第3章 信号的采样与重构(1-2)
第数字信号处理讲义--3章_连续时间信号的采样
图3-6采样内插恢复
3.4连续时间信号的离散时间处理
随着信号传输和处理手段的数字化发展，越来越有必要将连续信号转化为离散信号处理。
一、C/D转换
C/D转换
时域分析频域分析
二、D/C转换
D/C转换
D/C变换整个是C/D变换的逆过程
三、连续时间信号的离散化处理
即：
例1：数字微分器
带限微分
例2：半抽样间隔延时
设带限于，要求
3.6利用离散时间信号处理改变采样频率
3.6.1脉冲串采样
3.5离散时间信号的连续时间处理
离散时间信号的连续时间处理
从时域角度看：
从频域角度看：
3.6.2离散信号抽取与内插
抽取——从序列中提取每第N个点上样本的过程。
令
2.内插
抽取又称为减抽样,内插又称为增抽样。
减抽样使信号的频带扩展，但提高了数据的传输率。
在采样前加一低通滤波器,以滤除高于2倍采样频率成分,以避免高频成分的干扰。
3.7.2 A/D转换中的量化误差
数字信号不仅在时间上是离散的，而且在取值上也不连续，即数字信号的取值必须为某个规定的最小数量单位的整数倍。
因此，为了将模拟信号转换成数字信号，还必须将采样/保持电路输出的采样值按照某种近似方式归并到相应的离散电平上，也就是将模拟信号在取值上离散化，我们把这个过程称为量化。将量化后的结果（离散电平）用数字代码来表示，称为编码。于单极性模拟信号，一般采用自然二进制编码；对于双极性模拟信号，则通常采用二进制补码。经过编码后得到的代码就是A/D转换器输出的数字量。
信号与系统实验报告——信号采样与重构 声音的延时与混响
《信号与系统》——课程设计实验一信号的采样与重构一、实验内容：1.应用MATLAB实现连续信号的采样与重构仿真，了解MATLAB软件，学习应用MATLAB软件的仿真技术。
2.加深理解采样与重构的概念，掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法和掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法。
计算在临界采样、过采样、欠采样三种不同条件下重构信号的误差。
3. 加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法。
二、实验原理（1）连续时间信号连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。
严格来说，MATLAB并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。
当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。
(2)采样定理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs，重复出现一次。
为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。
时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件：＞各处为零；（对信a、必须是带限信号，其频谱函数在号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。
）b 、 取样频率不能过低，必须＞2 （或＞2）。
一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T 的幅值调制器。
图2 信号的采样（4） 信号重构设信号)(t f 被采样后形成的采样信号为)(t f s ，信号的重构是指由)(t f s 经过内插处理后，恢复出原来信号)(t f 的过程,又称为信号恢复。
三、实验步骤及代码(一).%%%%%%%%%%% 产生一个连续sin （）信号 %%%%%%%%%%%%%%%%%%f=100;t=(1:50)/2000; %时间轴步距 x=sin(2*pi*t*f); figuresubplot(211);plot(x); %绘制x(t)的图形图片号加底框 xlabel('t');ylabel('x(t)');title('连续时间信号sin （）的波形'); %图片命名 grid;n=0:255; %长度N=256; %设采样点的N 值 Xk=abs(fft(x,N));subplot(212); %频域波形 plot(n,Xk);axis([0 N 1.2*min(Xk) 1.2*max(Xk)]); %可用axis 函数来调整图轴的范围 xlabel('时域频谱波形图');ylabel('|Xk|');title('信号sin（）的频谱波形');(二)%%%%%%%%%%%%对原始信号进行采样并滤波重构 %%%%%%%%%%%% t1=3*t;f1=sin(2*pi*t1*f);figuresubplot(211);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('欠采样的信号波形');[B,A]=butter(2,450/500); %设置低通滤波器参数[H,w]=freqz(B,A,512,2000);fa=filter(B,A,f1);subplot(212);plot(fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('欠采样信号重构后的波形');t2=0.5*t;f2=sin(2*pi*t2*f);Figure,subplot(211); stem(t2,f2);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('临界采样的信号波形');[B,A]=butter(2,450/500); %设置低通滤波器参数[H,w]=freqz(B,A,512,2000);fb=filter(B,A,f2);subplot(212);plot(fb),xlabel('t'),ylabel('fb(t)');title('临界采样信号重构后的波形');t3=0.2*t;f3=sin(2*pi*t3*f);figuresubplot(211); stem(t3,f3);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('过采样的信号波形');[B,A]=butter(2,450/500);[H,w]=freqz(B,A,512,2000);fc=filter(B,A,f3);subplot(212);plot(fc)xlabel('t');ylabel('fc(t)');title('过采样信号重构后波形');四、实验总结经过此次MATLAB课程设计我学到了很多知识和学习方法。
信号采样与重建
1.软件介绍MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。
它将数值分析、矩形计算、视化以线性动态线性系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多领域一面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意。
除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。
经过不断完善MATLAB已经发展成为适合多学科，多种工作平台的功能强大大大型软件。
成为线性代数,自动控制理论，数理统计，数字信号处理，时间序列分析，动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。
MTLAB的语言特点：(1)语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。
(2)运算符丰富。
(3)MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。
(4)程序限制不严格，程序设计自由度大。
(5)MATLAB的图形功能强大。
(6)MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。
由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。
2.课程设计的方案2.1课程设计的原理2.1.1连续信号的采样定理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。
为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。
时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件:(1)必须是带限信号，其频谱函数在＞各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。
信号与系统——信号的采样与恢复实验
实验六 信号与系统实验1.信号的采样与恢复实验1.1实验目的(1)熟悉信号的采样与恢复的过程(2)学习和掌握采样定理(3)了解采样频率对信号恢复的影响1.2实验原理及内容(1)采样定理采样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号等时间间隔上瞬时值表示，这些值包含该信号全部信息，利用这些值可以恢复原信号。
采样定理是连续时间信号与离散时间信号的桥梁。
采样定理：对于一个具有有限频谱且最高频率为max w 的连续信号进行采样，当采样频率s w >=2max w 时，采样函数能够无失真地恢复出原信号。
(2)采样信号的频谱连续周期信号经过周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱为)]([)2()(s n s s nw w j F nw Sa T A jw F -=∑+∞-∞=ττ 它包含了原信号频谱以及重复周期为s w 的原信号频谱的搬移，且幅度按)2(ττs nw Sa T A 规律变化。
所以抽样信号的频谱便是原信号频谱的周期性拓延。
（3）采样信号的恢复将采样信号恢复成原信号，可以是用低通滤波器。
低通滤波器的截止频率c f 应当满足max max f f f f x c -≤≤。
实验中采用的低通滤波器的截止频率固定为Hz RCf 8021≈=π （4）单元构成本实验电路由脉冲采样电路和滤波器两部分构成，滤波器部分不再赘述，其中采样保持部分电路由一片CD4052完成。
此电路有两个输入端，其中IN1端输入被采样信号，Pu 端输入采样脉冲。
1.3实验步骤本实验在脉冲与恢复单元完成。
(1)信号的采样1)使波形发生器第一路输出幅值3V 、频率10Hz 的三角波信号；第二路输出幅值5V 、频率100Hz 、占空比50%的脉冲信号，将第一路信号接入IN1端；作为输入信号，第二路信号接入Pu 端，作为采样脉冲。
2)用示波器分别测量IN1端和OUT1端，观察采样前后波形的差异。
3)增加采样脉冲的频率为200、500、800等值。
信号的采样与恢复
一、实验目的和要求1、了解信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2、验证采样定理。
二、实验内容和原理实验原理Array1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号采样而得。
采样信号x s（t）可以看成连续信号x（t）和一组开关函数s（t）的乘积。
s（t）是一组周期性窄脉冲，如图2－5－1，T s称为采样周期，其倒数f s＝1/T s称采样频率。
图2－5－1 矩形采样信号对采样信号进行傅里叶分析可知，采样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的原信号频率。
平移的频率等于采样频率f s及其谐波频率2f s、3f s……。
当采样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度按sinx/x规律衰减。
采样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2、采样信号在一定条件下可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出端可以得到恢复后的原信号。
3、原信号得以恢复的条件是f s≥2f max，f s为采样频率，f max为原信号的最高频率。
当fs＜2 f max时，采样信号的频谱会发生混迭，从发生混迭后的频谱中无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的，因此即使f s＝2 f max，恢复后的信号失真还是难免的。
实验中选用f s＜2 f max、f s＝2 f max、f s＞2 f max三种采样频率对连续信号进行采样，以验证采样定理：要使信号采样后能不失真地还原，采样频率f s必须大于信号最高频率的两倍。
4、连续信号的采样和采样信号的复原原理框图如图2－5－2所示。
除选用足够高的采样频率外，常采用前置低通滤波器来防止原信号频谱过宽而造成采样后信号频谱的混迭，但这也会造成失真。
如果实验选用的信号频带较窄，则可以不设前置低通滤波器。
信号的采样与恢复
深圳大学实验报告课程名称：信号与系统实验项目名称：信号的采样与恢复学院：信息工程专业：电子信息指导教师：报告人：学号：班级：实验时间：实验报告提交时间：教务部制一、实验目的和要求1、了解信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2、验证采样定理。
二、实验内容和原理实验原理1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号采样而得。
采样信号x s （t ）可以看成连续信号x （t ）和一组开关函数s （t ）的乘积。
s （t ）是一组周期性窄脉冲，如图2－5－1，T s 称为采样周期，其倒数f s ＝1/T s 称采样频率。
图2－5－1 矩形采样信号对采样信号进行傅里叶分析可知，采样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的原信号频率。
平移的频率等于采样频率f s 及其谐波频率2f s 、3f s ……。
当采样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度按sinx/x 规律衰减。
采样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2、采样信号在一定条件下可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n 的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出端可以得到恢复后的原信号。
3、原信号得以恢复的条件是f s ≥2f max ，f s 为采样频率，f max 为原信号的最高频率。
当fs ＜2 f max 时，采样信号的频谱会发生混迭，从发生混迭后的频谱中无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的，因此即使f s ＝2 f max ，恢复后的信号失真还是难免的。
实验中选用f s ＜2 f max 、f s ＝2 f max 、f s ＞2 f max 三种采样频率对连续信号进行采样，以验证采样定理：要使信号采样后能不失真地还原，采样频率f s 必须大于信号最高频率的两倍。
4、连续信号的采样和采样信号的复原原理框图如图2－5－2所示。
信号采样公式
信号采样公式摘要：一、信号采样公式简介1.信号采样的基本概念2.信号采样公式的重要性二、信号采样公式的推导1.信号的频域表示2.采样定理3.采样公式推导三、信号采样公式的应用1.信号恢复2.数字信号处理3.实际应用案例四、信号采样公式的发展与展望1.采样技术的改进2.信号采样公式在现代通信中的应用3.未来发展趋势正文：信号采样公式是信号处理领域中一个重要的理论基础。
它阐述了在一定条件下，如何从连续时间信号中提取离散时间信号，以及如何将这些离散信号恢复成原始连续信号。
这一公式在数字信号处理、现代通信等领域具有广泛的应用。
一、信号采样公式简介信号采样是指将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。
信号采样公式描述了在采样过程中，信号的频域表示如何与采样频率相关。
采样定理指出，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，才能在数字化过程中无失真地恢复原始信号。
信号采样公式的重要性在于，它为信号采样和恢复提供了理论依据，为数字信号处理技术的发展奠定了基础。
二、信号采样公式的推导信号采样公式的推导主要依赖于信号的频域表示。
信号可以看作是一系列不同频率的正弦波之和，每个正弦波具有其特定的振幅和相位。
采样定理表明，在一定条件下，通过采样可以提取信号中的离散频率分量。
根据奈奎斯特定理，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，以确保在数字化过程中无失真地恢复原始信号。
三、信号采样公式的应用信号采样公式在信号处理领域具有广泛的应用。
在数字信号处理中，采样公式为信号的数字化提供了理论依据，使得信号可以被存储、传输和处理。
在实际应用中，信号采样公式被广泛应用于音频处理、图像处理、通信系统等领域。
例如，在数字音频处理中，采样公式帮助我们从模拟音频信号中提取离散时间信号，并在接收端将离散信号恢复成原始音频信号。
四、信号采样公式的发展与展望随着科技的不断进步，采样技术也在不断发展。
例如，近年来，人们提出了多种提高采样效率的方法，如压缩感知采样、非均匀采样等。
连续信号的采样与重构
4) 频域过采样
MATLAB 程序： freq=[0 0.45 0.5 1]; mag=[0 1 0 0]; x=fir2(99,freq,mag); [Xz,w]=freqz(x,1,512); subplot(2,1,1); plot(w/pi,abs(Xz));axis([0 1 0 1]);grid title('输入谱'); subplot(2,1,2); L=input('过采样因子='); y=zeros(1,L*length(x));
答：混迭频率是 120Hz-5000Hz。因为方波信号除了频率为 200Hz 的基波外，还含
有频率为 200Hz 的奇数倍的各次谐波，这些谐波频率的 2 倍都大于 500Hz，所以取 样后其频谱都会产生混迭现象。
2) 在时域抽样定理中，为什么要求被抽样信号必须是带限信号？如果频带是无限的， 应如何处理？
f=input('f=plot(x1,3*sin(2*pi*f*x1));
%原时域连续信号 y=3sin(2πft)
xlabel('t');ylabel('x(t)');
title('原时域连续信号 y=3*sin(2*pi*f*t)');
grid
sin1=3*sin(2*pi*f*w);
grid;
Y=fft(y,512);w=(0:255)/256*500;
subplot(2,1,2);plot(20*w,([Y(1:256)]));
%绘制频谱图
xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');
信号的采样与重建
信号的采样与重建一、 设计目的和意义通过用MATLAB 对f(t)= 5sin(2*pi*30*t)+2sin(2*pi*60*t)+0.5sin(2*pi*90*t)进行设计仿真，让我们通过试验论证理论的正确性，同时学会使用并掌握MATLAB 软件的使用，进一步熟悉掌握连续时间信号的傅立叶变换、采样定理等。
二、 设计原理通过使用软件MATLAB 对采样信号模拟仿真，进行采样、傅里叶变换通过数字图形对设计的F （T ）显示，观察其形状变化。
1、时间的傅立叶变换：X(jw)=()jwt x t e dt ∞--∞⎰; （2-1）X(t)=1/2()jwt X jw e dw π∞-∞⎰. （2-2）2、离散时间的傅立叶变换：X(jwe )=[]jw nn x n e∞-=-∞∑; （2-3）X[n]=21/2()jw jwn X e e dw ππ⎰. （2-4）3、采样定理：设x(t)是某一个带限信号，在|w|>Wm 时，X （jw ）=0。
如果Ws:>2Wm ，其中Ws=2π/T,那么x(t)就唯一地由其样本x(nT),n=0,1,2++--,···所决定。
已知这些样本值，我们能用如下 办法重建X(t)信号：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值，然后将 冲激串通过一个增益T ，截止频率大于Wm ，而小于（Ws-Wm ）的理想低通滤波器，该滤波器的 输出就是x(t)。
4、频谱的平移：0()((0))fejw t e x t X j w w −−→-。
（2-5） 三、 详细设计步骤1.建立源信号：f(t)= 5sin(2*pi*30*t)+2sin(2*pi*60*t)+0.5sin(2*pi*90*t)，对f （t ）进行采样，其结果显示如图1所示： t=-1:pi/100:1;x1=5*sin(2*pi*30*t);x2=2*sin(2*pi*60*t); x3=0.5*sin(2*pi*90*t);f=x1+x2+x3;subplot(221),plot(t,x1);subplot(222),plot(t,x2); subplot(223),plot(t,x3);subplot(224),plot(t,f);2、采样：用120Hz 的频率对f(t)进行采样，其采样图如图（2）所示；用240Hz 的频率对f(t)进行采样，其采样图如图（3）所示： fs1=120;t1=-1:1/fs1:1;f1=5*sin(2*pi*30*t1)+2*sin(2*pi*60*t1)+0.5*sin(2*pi*90*t1);figure(1);plot(t1,f1);axis([-0.1 0.1 -8 8]);hold off;fs2=240;t2=-1:1/fs2:1;f2=5*sin(2*pi*30*t2)+2*sin(2*pi*60*t2)+0.5*sin(2*pi*90*t2);figure(2);plot(t2,f2);axis([-0.1 0.1 -8 8]);hold off;3、将二个采样信号进行快速离散傅里叶变换(FFT),观察频谱图,指出是否产生频谱混迭现象. 用120Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图（4）所示；用240Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图（5）所示：f1=30;f2=60;f3=90;fs=120;N=120;W=2*pi*5;k=0:N-1;w=k*W/N;t=0:1/fs:0.1;x1=5*sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);xf1=fft(x1,N);xf1=abs(xf1);w1=120*k/Nfigure(1);plot(w1,xf1);f1=30;f2=60;f3=90;fs=240;N=240;W=2*pi*5;k=0:N-1;w=k*W/N;t=0:1/fs:0.1;x2=5*sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);xf2=fft(x2,N);xf2=abs(xf2);w2=240*k/Nfigure(2);plot(w2,xf2);4、因为用信号fs=120HZ进行采样时，fs<2f3,其采样频率太小，所以采样信号重建无法复原，其重建如图（6）所示。
信号的取样恢复
目录一、绪论 (1)二、设计基本原理 (2)(1) 信号的采样 (2)(2) 信号的重构 (4)三、课题方案设计： (6)四、设计心得体会 (11)参考文献 (12)一、绪论现代通信系统是一个十分复杂的工程系统，通信系统设计研究也是一项十分复杂的技术。
由于技术的复杂性，在现代通信技术中，越来越重视采用计算机仿真技术来进行系统分析和设计。
随着电子信息技术的发展，已经从仿真研究和设计辅助工具，发展成为今天的软件无线电技术，这就使通信系统的仿真研究具有更重要和更实用的意义。
计算机仿真技术的基础，是建立工程问题的数学模型。
只有建立了工程问题的数学模型，才能通过计算机进行仿真，达到对系统分析和检验的目的。
但由于现代通信系统和电子系统的复杂性，在许多时候直接建立数学模型是相当复杂的，也不利于工程使用。
因此，在电子系统的分析和设计中，人们一直希望有一种既能按物理概念直接建立分析和仿真模型，又能提供直观数学模型分析和仿真的工具。
SystemView就是一种比较适合这两种建模方法的现代通信系统设计、分析和仿真试验工具。
通信技术的发展日新月异，通信系统也日趋复杂，因此，在通信系统的设计研发环节中，在进行实际硬件系统试验之前，软件仿真已成为必不可少的一部分。
目前，电子设计自动化EDA(Electronic Design Automatic)技术已经成为电子设计的潮流。
为了使繁杂的电子设计过程更加便捷、高效，出现了许多针对不同层次应用的EDA软件。
美国Elanix公司推出的基于PC机Windows平台的SystemView动态系统仿真软件，是一个已开始流行的、优秀的EDA软件。
它通过方便、直观、形象的过程构建系统，提供丰富的部件资源，强大的分析功能和可视化开放的体系结构，已逐渐被电子工程师、系统开发/设计人员所认可，并作为各种通信、控制及其它系统的分析、设计和仿真平台以及通信系统综合实验平台。
二、设计基本原理抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。
实验三 信号抽样及信号重建
实验三 信号抽样及信号重建一、实验目的1、进一步理解信号的抽样及抽样定理；2、进一步掌握抽样信号的频谱分析；3、掌握和理解信号抽样以及信号重建的原理；二、实验原理及方法1、信号的抽样及抽样定理抽样（Sampling ），就是从连续时间信号中抽取一系列的信号样本，从而，得到一个离散时间序列（Discrete-time sequence ），图3-1给出了信号理想抽样的原理图：上图中，假设连续时间信号是一个带限信号（Bandlimited Signal ），其频率范围为m m ωω~-，抽样脉冲为理想单位冲激串（Unit Impulse Train ），其数学表达式为：∑∞∞--=)()(s nT t t p δ 3.1由图可见，模拟信号x(t)经抽样后，得到已抽样信号（Sampled Signal ）x s (t)，且：)()()(t p t x t x s = 3.2将p(t)的数学表达式代入上式得到：∑∞∞--=)()()(s s s nT t nT x t x δ 3.3显然，已抽样信号x s (t) 也是一个冲激串，只是这个冲激串的冲激强度被x(nT s ) 加权了。
从频域上来看，p(t) 的频谱也是冲激序列，且为：图3-1 (a) 抽样原理图，(b) 带限信号的频谱(a)(b)∑∞∞--=)()}({s s n t p F ωωδω 3.4根据傅里叶变换的频域卷积定理，时域两个信号相乘，对应的积的傅里叶变换等于这两个信号的傅里叶变换之间的卷积。
所以，已抽样信号x s (t)的傅里叶变换为：∑∞-∞=-=n sss n j X T j X ))((1)(ωωω 3.5表达式4.5告诉我们，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(j ω)，则已抽样信号x s (t) 的傅里叶变换X s (j ω)等于无穷多个加权的移位的X(j ω)之和，或者说，已抽样信号的频谱等于原连续时间信号的频谱以抽样频率ωs 为周期进行周期复制的结果。
信号的采样与恢复
摘要数字信号处理是一门理论与实践紧密结合的课程。
做大量的习题和上机实验，有助于进一步理解和巩固理论知识，还有助于提高分析和解决实际问题的能力。
过去用其他算法语言，实验程序复杂，在有限的实验课时内所做的实验内容少。
MATLAB强大的运算和图形显示功能，可使数字信号处理上机实验效率大大提高。
特别是它的频谱分析和滤波器分析与设计功能很强，使数字信号处理工作变得十分简单、直观。
本实验设计的题目是：信号的采样与恢复。
通过产生一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对采样后的频谱进行分析，实验中，原连续信号的频谱由于无法实现真正的连续，所以通过扩大采样点的数目来代替，理论上当采样点数无穷多的时候即可实现连续，基于此尽可能增加采样点数并以此来产生连续信号的频谱。
信号采样过程中，通过采样点的不同控制采样频率实现大于或小于二倍最高连续信号的频率，从而可以很好的验证采样定理。
关键词：信号采样恢复MATLAB 傅里叶变换一、设计目的与要求1、设计目的通过本课程设计，主要训练和培养学生综合应用所学过的信号及信息处理等课程的相关知识，独立完成信号仿真及信号处理的能力。
包括：查阅资料、合理性的设计、分析和解决实际问题的能力，数学仿真软件Matlab和C语言程序设计的学习和应用，培养规范化书写说明书的能力。
2、设计要求设有一信号Xa(t)=EXP-1000|t|,计算傅立叶变换，分析其频谱，并在精度为1/1000的条件下，分别取采样频率为F=5000Hz,F=1000Hz,绘出对应的采样信号的时域信号波形频谱图。
（1）实现信号时域分析和频谱分析以及滤波器等有关Matlab函数。
（2）写好总结、程序、图表、原理、结果分析。
二、设计原理框图三、设计原理本次课程设计主要涉及采样定理、傅里叶变换、信号时域分析和频谱分析的相关内容的相关知识。
1.采样定理设连续信号)(t x a 属带限信号，最高截止频率为c Ω，如果采样角频率c s Ω≥Ω2，那么让采样性信号)(t x a ∧通过一个增益为T 、截止频率为2/s Ω的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号)(t x a 。
三、时域信号抽样与重构
成绩:
日期:
st=[st1,st2];title(st)
xo=A*exp(-a.*t).*sin(b*t);
stem(t,xo,'.');line([0,max(t)],[0,0]);
exam2=max(abs(xa-xo))
end%图像3-3
其中最大重构误差：
exam2 =27.7015；exam2 =9.9436；
实验步骤
应用函数fs();for();if()；spline();
题目3-1：
一、设连续信号 ，其中A=444.128， = =50 。若分别以抽样频率 =1000Hz,400Hz,200Hz进行等间隔抽样，计算并图示三种抽样频率下的抽样信号x(n)以及幅频特性函数 ，观察 的周期以及频谱混叠程度与 的关系。
T3=1/fs3;t3=0:T3:0.1;
x3=A*exp(-a.*t3).*sin(b*t3);
X3=x3*exp(-j*[1:length(x3)]'*w);
figure(1);
subplot(2,2,1);plot(t,xa);
axis([0,max(t),min(xa),max(xa)]);title('模拟信号');
subplot(2,2,3);stem(t3,x3,'.');
line([0,max(t3)],[0,0]);axis([0,max(t3),min(x3),max(x3)]);
title('抽样序列x3(n)(fs3=200Hz)');
xlabel('n');ylabel('X3(n)');
f=fs3*k/512;
信号采样与重建课程设计
信号采样与重建课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生理解信号采样的基本概念，掌握采样定理及其在信号处理中的应用。
2. 使学生掌握信号重建的方法和原理，了解不同重建算法的特点和适用场景。
3. 引导学生了解信号采样与重建在实际工程中的应用，培养他们将理论知识与实际应用相结合的能力。
技能目标：1. 培养学生运用数学工具对信号进行采样和重建的能力，提高他们解决实际问题的操作技能。
2. 通过课程实验和案例分析，使学生掌握相关软件和硬件工具的使用，培养他们的实践操作能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对信号处理领域的兴趣，激发他们探索未知、勇于创新的科学精神。
2. 强化学生的团队合作意识，培养他们在学术研究中尊重事实、严谨治学的态度。
3. 通过课程学习，使学生认识到信号采样与重建在通信、电子等领域的广泛应用，增强他们的专业认同感。
课程性质分析：本课程属于电子信息类学科，以信号与系统为基础，重点研究信号采样与重建的理论和实践。
课程旨在使学生掌握信号处理的基本原理，提高他们解决实际问题的能力。
学生特点分析：学生处于本科阶段，已具备一定的数学基础和信号处理理论知识，但对实际工程应用尚缺乏深入了解。
因此，课程设计应注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
教学要求：1. 注重启发式教学，引导学生主动探究信号采样与重建的原理和应用。
2. 结合实际案例，提高学生的实践操作能力，培养他们解决实际问题的能力。
3. 强化团队合作，培养学生的沟通能力和团队协作精神。
二、教学内容1. 信号采样基本概念：包括连续信号与离散信号的区别，采样与量化的基本原理，采样定理及其在信号处理中的应用。
教材章节：第一章第二节2. 采样方法与采样频率：介绍等间隔采样、随机采样等不同采样方法，探讨采样频率对信号重建质量的影响。
教材章节：第一章第三节3. 信号重建算法：讲解插值、滤波等信号重建方法，分析不同算法的优缺点和适用场景。
教材章节：第二章第一节4. 信号采样与重建的应用：分析实际工程中信号采样与重建的应用案例，如数字通信、音频信号处理等。
采样定理与信号重构
采样定理与信号重构采样定理是一项重要的数字信号处理原则，它揭示了信号的采样频率要满足一定条件才能确保信号能够被准确地重构。
信号的采样是指将连续时间下的信号转化为离散时间下的信号，而信号的重构则是将离散时间下的信号恢复为连续时间下的信号。
本文将介绍采样定理的原理和应用，并探讨信号重构的相关技术。
一、采样定理的原理采样定理最早由著名的数学家奈奎斯特（Nyquist）提出，后来经过香农（Shannon）的推导和发展而得到完善。
采样定理的核心思想是：若要完全重构一个信号，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，即采样频率要大于信号的奈奎斯特频率。
这样才能确保采样后的信号不会发生混叠现象，从而保证信号能够被准确地还原。
二、采样定理的应用采样定理在现代通信系统、音频处理、图像处理等领域都有着广泛的应用。
以音频处理为例，我们常见的音乐、语音等信号都是连续时间的信号，但为了方便存储和传输，通常会对这些信号进行采样。
在采样过程中，需要根据信号的最高频率成分确定采样频率，以避免信号损失或失真。
通过遵循采样定理，可以保证采样后的信号能够重新还原，使得音频处理效果更加准确和真实。
三、信号重构技术1. 插值算法插值算法是一种常用的信号重构技术，它通过在采样点之间插入新的采样点，以获得更加精确的信号重构结果。
常见的插值算法有线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
这些算法能够基于已有的采样点推测出采样点之间未知信号的取值，以实现信号的重构。
2. 快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种高效的信号处理算法，可以将信号从时域（时间域）转换为频域。
在信号重构中，通过对离散采样信号进行傅里叶变换，可以将信号的频域表示转换为时域表示，实现信号的精确重构。
FFT算法的高效性使得信号重构过程更加快速和准确。
四、总结采样定理与信号重构是数字信号处理中的重要概念与技术。
采样定理告诉我们，只有在采样频率充分高于信号的奈奎斯特频率时，才能保证信号的准确重构。
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虽然自然界中存在离散时间信号，但是最 常见的还是连续时间信号。
采样
连续时间信号的处理分析往往经由对之采 样后的离散时间序列处理完成的。
计算机
利用离散处理后的结果往往需要在连续域 表达出来，便于接收和理解
重构
本章要解决的问题
采样后信号是否包含了连续信号的所有信息？ 如何无失真恢复原始信号？ 时域采样导致了信号频域发生了何种变化？ 采样的信号是否包含冗余信息？是否可以进行 速率的变化？ 离散处理如何用于实际连续信号的处理应用？ 如何提高信号处理的性能？
xc (nT ) (t nT )e
j ( T ) n
j t
dt
X ( j) | T X s ( j) X ( j) X s ( j) | / T
1 2k X ( j ) X c ( j j ) | / T T n T 1 ( 2k ) Xc( j ) T n T
跟踪滤波器
xn (t )
采样
xn (n)
f 0n
2n 1 B 2
f S 2B
当需要对某一个中心频率的带通信号进行采样时，就 先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率上，滤出所 感兴趣的带通信号，然后再进行采样，以防止信号混 叠，亦称之为抗混叠滤波器。 如果滤波器理想的话，采用同一采样速率就能实现对 全频域信号进行数字化，然后用软件方法进行解调分 析，这正是软件无线电的根本出发点。
( n
0
)
1 Xs() Xc() * S () 2 1 Xc() * ( n 0 ) T 1 T
Xc( n
0
)
x s ( t )傅里叶变换是由 x c ( t ) 的傅里叶 变换按整数倍的采样频率移位，然后 叠加起来得到，即周期性延拓。
A/D器件是理想C／D转 换器的工程近似。
调制器+序列的转换 xc(nT)是连续冲激串的冲激面积，它除了在整倍数T时刻 以外都为零，包含有物理时间的概念； x(n)是以整数变量n给出的，引入了时间归一化，x(n)没 有任何采样率的信息。
一个连续时间信号两种采样
采样的不确定性
采样一般是不可逆的
f s 2B
当 f 0 f H / 2，B f H 时，取n=0， f s 即为奈 氏低通采样速率。
推论：
4 f0 fs 2B 2n 1
由带通采样定理可知，若要用最低采 样速率即两倍带宽对信号进行采样， ( 2n 1) B f 其信号中心频率必须满足： 2
0
信号最高(或最低)频率是带宽整数倍。
fs/4
kfs
B
a)
fs 4 f0 f0 k * fs fs 4 4k 1
fs
fL f0 fH
-fs/4
kfs
B
fs
fL f0 fH
b)
fs 4 f0 f0 k * fs fs 4 4k 1
奈氏带通采样定理（欠采样）
当
时，若采样率满足 4 f0 fs （n=0,1,2…） 2n 1 则可以无失真的从采样信号中恢复原 始信号
xr (t ) xs (t ) hr (t ) x(n) (t nT ) hr (t )
x(n)hr (t nT )
sin( (t nT ) ) T x ( n) (t nT ) T
注：
理想重构信号在各采样点上与原连续信 号有相同的数值，并且与采样速率无关。 如果原始信号的采样没有发生频谱混叠， 则采样重构后的信号在采样点以外无失 真；若发生混叠，则采样点之间的信号 将发生失真。
奈氏带通采样定理
奈氏低通采样定理只讨论了频谱分布 在(0，f H)上的基带信号的采样问题 如果信号的频率分布在某一有限的频 带( f L，f H)上时，那么该如何对这样的 带限信号进行采样呢?
fL , fH
存在的问题
当 f H B f H f L 时，信号的最高频 率远大于带宽，如果仍然按奈氏低通 采样率进行采样，则：
采样频率很高，现实中很难实现； 后处理的速度也满足不了要求； 有用信号仅处于有限频段，资源浪费
能否采用比奈氏低通采样率更低的速 率来采样呢?
讨论：
1、当 f s 2B 时
fs
B
fL f0 fH
信号频谱必然混叠，无法恢复原始信号
2、当 f s 2B 时
fs B
fL f0 fH
1、不一定能够由采样后的信号恢复原始信号 2、实信号频谱区间是正负对称的，从而其搬移 之后的频谱亦是正负对称的，要使其频谱不发生 混叠，只能符合以下的两种情况
x(n )
序列到冲 激串转换
调制 逆过程
x r (t )
x s (t )
采样周期T
采样的第二步和重构的第一步湮灭了
理想重构
x(n) xc (nT )
xr (t )
信号的重构系统物理和数学模型
D/C
x(n)
序列到冲 激串转换
x s (t )
理想重构 滤波器 H r ( j)
x r (t )
(2 NT ) c
1、带限输入，并且满足采样定理整个系统将表现为一个 线性时不变连续时间系统 2、截止频率既依赖为wc，又与T有关。当利用固定的离 散时间低通滤波器而改变采样周期T时，就能实现具有可 变截止频率的连续时间低通滤波器
作业
4.2 4.3 4.4 4.5 4.8 4.20
任何一个中心频率为 f on (n=0，1，2，3，…),带 宽为B的带通信号均可以用同样的采样频率 f s 2B 对信号进行采样，这些采样均能准确地表示或者重 新恢复出位于不同频段(中心频率不同)的原信号。
前提：只允许在其中的一个频带上存在信号，而不允许 在不同的频带上同时存在信号。
x(t )
为保证采样不丢失信息，该做何约束？
3.1.2、采样的频域表示
xs (t ) xc (t ) s(t ) xc (nT ) (t nT )
s(t ) Fn e jn0t
0 2 / T
2 S ( ) T
1 T /2 Fn s (t )e jn 0t dt T T / 2 1 T /2 (t )e jn 0t dt 1 / T T T / 2
x r (t )
Yr(j) H r(j) Ys(j) H r(j) Y (e j ) | T
29
Yr(j) H r(j) Ys(j) H r(j) Y (e j ) | T
假设离散时间系统是LTI
Y(e ) H (e ) X (e )
Yr ( j) Hr ( j)H (e jT ) X (e jT )
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
采样和重构 连续信号的离散处理 变速率处理（抽取和内插） 连续信号离散化处理的若干问题 过采样和噪声成形技术
3.1.1 理想周期采样
s (t )
(t nT )
典型的周期采样为冲激脉冲采样，亦 称理想采样，形式如下：
Yr ( j) H r ( j) H (e
jT
j
j
j
1 2 k ) X c ( j j ) T k T
输入是带限的， 采样率满足奈奎斯特定理 在C/D中即使有混叠发生，只要H(ejw)不通 过这些混叠的分量，结论仍正确
jT H ( e ) X c ( j), / T Yr ( j) /T 0,
3.1.3 采样定理
奈氏低通采样定理 假设有一个（实）带限信号 x ( t ) ，其 正频带限制在（0，f H）内，B= f H ， 如果以不小于 f s 2 f H 的采样速率对信 号进行等间隔采样，则得到离散时间 采样信号 x ( n ) x ( n T s ) 可以不失真的完 全恢复原始信号。
带通采样把位于不同频带的信号都用位于 (0，B)上相同的基带信号来表示，但是：
奇数通带上的高频分量对应基带上的低频分量， 奇数通带上的低频分量对应基带上的高频。 偶数频带与采样后的数字基带谱是高、低频率 分量一一对应的。
3.2 离散与连续LTI系统的等效关系
由信号重构的讨论可知
X r(j) H r(j) X s(j) H r(j) X(e j ) | T
xs (t ) xc (t ) * s(t ) xc (nT ) (t nT )
x(n) xc (nT )
物理模型
C/D
x(n) xc (nT )
xc (t )
数学模型
s (t )
xs (t )
xc (t )
冲激串到时间 序列的转换
x(n) xc (nT )
204教研室 孙国梁
n
x (nT )e
c
X ( j )
n
jn x ( n ) e
北京航空航天大学
北京航空航天大学
204教研室 孙国梁
11
3.1.3 信号重构
s (t )
x c(t )
x s(t ) 冲激串到离散 x(n ) xc(nT ) 时间序列的转换