第15题(精讲)(解析版)

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一建【建筑】精讲第15讲-建筑工程材料7

2020 一级建造师《建筑工程管理与实务》考点精讲【考点】水性防火阻燃液★12兼具有防蛀、防腐的作用。

【考点】防火堵料分类与特点★★1.防火堵料有哪些分类？各自的特点是什么？【例题·多选】关于有机防火封堵材料特点的说法，正确的有（）。

【2015】A ．不能重复使用B ．遇火时发泡膨胀C ．优异的水密性能D ．优异的气密性能E ．可塑性好【答案】BCDE【解析】有机防火堵料（可塑性），使用过程长期不硬化，可塑性好，容易封堵各种不规则形状的孔洞，能够重复使用。

遇火时发泡膨胀，具有优异的防火、水密、气密性能。

【考点】防火玻璃与防火板材★1A414033 建筑保温材料的特性与应用【考点】保温材料分类★①保温材料的分类1）按材质分：无机保温材料、有机保温材料和复合保温材料。

2）按形态分：纤维状、多孔（微孔、气泡）状、层状等。

3）按适用温度范围分：高温保温材料（700℃以上）、中温保温材料（250～700℃）、低温保温材料（低于250℃），②目前应用较为广泛保温材料1）纤维状保温材料：岩棉、矿渣棉、玻璃棉、硅酸铝棉等；2）多孔状保温材料：泡沫玻璃、玻化微珠、膨胀蛭石以及加气混凝土，泡沫塑料类（聚苯乙烯泡沫塑料、聚氨酯泡沫塑料、酚醛泡沫塑料、脲醛泡沫塑料等）；3）层状保温材料：铝箔、金属或非金属镀膜玻璃以及织物为基材制成的镀膜制品。

【考点】保温材料导热系数影响因素★★2019多）【考点清单】1.保温材料导热系数影响因素有哪些？2.保温材料导热系数各种影响因素有哪些具体影响？【例题·单选】保温功能性指标的好坏是由材料导热系数的大小决定的，其说法正确的是（）。

A．导热系数越小，保温性能越好B．导热系数越大，保温性能越好C．导热系数越小，保温性能越差D．材料密度越小，保温性能越差【答案】A【解析】导热系数越小，保温性能越好【例题·单选】影响保温材料导热系数的因素中，说法正确的是（）。

第十五章电流和电路(高频考点精讲)(解析版)2023年中考物理一轮复习专题(全国通用)

第十五章电流和电路（高频考点精讲）考点01两种电荷【高频考点精讲】1、带电：摩擦过的物体具有吸引轻小物体的性质，我们就说物体带了电。

轻小物体：碎纸屑、头发、灰尘等。

2、摩擦起电：（1）定义：用摩擦的方法使物体带电。

（2）能的转化：机械能→电能。

3、两种电荷：正电荷：用丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷。

负电荷：用毛皮摩擦过的橡胶棒所带的电荷。

4、电荷间的相互作用规律：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。

5、电荷量：（1）定义：电荷的多少叫电荷量。

（2）单位：库仑（C）6、验电器：（1）构造：金属球、金属杆、金属箔；（2）作用：检验物体是否带电；（3）原理：利用同种电荷相互排斥。

7、摩擦起电的实质：电荷的转移。

由于不同物体的原子核束缚电子的本领不同，所以摩擦起电并没有新的电荷产生，只是电子从一个物体转移到了另一个物体，失去电子的带正电，得到电子的带负电。

8、导体和绝缘体：（1）导体：①定义：容易导电的物体。

②常见材料：金属、石墨、人体、大地、酸、碱、盐水溶液③导电原因：导体中有大量的可自由移动的电荷（2）绝缘体①定义：不容易导电的物体。

②常见材料：橡胶、玻璃、陶瓷、塑料、油等。

③不易导电的原因：几乎没有自由移动的电荷。

（3）导体和绝缘体之间并没有绝对的界限，在一定条件下可相互转化。

一定条件下，绝缘体也可变为导体。

【热点题型精练】1．如图，利用静电喷漆枪给物件上漆，涂料小液滴之间相互排斥，但被物件吸引。

则（）A．物件一定带负电B．物件一定不带电C．小液滴可能不带电D．小液滴一定带同种电荷解：喷枪喷出的涂料小液滴相互排斥而散开，所以带同种电荷；涂料小液滴被喷涂的物件吸引，物件有两种可能：①与涂料小液滴带异种电荷，因异种电荷相互吸引；②不带电，带电的小液滴吸附在不带电的物件表面；综上分析，D正确，ABC错误。

答案：D。

2．如图是“静电章鱼”实验，用比塑料易失去电子的毛皮分别摩擦塑料丝和塑料管，然后把塑料丝往空中抛出后将塑料管放在下面，此时塑料丝静止在空中形状像章鱼。

初中物理考点讲练考第15讲—欧姆定律(考点精讲)(解析版)

第15讲—欧姆定律2023年中考物理一轮复习讲练测一、思维导图二、考点精讲考点1 电阻上的电流跟两端电压的关系1. 当电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比。

2. 当电压一定时，导体的电流跟导体的电阻成反比。

考点2 欧姆定律及其应用1. 欧姆定律（1）内容：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比。

（德国物理学家欧姆）（2）公式：I = UR R=UI U=IRU—电压—伏特（V）；R—电阻—欧姆（Ω）；I—电流—安培（A）（3）使用欧姆定律时需注意：R=UI 不能被理解为导体的电阻跟这段导体两端的电压成正比，跟导体中的电流成反比。

因为电阻是导体本身的一种性质，它的大小决定于导体的材料、长度、横截面积和温度，其大小跟导体的电流和电压无关。

人们只能是利用这一公式来测量计算导体的电阻而已。

拓展：对欧姆定律的理解1．U ＝IR 电压与电流成正比，电压是形成电流的原因（电阻不确定）．2．R ＝U I ⎩⎪⎨⎪⎧电阻与电压成正比电阻与电流成反比此变形式只是提供一种测量、计算电阻的方法，电阻的大小与电压和电流无关．2. 电阻的串联和并联电路规律的比较减小，则总电阻随着减小。

拓展：欧姆定律在串、并联电路中的应用 1．串联电路电阻和电压的定性关系（1）串联电路的等效电阻等于各串联电阻之和，即R ＝R1＋R2＋…＋Rn. （2）串联电路的电压：U1U2＝R1R2，U1U ＝R1R.即U ＝U1＋U2.2．并联电路电阻和电流的定性关系（1）即1R ＝1R1＋1R2＋…＋1Rn .（2）并联电路的电流：I1I2＝R2R1，I1I ＝RR1.即I ＝I1＋I2.考点3 电阻的测量1. 伏安法测量小灯泡的电阻（1）实验原理：R=UI（2）实验器材：电源、开关、导线、小灯泡、电流表、电压表、滑动变阻器。

（3）实验电路：（4）实验步骤】 ①按电路图连接实物。

②检查无误后闭合开关，使小灯泡发光，记录电压表和电流表的示数，代入公式R=UI 算出小灯泡的电阻。

新课标版数学必修二（新高考新课程）作业15高考调研精讲精练

新课标版数学必修⼆（新⾼考新课程）作业15⾼考调研精讲精练课时作业(⼗五)(第⼀次作业)1．直线a是平⾯α的斜线，过a且和α垂直的平⾯有()A．0个B．1个C．2个D．⽆数个答案 B2．给定下列四个命题①若⼀个平⾯内的两条直线与另⼀个平⾯都平⾏，则这两个平⾯相互平⾏；②若⼀个平⾯经过另⼀个平⾯的垂线，则这两个平⾯相互垂直；③垂直于同⼀直线的两条直线相互平⾏；④若两个平⾯垂直，则⼀个平⾯内与它们的交线不垂直的直线与另⼀个平⾯也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案 D3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，则下列命题中的真命题是() A．若m?β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ答案 C解析若m?β，α⊥β，则m与α的关系可能平⾏也可能相交，则A为假命题；选项B中，α与β可以平⾏也可能相交，则B为假命题；选项D中β与γ也可能平⾏或相交(不⼀定垂直)，则D为假命题．故选C.4.在如图所⽰的三棱锥中，AD⊥BC，CD⊥AD，则有()A．⾯ABC⊥⾯ADC B．⾯ABC⊥⾯ADBC．⾯ABC⊥⾯DBC D．⾯ADC⊥⾯DBC答案 D5．正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，P为CC1的中点，则平⾯PBD垂直于()A．平⾯A1BD B．平⾯D1BDC．平⾯PBC D．平⾯CBD答案 A6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对⾓线AC的中点，下列判断正确的是()A．平⾯ABD⊥平⾯ADC B．平⾯ABC⊥平⾯ABDC．平⾯ABC⊥平⾯ADC D．平⾯ABC⊥平⾯BED答案 D7．(2016·浙江)已知互相垂直的平⾯α，β交于直线l，若直线m，n满⾜m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析因为α∩β＝l，所以l?β，所以n⊥l.故选C.8.如图，正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，O为底⾯ABCD的中⼼，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A．D1O∥平⾯A1BC1B．MO⊥平⾯A1BC1C．异⾯直线BC1与AC所成的⾓等于60°D．⼆⾯⾓MACB等于90°答案 D解析对于选项A，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平⾏四边形，所以D1O∥BE，因为D1O?平⾯A1BC1，BE?平⾯A1BC1，所以D1O∥平⾯A1BC1，故正确；对于选项B，连接B1D，因为O为底⾯ABCD的中⼼，M为棱BB1的中点，所以MO∥B1D，易证B1D⊥平⾯A1BC1，所以MO⊥平⾯A1BC1，故正确；对于选项C，因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异⾯直线BC1与AC 所成的⾓，因为△A1C1B为等边三⾓形，所以∠A1C1B＝60°，故正确；对于选项D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为⼆⾯⾓MACB的平⾯⾓，显然不等于90°，故不正确．综上知，选D.9．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底⾯是正六边形，PA⊥平⾯ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________(填序号)．①PB⊥AD；②平⾯PAB⊥平⾯PAE；③BC∥平⾯PAE；④直线PD与底⾯ABC所成的⾓为45°.答案②④解析由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平⾯PAE，因为AB?平⾯PAB，所以平⾯PAB⊥平⾯PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平⾯PAE相交，③不正确；由于PA⊥平⾯ABC，所以∠PDA就是直线PD与平⾯ABC所成的⾓，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．10．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平⾯ABC；(2)平⾯A1FD⊥平⾯BB1C1C.证明(1)因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，⼜EF?⾯ABC，BC?⾯ABC，所以EF∥平⾯ABC.(2)因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以BB1⊥⾯A1B1C1，BB1⊥A1D.⼜A1D⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以A1D⊥⾯BB1C1C.⼜A1D?⾯A1FD，所以平⾯A1FD⊥平⾯BB1C1C.11.如图，四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为菱形，SD＝SB.(1)求证：平⾯SAC⊥平⾯SBD；(2)求证：平⾯SAC⊥平⾯ABCD.证明(1)连接AC，BD，使AC∩BD＝O.∵底⾯ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵SB＝SD，O为BD中点，∴SO⊥BD，⼜SO∩AC＝O，∴BD⊥平⾯SAC，⼜∵BD?平⾯SBD，∴平⾯SAC⊥平⾯SBD.(2)由(1)知BD⊥平⾯SAC，BD?平⾯ABCD，∴平⾯SAC⊥平⾯ABCD.12.如图，△ABC为正三⾓形，EC⊥平⾯ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平⾯BDM⊥平⾯ECA；(3)平⾯DEA⊥平⾯ECA.证明(1)取AC中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，∵EC⊥平⾯ABC，∴平⾯EAC⊥平⾯ABC.∴MN⊥平⾯ABC，⼜BN?平⾯ABC，∴MN⊥BN，且MN＝BD，MN∥BD，∴四边形MNBD为矩形，∴DM∥BN，∵CN＝AN，BC＝AB，∴BN⊥CA，⼜CA ∩MN ＝N ，∴BN ⊥平⾯AEC ，∴DM ⊥⾯EAC ，∴DM ⊥AE.∴DE ＝DA. (2)由(1)知，DM ⊥⾯EAC ，DM ?⾯BDM ，∴平⾯BDM ⊥平⾯ECA.(3)由(1)知，DM ⊥⾯EAC ，DM ?⾯ADE ，∴平⾯DEA ⊥平⾯ECA.13．如图所⽰，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起⾄△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平⾯A ′BE ⊥平⾯BCDE.证明如图所⽰，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC.∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E ，⼜BN ＝NE ，∴A ′N ⊥BE.∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD. 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，⼜MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平⾯A ′MN ，⼜A ′N ?平⾯A ′MN ，∴CD ⊥A ′N. ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．⼜A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平⾯BCDE. ⼜A ′N ?平⾯A′BE ，∴平⾯A ′BE ⊥平⾯BCDE.课时作业(⼗五)(第⼆次作业)1．(2015·浙江)设α，β是两个不同的平⾯，l ，m 是两条不同的直线，且l ?α，m ?β.( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m答案 A解析⾯⾯垂直的证明主要是找线⾯垂直，此题在选项中直接给出两个条件，便于考⽣根据判定定理进⾏直接选择，相对较为基础．如果采⽤排除法，思维量会增加．2．在正四⾯体P-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下⾯四个结论不成⽴的是( )A ．BC ∥平⾯PDFB ．DF ⊥平⾯PAEC ．平⾯PDF ⊥平⾯ABCD ．平⾯PAE ⊥平⾯ABC答案 C解析∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，∴DF ∥BC.∴BC ∥平⾯PDF.故A 正确．连接AE ，PE ，则AE ⊥BC.PE ⊥BC ，∴BC ⊥平⾯PAE.∴DF ⊥平⾯PAE.故B 正确．⼜∵BC ?平⾯ABC ，∴平⾯PAE ⊥平⾯ABC.故D 正确．∴选C.3．把正⽅形ABCD 沿对⾓线BD 折成直⼆⾯⾓，则△ABC 是( ) A ．正三⾓形 B ．直⾓三⾓形 C ．锐⾓三⾓形 D ．钝⾓三⾓形答案 A4．在正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截⾯A 1BD 与底⾯ABCD 所成⼆⾯⾓A 1-BD-A 的正切值为( ) A.32B.22C. 2D. 3答案 C解析如图所⽰，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点，∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD.⼜∵在正⽅形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴∠A 1OA 为⼆⾯⾓A 1-BD-A 的平⾯⾓．设AA 1＝1，则AO ＝22，∴tan ∠A 1OA ＝AA 1AO ＝122＝ 2.故选C. 5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平⾯ABCD ，底⾯ABCD 是矩形，则图中互相垂直的平⾯有( )A．2对B．3对C．4对D．5对答案 D解析∵PA⊥平⾯ABCD，∴平⾯PAB⊥平⾯ABCD，平⾯PAD⊥平⾯ABCD.∵AB⊥AD，PA⊥AB，∴AB⊥平⾯PAD，∴平⾯PAB⊥平⾯PAD.同理，平⾯PCD⊥平⾯PAD，平⾯PAB⊥平⾯PBC.共有5对平⾯互相垂直．故选D.6．若⼀个⼆⾯⾓的两个半平⾯分别垂直于另⼀个⼆⾯⾓的两个半平⾯，那么这两个⼆⾯⾓()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系⽆法确定答案 D解析如图所⽰，平⾯EFDG⊥平⾯ABC，当平⾯HDG绕DG转动时，平⾯HDG始终与平⾯BCD垂直，所以两个⼆⾯⾓的⼤⼩关系不确定，因为⼆⾯⾓H-DG-F的⼤⼩不确定．故选D.7．四边形ABCD是正⽅形，以BD为棱把它折成直⼆⾯⾓A-BD-C，E为CD的中点，则∠AED的⼤⼩为()A．45°B．30°C．60°D．90°答案 D解析设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥⾯BCD.∵E，F分别为CD，BD的中点，∴EF∥BC，⼜∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，⼜AF⊥CD，∴CD⊥平⾯AEF，⼜AE?平⾯AEF，∴CD⊥AE.故选D.8.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平⾯ABC，∠BAC＝90°，则⼆⾯⾓B-PA-C的⼤⼩为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 D解析∵PA⊥平⾯ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，∴∠BAC为⼆⾯⾓BPAC的平⾯⾓．∵∠BAC＝90°，∴⼆⾯⾓的⼤⼩为90°.9.如图，在四棱锥V-ABCD中，底⾯ABCD是这长为2的正⽅形，其他四个侧⾯都是侧棱长为5的等腰三⾓形，则⼆⾯⾓V-AB-C 的度数是________．答案60°解析如图，取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为⼆⾯⾓V ABC的平⾯⾓．易知△VEF为正三⾓形，所以∠VEF＝60°.10．如图所⽰，在长⽅体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若⼆⾯⾓C1-EF-C等于45°，则BF＝________．答案 1解析∵AB⊥平⾯BC1，C1F?平⾯BC1，CF?平⾯BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，⼜EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是⼆⾯⾓C1EFC的平⾯⾓，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直⾓三⾓形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.⼜BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.11．如图，四边形ABCD是平⾏四边形，直线SC⊥平⾯ABCD，E是SA的中点，求证：平⾯EDB⊥平⾯ABCD.证明连接AC交BD于点F，连接EF.∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平⾯ABCD，∴EF⊥平⾯ABCD.⼜EF?平⾯BDE，∴平⾯BDE⊥平⾯ABCD.12.如图，四棱锥P-ABCD的底⾯是边长为a的正⽅形，PB⊥平⾯ABCD.(1)求证：平⾯PAD⊥平⾯PAB；(2)若平⾯PDA与平⾯ABCD成60°的⼆⾯⾓，求该四棱锥的体积．解析(1)证明：∵PB⊥平⾯ABCD，AD?平⾯ABCD，∴PB⊥AD.⼜∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平⾯PAB.⼜∵AD?平⾯PAD，∴平⾯PAD⊥平⾯PAB.(2)由(1)的证明知，∠PAB为平⾯PDA与平⾯ABCD所成的⼆⾯⾓的平⾯⾓，即∠PAB＝60°，∴PB＝3a.∴V P-ABCD＝13·a2·3a＝3a33.13．如图所⽰，四棱锥P-ABCD的底⾯ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底⾯ABCD，PA＝ 3.(1)求证：平⾯PBE⊥平⾯PAB；(2)求⼆⾯⾓A-BE-P的⼤⼩．解析(1)证明：如图所⽰，连接BD.由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三⾓形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，⼜AB∥CD，所以BE⊥AB，⼜因为PA⊥平⾯ABCD，BE?平⾯ABCD，所以PA⊥BE，⽽PA∩AB＝A，因此BE⊥平⾯PAB.⼜BE ?平⾯PBE，所以平⾯PBE⊥平⾯PAB.(2)由(1)知，BE⊥平⾯PAB，PB?平⾯PAB，所以PB⊥BE.⼜AB⊥BE，所以∠PBA是⼆⾯⾓A-BE-P的平⾯⾓．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，∠PBA＝60°.故⼆⾯⾓A-BE-P 的⼤⼩为60°.1.如图，⼆⾯⾓αlβ的⼤⼩是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的⾓为30°，则AB与平⾯β所成的⾓的正弦值是________．答案3 4解析如图所⽰，过点A作平⾯β的垂线，垂⾜为C，在β内过C作l的垂线，垂⾜为D，连接AD，由线⾯垂直判定定理可知l⊥平⾯ACD，则l⊥AD，故∠ADC为⼆⾯⾓α-l-β的平⾯⾓，即∠ADC＝60°.⼜∠ABD＝30°，连接CB，则∠ABC为AB与平⾯β所成的⾓，设AD＝2，则AC＝3，CD＝1，AB＝ADsin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34.2．(2017·辽宁省育才学校阶段测试)如图，在⼏何体ABDCE 中，AB ＝AD ，M 是BD 的中点，AE ⊥平⾯ABD ，MC ∥AE，AE ＝MC.(1)求证：平⾯BCD ⊥平⾯CDE ；(2)若N 为线段DE 的中点，求证：平⾯AMN ∥平⾯BEC. 证明 (1)∵AB ＝AD ，M 为线段BD 的中点，∴AM ⊥BD.∵AE ⊥平⾯ABD ，MC ∥AE ，∴MC ⊥平⾯ABD. ∴MC ⊥AM.⼜MC ∩BD ＝M ，∴AM ⊥平⾯CBD.⼜MC ∥AE ，MC ＝AE ，∴四边形AMCE 为平⾏四边形，∴EC ∥AM ，∴EC ⊥平⾯CBD ，⼜EC ?平⾯CDE ，∴平⾯BCD ⊥平⾯CDE.(2)∵M 为BD 中点，N 为ED 中点，∴MN ∥BE. 由(1)知EC ∥AM 且AM ∩MN ＝M ，BE ∩EC ＝E ，∴平⾯AMN ∥平⾯BEC.3.在如图所⽰的⼏何体中，四边形ABCD 是正⽅形，MA ⊥平⾯ABCD ，PD ∥MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA. (1)求证：平⾯EFG ⊥平⾯PDC ；(2)求三棱锥P-MAB 与四棱锥P-ABCD 的体积之⽐．解析 (1)证明：因为MA ⊥平⾯ABCD ，PD ∥MA. 所以PD ⊥平⾯ABCD.⼜BC ?平⾯ABCD ，所以PD ⊥BC. 因为四边形ABCD 为正⽅形，所以BC ⊥DC.⼜PD∩DC＝D，所以BC⊥平⾯PDC.在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平⾯PDC.⼜GF?平⾯EFG，所以平⾯EFG⊥平⾯PDC.(2)因为PD⊥平⾯ABCD，四边形ABCD为正⽅形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，所以V P-ABCD＝13S正⽅形ABCD ·PD＝83.由题意易知DA⊥平⾯MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平⾯MAB的距离，所以V P-MAB＝13×12×1×2×2＝23.所以V P-MAB∶V P-ABCD＝1∶4.。

高考地理(精讲精练精析)专题15地理信息技术的应用试题(含解析)

专题15 地理信息技术的应用【聚焦考点突破核心】一、遥感技术的应用1.目前遥感技术在资源普查、环境和灾害监测等方面运用广泛，具体应用分析如下：应用领域具体内容备注资源普查矿产资源蕴藏矿产的地方有许多是地质断裂或环形构造带，较容易借助遥感技术“发现”矿产人们只需要分析遥感图像就可以划定蕴藏矿产的大致区域生物资源通过遥感图像解译，用图像处理技术，提取植被的分布、类型、结构、健康状况、产量等数据为农业、林业、城市绿化、环境保护等部门服务环境、灾害监测环境监测荒漠化、土壤盐渍化、海上冰山漂流、海洋生态、全球气候变化及其影响、植被变化、水体污染、大气污染等有利于人们了解环境变化，使环境得到保护和改善灾害监测旱情、洪灾、滑坡、泥石流、地震、农林病虫害、森林火灾等有利于防灾减灾2.遥感技术的应用(1)资源调查；(2)环境监测；(3)自然灾害防御、监测；(4)农业方面(见下图)。

二、全球定位系统的应用 1．全球定位系统的应用依据全球定位系统所具有的特征，其广泛应用于以下领域：2.任何时间、任何地点都能观测到4颗以上的卫星，并不意味着卫星定位必须使用4颗以上的卫星。

根据3颗卫星提供的材料，运用数学原理就可以计算出地面静止物体的位置。

有4颗卫星提供材料，除可进一步提高定位的精确度外，还可以迅速计算出运动物体的空间位置。

因此，使用3颗卫星就可以粗略定位了。

三、地理信息系统的应用1.在区域地理环境研究中的应用2.在城市管理中的应用应用主要功能城市信息管理与服务主要向城市居民提供日常工作与生活所需的各种信息城市规划进行城市与区域多目标的开发和规划城市道路交通管理显示有关道路的路况、交通流量、沿线环境等空间和属性信息城市抗灾减灾实时跟踪灾害发生、发展过程，对灾害进行快速分析、评价和模拟，辅助开展灾后的应急和恢复工作城市环境管理环境规划与决策、监测、评价、预测与模拟四、“3S”技术的区别和联系1.“3S”技术的区别项目遥感(RS) 全球定位系统(GPS) 地理信息系统(GIS) 功能获取信息定位、导航对获取的信息进行综合分析、加工、模拟特点探测范围大、速度快、限制小、信息量大等全天候、连续性、实时性图形化、可视化、更新快、内容更丰富灵活等应用资源普查、灾害监测、环境监测、工程建设及规划、军事侦察、海上交通、海上渔业等广泛应用于军事、航空、航海等高科技领域，并拓展到交通、探险等领域广泛应用于测绘、资源管理、环境保护、灾害监测、城乡规划、市场分析等领域，其中城市管理是应用最早的领域之一举例资源调查，环境监测，自然灾害防御、监测，农业土地资源及利用现状调查，农作物长势监测在野外调查时确定考察点的地理位置和高程，为飞机、轮船和汽车导航对区域内各种条件进行精确分析、评价，对环境和自然灾害进行动态监测和评估预测2.“3S”技术的联系3．RS 和GIS 在自然灾害监测中的作用项目在自然灾害监测中的作用RS①监测灾害性天气，如台风、暴雨、沙尘暴等 ②监测突发性灾害，如森林火灾、赤潮等③监测人难以到达区域的灾害④监测灾害发生的规模、速度以及是否复发GIS①对自然灾害进行预报预警、动态监测、成因与规律分析、损失调查、灾情评估等②为制定减灾预案和指导灾后重建工作提供依据RS 和GIS 结合 ①灾前：圈定危险区，对危险程度作出评价，指导防灾活动②灾中：实况监测并指导抗灾活动③灾后：评价损失，指导救灾活动五、“点、想、看”三字诀判别“3S”1.“点”与“面”判断GPS,GPS 的主要功能是定位和导航。

小学五年级奥数讲义之精讲精练第15讲长方体和正方体(三)含答案

第15讲长方体和正方体(三)一、知识要点解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。

二、精讲精练【例题1】一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少平方厘米？练习1：1.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？2.有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少平方米？【例题2】有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？练习2：1.把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？2.有一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？【例题3】有一个正方体，棱长是3分米。

如果按下图把它切成棱长是1分米的小正方体，这些小正方体的表面积的和是多少？练习3：1.用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？如果要摆一个棱长是6厘米的正方体，需要多少个小正方体？2.有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体，一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多少？【例题4】一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：（1）三个面涂有红色的有几个？（2）二个面涂有红色的有几个？（3）一个面涂有红色的有几个？（4）六个面都没有涂色的有几个？1.把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘米的小正方体，这些小正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？2.把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共有24个，那么，这些小正方体一共有多少个？【例题5】一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？1.有三块完全一样的长方体木块，每块长8厘米、宽5厘米、高3厘米。

公务员面试综合分析15题精讲解析

综合分析精选15题参考答案一、在公交车站，有一位大爷常年免费提供板凳让乘客乘坐候车，被人们称作最美板凳大爷，你怎么看？1．考点解析：湖北武汉江夏区武昌大道二道口公交车站是个简易车站，无棚无座，一年多来，附近副食店老板熊国平师傅坚持每天摆出十几只小凳供等车乘客歇脚，撑两把大伞供人遮阳。

熊师傅的举动感动了乘客，被网友称赞为“最美板凳大爷”。

这是一个温馨的人间故事，表现了老人助人为乐的优良品质，同时也暴露了一些公共管理和公共服务的不足，该题考查的重点是考生能否用辩证的思维分析最美板凳大爷这个社会现象，看到其中的正反两面。

2．易踩雷区：（1）看问题不够全面，看不到最美板凳大爷这个现象背后隐藏的公共管理和公共服务的问题；（2）态度偏激，对题目暴露的公共管理缺陷持情绪化较强的批判态度，不能理性的分析问题；（3）针对公共管理存在的问题未能提出建设性改善措施，作答泛泛而谈，空表态，答题内容空洞。

3．参考答案：第一，最美板凳大爷演绎了温馨的人间故事。

他做出的义举，不过是出于出手相助、与人方便的善意本能，既无博人眼球、一鸣惊人的功利之心，更谈不上人们习惯性认知的“高大上”壮举。

也正是这些看似寻常无奇的些小细节，彰显出植根于国人心底深处的那份怜悯善意，并由此支撑起了人们希冀建构的社会文明与生活温馨。

正所谓“社会需要热心肠”，“只要人人都献出一份爱，世界将变成美好的人间”。

“最美板凳大爷”的可贵之处，就在于他善于发现日常生活中人们常常熟视无睹的生活缺憾，并给予贴心贴肺和顺情入理的人性关怀。

第二，纵观“最美板凳大爷”称谓的背后，隐藏着的是某些不尽如人意的生活短板。

善于发现并填充制度漏洞和补齐生活短板，就是奉献社会和关注民生的爱心善举。

最美板凳大爷的义举纾解了来往乘客站着候车的出行不便，在老人获赠“最美板凳大爷”美誉的同时，公交管理部门应该反思一下自己的民本意识和服务缺位。

为候车乘客提供遮风挡雨、驻足歇脚的人性化服务，原本应该是公交服务的应有之义。

上海市六年级(上)数学同步讲义第15讲比例的应用培优(解析版)

比例的应用是对比例的意义和性质的应用拓展，重点在于灵活的根据题意寻找比例关系，然后利用比例的意义和基本性质进行解题．其中，方程的思想尤为重要．比例的应用题实际上是分数应用题的另一种表达方式，而且熟练掌握比例的应用对于之后学习百分比的应用也有一定的帮助作用．1.根据比例的意义和性质解题根据::a b c d=，若已知其中三个量，则可以求解第四个量的值．如：bcda=．简单的比例问题，解题过程中，首先根据比例的意义寻找两个比值相等的比，组成比例，然后利用比例的性质，求解未知量．2.比例尺内容分析知识结构模块一：根据比例的意义和性质知识精讲比例的应用比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．即：比例尺= 图上距离: 实际距离．【例1】上海到北京的实际距离大约等于1100千米，在一幅地图上量得两地的距离为5.5厘米，则这幅地图的比例尺为____________．【答案】1:20000000．【解析】1100千米=110000000厘米，∴比例尺为5.5:1100000001:20000000=．【总结】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．【例2】某机床厂制造一批机床，3天生产了21台，结果再生产12天就完成了任务，则这批机床共有多少台？【答案】105台．【解析】设这批机床共有x 台，则213123x =+，解得105x =．答：这批机床共有105台．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例3】某工厂有一批煤，原计划每天烧12吨，可以烧50天，采取了节能措施后，每天比原计划节约15，问这批煤可以烧多少天？【答案】62.5天．【解析】节约后每天用煤14812155⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭（吨），设这批煤可以烧x 天，则 4812505x ⨯=，解得62.5x =．答：这批煤可以烧62.5天．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例4】飞机每小时飞行480千米，汽车每小时行驶90千米，飞机飞行142小时的路程，汽车例题解析要行驶多少小时？试说明在路程相等的情况下，速度之比与时间之比的关系．【答案】24小时，在路程相等的情况下，速度之比与时间之比成反比．【解析】设汽车要行驶x 小时，则14804902x ⨯=，解得24x =． :480:9016:3V V ==飞机汽车，1:4:243:162t t ==飞机汽车， ∴::V V t t =飞机汽车汽车飞机【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【例5】已知ABC ∆的三边之比为2 : 3 : 4，则相应三边上的高之比为____________．【答案】6:4:3．【解析】∵三边之比为2 : 3 : 4，∴设三边长分别为2x 、3x 、4x ，三边上的高分别为a 、b 、c ，由题意得：111234222x a x b x c ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，化简得234a b c ==， ∴::6:4:3a b c =．【总结】本题主要考查了三角形的面积公式及设k 法的使用，关键是根据三角形的面积的公式计算．【例6】用6只鸡可以换5只鸭，用4只鸭可以换3只鹅，那么40只鸡可以换多少只鹅？【答案】25只．【解析】令鸡、鸭、鹅分别用a 、b 、c 表示，则由题意可知：:6:5a b =，:4:3b c =，∵:6:524:20a b ==，:4:320:15b c ==，∴::24:20:15a b c =，设40只鸡可以换x 只鹅，则40:24:15x =，解得25x =，答：40只鸡可以换25只鹅．【总结】本题考查了简单的等量代换问题，会运用连比的性质．【例7】甲、乙两个服装厂，日生产西服的数量比是5 : 4，两个厂生产的西服单价的比是12 : 7，那么这两个厂的日产值的比是多少？【答案】15:7．【解析】两个厂的日产值的比是()()512:4715:7⨯⨯=．【总结】本题考查了比的应用，解决本题的关键是利用总价、数量和单价的关系求出产值的比．【例8】甲、乙两个仓库原有钢材的重量之比为4 : 3，若从甲仓库拉走8吨钢材，那么甲、乙两个仓库的钢材的重量之比为2 : 3，求甲仓库原有钢材多少吨？【答案】16吨．【解析】设甲仓库原有钢材4x 吨、乙仓库原有钢材3x 吨．由题意得：48233x x -=，解得4x =，44416x =⨯=（吨） ∴甲仓库原有钢材16吨．【总结】本题考查了比的应用．【例9】某工厂共有86个工人，已知每个工人每天加工甲种零件15个或乙种零件12个，或丙种零件9个，而3个甲种零件，2个乙种零件，1个丙种零件恰好配成一套，问如何安排工人工作才可使加工好的零件配套？【难度】★★★【答案】加工甲零件36人、加工乙零件30人、加工丙零件20人．【解析】设加工甲零件x 人、加工乙零件y 人、加工丙零件z 人，15:12:93:2:1x y z =，可得::18:15:10x y z =，又∵86x y z ++=，解得36x =，30y =，20z =，∴加工甲零件36人、加工乙零件30人、加工丙零件20人．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．【例10】有三个梯形甲、乙、丙，它们的高之比依次是1 : 2 : 3，上底之比依次是6 : 9 : 4，下底之比依次是12 : 15 : 10．已知梯形甲的面积是30平方厘米，那么乙、丙两个梯形的面积之和是多少平方厘米？【难度】★★★【答案】150平方厘米．【解析】由题意得甲、乙、丙三个梯形的面积比为 ()()()1116121:9152:41033:8:7222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∵梯形甲的面积是30平方厘米，∴乙的面积是80平方厘米，丙的面积是70平方厘米，∴乙、丙两个梯形的面积之和是150平方厘米．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，此题的解答首先把3个梯形的高、上底、下底的比转化为梯形的面积比．【例11】一列快车的长是150米，一列慢车的长是200米，两车分别在两条平行的轨道上相向而行，若坐在慢车上的人看见快车驶过窗的时间是6秒，那么坐在快车上的人看见慢车驶过窗需要多少秒？【难度】★★★【答案】8秒．【解析】设坐在快车上的人看见慢车驶过窗需要x 秒．由题意得：1502006x =，解得8x =．答：坐在快车上的人看见慢车驶过窗需要8秒．【总结】坐在慢车上的人看见快车驶过窗的路程为快车的长度，速度为甲乙两车的速度和；坐在快车上的人看见慢车驶过窗的路程为慢车的长度，速度为甲乙两车的速度和．1.已知两个量的数量比与数量和两个量A 、B ，数量之比为a : b ，数量之和为x ，则A 的数量为ax a b +，B 的数量为bx a b +． 2.已知两个量的数量比与数量差两个量A 、B ，数量之比为a : b （a b >），数量之差为x ，则A 的数量为ax a b -，B 的数量为bx a b -． 3.设k 法若A : B = a : b ，可设A = ak ，B = bk ，其中0k ≠，那么：()A B ak bk a b k +=+=+，()A B ak bk a b k -=-=-．【例12】三个数的平均数为120，这三个数的比是3 : 5 : 7，它们分别是______、______、______．【答案】72、120、168．【解析】由题意知三个数的和为1203360⨯=，336072357⨯=++，5360120357⨯=++，7360168357⨯=++， ∴这三个数分别是72、120、168．模块二：和差关系与比例分配知识精讲例题解析【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【例13】一个长方形的长和宽之比为5 : 3，周长为24，则这个长方形长是_____，宽是______，的面积为______．【答案】152，92，1354．【解析】长方形的长是：524155322⨯=+，长方形的宽是：32495322⨯=+， ∴面积为159135224⨯=．【总结】本题考查了按比例分配应用题，关键是灵活利用长方形的周长公式．【例14】已知::1:3:4a b c =，且10a c +=，求a b c ++．【答案】16．【解析】设a k =，3b k =，4c k =，代入10a c +=得410k k +=，解得2k =，所以3488216a b c k k k k ++=++==⨯=．【总结】本题考查了比例的性质，解题的关键是注意比例的性质及设k 法的运用，设k 法，若::A B a b =，可设A ak =，B bk =，其中0k ≠，那么：()A B ak bk a b k +=+=+，()A B ak bk a b k -=-=-．【例15】甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的14等于乙班种的棵数的15，且乙班比甲班多种树24棵，甲、乙两个班级各种树多少棵？【答案】甲班种树96棵，乙班种树120棵．【解析】甲班与乙班所种棵数比是：11:4:554=，甲班的棵数：4249654⨯=-（棵），乙班的棵数：52412054⨯=-（棵），答：甲班种树96棵，乙班种树120棵．【总结】本题考查了按比例分配应用题，关键是根据已知条件求出甲乙两班所种棵数比．【例16】一项工程，甲、乙两队合做20天完成，已知甲、乙两队每天完成的工作量的比是4 : 5，问甲、乙两队单独完成这项工程各需几天？【答案】甲单独完成这项工程需45天，乙单独完成这项工程需36天．【解析】甲、乙两队合做20天完成，可知甲、乙两队的工作效率和为120， 14411452054180⎛⎫÷⨯=÷= ⎪+⎝⎭（天），15511362054180⎛⎫÷⨯=÷= ⎪+⎝⎭（天）．答：甲单独完成这项工程需45天，乙单独完成这项工程需36天．【总结】本题考查了工程问题，根据工作效率、工作时间和工作量三者之间的关系是完成本题的关键．【例17】一个长方形的长与宽之比为15 : 7，现截取一个边长与原矩形的宽相等的正方形，剩下的新的长方形的周长为30厘米，求原长方形的长与宽各是多少厘米？【难度】★★★【答案】长15厘米，宽7厘米．【解析】设原长方形的长为15k 厘米，宽为7k 厘米，则新长方形的长为1578k k k -=，∴()28730k k +=，解得1k =，∴原来长方形的长为15厘米，宽为7厘米．答：原长方形的长15厘米，宽7厘米．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，关键是灵活利用长方形的周长公式．【例18】有理数a 、b 、c 满足a : b : c = 2 : 3 : 5，且222a b c abc ++=，求a b c ++的值．【难度】★★★ 【答案】383．【解析】设2a k =，3b k =，5c k =，代入222a b c abc ++=得2223492530k k k k ++=，解得1915k =，所以19382351010153a b c k k k k ++=++==⨯=．【总结】本题考查了比例的性质，解题的关键是注意比例的性质及设k 法的运用．【例19】古时，某河边有一渡口，车、马、人过河分别要交3文、2文、1文的渡河费，某天过河的车和马的数目比为2 : 9，马和人的数目比为3 : 7，共收得渡河费945文．问这天渡河的车、马、人的数目各多少？【难度】★★★【答案】车42辆，马189匹，人441人．【解析】车和马的数目比为2 : 9，马和人的数目比为3 : 7，则车、马、人的数目比为2:9:21，设车有2k，则马有9k，人有21k，3229121945k k k⋅+⋅+⋅=，解得21k=，车：22142⨯=（辆），马：921189⨯=（匹），人：2121411⨯=（人）答：这天渡河的车42辆，马189匹，人441人．【总结】本题考查了比的应用，解答本题的关键是求出三者之间总价的连比，再按照按比分配解答．【习题1】一个长方形的长和宽之比为7 : 4，周长为66，则这个长方形的面积为______．【答案】252．【解析】长方形的长是：76621472⨯=+，长方形的宽是：46612472⨯=+，∴面积为2112252⨯=．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，关键是灵活利用长方形的周长公式．【习题2】在比例尺为1 : 2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为3.6厘米，如果汽车以每小时60千米的速度从甲地到乙地，多少小时可以到达？【答案】1.2小时．【解析】设图上3.6厘米表示实际距离x厘米，则1:2000000 3.6:x=，解得7200000x=，7200000厘米=72千米，7260 1.2÷=（小时）随堂检测答：从甲地到乙地，1.2小时可以到达．【总结】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．【习题3】师徒两人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟，完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【答案】100个．【解析】∵师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟，∴师徒完成的数量比为15:95:3=，师傅加工零件：540025053⨯=+（个），徒弟加工零件：340015053⨯=+（个）， 250150100-=（个）．答：师傅比徒弟多加工100个零件．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题，做题的关键是找出题中的比例关系，再列比例式进行解答．【习题4】甲、乙两仓库共有存粮4200吨，当甲仓库运入存粮750吨，乙仓库运出存粮450吨，甲、乙两仓库存粮的吨数比是8 : 7，求甲、乙两仓库原来各有存粮多少吨？【答案】甲仓库原来存量1650吨，乙仓库原来存量2550吨．【解析】设甲甲仓库原来存量x 吨，乙仓库原来存量()4200x -吨，则由题意得750842004507x x +=--，解得1650x =， 4200420016502550x -=-=（吨）答：甲仓库原来存量1650吨，乙仓库原来存量2550吨．【总结】本题考查了比的应用．【习题5】 “果珍鲜”水果大卖场采购进一批新疆阿克苏和山东红富士两种苹果，新疆阿克苏和山东红富士的单价比是5 : 3，且重量比是5 : 11，这两种苹果共花去2320元，问哪种苹果花的钱多？多多少？【答案】山东红富士花的钱多，多320元．【解析】两种苹果花的钱数比是()()55:31125:33⨯⨯=，3325232023201320100032025332533⨯-⨯=-=++（元）．答：山东红富士花的钱多，多320元．【总结】本题考查了比的应用，解决本题的关键是利用总价、数量和单价的关系求出总价的比．【习题6】若正整数a 、b 满足111182a b -=，且:7:13a b =，求a + b 的值．【难度】★★★【答案】240．【解析】设7a k =，13b k =，代入111182a b -=得111713182k k -=，解得12k =，所以713202012240a b k k k +=+==⨯=．【总结】本题考查了比例的性质，解题的关键是注意比例的性质及设k 法的运用．【习题7】在抗洪救灾捐款活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐的和与乙、丙所捐的和之比是10 : 7，则甲、乙、丙各捐了多少元？【难度】★★★【答案】甲捐了38元，乙捐了22元，丙捐了20元．【解析】设丙捐了x 元，则甲捐了()18x +元，乙捐了()622x -元，则由题意得186********x x x x ++-=-+，解得20x =，1838x +=，62222x -=，答：甲捐了38元，乙捐了22元，丙捐了20元．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业1】 “光明”灯具厂计划上半年生产LED 灯8600只，实际前4个月就生产了6400只，照这样的计算上半年实际生产超过原计划多少只？【答案】1000只．【解析】设上半年实际生产x 只，则由题意得466400x=，解得9600x =， 960086001000-=（只）课后作业答：上半年实际生产超过原计划1000只．【总结】本题利用正、反比例的概念解决实际问题．【作业2】把一根绳子按3 : 2截成甲、乙两段，已知乙段比甲段短1.6米，那么这根绳子原来长多少米？【答案】8米．【解析】设这根绳子原来长x 米，则由题意得32 1.63232x x -=++，解得8x =．答：这根绳子原来长8米．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业3】两地相距480千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4小时后相遇，已知甲、乙两车速度的比是5 : 3，甲、乙两车每小时各行多少千米？【答案】甲每小时行75千米，乙每小时行45千米．【解析】设甲车速度为5k ，乙车速度为3k ，则()435480k k +=，解得15k =，所以551575k =⨯=（千米/时），331545k =⨯=（千米/时）答：甲每小时行75千米，乙每小时行45千米．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业4】用长24厘米的铁丝围成一个直角三角形，且这个三角形三条边长度的比是3 : 4 : 5，这个直角三角形斜边上的高是多少厘米？【答案】245厘米．【解析】设三角形三边的长分别为3k 、4k 、5k ，则由题意得34512k k k ++=，解得2k =，所以直角三角形三边长分别为6、8、10，设直角三角形斜边上的高是x 厘米，则由三角形面积公式得11681022x ⨯⨯=⨯⋅，解得245x =．答：这个直角三角形斜边上的高是245厘米．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．【作业5】公园里有一圆形花坛，甲、乙两人从同一点反向而行，15秒后相遇，其中甲绕花坛一圈需要40秒，则乙绕花坛一圈需要多少秒？【难度】★★★【答案】24秒．【解析】设乙绕花坛一圈需要x 秒，则40154015x-=，解得24x =．答：乙绕花坛一圈需要24秒．【总结】本题考查了简单的行程问题，重点是找出走相同的路程甲、乙两人所用的时间比．【作业6】四年级、五年级和六年级这三个年级参加植树活动，共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3 : 2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人？【难度】★★★【答案】四年级参加植树的有220人，五年级参加植树的有200人，六年级参加植树的有300人．【解析】设六年级参加植树的有3x 人，五年级参加植树的有2x 人，四年级参加植树的有()380x -人，则由题意得：32380720x x x ++-=，解得100x =，∴六年级：33100300x =⨯=（人）x=⨯=（人）五年级：22100200x-=-=（人），四年级：38030080220答：四年级参加植树的有220人，五年级参加植树的有200人，六年级参加植树的有300人．【总结】本题考查了按比例分配解决实际问题．。

【导数经典技巧与方法】第15讲-双变量统一-解析版

第15讲双变量统一知识与方法常见的双变量问题,有如下几类:(1)极值点偏移问题;(2)拐点偏移问题;(3)双极值点问题;(4)零点差问题;(5)“恒成立”“能成立”双变量问题;(6)其他的双变量问题.本节主要研究(5)和(6)两类问题的处理方法,其他类型将在后面继续研究.对于一般的双变量问题,要灵活运用“消元”、“减元”、“换元”等操作手法,其核心思想就是化为单变量函数,研究函数的单调性、值域或最值.对于含有“恒成立”“能成立”等关键词的双变量问题,要正确翻译“恒成立”“能成立”等关键词,理解“任意”与“存在”的含义及区别,将问题进行正确转化,分析函数的值域即可解决.下面是一些常见“关键词”的翻译:1.不等式恒成立、能成立问题通常利用分离参数转化为求函数的最值：(1)∀x∈D,f(x)>a(f(x)⩾a)恒成立⇔f(x)min>a(f(x)min⩾a);∀x∈D,f(x)<a(f(x)⩽a)恒成立⇔f(x)max<a(f(x)max⩽a).(2)∃x∈D,f(x)>a(f(x)⩾a)能成立⇔f(x)max>a(f(x)max⩾a);∃x∈D,f(x)<a(f(x)⩽a)能成立⇔f(x)min<a(f(x)min⩽a).变量类函数恒成立、能成立问题(1)若f(x),g(x)的值域分别为A,B,则有:(1)∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2),则A⊆B;(2)∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2),则A∩B≠∅.(2)两个函数的最值问题(1)∀x1∈D,∀x2∈E,使得f(x1)>g(x2),则f(x)min>g(x)max;(2)∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)>g(x2),则f(x)min>g(x)min;(3)∃x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)>g(x2),则f(x)max>g(x)min.典型例题消元与换元在处理多变量问题时,我们可以分析变量之间的联系,通过代换的方法将其转化为单变量的问题,从而将较为复杂的函数转化为一个简单的函数来处理,实现从未知向已知的转化,顺利解决问题.【例1】设a,b >0,a ≠b ,求证:√ab <b−aln b−ln a <a+b 2.【解析】不妨设b >a >0, (1)先证√ab <b−a ln b−ln a.要证√ab <b−aln b−ln a ,即证ln b −ln a <√ab,即证ln b a <√b a −√ab . 上式中今t =√ba ,则只需证明:2ln t <t −1t (t >1). 令f(t)=2ln t −t +1t (t >1),则f ′(t)=2t −1−1t 2=−t 2+2t−1t 2=−(t−1)2t 2<0,所以f(t)在(1,+∞)上单调递減,又f(1)=0,因此当t >1时,f(t)=2ln t −t +1t <0,即2ln t <t −1t (t >1)成立. 故ln b a<√b a−√ab.(2)再证b−aln b−ln a <a+b 2.即证ln b −ln a >2(b−a)a+b,即证ln ba >2(b a−1)1+ba .令t =ba (t >1),则只需证明:ln t >2(t−1)1+t (t >1),设g(t)=ln t −2(t−1)1+t(t >1),g ′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0,所以g(t)在(1,+∞)递增,又g(1)=0,因此当t >1时,g(t)=ln t −2(t−1)1+t>0,即ln t >2(t−1)1+t成立,故b−a ln b−ln a <a+b 2.综上,√ab <b−aln b−ln a <a+b 2.【点睛】本题通过比值换元,把双变量不等式变为单变量不等式,从而可以轻松地构造函数解决问题.通过换元把双变量不等式变为单变量,是证明双变量不等式的基本方法. 本题的不等式称为对数平均不等式,两个正数a 和b 的对数平均定义:L(a,b)={a −bln a −ln b (a ≠b),a(a =b).对数平均与算术木平均,几何平均的大小关系:√ab ⩽L(a,b)⩽a+b 2.对数平均不等式在双变量不等式,特别是极值点偏移问题中有着重要的应用. 【例2】已知函数f(x)=ae x (a ≠0),g(x)=12x 2. (1)当a =−2时,求曲线f(x)与g(x)的公切线方程;(2)若y =f(x)−g(x)有两个极值点x 1,x 2,且x 2⩾3x 1,求实数a 的取值范围.【解析】(1)当a =−2时,f(x)=−2e x ,设曲线f(x)上的切点为(x 1,−2e x 1),则切线方程为y +2e x 1=−2e x 1(x −x 1),设曲线g(x)上的切点为(x 2,12x 22),则切线方程为y =12x 22=x 2(x −x 2),由两条切线重合得{−2e x 1=x 2,2e x 1(x 1−1)=−12x 22,则{x 1=0,x 2=−2,所以公切线方程为y =−2x −2. (2)y =f(x)−g(x)=ae x −12x 2,y ′=ae x −x ,因为x 1,x 2是y =f(x)−g(x)的极值点, 所以ae x 1−x 1=ae x 2−x 2=0,所以a =x 1e x 1=x 2e x 2.令x 2=kx 1(k ⩾3),可得x 1e x 1=kx 1ekx 1,则x 1=ln kk−1.设ℎ(x)=ln x x−1(x ⩾3),则ℎ′(x)=1−1x−ln x (x−1)2,令t(x)=1−1x −ln x(x ⩾3),则t ′(x)=1−x x 2<0,t(x)单调递减,得t(x)⩽t(3)=23−ln 3<0,所以ℎ′(x)<0,ℎ(x)单调递减, ℎ(x)⩽ℎ(3)=ln 32,易知ℎ(x)>0,所以x 1∈(0,ln 32].今φ(x)=xe x ,φ′(x)=1−x e x,则φ(x)在(−∞,1]上递增,所以a =x1e x 1∈(0,√36ln 3].【点睛】当一个不等式中出现多个未知数,如何减少变元的个数就成为解决问题的关键.“减元”是在“消元”的思想下进行的,通过“消元”减少变量的个数,可使问题变得简单、易于解决.减元的常用手段有:换元、整体代入、消去常数等.【例3】已知函数f(x)=ln x−ax.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若x1,x2(x1<x2)是f(x)的两个零点.证明:(i)x1+x2>2a ;(ii)x2−x1>2√1−eaa.【解析】(1)f(x)定义域(0,+∞),f′(x)=1x −a=1−axx.则当a⩽0时f(x)在(0,+∞)为增函数;当a>0时f(x)在(0,1a )为增函数,在(1a,+∞)为减函数.(2)(i)原不等式等价于x1+x22>1a,因为ax1=ln x1(1),ax2=ln x2(2),由(2)−(1)得,a(x2−x1)=ln x2−ln x1则a=ln x2−ln x1x2−x1,则x1+x22>1a等价于x1+x22>x2−x1ln x2−ln x1(对数平均不等式)即证ln x2−ln x1>2(x2−x1)x1+x2,即证ln x2x1−2(x2x1−1)1+x2x1>0，设t=x2x1(t>1),设g(t)=ln t−2(t−1)1+t(t>1),则g′(t)=1t −2(1+t)2=(t−1)2t(t+1)2>0,所以g(t)在(1,+∞)上为增函数.所以g(t)>g(1)=0,即ln x2x1−2(x2x1−1)1+x2x1>0,所以x1+x22>1a.(ii)设ℎ(x)=ln xx ,则ℎ′(x)=1−ln xx2.所以ℎ(x)在(0,e]上递增,在(e,+∞)上递减.因为a=ℎ(x)有两个不相等的实根,则0<a<1e且1<x1<e<x2.易证ln x <x −1对x ∈(0,1)∪(1,+∞)恒成立(考试中需证明), 则ln 1x >1−x 对x ∈(0,1)恒成立,所以ax 1−1=ln x 1−1=ln x 1e >1−ex 1,因为x 1>0,所以ax 12−2x 1+e >0又因为a >0,Δ=4−4ae >0,所以x 1<1a−√1−eaa或x 1>1a+√1−eaa. 因为0<x 1<e 且0<a <1e,所以x 1<1a−√1−eaa因为x 1+x 22>1a,所以x 1+x 22−x 1>1a−(1a−√1−eaa) 即x 2−x 1>2√1−eaa. 【点睛】将关于x 1,x 2的双变量问题等价转化为以x 1,x 2所表示的运算式作为整体的单变量问题,通过整体代换为只有一个变量的函数式,从而使问题得到巧妙的解决,我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想.这是解决双变量问题最重要、最一般的方法.变更主元对于题目涉及到的两个变元,已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变动,求另一个变元的取值范围问题,这类问题我们称之为“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题,往往会利用我们习惯将字母x 作为自变量的误区来进行设计.此时,我们可以变更主元,“反客为主”,将另一个变量作为自变量,从而使问题得以解决,我们称这种方法为变更主元法.如下面【例】题. 【例4】设函数f(x)=e 2x −aln x . (1)讨论f(x)的导函数f ′(x)零点的个数; (2)证明:当a >0时,f(x)⩾2a +aln 2a .【解析】(1)f(x)=e 2x −aln x 的定义域为(0,+∞),所以f ′(x)=2e 2x −ax.(1)当a ⩽0时,f ′(x)>0恒成立,故f ′(x)没有零点; (2)当a >0时,因为y =e 2x 为单调递增,y =−ax 单调递增, 所以f ′(x)在(0,+∞)单调递增.又f ′(a)>0,且b 满足{0<b <a4,b <14,时,f ′(b)<0,故零点存在性定理可知,f ′(x)存在唯一的零点.综上所述,当a ⩽0时,f ′(x)没有零点;当a >0时,f ′(x)存在唯一零点. (2)解法1:由(1)知,可设导函数f ′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x 0, 当x ∈(0,x 0)时,f ′(x)<0;当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x)>0, 故f(x)在(0,x 0)单调递减,在(x 0,+∞)单调递增, 所以当x =x 0时,f(x)取得最小值,最小值为f (x 0), 由于2e 2x 0−a x 0=0,所以f (x 0)=a 2x 0+2ax 0+aln 2a⩾2a +aln 2a.故当a >0时,f(x)⩾2a +aln 2a.解法2:令g(a)=2a +aln 2a −e 2x +aln x ,g ′(a)=2+ln 2a −1+ln x =1+ln 2+ln x −ln a .令g ′(a)>0,得a <2ex ;令g ′(a)<0,得a >2ex .所以函数g(a)在(0,2ex)上单调递增,在(2ex,+∞)上单调递减, 所以g(a)max =g(2ex)=4ex +2exln 1ex +2exln x −e 2x =2ex −e 2x .再令ℎ(x)=2ex −e 2x ,ℎ′(x)=2e −2e 2x ,所以ℎ(x)在(0,12)上单调递增,在(12,+∞)上单调递减,ℎ(x)max =ℎ(12)=0.所以g(a)max ⩽0.得证.【点睛】(1)在解题过程中,若以x 为自变量不好做,可以考虑变更主元;(2)变更主元后,要点睛意是对新变量求导.本题解法2中,构造g(a)后,a 才是自变量,而x 变成了参数.【例5】函数f(x)=e mx−1−ln x x,(1)若m =1,求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最小值为m,求m的最小值.【解析】(1)当m=1时,f(x)=e x−1−ln xx ,f′(x)=x2e x−1+ln x−1x2,令u(x)=x2e x−1+ln x−1,易知u(x)在(0,+∞)上单调递增,且u(1)=0,所以当x∈(0,1)时u(x)<0,此时f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时u(x)>0,此时f′(x)>0;所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)依题意可得:e mx−1−ln xx⩾m恒成立,且等号能够取到.构造关于m的函数g(m)=e mx−1−ln xx−m,g′(m)=xe mx−1−1,令g′(m)>0,得m>1−ln xx ;令g′(m)<0,得m<1−ln xx;所以g(m)在(1−ln xx ,+∞)上单调递增;在(−∞,1−ln xx)上单调递减,故g(m)⩾g(1−ln xx )=e1−ln x x⋅x−1−ln xx−1−ln xx=0.不等式g(m)⩾g(1−ln xx)=0中的等号可以取到,令ℎ(x)=1−ln xx ,则ℎ′(x)=ln x−2x2,易得ℎ(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,+∞)上单调递增,ℎ(x)min=ℎ(e2)=−1e2.所以m⩾−1e2,故m的最小值为−1e2.构造函数【例6】已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a<−1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)−f(x2)|⩾4|x1−x2|,求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a+1x +2ax=2ax2+a+1x,当a⩾0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a⩽−1时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当−1<a<0时,令f′(x)=0,解得x=√−a+12a.则当x ∈(0,√−a+12a)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增;x ∈(√−a+12a,+∞)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减.故当a ⩾0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a ⩽−1时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当−1<a <0时,f(x)在(0,√−a+12a)单调递增,在(√−a+12a,+∞)单调递减.(2)不妨设x 1⩾x 2,而a <−1,由(1)知f(x)在(0,+∞)单调递减, 从而任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f (x 1)−f (x 2)|⩾4|x 1−x 2| 等价于任意x 1,x 2∈(0,+∞),f (x 2)+4x 2⩾f (x 1)+4x 1(∗) 令g(x)=f(x)+4x ,则g ′(x)=a+1x+2ax +4,由于(∗)等价于g(x)在(0,+∞)上单调递减, 得g ′(x)=a+1x+2ax +4⩽0. 从而a ⩽−4x−12x 2+1=(2x−1)2−4x 2−22x 2+1=(2x−1)22x 2+1−2,故a ⩽−2.从而实数a 的取值范围是(−∞,−2].【点睛】本题通过分离变量x 1,x 2,将x 1,x 2分别移到不等式的两侧,得到同构式,根据同构式构造新的函数,得到新函数的单调性,利用导数即可解决问题.本方法在1.6章节有详细介绍. 【例7】已知函数f(x)=x −bx ,g(x)=2aln x .(1)若b =0,函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,求a 的值;(2)若a >0,b =−1,函数F(x)=xf(x)+g(x)满足对任意x 1,x 2∈(0,1](x 1≠x 2),都有|F (x 1)−F (x 2)|<3|1x 1−1x 2|恒成立,求a 的取值范围;(3)若b =1,函数G(x)=f(x)+g(x),且G(x)有两个极值点x 1,x 2,其中x 1∈(0,13],求G (x 1)−G (x 2)的最小值.【解析】(1)若b =0,函数f(x)=x 的图象与g(x)=2aln x 的图象相切,设切点为(x 0,2aln x 0),则切线方程为y =2ax 0x −2a +2aln x 0,所以{2ax 0=1,−2a +2aln x 0=0,解得x 0=e,a =e 2.所以a =e 2. (2)当a >0,b =−1时,F(x)=x 2+1+2aln x,F ′′(x)=2x +2a x>0,所以F(x)在(0,1]递增.不妨设0<x 1<x 2⩽1,原不等式等价于F (x 2)−F (x 1)<3(1x 1−1x 2),即F (x 2)+3x 2<F (x 1)+3x 1.设ℎ(x)=F(x)+3x =x 2+1+2aln x +3x ,则原不等式等价于ℎ(x)在(0,1]上递减,即ℎ′(x)=2x +2a x−3x 2⩽0在(0,1]上恒成立.所以2a ⩽3x−2x 2在(0,1]上恒成立.设y =3x −2x 2,在(0,1]上递减,所以y min =3−2=1,所以2a ⩽1, 又a >0,所以0<a ⩽12;(3)若,函数所以,由题意知是的两根, 所以,所以,数े ,所以, 当时,在上单调函数, 所以的最小值为, 即的最小值为. 任意存在分析值域1b =1()()()2ln G x f x g x x a x x=+=-+2221()(0)x ax G x x x ++'=>12,x x 2210x ax ++=12122111111,2,,2x x x x a x a x x x =+=-==--()()()1211111111112ln G x G x G x G x x x x x x ⎤⎡⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--+⎥⎪⎢ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦11()2ln H x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222(1)(1)ln 1()21ln x x x H x x x x +-⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0,()H x H x '<10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦()H x 120ln31633H -⎛⎫=⎪⎝⎭()()12G x G x -20ln 3163-【例9】已知函数（1）当时,求在区日上的最大值和最小值;(2)若在区间上,函数的图象恒在直线下方,求的取值范围. (3)设,当时，若对于任意,存在,使,求实数的取值范围. 【解析】(1)当时,,, 令,解得:,令,解㥂:,所以在区间上是增函数,在上为减函数, 所以,又,所以; (2)令.,①若,令,得柭侾,点, 当,即时,在上有,在上有,在上有, 此时在区间上是增函数,21()ln .(R)2f x a x x a ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭0a =()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1,)+∞()f x 2y ax =a 219()()2,()26g x f x ax h x x bx =-=-+23a =1(0,2)x ∈2[1,2]x ∈()()12g x h xb 0a =21()ln 2f x x x =-+2(1)(1)11()x x x f x x x x x-+--+'=-+==()0f x '>01x <<()0f x '<1x >()f x 1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,e]max 1()(1)2f x f ==-2211e 1(e)1e 22ef f ⎛⎫=-->=- ⎪⎝⎭2min()()12e f x f e ==-21()()22ln (0)2g x f x ax a x ax x x ⎛⎫=-=--+> ⎪⎝⎭(1)[(21)1]1()(21)2x a x g x a x a x x ---'=--+=12a >()0g x '=1211,21x x a ==-211x x >=112a <<(0,1)()0g x '>()21,x ()0g x '<()2,x +∞()0g x '>()g x ()2,x +∞并且在该区间上有,不合题意; 当,即时,同理可知,在区间上，有,也不合题意； ②若,则有, 此时在区间上恒有,从而在区间上是减函数; 要使在此区间上恒成号,综上,当时,函数的图䝴恒在直线下方;(3)当时，由(2)中(1)知在上是增函数,在上是减函数, 所以对任意,都有,又已知存在,使, 即存在,鿇, 即存在即存在,使.因为, 所以实数的取值范围是.【点睛】本题不等式型双变量问题，通过分析两个函数的最值加以解决. 一般地,①,使得,则; ②,使得,则; ③,使得,则()()2(),g x g x ∈+∞211x x =1a ()g x (1,)+∞()((1),)g x g ∈+∞12a210a -(1,)+∞()0g x '<()g x (1,)+∞()0g x <11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 2y ax =23a =()g x (0,1)(1,2)1(0,2)x ∈()17(1)6g x g =-2[1,2]x ∈()()12q x h x 2[1,2]x ∈2197266x bx -+-2213[1,2],23x bx x ∈+2[1,2]x ∈1323b x x+132516,([1,2])363y x x x ⎡⎤=+∈∈⎢⎥⎣⎦b 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12,x D x E ∀∈∀∈()()12f x g x >min max ()()f x g x >12,x D x E ∀∈∃∈()()12f x g x >min min ()()f x g x >12,x D x E ∃∈∃∈()()12f x g x >max min ()()f x g x +>【例10】设是函数的一个极值点. (1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间；(2)设.若存在,使得,求实数的取值范围.【解析】(1),由,解得.所以,当时,当时,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)可知,当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减, 那么在区间上的值域是, 而,那么在上的值域为.又在上是增函数, 所以在上的值域为, 以实数的取值范围是.【点睛】存在,使得"等价于“,而则要通过与的值域得到.强化训练1.已知函数,其中(1)试讨论函数的单调性 (2)在时,是否存在极值点?如果存在,不妨设为且,试判断3x =()23()e ()z f x x ax b a -=++∈R a b a b ()f x 2250,()e 4x a g x a ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭12,[0,4]x x ∈()()121f x g x -a 23()(2)e x f x x a x b a -⎡⎤'=-+-+-⎣⎦(3)0f '=32b a =--233()(2)33e (3)(1)e x x f x x a x a x x a --⎡⎤'=-+---=--++⎣⎦4a <-4a >-()f x (,1)a -∞--(1,3)a --(3,)+∞0a >()f x (0,3)(3,4)()f x [0,4][min{(0),(4)},(3)]f f f 31(0)(23)e 0,(4)(13)e 0,(3)6f a f a f a -=-+<=+>=+()f x [0,4]3(23)e ,6a a ⎡⎤-++⎣⎦225()e 4x g x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[0,4]()g x [0,4]2242525,e 44a a ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦12,[0,4]x x ∈()()121f x g x -()()¡±12min 1f x g x -<()()12main f x g x -()f x ()g x 2()e 12,(,)x f x x ax ax x a =---∈∈R R e 2.71828≈()f x 12ea >()f x 12,x x 12x x <与的大小并说明理由.【解析】(1)因为, 所以①当时,,所以的变化如下表:所以在单调迸减,在单调递增. ②当时,即,所以的变化如下表:所以在单调递增. ③当时,即时, 当时,,所以,当时,; 当时,; 当时,, ④当时,即时, 当时,,所以,()()12f x f x +1e e+-2()e 12,x f x x ax ax a =---∈R ()()(1)e 2(1)(1)e 2x x f x x a x x a '=+-+=+-20a e 20xa ->,(),()x f x f x'()f x (,1)-∞-(1,)-+∞12ea =ln(2)1a =-,(),()x f x f x'()f x (,)-∞+∞ln(2)1a <-102ea <<ln(2)x a <e 20,10xa x -<+<ln(2)x a <()e 2(1)0x a x -+>ln(2)1a x <<-()e 2(1)0x a x -+<1x >-()2(1)0x e a x -+>ln(2)1a >-12ea >1ln(2)x a -<<e 20,10xa x -<+>()e 2(1)0x a x -+<当时,;当时,. 所以在单调递增,单调递减,单调递增. 当时在单调减，在单调递增; 当时在单调递增; 当时在单调递增,单调递减,单调䏲以;当时在单调递增,单调递减,单调递增. (2).理由如下:由(1)知有两个极值点:,所以令, 则,令,则,令,因为,且在上单调递减,所以存在,使得,即存在使得,所以当时,,即时,使得,当时,,即时,使得. 当时,, 1x <-()2(1)0x e a x -+>ln(2)a x <()2(1)0x e a x -+>()f x (,1)-∞-(1,ln 2)a -(ln 2,)a +∞20a ()f x (,1)-∞-(1,)-+∞12ea =()f x (,)-∞+∞102e a <<()f x (,ln 2)a -∞(ln 2,1)a -(1,)-+∞12ea >()f x (,1)-∞-(1,ln 2)a -(ln 2,)a +∞()()12e 1ef x f x ++<-1,()2ea f x >121,ln 2x x a =-=()()2121(1)(ln 2)2ln 2f x f x f f a a a a e+=-+=--+-211()2ln 2e 2e h a a a a a ⎛⎫=--+-> ⎪⎝⎭21()1ln 22ln 22e h a a a a ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭ln2t a =1t >-2()21(1)g t t t t =--+>-1(0)0,02g g ⎛⎫>< ⎪⎝⎭()g t (1,)-+∞0102t <<()00g t =010ln 22a <<()00h a '=01t t -<<()0g t >012ea a<<()0h a '>0t t <()0g t <0a a <()0h a '<12e a >()200000011()2ln 222ln 2e eh a h a a a a a a =--+-=--+因为,所以.设,因为在成立, 所以在单调递增, 所以,,所以.2.已知函数,其中为实常数.(1)若当时,在区间[1,e]上的最大值为,求的值;(2)对任意不同两点,设直线的斜率为,若0恒成立,求的取值范围.【解析】(1)因为函数, 所以,因为,所以则,得, 当时,,当时,,所以在时,取最大值, 因为当时,在区间上的最大值为, 所以当时，在区间上的最大值, 解得. 当时,在区间上的最大值,解得,不合题意; 当时,在区间上的取大值, 010ln 22a <<012a <<()ln (1u x x x x =<()1ln 0u x x '=+>1x <<()ln u x x x =11()22e e h a <--+=--21e 1()1e eh a +<--=-()ln 1f x x ax =-+a 0a >()f x 1-a ()()()()1122,,,A x f x B x f x AB k 12x x k ++>a ()ln 1f x x ax =-+11(),0ax f x a x x x-'=-=>0a >()0f x '=1x a=10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<1x a =()f x 0a >()f x [1,e]1-101a<<()f x [1,e](1)ln111f a =-+=-2a =11e a()f x [1,e]111ln 11f a a a a ⎛⎫=-⨯+=- ⎪⎝⎭e a =1ea>()f x [1,e](e)lne e 12e 1f a a =-+=-=-不合题意; 综上,.(2)因为对任意不同两点, 设直线的軼率为,若恒成立, 所以,所以, 所以在上是增函数, 所以在上恒成立,所以, 因为,所以,当且仅当时,即, 所以.所以的取值范围是. 3.设函数.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的单调递减区间和极小值(其中为自然对数的底数)；(2)若对任意恒成立,求的取值范围.【解析】(1)由已知得.因为曲线在点处的切线与直线垂直, 所以此切线的煂車为0.2a =()()()()1122,,,A x f x B x f x AB k 120x x k ++>22111221ln ln 0x ax x ax x x x x --+++>-2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-2()ln m x x x ax =+-(0,)+∞1()20m x x a x'=+-(0,)+∞min 12a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x >11222x x x x+⋅=12x x =x =22a a (-∞()ln ,R kf x x k x=+∈()y f x =(e,(e))f 20x -=()f x e ()()1212120,x x f x f x x x >>-<-k 21()(0)kf x x x x'=->()y f x =(e,(e))f 20x -=即,有,解得.所以,由㥂,由得. 所以在上单调递减,在上单调递增, 当时取得极小值.故的单调递减区间为,极小值为2.(2)条件等价于对任意(*)恒成立. 设.所以(*)等价于在上单调递减. 由在上恒成立, 得恒成立.所以(当且仅当时等号成立), 故的取值范围是. 4.已知函数.(1)当时,讨论的单调性; (2)设.当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.【解析】, 令.(e)0f '=210e e k -=e k =221e e()(0)x f x x x x x-'=-=>()0f x '<0e x <<()0f x '>e x >()f x (0,e)(e,)+∞e x =()f x e(e)ln e 2ef =+=()f x (0,e)()()1211220,x x f x x f x x >>-<-()()ln (0)kh x f x x x x x x=-=+->()h x (0,)+∞21()10k h x x x'=--(0,)+∞2211(0)24k x x x x ⎛⎫-+=--+> ⎪⎝⎭14k12x =k 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1()ln 1(R)a f x x ax a x-=-+-∈12a()f x 2()24g x x bx =-+14a =1(0,2)x ∈2[1,2]x ∈()()12f x g xb 222111(1)()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=>2()1(0)h x ax x a x =-+->(i)当,当,函数单调递减; 当时,,函数单调递增.(ii)当时,由,即,解得.当时,时,函数单调递减;时,,函上单调递减. 当时,当,函数单调遌当;当,函数单调递增. 综上所述:当时,函数在单调递减,单调递增; 当时,函数在上调递减；当时,在单调递减,单调递增, (2)当时,在上是减函数,在上是增函数, 所以对任意,有,又已知存在,使, 所以又当时,,与(*)矛盾; 当时,,时与(*)矛盾; 当时,.0,()1(0)a h x x x ==-+>(0,1),()0,()0x h x f x ∈>'<()f x 1x >()0,()0h x f x <'>()f x 0a ≠()0f x '=210ax x a -+-=1211,1x x a==-102a <<1110,(0,1)x a->>∈()0,()0h x f x >'<()f x 11,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()0,()0h x f x >'<()f x 0a <110a-<(0,1),()0,()0x h x f x ∈>'<()f x (1,),()0,()0x h x f x ∈+∞<'>()f x 0a ()f x (0,1)(1,)+∞12a =()f x (0,)+∞102a <<()f x 1(0,1),1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭14a =()f x (0,1)(1,2)1(0,2)x ∈min 1()(1)2f x f ==-2[1,2]x ∈()()12f xg x ()221,[1,2](*)2g x x -∈22()()4([1,2])g x x b b x =-+-∈1b <min ()(1)520g x g b ==->[1,2]b ∈2min ()()40g x g b b ==-2b >min 117()(2)84,28g x g b b ==--综上所䢑,实数的取值范围就是. b 17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

中考数学难点突破与经典模型精讲练解直角三角形中的母抱子模型(解析版)

专题15 解直角三角形中的母抱子模型【模型展示】通过在三角形外作高AC ，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC 是解题的关键.在Rt△ABC 和Rt△ADC 中，AC 为公共边，DC+BD=BC.一、单选题1．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架BC 斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B 恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D 处，此时测得梯子AD 与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（）AB ．3米C ．(3-米D ．(3米【答案】D【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出E C 、EB ，根据正切的定义求出DE ，结合图形计算得到答案．【详解】解：在Rt EBC 中，45BCE ∠=︒，3EC EB ∴=（米)，在Rt BDE △中，tan BE BDE DE ∠=，tan BE DE BDE ∴=∠)，(3CD EC DE ∴=-=米，故选：D ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．如图，在点F 处，看建筑物顶端D 的仰角为32°，向前走了15米到达点E 即15EF =米，在点E 处看点D 的仰角为64°，则CD 的长用三角函数表示为（）A ．15sin32︒B ．15tan64︒C ．15sin64︒D ．15tan32︒【答案】C【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF 是等腰三角形，在Rt △DEC 中，利用△DEC 的正弦即可表示出CD 的长度．【详解】△△F =32°，△DEC =64°，△△DEF =32DEC F , △15DE EF , 由题可知，△DCE 为直角三角形，在Rt △DEC 中，sin CD DEC DE 即：sin 6415CD , △15sin64CD ,故选：C【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．3．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C 地测得旗杆顶部A 的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D 点处再测得旗杆顶部A 点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD 坡度i =1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB 所在旗台高度EF 为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB 为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A ．10.2B ．9.8C ．11.2D ．10.8【答案】B【分析】如图，作DH FC ⊥交FC 的延长线于H ，延长AB 交CF 的延长线于T ，作DJ AT ⊥于J ．设AT TC x ==，在Rt ADJ ∆中，根据tan AJ ADJ DJ ∠=，构造方程解决问题即可．【详解】解：如图，作DH △FC 交FC 的延长线于H ，延长AB 交CF 的延长线于T ，作DJ △AT 于J ．由题意四边形EFTB、四边形DHTJ 是矩形，△BT =EF =1.4米，JT =DH ，在Rt△DCH 中，△CD =2.6米，DH CH =12.4， △DH =1（米），CH =2.4（米），△△ACT =45°，△T =90°，△AT =TC ，设AT =TC =x ．则DJ =TH =（x +2.4）米，AJ =（x ﹣1）米，在Rt△ADJ 中，△tan△ADJ =AJ DJ =0.75， △12.4x x -+=0.75，解得x =2，△AB =AT ﹣BT =AT ﹣EF =11.2﹣1.4=9.8（米），故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型．4．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（）．A ．3米B C ．2米 D ．1米【答案】B【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，在Rt APC △中，tan PC AC PAC ==∠，在Rt BPC △中，tan PC BC PBC ==∠，2=，解得，x =)，故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．二、填空题5．如图所示，为了测量出某学校教学大楼AB 的高度，数学课外小组同学在C 处，测得教学大楼顶端A 处的仰角为45°；随后沿直线BC 向前走了15米后到达D 处，F 在D 处测得A 处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物AB 的高度约为______米．（参考数据：1.414 1.732，结果按四舍五入保留整数）【答案】21【分析】设AG =x 米，由△AEG =45°得EG =AG =x ，FG =EG +EF =x +15，根据利用特殊角三角函数值可得关于x 的方程，解之可得答案．【详解】解：由题意可得四边形FDCE ，四边形ECBG ，四边形FDBG 均为矩形设AG =x 米，由△AEG =45°得EG =AG =x ，FG =EG +EF =x +15，在Rt △AFG 中，tan 3015AG x FG x ︒===+解得：x =△121AB AG BG =+==≈ 故答案为：21【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．6．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在处测得△CAD ＝30°，在B 处测得△CBD ＝45°，并测得AB ＝52米，那么永定塔的高CD 约是_____米．，结果保留整数）【答案】74【分析】首先证明BD ＝CD ，设BD ＝CD ＝x ，在Rt△ACD 中，由△A ＝30°，推出AD ＝CD ，由此构建方程即可解决问题．【详解】如图，△CD △AD ，△CBD ＝45°，△△CDB ＝90°，△CBD ＝△DCB ＝45°，△BD ＝CD ，设BD ＝CD ＝x ，在Rt△ACD 中，△△A ＝30°，△AD，△52+x，△x（m），故答案为74，【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．7．如图，在一笔直的海岸线l上有相距4km的,A B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60︒的方向上，从B站测得船C在北偏东30︒的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km．【答案】【分析】过点C作CD△AB于点D，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案．【详解】过点C作CD△AB于点D，根据题意得：△CAD=90°-60°=30°，△CBD=90°-30°=60°，△△ACB=△CBD-△CAD=30°，△△CAB=△ACB，△BC=AB=4km，在Rt△CBD中，△CD=BC•sin60°4==km)△船C到海岸线l的距离是．故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用－方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．8．如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A ，又在河的另一岸边取两个点B 、C ，测得△a=30°，△β=45°，量得BC 的长为200米，则河的宽度为_________．（结果保留根号）【答案】）m【分析】直接过点A 作AD△BC 于点D ，利用tan30°=100x x + 【详解】过点A 作AD△BC 于点D ，△△β=45°，△ADC=90°，△AD=DC ，设AD=DC=xm ，则tan30°=200x x =+ 解得：x=100），答：河的宽度为100）m ．故答案是：100）m ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用、特殊角的的三角函数值，正确得出AD=CD 是解题关键．9．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB 为多少？___．（结果保留根号）【答案】【分析】设AB x =，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出BC 和CD ，然后求解即可．【详解】解：设AB x =米在Rt ABD 中，tan tan 60AB ADB BD ∠=︒==BD x =在Rt ABC 中，tan tan 30AB ACB BC ∠=︒==BCCD BC BD =-8=，解得43x即AB =故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及特殊角的正切值．三、解答题10．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B 处测得福塔主体建筑顶点A 的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD 高120m ，再沿CB 方向前进20m 到达E 处，测得桅杆天线顶部D 的仰角为53.4°．求中原福塔CD 的总度．（结果精确到1m ．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）【答案】中原福塔CD 的总高度约为389m ．【分析】设AC 为x m ，则CD =（x +120）m ，在Rt△ACB 中，可得BC =AC =x ，从而得到CE =x +20，然后在Rt△DCE 中，利用锐角三角函数，可得到tan△DEC =CD CE ，即可求解．【详解】解：如图，设AC 为x m ，则CD =（x +120）m ，在Rt△ACB 中，△ABC =45°，△BC =AC =x ，△CE =x +20，在Rt△DCE 中，tan△DEC =CD CE，△DEC =53.4°，即12020x x ++≈1.346，解得：x ≈269.0，△CD =x +120=389.0≈389米，答：中原福塔CD 的总高度约为389m ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键．11．如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度AB ，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在P 处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°（即45CPA ∠=︒，30CPB ∠=︒）．若无人机离地面的高度PQ 为120米，且点Q ，A ，B 在同一水平直线上，求这条河的宽度AB ．（结果精确到1米）．1.414≈ 1.732）【答案】88米【分析】在Rt △APQ 和Rt △BPQ 中，利用锐角三角函数，用PQ 表示出AQ 、BQ 的长，然后计算出AB 的长．【详解】解：//CP QB ，45CPA PAQ ∴∠=∠=︒，30CPB PBQ ∠=∠=︒，在Rt △APQ 中，45PAQ ∠=︒，45PAQ APQ ∴∠=∠=︒，120AQ PQ∴==（米），在Rt△BPQ，tanPQ PBQBQ∠=，tanPQQBPBQ∴==∠，120120(1.7321)88AB QB QA∴=-==⨯-≈（米），答：这条河的宽度AB约为88米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题．解决本题的关键是用含PQ的式子表示出AQ和BQ．12．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB，小明在斜坡的坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45︒，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31︒，已知斜坡DE的坡度3:4，10DE=米，22DC=米，求宣传牌AB的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.6)︒≈【答案】宣传牌AB的高度为2米．【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C，则CF=EG，CG=EF，然后在Rt EFD∆、Rt BCD∆、中解直角三角形即可．【详解】解：过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，则CF EG=，CG EF=，在Rt EFD∆中，斜坡DE的坡度3:4，10DE=米，∴设3EF x=米，4DF x=米，510DE x∴===，2x∴=，6EF∴=米，8DF=米，在Rt BCD∆中，45BDC∠=︒，22BC CD∴==米，22616BG BC CG∴=-=-=（米），在Rt AEG ∆中，·tan31300.618AG EG =︒=⨯=（米）， 18162AB AG BG ∴=-=-=（米）．答：宣传牌AB 的高度为2米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．13．如图，山顶上有一个信号塔AC ，已知信号塔高AC ＝16米，在山脚下点B 处测得塔底C 的仰角是30°，塔顶A 的仰角是45°，求山高CD （点A ，C ，D 在同一条竖直线上）．（结果保留根号）【答案】8【分析】分别解Rt △ABD 和Rt BCD ，得到AD BD =、CD =，根据16m AD CD BD -==即可求解．【详解】解：在Rt △ABD 中，tan 1AD ABD BD∠==， △AD BD =，在Rt BCD 中，tan CD CBD BD ∠==△CD =， △16m AC =，△16m AD CD BD -==，解得()24m BD =，△()8m CD ==．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握正切的定义是解题的关键．14．二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物．学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，CD 是高为1米的测角仪，在D 处测得塔顶端A 的仰角为40︒，向塔方向前进38米在E 处测得塔顶端A 的仰角为60︒，求二七纪念塔AB 的高度（精确到1米，参考数据400.64,400.77,40 1.73sin cos tan ︒≈︒≈︒≈）．【答案】二七纪念塔AB 的高度约为62米【分析】由题意根据正切的定义分别用AG 表示出EG DG ､，进而根据38DG EG -=列出算式求出AG 的长，计算即可．【详解】解：在Rt AEG △中，AG tan AEG EG∠=，0.58tan AG EG AG AG AEG ∴==≈∠，在Rt ADG 中，AG tan ADG DG ∠=， 1.2tan 0.84AG AG DG AG ADG ∴=≈=∠， 38DG EG -=，1.20.5838AG AG ∴-=，61.3AG ∴≈，61.3162AB ∴=+≈．答：二七纪念塔AB 的高度约为62米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．15．如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点A 处测得小岛O 在北偏东60︒方向，之后轮船继续向正东方向行驶1.5h 到达B 处，这时小岛O 在船的北偏东30︒方向36海里处．（1）求轮船从A 处到B 处的航速．（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛O 的东南方向？【答案】（1）24海里/小时．（2【分析】（1）过O 作OC AB ⊥，利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC 、BC 、AC 的长，进而可求得AB 的长，再根据速度=路程÷时间解答即可；（2）如图，根据题意可判断△OCD 为等腰直角三角形，则CD=OC ，进而可得BD 的长，再由时间=路程除速度求解即可．【详解】（1）过O 作OC AB ⊥，由题意得36OB =海里，60OBC ∠=︒，30OAC ∠=︒，sin 60OC OB ∴=⋅︒=（海里），cos6018BC OB =⋅︒=（海里），54tan 30OC AC ===︒（海里）， 541836AB AC BC ∴=-=-=（海里），∴速度：36241.5V ==轮船（海里/小时）．（2）如图，由题意，45COD ∠=︒，D 点在O 的东南方向，△△OCD 为等腰直角三角形，△tan 45OD OC =⋅︒=，18BD BC CD ∴=+=+，t ∴==（小时），∴小时后到达．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解直角三角形是解答的关键．16．如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼——10飞机在点A 发现航展观礼台D 在俯角为21°方向上.飞机继续向前飞行了800米到达B 点.此时测得点D 在点B 俯角为45°的方向上.请你计算当飞机飞到D 点的正上方点C 时（点A 、B 、C 在同一直线上），竖直高度CD 约为多少米？（结果保留整数，参考数值：sin 210.36︒≈，cos210.93︒≈，tan 210.38︒≈）【答案】竖直高度CD 约为490米．【分析】根据题意直接利用解直角三角形的方法进行求解即可．【详解】解：如图：45CBD ∠=︒90BCD ∠=︒△CD CB =△21A ∠=︒△tan 21CD CD CD AC AB BC AB CD ︒===++ △800AB =△0.38800CD CD≈+ △490.32490CD =≈．答：竖直高度CD 约为490米．【点睛】本题主要考查解直角三角形，关键是根据题意利用三角函数进行求解即可． 17．科技改变生活，5G 时代将对我们的生活产生意想不到的改变．某数学兴趣小组要测量5G 信号塔的高度，如图，在起点M 处用高1米(1DM =米)的测量仪测得信号塔AB 的顶端B 的仰角为30︒，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达F 处，测得顶端B 的仰角为63.4︒，求信号塔AB 的高度约为多少米(精确到1米．参考数据：63.40.89, 63.40.45,63.4 1.73sin cos tan ︒≈︒≈︒≈)【答案】该信号塔AB 的高度约为17米【分析】本题首先假设AB 的长度为x ，继而表示BE 的长度，利用正切三角函数表示DE ，进一步表示CE ，最后再次利用正切三角函数列式求解．【详解】由已知得：20CD =，1DM AE ==，设AB 为x 米，则()1BE x =-米，在Rt DEB ∆中，tan 30BE DE︒=， )1DE x ∴-，)120CE DE CD x ∴=---，在Rt CEB ∆中，tan 63.4BE CE︒=．2∴ 求解得：17x ≈（米）．故该信号塔AB 的高度约为17【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于对各种三角函数概念的理解，并结合具体图形情况，适时选取合适的三角函数以提升解题效率．18．小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆AB 的高度．小明站在点D 处利用测倾器测得旗杄顶端A 的仰角为45°，小华在BD 之间放置一个镜子，并调整镜子的位置，当镜子恰好放在点E 处时，位于点D 处的小明正好在镜子中看到旗杆顶端A ，此时DE 的距离为1.4米，已知测倾器的高为1.75米．请你根据以上信息，计算旗杆AB 的高度．【答案】旗杆AB的高度为15.75米【分析】过点C作CF△AB于点F，可得四边形FBDC是矩形，根据入射角等于反射角可得，△CED＝△AEB，所以tan△CED＝tan△AEB，进而可求AF的长，最后求出AB的长．【详解】解：如图，过点C作CF△AB于点F，可得四边形FBDC是矩形，△FB＝CD＝1.75，FC＝BD＝BE+1.4，根据题意，得△ACF＝45°，△AF＝CF，根据入射角等于反射角可知：△CED＝△AEB，△tan△CED＝tan△AEB，△CD AB DE BE=，△1.75 1.75 1.4 1.4AFFC+=-，△AF＝FC，△解得AF＝14，△AB＝AF+FB＝14+1.75＝15.75（米）．答：旗杆AB的高度为15.75米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到入射角和反射角的问题，能够正确理解正切的含义是解题的关键．19．周日，妈妈带小岚到商场的攀岩墙处玩耍如图，AD是一攀岩墙，小岚从攀岩墙底部D 处向上攀爬，妈妈站在距离攀岩墙3m的B处，当他到达C处时，妈妈看向他的仰角为30︒，当他到达墙顶A处时，妈妈看向他的仰角为75︒(小岚妈妈的身高均忽略不计) ，此时攀岩教练开始释放手中的绳子，使小岚以1.5 /m s的速度下落到C处，再减速下落到地面，则他从A 处下落到C 处需要多长时间 (结果保留整数，参考数据：750.97,750.26, 75 1.73sin cos tan ︒︒︒≈≈≈≈) 30?︒【答案】小岚从A 处下落到C 处需要6s【分析】在Rt BCD ∆中，利用三角函数解直角三角形可得CD ；在Rt ABD ∆中，利用三角函数解直角三角形可得AD ，进而得到AC 的长度，即可求解．【详解】解：根据题意可知，30,75CBD ABD ︒︒∠=∠=在Rt BCD ∆中，tan CD CBD BD ∠=即tan 303CD ︒= △CD 3tan30 1.73=︒≈（m ）在Rt ABD ∆中，tan AD ABD BD ∠=即tan 753AD ︒= ()3tan7511.19AD m ︒∴=≈()9.46AC AD CD m ∴=-=()9.46 1.56s ÷≈答：小岚从A 处下落到C 处需要6s ．【点睛】此题主要考查利用三角形函数解直角三角形，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．20．炎黄二帝巨型塑像位于河南省郑州市西北部三十公里之处的黄河风景名胜区向阳山（始祖山）上，炎黄二帝巨塑背依邙山，面向黄河．数学活动小组的同学为测量像体的整体高度，在地面上选取两点A 和B ，且点A ，B 及其中像体MN 在同一平面内，像体底部N 与点A ，B 在同一条直线上，同学们利用高1m 的测倾仪在A 处测得像顶M 的仰角为35︒，在B 处测得像顶M 的仰角为45︒，且45m AB =．根据测量小组提供的数据，求该塑像的高度．（结果精确到1m ，参考数据：sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈．）【答案】该塑像的高度约为106m ．【分析】延长CD 交MN 于E ，则CE△MN ，NE=BD=AC=1m ，△MDE=45°，△MCE=35°，CD=AB=45m ，在Rt△DEM 中，求出ME=DE ，在Rt△CEM 中，利用勾股定理求出ME 的长，即可得出答案．【详解】延长CD 交MN 于E ，如图所示：由题意得：CE MN ⊥，1m NE BD AC ===，45MDE ∠=︒，45m CD AB ==，在Rt DEM 中，tan 1ME MDE DE ∠==， △ME DE =，在Rt CEM △中，tan ME ME ME MCE CE CD DE CD ME∠===++， △()()()tan 45tan35450.7ME CD ME MCE ME ME =+⨯∠=+⨯︒≈+⨯，解得：()105m ME ≈，△()1051106m MN ME NE =+=+≈；答：该塑像的高度约为106m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角问题；通过作辅助线得出直角三角形，正确求解是解题的关键．21．如图，某楼房AB 顶部有一根天线BE ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C ，D ，A ，在点C 处测得天线顶端E 的仰角为60︒，从点C 走到点D ，测得5CD =米，从点D 测得天线底端B 的仰角为45︒，已知A ，B ，E 在同一条垂直于地面的直线上，25AB =米．（1）求A 与C 之间的距离；（2）求天线BE 的高度． 1.73，结果保留整数）【答案】（1）,A C 之间的距离为30米；（2）天线BE 的高度约为27米．【分析】（1）根据题意，△BAD=90°，△BDA=45°，故AD=AB ，已知CD=5，不难算出A 与C 之间的距离．（2）根据题意，在Rt ACE 中，60ACE ∠=︒，利用三角函数可算出AE 的长，又已知AB ，故EB 即可求解．【详解】（1）依题意可得，在Rt ABD 中，45ADB ∠=︒ ，25AD AB ∴==米，5CD =米，25530AC AD CD ∴=+=+=米.即,A C 之间的距离为30米．（2）在Rt ACE 中，60ACE ∠=︒，30AC =米，30tan 60AE ∴=⋅︒=，25AB =米，25)(BE AE AB ∴=-=米．173≈．．并精确到整数可得27BE ≈米．即天线BE 的高度约为27米．【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键． 22．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东60︒方向上，海监船继续向东航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东30︒方向上．（1）求B 处到灯塔P 的距离；（2）已知灯塔P 的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【答案】（1）B 处到灯塔P 的距离为60海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的【分析】（1）作PD△AB 于D ．求出△PAB 、△PBA 、△P 的度数，证得△ABP 为等腰三角形，即可解决问题；（2）在Rt△PBD 中，解直角三角形求出PD 的值即可判定．【详解】（1）过点P 作PD△AB 于点D ，由题意得，AB=60（海里），△PAB=30°，△PBD=60°，△△APB=△PBD -△PAB=60°-30°=30°=△PAB ，△PB=AB=60（海里），答：B 处到灯塔P 的距离为60海里；（2）由（1）可知△APB=△PAB=30°，△PB=AB=60（海里）在Rt△PBD 中，PD=BPsin60°=60=，△50>，△海监船继续向正东方向航行是安全的．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．23．如图，在港口A 处的正东方向有两个相距6km 的观测点B 、C ，一艘轮船从A 处出发，北偏东26︒方向航行至D 处，在B 、C 处分别测得45ABD ∠=︒，37C ∠=︒求轮船航行的距离AD (参考数据：sin 260.44︒≈，cos260.90︒≈，tan 260.49︒≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）【答案】20km【分析】过点D 作DH AC ⊥，垂足为H ，通过解Rt DCH ∆和Rt DBH ∆得tan 37DH CH =︒和tan 45DH BH =︒，根据BC CH BH =-求得DH ，再解Rt DAH ∆求得AD 即可．【详解】解：如图，过点D 作DH AC ⊥，垂足为H在Rt DCH ∆中，37C ∠=︒tan 37DH CH ︒= tan 37DH CH ∴=︒在Rt DBH ∆中，45DBH ∠=︒tan 45DH BH︒=tan 45DH BH ∴=︒BC CH BH =-6tan 37tan 45DH DH ∴-=︒︒18DH ∴≈在Rt DAH ∆中，26ADH ∠=︒cos 26DH AD ︒= 20cos 26DH AD ∴=≈︒（km ）因此，轮船航行的距离AD 约为20km【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．24．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22︒，然后沿MP 方向前进16m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45︒．测角仪的高度为1.6m ， ()1求观星台最高点A 距离地面的高度(结果精确到0.1m ．参考数据：220.37,220.93,22 1.41sin cos tan ︒≈︒≈︒≈≈)；()2“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m ，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【答案】（1）12.3m ；（2）0.3m ，多次测量，求平均值【分析】（1）过点A 作AE△MN 交MN 的延长线于点E ，交BC 的延长线于点D ，根据条件证出四边形BMNC 为矩形、四边形CNED 为矩形、三角形ACD 与三角形ABD 均为直角三角形，设AD 的长为xm ，则CD=AD=xm ，BD=BC+CD=（16+x ）m ，在Rt△ABD 中，解直角三角形求得AD 的长度，再加上DE 的长度即可；（2）根据（1）中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值．【详解】解：（1）如图，过点A 作AE△MN 交MN 的延长线于点E ，交BC 的延长线于点D ，设AD 的长为xm ，△AE△ME ，BC△MN ，△AD△BD ，△ADC=90°，△△ACD=45°，△CD=AD=xm ，BD=BC+CD=（16+x ）m ，由题易得，四边形BMNC 为矩形，△AE△ME ，△四边形CNED 为矩形，△DE=CN=BM=1.6m ，在Rt△ABD 中，tan ABD=0.4016AD x BD x==+∠，解得：10.7x ≈，即AD=10.7m ，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m ，答：观星台最高点A 距离地面的高度为12.3m ．（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m ，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．25．学完三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量纪念塔的高度．如图，CD 是高为1m 的测角仪，在D 处测得塔顶端A 的仰角为40°，向塔方向前进40m 在E 处测得塔顶端A 的仰角为63.4°，求纪念塔AB 的高度(结果取整数)．参考数据：sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84,tan 63.4 2.00︒︒︒︒≈≈≈≈．【答案】纪念塔AB 的高度约为59m ．【分析】根据正切的定义分别用AG 表示出EG 、DG ，再在在Rt AEG △中列出算式求出AG 的长，计算即可．【详解】解：根据题意，40,63.4,40,1ADG AEG DE CF CD BG ︒︒∠=∠=====．在Rt ADG 中，tan AG ADG DG∠=， tan 40AG DG ︒∴=． 40tan 40AG EG DG DE ︒∴=-=-．在Rt AEG △中，tan AEG AG EG∠=， tan 63.4tan 63.440tan 40AG AG EG ︒︒︒⎛⎫∴=⋅=- ⎪⎝⎭． 40tan 63.4tan 4040 2.000.8457.9tan 63.4tan 40 2.000.84AG ︒︒︒︒⨯⨯⨯⨯=≈≈-- 57.9159AB AG BG ∴=+≈+≈．答：纪念塔AB 的高度约为59m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．26．如图，是一座人行天桥示意图，天桥离地面的高BC 是10m ，坡面AC 的倾斜角△CAB ＝45°，在距离A 点12m 处有一建筑物HQ ．为方便行人过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD 的倾斜角△CDB ＝37°，若新坡面下D 处需留至少4m 人行道，则该建筑物HQ是否需要拆除？请通过计算说明理由．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【答案】不需要拆除，理由见解析.【分析】在Rt△ABC 、Rt△DBC 中，利用锐角三角函数分别计算DB 、AB ，然后计算DH 的长，根据DH 与4的关系，得出结论．【详解】解：结论：该建筑物HQ 不需要拆除由题意知，AH ＝12m ，BC ＝10m ，在Rt△ABC 中，△△CAB ＝45°，△AB ＝BC ＝10m ，在Rt△DBC 中，△△CDB ＝37°，()10403tan 34BC DB m CDB ∴=≈=∠， △DH ＝AH ﹣DA＝AH ﹣（DB ﹣AB ）＝12﹣（403﹣10）＝263 ≈8.6（m ），△8.6＞4，△该建筑物HQ 不需要拆除．【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，难度不大．利用线段的和差关系和锐角三角函数，是解决本题的关键．27．某中学九年级数学兴趣小组欲利用所学知识测量白塔的高度，测量过程如下：如图，先在点A 处用测角仪AE 测得塔顶仰角为30︒，然后沿AC 方向前行12米到达点B 处，在B 点处用测角仪BF 测得塔顶仰角为45︒，已知测角仪高为1米，A 、B 、C 三点在一条直线上，求塔CD 的高度.（结果保留根号）【答案】塔CD 的高度为()7米.【分析】记EF 的延长线交CD 于G ，首先证明FG ＝DG ，在Rt△DEG 中，求出x 即可解决问题．【详解】解：如解图，延长EF 交CD 于点G ，则EG CD ⊥.根据题意得：1BF AE GC ===米，12EF AB ==米，设DG x =米，△在Rt DFG ∆中，45DFG ∠=︒，△FG DG x ==米，在Rt DEG ∆中，tan 30x EG =︒=， △12EG FG -=，12x -=，解得6x =，△()7CD DG CG =+=米，答：塔CD 的高度为()7米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐。

五年级下册数学竞赛试题- 15讲工程问题全国通用(含答案)_wrapper

工程问题【名师解析】工程问题是将一般的工作问题量化，换句话说就是从分率的角度研究工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。

它的特点是将工作总量看做单位“1”，用分率表示工作效率，对所做工作的数量进行分析运算。

工程问题的三个基本数量关系如下：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间【例题精讲】例1、一项工作，甲做10天可以完成，乙做5天可以完成。

现在甲先做了2天，余下的工作由乙继续完成。

乙需要做几天可以完成全部工作？练习、一项工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。

现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成。

乙需要做几天可以完成全部工作？例2、一项工程，甲、乙两人合做6天完成，乙、丙两人合做需要9天完成，甲、丙两合做需15天完成。

甲、乙、丙合做需多少天完成？练习、一项工程，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做需要9天完成，甲、丙两合做需18天完成。

丙一个人完成，需要多少天完成这项工作？例3、加工一批零件，甲、乙合做24天可以完成；由甲先做16天，然后由乙再做12天后，还剩下这批零件的52没有完成。

如果由乙单独完成这项工程，需要多少天？练习、一间房屋，由甲、乙两个工程队合作完成，需要12天。

如果甲队先盖6天，再由乙队单独盖2天，共盖了这间房屋的103，如果这间房屋由甲队单独盖，需要多少天完成？例4、一项工作，甲、乙、丙三人一起做6小时可以完成。

如果甲工作6小时后，乙、丙一起做2小时，可以完成这项工作的32；如果甲、乙一起做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的32，如果甲、丙一起做，需几小时完成？练习、一项工作，甲、乙、丙三人一起做4小时可以完成。

如果甲工作4小时后，乙、丙一起做2小时，可以完成这项工作的1813；如果甲、乙一起做2小时后，丙再做4小时，也可以完成这项工作的1811，如果甲、丙一起做，需几小时完成？例5、一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。

2019高考英语试题精讲精析—单项选择15

2019高考英语试题精讲精析—单项选择151.Nowthatsheisoutofajob,Lucy_______goingbacktoschool,butshehasn’tdecidedyet.A.hadconsideredB.hasbeenconsideringC.consideredD.isgoingtoconsider[析]:题1选B.此题句义：既然已失业了，Lucy一直在考虑重新上学，但是还没有定下来。

从后面的分句“shehasn’tdecidedyet.”可知:“考虑重新上学”这个动作从“失业时”就开始了，一直持续到现在，还可能一直持续下去。

这显然是现在完成进行时的用法。

2、Selectingamobilephoneforpersonaluseisnoeasytaskbecausetechnologyis sorapidlyA.ischangingB.haschangedC.willhavechangedD.willchange[析]:题2选A.现在进行时表示现在或现阶段正在发生进行的动作。

此题隐含的时间状语是：nowadays/daybyday.此题句义：挑选一个个人使用的手机不是很容易，因为〔当今〕技术正经历快速的变化。

3.----Hey,lookwhereyouaregoing!----Oh,I’mterriblysorry,.A.I’mnotnoticingB.Iwasn’tnoticingC.Ihaven’tnoticedD.Idon’tnotice[析]:题3选 B.此题隐含的语境是：Iwasn’tnoticingwhenyouremindedmetowatchout.4.ThemayorofBeijingsaysthatallconstructionworkfortheBeijingOlympics__ ________by2006.A.hasbeencompletedB.hascompletedC.willhavebeencompletedD.willhavecompleted[析]:题2选 C.通过时间状语“by2006”可知:主句应用将来完成。

15系统精讲-基础护理知识和技能-第十一节-药物疗法和过敏试验法1

1.容易氧化和遇光变质的药物是A.地高辛B.乙醇C.干酵母D.盐酸肾上腺素E.地西泮【答案】:D【解析】:记忆性题目，考察药物的保管，容易氧化和遇光变质的药物：如盐酸肾上腺素、维生素C、氨茶碱等，应装在深色密盖瓶中，或放在有黑纸遮盖的纸盒中，并置于阴凉处。

2.服药方法不正确的是A.助消化药饭前服B.止咳糖浆服后不立即饮水C.强心苷类药服前测心率D.磺胺类药服后多饮水E.铁剂服用时由吸水管吸入【答案】:A【解析】:考察口服药使用注意事项。

对胃黏膜有刺激的药物或助消化药：宜在饭后服用，使药物与食物充分混合，以减少对胃黏膜的刺激，利于食物的消化。

3.患者，精神分裂症，服用盐酸氯丙嗪0.2g tid，护士在发药时应注意A.要患者服后多饮水B.发药前测量脉搏C.避免药物和牙齿接触D.应饭前给药E.待患者服下后再离开【答案】:E【解析】:考察口服给药法的注意事项。

发药时，按照规定时间准备好用物，按床号顺序发药，核对床号、姓名，得到应答后再发药。

同一病人的药物一次取出，并注意发药到口，收回药杯再离开。

病人不在时，先由护士保存。

如病人对药物有疑问，应重新核对无误后再发放。

发药时根据该药物的特性，掌握注意事项。

发药后，要观察药物的疗效和不良反应。

服药后将药杯消毒备用。

4.下列英文缩写错误的是A.饭前acB.饭后HsC.停止DCD.需要时（长期）prnE.必要时sos【答案】:B【解析】:记忆性题目，考察不同给药的英文缩写，需掌握。

ac饭前；pc饭后；Hs临睡前；prn需要时（长期）；sos必要时（限用一次，12h内有效）5.患者，男性，67岁，患喘息性支气管炎，给予氧气雾化吸入，操作过程中不正确的是A.严禁接触烟火B.嘱患者吸入时作深呼吸C.氧流量8L/minD.湿化瓶内盛水1/2满E.吸入完毕雾化器离口腔后关闭氧气开关【答案】:D【解析】:考察氧气雾化吸入操作。

用氧时注意远离明火和易燃易爆物品；取下湿化瓶，直接接流量表，氧气流量至6～10L/min；病人手持雾化器，把口含管放入口中，紧闭双唇，用力吸气的同时以手指堵住出气管，呼气时放开出气管；结束后取下雾化器，关闭氧气。

第15讲 max函数与min函数问题(解析版)

第15讲 max 函数与min 函数问题参考答案与试题解析一．解答题（共24小题）1．（2021春•东莞市期末）已知函数2()f x x x xlnx =--，3()3g x x ax e =-+．（1）证明()0f x 恒成立；（2）用{max m ，}n 表示m ，n 中的最大值．已知函数()()2f x h x x x=-+，记函数(){()x max h x ϕ=，()}g x ，若函数()x ϕ在(0,)+∞上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．【解答】（1）证明：由题得()f x 的定义域为(0,)+∞，则20x x xlnx --在(0,)x ∈+∞上恒成立等价于10x lnx --在(0,)x ∈+∞上恒成立，．⋯⋯（1分）记()1x x lnx φ=--，则11()1x x x xφ-'=-=，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）当()0x φ'<时，01x <<；()0x φ'>时，1x >，故()x φ在(0,1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）所以()x φφ（1）0=，即()0f x 恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（2）解：由题得()1h x lnx =-，①当0x e <<时，()()0x h x ϕ>，此时无零点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）②当x e =时，h （e ）0=，g （e ）33e ae e =-+a ．当g （e ）330e ae e =-+，即213e a +时，x e =是()x ϕ的一个零点；b ．当g （e ）330e ae e =-+>，即213e a +<时，x e =不是()x ϕ的一个零点；．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）③当x e >时，()0h x <恒成立，因此只需考虑()g x 在(,)e +∞上的零点情况．由2()33g x x a '=-a ．当2a e 时，()0g x '>，()g x 在(,)e +∞上单调递增，且g （e ）33e ae e =-+，当213e a +<时，g （e ）0>，则()g x 在(,)e +∞上无零点，故()x ϕ在(0,)+∞上无零点；当213e a +=时，g （e ）0=，则()g x 在(,)e +∞上无零点，故()x ϕ在(0,)+∞上有1个零点；当2213e a e +<时，由g （e ）0<，333(2)86860g e e ae e e e e =-+-+>，得()g x 在(,)e +∞上仅有一个零点，故()x ϕ在(0,)+∞上有2个零点；所以2213e a e +<，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）b ．当2a e >时，由()0g x '=得x =由()0g x '<时，e x <<()0g x '>时x >()0g x '<，故()g x 在(e 上单调递减，()g x 在)+∞上单调递增；由g （e ）0<，322(2)8620g a a a e a e =-++>，得()g x 在(,)e +∞上仅有一个零点，故()x ϕ在(0,)+∞上有2个零点；所以2a e >，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）综上所述，213e a +>时，()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）2．（2021•南平模拟）已知函数3217()(4)322x f x x e x x -=--+-，()cos x g x ae x =+，其中a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）若1a =，证明：当0x >时，()2g x >；（3）用{max m ，}n 表示m ，n 中的最大值，设函数(){()h x max f x =，()}g x ，若()0h x 在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）33()(3)3(3)(1)x x f x x e x x e --'=--+=--，（1分）当3x >时，30x ->，310x e -->，()0f x ∴'>，当3x <时，30x -<，310x e --<，()0f x ∴'>，当3x =时，()0f x '=，（2分）所以当x R ∈时，()0f x '，即()f x 在R 上是增函数；（3分）又f （3）0=，所以()0f x >的解集为(3,)+∞．（4分）（2）()sin x g x e x '=-．（5分）由0x >，得1x e >，sin [1x ∈-，1]，（6分）则()sin 0x g x e x '=->，即()g x 在(0,)+∞上为增函数．（7分）故()(0)2g x g >=，即()2g x >．（8分）（3）由（1）知，当3x 时，()0f x 恒成立，故()0h x 恒成立；当3x <时，()0f x <，因为(){()h x max f x =，()}g x ，要使得()0h x 恒成立，只要()0g x 在(0,3)上恒成立即可．（9分）由()cos 0x g x ae x =+，得cos xxa e -．设函数cos ()xxr x e =-，[0x ∈，3]，则sin cos ()xx xr x e +'=．（10分）令()0r x '=，得34x π=．随着x 变化，()r x '与()r x 的变化情况如下表所示：所以()r x 在(0,)4上单调递增，在(4，3)上单调递减．（11分）()r x 在(0,3)上唯一的一个极大值，即极大值343()4r ππ-=，故3422ae π-．综上所述，所求实数a 的取值范围为34[2π-，)+∞．（12分） 3．（2021•衡水模拟）已知函数1211()(2)22x f x x e x x -=--++，2()4cos (1)g x ax x a x ln x =-+++，其中a R ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）用{max m ，}n 表示m ，n 的最大值，记(){()F x max f x =，()}g x ，讨论函数()F x 的零点个数．【解答】解：（1）11()(1)1(1)(1)x x f x x e x x e --'=--+=--，当1x >时，10x ->，110x e -->，则()0f x '>，当1x <时，10x -<，110x e --<，则()0f x '>，当1x =时，f '（1）0=，所以当x R ∈时，()0f x '，()f x 在R 上是增函数，又f （1）0=，所以()0f x >的解集为(1,)+∞．（2）函数()F x 的定义域为(1,)-+∞，由（1）得函数()f x 在R 上单调递增，f （1）0=，当1x >时，()0f x >，又(){()F x max f x =，()}g x ，所以当1x >时，()0F x >恒成立，即1x >时，()0F x =无零点，当11x -<<时，()0f x <恒成立，所以()F x 的零点即为函数()g x 的零点，下面讨论函数()g x 在11x -<<的零点个数： 1()214sin 1g x ax a x x '=--++，所以21()24cos (11)(1)g x a a x x x ''=---<<+， ①当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈，又函数cos y x =在区间(0,)2π单调递减，所以1cos1cos32π>=，即当11x -<<时，12cos 0x -<，21()2(1cos )0(1)g x a x x ''=--<+，所以()g x '单调递减，由(0)0g '=得：当10x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1x →-时，(1)ln x x +→-，所以()g x →-∞，当0x =时，(0)40g a =>，有g （1）14cos12a a ln =-++，f （1）0=，当g （1）12014cos1ln a ->⇒>+时，函数()F x 有1个零点，当g （1）12014cos1ln a -=⇒=+时，函数()F x 有2个零点，当g （1）120014cos1ln a -<⇒<<+时，函数()F x 有3个零点，②当0a =时，()(1)g x ln x x =+-，由①得当10x -<<，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(0)0max g x g ==，g （1）210ln =-<，所以当0a =时，函数()F x 有两个零点，③当0a <时，2()(4cos )(1)g x a x x x ln x =+-++，2(4cos )0a x x +<，(1)0x ln x -++，即()0g x <成立，由f （1）0=，所以当0a <时，函数()F x 有1个零点，综上所述：当1214cos1ln a ->+或0a <时，函数F （1）有1个零点，当1214cos1ln a -=+或0a =时，函数()F x 有2个零点，当12014cos1ln a -<<+时，函数()F x 有3个零点．4．（2021•临沂一模）已知函数12()24x f x xe x x -=++-，21()2cos (1)2g x ax x a x ln x =-+++．（1）判断()f x 的单调性，并求()f x 的最值；（2）用{max m ，}n 表示m ，n 的最大值，记函数(){()h x max f x =，()}g x ，讨论()h x 的零点个数．【解答】解：（1）111()22(1)(2)x x x f x e xe x x e ---'=+++=++， ①当1x <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)-∞-上是增函数， ②当1x >-时，()0f x '>，()f x 在(1,)-+∞上是减函数，所以()f x 最小值为2(1)5f e --=--；（2）函数()h x 的定义域为(1,)-+∞，其中f （1）0=，①当1x >时，()f x f >（1）0>，则函数(){()h x max f x =，()}g x 无零点；②当11x -<时，()0f x ，下面讨论()g x 的零点情况，(1)0x ln x -+（当0x =时取等号），1cos cos1cos 123x π=<， ()i 当0a <时，21()(2cos )[(1)]02g x a x x x x ln x =-+--+<，此时()g x 在(1-，1]上无零点，因为()h x 的零点为1x =，故()h x 有一个零点； ()ii 当0a =时，()(1)0g x x ln x =-++，(0)0g =，g （1）120ln f =-+<=（1），所以()g x 在(1-，1]上有一个零点，故()h x 有两零点； ()iii 当0a >时，1()211g x ax alnx x '=--++，所以2211()2cos (12cos )(1)(1)g x a a x a x x x ''=--=--++，因为12cos 0x -<，所以()0g x ''<，所以()g x '在(1-，1]上单调递减，又(0)0g '=，所以()0g x '>在(1,0)-上恒成立，()0g x '<在(0,1)上恒成立，所以()g x 在0x =取得极大值，此时(0)20g a =>，又因为当1x →-时，(1)ln x +→-∞，所以()g x 在(1,0)-上有一个零点，又g （1）12cos1122a a ln =+-+，当g （1）0>，即22214cos1ln a ->+时，()g x 在(1-，1]上有一个零点，故()h x 有一个零点；当g （1）0=，即22214cos1ln a -=+时，()g x 在(1-，1]上有两个零点，故()h x 有两个零点；当g （1）0<，即22214cos1ln a -<+时，()g x 在(1-，1]上有两个零点，故()h x 有三个零点；综上所述，当0a <或22214cos1ln a ->+时，()h x 有一个零点；当0a =或22214cos1ln a -=+时，()h x 有两个零点；当222014cos1ln a -<<+时，()h x 有三个零点．5．（2021•信阳模拟）已知函数()2x f x e ax a =--，()g x lnx =．（1）讨论()f x 的单调性；（2）用{max m ，}n 表示m ，n 中的最大值，若函数(){()h x max f x =，()}(0)g x x >只有一个零点，求a 的取值范围．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，且()2x f x e a '=-．当0a 时，()0f x '>对x R ∈恒成立，所以()f x 在R 上单调递增．当0a >时，令()0f x '=，得(2)x ln a =，当(x ∈-∞，(2))ln a 时，()0f x '<．当((2)x ln a ∈，)+∞时，()0f x '>．所以()f x 在(-∞，(2))ln a 上单调递减，在((2)ln a ，)+∞上单调递增．（2）①当(1,)x ∈+∞时，()0g x lnx =>，从而(){()h x max f x =，()}()0g x g x >，所以()h x 在(1,)+∞上无零点． ②当1x =时，f （1）3e a =-，若3ea，h （1）{max f =（1），g （1）}g =（1）0=，所以1x =是()h x 的零点，若3ea <，h （1）{max f =（1），g （1）}f =（1）0>，所以1x =不是()h x 的零点， ③当(0,1)x ∈时，()0g x lnx =<，所以()h x 在(0,1)上零点个数只需要考虑()f x 在(0,1)上的零点个数．()f x 在(0,1)上的零点个数()0f x ⇔=在(0,1)上实根的个数⇔21xe a x =+在(0,1)上实根的个数，令函数()21xe x x ϕ=+，(0,1)x ∈，则2(21)()(21)xx e x x ϕ-'=+，所以()x ϕ在1(0,)2上单调递减，在1(,1)2上单调递增，又(0)1ϕ=，ϕ（1）3e=，1()2ϕ=，当a <或1a 时，()f x 在(0,1)上无零点，当a 或13e a < 时，()f x 在(0,1)上有两个零点，3ea <<时，()f x 在(0,1)上有两个零点，综上可得a 时，()h x 在(0,)+∞上有1个零点，1a <<时，()h x 在(0,)+∞上有两个零点，当1a 时，()h x 在(0,)+∞上有1个零点，则()h x 在(0,)+∞上有唯一零点，所以a 的取值范围为[1，){}2e +∞． 6．（2020秋•新华区校级期中）已知函数221()43,()4x f x lnx a g x lnx x+=++-=．（1）求证：21()(1)f x a x-+；（2）用{max p ，}q 表示p ，q 中的最大值，记(){()h x max f x =，()}g x ，讨论函数()h x 零点的个数．【解答】证明：（1）：设222111()43(1)4(1)x x lnx a a lnx x x xϕ+=++----=+-，定义域为(0,)+∞，则22114(1)()4()x x x x x ϕ-'=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<；当1x >时，()0x ϕ'>，故()x ϕ在(0,1)内是递减函数，在(1,)+∞内递增函数，所以1x =是()x ϕ的极小值点，也是()x ϕ的最小值点，所以()()min x x ϕϕϕ=（1）0=，所以21()(1)f x a x-+．解：（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，3234222(21)(1)()x x f x x x x x +-'=--=，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)内是递减函数，在(1,)+∞内是递增函数，所以1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，即()min f x f =（1）a =， ()i 若0a =，则2221(1)(31)()()3x x x f x g x x x +-+-=-=，当01x <<时，()()f x g x >；当1x =时，()()f x g x =；当1x >时，()()f x g x <，所以(),01()(),1f x x h x g x x <<⎧=⎨>⎩，于是()h x 只有一个零点1x =．()ii 当0a >时，则2(1)(31)()()x x f x g x a x -+-=-+，当01x <时，()()f x g x >，此时()()0h x f x a =>；当1x >时，()0f x a >>，()0g x >，此时()0h x >．所以()h x 没有零点．()iii 当0a <时，根据（1）知：21()(1)f x ax -+，而01<<，所以211)0f a >-+=，又因为()min f x f =（1）0a =<，所以()f x 在(0,1)上有一个零点0x ，从而一定存在0(c x ∈，1)，使得f （c ）g =（c ），即22130c a c ++-=，即2213c a c +-=，当x c >时，222121()()3(2)0x c x c c xg x f x a x c cx cx++-+-=-+-+=+>，所以()()g x f x >，从而(),0()(),f x x ch x g x x c <⎧=⎨>⎩，于是()h x 有两个零点0x 和1．当0a <时，()h x 有两个零点．综上：当0a =时，()h x 有一个零点；当0a >时，()h x 没有零点；当0a <时，()h x 有两个零点．7．（2020•衡阳三模）已知函数()f x lnx ax a =-+，2()1g x x =-．（1）当0a =，0x >且1x ≠时，证明：212()()11x f x g x x x +<--；（2）定义{},,,m m nmax m n n m n ⎧=⎨<⎩，设函数(){()h x max f x =，()}(0)g x x >，试讨论()h x 零点的个数．【解答】（1）证明：当0a =时，()f x lnx =，要证212()()11x f x g x x x +<--，需证1[(1)2(1)]01x lnx x x +--<-，即12(1)[]011x lnx x x --<-+，即证：当1x >时，2(1)1x lnx x ->+；当01x <<时，2(1)1x lnx x -<+．令2(1)()1x x lnx x ϕ-=-+，则22214(1)()0(1)(1)x x x x x x ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递增，∴当01x <<时，()x ϕϕ<（1）0=，此时12(1)[]011x lnx x x --<-+；当1x >时，()x ϕϕ>（1）0=，此时12(1)[]011x lnx x x --<-+．故0a =，0x >且1x ≠时，212()()11x f x g x x x +<--．（2）解：()i 当1x >时，()0g x >，()()0h x g x >，()h x ∴在(1,)+∞上无零点； ()ii 当1x =时，g （1）f =（1）0=，则h （1）0=，1x ∴=是()h x 的唯一零点； ()iii 当01x <<时，()0g x <，()g x ∴在(0,1)上无零点， ()h x ∴在(0,1)上的零点个数等价于()f x 在(0,1)上的零点个数． 1()(01)f x a xx'=-<<， ∴①若1a 时，1()0f x a x'=->，()f x ∴在(0,1)上单调递增，()f x f <（1）0=，此时()f x 无零点； ②若1a >即101a <<时，令()0f x '>，得10x a <<；令()0f x '<，得11x a<<，()f x ∴在1(0,)a 上单调递增，在1(,1)a 上单调递减，1()()1max f x f a lna a∴==--，令t （a ）1(1)a lna a =-->，则t '（a ）110a=->，t （a ）在(1,)+∞上单调递增， t ∴（a ）t >（1）0=，即1()10f a lna a=-->，即1a lna ->，两边取指数，有1a lna e e ->，即a e ae a >>，∴10a e a-<<，又()(1)0a a a f e a a e ae ---=-+-=-<，由零点存在性定理可知，()f x 在(0,1)上存在唯一的零点0x ，且01(,)a x e a-∈．综上所述：当1a 时，()h x 仅有一个零点；当1a >时，()h x 有两个零点．8．（2020春•广陵区校级期中）已知函数2()f x lnx x ax =-+，()x g x e e =-，其中0a >．（1）若1a =，证明：()0f x ；（2）用{max m ，}n 表示m 和n 中的较大值，设函数(){()h x max f x =，()}g x ，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数．【解答】解：（1）1(1)(21)()21(0)x x f x x x x x--+'=-+=>，令()0f x '=，则1x =或12x =-（舍)，∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()()max f x f x f ∴=（1）0=．（2）在区间(1,)+∞上，()0g x >，(){()h x max f x ∴=，()}()0g x g x >， ()h x ∴在区间(1,)+∞上不可能有零点．下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况．由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=．令0()0f x '=可得0x =（负值舍去）．在0(0,)x 上()0()f x f x '>为增函数，在0(x ，)+∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 0()()max f x f x ∴=．①当1a =时，01x =，()max f x f ∴=（1）0=．在区间(0,1)上，()0g x <，且g （1）0=，∴此时()h x 存在唯一的零点1x =．②当01a <<时，01x =<．0001()20f x x a x '=-+=，∴0012a x x =-． ∴222000000001()(2)11110f x lnx x x x lnx x ln x =-+-=+-<+-=，于是()0f x <恒成立，结合函数()g x 的性质，可知此时()h x 存在唯一的零点1x =．③当1a >时，01x =>，()f x ∴在(0,1)上递增．又f （1）10a =->，2221111111111()1()022********f ln a a a a a a =-+<--+=---<， ()f x ∴在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =．结合函数()g x 的性质，可知1x x =是()h x 唯一的零点．综上，当01a <时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =；当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点．9．（2020•白云区模拟）设函数32()32x ax f x x =-+，其中a R ∈．（Ⅰ）当52a =时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）当()f x 存在两个正极值点1x ，2x 时，符号1{max a ，2}a 分别表示1a ，2a 中较大的，令01{x max x =，2}x ，求证：2a >，且01()3f x <．【解答】解：32()32x ax f x x =-+，2()1f x x ax '=-+．()I 当52a =时，25()102f x x x '=-+=．解得12x =，或2． ()f x ∴的极值点为12，或2． ()II 证明：当()f x 存在两个正极值点1x ，2x 时，210x ax ∴-+=．△240a =->，120x x a +=>，121x x =，解得2a >．不妨设12x x <，01{x max x =，22}1x x =>，22210x ax -+=． 2221ax x ∴=+．33222022221()()3262x x a f x f x x x x ==-+=-+．令32221()62x g x x =-+，22211()022g x x '=-+<，∴函数2()g x 在(1,)+∞上单调递减．02()()f x g x g ∴=<（1）111263=-=． 01()3f x ∴<．10．（2019秋•辽阳期末）已知函数()2x f x e ax a =--，()g x lnx =．（1）讨论()f x 的单调性；（2）用{max m ，}n 表示m ，n 中的最大值，已知2a =，求函数(){()h x max f x =，()}(0)g x x >的零点的个数．【解答】解：（1）定义域为R ，因为()2x f x e a '=-，当0a 时，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，当0a >，令()0f x '=，即2x e a =，解得2x ln a =，2x ln a >，()0f x '>，()f x 单调递增；2x ln a <，()0f x '<，()f x 单调递减；综上所述：0a ，函数()f x 在R 上单调递增；0a >，函数()f x 在(,2)ln a -∞单调递减，在(2,)ln a +∞单调递增；（2）2a =时，()42x f x e x =--，当(1,)x ∈+∞，()0g x lnx =>，从而函数(){()h x max f x =，()}()0g x g x >，所以函数()h x 无零点，1x =时，f （1）60e =-<，g （1）0=，所以1x =是函数()h x 的一个零点；(0,1)x ∈，()0g x lnx =<，所以函数()h x 的零点个数就考虑()f x 的零点个数，由（1）得：()42x f x e x =--在(0,1)上单调递减，所以()(0)10f x f <=-<，从而函数()h x 在(0,1)无零点，综上所述函数()h x 的零点只有一个．11．（2020秋•历下区校级期中）已知函数1211()(2)22x f x x e x x -=--++，2()4cos (1)g x ax x a x ln x =-+++，其中a R ∈．（1）求函数()f x 在(0,2)x ∈的值域；（2）用{max m ，}n 表示实数m ，n 的最大值，记函数(){()F x max f x =，()}g x ，讨论函数()F x 的零点个数．【解答】解：（1）1211()(2)22x f x x e x x -=--++，11()(1)1(1)(1)x x f x x e x x e --∴'=--+=--，当1x >时，()0f x '>，此时函数单调递增，当1x 时，()0f x '，此时函数单调递增，即()f x 在R 上单调递增， 12(0)2f e =-，f （2）12= 故函数在(0,2)上的值域为12(2e -，1)2．（2）()F x 的定义域(1,)-+∞，由（1）可知，()f x 在R 上单调递增，且f （1）0=，故当1x >时，()0f x >，当1x <时，()0f x <， (){()F x max f x =，()}g x ，故当1x >时，()0F x >恒成立，没有零点，当11x -<<时，()0f x <恒成立，没有零点，因此()F x 的零点即为()g x 的零点，下面讨论11x -<<时，()g x 的零点个数，2()4cos (1)g x ax x a x ln x =-+++， 1()214sin 1g x ax a x x∴'=--++，21()24cos (1)g x a a x x ''=--+，(11)x -<<，①当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈，又cos y x =在1(0,)2π单调递减，故11cos1cos 32π>=，故当10x -<<时，12cos 0x -<，()0g x ''<，()g x '单调递减，且由(0)0g '=可得，当10x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，又1x →-时，(1)ln x +→-∞，()g x →-∞，当0x =时，(0)40g a =>，又g （1）14cos12a a ln =-++，f （1）0=，当g （1）0>即1214cos1ln a ->+时，()F x 有1个零点，当g （1）0=即1214cos1ln a -=+时，()F x 有2个零点，当g （1）0<即12014cos1ln a -<<+时，()F x 有3个零点，②当0a =时，由I 可得()(1)g x ln x x =+-，当10x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，故当0x =时，()g x 取得最大值(0)0g =，g （1）210ln =-<，此时函数()F x 有2个零点，③当0a <时，2()4cos (1)g x ax x a x ln x =-+++，2(4cos )0a x x +<，(1)0x ln x -++，即()0g x <，又f （1）0=，故()F x 有1个零点，综上，1214cos1ln a ->+或0a <时，()F x 有1个零点，1214cos1ln a -=+或0a =时，()F x 有2个零点，12014cos1ln a -<<+时，()F x 有3个零点，12．（2020•兴庆区校级二模）已知函数3()3f x x ax e =-+，()1g x lnx =-，其中e 为自然对数的底数．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）用{max m ，}n 表示m ，n 中较大者，记函数(){()h x max f x =，()}g x ，(0)x >．若函数()h x 在(0,)+∞上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）2()33f x x a '=-，当0a 时，()0f x '，()f x 在R 上单调递增，当a >时，()3(f x x x '=+-，当(,x ∈-∞，，)+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，当(x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；（2）当(0,)x e ∈时，()0g x >，()()0h x g x >，()h x 在(0,)e 无零点，当x e =时，g （e ）0=，f （e ）33e ae e =-+，若f （e ）0，即213e a +，则e是()h x 的一个零点，若f （e ）0>，即213e a +<，则e不是()h x 的零点，当(,)x e ∈+∞时，()0g x <，所以此时只需考虑函数()f x 的零点的情况．因为22()3333f x x a e a '=->-， ①当2a e 时，()0f x '>，()f x 在(,)e +∞上单调递增．所以：（ⅰ）当213e a +时，f （e ）0，()f x 在(,)e +∞上无零点；（ⅱ）当2213e a e +<时，f （e ）<，又332(2)86860f e e ae e e e e =-+-+>，所以此时()f x 在(,)e +∞上恰有一个零点；②当2a e >时，由（1）知，()f x 在(e 递减，)+∞递增，又因为f （e ）333330e ae e e e e =-+<-+<，32222(2)868620f a a a e a a e a e =-+>-+=+>，所以此时()f x 恰有一个零点．综上，213e a +>．13．（2021•肥城市模拟）已知函数()()xf x ln x a x a=+-+，a R ∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若4a =，1()cos (2sin )2g x x x mx x =++，0m >，用{min m ，}n 表示m ，n 的最小值，记函数(){()h x min f x =，()}g x ，[x π∈-，]π，讨论函数()h x 的零点个数．【解答】解：（1）由已知可得函数()f x 的定义域为(,)a -+∞，2()()xf x x a '=+，当0a 时，0x a >-，故()0f x '>，()f x 在(,)a -+∞上单调递增；当0a >时，(,0)x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在(,0)a -上单调递减， (0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；综上所述，当0a 时，()f x 的单调递增区间是(,)a -+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,0)a -，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞．（2）由（1）可知当4a =时，()(0)422min f x f ln ln ===，所以()()22min f x f x ln =，所以()0f x >，所以[x π∈-，]π时，函数()h x 的零点个数即为函数()g x 在区间[π-，]π内的零点个数， 211()cos (2sin )sin cos 22g x x x mx x x x x mx =++=++，任取[x π∈-，]π，因2211()()sin()cos()()sin cos ()22g x x x x m x x x x mx g x -=--+-+-=++=，所以()g x 是偶函数．，因为()cos (cos )g x mx x x x m x '=+=+，当1m 时，cos 0m x +在[0，)π上恒成立，所以[0x ∈，)π时，()0g x '，所以()g x 在[0，)π上单调递增，又因为(0)1g =，所以()g x 在[0，)π上有0个零点，又因为()g x 是偶函数，所以()g x 在[π-，]π上有0个零点，当01m <<时，令()0g x '=，得cos x m =-，由10m -<-<可知存在唯一0(,)2x ππ∈使得0cos x m =-，所以当[0x ∈，0)x 时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0(x x ∈，)π时，()0g x '<，()g x 单调递减，因为(0)1g =，201()1,()12g x g m ππ>=-，所以当21102m π->，即221m π<<时，()g x 在[0，]π上有0个零点，由()g x 是偶函数，知()g x 在[π-，]π上有0个零点，所以当21102m π-，即220m π<时，()g x 在[0，]π上有1个零点，由()g x 是偶函数，知()g x 在[π-，]π上有2个零点，综上，当220m π<时，()g x 有2个零点，当22m π>时，()g x 有0个零点；即当220mπ<时，()h x 有2个零点，当22m π>时，()h x 有0个零点．14．（2021•日照二模）已知cos ()cos axf x a x a=-，其中0a >且1a ≠．（1）若2a =，()()x f x ϕ'=，曲线()y x ϕ=在点(t ，())t ϕ处的切线为l ，求直线l 斜率的取值范围：（2）若()f x '在区间(0,2)π有唯一极值点0x ， ①求a 的取值范围；②用{min a ，b ，}c 表示a ，b ，c 的最小值．证明：0(){2f x min a π'<，(1)}a π-．【解答】解：（1）当2a =时，cos2()2cos ,()()sin 22sin 2xf x x x f x x x ϕ'=-==-， 2()4cos 2cos 2k t t t ϕ∴='=--，令cos m t =，[1m ∈-，1]，2422k m m =--，当14m =时，94min k =-，当1m =-时，4max k =， ∴直线l 斜率的取值范围为9[,4]4-；（2）①设()()sin sin g x f x ax a x ='=-，则11()cos cos 2sin sin 22a a g x a ax a x a x x +-'=-=-， ()i 若1a >，令()0g x '=，则1224,11x x a a ππ==++在区间(0,2)π内，且使11sin0,sin 022a a x x +-=≠， ()g x ∴'在(0,2)π内至少有两个变号零点，()g x ∴在区间(0,2)π内至少有两个极值点，不符合题意； ()ii 若01a <<，令()0g x '=，得22,(,)11m n m n x x m n Z a aππ==∈+-，令2021m m x a ππ<=<+，解得012m a <<+<，故m 只能取1；令2021n n x aππ<=<-，解得011n a <<-<，此时n 无解；故仅当1m =时，12(0,2)1x a ππ=∈+， 1111()2sinsin 2sin sin (01)2222a a a a g x a x x a x x a +-+-'=-=<<，1sin 02ax ->， ∴当1(0,)x x ∈时，1sin0,()0a x g x a +'>>，当1(x x ∈，2)π时，1sin 0,()02a x g x +'<<， ()g x ∴在(0,2)π有唯一极大值点；综上，实数a 的取值范围为(0,1)； ②证明：由①知，02,011x a a π=<<+，此时00022222()sin sin sinsin sin sin(2)(1)sin11111a a a f x ax a x a a a a a a a a ππππππ'=-=-=+-=++++++， 1)当2(1)a a ππ-，即103a <，由不等式0x >时，sin x x >知，22(1)sin(1)211a a a a a a a πππ+<+⋅=++，故0()2f x a π'<； 2)当(1)2a a ππ-<，即113a <<时，22(1)(1)(1)sin(1)sin()(1)sin (1)(1)1111a a a a a a a a a a a a a ππππππ--+=+-=+<+⋅=-++++；综上，0(){2f x min a π'<，(1)}a π-，即得证． 15．（2021•成都模拟）已知函数()f x lnx =．（1）讨论函数()()()g x f x ax a R =-∈的单调性；（2）设函数1()()(xF x f x e e =-为自然对数的底数）在区间(1,2)内的零点为0x ，记(){()m x min xf x =，}xxe （其中{min a ，}b 表示a ，b 中的较小值），若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不相等的实数根1x ，212()x x x <，证明：1202x x x +>．【解答】解：（1）()g x 的定义域是(0,)+∞， 11()(0)axg x a x x x-'=-=>，当0a 时，()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞递增，当0a >时，令()0g x '=，解得：1x a=，当1(0,)x a ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x a∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，综上：当0a 时，()g x 在(0,)+∞递增，当0a >时，()g x 在1(0,)a 单调递增，在1(a，)+∞单调递减；（2）证明：1()xF x lnx e =-，定义域是(0,)+∞， 11()xF x x e '=+，而(1,2)x ∈，故()0F x '>，()F x 在(1,2)单调递增，又F （1）10e =-<，F （2）2120ln e=->，且()F x 在(1,2)内的图像连续不断，故根据零点存在性定理，有()F x 在(1,2)上有且只有1个零点，故存在0(1,2)x ∈，使得0()0F x =，即001x lnx e=，且当01x x <<时，1()()x xxf x xf x e e<⇒<，当0x x >时，1()()x xxf x xf x e e>⇒>，故00,1(),xxlnx x x m x x x x e <⎧⎪=⎨>⎪⎩，当01x x <<时，()m x xlnx =，由()10m x lnx '=+>得()m x 单调递增，当0x x >时，()x x m x e =，由1()0xxm x e -'=<得()m x 单调递减，若()m x n =在区间(1,)+∞内有2个不相等的实数根1x ，212()x x x <，要证1202x x x +>，即证2012x x x >-，又0102x x x ->，而()m x 在区间0(x ，)+∞内单调递减，故可证201()(2)m x m x x <-，又由12()()m x m x =，即证101()(2)m x m x x <-，即01011122x x x x x lnx e--<，记0022()x xx xh x xlnx e--=-，01x x <<，其中0()0h x =，记()t t t e ϕ=，则1()tt t e ϕ-'=，当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'>，当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'<，故()t ϕ的最大值是1e ，而()0t ϕ>，故10()t e ϕ<<，而021x x ->，故002210x x x x e e ---<-<，故00022211()110x xx xx x h x lnx e e e ---'=++->->，即()h x 单调递增，故当01x x <<时，0()()0h x h x <=，即01011122x x x x x lnx e --<，故1202x x x +>．16．（2021•湖北模拟）已知函数2()x ax b f x e +=在2x =时取到极大值24e ．（1）求实数a 、b 的值；（2）用{min m ，)n 表示m ，n 中的最小值，设函数(){()g x min f x =，1}(0)x x x->，若函数2()()h x g x tx =-为增函数，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）2222()2()()x x x xax e e ax b ax ax bf x e e ⋅-+-+-'==， ()f x 在2x =时取得极大值24e， ∴2244(2)(2)440a b f e e f a a b +⎧==⎪⎨⎪'=-+-=⎩，解得1a =，0b =．（2）设()()()()222111,0,1,0x x x x x F x f x x x x F x x x e x e x -⎛⎫=--=-+>'=--> ⎪⎝⎭则，当2x 时，()0F x '<恒成立． ()()()22222111102,2[]1,11102x x x xx x F x e x x x +-<<-='--<--=-<当时从而， ()0F x '∴<在(0,)+∞上恒成立，故()y F x =在(0,)+∞上单调递减． ()()()()()[]214310,20,1201,22F F F F y F x e e =>=-<⋅<⋅=所以又曲线在上连续不间断，故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0F x =，∴当0(0,)x x ∈时，()0F x >，当0(x x ∈，)+∞时，()0F x <．∴0201,0,1()(),,.x x x x x g x min f x x x x x x e ⎧-<⎪⎪⎧⎫=-=⎨⎬⎨⎩⎭⎪>⎪⎩，∴202201,0(),x x tx x x xh x x tx x xe ⎧--<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，故020112,0,()(2)2,.x tx x x x h x x x tx x x e ⎧+-<⎪⎪'=⎨-⎪->⎪⎩；由于函数2()()h x g x tx =-为增函数，且曲线()y h x =在(0,)+∞上连续不间断， ()0h x '∴在0(0,)x 和0(x ，)+∞上恒成立．①0x x >时，(2)20x x x tx e --在0(x ，)+∞上恒成立，即22xxt e -在0(x ，)+∞上恒成立，令2()xxu x e -=，0(x x ∈，)+∞，则3()xx u x e -'=，当03x x <<时，()0u x '<，()u x 单调递减，当3x >时，()0u x '>，()u x 单调递增，所以()min u x u =（3）31e=-，故312t e=-，即312t e-， ②当()()()00210,12,0,00,x x h x tx t h x x x <'=+-'时当时在上恒成立．综合①、②知，t 的范围(-∞，31]2e-． 17．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知函数1()x f x e alnx -=+．(e 为自然对数的底数）（1）当0a =时，设()()g x f x x =-，求函数()g x 在13[,]22上的最值；（2）当1x 时，证明：2()(1)2f x x x λ+-+，其中{2min a λ=+，5}({min a ，}b 表示a ，b 中较小的数．)【解答】解：（1）当0a =时，1()x g x e x -=-，13[,]22x ∈，所以1()1x g x e -'=-，令()0g x '=，得1x =，当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在区间1(,1)2上单调递减，在区间3(1,)2上单调递增，所以()g x 在13[,]22上的最小值为g （1）0=．因为1211()22g e -=-，1233()22g e =-，所以112213()()1022g g e e --=-+=<=<，所以13()()22g g <，故()g x 在13[,]22上的最大值为1233()22g e =-．综上，函数()g x 在13[,]22上的最小值为0，最大值为1232e -．（2）①当25a +，即3a 时，2a λ=+，因为2()(1)2f x x x λ+-+，所以12(2)0x e alnx x a x a -++-++，设12()(2)x k x e alnx x a x a -=++-++，则1()2(2)x ak x e x a x-'=++-+．令1()2(2)x a x ex a xϕ-=++-+，则2121222()2x x a x e x a x e x x ϕ--+-'=-+=，因为1x ，所以212212(2)3x x x e x x e --+=+，因为3a ，所以()0x ϕ'，当且仅当1x =且3a =时，等号成立，所以()k x '在[1，)+∞上单调递增．由于k '（1）1=，所以()0k x '>，即()k x 在[1，)+∞上单调递增，又因为k （1）0=，所以()0k x ，即原不等式成立． ②当25a +>，即3a >时，5λ=．因为2()(1)2f x x x λ+-+，所以12530x e alnx x x -++-+，由（1）知，1x e x -，因为1x ，3a >，所以12253343x e alnx x x lnx x x -++-+>+-+．设2()343h x lnx x x =+-+，1x ，则2243()0x x h x x-+'=，所以()h x 在[1，)+∞上单调递增，因为h （1）0=，所以()0h x ，即原不等式成立．综上所述，当1x 时，2()(1)2f x x x λ+-+，{2min a λ=+，5}． 18．（2020•厦门一模）已知函数()1f x alnx x =+-，3()1g x x =-．（1）若直线:1l y x =-+与曲线()y f x =相切，求实数a 的值；（2）用{min m ，}m 表示m ，n 中的最小值，设函数(){()h x min f x =，()}(0)g x x >，讨论()h x 零点的个数．【解答】解：（1）依题意，()1af x x'=+，则曲线()y f x =在点0(P x ，0)y 处的切线方程为000(1)()ay y x x x -=+-，又0001y alnx x =+-，代入整理得00(1)1ay x alnx a x =++--，此直线与l 重合，得001111ax alnx a ⎧+=-⎪⎨⎪--=⎩，消去0x 得： ()10222a a aln ---=①，令()1x xlnx x Φ=-+-，则()x lnx Φ'=-，当01x <<时()x Φ单调递增，当1x >时，()x Φ单调递减，()max x ∴Φ=Φ（1）0=．由①知()02a Φ-=，12a ∴=-，解得2a =-；（2）①'当01x <<时，3()10g x x =-<，所以()()0h x g x <，无零点；②'当1x =时，f （1）g =（1）0=，从而h （1）0=，故1x =为()h x 的一个零点； ③'当1x >时，()0g x >，则()h x 的零点即为()f x 的零点．又()1a x af x x x+'=+=，所以①''当1a -时，()0f x '>，此时()f x 在(1,)+∞上单调递增，()f x f >（1）0=，此时()h x 无零点；②''当1a <-时，令()0f x '=，解得：x a =-，易知()f x 在(1,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增，又f （1）0=，()f x ∴在(1,)a -上无零点，另外，由（1）可知1()xΦΦ（1）0=恒成立，即1lnx x -对0x >恒成立，则2(4)2(2)2(21)ln a ln a a =---，所以2222(4)(4)412(21)41210f a aln a a a a a a =+-⨯--+-=-->，故存在20(,4)x a a ∈-，进而存在0(,)x a ∈-+∞，使得0()0f x =，即0()0h x =，此时()h x 在(1,)+∞上存在唯一零点；综上可得：当1a -时，()h x 有1个零点；当1a <-时，()h x 有2个零点．19．（2020•南充模拟）已知函数()()f x x a lnx =+，2()x x g x e=，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与直线230x y --=平行．（1）求证：方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的实根；（2）设函数(){()m x min f x =，()}({g x min p ，}q 表示p ，q 中的较小者），求()m x 的最大值．【解答】解：（1）由题意知，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为2，所以f '（1）2=，又()1af x lnx x'=++，所以1a =．设2()()()(1)x x h x f x g x x lnx e=-=+-，当(0x ∈，1]时，()0h x <，又h （2）2244328110ln ln e e =-=->-=，所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =．因为1(2)()1xx x h x lnx x e -'=+++，当(1,2)x ∈时，20(2)(1)11x x x <-=--+<， x e e >，所以110x e e <<，所以(2)1xx x e e-<，所以1()10h x e'>->，所以当(1,2)x ∈时，()h x 单调递增，所以方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的实根．（2）由（1）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的实根0x ，且0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，又当0(x x ∈，2)时，()0h x '>，当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，所以当0(x x ∈，)+∞时，()()f x g x >，所以020(1),0(),x x lnx x x m x x x x e+<⎧⎪=⎨>⎪⎩，当0(0,)x x ∈时，若(0x ∈，1]，则()0m x ；若(1x ∈，0]x ，由1()10m x lnx x'=++>，可知00()()m x m x <，故当(0x ∈，0]x 时，0()()m x m x ．。

2023届浙江高三物理高考复习微专题模型精讲精练第15讲多体平抛运动模型(解析版)

第15讲多体平抛运动模型1．（2021·江苏）如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（）A．A比B先落入篮筐B．A、B运动的最大高度相同C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同【解答】解：AB、将A、B篮球的运动过程逆向看作是从篮筐沿同方向斜向上抛出的斜抛运动，落到同一高度上的两点，因A水平位移较大，可知A的抛射速度较大，竖直初速度较大，最大高度较大，运动时间较长，即B先落入篮筐中，故AB错误；C、因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即在最高点的速度比B在最高点的速度大，故C错误；D、由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，故D正确。

故选：D。

一.知识总结1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动．4. 平抛运动基本规律如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．图1(1)位移关系(2)速度关系（3）飞行时间由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关．（4）水平射程 x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关．（5）落地速度v ＝v x 2＋v y 2＝v 02＋2gh ，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝v y v x ＝2ghv 0，落地速度与初速度v 0和下落高度h 有关．（6）速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示．图4（7）两个重要推论①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即x B ＝x A2.图5推导：⎭⎬⎫tan θ＝y Ax A －x Btan θ＝v yv 0＝2y AxA→x B＝x A2②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α. 推导：⎭⎬⎫tan θ＝v y v 0＝gt v 0tan α＝y x ＝gt 2v→tan θ＝2tan α5.多体平抛模型（1）模型特点：涉及到两个或两个以上物体做平抛运动的模型（2）模型运动规律①若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。

精讲试题15 巧求面积(一)

巧求面积练习题一．夯实基础：1. 如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)2. 一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？3. 一块长方形纸片，在长边剪去5cm ，宽边剪去2cm 后(如图)，得到的正方形面积比原长方形面积少231cm ．求原长方形纸片的面积．4. 一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？30203040525. 如图所示，把一个正方形各边中点顺次相连，可得一个新的较小的正方形；把这个小正方形的各边中点顺次相连，又可以得到一个新的更小一些的正方形……如此依次连下去，一直连到第三个新正方形为止。

如果图中阴影的面积等于1，那么图中最大的正方形面积等于多少？二．拓展提高：6. 甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？7. 如图，四边形ABCD 的周长是60厘米，点M 到各边的距离都是4.5厘米，这个四边形的面积是平方厘米.8. 有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积？1086丙乙甲9. 有大、小两个长方形(如图)，对应边的距离均为1cm ，已知两个长方形之间部分的面积是216cm ，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积．10. 空白处每个方格都是边长为4厘米的正方形，黑条的宽度为2厘米，求阴影部分的面积和周长。

11. 如图，一块正方形地砖，上面印有四周对称的花纹，正中心红色小正方形面积是8，四块绿色等腰直角三角形均相同，面积总和是36，那么图中阴影部分的面积是多少？三．超常挑战：12. 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.13. 两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.四．杯赛演练：14. (2008年第七届”小机灵杯”数学竞赛决赛)如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8，那么最大的正方形的边长是．15. (2008年全国小学生”我爱数学夏令营”数学竞赛)如图，边长为 10的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为36，则十字中央的小正方形面积为．16. （武汉明心奥数挑战赛）如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？FBA第6题第2题1017.（第四届《小数报》数学竞赛决赛试题）有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米．小正方形的面积是多少平方厘米？18.(第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．B答案：1. 这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；图一图二图三方法一：如图一，3040203040120014002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法二：如图二，203040203060020002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法三：如图三，40302030303035009002600+⨯+-⨯=-=（）（）(平方米)2. (方法一)如图，铁板面积比原来减少的面积就是阴影部分的面积，阴影部分的面积是用原长方形的面积减去空白部分的面积．即: 1512(152)(122)⨯--⨯-180130=-=50(平方分米).(方法二)也可把阴影部分分割成两个长方形，求两个长方形的面积．3. 通过对图形进行分割，可以发现C 的长与宽分别是5cm 和2cm ，则它的面积是5210⨯=(2cm )，那么A B +的面积是311021-=(2cm )，如给B 移到A 的旁边，则知正方形的边长：(cm )，正方形的面积是339⨯=(2cm )，原长方形的面积是31940+=(2cm )．4. 第一个正方形的面积是2020400⨯=(平方厘米)，第二个正方形的面积如图，实际上是第一个正方形面积的一半．依次类推，第五个正方形的面积为：400222225÷÷÷÷=(平方厘米)．5. 最小的正方形面积等于2，每往外扩一层，面积就会增加一倍。

Unit5Lesson15要点全解北师大版英语八年级上册

Unit 5 The UnexplainedLesson 15 A Young Hero EQ知识精讲Was Tilly paying attention to this?泰丽注意到这个现象了吗？（教材第58页）pay attention to意为“注童，集中精力于……”，其中的…是介词，后接名词、代词或动名词形式。

』You'd better pay a attention to this wordjt appeared in the last exam.你最好注意一下这个单词，它在上次考试中出现过。

人We should pay more attention to developing agriculture.我ff］应送更如注重发里的业。

1.Yes, she was, and she lold her mother at once.是的，她注意到了，而且她立刻告诉了她的妈妈。

（教材第58 页）at once意为“立刻，马上”，与right away同义，作时间状语。

』Do it at once.马上做这件事。

▲I go there at once.我马上去那里。

2.She shouted to her dad她期爸爸呼喊。

（教材第58页）shout to意为“呼喊，对大声喊叫"。

指因距离远而不得不大声叫喊（否则对方无法听见）。

▲We shouted to the driver,but he didn't hear us.我们大声向司机喊，但他没听见。

【拓展】shout at多指因为生气等非善意地对某人吼叫。

Dad shouted at the girl.and she cried.爸爸训斥了女孩一顿，女孩哭了shout to sb.向某人喊话shout at sb. 向某人叫骂3.He warned others and everyone left the beach.他警告了其他人，大家都离开J‘海滩。