四川省眉山中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年四川省眉山中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（）A．B．﹣C．D．﹣2．若x∈（0，1），则下列结论正确的是（）A．lgx＞x＞2x B．2x＞lgx＞x C．x＞2x＞lgx D．2x＞x＞lgx3．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值为（）A．2，B．2，﹣ C．4，D．4，﹣4．下列说法中，正确的是（）A．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆是真B．“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”C．“p或q”为真，则“p”和“q”均为真D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件5．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2）C．（2，3）D．（e，+∞）6．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A．x2=4y B．x2=﹣4y C．y2=﹣12x D．x2=﹣12y7．函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）有可能是（）A．xsin（）B．xcos（）C．x2sin（）D．x2cos（）8．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．9．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a10．若函数y=cosx+ax在[﹣，]存在递减区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）11．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（0，1）D．（0，e）12．关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0，给出下列四个：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中假的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tanα=﹣2，则2sinαcosα﹣cos2α的值是______．14．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为______．15．若点P是函数f（x）=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为______．16．已知定义在R的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），下面四种说法①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）关于直线x=4对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上所有根之和为﹣8，其中正确的序号______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值，最小值．19．设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点与极值．20．已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（﹣x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若方程f（a x）﹣a x+1=5（a＞0，a≠1）在C上有解，求实数a的取值范围．21．设函数f（x）=（1+x）2﹣mln（1+x），g（x）=x2+x+a．（Ⅰ）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m=2时，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x，a∈R．（Ⅰ）当a=时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a 的取值范围．2015-2016学年四川省眉山中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部即可得出．【解答】解：复数z满足z====，则z的共轭复数为，其虚部为．故选：D2．若x∈（0，1），则下列结论正确的是（）A．lgx＞x＞2x B．2x＞lgx＞x C．x＞2x＞lgx D．2x＞x＞lgx【考点】对数值大小的比较．【分析】运用幂函数、指数函数和对数函数的单调性，先与0比较，再与1比较，即可判断．【解答】解：由于x∈（0，1），则lgx＜0，2x＞20=1，0＜＜1，则2x＞＞lgx，故选D．3．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值为（）A．2，B．2，﹣ C．4，D．4，﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象易知=﹣=，又T=，可求得ω，再由ω•+φ=π即可求得φ．【解答】解：∵=﹣=，∴T=π，又T=，ω＞0，∴ω=2；∴由ω•+φ=π，即2•+φ=π，解得φ=．故选：A．4．下列说法中，正确的是（）A．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆是真B．“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”C．“p或q”为真，则“p”和“q”均为真D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【考点】的真假判断与应用．【分析】A．原的逆是“若a＜b，则am2＜bm2”是假，由于m=0时不成立；B．利用“全称”的否定是“特称”即可判断出正误；C．由“p或q”为真，可知：“p”和“q”至少有一个为真，即可判断出正误；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即可判断出正误．【解答】解：A．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆是“若a＜b，则am2＜bm2”是假，m=0时不成立；B．“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”，正确；C．“p或q”为真，则“p”和“q”至少有一个为真，因此不正确；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，因此不正确．故选：B．5．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2）C．（2，3）D．（e，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数的解析式求得f（2）＜0，f（3）＞0，可得f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数，∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，故有f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3），故选：C．6．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A．x2=4y B．x2=﹣4y C．y2=﹣12x D．x2=﹣12y【考点】抛物线的标准方程．【分析】由题意可知双曲线的焦点为（0，3），（0，﹣3），从而所求抛物线的焦点可知，即可求解【解答】解：∵双曲线的焦点为（0，3），（0，﹣3）当所求的抛物线的焦点为（0，3）时，抛物线方程为x2=12y当所求的抛物线的焦点为（0，﹣3）时，抛物线方程为x2=﹣12y结合选项可知，选项D正确故选D7．函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）有可能是（）A．xsin（）B．xcos（）C．x2sin（）D．x2cos（）【考点】函数的图象．【分析】函数的图象关于原点对称，得出函数y=f（x）为奇函数，排除CD，当x→+∞时，→0，故cos（）→1，所以f（x）=xcos（）→+∞，图象应呈上升趋势，可得到答案．【解答】解：∵函数的图象关于原点对称，∴函数y=f（x）为奇函数，排除CD，当x→+∞时，→0，故cos（）→1，所以f（x）=xcos（）→+∞，图象应呈上升趋势，排除B，故选：A8．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．9．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性得出f（x）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），m=0，∵f（x）=2|x|﹣1=，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，∴c＜a＜b，故选：B10．若函数y=cosx+ax在[﹣，]存在递减区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得可得y′=﹣sinx+a≤0在[﹣，]上成立，由此求得a的范围．【解答】解：由函数y=cosx+ax在[﹣，]上存在递减区间，可得y′=﹣sinx+a＜0在[﹣，]上有解，即a＜sinx在[﹣，]上有解，故a＜1，故选：B．11．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（0，1）D．（0，e）【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣1，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论【解答】解：设t=lnx，则不等式f（lnx）＞3lnx+1等价为f（t）＞3t+1，设g（x）=f（x）﹣3x﹣1，则g′（x）=f′（x）﹣3，∵f（x）的导函数f′（x）＜3，∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，此时函数单调递减，∵f（1）=4，∴g（1）=f（1）﹣3﹣1=0，则当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即g（x）＜0，则此时g（x）=f（x）﹣3x﹣1＜0，即不等式f（x）＞3x+1的解为x＜1，即f（t）＞3t+1的解为t＜1，由lnx＜1，解得0＜x＜e，即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e），故选：D．12．关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0，给出下列四个：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中假的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】分段函数的应用．【分析】将方程的问题转化成函数图象的问题，画出可得．【解答】解：关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化为（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x ≥1或x≤﹣1）（1）或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（2）当k=﹣2时，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根当k=时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根当k=0时，方程（1）的解为﹣1，+1，±，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根当k=时，方程（1）的解为±，±，方程（2）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tanα=﹣2，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1．【考点】三角函数的化简求值．【分析】化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：tanα=﹣2，则2sinαcosα﹣cos2α====﹣1．故答案为：﹣1．14．设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为{﹣1， } ．【考点】分段函数的应用；函数的零点．【分析】结合指数函数和对数函数的性质，解方程即可．【解答】解：若x≤0，由f（x）=得f（x）=2x==2﹣1，解得x=﹣1．若x＞0，由f（x）=得f（x）=|log2x|=，即log2x=±，由log2x=，解得x=．由log2x=﹣，解得x==．故方程的解集为{﹣1， }．故答案为：{﹣1， }．15．若点P是函数f（x）=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．【分析】设x﹣y+m=0与函数f（x）=x2﹣lnx的图象相切于点P（x0，y0）．f′（x）=2x﹣，则=1，x0＞0，解得x0．再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：设x﹣y+m=0与函数f（x）=x2﹣lnx的图象相切于点P（x0，y0）．f′（x）=2x﹣，则=1，x0＞0，解得x0=1．∴y0=1，∴点P（1，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离为最小距离d==，故答案为：．16．已知定义在R的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），下面四种说法①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）关于直线x=4对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上所有根之和为﹣8，其中正确的序号①④．【考点】的真假判断与应用．【分析】取x=1，得f（﹣3）=﹣f（1）=1，再由函数为奇函数，可得f（3）的值，判断①；由f（x﹣4）=f（﹣x）可得f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），结合奇函数利用函数f（x）关于直线x=﹣2对称，进而根据函数图象的对称性，可分析出（4，0）点为对称中心，从而判断②；结合f（x）为奇函数且f（x），及x∈[0，2]时，函数的解析式，结合对数函数的单调性，复合函数的单调性，及奇函数在对称区间上单调性相同，函数在对称轴两侧单调性相反，可判断出函数f（x）在[﹣6，﹣2]上的单调性，进而判断③；若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．【解答】解：取x=1，得f（1﹣4）=f（﹣3）=﹣f（1）=﹣log2（1+1）=﹣1，所以f（3）=﹣f（﹣3）=1，故①正确；定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x﹣4）=f（﹣x），∴f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，由于函数对称中心原点（0，0）的对称点为（4，0），故函数f（x）也关于（4，0）点对称，故③不正确；∵x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得，x∈[﹣2，0]时，函数为单调增函数，∴x∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f（x）关于直线x=﹣2对称，∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故②不正确；若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为﹣8．故④正确故答案为：①④三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=2ac，解得a=c=．==1．∴S△ABC18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值，最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【分析】（1）化简得f（x）=1+sin2x+cos2x﹣1=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ解得增区间；（2）根据x的范围求出2x+的范围，结合正弦函数的单调性求出f（x）的最值．【解答】解：（1）f （x ）=（sinx +cosx ）2+2cos 2x ﹣2=1+sin2x +cos2x ﹣1=sin （2x +），∴f （x ）的最小正周期是=π．令﹣+2k π≤2x +≤+2k π，解得﹣+k π≤x ≤+k π，∴f （x ）的单调增区间是[﹣+k π， +k π]，k ∈Z ．（2）∵x ∈[，]，∴2x +∈[，]，∴当2x +=时，f （x ）取得最大值1，当2x +=时，f （x ）取得最小值﹣．19．设函数f （x ）=x 3﹣3ax +b （a ≠0）． （Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处与直线y=8相切，求a ，b 的值； （Ⅱ）求函数f （x ）的极值点与极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出导数，由题意可得f ′（2）=0且f （2）=8，解方程即可； （Ⅱ）求出导数，令导数为0，解出方程，再求单调区间，从而确定极值． 【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）=3x 2﹣3a ， 因为曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处与直线y=8相切， 所以f ′（2）=0且f （2）=8，即3（4﹣a ）=0且8﹣6a +b=8， 解得a=4，b=24；（Ⅱ）∵f ′（x ）=3x 2﹣3a ，（a ≠0），当a ＜0时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在R 上单调递增，此时函数f （x ）没有极值点．当a ＞0时，由f ′（x ）=0⇒x=±，当x ∈（﹣∞，﹣）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，当x ∈（﹣，）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减， 当x ∈（，+∞）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，∴此时x=﹣是f （x ）的极大值点，x=是f （x ）的极小值点，∴f （x ）极大值=f （﹣）=2a +b ，f （x ）极小值=f （）=﹣2a +b ．20．已知二次函数f （x ）=x 2+x ，若不等式f （﹣x ）+f （x ）≤2|x |的解集为C ． （1）求集合C ；（2）若方程f （a x ）﹣a x +1=5（a ＞0，a ≠1）在C 上有解，求实数a 的取值范围． 【考点】二次函数的性质． 【分析】（1）由f （x ）=x 2+x ，代入f （﹣x ）+f （x ）≤2|x |，去掉绝对值求解即可； （2）利用换元法求解关于指数函数的方程． 【解答】解：（1）f （x ）+f （﹣x ）=2x 2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x ≥0时，2x 2≤2x解得：0≤x ≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x＜0时，2x2≤﹣2x解得：﹣1≤x＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以集合C=[﹣1，1]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵f（a x）﹣a x+1﹣5=0∴（a x）2﹣（a﹣1）a x﹣5=0，令a x=u则方程为h（u）=u2﹣（a﹣1）u﹣5=0，h（0）=﹣5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＞1时，，h（u）=0在上有解，则∴a≥5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当0＜a＜1时，，g（u）=0在上有解，则∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，当或a≥5时，方程在C上有解，且有唯一解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．设函数f（x）=（1+x）2﹣mln（1+x），g（x）=x2+x+a．（Ⅰ）当a=0时，f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m=2时，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的判断．【分析】（I）当a=0时，f（x）≥g（x）即（1+x）2﹣mln（1+x）≥x2+x．由于f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，可得m≤，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（II）利用导数研究函数h（x）的单调性，进而得出关系式．【解答】解：（I）当a=0时，f（x）≥g（x）即（1+x）2﹣mln（1+x）≥x2+x．由于f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，∴m≤，令h（x）=，h′（x）=．令h′（x）＞0，解得x＞e﹣1，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得0＜x＜e﹣1，此时函数h（x）单调递减．∴当x=e﹣1时，函数h（x）取得最小值，h（e﹣1）=e．∴m≤e．∴实数m的取值范围是m≤e．（II）当m=2时，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）=1+x﹣2ln（1+x）﹣a，h′（x）=1﹣=，当x∈[0，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；当x∈（1，2]时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递增．∴当x=1时，函数h（x）取得最小值，h（1）=2﹣2ln2﹣a；又h（0）=1﹣a，h（2）=3﹣2ln3﹣a．∴h（2）＜h（0）．∵函数h（x）在[0，2]上恰有两个不同的零点，∴，解得：2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，∴实数a的取值范围是（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．22．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x，a∈R．（Ⅰ）当a=时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）将a=时代入函数f（x）解析式，求出函数f（x）的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x的取值范围与f′（x）的符号及f（x）的单调性情况表，从表就可得到函数f（x）的极值；（Ⅱ）由题意首先求得：，故应按a＜0，a=0，a＞0分类讨论：当a≤0时，易知函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，从而当b∈（0，1）时f（b）＜f（0），则不存在实数b∈（1，2），符合题意；当a＞0时，令f′（x）=0有x=0或，又要按根大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数f（x）x∈（﹣1，b]的最大值，使其最大值恰为f（b），分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，，则，化简得（x＞﹣1），∴函数（）在（﹣，），（，+）上单调递增，在（，）上单调递减，且f（0）=0，f（1）=ln2﹣，∴函数y=f（x）在x=1处取到极小值为，在x=0处取到极大值为0；（Ⅱ）由题意，（1）当a≤0时，函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，此时，不存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b）时，函数f（x）的最大值为f（b）；（2）当a＞0时，令f′（x）=0有x=0或，①当，即a＞时，函数f（x）在（）和（0，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），则f（）＜f（1），代入化简得，令（a＞），∵恒成立，故恒有，∴a时，恒成立；②当，即0＜a＜时，函数f（x）在（﹣1，0）和（）上单调递增，在（0，）上单调递减，此时由题，只需，解得a≥1﹣ln2，又1﹣ln2，∴此时实数a的取值范围是1﹣ln2≤a＜；③当a=时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，显然符合题意．综上，实数a的取值范围是[1﹣ln2，+∞）．2016年9月27日。