武汉市武珞路中学数学全等三角形中考真题汇编[解析版]
(完整版)2019年湖北省武汉市中考复习精选试题全等三角形(word版有答案解析).doc
全等三角形一．选择题（共11 小题）1．（ 2019?安顺）如图，点B、 F、C、 E 在一条直线上，AB ∥ED， AC∥ FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ DEF 的是（）A ．∠ A＝∠ DB ．AC＝ DF C． AB＝ ED D． BF＝ EC2．（ 2019?大邑县模拟）如图，已知AB＝ DC ，需添加下列（）条件后，就一定能判定△ABC≌△ DCB ．A ．AO＝ BOB ．∠ ACB＝∠ DBC C． AC＝ DB D． BO＝ CO 3．（ 2019?邹城市一模）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1， D1E1E2B2， A2D2C2D2，D 2E3E4B3， A3B3C3D3，，按如图所示的方式放置，其中点B1在 y 轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3，，在 x 轴上已知正方形A1，B1，C1， D1，的边长为1，∠ OB1C1 ＝ 30°， B1C1∥ B2C2∥ B3C3，，则正方形A n B n?n D n的边长是（）A．B．C．D．4．（ 2019?阜阳模拟）如图，在四边形ABDC 中，∠ B＝∠ D＝ 90°，∠ BAC 与∠ ACD 的平分线交于点O，且点O 在线段BD 上， BD ＝4，则点O 到边AC 的距离是（）A ．1B．1.5C．2D．35．（ 2019 春 ?临安区期中）如图，△ACB≌△ A′CB′，∠ ACB＝70°，∠ ACB ′＝ 100°，则∠ BCA′的度数为（）A ．30°B ．35° 6．（ 2019?晋江市一模）如图，若△C． 40°MNP ≌△ MEQ ，则点D． 50°Q 应是图中的（）A ．点7．（2018 A B．点 B秋 ?鼓楼区期末）如图，已知△ABC 的C．点 C3 条边和D．点 D3 个角，则能判断和△ABC 全等的是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C．只有乙D．只有丙8．（ 2019?张家界）如图，在△则点 D 到 AB 的距离等于（ABC中，∠）C＝90°， AC＝ 8，DC ＝AD ，BD 平分∠ABC，A ．4B ．3 C． 2 D． 1为△ ABC 角平分线的交点，9．（ 2019?宜春二模）如图，在△ABC 中， AB＝ 8，AC ＝6， O若△ ABO 的面积为 20，则△ ACO 的面积为（）A ．12B ．15 C． 16 D． 1810．（ 2019?常州二模）如图，△AOB≌△ ADC ，点 B 和点 C 是对应顶点，∠O＝∠ D ＝90°，记∠ OAD＝α，∠ ABO＝β，当 BC∥ OA 时，α与β之间的数量关系为（）A ．α＝βB ．α＝ 2βC．α+β＝90°D．α+β＝180°11．（ 2019?长沙模拟）如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ ODC ≌△ OEC 的理由是（）A ．SSSB ．SAS C． AAS D． HL二．填空题（共7 小题）12．（ 2019?齐齐哈尔）如图，已知在△ABC 和△ DEF 中，∠B＝∠ E，BF ＝CE，点B、F、C、 E 在同一条直线上，若使△ABC≌△ DEF ，则还需添加的一个条件是（只填一个即可）．13．（ 2019?邵阳）如图，已知 AD ＝AE ，请你添加一个条件，使得△ADC ≌△ AEB，你添加的条件是．（不添加任何字母和辅助线）14．（ 2019?襄阳）如图，已知∠ ABC＝∠ DCB，添加下列条件中的一个：① ∠ A＝∠D，②AC ＝ DB，③ AB＝ DC，其中不能确定△ABC≌△ DCB 的是（只填序号）．15．（ 2019?东城区二模）如图所示的网格是正方形网格，点A， B， C， D 均落在格点上，则∠ BAC+∠ ACD ＝°．16．（ 2019?平谷区一模）如图，在△ABC 中，射线 AD 交 BC 于点 D ，BE⊥ AD 于 E， CF ⊥AD 于 F ，请补充一个条件，使△BED ≌△ CFD ，你补充的条件是（填出一个即可）．17．（ 2019?福建三模）如图，点 E 在∠ BOA 的平分线上， EC ⊥OB，垂足为C，点 F 在 OA 上，若∠ AFE ＝ 30°， EC＝ 3，则 EF ＝．18．（ 2019 春 ?雁塔区校级月考）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有个．三．解答题（共 8 小题）19．（ 2019?铜仁市）如图， AB ＝ AC ， AB ⊥ AC ，AD ⊥AE ，且∠ ABD ＝∠ ACE ．求证： BD ＝ CE ．20．（ 2019?长安区三模） 如图 1，△ ABC 与△ DBC 全等， 且∠ ACB ＝∠ DBC ＝ 90°，AB ＝6，AC ＝ 4．如图 2，将△ DBC 沿射线 BC 方向平移得到△ D 1B 1C 1，连接 AC 1， BD 1．（ 1）求证： BD 1＝ AC 1 且 BD 1∥ AC 1；（ 2）△ DBC 沿射线 BC 方向平移的距离等于时，点 A 与点 D 1 之间的距离最小．21．（ 2019?安顺）（ 1）如图 ① ，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ，点 E 是 BC 的中点，若 AE 是∠ BAD 的平分线，试判断 AB ，AD ， DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长 AE 交 DC 的延长线于点 F ，易证△ AEB ≌△ FEC 得到AB ＝ FC ，从而把 AB ，AD ， DC 转化在一个三角形中即可判断．AB， AD ， DC 之间的等量关系；（ 2）问题探究：如图②，在四边形点E 是 BC 的中点，若 AE 是∠ BAF ABCD 中， AB∥ CD ， AF 与 DC 的延长线交于点F，的平分线，试探究AB， AF ， CF 之间的等量关系，并证明你的结论．22．（ 2019?黄石）如图，在△ABC 中，∠ BAC＝90°， E 为边 BC 上的点，且 AB＝AE ，D为线段 BE 的中点，过点 E 作 EF⊥ AE ，过点 A 作 AF∥ BC，且 AF、 EF 相交于点 F．（1）求证：∠ C＝∠ BAD ；（2）求证： AC＝ EF．23．（ 2019?兰州）如图， AB＝ DE ， BF ＝ EC，∠ B＝∠ E，求证： AC∥ DF ．24．（ 2019?无锡）如图，在△ABC 中， AB＝ AC，点 D 、E 分别在 AB、 AC 上， BD ＝ CE，BE、 CD 相交于点 O．（1）求证：△ DBC ≌△ ECB；（2）求证： OB＝ OC．25．（ 2019 春 ?盐湖区校级月考）已知，如图∠C＝∠ DBE ＝∠ DFB ＝90°， AB＝DE ， CE＝EB（1）求证：△ ABC≌△ EDB；（2）若 EB ＝3cm，求 AB 的长．26．（ 2019?镇江）如图，四边形 ABCD 中， AD∥ BC，点 E、F 分别在 AD、BC 上， AE＝ CF，过点 A、 C 分别作 EF 的垂线，垂足为 G、 H．（1）求证：△ AGE≌△ CHF ；（2）连接 AC，线段 GH 与 AC 是否互相平分？请说明理由．全等三角形参考答案与试题解析一．选择题（共11 小题）1．（ 2019?安顺）如图，点B、 F、C、 E 在一条直线上，一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ DEF 的是（AB ∥ED， AC∥ FD ，那么添加下列）A ．∠ A＝∠ DB ．AC＝ DF C． AB＝ ED D． BF＝ EC【解答】解：选项 A、添加∠ A＝∠ D 不能判定△ ABC ≌△ DEF ，故本选项正确；选项 B、添加 AC＝DF 可用 AAS 进行判定，故本选项错误；选项 C、添加 AB＝DE 可用 AAS 进行判定，故本选项错误；选项 D、添加 BF＝ EC 可得出 BC＝ EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项错误．故选： A．2．（ 2019?大邑县模拟）如图，已知AB＝ DC ，需添加下列（）条件后，就一定能判定△ABC≌△ DCB ．A ．AO＝ BOB ．∠ ACB＝∠ DBC C． AC＝ DB D． BO＝ CO【解答】解： A、添加 AO＝ BO 不能判定△ ABC ≌△ DCB ，故此选项不合题意；B、添加∠ ACB＝∠ DBC 不能判定△ ABC≌△ DCB ，故此选项不合题意；C、添加 AC＝ DB 可利用 SSS判定△ ABC≌△ DCB ，故此选项符合题意；D 、添加 BO＝CO 不能判定△ ABC≌△ DCB ，故此选项不合题意；故选： C．3．（ 2019?邹城市一模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD ，DEEB，ADCD ，1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2D 2E3E4B3， A3B3C3D3，，按如图所示的方式放置，其中点B1在 y 轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3，，在x 轴上已知正方形A1，B1，C1， D1，的边长为1，∠ OB1C1 ＝ 30°， B1C1∥ B2C2∥ B3C3，，则正方形A n B n?n D n的边长是（）A．B．C．D．【解答】解：∵正方形A1B1C1D 1的边长为 1，∠ OB1C1＝ 30°， B1C1∥ B2C2∥B3C3，∴D1E1＝ B2E2， D2E3＝B3E4，∠ D1C1E1＝∠ C2B2E2＝∠ C3B3E4＝ 30°，∴ D1E1＝ C1D 1sin30°＝，则 B2C2＝，同理可得： B3 C3＝＝，故正方形 A n B n?n D n的边长是：（） n﹣ 1，故选： D．4．（ 2019?阜阳模拟）如图，在四边形ABDC 中，∠ B＝∠ D＝ 90°，∠ BAC 与∠ ACD 的平分线交于点 O，且点 O 在线段 BD 上， BD ＝4，则点 O 到边 AC 的距离是（）A ．1B．1.5C．2D．3【解答】解：过 O 作 OE⊥ AC 于 E，∵∠ B＝∠ D＝ 90°，∠ BAC 与∠ ACD 的平分线交于点O，∴OB＝ OE＝OD ，∵ BD＝ 4，∴OB＝ OE＝OD ＝ 2，∴点 O 到边 AC 的距离是2，故选： C．5．（ 2019 春 ?临安区期中）如图，△ACB≌△ A′CB′，∠ ACB＝70°，∠ ACB ′＝ 100°，则∠ BCA′的度数为（）A ．30°B ．35°C． 40°D． 50°【解答】解：∵△ ACB≌△ A′ CB′，∴∠ A′ CB′＝∠ ACB＝ 70°，∵∠ ACB′＝ 100°，∴∠ BCB′＝∠ ACB′﹣ ACB＝ 30°，∴∠ BCA′＝∠ A′ CB′﹣∠ BCB ′＝ 40°，故选： C．6．（ 2019?晋江市一模）如图，若△MNP ≌△ MEQ ，则点 Q 应是图中的（）A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D【解答】解：∵△ MNP ≌△ MEQ ，∴点 Q 应是图中的 D 点，如图，故选： D．7．（2018 秋 ?鼓楼区期末）如图，已知△ ABC 的 3 条边和 3 个角，则能判断和△ABC 全等的是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C．只有乙D．只有丙【解答】解：如图：在△ ABC 和△ DEF 中，，∴△ ABC≌△ EFD （SAS）；在△ ABC 和△ MNK 中，，∴△ ABC≌△ MNK （ AAS）．∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是：乙或丙．故选： B．8．（ 2019?张家界）如图，在△则点 D 到 AB 的距离等于（ABC中，∠）C＝90°， AC＝ 8，DC ＝AD ，BD 平分∠ABC，A ．4B ．3 C． 2 D． 1【解答】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，∵ AC＝ 8，DC ＝AD ，∴CD＝8×＝2，∵∠ C＝ 90°， BD 平分∠ ABC，∴DE＝ CD＝2，即点 D 到 AB 的距离为2．故选： C．9．（ 2019?宜春二模）如图，在△ABC 中， AB＝ 8，AC ＝6， O 为△ ABC 角平分线的交点，若△ ABO 的面积为 20，则△ ACO 的面积为（）A ．12B ．15C． 16D． 18【解答】解：∵点O 是三条角平分线的交点，∴点 O 到 AB， AC 的距离相等，∴△ AOB、△ AOC 面积的比＝ AB： AC＝ 8： 6＝ 4： 3．∵△ ABO 的面积为 20，∴△ ACO 的面积为15．故选： B．10．（ 2019?常州二模）如图，△AOB≌△ ADC ，点 B 和点 C 是对应顶点，∠O＝∠ D ＝90°，记∠ OAD＝α，∠ ABO＝β，当 BC∥ OA 时，α与β之间的数量关系为（）A ．α＝βB ．α＝ 2βC．α+β＝90°D．α+β＝180°【解答】解：∵△ AOB≌△ ADC ，∴AB＝ AC，∠ BAO＝∠ CAD，∴∠ BAC＝∠ OAD＝α，在△ ABC 中，∠ ABC＝（180°﹣α），∵BC∥ OA，∴∠ OBC＝ 180°﹣∠ O＝ 180°﹣ 90°＝ 90°，∴ β+（180°﹣α）＝90°，整理得，α＝ 2β．故选： B．11．（ 2019?长沙模拟）如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠ AOB，则△ ODC ≌△ OEC 的理由是（）A ．SSSB ．SAS C． AAS D． HL【解答】解：由作图可知，OE＝ OD ， DC＝ EC，在△ ODC 与△ OEC 中，∴△ ODC ≌△ OEC（ SSS），故选： A．二．填空题（共7 小题）12．（ 2019?齐齐哈尔）如图，已知在△ABC 和△ DEF 中，∠ B＝∠ E，BF ＝CE，点 B、F 、C、E 在同一条直线上，若使△ ABC≌△ DEF ，则还需添加的一个条件是 AB＝ DE （只填一个即可）．【解答】解：添加AB＝ DE；∵BF＝CE，∴ BC＝ EF，在△ ABC 和△ DEF 中，，∴△ ABC≌△ DEF （SAS）；故答案为： AB＝ DE ．13．（ 2019?邵阳）如图，已知AD ＝AE ，请你添加一个条件，使得△ADC ≌△ AEB，你添加的条件是AB＝ AC 或∠ ADC ＝∠ AEB 或∠ ABE ＝∠ ACD．（不添加任何字母和辅助线）【解答】解：∵∠ A＝∠ A， AD＝AE ，∴可以添加AB＝ AC，此时满足SAS；添加条件∠ ADC＝∠ AEB，此时满足ASA；添加条件∠ ABE＝∠ ACD ，此时满足AAS，故答案为AB＝ AC 或∠ ADC ＝∠ AEB 或∠ ABE＝∠ ACD ；14．（ 2019?襄阳）如图，已知∠ ABC＝∠ DCB，添加下列条件中的一个：① ∠ A＝∠D，②AC＝ DB，③ AB＝ DC，其中不能确定△ ABC≌△ DCB 的是②（只填序号）．【解答】解：∵已知∠ ABC＝∠ DCB，且 BC＝ CB ∴若添加① ∠ A＝∠ D，则可由 AAS 判定△ ABC≌△ DCB；若添加② AC＝ DB ，则属于边边角的顺序，不能判定△若添加③ AB＝DC ，则属于边角边的顺序，可以判定△故答案为：② ．15．（ 2019?东城区二模）如图所示的网格是正方形网格，点则∠ BAC+∠ ACD ＝90°．ABC≌△ DCB ；ABC≌△DCB ．A， B，C，D均落在格点上，【解答】解：在△ DCE 和△ ABD 中，∵，∴△ DCE≌△ ABD（ SAS），∴∠ CDE＝∠ DAB，∵∠ CDE+∠ ADC＝∠ ADC+∠ DAB ＝90°，∴∠ AFD ＝ 90°，∴∠ BAC+∠ ACD ＝90°，故答案为： 90．16．（ 2019?平谷区一模）如图，在△ABC 中，射线AD 交BC 于点 D ，BE⊥ AD 于 E，CF⊥AD 于 F，请补充一个条件，使△BED≌△ CFD ，你补充的条件是答案不唯一，如BD＝ DC（填出一个即可）．【解答】解：可以添加条件：BD＝ DC ．理由：∵ BD ＝ CD ；又∵ BE⊥ AD，CF ⊥AD，∴∠ E＝∠ CFD ＝ 90°；∴在△ BED 和△ CFD 中，，∴△ BED≌△ CFD （ AAS）．故答案是：答案不唯一，如BD＝ DC．17．（ 2019?福建三模）如图，点E 在∠ BOA 的平分线上， EC ⊥OB，垂足为 C，点 F 在 OA 上，若∠ AFE＝ 30°， EC＝ 3，则 EF＝ 6 ．【解答】解：如图，作EG⊥AO 于点 G，∵点 E 在∠ BOA 的平分线上，EC⊥ OB， EC＝ 3，∴EG＝ EC＝ 3，∵∠ AFE ＝30°，∴EF＝ 2EG＝ 2× 3＝ 6，故答案为： 6．18．（ 2019 春 ?雁塔区校级月考）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有 4 个．【解答】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．故答案为： 4三．解答题（共8 小题）19．（ 2019?铜仁市）如图，AB＝ AC， AB⊥ AC，AD ⊥AE ，且∠ ABD ＝∠ ACE ．求证： BD ＝ CE．【解答】证明：∵ AB⊥ AC， AD ⊥ AE，∴∠ BAE+∠ CAE＝ 90°，∠ BAE+∠BAD ＝ 90°，∴∠ CAE＝∠ BAD ．又 AB＝ AC，∠ ABD ＝∠ ACE，∴△ ABD≌△ ACE（ASA）．∴ BD＝ CE．20．（ 2019?长安区三模）如图 1，△ ABC 与△ DBC 全等，且∠ ACB＝∠ DBC ＝ 90°，AB＝ 6，AC＝ 4．如图 2，将△ DBC 沿射线 BC 方向平移得到△D1B1C1，连接 AC1， BD 1．（1）求证： BD 1＝ AC1且 BD1∥ AC1；（ 2）△ DBC 沿射线 BC 方向平移的距离等于2时，点A与点D1之间的距离最小．【解答】（ 1）证明：由图 1 可知，△ ACB≌△ DBC ，∴AB＝ CD ，AC ＝BD，∠ ABC＝∠ DCB ，∴AB∥ CD ，由平移的性质可知，CD ＝ C1D， CD ∥ C1D ，∴AB＝ C1D ， AB∥ C1D，∴四边形 BD1C1A 为平行四边形，∴BD1＝ AC1且 BD1∥AC1；（ 2）解：当点 C 于点 B 重合时，点 A 与点 D1之间的距离最小，∴△ DBC 沿射线 BC 方向平移的距离＝BC＝＝2 ，故答案为： 2 ．21．（ 2019?安顺）（ 1）如图①，在四边形ABCD 中， AB ∥CD，点 E 是 BC 的中点，若 AE 是∠ BAD 的平分线，试判断 AB ，AD， DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交 DC 的延长线于点 F ，易证△ AEB≌△ FEC 得到AB＝ FC ，从而把AB，AD ， DC 转化在一个三角形中即可判断．AB， AD ， DC 之间的等量关系AD ＝ AB+DC ；（ 2）问题探究：如图② ，在四边形ABCD 中， AB∥ CD ， AF 与 DC 的延长线交于点F，点 E 是BC 的中点，若AE 是∠ BAF 的平分线，试探究AB， AF ， CF 之间的等量关系，并证明你的结论．【解答】解：（ 1） AD＝ AB+DC理由如下：∵AE 是∠ BAD 的平分线∴∠ DAE＝∠ BAE∵AB∥ CD∴∠ F＝∠ BAE∴∠ DAF ＝∠ F∴AD＝ DF ，∵点 E是 BC的中点∴CE＝ BE，且∠ F ＝∠ BAE，∠ AEB＝∠ CEF∴△ CEF≌△ BEA（ AAS）∴AB＝ CF∴AD＝ CD+CF ＝CD +AB（2）AB＝ AF+CF理由如下：如图② ，延长AE交DF的延长线于点G∵E 是 BC 的中点，∴ CE＝ BE，∵AB∥ DC ，∴∠ BAE＝∠ G．且 BE＝ CE，∠ AEB＝∠ GEC∴△ AEB≌△ GEC （AAS）∴AB＝ GC∵AE 是∠ BAF 的平分线∴∠ BAG＝∠ FAG，∵∠ BAG∠ G，∴∠ FAG＝∠ G，∴FA＝FG，∵CG＝ CF+FG ，∴AB＝ AF+CF22．（ 2019?黄石）如图，在△ABC 中，∠ BAC＝90°， E 为边 BC 上的点，且 AB＝AE ，D为线段 BE 的中点，过点 E 作 EF⊥ AE ，过点 A 作 AF∥ BC，且 AF、 EF 相交于点 F．（1）求证：∠ C＝∠ BAD ；（2）求证： AC＝ EF．【解答】证明：（ 1）∵ AB＝ AE， D 为线段 BE 的中点，∴△ ABD? △ ADE∴ ∠ADB=∠ADE，∴ AD⊥ BC∴∠ C+∠ DAC＝ 90°，∵∠ BAC＝ 90°∴∠ BAD+∠ DAC＝ 90°∴∠ C＝∠ BAD（2）∵ AF∥BC∴∠ FAE＝∠ AEB∵AB＝ AE∴∠ B＝∠ AEB∴∠ B＝∠ FAE，且∠ AEF ＝∠ BAC＝ 90°， AB＝ AE∴△ ABC≌△ EAF （ ASA）∴AC＝ EF23．（ 2019?兰州）如图， AB＝ DE ， BF ＝ EC，∠ B＝∠ E，求证： AC∥ DF ．【解答】证明：∵ BF＝ EC，∴BF+FC＝ EC+FC，∴BC＝ EF，在△ ABC 和△ DEF 中，，∴△ ABC≌△ DEF （SAS），∴∠ ACB＝∠ DFE ，∴AC∥ DF ．24．（ 2019?无锡）如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，点 D 、E 分别在AB、 AC 上， BD ＝ CE，BE、 CD 相交于点O．（1）求证：△ DBC ≌△ ECB；（2）求证： OB＝ OC．【解答】（ 1）证明：∵ AB＝ AC，∴∠ ECB＝∠ DBC，在△ DBC 与△ ECB 中，∴△ DBC≌△ ECB（ SAS）；（ 2）证明：由（ 1）知△ DBC ≌△ ECB，∴∠ DCB＝∠ EBC，∴OB＝ OC．25．（ 2019 春 ?盐湖区校级月考）已知，如图∠C＝∠ DBE ＝∠ DFB ＝90°， AB＝DE ， CE＝EB（1）求证：△ ABC≌△ EDB；（2）若 EB ＝3cm，求 AB 的长．【解答】证明：（ 1）∵∠ C＝∠ DBE ＝∠ DFB ＝ 90°，∴∠ ABC+∠ DEB ＝ 90°，∠ D +∠DEB ＝ 90°，∴∠ ABC＝∠ D，在△ ABC 与△ EDB 中，∴△ ABC≌△ EDB （AAS）；（2）∵△ ABC≌△ EDB ，∴ CB＝ AC＝ 3cm，∵ CE＝ EB＝ 3cm，∴ BC＝ 6cm，∴ AB＝cm．26．（ 2019?镇江）如图，四边形 ABCD 中， AD∥ BC，点 E、F 分别在AD、BC 上， AE＝ CF，过点 A、 C 分别作 EF 的垂线，垂足为G、 H．（1）求证：△ AGE≌△ CHF ；（2）连接 AC，线段 GH 与 AC 是否互相平分？请说明理由．【解答】（ 1）证明：∵ AG⊥EF ，CH ⊥ EF ，∴∠ G＝∠ H ＝ 90°， AG∥ CH ，∵AD∥ BC，∴∠ DEF ＝∠ BFE ，∵∠ AEG＝∠ DEF ，∠ CFH ＝∠ BFE ，∴∠ AEG＝∠ CFH ，在△ AGE 和△ CHF 中，，∴△ AGE≌△ CHF （ AAS）；（2）解：线段 GH 与 AC 互相平分，理由如下：连接 AH 、CG，如图所示：由（ 1）得：△ AGE≌△ CHF ，∴ AG＝ CH，∵ AG∥ CH，∴四边形 AHCG 是平行四边形，∴线段 GH 与 AC 互相平分．。
武汉市武珞路中学数学分式解答题中考真题汇编[解析版]
![武汉市武珞路中学数学分式解答题中考真题汇编[解析版]](https://img.taocdn.com/s3/m/f9b85998cfc789eb162dc86e.png)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．【答案】（1）x=4；（2）x=．【解析】通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：，化简可得：，整理可得：2x=15﹣8，解得：x=，这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：，化简可得：，解得：x=，这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，所以方程的解为x ==4；（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd ﹣ab ，分母为（a +b ）﹣（c +d ），所以方程的解为x =．2．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：(1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x+的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算； （2）将2316x x y x++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】解：（1）当x ＞0时，112x x x x +≥⋅= 当x ＜0时，11x x x x ⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭∵12x x --≥= ∴12x x ⎛⎫---≤- ⎪⎝⎭∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x+的最大值为-2； （2）由2316163x x y x x x++==++ ∵x ＞0，∴163311y x x =++≥= 当16x x= 时，最小值为11； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD∴x ：9=4：S △AOD∴：S △AOD =36x∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】 本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．3．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.例如：像33x x -+，23x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，23x x-，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式.例如：将分式2253x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法一：解：由分母为3x +，可设225(3)()x x x x a b +-=+++则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++对于任意x ，上述等式均成立，∴3235a a b +=⎧⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴225(3)(1)2(3)(1)22133333x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法二：解：2225332(3)(3)2(3)32213333333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. （1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；（2）已知整数x 使分式225112x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值. 【答案】（1）961x x ---；（2）x=-1或-3或11或-15. 【解析】【分析】 （1）先变形2731x x x ---=26691x x x x --+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x 的值．【详解】解：（1）2731x x x ---=26691x x x x --+-- =(1)6(1)91x x x x ----- =961x x ---； （2）225112x x x +-+= 2242132x x x x +++-+ =2(2)(2)132x x x x +++-+ =13212x x +-+，∵x是整数，225112x xx+-+也是整数，∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，∴x=-1或-3或11或-15.【点睛】本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．4．阅读下面的解题过程：已知21 13 xx=+，求241xx+的值。
湖北省武汉市武昌区武珞路中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)
2023—2024学年度九年级上学期期中测试数学试卷（考试时间为120分钟，满分为120分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑1．将化成一般式后，，，的值分别是（）A ．1，2，B ．1，，C ．1，，5D ．1，2，52．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．把抛物线向右平移2个单位，再向下平移3`个单位，得到抛物线为（）A ．B ．C ．D ．4．将二次函数化成的形式应为（）A ．B ．C ．D ．5．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（）A ．B ．C ．3D ．56．如图，在中，，，在同一平面内，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，若，则的度数是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，有一张长12cm ，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成()25x x +=20ax bx c ++=a b c 5-2-5-2-2y x =-()223y x =-++()223y x =--+()223y x =-+-()223y x =---262y x x =+-()2y x h k =-+()237y x =++()2311y x =-+()2311y x =+-()237y x =+-2410x x +-=m n m n mn ++5-3-ABC △AB AC =100BAC ∠=︒ABC △A 11AB C △1BB 11BB AC ∥1CAC ∠10︒20︒30︒40︒一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（）270cm cm x 1294970x ⨯-⨯=2129470x ⨯-=()()12970x x --=()()1229270x x --=ABCD 105BCD ∠=︒OB OC OD BD 2BOC COD ∠=∠CBD ∠20︒25︒30︒35︒OBC △()0,0O ()2,2B -()2,2C OBC △ABCD O 90︒A ()6,2()2,6-()6,2-()6,2--ABCD 12AB =10AD =60A ∠=︒E AD 6AE =F AB EF E 60︒EN BN CN BN CN +A ．B ．D ．14C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卡指定的位置。
2024年湖北省武汉市武珞路中学中考五调数学试题(解析版)
九年级数学第五次调研测试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 2024的相反数是（ ）A. 2024 B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．根据相反数的定义即可求解．【详解】解：2024的相反数是,故选：B ．2. 下列四幅图案代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，即可判断答案．【详解】A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；B 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选D ．3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）A. 掷一枚硬币，正面朝上． B. 抛出的篮球会下落．C. 任意的三条线段可以组成三角形 D. 同位角相等【答案】B【解析】2024-1202412024-2024-【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分别分析得出答案．【详解】A 、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；B 、抛出的篮球会下落是必然事件，故此选项正确；C 、任意三条线段可以组成一个三角形是随机事件，故此选项错误；D 、同位角相等，属于随机事件，故此选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4. 如图，该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：由题意知，其左视图如下：故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的左视图．解题的关键在于明确从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线．5. 计算的结果是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】()32a -6a -6a 5a -5a【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据幂的乘方和积的乘方，即可解答，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方法则．【详解】，故选：A ．6. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）A. 70°B. 65°C. 60°D. 50°【答案】A 【解析】【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴，∵，∴，∴；故选A ．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．7. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）()()()333222361a a a a ⨯-=-⨯=-=-120DEF ∠=︒DE 50ABD ∠=︒ACB =∠50ABD EDC ∠=∠=︒DE AB ∥50ABD EDC ∠=∠=︒120DEF EDC DCE ∠=∠+∠=︒70DCE ∠=︒70ACB DCE ∠∠︒==A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A ，B ，C ，D ，画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A ）和《大学》（即C ）的可能结果有2种可能，∴P （抽取的两本恰好是《论语》和《大学》），故选：B ．【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．8. 在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围的长度（）对应关系如下表：尺码/英寸 (22)23242526腰围/cm…小华的腰围是，那么他所穿裤子的尺码是（ ）A. 28英寸 B. 29英寸C. 30英寸D. 31英寸【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．依题意可设腰围的长度为与裤子的尺寸之间存在一种换算关系为，然后代入进行求解即可．【详解】解：由题意可设腰围的长度为与裤子的尺寸之间存在一种换算关系为，，1816131221126==cm 601±62.51±651±67.51±701±80.5cm y x y kx b =+y x y kx b =+22602465k b k b +=⎧∴⎨+=⎩解得：，，当腰围为，即时，则有，．故选：C ．9. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.【详解】解： ，点是这段弧所在圆的圆心，，，，，，.，，.设，则，在中，，，525k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩552y x ∴=+∴80.5cm 80.5y =5580.52x +=30.230x ∴=≈ AC O B AC OB AC ⊥D AC =150m BD = AC 300m π200m π150mπmAD OB AC ⊥ O AD CD ∴=OD OD = OA OC =ADO CDO ∴ ≌AOD COD ∠=∠∴AC = AD CD =AD CD ∴==OA OC OB x ===150DO x =-Rt ADO △()(222150x x =-+300m x ∴=，，.故选：B .【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数.10. 若一次函数和反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D 【解析】【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据题意画出函数图象，即可得出结论．【详解】解：根据题意画出函数图象，如图所示：由图得，当一次函数的图象在反比例函数的图象的下方时，则有：或，当一次函数的图象在反比例函数的图象的上方时，则有：或，当时，不等式的解集即为的解集为，当时，不等式的解集即为的解集为，∴不等式的解集为或，sin AD AOD AO ∴∠===60AOD ∴=︒∠120AOC ∴∠=︒ 120300200m 180180n R AC πππ⨯⨯∴===y kx b =+()0my m x=<()13,A y -()21,B y 20kx bx m +->1x >3x <-01x <<3x <-30x -<<1x >30x -<<01x <<y kx b =+()0my m x=<30x -<<1x >y kx b =+()0my m x=<3x <-01x <<0x >20kx bx m +->mkx b x +>01x <<0x <20kx bx m +->mkx b x+<30x -<<20kx bx m +->01x <<30x -<<故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 数用科学记数法表示是______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中为整数，据此判断即可．【详解】解：．故答案为：．12. 写出一个图象只经过第二、四象限的函数表达式______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，要知道，对于反比例函数，①，反比例函数图象在一、三象限；②，反比例函数图象在第二、四象限内．位于二、四象限的反比例函数比例系数，据此写出一个函数解析式即可．【详解】解：∵反比例函数位于二、四象限，，解析式为：．故答案为：．13. 计算的结果是______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，然后把分子合并同类项， 再约分化简即可．186********.8610⨯10n a ⨯1||10a ≤<a n 10n a ⨯1||10,a n ≤<8186000000=1.8610⨯81.8610⨯1y x=-(0)ky k x=≠0k >0k <k 0<0k ∴<1y x =-1y x=-2231a b a b a b -+--2a b +2b a+【详解】解：，故答案为：．14. 如图所示是消防员救援时攀爬云梯的场景．已知，，，，点A 关于点C 的仰角为，则楼的高度为______．（结果保留整数．参考数据：，，）【答案】11【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．把所给线段整理到直角三角形中是解决本题的关键．延长交于点后，可得直角三角形和矩形，那么．易得，那么根据的正弦值可得的长，加上的长即为的高度．详解】解：∵，∴．∵，∴．∴，四边形是矩形．∵；【2231a b a b a b-+--()()()()3a b a ba b a b a b a b -+=++-+-()()22a b a b a b -=+-2a b=+2a b+，⊥⊥AE BE BC BE CD BE ∥10.4m AC = 1.26m BC =70︒AE m sin 700.94︒≈cos 700.34︒≈tan 70 2.75︒≈CD AE F ACF BCFE ∠=FE BC ACF ∠=70︒70︒AF F E AE ,⊥⊥AE BE BC BE 90∠=∠=︒CBE AEB CD BE ∥90CFE ∠=︒90AFC ∠=︒BCFE 1.26m BC =∴．由题意得：．，，．答：楼的高度约为．故答案为：11．15. 关于二次函数的四个结论：①对任意实数m ，都有与对应的函数值相等；②无论a 取何值，抛物线必过两个定点；③若抛物线与x 轴交于不同两点A 、B ，且，则或；④若，对应y 的整数值有4个，则或其中正确的结论是______（填写序号）【答案】①②④【解析】【分析】①先求二次函数对称轴，根据对称轴来判断与对应的两个点是关于直线对称，从而得出判断；②根据二次函数直接判断结论是错误的；③设，且，根据根与系数的关求出两根之和两根之积，从而表示长，再根据已知条件分两种情况分别讨论，最终得出或；④根据已知条件分两种情况分别讨论，当时，若随的增大而增大，得，再根据的整数值有4个，得；当1.26(m)==FE BC 70ACD ∠=︒10.4m =Q AC sin 10.40.949.776(m)∴=⋅∠≈⨯=AF AC ACD 9.776 1.2611.03611(m)∴=+=+=≈AE AF EF AE 11m ()2450y ax ax a =--≠12x m =+22x m=-6AB ≤0a <1a ≥34x ≤≤413a -<≤-413a ≤<12x m =+22x m =-2x =245y ax ax =--(,0),(,0)A n B p n p >AB 1a ≥a<00a >34,≤≤x y x 355a y --≤≤-y 413a ≤<a<0时，若随的增大而减小，方法和第一种情况类似，求出，从而得出最终结论．【详解】解：①二次函数对称轴为直线，，∴与关于直线对称，∴对任意实数，都有与对应的函数值相等，∴①正确；②∵对称轴为直线，与轴的交点为，∴抛物线也过点，∴无论取何值，抛物线一定过两个定点和，∴②正确；③∵若抛物线与轴交于不同两点，设，且，∵是方程的两个不同的根，∴，∴，∵，，当时，解不等式得，当时，解不等式得，综上所述：或，∵若抛物线与轴交于不同两点，∴，∴或，综上所述：或，34,≤≤x y x 413a -<≤-422ax a-=-=2222++-=Qm m2m +2m -2x =m 12x m =+22x m =-2x =y (0,5)-(4,5)-a (0,5)-(4,5)-x ,A B (,0),(,0)A n B p n p >,n p 2450ax ax --=54,+==-n p np aAB n p =-==6AB ≤201636a∴+≤0a >1a ≥a<01a ≤1a ≥a<0x 216200a a +>0a >54a <-1a ≥54a <-④∵当时，若随的增大而增大，当时，，当时，，，∵的整数值有4个，，，当时，若随的增大而减小，，∵的整数值有4个，，，综上所述：或，∴④正确．故答案为：①②④．【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、一元一次不等式组的整数解，掌握这几个知识点的综合应用，其中分情况讨论及二次函数的性质的应用是解题关键．16. 如图，为等腰底边上高，，，分别是线段上的动点，且，则取最小值时，其最小值为_______．【答案】的0a >34,≤≤x y x 3x =912535y a a a =--=--4x =161655y a a =--=-355a y ∴--≤≤-y 9358a ∴-<--≤-413a ∴≤<a<034,≤≤x y x 535y a ∴-≤≤--y 2351a ∴-≤--<-413a ∴-<≤-413a -<≤-413a ≤<AD ABC 6AB AC ==4BC =,E F ,AC AD AF CE =BE CF+【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理．作且使得，连接、、，先证，可以得到，再根据图形，可知的最小值就是线段的长，由勾股定理即可求得的长．【详解】解：作且使得，连接、、，∵，点为的中点，∴，，，，，，，又，在和中，，，，∵当点、、三点共线时，最小，此时最小值为,．AG AB ⊥4==AG CB BF FG BG ≌V V AGF CBE GF BE =BE CF +BG BG AG AB ⊥4==AG CB BF FG BG AB AC =D BC ,AD BC BAD CAD ⊥∠=∠90BAD ABD ∴∠+∠=︒BA AG ⊥ 90BAG ∴∠=︒90BAD GAF ∴∠+∠=︒GAF ABD ∴∠=∠GAF BCE ∴∠=∠,==Q AF CE AG CB AGF CBE △AF CE GAF BCEAG CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)∴≌AGF CBE V V GF BE ∴=FB FC = BE CF GF BF ∴+=+B F G GF BF +BG6,4AB AG CB === AG AB⊥BG ∴==故答案为：三、解答题（共8题，共72分）17. 求不等式组的负整数解；【答案】【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，进而可得不等式组的负整数解．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴该不等式组解集为，∴该不等式组的负整数解是．18. 如图，已知E 、F 分别是的边．上的点，且．（1）求证：；（2）若，且，直接判断四边形的形状是______________．【答案】（1）见详解（2）菱形【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握①平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相，对角线互相平分，②菱形的判定定理：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．（1）由平行四边形的性质可得，且，再由，可得，即可利用定理判定；（2）首先证明四边形是平行四边形，再根据，可得，由可得，再根据等角的余角相等可得，进而得到，由一组邻边相等的平行四边形是菱形证出结论．的342752x x x x ≤+⎧⎨+>-⎩2,1--342752x x x x ≤+⎧⎨+>-⎩①②2x ≥-3x <23x -≤<2,1--ABCD BC AD 、CE AF =ABE CDF △≌△BE AE =90BAC ∠=︒AECF AB C =,D AD BC =B D ∠=∠CE AF =BE DF =SAS ABE CDF △≌△AECF AE BE =ABE BAE ∠=∠90BAC ∠=︒90,90∠+∠=︒∠+∠=︒ABE ACE BAE EAC ACE EAC ∠=∠AE EC =【小问1详解】证明：连接，∵四边形平行四边形，，，，∵在和中，，∴．【小问2详解】四边形是菱形．证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∵，∴．∴，∴，∴平行四边形是菱形．∴四边形是菱形．19. 在“4·23世界读书日”，某学校开展“让阅读成为习惯”的读书活动，为了解学生的参与程度，从全校随机抽取200名学生进行问卷调查，获取了每人平均每天阅读时间t （单位：分钟），将收集的数据分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，绘制成如下不完整统计图表．是,,AE CF AC ABCD ,,∴==∠=∠AB CD AD BC B D CE AF = BE DF ∴=ABE CDF AB CD B D EB FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE CDF △≌△AECF ABCD AD BC ∥CE AF =AECF AE BE =ABE BAE ∠=∠90BAC ∠=︒90,90∠+∠=︒∠+∠=︒ABE ACE BAE EAC ACE EAC ∠=∠AE CE =AECF AECF平均每天阅读时间统计表等级人数（）5（）10（）a（）80（）b 请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）______，______；（2）这组数据的中位数所在的等级是______；（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”，若该校学生以2000人计算，估计可评为“阅读达人”的学生人数．【答案】（1）（2）等级（3）总人数为2000人时，可评为“阅读达人”的学生人数为人【解析】【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图样本估计总体的思想，中位数，熟练掌握统计图的意义，中位数的计算是解题的关键．（1）根据频数=样本容量×所占百分数，合理选择计算即可．（2）根据中位数的定义计算即可．（3）利用样本估计总体的思想计算即可．【小问1详解】解：级人数的占比为，，A 20t <B 2030t ≤<C 3040t ≤<D 4050t ≤<E 50t ≥=a b =40,65a b ==D 650C 20%20%20040a ∴=⨯=∴级人数为人，；【小问2详解】根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在等级，第101个数据在等级，它们的平均数也在等级，故答案为：等级．【小问3详解】∵统计表中平均每天阅读时间不低于50分钟的学生人数为65人，∴级的比例为：，当总人数为2000人时，可评为“阅读达人”的学生人数为：人．20. 如图，是的外接圆，是的直径，F 是延长线上一点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见详解 （2）【解析】【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．【小问1详解】证明：连接，∵是的直径，∴，E 200510804065----=40,65a b ∴==D D D D E 6532.5%200=32.5%2000650⨯=O ABC AD O AD CD CF ，DCF CAD ∠=∠CF O 10AD =3cos 5B =FA 907OC OC FC ⊥3cos 5B =::3:4:5CD AC AD =OC AD O =90ACD ∠︒∴，又∵，∴，又∵．∴，即，∴是的切线；【小问2详解】解：∵，∴，在中，，，，，，，，设，则，又，即，解得(取正值)，．90ADC CAD ∠+∠=︒OC OD =ADC OCD ∠=∠DCF CAD ∠=∠90DCF OCD ∠+∠=︒OC FC ⊥FC O 3,cos 5B ADC B ∠=∠=3cos 5ADC ∠=Rt ACD 3cos ,105∠===Q CD ADC AD AD3cos 1065CD AD ADC ∴=⋅∠=⨯=8AC ∴==34CD AC ∴=,FCD FAC F F ∠=∠∠=∠ FCD FAC ∴△∽△34∴===CD FC FD AC FA FC 3FD x =4,310==+FC x AF x 2FC FD FA =⋅ 2(4)3(310)x x x =+307x =9037FD x ∴==21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A ，B ，C 三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（1）如图1，点D 在上，且为格点：①将线段绕点A 逆时针旋转，得到线段；②在上取点F ，使（2）如图2，点P 在上，过点P 作交于点M ；（3）如图3，点P 是下方网格内一点，将线段绕点C 顺时针旋转得到线段；【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解【解析】【分析】（1）①取格点，连接即可；②取中点，连接交 于点，点即为所求；（2）延长交格点与点，连接，取的中点，连接，交于点，连接交于点连接交于点，连接即为所求；（3）延长交格点与点，连接，取，连接交于点，连接交格子于点，连接，交于点，连接交于点，即为所求；【小问1详解】①将线段绕点A 逆时针旋转， 如图，即为所求．如图，点F 即为所求．理由：，是等腰三角形，是中点，79⨯BC AB 90︒AE AD 1tan 2ABF ∠=BC PM AC AB BC PC 2PCA ∠QC E AE AC H BH AD F F CA D DB DC E ,BE DP F CF BD G GP AB M MP CP D DB 4AE AB ==ED AC F BF G ，CG PG AC H DH CG Q CQ AB 90︒AE 5===AB BC Q ABC ∴ H AC BH AC∴⊥∴．【小问2详解】如图，即为所求．理由：，，，，根据作图可知是的中线，是的重心，∴是的中线，∴是的中点，∴是的中位线，∴．小问3详解】如图，延长交格点与点，连接，取，连接交于点，连接交格子于点，连接，交于点，连接交于点，则即为所求．理由：，，，，，，，，即；，【1122AH AC BH ===== 1tan 2∠==AH ABF BH PM ,1,∠=∠==BPH CPN BH CN BH CN ∥Q ∴∠=∠PBH PCN ≌∴BPH CPN V V BP CP ∴=,BE DP BCD △F ∴BCD △CG BCD △G DB GP BCD △GP DC ∥CP D DB 4AE AB ==ED AC F BF G ，CG PG AC H DH CG Q CQ 4,,==∠==AE AB BAF EAF AF AF Q ≌∴AFB AFE V V ,∴=∠=∠BF EF FBA FEA ,∴∠=∠∠=∠FBD FEG BFD EFG ≌∴BDF EGF V V ,∴=∠=∠DF GF DFC GFC DFC GFC ∴△≌△,∴=∠=∠CD CG DCF GCF 2∠=∠PCG PCA ≌∴DCH GCH V V，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查作图-应用与设计作图，三角形中位线定理，重心，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，充分利用格点特征是解题的关键．22. 乒乓球被誉为中国国球。
武汉市武珞路中学数学三角形填空选择中考真题汇编[解析版]
![武汉市武珞路中学数学三角形填空选择中考真题汇编[解析版]](https://img.taocdn.com/s3/m/8e1f17f0336c1eb91b375d1a.png)
武汉市武珞路中学数学三角形填空选择中考真题汇编[解析版]一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是_____．【答案】30【解析】【分析】由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC．【详解】解：∵BD=2DC，∴S△ABD=2S△ACD，∴S△ABC=3S△ACD．∵E是AC的中点，∴S△AGE=S△CGE．又∵S△GEC=3，S△GDC=4，∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30．故答案为30．【点睛】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．2．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形．【答案】10【解析】【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.【详解】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，故答案为：10．【点睛】本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏.3．如图，ABC 中，点D 在AC 的延长线上，E 、F 分别在边AC 和AB 上，BFE ∠与BCD ∠的平分线相交于点P ，若ABC ∠=70°FEC ∠=80°，则P ∠=______．【答案】85°【解析】【分析】根据四边形内角和等于360°，在四边形FECB 中∠B +∠BFE +∠FEC +∠BCE =360°，结合角平分线的定义计算即可得∠1-∠2=15°；再在四边形EFPC 中求出∠1-∠2+∠P =110°即可解答．【详解】解：∵∠BFE =2∠1，∠BCD =2∠2，又∵∠BFE +∠ABC +∠FEC +∠BCE =360°，ABC ∠=70°，FEC ∠=80°，∴2∠1+（180°-2∠2）+70°+80°=360°，∴∠1-∠2=15°；∵在四边形EFPC 中，∠PFE +∠FEC +∠P +∠PCE =360°，∴∠1+80°+（180°-∠2）+∠P =360°，∴∠1-∠2+∠P =100°，∴∠P=85°，故答案为：85°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和四边形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°和四边形内角和等于360°是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_______°.【答案】65【解析】如图，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠1=12∠DAC，∠2=12∠ACF，∴∠1+∠2=12（∠DAC+∠ACF），又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠BAC+∠ACB），且∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°，∴∠1+∠2=12（360°-130°）=115°，∴在△ACE中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°.5．如图，在∆ABC中，∠A=80︒，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A7BC与∠A7CD的平分线相交于点A8，得∠A8，则∠A8的度数为_________.. 【答案】516 【解析】 【分析】 利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求∠A 1=12∠A ，再依此类推得，∠A 2=212∠A ，……，∠A 8= 812∠A ，即可求解. 【详解】解：根据三角形的外角得：∠ACD=∠A+∠ABC.又∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴1111222A ABC A ABC ∠+∠=∠+∠ ∴∠A 1=12∠A 依此类推得，∠A 2= 212∠A ，……，∠A 8= 812∠A=180256⨯=516 故答案为516. 【点睛】 本题考查三角形外角、角平分线的性质，解答的关键是弄清楚角之间的关系..6．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB =____．【答案】105°．【解析】【分析】先根据直角三角形的特殊角可知：∠ECD=45°，∠BDC=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图，∠ECD=45°，∠BDC=60°，∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°．故答案为：105°．【点睛】此题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．【答案】115°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数．【详解】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12×（∠ABC+∠ACB）＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数．8．等腰三角形的三边长分别为：x+1，2x+3，9，则x=________.【答案】3【解析】①当x+1=2x+3时，解得x=−2(不合题意,舍去)；②当x+1=9时，解得x=8，则等腰三角形的三边为:9、19、9，因为9+9=18<19，不能构成三角形，故舍去；③当2x+3=9时，解得x=3，则等腰三角形的三边为:4、9、9，能构成三角形。
武汉市武珞路中学数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]
![武汉市武珞路中学数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]](https://img.taocdn.com/s3/m/8edb67affad6195f312ba6e5.png)
武汉市武珞路中学数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版]一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769或32 【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H∵∠C=45°，DH ⊥BC∴△DHC 是等腰直角三角形∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC －HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1）．（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB 的长；（2）若Rt △ABC 中，点C 在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C 后不用计算写出你能写出的点C 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点P ，使PA =PB 且PA +PB 最小？若存在，就求出点P 的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．【解析】【分析】（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5（2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2．②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4．③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．（3）不存在这样的点P．作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，由图可以看出两线交于第一象限．∴不存在这样的点P．【点睛】本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．3．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；(2)如图2，若点A 的坐标为()23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253m n +-化，请说明理由；(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-；（3）EN=12(EM-ON)，证明见详解. 【解析】【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-.（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12(EM-ON).【详解】（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,∴∠AQC=90°, ∵ABC △为等腰直角三角形，∴AC=AB,∠CAB=90°, ∴∠QAC+∠OAB=90°,∵∠QAC+∠ACQ=90°,∴∠ACQ=∠BAO,又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,∴AQC BOA ≅(AAS),∴CQ=AO,AQ=BO,∵OA=2,OB=4,∴CQ=2,AQ=4,∴OQ=6, ∴C(-6,-2).(2)如图（2）作DP ⊥OB 于点P ,∴∠BPD=90°,∵ABD △是等腰直角三角形，∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°,∴∠ABO=∠BDP ,又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,∴AOB BPD ≅∴AO=BP ,∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()23,0-,∴OA=3∴m+n=23∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23∴整式2253m n +-3-（3）()12EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.∵OBM为等边三角形，∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,∵OE=OB,∴OE=OM=BM,∴∠3=∠EMO=15°,∴∠BEM=30°,∠BME=45°,∵OF⊥EB,∴∠EOF=∠BME,∴ENO BGM,∴BG=EN,∵ON=MG,∴∠2=∠3,∴∠2=15°,∴∠EBG=90°,∴BG=12 EG,∴EN=12 EG,∵EG=EM-GM,∴EN=12(EM-GM),∴EN=12(EM-ON).【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.4．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C.若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．5．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD=BD ,AD⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．6．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．【详解】解： (1)∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110° ，∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°，∵AD=AE ，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18° ，∴∠E=75°−18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75° ，∴∠BAD=36°.（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°﹣α∴y x y x ααβ=+⎧⎨=-+⎩①②-②得，2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α∴+y x y x ααβ=+⎧⎨=+⎩①② -①得，α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°﹣α∴180180y x y x αβα-++=⎧⎨++=⎩①② -①得，2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．7．如图，已知DCE ∠与AOB ∠，OC 平分AOB ∠．(1)如图1，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E ，90AOB DCE ∠=∠=︒，试判断线段CD 与CE 的数量关系，并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：CD CE =．理由如下：如图1，过点 C 作 C F OC ⊥，交 O B 于点 F ，则90OCF ∠=︒，…请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若120AOB ∠=︒，60DCE ∠=︒．①如图3，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系？说明理由．②如图4，DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系；如图5，DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系．【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC-=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC-=【解析】【分析】（1）通过ASA证明CDO CEF∆∆≌即可得到CD=CE；（2）过点C作CM OA⊥，CN OB⊥，垂足分别为M，N，通过AAS证明CMD CNE∆∆≌同样可得到CD=CE；（3）①方法一：过点C作C M OA⊥，CN OB⊥垂足分别为M，N，通过AAS得到CMD CNE∆∆≌，进而得到,CD CE DM EN==，利用等量代换得到=OE OD ON OM++，在Rt CMO∆中，利用30°角所对的边是斜边的一半得12OM OC=，同理得到12ON OC=，所以OE OD OC+=；方法二：以CO为一边作60FCO∠=︒，交O B于点F，通过ASA证明CDO CEF∆∆≌，得到,CD CE OD EF==，所以OE OD OE EF OF OC+=+==；②图4：以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点，利用ASA证得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点，利用ASA证得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.【详解】解：(1)OC平分AOB∠，145∠=∠2=︒∴，390245,123︒︒∴∠=-∠=∴∠=∠=∠OC FC∴=又456590︒∠+∠=∠+∠=在CDO∆与CEF∆中，1346OC FC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()CDO CEF ASA∴∆∆≌CD CE∴=(2)如图2，过点 C 作CM OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，∴90CMD CNE ∠=∠=︒，又∵OC 平分AOB ∠，∴CM CN =，在四边形 O DCE 中，12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=︒，又∵90AOB DCE ∠=∠=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵13180∠+∠=︒，∴32∠=∠，在CMD ∆与CNE ∆中，32CMD CNE CM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMD CNE AAS ∆∆≌，∴CD CE=.(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC +=.理由如下：方法一：如图3(1)，过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，∴90CMD CNE ∠=∠=︒，又∵OC 平分AOB ∠，∴CM CN =，在四边形ODCE 中，12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=︒，又∵60120180AOB DCE ∠+∠=︒+︒=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵23180∠+∠=︒，∴13∠=∠，在CMD ∆与CNE ∆中，13CMD CNE CM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CMD CNE AAS ∆∆≌，∴,CD CE DM EN ==.∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.在 Rt CMO ∆中，1490590302AOB ∠=︒-∠=︒-∠=︒， ∴12OM OC =，同理1 2ON OC =， ∴1122OE OD OC OC OC +=+=. 方法二：如图3（2），以CO 为一边作60FCO ∠=︒，交 O B 于点 F ，∵OC 平分AOB ∠，∴1260∠=∠=︒，∴3180260FCO ∠=︒-∠-∠=︒，∴13∠=∠，32FCO ∠=∠=∠，∴COF ∆是等边三角形，∴CO CF =，∵4560DCE ∠=∠+∠=︒，6560FCO∠=∠+∠=︒，∴46∠=∠，在CDO∆与CEF∆中，1346CO CF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()CDO CEF ASA∆∆≌，∴,CD CE OD EF==.∴OE OD OE EF OF OC+=+==.②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC-=.如图，以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCF=60°∴△COF为等边三角形∴OC=OF∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE（ASA）∴CD=CE，OD=EF∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC -=.如图，以OC 为一边，作∠OCG=60°与OA 交于G 点∵∠AOB=120°，OC 为∠AOB 的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCG=60°∴△COG 为等边三角形∴OC=OG∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°∴∠CGD=∠COE∴△CGD ≌△COE （ASA ）∴CD=CE ，OE=DG∴OD=OG+DG=OC+OE即OD-OE=OC【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.8．在等边ABC ∆中，点O 在BC 边上，点D 在AC 的延长线上且OA OD =.（1）如图1，若点O 为BC 中点，求COD ∠的度数；（2）如图2，若点O 为BC 上任意一点，求证AD AB BO =+.（3）如图3，若点O 为BC 上任意一点，点D 关于直线BC 的对称点为点P ，连接,AP OP ，请判断AOP ∆的形状，并说明理由.【答案】（1）30；（2）见解析；（3）AOP ∆是等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形的等边三角形的性质可求1302CAO BAC ∠=∠=︒且,90AO BC AOC ⊥∠=︒，根据OA OD =，等腰三角形的性质得到D ∠的度数，再通过内角和定理求AOD ∠，即可求出COD ∠的度数.（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E 先证明COE ∆为等边三角形，再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=︒，120DCO ∠=︒，再证明()AOE DOC AAS ∆≅∆，得到CD EA =，再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过，又因为AD AC CD =+，通过等量代换即可得到答案.（3）通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ∆≅∆，得到OP OD =，又因为OA OD =，得到AO=OP ，证得AOP ∆为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得AOE DOC ∆≅∆得到AOE DOC ∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE ∠=∠=°，即可证得AOP ∆是等边三角形.【详解】（1）∵ABC ∆为等边三角形∴60BAC ∠=︒∵O 为BC 中点∴1302CAO BAC ∠=∠=︒ 且,90AO BC AOC ⊥∠=︒∵OA OD =∴AOD ∆中，30D CAO ∠=∠=︒∴180120AOD D CAO ∠=︒-∠-∠=︒∴30COD AOD AOC ∠=∠-∠=︒（2）过O作//OE AB，OE交AD于E ∵//OE AB∴60EOC ABC∠=∠=︒60CEO CAB∠=∠=︒∴COE∆为等边三角形∴OE OC CE==180120AEO CEO∠=︒-∠=︒180120DCO ACB∠=︒-∠=︒又∵OA OD=∴EAO CDO∠=∠在AOE∆和COD∆中AOE DOCEAO CDOOA OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOE DOC AAS∆≅∆∴CD EA=∵EA AC CE=-BO BC CO=-∴EA BO=∴BO CD=，∵AB AC=，AD AC CD=+∴AD AB BO=+（3）AOP∆为等边三角形证明过程如下：连接,PC PD，延长OC交PD于F∵P D 、关于OC 对称∴,90PF DF PFO DFO =∠=∠=︒在ODF ∆与OPF ∆中，PF DF PFO DFO OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ODF OPF SAS ∆≅∆∴OP OD =,POC DOC ∠=∠∵OA OD =∴AO=OP∴AOP ∆为等腰三角形过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E由（2）得AOE DOC ∆≅∆∴AOE DOC ∠=∠又∵POC DOC ∠=∠∴AOE POF ∠=∠∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠即AOP COE ∠=∠∵AB ∥OE ，∠B=60°∴60COE B ∠=∠=︒∴60AOP COE ∠=∠=°∴AOP ∆是等边三角形.【点睛】本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题，灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系，以及等边三角形的性质是解答此题的关键.9．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ∆，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点A 、点C 重合），过点F 作FH AB ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接FG 交AB 于点l .（1）若10AC =，求HI 的长度；（2）如图2，延长BC 到D ，再延长BA 到E ，使得AE BD =，连接ED ，EC ，求证：ECD EDC ∠=∠.【答案】（1）HI =5；(2)见解析.【解析】【分析】（1）作FP ∥BC 交AB 于点P ，证明APF ∆是等边三角形得到AH=PH ， 再证明PFI BGI ∆≅∆得到PI=BI ，于是可得HI =12AB ，即可求解； （2）延长BD 至Q ，使DQ=AB ，连结EQ ，就可以得出BE=BQ ，得出△BEQ 是等边三角形，就可以得出BE=QE ，得出△BCE ≌△QDE 就可以得出结论．【详解】解：如图1，作FP ∥BC 交AB 于点P ，∵ABC ∆是等边三角形,∴∠ABC=∠A=60°,∵FP ∥BC,∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,∴∠APF=∠A=60°,∴APF ∆是等边三角形,∴PF=AF,∵FHAB ⊥，∴AH=PH,∵AF=BG,∴PF=BG,∴在PFI ∆和BGI ∆中，PIF BIG PFI BGI PF BG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴PFI BGI ∆≅∆,∴PI=BI,∴PI+PH=BI+AH=12AB, ∴HI=PI+PH =12AB= 1102⨯=5； (2)如图2，延长BD 至Q ，使DQ=AB ，连结EQ ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠B=60°．∵AE=BD ，DQ=AB ，∴AE+AB=BD+DQ ，∴BE=BQ ．∵∠B=60°，∴△BEQ 为等边三角形，∴∠B=∠Q=60°，BE=QE ．∵DQ=AB ，∴BC=DQ ．∴在△BCE 和△QDE 中，BC DQ B Q BE QE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△QDE（SAS），∴EC=ED．∴∠ECD=∠EDC.【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.10．（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，∴∠C=90°-23°=67°，∵MN垂直平分AB，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形，∴∠BAD=∠ABC=23°，∴∠ADC=2∠ABC=46°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，∴∠DAC=∠C，∴△DAC是等腰三角形，同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，∵点O是三角形垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD=22.5°，∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，∴∠OBC=∠OCB=45°.（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，∵∠A=30°，PB=PQ，∴∠ABP=∠A=30°，∴∠APB=120°，∵PB=PQ，PQ=CQ，∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，∴∠PBQ=2∠C，∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，解得：∠C=40°.②如图，当PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ时，∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，∴180°-4∠C+∠C=120°，解得：∠C=20°，③如图，当PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP时，∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBQ=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=120°，解得：∠C=100°.④如图，当PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP时，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,又∵∠C+∠PBQ=120°，∴∠C=80°；⑤如图，当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，∵∠A=30°，∴∠APB=12（180°-30°）=75°，∵BP=BQ，PQ=CQ，∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，∴∠BQP=2∠C，∴∠PBQ=180°-4∠C，∴∠C+180°-4∠C=75°，解得：∠C=35°.⑥如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QC时，∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBC=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=75°，解得：∠C=40°.⑦如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QP时，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；⑧当AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∠A=30°，∴∠ABP=∠APB=75°，又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，∴3∠C=75°，∴∠C=25°；⑨当AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∴∠BPA=∠A=30°，∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，∴2∠C+∠C=30°，解得：∠C=10°.⑩当AB=BP，BQ=PQ，PQ=CQ时，∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，∴12∠C+∠C=30°，解得：∠C=20°.综上所述：∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【点睛】本题考查复杂作图及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.。
2023-2024学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级(上)月考数学试卷(12月份)(含解析)
2023-2024学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.成语“水中捞月”所描述的事件是( )A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 无法确定2.下列图形中，为中心对称图形的是( )A. B. C. D.3.解一元二次方程x2−6x−4=0，配方后正确的是( )A. (x+3)2=13B. (x−3)2=5C. (x−3)2=4D. (x−3)2=134.已知⊙O的半径是3，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是( )A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法判断5.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是( )A. 1+x2=91B. (1+x)2=91C. 1+x+x2=91D. 1+(1+x)+(1+x)2=916.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为( )A. 120°B. 180°C. 240°D. 300°7.如果m、n是一元二次方程x2−x−3=0的两个实数根，则多项式n2−mn+m的值是( )A. −3B. 4C. 5D. 78.二次函数y=−x2−2x+c在−3≤x≤2的范围内有最小值−5，则c的值是．( )A. −6B. −2C. 2D. 39.如图，AB是⊙O的切线，点A、E是⊙O上的点，CD是的直径，∠ABC=∠E=45°，△BCD的面积为27，则BC的长为( )A. 3B. 23C. 4D. 3610.已知抛物线y=−x2−2mx+3与直线y=2x+10m在−4<x<0范围内有唯一公共点，则m的取值范围为( )A. −52<m≤310或m=4−23 B. −54<m≤37或m=4±23C. −52≤m<310或m=23 D. −54≤m<37或m=−23二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
(解析版)武珞路中学2018-2019年初二下年中数学重点试卷.doc
(解析版)武珞路中学2018-2019年初二下年中数学重点试卷【一】选择题〔每题3分，共30分〕1、〔3分〕有意义，A的取值范围是〔〕A、 A≥2B、 A》2C、 A≥﹣2D、 A》﹣22、〔3分〕以下计算，正确的选项是〔〕A、B、C、 D、3、〔3分〕化简：正确的选项是〔〕A、 B、C、 4D、4、〔3分〕以下各式中属于最简二次根式的是〔〕A、B、 C、D、5、〔3分〕A、B、C为△ABC三边，不是直角三角形的是〔〕A、 A2＝C2﹣B2B、 A＝，B＝1，C＝C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5D、 A＝8K，B＝17K，C＝15KA、假设A＝B，那么A2＝B2B、假设A》0，B》0，那么AB》0C、等边三角形是锐角三角形D、全等三角形的对应边相等7、〔3分〕如图，在RT△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，那么AB＝〔〕A、 4B、C、D、8、〔3分〕▱ABCD中，BC＝10，AC与BD交于O，AO＝4，BO＝7，△ABC比△DBC周长小〔〕A、 3B、 4C、 5D、 69、〔3分〕以下条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是〔〕A、∠A＝∠B，∠C＝∠DB、 AB∥CD，AD＝BCC、 AB∥CD，∠A＝∠CD、AO＝BO，CO＝DO10、〔3分〕如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ACE ＝∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F、假设BC＝2，那么EF的长为〔〕A、B、 C、 1 D、【二】填空题〔每题3分，共18分〕11、〔3分〕计算：÷＝、12、〔3分〕X＝＋1，Y＝﹣1，那么X2﹣Y2＝、13、〔3分〕一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高米、14、〔3分〕△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，假设AC＝5，AB＝10，BC＝7，那么△DEF的周长为、15、〔3分〕▱ABCD中，AD＝12，BD＝10，AC＝26，那么▱ABCD的面积是、16、〔3分〕在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，那么▱ABCD的周长等于、【三】解答题〔共72分〕17、〔5分〕计算：、18、〔5分〕计算：、19、〔6分〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE＝OF、20、〔6分〕如图，每个小正方形的边长都为1、〔1〕求四边形ABCD的面积与周长；〔2〕∠BCD是直角吗？21、〔6分〕A﹣＝﹣，求﹣、22、〔6分〕RT△ABC中，∠C＝90°，CH⊥AB于点H，AC＝3，CH＝2，求BC的长、23、〔6分〕▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，线DC于点F〔1〕求证：CE＝CF；〔2〕假设∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，求∠BDG、24、〔12分〕在平面直角坐标系中，A〔﹣M，0〕、B〔N，0〕，假设、如图C在X轴上，BC＝2，Q从O向C运动，以AQ、BQ为边作等边△AEQ、等边△FBQ、连接EF，点P为EF中点〔1〕求A、B两点坐标；〔2〕求P点运动的路径长为多少？〔3〕求EF的最小值、湖北省武汉市武珞路中学2018－2018学年八年级下学期期中数学模拟试卷参考答案与试题解析【一】选择题〔每题3分，共30分〕1、〔3分〕有意义，A的取值范围是〔〕A、 A≥2B、 A》2C、 A≥﹣2D、 A》﹣2考点：二次根式有意义的条件、分析：二次根式的被开方数的非负数、解答：解：根据题意，得A＋2≥0，解得，A≥﹣2；应选C点评：考查了二次根式的意义和性质、概念：式子〔A≥0〕叫二次根式、性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否那么二次根式无意义、2、〔3分〕以下计算，正确的选项是〔〕A、B、C、 D、考点：二次根式的加减法、分析：直接利用二次根式的加减运算法那么分别化简求出即可、解答：解：A、﹣无法计算，故此选项错误；B、＋＝2＝3＝5，故此选项错误；C、3﹣＝2，正确；D、2＋无法计算，故此选项错误；应选：C、点评：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键、3、〔3分〕化简：正确的选项是〔〕A、 B、C、 4D、考点：二次根式的乘除法、分析：直接利用二次根式的性质化简求出即可、解答：解：＝＝、应选：D、点评：此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键、4、〔3分〕以下各式中属于最简二次根式的是〔〕A、B、 C、D、考点：最简二次根式、分析：C选项的被开方数中含有未开尽方的因数；B、D选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式、解答：解：因为B、＝；C、＝2；D、＝；所以，这三个选项都不是最简二次根式、应选A、点评：在判断最简二次根式的过程中要注意：〔1〕在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；〔2〕在二次根式的被开方数中的每一个因式〔或因数〕，如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式、5、〔3分〕A、B、C为△ABC三边，不是直角三角形的是〔〕A、 A2＝C2﹣B2B、 A＝，B＝1，C＝C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5D、 A＝8K，B＝17K，C＝15K考点：勾股定理的逆定理；三角形内角和定理、分析：利用勾股定理的逆定理判断A、B，D选项；用直角三角形各角之间的关系判断C选项、解答：解：A、∵A2＝C2﹣B2，∴A2＋B2＝C2，∴A、B、C为△ABC三边，是直角三角形，故本选项错误；B、∵B2＋C2＝A2，∴A、B、C为△ABC三边，是直角三角形，故本选项错误；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴设∠A＝3X，那么∠B＝4X，∠C＝5X，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，即3X＋4X＋5X＝180°，解得，X＝15°，∴5X＝5×15°＝75°《90°，∴A、B、C为△ABC三边，不是直角三角形，故本选项正确；D、∵A2＋C2＝B2，∴A、B、C为△ABC三边，是直角三角形，故本选项错误、应选C、点评：此题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，假设三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；假设三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断、A、假设A＝B，那么A2＝B2B、假设A》0，B》0，那么AB》0C、等边三角形是锐角三角形D、全等三角形的对应边相等应选D、7、〔3分〕如图，在RT△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，那么AB＝〔〕A、 4B、C、D、考点：含30度角的直角三角形；勾股定理、分析：设BC＝X，根据含30度角的直角三角形性质求出AB＝2BC＝2X，根据勾股定理得出方程22＋X2＝〔2X〕2，求出X即可、解答：解：设BC＝X，∵在RT△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2X，∵AC＝2，∴由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，22＋X2＝〔2X〕2，解得：X＝，∴AB＝2X＝，应选C、点评：此题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是能得出AB＝2BC，用了方程思想、8、〔3分〕▱ABCD中，BC＝10，AC与BD交于O，AO＝4，BO＝7，△ABC比△DBC周长小〔〕A、 3B、 4C、 5D、 6考点：平行四边形的性质、分析：由平行四边形的性质得出AB＝CD，OA＝OC＝4，OB＝OD＝7，得出AC、BD，由三角形的周长即可得出结果、解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC＝4，OB＝OD＝7，∴AC＝8，BD＝14，∴△DBC的周长﹣△ABC的周长＝〔BC＋CD＋BD〕﹣〔AB＋BC＋AC〕＝BD﹣AC＝14﹣8＝6；应选：D、点评：本题考查了平行四边形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键、9、〔3分〕以下条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是〔〕A、∠A＝∠B，∠C＝∠DB、 AB∥CD，AD＝BCC、 AB∥CD，∠A＝∠CD、AO＝BO，CO＝DO考点：平行四边形的判定、分析：根据平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得答案、解答：解：A、∠A＝∠B，∠C＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；B、AB∥CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；C、AB∥CD，∠A＝∠C可证出∠B＝∠D，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；D、AO＝BO，CO＝DO不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；应选：C、点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握〔1〕两组对边分别平行的四边形是平行四边形、〔2〕两组对边分别相等的四边形是平行四边形、〔3〕一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、〔4〕两组对角分别相等的四边形是平行四边形、〔5〕对角线互相平分的四边形是平行四边形、10、〔3分〕如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ACE＝∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F、假设BC＝2，那么EF的长为〔〕A、B、 C、 1 D、考点：勾股定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形、分析：过F点作FG∥BC、根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得AF＝CF，在RT△CDF中，根据三角函数可得AF＝CF＝2，DF＝，根据平行线分线段成比例可得比例式GF：BD＝AF：AD，求得GF＝4﹣2，再根据平行线分线段成比例可得比例式EF：EC＝GF：BC，依此即可得到EF＝﹣1、解答：解：过F点作FG∥BC、∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝BC＝1，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，AD⊥BC，∵∠ACE＝∠BAC，∴∠CAD＝∠ACE＝15°，∴AF＝CF，∵∠ACD＝〔180°﹣30°〕÷2＝75°，∴∠DCE＝75°﹣15°＝60°，在RT△CDF中，AF＝CF＝＝2，DF＝CD•TAN60°＝，∵FG∥BC，∴GF：BD＝AF：AD，即GF：1＝2：〔2＋〕，解得GF＝4﹣2，∴EF：EC＝GF：BC，即EF：〔EF＋2〕＝〔4﹣2〕：2，解得EF＝﹣1、应选：A、点评：综合考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得，三角函数，平行线分线段成比例，以及方程思想，此题的难点是作出辅助线，寻找解题的途径、【二】填空题〔每题3分，共18分〕11、〔3分〕计算：÷＝3、考点：二次根式的乘除法、分析：根据二次根式是除法法那么进行计算、解答：解：原式＝＝＝＝3、故答案是：3、点评：此题考查了二次根式的乘除法、二次根式的除法法那么：÷＝〔A≥0，B》0〕、12、〔3分〕X＝＋1，Y＝﹣1，那么X2﹣Y2＝、考点：二次根式的化简求值、分析：先分解因式，再代入比较简便、解答：解：X2﹣Y2＝〔X＋Y〕〔X﹣Y〕＝2×2＝4、点评：注意分解因式在代数式求值中的作用、13、〔3分〕一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高8米、考点：勾股定理的应用、分析：由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度、解答：解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为＝5，∴折断前高度为5＋3＝8〔米〕、故答案为：8、点评：此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力、14、〔3分〕△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，假设AC＝5，AB＝10，BC＝7，那么△DEF的周长为11、考点：三角形中位线定理、分析：由于D、E分别是AB、AC的中点，那么DE是△ABC的中位线，那么DE＝BC，同理有EF＝AB，DF＝AC，于是易求△DEF的周长、解答：解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，同理有EF＝AB，DF＝AC，∴△DEF的周长＝〔AC＋BC＋AB〕＝×〔10＋5＋7〕＝11、故答案为：11点评：此题考查了三角形中位线定理、解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系、15、〔3分〕▱ABCD中，AD＝12，BD＝10，AC＝26，那么▱ABCD的面积是120、考点：平行四边形的性质、分析：首先根据题意作出图形，然后设AC与BD相较于点O，由▱ABCD中，AD＝12，BD＝10，AC＝26，求得OD，OA的长，利用勾股定理的逆定理即可证得△AOD是直角三角形，继而求得答案、解答：解：设AC与BD相较于点O，∵▱ABCD中，BD＝10，AC＝26，∴OD＝5，OA＝13，∵AD＝12，∴AD2＋OD2＝OA2，∴△AOD是直角三角形，即∠ADO＝90°，∴S▱ABCD＝AD•BD＝120、故答案为：120、点评：此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理、注意证得△AOD是直角三角形是关键、16、〔3分〕在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，那么▱ABCD的周长等于12或20、考点：平行四边形的性质、专题：压轴题；分类讨论、分析：根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可、解答：解：如图1所示：∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，∴EC＝＝2，AB＝CD＝5，BE＝＝3，∴AD＝BC＝5，∴▱ABCD的周长等于：20，如图2所示：∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，∴EC＝＝2，AB＝CD＝5，BE＝＝3，∴BC＝3﹣2＝1，∴▱ABCD的周长等于：1＋1＋5＋5＝12，那么▱ABCD的周长等于12或20、故答案为：12或20、点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键、【三】解答题〔共72分〕17、〔5分〕计算：、考点：二次根式的乘除法、分析：首先化简二次根式，进而利用二次根式的乘除运算法那么求出即可、解答：解：原式＝3×5×＝15、点评：此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键、18、〔5分〕计算：、考点：二次根式的加减法、分析：直接利用二次根式的性质化简二次根式进而得出即可、解答：解：原式＝2＋2﹣3＋＝2＋3﹣3、点评：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键、19、〔6分〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE＝OF、考点：平行四边形的性质、专题：证明题、分析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO〔ASA〕，∴OE＝OF、点评：此题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△DFO≌△BEO、20、〔6分〕如图，每个小正方形的边长都为1、〔1〕求四边形ABCD的面积与周长；〔2〕∠BCD是直角吗？考点：勾股定理；勾股定理的逆定理、分析：〔1〕利用四边形ABCD所在矩形面积﹣周围三角形面积进而求出其面积，再利用勾股定理得出其周长；〔2〕利用勾股定理的逆定理求出∠BCD是直角、解答：解：〔1〕四边形ABCD的面积为：25﹣×1×5﹣×1×4﹣×1×2﹣×2×4＝15、5；周长为：AB＋BC＋CD＋AD＝＋2＋＋＝＋3＋；〔2〕连接BD，∵BC2＋CD2＝20＋5＝25，BD2＝25，∴BC2＋CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BCD是直角、点评：此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键、21、〔6分〕A﹣＝﹣，求﹣、考点：二次根式的化简求值、专题：计算题、分析：先把条件两边平方得到〔A﹣〕2＝5，再利用完全平方公式变形得到〔A＋〕2＝9，那么A＋＝3〔A》0〕，那么可计算出〔﹣〕2＝A﹣2＋＝1，然后根据平方根的定义求解、解答：解：∵A﹣＝﹣，∴〔A﹣〕2＝5，∴〔A＋〕2﹣4＝5，∴〔A＋〕2＝9，∴A＋＝3或A＋＝﹣3〔因为A》0，故舍去〕∴〔﹣〕2＝A﹣2＋＝3﹣2＝1，∴﹣＝±1、点评：此题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰、22、〔6分〕RT△ABC中，∠C＝90°，CH⊥AB于点H，AC＝3，CH＝2，求BC的长、考点：射影定理、分析：根据勾股定理求得AB的长度，然后利用射影定理来求得BH、BC的长度、解答：解：∵RT△ABC中，∠C＝90°，CH⊥AB于点H，AC＝3，CH＝2，∴AH2＝AC2﹣CH2＝5、∴AH＝、又∵CH2＝AH•BH，∴BH＝＝，∴BC2＝BH•AB＝×〔＋〕＝，那么BC＝、点评：此题考查了射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项、②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项、23、〔6分〕▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，线DC于点F〔1〕求证：CE＝CF；〔2〕假设∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，求∠BDG、考点：平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质、分析：〔1〕由角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，由平行四边形的性质得出∠CEF ＝∠DAF，∠CFE＝∠BAE，得出∠CEF＝∠CFE，即可得出结论；〔2〕连接EG，CG，先证明四边形ECFG为菱形，得出∠CFG＝60°，△CFG为等边三角形，再证明△DGF≌△BGC，得出BG＝DG，∠BGC＝∠DGF，得出∠BGD＝∠CGF＝60°，证出△BDG为等边三角形，即可得出结论、解答：证明：〔1〕∵AF平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，又AB∥BC，∴∠CEF＝∠DAF，∵AB∥CD，∴∠CFE＝∠BAE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF；〔2〕连接EG，CG，如下图：∵AB∥CD，∴∠ECF＝∠ABC＝120°，∠BAC＝60°，∴∠DAF＝30°，∵FG∥CE，FG＝CE，∴四边形ECFG是平行四边形，∵CE＝CF，∴四边形ECFG为菱形，∴∠CFG＝60°，∠CFE＝30°＝∠DAF，∠ECG＝∠FCG＝60°，△CFG为等边三角形，∴CG＝GF，∠BCG＝∠DFG＝60°，AD＝FD＝BC，在△DGF和△BGC中，，∴△DGF≌△BGC〔SAS〕，∴BG＝DG，∠BGC＝∠DGF，∴∠BGD＝∠CGF＝60°，∴△BDG为等边三角形，∴∠BDG＝60°、点评：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键、24、〔12分〕在平面直角坐标系中，A〔﹣M，0〕、B〔N，0〕，假设、如图C在X轴上，BC＝2，Q从O向C运动，以AQ、BQ为边作等边△AEQ、等边△FBQ、连接EF，点P为EF中点〔1〕求A、B两点坐标；〔2〕求P点运动的路径长为多少？〔3〕求EF的最小值、考点：一次函数综合题、专题：综合题、分析：〔1〕根据被开方数为非负数求出M与N的值，即可确定出A与B的坐标；〔2〕如图1所示，延长AE，BF交于点H，那么△ABH为等边三角形，再由三角形AEQ与三角形BGF为等边三角形，得到两对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到EQ与AH平行，EQ与BH平行，进而确定出四边形EQFH为平行四边形，根据P为EF的中点，得到P为HQ的中点，随着点Q从O点向C点运动，点P也由P1运动到P2，利用中位线定理求出P点运动的路径长即可；〔3〕如图2所示，设出OQ＝M，表示出MQ，NQ，EM，FN，以及FD，EF，可得出当M＝1时EF最小，求出EF的最小值即可、解答：解：〔1〕∵N＝＋＋4，∴M＝2，N＝4，即A〔﹣2，0〕，B〔4，0〕；〔2〕如图1所示，延长AE，BF交于点H，那么△ABH为等边三角形，∵△AEQ与△BFQ都为等边三角形，∴∠EAQ＝∠FQB＝60°，∠AQE＝∠QBF＝60°，∴FQ∥AH，EQ∥BH，∴四边形EQFH为平行四边形，∵P为EF的中点，∴P为HQ中点，随着点Q从O点向C点运动，点P也由P1运动到P2，∴P1P2＝OC＝1，即P运动的路径为1；〔3〕如图2所示，设OQ＝M〔0≤M≤2〕，那么MQ＝AQ＝M＋1，NQ＝BQ＝﹣M＋2，EM＝MQ＝M＋，FN＝NQ＝﹣M＋2，FD＝FN﹣EM＝﹣M＋，EF＝＝＝，当M＝1时，EF有最小值为EF＝3、点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：等边三角形的性质，平行线的判定与性质，坐标与图形性质，二次根式的性质，以及中位线定理，熟练掌握中位线定理是解此题第二问的关键、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
武汉市武珞路中学数学全等三角形中考真题汇编[解析版]一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在等边ABC ∆中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ∆∆+=_________．【答案】936 【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+． 【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，连接PD∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60︒，又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60︒，AB ＝AC ，∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，∴∠DAB ＝∠PAC ，又AB=AC,AD=AP∴△ADB ≌△APC∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60︒，∴△ADP 为等边三角形，在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，∵△ADB ≌△APC ，∴S△ADB＝S△APC，∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝3×32＋12×3×4＝936+．故答案为：936+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．2．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=12B′E=BE=2，3,∴GD=B′F=2，∴3∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB′=27．考点：1轴对称；2等边三角形.3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．【详解】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．【答案】30°．【解析】【分析】如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB=12∠P'O P''=30°.【详解】解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N，由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°.故答案为30°.【点睛】本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.5．如图,在ABC 中, 90,ACB ABD ︒∠=是ABC 的轴对称图形,点E 在AD 上,点F 在AC 的延长线上.若点B 恰好在EF 的垂直平分线上,并且5AE =,13AF =,则DE =______．【答案】4．【解析】【分析】连接BE ，BF ，根据轴对称的性质可得△ABD ≌△ACB ，进而可得DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF ，然后证明Rt △DBE ≌Rt △CBF 可得DE=CF ，然后可得ED 长．【详解】解：连接BE ，BF ，∵△ABD 是△ABC 的轴对称图形，∴△ABD ≌△ACB ，∴DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，∴∠BCF=90°，∵点B 恰好在EF 的垂直平分线上，∴BE=BF ，在Rt △DBE 和Rt △CBF 中BD BC EB FB =⎧⎨=⎩，∴Rt △DBE ≌Rt △CBF （HL ），∴DE=CF ，设DE=x ，则CF=x ，∵AE=5，AF=13，∴AC=AD=5+x ，∴AF=5+2x ，∴5+2x=13，∴x=4，∴DE=4，故答案为：4．【点睛】此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．6．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30︒，CF=43，则DH=______．【答案】2 3【解析】连接AF.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF.在△ABF和△CBF中，AB BCABF CBF BF BF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF≌△CBF，∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°.∵AH ⊥CD ，∴AH=12AF=12CF=23. ∵∠DEC=∠ABC+∠BDE ，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°， ∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=23. 故答案为23. 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.7．如图，已知30AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，14OD DP ==，点E ，F 在边OB 上，PE PF =.若6EF =，则OF 的长为____.【答案】18【解析】【分析】由30°角我们经常想到作垂线，那么我们可以作DM 垂直于OA 于M ，作PN 垂直于OB 于点N ，证明△PMD ≌△PND ，进而求出DF 长度，从而求出OF 的长度.【详解】如图所示，作DM 垂直于OA 于M ，作PN 垂直于OB 于点N.∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，∴∠NPD=∠DPO=30°，∵DP=DP，∠PND=∠PMD=90°，∴△PND≌△PMD，∴ND=7，∵EF=6，∴DF=ND-NF=7-3=4，∴OF=DF+OD=14+4=18.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.8．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=36°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=8．9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．【答案】9 2【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝14S△ABH，S△CDH＝14S△ABH，∵S△OBD−S△AOE＝S△ADB−S△ABE＝S△ADH−S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12×3×3＝92．故填：92．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．【答案】9.6．【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长．在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．【详解】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．∵S △ABC 12=BC •AD 12=AC •BQ ，∴BQ 12810BC AD AC ⋅⨯===9.6． 故答案为：9.6．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC +PQ 的最小值为BQ 是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD ≌△ACD ；②2DE=2DF=AD ；③△ADE ≌△ADF ；④4BE=4CF=AB ．正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 由等边三角形的性质可得BD=DC ，AB=AC ，∠B=∠C=60°，利用SAS 可证明△ABD ≌△ACD ，从而可判断①正确；利用ASA 可证明△ADE ≌△ADF ，从而可判断③正确；在Rt △ADE 与Rt △ADF 中，∠EAD=∠FAD=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得2DE=2DF=AD ，从而可判断②正确；同理可得2BE=2CF=BD ，继而可得4BE=4CF=AB ，从而可判断④正确，由此即可得答案.【详解】∵等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∴BD=DC ，AB=AC ，∠B=∠C=60°，在△ABD 与△ACD 中90AD AD ADB ADC DB DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACD ，故①正确；在△ADE 与△ADF 中60EAD FAD AD ADEDA FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ADE ≌△ADF ，故③正确；∵在Rt △ADE 与Rt △ADF 中，∠EAD=∠FAD=30°，∴2DE=2DF=AD ，故②正确；同理2BE=2CF=BD ，∵AB=2BD ，∴4BE=4CF=AB ，故④正确，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.12．边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）A ．511a 32⨯（） B ．511a 23⨯（） C ．611a 32⨯（） D ．611a 23⨯（） 【答案】A【解析】连接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF=ZN=13a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是13a，是等边三角形QKM的边长的13；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的13；求出第五个等边三角形的边长，乘以13即可得出第六个正六边形的边长．连接AD、DF、DB．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，∵∠AFE=∠ABC=120°，∴∠AFD=∠ABD=90°，在Rt△ABD和RtAFD中AF=AB{AD=AD∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），∴∠BAD=∠FAD=12×120°=60°，∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，∴AD∥EF，∵G、I分别为AF、DE中点，∴GI∥EF∥AD，∴∠FGI=∠FAD=60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，∴∠EDM=60°=∠M，∴ED=EM，同理AF=QF，即AF=QF=EF=EM，∵等边三角形QKM的边长是a，∴第一个正六边形ABCDEF的边长是13a，即等边三角形QKM的边长的13，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，则FZ∥EN，∵EF∥GI，∴四边形FZNE是平行四边形，∴EF=ZN=13a，∵GF=12AF=12×13a=16a，∠FGI=60°（已证），∴∠GFZ=30°，∴GZ=12GF=112a，同理IN=112a，∴GI=112a+13a+112a=12a，即第二个等边三角形的边长是12a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是13×12a；同理第第三个等边三角形的边长是12×12a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是13×12×12a；同理第四个等边三角形的边长是12×12×12a，第四个正六边形的边长是13×12×12×12a；第五个等边三角形的边长是12×12×12×12a，第五个正六边形的边长是1 3×12×12×12×12a；第六个等边三角形的边长是12×12×12×12×12a，第六个正六边形的边长是1 3×12×12×12×12×12a，即第六个正六边形的边长是13×512（）a，故选A．13．如图所示，在ABC 中，AC BC =，90ACB ︒∠=，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线F ，E 为垂足．则有：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 利用全等三角形的判定定理及其性质以及等腰三角形的三线合一的性质逐项分析即可得出答案．【详解】解：∵AC BC =，90ACB ︒∠=∴45CAB ABC ︒∠=∠=∵AD 平分BAC ∠∴22.5BAE EAF ︒∠=∠=∵90EAF F FBC F ︒∠+∠=∠+∠=∴EAF FBC ∠=∠∴ADC BFC ≅∴AD=BF ，CF=CD ，故①②正确；∵CD=CF，∴AC+CD=AC+CF=AF∵67.5F ︒∠=∵18018067.54567.5ABF F CAB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴AF=AB ，即AC+CD=AB ，故③正确；由③可知，三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥∴12BE BF = 若BE CF =，则30CBF ∠=︒与②中结论相矛盾，故④错误；∵三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥∴12BE BF = ∴BF=2BE ，故⑤正确；综上所述，正确的选项有4个．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．14．如图，△ABC 的周长为32，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形，从而得出BA ＝BE ，CA ＝CD ，由△ABC 的周长为32以及BC ＝12，可得DE ＝8，利用中位线定理可求出PQ ．【详解】 ∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴∠ABQ ＝∠EBQ ，∵∠ABQ+∠BAQ ＝90°，∠EBQ+∠BEQ ＝90°，∴∠BAQ ＝∠BEQ ，∴AB ＝BE ，同理：CA ＝CD ，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE+CD ＝AB+AC ＝32﹣BC ＝32﹣12＝20，∴DE ＝BE+CD ﹣BC ＝8，∴PQ ＝12DE ＝4． 故选：B ．【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE 、△CAD 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ 是△ADE 的中位线．15．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中1(0,1)A ，()21,13A --，()31,13A -，4(0,2)A ，()52,223A --，……，按此规律排下去，则2019A 的坐标为（ ）A ．(673,6736733-B ．(673,6736733--C ．(0,1009)D ．(674,6746743- 【答案】A【解析】【分析】 根据等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，及点的坐标特征，每三个点一个循环，2019÷3=673，A 2019的坐标在第四象限即可得到结论．【详解】∵2019÷3=673，∴顶点A 2019是第673个等边三角形的第三个顶点，且在第四象限．第673个等边三角形边长为2×673=1346，∴点A 2019的横坐标为 12⨯1346=673．点A 2019的纵坐标为673-134632⨯=673﹣3点A 2019的坐标为：(673,6736733-．故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A 2019所在三角形是解答本题的关键．16．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P 、Q 分别是线段BC 、射线BA 上一点，则CQ+PQ 的最小值为（ ）A ．6B ．7.5C ．9D ．12【答案】C【解析】【分析】 通过作点C 关于直线AB 的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.【详解】解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点1C ，1CC 交射线BA 于H ，过点1C 作BC 的垂线，垂足为P ，与AB 交于点Q ，CQ+PQ 的长即为1PC 的长.∵AB=AC=6,∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，易得BC=3在Rt △BHC 中，∠ABC=30°，∴HC=33BCH=60°， ∴163CC =在1Rt △PCC 中，1PCC ∠=60°，∴19PC =∴CQ+PQ 的最小值为9，故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.17．如图，点D ，E 是等边三角形ABC 的边BC ，AC 上的点，且CD =AE ，AD 交BE 于点P ，BQ ⊥AD 于点Q ，已知PE =2，PQ =6，则AD 等于( )A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【解析】【分析】 由题中条件可得△ABE ≌△CAD ，得出AD =BE ，∠ABE =∠CAD ，进而得出∠BPD =60°．在Rt △BPQ 中，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，求出BP 的长，进而可得结论．【详解】∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠C =60°．又∵AE =CD ，∴△ABE ≌△CAD （SAS ），∴∠ABE =∠CAD ，AD =BE ，∴∠BPD =∠ABE +∠BAP =∠CAD +∠BAP =∠BAC =60°．∵BQ ⊥AD ，∴∠PBQ =30°，∴BP =2PQ =2×6=12，∴AD =BE =BP +PE =12+2=14．故选C ．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，证明∠BPD =60°是解答本题的关键．18．如图，已知：∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3 ···在射线ON 上，点1B 、2B 、3B ···在射线OM 上，△112A B A 、△223A B A 、△334A B A …均为等边三角形，若112OA =，则△667A B A 的边长为（ ）A ．6B ．12C ．16D ．32【答案】C【解析】【分析】 根据等腰三角形与等边三角形性质以及直角三角形中30°角所对应的直角边等于斜边的一半111OA A B =，112122321122A B A B A B A B ===…以此类推得出答案即可 【详解】∵△112A B A 是等边三角形，∴∠112A B A =∠112B A A =60°又∵∠MON =30°∴∠11OB A =30°∴∠12OB A =∠212A B B =90°，1112112A B OA A B ===又∵△223A B A 是等边三角形∴22A B ∥11A B∴∠22OB A =∠11OB A =30°∴在Rt△212A B B 中，22A B =212A B =1以此类推，得出△667A B A 的边长=1222222⋅⋅⋅⋅⋅=16 所以答案为C 选项【点睛】本题主要考查了等腰三角形与等边三角形性质以及30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关概念通过题目发现规律是解题关键19．如图，已知等边△ABC 的面积为43， P 、Q 、R 分别为边AB 、BC 、AC 上的动点，则PR ＋QR 的最小值是（ ）A ．3B ．23C ．15D ．4【答案】B【解析】 如图，作△ABC 关于AC 对称的△ACD ，点E 与点Q 关于AC 对称，连接ER ，则QR=ER ，当点E ，R ，P 在同一直线上，且PE ⊥AB 时，PE 的长就是PR +QR 的最小值，设等边△ABC 的边长为x 3， ∵等边△ABC 的面积为3，∴12x×32x=43，解得x=4，∴等边△ABC的高为32x=23，即PE=23，所以PR+QR的最小值是23，故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题等，解题的关键是正确添加辅助线构造出最短路径.20．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）A．PD=DQ B．DE=12AC C．AE=12CQ D．PQ⊥AB【答案】D【解析】过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ 中，FPD QPDE CDQPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CD，∴A选项正确，∵AE=EF，∴DE=12AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=12AP=12CQ，∴C选项正确，故选D．。