武汉市武珞路中学数学全等三角形中考真题汇编[解析版]

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(完整版)2019年湖北省武汉市中考复习精选试题全等三角形(word版有答案解析).doc

全等三角形一．选择题（共11 小题）1．（ 2019?安顺）如图，点B、 F、C、 E 在一条直线上，AB ∥ED， AC∥ FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ DEF 的是（）A ．∠ A＝∠ DB ．AC＝ DF C． AB＝ ED D． BF＝ EC2．（ 2019?大邑县模拟）如图，已知AB＝ DC ，需添加下列（）条件后，就一定能判定△ABC≌△ DCB ．A ．AO＝ BOB ．∠ ACB＝∠ DBC C． AC＝ DB D． BO＝ CO 3．（ 2019?邹城市一模）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1， D1E1E2B2， A2D2C2D2，D 2E3E4B3， A3B3C3D3，，按如图所示的方式放置，其中点B1在 y 轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3，，在 x 轴上已知正方形A1，B1，C1， D1，的边长为1，∠ OB1C1 ＝ 30°， B1C1∥ B2C2∥ B3C3，，则正方形A n B n?n D n的边长是（）A．B．C．D．4．（ 2019?阜阳模拟）如图，在四边形ABDC 中，∠ B＝∠ D＝ 90°，∠ BAC 与∠ ACD 的平分线交于点O，且点O 在线段BD 上， BD ＝4，则点O 到边AC 的距离是（）A ．1B．1.5C．2D．35．（ 2019 春 ?临安区期中）如图，△ACB≌△ A′CB′，∠ ACB＝70°，∠ ACB ′＝ 100°，则∠ BCA′的度数为（）A ．30°B ．35° 6．（ 2019?晋江市一模）如图，若△C． 40°MNP ≌△ MEQ ，则点D． 50°Q 应是图中的（）A ．点7．（2018 A B．点 B秋 ?鼓楼区期末）如图，已知△ABC 的C．点 C3 条边和D．点 D3 个角，则能判断和△ABC 全等的是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C．只有乙D．只有丙8．（ 2019?张家界）如图，在△则点 D 到 AB 的距离等于（ABC中，∠）C＝90°， AC＝ 8，DC ＝AD ，BD 平分∠ABC，A ．4B ．3 C． 2 D． 1为△ ABC 角平分线的交点，9．（ 2019?宜春二模）如图，在△ABC 中， AB＝ 8，AC ＝6， O若△ ABO 的面积为 20，则△ ACO 的面积为（）A ．12B ．15 C． 16 D． 1810．（ 2019?常州二模）如图，△AOB≌△ ADC ，点 B 和点 C 是对应顶点，∠O＝∠ D ＝90°，记∠ OAD＝α，∠ ABO＝β，当 BC∥ OA 时，α与β之间的数量关系为（）A ．α＝βB ．α＝ 2βC．α+β＝90°D．α+β＝180°11．（ 2019?长沙模拟）如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ ODC ≌△ OEC 的理由是（）A ．SSSB ．SAS C． AAS D． HL二．填空题（共7 小题）12．（ 2019?齐齐哈尔）如图，已知在△ABC 和△ DEF 中，∠B＝∠ E，BF ＝CE，点B、F、C、 E 在同一条直线上，若使△ABC≌△ DEF ，则还需添加的一个条件是（只填一个即可）．13．（ 2019?邵阳）如图，已知 AD ＝AE ，请你添加一个条件，使得△ADC ≌△ AEB，你添加的条件是．（不添加任何字母和辅助线）14．（ 2019?襄阳）如图，已知∠ ABC＝∠ DCB，添加下列条件中的一个：① ∠ A＝∠D，②AC ＝ DB，③ AB＝ DC，其中不能确定△ABC≌△ DCB 的是（只填序号）．15．（ 2019?东城区二模）如图所示的网格是正方形网格，点A， B， C， D 均落在格点上，则∠ BAC+∠ ACD ＝°．16．（ 2019?平谷区一模）如图，在△ABC 中，射线 AD 交 BC 于点 D ，BE⊥ AD 于 E， CF ⊥AD 于 F ，请补充一个条件，使△BED ≌△ CFD ，你补充的条件是（填出一个即可）．17．（ 2019?福建三模）如图，点 E 在∠ BOA 的平分线上， EC ⊥OB，垂足为C，点 F 在 OA 上，若∠ AFE ＝ 30°， EC＝ 3，则 EF ＝．18．（ 2019 春 ?雁塔区校级月考）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有个．三．解答题（共 8 小题）19．（ 2019?铜仁市）如图， AB ＝ AC ， AB ⊥ AC ，AD ⊥AE ，且∠ ABD ＝∠ ACE ．求证： BD ＝ CE ．20．（ 2019?长安区三模）如图 1，△ ABC 与△ DBC 全等，且∠ ACB ＝∠ DBC ＝ 90°，AB ＝6，AC ＝ 4．如图 2，将△ DBC 沿射线 BC 方向平移得到△ D 1B 1C 1，连接 AC 1， BD 1．（ 1）求证： BD 1＝ AC 1 且 BD 1∥ AC 1；（ 2）△ DBC 沿射线 BC 方向平移的距离等于时，点 A 与点 D 1 之间的距离最小．21．（ 2019?安顺）（ 1）如图 ① ，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ，点 E 是 BC 的中点，若 AE 是∠ BAD 的平分线，试判断 AB ，AD ， DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长 AE 交 DC 的延长线于点 F ，易证△ AEB ≌△ FEC 得到AB ＝ FC ，从而把 AB ，AD ， DC 转化在一个三角形中即可判断．AB， AD ， DC 之间的等量关系；（ 2）问题探究：如图②，在四边形点E 是 BC 的中点，若 AE 是∠ BAF ABCD 中， AB∥ CD ， AF 与 DC 的延长线交于点F，的平分线，试探究AB， AF ， CF 之间的等量关系，并证明你的结论．22．（ 2019?黄石）如图，在△ABC 中，∠ BAC＝90°， E 为边 BC 上的点，且 AB＝AE ，D为线段 BE 的中点，过点 E 作 EF⊥ AE ，过点 A 作 AF∥ BC，且 AF、 EF 相交于点 F．（1）求证：∠ C＝∠ BAD ；（2）求证： AC＝ EF．23．（ 2019?兰州）如图， AB＝ DE ， BF ＝ EC，∠ B＝∠ E，求证： AC∥ DF ．24．（ 2019?无锡）如图，在△ABC 中， AB＝ AC，点 D 、E 分别在 AB、 AC 上， BD ＝ CE，BE、 CD 相交于点 O．（1）求证：△ DBC ≌△ ECB；（2）求证： OB＝ OC．25．（ 2019 春 ?盐湖区校级月考）已知，如图∠C＝∠ DBE ＝∠ DFB ＝90°， AB＝DE ， CE＝EB（1）求证：△ ABC≌△ EDB；（2）若 EB ＝3cm，求 AB 的长．26．（ 2019?镇江）如图，四边形 ABCD 中， AD∥ BC，点 E、F 分别在 AD、BC 上， AE＝ CF，过点 A、 C 分别作 EF 的垂线，垂足为 G、 H．（1）求证：△ AGE≌△ CHF ；（2）连接 AC，线段 GH 与 AC 是否互相平分？请说明理由．全等三角形参考答案与试题解析一．选择题（共11 小题）1．（ 2019?安顺）如图，点B、 F、C、 E 在一条直线上，一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ DEF 的是（AB ∥ED， AC∥ FD ，那么添加下列）A ．∠ A＝∠ DB ．AC＝ DF C． AB＝ ED D． BF＝ EC【解答】解：选项 A、添加∠ A＝∠ D 不能判定△ ABC ≌△ DEF ，故本选项正确；选项 B、添加 AC＝DF 可用 AAS 进行判定，故本选项错误；选项 C、添加 AB＝DE 可用 AAS 进行判定，故本选项错误；选项 D、添加 BF＝ EC 可得出 BC＝ EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项错误．故选： A．2．（ 2019?大邑县模拟）如图，已知AB＝ DC ，需添加下列（）条件后，就一定能判定△ABC≌△ DCB ．A ．AO＝ BOB ．∠ ACB＝∠ DBC C． AC＝ DB D． BO＝ CO【解答】解： A、添加 AO＝ BO 不能判定△ ABC ≌△ DCB ，故此选项不合题意；B、添加∠ ACB＝∠ DBC 不能判定△ ABC≌△ DCB ，故此选项不合题意；C、添加 AC＝ DB 可利用 SSS判定△ ABC≌△ DCB ，故此选项符合题意；D 、添加 BO＝CO 不能判定△ ABC≌△ DCB ，故此选项不合题意；故选： C．3．（ 2019?邹城市一模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD ，DEEB，ADCD ，1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2D 2E3E4B3， A3B3C3D3，，按如图所示的方式放置，其中点B1在 y 轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3，，在x 轴上已知正方形A1，B1，C1， D1，的边长为1，∠ OB1C1 ＝ 30°， B1C1∥ B2C2∥ B3C3，，则正方形A n B n?n D n的边长是（）A．B．C．D．【解答】解：∵正方形A1B1C1D 1的边长为 1，∠ OB1C1＝ 30°， B1C1∥ B2C2∥B3C3，∴D1E1＝ B2E2， D2E3＝B3E4，∠ D1C1E1＝∠ C2B2E2＝∠ C3B3E4＝ 30°，∴ D1E1＝ C1D 1sin30°＝，则 B2C2＝，同理可得： B3 C3＝＝，故正方形 A n B n?n D n的边长是：（） n﹣ 1，故选： D．4．（ 2019?阜阳模拟）如图，在四边形ABDC 中，∠ B＝∠ D＝ 90°，∠ BAC 与∠ ACD 的平分线交于点 O，且点 O 在线段 BD 上， BD ＝4，则点 O 到边 AC 的距离是（）A ．1B．1.5C．2D．3【解答】解：过 O 作 OE⊥ AC 于 E，∵∠ B＝∠ D＝ 90°，∠ BAC 与∠ ACD 的平分线交于点O，∴OB＝ OE＝OD ，∵ BD＝ 4，∴OB＝ OE＝OD ＝ 2，∴点 O 到边 AC 的距离是2，故选： C．5．（ 2019 春 ?临安区期中）如图，△ACB≌△ A′CB′，∠ ACB＝70°，∠ ACB ′＝ 100°，则∠ BCA′的度数为（）A ．30°B ．35°C． 40°D． 50°【解答】解：∵△ ACB≌△ A′ CB′，∴∠ A′ CB′＝∠ ACB＝ 70°，∵∠ ACB′＝ 100°，∴∠ BCB′＝∠ ACB′﹣ ACB＝ 30°，∴∠ BCA′＝∠ A′ CB′﹣∠ BCB ′＝ 40°，故选： C．6．（ 2019?晋江市一模）如图，若△MNP ≌△ MEQ ，则点 Q 应是图中的（）A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D【解答】解：∵△ MNP ≌△ MEQ ，∴点 Q 应是图中的 D 点，如图，故选： D．7．（2018 秋 ?鼓楼区期末）如图，已知△ ABC 的 3 条边和 3 个角，则能判断和△ABC 全等的是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C．只有乙D．只有丙【解答】解：如图：在△ ABC 和△ DEF 中，，∴△ ABC≌△ EFD （SAS）；在△ ABC 和△ MNK 中，，∴△ ABC≌△ MNK （ AAS）．∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是：乙或丙．故选： B．8．（ 2019?张家界）如图，在△则点 D 到 AB 的距离等于（ABC中，∠）C＝90°， AC＝ 8，DC ＝AD ，BD 平分∠ABC，A ．4B ．3 C． 2 D． 1【解答】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，∵ AC＝ 8，DC ＝AD ，∴CD＝8×＝2，∵∠ C＝ 90°， BD 平分∠ ABC，∴DE＝ CD＝2，即点 D 到 AB 的距离为2．故选： C．9．（ 2019?宜春二模）如图，在△ABC 中， AB＝ 8，AC ＝6， O 为△ ABC 角平分线的交点，若△ ABO 的面积为 20，则△ ACO 的面积为（）A ．12B ．15C． 16D． 18【解答】解：∵点O 是三条角平分线的交点，∴点 O 到 AB， AC 的距离相等，∴△ AOB、△ AOC 面积的比＝ AB： AC＝ 8： 6＝ 4： 3．∵△ ABO 的面积为 20，∴△ ACO 的面积为15．故选： B．10．（ 2019?常州二模）如图，△AOB≌△ ADC ，点 B 和点 C 是对应顶点，∠O＝∠ D ＝90°，记∠ OAD＝α，∠ ABO＝β，当 BC∥ OA 时，α与β之间的数量关系为（）A ．α＝βB ．α＝ 2βC．α+β＝90°D．α+β＝180°【解答】解：∵△ AOB≌△ ADC ，∴AB＝ AC，∠ BAO＝∠ CAD，∴∠ BAC＝∠ OAD＝α，在△ ABC 中，∠ ABC＝（180°﹣α），∵BC∥ OA，∴∠ OBC＝ 180°﹣∠ O＝ 180°﹣ 90°＝ 90°，∴ β+（180°﹣α）＝90°，整理得，α＝ 2β．故选： B．11．（ 2019?长沙模拟）如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠ AOB，则△ ODC ≌△ OEC 的理由是（）A ．SSSB ．SAS C． AAS D． HL【解答】解：由作图可知，OE＝ OD ， DC＝ EC，在△ ODC 与△ OEC 中，∴△ ODC ≌△ OEC（ SSS），故选： A．二．填空题（共7 小题）12．（ 2019?齐齐哈尔）如图，已知在△ABC 和△ DEF 中，∠ B＝∠ E，BF ＝CE，点 B、F 、C、E 在同一条直线上，若使△ ABC≌△ DEF ，则还需添加的一个条件是 AB＝ DE （只填一个即可）．【解答】解：添加AB＝ DE；∵BF＝CE，∴ BC＝ EF，在△ ABC 和△ DEF 中，，∴△ ABC≌△ DEF （SAS）；故答案为： AB＝ DE ．13．（ 2019?邵阳）如图，已知AD ＝AE ，请你添加一个条件，使得△ADC ≌△ AEB，你添加的条件是AB＝ AC 或∠ ADC ＝∠ AEB 或∠ ABE ＝∠ ACD．（不添加任何字母和辅助线）【解答】解：∵∠ A＝∠ A， AD＝AE ，∴可以添加AB＝ AC，此时满足SAS；添加条件∠ ADC＝∠ AEB，此时满足ASA；添加条件∠ ABE＝∠ ACD ，此时满足AAS，故答案为AB＝ AC 或∠ ADC ＝∠ AEB 或∠ ABE＝∠ ACD ；14．（ 2019?襄阳）如图，已知∠ ABC＝∠ DCB，添加下列条件中的一个：① ∠ A＝∠D，②AC＝ DB，③ AB＝ DC，其中不能确定△ ABC≌△ DCB 的是②（只填序号）．【解答】解：∵已知∠ ABC＝∠ DCB，且 BC＝ CB ∴若添加① ∠ A＝∠ D，则可由 AAS 判定△ ABC≌△ DCB；若添加② AC＝ DB ，则属于边边角的顺序，不能判定△若添加③ AB＝DC ，则属于边角边的顺序，可以判定△故答案为：② ．15．（ 2019?东城区二模）如图所示的网格是正方形网格，点则∠ BAC+∠ ACD ＝90°．ABC≌△ DCB ；ABC≌△DCB ．A， B，C，D均落在格点上，【解答】解：在△ DCE 和△ ABD 中，∵，∴△ DCE≌△ ABD（ SAS），∴∠ CDE＝∠ DAB，∵∠ CDE+∠ ADC＝∠ ADC+∠ DAB ＝90°，∴∠ AFD ＝ 90°，∴∠ BAC+∠ ACD ＝90°，故答案为： 90．16．（ 2019?平谷区一模）如图，在△ABC 中，射线AD 交BC 于点 D ，BE⊥ AD 于 E，CF⊥AD 于 F，请补充一个条件，使△BED≌△ CFD ，你补充的条件是答案不唯一，如BD＝ DC（填出一个即可）．【解答】解：可以添加条件：BD＝ DC ．理由：∵ BD ＝ CD ；又∵ BE⊥ AD，CF ⊥AD，∴∠ E＝∠ CFD ＝ 90°；∴在△ BED 和△ CFD 中，，∴△ BED≌△ CFD （ AAS）．故答案是：答案不唯一，如BD＝ DC．17．（ 2019?福建三模）如图，点E 在∠ BOA 的平分线上， EC ⊥OB，垂足为 C，点 F 在 OA 上，若∠ AFE＝ 30°， EC＝ 3，则 EF＝ 6 ．【解答】解：如图，作EG⊥AO 于点 G，∵点 E 在∠ BOA 的平分线上，EC⊥ OB， EC＝ 3，∴EG＝ EC＝ 3，∵∠ AFE ＝30°，∴EF＝ 2EG＝ 2× 3＝ 6，故答案为： 6．18．（ 2019 春 ?雁塔区校级月考）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有 4 个．【解答】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．故答案为： 4三．解答题（共8 小题）19．（ 2019?铜仁市）如图，AB＝ AC， AB⊥ AC，AD ⊥AE ，且∠ ABD ＝∠ ACE ．求证： BD ＝ CE．【解答】证明：∵ AB⊥ AC， AD ⊥ AE，∴∠ BAE+∠ CAE＝ 90°，∠ BAE+∠BAD ＝ 90°，∴∠ CAE＝∠ BAD ．又 AB＝ AC，∠ ABD ＝∠ ACE，∴△ ABD≌△ ACE（ASA）．∴ BD＝ CE．20．（ 2019?长安区三模）如图 1，△ ABC 与△ DBC 全等，且∠ ACB＝∠ DBC ＝ 90°，AB＝ 6，AC＝ 4．如图 2，将△ DBC 沿射线 BC 方向平移得到△D1B1C1，连接 AC1， BD 1．（1）求证： BD 1＝ AC1且 BD1∥ AC1；（ 2）△ DBC 沿射线 BC 方向平移的距离等于2时，点A与点D1之间的距离最小．【解答】（ 1）证明：由图 1 可知，△ ACB≌△ DBC ，∴AB＝ CD ，AC ＝BD，∠ ABC＝∠ DCB ，∴AB∥ CD ，由平移的性质可知，CD ＝ C1D， CD ∥ C1D ，∴AB＝ C1D ， AB∥ C1D，∴四边形 BD1C1A 为平行四边形，∴BD1＝ AC1且 BD1∥AC1；（ 2）解：当点 C 于点 B 重合时，点 A 与点 D1之间的距离最小，∴△ DBC 沿射线 BC 方向平移的距离＝BC＝＝2 ，故答案为： 2 ．21．（ 2019?安顺）（ 1）如图①，在四边形ABCD 中， AB ∥CD，点 E 是 BC 的中点，若 AE 是∠ BAD 的平分线，试判断 AB ，AD， DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交 DC 的延长线于点 F ，易证△ AEB≌△ FEC 得到AB＝ FC ，从而把AB，AD ， DC 转化在一个三角形中即可判断．AB， AD ， DC 之间的等量关系AD ＝ AB+DC ；（ 2）问题探究：如图② ，在四边形ABCD 中， AB∥ CD ， AF 与 DC 的延长线交于点F，点 E 是BC 的中点，若AE 是∠ BAF 的平分线，试探究AB， AF ， CF 之间的等量关系，并证明你的结论．【解答】解：（ 1） AD＝ AB+DC理由如下：∵AE 是∠ BAD 的平分线∴∠ DAE＝∠ BAE∵AB∥ CD∴∠ F＝∠ BAE∴∠ DAF ＝∠ F∴AD＝ DF ，∵点 E是 BC的中点∴CE＝ BE，且∠ F ＝∠ BAE，∠ AEB＝∠ CEF∴△ CEF≌△ BEA（ AAS）∴AB＝ CF∴AD＝ CD+CF ＝CD +AB（2）AB＝ AF+CF理由如下：如图② ，延长AE交DF的延长线于点G∵E 是 BC 的中点，∴ CE＝ BE，∵AB∥ DC ，∴∠ BAE＝∠ G．且 BE＝ CE，∠ AEB＝∠ GEC∴△ AEB≌△ GEC （AAS）∴AB＝ GC∵AE 是∠ BAF 的平分线∴∠ BAG＝∠ FAG，∵∠ BAG∠ G，∴∠ FAG＝∠ G，∴FA＝FG，∵CG＝ CF+FG ，∴AB＝ AF+CF22．（ 2019?黄石）如图，在△ABC 中，∠ BAC＝90°， E 为边 BC 上的点，且 AB＝AE ，D为线段 BE 的中点，过点 E 作 EF⊥ AE ，过点 A 作 AF∥ BC，且 AF、 EF 相交于点 F．（1）求证：∠ C＝∠ BAD ；（2）求证： AC＝ EF．【解答】证明：（ 1）∵ AB＝ AE， D 为线段 BE 的中点，∴△ ABD? △ ADE∴ ∠ADB=∠ADE，∴ AD⊥ BC∴∠ C+∠ DAC＝ 90°，∵∠ BAC＝ 90°∴∠ BAD+∠ DAC＝ 90°∴∠ C＝∠ BAD（2）∵ AF∥BC∴∠ FAE＝∠ AEB∵AB＝ AE∴∠ B＝∠ AEB∴∠ B＝∠ FAE，且∠ AEF ＝∠ BAC＝ 90°， AB＝ AE∴△ ABC≌△ EAF （ ASA）∴AC＝ EF23．（ 2019?兰州）如图， AB＝ DE ， BF ＝ EC，∠ B＝∠ E，求证： AC∥ DF ．【解答】证明：∵ BF＝ EC，∴BF+FC＝ EC+FC，∴BC＝ EF，在△ ABC 和△ DEF 中，，∴△ ABC≌△ DEF （SAS），∴∠ ACB＝∠ DFE ，∴AC∥ DF ．24．（ 2019?无锡）如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，点 D 、E 分别在AB、 AC 上， BD ＝ CE，BE、 CD 相交于点O．（1）求证：△ DBC ≌△ ECB；（2）求证： OB＝ OC．【解答】（ 1）证明：∵ AB＝ AC，∴∠ ECB＝∠ DBC，在△ DBC 与△ ECB 中，∴△ DBC≌△ ECB（ SAS）；（ 2）证明：由（ 1）知△ DBC ≌△ ECB，∴∠ DCB＝∠ EBC，∴OB＝ OC．25．（ 2019 春 ?盐湖区校级月考）已知，如图∠C＝∠ DBE ＝∠ DFB ＝90°， AB＝DE ， CE＝EB（1）求证：△ ABC≌△ EDB；（2）若 EB ＝3cm，求 AB 的长．【解答】证明：（ 1）∵∠ C＝∠ DBE ＝∠ DFB ＝ 90°，∴∠ ABC+∠ DEB ＝ 90°，∠ D +∠DEB ＝ 90°，∴∠ ABC＝∠ D，在△ ABC 与△ EDB 中，∴△ ABC≌△ EDB （AAS）；（2）∵△ ABC≌△ EDB ，∴ CB＝ AC＝ 3cm，∵ CE＝ EB＝ 3cm，∴ BC＝ 6cm，∴ AB＝cm．26．（ 2019?镇江）如图，四边形 ABCD 中， AD∥ BC，点 E、F 分别在AD、BC 上， AE＝ CF，过点 A、 C 分别作 EF 的垂线，垂足为G、 H．（1）求证：△ AGE≌△ CHF ；（2）连接 AC，线段 GH 与 AC 是否互相平分？请说明理由．【解答】（ 1）证明：∵ AG⊥EF ，CH ⊥ EF ，∴∠ G＝∠ H ＝ 90°， AG∥ CH ，∵AD∥ BC，∴∠ DEF ＝∠ BFE ，∵∠ AEG＝∠ DEF ，∠ CFH ＝∠ BFE ，∴∠ AEG＝∠ CFH ，在△ AGE 和△ CHF 中，，∴△ AGE≌△ CHF （ AAS）；（2）解：线段 GH 与 AC 互相平分，理由如下：连接 AH 、CG，如图所示：由（ 1）得：△ AGE≌△ CHF ，∴ AG＝ CH，∵ AG∥ CH，∴四边形 AHCG 是平行四边形，∴线段 GH 与 AC 互相平分．。

武汉市武珞路中学数学分式解答题中考真题汇编[解析版]

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．【答案】（1）x=4；（2）x=．【解析】通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：，化简可得：，整理可得：2x=15﹣8，解得：x=，这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：，化简可得：，解得：x=，这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，所以方程的解为x ==4；（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd ﹣ab ，分母为（a +b ）﹣（c +d ），所以方程的解为x =．2．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：(1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x+的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算；（2）将2316x x y x++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】解：（1）当x ＞0时，112x x x x +≥⋅= 当x ＜0时，11x x x x ⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭∵12x x --≥= ∴12x x ⎛⎫---≤- ⎪⎝⎭∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x+的最大值为-2；（2）由2316163x x y x x x++==++ ∵x ＞0，∴163311y x x =++≥= 当16x x= 时，最小值为11；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD∴x ：9=4：S △AOD∴：S △AOD =36x∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．3．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.例如：像33x x -+，23x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，23x x-，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式.例如：将分式2253x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法一：解：由分母为3x +，可设225(3)()x x x x a b +-=+++则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++对于任意x ，上述等式均成立，∴3235a a b +=⎧⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴225(3)(1)2(3)(1)22133333x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法二：解：2225332(3)(3)2(3)32213333333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. （1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；（2）已知整数x 使分式225112x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值. 【答案】（1）961x x ---；（2）x=-1或-3或11或-15. 【解析】【分析】（1）先变形2731x x x ---=26691x x x x --+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x 的值．【详解】解：（1）2731x x x ---=26691x x x x --+-- =(1)6(1)91x x x x ----- =961x x ---；（2）225112x x x +-+= 2242132x x x x +++-+ =2(2)(2)132x x x x +++-+ =13212x x +-+，∵x是整数，225112x xx+-+也是整数，∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，∴x=-1或-3或11或-15.【点睛】本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．4．阅读下面的解题过程：已知21 13 xx=+，求241xx+的值。

湖北省武汉市武昌区武珞路中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

2023—2024学年度九年级上学期期中测试数学试卷（考试时间为120分钟，满分为120分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑1．将化成一般式后，，，的值分别是（）A ．1，2，B ．1，，C ．1，，5D ．1，2，52．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．把抛物线向右平移2个单位，再向下平移3`个单位，得到抛物线为（）A ．B ．C ．D ．4．将二次函数化成的形式应为（）A ．B ．C ．D ．5．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（）A ．B ．C ．3D ．56．如图，在中，，，在同一平面内，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，若，则的度数是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，有一张长12cm ，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成()25x x +=20ax bx c ++=a b c 5-2-5-2-2y x =-()223y x =-++()223y x =--+()223y x =-+-()223y x =---262y x x =+-()2y x h k =-+()237y x =++()2311y x =-+()2311y x =+-()237y x =+-2410x x +-=m n m n mn ++5-3-ABC △AB AC =100BAC ∠=︒ABC △A 11AB C △1BB 11BB AC ∥1CAC ∠10︒20︒30︒40︒一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（）270cm cm x 1294970x ⨯-⨯=2129470x ⨯-=()()12970x x --=()()1229270x x --=ABCD 105BCD ∠=︒OB OC OD BD 2BOC COD ∠=∠CBD ∠20︒25︒30︒35︒OBC △()0,0O ()2,2B -()2,2C OBC △ABCD O 90︒A ()6,2()2,6-()6,2-()6,2--ABCD 12AB =10AD =60A ∠=︒E AD 6AE =F AB EF E 60︒EN BN CN BN CN +A ．B ．D ．14C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卡指定的位置。

2024年湖北省武汉市武珞路中学中考五调数学试题(解析版)

九年级数学第五次调研测试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 2024的相反数是（）A. 2024 B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．根据相反数的定义即可求解．【详解】解：2024的相反数是,故选：B ．2. 下列四幅图案代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，即可判断答案．【详解】A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；B 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选D ．3. 下列事件中，属于必然事件的是（）A. 掷一枚硬币，正面朝上． B. 抛出的篮球会下落．C. 任意的三条线段可以组成三角形 D. 同位角相等【答案】B【解析】2024-1202412024-2024-【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分别分析得出答案．【详解】A 、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；B 、抛出的篮球会下落是必然事件，故此选项正确；C 、任意三条线段可以组成一个三角形是随机事件，故此选项错误；D 、同位角相等，属于随机事件，故此选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4. 如图，该几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：由题意知，其左视图如下：故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的左视图．解题的关键在于明确从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线．5. 计算的结果是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】()32a -6a -6a 5a -5a【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据幂的乘方和积的乘方，即可解答，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方法则．【详解】，故选：A ．6. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（）A. 70°B. 65°C. 60°D. 50°【答案】A 【解析】【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴，∵，∴，∴；故选A ．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．7. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（）()()()333222361a a a a ⨯-=-⨯=-=-120DEF ∠=︒DE 50ABD ∠=︒ACB =∠50ABD EDC ∠=∠=︒DE AB ∥50ABD EDC ∠=∠=︒120DEF EDC DCE ∠=∠+∠=︒70DCE ∠=︒70ACB DCE ∠∠︒==A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A ，B ，C ，D ，画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A ）和《大学》（即C ）的可能结果有2种可能，∴P （抽取的两本恰好是《论语》和《大学》），故选：B ．【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．8. 在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围的长度（）对应关系如下表：尺码/英寸 (22)23242526腰围/cm…小华的腰围是，那么他所穿裤子的尺码是（）A. 28英寸 B. 29英寸C. 30英寸D. 31英寸【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．依题意可设腰围的长度为与裤子的尺寸之间存在一种换算关系为，然后代入进行求解即可．【详解】解：由题意可设腰围的长度为与裤子的尺寸之间存在一种换算关系为，，1816131221126==cm 601±62.51±651±67.51±701±80.5cm y x y kx b =+y x y kx b =+22602465k b k b +=⎧∴⎨+=⎩解得：，，当腰围为，即时，则有，．故选：C ．9. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.【详解】解：，点是这段弧所在圆的圆心，，，，，，.，，.设，则，在中，，，525k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩552y x ∴=+∴80.5cm 80.5y =5580.52x +=30.230x ∴=≈ AC O B AC OB AC ⊥D AC =150m BD = AC 300m π200m π150mπmAD OB AC ⊥ O AD CD ∴=OD OD = OA OC =ADO CDO ∴ ≌AOD COD ∠=∠∴AC = AD CD =AD CD ∴==OA OC OB x ===150DO x =-Rt ADO △()(222150x x =-+300m x ∴=，，.故选：B .【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数.10. 若一次函数和反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D 【解析】【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据题意画出函数图象，即可得出结论．【详解】解：根据题意画出函数图象，如图所示：由图得，当一次函数的图象在反比例函数的图象的下方时，则有：或，当一次函数的图象在反比例函数的图象的上方时，则有：或，当时，不等式的解集即为的解集为，当时，不等式的解集即为的解集为，∴不等式的解集为或，sin AD AOD AO ∴∠===60AOD ∴=︒∠120AOC ∴∠=︒ 120300200m 180180n R AC πππ⨯⨯∴===y kx b =+()0my m x=<()13,A y -()21,B y 20kx bx m +->1x >3x <-01x <<3x <-30x -<<1x >30x -<<01x <<y kx b =+()0my m x=<30x -<<1x >y kx b =+()0my m x=<3x <-01x <<0x >20kx bx m +->mkx b x +>01x <<0x <20kx bx m +->mkx b x+<30x -<<20kx bx m +->01x <<30x -<<故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 数用科学记数法表示是______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中为整数，据此判断即可．【详解】解：．故答案为：．12. 写出一个图象只经过第二、四象限的函数表达式______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，要知道，对于反比例函数，①，反比例函数图象在一、三象限；②，反比例函数图象在第二、四象限内．位于二、四象限的反比例函数比例系数，据此写出一个函数解析式即可．【详解】解：∵反比例函数位于二、四象限，，解析式为：．故答案为：．13. 计算的结果是______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，然后把分子合并同类项，再约分化简即可．186********.8610⨯10n a ⨯1||10a ≤<a n 10n a ⨯1||10,a n ≤<8186000000=1.8610⨯81.8610⨯1y x=-(0)ky k x=≠0k >0k <k 0<0k ∴<1y x =-1y x=-2231a b a b a b -+--2a b +2b a+【详解】解：，故答案为：．14. 如图所示是消防员救援时攀爬云梯的场景．已知，，，，点A 关于点C 的仰角为，则楼的高度为______．（结果保留整数．参考数据：，，）【答案】11【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．把所给线段整理到直角三角形中是解决本题的关键．延长交于点后，可得直角三角形和矩形，那么．易得，那么根据的正弦值可得的长，加上的长即为的高度．详解】解：∵，∴．∵，∴．∴，四边形是矩形．∵；【2231a b a b a b-+--()()()()3a b a ba b a b a b a b -+=++-+-()()22a b a b a b -=+-2a b=+2a b+，⊥⊥AE BE BC BE CD BE ∥10.4m AC = 1.26m BC =70︒AE m sin 700.94︒≈cos 700.34︒≈tan 70 2.75︒≈CD AE F ACF BCFE ∠=FE BC ACF ∠=70︒70︒AF F E AE ,⊥⊥AE BE BC BE 90∠=∠=︒CBE AEB CD BE ∥90CFE ∠=︒90AFC ∠=︒BCFE 1.26m BC =∴．由题意得：．，，．答：楼的高度约为．故答案为：11．15. 关于二次函数的四个结论：①对任意实数m ，都有与对应的函数值相等；②无论a 取何值，抛物线必过两个定点；③若抛物线与x 轴交于不同两点A 、B ，且，则或；④若，对应y 的整数值有4个，则或其中正确的结论是______（填写序号）【答案】①②④【解析】【分析】①先求二次函数对称轴，根据对称轴来判断与对应的两个点是关于直线对称，从而得出判断；②根据二次函数直接判断结论是错误的；③设，且，根据根与系数的关求出两根之和两根之积，从而表示长，再根据已知条件分两种情况分别讨论，最终得出或；④根据已知条件分两种情况分别讨论，当时，若随的增大而增大，得，再根据的整数值有4个，得；当1.26(m)==FE BC 70ACD ∠=︒10.4m =Q AC sin 10.40.949.776(m)∴=⋅∠≈⨯=AF AC ACD 9.776 1.2611.03611(m)∴=+=+=≈AE AF EF AE 11m ()2450y ax ax a =--≠12x m =+22x m=-6AB ≤0a <1a ≥34x ≤≤413a -<≤-413a ≤<12x m =+22x m =-2x =245y ax ax =--(,0),(,0)A n B p n p >AB 1a ≥a<00a >34,≤≤x y x 355a y --≤≤-y 413a ≤<a<0时，若随的增大而减小，方法和第一种情况类似，求出，从而得出最终结论．【详解】解：①二次函数对称轴为直线，，∴与关于直线对称，∴对任意实数，都有与对应的函数值相等，∴①正确；②∵对称轴为直线，与轴的交点为，∴抛物线也过点，∴无论取何值，抛物线一定过两个定点和，∴②正确；③∵若抛物线与轴交于不同两点，设，且，∵是方程的两个不同的根，∴，∴，∵，，当时，解不等式得，当时，解不等式得，综上所述：或，∵若抛物线与轴交于不同两点，∴，∴或，综上所述：或，34,≤≤x y x 413a -<≤-422ax a-=-=2222++-=Qm m2m +2m -2x =m 12x m =+22x m =-2x =y (0,5)-(4,5)-a (0,5)-(4,5)-x ,A B (,0),(,0)A n B p n p >,n p 2450ax ax --=54,+==-n p np aAB n p =-==6AB ≤201636a∴+≤0a >1a ≥a<01a ≤1a ≥a<0x 216200a a +>0a >54a <-1a ≥54a <-④∵当时，若随的增大而增大，当时，，当时，，，∵的整数值有4个，，，当时，若随的增大而减小，，∵的整数值有4个，，，综上所述：或，∴④正确．故答案为：①②④．【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、一元一次不等式组的整数解，掌握这几个知识点的综合应用，其中分情况讨论及二次函数的性质的应用是解题关键．16. 如图，为等腰底边上高，，，分别是线段上的动点，且，则取最小值时，其最小值为_______．【答案】的0a >34,≤≤x y x 3x =912535y a a a =--=--4x =161655y a a =--=-355a y ∴--≤≤-y 9358a ∴-<--≤-413a ∴≤<a<034,≤≤x y x 535y a ∴-≤≤--y 2351a ∴-≤--<-413a ∴-<≤-413a -<≤-413a ≤<AD ABC 6AB AC ==4BC =,E F ,AC AD AF CE =BE CF+【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理．作且使得，连接、、，先证，可以得到，再根据图形，可知的最小值就是线段的长，由勾股定理即可求得的长．【详解】解：作且使得，连接、、，∵，点为的中点，∴，，，，，，，又，在和中，，，，∵当点、、三点共线时，最小，此时最小值为,．AG AB ⊥4==AG CB BF FG BG ≌V V AGF CBE GF BE =BE CF +BG BG AG AB ⊥4==AG CB BF FG BG AB AC =D BC ,AD BC BAD CAD ⊥∠=∠90BAD ABD ∴∠+∠=︒BA AG ⊥ 90BAG ∴∠=︒90BAD GAF ∴∠+∠=︒GAF ABD ∴∠=∠GAF BCE ∴∠=∠,==Q AF CE AG CB AGF CBE △AF CE GAF BCEAG CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)∴≌AGF CBE V V GF BE ∴=FB FC = BE CF GF BF ∴+=+B F G GF BF +BG6,4AB AG CB === AG AB⊥BG ∴==故答案为：三、解答题（共8题，共72分）17. 求不等式组的负整数解；【答案】【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，进而可得不等式组的负整数解．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴该不等式组解集为，∴该不等式组的负整数解是．18. 如图，已知E 、F 分别是的边．上的点，且．（1）求证：；（2）若，且，直接判断四边形的形状是______________．【答案】（1）见详解（2）菱形【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握①平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相，对角线互相平分，②菱形的判定定理：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．（1）由平行四边形的性质可得，且，再由，可得，即可利用定理判定；（2）首先证明四边形是平行四边形，再根据，可得，由可得，再根据等角的余角相等可得，进而得到，由一组邻边相等的平行四边形是菱形证出结论．的342752x x x x ≤+⎧⎨+>-⎩2,1--342752x x x x ≤+⎧⎨+>-⎩①②2x ≥-3x <23x -≤<2,1--ABCD BC AD 、CE AF =ABE CDF △≌△BE AE =90BAC ∠=︒AECF AB C =,D AD BC =B D ∠=∠CE AF =BE DF =SAS ABE CDF △≌△AECF AE BE =ABE BAE ∠=∠90BAC ∠=︒90,90∠+∠=︒∠+∠=︒ABE ACE BAE EAC ACE EAC ∠=∠AE EC =【小问1详解】证明：连接，∵四边形平行四边形，，，，∵在和中，，∴．【小问2详解】四边形是菱形．证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∵，∴．∴，∴，∴平行四边形是菱形．∴四边形是菱形．19. 在“4·23世界读书日”，某学校开展“让阅读成为习惯”的读书活动，为了解学生的参与程度，从全校随机抽取200名学生进行问卷调查，获取了每人平均每天阅读时间t （单位：分钟），将收集的数据分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，绘制成如下不完整统计图表．是,,AE CF AC ABCD ,,∴==∠=∠AB CD AD BC B D CE AF = BE DF ∴=ABE CDF AB CD B D EB FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE CDF △≌△AECF ABCD AD BC ∥CE AF =AECF AE BE =ABE BAE ∠=∠90BAC ∠=︒90,90∠+∠=︒∠+∠=︒ABE ACE BAE EAC ACE EAC ∠=∠AE CE =AECF AECF平均每天阅读时间统计表等级人数（）5（）10（）a（）80（）b 请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）______，______；（2）这组数据的中位数所在的等级是______；（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”，若该校学生以2000人计算，估计可评为“阅读达人”的学生人数．【答案】（1）（2）等级（3）总人数为2000人时，可评为“阅读达人”的学生人数为人【解析】【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图样本估计总体的思想，中位数，熟练掌握统计图的意义，中位数的计算是解题的关键．（1）根据频数=样本容量×所占百分数，合理选择计算即可．（2）根据中位数的定义计算即可．（3）利用样本估计总体的思想计算即可．【小问1详解】解：级人数的占比为，，A 20t <B 2030t ≤<C 3040t ≤<D 4050t ≤<E 50t ≥=a b =40,65a b ==D 650C 20%20%20040a ∴=⨯=∴级人数为人，；【小问2详解】根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在等级，第101个数据在等级，它们的平均数也在等级，故答案为：等级．【小问3详解】∵统计表中平均每天阅读时间不低于50分钟的学生人数为65人，∴级的比例为：，当总人数为2000人时，可评为“阅读达人”的学生人数为：人．20. 如图，是的外接圆，是的直径，F 是延长线上一点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．【小问1详解】证明：连接，∵是的直径，∴，E 200510804065----=40,65a b ∴==D D D D E 6532.5%200=32.5%2000650⨯=O ABC AD O AD CD CF ，DCF CAD ∠=∠CF O 10AD =3cos 5B =FA 907OC OC FC ⊥3cos 5B =::3:4:5CD AC AD =OC AD O =90ACD ∠︒∴，又∵，∴，又∵．∴，即，∴是的切线；【小问2详解】解：∵，∴，在中，，，，，，，，设，则，又，即，解得(取正值)，．90ADC CAD ∠+∠=︒OC OD =ADC OCD ∠=∠DCF CAD ∠=∠90DCF OCD ∠+∠=︒OC FC ⊥FC O 3,cos 5B ADC B ∠=∠=3cos 5ADC ∠=Rt ACD 3cos ,105∠===Q CD ADC AD AD3cos 1065CD AD ADC ∴=⋅∠=⨯=8AC ∴==34CD AC ∴=,FCD FAC F F ∠=∠∠=∠ FCD FAC ∴△∽△34∴===CD FC FD AC FA FC 3FD x =4,310==+FC x AF x 2FC FD FA =⋅ 2(4)3(310)x x x =+307x =9037FD x ∴==21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A ，B ，C 三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（1）如图1，点D 在上，且为格点：①将线段绕点A 逆时针旋转，得到线段；②在上取点F ，使（2）如图2，点P 在上，过点P 作交于点M ；（3）如图3，点P 是下方网格内一点，将线段绕点C 顺时针旋转得到线段；【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解【解析】【分析】（1）①取格点，连接即可；②取中点，连接交于点，点即为所求；（2）延长交格点与点，连接，取的中点，连接，交于点，连接交于点连接交于点，连接即为所求；（3）延长交格点与点，连接，取，连接交于点，连接交格子于点，连接，交于点，连接交于点，即为所求；【小问1详解】①将线段绕点A 逆时针旋转，如图，即为所求．如图，点F 即为所求．理由：，是等腰三角形，是中点，79⨯BC AB 90︒AE AD 1tan 2ABF ∠=BC PM AC AB BC PC 2PCA ∠QC E AE AC H BH AD F F CA D DB DC E ,BE DP F CF BD G GP AB M MP CP D DB 4AE AB ==ED AC F BF G ，CG PG AC H DH CG Q CQ AB 90︒AE 5===AB BC Q ABC ∴ H AC BH AC∴⊥∴．【小问2详解】如图，即为所求．理由：，，，，根据作图可知是的中线，是的重心，∴是的中线，∴是的中点，∴是的中位线，∴．小问3详解】如图，延长交格点与点，连接，取，连接交于点，连接交格子于点，连接，交于点，连接交于点，则即为所求．理由：，，，，，，，，即；，【1122AH AC BH ===== 1tan 2∠==AH ABF BH PM ,1,∠=∠==BPH CPN BH CN BH CN ∥Q ∴∠=∠PBH PCN ≌∴BPH CPN V V BP CP ∴=,BE DP BCD △F ∴BCD △CG BCD △G DB GP BCD △GP DC ∥CP D DB 4AE AB ==ED AC F BF G ，CG PG AC H DH CG Q CQ 4,,==∠==AE AB BAF EAF AF AF Q ≌∴AFB AFE V V ,∴=∠=∠BF EF FBA FEA ,∴∠=∠∠=∠FBD FEG BFD EFG ≌∴BDF EGF V V ,∴=∠=∠DF GF DFC GFC DFC GFC ∴△≌△,∴=∠=∠CD CG DCF GCF 2∠=∠PCG PCA ≌∴DCH GCH V V，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查作图-应用与设计作图，三角形中位线定理，重心，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，充分利用格点特征是解题的关键．22. 乒乓球被誉为中国国球。

武汉市武珞路中学数学三角形填空选择中考真题汇编[解析版]

武汉市武珞路中学数学三角形填空选择中考真题汇编[解析版]一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是_____．【答案】30【解析】【分析】由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC．【详解】解：∵BD=2DC，∴S△ABD=2S△ACD，∴S△ABC=3S△ACD．∵E是AC的中点，∴S△AGE=S△CGE．又∵S△GEC=3，S△GDC=4，∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30．故答案为30．【点睛】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．2．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形．【答案】10【解析】【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.【详解】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，故答案为：10．【点睛】本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏.3．如图，ABC 中，点D 在AC 的延长线上，E 、F 分别在边AC 和AB 上，BFE ∠与BCD ∠的平分线相交于点P ，若ABC ∠=70°FEC ∠=80°，则P ∠=______．【答案】85°【解析】【分析】根据四边形内角和等于360°，在四边形FECB 中∠B +∠BFE +∠FEC +∠BCE =360°，结合角平分线的定义计算即可得∠1-∠2=15°；再在四边形EFPC 中求出∠1-∠2+∠P =110°即可解答．【详解】解：∵∠BFE =2∠1，∠BCD =2∠2，又∵∠BFE +∠ABC +∠FEC +∠BCE =360°，ABC ∠=70°，FEC ∠=80°，∴2∠1+（180°-2∠2）+70°+80°=360°，∴∠1-∠2=15°；∵在四边形EFPC 中，∠PFE +∠FEC +∠P +∠PCE =360°，∴∠1+80°+（180°-∠2）+∠P =360°，∴∠1-∠2+∠P =100°，∴∠P=85°，故答案为：85°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和四边形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°和四边形内角和等于360°是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_______°.【答案】65【解析】如图，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠1=12∠DAC，∠2=12∠ACF，∴∠1+∠2=12（∠DAC+∠ACF），又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠BAC+∠ACB），且∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°，∴∠1+∠2=12（360°-130°）=115°，∴在△ACE中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°.5．如图，在∆ABC中，∠A=80︒，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A7BC与∠A7CD的平分线相交于点A8，得∠A8，则∠A8的度数为_________.. 【答案】516 【解析】【分析】利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求∠A 1=12∠A ，再依此类推得，∠A 2=212∠A ，……，∠A 8= 812∠A ，即可求解. 【详解】解：根据三角形的外角得：∠ACD=∠A+∠ABC.又∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴1111222A ABC A ABC ∠+∠=∠+∠ ∴∠A 1=12∠A 依此类推得，∠A 2= 212∠A ，……，∠A 8= 812∠A=180256⨯=516 故答案为516. 【点睛】本题考查三角形外角、角平分线的性质，解答的关键是弄清楚角之间的关系..6．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB =____．【答案】105°．【解析】【分析】先根据直角三角形的特殊角可知：∠ECD=45°，∠BDC=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图，∠ECD=45°，∠BDC=60°，∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°．故答案为：105°．【点睛】此题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．【答案】115°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数．【详解】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12×（∠ABC+∠ACB）＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数．8．等腰三角形的三边长分别为：x+1，2x+3，9，则x=________.【答案】3【解析】①当x+1=2x+3时，解得x=−2(不合题意,舍去)；②当x+1=9时，解得x=8，则等腰三角形的三边为:9、19、9，因为9+9=18<19，不能构成三角形，故舍去；③当2x+3=9时，解得x=3，则等腰三角形的三边为:4、9、9，能构成三角形。

武汉市武珞路中学数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]

武汉市武珞路中学数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769或32 【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H∵∠C=45°，DH ⊥BC∴△DHC 是等腰直角三角形∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC －HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1）．（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB 的长；（2）若Rt △ABC 中，点C 在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C 后不用计算写出你能写出的点C 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点P ，使PA =PB 且PA +PB 最小？若存在，就求出点P 的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．【解析】【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．（3）不存在这样的点P．作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，由图可以看出两线交于第一象限．∴不存在这样的点P．【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．3．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；(2)如图2，若点A 的坐标为()23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253m n +-化，请说明理由；(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-；（3）EN=12(EM-ON)，证明见详解. 【解析】【分析】（1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-.（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12(EM-ON).【详解】（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,∴∠AQC=90°, ∵ABC △为等腰直角三角形，∴AC=AB,∠CAB=90°, ∴∠QAC+∠OAB=90°,∵∠QAC+∠ACQ=90°,∴∠ACQ=∠BAO,又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,∴AQC BOA ≅(AAS),∴CQ=AO,AQ=BO,∵OA=2,OB=4,∴CQ=2,AQ=4,∴OQ=6, ∴C(-6,-2).(2)如图（2）作DP ⊥OB 于点P ,∴∠BPD=90°,∵ABD △是等腰直角三角形，∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°,∴∠ABO=∠BDP ,又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,∴AOB BPD ≅∴AO=BP ,∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()23,0-,∴OA=3∴m+n=23∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23∴整式2253m n +-3-（3）()12EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.∵OBM为等边三角形，∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,∵OE=OB,∴OE=OM=BM,∴∠3=∠EMO=15°,∴∠BEM=30°,∠BME=45°,∵OF⊥EB,∴∠EOF=∠BME,∴ENO BGM,∴BG=EN,∵ON=MG,∴∠2=∠3,∴∠2=15°,∴∠EBG=90°,∴BG=12 EG,∴EN=12 EG,∵EG=EM-GM,∴EN=12(EM-GM),∴EN=12(EM-ON).【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.4．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C.若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．5．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD=BD ,AD⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．6．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．【详解】解： (1)∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110° ，∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°，∵AD=AE ，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18° ，∴∠E=75°−18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75° ，∴∠BAD=36°.（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°﹣α∴y x y x ααβ=+⎧⎨=-+⎩①②-②得，2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α∴+y x y x ααβ=+⎧⎨=+⎩①② -①得，α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°﹣α∴180180y x y x αβα-++=⎧⎨++=⎩①② -①得，2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．7．如图，已知DCE ∠与AOB ∠，OC 平分AOB ∠．(1)如图1，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E ，90AOB DCE ∠=∠=︒，试判断线段CD 与CE 的数量关系，并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：CD CE =．理由如下：如图1，过点 C 作 C F OC ⊥，交 O B 于点 F ，则90OCF ∠=︒，…请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若120AOB ∠=︒，60DCE ∠=︒．①如图3，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系？说明理由．②如图4，DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系；如图5，DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系．【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC-=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC-=【解析】【分析】（1）通过ASA证明CDO CEF∆∆≌即可得到CD=CE；（2）过点C作CM OA⊥，CN OB⊥，垂足分别为M，N，通过AAS证明CMD CNE∆∆≌同样可得到CD=CE；（3）①方法一：过点C作C M OA⊥，CN OB⊥垂足分别为M，N，通过AAS得到CMD CNE∆∆≌，进而得到,CD CE DM EN==，利用等量代换得到=OE OD ON OM++，在Rt CMO∆中，利用30°角所对的边是斜边的一半得12OM OC=，同理得到12ON OC=，所以OE OD OC+=；方法二：以CO为一边作60FCO∠=︒，交O B于点F，通过ASA证明CDO CEF∆∆≌，得到,CD CE OD EF==，所以OE OD OE EF OF OC+=+==；②图4：以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点，利用ASA证得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点，利用ASA证得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.【详解】解：(1)OC平分AOB∠，145∠=∠2=︒∴，390245,123︒︒∴∠=-∠=∴∠=∠=∠OC FC∴=又456590︒∠+∠=∠+∠=在CDO∆与CEF∆中，1346OC FC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()CDO CEF ASA∴∆∆≌CD CE∴=(2)如图2，过点 C 作CM OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，∴90CMD CNE ∠=∠=︒，又∵OC 平分AOB ∠，∴CM CN =，在四边形 O DCE 中，12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=︒，又∵90AOB DCE ∠=∠=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵13180∠+∠=︒，∴32∠=∠，在CMD ∆与CNE ∆中，32CMD CNE CM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMD CNE AAS ∆∆≌，∴CD CE=.(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC +=.理由如下：方法一：如图3(1)，过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，∴90CMD CNE ∠=∠=︒，又∵OC 平分AOB ∠，∴CM CN =，在四边形ODCE 中，12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=︒，又∵60120180AOB DCE ∠+∠=︒+︒=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵23180∠+∠=︒，∴13∠=∠，在CMD ∆与CNE ∆中，13CMD CNE CM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CMD CNE AAS ∆∆≌，∴,CD CE DM EN ==.∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.在 Rt CMO ∆中，1490590302AOB ∠=︒-∠=︒-∠=︒， ∴12OM OC =，同理1 2ON OC =， ∴1122OE OD OC OC OC +=+=. 方法二：如图3（2），以CO 为一边作60FCO ∠=︒，交 O B 于点 F ，∵OC 平分AOB ∠，∴1260∠=∠=︒，∴3180260FCO ∠=︒-∠-∠=︒，∴13∠=∠，32FCO ∠=∠=∠，∴COF ∆是等边三角形，∴CO CF =，∵4560DCE ∠=∠+∠=︒，6560FCO∠=∠+∠=︒，∴46∠=∠，在CDO∆与CEF∆中，1346CO CF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()CDO CEF ASA∆∆≌，∴,CD CE OD EF==.∴OE OD OE EF OF OC+=+==.②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC-=.如图，以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCF=60°∴△COF为等边三角形∴OC=OF∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE（ASA）∴CD=CE，OD=EF∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC -=.如图，以OC 为一边，作∠OCG=60°与OA 交于G 点∵∠AOB=120°，OC 为∠AOB 的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCG=60°∴△COG 为等边三角形∴OC=OG∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°∴∠CGD=∠COE∴△CGD ≌△COE （ASA ）∴CD=CE ，OE=DG∴OD=OG+DG=OC+OE即OD-OE=OC【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.8．在等边ABC ∆中，点O 在BC 边上，点D 在AC 的延长线上且OA OD =.（1）如图1，若点O 为BC 中点，求COD ∠的度数；（2）如图2，若点O 为BC 上任意一点，求证AD AB BO =+.（3）如图3，若点O 为BC 上任意一点，点D 关于直线BC 的对称点为点P ，连接,AP OP ，请判断AOP ∆的形状，并说明理由.【答案】（1）30；（2）见解析；（3）AOP ∆是等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形的等边三角形的性质可求1302CAO BAC ∠=∠=︒且,90AO BC AOC ⊥∠=︒，根据OA OD =，等腰三角形的性质得到D ∠的度数，再通过内角和定理求AOD ∠，即可求出COD ∠的度数.（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E 先证明COE ∆为等边三角形，再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=︒，120DCO ∠=︒，再证明()AOE DOC AAS ∆≅∆，得到CD EA =，再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过，又因为AD AC CD =+，通过等量代换即可得到答案.（3）通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ∆≅∆，得到OP OD =，又因为OA OD =，得到AO=OP ，证得AOP ∆为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得AOE DOC ∆≅∆得到AOE DOC ∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE ∠=∠=°，即可证得AOP ∆是等边三角形.【详解】（1）∵ABC ∆为等边三角形∴60BAC ∠=︒∵O 为BC 中点∴1302CAO BAC ∠=∠=︒ 且,90AO BC AOC ⊥∠=︒∵OA OD =∴AOD ∆中，30D CAO ∠=∠=︒∴180120AOD D CAO ∠=︒-∠-∠=︒∴30COD AOD AOC ∠=∠-∠=︒（2）过O作//OE AB，OE交AD于E ∵//OE AB∴60EOC ABC∠=∠=︒60CEO CAB∠=∠=︒∴COE∆为等边三角形∴OE OC CE==180120AEO CEO∠=︒-∠=︒180120DCO ACB∠=︒-∠=︒又∵OA OD=∴EAO CDO∠=∠在AOE∆和COD∆中AOE DOCEAO CDOOA OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOE DOC AAS∆≅∆∴CD EA=∵EA AC CE=-BO BC CO=-∴EA BO=∴BO CD=，∵AB AC=，AD AC CD=+∴AD AB BO=+（3）AOP∆为等边三角形证明过程如下：连接,PC PD，延长OC交PD于F∵P D 、关于OC 对称∴,90PF DF PFO DFO =∠=∠=︒在ODF ∆与OPF ∆中，PF DF PFO DFO OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ODF OPF SAS ∆≅∆∴OP OD =,POC DOC ∠=∠∵OA OD =∴AO=OP∴AOP ∆为等腰三角形过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E由（2）得AOE DOC ∆≅∆∴AOE DOC ∠=∠又∵POC DOC ∠=∠∴AOE POF ∠=∠∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠即AOP COE ∠=∠∵AB ∥OE ，∠B=60°∴60COE B ∠=∠=︒∴60AOP COE ∠=∠=°∴AOP ∆是等边三角形.【点睛】本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题，灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系，以及等边三角形的性质是解答此题的关键.9．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ∆，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点A 、点C 重合），过点F 作FH AB ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接FG 交AB 于点l .（1）若10AC =，求HI 的长度；（2）如图2，延长BC 到D ，再延长BA 到E ，使得AE BD =，连接ED ，EC ，求证：ECD EDC ∠=∠.【答案】（1）HI =5；(2)见解析.【解析】【分析】（1）作FP ∥BC 交AB 于点P ，证明APF ∆是等边三角形得到AH=PH ，再证明PFI BGI ∆≅∆得到PI=BI ，于是可得HI =12AB ，即可求解；（2）延长BD 至Q ，使DQ=AB ，连结EQ ，就可以得出BE=BQ ，得出△BEQ 是等边三角形，就可以得出BE=QE ，得出△BCE ≌△QDE 就可以得出结论．【详解】解：如图1，作FP ∥BC 交AB 于点P ，∵ABC ∆是等边三角形,∴∠ABC=∠A=60°,∵FP ∥BC,∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,∴∠APF=∠A=60°,∴APF ∆是等边三角形,∴PF=AF,∵FHAB ⊥，∴AH=PH,∵AF=BG,∴PF=BG,∴在PFI ∆和BGI ∆中，PIF BIG PFI BGI PF BG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴PFI BGI ∆≅∆,∴PI=BI,∴PI+PH=BI+AH=12AB, ∴HI=PI+PH =12AB= 1102⨯=5； (2)如图2，延长BD 至Q ，使DQ=AB ，连结EQ ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠B=60°．∵AE=BD ，DQ=AB ，∴AE+AB=BD+DQ ，∴BE=BQ ．∵∠B=60°，∴△BEQ 为等边三角形，∴∠B=∠Q=60°，BE=QE ．∵DQ=AB ，∴BC=DQ ．∴在△BCE 和△QDE 中，BC DQ B Q BE QE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△QDE（SAS），∴EC=ED．∴∠ECD=∠EDC.【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.10．（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，∴∠C=90°-23°=67°，∵MN垂直平分AB，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形，∴∠BAD=∠ABC=23°，∴∠ADC=2∠ABC=46°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，∴∠DAC=∠C，∴△DAC是等腰三角形，同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，∵点O是三角形垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD=22.5°，∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，∴∠OBC=∠OCB=45°.（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，∵∠A=30°，PB=PQ，∴∠ABP=∠A=30°，∴∠APB=120°，∵PB=PQ，PQ=CQ，∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，∴∠PBQ=2∠C，∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，解得：∠C=40°.②如图，当PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ时，∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，∴180°-4∠C+∠C=120°，解得：∠C=20°，③如图，当PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP时，∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBQ=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=120°，解得：∠C=100°.④如图，当PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP时，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,又∵∠C+∠PBQ=120°，∴∠C=80°；⑤如图，当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，∵∠A=30°，∴∠APB=12（180°-30°）=75°，∵BP=BQ，PQ=CQ，∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，∴∠BQP=2∠C，∴∠PBQ=180°-4∠C，∴∠C+180°-4∠C=75°，解得：∠C=35°.⑥如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QC时，∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBC=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=75°，解得：∠C=40°.⑦如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QP时，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；⑧当AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∠A=30°，∴∠ABP=∠APB=75°，又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，∴3∠C=75°，∴∠C=25°；⑨当AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∴∠BPA=∠A=30°，∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，∴2∠C+∠C=30°，解得：∠C=10°.⑩当AB=BP，BQ=PQ，PQ=CQ时，∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，∴12∠C+∠C=30°，解得：∠C=20°.综上所述：∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【点睛】本题考查复杂作图及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.。

2023-2024学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级(上)月考数学试卷(12月份)(含解析)

2023-2024学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.成语“水中捞月”所描述的事件是( )A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 无法确定2.下列图形中，为中心对称图形的是( )A. B. C. D.3.解一元二次方程x2−6x−4=0，配方后正确的是( )A. (x+3)2=13B. (x−3)2=5C. (x−3)2=4D. (x−3)2=134.已知⊙O的半径是3，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是( )A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法判断5.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是( )A. 1+x2=91B. (1+x)2=91C. 1+x+x2=91D. 1+(1+x)+(1+x)2=916.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为( )A. 120°B. 180°C. 240°D. 300°7.如果m、n是一元二次方程x2−x−3=0的两个实数根，则多项式n2−mn+m的值是( )A. −3B. 4C. 5D. 78.二次函数y=−x2−2x+c在−3≤x≤2的范围内有最小值−5，则c的值是．( )A. −6B. −2C. 2D. 39.如图，AB是⊙O的切线，点A、E是⊙O上的点，CD是的直径，∠ABC=∠E=45°，△BCD的面积为27，则BC的长为( )A. 3B. 23C. 4D. 3610.已知抛物线y=−x2−2mx+3与直线y=2x+10m在−4<x<0范围内有唯一公共点，则m的取值范围为( )A. −52<m≤310或m=4−23 B. −54<m≤37或m=4±23C. −52≤m<310或m=23 D. −54≤m<37或m=−23二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

(解析版)武珞路中学2018-2019年初二下年中数学重点试卷.doc

(解析版)武珞路中学2018-2019年初二下年中数学重点试卷【一】选择题〔每题3分，共30分〕1、〔3分〕有意义，A的取值范围是〔〕A、 A≥2B、 A》2C、 A≥﹣2D、 A》﹣22、〔3分〕以下计算，正确的选项是〔〕A、B、C、 D、3、〔3分〕化简：正确的选项是〔〕A、 B、C、 4D、4、〔3分〕以下各式中属于最简二次根式的是〔〕A、B、 C、D、5、〔3分〕A、B、C为△ABC三边，不是直角三角形的是〔〕A、 A2＝C2﹣B2B、 A＝，B＝1，C＝C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5D、 A＝8K，B＝17K，C＝15KA、假设A＝B，那么A2＝B2B、假设A》0，B》0，那么AB》0C、等边三角形是锐角三角形D、全等三角形的对应边相等7、〔3分〕如图，在RT△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，那么AB＝〔〕A、 4B、C、D、8、〔3分〕▱ABCD中，BC＝10，AC与BD交于O，AO＝4，BO＝7，△ABC比△DBC周长小〔〕A、 3B、 4C、 5D、 69、〔3分〕以下条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是〔〕A、∠A＝∠B，∠C＝∠DB、 AB∥CD，AD＝BCC、 AB∥CD，∠A＝∠CD、AO＝BO，CO＝DO10、〔3分〕如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ACE ＝∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F、假设BC＝2，那么EF的长为〔〕A、B、 C、 1 D、【二】填空题〔每题3分，共18分〕11、〔3分〕计算：÷＝、12、〔3分〕X＝＋1，Y＝﹣1，那么X2﹣Y2＝、13、〔3分〕一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高米、14、〔3分〕△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，假设AC＝5，AB＝10，BC＝7，那么△DEF的周长为、15、〔3分〕▱ABCD中，AD＝12，BD＝10，AC＝26，那么▱ABCD的面积是、16、〔3分〕在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，那么▱ABCD的周长等于、【三】解答题〔共72分〕17、〔5分〕计算：、18、〔5分〕计算：、19、〔6分〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE＝OF、20、〔6分〕如图，每个小正方形的边长都为1、〔1〕求四边形ABCD的面积与周长；〔2〕∠BCD是直角吗？21、〔6分〕A﹣＝﹣，求﹣、22、〔6分〕RT△ABC中，∠C＝90°，CH⊥AB于点H，AC＝3，CH＝2，求BC的长、23、〔6分〕▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，线DC于点F〔1〕求证：CE＝CF；〔2〕假设∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，求∠BDG、24、〔12分〕在平面直角坐标系中，A〔﹣M，0〕、B〔N，0〕，假设、如图C在X轴上，BC＝2，Q从O向C运动，以AQ、BQ为边作等边△AEQ、等边△FBQ、连接EF，点P为EF中点〔1〕求A、B两点坐标；〔2〕求P点运动的路径长为多少？〔3〕求EF的最小值、湖北省武汉市武珞路中学2018－2018学年八年级下学期期中数学模拟试卷参考答案与试题解析【一】选择题〔每题3分，共30分〕1、〔3分〕有意义，A的取值范围是〔〕A、 A≥2B、 A》2C、 A≥﹣2D、 A》﹣2考点：二次根式有意义的条件、分析：二次根式的被开方数的非负数、解答：解：根据题意，得A＋2≥0，解得，A≥﹣2；应选C点评：考查了二次根式的意义和性质、概念：式子〔A≥0〕叫二次根式、性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否那么二次根式无意义、2、〔3分〕以下计算，正确的选项是〔〕A、B、C、 D、考点：二次根式的加减法、分析：直接利用二次根式的加减运算法那么分别化简求出即可、解答：解：A、﹣无法计算，故此选项错误；B、＋＝2＝3＝5，故此选项错误；C、3﹣＝2，正确；D、2＋无法计算，故此选项错误；应选：C、点评：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键、3、〔3分〕化简：正确的选项是〔〕A、 B、C、 4D、考点：二次根式的乘除法、分析：直接利用二次根式的性质化简求出即可、解答：解：＝＝、应选：D、点评：此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键、4、〔3分〕以下各式中属于最简二次根式的是〔〕A、B、 C、D、考点：最简二次根式、分析：C选项的被开方数中含有未开尽方的因数；B、D选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式、解答：解：因为B、＝；C、＝2；D、＝；所以，这三个选项都不是最简二次根式、应选A、点评：在判断最简二次根式的过程中要注意：〔1〕在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；〔2〕在二次根式的被开方数中的每一个因式〔或因数〕，如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式、5、〔3分〕A、B、C为△ABC三边，不是直角三角形的是〔〕A、 A2＝C2﹣B2B、 A＝，B＝1，C＝C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5D、 A＝8K，B＝17K，C＝15K考点：勾股定理的逆定理；三角形内角和定理、分析：利用勾股定理的逆定理判断A、B，D选项；用直角三角形各角之间的关系判断C选项、解答：解：A、∵A2＝C2﹣B2，∴A2＋B2＝C2，∴A、B、C为△ABC三边，是直角三角形，故本选项错误；B、∵B2＋C2＝A2，∴A、B、C为△ABC三边，是直角三角形，故本选项错误；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴设∠A＝3X，那么∠B＝4X，∠C＝5X，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，即3X＋4X＋5X＝180°，解得，X＝15°，∴5X＝5×15°＝75°《90°，∴A、B、C为△ABC三边，不是直角三角形，故本选项正确；D、∵A2＋C2＝B2，∴A、B、C为△ABC三边，是直角三角形，故本选项错误、应选C、点评：此题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，假设三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；假设三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断、A、假设A＝B，那么A2＝B2B、假设A》0，B》0，那么AB》0C、等边三角形是锐角三角形D、全等三角形的对应边相等应选D、7、〔3分〕如图，在RT△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，那么AB＝〔〕A、 4B、C、D、考点：含30度角的直角三角形；勾股定理、分析：设BC＝X，根据含30度角的直角三角形性质求出AB＝2BC＝2X，根据勾股定理得出方程22＋X2＝〔2X〕2，求出X即可、解答：解：设BC＝X，∵在RT△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2X，∵AC＝2，∴由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，22＋X2＝〔2X〕2，解得：X＝，∴AB＝2X＝，应选C、点评：此题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是能得出AB＝2BC，用了方程思想、8、〔3分〕▱ABCD中，BC＝10，AC与BD交于O，AO＝4，BO＝7，△ABC比△DBC周长小〔〕A、 3B、 4C、 5D、 6考点：平行四边形的性质、分析：由平行四边形的性质得出AB＝CD，OA＝OC＝4，OB＝OD＝7，得出AC、BD，由三角形的周长即可得出结果、解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC＝4，OB＝OD＝7，∴AC＝8，BD＝14，∴△DBC的周长﹣△ABC的周长＝〔BC＋CD＋BD〕﹣〔AB＋BC＋AC〕＝BD﹣AC＝14﹣8＝6；应选：D、点评：本题考查了平行四边形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键、9、〔3分〕以下条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是〔〕A、∠A＝∠B，∠C＝∠DB、 AB∥CD，AD＝BCC、 AB∥CD，∠A＝∠CD、AO＝BO，CO＝DO考点：平行四边形的判定、分析：根据平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得答案、解答：解：A、∠A＝∠B，∠C＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；B、AB∥CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；C、AB∥CD，∠A＝∠C可证出∠B＝∠D，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；D、AO＝BO，CO＝DO不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；应选：C、点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握〔1〕两组对边分别平行的四边形是平行四边形、〔2〕两组对边分别相等的四边形是平行四边形、〔3〕一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、〔4〕两组对角分别相等的四边形是平行四边形、〔5〕对角线互相平分的四边形是平行四边形、10、〔3分〕如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ACE＝∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F、假设BC＝2，那么EF的长为〔〕A、B、 C、 1 D、考点：勾股定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形、分析：过F点作FG∥BC、根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得AF＝CF，在RT△CDF中，根据三角函数可得AF＝CF＝2，DF＝，根据平行线分线段成比例可得比例式GF：BD＝AF：AD，求得GF＝4﹣2，再根据平行线分线段成比例可得比例式EF：EC＝GF：BC，依此即可得到EF＝﹣1、解答：解：过F点作FG∥BC、∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝BC＝1，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，AD⊥BC，∵∠ACE＝∠BAC，∴∠CAD＝∠ACE＝15°，∴AF＝CF，∵∠ACD＝〔180°﹣30°〕÷2＝75°，∴∠DCE＝75°﹣15°＝60°，在RT△CDF中，AF＝CF＝＝2，DF＝CD•TAN60°＝，∵FG∥BC，∴GF：BD＝AF：AD，即GF：1＝2：〔2＋〕，解得GF＝4﹣2，∴EF：EC＝GF：BC，即EF：〔EF＋2〕＝〔4﹣2〕：2，解得EF＝﹣1、应选：A、点评：综合考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得，三角函数，平行线分线段成比例，以及方程思想，此题的难点是作出辅助线，寻找解题的途径、【二】填空题〔每题3分，共18分〕11、〔3分〕计算：÷＝3、考点：二次根式的乘除法、分析：根据二次根式是除法法那么进行计算、解答：解：原式＝＝＝＝3、故答案是：3、点评：此题考查了二次根式的乘除法、二次根式的除法法那么：÷＝〔A≥0，B》0〕、12、〔3分〕X＝＋1，Y＝﹣1，那么X2﹣Y2＝、考点：二次根式的化简求值、分析：先分解因式，再代入比较简便、解答：解：X2﹣Y2＝〔X＋Y〕〔X﹣Y〕＝2×2＝4、点评：注意分解因式在代数式求值中的作用、13、〔3分〕一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高8米、考点：勾股定理的应用、分析：由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度、解答：解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为＝5，∴折断前高度为5＋3＝8〔米〕、故答案为：8、点评：此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力、14、〔3分〕△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，假设AC＝5，AB＝10，BC＝7，那么△DEF的周长为11、考点：三角形中位线定理、分析：由于D、E分别是AB、AC的中点，那么DE是△ABC的中位线，那么DE＝BC，同理有EF＝AB，DF＝AC，于是易求△DEF的周长、解答：解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，同理有EF＝AB，DF＝AC，∴△DEF的周长＝〔AC＋BC＋AB〕＝×〔10＋5＋7〕＝11、故答案为：11点评：此题考查了三角形中位线定理、解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系、15、〔3分〕▱ABCD中，AD＝12，BD＝10，AC＝26，那么▱ABCD的面积是120、考点：平行四边形的性质、分析：首先根据题意作出图形，然后设AC与BD相较于点O，由▱ABCD中，AD＝12，BD＝10，AC＝26，求得OD，OA的长，利用勾股定理的逆定理即可证得△AOD是直角三角形，继而求得答案、解答：解：设AC与BD相较于点O，∵▱ABCD中，BD＝10，AC＝26，∴OD＝5，OA＝13，∵AD＝12，∴AD2＋OD2＝OA2，∴△AOD是直角三角形，即∠ADO＝90°，∴S▱ABCD＝AD•BD＝120、故答案为：120、点评：此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理、注意证得△AOD是直角三角形是关键、16、〔3分〕在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，那么▱ABCD的周长等于12或20、考点：平行四边形的性质、专题：压轴题；分类讨论、分析：根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可、解答：解：如图1所示：∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，∴EC＝＝2，AB＝CD＝5，BE＝＝3，∴AD＝BC＝5，∴▱ABCD的周长等于：20，如图2所示：∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，∴EC＝＝2，AB＝CD＝5，BE＝＝3，∴BC＝3﹣2＝1，∴▱ABCD的周长等于：1＋1＋5＋5＝12，那么▱ABCD的周长等于12或20、故答案为：12或20、点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键、【三】解答题〔共72分〕17、〔5分〕计算：、考点：二次根式的乘除法、分析：首先化简二次根式，进而利用二次根式的乘除运算法那么求出即可、解答：解：原式＝3×5×＝15、点评：此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键、18、〔5分〕计算：、考点：二次根式的加减法、分析：直接利用二次根式的性质化简二次根式进而得出即可、解答：解：原式＝2＋2﹣3＋＝2＋3﹣3、点评：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键、19、〔6分〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE＝OF、考点：平行四边形的性质、专题：证明题、分析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO〔ASA〕，∴OE＝OF、点评：此题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△DFO≌△BEO、20、〔6分〕如图，每个小正方形的边长都为1、〔1〕求四边形ABCD的面积与周长；〔2〕∠BCD是直角吗？考点：勾股定理；勾股定理的逆定理、分析：〔1〕利用四边形ABCD所在矩形面积﹣周围三角形面积进而求出其面积，再利用勾股定理得出其周长；〔2〕利用勾股定理的逆定理求出∠BCD是直角、解答：解：〔1〕四边形ABCD的面积为：25﹣×1×5﹣×1×4﹣×1×2﹣×2×4＝15、5；周长为：AB＋BC＋CD＋AD＝＋2＋＋＝＋3＋；〔2〕连接BD，∵BC2＋CD2＝20＋5＝25，BD2＝25，∴BC2＋CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BCD是直角、点评：此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键、21、〔6分〕A﹣＝﹣，求﹣、考点：二次根式的化简求值、专题：计算题、分析：先把条件两边平方得到〔A﹣〕2＝5，再利用完全平方公式变形得到〔A＋〕2＝9，那么A＋＝3〔A》0〕，那么可计算出〔﹣〕2＝A﹣2＋＝1，然后根据平方根的定义求解、解答：解：∵A﹣＝﹣，∴〔A﹣〕2＝5，∴〔A＋〕2﹣4＝5，∴〔A＋〕2＝9，∴A＋＝3或A＋＝﹣3〔因为A》0，故舍去〕∴〔﹣〕2＝A﹣2＋＝3﹣2＝1，∴﹣＝±1、点评：此题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰、22、〔6分〕RT△ABC中，∠C＝90°，CH⊥AB于点H，AC＝3，CH＝2，求BC的长、考点：射影定理、分析：根据勾股定理求得AB的长度，然后利用射影定理来求得BH、BC的长度、解答：解：∵RT△ABC中，∠C＝90°，CH⊥AB于点H，AC＝3，CH＝2，∴AH2＝AC2﹣CH2＝5、∴AH＝、又∵CH2＝AH•BH，∴BH＝＝，∴BC2＝BH•AB＝×〔＋〕＝，那么BC＝、点评：此题考查了射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项、②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项、23、〔6分〕▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，线DC于点F〔1〕求证：CE＝CF；〔2〕假设∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，求∠BDG、考点：平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质、分析：〔1〕由角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，由平行四边形的性质得出∠CEF ＝∠DAF，∠CFE＝∠BAE，得出∠CEF＝∠CFE，即可得出结论；〔2〕连接EG，CG，先证明四边形ECFG为菱形，得出∠CFG＝60°，△CFG为等边三角形，再证明△DGF≌△BGC，得出BG＝DG，∠BGC＝∠DGF，得出∠BGD＝∠CGF＝60°，证出△BDG为等边三角形，即可得出结论、解答：证明：〔1〕∵AF平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，又AB∥BC，∴∠CEF＝∠DAF，∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠BAE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF；〔2〕连接EG，CG，如下图：∵AB∥CD，∴∠ECF＝∠ABC＝120°，∠BAC＝60°，∴∠DAF＝30°，∵FG∥CE，FG＝CE，∴四边形ECFG是平行四边形，∵CE＝CF，∴四边形ECFG为菱形，∴∠CFG＝60°，∠CFE＝30°＝∠DAF，∠ECG＝∠FCG＝60°，△CFG为等边三角形，∴CG＝GF，∠BCG＝∠DFG＝60°，AD＝FD＝BC，在△DGF和△BGC中，，∴△DGF≌△BGC〔SAS〕，∴BG＝DG，∠BGC＝∠DGF，∴∠BGD＝∠CGF＝60°，∴△BDG为等边三角形，∴∠BDG＝60°、点评：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键、24、〔12分〕在平面直角坐标系中，A〔﹣M，0〕、B〔N，0〕，假设、如图C在X轴上，BC＝2，Q从O向C运动，以AQ、BQ为边作等边△AEQ、等边△FBQ、连接EF，点P为EF中点〔1〕求A、B两点坐标；〔2〕求P点运动的路径长为多少？〔3〕求EF的最小值、考点：一次函数综合题、专题：综合题、分析：〔1〕根据被开方数为非负数求出M与N的值，即可确定出A与B的坐标；〔2〕如图1所示，延长AE，BF交于点H，那么△ABH为等边三角形，再由三角形AEQ与三角形BGF为等边三角形，得到两对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到EQ与AH平行，EQ与BH平行，进而确定出四边形EQFH为平行四边形，根据P为EF的中点，得到P为HQ的中点，随着点Q从O点向C点运动，点P也由P1运动到P2，利用中位线定理求出P点运动的路径长即可；〔3〕如图2所示，设出OQ＝M，表示出MQ，NQ，EM，FN，以及FD，EF，可得出当M＝1时EF最小，求出EF的最小值即可、解答：解：〔1〕∵N＝＋＋4，∴M＝2，N＝4，即A〔﹣2，0〕，B〔4，0〕；〔2〕如图1所示，延长AE，BF交于点H，那么△ABH为等边三角形，∵△AEQ与△BFQ都为等边三角形，∴∠EAQ＝∠FQB＝60°，∠AQE＝∠QBF＝60°，∴FQ∥AH，EQ∥BH，∴四边形EQFH为平行四边形，∵P为EF的中点，∴P为HQ中点，随着点Q从O点向C点运动，点P也由P1运动到P2，∴P1P2＝OC＝1，即P运动的路径为1；〔3〕如图2所示，设OQ＝M〔0≤M≤2〕，那么MQ＝AQ＝M＋1，NQ＝BQ＝﹣M＋2，EM＝MQ＝M＋，FN＝NQ＝﹣M＋2，FD＝FN﹣EM＝﹣M＋，EF＝＝＝，当M＝1时，EF有最小值为EF＝3、点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：等边三角形的性质，平行线的判定与性质，坐标与图形性质，二次根式的性质，以及中位线定理，熟练掌握中位线定理是解此题第二问的关键、。

八年级全等三角形中考真题汇编[解析版]

八年级全等三角形中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD =BD =CD ， ∴∠B =∠BAD ，∠C =∠CAD ，∴∠BAD +∠CAD =12×180°=90°， ∴顶角∠BAC =90°，综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．2．如图，在等边ABC ∆中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ∆∆+=_________．【答案】9364+【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝34×32＋12×3×4＝364+．【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，连接PD∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60︒，又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60︒，AB ＝AC ，∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，∴∠DAB ＝∠PAC ，又AB=AC,AD=AP∴△ADB ≌△APC∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60︒，∴△ADP 为等边三角形，在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，∵△ADB ≌△APC ，∴S △ADB ＝S △APC ，∴S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ＝3×32＋12×3×4＝936+．故答案为：9364+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．3．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.4．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．5．如图，己知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，…均为等边三角形，若12OA =，则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ，以及22122A B B A =，得出332212244A B A B B A ===，441288A B B A ==，551216A B B A =⋯进而得出答案．【详解】解：△112A B A 是等边三角形，1121A B A B ∴=，341260∠=∠=∠=︒，2120∴∠=︒，30MON ∠=︒，11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒，又360∠=︒，5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒，130MON ∠=∠=︒，1112OA A B ∴==，212A B ∴=，△223A B A 、△334A B A 是等边三角形，111060∴∠=∠=︒，1360∠=︒，41260∠=∠=︒，112233////A B A B A B ∴，1223//B A B A ，16730∴∠=∠=∠=︒，5890∠=∠=︒，22122242A B B A =∴==，33232B A B A =，33312428A B B A ∴===，同理可得:444128216A B B A ===，⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ，∴△556A B A 的边长为5232=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =进而发现规律是解题关键．6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ：S △ABC ＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵AN AMNP MPAP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=12AD，∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD，S△DAC=12AC•CD=14AC•AD，∴S △ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．7．如图，在ABC ∆和DBC ∆中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，BD CD =，以点D 为顶点作70MDN ∠=，两边分别交,AB AC 于点,M N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为_______.【答案】4【解析】【分析】延长AB 至F ，使BF =CN ，连接DF ，通过证明△BDF ≌△CDN ，及△DMN ≌△DMF ，从而得出MN =MF ，△AMN 的周长等于AB +AC 的长．【详解】延长AB 至F ，使BF =CN ，连接DF ．∵BD =CD ，且∠BDC =140°，∴∠BCD =∠DBC =20°．∵∠A =40°，AB =AC =2，∴∠ABC =∠ACB =70°，∴∠DBA =∠DCA =90°．在Rt △BDF 和Rt △CND 中，∵BF =CN ，∠DBA =∠DCA ，DB =DC ，∴△BDF ≌△CDN ，∴∠BDF =∠CDN ，DF =DN ．∵∠MDN =70°，∴∠BDM +∠CDN =70°，∴∠BDM +∠BDF =70°，∴∠FDM =70°=∠MDN ．∵DF =DN ，∠FDM =∠MDN ，DM =DM ，∴△DMN ≌△DMF ，∴MN =MF ，∴△AMN 的周长是：AM +AN +MN =AM +MB +BF +AN =AB +AC =4．故答案为：4．【点睛】本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．8．如图，已知，点E 是线段AB 的中点，点C 在线段BD 上，8BD =，2DC =，线段AC 交线段DE 于点F ，若AF BD =，则AC =__________.【答案】10.【解析】【分析】延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，证明BDE AGE ∆≅∆，而后证明AFG ∆、CDF ∆是等腰三角形，即可求出CF 的长，于是可求AC 的长.【详解】解：如图，延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，∵点E 是线段AB 的中点，∴AE=BE,∴在BDE ∆和AGE ∆中，BE AE BED AEGDE EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴BDE AGE ∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE ∠=∠,∵AF=BD=8,∴AG=AF,∴AFG AGE ∠=∠∵AFG DFC ∠=∠,∴BDE DFC ∠=∠,∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在BC 的延长线上，G 是AC 上一点，且CG ＝CD ，F 是GD 上一点，且DF ＝DE ．若∠A ＝100°，则∠E 的大小为_____度．【答案】10【解析】【分析】由DF=DE，CG=CD可得∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G，进而可得∠ACB=4∠E，最后代入数据即可解答.【详解】解：∵DF＝DE，CG＝CD，∴∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD，∵GDC＝∠E+∠DFE，∠ACB＝∠CDG+∠CGD，∴GDC＝2∠E，∠ACB＝2∠CDG，∴∠ACB＝4∠E，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ACB＝40°，∴∠E＝40°÷4＝10°．故答案为10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.10．在△ABC 中，∠ACB＝90º，D、E 分别在 AC、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°【解析】【分析】根据题意画出图形，设∠BAC的度数为x，则∠B=90°-x，∠EFB =135°-x，∠BEF=2x-45°，当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.【详解】∵∠ACB＝90º，△CFD是等腰三角形，∴∠CDF=∠CFD=45°，设∠BAC的度数为x，∴∠B=90°-x，∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，∴∠DFE=∠BAC=x，∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，∵∠ADE=∠FDE，∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：①当FE=FB时，如图1，则∠BEF=∠B，∴90-x=2x-45，解得：x=45；②当BF=BE时，则∠EFB=∠BEF，∴135-x=2x-45，解得：x=60，③当EB=EF时，如图2，则∠B=∠EFB，∴135-x=90-x，无解，∴这种情况不存在.综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.故答案是：45°或60°.图1 图2【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题，由题意知A 、B 是定点，P 是动点，所以要分情况讨论：以AP 、AB 为腰、以AP 、BP 为腰或以BP 、AB 为腰．则满足条件的点P 可求．【详解】由题意可知：以AP 、AB 为腰的三角形有3个；以AP 、BP 为腰的三角形有2个；以BP 、AB 为腰的三角形有2个．所以，这样的点P 共有7个.故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．12．边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A ．511a 32⨯（） B ．511a 23⨯（） C ．611a 32⨯（） D ．611a 23⨯（）【答案】A【解析】连接AD 、DB 、DF ，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL 证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD ∥EF ∥GI ，过F 作FZ ⊥GI ，过E 作EN ⊥GI 于N ，得出平行四边形FZNE 得出EF=ZN=13a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是13a，是等边三角形QKM的边长的13；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的13；求出第五个等边三角形的边长，乘以13即可得出第六个正六边形的边长．连接AD、DF、DB．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，∵∠AFE=∠ABC=120°，∴∠AFD=∠ABD=90°，在Rt△ABD和RtAFD中AF=AB{AD=AD∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），∴∠BAD=∠FAD=12×120°=60°，∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，∴AD∥EF，∵G、I分别为AF、DE中点，∴GI∥EF∥AD，∴∠FGI=∠FAD=60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，∴∠EDM=60°=∠M，∴ED=EM，同理AF=QF，即AF=QF=EF=EM，∵等边三角形QKM的边长是a，∴第一个正六边形ABCDEF的边长是13a，即等边三角形QKM的边长的13，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，则FZ∥EN，∵EF∥GI，∴四边形FZNE是平行四边形，∴EF=ZN=13a，∵GF=12AF=12×13a=16a，∠FGI=60°（已证），∴∠GFZ=30°，∴GZ=12GF=112a，同理IN=112a，∴GI=112a+13a+112a=12a，即第二个等边三角形的边长是12a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是13×12a；同理第第三个等边三角形的边长是12×12a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是13×12×12a；同理第四个等边三角形的边长是12×12×12a，第四个正六边形的边长是13×12×12×12a；第五个等边三角形的边长是12×12×12×12a，第五个正六边形的边长是1 3×12×12×12×12a；第六个等边三角形的边长是12×12×12×12×12a，第六个正六边形的边长是1 3×12×12×12×12×12a，即第六个正六边形的边长是13×512（）a，故选A．13．已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( ) A ．32 B ．332 C ．32 D ．不能确定【答案】B【解析】已知，如图，P 为等边三角形内任意一点，PD 、PE 、PF 分别是点P 到边AB 、BC 、AC 的距离，连接AP 、BP 、CP ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH =332，因S △ABC =12BC •AH =12AB •PD+12BC•PE +12AC •PF ，所以12×3×AH =12×3×PD +12×3×PE +12×3×PF ，即可得PD +PE +PF =AH =332，即点P 到三角形三边距离之和为332．故选B.点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P 到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．14．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】以O 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴有两交点，这两点显然符合题意．以A 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴交与两点（O 点除外）．以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，15．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】A【解析】【分析】根据CE 垂直平分AD ，得AC=CD ，再根据等腰在三角形的三线合一，得ACE ECD ∠=∠，结合角平分线定义和90ACB ︒∠=，得30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=，则BD CD AC ==．【详解】∵CE 垂直平分AD∴AC=CD ＝6cm ，ACE ECD ∠=∠∵CD 平分BCE ∠∴BCD ECD ∠=∠∴30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=∴60A ︒∠=∴30B BCD ︒∠==∠∴6CD BD AC cm ===故选：A【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．16．如图，30MON ∠=︒．点1A ，2A ，3A ，⋯，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋯，在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，⋯均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ∆的边长为（）A ．20172B ．20182C ．20192D ．20202【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的性质和30MON ∠=︒，可求得1130∠=︒OB A ，进而证得11OA B ∆是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得规律333、、=⋅⋅⋅=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果．【详解】解：∵30MON ∠=︒，112A B A ∆是等边三角形，∴11260∠=︒B A A ，1112A B A A =∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ∆是等腰三角形，∴111=A B OA ，∵11OA =，∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA =2，同理得23342==A B 、34482==A B ，根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ∆的边长为20182，故选：B ．【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．17．如图，已知等边△ABC 的边长为4，面积为43，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为（）A ．3B ．2C ．3D ．3【答案】C【解析】【分析】由题意可知点A 、点C 关于BD 对称，连接AE 交BD 于点P ，由对称的性质可得，PA=PC ，故PE+PC=AE ，由两点之间线段最短可知，AE 即为PE+PC 的最小值．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，∴BD⊥AC，EC＝2，连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，∴PE+PC的最小值是22-=．4223-＝22AC E C故选C．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．18．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）【答案】A【解析】试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．试题解析：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选A ．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．19．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，若△CDM 周长的最小值为8，则△ABC 的面积为（）A ．12B ．16C ．24D ．32 【答案】A【解析】【分析】连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM+MD 的最小值，再根据三角形的周长求出AD 的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM+MD 的最小值，∵△CDM 周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6 ∴S △ABC =12BC•AD=12×4×6=12，故选A ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．20．如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AH BC ⊥，AE 平分BAC ∠，M 是 BC 中点，则下列结论正确的个数为（）（1）AB BE AC += （2）2AB BH BC += （3）2AB HM = （4）CH EH AC +=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】（1）延长AB 取BD=BE ，连接DE ，由∠D=∠BED ，2ABC C ∠=∠，得到∠D=∠C ，在△ADE 和△ACE 中，利用AAS 证明ADE ACE ≌，可得AC=AD=AB+BE ；（2）在HC 上截取HF=BH,连接AF ，可知△ABF 为等腰三角形，再根据2ABC AFB C ∠=∠=∠，可得出△AFC 为等腰三角形，所以FC+BH+HF=AB+2BH=BC ；（3）HM=BM-BH ，所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH ，再结合（2）中结论，可得2AB HM =；（4）结合（1）（2）的结论，BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+.【详解】解：①延长AB 取BD=BE ，连接DE ，∴∠D=∠BED ，∠ABC=∠D+∠BED=2∠D,∵2ABC C ∠=∠，∴∠D=∠C ，在△ADE 和△ACE 中，DAE CAE D C AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE ACE ≌∴AC=AD=AB+BE ，故（1）正确；②在HC 上截取HF=BH,连接AF ，∵AH BC ⊥，∴△ABF 为等腰三角形，∴AB=AF ，∠ABF=∠AFB ，∵2ABC C ∠=∠，∴∠AFB=2∠C=∠C+∠CAF ，∴FC=AF=AB ，∴FC+BH+HF=AB+2BH=BC ，故（2）正确；③∵HM=BM-BH ，∴2HM=2BM-2BH=BC-2BH ，由②可知BC-2BH=AB ，∴2AB HM =④根据①②结论，可得:BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+，故（4）正确；故选D.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的外角以及全等三角形的判定和性质，结合实际问题作出合适辅助线是解题关键.。

2021年全国各地中考数学真题分类汇编三角形(湖北专版)(解析卷)

2021年全国各地中考数学真题类汇编（湖北专版）三角形答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（）A．3B．C．D．解：由作法得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，∴•DE×10+•CD×6＝×6×8，即5CD+3CD＝24，∴CD＝3．故选：A．2．（襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深为12尺，故选：C．3．（鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米解：连接OC交AB于D，连接OA，∵点C为运行轨道的最低点，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝3（米），在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，故选：B．4．（十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×＝5（m），∴CE＝CD+DE＝（5+1.5）（m）．故选：D．5．（恩施州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD解：由图可得，BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5，∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∵EF∥GD，∴△BFE∽△BGD，∴，即，解得EF＝1.5，∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，∴＝，故选项A错误；由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；∵AC＝2，CD＝，∴AC≠CD，故选项C错误；∵tan∠ABC＝＝，tan∠＝＝，∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确；故选：D．6．（随州）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米解：如图所示，在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；在Rt△DEC中，DC＝cosβ×DE＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．故选：C．7．（宜昌）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．解：法一、如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝＝＝3，∴cos∠ABC＝＝＝．故选：B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝．故选：B．二．填空题（共5小题）8．（黄石）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝5米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为　10.5　米．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°，又CD＝4米，∴DF＝2米，CF＝（米），由题意得∠E＝45°，∴EF＝DF＝2米，∴BE＝BC+CF+EF＝5+2+2＝（7+2）米，∴AB＝BE＝7+2≈10.5（米），故答案为10.5．9．（湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是　20　m（≈1.732，结果保留整数）．解：过A点作AH⊥BC于H，过B点作BD垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图，根据题意得∠ACD＝75°，∠BCH＝30°，AB＝3×10＝30m，∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠BCD＝30°，在Rt△ABH中，AH＝AB＝15m，∵tan∠ABH＝，∴BH＝＝＝15，∵∠ACH＝∠ACD﹣∠BCD＝75°﹣30°＝45°，∴CH＝AH＝15m，∴BC＝BH+CH＝（15+15）m，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝≈20（m）．答：这架无人机的飞行高度大约是20m．故答案为20．10．（恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径　26　寸．解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，．则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故26．11．（随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使点C′落在AB边上，则点B所经过的路径长为　π　．（结果保留π）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，∴∠BAC＝60°，cos∠ABC＝，∴AB＝2，∵将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，∴∠BAB'＝∠BAC＝60°，∴点B所经过的路径长＝＝π，故π．12．（荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为　6.3　cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，在Rt△ABM中，∵∠BAE＝60°，AB＝16，∴BM＝sin60°•AB＝×16＝8（cm），∠ABM＝90°﹣60°＝30°，故6.3．三．解答题（共10小题）13．（黄石）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．14．（湖北）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG．解：（1）如图1中，线段BF即为所求．（2）如图2中，线段BG即为所求．15．（襄阳）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.41）．解：在Rt△BCD中，∵tan∠BDC＝，∴BC＝CD•tan∠BDC＝20×tan45°＝20（m），在Rt△ACD中，∵tan∠ADC＝，∴AC＝CD•tan∠ADC＝20×tan52°≈20×1.28＝25.6（m），∴AB＝AC﹣BC＝5.6（m）．答：旗杆AB的度约为5.6m．16．（荆门）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．（1）求证：BE＝CH；（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的长．（1）证明：∵正方形ABCD，∴∠B＝90°，AB＝BC，∵FH⊥BH，∴∠H＝90°＝∠B，∠F＝90°﹣∠FEH，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠FEH，∴∠AEB＝∠F，在△ABE和△EHF中，，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴EH＝AB＝BC，BE＝FH，∴EH﹣EC＝BC﹣EC，即CH＝BE；（2）连接DF，过F作FP⊥CD于P，如图：∵∠H＝∠DCH＝∠FPC＝90°，∴四边形PCHF是矩形，由（1）知：BE＝FH＝CH，∴四边形PCHF是正方形，∴PF＝CP＝CH＝BE＝x，∵DC＝AB＝3，∴DP＝DC﹣CP＝3﹣x，Rt△DPF中，DF＝，∴DF＝＝．17．（鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）解：（1）依题意知：∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，过点B作BD⊥AP于D点，∵∠DAB＝45°，，∴AD＝BD＝4，∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，∴∠PBD＝60°，∵BD＝4，∴，∴PA＝（4+4）（km）；（2）∵∠PBD＝60°，BD＝4，∴PB＝8，过点P作PE⊥BC于E，∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，∴∠PBE＝60°，∵PB＝8，∴BE＝4，，∵BC＝12，∴CE＝8，∴PC＝4（km）．18．（十堰）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．解：（1）证明：如图，在△ABC中，点D是AC的中点，∴AD＝DC，∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，∴△AFD≌△CED（AAS），∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，∴AF＝FC，∴平行四边形AECF是菱形．（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，∴∠AEB＝∠FAE＝60°，∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠AGE＝90°，∴∠GAE＝30°，∴GE＝AE＝1，AG＝GE＝，∵∠B＝45°，∴∠GAB＝∠B＝45°，∴BG＝AG＝，∴AB＝BG＝．19．（随州）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）证明四边形BEDF是菱形．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）如图，连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵BD⊥EF，∴平行四边形BEDF是菱形．20．（宜昌）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的　垂直平分线　，射线AE是∠DAC的　角平分线　；（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．解：（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线．故垂直平分线，角平分线．（2）∵DF垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∴∠BAD＝B＝40°，∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝50°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE＝∠CAD＝25°．21．（恩施州）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1m）解：作DE⊥BC于E，CF⊥BD于F，在Rt△BED中，BE＝AD＝10m，∠EDB＝30°，∴∠EBD＝60°，BD＝2BE＝20m，在Rt△CBF中，∠CBF＝60°，∴BF＝BC，CF＝BC，在Rt△CDF中，∠CDF＝45°，∴DF＝CF＝BC，∵BD＝BF+DF，∴BC+BC＝20，∴BC＝≈14.6（m），答：乙居民楼的高约为14.6m．22．（荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，所以有触礁的危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，有sin∠PBE＝＝＝，∴∠PBD＝60°，∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，90°﹣15°＝75°即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．。

2023-2024学年湖北省武汉市武珞路中学中考数学模拟试题含解析

2024年中考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列调查中，调查方式选择合理的是（）A ．为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间，选择全面调查B ．为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择全面调查C ．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查D ．为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查2．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，CB=16，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）A ．50π﹣48B ．25π﹣48C ．50π﹣24D ．3．sin60°的值为（）A 3B 3C 2D ．124．在刚过去的2017年，我国整体经济实力跃上了一个新台阶，城镇新增就业1351万人，数据“1351万”用科学记数法表示为（）A ．13.51×106B ．1.351×107C ．1.351×106D ．0.1531×1085．某射击选手10次射击成绩统计结果如下表，这10次成绩的众数、中位数分别是（）成绩（环）7 8 9 10 次数1 4 3 2A ．8、8B ．8、8.5C ．8、9D ．8、10 6．如图，圆弧形拱桥的跨径12AB =米，拱高4CD =米，则拱桥的半径为（）米A ．6.5B ．9C ．13D ．157．已知反比例函数2y x -=，下列结论不正确的是（） A ．图象经过点（﹣2，1） B ．图象在第二、四象限C ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大D ．当x ＞﹣1时，y ＞2 8．点A 、C 为半径是4的圆周上两点，点B 为AC 的中点，以线段BA 、BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（）A ．7或22B ．7或23C ．26或22D ．26或239．如图是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（-2,1），棋子“马”的坐标为（3，-1），则棋子“炮”的坐标为（）A ．（1，1）B ．（2，1）C ．（2，2）D ．（3，1）10．4的平方根是( )A ．4B ．±4C ．±2D ．2 11．解分式方程12x -﹣3=42x -时，去分母可得（） A ．1﹣3（x ﹣2）=4 B ．1﹣3（x ﹣2）=﹣4C ．﹣1﹣3（2﹣x ）=﹣4D ．1﹣3（2﹣x ）=4 12．下列因式分解正确的是( )A ．()2211x x +=+B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()2212x x x x -+=-+ 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在今年的春节黄金周中，全国零售和餐饮企业实现销售额约9260亿元，比去年春节黄金周增长10.2%，将9260亿用科学记数法表示为_____________．14．分解因式：mx 2﹣6mx+9m=_____．15．为迎接五月份全县中考九年级体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是_____．16．在一个不透明的布袋中装有4个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是13，则n ＝_____． 17．化简1111x x -+-的结果是_______________. 18．从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知一次函数12y kx =-的图象与反比例函数()20m y x x=>的图象交于A 点，与x 轴、y 轴交于,C D 两点，过A 作AB 垂直于x 轴于B 点.已知1,2AB BC ==.（1）求一次函数12y kx =-和反比例函数()20m y x x=>的表达式；（2）观察图象:当0x >时，比较12,y y .20．（6分）先化简，再求值：1+÷（1﹣），其中x=2cos30°+tan45°．21．（6分）如图，MN 是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A 处测得一海岛在南偏西32°的方向上，向东走过780米后到达B 处，测得海岛在南偏西37°的方向，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：tan37°=cot53°≈0.755，cot37°=tan53°≈1.327，tan32°=cot58°≈0.625，cot32°=tan58°≈1.1．）22．（8分）已知P 是O 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O 于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB＝6，OP=m ，1sin 3P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝．（1）当m=6时，求线段CD 的长；（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．23．（8分）先化简再求值：（a ﹣22ab b a -）÷22a b a-，其中a=1+2，b=1﹣2． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 和点 C 分别在x 轴和 y 轴的正半轴上，OA=6，OC=4，以 OA ，OC 为邻边作矩形 OABC ，动点 M ，N 以每秒 1 个单位长度的速度分别从点 A 、C 同时出发，其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动，点 N 沿 CB 向终点 B 运动，当两个动点运动了 t 秒时，过点 N 作NP ⊥BC ，交 OB 于点 P ，连接 MP ．（1）直接写出点 B 的坐标为，直线 OB 的函数表达式为 ;（2）记△OMP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式()06t <<；并求 t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值．25．（10分）计算: 021( 3.14)()3|12|4cos30.26．（12分） “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A ．非常了解，B ．比较了解，C ．基本了解，D ．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次共调查名学生；扇形统计图中C 所对应扇形的圆心角度数是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？（4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率．27．（12分）计算：21|﹣2sin45°38﹣21()2参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、D【解析】A ．为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间，选择抽样调查，故A 不符合题意；B ．为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择抽样调查，故B 不符合题意；C ．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选普查，故C 不符合题意；D ．为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查，故D 符合题意；故选D ．2、B【解析】设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，如图，∴AD⊥BC，∴BD=DC=BC=8，而AB=AC=10，CB=16，∴AD===6，∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积，=π•52﹣•16•6，=25π﹣1．故选B．3、B【解析】解：sin60°=32．故选B．4、B【解析】根据科学记数法进行解答.【详解】1315万即13510000，用科学记数法表示为1.351×107.故选择B.【点睛】本题主要考查科学记数法，科学记数法表示数的标准形式是a×10n（1≤│a│＜10且n为整数）.5、B【解析】根据众数和中位数的概念求解．【详解】由表可知，8环出现次数最多，有4次，所以众数为8环；这10个数据的中位数为第5、6个数据的平均数，即中位数为892=8.5（环），故选：B．【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6、A【解析】试题分析：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5考点：垂径定理的应用．7、D【解析】A选项：把（-2，1）代入解析式得：左边=右边，故本选项正确；B选项：因为-2＜0，图象在第二、四象限，故本选项正确；C选项：当x＜0，且k＜0，y随x的增大而增大，故本选项正确；D选项：当x＞0时，y＜0，故本选项错误．故选D．8、C【解析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD=12OB=2，如图②，BD=6，求得OD、OE、DE的长，连接OD，根据勾股定理得到结论．【详解】过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为AC的中点，∴BD⊥AC，如图①，∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，∴BD=12×4=2，∴OD=OB-BD=2，∵四边形ABCD是菱形，∴DE=12BD=1，∴OE=1+2=3，连接OC，∵CE=2222=43=7OC OE--，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC=2222=(7)1=22CE DE++；如图②，OD=2，BD=4+2=6，DE=12BD=3，OE=3-2=1，由勾股定理得：2222=41=15OC OE--DC=2222++.DE CE=3(15)=26故选C．【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．9、B【解析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．【详解】解：根据棋子“车”的坐标为（-2,1），建立如下平面直角坐标系：∴棋子“炮”的坐标为（2，1），故答案为：B．【点睛】本题考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．10、C【解析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x1=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【详解】∵（±1）1=4，∴4的平方根是±1．故选D．【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．11、B【解析】方程两边同时乘以（x-2），转化为整式方程，由此即可作出判断．【详解】方程两边同时乘以（x-2），得1﹣3（x﹣2）=﹣4，故选B．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.12、C【解析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论．【详解】解：D选项中，多项式x2-x+2在实数范围内不能因式分解；选项B，A中的等式不成立；选项C中，2x2-2=2（x2-1）=2（x+1）（x-1），正确．故选C．【点睛】本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、9.26×1011【解析】试题解析: 9260亿=9.26×1011故答案为: 9.26×1011点睛: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．14、m（x﹣3）1．【解析】先把提出来，然后对括号里面的多项式用公式法分解即可。

武汉市武珞路中学数学轴对称填空选择中考真题汇编[解析版]

武汉市武珞路中学数学轴对称填空选择中考真题汇编[解析版]一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：①EF =BE +CF ；②∠BOC =90°+12∠A ； ③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD =m ，AE +AF =n ，则AEF S mn ∆=．其中正确的结论是____．（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形的内角和定理，即可求出②∠BOC =90°+12∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO 和△CFO 是等腰三角形可得①EF =BE +CF 正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m ，AE+AF=n,则△AEF 的面积=12mn ，④错误. 【详解】在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A ， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=90°，故②∠BOC =90°+12∠A 正确；在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=∠EOB ，∠OCB=∠OCF ，∵EF ∥BC ，∴∠OBC=∠EOB ，∠OCB=∠FOC ，∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF ，∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF ，即①EF =BE +CF 正确；过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于点N ，连接AO ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON=OD=OM=m ，即③点O 到△ABC 各边的距离相等正确；∴S △AEF=S △AOE+ S △AOF=12AE·OM+12AF·OD=12OD·（AE+AF ）=12mn ，故④错误；故选①②③【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.2．如图,在△ABC 中，∠C=090,点D 在AB 上，BC=BD,DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为_______【答案】3【解析】【分析】连接BE ，由斜边直角边判定Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，从而DE CE =,再由△ABC 的周长 △ADE 的周长即可求得BC 的长．【详解】如图：连接BE ，DE ⊥AB ，090BDE ∴∠=，在Rt BDE ∆和Rt BCE ∆中，BE BE BD BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt BDE ∆≅ Rt BCE ∆，DE CE ∴=,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，△ADE 的周长= AD+AE+DE =6，∴BC=3，故答案为3．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE 构造全等三角形是解答此题的关键.3．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC ，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.【答案】235或7或8 【解析】【分析】易证∠MEC ＝∠CFN ，∠MCE ＝∠CNF ．只需MC ＝NC ，就可得到△MEC 与△CFN 全等，然后只需根据点M 和点N 不同位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】①当0≤t ＜4时，点M 在AC 上，点N 在BC 上，如图①，此时有AM ＝2t ，BN ＝3t ，AC ＝8，BC ＝15．当MC ＝NC 即8−2t ＝15−3t 时全等，解得t ＝7，不合题意舍去；②当4≤t ＜5时，点M 在BC 上，点N 也在BC 上，如图②，若MC ＝NC ，则点M 与点N 重合，即2t−8＝15−3t ，解得t ＝235；当5≤t ＜233时，点M 在BC 上，点N 在AC 上，如图③，当MC ＝NC 即2t−8＝3t−15时全等，解得t ＝7；④当233≤t ＜232时，点N 停在点A 处，点M 在BC 上，如图④，当MC ＝NC 即2t−8＝8，解得t ＝8；综上所述：当t 等于235或7或8秒时，以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等．故答案为：235或7或8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．4．如图，已知点(,0)A a 在x 轴正半轴上，点(0,)B b 在y 轴的正半轴上，ABC 为等腰直角三角形，D为斜边BC上的中点.若2OD=，则a b+=________.【答案】2【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得AP与BC的关系，根据垂线的性质，可得答案【详解】如图：作CP⊥x轴于点P，由余角的性质，得∠OBA=∠PAC，在Rt△OBA和Rt△PAC中，OBA PACAOB CPABA AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，Rt△OBA≌Rt△PAC（AAS），∴AP=OB=b，PC=OA=a．由线段的和差，得OP=OA+AP=a+b，即C点坐标是（a+b，a），由B（0，b），C（a+b，a），D是BC的中点，得D（2a b+，2a b+），∴OD=22a b+（）∴22a b+（）2，∴a+b=2.故答案为2.【点睛】本题解题主要①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性质；③利用了线段中点的性质.5．在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，若点O到三边的距离相等，则∠BOC＝_____°．【答案】115或65或22.5【解析】【分析】先画出符合的图形，再根据角平分线的性质和三角形的内角和定理逐个求出即可．【详解】解：①如图，∵点O到三边的距离相等，∴点O是△ABC的三角的平分线的交点，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，∴∠OBC＝12∠ABC＝30°，1OCB2∠=∠ACB＝35°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°；②如图，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝120°，∠FCB＝180°﹣∠ACB＝110°，∵点O到三边的距离相等，∴O是∠EBC和∠FCB的角平分线的交点，∴∠OBC＝12∠EBC＝60°，1OCB2∠=∠FCB＝55°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝65°；③如图，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°，∵点O 到三边的距离相等， ∴O 是∠EBA 和∠ACB 的角平分线的交点，∴∠OBA ＝12∠EBA ＝12×（180°﹣60°）＝60°，1OCB 2∠=∠ACB ＝37.5°， ∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBA +∠ABC +∠OCB ）＝180°﹣（60°﹣60°﹣37.5°）＝22.5°；如图，此时∠BOC ＝22.5°，故答案为：115或65或22.5．【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是根据题意分情况讨论.6．如图，ABC ∆中，090,,102ACB AC BC AB ∠===，点G 为AC 中点，连接BG ，CE BG ⊥于F ，交AB 于E ，连接GE ，点H 为AB 中点，连接FH ，以下结论：①ACE ABG ∠=∠；②5CF =；③AGE CGB ∠=∠；④FH 平分BFE ∠。

武汉市武珞路中学八年级数学上册第二单元《全等三角形》检测(有答案解析)

一、选择题1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒2．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒 3．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项成立的（）A ．AOP MON ∠>∠B ．AOP MON ∠=∠C ．AOP MON ∠<∠D ．以上情况都有可能4．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．15．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > 6．下列说法正确的（）个．①0.09的算术平方根是0.03；②1的立方根是±1；③3.1＜10＜3.2；④两边及一角分别相等的两个三角形全等．A ．0B ．1C ．2D ．37．如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组8．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有丙D ．只有乙 9．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AF 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由是（）A ．SSSB ．SASC ．SSAD ．AAS10．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 11．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL 12．如图，在△ABC 中，点E 和F 分别是AC ，BC 上一点，EF ∥AB ，∠BCA 的平分线交AB 于点D ，∠MAC 是△ABC 的外角，若∠MAC ＝α，∠EFC ＝β，∠ADC ＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（）A ．β＝α+γB ．β＝2γ﹣αC ．β＝α+2γD ．β＝2α﹣2γ二、填空题13．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．14．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AC 平分DAB ∠，CM AB ⊥于点M ，若4cm AM =， 2.5cm BC =，则四边形ABCD 的周长为______cm ．15．如图，已知//AD BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分DAB ∠，CBA ∠．若3cm AE =，4cm BE =，则四边形ABCD 的面积是________．16．如图，两根旗杆间相距22米，某人从点B 沿BA 走向点A ，一段时间后他到达点M ，此时他分别仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90°，且CM DM =．已知旗杆BD 的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M 所用时间是________秒．17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．18．如图所示，ABC ≅△AB C ''，20CAC ∠'=︒，BAB ∠'=___度．19．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第____块去，这利用了三角形全等中的____原理．20．如图，已知△ABC 的面积为18，BP 平分∠ABC ，且AP ⊥BP 于点P ，则△BPC 的面积是_____．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，AC CD =，已知()3,0A ，()0,3B ，()0,5C ，点D 在第一象限内，90DCA ∠=︒，AB 的延长线与DC 的延长线交于点M ，AC 与BD 交于点N ．（1）OBA ∠的度数为________．（2）求点D 的坐标．（3）求证：AM DN =．22．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1）（2）ABC 是格点三角形．①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形；②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形．23．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，若9AD =，6DE =，求BE 的长．24．（教材呈现）数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：试一试如图，AOB ∠为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出AOB ∠的平分线.第一步：在射线OA 、OB 上，分别截取OD 、OE ，使0;OD E =第二步：分别以点D 和点E 为圆心，适当长(大于线段DE 长的一半)为半径作圆弧，在AOB ∠内，两弧交于点C ；第三步：作射线OC .射线OC 就是所要求作的AOB ∠的平分线（问题1）赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是__________________．（问题2）小明发现只利用直角三角板也可以作AOB∠的角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM ON=．②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③作射线OP，则OP为AOB∠的平分线．请根据小明的作法，求证OP为AOB∠的平分线．25．如图，BC⊥AD于C，EF⊥AD于F，AB∥DE，分别交BC于B，交EF于E，且BC=EF．求证：AF=CD．26．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明ABE≌ADG，再证明AEF≌AGF，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF12=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=57°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB 即可得出∠BAD 的度数．【详解】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B=∠D=28°，又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，∵∠EAB=20°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．2．D解析：D【分析】根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩，即3634t t vt =-⎧⎨=⎩，解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．3．B解析：B【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=12∠AOC，∠AOM=∠MOB=12∠AOB，∠CON=∠BON=12∠BOC，进而可得∠MON=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOC，从而可得∠AOP=∠MON．【详解】解：∵OP平分∠AOC，∴∠AOP=12∠AOC，∵OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的平分线，∴∠AOM=∠MOB=12∠AOB，∠CON=∠BON=12∠BOC，∴∠MON=12∠AOB+12∠BOC=12∠AOC，∴∠AOP=∠MON．故选B．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．4．B解析：B【分析】先根据全等三角形的判定定理得出△ACD≌△ACB，△ABO≌△ADO，再根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】解：在△ABC和△ADC中，∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∠DCA=∠BCA∴点O到CB、CD的距离相等．故②正确在△ABO与△ADO中AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABO ≌△ADO （SAS ），∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA∵∠BOA+∠DOA=180°∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥故①④正确；∵AD≠CD∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误所以，正确的结论是①②④，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5．A解析：A【分析】当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，可确定取值范围．【详解】解：若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则C 点唯一即可，当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x >a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有一个交点，x =a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有两个交点，一个与A 重合，所以，当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，故选为：A ．【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 6．B解析：B【分析】根据平方根、立方根、无理数的估算和三角形全等判定定理进行判断即可．【详解】解：①0.09的算术平方根是0.3，不是0.03，因此①不正确；②1的立方根是1，不是±1，因此②不正确；③因为3.12＝9.91，3.22＝10.24，而9.91＜10＜10.24，所以3.1＜3.2，因此③正确；④只有两边夹角对应相等的两个三角形全等，而两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等．因此④不正确；所以正确的只有③，故选：B．【点睛】本题考查平方根、立方根、无理数的估算以及三角形全等判定定理，掌握平方根、立方根的意义、掌握无理数的估算方法和三角形全等的判断方法是正确判断的前提．7．C解析：C【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．【详解】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有3组．故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．8．B解析：B【分析】甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与△ABC全等；丙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC对应相等且均有50°内角，可根据AAS判定乙与△ABC 全等；则与△ABC全等的有乙和丙，故选：B．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．9．D解析：D【分析】求出∠PDA=∠PEA=90°，∠DAP=∠EAP ，根据AAS 推出两三角形全等即可．【详解】解：∵PD ⊥AB ，PE ⊥AF ，∴∠PDA=∠PEA=90°，∵AP 平分∠BAF ，∴∠DAP=∠EAP ，在△APD 和△APE 中DAP EAP PDA PEA AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△APE （AAS ），故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．10．D解析：D【分析】易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD ，∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 是等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，故③正确；作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在△BEG 和△BEF 中BE BE EF EG =⎧⎨=⎩ ∴ △BEG ≌△BEF ，∴BG=BF ，在△CEG 和△AFE 中EF EG AE CE=⎧⎨=⎩ ∴△CEG ≌△AFE ，∴ AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键； 11．D解析：D【分析】直接证明全等三角形，即可确定判断方法.【详解】解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,故选：D.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.12．B解析：B【分析】根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD，根据∠ADC 是△BDC的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB，于是得到结果．【详解】解：∵EF∥AB，∠EFC=β，∴∠B=∠EFC=β，∵CD平分∠BCA，∴∠ACB=2∠BCD，∵∠ADC是△BDC的外角，∴∠ADC=∠B+∠BCD，∵∠ADC=γ，∴∠BCD=γ-β，∵∠MAC是△ABC的外角，∴∠MAC=∠B+∠ACB，∵∠MAC=α，∴α=β+2（γ-β），∴β=2γ-α，故选：B．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题13．12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示由题可知∴∴∴BCD在一条直线上∵∴△ABD是等边三角形∴△ABD的周长；故答案是12【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质结合等边解析：12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示，由题可知ABC ADC ≅△△，∴30BAC DAC ∠=∠=︒，90ACB ACD ∠=∠=︒，2BC BD ==，∴60BAD ∠=︒，180BCD ∠=︒，∴B ，C ，D 在一条直线上，∵60B D ∠=∠=︒，∴△ABD 是等边三角形，∴△ABD 的周长()3312BD BC CD ==+=；故答案是12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 14．13【分析】过点C 作CN ⊥AD 交AD 延长线于点N 由角平分线的性质得到CN=CM 然后证明△CDN ≌△CBM 得到DN=BMCD=CB=25然后求出AN=AM=4则AD=4DN 即可求出四边形的周长【详解】解析：13【分析】过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，由角平分线的性质，得到CN=CM ，然后证明△CDN ≌△CBM ，得到DN=BM ，CD=CB=2.5，然后求出AN=AM=4，则AD=4-DN ，即可求出四边形的周长．【详解】解：根据题意，过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，如图：∵CM AB ⊥，CN ⊥AD ，∴∠N=∠CMB=90°，∵180B ADC ∠+∠=︒，180CDN ADC ∠+∠=︒，∴B CDN ∠=∠，∵AC 平分DAB ∠，∴CN=CM ，∴△CDN ≌△CBM ，∴DN=BM ，CD=CB=2.5，∵AC=AC ，∠N=∠CMA=90°，∴△ACN ≌△ACM （HL ），∴AN=AM=4，∴AD=4-DN ，∴AB=4+BM=4+DN ，∴四边形ABCD 的周长为：4 2.5 2.5413AD DC CB AB DN DN +++=-++++=；故答案为：13．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用所学的知识，正确得到AD=4-DN ，AB=4+DN ．15．【分析】如图延长AEBC 交于点M 通过条件证明再证明可知即可求解出结果【详解】解：如图延长AEBC 交于点MAE 平分又BE 平分BE=BE 故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的综合问题需要熟练掌握全等三角解析：212cm【分析】如图，延长AE ，BC 交于点M ，通过条件证明()ABE MBE AAS ≅，再证明()ADE MCE ASA ≅，可知ADE MCE SS =，=2ABE ABCD S S 四边形即可求解出结果．【详解】解：如图，延长AE ，BC 交于点M ，AE 平分DAB ∠，BAE DAE ∴∠=∠，//AD BC ，//AD BM ∴，BAE DAE CME ∴∠=∠=∠，又 BE 平分CBA ∠，ABE MBE ∴∠=∠，BAE CME ABE MBE ∠=∠∠=∠，，BE=BE ，()ABE MBE AAS ∴≅，90BEA BEM AE ME ∴∠=∠=︒=，，DAE CME AE ME ∠=∠=，，AED MEC ∠=∠，()ADE MCE ASA ∴≅，ADE MCE S S ∴=，3cm AE =，4cm BE =，21==2234122ABM ABE ABCD S S S cm ∴=⨯⨯⨯=四边形，故答案为：212cm ．【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能根据条件和图像做出合适的辅助线是解决本题的关键．16．5【分析】根据题意证明利用证明根据全等三角形的性质得到米再利用时间=路程÷速度计算即可【详解】解：∵∴又∵∴∴在和中∴∴米（米）∵该人的运动速度他到达点M 时运动时间为s 故答案为5【点睛】本题考查了全解析：5【分析】根据题意证明C DMB ∠=∠，利用AAS 证明ACM BMD ≌，根据全等三角形的性质得到12BD AM ==米，再利用时间=路程÷速度计算即可．【详解】解：∵90CMD ∠=︒，∴90CMA DMB +=︒∠∠，又∵90CAM ∠=︒，∴90CMA C ︒∠+∠=，∴C DMB ∠=∠，在 Rt ACM △和Rt BMD △中， A B C DMB CM MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()Rt ACM Rt BMD AAS ≌，∴12BD AM ==米，221210BM =-=（米），∵该人的运动速度2m/s ，他到达点M 时，运动时间为5210=÷s ．故答案为5．【点睛】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得Rt ACM Rt BMD ≌．17．4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=延长CD 到H 使DH=CD 由线段中点的定义得到AD=BD 根据全等三角形的性质得到AH=BC=4【详解】∵DC ⊥BC ∴∠BCD=∵∠ACB=∴∠ACD=如图延长CD解析：4【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=90︒，延长CD 到H 使DH=CD ，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．【详解】∵ DC ⊥BC ，∴ ∠BCD=90︒，∵ ∠ACB=120︒，∴ ∠ACD=30︒，如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，∵ D 为 AB 的中点，∴ AD=BD ，在 ΔADH 与 ΔBCD 中，CD DH ADH BDC AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ΔADH ≅ΔBCD(SAS)，∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，∴点A 到CD 的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．18．20【分析】根据△得到由此推出得到答案【详解】解：△∴；∵∴故答案为：20【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等熟记性质定理是解题的关键解析：20【分析】根据ABC ≅△AB C ''得到CAB C AB ∠=∠''，由此推出CAC C AB BAB C AB ''∠'+∠=∠'+∠得到答案．【详解】解：ABC ∆≅△AB C ''，∴CAB C AB ∠=∠''；∵CAC C AB CAB '∠'+∠=∠，BAB C AB C AB '∠'+∠=∠''，∴CAC C AB BAB C AB ''∠'+∠=∠'+∠，20CAC BAB ∴∠'=∠'=︒．故答案为：20．【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，熟记性质定理是解题的关键． 19．ASA 【分析】根据全等三角形的判断方法解答【详解】解：由图可知带第4块去符合角边角可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃故答案为：4；ASA【点睛】本题考查了全等三角形的应用是基础题熟记三角形全等的判解析：ASA【分析】根据全等三角形的判断方法解答．【详解】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．故答案为：4；ASA【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 20．9【分析】根据已知条件证得△ABP ≌△DBP 根据全等三角形的性质得到AP ＝PD 得出S △ABP ＝S △DBPS △ACP ＝S △DCP 推出S △PBC ＝S △ABC 代入求出即可【详解】解：如图延长AP 交BC 于点解析：9【分析】根据已知条件证得△ABP ≌△DBP ，根据全等三角形的性质得到AP ＝PD ，得出S △ABP ＝S △DBP ，S △ACP ＝S △DCP ，推出S △PBC ＝12S △ABC ，代入求出即可．【详解】解：如图，延长AP 交BC 于点D ，∵BP 平分∠ABC∴∠ABP ＝∠DBP ，且BP ＝BP ，∠APB ＝∠DPB∴△ABP ≌△DBP （ASA ）∴AP ＝PD ，∴S △ABP ＝S △BPD ，S △APC ＝S △CDP ，∴S △PBC ＝12S △ABC ＝9，故答案为：9．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．三、解答题21．（1）45°；（2）()5,8D ；（3）见解析.【分析】(1)根据点A,点B 的坐标,得OA=OB,从而得到等腰直角三角形OAB 依此计算即可；(2) 过点D 作DE y ⊥轴，垂足为E ，证明DEC COA △△≌即可；(3)通过证明CDB CAB ∠=∠，实现DCN ACM △△≌的目标，问题得证.【详解】（1）∵()3,0A ，()0,3B ，∴OA=OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，故填45°．（2）∵()0,5C ，∴5OC =．如图，过点D 作DE y ⊥轴，垂足为E ，∴90DEC AOC ∠=∠=︒．∵90DCA ∠=︒，AC CD =，∴90ECD BCA ECD EDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCA EDC ∠=∠，∴()AAS DEC COA ≌△△， ∴5DE OC ==，3EC OA ==，∴8OE OC EC =+=，∴()5,8D ．（3）证明：∵835BE OE OB =-=-=，∴BE DE =，∴DBE 是等腰直角三角形，∴45DBE ∠=︒． ∵45OBA ∠=︒，∴90DBA ∠=︒，∴90BAN ANB ∠+∠=︒．∵90DCA ∠=︒，∴90CDN DNC ∠+∠=︒．∵DNC ANB ∠=∠，∴CDB CAB ∠=∠．∵90DCA ∠=︒，∴90ACM DCN ∠=∠=︒．∵AC CD =，∴()ASA DCN ACM ≌△△， ∴AM DN =．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，一线三直角全等模型，坐标与线段的关系，三角形的全等，解答时，能准确找到合适的全等三角形是解题的关键.22．（1）6；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）用割补法求解即可；（2）根据“SSS”画图即可；（3）根据“SSS”画图即可；【详解】解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12×5×1=6，故答案为：6；（2）①如图，'A BC 即为所求，②如图，''AB C 即为所求，【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．23．3【分析】根据同角的余角相等可得EBC DCA ∠=∠，根据“AAS”可证CEB △≌ADC ，可得9AD CE ==，即可求BE 的长．【详解】解：∵BE CE ⊥，AD CE ⊥，∴90E ADC ∠=∠=︒，∴90EBC BCE ∠+∠=︒．∵90BCE ACD ∠+∠=︒，∴EBC DCA ∠=∠．在CEB △和ADC 中，E ADC EBC ACD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CEB △≌ADC （AAS ），∴BE CD =，9AD CE ==，∴963BE CD CE DE ==-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．24．【问题1】边边边（或SSS ）；【问题2】见解析【分析】问题1：根据三角形全等的SSS 定理解答；问题2：证明Rt △ONP ≌Rt △OMP ，根据全等三角形的性质证明即可．【详解】解：问题1：张老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS ，故答案为：SSS ；问题2：由作图得：OM ON =，PN OB ⊥，PM OA ⊥．∴90PNO PMO ∠=∠=︒．∴PNO 和PMO △是直角三角形．∵OP OP =，∴ONP OMP ≌．∴AOP BOP ∠=∠．∴OP 为AOB ∠的平分线．【点睛】本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答．25．证明见解析．【分析】由BC ⊥AD ，EF ⊥AD 得∠EFD =∠BCA =90°，由AB ∥DE ，得∠D =∠A ，又BC =EF ，从而△ABC ≌△DEF ，则AC =FD ， AF =CD ．【详解】证明：∵BC ⊥AD ，EF ⊥AD ，∴∠EFD =∠BCA =90°∵AB ∥DE ，∴∠D =∠A∵BC =EF ，∴△ABC ≌△DEF ，∴AC =FD ，∴AF =CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 26．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下：在ABE 和ADG 中， DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF 12=∠AOB ，又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AGF 是解题的关键．。

武汉市武珞路中学八年级数学上册第十二章《全等三角形》复习题(培优)

一、选择题1．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中AB CD ⊥，现添加以下条件，不能判定ABC ABD △≌△的是（）A ．ACB ADB ∠=∠B ．AB BD =C ．AC AD = D ．CAB DAB ∠=∠2．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（）A ．2B ．5C ．3D ．73．下列说法正确的（）个．①0.09的算术平方根是0.03；②1的立方根是±1；③3.110＜3.2；④两边及一角分别相等的两个三角形全等．A ．0B ．1C ．2D ．34．如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，则图中全等三角形的对数有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 5．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（）A ．PC PD =B ．OC OD = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC PE =6．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠A ＝105°，∠D ＝25°，则∠ABE 等于（）A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°7．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有丙D ．只有乙 8．下列命题中，真命题是（）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等9．下列命题中，假命题是（）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等10．如图所示，已知∠A ＝∠C ，∠AFD ＝∠CEB ，那么给出的条件不能得到ADF CBE △≌△是（）A ．∠B ＝∠D B ．EB=DFC ．AD=BCD ．AE=CF 11．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（）A ．AB ＝3，BC ＝4，∠C ＝40°B ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4C ．∠C ＝90°，AB ＝6D ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° 12．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE =2，AB =4，则AC 长是（）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．413．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④14．如图，点C ，D 在线段AB 上，AC DB =，AE //BF ，添加以下哪一个条件仍不能判定△AED ≌△BFC （）A ．ED CF =B ．AE BF =C ．E F ∠=∠D ．ED //CF15．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠二、填空题16．如图，AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，C 是OB 上的动点，连接PC ，若4PD =，则PC 的最小值为_________．17．如图，四边形ABCD 中，AC BC =，90ACB ADC ∠=∠=︒，10CD =，则BCD ∆的面积为______．18．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则点A 到直线CD 的距离是_____．19．如图，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，BD ＝CF ，BE ＝CD ．若∠AFD ＝145°，则∠EDF ＝_____．20．如图，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE BC ⊥于点E ，若2DE =，7BC =，12ABC S =△，则AB 的长为______．21．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为_______．22．如图，AB ＝8cm ，AC ＝5cm ，∠A ＝∠B ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向B 运动，同时，点Q 以x cm/s 的速度从点B 出发在射线BD 上运动，则△ACP 与△BPQ 全等时，x 的值为_____________23．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．24．如图，在直角坐标系中，AD 是Rt △OAB 的角平分线，已知点D 的坐标是（0，-3），AB 的长为12，则△ABD 的面积是_____25．如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若9PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为_______．26．如图，已知点(44)A -，，一个以A 为顶点的45︒角绕点A 旋转，角的两边分别交x 轴正半轴，y 轴负半轴于E 、F ，连接EF ．当△AEF 直角三角形时，点E 的坐标是________．三、解答题27．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．28．如图，在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，BC 、EF 交于点M ，AC DF =，AB DE =．求证：（1）CBA FED ∠=∠；（2）AM DM =．29．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．30．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠．小聪的探究方法是对B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当B 是直角时，如图1，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据“HL ”定理，可以知道Rt Rt ABC DEF ≌△△．第二种情况：当B 是锐角时，如图2，90B E ∠=∠<︒，BC EF =．（1）在射线EM 上是否存在点D ，使DF AC =？若存在，请在图中作出这个点，并连接DF ；若不存在，请说明理由；（2）这种情形下，ABC 和DEF 的关系是（选填“全等”“不全等”或“不一定全等”）；第三种情况：当B 是钝角时，如图3，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠>︒．（3）请判断这种情形下，ABC 和DEF 是否全等，并说明理由．。

武汉市武珞路中学八年级数学上册第一单元《三角形》检测(有答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，AB 边上的高为（）A ．CGB ．BFC ．BED ．AD2．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（） ①13∠=∠；②180BAE CAD ∠+∠=︒； ③若//BC AD ，则230∠=︒； ④若150CAD ∠=︒，则4C ∠=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．若一个多边形的每个内角都等于160°，则这个多边形的边数是（） A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 4．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．1，2，3B ．1，3，5C ．2，3，4D ．2，6，10 5．若一个三角形的三个内角的度数之比为11:13:24，那么这个三角形是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 6．在△ABC 中，∠A ＝x °，∠B ＝(2x ＋10)°，∠C 的外角大小(x ＋40)°，则x 的值等于（） A ．15B ．20C ．30D ．407．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则BDC∠的度数是（）A ．65︒B ．75︒C ．85︒D ．105︒8．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（）A ．4cm, 5cm,9cmB ．4cm, 5cm, 6cmC ．5cm,12cm,6cmD ．4cm,2cm,2cm9．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板（60B ∠=）的斜边AB 上，两块三角板的直角边交于点M ．如果75BDE ∠=，那么AMD ∠的度数是（）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°10．如图，在ABC ∆中，80,BAC ∠=︒点D 在BC 边上，将ABD △沿AD 折叠，点B 恰好落在AC 边上的点'B 处，若'20B DC ∠=．则C ∠的度数为（）A ．20B ．25C ．35D ．40 11．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A ．5B ．6C ．7D ．812．如图，在ABC 中，48BAC ∠=︒，点 I 是ABC ∠、ACB ∠的平分线的交点．点D 是ABC ∠、 ACB ∠的两条外角平分线的交点，点E 是内角ABC ∠、外角ACG ∠的平分线的交点，则下列结论不正确．．．的是（）A ．180BDC BIC ∠+∠=︒B ．85ICE ∠=︒C ．24E ∠=︒D ．90DBE ∠=︒二、填空题13．已知三角形三边长分别为m ，n ，k ，且m 、n 满足2|9|(5)0n m -+-=，则这个三角形最长边k 的取值范围是________．14．多边形每一个内角都等于108°，多边形一个顶点可引的对角线的条数是________条． 15．七边形的外角和为________．16．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m 块正三角形，n 块正六边形，则m+n ＝______．17．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．18．多边形每一个内角都等于90︒，则从此多边形一个顶点出发的对角线有____条． 19．已知等腰三角形的一边长等于11cm ，一边长等于5cm ，它的周长为______． 20．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____．（填写度数）．三、解答题21．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC 的顶点都在方格纸格点上．将△ABC 向左平移2格，再向上平移4格．（1）请在图中画出平移后的△A ′B ′C ′；（2）在图中画出△ABC 的高CD ，中线BE ；（3）在图中能使S △ABC ＝S △PBC 的格点P 的个数有个（点P 异于点A ）．22．在ABC ∆中， ,AB AC CG BA =⊥交BA 的延长线于点G ，点D 是线段BC 上的一个动点．特例研究：()1当点D 与点B 重合时，过B 作BF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，如图①所示，通过观察﹑测量BF 与CG 的长度，得到BF CC =．请给予证明．猜想证明：()2当点D 由点B 向点C 移动到如图②所示的位置时，过D 作DF AC ⊥交CA 的延长线于点F ，过D 作DE BA ⊥交BA 于点E ，此时请你通过观察，测量DE DF 、与CG 的长度，猜想并写出DE DF 、与CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．拓展延伸：()3当点D 由点B 向点C 继续移动时（不与C 重合），过D 作DF AC ⊥交AC 于点F ，过D 作DF BA ⊥交BA （或BA 的延长线）于点E ，如图③，图④所示，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立?（不用证明）23．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点P ，根据下列条件，求BPC ∠的度数．（1）若40ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则BPC ∠=______；（2）若110ABC ACB ∠+∠=︒，则BPC ∠=______；（3）若90A ∠=︒，则BPC ∠=______；（4）从以上的计算中，你能发现已知A ∠，求BPC ∠的公式是：BPC ∠=______（提示：用A ∠表示）．24．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的对角线的总条数．25．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠，且//BE AD ，20BAD ∠=︒，求AEB ∠的度数．26．如图，有一块直角三角板XYZ 置在ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．ABC 中，30A ∠=︒．（1）ABC ACB ∠+∠=________．（2）ABX ACX ∠+∠=________．（说明理由）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】在ABC 中，过C 点向AB 所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段是AB 上的高，由此可得答案．【详解】解：ABC 中，AB 边上的高为：.CG 故选：.A 【点睛】本题考查的是三角形的高的含义，掌握钝角三角形的高是解题的关键．2．C解析：C 【分析】利用同角的余角相等可判断①，利用角的和差与直角三角形的性质可判断②，利用平行线的性质先求解CAD ∠，再利用结论②可判断③，由150CAD ∠=︒，先求解230∠=︒，如图，记,AB DE 交于,G 再求解90AGE ∠=︒，再利用三角形的外角的性质求解4∠，从而可判断④．【详解】解：90BAC DAE ∠=∠=︒， 122390∴∠+∠=∠+∠=︒，13∴∠=∠，故①符合题意， 19090180BAE CAD BAE DAE BAC DAE ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，故②符合题意； //,BC AD180C CAD ∴∠+∠=︒， 45C ∠=︒， 135CAD ∴∠=︒，218018013545CAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故③不符合题意； 150180CAD BAE CAD ∠=︒∠+∠=︒，， 30BAE ∴∠=︒，如图，记,AB DE 交于,GE∠=︒，60∴∠=︒-︒-︒=︒，AGE180306090B C∠=∠=︒45,∴∠=∠-∠=︒-︒=︒4904545.AGE B∴∠=∠故④符合题意，4.C综上：符合题意的有①②④．故选：.C【点睛】本题考查的是角的和差，余角与补角，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．3．A解析：A【分析】设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n−2）•180°列方程求解即可．【详解】设多边形的边数为n，由题意得，（n−2）•180＝160•n，解得：n＝18，故选：A．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据三角形三边关系逐一进行判断即可．【详解】A、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；B、1+3=4＜5，不能构成三角形，故不符合题意；C、2+3=5>4，可以构成三角形，故符合题意；D、2+6=8＜10，不能构成三角形，故不符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键．5．B解析：B 【分析】根据角的度数之比，求得最大角的度数，根据最大角的性质判断即可. 【详解】∵三个内角的度数之比为11:13:24，∴最大角的度数为°24180111324⨯++=90°，∴三角形是直角三角形，故选B. 【点睛】本题考查了三角形按角的分类，根据度数之比求得最大角的度数是解题的关键.6．A解析：A 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列出方程求解即可．【详解】解：∵∠C 的外角=∠A+∠B ， ∴x+40=2x+10+x ，解得x=15．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．7．B解析：B 【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∠CEA =60︒，∠BAE =45︒， ∴∠ADE = 180︒−∠CEA −∠BAE =75︒， ∴∠BDC =∠ADE =75︒，故选：B 【点睛】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．8．B解析：B 【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．【详解】解：根据三角形的三边关系，知： A 中，4+5=9，排除； B 中，4+5＞6，满足； C 中，5+6＜12，排除； D 中，2+2=4，排除．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．9．D解析：D 【分析】由题意得：∠A=30°，∠FDE=45°，利用平角等于180°，可得到∠ADF 的度数，在△AMD 中，利用三角形内角和为180°，可以求出∠AMD 的度数．【详解】解：∵∠B=60°， ∴∠A=30°，∵∠BDE=75°，∠FDE=45°， ∴∠ADF=180°-75°-45°=60°， ∴∠AMD=180°-30°-60°=90°，故选D ．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理的应用，题目比较简单，关键是要注意角之间的关系．10．D解析：D 【分析】由折叠的性质可求得'B AB D ∠=∠，利用三角形内角和及外角的性质列方程求解．【详解】解：由题意可得'B AB D ∠=∠ ∵80,BAC ∠=︒ ∴∠B+∠C=100°又∵'='=20B AB D C B DC C ∠=∠+∠+∠∠， ∴∠C+20°+∠C=100°解得：∠C=40° 故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和及外角的性质，找准角之间的等量关系列出方程正确计算是解题关键．11．D解析：D 【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．【详解】解：根据题意，得：（n-2）×180=360×3，解得n=8．故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．12．B解析：B 【分析】根据题意，结合三角形内角和定理、角平分线的性质，三角形外角的性质分别求解即可得出结论. 【详解】解：由题意可得：在四边形BDCI 中，1180902IBD IBC CBD ∠=∠+∠=⨯︒=︒，90ICD ∠=︒，可得180BDC BIC ∠+∠=︒，故A 选项不符合题意，90ICE ∠=︒，故B 选项符合题意， 48BAC ∠=︒，在三角形ICE 中， EIC ∠=18048662IBC ICB ︒-︒∠+∠==︒，90ICE ∠=︒， 906624E ∠=︒-︒=∴︒ ，故C 选项不符合题意， 90DBE ∠=︒，故D 选项不符合题意，故选：B. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，结合图形熟练运用定理和性质进行求解是解题的关键.二、填空题13．【分析】根据求出mn 的长根据三角形三边关系求出k 的取值范围再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值【详解】解：由题意得n-9=0m-5=0解得m=5n=9∵mnk 为三角形的三边长∴∵k 为三角形的最长边解析：914k ≤<【分析】根据2|9|(5)0n m -+-=求出m 、n 的长，根据三角形三边关系求出k 的取值范围，再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值．【详解】解：由题意得n-9=0，m-5=0，解得 m=5，n=9，∵m ，n ，k ，为三角形的三边长，∴414k ≤<，∵k 为三角形的最长边，∴914k ≤<．故答案为：914k ≤<【点睛】本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的三边关系，根据题意求出m 、n 的长是解题关键，确定k 的取值范围时要注意k 为最长边这一条件． 14．2【分析】多边形的每一个内角都是108°则每个外角是72°多边形的外角和是360°这个多边形的每个外角相等因而用360°除以外角的度数就得到外角的个数外角的个数就是多边形的边数再根据从n 边形的一个顶解析：2【分析】多边形的每一个内角都是108°，则每个外角是72°．多边形的外角和是360°，这个多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．再根据从n 边形的一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n−2）个三角形，依此作答．【详解】根据题意得：360°÷（180°−108°）＝360°÷72°＝5，那么它的边数是五，从它的一个顶点出发的对角线共有5−3＝2条，故答案为：2．【点睛】此题考查了多边形内角与外角，根据多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．另外需要记住从n 边形的一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，把这个多边形分割成（n−2）个三角形．15．360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解；【详解】∵多边形的外角和都是360°∴七边形的外角和为360°故答案为：360°【点睛】本题考查了多边形的外角的性质掌握多边形的外角和等于36解析：360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解；【详解】∵ 多边形的外角和都是360°，∴七边形的外角和为360°，故答案为：360°．【点睛】本题考查了多边形的外角的性质，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键； 16．4或5【分析】先求出正三角形和正六边形的内角大小然后列出关于mn 的二元一次方程然后确定mn 的值最后求m+n 即可【详解】解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°120°∴60°m+120°n=360°解析：4或5【分析】先求出正三角形和正六边形的内角大小，然后列出关于m 、n 的二元一次方程，然后确定m 、n 的值，最后求m+n 即可．【详解】解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°∴60°m+120°n=360°，即m+2n=6∴当n=1时，m=4；当n=2时，m=2；∴m+n=5或m+n=4．故答案为：4或5．【点睛】本主要考查了正多边形的组合能否进行平面镶嵌，掌握位于同一顶点处的几个角之和能否为360°成为解答本题的关键．17．5°【分析】根据角平分线的定义可得再根据折叠的性质可得再根据平分可得进而可得【详解】解：∵的角平分线为∴又∵与关于对称∴∵与关于对称∴又∵平分∴又∵为折痕∴∵∴又∵∴∴又∵∴故答案为：675°【点睛解析：5°．【分析】根据角平分线的定义可得1FBE ∠=∠，再根据折叠的性质可得1MBF FBE ∠=∠=∠，NBF FBD ∠=∠，CBA CBF ∠=∠，再根据BN 平分CBM ∠可得CBN NBM ∠=∠，进而可得318067.58ABC ∠=⨯=．【详解】解：∵FBD ∠的角平分线为BE ，∴1FBE ∠=∠，又∵BM 与BE 关于BF 对称，∴1MBF FBE ∠=∠=∠，∵BN 与BD 关于BF 对称，∴NBF FBD ∠=∠FBE EBD =∠+∠11=∠+∠21=∠，又∵BN 平分CBM ∠，∴CBN NBM ∠=∠，又∵BC 为折痕，∴CBA CBF ∠=∠CBN NBF =∠+∠21NBM =∠+∠，∵NBM NBF MBF ∠=∠-∠211=∠=∠1=∠，∴31CBA ∠=∠，又∵180CBA CBF FBD ∠+∠+∠=，∴3112121180∠+∠+∠+∠=，∴81180∠=，又∵31ABC ∠=∠， ∴318067.58ABC ∠=⨯=，故答案为：67.5°．【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平角的定义，解题的关键是理解题意，找到31808ABC ∠=⨯． 18．1【分析】先根据多边形内角和公式求出它是几边形就可以得到结果【详解】解：设这个多边形是n 边形解得∴是四边形∴从一个顶点出发的对角线有1条故答案是：1【点睛】本题考查多边形内角和公式解题的关键是掌握多解析：1【分析】先根据多边形内角和公式求出它是几边形，就可以得到结果．【详解】解：设这个多边形是n边形，()︒-=︒，180290n nn=，解得4∴是四边形，∴从一个顶点出发的对角线有1条．故答案是：1．【点睛】本题考查多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．19．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为11和5而没有明确腰底分别是多少所以要进行讨论还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【详解】分两种情况：当腰为11时11＋11>511-11<5所以能构成三解析：27cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为11和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】分两种情况：当腰为11时，11＋11>5，11-11<5，所以能构成三角形，周长是：11＋11＋5＝27cm；当腰为5时，5＋5<11，所以不能构成三角形，故答案为：27cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．20．360°【分析】连接BE先利用三角形内角和定理得出∠C+∠D=∠PBE+∠PEB 继而在四边形ABEF中利用内角和定理进行求解即可【详解】连接BE∵∠C+∠D+∠DPC=180°∠PBE+∠PEB+∠解析：360°【分析】连接BE，先利用三角形内角和定理得出∠C+∠D=∠PBE+∠PEB，继而在四边形ABEF中利用内角和定理进行求解即可．【详解】连接BE，∵∠C+∠D+∠DPC=180°，∠PBE+∠PEB+∠BPE=180°，∠DPC=∠BPE，∴∠C+∠D=∠PBE+∠PEB，在四边形ABEF中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=（4-2）×180°=360°，∴∠A+∠ABP+∠PBE+∠PEB+∠PEF+∠F=360°，∴∠A+∠ABP+∠C+∠D+∠PEF+∠F=360°，故答案为：360°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及四边形内角和的应用，正确添加辅助线，准确识图，熟练应用相关知识是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析；（3）4．【分析】（1）利用网格特点和平移的性质，分别画出点A、B、C的对应点A'、B'、C'即可；（2）利用网格特点，作CD⊥AB于D，找出AC的中点可得到BE；（3）利用平行线的性质过点A作出BC的平行线进而得出符合题意的点．【详解】（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；（2）如图所示：CD即为所求；（3）如图所示：能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有4个．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了平移变换以及平行线的性质和三角形的高，利用平行线的性质得出P点位置是解题关键．=+，证明见解析；（3）结论不变：22．（1）证明见解析；（2）CG DE DF=+CG DE DF【分析】（1）根据12ABC S AC BF =⋅△，12ABC S AB CG =⋅△，即可解决问题；（2）结论CG DE DF =+，利用面积法证明即可；（3）结论不变，证明方法类似（2）．【详解】（1）证明：如图①中，∵90F G ︒∠=∠=，∴12ABC S AC BF =⋅△，12ABC S AB CG =⋅△， ∴1122AC BF AB CG ⋅=⋅，又∵AB AC =，∴BF AC =；（2）解：结论CG DE DF =+，理由：如图②中，连接AD ，∵ABC ABD ADC SS S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222AB CG AB DE AC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB AC =，∴CG DE DF =+；（3）结论不变：CG DE DF =+，证明如下：如图③，连接AD ，∵ABC ABD ADC SS S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222AB CG AB DE AC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB AC =，∴CG DE DF =+；如图④，连接AD ，∵ABC ABD ADC SS S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222AB CG AB DE AC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∵AB AC =，∴CG DE DF =+．【点睛】本题考查三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法证明线段之间的关系．23．（1）130°；（2）125°；（3）135°；（4）1902A ︒+∠．【分析】（1）依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；（2）依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；（3）依据∠A=90°，可得∠ABC+∠ACB 的度数，依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；（4）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB 的度数，依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC=90°+12∠A ．【详解】解：如下图所示，（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=20°+30°=50°，∴△BCP 中，∠P=180°-50°=130°，故答案为：130°；（2）∵∠ABC+∠ACB=110°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=12×110°=55°， ∴△BCP 中，∠P=180°-55°=125°，故答案为：125°；（3）∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=12×90°=45°， ∴△BCP 中，∠P=180°-45°=135°，故答案为：135°；（4）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ， ∴124(180)2A ∠+∠=⨯︒-∠， ∴△BCP 中，11180(180)9022P A A =︒-⨯︒-∠=︒+∠∠．故答案为：1902A ︒+∠．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．24．（1）9；（2）27【分析】（1）利用多边形的外角和为360°，根据内角和与外角和的关系及多边形内角和公式求出边数即可得答案；（2）根据多边形对角线条数公式计算即可得答案．【详解】（1）设多边形的边数为n ，∵多边形的外角和为360°，内角和比它的外角和的3倍还多180度，∴此多边形的内角和为360°×3+180°=1260°，∴（n-2）×180°=1260，解得：n=9，答：这个多边形的边数是9．（2）由（1）可知此多边形为9边形，∴从一个顶点可引出对角线9-3=6（条），∴这个多边形的对角线的总条数为6×9÷2=27（条），答：这个多边形的对角线的总条数为27条．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角、多边形的对角线，掌握多边形的内角和定理、多边形的对角线的条数的计算公式是解题的关键．25．110°【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可得到结论．【详解】∵BE ∥AD ，∴∠ABE=∠BAD=20°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC=∠ABE=20°，∵∠C=90°，∴∠AEB=∠C+∠CBE=90°+20°=110°．【点睛】考查了三角形的外角的性质、平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是正确识别图形得出图中角之间的关系．26．（1）150︒ （2）60︒；理由见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求得答案；（2）先求得XBC XCB ∠+∠=90°，再根据ABX ACX ∠+∠()()ABC ACB XBC XCB =∠+∠-∠+∠即可求得答案．【详解】解：（1）∵180ABC ACB A ∠+∠+∠=︒，30A ∠=︒，∴180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠18030=︒-︒150=︒，故答案为：150°；（2）60ABX ACX ∠+∠=︒，理由如下：∵180XBC XCB X ∠+∠+∠=︒，90X ∠=︒，∴180XBC XCB X ∠+∠=︒-∠=︒-︒18090=︒，90∠+∠∴ABX ACX=∠-∠+∠-∠ABC XBC ACB XCB()()ABC ACB XBC XCB=∠+∠-∠+∠=︒-︒15090=︒，60故答案为：60°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键．。

武汉市武珞路中学八年级数学上册第十一章《三角形》复习题(培优)

一、选择题1．已知实数x 、y 满足|x －4|+ 8y -＝0，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形周长是（） A ．20或16B ．20C ．16D ．182．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°3．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（）A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．175︒ 4．若一个三角形的三边长分别为3，7，x ，则x 的值可能是（）A ．6B ．3C ．2D ．115．已知两条线段15cm a =，8cm b =，下列线段能和a ，b 首尾相接组成三角形的是（） A ．20cm B ．7cm C ．5cm D ．2cm 6．若过六边形的一个顶点可以画n 条对角线，则n 的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，D 为BC 边上的一点，点E 在AC 边上，ADE AED ∠=∠，若10CDE ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）A ．20°B ．15°C ．10°D ．30°9．下列长度（单位：cm ）的三条线段能组成三角形的是（） A ．13，11，12 B ．3，2，1 C ．5，12，7 D ．5，13，5 10．下列长度的线段能组成三角形的是（）A ．2，3，5B ．4，6，11C ．5，8，10D ．4，8，411．在△ABC 中，∠A ＝x °，∠B ＝(2x ＋10)°，∠C 的外角大小(x ＋40)°，则x 的值等于（） A ．15B ．20C ．30D ．4012．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（）A ．4cm, 5cm,9cmB ．4cm, 5cm, 6cmC ．5cm,12cm,6cmD ．4cm,2cm,2cm 13．下列长度的四根木棒，能与3cm ，7cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（） A ．3cm B ．10cm C ．4cm D ．6cm 14．正十边形每个外角等于（） A ．36° B ．72° C ．108° D ．150° 15．内角和与外角和相等的多边形是（）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形二、填空题16．从n 边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n 边形分割成17个三角形，则n ＝______．17．如图，BF 平分∠ABD ，CE 平分∠ACD ，BF 与CE 交于G ，若130,90BDC BGC ∠=︒∠=︒，则∠A 的度数为_________．18．如图，已知//,AB CD E 是直线AB 上方一点，G 为直线AB 下方一点，F 为直线CD 上一点，148EAF ︒∠=，3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，则E ∠和G ∠的数量关系为___________．19．如图，ABC 的三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且21AG GD =：：．若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是________．20．已知ABC 的高为AD ，65BAD ∠=︒，25CAD ∠=︒，则BAC ∠的度数是_______．21．如图，△ABC 的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB ，BC ，CA 得到△A 1B 1C 1，再分别倍长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1得到△A 2B 2C 2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A 2020B 2020C 2020的面积为_____．22．一副直角，三角板有一个角的顶点如图所示重合，则下列说法中正确的有_________．①如图 1，若 AB ⊥AE ，则∠BFC=75°； ②图 2 中 BD 过点C ，则有∠DAE+∠DCE=45°； ③图 3中∠DAE+∠DFC 等于 135°；④保持重合的顶点不变，改变三角板BAD 的摆放位置，使得D 在边AC 上，则∠BAE=105°．23．如图中，36B ∠=︒，76C ∠=︒，AD 、AF 分别是ABC 的角平分线和高，DAF ∠=________．24．如图，P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点，过点P 作PQ //BC ，交DE 于点Q ，则∠EPQ 的度数为_____．25．一个三角形的三个内角度数之比为2:3:5，那这个三角形一定是三角形__________． 26．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，AE BD ⊥．若30ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CAE ∠的度数为_______︒．三、解答题27．ABC 中，AD 是BAC ∠的角平分线，AE 是ABC 的高．（1）如图1，若40B ︒∠=，60C ︒∠=，求DAE ∠的度数；（2）如图2()B C ∠<∠，试说明DAE ∠、B 、C ∠的数量关系． 28．如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，且AD AC =，连结CD ．请在下面空格中用“>”，“<”或“=”填空．（1）AB________AC BC +；（2）2AD________CD ；（3）BDC ∠________A ∠．29．题情景：在三角形纸片内部给定－些点，满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸片，一共能得到几个小三角形？问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示：继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格：内部点的个数123n得到三角形个数35拓展联系：当纸片是四边形时，探究此时内部所取点的个数与得到三角心个数的关系，完成表格：内部点的个数123n得到三角形个数概括提升：设纸片的边数为m，内部点的个数为n，得到三角形的个数是x，请直接写出x 与m、n的关系：______________．30．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式．。

武珞路中学初三数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，是整数的是（）A. √16B. -2.5C. 3.14159D. √252. 已知 a > 0，b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a + b > 0B. a - b < 0C. a b > 0D. a / b < 03. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = 2x^2 + 3x + 1B. y = 3x^3 + 2x^2 - 1C. y = x^2 - 2x + 5D. y = 4x - 34. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点坐标是（）A. （2，-3）B. （-2，3）C. （2，-3）D. （-2，-3）5. 下列各式中，正确的是（）A. （-3）^2 = 9B. （-2）^3 = -8C. （-5）^4 = 625D. （-4）^5 = -10246. 下列图形中，不是平行四边形的是（）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 长方形7. 下列各式中，正确的是（）A. 2a + 3b = 5a + 2bB. 2a - 3b = 5a - 2bC. 3a + 2b = 5a - 2bD. 5a + 2b = 3a - 2b8. 下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A. y = 2x - 1B. y = -x + 3C. y = 3x + 2D. y = -2x - 19. 在△ABC中，∠A = 90°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°10. 下列各数中，是质数的是（）A. 21B. 29C. 30D. 32二、填空题（每题5分，共50分）11. （3/4）^2 = ______12. 5的平方根是 ______13. 已知 a + b = 10，a - b = 2，则a的值是 ______14. 下列各式中，正确的是 ______A. a^2 = b^2B. a^3 = b^3C. a^4 = b^4D. a^5 = b^515. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，则∠C的度数是 ______三、解答题（每题20分，共60分）16. 解方程：2x - 5 = 3x + 117. 已知 a + b = 5，ab = 4，求a^2 + b^2的值。

【历年真题】2022年湖北省武汉市武昌区中考数学真题汇总卷(Ⅱ)(含答案及解析)

2022年湖北省武汉市武昌区中考数学真题汇总卷（Ⅱ）考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、下列说法正确的是（） A ．等腰三角形高、中线、角平分线互相重合B ．顶角相等的两个等腰三角形全等C ．底角相等的两个等腰三角形全等D ．等腰三角形的两个底角相等2、下列命题正确的是( )A ．零的倒数是零B ．乘积是1的两数互为倒数C ．如果一个数是a ，那么它的倒数是1aD ．任何不等于0的数的倒数都大于零 3、一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角45ACB ∠=︒，则这个人工湖的直径AD 为（）m ． ·线○封○密○外A ．B ．C ．D ．2004、已知23m x y 和312n x y 是同类项，那么m n 的值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．65、深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（）A ．B ．C ．D ．6、对于二次函数y ＝﹣x 2＋2x ＋3，下列说法不正确的是（）A ．开口向下B ．当x ≥1时，y 随x 的增大而减小C ．当x ＝1时，y 有最大值3D ．函数图象与x 轴交于点（﹣1，0）和（3，0）7、多项式()22x --去括号，得（）A ．22x --B ．22x -+C ．24x --D ．24x -+ 8、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，且DE =2AE ，连接BE 交AC 于点F ，已知S △AFE =1，则S △ABD 的值是（） A ．9 B ．10 C ．12 D ．14 9、观察下列图形：它们都是由同样大小的圆圈按一定的规律组成，其中第1个图形有5个圆圈，第2个图形有9个圆圈，第3个图形有13个圆圈，……，按此规律，第7个图形中圆圈的个数为（）A ．21B ．25C ．28D ．29 10、某商品原价为 200 元，连续两次平均降价的百分率为 a ，连续两次降价后售价为 148 元，下面所列方程正确的是（）A ．200（1 + a ）2 = 148B ．200（1 - a ）2 = 148C ．200（1 - 2a ）2 = 148D ．200（1 - a 2）= 148 第Ⅱ卷（非选择题 70分） ·线○封○密○外二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝12，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，sin∠ADE ＝45，ED ＝5，如果△ECD 的面积是6，那么BC 的长是_____．2、一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体是________．3、如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点C 落在边AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，联结BD ，如果∠DAC ＝∠DBA ，那么∠BAC ＝___度．4、如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，2BD CD =，点D 到AB 的距离为5.6，则BC =___cm ．5、等腰三角形ABC 中，项角A 为50°，点D 在以点A 为圆心，BC 的长为半径的圆上，若BD =BA ，则∠DBC 的度数为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx a =++上有两点()1,0A -和点(),1B x x +．（1）用等式表示a 与b 之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；（2）当AB ≤a 的取值范围．2、解方程：（1）3（2x －3）=18－（3－2x ）（2）21162x x -+-= 3、解下列方程：（1）()723320x x +-= （2）0.50.40.010.015520.30.0412x x x +--+=- 4、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，F 为AB 延长线上一点，连接CF ，DF ．（1）若OE ＝3，BE ＝2，求CD 的长；（2）若CF 与⊙O 相切，求证DF 与⊙O 相切． ·线○封○密○外5、阅读材料：利用公式法，可以将一些形如()20ax bx c a ++≠的多项式变形为()2a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式()20ax bx c a ++≠的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如()222224445452922x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()232351x x x x =+++-=+-根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式：228x x +-；（2）求多项式243+-x x 的最小值；（3）已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，且满足222506810a b c a b c +++=++，求ABC 的周长．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法对选项一一分析判定即可．【详解】解：A 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，该选项说法错误，不符合题意；B 、顶角相等的两个等腰三角形不一定全等，因为边不相等，该选项说法错误，不符合题意；C 、底角相等的两个等腰三角形不一定全等，因为没有边对应相等，该选项说法错误，不符合题意；D 、等腰三角形的两个底角相等，该选项说法正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与全等判定，掌握等腰三角形的性质与等腰三角形全等判定是解题关键．2、B【分析】根据倒数的概念、有理数的大小比较法则判断．【详解】解：A 、零没有倒数，本选项说法错误；B 、乘积是1的两数互为倒数，本选项说法正确；C 、如果0a =，则a 没有倒数，本选项说法错误；D 、2-的倒数是12-，102-<，则任何不等于0的数的倒数都大于零说法错误；故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的乘法及倒数的概念，熟练掌握倒数概念是关键． 3、B 【分析】连接BD ，利用同弧所对圆周角相等以及直径所对的角为直角，求证ADB ∆为等腰直角三角形，最后利用勾股定理，求出AD 即可．【详解】解：连接BD ，如下图所示：·线○封○密○外ACB ∠与ADB ∠所对的弧都是AB ．45ADB ACB ∴∠=∠=︒．ABD ∠所对的弦为直径AD ，90ABD ∴∠=︒．又45ADB ∠=︒，ADB ∴∆为等腰直角三角形，在ADB ∆中，100AB DB ==，∴由勾股定理可得：AD ===故选：B ．【点睛】本题主要是考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角和勾股定理，熟练运用圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角，得到对应的直角三角形，再用勾股定理求解边长，是解决本题的主要思路．4、C【分析】把字母相同且相同字母的指数也分别相同的几个项叫做同类项，根据同类项的定义即可解决．【详解】由题意知：n =2，m =3，则m +n =3+2=5故选：C【点睛】本题主要考查了同类项的概念，掌握同类项的概念是解答本题的关键．5、A【分析】根据简单几何体的三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可．【详解】解：从正面看深圳湾“春笋”大楼所得到的图形如下：故选：A ．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键． 6、C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：y =-x 2++2x +3=-（x -1）2+4， ∵a =-1＜0， ∴该函数的图象开口向下，·线○封○密○外故选项A 正确；∵对称轴是直线x =1，∴当x ≥1时，y 随x 的增大而减小，故选项B 正确；∵顶点坐标为（1，4），∴当x =1时，y 有最大值4，故选项C 不正确；当y =0时，-x 2+2x +3=0，解得：x 1=-1，x 2=3，∴函数图象与x 轴的交点为（-1，0）和（3，0），故D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7、D【分析】利用去括号法则变形即可得到结果．【详解】解：−2(x −2)=-2x +4，故选：D ．【点睛】本题考查了去括号与添括号，掌握如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的·线符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反是解题的关键．8、C【分析】过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，证明△AFE∽△CFB，可证得13MFFN=，得MN=4MF，再根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，连接BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC∴△AFE∽△CFB∴AE FM BC FN=∵DE=2AE∴AD=3AE=BC∴13 FM AEFN BC==∴14FMMN=，即4MN FM=又112AEFS AE MF∆==∴2 AE MF =∴113466212 22ABDS AD MN AE MF AE MF∆==⨯⨯=⨯=⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是能求出两三角形的高的数量关系．9、D【分析】根据已知图形得出第n个图形中圆圈数量为1+4×n=4n+1，再将n=7代入即可得．【详解】解：∵第1个图形中圆圈数量5=1+4×1，第2个图形中圆圈数量9=1+4×2，第3个图形中圆圈数量13=1+4×3，……∴第n个图形中圆圈数量为1+4×n=4n+1，当n=7时，圆圈的数量为29，故选：D．【点睛】本题考查规律型-图形变化类问题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题．10、B【分析】·线第一次降价后价格为()2001a ⨯-，第二次降价后价格为()()20011a a ⨯-⨯-整理即可．【详解】解：第一次降价后价格为()2001a ⨯-第二次降价后价格为()()()2200112001148a a a ⨯-⨯-=⨯-=故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于明确每次降价前的价格．二、填空题1、6##【分析】如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．解直角三角形求出BH ，CH 即可解决问题．【详解】解：如图，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点A 作AH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝120°，∴∠ABH ＝180°﹣∠ABC ＝60°，∵AB ＝12，∠H ＝90°，∴BH ＝AB •cos60°＝6，AH ＝AB •sin60°＝∵EF ⊥DF ，DE ＝5，∴sin∠ADE ＝EF DE ＝45 ， ∴EF ＝4，∴DF3，∵S △CDE ＝6， ∴12 ·CD ·EF ＝6，∴CD ＝3，∴CF ＝CD +DF ＝6，∵tan C ＝EF CF ＝AH CH ， ∴46， ∴CH ＝∴BC ＝CH ﹣BH ＝6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造合适的直角三角形是解题的关键．2、正六棱柱【分析】侧面展开图是六个全等的矩形，上下底面为正六边形，故可知几何体的名称．【详解】·线解：∵侧面展开图是六个全等的矩形，且几何体的上下底面为正六边形∴该几何体为正六棱柱故答案为：正六棱柱．【点睛】本题考查了棱柱．解题的关键在于确定棱柱的底面与侧面形状．3、36【分析】设∠BAC=x，依据旋转的性质，可得∠DAE=∠BAC=x，∠ADB=∠ABD=2x，再根据三角形内角和定理即可得出x．【详解】解：设∠BAC=x，由旋转的性质，可得∠DAE=∠BAC=x，∴∠DAC=∠DBA=2x，又∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=2x，△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，即∠BAC=36°，故答案为：36．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：旋转前、后的图形全等．4、16.8【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出CD＝DE，再求出BD长，即可得出BC的长．【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∴CD⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴CD＝DE，∵D到AB的距离等于5.6cm，∴CD ＝DE ＝5.6cm ，又∵BD ＝2CD ，∴BD ＝11.2cm ，∴BC ＝5.6＋11.2＝16.8cm ，故答案为：16.8．【点睛】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 5、15°或115°【分析】根据题意作出图形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得65ABC ∠=︒，50ABD ∠=︒，根据DBC ABC ABD ∠=∠±∠即可求得∠DBC 的度数【详解】解：如图，等腰三角形ABC 中，顶角BAC ∠为50°，点D 在以点A 为圆心，BC 的长为半径的圆上， ()1180652ABC ACB BAC ∠=∠=︒-∠=︒ AD BC ∴=，AB AC = BD =BA ， BD AC ∴= 又AB BA = ∴ABC BAD ≌()SSS 50ABD BAC ∴∠=∠=︒ 15DBC ABC ABD ∴∠=∠-∠=︒ 当D 在1D 位置时，同理可得150ABD ∠=︒ ·线○封○密·○外11115D BC ABC ABD ∴∠=∠+∠=︒故答案为：15°或115°【点睛】本题考查了圆的性质，三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，根据题意画出图形是解题的关键．三、解答题1、（1）b=4a ，-2（2）13720a ≤≤或519a -≤≤-．【分析】（1）将（-1，0）代入函数解析式可得4b a =，则抛物线对称轴为直线4222b a a a -=-=-．（2）由点B 坐标可得AB 所在直线为1y x =+，过点B 作BC x ⊥轴交x 轴于点C ，可得AB 为等腰直角三角形的斜边，从而可得点B 当AB =AB =B 的坐标为（2，3）或（4，3）或（-4，-3）或（-6，-5），再分类讨论抛物线开口向上或向下求解．（1）将（-1，0）代入23y ax bx a =++得03a b a =-+， ∴4b a =， ∴抛物线对称轴为直线4222b a x a a =-=-=-．（2）∵点B 坐标为(),1x x +， ∴点B 所在直线为1y x =+， ∴点A 在直线1y x =+上，过点B 作BC x ⊥轴交x 轴于点C ，则1BC x =+，1AC x =+， ∴AB 为等腰直角三角形的斜边，∴当AB =3AC BC ==，当AB =5AC BC ==， ∴3C A x x -=或5C A x x -=， ∴点B 坐标为（2，3）或（4，3）或()4,3--或()6,5--， ·线○封○密○外当0a >时，抛物线开口向上，∵抛物线经过点（-1，0），对称轴为直线2x =-， ∴抛物线经过点（-3，0），∴抛物线开口向上时，抛物线不经过3B ，4B ，将（2，3）代入243y ax ax a =++得3983a a a =++，解得320a =，将（4，5）代入243y ax ax a =++得516163a a a =++，解得17a =， ∴13720a ≤≤． 0a <时，抛物线开口向下，抛物线不经过1B ，2B ，将()4,3--代入243y ax ax a =++得316163a a a -=-+，解得1a =-，将()6,5--代入243y ax ax a =++得536243a a a -=-+，解得59a =-， ∴519a -≤≤-，综上所述，13720a ≤≤或519a -≤≤-．【点睛】本题考查了抛物线与系数的关系，对称轴，抛物线的解析式，一次函数与二次函数的交点，熟练掌握抛物线的性质，灵活运用分类思想，待定系数法是解题的关键．2、（1）6：（2）12【分析】（1）按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（2）按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可. 【详解】解：（1）3（2x－3）=18－（3－2x）去括号得：6x-9=18-3+2x移项得：4x=24系数化为1得：x=6；（2）21 162x x-+ -=去分母得：6-（2-x）=3（x+1）去括号得：6-2+x=3x+3移项得：-2x=-1系数化为1得：x=12.【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.3、（1）2x=；（2）47x=．·线○封○密○外【分析】（1）去括号，移项合并，系数化1即可；（2）首先分母化整数分母，去分母，去括号，移项，合并，系数化1即可．（1）解：()723320x x +-=，去括号得：76620x x +-=，移项合并得：1326x =，系数化1得：2x =；（2）解：0.50.40.010.015520.30.0412x x x +--+=-，小数分母化整数分母得：5415523412x x x +--+=-，去分母得：()()()454312455x x x ++-=--，去括号得：2016332455x x x ++-=-+，移项得：2035245163x x x ++=+-+，合并得：2816x =，系数化1得：47x =．【点睛】本题考查一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的方法与步骤是解题关键．4、（1）8；（2）见解析【分析】（1）连接OC ，利用勾股定理求解CE ＝4，再利用垂径定理可得答案；（2）证明90,,OCF CF DF 再证明,OCF ODF ≌ 可得90,ODF 从而可得结论. 【详解】（1）解：连接OC ， ∵CD ⊥AB ， ∴CE ＝DE ， ∴OC ＝OB ＝OE ＋BE ＝3＋2＝5，在Rt△OCE 中，∠OEC ＝90°，由勾股定理得：CE 2＝OC 2－OE 2， ∴CE 2＝52－32， ∴CE ＝4， ∴CD ＝2CE ＝8.（2）解：连接OD ， ∵CF 与⊙O 相切， ·线○封○密○外∴∠OCF ＝90°，∵CE ＝DE ，CD ⊥AB ，∴CF ＝DF ，又OF ＝OF ，OC ＝OD ，∴△OCF ≌△ODF ，∴∠ODF ＝∠OCF ＝90°，即OD ⊥DF ．又D 在⊙O 上，∴DF 与⊙O 相切．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的应用，切线的性质与判定，证明△OCF ≌△ODF 得到∠ODF ＝∠OCF ＝90°是解本题的关键.5、（1）()()24x x -+（2）7-（3）12．【分析】（1）先配完全平方()222819x x x +-=+-，然后利用平方差公式即可．（2）先配方()224327x x x +-=+-，然后根据()220x +≥求最值即可．（3）对222506810a b c a b c +++=++移项、配方，根据平方大于等于0，确定每一项均为0，求解边长，进而得出周长．（1）解：()22228211819x x x x x +-=++--=+- ()()1313x x =+-++ ()()24x x =-+．（2）解：()222224443432722x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵()220x +≥∴()2277x +-≥- ∴多项式243+-x x 的最小值为7-．（3）解：∵222506810a b c a b c +++=++∴2225068100a b c a b c +++---=即22269816102591625500a a b b c c -++-++-+---+=∴()()()2223450a b c -+-+-= ∴30a -=，40b -=，50c -= ∴3a =，4b =，5c = ∴ABC 的周长34512=++=．【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式分解因式，代数式的最值，平方等知识．解题的关键在于正确的配方． ·线○封○密○外。