四川师范大学2013

四川师范大学
2013年攻读硕士学位研究生
入学考试试题
专业代码:-045104,0701*专业名称:数学类各专业
考试科目代码:_825考试科目名称:高等代数
(本试共10大题_______小题满分150分
说明:(1)试题和答卷分离,所有答题内容须写在答题纸上,写在试题或草稿纸上的内容无效；
(2)答题时,可不抄题,但须写明所答试题序号；
(3)答题时,严禁使用红色笔或铅笔答题。

1.设f(x),g(x)是数域P上不全为零的两个多项式,证明(f n x，g n x)= (f(x)，g x)n,(10分)
2.设f(x)是整系数多项式。

a,b,c,d是互不相同的整数,且f(a)=f(b)=f(c)= f(d)=2,证明对任意整数n,f(a)−2不是素数。

(15分)
3.计算行列式x1α
βx2
⋯α
⋯α
⋯⋯
ββ
⋯⋯
⋯x n。

(15分)
4.己知A是n级矩阵,B是n×m矩阵,且rank(B)=n.如果AB=B,证明A为n级单位阵。

(15分)
5.设A是n级矩阵:且A2+A=2E n,其中E n是n级单位阵,证明rank(A+2E n)+ rank(A−E n)=n。

(15分)
6.对任意一个半正定实矩阵A,证明存在实矩阵B,使得A=BB T(B T为B的转置矩阵)。

(15分)
7.求正交线性替换使二次型f(x1,x2,x3)=2x12+2x22−x32−8x1x2−4x1x3+ 4x3x2为标准形。

(20分)
8.设数域P上的n级矩阵空间为M n(P),集合S1={A∈M n(P)|A T=A},其中A T为A 的转置矩阵，
1)证明S1是M n(P)的子空间；
2)求M n(P)的子空间S2使得S1○+S2=M n(P)。

(15分)
9.设A是n级实对称矩阵,B是n级实正定矩阵,证明存在n级正交矩阵Q,使得Q T AQ与Q T BQ同时为对角阵。

(15分)
10,.已知A=3−44
1−1−8
00−2
,计算A n(n为任意正整数)(15分)。