初等数论教案
初等数论教案
厦门大学教案__________ 学年度第—学期院（系）数学科学学院任课教师祝辉林课程名称初等数论授课章节: 第4.3节一次同余方程组和孙子定理授课教材: 《初等数论》，北京大学出版社授课对象: 数学类专业一年级本科生【教学要求】1. 了解孙子定理的历史背景和起源出处，理解用孙子定理求解一次同余方程组的思想方法和公式，掌握求解一次同余方程组的计算步骤；2. 掌握一次同余方程组的模两两不互素时，应当如何转化成模两两互素时的等价一次同余方程组，再用孙子定理求解；3. 理解一次同余方程组的意义，并能用孙子定理的方法解决一些实际应用问题。
【教学重点】1. 孙子定理的思想方法和计算步骤；2. 如何应用孙子定理解决实际应用问题。
【教学难点】理解孙子定理的思想方法。
【教学内容】第三节一次同余方程组和孙子定理本节主要讨论一次同余方程组的解法。
为了解决这类同余方程组，我们需要弄清楚剩余系的结构。
孙子定理（又称中国剩余定理）就是解决这类实际问题的有力工具。
一、“物不知其数”问题及其解法1.1问题的提出例1:（“物不知其数”问题）大约在公元四世纪，我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》，其中就有一个“物不知其数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”。
1.2问题的解法及理由明朝程大位编著的《算法统宗》里记载了此题的解法，他是用一首歌谣叙述出来的：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆正月半，除百零五便得知。
这首诗翻译成数学算式就是：70 2 21 3 15 2 =233，233 -105 2 =23。
解题步骤及理由如下：（1 ）先在5和7的公倍数中找除以3余1的数，进而找到除3余2的数。
因为[5,7] =35，35, 3=11（余2），（35 2）“3=23（余1），而（70 2）“3=46（余2），所以140符合条件。
（2 ）在3和7的公倍数中找除以5余1的数，进而找到除5余3的数。
初等数论教学设计
初等数论教学设计教学目标：1. 学生能够理解和应用基本数论概念，如质数、因数、公因数、最大公因数等。
2. 学生能够理解和应用数论法则，如欧几里德算法、质因数分解等。
3. 学生能够解决实际问题，如找到最大公因数、判断质数等。
4. 学生能够进一步培养数学思维能力和解决问题的能力。
授课内容：1. 质数和合数定义这两个概念，并介绍如何判断一个数是质数还是合数。
掌握一些常见的质数和合数，如2、3、5、7、11、13、17、19等。
2. 因数和公因数定义因数和公因数，并说明如何求一个数的因数和公因数。
通过一些练习，让学生掌握如何应用因数和公因数求解问题。
3. 最大公因数和最小公倍数定义最大公因数和最小公倍数，并介绍两者的计算方法。
引入欧几里德算法，并让学生练习使用该算法求解最大公因数。
还应该介绍最小公倍数的计算方法。
4. 质因数分解定义质因数分解，并介绍如何用质因数分解来计算最大公因数和最小公倍数。
给学生一些编程练习，让他们通过代码来实现质因数分解。
5. 应用问题介绍一些实际问题，如找到两个数的最大公因数、判断一个数是否为质数等。
通过练习，让学生掌握如何将所学知识应用于实际问题。
教学方法：1. 讲授与演示相结合，授课之余，还要让学生亲自动手解题。
2. 通过口头提问，互动引导，帮助学生更好地理解问题。
3. 给学生一些编程练习，巩固他们所学的知识。
4. 在教授实际问题时，引导学生多角度思考，培养问题解决能力。
教学评价：1. 通过平时作业和课堂提问等方式，及时掌握学生的学习情况，并及时指导学生。
2. 对于学生的编程练习，应该认真对其代码进行检查，看是否能够正确地解决问题。
3. 通过考试，对学生的知识运用、思维能力、问题解决能力进行评价。
初等数论教案7范文
初等数论教案7范文初等数论教案7范文课程名称：初等数论学时：2课时教学目标：1.了解数论的基本概念和方法；2.理解并能够应用质数的基本性质；3.掌握素数分解和最大公约数、最小公倍数的计算方法；4.能够解决与数论相关的简单问题。
教学内容：一、数的整除与整数1.基本概念：正整数、负整数、零、奇数、偶数、素数、合数、因数、倍数；2.除法的定义和性质；3.整数的四则运算；4.质数的性质及应用。
二、质因数分解1.质因数分解的定义和性质；2.求解正整数的质因数分解；3.应用质因数分解计算最大公约数和最小公倍数。
三、最大公约数和最小公倍数1.最大公约数的定义和性质；2.求解两个数的最大公约数；3.最小公倍数的定义和性质；4.求解两个数的最小公倍数。
四、线性同余方程1.同余关系的基本概念和性质；2.同余方程的基本概念和求解方法；3.模线性方程的应用。
教学重点：1.质数的基本性质和应用；2.质因数分解的计算方法；3.最大公约数和最小公倍数的求解；4.线性同余方程的基本求解方法。
教学方法：1.讲授与互动式教学相结合，让学生参与讨论和演算，培养学生的数学思维能力；2.通过多种形式的练习，提高学生的运算能力；3.引导学生运用数学知识解决实际问题。
教学资源：1.教师课件和讲义；2.学生练习册和作业本；3.黑板和粉笔。
教学过程：第一课时：教学内容教学方法时间分配数的整除与整数讲授15分钟质因数分解讲授+互动20分钟最大公约数与最小公倍数讲授10分钟练习与作业导学+讲授15分钟第二课时：教学内容教学方法时间分配质数的性质及应用讲授10分钟线性同余方程讲授+互动20分钟练习与作业导学+讲授20分钟课堂扩展活动小组讨论15分钟教学反思：本节课的教学重点是质因数分解和最大公约数、最小公倍数的求解方法。
在教学过程中，我结合了讲授和互动式教学，使学生更加活跃地参与其中。
通过讲授、练习和讲解作业，学生对课程的重要概念和方法有了更好的理解，并通过实际问题的应用来巩固所学知识。
初等数论 教案
初等数论教案教案标题：初等数论教学目标：1. 了解数论的基本概念和原理；2. 掌握数论中常见的数学方法和技巧；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力；4. 培养学生对数学的兴趣和探究精神。
教学内容：1. 数的整除性质与整数的性质；2. 最大公约数与最小公倍数；3. 质数与合数；4. 素因数分解；5. 同余与模运算；6. 一次同余方程；7. 基本定理与欧拉函数。
教学步骤：第一步：导入（5分钟）引入数论的基本概念，介绍数论在数学中的重要性和应用领域，激发学生的学习兴趣。
第二步：知识讲解与讨论（20分钟）1. 数的整除性质与整数的性质：介绍整数的基本性质，包括奇偶性、约数、倍数等概念。
2. 最大公约数与最小公倍数：讲解最大公约数和最小公倍数的定义、性质和计算方法，并通过例题进行实际操作和讨论。
3. 质数与合数：介绍质数和合数的定义，让学生了解它们的特征和性质。
4. 素因数分解：讲解素因数分解的概念和方法，并通过实例演示如何进行素因数分解。
第三步：案例分析与解决问题（25分钟）1. 同余与模运算：介绍同余的概念和性质，讲解模运算的基本规则和应用。
2. 一次同余方程：讲解一次同余方程的定义和解法，并通过例题引导学生进行练习和思考。
3. 基本定理与欧拉函数：讲解基本定理和欧拉函数的定义和性质，通过实例演示如何应用基本定理和欧拉函数解决问题。
第四步：练习与巩固（15分钟）布置一些练习题，让学生独立完成，并及时给予指导和解答。
第五步：总结与拓展（10分钟）对本节课所学内容进行总结，并提出一些拓展问题或思考题，鼓励学生进一步思考和探究。
教学资源：1. 教材：根据教学内容选择合适的初等数论教材；2. 板书：用于记录重要知识点和解题思路；3. 练习题：提供给学生进行巩固和拓展练习。
评估方式：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度和回答问题的能力；2. 练习题成绩：评估学生对所学知识的掌握程度；3. 拓展问题回答：评估学生对数论知识的理解和应用能力。
初等数论教学设计
初等数论教学设计引言：初等数论是数学的一个分支，研究自然数的性质及其关系。
初等数论不仅是数学的基础，也是许多领域的基础，如密码学、计算机科学和工程学等。
因此，在教学中，初等数论的教学设计非常重要。
本文旨在介绍一个初等数论教学设计，帮助教师有效地教授初等数论的相关内容。
一、教学目标本教学设计的目标如下：1. 学生能够理解和应用基本数论概念，如素数、互质数等。
2. 学生能够解决与初等数论相关的问题，如质因数分解、最大公约数和最小公倍数等。
3. 学生能够运用初等数论知识，解决实际问题，如应用数论中的知识来解决密码学中的问题。
二、教学内容本教学设计的主要内容包括以下几个方面：1. 数的分类与性质：介绍正整数、负整数、零及它们之间的关系。
重点介绍自然数、整数、有理数和无理数等的性质。
2. 素数与合数：详细解释素数和合数的概念，并引导学生找出一定范围内的素数和合数。
探索素数分布的规律。
3. 质因数分解：介绍将一个正整数表示为质数的乘积的方法，即质因数分解。
解释质因数分解在实际问题中的应用。
4. 最大公约数和最小公倍数：介绍最大公约数和最小公倍数的概念，并展示求解最大公约数和最小公倍数的方法。
应用最大公约数和最小公倍数解决实际问题。
5. 同余与模运算：引入同余和模运算的概念，解释同余关系及其性质。
介绍模运算的基本运算法则和应用。
三、教学方法1. 概念讲解与示例演示：教师通过直观的例子和图表，解释初等数论的基本概念，帮助学生理解相关概念的含义和应用。
2. 练习与应用：提供一定数量的练习题，让学生独立或协作完成。
通过实际应用问题的解答，帮助学生巩固所学知识并提高解决问题的能力。
3. 探究与发现：鼓励学生积极思考、自主探索，并提供相关素材和引导问题，引导学生从发现中学习初等数论的原理和方法。
4. 讨论与交流：组织小组或全班讨论，让学生分享思路、解决方法、应用案例等。
促进学生之间的交流与合作，增强团队合作和沟通能力。
初等数论课程设计
初等数论课程设计一、教学目标本课程旨在通过数论的学习，使学生掌握数论的基本概念、性质和定理，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学素养。
具体的教学目标如下：1.知识目标：（1）了解数论的基本概念，如整数、素数、最大公约数等。
（2）掌握数论的基本性质和定理，如素数的分布、费马小定理等。
（3）学会运用数论知识解决实际问题，如密码学、计算机科学中的问题。
2.技能目标：（1）能够运用数论知识进行计算和证明。
（2）培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
（3）提高学生的数学写作和表达能力。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生对数学的兴趣和热情，提高学生的数学素养。
（2）培养学生团队合作和自主学习的能力。
（3）培养学生的创新精神和批判性思维。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括数论的基本概念、性质和定理。
具体安排如下：1.第一章：数论基础（1）整数和分数（2）素数和合数（3）最大公约数和最小公倍数2.第二章：素数的分布（1）素数定理（2）素数的计算（3）素数的存在性3.第三章：同余理论（1）同余的基本概念（2）费马小定理（3）欧拉定理4.第四章：数论应用（1）密码学中的应用（2）计算机科学中的应用（3）实际问题中的应用三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
具体方法如下：1.讲授法：通过教师的讲解，使学生掌握数论的基本概念和定理。
2.讨论法：引导学生进行分组讨论，培养学生的团队合作和分析问题的能力。
3.案例分析法：通过分析实际问题，使学生学会将数论知识应用于解决实际问题。
4.实验法：引导学生进行数学实验，培养学生的动手能力和创新精神。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将采用以下教学资源：1.教材：选用国内权威的数论教材，为学生提供系统的数论知识。
2.参考书：提供相关的数论参考书，丰富学生的学习资料。
3.多媒体资料：制作多媒体课件，提高课堂教学效果。
初等数论教案
第一章 整除理论整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。
第一节 数的整除性定义1 设a ，b 是整数，b ≠ 0，如果存在整数c ，使得a = bc成立，则称a 被b 整除，a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数或除数），并且使用记号b ∣a ；如果不存在整数c 使得a = bc 成立，则称a 不被b 整除，记为b |/a 。
显然每个非零整数a 都有约数 ±1，±a ，称这四个数为a 的平凡约数，a 的另外的约数称为非平凡约数。
被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。
定理1 下面的结论成立：(ⅰ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ；(ⅱ) a ∣b ，b ∣c ⇒ a ∣c ；(ⅲ) b ∣a i ，i = 1, 2, , k ⇒ b ∣a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k ，此处x i （i = 1, 2, , k ）是任意的整数； (ⅳ) b ∣a ⇒ bc ∣ac ，此处c 是任意的非零整数；(ⅴ) b ∣a ，a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |；b ∣a 且|a | < |b | ⇒ a = 0。
证明 留作习题。
定义2 若整数a ≠ 0，±1，并且只有约数 ±1和 ±a ，则称a 是素数（或质数）；否则称a 为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。
定理2 任何大于1的整数a 都至少有一个素约数。
证明 若a 是素数，则定理是显然的。
若a 不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d 1, d 2, , d k 。
不妨设d 1是其中最小的。
若d 1不是素数，则存在e 1 > 1，e 2 > 1，使得d 1 = e 1e 2，因此，e 1和e 2也是a 的正的非平凡约数。
这与d 1的最小性矛盾。
(完整版)初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory ）。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
二 几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。
《初等数论》教学大纲2024
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学中的重要分支之一，研究的是自然数的性质与关系。
本课程旨在培养学生的数论思维能力和逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和数学推理能力。
二、教学目标1. 掌握初等数论的基本概念，如素数、合数、互质等。
2. 熟悉常见数论问题的解决方法，如质因数分解、最大公因数与最小公倍数的求法等。
3. 理解和运用模运算的概念和性质，解决相关数论问题。
4. 掌握费马小定理和欧拉定理的应用，解决与其相关的数论问题。
5. 培养学生的数论证明能力，培养其逻辑思维和数学推理能力。
三、教学内容1. 自然数的性质与关系- 质数与合数- 整除性与约数- 互质关系与最大公因数2. 质因数与分解定理- 质因数分解- 最大公因数与最小公倍数 - 公因数与公倍数3. 模运算- 同余等价关系- 同余方程- 中国剩余定理4. 费马小定理与欧拉定理- 费马小定理的证明与应用 - 欧拉函数的定义与性质- 欧拉定理的证明与应用5. 整数的奇妙性质- 数字根与数位- 数字平方舞蹈- 数字阶梯问题- 尼科彻斯定理四、教学方法1. 讲述法：结合实例，详细解释数论概念和原理，引导学生理解与掌握。
2. 分组讨论：将学生分成小组，互相讨论和解决数论问题，促进合作学习和思维碰撞。
3. 课堂练习：布置一些基础练习题和拓展题，提高学生的问题解决能力和应用能力。
4. 数论证明：鼓励学生进行数论定理的证明，培养其逻辑思维和数学推理能力。
五、评估方式1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等。
2. 期中考试：针对课程的基础知识进行测试。
3. 期末考试：综合考察学生对数论概念、原理和问题解决方法的理解与应用能力。
六、教材与参考书主教材：《初等数论》辅助教材：《数论引论》、《数论简史》七、教学进度安排根据教学计划，完成课程内容的讲解和练习，及时反馈学生学习情况，根据实际情况进行调整。
八、教学辅助手段使用黑板、白板等教学工具进行讲解和演示，辅助教学工具包括投影仪、计算器等。
1.奇数与偶数-湘教版选修4-6初等数论初步教案
奇数与偶数-湘教版选修4-6初等数论初步教案一、教学目标通过本课的学习，学生应能够掌握以下几个方面：1.理解奇数和偶数的概念，能够判断一个数是奇数还是偶数。
2.掌握奇数和偶数的性质，了解其特点。
3.能够解决关于奇数和偶数的基本问题。
二、教学重点1.奇数和偶数的概念及判断方法。
2.奇数和偶数的性质。
三、教学难点1.证明奇数加偶数为奇数，奇数加奇数为偶数的性质。
2.解决奇数和偶数的综合问题。
四、教学方法1.归纳法：通过举例子，让学生自己总结出奇数和偶数的概念和性质。
2.分组合作：让学生在小组内讨论并解决问题，加强合作意识和团队合作精神。
3.图示法：通过图示的方式让学生更好地理解奇数和偶数的性质。
五、教学内容1. 奇数和偶数的概念及判断方法1.奇数：只能被1和本身整除的数，如1、3、5、7等。
2.偶数：能够被2整除的数，如2、4、6、8等。
判断一个数是奇数还是偶数的方法：1.如果这个数能够被2整除，那么它就是偶数。
2.如果这个数不能被2整除，那么它就是奇数。
2. 奇数和偶数的性质1.任何一个整数都可以表示为奇数加偶数的形式。
–证明：对于任何一个整数n，都可以表示为n=2k或n=2k+1的形式，其中k为整数。
–当n=2k时，n=2k+0，即n是偶数加偶数的形式。
–当n=2k+1时，n=2k+1+0，即n是奇数加偶数的形式。
2.奇数加偶数为奇数，奇数加奇数为偶数。
–证明：设a和b分别为奇数和偶数，那么a可以表示为2m+1的形式，b可以表示为2n的形式，其中m和n均为整数。
–那么a+b=2m+1+2n=2(m+n)+1，即a+b为奇数。
–设c和d分别为奇数，那么c可以表示为2p+1的形式，d可以表示为2q+1的形式，其中p和q均为整数。
–那么c+d=2p+1+2q+1=2(p+q+1)，即c+d为偶数。
3. 综合应用1.若a为奇数，b为偶数，c为奇数，d为偶数，那么a+b+c+d是奇数还是偶数？–解：a+b为奇数，c+d为偶数，奇数加偶数为奇数，因此a+b+c+d为奇数。
初等数论教学大纲(本科)
初等数论教学大纲（本科）哈尔滨师范大学数学系初等数论(本科) 教学大纲说明《初等数论》是师范本科学校数学与应用数学专业的一门重要专业课，数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。
是在学生进入四年级后开设的一门课程。
通过对《初等数论》的教学，使学生掌握初等数论的最基本的内容，使学生在掌握其基本理论的同时为从事中学数学竞赛工作提供宏观理论的积累，初等数论是研究整数最基本的性质，是一门重要的数学基础课。
初等数论开设的目的：通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及不定方程的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
1、国际奥林匹克数学竞赛中所占初等数论内容很多，学好初等数论对于培养学生进行奥林匹克数竞赛的培训工作提供理论的知识储备。
2、培养学生初步的科研能力，因为初等数论是数学中理论与实践结合得最完美的基础课程，近代数学中的很多数学思想、概念、方法与技巧都是从整数的性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。
确定《初等数论》的教学内容应依据初高中教学实际，立足于培养学生的数学思想、方法和技巧，掌握竞赛数学中初等数论的主要理论和进一步提高和学习的基本理论，因而整个课程分为整除、同余、同余式、不定方程和原根指标几部分。
这样处理有助于形成学生完善的数学知识结构，进而从根本上提高学生的素质。
根据教学计划规定，本课程教学时数为48学时，其中讲授课和习题课共48学时，本课程安排在第七学期，周学时4，具体分配如下：1．整除12学时；2．同余8学时；3．同余方程18学时；4．不定方程4学时；5．原根和指标5学时。
大纲内容一、整除（一）教学目的通过本章的教学，使学生掌握整除的性质、带余数除法、辗转相除法，掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，熟练掌握算术基本定理，除数和函数和完全数的概念，掌握函数［x］、｛x｝基本理论。
大学初等数论教案
1. 知识目标：（1）使学生掌握初等数论的基本概念、性质和定理；（2）使学生了解初等数论的研究方法和应用领域；（3）培养学生逻辑推理、抽象思维和数学建模能力。
2. 能力目标：（1）提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；（2）培养学生独立思考、团队合作和创新能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学的兴趣和热爱；（2）培养学生的严谨求实、勇于探索的科学精神。
二、教学内容1. 整数的基本性质；2. 同余及同余定理；3. 素数与哥德巴赫猜想；4. 最大公约数与最小公倍数；5. 完全数与亲和数；6. 数论的应用。
三、教学方法1. 讲授法：系统讲解数论的基本概念、性质和定理；2. 讨论法：引导学生积极参与课堂讨论，培养合作精神；3. 案例分析法：通过实际案例，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；4. 练习法：布置课后习题，巩固所学知识。
1. 导入新课（1）介绍数论的研究背景和意义；（2）提出本节课的学习目标。
2. 讲解整数的基本性质（1）讲解整数的定义、性质和运算；（2）举例说明整数的基本性质。
3. 讲解同余及同余定理（1）讲解同余的定义、性质和运算；（2）讲解同余定理，并举例说明。
4. 讲解素数与哥德巴赫猜想（1）讲解素数的定义、性质和分布；（2）介绍哥德巴赫猜想及其相关研究。
5. 讲解最大公约数与最小公倍数（1）讲解最大公约数和最小公倍数的定义、性质和计算方法；（2）举例说明最大公约数和最小公倍数的应用。
6. 讲解完全数与亲和数（1）讲解完全数和亲和数的定义、性质和寻找方法；（2）举例说明完全数和亲和数的应用。
7. 讲解数论的应用（1）介绍数论在密码学、计算机科学等领域的应用；（2）举例说明数论在实际问题中的应用。
8. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容；（2）强调数论的重要性和应用价值。
9. 作业布置（1）布置课后习题，巩固所学知识；（2）鼓励学生查阅相关资料，拓展知识面。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生的课堂参与度、回答问题的准确性和完整性；2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，了解学生对知识的掌握程度；3. 期中期末考试：综合评价学生的学习成果。
初等数论的教学设计
初等数论的教学设计一、引言初等数论是数学中的一门重要学科，主要研究正整数的性质和规律。
在初等数论的教学中，如何设计合适的教学方案是十分关键的。
本文将针对初等数论的教学设计进行探讨，并提出一种可行的教学方案。
二、教学目标通过本次教学，学生应该能够：1. 掌握正整数的基本概念和性质；2. 理解和证明初等数论中的基本定理和定律；3. 能够运用初等数论的方法解决实际问题。
三、教学内容本次教学的主要内容包括以下几个方面：1. 正整数的性质：质数、合数、约数、最大公约数和最小公倍数等；2. 同余与模运算：同余关系、同余方程、模反元素等；3. 算术基本定理和费马小定理；4. 数论函数：Euler函数和莫比乌斯函数等；5. 数论中的应用：素数分解、模运算在密码学中的应用等。
四、教学方法在初等数论的教学中，可以采用以下教学方法：1. 讲授与讨论相结合：老师通过讲解基本概念和重要定理，激发学生的兴趣，引发讨论，鼓励学生提出问题和解决问题。
2. 示例分析：通过一些具体的例子，帮助学生理解抽象的概念和定理，培养学生的逻辑思维能力。
3. 练习与实践结合：在教学过程中，设计一些练习题和实践活动，让学生应用所学的知识解决问题，提高实际应用能力。
4. 小组合作学习：鼓励学生进行小组合作学习，相互讨论和交流，共同解决问题，培养学生的团队合作精神和能力。
五、教学过程1. 导入：通过引入一个实际问题，如素数在密码学中的应用，引发学生的兴趣，激发他们对初等数论的学习热情。
2. 探究：引导学生通过观察和讨论，发现正整数的一些基本性质，如质数与合数的区别，约数与倍数的关系等。
3. 讲解：以幻灯片或板书的形式，讲解正整数的性质和初等数论中的基本定理和定律，同时让学生积极参与讨论，激发他们的思维。
4. 示例分析：通过一些具体的例子，解析和证明初等数论中的定理和公式，帮助学生理解和掌握相关知识。
5. 练习与实践：设计一些练习题和实践活动，让学生应用所学的知识进行解答和实践，巩固和扩展所学内容。
初等数论教案1
初等数论教案1第一篇：初等数论教案1第二节最大公因数与辗转相除法第三节最小公倍数教学目的：1、掌握最大公因数与最小公倍数性质；2、掌握辗转相除法；3、会求最大公因数与最小公倍数.教学重点：最大公因数与最小公倍数性质教学难点：辗转相除法教学课时：6课时教学过程一、最大公因数1、定义1整数a1, a2, Λ, ak的公共约数称为a1, a2, Λ, ak的公约数.不全为零的整数a1, a2, Λ, ak的公约数中最大的一个叫做a1, a2, Λ, ak的最大公约数（或最大公因数），记为(a1, a2, Λ, ak).注：1、由于每个非零整数的约数的个数是有限的，所以最大公约数是存在的，并且是正整数.2、如果(a1, a2, Λ, ak)= 1，则称a1, a2, Λ, ak 是互素的（或互质的）；如果(ai, a j)= 1，1 ≤ i, j ≤ k，i ≠ j，则称a1, a2, Λ, ak是两两互素的（或两两互质的）.显然，a1, a2, Λ, ak两两互素可以推出(a1, a2, Λ, ak)= 1，反之则不然，例如(2, 6, 15)= 1，但(2, 6)= 2.2、定理1下面的等式成立：(ⅰ)(a1, a2, Λ, ak)=(|a1|, |a2|, Λ, |ak|)；(ⅱ)(a, 1)= 1，(a, 0)= |a|，(a, a)= |a|；(ⅲ)(a, b)=(b, a)；(ⅳ)若p是素数，a是整数，则(p, a)= 1或p∣a；(ⅴ)若a = bq + r，则(a, b)=(b, r).证明：(ⅰ)--(ⅳ)留作习题.(ⅴ)由第一节定理1可知，如果d∣a，d∣b，则有d∣r = a - bq，反之，若d∣b，d∣r，则d∣a = bq +r.因此a与b的全体公约数的集合就是b与r的全体公约数的集合，这两个集合中的最大正数当然相等，即(a, b)=(b, r).证毕3、定理2设a1, a2, Λ, ak∈Z，记A = { y；y =∑aixi，xi∈Z，1≤ i ≤ k }.i=1k如果y0是集合A中最小的正数，则y0 =(a1, a2, Λ, ak).证明设d是a1, a2, Λ, ak的一个公约数，则d∣y0，所以d ≤ y0.另一方面，由第一节例2知，y0也是a1, a2, Λ, ak的公约数.因此y0是a1, a2, Λ, ak的公约数中的最大者，即y0 =(a1, a2, Λ, ak).证毕推论1设d是a1, a2, Λ, ak的一个公约数，则d∣(a1, a2, Λ, ak).注：这个推论对最大公约数的性质做了更深的刻划：最大公约数不但是公约数中的最大的，而且是所有公约数的倍数.推论2(ma1, ma2, Λ, mak)= |m|(a1, a2, Λ, ak).推论3记δ =(a1, a2, Λ, ak)，则(aa1a2，Λ,k)= 1，δδδ特别地,(ab,)= 1.(a,b)(a,b)4、定理3(a1, a2, Λ, ak)= 1的充要条件是存在整数x1, x2, Λ, xk，使得a1x1 + a2x2 +Λ+ akxk = 1.(1)证明必要性由定理2得到.充分性若式(1)成立，如果(a1, a2, Λ, ak)= d > 1，那么由d∣ai（1 ≤ i ≤k）推出d∣a1x1 + a2x2 +Λ+ akxk = 1，这是不可能的.所以有(a1, a2, Λ, ak)= 1.证毕5、定理4对于任意的整数a，b，c，下面的结论成立：(ⅰ)由b∣ac及(a, b)= 1可以推出b∣c；(ⅱ)由b∣c，a∣c及(a, b)= 1可以推出ab∣c.证明(ⅰ)若(a, b)= 1，由定理2，存在整数x与y，使得ax + by = 1.因此acx + bcy = c.(2)由上式及b∣ac得到b∣c.结论(ⅰ)得证；(ⅱ)若(a, b)= 1，则存在整数x，y使得式(2)成立.由b∣c与a∣c得到ab∣ac，ab∣bc，再由式(2)得到ab∣c.结论(ⅱ)得证.证毕推论1若(a, b)= 1，则(a, bc)=(a, c).证明设d是a与bc的一个公约数，则d∣a，d∣bc，由式（2）得到，d|c, 即d是a与c的公约数.另一方面，若d是a与c的公约数，则它也是a与bc的公约数.因此，a与c的公约数的集合，就是a与bc的公约数的集合，所以(a, bc)=(a, c).证毕推论2若(a, bi)= 1，1 ≤ i ≤ n，则(a, b1b2Λbn)= 1.证明留作习题.6、定理5对于任意的n个整数a1, a2, Λ, an，记(a1, a2)= d2，(d2, a3)= d3，Λ，(dn - 2, an - 1)= dn - 1，(dn - 1, an)= dn，则dn =(a1, a2, Λ, an).证明由定理2的推论，我们有dn =(dn - 1, an)⇒ dn∣an，dn∣dn - 1，dn - 1 =(dn - 2, an -1)⇒ dn - 1∣an - 1，dn - 1∣dn - 2，⇒ dn∣an，dn∣an - 1，dn∣dn - 2，dn - 2 =(dn - 3, an - 2)⇒ dn - 2∣an - 2，dn - 2∣dn - 3 ⇒ dn∣an，dn∣an - 1，dn∣an - 2，dn∣dn - 3，ΛΛd2 =(a1, a2)⇒ dn∣an，dn∣an - 1，Λ，dn∣a2，dn∣a1，即dn 是a1, a2, Λ, an的一个公约数.另一方面，对于a1, a2, Λ, an的任何公约数d，由定理2的推论及d2, Λ, dn的定义，依次得出d∣a1，d∣a2 ⇒ d∣d2，d∣d2，d∣a3 ⇒ d∣d3，ΛΛd∣dn - 1，d∣an ⇒ d∣dn，因此dn是a1, a2, Λ, an的公约数中的最大者，即dn =(a1, a2, Λ, an).例1证明：若n是正整数，则21n+414n+3是既约分数.解：由定理1得到(21n + 4, 14n + 3)=(7n + 1, 14n + 3)=(7n + 1, 1)= 1.注：一般地，若(x, y)= 1，那么，对于任意的整数a，b，有(x, y)=(x -ay, y)=(x -ay, y - b(x -ay))=(x -ay,(ab + 1)y - bx)，因此，x-ay(ab+1)y-bx是既约分数.例2证明：121/|n2 + 2n + 12，n∈Z.解：由于121 = 112，n2 + 2n+ 12 =(n + 1)2 + 11，所以，若112∣(n + 1)2 + 11，则11∣(n + 1)2，因此，由定理4的推论1得到11∣n + 1，112∣(n + 1)2.再由式(3)得到112∣11，这是不可能的.所以式(3)不能成立.注：这个例题的一般形式是：设p是素数，a，b是整数，则pk/|(an + b)k + pk - 1c，其中c是不被p整除的任意整数，k是任意的大于1的整数.例3设a，b是整数，且9∣a2 + ab + b2，则3∣(a, b).(3)(4)解：由式(4)得到9∣(a - b)2 + 3ab ⇒ 3∣(a - b)2 + 3ab⇒ 3∣(a - b)2 ⇒ 3∣a - b(5)⇒ 9∣(a - b)2.再由式(4)得到9∣3ab ⇒ 3∣ab.因此，由定理4的推论1，得到3∣a或3∣b.若3∣a，由式(5)得到3∣b；若3∣b，由(5)式也得到3∣a.因此，总有3∣a且3∣b.由定理2的推论推出3∣(a, b).例4设a和b是正整数，b > 2，则2b - 1/|2a + 1.解：(ⅰ)若a < b，且2b - 1∣2a + 1.(6)成立，则2b - 1 ≤ 2a + 1 ⇒ 2b - 2a ≤ 2 ⇒ 2a(2b - a - 1)≤ 2，于是a = 1，b - a = 1，即b = 2，这是不可能的，所以式(6)不成立.(ⅱ)若a = b，且式(6)成立，则由式(6)得到2a - 1∣(2a - 1)+ 2 ⇒ 2a - 1∣2 ⇒ 2a - 1 ≤ 2 ⇒ 2a ≤ 3，于是b = a = 1，这是不可能的，所以式(6)不成立.(ⅲ)若a > b，记a = kb + r，0 ≤ r < b，此时2kb - 1 =(2b - 1)(2(k - 1)b + 2(k - 2)b +Λ+ 1)=(2b - 1)Q，其中Q是整数.所以2a + 1 = 2kb + r + 1 = 2r(2kb - 1 + 1)+ 1 = 2r((2b - 1)Q + 1)+1 =(2b - 1)Q '+(2r + 1)，其中Q'是整数.因此2b - 1∣2a + 1 ⇒ 2b - 1∣2r + 1，在(ⅰ)中已经证明这是不可能的，所以式(6)不能成立.综上证得2b - 1/|2a + 1.二、最小公倍数1、定义1整数a1, a2, Λ, ak的公共倍数称为a1, a2, Λ, ak的公倍数.a1, a2, Λ, ak的正公倍数中的最小的一个叫做a1, a2, Λ, ak的最小公倍数，记为[a1, a2, Λ, ak].2、定理1下面的等式成立：(ⅰ)[a, 1] = |a|，[a, a] = |a|；(ⅱ)[a, b] = [b, a]；(ⅲ)[a1, a2, Λ, ak] = [|a1|, |a2| Λ, |ak|]；(ⅳ)若a∣b，则[a, b] = |b|.证明留作习题.由定理1中的结论(ⅲ)可知，在讨论a1, a2, Λ, ak的最小公倍数时，不妨假定它们都是正整数.在本节中总是维持这一假定.最小公倍数和最大公约数之间有一个很重要的关系，即下面的定理.3、定理2对任意的正整数a，b，有[a, b] =ab(a,b).证明：设m是a和b的一个公倍数，那么存在整数k1，k2，使得m = ak1，m = bk2，因此ak1 = bk2.(1)于是abk1=k2.(a,b)(a,b)由于(ab,)= 1，所以(a,b)(a,b)b|k1，即k1=bt(a,b)(a,b)，其中t是某个整数.将上式代入式(1)得到m =abt.(a,b)(2)另一方面，对于任意的整数t，由式(2)所确定的m显然是a与b的公倍数，因此a与b的公倍数必是式(2)中的形式，其中t是整数.当t = 1时，得到最小公倍数[a, b] =ab(a,b).推论1两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除.证明由式(2)可得证.这个推论说明：两个整数的最小公倍数不但是最小的正倍数，而且是另外的公倍数的约数.推论2设m，a，b是正整数，则[ma, mb] = m[a, b].证明由定理2及前面的定理2的推论得到m2abm2abmab==[ma, mb] == m[a, b].(ma,mb)m(a,b)(a,b)证毕4、定理3对于任意的n个整数a1, a2, Λ, an，记[a1, a2] = m2，[m2, a3] = m3，Λ，[mn-2, an-1] = mn-1，[mn-1, an] = mn，则[a1, a2, Λ, an] = mn.证明：我们有mn = [mn-1, an] ⇒mn-1∣mn，an∣mn，mn-1 = [mn-2, an-1] ⇒mn-2∣mn-1∣mn，an∣mn，an-1∣mn-1∣mn，mn-2 = [mn-3, an-2] ⇒mn-3∣mn-2∣mn，an∣mn，an-1∣mn，an-2∣mn，ΛΛm2 = [a1, a2] ⇒ an∣mn，Λ，a2∣mn，a1∣mn，即mn是a1, a2, Λ, an的一个公倍数.另一方面，对于a1, a2, Λ, an的任何公倍数m，由定理2的推论及m2, Λ, mn的定义，得m2∣m，m3∣m，Λ，mn∣m.即mn是a1, a2, Λ, an最小的正的公倍数.证毕推论若m是整数a1, a2, Λ, an的公倍数，则[a1, a2, Λ, an]∣m.证明：留作习题.定理4整数a1, a2, Λ, an两两互素，即(ai, aj)= 1，1 ≤ i, j ≤ n，i ≠ j 的充要条件是[a1, a2, Λ, an] = a1a2Λan.(3)证明：必要性因为(a1, a2)= 1，由定理2得到[a1, a2] =a1a2(a1,a2)= a1a2.由(a1, a3)=(a2, a3)= 1及前面的定理4推论得到(a1a2, a3)= 1，由此及定理3得到[a1, a2, a3] = [[a1, a2], a3] = [a1a2, a3] = a1a2a3.如此继续下去，就得到式(3).充分性用归纳法证明.当n = 2时，式(3)成为[a1, a2] = a1a2.由定理2 a1a2 = [a1, a2] =即当n = 2时，充分性成立.假设充分性当n = k时成立，即[a1, a2, Λ, ak] = a1a2Λak ⇒(ai, aj)= 1，1 ≤ i, j ≤ k，i ≠ j.对于整数a1, a2, Λ, ak, ak + 1，使用定理3中的记号，由定理3可知[a1, a2, Λ, ak, ak + 1] = [mk, ak + 1].(4)其中mk = [a1, a2, Λ, ak].因此，如果[a1, a2, Λ, ak, ak + 1] = a1a2Λakak + 1，那么，由此及式(4)得到[a1, a2, Λ, ak, ak + 1] = [mk, ak + 1] =即mk(mk,ak+1)mkak+1(mk,ak+1)a1a2(a1,a2)⇒(a1, a2)= 1，= a1a2Λakak + 1，= a1a2Λak，显然mk ≤ a1a2Λak，(mk, ak + 1)≥1.所以若使上式成立，必是(mk, ak + 1)= 1，(5)并且mk = a1a2Λak.(6)由式(6)与式(5)推出(ai, ak + 1)= 1，1 ≤ i ≤ k；(7)由式(6)及归纳假设推出(ai, aj)= 1，1 ≤ i, j ≤ k，i ≠ j.(8)综合式(7)与式(8)，可知当n = k + 1时，充分性成立.由归纳法证明了充分性.证毕定理4有许多应用.例如，如果m1, m2, Λ, mk是两两互素的整数，那么，要证明m = m1m2Λmk整除某个整数Q，只需证明对于每个i，1 ≤ i ≤ k，都有mi∣Q.这一点在实际计算中是很有用的.对于函数f(x)，要验证命题“m∣f(n)，n∈Z”是否成立，可以用第二节例5中的方法，验证“m∣f(r)，r = 0, 1, Λ, m -1”是否成立.这需要做m次除法.但是，若分别验证“mi∣f(ri)，ri = 0, 1, Λ, mi - 1，1 ≤ i ≤k”是否成立，则总共需要做m1 + m2 +Λ+ mk次除法.后者的运算次数显然少于前者.例1设a，b，c是正整数，证明：[a, b, c](ab, bc, ca)= abc.解：由定理3和定理2有[a, b, c] = [[a, b], c] =由第三节定理5和定理2的推论，(ab, bc, ca)=(ab,(bc, ca))=(ab, c(a, b))=(ab,abc)=(ab[a,b],abc)=ab([a,b],c).[a,b][a,b][a,b][a,b]c，([a,b],c)(9)(10)联合式(9)与式(10)得到所需结论.例2对于任意的整数a1, a2, Λ, an及整数k，1 ≤ k ≤ n，证明：[a1, a2, Λ, an] = [[a1, Λ, ak],[ak + 1, Λ, an]].解：因为[a1, a2, Λ, an]是a1, Λ, ak, ak + 1, Λ, an的公倍数，所以由定理2推论，推出[a1, Λ, ak]∣[a1, a2, Λ, an]，[ak + 1, Λ, an]∣[a1, a2, Λ, an]，再由定理3推论知[[a1, Λ, ak], [ak + 1, Λ, an]]∣[a1, a2, Λ, an].另一方面，对于任意的ai（1 ≤ i ≤ n），显然ai∣[[a1, Λ, ak], [ak + 1, Λ, an]]，所以由定理3推论可知[a1, a2, Λ, an]∣[[a1, Λ, ak], [ak + 1, Λ, an]]，联合上式与式(11)得证.例3设a，b，c是正整数，证明：[a, b, c][ab, bc, ca] = [a, b][b, c][c, a].解：由定理2推论2及例2，有[a, b, c][ab, bc, ca] = [[a, b, c]ab, [a, b, c]bc, [a, b, c]ca] = [[a2b, ab2, abc], [abc, b2c, bc2], [a2c, abc, ac2]] = [a2b, ab2, abc, abc, b2c, bc2, a2c, abc, ac2] = [abc, a2b, a2c, b2c, b2a, c2a, c2b] 以及(11)[a, b][b, c][c, a] = [[a, b]b, [a, b]c][c, a] = [ab, b2, ac, bc][c, a] = [ab[c, a], b2[c, a], ac[c, a], bc[c, a]] = [abc, a2b, b2c, b2a, ac2, a2c, bc2, bca] = [abc, a2b, a2c, b2c, b2a, c2a, c2b]，由此得证.三、辗转相除法本节要介绍一个计算最大公约数的算法——辗转相除法，又称Euclid算法.它是数论中的一个重要方法，在其他数学分支中也有广泛的应用.1、定义1下面的一组带余数除法，称为辗转相除法.设a和b是整数，b ≠0，依次做带余数除法：a = bq1 + r1，0 < r1 < |b|，b = r1q2 + r2，0 < r2 < r1，ΛΛrk - 1 = rkqk + 1 + rk + 1，0 < rk + 1 < rk，(1)ΛΛrn - 2 = rn - 1qn + rn，0 < rn < rn-1，rn - 1 = rnqn + 1.由于b是固定的，而且|b| > r1 > r2 > Λ，所以式(1)中只包含有限个等式.下面，我们要对式(1)所包含的等式的个数，即要做的带余数除法的次数进行估计.2、引理1用下面的方式定义Fibonacci数列{Fn}：F1 = F2 = 1，Fn = Fn - 1 + Fn - 2，n ≥ 3，那么对于任意的整数n ≥ 3，有Fn > α n - 2，(2)其中α =1+52.证明：容易验证α 2 = α+ 1.当n = 3时，由F3 = 2 >1+可知式(2)成立.假设式(2)对于所有的整数k ≤n（n ≥3）成立，即Fk > α k - 2，k ≤ n，则Fn + 1 = Fn + Fn - 1 > α n - 2 +α n - 3 = α n - 3(α+ 1)= α n - 3α 2 = α n- 1，即当k = n + 1时式(2)也成立.由归纳法知式(2)对一切n ≥ 3成立.证毕.3、定理1(Lame)设a, b∈N，a > b，使用在式(1)中的记号，则n < 5log10b.证明：在式(1)中，rn ≥ 1，qn + 1 ≥ 2，qi ≥ 1（1 ≤ i ≤ n），因此rn ≥ 1 = F2，rn - 1 ≥ 2rn ≥ 2 = F3，52= α rn - 2 ≥ rn - 1 + rn ≥ F3 + F2 = F4，ΛΛb ≥ r1 + r2 ≥ Fn + 1 + Fn = Fn + 2，由此及式(2)得b ≥αn =(1+即log10b ≥ nlog101+这就是定理结论.证毕4、定理2使用式(1)中的记号，记P0 = 1，P1 = q1，Pk = qkPk - 1 + Pk - 2，k ≥ 2，Q0 = 0，Q1 = 1，Qk = qkQk - 1 + Qk - 2，k ≥ 2，则aQk - bPk =(-1)k - 1rk，k = 1, 2, Λ, n.(3)证明：当k = 1时，式(3)成立.当k = 2时，有Q2 = q2Q1 + Q0 = q2，P2 = q2P1 + P0 = q2q1 + 1，此时由式(1)得到aQ2 - bP2 = aq2 - b(q2q1 + 1)=(a - bq1)q2 - b = r1q2 - b = -r2，即式(3)成立.假设对于k < m（1 ≤ m ≤ n）式(3)成立，由此假设及式(1)得到aQm - bPm= a(qmQm - 1 + Qm - 2)- b(qmPm - 1 + Pm - 2)52)n，52>1n，5=(aQm - 1 - bPm - 1)qm +(aQm - 2 - bPm - 2)=(-1)m - 2rm - 1qm +(-1)m - 3rm - 2 =(-1)m - 1(rm - 2 - rm - 1qm)=(-1)m- 1rm，即式(3)当k = m时也成立.定理由归纳法得证.证毕5、定理3使用式(1)中的记号，有rn =(a, b).证明：由第三节定理1，从式(1)可见rn =(rn - 1, rn)=(rn - 2, rn - 1)= Λ =(r1, r2)=(b, r1)=(a, b).证毕.现在我们已经知道，利用辗转相除法可以求出整数x，y，使得ax + by =(a, b).(4)为此所需要的除法次数是O(log10b).但是如果只需要计算(a, b)而不需要求出使式(4)成立的整数x与y，则所需要的除法次数还可更少一些.例1设a和b是正整数，那么只使用被2除的除法运算和减法运算就可以计算出(a, b).解：下面的四个基本事实给出了证明：(ⅰ)若a∣b，则(a, b)= a；(ⅱ)若a = 2αa1，2/|a1，b=2βb1，2/|b1，α≥β≥ 1，则(a, b)= 2β(2α-βa1, b1)；(ⅲ)若2/|a，b=2βb1，2/|b1，则(a, b)=(a, b1)；a-b(ⅳ)若2/|a，2/|b，则(a,b)=(||,b).2在实际计算过程中，若再灵活运用最大公约数的性质（例如第三节定理4的推论），则可使得求最大公约数的过程更为简单.例2用辗转相除法求(125, 17)，以及x，y，使得125x + 17y =(125, 17).解：做辗转相除法：= 7⋅17 + 6，q1 = 7，r1 = 6，= 2⋅6 + 5，q2 = 2，r2 = 5，6 = 1⋅5 + 1，q3 = 1，r3 = 1，5 = 5⋅1，q4 = 5.由定理4，(125, 17)= r3 = 1.利用定理2计算（n = 3）P0 = 1，P1 = 7，P2 = 2⋅7 + 1 = 15，P3 = 1⋅15 + 7 = 22，Q0 = 0，Q1 = 1，Q2 = 2⋅1 + 0 = 2，Q3 = 1⋅2 + 1 = 3，取x =(-1)3 -1Q3 = 3，y =(-1)3P3 = -22，则125⋅3 + 17⋅(-22)=(125, 17)= 1.例3求(12345, 678).解：(12345, 678)=(12345, 339)=(12006, 339)=(6003, 339)=(5664, 339)=(177, 339)=(177, 162)=(177, 81)=(96, 81)=(3, 81)= 3.例4在m个盒子中放若干个硬币，然后以下述方式往这些盒子里继续放硬币：每一次在n（n < m）个盒子中各放一个硬币.证明：若(m, n)= 1，那么无论开始时每个盒子中有多少硬币，经过若干次放硬币后，总可使所有盒子含有同样数量的硬币.解：由于(m, n)= 1，所以存在整数x，y，使得mx +ny = 1.因此对于任意的自然数k，有+m(-x + kn)= n(km + y)，这样，当k充分大时，总可找出正整数x0，y0，使得+mx0 = ny0.上式说明，如果放y0次（每次放n个），那么在使m个盒子中各放x0个后，还多出一个硬币.把这个硬币放入含硬币最少的盒子中（这是可以做到的），就使它与含有最多硬币的盒子所含硬币数量之差减少1.因此经过若干次放硬币后，必可使所有盒子中的硬币数目相同.四、小结.五、作业24页ex5、ex6、ex7、ex8、ex11 25页ex16 26页ex29、ex36 第二篇：初等数论学习心得《初等数论》学习心得要写学习心得并不是什么难事，不过我觉得这一次的学习心得又有些不太一样的地方。
初等数论教案
初等数论教案一、引言初等数论是研究自然数的性质和关系的学科，属于数学的基础分支之一。
在教学中，我们需要引导学生了解数论的基本概念和方法，培养他们的数论思维和解题能力。
本教案将介绍如何系统地教授初等数论，以帮助学生建立坚实的数学基础。
二、教学目标1. 掌握数论的基本概念，包括质数、整除、最大公因数等。
2. 理解并运用数论的重要性质，如同余定理、欧拉定理等。
3. 培养学生的数论思维，能够独立解决数论问题。
4. 提高学生的数学证明能力，能够进行简单的数学推理和证明。
三、教学内容1. 质数与合数- 质数的定义与性质- 合数的定义与性质- 质因数分解的方法与应用2. 整除与倍数- 整除关系的定义与性质- 最大公因数与最小公倍数的计算方法- 用整除性质解决实际问题3. 同余- 同余关系的定义与性质- 同余定理的应用- 模运算的基本性质与运算规则4. 欧拉函数与欧拉定理- 欧拉函数的定义与性质- 欧拉定理的表述与证明- 欧拉定理在密码学中的应用5. 素数分布与素数定理- 素数的分布规律与猜想- 素数定理的表述与证明- 素数定理的应用与拓展四、教学方法1. 讲授与示范教师以简明的语言对数论的基本概念和性质进行讲解，辅以具体的例子进行示范。
2. 互动与讨论教师引导学生主动参与，提出问题并进行讨论，鼓励学生发表自己的观点和思考。
3. 实践与探究通过实际问题和实例的引导，鼓励学生灵活运用所学知识解决问题，并进行探究和发现。
4. 案例分析选取一些经典或有趣的数论问题进行案例分析，提高学生应用数论知识解决问题的能力。
五、教学评价1. 课堂表现评价考察学生对数论基本概念的理解、问题解决能力和参与互动的表现。
2. 作业评价布置适量的练习题和探究性的作业，评价学生对数论知识的掌握和应用能力。
3. 考试评价通过定期的小测验和期末考试评价学生的数论理论水平和解题能力。
六、教学资源1. 教材：根据教学内容选择合适的初等数论教材。
2. 多媒体：配备投影仪等多媒体设备，以便使用相关的课件和动态演示。
初三数学函数与初等数论优秀教案范本
初三数学函数与初等数论优秀教案范本教案一：函数的概念与基本性质一、教学目标：1. 理解函数的概念；2. 掌握函数的定义和表示方法；3. 理解函数的自变量、因变量、定义域和值域的概念；4. 掌握函数的基本性质。
二、教学重点与难点：1. 函数的概念与定义；2. 函数的自变量、因变量、定义域和值域的概念。
三、教学准备：1. 教学课件；2. 函数的相关练习题；3. 小黑板、彩色粉笔。
四、教学过程：Step 1 引入新知1. 引导学生回顾直角坐标系的相关知识，并让学生思考某个点在直角坐标系中的位置如何表示。
2. 引导学生思考现实生活中是否存在两个量之间的关系，并让学生举例说明。
Step 2 函数的概念1. 通过引导学生的思考，引出函数的概念：函数是指从一个集合到另一个集合的一种规则，用来表示两个变量之间的关系。
2. 引导学生理解函数的自变量和因变量的概念，并通过具体例子说明函数的定义域和值域的概念。
Step 3 函数的表示方法1. 介绍函数的表示方法：y=f(x)或者y=g(x)，其中f(x)和g(x)表示函数的表达式。
2. 通过具体例子，让学生掌握函数的表示方法。
Step 4 函数的基本性质1. 引导学生思考函数的基本性质，包括奇偶性、单调性、周期性等，并通过图示和具体例子让学生理解和掌握这些性质。
2. 引导学生思考函数与方程的关系，并通过实例让学生理解函数方程与解的关系。
五、教学总结与拓展1. 总结本节课所学内容；2. 鼓励学生进行思考，提出相关问题并讨论；3. 布置相关练习题作业，扩展学生的应用能力。
教案二：初等数论的基本概念与性质一、教学目标：1. 理解初等数论的基本概念；2. 掌握正整数的因数、倍数和约数的概念；3. 掌握最大公约数和最小公倍数的计算方法；4. 理解素数与合数的概念。
二、教学重点与难点：1. 正整数的因数、倍数和约数的概念；2. 最大公约数和最小公倍数的计算方法。
三、教学准备：1. 教学课件；2. 初等数论的相关练习题；3. 小黑板、彩色粉笔。
(完整版)初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory ）。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
二 几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。
初等数论教案范文
初等数论教案范文一、教学内容初等数论二、教学目标1.了解什么是初等数论；2.掌握初等数论的基本概念、方法和应用；3.培养学生的数论思维能力和解决问题的能力。
三、教学重点1.初等数论的基本概念；2.初等数论的基本方法。
四、教学难点初等数论的应用。
五、教学准备教材、课件、黑板、彩色笔。
六、教学过程Step 1：导入用一道题目来导入本课内容：“小明把一栈数字卡片分成3堆，第一堆卡片叠成13层，第二堆卡片叠成14层，第三堆卡片叠成15层。
若小明把每堆卡片的每一层都数一遍，所有的数字卡片一共被数了多少次？”请同学们自己思考一下。
Step 2：引入初等数论的基本概念1.引导学生思考：（1）思考刚才那个问题，有什么规律可循？（2）如果有规律，我们能不能抽象出来？这样就可以对更复杂的问题进行研究了。
2.定义初等数论：初等数论是研究整数及其性质与规律的数学分支，它涉及于整数的划分、奇偶性、倍数关系、因子分解等问题。
Step 3：奇偶性的性质及应用1.引入奇偶性的概念：定义奇偶性：一个整数能被2整除，就称其为偶数，否则称其为奇数。
2.探究奇偶性的性质及应用：（1）证明正整数的平方只能是奇数。
（2）证明奇数与奇数相加或相乘仍然是奇数。
Step 4：因子分解的方法及应用1.引入因子的概念：定义因子：整数a和b中，如果存在整数c，使得a=bc，那么我们称a是b的倍数，b是a的因子。
2.通过实例引导学生使用质因数分解法进行因子分解。
3.运用因子分解法解决问题。
Step 5：找规律和归纳法1.引导学生找规律：（1）通过实例找规律。
（2）通过问题引导找规律。
2.运用归纳法验证规律的正确性。
Step 6：应用实例分析给出一些应用实例，分析解决问题的方法和思路。
七、课堂练习1.通过练习题巩固所学内容。
2.小组合作探究新的问题。
八、作业布置练习题。
九、课堂小结通过本节课的学习，我们了解了初等数论的基本概念、方法和应用，掌握了奇偶性的性质及应用，因子分解的方法及应用，找规律和使用归纳法的技巧。
数学教案初等数论
数学教案初等数论教案主题：初等数论一、引言数学中有许多分支，而初等数论是其中的重要分支之一。
本教案主要介绍初等数论的基础概念、性质及应用，以帮助学生深入理解数论，并能运用数论的方法解决实际问题。
二、整数及相关概念1. 整数的定义及性质：了解整数的概念、基本性质和运算规则。
2. 质数与合数：介绍质数与合数的概念及判断方法。
3. 最大公因数和最小公倍数：讲解最大公因数和最小公倍数的含义及计算方法。
4. 整数的除法：引导学生掌握整数带余除法的概念和计算方法。
三、整除与同余1. 整除的定义及性质：介绍整除的含义、性质、判断方法和应用。
2. 同余的概念与性质：讲解同余关系的定义、性质、判断方法以及同余关系的传递性和反对称性。
3. 同余方程的求解方法：培养学生解同余方程的能力。
四、素数及其性质1. 素数的定义与性质：介绍素数的概念及基本性质，包括无穷性、唯一性等。
2. 质数分布与素数定理：了解质数的分布规律和素数定理的基本内容。
3. 双胞胎素数和孪生素数：讨论双胞胎素数和孪生素数的概念及性质。
五、整数表示1. 十进制与其他进制：介绍十进制与其他进制之间的转换方法及应用。
2. 同余与模运算：引导学生理解同余的概念，了解模运算的基本性质和运算规则。
六、勾股数与费马定理1. 勾股数的概念与性质：介绍勾股数的定义及勾股定理的证明与应用。
2. 费马定理与欧拉定理：了解费马小定理和欧拉定理的基本内容及证明思路。
七、素因数分解与最简分数1. 素因数分解的概念与方法：培养学生进行素因数分解的能力。
2. 最简分数的概念与意义：讲解最简分数的定义与性质，培养学生解决最简分数相关问题的能力。
八、应用实例结合实际问题，引导学生运用初等数论知识解决实际应用问题，如解决最小公倍数问题、RSA加密算法等。
九、小结总结本节课所学的初等数论知识，强调数论在实际应用中的重要性，激发学生对数学的兴趣和学习的动力。
十、延伸拓展鼓励学生自主学习，拓展与初等数论相关的知识，如高数中的数列、群论等。
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厦门大学教案学年度第学期院（系）数学科学学院任课教师祝辉林课程名称初等数论授课章节：第4.3节一次同余方程组和孙子定理授课教材：《初等数论》，北京大学出版社授课对象：数学类专业一年级本科生【教学要求】1. 了解孙子定理的历史背景和起源出处，理解用孙子定理求解一次同余方程组的思想方法和公式，掌握求解一次同余方程组的计算步骤；2. 掌握一次同余方程组的模两两不互素时，应当如何转化成模两两互素时的等价一次同余方程组，再用孙子定理求解；3. 理解一次同余方程组的意义，并能用孙子定理的方法解决一些实际应用问题。
【教学重点】1. 孙子定理的思想方法和计算步骤；2. 如何应用孙子定理解决实际应用问题。
【教学难点】理解孙子定理的思想方法。
【教学内容】第三节一次同余方程组和孙子定理本节主要讨论一次同余方程组的解法。
为了解决这类同余方程组，我们需要弄清楚剩余系的结构。
孙子定理(又称中国剩余定理)就是解决这类实际问题的有力工具。
一、“物不知其数”问题及其解法1.1问题的提出例1：（“物不知其数”问题）大约在公元四世纪，我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》，其中就有一个“物不知其数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”。
1.2 问题的解法及理由明朝程大位编著的《算法统宗》里记载了此题的解法，他是用一首歌谣叙述出来的：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆正月半，除百零五便得知。
这首诗翻译成数学算式就是：702213152233⨯+⨯+⨯=，233105223-⨯=。
解题步骤及理由如下：（1）先在5和7的公倍数中找除以3余1的数，进而找到除3余2的数。
因为[5,7]35=，35311÷=(余2)，(352)323⨯÷=(余1)，而(702)346⨯÷=(余2)，所以140符合条件。
（2）在3和7的公倍数中找除以5余1的数，进而找到除5余3的数。
因为[3,7]21=，2154÷=(余1)，(213)512⨯÷=(余3)， 所以63就是符合条件的数。
（3）在3和5的公倍数中找除以7余1的数，进而找到除7余2的数。
因为[3,5]15=，1572÷=(余1)，(152)74⨯÷=(余2)，所以30就是符合条件的数。
（4）将上面得到的分别符合上面三个条件的三个数相加：702213152233⨯+⨯+⨯=。
因为70(或140)是5和7的倍数，而3除余1(或余2)的数。
21(或63)是3和7的倍数，而5除余1(或余3)的数。
15(或30)是3和5的倍数，而7除余1(或余2)的数。
所以233是除以3余2、除以5余3和除以7余2的数。
又因为[357]105=，，，233210523-⨯=也是它的解，而且23105<， 所以23是最小解，其所有解为10523x k =+(k =0,1,2,⋅⋅⋅)。
1.3 注释“物不知其数”问题及其解答，是我国古代研究一次同余方程组并取得辉煌成果的经典例证。
上面的解法中，总是先求出余1的数，再求出余几的数，这种解法逐渐被总结成简洁实用的“求一术”。
“物不知其数”又名“鬼谷算”，“秦王暗点兵”，“剪管术”，“隔墙算”，“神奇妙算”，“大衍求一术”等等。
方法总结如下：例1中，13m =，25m =，37m =均为定母，105m =为衍母，135M =，221M =，315M =为衍数，乘率112M -=，121M -=，131M -=分别满足“求一术”中的1111(mod 3)M M -≡，1221(mod 5)M M -≡，1331(mod 7)M M -≡，用数分别为 11170M M -=，12221M M -=，13315M M -=，剩数为12a =，23a =，32a =，各总分别为1111140M M a -=，1222M M a -63≡，133330M M a -=，所求率为111111222333233M M a M M a M M a ---++=，所以11111122233370221315223(mod105)x M M a M M a M M a ---≡++=⨯+⨯+⨯≡。
二、一次同余方程组和孙子定理 2.1 一次同余方程组我们本节要讨论的是形如1122(mod )(mod )(mod )k k x a m x a m x a m ≡⎧⎪≡⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪≡⎩ (1)的一次同余方程组的解法。
前面的“物不知其数问题”，其实就是一次同余方程组2(mod 3)3(mod 5)2(mod 7)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩。
(2) 它的解为23(mod105)x ≡。
2.2 孙子定理定理1：设12,,,k m m m ⋅⋅⋅是两两互素的正整数，那么对于任意整数12,,,k a a a ⋅⋅⋅，一次同余方程组 1122(mod )(mod )(mod )k k x a m x a m x a m ≡⎧⎪≡⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪≡⎩ 必定有解，其解为111111222(mod )k k k x M M a M M a M M a m ---≡++⋅⋅⋅+。
这里12k m m m m =⋅⋅⋅j j m M =，11(mod )j j j M M m -≡，1j k ≤≤。
证明：由于12,,,k m m m ⋅⋅⋅两两互素，所以1212[,,,]k k m m m m m m m =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
若一次同余方程组有解12,c c ，则12(mod )c c m ≡。
因为12,,,k m m m ⋅⋅⋅两两互素，12(mod )j c c m ≡，1j k ≤≤，这就证明了同余方程若有解，则其解数为1。
下面证明111111222(mod )k k k x M M a M M a M M a m ---≡++⋅⋅⋅+确实是同余方程的解。
显然(,)1j j m M =，根据扩展的欧几里德算法，满足11(mod )j j j M M m -≡的1j M -必存在。
由11(mod )j j j M M m -≡及|()j i m M j i ≠就推出1(mod )j j j j j c M M a a m -≡≡，即c 是解。
注释：(1)从孙子定理的算法思想来看，整个计算的难点集中在求1j M -上， 需要扩展的欧几里德算法来实现，当然在实际解题中我们通常采用拼凑法。
(2)孙子定理要求一次同余方程组的模12,,,k m m m ⋅⋅⋅两两互素，如果出现了某两个模不互素的情形，则应该将其转化为模互素的情形下的等价的一次同余方程组。
例如：一次同余方程组7(mod9)1(mod15)x x ≡⎧⎨≡⎩就是模9和15不互素的一次同余方程组。
我们将9和15完全素因子分解为293=，1535=⨯，则原方程组等价于7(mod 9)1(mod 3)1(mod 5)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩，显然7(mod9)x ≡是1(mod3)x ≡的特殊情形，不是矛盾方程(否则无解)，故原方程组等价于7(mod9)1(mod5)x x ≡⎧⎨≡⎩，再应用孙子定理求解。
三、孙子定理的应用孙子定理是数论中最重要的基本定理之一，它实质上刻画了剩余系的结构。
它的应用是非常广泛的，在数学计算、保密通讯、测距和日常生活中都通常会用到。
例2. 求相邻的四个整数，它们依次可被22，23，25及27整除。
解：设这四个相邻整数是1x -，x ，1x +，2x +，按要求应满足22221(mod 2)0(mod 3)1(mod 5)2(mod 7)x x x x ⎧≡⎪≡⎪⎨≡-⎪⎪≡-⎩。
所以，这是一个解同余方程组问题，212m =，223m =，235m =，247m =两两互素，满足孙子定理的条件。
这里11a =，20a =，31a =-，42a =-。
2221357M =，2222257M =，2223237M =，2224235M =。
由211(mod 2)M ≡知，1121111(mod 2)M M M --≡≡，因此可取111M -=。
同理，由224(mod 3)M ≡知，11222214(mod 3)M M M --≡≡，因此可取122M -=-。
由2311(mod 5)M ≡-知，112333111(mod 5)M M M --≡≡-，12323(mod 5)M -≡，12316(mod 5)M -≡-，因此可取139M -=。
由2418(mod 7)M ≡知112444118(mod 7)M M M --≡≡，12435(mod 7)M -≡，12430(mod 7)M -≡，因此可取1419M -=-。
我们将计算数据列表如下：由孙子定理得22222222235711257(2)02379(1)x ≡⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-⋅+⋅⋅⋅⋅-2223+⋅25⋅⋅2222(19)(2)(mod 2357)-⋅-⋅⋅⋅，即11025158763420029349(mod 44100)x ≡-+≡。
所以满足要求的四个相邻整数有无穷多组，它们是：2934844100t +，2934944100t +，2935044100t +，2935144100t +，0,1,2,t =±±⋅⋅⋅。
最小的这样四个相邻正整数是：29348，29349，29350，29351。
下面这个问题是陈景润《初等数论I 》中的趣味数学题，可以应用孙子定理求解。
例3. 甲、乙两港的距离不超过5000公里，今有三只轮船于某天零时同时从甲港开往乙港。
假定三只轮船每天24小时都是匀速航行，若干天后的零时第一只轮船首先到达，几天后的18时第二只轮船也到达，再过几天后的8时第三只轮船也到达了。
假若每天第一只轮船走300公里，第二只轮船走240公里，第三只轮船走180公里，问甲、乙两港实际距离是多少公里，三只轮船各走了多长时间？解：设甲、乙两港距离x 公里。
第二只轮船18小时走的距离是1824018024⨯=公里，第三只轮船8小时走的距离是81806024⨯=公里。
按照题意有 0(mod 300)180(mod 240)60(mod180)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩。
因为(300,240)60=， (300,180)60=， (240,180)60=，所以该一次同余方程组不能直接用孙子定理求解。
由于22300235=⨯⨯，4240235=⨯⨯，22180235=⨯⨯，所以原一次同余方程组与4224(mod 2)6(mod 3)0(mod 5)x x x ⎧≡⎪≡⎨⎪≡⎩有相同的解。
此处412m =，223m =，235m =，14a =，26a =，30a =。