任意角的概念与弧度制、任意角的的三角函数

v ，cos α =__ u ，tan α = v 于点P(u,v)，则sin α =__ （u 0）.
u
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正 弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点 都是(1,0).
正弦线 ，角α 的 如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α 的_______
(A)第一象限角 (B)第二象限角
)
(C)第三象限角
(D)第四象限角
【解析】选C.由sin θ＜0，则θ的终边在三、四象限，或y轴 负半轴.由tan θ＞0，则θ的终边在一、三象限，故θ是第三 象限角.
3.已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形 的周长为( (A)2 ) (B)4 (C)6 (D)8
【解析】选C.设扇形的弧长为l，半径为r,圆心角为α，则
S 1 1 r 2 4r 2 2, 解得r=1,故l=|α|r=4〓1=4,所以扇形周 2 2
长为2r+l=2〓1+4=6.
4.已知角α 终边上一点A(2,2)，则tan α =______.
【解析】tan y 2 1.
限，故选B.
(2)∵α是第一象限角，
k 2＜＜k 2 , k Z. 2
①k·4π＜2α＜k·4π+π,k∈Z, 即2k·2π＜2α＜2k·2π+π,k∈Z, ∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.
②k ＜ ＜k , k Z, 2 4 当k=2n(n∈Z)时, 2n＜ ＜2n , n Z, 2 4 ∴ 的终边在第一象限. 2
π 0 __
2 2 2 2
3 2
1 2
1 __ 0 __

3 2
1 2
3 2 3 3

3 2
-1 ____
0 __
1 __
3
3
3 3
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）小于90°的角是锐角.( ) )
（2）锐角是第一象限角，反之亦然.(
（3）与45°角终边相同的角可表示为k×360°+45°，k∈Z或 2kπ +45°，k∈Z.( ) )
2
对k的奇偶性讨论可得解. (2)由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α, 的范围， 最后确定终边所在的位置. 【规范解答】(1)选B.由 2k＜＜3 2k，k Z, 得 k＜1 ＜3 k，k Z，
2 2 2 4 故 k＜ 1 ＜ k, k Z. 4 2 2 当k为偶数时π- 1 α在第一象限，当k取奇数时π- 在第三象 2 2 2
(2)根据与α终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角；
第三章 三角函数、三角恒等变形、
解三角形
第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的 三角函数
1.角的有关概念
射线 象限角
旋转
正角 负角
零角
α +k·360o,k∈Z
2.弧度的定义和公式
单位长度 的弧所对的圆心 (1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________ rad ，读作_____. 弧度 角为1弧度的角,它的单位符号是____
（5）正确.由诱导公式（一）可知或由三角函数的定义可得 .
(6)正确.由已知得tan α＜0，cos α＜0，所以α为第二象限 角. 答案：（1）〓 (6)√ （2）〓 （3）〓 （4）〓 (5)√
1.终边落在第二象限的角可表示为(
)
Leabharlann Baidu
(A){α |90°+2kπ ＜α ＜180°+2kπ ，k∈Z} (B){α |
余弦线 和角α 的_______. 正切线 _______
4.特殊角的三角函数值 角α 角α 的 弧度数 sin α cos α tan α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 0 0 __ 1 __ 0 __
6 1 2 4 3 2 2 3
150° 180°
5 6 1 2
当k=2n+1(n∈Z)时,
＜ 2n 1 , n Z, 2 4 即 2n ＜ ＜2n 5 , n Z, 2 4 ∴ 的终边在第三象限. 2 综上可得 的终边在第一象限或第三象限. 2
2n 1 ＜
【拓展提升】强化对终边相同角的表示与应用 (1)所有与α的终边相同的角都可表示为β=α+k〓360°,k∈Z 的形式.
x 2
答案：1
考向 1
终边相同的角的表示
2
【典例1】（1）若α 是第三象限的角，则π - 1 α 是(
)
(A)第一或第二象限的角
(C)第二或第三象限的角
(B)第一或第三象限的角
(D)第二或第四象限的角
2
（2）已知角α 是第一象限角，确定2α ， 的终边所在的象
限位置.
【思路点拨】(1)由α为第三象限角求得π- 1 α的范围，通过
（2）公式：
角α 的弧度数公式
角度与弧度的换算
|α |=
l （弧长用l表示） r 180 ②1 rad=( )°
①1°= 180 rad
弧长公式
扇形面积公式
弧长l= r|α |
1 1 2 l r S= 2 = 2 r | |
3.任意角的三角函数 （1）定义：在平面直角坐标系中，设角α 的终边与单位圆交
（4）将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60°.( （5）终边相同的角的同一三角函数值相等.( )
（6）点P（tan α ，cos α ）在第三象限，则角α 终边在第二 象限.( )
【解析】（1）错误.负角小于90°但它不是锐角. （2）错误.第一象限角不一定是锐角，如-350°是第一象限角， 但它不是锐角. （3）错误.不能表示成2kπ+45°,k∈Z，即角度和弧度不能混 用. （4）错误.拨快分针时，分针顺时针旋转，应为-60°.
+2kπ ＜α ＜π +2kπ ，k∈Z} 2 +kπ ＜α ＜ 3π +kπ ，k∈Z} 4 4
(C){α |90°+k×180°＜α ＜180°+k×180°，k∈Z}
(D){α |
【解析】选B.A错，角度与弧度不能混用.C,D错，当k为奇数时
不成立，故选B.
2.已知sin θ ＜0，tan θ ＞0，那么角θ 是(