第6章测量误差的基本理论K
第6章 测量误差的基本知识
研究测量误差的目的： 研究测量误差的目的：
分析误差产生的原因和性质；正确处理观测结果，求 分析误差产生的原因和性质；正确处理观测结果， 出最可靠值；评定测量结果的精度； 出最可靠值；评定测量结果的精度；通过研究误差发生的 规律，为选择合理的测量方法提供理论依据。 规律，为选择合理的测量方法提供理论依据。
′ + 3′′,−2′′,−4′′,+2′′,0′′,−4′′,+3′′,+2′′,−3′′,−1′ ′ ′ ′ ′ 0′′,−1′,−7′′,+2′′,+1′,+1′,−8′′,0′′,+3′′,−1′
试计算甲、乙两组各自的观测精度。 试计算甲、乙两组各自的观测精度。 解:
m =± 甲
(+3′′)2 +(−2′′)2 +(−4′′)2 +(+2′′)2 +(0′′)2 +(−4′′)2 +(+3′′)2 +(+2′′)2 +(−3′′)2 +(−1′′)2
10Biblioteka = ±2.7′′m =± 乙
(0′′)2 +(−1′′)2 +(−7′′)2 +(+2′′)2 +(+1′′)2 +(+1′′)2 +(−8′′)2 +(0′′)2 +(+3′′)2 +(−1′′)2
10
′ = ±3.6′
比较m 可知， 比较 甲和m乙可知，甲组的观测精度比乙组 高。 中误差所代表的是某一组观测值的精度。 中误差所代表的是某一组观测值的精度。 二、相对中误差 相对中误差是中误差的绝对值与相应观测 结果之比，并化为分子为1的分数式 的分数式， 结果之比，并化为分子为 的分数式，即
测量学第六章 测量误差及数据处理的基本
6．3 偶然误差的特性及其概率密度函数
偶然误差单个出现时不具有规律性，但在相同条件 下重复观测某一量时，所出现的大量的偶然误差却具一 定的规律性。 例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重 复观测了358次按下式算得三角形各次观测的误差(称三角 形闭合差)： ⊿i=a i +b i +c i -180
再考虑到其他因素的影响，可以认为视距精度约1/300。
(2)测量高差的精度分析 1 h= K l sin 2α 2 Mh=±K l cos2α m α / ρ” Mh= ±D m α / ρ” 当 D=100m Mh= ±3cm Mh极限= ±9cm
6.6 同精度直接观测平差
6.6.1 求最或是值 设对某量进行了n次同精度观测，其真值为X，观测值为 ll，l2，…，ln，相应的真误差为， Δl， Δ 2，…， Δ n则 Δ l= ll –X Δ 2= l2 -X
④在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平 均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即
图中所有矩形面积的总和等于1， 而每个长方条的面积等于 k/0.2n×0．2＝k/n， 即为偶然误差出现在该区间内的频 率。 若使观测次数n→∞，并将 区间d⊿分得无限小，此 时各组内的频率趋于稳定 而成为概率．直方图顶端 连续格变成一个光滑的对 称曲线
c
a
S
b
A hAP
hPB B
P
“多余观测”导致的差异事实上就是测量误差。测量误差 正是通过“多余观测”产生的差异反映出来的。
3．测量误差的来源 测量仪器 观测者 外界环境
观测条件：测量仪器、观测者和外界环境统称为观测条件。 一个观测工作的观测条件是决定观测精度的决定因素。 6．2 测量误差的种类
第6章 误差理论的基本知识题目
第六章误差理论的基本知识一、填空题1、观测条件与精度的关系是 B 。
A.观测条件好，观测误差小，观测精度小。
反之观测条件差，观测误差大，观测精度大B.观测条件好，观测误差小，观测精度高。
反之观测条件差，观测误差大，观测精度低C.观测条件差，观测误差大，观测精度差。
反之观测条件好，观测误差小，观测精度小2、防止系统误差影响应该 C 。
A.严格检验仪器工具；对观测值进行改正；观测中削弱或抵偿系统误差影响B.选用合格仪器工具；检验得到系统误差大小和函数关系；应用可行的预防措施等C.严格检验并选用合格仪器工具；对观测值进行改正；以正确观测方法削弱系统误差影响3、系统误差具有的特点为（ C ）。
A．偶然性 B．统计性 C．累积性 D．抵偿性4、水平角测量时视准轴不垂直于水平轴引起的误差属于（ B ）。
A．中误差 B．系统误差 C．偶然误差 D．相对误差5、下列误差中（ A ）为偶然误差Ａ.照准误差和估读误差Ｂ.横轴误差和指标差Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差6、经纬仪对中误差属（ A ）Ａ．偶然误差Ｂ．系统误差Ｃ．中误差7、尺长误差和温度误差属（ B ）Ａ．偶然误差Ｂ．系统误差Ｃ．中误差8、测量的算术平均值是 B 。
A. n次测量结果之和的平均值B. n次等精度测量结果之和的平均值C.是观测量的真值9、算术平均值中误差按 C 计算得到。
A. 白塞尔公式B. 真误差△。
C. 观测值中误差除以测量次数n的开方根10、角度测量读数时的估读误差属于（ C ）。
A．中误差 B．系统误差 C．偶然误差 D．相对误差11、边长测量往返测差值的绝对值与边长平均值的比值称为（ D ）。
A．系统误差 B．平均中误差 C．偶然误差 D．相对误差12、距离测量中的相对误差通过用（ B ）来计算。
A ．往返测距离的平均值B ．往返测距离之差的绝对值与平均值之比值C ．往返测距离的比值D ．往返测距离之差13、 衡量一组观测值的精度的指标是（ A ）Ａ.中误差 Ｂ.允许误差 Ｃ.算术平均值中误差14、对某一量进行观测后得到一组观测值，则该量的最或是值为这组观测值的（ C ）。
工程测量课件第6章测量误差基础知识
DAB DAC
SinCSin61 SinBSi8n9
0.875
DAB C
DASCCinoBsC 5S0Ci8no69s 1 24.244
DAB B
DACSSiinn2C BCosB 50SSin6in218C9o8s9
0.763
利用误差传播定律公式计算
m D A B 0 .82 7 0 .0 5 2 2 2 .2 4 2 4 2 0 4 2 0 .72 6 2 0 3 2 0 .0m 1
计算结果：mA＜mB，表明A组的观测精度比B组高。
二、 相对误差
中误差是一种绝对误差，当观测误差与观测值的大小有关时， 必须用相对误差这一精度指标来衡量。
相对误差：某量观测值中误差与相应观测值的比值。即
K m 1 L
L
m
注意：经纬仪测角，不能用相对误差来衡量测角精度。
三、 极限误差 由于偶然误差的分布服从于正态分布，故它们出现的概率为：
m 2 m 半 2 1 2 1 "7"
（6）上、下半测回角值之差的容许误差
取 △容=2m
2 .4 1 7 4 0"
6.4 等精度直接观测值的最可靠值及其中误差
一、观测值的最可靠值
在相同的观测条件下，对真值为X的某量进行n次观测，其观 测值分别为l1 , l2 ，… ln ，。由真误差计算公式可得：
果误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误 差称为系统误差。 （2）特点：具有积累性，对测量结果的影响大。
（3）处理方法：
1）计算改正；
2）采用一定的观测方法（对称观测）；
3）校正仪器，将系统误差限制在允许范围内。
2.偶然误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现 符号和大小均不确定，但从大量的误差总体来看，又符合一定 的统计规律，这类误差称为偶然误差。
第六章 测量误差的基本知识(习题课key)
第六章 测量误差的基本知识1、钢尺量距中，下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号。
(1)尺长不准确 (2)尺不水平 (3)估读不准确 (4)尺垂曲(5)尺端偏离直线方向2、水准测量中，下列几种情况使得水准尺读数带有误差，试分别判定误差的性质及符号。
(1)视准轴与水准轴不平行 (2)仪器下沉 (3)读数不正确 (4)水准尺下沉 (5)水准尺倾斜3、为鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角α=45°00′00″作12次观测，结果为：45°00′06″、44°59′55″、44°59′58″、45°00′04″45°00′03″、45°00′04″、45°00′00″、44°59′58″ 44°59′59″、44°59′59″、45°00′06″、45°00′03″ 试求观测值的中误差。
解：Δ=+6、-5、-2、+4、+3、+4、0、-2、-1、-1、+6、+3[ΔΔ]=36+25+4+16+9+16+0+4+1+1+36+9=157 m=±3.62″4、已知两段距离的长度及其中误差为300.465m ±4.5cm 、660.894m ±4.5cm ，试说明这两个长度的真误差是否相等？(不一定) 它们的最大限差是否相等？(相等) 它们的精度是否相等？(相等) 它们的相对精度是否相等？(不相等)5、已知两独立观测值L 1、L 2的中误差均为m ，设x=2L 1+5，y=L 1-2L 2，Z=L 1L 2，t=x+y ，试求x 、y 、z 、t 的中误差。
6、在已知高程的两水准点A 、B 间布设新的水准点P 1、P 2(如图)。
高差观测值及其中误差为mm m h mm m h P P AP 2.5246.17.3783.3211±-=±=，，若已知点的高程无误差，试求： (1)由A 点计算P 2点高程的中误差 (2)由B 点计算P 2点高程的中误差±6.38mm7、在高级水准点A 、B(其高程无误差)间布设水准路线(如图)，路线长度为S 1=2km ，S 2=6km ，S 3=4km ，设每公里高差观测值的中误差为±1mm ，试求：(1)将闭合差按距离分配之后的P 1、P 2点间高差中误差 (2)分配闭合差后P 1点的高程中误差mm m H H h h h H h h h H h f h h mm m H H h h h H h h h H h f h h mmm mmm mmm H h h h H f h BA B A h h BA B A h h h h B A h 3/54361636123625)(61616165)(61122ˆ3441641241)(21212121)(21126ˆ46212321ˆ321321111ˆ321321222321±=⨯+⨯+⨯±=----=-+++-=-=±=⨯+⨯+⨯±=---+-=-+++-=-=±±=±=-+++=8、在水准测量中，每站观测高差中误差均为±1cm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于±5cm ，问可以设多少站？(最多25站)9、在水准测量中，已知每100m 观测高差中误差为±3mm ，求下图中AB 、BC 、AC 间观测高差的中误差。
第六章 测量误差
求相应水平距离和中误差。
D s cos＝48.296 m
D D dD ds d s
f f f dZ dx1 dx2 ...... dxn x1 x2 xn
函数的真误差和独立观测值的真误差之 间的关系式。
f f f Z x1 x2 ...... xn x1 x2 xn
f fi xi
Z f1x1 f 2 x2 ...... f n xn
特点：符号、大小相同或按一定规律变化；
重复观测难以发现。 尽可能消除或限制到最小程度。
处理方法：
1、检校仪器；
2、加改正数； 3、 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消 或减弱。
2、偶然误差：
定义：在相同的观测条件下进行一系列观测， 如果误差出现的符号和数值大小都表现出偶 然性，即从单个误差来看，该误差的大小及 符号没有规律，但从大量误差的总体来看， 具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误 差或随机误差。
2
2
2
求任意函数中误差的方法和步骤：
1、列出独立观测值的函数式：
z f ( x1 , x2 ,... xn )
2、写出真误差关系式，对函数进行全微分：
f f f dz dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
3、写出中误差的关系式：
f f f 2 2 m xn 2 mx1 mx2 ... mz x x x 1 2 n
2 2 2 2
几种简单函数的中误差计算式
1、倍函数：
z kx
z x1 x2
mz kmx
mz mx 1 mx 2
测量-第六章 测量误差的基本知识 (1)
lim
n→ ∞
∆1 + ∆ 2 +L ∆ n n
= lim
[∆ ]
n
n→ ∞
=0
本章此处及以后“ 表示取括号中下标变量的代数和， 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和， 表示取括号中下标变量的代数和 即∑∆i=[∆]
பைடு நூலகம்
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
土木工程测量
第六章 测量误差的基本知识
1
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.1 观测及观测误差
对未知量进行测量的过程，称为观测。 对未知量进行测量的过程，称为观测。 观测 测量所获得的数值称为观测值。 测量所获得的数值称为观测值。 观测值 进行多次测量时， 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 观测值与其真实值(简称为真值) 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种 差异称为测量误差 观测误差。 差异称为测量误差 或 观测误差。 代表观测值， 代表真值， 用Li代表观测值，X代表真值，则有 Δi=Li-X (6-1) 式中Δ 就是观测误差， 真误差，简称误差 误差。 式中Δi就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
根据性质不同， 根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化。 1、系统误差——符号和大小保持不变或按一定规律变化。 系统误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施， ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系 统误差的影响。 统误差的影响。 ②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差 找出产生系统误差的原因和规律， 的改正。 的改正。 ③将系统误差限制在允许范围内。 将系统误差限制在允许范围内。 经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 不垂直于仪器竖轴 如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。
测量学第6章测量误差及数据处理的基本知识
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.5 P(||3m)=0.997=99.7
3.算术平均值的中误差式
函数式 全微分
x
l
n
1 n
l1
1 n
l2
1 n
ln
dx
1 n
dl1
1 n
dl2
1 n
dln
中误差式 mx
1 n2
m12
1 n2
m22
1 n2
mn2
由于等精度观测时，m1 m2 mn m ，代入上式：
(g)
由偶然误差的抵偿性知：
i j
lim xix j 0
n
n
(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：
2
K
f12
x12 K
f22
x22 K
f
2 n
xn2 K
即
mz2
f12mx21
f
2 2
mx22
安徽工业大学
土木工程系
23
2020年1月9日星期四
二 .几种常用函数的中误差
1.倍数函数的中误差 设有函数式 Z Kx
(x为观测值，K为x的系数)
第6章 误差理论的基本知识答案
第六章 误差理论的基本知识一、选择题1、B2、C3、C4、B5、A6、A7、B8、B9、C 10、C11、D 12、B 13、A 14、C 15、B 16、C 17、A 18、B 19、B 20、B 21、C 22、A 23、C 24、B 25、A 26、A 27、C二、填空题1、 系统误差 偶然误差2、 仪器本身误差 观测误差 外界自然条件影响3、 相对误差4、 读m 25、 中误差 容许误差 相对误差6、n17、 相同 8、[]nlnm9、 提高仪器的等级 10、相对误差 11、极限误差 12、±10″ 13、±0.2m 14、101-''±n 15、观测值的算术平均值 16、Nmm x =三、问答计算题1、可分为系统误差和偶然误差系统误差特点：误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化。
如果规律性能够被到，则系统误差对观测值的影响可以改正，或者用一定的测量方法加以抵消或者削弱。
偶然误差特点：误差出现的符号和数值大小都不相同，表面上看没有任何规律性，多次观测和平均可以抵消一些偶然误差。
2、产生测量误差的原因：仪器原因 人的原因 外界环境的影响偶然误差具有四个基本特性，即：（1） 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值（有界性） （2） 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多（密集性）（3） 绝对值相等的正负误差出现的机会相等（对称性）；（4） 在相同条件下同一量的等精度观测，其偶然偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增大而趋于零（抵偿性）。
3、测量中的误差是不可避免的，只要满足规定误差要求，工作中可以采取措施加以减弱或处理。
粗差的产生主要是由于工作中的粗心大意或观测方法不当造成的，错误是可以也是必须避免的，含有粗差的观测成果是不合格的，必须采取适当的方法和措施剔除粗差或重新进行观测。
4、这两种误差主要在含义上不同，另外系统误差具有累积性，对测量结果的影响很大，但这种影响具有一定的规律性，可以通过适当的途径确定其大小和符号，利用计算公式改正系统误差对观测值的影响，或采用适当的观测方法、提高测量仪器的精度加以消除或削弱。
误差理论的基本知识
负
正
个数 k
46 41 33 21 16 13 5 2 0
误
差 相对个数 k/n
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000
0″.0 ~ 0″.2 0″.2 ~ 0″.4 0″.4 ~ 0″.6 0″.6 ~ 0″.8 0″.8 ~ 1″.0 1″.0 ~ 1″.2 1″.2 ~ 1″.4 1″.4 ~ 1″.6 1″.6 ~以上
1
二.评定精度的指标
• 1.方差和中误差 由数理统计知，表示随机变量分布离散性的数字特征是方 2 差或标准差 2 D ( ) E[ E( )]
2 E( 2 )[ E( )] E( 2 )
测量上习惯用中误差表示
2 2 2 2 n M 2 D() 2 lim 1 lim n n n n
y
y=f(△)
－△
+△
1. σ与观测误差△及偶然误差概率密度f(△)的关系
D() f ()d
2 2 1 2 2 e d 2 2 2
§6-3
评定真误差精度的指标
• 一.精度的含义 一定的观测条件 确定的误差分布 条件好，误差分布密集，即离散度 2 0 小，误差曲线比较陡峭，顶峰较高----质量好---精度高，反之，则相反 •精度的含义：误 右图为不同的两组观测对应着的两条 差分布的密集与 离散程度。即离 不同的误差分布曲线。 散度 若1<2，则第一组观测，误差 分布密集，图形陡峭，精度较高； 凡能反映误差分布 第二组观测，误差分布离散，图形平 离散度大小的量， 都可作为衡量精度 缓，精度较低。 的指标。
测量学 习题和答案 第六章 测量误差的基本理论
第六章测量误差的基本理论1、在角度测量中采用正倒镜观测、水准测量中前后视距相等，这些规定都是为了消除什么误差？答：在角度测量中采用正倒镜观测、水准测量中前后视距相等，这些规定都是为了消除仪器误差以及外界环境的影响。
2、在水准测量中，有下列各种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质：①视准轴与水准管轴不平行；②仪器下沉；③读数不正确；④水准尺下沉。
答：①视准轴与水准管轴不平行；仪器误差。
②仪器下沉；外界条件的影响。
③读数不正确；人为误差。
④水准尺下沉。
外界条件的影响。
3、偶然误差和系统误差有什么不同？偶然误差具有哪些特性？答：系统误差是指：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差。
偶然误差是指：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性的误差。
偶然误差具有以下统计特性（1）有界性（2）单峰性（3）对称性（4）补偿性4、什么是中误差？为什么中误差能作为衡量精度的指标？答：中误差是指同一组中的每一个观测值都具有这个值的精度5、函数z=z1+z2，其中z1=x+2y，z2=2x-y，x和y相互独立，其m x=m y=m，求m z。
m m m m yx y x y x z z z y x z 1093222221=+±=+=-++=+=6、进行三角高程测量，按h=Dtan α计算高差，已知α=20°，m α=±1′，D=250m ，m D =±0.13m ，求高差中误差m h 。
m m D m m D h 094.0)20626560()20sec 250(13.0)20(tan )sec ()(tan 2222222222±=⨯⨯+⨯±=+±=ααα 7、用经纬仪观测某角共8个测回，结果如下：56°32′13″，56°32′21″，56°32′17″，56°32′14″，56°32′19″，56°32′23″，56°32′21″，56°32′18″，试求该角最或是值及其中误差。
第六章误差基本知识
最或然值（最可靠值）。
根据偶然误差的特性可取算术平均值作为
最或然值。
设对同一量等精度观测了n次，观测值为 l1,l2,l3,….ln，则该量的算术平均值
也可表示成： x l1 l2 ln l
n
n
n
l
li
i 1
[l] x
n
n
证明（x是最或然值）
中误差的绝对值与观测值之比，并将分子 化为1，分母取整数，称为相对中误差，
即：
Km 1 D Dm
相对中误差不能用于评定测角的 精度，因为角度误差与角度大小无关。
在一般距离丈量中，往返各丈量一次，
取往返丈量之差与往返丈量的距离平均值之
比，将分子化为1，分母取整数来评定距离
丈量的精度。称为相对误差。
经纬仪导线测量时，规范中所规定的相
对闭合差不能超过1/2000,它就是相对极限
误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则
是相对真误差。
与相对误差相对应，真误差、中误差、
极限误差等均称为极限误差又成为允许误差，或最大误差。
由偶然误差的第一个特性可知，在一定 的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限值，测量上把这个限值叫做极 限误差。
在观测次数不多的情况下可认为大于3倍的 中误差是不可能出现的，所以通常以3倍中误差 作为偶然误差的极限误差，即
允 3m
在实际工作中，有的测量规 范规定以2倍中误差作为极限误 差，
即 允 2m
超过极限误差的误差被认为 是粗差，应舍去重测。
22
第三节 算术平均值及改正数
一、算术平均值
研究误差的目的除了评定精度外，还有求其
第一节 测量误差的概念
第6章 测量误差
x
带有随机误差的一系列等精度测量,算术平均值 可作为测量的真值。
_
算数平均值： x
n
x1 x 2 n
n
xn
n
i 1
xi n
i xi A0
n
i 1 _
i
i 1
xi n A0 （ 0 抵偿性）
A0
i 1
xi
n
x
检测技术
第六章 测量误差分析
x
检测技术
第六章 测量误差分析
（3）测量的极限误差
随机误差落在规定误差范围内的概率趋近于1的极 端误差称为极限误差。
极限误差的确定
随 机 误 差 落 在 - 1 之 间 概 率 为 1
f(δ)
0.135% 0 99.73% 0.135%
2
2 2
e
2
d 1
的 概 率 为 P
5 10 i
M
i 1
i8
i
0 .2 3 0 .2 3 0 .4 6 C
画出残余误差与测量次数关系图。
检测技术
第六章 测量误差分析
周期性系统误差判定（阿卑-赫梅特准则）
n 1
设
A
i i 1
i 1
若A
n 1
2
测量列中含周期性系统误差。
B、测电动势EX k置于2端。 调 RP使检流计为0
E x IR Pab ES RK R Pab
图6.6电位差计原理图
检测技术
第六章 测量误差分析
测量误差的基本知识
6.1.2 测量误差的分类
按测量误差对观测结果影响性质的不同， 按测量误差对观测结果影响性质的不同，可将测 量误差分为系统误差和偶然误差两大类： 量误差分为系统误差和偶然误差两大类：
1.系统误差 1.系统误差
定义：在相同的观测条件下， 定义：在相同的观测条件下，对某量进行的一系 列观测中，数值大小和正负符号固定不变， 列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定 规律变化的误差，称为系统误差。 规律变化的误差，称为系统误差。
相对个数，又称 误差出现的频率 正误差 k
46 41 34 22 18 14 7 3 0 正负误差个数 总和
93 83 66 44 34 26 13 6 0
负误差 k/n
0.129 0.115 0.088 0.060 0.044 0.033 0.016 0.008 0
k/n
0.126 0.112 0.093 0.060 0.050 0.039 0.019 0.008 0
《土建工程测量》 土建工程测量》
偶然误差特性
设某个量的真值为X，对此量进行 观测 得到的观测值为l 观测， 设某个量的真值为 ，对此量进行n观测，得到的观测值为 1， l2，…，ln，每次观测发生的偶然误差（即真差）为∆1，∆2，…， 每次观测发生的偶然误差（即真差） ， ， ∆n，则
∆i = L − X i
y
偶然误差呈 正态分布
P(|△|)<m △ －△
+△ △
-m
+m
《土建工程测量》 土建工程测量》
乙两组， 【例2】 ：甲、乙两组，各自在同精度条件下对某一三角形的 】 三个内角观测10 10次 如下： 三个内角观测10次，算得三角形闭合差Δi 如下： 甲组： 甲组：+30〃,-20〃,-40〃,+20〃, 0〃, -40〃,+30〃,+20〃,30〃,-10〃 乙组： 乙组：+10〃,-10〃,-60〃,+20〃,+20〃,+30〃,-50〃, 0〃, +30〃,-10〃 试问哪一组观测值精度高？ 试问哪一组观测值精度高？ 试解：计算甲乙两组的平均误差进行比较： 试解：计算甲乙两组的平均误差进行比较：
第6章 测量误差基本知识
水准仪：
经纬仪：
⑵采用对称观测的方法 大小相等、符号相反的系统误差，相互抵消 水准测量：前、后视距大致相等 角度测量：盘左、盘右取平均值
⑶测定系统误差的大小，对观测值加以改正 钢尺量距：尺长改正、温度改正、倾斜改正
3）偶然误差 偶然误差：在一定观测条件下的一系列观测值中，其误差大小、 正负号不定，但符合一定统计规律的测量误差。 也称随机误差 偶然误差反映观测结果的精密度。 精密度：在一定观测条件下，一组观测值与其数学期望值接近 或离散的程度，也称内部符合精度。 如：对中误差、瞄准误差、估读误差等
设Z为独立变量 x1，x2， … ，xn的函数，即
Z=f x1，x2， xn
2
2
mZ =
f
x1
m12
f x2
m22
f xn
2
mn2
例1：
在1:500的地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差 md=±0.2mm。求A、B两点间的实地水平距离D及其中误差mD。
h值越小，曲线两侧坡度越缓， 小误差出现的概率小，精度越低
2.中误差
与精度指数成反比
m n
式中：[△△]——偶然误差平方和 n——偶然误差个数
3.极限误差 由偶然误差的特性“误差绝对值不会超过一定限值”（有界性）
这个限值就是极限误差。
P m 0.683 68.3%
31.7%
P 2m 0.954 95.4% 4.6%
K
D往 D返
D
=
=
1
=1
1
2
D往 +D返
D平均
D平均 D
M
5.相对中误差
观测值中误差与相应观测值之比。
第六章 测量误差的基本知识
四、不同精度观测的最或然值
观测值 中误差 权 l1、 l2、 ……、 l n m1、m2、…… 、m n P1、 P2、……、 P n 。
(称为加权平均值）
µ
[ p]
[ Pvv] n −1
ˆ p l + p 2 l 2 + L + p n l n = [ pl ] L= 11 p1 + p 2 + L p n [ p]
二、单位权和单位权中误差
例：已知观测值 L 1 , L 2 , L 3 , 其中误差分别为 m 1 = ± 1 ′′, m 2 = ± 2 ′′, m 3 = ± 3 ′′, 则他们的权为 c0 c0 c0 1 1 当 c 0 = 1 ′′ 时， p 1 = 2 = 1 , p 1 = 2 = , p 1 = 2 = 4 9 m1 m2 m3
例2：用30米的钢尺丈量某两点间的水平距离L，恰好 为12个整尺段，每尺段 li 的中误差均相等，为 ml=±5mm,求该段水平距离及其中误差 ml、相对中误 差ml /L。
解法一：依题意，有
L = l 1 + l 2 + L + l 12 = 360 . 000 m mL = ml 12 = ± 17 . 3 mm mL 1 = L 21000 解法二： L = 12 × l = 360 . 000 m
对于直接平差，还有： ˆ [L ] − [L ] = 0 ˆ [v] = n L − [ L] = n n
四、观测值的中误差
问题的提出：
m=±
[∆∆]
n
式中△ i ＝L i —X ，( i = 1、2、…、n )。 由于真值一般难以知道那么真误差也就 难以求得，因此在实际工作中往往用观 测值的改正数v 来推求观测值的中误差。
中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第六章 误差椭圆
由于观测条件的存在， 由于观测条件的存在，观测值总是带有观测误 差，因而根据观测值通过平差计算所获得的待定点 的平面直角坐标， 的平面直角坐标，并不是真正的坐标值 ~P , ~P ， x y ˆ ˆ 而是待定点的真坐标值的估值 x P , y P 。 在前面几章讲述的几种平差方法中， 在前面几章讲述的几种平差方法中，对坐标估值的 精度估算已有论述，在此基础上， 精度估算已有论述，在此基础上，本节对测量中常 用的评定控制点点位的精度方法进一步讨论。 用的评定控制点点位的精度方法进一步讨论。
设有两组不同的观测值向量 L 、 2 ，分别代入式 1 L （6-1-3）可得 ）
ˆ xP 1 = xA +α L 1+α 0 ˆ yP1 = yA + β L 1+ β 0
ˆ xP 2 = xA +α L 2+α 0
和 y = y +β L +β ˆP2 A 2 0
对于同一控制网而言，如果观测量相同（ 对于同一控制网而言，如果观测量相同（如同样 的角度、边长等），采取同样的平差方法， ），采取同样的平差方法 的角度、边长等），采取同样的平差方法，则式中 β α β 是不变量，但观测值向量L 的 α、 、 0、 0是不变量，但观测值向量 1、L2不会相 ˆ ˆ ˆ y ˆ 可见，随着观测值L的不 等，因此 xP 1 ≠ xP 2 、P1 ≠ yP 2 。可见，随着观测值 的不 yP 也将取得不同的数值。但P点的真坐标 ~P 同，ˆP和 ˆ 也将取得不同的数值。 点的真坐标 x x 和 ~P 是唯一的，由式 、 知 y 是唯一的，由式(6-1-1)、(6-1-2)知，就会出现 不同的 ∆ x 和∆ y 值以及 ∆ P ，所以说点位真误差随观 测值不同而变化，即点位真误差具有随机性。 测值不同而变化，即点位真误差具有随机性。
第六章 汽车测试技术
• 式中 •
----包括异常测量值在内的所有测量值的算术平均值， N为测量值的个数。
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6. 2 异常数据的取舍
• б-—包括异常测量值在内的所有测量值的标准误差。 • 由于等精度测量次数不可能无限多，因此，工程上实际应用的来伊达 准则表示为
• 式中б—包括异常测量值在内的所有测量值的标准误差估计值，且有
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第6章 测量误差分析与试验数据处理
• 值，称为静态试验数据。动态测试的被测量是随时间或空间而变化的， 测试仪器的输入值及试验结果(数据或信号)也是随时间而变化的，称 为动态试验数据。对于不同类型的试验数据需要采用不同的数据分析 方法，才能确定反映事物之间的内在关系。 • 本章将介绍测量误差的一些基本概念、常用误差处理方法，静态试 验数据处理与结果表达方法，动态试验数据的时域、幅值域和频域的 分析与处理方法。
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6. 1 测量误差概述
• 随机误差大，精但系统误差大，准确度差;图6一1 ( c)随机误差大， 系统误差也大，所以精密度差，准确也差;图6-1(d)随机误差小，系统 误差也小，所以，精密度高，准确度也高.
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6. 2 异常数据的取舍
•
在一个测量列中，可能出现个别过大或过小的测定值，这种包含巨 大误差的测定值，通常称为异常数据。异常数据往往是由过失误差 (指由于测量工作中的误差、疏忽大意等原因引起的误差)引起的，也 可能是由巨大的随机误差引起的。异常数据的取舍必须十分慎重，不 要不加分析就轻易将该数据直接从测量列中删除，应该有允分的依据 判定异常数据是由过失误差引起的，则应舍弃。对于原因不明的异常 数据，只能用统计学的准则决定取舍。 • 用统计学的方法决定异常数据的取舍，其基本思想是:数值超过某 一界限的测定值(或残差)，出现的概率很小，是个小概率事件。如果 在一个不大的测量列中居然出现了这种测定值，则有理由认为，这是 由于过失误差引起的异常数据，因而予以舍弃。对异常数据取舍的准 则有:来伊达准则(3б准则)、肖维纳(Chauvenet )准则和格拉布斯 (Gruhhs)准则。这三种方法的区别在于所考虑的样本数量和置信水 平的不同。
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处理原则：找出规律，加以改正。 ◆ 测定系统误差的大小，对观测值加以改正。 如： 钢尺量距中进行尺长、温度、倾斜改正等。 ◆ 校正仪器，将系统误差限制在容许范围内。 ◆ 对称观测，水准测量中，使前后视距离相等 (中间法)；角度观测时，采用盘左盘右取平均值。
3
179 59 59
-1
3
180 00 06
4
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+3
4
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5
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6
179 59 57
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6
179 59 53
7ห้องสมุดไป่ตู้
180 00 02
+2
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+1
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-2
9
180 00 03
上述三个因素即仪器误差、观测者感官的限制、外界条件 的影响总称为观测条件。
观测条件相同的同类观测称为等精度观测；观测条件不相 同的同类观测称为不等精度观测。在观测值的处理上有所不同。
6.1.3 测量误差的分类
根据观测误差的性质可分为：系统误差、偶然误差 1.系统误差（又称累积误差）
仪器制造或校正不完善、观测者生理习性、测量时测 量时外界条件、仪器测定时不一致引起的。
在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出 以下特性 ：
误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化； 误差在正负号保持不变； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。 例如 水准尺端部磨损；水准尺倾斜； 水准尺弯曲；水准尺的沉降; 目标倾斜……
消除方法 观测值偏离真值的程度称为观测值的准确度。系
2.偶然误差（又称补偿误差）
在相同的观测条件下，有一系列的不可控因素（湿度、温 度、空气振动等）的扰动。对某个固定量作一系列的观测，如 果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾 向，即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。
设相同观测条件下，对未知量观测了n 次，观测值为
L1,L2 ,…,Ln , 未知量的真值为X，则观测值的真误差为△： Δ= Li － X（i=1,2,3,…,n）
第6章 测量误差的基本理论
6.1
概述
• 6.1.1 测量误差的概念
在测量工作中，无论多么认真仔细，每次观测同一 未知量（一段距离、一个角度等）其观测值之间都不会完 全一致，而这些观测值与理论值也不相等。
在测量观测结果中不可避免的存在着误差。
分析误差的的目的：分析误差的规律，处理误差结果，提高
测量精度。
1、有界性：偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； 2、大小性：绝对值小的比绝对值大的出现的可能性大； 3、对称性：误差出现正负的可能性相同； 4、抵偿性：偶然误差的算术平均值随观测次数增加而趋于零
lim 1 2 n lim [] 0
n
n
n n
1 2 n
特性一说明误差出现的范围，即误差的有限性；特性二说明误
0.498
-⊿负误差
V
V/n
29
0. 134
20
0. 092
18
0. 083
16
0. 073
10
0. 046
8
0. 037
6
0. 028
2
0. 009
0
0
0
0
109
0.502
小误差出现的百分比较大误差出现的百分比为大；绝对值相等的正负误差出现的 百分比相仿；绝对值最大的误差不超过某一个定值在其它测量结果中也显示出上 述同样的规律。可以总结出偶然误差具有如下的规律性：
y f
1
e
2 2 2
2
式中e为自然对数的底 （e＝２．７１８３）；为观 测值的标准差（将在下节讨论），
其平方称为方差．
图6—2
表6.2 衡量精度的指标
第一组
第二组
次数
观测值
真误差△ 次数
观测值
° ′″
″
° ′″
1
180 00 00
0
1
180 00 01
2
179 59 58
-2
2
179 59 58
式中[ ]表示求和(抵偿性)
在相同的观测条件下，独立地观测了217个三角形的全部内角， 每个三角形内角之和应等于它的真值１８０˚，由于观测值存在误 差而往往不相等。三角形内角和的真误差应为：
∆i=(L1+L2+L3)i -180˚ (i=1、２、……n)
出现在某区间内误差的个数称为频数，用V表示，频数 除以误差的总个数n得V／n，称误差在该区间的频率。统 计结果列于表6－１，此表称为频率分布表。
6.1.2测量误差产生的原因
1.仪器误差 测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定 限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。
2.观测者感官的限制 由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能 力有一定的局限,所以在仪器的安置、使用中会产生误差，如整 平误差、照准误差、读数误差等。
3.外界条件的影响 测量工作都是在一定的外界环境条件下进行 的，如温度、风力、大气折光等因素，这些因素的差异和变化 都会直接对观测结果产生影响，必然给观测结果带来误差。
表6-1
误差区间 d⊿（3″）
0～3 3～6 6～9 9～12 12～15 15～18 18～21 21～24 24～27 27以上
+⊿正误差
V频数
V/n频率
30
0.138
21
0. 097
15
0. 069
14
0. 065
12
0. 055
8
0. 037
5
0. 023
2
0. 009
1
0. 005
0
0
108
10
180 00 04
+4
10
180 00 01
如果继续观测更多的三角形，即增加误差的个数，当 n 时， 各误差出现的频率也就趋近于一个完全确定的值，这个数值就误差 出现在各区间的概率。如图6—2所示图6-1中各长方条顶边所形成 的折线将成为一条光滑的连续 曲线，如图6-2所示。这条曲线 称为误差分布曲线，也称正态 分布曲线。曲线上任一点的纵 坐标y均为横坐标∆的函数，其 函数形式为：
差呈单峰性，或称小误差的密集性；特性三说明误差方向的规律， 称为对称性；特性四是由特性三导出的，它说明该列误差的抵偿 性。
为了充分反映误差分布的情况，除去上述用表格的形式(称误差 分布表)，还可以用直观的图形来表示。
在图6—1中以横坐标表示误差的大小，纵坐标表示各区间误差 出现的相对个数除以区间的间隔值(本例是3″)。这样，每一误差 区间上方的长方形面积，就代表误差出现在该区间的相对个数。