 构造直角三角形，根据抛物线的性质，即可求得p 的值． 解：直线MN 交准线x =−p2于点D ，l 交x 轴于点H ，∴∠MFN =90°，则|DM|=|MF|=|DF|=12， 则∠MDF =60°，∠FDH =30°， ∴|HF|=6，即p =6，6.答案：A解析：解：从甲、乙、丙、丁四人中，随机选取两名作为代表，基本事件总数n=C42=6，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3，∴甲被选中的概率为p=mn =36=12．故选：A．基本事件总数n=C42=6，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3，由此能求出甲被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：C解析：本题考查双曲线方程的求法，离心率的求法，考查计算能力，求出双曲线的方程，然后求解离心率．解：双曲线C：x24−y2b2=1经过点(4,3)，可得424−32b2=1，解得b2=3，双曲线C：x24−y23=1，可得a=2，c=√a2+b2=√4+3=√7，e=ca =√72．故选C．8.答案：A解析：解：函数y=cos2x在区间[0,π4]上单调递减．“φ=3π4”时，函数y=sin(2x+3π4)，x∈[0,π4]，可得2x+3π4∈[3π4,5π4]，∴函数y=sin(2x+3π4)，在区间[0,π4]上单调递减．而φ=3π4+2π时，函数y=sin(2x+3π4)，在区间[0,π4]上单调递减．因此“φ=3π4”是“函数y=cos2x与函数y=sin(2x+φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的充分不必要条件．故选：A．函数y=cos2x在区间[0,π4]上单调递减．“φ=3π4”时，函数y=sin(2x+3π4)，x∈[0,π4]，可得2x+。
北京市朝阳区2020届高三第一次模拟考试数学试题
北京市朝阳区高三年级高考练习一数 学 2020.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则A B =U （ ） A ．{}3 B ．{}1,3 C ．{}1,2,3,5 D ．{}1,2,3,4,5 （2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．3y x =B ．21y x =-+C ．2log y x =D ．||2x y = （3）在等比数列{}n a 中，11a =，48a =-，则{}n a 的前6项和为A ．21-B ．11C ．31D ．63（4）如图，在ABC △中，点D ，E 满足2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ．若DE x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r(,)x y ∈R ，则x y +=（ ）A ．12-B ．13-C ．12D ．13（5）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D ．若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ）A ．28y x =B ．24y x =C ．22y x =D ．2y x =（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（ ）EDCB AA ．23 B ．25 C ．35 D ．910（7）在ABC △中，AB BC =，120ABC ∠=︒．若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ） A．2B．2 C．12D（8）已知函数()=)(>0)f x ωx φω-的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6πϕ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（9）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A．(,-∞ B ．3[0,]2C ．[0,2] D．[0,（10）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当PMN △的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点CPM NA BC DD 1C 1B 1A 1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若复数21z i=+，则||z =________． （12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为 ．（13）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05．为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动． （14）已知函数()cos2xf x x π=．数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++（*n ∈N ），则数列{}n a 的前100项和是________．（15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；③存在一个以原点为中心、边长为2的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）． 其中，正确结论的序号是________．俯视正（主）侧（左）32 2 2 2注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题14分）在ABC △中，sin cos()6πb A a B =-． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若5c =， ．求a ． 从①7b =，②4C π=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，四边形11ACC A 是正方形，点D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点，4AB =，12AA =，BC =（Ⅰ）求证：1AB CC ⊥；（Ⅱ）求二面角1D AC C --的余弦值；（Ⅲ）若点F 在棱11B C 上，且1114B C B F =，判断平面1AC D 与平面1A EF 是否平行，并说明理由．0A BB 1ECC 1A 1DF某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；（Ⅱ）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设该地区有10万人，患病率为0.01．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由．（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）．过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-． （Ⅰ）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（Ⅱ）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由．已知函数()11e xx x f x -+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )xx 处的切线也是曲线ln y x =的切线．（21）（本小题14分）设数列12:,,,n A a a a L （3n ≥）的各项均为正整数，且12n a a a ≤≤≤L ．若对任意{3,4,,}k n ∈L ，存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+，则称数列A 具有性质T ．（Ⅰ）判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ；（只需写出结论） （Ⅱ）若数列A 具有性质T ，且11a =，22a =，200n a =，求n 的最小值；（Ⅲ）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==L U U U U U ，且i j S S =∅I （任意,{1,2,,6}i j ∈L ，i j ≠）．求证：存在i S ，使得从i S 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T 的数列．北京市朝阳区高三年级高考练习一数学参考答案2020.4第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）C （10）B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11 （12）5:4 （13）15 （14）100 （15）①② 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题14分）解：（1）因为sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，sin sin a b A B =．所以sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即1sin cos sin 22B B B =+． 所以sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又因为2333B πππ-<-<，所以03B π-=，所以3B π=． （Ⅱ）若选①7b =，则在ABC △中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3c =-（舍）．所以8a =．若选②4c π=，则sin sin()A B C =+=sincoscossin34344ππππ+=， 由正弦定理sin sin a cA C=，得2=，解得a =所以a =（17）（本小题14分）解：（1）因为四边形11ACC A 是正方形， 所以1CC AC ⊥．又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ， 平面ABC ⋂平面11ACC A AC =， 所以1CC ⊥平面ABC ． 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以1AB CC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1CC AB ⊥，11AA CC ∥， 所以1AA AB ⊥．又4AB =，12AC AA ==，BC = 所以222AB AC BC +=． 所以AC AB ⊥．如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -．所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A ． 则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ，平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =r．设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =r，又(2,0,1)AD =u u u r，1(0,2,2)AC =u u u u r ，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r 得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2z =-，2y =．所以(1,2,2)v =-r．设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |133||||u v u v θ⋅===⨯r rr r ． 由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13． （Ⅲ）平面1AC D 与平面1A EF 不平行．理由如下：由（Ⅱ）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v =-r，1(4,1,0)A E =-u u u r ， 所以120A E v ⋅=≠u u u r r ，所以1A E 与平面1AC D 不平行． 又因为1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行． 14分 （18）（本小题14分）（Ⅰ）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为76198020=． （Ⅱ）由题意可知~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =． X 的所有可能的取值为0，1，2，3．03031911(0)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 121319157(1)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21231911083(2)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3331916859(3)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为故X 的数学期望57()20E X np ==． （Ⅲ）此人患该疾病的概率未超过0.5．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为11999000100010020⨯+⨯9909501940=+=，其中患者人数为950．若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=． 所以此人患该疾病的概率未超过0.5． 14分 （19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=．因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+， 又因为过点(1,2)，所以1b =．因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以222835511a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得24a =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）直线2l 与椭圆C 相切．理由如下：设圆O 上动点()00,P x y ()02x ≠±，所以22005x y +=．依题意，设直线()100:l y y k x x -=-．由()220044,x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． 因为直线1l 与椭圆C 相切，所以()()()22200008414440k y kx ky kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 所以()220014k y kx +=-．所以()()22200004210x k x y k y -++-=． 因为22005x y +=，所以220041x y -=-． 所以()()22200001210y k x y k y -++-=． 设直线()2001:l y y x x k-=--， 由()220044,1,x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得2200002481440x x x y x y k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()()222100*********x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∆=--+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()()2220000216421x kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2220000216121y kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()22200002161210y k kx y y k ⎡⎤=--++-=⎣⎦． 所以直线2l 与椭圆C 相切． 14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为1()1x x f x e x +=-， 所以001(0)201f e +=-=-，22()(1)x f x e x '=+-，022(0)3(01)f e '=+=-． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=．（Ⅱ）函数()f x 有且仅有两个零点．理由如下：()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R ． 因为22()0(1)x f x e x '=+>-， 所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增．因为(0)20f =>，21(2)03f e --=-<， 所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x ．因为2(2)30f e =->，545904f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x ．综上，()f x 有且仅有两个零点．（Ⅲ）曲线x y e =在点()00,x x e 处的切线方程为()000x x y e e x x -=-，即0000x x x y e x x e e =-+．设曲线ln y x =在点()33,x y 处的切线斜率为0x e ， 则031x e x =，031e x x =，30y x =-，即切点为001,x x e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以曲线ln y x =在点001,x x e ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为 y 0001x x y x e x e ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即001x y e x x =--．因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x e x +=-． 所以()()00000000011111x x x x x e e e x x x x +-+=-=-=---． 所以这两条切线重合．所以结论成立． 15分（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T ．（Ⅱ）由题可知22a =，3224a a =„，4328a a 剟，…，872128a a 剟， 所以9n …． 若9n =，因为9200a =且982a a „，所以8128100a 厖． 同理，76450a 厖，63225a 厖，51612.5a 厖，48 6.25a 厖，34 3.125a 厖． 因为数列各项均为正整数，所以34a =．所以数列前三项为1，2，4．因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4，5，6，8之一，而又因为48 6.25a 厖， 所以4=8a ．同理，有516a =，632a =，764a =，8128a =．此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中不存在19i j <剟使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T ． 所以10n …． 当10n =时，取A ：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200．（构造数列不唯一）经验证，此数列具有性质T ．所以，n 的最小值为10．（Ⅲ）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =L 都有：若正整数,i a b S ∈，a b <，则i b a S -∉．否则，当a b a <-时，a ，b a -，b 是一个具有性质T 的数列；当a b a >-时，b a -，a ，b 是一个具有性质T 的数列；当a b a =-时，a ，a ，b 是一个具有性质T 的数列．（ⅰ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a L ，且12337a a a <<<L ．令集合3137|{1,2,,336}i N a a i S =-=⊆L ．由假设，对任意33711,2,,336,i i a a S =-∉L ，所以123456N S S S S S ⊆⋃⋃⋃⋃． （ⅱ）在2S ，3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ，从21S N ⋂中取出68个数，记为1268,,,b b b L ，且8162b b b <<<L ．令集合{}268|1,2,,67i N b b i S =-=⊆L ．由假设682i b b S -∉．对任意1,2,,68k =L ，存在{1,2,,336}k s ∈L 使得337k k s b a a =-．所以对任意1,2,,67i =L ，()()686868337337i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉⋃，所以23456N S S S S ⊆⋃⋃⋃．（ⅲ）在3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ，从32S N ⋂中取出17个数，记为1217,,,c c c L ，且1217c c c <<<L ．令集合{}317|1,2,,16i N c c i S =-=⊆L ．由假设173i c c S -∉．对任意1,2,,17k =L ，存在{1,2,,67}k t ∈L 使得68k k t c b b =-．所以对任意1,2,,16i =L ，()()1717176868i i t t t t i c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉⋃，所以17123i c c S S S -∉⋃⋃，所以3456N S S S ⊆⋃⋃．（ⅳ）类似地，在4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ，从43S N ⋂中取出6个数，记为126,,,d d d L ， 且126d d d <<<L ，则{}4665|1,2,,5i N d d i S S =-=⊆⋃L ． （ⅰ）同样，在5S ，6S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素， 不妨设这个集合为5S ，从54S N ⋂中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<， 同理可得{}153326,N e e e e S =--⊆．（ⅰ）由假设可得()()2131326e e e e e e S -=---∉． 同上可知，2112345e e S S S S S -∉⋃⋃⋃⋃，而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾． 所以假设不成立．所以原命题得证． 14分。
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合3，，，则A. B.C. 2，3，D. 2，3，4，2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是A. B. C. D.3.在等比数列中，，，则的前6项和为A. B. 11 C. 31 D. 634.如图，在中，点D，E满足，若，则A.B.C.D.5.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，于若，，则抛物线C的方程为A. B. C. D.6.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为A. B. C. D.7.在中，，若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.8.已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为，则“”是“的图象关于直线对称”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.10.如图，在正方体中，M，N分别是棱AB，的中点，点P在对角线上运动．当的面积取得最小值时，点P的位置是A. 线段的三等分点，且靠近点B. 线段的中点C. 线段的三等分点，且靠近点CD. 线段的四等分点，且靠近点C二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.复数，则______．12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为______，它的体积为______．13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：摇号的初始中签率为；当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加为了使中签率超过，则至少需要邀请______位好友参与到“好友助力”活动．14.已知函数数列满足，则数列的前100项和是______．15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：被称为“四叶玫瑰线”如图所示给出下列三个结论：曲线C关于直线对称；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线C在此正方形区域内含边界．其中，正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.在中，．Ⅰ求B；Ⅱ若，求a．从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.如图，在三棱柱中，平面平面ABC，四边形是正方形，点D，E分别是棱BC，的中点，，，．Ⅰ求证：；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ若点F在棱上，且，判断平面与平面是否平行，并说明理由．18.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区人数众多随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如表：患者的检测结果人数阳性76阴性4非患者的检测结果人数阳性1阴性99Ⅰ从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；Ⅱ从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用Ⅰ中所得概率，求X的分布列和数学期望；Ⅲ假设该地区有10万人，患病率为从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过？并说明理由．19.已知椭圆，圆O：为坐标原点过点且斜率为1的直线与圆O交于点，与椭圆C的另一个交点的横坐标为．Ⅰ求椭圆C的方程和圆O的方程；Ⅱ过圆O上的动点P作两条互相垂直的直线，，若直线的斜率为且与椭圆C相切，试判断直线与椭圆C的位置关系，并说明理由．20.已知函数．Ⅰ求曲线在点处的切线方程；Ⅱ判断函数的零点的个数，并说明理由；Ⅲ设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．21.设数列A：，，，的各项均为正整数，且若对任意4，，，存在正整数i，使得，则称数列A具有性质T．Ⅰ判断数列：1，2，4，7与数列：1，2，3，6是否具有性质T；只需写出结论Ⅱ若数列A具有性质T，且，，，求n的最小值；Ⅲ若集合2，3，，2019，，且任意i，2，，，求证：存在，使得从中可以选取若干元素可重复选取组成一个具有性质T的数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，2，3，，故选：C．先求出集合B，再利用集合并集的运算即可算出结果．本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：D解析：解：若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称，所以C错；由偶函数的定义：，故A错；在上递减，故B错；显然，故该函数是偶函数，当时，是增函数，故D对．故选：D．根据幂函数、对数函数、以及二次函数的单调性规律和奇偶性的定义判断即可．本题考查奇偶性、单调性的定义与性质，注意转化思想在解题中的应用．属于基础题．3.答案：A解析：解：设公比为q，由，可得，前6项和，故选：A．先由，求出公比q，再代入前n项和公式求和．本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题．4.答案：B解析：解：中，点D，E满足，．，又，，．故选：B．在中，，因为，通过转化的思想，将用和表示，求出x和y的值，计算即可．本题主要考查平面向量的基本定理，属基础题，解题时需认真审题，注意向量线性运算的合理性．5.答案：B解析：解：如图所示，由抛物线的定义可知，，，为等边三角形，，，，轴，，即，，抛物线的方程为，故选：B．由抛物线的定义可知，，从而确定为等边三角形，于是得到，，再结合平行关系和三角函数即可求得p的值，进而得解．本题考查抛物线的方程、定义与几何性质，熟练运用抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的观察力和计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数，甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率．故选：D．基本事件总数，甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数，由此能求出其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：C解析：解：设，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，，，所以，，所以双曲线的离心率为：．故选：C．设，取AB的中点为O，由余弦定理可得AC，通过双曲线的定义，求解离心率即可．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：A解析：解：函数的图象上相邻两个最高点的距离为，，解得．的图象关于直线对称，，解得，解得．则“”是“的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A．函数的图象上相邻两个最高点的距离为，可得，解得根据的图象关于直线对称，可得，解得，即可判断出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：当时，，的对称轴为，开口向上．当时，在递减，递增，当时，有最小值，即，解得；当时，在上递减，当时，有最小值，即，．综合得：当时，；当时，，，当时，，在上递增，，，此时；当，即时，在上递增，同理可得；当，即时，在递减，递增，，，解得．综合得：当时，；关于x的不等式在R上恒成立，，故选：C．当时，，分、两类讨论，可求得；当时，，分、、三类讨论，可求得；取其公共部分即可得到答案．本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．10.答案：B解析：解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，P为上的动点，设，其中，，0，，，，，为等腰三角形，底边，设底边MN上的高为h，则有．，时的面积取得最小值，此时P为的中点．故选：B．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的面积取得最小值时，P为的中点．本题考查点的位置瓣判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：解析：解：复数．．故答案为：．利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．12.答案：5 4解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为等腰直角三角形，，高．最长棱为，体积．故答案为：5；4．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为等腰直角三角形，，高再由勾股定理求最长棱的长，由棱锥体积公式求体积．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．13.答案：15解析：解：某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：摇号的初始中签率为；当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加．为了使中签率超过，设至少需要邀请n位好友参与到“好友助力”活动，则，解得．为了使中签率超过，则至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动．故答案为：15．为了使中签率超过，设至少需要邀请n位好友参与到“好友助力”活动，则，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：100解析：解：由题意，当，时，．设数列的前n项和为，则．故答案为：100．本题先根据余弦函数的周期性可计算出当，时，，，，连续四项和的值，可发现为固定值2，然后设数列的前n项和为，然后代入进行整理转化，利用周期性得到的规律即可计算出结果．本题主要考查数列的三角函数的综合问题．考查转化与化归思想，整体思想，余弦函数的周期性的应用，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．15.答案：解析：解：对，用替换方程中的，方程形式不变，所以曲线C关于直线对称，正确；对，设点是曲线上任意一点，则，则点P到原点的距离为，由，解得，正确；对，由可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，所以不正确；故答案为：．根据曲线的方程以及图象逐个判断3个结论即可得出．本题主要考查函数曲线的性质应用，意在考查学生的直观想象能力和分析能力，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，又，即，，又，．Ⅱ若选，则在中，由余弦定理，可得，解得，或舍去，可得．若选，则，由正弦定理，可得，解得．解析：Ⅰ由正弦定理得，与由此能求出B．Ⅱ若选，由余弦定理可得，即可解得a的值；若选，利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，由正弦定理即可解得a的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.答案：Ⅰ证明：四边形是正方形，，又平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又平面ABC，；Ⅱ解：由Ⅰ知，，，．又，，，，得．以A为坐标原点，分别以AB，，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，0，，2，，0，，2，，1，，，．平面的一个法向量，设平面的一个法向量为．由，取，得．设二面角的平面角为，则．由题意，二面角为锐角，则其余弦值为；Ⅲ解：平面与平面不平行．理由如下：由Ⅱ知，平面的一个法向量，．，与平面不平行．又平面，平面与平面不平行．解析：Ⅰ由题意，结合平面平面ABC，由平面与平面垂直的性质可得平面ABC，进一步得到；Ⅱ解：由Ⅰ知，，得到，求解三角形得，以A为坐标原点，分别以AB，，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；Ⅲ由Ⅱ知，平面的一个法向量，，由数量积不为0可得与平面不平行，即可得到平面与平面不平行．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为．Ⅱ由题意，可知，，，，，的分布列为：X 0 1 2 3P．Ⅲ此人患该疾病的概率未超过．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为950，若某人检测结果为阳性，则他患该疾病的概率为，此人患该疾病的概率未超过．解析：Ⅰ位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，能估计结果为阳性的概率．Ⅱ由题意，可知，由此能求出X的分布列和．Ⅲ如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，结果为阳性的人数为，其中患者人数为950，由此能求出此人患该疾病的概率未超过．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ因为圆O过点，所以圆O的方程为：，因为过点且斜率为1的直线方程为，又因为过点，所以，所以直线方程为：，因为直线与椭圆C的另一个交点的横坐标为，所以纵坐标为，所以，解得：，所以椭圆C的方程为：；Ⅱ直线与椭圆C相切，理由如下：设圆O上动点，所以，依题意，设直线的方程为：，联立方程，消去y得：，因为直线与椭圆C相切，所以，所以，所以，因为，所以，所以，设直线的方程为：，联立方程，消去y得：，所以，所以直线与椭圆C相切．解析：Ⅰ把点代入圆O的方程，即可求出r，得到圆O的方程，再求出直线方程，得到与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，即可求出椭圆C的方程；Ⅱ设圆O上动点，所以，设直线的方程为：，与椭圆方程联立利用得到，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，把上式代入化简，所以直线与椭圆C相切．本题主要考查了圆的方程，考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．20.答案：解：Ⅰ因为，所以，所以，，故切线方程为：．Ⅱ函数有且仅有两个零点．易知的定义域为，且，且，所以在，上是增函数．因为，，所以在上有唯一零点；又因为，所以在上有唯一零点；综上，有且仅有两个零点．Ⅲ易知，曲线在点处的切线为，即．再设曲线在点处的切线斜率为，则，即切点为．所以曲线的切线方程为，即．因为是的一个零点，所以，，故两条切线重合，结论成立．解析：Ⅰ求出处的导数，利用点斜式写出切线方程即可；Ⅱ研究函数的单调性、极值的符号等求解；Ⅲ只需要说明零点处的切线重合即可．本题考查导数的几何意义和综合应用，同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养．属于较难的题目．21.答案：解：Ⅰ，，3，4，7不具有性质P；，，，，2，3，5具有性质P，即数列不具有性质T，数列具有性质T．Ⅱ由题意可知，，，，，，．若，且，，同理，，，，，，数列各项均为正整数，，数列前三项为1，2，4．数列A具有性质T，只可能为4，5，6，8之一，而又，，同理，有，，，，此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中存在，使得，该数列不具有性质T，．当时，取A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，构造数列不唯一，A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200，经验证，此数列具有性质T，的最小值为10．Ⅲ假设结论不成立，即对任意2，，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b是一个具有性质T的数列；当时，，a，b是一个具有性质T的数列；当时，a，a，b是一个具有性质T的函数．由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为，从中取出337个数，记为，，，且，令集合2，，．由假设，对任意，2，，336，，，在，，，，中至少有一个集合包含中的至少68个元素，不妨设这个集合为，从中取出68个数，记为，，，，且，令集合2，，．由假设，对任意，2，，68，存在2，，使得，对任意，由假设，，，．在，，，中至少有一个集合包含中的至少17个元素，不妨设这个集合为，从中取出17个数，记为，，，，且，令集合2，，，由假设，对任意，2，，17，存在2，，使得，对任意，同样，由假设可得，，．同样，在，中至少有一个集合包含中的至少3个元素，不妨设这个集合为，从中取出3个数，记为，，，且，同理可得．由假设可得，同上可知，，而又，，矛盾．假设不成立，原命题得证．解析：Ⅰ根据，可知1，3，4，7不具有性质P，由，，，可知1，2，3，5具有性质P；Ⅱ由数列A具有性质T，结合条件可知，然后分别考虑，，时是否符合条件，进一步得到n的最小值；Ⅲ假设结论不成立，即对任意2，，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b是一个具有性质T的数列；当时，，a，b是一个具有性质T的数列；当时，a，a，b是一个具有性质T的函数，然后找出矛盾结论，从而证明结论成立．本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系和不等式的性质，考查了考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．。
2020 朝阳一模(答案版)
北京市朝阳区高三年级高考练习一数学参考答案 2020.04第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）D （7）C （8）A （9）C （10）B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11 （12）5:4 （13）15 （14）100 （15）①② 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题14分）解：（1）因为sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，sin sin a b A B =．所以sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即1sin cos sin 22B B B =+． 所以sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又因为2333B πππ-<-<，所以03B π-=，所以3B π=． （Ⅱ）若选①7b =，则在ABC △中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3c =-（舍）．所以8a =．若选②4c π=，则sin sin()A B C =+=sincoscossin3434ππππ+=， 由正弦定理sin sin a cA C=，得2=，解得a =所以52a =． （17）（本小题14分）解：（1）因为四边形11ACC A 是正方形， 所以1CC AC ⊥．又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ， 平面ABC ⋂平面11ACC A AC =， 所以1CC ⊥平面ABC ． 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以1AB CC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1CC AB ⊥，11AA CC ∥， 所以1AA AB ⊥．又4AB =，12AC AA ==，BC = 所以222AB AC BC +=． 所以AC AB ⊥．如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -．所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A ． 则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ，平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =． 设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =， 又(2,0,1)AD =，1(0,2,2)AC =，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2z =-，2y =．所以(1,2,2)v =-． 设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |133||||u v u v θ⋅===⨯．由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13． （Ⅲ）平面1AC D 与平面1A EF 不平行．理由如下：由（Ⅱ）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v =-，1(4,1,0)A E =-， 所以120A E v ⋅=≠，所以1A E 与平面1AC D 不平行． 又因为1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行． 14分 （18）（本小题14分）（Ⅰ）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为76198020=． （Ⅱ）由题意可知~(,)X B n p ，其中3n =，1920p =． X 的所有可能的取值为0，1，2，3．03031911(0)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 121319157(1)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21231911083(2)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3331916859(3)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为故X 的数学期望57()20E X np ==． （Ⅲ）此人患该疾病的概率未超过0.5．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为11999000100010020⨯+⨯9909501940=+=，其中患者人数为950．若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=． 所以此人患该疾病的概率未超过0.5． 14分 （19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=．因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+， 又因为过点(1,2)，所以1b =．因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以222835511a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得24a =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）直线2l 与椭圆C 相切．理由如下：设圆O 上动点()00,P x y ()02x ≠±，所以22005x y +=．依题意，设直线()100:l y y k x x -=-．由()220044,x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． 因为直线1l 与椭圆C 相切， 所以()()()22200008414440k y kx ky kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 所以()220014k y kx +=-．所以()()22200004210x k x y k y -++-=．因为22005x y +=，所以220041x y -=-． 所以()()22200001210y k x y k y -++-=． 设直线()2001:l y y x x k-=--， 由()220044,1,x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得2200002481440x x x y x y k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()()222100001116421x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∆=--+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2220000216421x kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2220000216121y kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()22200002161210y k kx y y k⎡⎤=--++-=⎣⎦． 所以直线2l 与椭圆C 相切． 14分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为1()1xx f x ex +=-， 所以001(0)201f e +=-=-，22()(1)x f x e x '=+-，022(0)3(01)f e '=+=-． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=． （Ⅱ）函数()f x 有且仅有两个零点．理由如下：()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R ．因为22()0(1)xf x e x '=+>-， 所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增．因为(0)20f =>，21(2)03f e --=-<， 所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x ．因为2(2)30f e =->，545904f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x ． 综上，()f x 有且仅有两个零点．（Ⅲ）曲线xy e =在点()00,x x e处的切线方程为()000x x y ee x x -=-，即0000x x xy e x x e e =-+．设曲线ln y x =在点()33,x y 处的切线斜率为0x e ，则031x e x =，031e x x =，30y x =-，即切点为001,x x e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以曲线ln y x =在点001,x x e ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为 y 0001xx y x e x e ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，即001x y e x x =--．因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x e x +=-． 所以()()0000000011111xx x x x e ee x x x x +-+=-=-=---． 所以这两条切线重合．所以结论成立． 15分 （21）（本小题14分）解：（Ⅰ）数列1A 不具有性质T ；数列2A 具有性质T ．（Ⅱ）由题可知22a =，3224a a =，4328a a ，…，872128a a ， 所以9n ．若9n =，因为9200a =且982a a ，所以8128100a ．同理，76450a ，63225a ，51612.5a ，48 6.25a ，34 3.125a ． 因为数列各项均为正整数，所以34a =．所以数列前三项为1，2，4．因为数列A 具有性质T ，4a 只可能为4，5，6，8之一，而又因为48 6.25a ， 所以4=8a ．同理，有516a =，632a =，764a =，8128a =． 此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中不存在19i j <使得200i j a a =+，所以该数列不具有性质T ． 所以10n ．当10n =时，取A ：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200．（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T ． 所以，n 的最小值为10．（Ⅲ）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)i S i =都有：若正整数,i a b S ∈，a b <，则i b a S -∉．否则，当a b a <-时，a ，b a -，b 是一个具有性质T 的数列； 当a b a >-时，b a -，a ，b 是一个具有性质T 的数列；当a b a =-时，a ，a ，b 是一个具有性质T 的数列．（ⅰ）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为1S ，从1S 中取出337个数，记为12337,,,a a a ，且12337a a a <<<．令集合3137|{1,2,,336}i N a a i S =-=⊆．由假设，对任意33711,2,,336,i i a a S =-∉，所以123456N S S S S S ⊆⋃⋃⋃⋃．（ⅱ）在2S ，3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S ，从21S N ⋂中取出68个数，记为1268,,,b b b ，且8162b b b <<<．令集合{}268|1,2,,67i N b b i S =-=⊆．由假设682i b b S -∉． 对任意1,2,,68k =，存在{1,2,,336}k s ∈使得337k k s b a a =-．所以对任意1,2,,67i =，()()686868337337i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-，由假设681i s s a a S -∉，所以681i b b S -∉，所以6812i b b S S -∉⋃， 所以23456N S S S S ⊆⋃⋃⋃．（ⅲ）在3S ，4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含N 中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S ，从32S N ⋂中取出17个数，记为1217,,,c c c ，且1217c c c <<<．令集合{}317|1,2,,16i N c c i S =-=⊆．由假设173i c c S -∉． 对任意1,2,,17k =，存在{1,2,,67}k t ∈使得68k k t c b b =-．所以对任意1,2,,16i =，()()1717176868i i t t t t i c c b b b b b b -=---=-，同样，由假设可得1712i t t b b S S -∉⋃，所以17123i c c S S S -∉⋃⋃， 所以3456N S S S ⊆⋃⋃．（ⅳ）类似地，在4S ，5S ，6S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S ，从43S N ⋂中取出6个数，记为126,,,d d d ，且126d d d <<<，则{}4665|1,2,,5i N d d i S S =-=⊆⋃．（ⅰ）同样，在5S ，6S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素，不妨设这个集合为5S ，从54S N ⋂中取出3个数，记为123,,e e e ，且123e e e <<， 同理可得{}153326,N e e e e S =--⊆．（ⅰ）由假设可得()()2131326e e e e e e S -=---∉． 同上可知，2112345e e S S S S S -∉⋃⋃⋃⋃， 而又因为21e e S -∈，所以216e e S -∈，矛盾． 所以假设不成立．所以原命题得证． 14分。
2020届朝阳一模试卷
（D） 1, 2, 3, 4, 5
（A） y x3
（B） y x2 1 （C） y log2 x
（D） y 2|x|
（3）在等比数列{an} 中， a1 1 ， a4 8 ，则{an} 的前 6 项和为
（A） 21
（B） 11
（C） 31
（D） 63
（4）如图，在 △ABC
中，点
D
，E
满足
．
3
2
2
正（主）视图
22 侧（左）视图
俯视图
2
（第 12 题图）
（13）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定
能否成功购买到该商品．规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为 0.19 ；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好 友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加 0.05 ．
（C）线段 CA1 的三等分点，且靠近点 C
（D）线段 CA1 的四等分点，且靠近点 C
（第 10 题图）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）若复数
z
1
2
i
，则
|
z
|
________．
（12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为
存在正整数 i, j(1 i j k) 使得 ak ai a j ，则称数列 A 具有性质 T ． （Ⅰ）判断数列 A1 :1, 2, 4,7 与数列 A2 :1, 2,3,6 是否具有性质 T ；（只需写出结论） （Ⅱ）若数列 A 具有性质 T ，且 a1 1 ， a2 2 ， an 200 ，求 n 的最小值； （Ⅲ）若集合S {1, 2,3,, 2019, 2020} S1 S2 S3 S4 S5 S6 ，且Si S j （任意i, j {1, 2,,6} ，
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．35．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是_______（用数字作答）．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=_______；a2+a6+a10+…+a4n+10=_______．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为_______．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是_______．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是_______．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为_______（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：===1+i，故选C．2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由x﹣1＞0，解得：x＞1，故函数y=ln（x﹣1）的定义域为M=（1，+∞），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴∁U N={x|x≥1或x≤0}，∴M⊆（∁U N），故选：D．3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”等价于a＞b，可得“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．即可判断出结论．【解答】解：∵“”⇔a＞b⇒“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．∴“”是“e a＞e b”的充分不必要条件．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．3【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i＜4，S=3，i=2满足条件i＜4，S=8，i=3满足条件i＜4，S=19，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据折现统计图即可判断各选项．【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围．【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，①y=的导数为y′=﹣，可得切线的斜率为﹣，由两点的斜率公式可得•（﹣）=﹣1，即为n﹣1=m（m﹣1）2，②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0，化为（n2﹣n﹣1）（n2+1）=0，即有n2﹣n﹣1=0，解得n=或，则有或．可得此时圆的半径r==．结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令10﹣3r=4，可得r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；a2+a6+a10+…+a4n+10=（n+3）（4n+11）．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，∴a4=1+3d=7，解得d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴a2=1+2=3，a6=1+5×2=11，a6﹣a2=8，∴a2+a6+a10+…+a4n+10=×3+×8=（n+3）（4n+11）．故答案为：2n﹣1，（n+3）（4n+11）．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t 为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为（，）．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】将曲线C2的参数方程代入曲线C1的方程，可得t=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，求得ρ，θ，即可得到所求坐标．【解答】解：将曲线C2的参数方程（t为参数）代入曲线C1的方程为x2+y2=2，可得（2﹣t）2+t2=2，解得t=1，可得交点的直角坐标为（1，1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，可得ρ==，tanθ=1，0＜θ＜，可得θ=．可得交点的极坐标为（，）．故答案为：（，）．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域图示：因为y=a（x+1）过定点C（﹣1，0）．当a≤0时，直线y=a（x+1）与区域D有公共点，满足条件．当a＞0时，当直线y=a（x+1）过点A时，由公共点，由得，即A（3，3），代入y=a（x+1）得4a=3，a=，又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．此时0＜a≤．综上所述，a≤．故答案为：．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是（0，）．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意可作出图形，将，带入并进行向量的数乘运算便可以得出，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义便可得到，从而便可得出实数n的取值范围．【解答】解：如图，由得：；∴；∴；∴；∴；∴实数n的取值范围是．故答案为：．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为22．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【分析】根据A，B两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．【解答】解：若第i（i=1，2，…，12）项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1，则用x i表示A，B两名学生的不同能力特征项数为=|a1﹣b1|+|b2﹣c2|+…+|c12﹣a12|=，设第三个学生为C=（c1，c2，…，c12），则d i=|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|，1≤i≤12，∵d i的奇偶性和（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）=0一样，∴d i是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d1+d2+…+d12为偶数，又S≥7×3=21．则S≥22，取A=（0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1），B=（1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1），C=（1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1），则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，故答案为：，22三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当ω=1时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．（Ⅱ）化简函数的解析式为：f（x）=．通过，求出．然后求解T的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当ω=1时，==．令．解得．所以f（x）的单调递增区间是．…（Ⅱ）由==．因为，所以．则，n∈Z．解得．又因为函数f（x）的最小正周期，且ω＞0，所以当ω=时，T的最大值为4π．…16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由此能求出这两名学生阅读名著本数之和为4的概率．（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，．…（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得，，，，．所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P随机变量X的均值．…（Ⅲ）．…17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥AB．结合AC⊥AA1，证明AC⊥平面AA1B1B．推出A1C1⊥平面AA1B1B．即可证明A1C1⊥AP．（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出，利用．求出λ，即可证明结果．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：由已知∠A1AB=∠A1AC=90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，所以∠BAC=90°，即AC⊥AB．又因为AC⊥AA1且AB∩AA1=A，所以AC⊥平面AA1B1B．由已知A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面AA1B1B．因为AP⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AP．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA1两两垂直．分别以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）．因为M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，所以．易知平面ABM的一个法向量=（0，0，1）．设平面APM的一个法向量为=（x，y，z），由，得取y=2，得=（﹣2，2，﹣3）．由图可知，二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，所以===．所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），且，λ∈[0，1]，则（x1，y1﹣2，z1）=λ（0，﹣1，2），所以x1=0，y1=2﹣λ，z1=2λ．所以．设平面AMP的一个法向量为=（x0，y0，z0），由，得取y0=1，得（显然λ=0不符合题意）．又，若A1C∥平面AMP，则．所以．所以．所以在线段BB1上存在点P，且时，使得直线A1C∥平面AMP．…18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，函数的导函数，通过（1）当a≥0时，（2）当a ＜0时，当0＜x＜﹣a时，当x＞﹣a时，导函数的符号，判断函数的单调性．（Ⅱ）（1）当﹣a≤1时，（2）当1＜﹣a＜2时，（3）当﹣a≥2时，分别求解函数的最值．（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数（x＞0），求出导函数，（1）当a＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0．（2）当a＞0时，类比求解，推出当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．．（1）当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a．当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当﹣a≤1时，即a≥﹣1时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以在区间[1，2]上，f（x）min=f（1）=1，显然函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零；（2）当1＜﹣a＜2时，即﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在[1，﹣a）上为减函数，在（﹣a，2]上为增函数，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a）．依题意有f（x）min=﹣a+aln（﹣a）＞0，解得a＞﹣e，所以﹣2＜a＜﹣1．（3）当﹣a≥2时，即a≤﹣2时，f（x）在区间[1，2]上为减函数，所以f（x）min=f（2）=2+aln2．依题意有f（x）min=2+aln2＞0，解得，所以．综上所述，当时，函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零．…（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，切线方程为．因为切线过点P（1，3），则．即．…①令（x＞0），则．（1）当a＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当a＜0时，切线的条数为0．（2）当a＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取，则．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取，则=．设，u（t）=e t﹣2t，则u′（t）=e t﹣2．当t＞1时，u′（t）=e t﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立．所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当a≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．…19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的方程，求出a，b，c．通过椭圆的定义求解三角形的周长，求解椭圆的离心率．（Ⅱ）联立，利用直线l与椭圆C有两个交点，求出﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理，求解AB坐标，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，推出k1+k2=0，即可证明|PM|=|PN|．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，a2=4，b2=2，所以c2=2．因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4．所以△PF1F2的周长为．易得椭圆的离心率．…（Ⅱ）证明：由得．因为直线l与椭圆C有两个交点，并注意到直线l不过点P，所以解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，．显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，则======．因为k1+k2=0，所以∠PMN=∠PNM．所以|PM|=|PN|．…20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）写出数列{a n}的前若干项，观察可得等比数列{b n}的公比最小为4，即可得到所求；（ⅱ）由（ⅰ）可知{b n}的通项公式，由等差数列的通项公式可得．证明k n为正整数即可；（Ⅱ）设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，求出c1，c2，求得公比q，只要证是数列{a n}的项，运用归纳法，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）观察数列{a n}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．因为数列{a n}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4．（ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128．（ⅱ）由（ⅰ）可知b1=2，公比q=4，所以．又，所以，即．再证k n为正整数．显然k1=1为正整数，n≥2时，，即，故为正整数．所以，所求通项公式为；（Ⅱ）证明：设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，且，，所以公比．因为等比数列{c n}各项为整数，所以q为整数．取k2=5m+2（m∈N*），则q=3m+1，故．只要证是数列{a n}的项，即证3k n﹣1=5•（3m+1）n﹣1．只要证（n∈N*）为正整数，显然k1=2为正整数．又n≥2时，，即，又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，故n≥2时，k n也都是正整数．所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，其公比q=3m+1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列{a n}所包含的以a2=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个．2020年9月12日。
北京市朝阳区2020届高三第一次模拟考试数学试题 含答案
（A） − 1 2
（B） − 1 3
（C） 1 2
（D） 1 3
A
E
B
D
C
（第 4 题图）
（5）已知抛物线 C ： y2 = 2 px( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l ，点 A 是抛物线 C 上一点， AD ⊥ l 于 D .
若 AF = 4 ， DAF = 60 ，则抛物线 C 的方程为
为了使中签率超过 0.9 ，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动．
（14）已知函数
f
(x) =
x cos x 2
．数列 {an } 满足 an
=
f
(n) +
f
(n +1)
（ n N* ），则数列{an } 的前100 项和
是________．
（15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 C : (x2 + y2 )3 = 4x2 y2 被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.
（A） y2 = 8x
（B） y2 = 4x
（C） y2 = 2x（D来自 y2 = x（6）现有甲、乙、丙、丁、戊 5 种在线教学软件，若某学校要从中随机选取 3 种作为教师“停课不停学”的
教学工具，则其中甲、乙、丙至多有 2 种被选取的概率为
（A） 2 3
（B） 2 5
（C） 3 5
（D） 9 10
与平面 A1EF 是否平行，并说明理由．
D A A1
F
（18）（本小题 14 分）
B
E
B1
某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地
（17）（本小题 14 分）
北京朝阳区2019-2020学年第二学期高三数学一模试卷
北京市朝阳区高三年级高考练习一数 学 2020.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈−−<Z ，则AB =（A ）{}3（B ）{}1,3（C ）{}1,2,3,5（D ）{}1,2,3,4,5（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（A ）3y x = （B ）21y x =−+ （C ）2log y x = （D ）||2x y = （3）在等比数列{}n a 中，11a =，48a =−，则{}n a 的前6项和为（A ）21− （B ） 11 （C ） 31 （D ）63（4）如图，在△ABC 中，点D ，E 满足2BC BD =，3CA CE =．若DE xAB y AC =+(,)x y ∈R ，则x y +=（A ）12−（B ）13−（C ） 12（D ） 13（5）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（A ）28y x = （B ） 24y x = （C ）22y x = （D ）2y x =(0,)+∞ED CB A（第4题图）（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 （A ）23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 910（7）在△ABC 中，BC AB =，︒=∠120ABC ．若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（A ）25 （B ）27（C（D（8）已知函数()=)(>0)f x ωx φω-的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧−+≤⎪=⎨−>⎪⎩若关于x 的不等式()2a f x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（A）(−∞（B ）3[0,]2（C ）[0,2] （D）（10）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是 （A ）线段1CA 的三等分点，且靠近点1A （B ）线段1CA 的中点（C ）线段1CA 的三等分点，且靠近点C（D ）线段1CA 的四等分点，且靠近点CPMN ABCDD 1C 1B 1A 1（第10题图）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年高三一模数学(理)北京朝阳区试题Word版带解析
2020年高三一模数学（理）北京朝阳区试题Word 版带解析【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 〔1〕i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A 、12 B 、12- C 、1i 2- D . 1i 2〔2〕集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，那么MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-〔3〕向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.假设//AB OC ，那么实数m 的值为A 、3-B 、17-C 、35- D 、35〔4〕在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，那么AOB ∠的大小为 A 、3π B 、2π C 、32π D 、65π 〔5〕在以下命题中，①〝2απ=〞是〝sin 1α=〞的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,假设(1)P p ξ≥=，那么1(10)2P p ξ-<<=-． 其中所有正确命题的序号是 A 、② B 、③ C 、②③ D 、①③〔6〕某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三 视图如下图，那么这个几何体的体积为A. 4B.C. D. 8〔7〕抛物线22y px =〔p ＞0〕的焦点为F ，点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，那么||||MN AB 的最大值为A.B. 1C. D. 2 〔8〕函数*()21,f x x x =+∈N .假设*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，那么称0(,)x n 为函数()f x 的一个〝生成点〞.函数()f x 的〝生成点〞共有正视图侧视图俯视图A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在答题卡上.〔9〕在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，那么3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，那么数列{}n b 的前5项和等于 .〔10〕在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边.角A 为锐角，且3sin b a B =,那么tan A = .〔11〕执行如下图的程序框图，输出的结果S= . 如图，圆O 是〔12〕ABC ∆的外接圆，C 作圆O 的切 过点线交BA 的线于点D .假设延长CD =，2AB AC ==，那么线段AD 的长是 ；圆O 的半径是 .〔13〕函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.假设在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，那么实数a 的取值范围是 .〔14〕在平面直角坐标系xOy 中，点A 是半圆2240x x y -+=〔2≤x ≤4〕上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，那么点C 的纵坐标的取值范围是 ． 【三】解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.〔15〕〔本小题总分值13分〕函数21()sin 22x f x x ωω=-+〔0ω>〕的最小正周期为π. 〔Ⅰ〕求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； 〔Ⅱ〕当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围. 〔16〕〔本小题总分值13分〕盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称〝从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回〞为一次试验〔设每次试验的结果互不影响〕．〔Ⅰ〕在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；〔Ⅱ〕在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；〔Ⅲ〕在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX ． 〔17〕〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥， 2PA AD ==．四边形DABCD 满足B CA D ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,P B P C 上的点，且PE PFPB PCλ==． 〔Ⅰ〕求证：EF 平面PAD ；〔Ⅱ〕当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； 〔Ⅲ〕是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？假设存在，试求出λ的值；假设不存在，请说明理由． 〔18〕〔本小题总分值13分〕函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤． 〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕假设函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围. 〔19〕〔本小题总分值14分〕中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点,点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N . 〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程； 〔Ⅱ〕求EM FN ⋅的取值范围. 〔20〕〔本小题总分值13分〕设1210(,,,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.〔Ⅰ〕假设(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； 〔Ⅱ〕求()S τ的最大值；〔Ⅲ〕求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案〔理工类〕2019.4【一】选择题：〔注：两空的填空，第一空3分，第二空2分〕 【三】解答题：〔15〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕1cos 1()22x f x x ωω-=-+1cos 2x x ωω=+ sin()6x ωπ=+. …………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=. ………………………………6分 所以()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+.所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z . ………………8分〔Ⅱ〕因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤. ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ……………………………13分〔16〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，那么 21()42P A ==． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分 〔Ⅱ〕设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由〔Ⅰ〕可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12． 所以041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=．答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分 〔Ⅲ〕由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24．21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯；21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯．所以随机变量X 的分布列为所以11()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分〔17〕〔本小题总分值14分〕 证明：〔Ⅰ〕由，PE PF PB PCλ==， 所以 EF BC ． 因为BCAD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分〔Ⅱ〕因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分 如下图，建立空间直角坐标系， 因为1AB BC ==，2PA AD ==， 所以()()0,0,01,0,0,A B ,()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．当12λ=时，F 为PC 中点， 所以11(,,1)22F ,所以11(,,1),(1,1,0)22BF CD=-=-．设异面直线BF与CD所成的角为θ，所以11|(,,1)(1,1,0)|cos|cos,|3BF CDθ-⋅-=〈〉==，所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为3．…………………………………9分〔Ⅲ〕设000(,,)F x y z，那么000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC=-=-．由PF PCλ=，所以000(,,2)(1,1,2)x y zλ-=-，所以,,22.xyzλλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以(,,22)AFλλλ=-．设平面AFD的一个法向量为1111(,,)x y z=n，因为()0,2,0AD =,所以110,0.AFADnn⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111(22)0,20.x y zyλλλ++-=⎧⎨=⎩令1zλ=，得1(22,0,)λλn=-．设平面PCD的一个法向量为2222(,,)x y z=n，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD=-=-,所以220,0.PDCDnn⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222220,0.y zx y-=⎧⎨-+=⎩令21x=，那么2(1,1,1)=n．假设平面AFD⊥平面PCD，那么120n n⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得23λ=．所以当23λ=时，平面AFD⊥平面PCD．…………………………………………14分〔18〕〔本小题总分值1 3分〕解：函数定义域为{}0x x>，且(2)(1)()2(2).a x a xf x x ax x--'=-++=…………2分①当0a≤，即02a≤时，令()0f x'<，得01x<<，函数()f x的单调递减区间为(0,1)，令()0f x'>，得1x>，函数()f x的单调递增区间为(1,)+∞.②当012a<<，即02a<<时，令()0f x'>，得02ax<<或1x>，函数()f x的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞.令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a . ③当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分 (Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在(]0,2上的最小值为(1)1f a =+， 由于22422221121()2(1)10e e e e e ea a f =--+=--+>， 要使()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得1a =-或2ln 2a <-. ②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，〔ⅰ〕当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e ef f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 〔ⅱ〕当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2ax ∈时，总有()0f x >.因为22e12a a a +-<<+， 所以22222222(e )e[e(2)](ln e22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<.所以在区间(0,)2a 内必有零点.又因为()f x 在(0,)2a 内单调递增， 从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 综上所述，02a <≤或2ln 2a <-或1a =-时， ()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. …………………………………………………………13分〔19〕〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,21314a b c c a a b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分〔Ⅱ〕显然点(2,0)A.〔1〕当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，易得(1,(1,)22E F-，(3,(3,22M N-，所以1EM FN⋅=. …………………………………………6分〔2〕当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为(1)y k x=-，显然0k=时，不符合题意.由22(1),440y k xx y=-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k+-+-=.设1122(,),(,)E x yF x y,那么22121222844,4141k kx x x xk k-+==++.直线AE，AF的方程分别为：1212(2),(2)22y yy x y xx x=-=---，令3x=，那么1212(3,),(3,)22y yM Nx x--.所以1111(3)(3,)2y xEM xx-=--，2222(3)(3,)2y xFN xx-=--. ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y xEM FN x xx x--⋅=--+⋅--121212(3)(3)(1)(2)(2)y yx xx x=--+--2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x xx x kx x--=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x xx x x x kx x x x-++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k kk k k kkk kk kk k--+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++22221653()(1)414k kk k+-=⋅++22216511164164kk k+==+++. ……………………………………………12分因为20k>，所以21644k+>，所以22165511644kk+<<+，即5(1,)4EM FN⋅∈.综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分 〔20〕〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑. ……3分〔Ⅱ〕数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤. 对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分〔Ⅲ〕由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分。
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2020年北京朝阳区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）．A. B. C. D.3.在等比数列中，，，则的前项和为（ ）．A. B. C.4.如图，在中，点，满足，．若，则（ ）．A.B.C.D.5.已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为（ ）．A.B.C.D.6.现有甲、乙、丙、丁、戊种在线教学软件，若某学校要从中随机选取种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙丙至多有种被选取的概率为（ ）．A.B.C.D.7.在中，，，若以，为焦点的双曲线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.8.已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为，则“”是“的图象关于直线对称”的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）．A.B.C.D.10.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）．A.线段的三等分点，且靠近点B.线段的中点C.线段的三等分点，且靠近点D.线段的四等分点，且靠近点二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.若复数，则 ．12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 ，它的体积为 ．正（主）视图侧（左）视图俯视图13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：（）摇号的初始中签率为；（）当中签率不超过时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加．为了使中签率超过，则至少需要邀请 位好友参与到“好友助力”活动．14.已知函数，数列满足，则数列的前项和是 ．15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）．给出下列三个结论：①曲线关于直线对称；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；③存在一个以原点为中心，边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界）．其中，正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分）（1）（2）16.在中，．求．若， ．求．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．（1）（2）（3）17.如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是正方形，点，分别是棱，的中点，，，．求证：．求二面角的余弦值．若点在棱上，且，判断平面与平面是否平行，并说明理由．（1）（2）（3）18.患者的检测结果人数阳性阴性非患者的检测结果人数阳性阴性某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了位患者和位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率．从该地区患者中随机选取人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以表示检测结果为阳性的患者人数，利用中所得概率，求的分布列和数学期望；假设该地区有万人，患病率为．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过？并说明理由．（1）（2）19.已知椭圆:，圆：(为坐标原点)．过点且斜率为的直线与圆交于点，与椭圆的另一个交点的横坐标为．求椭圆的方程和圆的方程．过圆上的动点作两条互相垂直的直线，，若直线的斜率为且与椭圆相切，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由．（1）（2）（3）20.已知函数．求曲线在点处的切线方程．判断函数的零点的个数，并说明理由．设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）（2）（3）21.设数列：，，，的各项均为正整数，且．若对任意，存在正整数，使得，则称数列具有性质．判断数列：，，，与数列：，，，是否具有性质．（只需写出结论）若数列具有性质，且，，，求的最小值．若集合，且（任意，，）．求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列．【答案】解析:，又，∴．故选：．解析:∵在等比数列中，，，∴，，，．故选．解析:因为，又，又，则，所以，，C 1.D 2.A 3.B 4.所以．故选．解析:设，连接，为等边三角形．∵，且．∴为等边三角形．故在中垂线上，又中垂线．得出：，，故．开口向右解析:由题意可知，从甲、乙、丙、丁、戊种软件中选出种，则其中至少有甲、乙、丙中的种，∴选取的种软件中甲、乙、丙至多有种被选的概率为．故选．解析:∵中，，，以，为焦点的双曲线经过点，B 5.D 6.C 7.∴，，由余弦定理，得，则，即，，又∵，，∴，∴双曲线的离心率为．故正确．解析:函数的图象上相邻两个最高点的距离为，则，即，解得，则．若的图象关于直线对称，则，，即，．故“”是“的图象关于直线对称”的充分而不必要条件．故选：．解析:令，则恒成立等价于恒成立，即，①若，当时，的对称轴为，∴在单调递减，在单调递增，∴，即，∵，A 8.C 9.∴．②若，则时，的对称轴为∴在单调递减，∴，∴，即．综上所述，的取值范围是，下面证明时，在恒成立，当时，的导函数为，∴当时，在恒成立，故在单调递增，∴恒成立，∴的取值范围是．故选．解析:由题意得：建立如图所示空间直角坐标系，设，故，，，，，则，，设，，，，∵，B 10.∴（表示到的距离），设的法向量为，，，，令，，则与的夹角余弦值为，故，则（当仅当时，此时的面积最小），故选．解析:复数，所以．解析:将三视图在长方体中补出如图：11. ;12.则三棱锥的最长棱为，，，∴，故答案为：，．13.解析:设需要邀请位好友助力，∴，∴．故最少邀请位好友参与到助力活动中．14.解析:因为，则，，所以，所以．又，，，，，，，（1）（2）所以，，，，则，，，所以，以为周期，每四个数之和为，则．故答案为：．解析:对于①，将点代入曲线的方程：，方程不变，则曲线关于直线对称，故①正确；对于②，令解得，，此时点到原点的距离最大，最大值为，故②正确；对于③，若要使曲线在以原点为中心的正方形区域内（含边界），则正方形的边长不小于，故③错误．综上所述，故答案为：①②．解析:因为，，所以，又因为，所以，即．所以．又因为，所以，所以．若选①，则在中，由余弦定理，得，解得或（舍）．①②15.（1）．（2）①，；②，．16.（1）（2）所以．若选②，则，由正弦定理，得，解得，所以．解析:因为四边形是正方形，所以．又因为平面平面，平面平面，所以平面．又因为平面，所以．由知，，，所以．又，，，所以．所以．如图，以为原点，建立空间直角坐标系．（1）证明见解析．（2）．（3）平面与平面不平行；证明见解析．17.（3）所以，，，，则有，，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，又，，由，得，令，则，．所以．设二面角的平面角为，则．由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为．平面与平面不平行．由知，平面的一个法向量为，，所以，所以与平面不平行．又因为平面，所以平面与平面不平行．解析:（1）．（2）的分布列为：的数学期望．（3）此人患该疾病的概率未超过，证明见解析．18.（1）（2）（3）（1）（2）由题意知，位患者中有位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为．由题意可知，其中，，的所有可能的取值为，，，．，，，．所以的分布列为：故的数学期望．此人患该疾病的概率未超过，由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为．若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为．所以此人患该疾病的概率未超过．解析:因为圆过点，所以圆的方程为：.因为过点且斜率为的直线方程为，又因为过点，所以.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为，所以，解得．所以椭圆的方程为.设圆上动点，所以.依题意，设直线：．（1）圆的方程为：，椭圆的方程为.（2）直线与椭圆相切．证明见解析．19.（1）（2）（3）由，得．因为直线与椭圆相切，所以．所以，所以.因为，所以.所以.设直线：，由，得．解析:因为，所以，，，所以曲线在点处的切线方程为．函数有且仅有两个零点，理由如下：的定义域为，因为，所以在和上均单调递增，因为，，所以在上有唯一零点，因为，，所以在上有唯一零点，综上，有且仅有两个零点．曲线在点处的切线方程为，即，（1）曲线在点处的切线方程为．（2）有且仅有两个零点，证明见解析．（3）证明见解析．20.（1）（2）（3）设曲线在点处的切线斜率为，则，，，即切点为，所以曲线在点处的切线方程为，即，因为是的一个零点，所以，所以，所以这两条切线重合，所以结论成立．解析:数列不具有性质；数列具有性质．由题可知，，，，，所以．若，因为且，所以．同理，，，，，．因为数列各项均为正整数，所以．所以数列前三项为，，．因为数列具有性质，只可能为，，，之一，而又因为，所以．同理，有，，，．此时数列为，，，，，，，，．但数列中不存在使得，所以该数列不具有性质．所以．当时，取：，，，，，，，，，．（构造数列不唯一）经验证，此数列具有性质．所以，的最小值为．反证法：假设结论不成立，即对任意（，，，）都有：若正整数，，，则．否则，当时，，，是一个具有性质了的数列；当时，，，是一个具有性质的数列；当时，，，是一个具有性质的数列．（ⅰ）由题意可知，这个集合中至少有一个集合的元素个数不少于个，不妨该此集合为，从中取出个数，记为，，，，且．令集合．（1）数列不具有性质；数列具有性质．（2）．（3）证明见解析．21.由假设，对任意，，，，，所以．（ⅱ）在，，，，中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，从中取出个数，记为，，，，且，令集合．由假设．对任意，，，，存在使得，所以对任意，，，，，由假设，所以，所以，所以．（ⅲ）在，，，中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，从中取出个数，记为，，，，且，令集合．由假设．对任意，，，，存在使得，所以对任意，，，，，同样，由假设可得，所以，所以．（ⅳ）类似地，在，，．中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，从中取出个数，记为，，，，且，则．（ⅴ）同样，在，中至少有一个集合包含．中的至少个元素，不妨设这个集合为，从中取出个数，记为，，，且，同理可得．（ⅵ）由假设可得，同上可知，，而又因为，所以，矛盾．所以假设不成立．所以原命题得证．。