2017高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制课件新人教A版必修4
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高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制
1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式 π rad＝180°是关键，由它可以得到：
度数×1π80＝弧度数，弧度数×(1π80)熟记：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
课时作业
一、度量角的单位制 单位制
[自主梳理] 内容
1 角度制 周角的 360 为 1 度角，记作 1°；用度作为单位来度量角
的单位制叫角度制 规定长度等于半径长 的圆弧所对的圆心角叫作 1 弧度的 弧度制 角，以 弧度 为单位来度量角的单位制叫作弧度制；在
弧度制下，1 弧度记作 1 rad
二、弧度数 一般地，正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个 负数 ，零角的弧 度数是 0 .如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数
S＝12r·l＝12×1×π3＝π6.
答案：π3
π 6
探究一 有关角度与弧度概念的理解 [典例 1] (1)下列命题中，正确的命题是________． ①1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π； ②1 rad 的角等于 1 度的角； ③180°的角一定等于 π rad 的角； ④“度”和“弧度”是度量角的两种单位． (2)在半径不等的两个圆内，1 弧度的圆心角所对的弧长________．(填“相等”或 “不相等”)
l 的绝对值是|α|＝ r .这里，α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
三、弧度制与角度制的换算公式 角度化弧度
360°＝ 2π rad 180°＝ π rad
弧度化角度 2π rad＝360° π rad＝ 180°
π
1 rad＝ (1π80)°≈57.30°
1°＝ 180 rad≈0.017 45 rad
人教版2017高中数学(必修四)1.1.2 弧度制 PPT课件
表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必须要
统一单位，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋
2kπ(k∈Z)”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋ k· 360°(k∈Z)”中，α必须是用角度制表示的角．
2． 将下列各Байду номын сангаас化成 0～ 2π 范围内的角加上 2kπ(k∈ Z)的形式． 19 (1) π；(2)－315° . 3
用弧度制表示终边相同的角
(1) 把－ 1 480° 写 成 α ＋ 2kπ(k ∈ Z) 的 形式，其中 0≤α≤2π. (2)若 β∈[－4π，0]，且 β 与(1)中 α 终边相同，求 β.
1 480π 74π 16π [解] (1)∵－1 480° ＝－ ＝－ ＝－10π＋ ， 180 9 9 16π 又 0≤ ≤2π， 9 16π 16π ∴－1 480° ＝ －2×5π＝ ＋2×(－5)π. 9 9
1．角的单位制 (1)角度制 1 规定周角的________ 360 为1度的角，用度作为单位来度量角 的单位制叫做角度制． (2)弧度制 半径长 的弧所对的________ 圆心角 叫做1弧度的 把长度等于________ 弧度制 ， 角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________ 弧度 ，通常略去不写． 它的单位符号是rad，读作________
(1)在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式 π rad＝ 180° 是关键．由它可以得到： π 180 度数× ＝弧度数，弧度数×( )° ＝度数． 180 π (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记．
1．将下列角转化为另一种度量形式表示． 3 (1)－18° ；(2) π；(3)－2 rad. 10 π π 解：(1)－18° ＝ ×(－18) rad＝－ rad. 180 10 3 3 180 (2) π＝ π·( )° ＝54° . 10 10 π 180 (3)－2 rad＝－2× ( )°≈－57.30° × 2＝－114.60° . π
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件2 新人教A版必修4.ppt
①l=|α|·r，|α|=
l
r ，r=
l
| | ；②S=
1
2 |α|r2，|α|=
2S r2
.Leabharlann 20【题型探究】类型一 角度与弧度的互化及应用
【典例】1.把下列各角从弧度化为度.
(1) 3 =________.(2) =________.
5
12
2.把下列各角从度化为弧度.
(1)-1440°=________.(2)67°30′=________.
3.把下列各角化成2kπ+α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几
象限角.
(1)-1500°.(2) 2 3 .(3)-4. 21 6
【解题探究】1.典例1中，从弧度化为度时要乘以多少？ 提示：弧度数×( 1 8 0 )°=度数.
2.典例2中，从度化为弧度时要乘以多少？ 提示：度数× rad=弧度数.
3
B.{α|α=2kπ+120°，k∈Z}
C.{α|α=k·180°+120°，k∈Z}
D.{α|α=2kπ+ 2 ，k∈Z}
3
【解析】选D.与120°角终边相同的角：α=120°+k·360°，k∈Z或 α= 2
3
+2kπ，k∈Z. 8
3 3.半径为2，圆心角为 的扇形的面积是( )
A .4 3
14
2.“角度”与“弧度”的区别与联系 (1)区别： ①定义不同. ②单位不同.弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是 以“度”为单位，单位不能省略. ③弧度制是十进制，而角度制是六十进制.
15
(2)联系： ①不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半 径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关. ②“弧度”与“角度”之间可以相互转化.
高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制(第2课时)教学课件 新人教A版必修4
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
②
①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1，r2＝4.
当 r＝1 时，l＝8(cm)，此时 θ＝8 rad＞2π rad，舍去． 当 r＝4 时，l＝2(cm)，此时 θ＝24＝12 rad. ∴综上，θ＝12. (2)设扇形弧长为 l， ∵72°＝72×1π80＝25π(rad)， ∴l＝αR＝25π×20＝8π(cm)． ∴S＝12lR＝12×8π×20＝80π(cm2)．
②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧 度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把 π写成小数．
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再 化成弧度．
2．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集 合为________________．
解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ＜α ＜2kπ＋π，k∈Z.
答案：{α|2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z}
1．度量角的两种制度 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1 度的角：周角的3160作为一个单位． (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1 弧度的角：长度等于半__径___长__的弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算 (1)弧度数 ①正角的弧度数是一个_正_数____． ②负角的弧度数是一个_负__数___． ③零角的弧度数是_0__.
l (2)弧度数的计算：|α|＝__r__.
如图：
3．角度制与弧度制的换算
1．想一想 角α＝5这种表达方式正确吗？ 提示：正确．角α＝5表示5弧度的角，这里 将“弧度”省去了．
2．判一判(判断下列说法的正误) (1)“度”与“弧度”是相同的，都是用来度 量角的单位．( )
提示：× “度”与“弧度”是度量角的 两种不同的度量单位．
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
②
①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1，r2＝4.
当 r＝1 时，l＝8(cm)，此时 θ＝8 rad＞2π rad，舍去． 当 r＝4 时，l＝2(cm)，此时 θ＝24＝12 rad. ∴综上，θ＝12. (2)设扇形弧长为 l， ∵72°＝72×1π80＝25π(rad)， ∴l＝αR＝25π×20＝8π(cm)． ∴S＝12lR＝12×8π×20＝80π(cm2)．
②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧 度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把 π写成小数．
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再 化成弧度．
2．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集 合为________________．
解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ＜α ＜2kπ＋π，k∈Z.
答案：{α|2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z}
1．度量角的两种制度 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1 度的角：周角的3160作为一个单位． (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1 弧度的角：长度等于半__径___长__的弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算 (1)弧度数 ①正角的弧度数是一个_正_数____． ②负角的弧度数是一个_负__数___． ③零角的弧度数是_0__.
l (2)弧度数的计算：|α|＝__r__.
如图：
3．角度制与弧度制的换算
1．想一想 角α＝5这种表达方式正确吗？ 提示：正确．角α＝5表示5弧度的角，这里 将“弧度”省去了．
2．判一判(判断下列说法的正误) (1)“度”与“弧度”是相同的，都是用来度 量角的单位．( )
提示：× “度”与“弧度”是度量角的 两种不同的度量单位．
1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
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第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
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第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
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第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 新人教A版必修4
1 周角的____3_6_0_____为1度角，记作1°
定义 弧
以_____弧__度____为单位来度量角的单位制
度 1弧度 长度等于___半__径__长____的弧所对的圆心角叫做1
制 的角 弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)
2.弧度数的计算
3．角度与弧度的互化 角度化弧度
360°＝_2_π_r_a_d____
探究点一 角度制与弧度制的互化 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. [解] (1)20°＝12800π＝π9. (2)－15°＝－15×1π80＝－1π2. (3)71π2＝71π2×1π80°＝172×180°＝105°. (4)－151π＝－151π×1π80°＝－396°.
(2)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 R， l＋2R＝10，①
依题意有12lR＝4.② ①代入②得 R2－5R＋4＝0，解之得 R1＝1，R2＝4. 当 R＝1 时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad＞2π rad 舍去． 当 R＝4 时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12 (rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12 rad.
探究点三 扇形的弧长与面积的计算 (1)已知扇形的圆心角为 120°，半径为 3 cm，则此扇形 的面积为________ cm2. (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的 弧度数． [解] (1)设扇形弧长为 l， 因为 120°＝120×1π80 rad＝23π(rad)， 所以 l＝αR＝23π× 3＝2 33π(cm)． 所以 S＝12lR＝12×2 33π× 3＝π(cm2)．故填 π.
第一章 三角函数
定义 弧
以_____弧__度____为单位来度量角的单位制
度 1弧度 长度等于___半__径__长____的弧所对的圆心角叫做1
制 的角 弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)
2.弧度数的计算
3．角度与弧度的互化 角度化弧度
360°＝_2_π_r_a_d____
探究点一 角度制与弧度制的互化 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. [解] (1)20°＝12800π＝π9. (2)－15°＝－15×1π80＝－1π2. (3)71π2＝71π2×1π80°＝172×180°＝105°. (4)－151π＝－151π×1π80°＝－396°.
(2)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 R， l＋2R＝10，①
依题意有12lR＝4.② ①代入②得 R2－5R＋4＝0，解之得 R1＝1，R2＝4. 当 R＝1 时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad＞2π rad 舍去． 当 R＝4 时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12 (rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12 rad.
探究点三 扇形的弧长与面积的计算 (1)已知扇形的圆心角为 120°，半径为 3 cm，则此扇形 的面积为________ cm2. (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的 弧度数． [解] (1)设扇形弧长为 l， 因为 120°＝120×1π80 rad＝23π(rad)， 所以 l＝αR＝23π× 3＝2 33π(cm)． 所以 S＝12lR＝12×2 33π× 3＝π(cm2)．故填 π.
第一章 三角函数
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制课件新人教A版必修4
π 401π 【解析】 (1)2 005°＝ 2 005× 180 rad ＝ 36 rad ＝ 41π 41π 3π 5×2π＋ rad，又 π< 36 36 < 2 ， 41π ∴角 α 与 36 终边相同，是第三象限的角． 41π (2)与 α 终边相同的角为 2kπ＋ 36 (k∈Z)， 41π 由－5π≤2kπ＋ 36 <0，k∈Z 知 k＝－1，－2，－3. 31π 103π 175π ∴在[－5π，0)内与 α 终边相同的角是－ 36 ，－ 36 ，－ 36 .
内部文件，请勿外传
|自我尝试| 1．下列各种说法中，错误的是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 1 1 B．1° 的角是周角的360，1 rad 的角是周角的2π C．根据弧度的定义，180° 的角一定等于 π rad 的角 D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关
解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半 径大小无关，故选 D. 答案：D
)
π π 10π 10 解析：对于 A,60° ＝60×180＝3；对于 B，－ 3 ＝－ 3 ×180° π 5 π 1 ＝－600° ；对于 C，－150° ＝－150×180＝－6π；对于 D，12＝12 ×180° ＝15° . 答案：C
11 2． 把－ 4 π 表示成 θ＋2kπ(k∈Z)的形式， 使|θ|最小的值是( 3 A．－4π B．－2π C．π D．－π
方法归纳 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时， 抓住关系式 π rad＝180° 是关键， 180 π 由它可以得到：度数×180＝弧度数，弧度数× π ° ＝度数．
跟踪训练 1 将下列角度与弧度进行互化： 511 7π (1) 6 π；(2)－12rad；(3)10° ；(4)－855° .
高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制课件新人教A版必修4 (1)
.弧度制与角度制的换算 π (1)角度转化为弧度:360° =2π rad,180° =π rad,1° = rad ≈0.017 180 45 rad. (2)弧度转化为角度:2π rad=360° ,π rad=180° ,1 rad=
180 π
° ≈57.30° = 57° 18'. (3)特殊角的弧度数与角度数对应表:
1 该弧 )的大小 ,而 1° 是圆的周长的 所对的圆心角(或该弧)的大小 ; 360 ������ 任意圆心角 α 的弧度数的绝对值 |α|= , 其中l 是以角 α 作为圆心角 ������
时所对的弧长 ,r 为圆的半径. (3)从换算上 ,1 rad=
(4)从写法上 ,用弧度为单位表示角的大小时,“弧度 ”两字可以省 略不写 ,这时弧度数在形式上虽是一个不名数,但我们应当把它理解 为表示角的弧度数;如果以度为单位表示角,表示度的符号 “°”就不 能省去 .
1
2
3
【做一做1】 下列表述中正确的是( ) A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的 一种度量单位 答案:D
1
2
3
2.弧度数 一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零 角的弧度数是0.
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么,角 α 的弧度 数的绝对值是|α| = . 知识拓展 1.弧长公式 :l=|α|r. 2.扇形面积公式 :S= ������������ = |������|������2.
1 2 1 2 ������ ������
【做一做2】 已知半径为10 cm的圆上,有一条弧的长是40 cm,则 该弧所对的圆心角的弧度数是 (圆心角的范围为(0,2π)). 答案:4
180 π
° ≈57.30° = 57° 18'. (3)特殊角的弧度数与角度数对应表:
1 该弧 )的大小 ,而 1° 是圆的周长的 所对的圆心角(或该弧)的大小 ; 360 ������ 任意圆心角 α 的弧度数的绝对值 |α|= , 其中l 是以角 α 作为圆心角 ������
时所对的弧长 ,r 为圆的半径. (3)从换算上 ,1 rad=
(4)从写法上 ,用弧度为单位表示角的大小时,“弧度 ”两字可以省 略不写 ,这时弧度数在形式上虽是一个不名数,但我们应当把它理解 为表示角的弧度数;如果以度为单位表示角,表示度的符号 “°”就不 能省去 .
1
2
3
【做一做1】 下列表述中正确的是( ) A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的 一种度量单位 答案:D
1
2
3
2.弧度数 一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零 角的弧度数是0.
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么,角 α 的弧度 数的绝对值是|α| = . 知识拓展 1.弧长公式 :l=|α|r. 2.扇形面积公式 :S= ������������ = |������|������2.
1 2 1 2 ������ ������
【做一做2】 已知半径为10 cm的圆上,有一条弧的长是40 cm,则 该弧所对的圆心角的弧度数是 (圆心角的范围为(0,2π)). 答案:4
高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制课件新人教A版必修4
解析：设原来圆的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 θ，
变化后圆的半径为 3R，圆心角为 θ′，则 θ′＝3lR＝13θ.所
以该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的13. 答案：13
类型 1 弧度制的概念(自主研析)
[典例 1] 下列各种说法中，错误的是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad 的角
rad＝α·18π0°，n°＝n·1π80.
[变式训练] 把下列各角从角度化成弧度或从弧度
化成角度.(不必求近似值)
(1)10°； (2)－10°30′； (3)－210°；(4)400°；
(5)1.5 rad；
(6)－π5 rad；
11π (7) 36 rad.
π
π
解：(1)10°＝10×180 rad＝18 rad.
[迁移探究 2] (变换条件、改变问题)已知一扇形的 周长为 4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最 大？最大值是多少？
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，
半径为 r，面积为 S， 则 l＋2r＝4，所以 l＝4－2r1＋2π<r<2，
所以 S＝12l·r＝12×(4－2r)×r＝ －r2＋2r＝－(r－1)2＋1， 所以当 r＝1 时，S 最大，且 Smax＝1，
[变式训练] (1)在半径不相等的两个圆内，1 弧度的
圆心角( )
A.所对弧长相等
B.所对的弦长相等
C.所对弦长等于各自半径 D.所对弧长等于各自半径
(2)圆弧长度等于圆内接正三角形边长，则其所对圆
变化后圆的半径为 3R，圆心角为 θ′，则 θ′＝3lR＝13θ.所
以该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的13. 答案：13
类型 1 弧度制的概念(自主研析)
[典例 1] 下列各种说法中，错误的是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad 的角
rad＝α·18π0°，n°＝n·1π80.
[变式训练] 把下列各角从角度化成弧度或从弧度
化成角度.(不必求近似值)
(1)10°； (2)－10°30′； (3)－210°；(4)400°；
(5)1.5 rad；
(6)－π5 rad；
11π (7) 36 rad.
π
π
解：(1)10°＝10×180 rad＝18 rad.
[迁移探究 2] (变换条件、改变问题)已知一扇形的 周长为 4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最 大？最大值是多少？
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，
半径为 r，面积为 S， 则 l＋2r＝4，所以 l＝4－2r1＋2π<r<2，
所以 S＝12l·r＝12×(4－2r)×r＝ －r2＋2r＝－(r－1)2＋1， 所以当 r＝1 时，S 最大，且 Smax＝1，
[变式训练] (1)在半径不相等的两个圆内，1 弧度的
圆心角( )
A.所对弧长相等
B.所对的弦长相等
C.所对弦长等于各自半径 D.所对弧长等于各自半径
(2)圆弧长度等于圆内接正三角形边长，则其所对圆
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(1)下列命题中，正确的命题是________．
1 1 ①1° 的角是周角的 ，1 rad 的角是周角的 ； 360 2π ②1 rad 的角等于 1 度的角； ③180° 的角一定等于 π rad 的角； ④“度”和“弧度”是度量角的两种单位． (2)在半径不等的两个圆内， 1 弧度的圆心角所对的弧长________． (填“相等”或 “不相等”)
解析：根据角度制和弧度制的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小都 与圆的半径大小无关，而是与弧长与半径的比值有关．
答案：D
2 2．若一扇形的圆心角为 π，半径为 20 cm，则扇形的面积为( 5 A．40π cm2 C．40 cm2 B．80π cm2 D．80 cm2
)
2 1 2 解析：因为扇形的圆心角为 π，半径为 20 cm，所以扇形的面积为 S 扇形＝ αR ＝ 5 2 80π cm2，故选 B.
3π π 设 α1＝－570° ，α2＝750° ，β1＝ ，β2＝－ . 5 3
(1)将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将 β1，β2 用角度制表示出来，并在－720° ～0° 范围内找出与它们终边相同的所有角．
[解析] (1)∵180° ＝π rad 570π 19π 5π ∴α1＝－570° ＝－ ＝－ ＝－2×2π＋ ， 180 6 6 750π 25π π α2＝750° ＝ ＝ ＝2×2π＋ . 180 6 6 ∴α1 的终边在第二象限，α2 的终边在第一象限．
二、弧度数 一般地，正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个 负数 ，零角的弧 度数是 0 .如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数
l 的绝对值是|α|＝ r .这里，α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
三、弧度制与角度制的换算公式 角度化弧度 360° ＝ 弧度化角度 2π rad＝360° π rad＝ 180°
4．若扇形的圆心角为 60° ，半径为 1，则扇形的弧长 l＝________， 面积 S＝________.
π π 解析：因为 α＝60° ＝ ，r＝1，所以 l＝α· r＝ ， 3 3 1 1 π π S＝ r· l＝ ×1× ＝ . 2 2 3 6
π 答案： 3
π 6
探究一 [典例 1]
有关角度与弧度概念的理解
答案：B
3．请将下列角度化为弧度，弧度化为角度． ①60° ＝________，150° ＝________； π 2π ② ＝________， ＝________. 6 3
解析：根据角度与弧度的互化公式知 π 5π π 2π 60° ＝ ，150° ＝ ， ＝30° ， ＝120° . 3 6 6 3 π 5π 答案：① ②30° 120° 3 6
2π rad
180° ＝ π rad
π 1° ＝ 180 rad≈0.017 45 rad
180 ( )° 1 rad＝ π ≈57.30°
四、扇形的弧长及面积公式 nπ 设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中 α＝ ，则 180 度量单位 类 别 扇形的弧长 弧度制 角度制
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理] 一、度量为单位来度量角 角度制 周角的 360 为 1 度角，记作 1°
的单位制叫角度制
半径长 的圆弧所对的圆心角叫作 1 弧度的 规定长度等于
弧度制 角，以 弧度 为单位来度量角的单位制叫作弧度制；在 弧度制下，1 弧度记作 1 rad
3π 3 (2)β1＝ ＝ ×180° ＝108° ， 5 5 设 θ＝108° ＋k· 360° (k∈Z)， 则由－720° ≤θ＜0° ，即－720° ≤108° ＋ k· 360° ＜0° ， 得 k＝－2，或 k＝－1. 故在－720° ～0° 范围内，与 β1 终边相同的角是－612° 和－252° . π β2＝－ ＝－60° ，设 γ＝－60° ＋k· 360° (k∈Z)， 3 则由－720° ≤－60° ＋k· 360° ＜0° ， 得 k＝－1，或 k＝0. 故在－720° ～0° 范围内，与 β2 终边相同的角是－420° .
1.1.2 弧度制
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.理解角度制与弧度制的概念， 能对 弧度和角度进行正确的转换． 2.体会引入弧度制的必要性， 建立角 的集合与实数集一一对应关系． 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公 式和扇形面积公式. 重点：弧度的角概念的理解，弧 度制与角度制的互化． 难点：弧度的角概念的理解.
nπR l＝ 180
l＝ αR
扇形的面积
2 1 1 2 n π R lR αR 2 2 S＝ ＝ S＝ 360
[双基自测] 1．下列各种说法中，不正确的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 1 1 B．1° 的角是周角的 ，1 rad 的角是周角的 360 2π C．1 rad 的角比 1° 的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
1．下列各说法中，错误的说法是( A．半圆所对的圆心角是 π rad B．周角的大小等于 2π
)
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度
解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知 A、B、C 均正确，D 错误．
答案：D
探究二 [典例 2]
角度与弧度之间的互化
[解析]
(1)由弧度制的概念及换算关系，知①③④正确．
(2)由于 1 弧度的圆心角所对的弧长等于圆的半径，而两个圆的半径不等，故在两 个圆中，1 弧度的圆心角所对的弧长不相等．
[答案]
(1)①③④
(2)不相等
角度与弧度的理解 (1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一一对应关系． (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同(都是 0)；用角度制和 弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同． (3)牢记 180° ＝π rad，充分利用其进行角度制与弧度制互化． (4)角度的单位“° ”不可省略，而弧度的单位“rad”可以省略． (5)在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用．