2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题

江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题1．已知集合{}1|0A x x =-<<，{}|B x x a =≤，若A B ⊆，则a 的取值范围为：_______.2．若幂函数()k f x x =的图像过点()4,2，则()9f =____. 3．函数()sin cos f x x x =⋅的最小正周期是_________.4．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴非负半轴，则“α的终边在第一象限”是“sin 0α>”的_________________条件.（从“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”中选填）5．已知向量a 、b 的夹角为60，2a =，1b =，则a b -=____.6．已知P(−√3,a)为角θ的终边上的一点，且sinθ=12，则实数a 的值为____. 7．曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 8．已知函数2,02()28,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()(2)f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_____. 9．平行四边形ABCD 中，已知6,5,2AB AD CP PD ===，12AP CP ⋅=-，则AB AD ⋅=________.10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()22f x x x =--，则当[]4,6x ∈时，()y f x =的最小值为_________. 11．如图，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，4BC =，1CD =，2AB AD =，AC 是BCD ∠的角平分线，则BD =_____．12．已知函数()ln ,111,122x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的最小值是_____.13．在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为：____________.二、解答题14．已知函数()2π2cos 214f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c .已知sin 3sin B C =，tan A =ABC ∆的面积为（1）求cos2A 的值；（2）求ABC ∆的周长.16．已知函数()161x f x a a+=-+(0,1)a a >≠是定义在R 上的奇函数. （1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若不等式()33x tf x ≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围.17．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，21()23C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，3()6ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万年）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）.18．设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，集合(){}|A x f x x ==． （1）若{}1,2A =，()00f >，且方程()0f x =的两根都小于-1，求实数a 的取值范围；（2）若{}2A =，求函数()f x 在区间[]22-,上的最大值M （结果用a 表示）．19．已知函数()251f x x x =-+，()xg x e =． （1）求函数()()f x yg x =的极小值； （2）设函数()()()'y f x a g x a R =+⋅∈，讨论函数在(],4-∞上的零点的个数； （3）若存在实数[]0,2t ∈，使得对任意[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求正整数m 的最大值．参考答案1．[)0,+∞【解析】【分析】根据A B ⊆,列式解得.【详解】因为{}1|0A x x =-<<，{}|B x x a =≤，且A B ⊆,所以0a ≥.故答案为:[0,)+∞.【点睛】本题考查了子集关系,属于基础题.2．3【解析】【分析】根据(4)2f =解得12k =,由此可得12()f x x =,然后可得(9)f . 【详解】因为幂函数()k f x x =的图像过点()4,2, 所以(4)2f =,即42k =,所以222k =,所以21k =,所以12k =, 所以12()f x x =, 所以12(9)9f =122(3)3==,故答案为:3.【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,属于基础题.3．π【解析】【分析】利用降幂公式化简再求最小正周期即可.【详解】1()sin cos sin 22f x x x x =⋅=,故最小正周期是22ππ=. 故答案为：π【点睛】本题主要考查了降幂公式与三角函数最小正周期,属于基础题型.4．充分不必要【解析】【分析】根据第一象限角,y 轴非负半轴上的角以及第二象限的角的正弦值都大于零可得.【详解】由α的终边在第一象限可以推出sin 0α>,由sin 0α>,可以推出α的终边在第一象限或者在y 轴非负半轴上或者在第二象限, 所以“α的终边在第一象限”是“sin 0α>”的充分不必要条件.故答案为: 充分不必要.【点睛】本题考查了充分必要条件,正弦函数的符号法则,属于中档题.5【解析】【分析】 利用2||()a b a b -=-可得.【详解】因为222()24221cos ,1a b a a b b a b -=-⋅+=-⨯⨯⨯<>+144132=-⨯+=, 所以||3a b -=.故答案为.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模,属于基础题.6．1【解析】【分析】由三角函数的定义，即可求解a 得值，得到答案.【详解】由三角函数的定义可知sinθ=√(−√3)2+a 2=12，解得a =±1， 又由sinθ>0，所以a =1.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题.7．3-【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：()y 1x x ae ax e =++' 则()f 012a =+=-'所以3a =-故答案为-3.【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．8．2【解析】【分析】根据分段函数的解析式，结合已知条件，求得参数a ；再求函数值即可.【详解】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()(2)f a f a ≠+，所以02a <<，由()(2)f a f a =+得22(2)8a a a +=-++，解得1a =， 则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2.【点睛】本题考查分段函数值得求解，以及由分段函数函数值情况求参数值，属综合基础题. 9．6【解析】【分析】以,AB AD 为基底表示,AP CP ，代入12AP CP ⋅=-，即求AB AD ⋅.【详解】平行四边形ABCD 中，2CP PD =，122,333AP AD DP AD AB CP CD AB ∴=+=+==-， 212223339AP CP AD AB AB AD AB AB ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6,5,12AB AD AP CP ==⋅=-，222126,639AD AB AD AB ∴-=--⨯∴=. 故答案为：6.【点睛】本题考查平面向量基本定理和数量积的运算，属于基础题.10．-1【解析】【分析】先根据()()2f x f x +=-推出周期为4,再根据奇函数推出[0,2]x ∈时的表达式,再根据周期性推出[4,6]x ∈时的表达式,再用二次函数求最小值,【详解】因为()()2f x f x +=-,所以(22)(2)f x f x ++=-+,所以(4)[()]()f x f x f x +=--=,即(4)()f x f x +=,所以函数()f x 是以4为周期的周期函数,设[0,2]x ∈,则[2,0]x -∈-,所以22()()2()2f x x x x x -=----=-+,因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,所以22()()(2)2f x f x x x x x =--=--+=-,所以当[4,6]x ∈时,4[0,2]x -∈,所以22()(4)(4)2(4)1024f x f x x x x x =-=---=-+2(5)1x =--,所以当5x =时,函数()f x 取得最小值1-.故答案为:1-.【点睛】本题考查了函数的周期性,奇偶性,二次函数求最小值,属于中档题.11【解析】【分析】设出AD x =，根据ACB ACD ∠=∠，利用余弦定理建立等式解出AD ACB ACD ∠=∠的值，在BCD 中利用余弦定理，解出BD 的值．【详解】设AD x =，则2AB x =,AC =又AC 是BCD ∠的角平分线，即ACB ACD ∠=∠,222cos cos 2ACAC CD ADACB ACD BC AC CD +-∠==∠=⋅x ⇒=即AD =2AC =，=60o ACB ACD ∠=∠，=120o BCD ∠BD ==【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题．12．32ln 2-【解析】【分析】根据分段函数在两段上都单调,可得1,1m n ≤>,且2ln 1m n =-,所以2ln 1n m n n -=-+,然后构造函数,利用导数求得最小值即可.【详解】因为函数()f x 在(,1]-∞上递增,在(1,)+∞上也递增,且m n <时,()()f m f n =, 所以1,1m e n ≤≥>,所以11()22f m m =+,()ln f n n =, 所以11ln 22m n +=,即2ln 1m n =-, 所以2ln 1n m n n -=-+,1e n ≥>,令()2ln 1(1)h x x x e x =-+≥>, 则22()1x h x x x-'=-=, 当(1,2)x ∈时,()0h x '<,当(2,)x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在(1,2)上递减,在(2,)+∞上递增,所以2x =时,()h x 取得最小值(2)22ln 2132ln 2h =-+=-. 即n m -的最小值是:32ln 2-.故答案为: 32ln 2-.【点睛】本题考查了构造法,利用导数求函数的最小值,属于中档题.13．2【解析】【分析】 根据积化和差公式得11sin sin cos cos()22B C A B C =+-11cos 22A ≤+,再化成辅助角的形式可解得最大值. 【详解】由积化和差公式可得,1sin sin [cos()cos()]2B C B C B C =-+--1[cos()cos()]2A B C π=----11cos cos()22A B C =+-11cos 22A ≤+,当且仅当BC =时,等号成立,sin sin A B C+11cos 22A A ≤++11)2A A =+1312(cos )332222A A =++,令cos 332ϕ==,112sin 332ϕ==,则tan ϕ==,取arctan ϕ=, 所以sin sin A B C +31(sin cos cos sin )22A A ϕϕ≤++31sin()22A ϕ=++31222≤+=,当arctan24A π=-,22A B C π==-时,等号成立.故答案为:2 【点睛】本题考查了积化和差公式,两角和的正弦的逆用公式,属于难题. 14．(1) T ＝2π4＝π.2;(2)取值范围为2⎡⎤⎣⎦. 【解析】试题分析：(1)利用和角公式化简之后即可求出周期, (2)根据x 的范围,求出4x ＋π3的范围,然后结合三角函数的图象解答. 试题解析：(1)由题意知,()f x x -cos π42x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 4x ＋sin 4x ＝2sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴函数()f x 的最小正周期T ＝2π4＝π.2(2)∵-π6≤x ≤π4, ∴-π3≤4x ＋π3≤4π3,∴-π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1,≤2sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2,∴函数()f x 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.15．（1）79（2）8 【解析】 【分析】（1）由tan A =和22sin cos 1A A +=可得sinA 和cosA ，再由二倍角公式即得cos2A ；（2）由面积公式1sin 2bc A =bc 的值，再由sin 3sin B C =和正弦定理可知b 和c 的值，用余弦定理可计算出a ，即得ABC ∆的周长． 【详解】解：（1）因为sin tan cos AA A ==sin A A =，02A π<<.因为22sin cos 1A A +=，所以sin A =，1cos 3A =，则217cos 22cos 12199A A =-=⨯-=.（2）由题意可得，ABC ∆的面积为1sin 2bc A ==，即12bc =.因为sin 3sin B C =，所以3b c =，所以6b =，2c =.由余弦定理可得a === 故ABC ∆的周长为8a b c ++=. 【点睛】本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，以及二倍角公式，属于常考题型． 16．（1）3a =；(1,1)-； （2）15[,)2+∞. 【解析】 【分析】（1）根据()00f =解得3a =，并检验3a =时，满足题意，得出函数解析式，求解值域；（2）根据函数值域，将问题转化()313331x xx t +≥-⋅-，故()max 313331x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，利用换元法求解最值即可得解. 【详解】（1）由()00f =解得3a =，反之3a =时，()16133x f x +=-+ 23113131x x x-=-=++ ()()31313131x x x x f x f x -----==-=-++，符合题意，故3a =，据此()()1301xf x f x +=>-，()()1,1f x ∈-，即值域为()1,1- （2）()2131x f x =-+在[]1,2x ∈显然是单调增函数，()14,25f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为正数， 所以()313331x xx t +≥-⋅-，故()max 313331x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，令[]31,2,8xm m -=∈，则()()3133231x xx m +-⋅=-- 24m m m m +⋅=-随m 的增大而增大，最大值为152，∴实数t 范围是15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数的取值，根据不等式恒成立求解参数的取值范围，涉及参变分离，换元法求解最值.17．（1）23142,073()15,7x x x P x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元 【解析】 【分析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分07x <<和7x ≥两种情况，得到()P x 与x 的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案. 【详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为6x 万元. 依题意得，当07x <<时，2211()6224233P x x x x x x =---=-+-， 当7x ≥时，33()6(6ln 17)215ln e e x x x x x x P x=-++--=--，23142,073()15,7x x x P x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎪--≥⎪⎩. （2）当07x <<时，21()(6)103P x x =--+， 所以当6x =时，()P x 的最大值为(6)10P =（万元），当7x ≥时，333221()15ln ()e e e xP x x P x x x x x -=--∴'=-+=， ∴当37x e ≤<时，()P x 单调递增，当3,()x e P x ≥单调递减，∴当3x e =时，()P x 取最大值33()15ln 111P e e =--=（万元），1110>，∴当320x e =≈时，()P x 取得最大值11万元，即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元. 【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.18．（1）136a <≤-（2）()max 12,0041162,4a a f x a a ⎧<<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩或.【解析】 【分析】(1)根据{}1,2A =,可得132b ac a =-⎧⎨=⎩,由二次函数的图象列式可解得;(2)根据{}2A =,可得144b ac a=-⎧⎨=⎩,再讨论二次函数的图象开口方向和对称轴可解得.【详解】（1）因为{}1,2A =，所以1和2是()210ax b x c +-+=的两根，所以由韦达定理得11212b ac a-⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得132b a c a =-⎧⎨=⎩，因为()00f >，所以20c a =>，即0a >，此时2222(1)498b ac a a a =--=-=0> ,又因为方程()0f x =的两根都小于-1，所以()2401210b ac ba f abc ⎧-≥⎪⎪-<-⎨⎪-=-+>⎪⎩，将13,2b a c a =-=代入得()()2213801321320a a a a a a a ⎧--≥⎪->⎨⎪--+>⎩，所以26101516a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪<⎨⎪⎪>⎪⎩,解得136a <≤- （2）因为{}2A =，所以()210ax b x c +-+=有两个相等的两根2，故12222bac a-⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得144b a c a =-⎧⎨=⎩，此时2222(1)41688b ac a a a =--=-= 0>, 所以()()2144f x ax a x a =+-+，对称轴为411222a x a a-==-， ①当0a <时，则1222a->，()f x 在[]22-,上单调递增，所以()()max 22f x f ==； ②当104a <<时，则1222022a -+-<=，()()max 22f x f ==； ③当14a ≥时，则1222022a -+-≥=，()()max 2162f x f a =-=-， 综上：()max12,0041162,4a a f x a a ⎧<<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩或．【点睛】本题考查了二次方程实根的分布,解一元二次不等式,分类讨论思想,二次函数在指定区间上的最值,属于中档题.19．（1）3e-；（2）分类讨论，详见解析；（3）4. 【解析】 【分析】(1)求导后,利用导数可求得极小值;(2)转化为讨论25xx a e -=-在(],4-∞上的解的个数,再利用导数可解决; (3) 转化为对任意的[]1,x m ∈，不等式()2511xx x e -+≤恒成立后,构造函数利用导数可解得, 【详解】（1）()()251xf x x x yg x e -+==，x ∈R . 则()()22261(25)(51)76'()x x x x xx x x e x x e x x y e e e -----+-+==-=-，令'0y >，得16x <<；令'0y <，得1x <或6x >（或列表求） ∴函数()()f x yg x =在(),1-∞单调减，在()1,6单调增，在()6,+∞上单调减， ∴函数()()f x y g x =在1x =处取得极小值3e-；（2）()()'250xy f x a g x x a e =+⋅=-+⋅=，∵0x e >，∴25xx a e-=-， 设()25x x h x e -=-，则()27'x x h x e -=，令()'0h x >，则72x >. ∴()25xx h x e -=-在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调减，在7,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调增，且x →-∞，()h x →+∞，min()h x =72722h e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()443h e -=-.∴当43a e ->-或722a e -=-时，()h x a =有1解，即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为1个；当74223e a e ---<≤-时，()h x a =有2解，即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为2个；当722a e -<-时，()h x a =有0解，即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为0个．（3）∵0x e >，存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，∴存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()()xt xf x g x ≤-恒成立. ∵min0t =，∴对任意的[]1,x m ∈，不等式()()10f x g x ≤-恒成立. 即对任意的[]1,x m ∈，不等式()2511xx x e -+≤恒成立． 设()()251xG x x x e =-+，[)1,x ∈+∞，∴()()()2'2551xxG x x e x x e =-+-+()()()23441xxx x e x x e =--=-+，可求得()G x 在(),1-∞-上单调增，在()1,4-上单调减，在()4,+∞上单调增，则()()251xG x x x e =-+在[)1,4上单调减，在()4,+∞上单调增，当4m ≤时，()()251xG x x x e =-+在[1,]m 上递减,所以()()max 131G x G e ==-≤恒成立；当4m >时，()()251xG x x x e =-+在[1,4]上递减,在(4,]m 上递增,所以()()(){}max max 1,G x G G m =，因为()131G e =-≤， ()4431G e =-≤，而()551G e =>；所以()2511xx x e -+≤在[1,]m 上不恒成立, ∴正整数m 的最大值为4． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的极小值,利用导数讨论函数的零点的个数,利用导数处理不等式恒成立问题,本题属于难题.。