相关与回归

①若散点图呈直线趋势时，计算相关系数；②若散点图呈曲线趋势，进行曲线拟合；
③若散点图显示无任何趋势，则不必进行分析。
本例散点图为：
20
血硒 y
15 10 5 0 0 20 40 60 80 100 120 发硒x 10名健康儿童发硒与血硒散点图
散点图呈直线趋势，可计算直线相关系 数，进行直线相关分析。
ˆ Y 33.73 0.516 X
Galton数据散点图（英寸）
两变量间的回归分析——直线回归分析
指根据相关关系的数量表达式（回归方程 式）与给定的自变量x，揭示因变量y在数 量上的平均变化和求得因变量的预测值的 统计分析方法
回归分析
回归：退回 regression
回归分析的种类 Simple Linear regression
相关分析的步骤
（3）相关系数的假设检验 ：
3) 确定P值，做出推断结论
tr 5.02
本例，r = 0.872，发硒与血硒高度相关。
两变量间的相关分析——直线相关分析
相关分析的步骤
（4）总体相关系数ρ的可信区间估计 ：
1 n3
2 z
z tanh
反变换
1
1 1 r r ln 2 1 r
两变量间的相关分析——直线相关分析
相关关系与确定性关系的比较
两变量间的回归分析——直线回归分析
“回归”一词的由来及其生物学意义
“回归”一词最早由Golton（戈尔顿）在一项有关父亲与儿子身高 的关系的研究中提出。儿子身高（Y）与父亲身高（X）自然是相关 的，他发现身材高大的父亲所生儿子的身高有不少要比父亲矮，而 身材矮小的父亲所生儿子的身高有不少要比父亲高。进一步研究表 明：虽然高个子的父亲常生高个子的儿子，但儿子身高超过父亲的 概率要小于比父亲矮的概率；同样，虽然矮个子的父亲常生矮个子 的儿子，但儿子身高比父亲更矮的概率要小于比父亲高的概率。也 就是说不可能无限制的一代比一代高，或一代比一代矮。后代的高
两变量间的相关分析——直线相关分析
相关分析的步骤
（2）计算相关系数：
r (
XY ( X ) X
2
( X )( Y ) n
2
n
)( Y
2
( Y ) 2 n
)
r = 0.872
两变量间的相关分析——直线相关分析
相关分析的步骤
（3）相关系数的假设检验 ：
也就是说，根据样本计算出的相关系数r ，是总体相关系数ρ的估计值。从ρ=0（ 无直线相关）的总体中抽取样本，其r不 一定为0。因此，得到r≠0后，由于存在 抽样误差，则有必要检验r是否来自ρ=0 的总体，以判定两变量间是否有直线相 关关系。
ˆ y a bx是理论模型，表明 与y变量 x 之间的平均变动关系， 而变量y的实际 ˆ 值应为yi (a bxi ) i y i
X对y的线性影响而形成的系统 部分，反映两变量的平均变动 关系，即本质特征。
随机干扰：各种偶然因素、 观察误差和其他被忽视因素 的影响
F. Galton
两变量间的回归分析——直线回归分析
“回归”一词的由来及其生物学意义
这项研究由 F· Galton（1822——1911 年）和他的学生、现代统计学的 奠基者之一K· Pearson(1856——1936 年)在研究父母身高与其子女身高 的遗传问题时，观察了1078 对夫妇，以每对夫妇中父亲的身高作为解释 变量X，而取他们的一个成年儿子的身高作为被解释变量Y（应变量）， 将结果在平面直角坐标系上绘成散点图，发现趋势近乎一条直线。计算出 的回归直线方程为 ：
两变量间的回归分析——直线回归分析
10名学生的身高与体重散点图
体重（Y）
75 70 65 60 55 50 45 40 158
ˆ y a bx
ˆ yi (a bxi ) i yi i
yi
i
ˆ yi
r0 r0
两变量间的相关分析——直线相关分析
相关分析的步骤
（3）相关系数的假设检验 ：
1) 建立假设，确定检验水准
2) 计算统计量
r 0 r tr ,v n 2 2 Sr 1 r n2
本例： t r
0.8715 1 (0.8715 ) 8
2
5.02
两变量间的相关分析——直线相关分析
ˆ Y a bX
两变量间的回归分析——直线回归分析 总体与样本一元线性回归模型
总体
Y X X
ˆ a bX Y
样本
“Y hat”表示估计值，给定x时y的条件均 数的估计值。
两变量间的回归分析——直线回归分析
总体与样本一元线性回归模型
总体一元线性回归 方程:
ˆ Y Y / X X
两变量间的相关分析——直线相关分析
相关系数（直线相关关系的测度）
两变量间的相关分析——直线相关分析
直线相关分析的资料要求
f (X )
f(x)
1 e 2
( X )2 2 2
x 2 x y y 2 1 1 y y x x 2 f ( x, y ) exp 2 2 2(1 x, y ) x 2 x y 1 x, y x y y
两变量间的相关分析——直线相关分析
相关系数（直线相关关系的测度）
r
X X Y Y
2
X X Y Y
2
l XY l XX lYY
r (
XY ( X ) X
2
( X )( Y ) n
2
n
)( Y 2
( Y ) 2 n
)
两变量间的相关分析——直线相关分析
以样本统计量估计总体参数
(要估计的回归方程)
（实际计算的回归方程）
样本一元线性回归方程：
ˆ y a bx
截距
斜率（回归系数）
截距a 表示在没有自变量x的影响时，其它各种因素对因变 量y的平均影响；回归系数b 表明自变量x每变动一个单位，
因变量y平均变动b个单位。
两变量间的回归分析——直线回归分析
度有向人群中个体的平均高度“回归”的趋势；离开均值越远，所
受到回归的压力也越大。
两变量间的回归分析——直线回归分析
“回归”一词的由来及其生物学意义
无论是身材高还是身材矮的父亲所生儿子的身高都有向人群的平均身高 “回归”的趋势，这就是回归的生物学含义。后来人们借用“回归”这个 词 来 描 述 通 过 自 变 量 （ independent variable ） 的 数 值 预 测 因 变 量 （ dependent variable）的平均水平。即通过可测或易测的变量对未知或难测 或不可测变量的状态进行估计叫做回归分析（regression analysis）。
Y X
式中：与为模型参数， 为随机误差项
假定E()=0，有总体一元线性回归方程：
ˆ Y EY Y / X X
两变量间的回归分析——直线回归分析 样本线性回归模型的几个概念



Y 应变量，响应变量 (dependent variable, response variable) X 自变量，解释变量 (independent variable, explanatory variable) b 回归系数 (regression coefficient, slope) a 截距 (intercept，constant)
关(negative correlatio直线相关分析
两个相关关系的图示（散点图）
y
x
两变量间的相关分析——直线相关分析
直线相关分析的资料要求
两变量间的相关分析——直线相关分析
相关系数（直线相关关系的测度）
用以说明具有直线关系的两个变量间相关关系的密切程度和相关方向的指标 ， 称 为 相 关 系 数 （ correlation coefficient ） ， 又 称 为 积 差 相 关 系 数 （ coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。
相关与回归
两变量间的相关分析与回归分析
两变量间的相关分析——直线相关分析
相关关系与确定性关系的比较
两变量间的相关分析——直线相关分析
直线相关分析的基本概念
相关分析是研究变量或变量集合之间数量协同变化关系密切 程度和方向的统计方法。 当两个数值变量之间出现如下情况：当一个变量增大，另一 个也随之增大(或减少)，我们称这种现象为共变，也就是有 相关关系。 若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同向的，则两变量 之间的关系为正相关(positive correlation)；若一个变量 增加时，另一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为负相
e 1 r 2z e 1
2z
两变量间的相关分析——直线相关分析 直线相关分析中的注意事项
（1）在进行相关分析(Pearson相关)前，需作散点图，从散点图的 趋势判断是否可以作线性相关分析； （2）样本相关系数与总体相关系数间存在抽样误差，所以求得样本 相关系数后应进行假设检验。 （3）相关关系是一种共变关系，不一定是因果关系；因此，有相关 关系不等于因果关系。有无因果关系还需结合专业知识进一步研究。 （4）在实际工作中要区别相关的统计学意义与相关强度。相关有统 计学意义指该样本相关系数r来自ρ=0的总体概率很小，而相关强度表示 两变量间相互关系的密切程度，用r值的大小来反映。
两变量间的相关分析——直线相关分析
直线相关分析中的注意事项