2020北京朝阳区高三下学期(一模)数学试题及答案4月份

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2020年朝阳市高三数学下期末第一次模拟试卷含答案

2020年朝阳市高三数学下期末第一次模拟试卷含答案

2020年朝阳市高三数学下期末第一次模拟试卷含答案一、选择题1.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+,12a =,则2a =( )A .2B .-4C .2或-4D .42.已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、,面积为S ,且2S =,则A 等于( )A .6π B .4π C .3π D .2π 3.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是( ) A .12B .13C .23D .344.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =u u u vA .3144AB AC -u u uv u u u vB .1344AB AC -u u uv u u u vC .3144+AB AC u u uv u u u vD .1344+AB AC u u uv u u u v5.如果42ππα<<,那么下列不等式成立的是( )A .sin cos tan ααα<<B .tan sin cos ααα<<C .cos sin tan ααα<<D .cos tan sin ααα<<6.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子,每个盒子放一个小球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同,则不同的放法种数是( ) A .40 B .60 C .80 D .100 7.已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v 在向量a v方向上的投影为( ) A .1B .-1C .2D .-28.函数()f x x=的图象关于( )A .x 轴对称B .原点对称C .y 轴对称D .直线y x =对称9.正方形ABCD 中,点E 是DC 的中点,点F 是BC 的一个三等分点,那么EF =u u u v( )A .1123AB AD -u u uv u u u vB .1142AB AD +u u uv u u u vC .1132AB DA +u u uv u u u vD .1223AB AD -u u uv u u u v .10.已知双曲线C :22221x y a b -= (a >0,b >0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则C 的方程为( ) A .221810x y -=B .22145x y -=C .22154x y -=D .22143x y -=11.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图是一个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )A .43πB .83π C .163πD .203π12.设,a b ∈R ,数列{}n a 中,211,n n a a a a b +==+,N n *∈ ,则( )A .当101,102b a => B .当101,104b a => C .当102,10b a =-> D .当104,10b a =->二、填空题13.已知函数()2xf x =,等差数列{}n a 的公差为2,若()2468104f a a a a a ++++=,则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.14.在钝角ABC V 中,已知7,1AB AC ==,若ABC V 的面积为62,则BC 的长为______.15.已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则()sin αβ+__________.16.已知圆台的上、下底面都是球O 的截面,若圆台的高为6,上、下底面的半径分别为2,4,则球O 的表面积为__________.17.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-,则a = .18.幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.19.已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示,若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积等于_________.20.()sin 5013=oo________________.三、解答题21.某厂家拟在2020年举行促销活动,经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)m 万件与年促销费用x 万元,满足31km x =-+(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件,已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件,该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2020年该产品的利润y (万元)表示为年促销费用x (万元)的函数; (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==. (1)求{}n a 的通项公式;(2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-,为数列{}n b 的前n 项和,是否存在正整数m ,()1k m k <<,使得23k m T T =?若存在,求出m ,k 的值;若不存在,请说明理由.23.已知A 为圆22:1C x y +=上一点,过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ,点P 满足2.BP BA =u u u v u u u v(1)求动点P 的轨迹方程;(2)设Q 为直线:3l x =上一点,O 为坐标原点,且OP OQ ⊥,求POQ ∆面积的最小值.24.已知函数()32f x x ax bx c =+++,过曲线()y f x =上的点()()1,1P f 处的切线方程为31y x =+.(1)若函数()f x 在2x =-处有极值,求()f x 的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数()y f x =在区间[]3,1-上的最大值.25.如图所示,已知正方体1111ABCD A B C D -中,E F ,分别为11D C ,11C B 的中点,AC BD P =I ,11A C EF Q =I .求证:(1)D B F E ,,,四点共面;(2)若1A C 交平面DBEF 于R 点,则P Q R ,,三点共线.26.如图,在四面体ABCD 中,△ABC 是等边三角形,平面ABC ⊥平面ABD ,点M 为棱AB 的中点,AB =2,AD =23,∠BAD =90°. (Ⅰ)求证:AD ⊥BC ;(Ⅱ)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比,由此能求出结果. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,2342S S S =+,12a =,∴()()()34212122211q q q qq--+=+--,解得2q =-,∴214a a q ==-,故选B . 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.C解析:C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 2bc c B +=,结合正弦定理及三角恒等变换知识cosA 1-=,从而得到角A. 【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++∴3sinA cosA 1-=∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, ∴5666A 或πππ-=(舍) ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式,以及三角恒等变换,熟练掌握边角的转化是解本题的关键.3.B解析:B 【解析】试题分析:由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题.从这4张卡片中随机抽取2张,总的方法数是246C =种,数学之和为偶数的有13,24++两种,所以所求概率为13,选B . 考点:古典概型.4.A解析:A 【解析】分析:首先将图画出来,接着应用三角形中线向量的特征,求得1122BE BA BC =+u u u v u u u v u u u v,之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则,得到BC BA AC =+u u u v u u u v u u u v,之后将其合并,得到3144BE BA AC =+u u u v u u u v u u u v ,下一步应用相反向量,求得3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v,从而求得结果.详解:根据向量的运算法则,可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1113124444BA BA AC BA AC u uu v u u u v u u u v u u u v u u u v =++=+, 所以3144EB AB AC =-u u u v u u u v u u u v,故选A.点睛:该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题,涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要认真对待每一步运算.5.C解析:C 【解析】 【分析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线,结合图象,即可求解. 【详解】如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT , 很容易地观察出OM MP AT <<,即cos sin tan ααα<<. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用,其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线,合理作出图象是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于基础题.6.A解析:A【解析】解:三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种,由排列组合的知识可得,不同的放法总数是: 36240C = 种.本题选择A 选项.7.B解析:B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0,化简得到a r g b r=﹣2,再根据投影的定义即可求出.【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r), ∴a r g (a r +2b r),=0, 即()2·20a a b +=vv v 即a r g b r=﹣2∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=vv v =﹣1, 故选B . 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法,公式与定义两者要灵活运用.解答关键在于要求熟练应用公式.8.C解析:C 【解析】 【分析】求函数的定义域,判断函数的奇偶性即可. 【详解】解:()f x x=Q0x ∴≠解得0x ≠()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞U ,D 关于原点对称.任取x D ∈,都有()()f x f x -===,()f x ∴是偶函数,其图象关于y 轴对称,故选:C . 【点睛】本题主要考查函数图象的判断,根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键.9.D解析:D 【解析】 【分析】用向量的加法和数乘法则运算。

北京市朝阳区2024届高三一模数学含答案

北京市朝阳区2024届高三一模数学含答案

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学2024.4(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)已知全集{1,2,3,4},{|2}U A x U x ==∈<,则U A =ð(A ){1}(B ){1,2}(C ){3,4}(D ){2,3,4}(2)复数i3i+在复平面内对应的点位于(A )第一象限(B )第二象限(C )第三象限(D )第四象限(3)在ABC △2sin b A =,则B ∠=(A )6π(B )6π或65π(C )3π(D )3π或32π(4)已知a ∈R ,则“01a <<”是“函数3()(1)f x a x =-在R 上单调递增”的(A )充分而不必要条件(B )必要而不充分条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件(5)已知直线60x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点.若||6AB =,则r =(A )2(B )(C )4(D )(6)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12341,4a a a a =++=,则6S =(A )9(B )16(C )21(D )25(7)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,过点F 作垂直于x 轴的直线l ,,M N分别是l 与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点.若M 是线段FN 的中点,则C 的渐近线方程为(A )y x=±(B )2y x =±(C )3y x =±(D )5y x =±(8)在ABC △中,2,AB AC BC ===,点P 在线段BC 上.当PA PB ⋅取得最小值时,PA =(A (B (C )34(D )74(9)在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,,,E F G 分别为棱11,,AA BC CC 的中点,动点H 在平面EFG 内,且1DH =.则下列说法正确的是(A )存在点H ,使得直线DH 与直线FG 相交(B )存在点H ,使得直线DH ⊥平面EFG (C )直线1B H 与平面EFG 所成角的大小为π3(D )平面EFG (10)已知n 个大于2的实数21,,,n x x x ,对任意(1,2,),i n x i = ,存在2i y ≥满足i i y x <,且i i y x i i x y =,则使得12115n n x x x x -+++ ≤成立的最大正整数n 为(A )14(B )16(C )21(D )23第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。

北京市朝阳区高三四月份数学联考试卷答案

北京市朝阳区高三四月份数学联考试卷答案

(Ⅱ)因为 PA AD 2 , PD 2 2 ,所以 PA AD .
由(Ⅰ)得 AB 平面 PAD ,所以 AB PA ,
故 AB, AD, AP 两两垂直. 如图,以 A 为原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x, y, z 轴,M
建立空间直角坐标系 A xyz ,
则 P(0,0, 2) , B(1,0,0) , C(2, 2,0) , D(0, 2,0) .
因此 f (x)max f (1) e a .
高三数学参考答案 第 6 页(共 10 页)
…………5 分 …………6 分
…………7 分
依题意,令 e a 2 ,有 0 a e 2 .
…………8 分
当1 ln 2a 0 时,即 a e 时, f (1) e 2a 0 , f (0) 1 0 , 2
② 抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03 C ,方差约为 0.0156 ;“抗生素 C”平均体温 38 C , 方差约为 0.1067 ,“抗生素 C”治疗期间体温离散程度大,说明存在某个时间节点降温
效果明显,故“抗生素 C”治疗效果最佳.
········································14 分
2
4
2
6
又T 2 ,所以 1,所以 f (x) 1 sin(2x ) .
2
2
6
方案三:选条件③
由题意可知,T 2 ,所以 1,所以 f (x) 1 sin(2x ) .
2
2
6
又因为函数 f (x) 图象经过点 ( , 1) ,所以 1 1 sin(2 ) .
62
22
6
因为| | ,所以 ,所以 f (x) 1 sin(2x ) .

朝阳区高三一模有答案

朝阳区高三一模有答案

朝阳区高三一模有答案数学试卷(理工类) 2020.3(考试时刻120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A. 42i -+ B. 42i - C. 24i - D. 24i +2. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅,且2,1ab ,则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21()n n S a n N *=-∈,则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 324. 已知平面α,直线,,a b l ,且,a b αα⊂⊂,则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品,其中有2件产品运行不稳固.技术人员对它们进行一一测试, 直到2件不稳固的产品全部找出后测试终止,则恰好3次就终止测试的方法种数是( )A. 16B. 24C. 32D. 486.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R ,都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时,2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a 的值是 A.0 B. 0或12-C. 14-或12-D. 0或14- 7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售,商场为吸引厂家第一年免收治理费,因此第一年A 种产品定价为每件70元,年销售量为11.8万件. 从第二年开始,商场对A 种产品 征收销售额的%x 的治理费(即销售100元要征收x 元),因此该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元,估量年销售量减少x 万件,要使第二年商场在A 种产品经营中收取的治理费许多于14万元,则x 的取值范畴是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108.已知点集{}22(,)48160A x y x y x y =+--+≤,{}(,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+,点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N .若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内(不在边界上),则△DMN 的面积的最大值是A. 1B. 2C.D. 4第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 把答案填在答题卡上.9. 已知双曲线的方程为2213x y -=,则此双曲线的离心率为 ,其焦点到渐近线的距离为 .10. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .(第10题图) (第11题图)11. 执行如图所示的程序框图,若输入k 的值是4,则输出S 的值是 .12.在极坐标系中,曲线ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ,则线段AB 的中点E 到极点的距离是 .13.已知函数213(),2,()24log ,0 2.x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点,则实数k 的取值范畴是 .14.已知△ABC 中, 90,3,4C AC BC ∠=︒==.一个圆心为M ,半径为14的圆在△ABC正视图 侧视图内,沿着△ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中,圆M 至少与△ABC 的一边相切,则点M 到△ABC 顶点的最短距离是 ,点M 的运动轨迹的周长是 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解承诺写出文字说明,演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上. 15. (本小题满分13分) 已知函数π()cos()4f x x =-.(Ⅰ)若()10f α=,求sin 2α的值; (II )设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭,求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. (本小题满分13分)某次有1000人参加的数学摸底考试,其成绩的频率分布直方图如图所示,规定85分及其以上为优秀.绩进行分析,求其中成绩为优秀的学生人数; (Ⅲ)在(II )中抽取的40名学生中,要随机选取2名学生参 加座谈会,记“其中成绩为优秀的人数”为X ,求X 的分布列与数学期望.17. (本小题满分14分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,=90ABD ∠︒,EB ⊥平面ABCD ,EF//AB ,=2AB ,==1EB EF ,=BC ,且M 是BD 的中点.(Ⅰ)求证:EM//平面ADF ; (Ⅱ)求二面角D-AF-B 的大小; (Ⅲ)在线段EB 上是否存在一点P, 使得CP 与AF 所成的角为30︒? 若存在,求出BP 的长度;若不 存在,请说明理由.18. (本小题满分13分)设函数2e (),1axf x a x R =∈+. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程;CA FEBMD(Ⅱ)求函数)(x f 单调区间. 19. (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ,2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知点N 的坐标为(3,2),点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ,B 两点,设直线AN ,NP ,BN 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,若 1322k k k +=,试求,m n 满足的关系式.20.(本小题满分13分)已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a ()n *∈N ,满足00a =,1n a a n ++=.若存在最小的正整数k ,使得(1)k a k k =≥,则可定义变换T ,变换T 将数列0A 变为数列00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++.设1()i i A T A +=,0,1,2i =.(Ⅰ)若数列0:0,1,1,3,0,0A ,试写出数列5A ;若数列4:4,0,0,0,0A ,试写出数列0A ; (Ⅱ)证明存在唯独的数列0A ,通过有限次T 变换,可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个;(Ⅲ)若数列0A ,通过有限次T 变换,可变为数列,0,0,,0n n 个.设1m m m n S a a a +=+++,1,2,,m n =,求证[](1)1mm m S a S m m =-++,其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数. 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷(理工类) 2020.3一、选择题:三、解答题:(15)(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)因为π()cos()410f αα=-=, 因此(cos sin )210αα+=, 因此 7cos sin 5αα+=. 平方得,22sin 2sin cos cos αααα++=4925, 因此 24sin 225α=.……………6分 (II )因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+ =(cos sin )(cos sin )22x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 因此,当0x =时,()g x 的最大值为12; 当π3x =时,()g x 的最小值为14-. ……………13分 (16)(本小题满分13分)解:(Ⅰ)依题意,0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分 (Ⅱ)设其中成绩为优秀的学生人数为x ,则350300100401000x ++=,解得:x =30, 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分(Ⅲ)依题意,X 的取值为0,1,2,2102403(0)52C P X C ===,1110302405(1)13C C P X C ===,23024029(2)52C P X C ===, 因此X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=,因此X 的数学期望为2. ……………13分(17)(本小题满分14分)证明:(Ⅰ)取AD 的中点N ,连接MN,NF .在△DAB 中,M 是BD 的中点,N 是AD 的中点,因此1=2MN//AB,MN AB , 又因为1=2EF//AB,EF AB ,因此MN//EF 且MN =EF .因此四边形MNFE 为平行四边形,因此EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ,⊄EM 平面ADF ,故EM//平面ADF . …………… 4分 解法二:因为EB ⊥平面ABD ,AB BD ⊥,故以B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分 由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M (Ⅰ)3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM ,AD=, 设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =. 由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3,则n =. 又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅,因此EM n ⊥,又EM ⊄平面ADF ,因此//EM 平面ADF . ……………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面ADF 的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ,因此EB BD ⊥.又因为AB BD ⊥,因此BD ⊥平面EBAF . 故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量. 因此1cos <=2BD BD,BD n n n⋅>=⋅,又二面角D-AF -B 为锐角, 故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分NCA F EBMD(Ⅲ)假设在线段EB 上存在一点P ,使得CP 与AF 所成的角为30︒. 不妨设(0,0,t)P(0t ≤≤,则=(3,-2,-),=PC AF t .因此2cos <2PC AF PC,AF PC AF ⋅>==⋅,2=, 化简得35-=, 解得0t =<. 因此在线段EB 上不存在点P ,使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分 (18)(本小题满分13分)解:因为2e (),1ax f x x =+因此222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.(Ⅰ)当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,因此(0)1,f = (0)1f '=.因此曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分(Ⅱ)因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++, ……………5分 (1)当0a =时,由()0f x '>得0x <;由()0f x '<得0x >.因此函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 (2)当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+,方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时,现在0∆>.由()0fx '>得1x a <,或1x a+>;由()0f x '<x <<.因此函数()f x单调递增区间是(-∞和)+∞,单调递减区间. ……………9分②当1a ≥时,现在0∆≤.因此()0f x '≥,因此函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时,现在0∆>.由()0f x '>得11x a a +-<<; 由()0f x '<得1x a <,或1x a->.因此当10a -<<时,函数()f x单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间. ……………12分④当1a ≤-时, 现在0∆≤,()0f x '≤,因此函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞. …………13分(19)(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)依题意,c =1b =,因此a == 故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分 (Ⅱ)①当直线l 的斜率不存在时,由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.不妨设(1,3A,(1,3B -,因为132233222k k +=+=,又1322k k k +=,因此21k =,因此,m n 的关系式为213n m -=-,即10m n --=. ………7分 ②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得,2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-,22(1)y k x =-. 因此12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k kk k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分 因此222k =,因此2213n k m -==-,因此,m n 的关系式为10m n --=.………13分 综上所述,,m n 的关系式为10m n --=. ………14分 (20)(本小题满分13分)解:(Ⅰ)若0:0,1,1,3,0,0A ,则1:1,0,1,3,0,0A ;2:2,1,2,0,0,0A ; 3:3,0,2,0,0,0A ; 4:4,1,0,0,0,0A ; 5:5,0,0,0,0,0A .若4:4,0,0,0,0A ,则 3:3,1,0,0,0A ; 2:2,0,2,0,0A ; 1:1,1,2,0,0A ;0:0,0,1,3,0A . ………4分(Ⅱ)先证存在性,若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-,则定义变换1T -,变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -:01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---.易知1T -和T 是互逆变换. ………5分 关于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -(一直不能再作1T -变换为止)得,0,0,,0n 1T -−−→1,1,0,,0n -1T -−−→2,0,2,0,,0n -1T -−−→3,1,2,0,,0n -1T -−−→1T-−−→01,,,n a a a ,则必有00a =(若00a ≠,则还可作变换1T -).反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ,即可还原为数列,0,0,,0n ,因此存在数列0A 满足条件.下用数学归纳法证唯独性:当1,2n =是明显的,假设唯独性对1n -成立,考虑n 的情形. 假设存在两个数列01,,,n a a a 及01,,,n b b b 均可通过有限次T 变换,变为,0,,0n ,那个地点000a b ==,1212n n a a a b b b n +++=+++=若0n a n <<,则由变换T 的定义,不能变为,0,,0n ;若n a n =,则120n a a a ====,通过一次T 变换,有0,0,,0,n T−−→1,1,,1,0由于3n ≥,可知1,1,,1,0(至少3个1)不可能变为,0,,0n .因此0n a =,同理0n b =令01,,,n a a a T−−→121,,,,na a a ''',01,,,n b b b T−−→121,,,,nb b b ''',则0n n a b ''==,因此1211n a a a n -'''+++=-,1211nb b b n -'''+++=-. 因为110,,,n a a -''T−−−−→有限次-1,0,,0n ,110,,,n b b -''T−−−−→有限次-1,0,,0n ,故由归纳假设,有i i a b ''=,1,2,,1i n =-.再由T 与1T -互逆,有01,,,n a a a T−−→111,,,,0n a a -'',01,,,n b b b T−−→111,,,,0nb b -'',因此i i a b =,1,2,,i n =,从而唯独性得证. ………9分(Ⅲ)明显i a i ≤(1,2,,)i n =,这是由于若对某个0i ,00i a i >,则由变换的定义可知,0i a 通过变换,不能变为0.由变换T 的定义可知数列0A 每通过一次变换,k S 的值或者不变,或者减少k ,由于数列0A 经有限次变换T ,变为数列,0,,0n 时,有0m S =,1,2,,m n =,因此m m S mt =(m t 为整数),因此1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++,0m a m ≤≤, 因此m a 为m S 除以1m +后所得的余数,即[](1)1m m m S a S m m =-++.………13分。

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(二)(有答案解析)

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(二)(有答案解析)

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(二)一、选择题(本大题共8小题,共40.0分)1.已知集合A={x|x>1},集合B={x|x2<4},则A∩B=()A. {x|x>-2}B. {x|1<x<2}C. {x|1≤x<2}D. R2.在复平面内,复数z=对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.()4的展开式中的常数项为()A. -12B. -6C. 6D. 124.若函数f(x)=,则函数f(x)的值域是()A. (-∞,2)B. (-∞,2]C. [0,+∞)D. (-∞,0)∪(0,2)5.如图,函数f(x)的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的,则f(x)的解析式可以是()A. f(x)=sin(2x+)B. f(x)=sin(4x+)C. f(x)=cos(2x+)D. f(x)=cos(4x+)6.记不等式组,所表示的平面区域为D.“点(-1,1)∈D”是“k≤-1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.某三棱锥的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为1),则该三棱锥的体积为()A. 4B. 2C.D.8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是()A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)9.双曲线-y2=1的右焦点到其一条渐近线的距离是______.10.执行如图所示的程序框图,输出的x值为______.11.在极坐标系中,直线ρcosθ=1与圆ρ=4cosθ交于A,B两点,则|AB|=______.12.能说明“函数(x)的图象在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线,若f(0)•f(2)>0,则f(x)在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是______.13.天坛公园是明清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所•天坛公园中的圜丘台共有三层(如图1所示),上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板,从中心向外围以扇面形石铺成(如图2所示).上层坛从第一环至第九环共有九环,中层坛从第十环至第十八环共有九环,下层坛从第十九环至第二十七环共有九环;第一环的扇面形石有9块,从第二环起,每环的扇面形石块数比前一环多9块,则第二十七环的扇面形石块数是______;上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是______.14.在平面内,点A是定点,动点B,C满足||=||=1,=0,则集合{P|=+,1≤λ≤2}所表示的区域的面积是______.三、解答题(本大题共6小题,共80.0分)15.在△ABC中,a=,∠A=120°,△ABC的面积等于,且b<c.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求cos2B的值.16.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间,乘车等待时间不超过40分钟).将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),…,[35,40]分组,制成频率分布直方图:假设乘客乘车等待时间相互独立.(Ⅰ)在上班高峰时段,从甲站的乘客中随机抽取1人,记为A;从乙站的乘客中随机抽取1人,记为B.用频率估计概率,求“乘客A,B乘车等待时间都小于20分钟”的概率;(Ⅱ)在上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人,X表示乘车等待时间小于20分钟的人数,用频率估计概率,求随机变量X的分布列与数学期望.17.如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,∠BAD=90°,AB=AD=1,BC=3.(Ⅰ)求证:AF⊥CD;(Ⅱ)求直线BF与平面CDE所成角的正弦值;(Ⅲ)线段BD上是否存在点M,使得直线CE∥平面AFM?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.18.已知函数f(x)=(a∈R且a≠0).(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)当a=-1时,求证:f(x)≥x+1;(Ⅲ)讨论函数f(x)的极值.19.已知点M(x0,y0)为椭圆C:+y2=1上任意一点,直线l:x0x+2y0y=2与圆(x-1)2+y2=6交于A,B两点,点F为椭圆C的左焦点.(Ⅰ)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标;(Ⅱ)求证:直线l与椭圆C相切;(Ⅲ)判断∠AFB是否为定值,并说明理由.20.在无穷数列{a n}中,a1,a2是给定的正整数,a n+2=|a n+1-a n|,n∈N*.(Ⅰ)若a1=3,a2=1,写出a9,a10,a100的值;(Ⅱ)证明:数列{a n}中存在值为0的项;(Ⅲ)证明若a1,a2互质,则数列{a n}中必有无穷多项为1.-------- 答案与解析 --------1.答案:B解析:解:∵集合A={x|x>1},集合B={x|x2<4}={x|-2<x<2},∴A∩B={x|1<x<2}.故选:B.先求出集合A,集合B,由此能求出A∩B.本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.答案:D解析:解:==-i+2所对应的点为(2,-1),该点位于第四象限故选:D.根据1=-i2将复数进行化简成复数的标准形式,得到复数所对应的点,从而得到该点所在的位置.本题主要考查了复数代数形式的运算,复数和复平面内的点的对应关系,属于基础题.3.答案:C解析:解:()4的展开式中的通项公式为T r+1=•(-1)r•x2r-4,令2r-4=0,求得r=2,可得展开式中的常数项为=6,故选:C.在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项.本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.4.答案:A解析:解:当x<1时,0<2x<2,当x≥1时,f(x)=-log2x≤-log21=0,综上f(x)<2,即函数的值域为(-∞,2),故选:A.分别结合指数函数,对数函数的性质求出函数的取值范围即可.本题主要考查函数值域的计算,结合分段函数的解析式分别求出对应范围是解决本题的关键.5.答案:A解析:解:函数的周期T=2×(-)=2×=π,即=π,则ω=2,排除B,D,当x=时,f()=1,若f(x)=sin(2x+),则f()=sin(2×+)=sin=1,若f(x)=cos(2x+),则f()=cos(2×+)=cos=0,不满足条件.排除C,故选:A.根据周期先求出ω的值,排除B,D,然后在通过f()=1,进行排除即可.本题主要考查三角函数图象的识别和判断,结合条件利用排除法是解决本题的关键.6.答案:C解析:解:若点(-1,1)∈D,得满足,则k≤-1,即充分性成立,若k≤-1,则不等式组对应区域为阴影部分,则A(-1,1)∈D,即“点(-1,1)∈D”是“k≤-1”的充要条件,故选:C.作出不等式组对应的平面区域,结合不等式组以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式组的关系是解决本题的关键.7.答案:D解析:解:由题意几何体是直观图如图:是正方体的一部分,三棱锥P-ABC,正方体的棱长为:2,几何体的体积为:=.故选:D.画出几何体的直观图,利用三视图的数据,求解几何体的体积即可.本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.8.答案:B解析:解:设周一,周二,周三开车上班的职工组成的集合分别为A,B,C,集合A,B,C中元素个数分别为n(A),n(B),n(C),∩B∩C则n(A)=14,n(B)=10,n(C)=8,n(A∪B∪C)=20,因为n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C),且n(A∩B)≥n(A∩B∩C),n(A∩C)≥n(A∩B∩C),n(B∩C)≥n(A∩B∩C),所以14+10+8-20+n(A∩B∩C)≥3n(A∩B∩C),即n(A∩B∩C)≤=6.故选:B.设周一,周二,周三开车上班的职工组成的集合分别为A,B,C,集合A,B,C中元素个数分别为n(A),n(B),n(C),根据n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C),且n(A∩B)≥n(A∩B∩C),n(A∩C)≥n(A∩B∩C),n(B∩C)≥n(A∩B∩C)可得.本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算,属中档题.9.答案:1解析:解:双曲线-y2=1的右焦点坐标为(,0),一条渐近线方程,x-2y=0∴双曲线-y2=1的右焦点到一条渐近线的距离为=1.故答案为:1.确定双曲线的右焦点与一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,即可得到结论.本题考查双曲线的几何性质,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于基础题.10.答案:解析:解:当x=2,n=1时,n≤2成立,则x==,n=2,此时n≤2成立,则x==,n=3,此时n≤2不成立,输出x=,故答案为:根据程序框图进行模拟计算即可.本题主要考查程序框图的应用,利用条件进行模拟运算是解决本题的关键.11.答案:2解析:解:直线ρcosθ=1的普通方程为x=1,圆ρ=4cosθ的普通方程为x2+y2-4x=0,圆心C(2,0),半径r==2,圆心C(2,0)到直线x=1的距离d=1,∴|AB|=2=2=2.故答案为:2.求出直线的普通方程和圆的普通方程,求出圆心和半径,再求出圆心到直线的距离,由此能求出弦长.本题考查弦长的求法,考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.12.答案:f(x)=(x-1)2解析:解:“若f(0)•f(2)>0,则f(x)在(0,2)内无零点”为假命题,即“若f(0)•f(2)>0,则f(x)在(0,2)有零点”为真命题,取函数f(x)=(x-1)2,可得:f(0)•f(2)=1×1=1>0,f(1)=0,故答案为:f(x)=(x-1)2取函数f(x)=(x-1)2,可得:f(0)•f(2)=1×1=1>0,f(1)=0,满足“若f(0)•f(2)>0,则f(x)在(0,2)有零点”为真命题,即”若f(0)•f(2)>0,则f (x)在(0,2)内无零点”为假命题,得解本题考查了函数的零点与方程根的关系及零点定理,属中档题.13.答案:243 3402解析:解:由题意知每环石块数构成等差数列,首项a1=9,d=9,则a27=a1+26d=9+26×9=243,上、中、下三层坛所有的扇面形石块数为前27项和,即S27====3402,故答案为:243,3402根据条件知每环石块数构成等差数列,首项a1=9,d=9,利用等差数列的通项公式以及前n项和公式进行计算即可.本题主要考查等差数列的应用,结合等差数列的通项公式是解决本题的关键.14.答案:3π解析:解:由,得=λ2+1,∵1≤λ≤2,∴2≤λ2+1≤5,∴||,∴P点轨迹为以A为圆心的圆环,其面积为:5π-2π=3π,故答案为:3π.把所给等式平方,得到的范围,即P点的轨迹为圆环,得解.此题考查了向量模的几何意义,难度不大.15.答案:解:(Ⅰ)∵a=,∠A=120°,△ABC的面积等于,∴可得:=bc sin A=bc,可得:bc=4,①∴由余弦定理可得:21=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=(b+c)2-4,可得:(b+c)2=25,解得:b+c=5,②∴联立①②可得:b=4,c=1,或b=1,c=4,∵b<c,∴可得:b=1,c=4.可得b的值为1.(Ⅱ)∵由(Ⅰ)可得:a=,b=1,c=4,∴cos B===,∴cos2B=2cos2B-1=.解析:(Ⅰ)由已知利用三角形的面积公式可求bc=4,由余弦定理可解得b+c=5,联立①②,根据b<c,可得b的值.(Ⅱ)由(Ⅰ)根据余弦定理可求cos B的值,根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解cos2B的值.本题主要考查了三角形的面积公式,余弦定理,二倍角的余弦函数公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.16.答案:解:(Ⅰ)设M表示事件“乘客A乘车等待时间都小于20分钟”,N表示“乘客B乘车等待时间都小于20分钟”,C表示“乘客A,B乘车等待时间都小于20分钟”,由题意得:P(A)=(0.012+0.040+0.048)×5=0.5,P(B)=(0.016+0.028+0.036)×5=0.4,∴“乘客A,B乘车等待时间都小于20分钟”的概率:P(C)=P(MN)=P(M)P(N)=0.5×0.4=0.2.(Ⅱ)由(Ⅰ)得乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为0.4,∴乙站乘客乘车时间等待时间小于20分钟的概率为,X的可能取值为0,1,2,3,且X~B(3,),P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,X 0 1 2 3PE(X)=3×=.解析:(Ⅰ)设M表示事件“乘客A乘车等待时间都小于20分钟”,N表示“乘客B 乘车等待时间都小于20分钟”,C表示“乘客A,B乘车等待时间都小于20分钟”,由题意得:P(A)=(0.012+0.040+0.048)×5=0.5,P(B)=(0.016+0.028+0.036)×5=0.4,由此能求出“乘客A,B乘车等待时间都小于20分钟”的概率.(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,且X~B(3,),由此能求出随机变量X的分布列与数学期望.本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.17.答案:解:(Ⅰ)证明:∵四边形ADEF为正方形,∴AF⊥AD,又∵平面ADEF⊥平面ABCD,∴AF⊥平面ABCD,∴AF⊥CD;(Ⅱ)取BC的三等分点G,H如图,连接EG,可由EF∥AD,AD∥BC,得EF∥BG,且EF=AD=BG=1,∴四边形BGEF为平行四边形,∴GE∥BF,∵DE∥AF,∴DE⊥平面ABCD,∴平面EDC⊥平面ABCD,作GN⊥CD于N,则GN⊥平面EDC,连接EN,则∠GEN为GE与平面EDC所成的角,在Rt△CGD中,求得GN=,又GE=BF=,∴sin∠GEN==,故直线BF与平面CDE所成角的正弦值为:;(Ⅲ)连接FH,易证四边形EFHC为平行四边形,∴EC∥FH,∴EC∥平面AFH,连接AH交BD于M,则CE∥平面AFM,此时,∴.解析:(Ⅰ)利用两面垂直的性质定理易证;(Ⅱ)取BC的三等分点G,H,把BF平移至EG,作GN⊥CD于N,得∠GEN即为所求;(Ⅲ)连接FH,易证EC∥平面AFH,连AH交BD于M即可.此题考查了线面垂直,面面垂直,线面所成角,线面平行等,难度适中.18.答案:(Ⅰ)解:当a=1时,f(x)=,f′(x)=,f(1)=0,f′(1)=1,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1;(Ⅱ)证明:当a=-1时,f(x)=,证明f(x)≥x+1,即证ln(-x)≤x2+x,令t=-x(t>0),也就是证t2-t-ln t>0(t>0).令g(t)=t2-t-ln t,则g′(t)===.当t∈(0,1)时,g′(t)<0,当t∈(1,+∞)时,g′(t)>0,∴g(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则g(t)≥g(1)=0,即f(x)≥x+1;(Ⅲ)解:f(x)=,则f′(x)=,当a>0时,由f′(x)>0,得1-ln(ax)>0,即0<ax<e,∴0<x<;由f′(x)<0,得1-ln(ax)<0,即ax>e,x>.∴f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,∴f(x)有极大值为f()=;当a<0时,由f′(x)>0,得1-ln(ax)>0,即ax<e,∴<x<0;由f′(x)<0,得1-ln(ax)<0,即ax>e,x<.∴f(x)在(-∞,)上单调递减,在(,0)上单调递增,∴f(x)有极小值为f()=.解析:(Ⅰ)把a=1代入函数解析式,求得函数的导函数,进一步求出f(1)与f′(1),再由直线方程的点斜式得答案;(Ⅱ)当a=-1时,f(x)=,把证明f(x)≥x+1转化为证ln(-x)≤x2+x,令t=-x(t>0),构造函数g(t)=t2-t-ln t,利用导数证明g(t)≥0即可;(Ⅲ)求出原函数的导函数,对a分类分析函数的单调性,进一步求得极值.本题考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数求函数的极值,体现了分类讨论的数学思想方法,属难题.19.答案:解:(Ⅰ)由题意可得a=,b=1,则c==1,∴椭圆C的离心率e==,左焦点F的坐标(-1,0),证明:(Ⅱ)由题意可得+y02=1,当y0=0时,直线l的方程为x=或x=-,直线l与椭圆相切,当y0≠0时,由可得(2y02+x02)x2-4x0x+4-4y02=0,即x2-2xx0+2-2y02=0,∴△=(-2x0)2-4(2-2y02)=4x02+8y02-8=0,故直线l与椭圆C相切.(Ⅲ)设A(x1,y1),B(x2,y2),当y0=0时,x1=x2,y1=-y2,x1=±,∴•=(x1+1)2-y12=(x1+1)2-6+(x1-1)2=2x12-4=0,∴⊥,即∠AFB=90°当y0≠0时,由,(y02+1)x2-2(2y02+x0x)x+2-10y02=0,则x1+x2=,x1x2=,∴y1y2=x1x2-(x1+x2)+=,∴•=(x1+1,y1)•(x2+1,y2)=x1x2+x1+x2+1+y1y2=++==0,∴⊥,即∠AFB=90°综上所述∠AFB为定值90°.解析:(Ⅰ)根据椭圆的离心率公式即可求出,(Ⅱ)根据判别式即可证明.(Ⅲ)根据向量的数量积和韦达定理即可证明,需要分类讨论,本题考查椭圆的简单性质,考查向量的运算,注意直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题.20.答案:(Ⅰ)解:由a1=3,a2=1,a n+2=|a n+1-a n|,n∈N*.得a9=0,a10=1,a100=1;(Ⅱ)证明:反证法:假设∀i,a i≠0,由于a n+2=|a n+1-a n|,记M=max{a1,a2},则a1≤M,a2≤M.则0<a3=|a2-a1|≤M-1,0<a4=|a3-a2|≤M-1,0<a5=|a4-a3|=M-2,0<a6=|a5-a4|=M-2,…,依次递推,有0<a7=|a6-a5|≤M-3,0<a8=|a7-a6|≤M-3…,则由数学归纳法易得a2k+1≤M-k,k∈N*.当k>M时,a2k+1<0,与a2k+1>0矛盾.故存在i,使a i=0.∴数列{a n}必在有限项后出现值为0的项;(Ⅲ)证明:首先证明:数列{a n}中必有“1”项.用反证法,假设数列{a n}中没有“1”项,由(Ⅱ)知,数列{a n}中必有“0”项,设第一个“0”项是a m(m≥3),令a m-1=p,p>1,p∈N*,则必有a m-2=p,于是,由p=a m-1=|a m-2-a m-3|=|p-a m-3|,则a m-3=2p,因此p是a m-3的因数,由p=a m-2=|a m-3-a m-4|=|2p-a m-4|,则a m-4=p或3p,因此p是a m-4的因数.依次递推,可得p是a1,a2的因数,∵p>1,∴这与a1,a2互质矛盾.∴数列{a n}中必有“1”项.其次证明数列{a n}中必有无穷多项为“1”.假设数列{a n}中的第一个“1”项是a k,令a k-1=q,q>1,q∈N*,则a k+1=|a k-a k-1|=q-1,若a k+1=q-1=1,则数列中的项从a k开始,依次为“1,1,0”的无限循环,故有无穷多项为1;若a k+1=q-1>1,则a k+2=|a k+1-a k|=q-2,a k+3=|a k+2-a k+1|=1,若a k+2=q-2=1,则进入“1,1,0”的无限循环,有无穷多项为1;若a k+2=q-2>1,则从a k开始的项依次为1,q-1,q-2,1,q-3,q-4,1,…,必出现连续两个“1”项,从而进入“1,1,0”的无限循环,故必有无穷多项为1.解析:本题考查数列递推式,考查逻辑思维能力与推理运算能力,训练了利用反证法证明与自然数有关的命题,属于难题.(Ⅰ)由a1=3,a2=1,结合数列递推式直接求得a9,a10,a100的值;(Ⅱ)利用反证法证明,假设∀i,a i≠0,由于a n+2=|a n+1-a n|,证得当k>M时,a2k+1<0,与a2k+1>0矛盾;(Ⅲ)利用反证法证明数列{a n}中必有“1”项,再利用综合法证明数列{a n}中必有无穷多项为“1”.。

朝阳区2020届高三一模数学(理)试题及答案(word版)

朝阳区2020届高三一模数学(理)试题及答案(word版)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷(理工类) 第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. i 为虚数单位,复数2i 1i+= A .1i - B .1i -- C .1i -+ D .1i +2. 已知全集U =R ,函数ln(1)y x =-的定义域为M ,集合{}20N x x x =-<,则下列结论正确的是A .M N N =IB .()U M N =∅I ðC .M N U =UD .()U M N ⊆ð 3.>e e a b>”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 A .42 B .19 C .8 D .35.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为,,.a b c若222()tan a c b B +-=,则角B 的值为A . 3πB . 6πC . 233ππ或 D . 566ππ或6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误..的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同(第4题图)(注:结余=收入-支出)7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是A .13B .12C .1D .328.若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点,则半径r 的取值范围是 A.0r << B.0r <<C.0r << D.0r <<第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上. 9. 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 (用数字作答).10.已知等差数列}{n a (n *∈N )中,11=a ,47a =,则数列}{n a 的通项公式n a = ;2610410n a a a a +++++=L ______.月23415689 10 7111258(第7题图)正视图侧视图俯视图11.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为222x y +=,曲线2C 的参数方程为2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标...为 . 12.不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D .若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点,则实数a 的取值范围是 .13.已知M 为ABC ∆所在平面内的一点,且14AM AB nAC =+u u u u r u u u r u u u r.若点M 在ABC ∆的内部(不含边界),则实数n 的取值范围是____.14.某班主任在其工作手册中,对该班每个学生用十二项能力特征加以描述.每名学生的第i (1,2,,12i =L )项能力特征用i x 表示,0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征,,如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =L ,1212(,,,)B b b b =L ,则,A B 两名学生的不同能力特征项数为 (用,i i a b 表示).如果两个同学不同能力特征项数不少于7,那么就说这两个同学的综合能力差异较大.若该班有3名学生两两综合能力差异较大,则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 . 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)已知函数21()sin 22x f x x ωω=+0ω>. (Ⅰ)若1ω=,求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若()13f π=,求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值.16.(本小题满分13分)为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.(Ⅰ)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率?(Ⅱ)若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小(只需 写出结论).17.(本小题满分14分)如图,在直角梯形11AA B B 中,190A AB ∠=︒,11//A B AB ,11122AB AA A B ===.直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到,且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B .M 为线段BC 的中点,P 为线段1BB 上的动点.(Ⅰ)求证:11A C AP ⊥;(Ⅱ)当点P 是线段1BB 中点时,求二面角P AM B --的余弦值;(Ⅲ)是否存在点P ,使得直线1A C //平面AMP ?请说明理由.18.(本小题满分13分)已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)当[]1,2x ∈时,都有()0f x >成立,求a 的取值范围;AMPCBA 1C 1B 1(Ⅲ)试问过点(13)P ,可作多少条直线与曲线()y f x =相切?并说明理由.19.(本小题满分14分)已知点P 和椭圆:C 22142x y +=. (Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为1F ,2F ,试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率;(Ⅱ)若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ,B ,直线PA ,PB 与x轴分别交于M ,N 两点,求证:PM PN =.20.(本小题满分13分)已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.(Ⅰ)若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小, (ⅰ)写出数列{}n b 的前4项; (ⅱ)求数列{}n k 的通项公式;(Ⅱ)证明:以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2020学年度第二学期高三年级统一考试数学答案(理工类)一、选择题:(满分40分)二、填空题:(满分30分)(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分) 三、解答题:(满分80分) 15.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)当1ω=时,21()sin 22x f x x =1sin 22x x =+ sin()3x π=+.令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z .解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z .所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分(Ⅱ)由21()sin 22x f x x ωω=+-1sin 2x x ωω=+ sin()3x ωπ=+.因为()13f π=,所以sin()133ωππ+=.则2332n ωπππ+=π+,n ∈Z .解得162n ω=+. 又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=,且0ω>,所以当ω12=时,T 的最大值为4π. ………………………………………13分 16.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)设事件A :从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生阅读本数之和为4 . 由题意可知,13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分(Ⅱ)阅读名著不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X 的取值为0,1,2,3,4.由题意可得44481(0)70C P X C ===; 134448168(1)7035C C P X C ====; 2244483618(2)7035C C P X C ====; 314448168(3)7035C C P X C ====;44481(4)70C P X C ===. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值0123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………10分 (Ⅲ)21s >22s .…………………………………………………………………………13分17.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒,且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ,所以90BAC ∠=︒,即AC AB ⊥. 又因为1AC AA ⊥且1AB AA A =I ,所以AC ⊥平面11AA B B .由已知11//A C AC ,所以11A C ⊥平面11AA B B . 因为AP ⊂平面11AA B B ,所以11AC AP ⊥.…………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知1,,AC AB AA 两两垂直.分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示. 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====, 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ,1(0,0,2)A .因为M 为线段BC 的中点,P 为线段1BB 的中点,所以3(1,1,0),(0,,1)2M P .易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m . 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ,由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rn n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =,得(2,2,3)=--n .由图可知,二面角P AM B --的大小为锐角,所以cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n . 所以二面角P AM B --9分 (Ⅲ)存在点P ,使得直线1A C //平面AMP .设111(,,)P x y z ,且1BP BB λ=u u u r u u u r,[0,1]λ∈,则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-,所以1110,2,2x y z λλ==-=.所以(0,2,2)AP λλ=-u u u r.设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ,由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u rn n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩ 取01y =,得02(1,1,)2λλ-=-n (显然0λ=不符合题意).又1(2,0,2)AC =-u u u r ,若1A C //平面AMP ,则10AC ⊥u u u rn . 所以10220AC λλ-⋅=--=u u u r n .所以23λ=. 所以在线段1BB 上存在点P ,且12BPPB =时,使得直线1A C //平面AMP .…………14分 18.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为{}0x x >.()1a x af x x x+'=+=. (1)当0a ≥时,()0f x '>恒成立,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增; (2)当0a <时, 令()0f x '=,得x a =-.当0x a <<-时,()0f x '<,函数()f x 为减函数; 当x a >-时,()0f x '>,函数()f x 为增函数.综上所述,当0a ≥时,函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.当0a <时,函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -,单调递增区间为(+)a -∞,. ……………………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,(1)当1a -≤时,即1a ≥-时,函数()f x 在区间[]1,2上为增函数,所以在区间[]1,2上,min ()(1)1f x f ==,显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零; (2)当12a <-<时,即21a -<<-时,函数()f x 在[)1a -,上为减函数,在(],2a - 上为增函数,所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-.依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->,解得e a >-,所以21a -<<-. (3)当2a -≥时,即2a ≤-时,()f x 在区间[]1,2上为减函数, 所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==.依题意有min ()2+ln 20f x a =>,解得2ln 2a >-,所以22ln 2a -<≤-. 综上所述,当2ln 2a >-时,函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零.………………8分 (Ⅲ)设切点为000,ln )x x a x +(,则切线斜率01a k x =+, 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-. 因为切线过点(1,3)P ,则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-. 即001(ln 1)20a x x +--=. ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >,则 2211(1)()()a x g x a x x x-'=-=. (1)当0a <时,在区间(0,1)上,()0g x '>, ()g x 单调递增;在区间(1,)+∞上,()0g x '<,()g x 单调递减, 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<. 故方程()0g x =无解,即不存在0x 满足①式. 因此当0a <时,切线的条数为0.(2)当0a >时, 在区间(0,1)上,()0g x '<,()g x 单调递减,在区间(1,)+∞上,()0g x '>,()g x 单调递增, 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<.取21+1ee ax =>,则221112()(1e 1)2e 0aa g x a a a----=++--=>.故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点.取2-1-21e <e a x =,则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]a a a+=-+. 设21(1)t t a=+>,()e 2t u t t =-,则()e 2t u t '=-. 当1t >时,()e 2e 20t u t '=->->恒成立.所以()u t 在(1,)+∞单调递增,()(1)e 20u t u >=->恒成立.所以2()0g x >.故()g x 在(0,1)上存在唯一零点.因此当0a >时,过点P (13),存在两条切线.(3)当0a =时,()f x x =,显然不存在过点P (13),的切线.综上所述,当0a >时,过点P (13),存在两条切线;当0a ≤时,不存在过点P (13),的切线.…………………………………………………13分19.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由题意可知,24a =,22b =,所以22c =.因为P 是椭圆C 上的点,由椭圆定义得124PF PF +=.所以12PF F ∆的周长为4+.易得椭圆的离心率=c e a =.………………………………………………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=. 因为直线l 与椭圆C 有两个交点,并注意到直线l 不过点P ,所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<. 设11(,)A x y ,22(,)B x y,则12x x +=,21284m x x -=, 112m y +=,222m y +=.显然直线PA 与PB 的斜率存在,设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ,2k ,则12k k +=+211)(1)(x x -+-===28)(m m ----+=2=220==. 因为120k k +=,所以PMN PNM ∠=∠. 所以PM PN =. ………………………………………………………14分。

北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)

北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)

北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷一、选择题(本大题共10小题,共40.0分)1. 设集合A ={1,2,4,6},集合B ={1,5},则A ∪B 等于( )A. {1,3,5}B. {5}C. {1,2,4,5,6}D. {1}2. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)上单调递减的是( )A. y =x 12B. y =2x +12x C. y =x 43 D. y =log 12|x |+1 3. 已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和,a 1=1,a 2a 3=−8,则S 6=( )A. 1283B. −24C. −21D. 114. 在ΔOAB 中,点C 满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1x +1y=( ) A. 13B. 23C. 92D. 295. 已知抛物线C :y 2=2px(p >0)的焦点为F ,准线为l ,M 是C 上的一点,点M 关于l 的对称点为N ,若∠MFN =90°且|MF|=12,则p 的值为( )A. 18B. 12C. 6D. 6或18 6. 从甲、乙、丙、丁四人中,随机选取两名作为代表,则甲被选中的概率为( )A. 12B. 13C. 14D. 237. 已知双曲线C :x 24−y 2b 2=1经过点(4,3),则双曲线C 的离心率为( )A. 12B. √32C. √72D. √132 8. “φ=3π4”是“函数y =cos2x 与函数y =sin(2x +φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知定义在R 上的函数满足f(x +1)=f(x −1),f(x)={2x −5,0<x ≤1ln x−1e5,1<x ≤2,若关于x 的不等式f(x)+a(x −2018)≤0在(2018,2020]上恒成立,则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,2]B. (−∞,2)C. (−∞,52]D. (−∞,52)10. 如图,在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点,则点B 到平面AMN 的距离是( )A. 92B. √3C. 6√55D. 2二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)11. 复数21+i 的模等于__________.12. 如图是某四面体的三视图,则该几何体最长的棱长为__________.13. 张师傅驾车从公司开往火车站,途经4个交通岗,这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段,每个路段的驾车时间都是3分钟,如果遇到红灯要停留1分钟.假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的,并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________. 14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,函数f(x)=2x−1x+1,a n =log 2f(n+1)f(n),则S 2013=______.15. 已知曲线C 的方程是x 4+y 2=1.关于曲线C 的几何性质,给出下列三个结论:①曲线C 关于原点对称; ②曲线C 关于直线y =x 对称; ③曲线C 所围成的区域的面积大于π. 其中,所有正确结论的序号是______. 三、解答题(本大题共6小题,共85.0分)16. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,.(1)求角B; (2)若,求b .17.如图所示,PA⊥平面ABC,点C在以AB为直径的⊙O上,∠CBA=30°,PA=AB=2,点E为线段PB的中点,点M在弧AB上,且OM//AC.(1)求证:平面MOE//平面PAC;(2)求证:平面PAC⊥平面PCB;(3)设二面角M−BP−C的大小为θ,求cosθ的值.18.某研究机构为了调研当代中国高中生的平均年龄,从各地多所高中随机抽取了40名学生进行年龄统计,得到结果如下表所示:年龄(岁)[15,16)[16,17)[17,18)[18,19)[19,20]数量6101284(1)若同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批学生的平均年龄;(2)若在本次抽出的学生中随机挑选2个年龄在[15,17)间的学生人数记为X,求X的分布列及数学期望.19.已知圆O:x2+y2=4,若焦点在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1过点p(0,−1),且其长轴长等于圆O的直径.(1)求椭圆的方程;(2)过点P作两条互相垂直的直线l1与l2,l1与圆O交于A、B两点,l2交椭圆于另一点C.(Ⅰ)设直线l1的斜率为k,求弦AB长;(Ⅱ)求△ABC面积的最大值.20.求曲线y=f(x)=12x2−3x+2lnx在(3,f(3))处切线的斜率及切线方程.21.若数列{a n}的前n项和为S n,a1=2且S n+1=4a n−2(n=1,2,3…).(I)求a2,a3;(II)求证:数列{a n−2a n−1}是常数列;(III)求证:.-------- 答案与解析 --------1.答案:C解析:本题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解题的关键.根据A与B,求出两集合的并集即可.解:∵A={1,2,4,6},B={1,5},∴A∪B={1,2,4,5,6}.故选C.2.答案:D解析:本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,熟悉常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键,属于基础题.分别判断各函数的奇偶性和单调性即可得到结论.解:A:y=x12定义域为[0,+∞),为非奇非偶函数,不满足条件.B:y=2x+12x ,f(−x)=2−x+12−x=2x+12x=f(x),则f(x)为偶函数,f(1)=2+12=52,f(2)=4+14=174,则f(1)<f(2),则函数在(1,2)上不是减函数,不满足条件.C:y=x43,f(−x)=(−x)43=[(−x)2]23=x43=f(x),则f(x)是偶函数,f(1)=1,f(2)=√163,则f(1)<f(2),则函数在(1,2)上不是减函数,不满足条件.D:,,则f(x)为偶函数,由于为减函数,所以在(1,2)上是减函数,满足条件.故选D.3.答案:C解析:本题考查等比数列的求和公式和通项公式,求出数列的公比是解决问题的关键,属基础题.由题意易得数列的公比q=−2代入求和公式计算可得.解:设等比数列{a n}公比为q,a1=1,a2a3=−8,则a2a3=a12q3=q3=−8,解得q=−2,∴S6=1×[1−(−2)6]1+2=−21,4.答案:C解析:本题主要考查平面向量的基本定理与应用,属于一般题. 解析:解:∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 故x =13,y =23⇒1x +1y =92, 故选C5.答案:C解析:本题考查抛物线的性质及定义,考查转换思想,属于中档题. 构造直角三角形,根据抛物线的性质,即可求得p 的值. 解:直线MN 交准线x =−p2于点D ,l 交x 轴于点H ,∴∠MFN =90°,则|DM|=|MF|=|DF|=12, 则∠MDF =60°,∠FDH =30°, ∴|HF|=6,即p =6,6.答案:A解析:解:从甲、乙、丙、丁四人中,随机选取两名作为代表,基本事件总数n=C42=6,甲被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3,∴甲被选中的概率为p=mn =36=12.故选:A.基本事件总数n=C42=6,甲被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3,由此能求出甲被选中的概率.本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.7.答案:C解析:本题考查双曲线方程的求法,离心率的求法,考查计算能力,求出双曲线的方程,然后求解离心率.解:双曲线C:x24−y2b2=1经过点(4,3),可得424−32b2=1,解得b2=3,双曲线C:x24−y23=1,可得a=2,c=√a2+b2=√4+3=√7,e=ca =√72.故选C.8.答案:A解析:解:函数y=cos2x在区间[0,π4]上单调递减.“φ=3π4”时,函数y=sin(2x+3π4),x∈[0,π4],可得2x+3π4∈[3π4,5π4],∴函数y=sin(2x+3π4),在区间[0,π4]上单调递减.而φ=3π4+2π时,函数y=sin(2x+3π4),在区间[0,π4]上单调递减.因此“φ=3π4”是“函数y=cos2x与函数y=sin(2x+φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的充分不必要条件.故选:A.函数y=cos2x在区间[0,π4]上单调递减.“φ=3π4”时,函数y=sin(2x+3π4),x∈[0,π4],可得2x+。

2020年4月北京市朝阳区普通高中2020届高三下学期学业水平等级性考试练习(一模)数学试题及答案

2020年4月北京市朝阳区普通高中2020届高三下学期学业水平等级性考试练习(一模)数学试题及答案

1 绝密★启用前北京市朝阳区普通高中2020届高三下学期学业水平等级性考试练习(一模)数学试题2020年4月(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{}1,3,5A =,{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ,则A B =U(A ){}3(B ){}1,3(C ){}1,2,3,5(D ){}1,2,3,4,5(2)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是(A )3y x = (B )21y x =-+ (C )2log y x = (D )||2x y = (3)在等比数列{}n a 中,11a =,48a =-,则{}n a 的前6项和为(A )21- (B ) 11 (C ) 31 (D )63(4)如图,在△ABC 中,点D ,E 满足2BC BD =u u u r u u u r ,3CA CE =u u u r u u u r.若DE x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r (,)x y ∈R ,则x y +=(A )12-(B )13-(C ) 12EDCBA2(D ) 13(5)已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,准线为l ,点A 是抛物线C 上一点,AD l ⊥于D .若4AF =,60DAF ∠=︒,则抛物线C 的方程为(A )28y x = (B ) 24y x = (C )22y x = (D )2y x = (6)现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件,若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具,则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 (A ) 23(B )25 (C ) 35 (D ) 910(7)在△ABC 中,BC AB =,︒=∠120ABC .若以A ,B 为焦点的双曲线经过点C ,则该双曲线的离心率为 (A )25(B )27(C(D(8)已知函数()=)(>0)f x ωx φω-的图象上相邻两个最高点的距离为π,则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件(9)已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的不等式()2a f x ≥在R 上恒成立,则实数a 的取值范围为(A)(,-∞ (B )3[0,]2(C )[0,2] (D)[0,(10)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M ,N 分别是棱AB ,1BB 的中点,点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时,点P 的位置是(A )线段1CA 的三等分点,且靠近点1APM NA BC DD 1C 1B 1A 1(第4题图)。

北京市朝阳区2020届高三第一次模拟考试数学试题

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北京市朝阳区高三年级高考练习一数 学 2020.4(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合{}1,3,5A =,{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ,则A B =U ( ) A .{}3 B .{}1,3 C .{}1,2,3,5 D .{}1,2,3,4,5 (2)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是( )A .3y x =B .21y x =-+C .2log y x =D .||2x y = (3)在等比数列{}n a 中,11a =,48a =-,则{}n a 的前6项和为A .21-B .11C .31D .63(4)如图,在ABC △中,点D ,E 满足2BC BD =u u u r u u u r ,3CA CE =u u u r u u u r .若DE x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r(,)x y ∈R ,则x y +=( )A .12-B .13-C .12D .13(5)已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,准线为l ,点A 是抛物线C 上一点,AD l ⊥于D .若4AF =,60DAF ∠=︒,则抛物线C 的方程为( )A .28y x =B .24y x =C .22y x =D .2y x =(6)现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件,若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具,则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为( )EDCB AA .23 B .25 C .35 D .910(7)在ABC △中,AB BC =,120ABC ∠=︒.若以A ,B 为焦点的双曲线经过点C ,则该双曲线的离心率为( ) A.2B.2 C.12D(8)已知函数()=)(>0)f x ωx φω-的图象上相邻两个最高点的距离为π,则“6πϕ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件(9)已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.(,-∞ B .3[0,]2C .[0,2] D.[0,(10)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M ,N 分别是棱AB ,1BB 的中点,点P 在对角线1CA 上运动.当PMN △的面积取得最小值时,点P 的位置是( )A .线段1CA 的三等分点,且靠近点1AB .线段1CA 的中点C .线段1CA 的三等分点,且靠近点CD .线段1CA 的四等分点,且靠近点CPM NA BC DD 1C 1B 1A 1第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分. (11)若复数21z i=+,则||z =________. (12)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长为________,它的体积为 .(13)某购物网站开展一种商品的预约购买,规定每个手机号只能预约一次,预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下:(ⅰ)摇号的初始中签率为0.19;(ⅱ)当中签率不超过1时,可借助“好友助力”活动增加中签率,每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9,则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动. (14)已知函数()cos2xf x x π=.数列{}n a 满足()(1)n a f n f n =++(*n ∈N ),则数列{}n a 的前100项和是________.(15)数学中有许多寓意美好的曲线,曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”(如图所示).给出下列三个结论:①曲线C 关于直线y x =对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1;③存在一个以原点为中心、边长为2的正方形,使得曲线C 在此正方形区域内(含边界). 其中,正确结论的序号是________.俯视正(主)侧(左)32 2 2 2注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求.全部选对得5分,不选或有错选得分,其他得3分. 三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (16)(本小题14分)在ABC △中,sin cos()6πb A a B =-. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若5c =, .求a . 从①7b =,②4C π=这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.(17)(本小题14分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,平面11ACC A ⊥平面ABC ,四边形11ACC A 是正方形,点D ,E 分别是棱BC ,1BB 的中点,4AB =,12AA =,BC =(Ⅰ)求证:1AB CC ⊥;(Ⅱ)求二面角1D AC C --的余弦值;(Ⅲ)若点F 在棱11B C 上,且1114B C B F =,判断平面1AC D 与平面1A EF 是否平行,并说明理由.0A BB 1ECC 1A 1DF某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性,质检部门从某地区(人数众多)随机选取了80位患者和100位非患者,用该试剂盒分别对他们进行检测,结果如下:(Ⅰ)从该地区患者中随机选取一人,对其检测一次,估计此患者检测结果为阳性的概率;(Ⅱ)从该地区患者中随机选取3人,各检测一次,假设每位患者的检测结果相互独立,以X 表示检测结果为阳性的患者人数,利用(Ⅰ)中所得概率,求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)假设该地区有10万人,患病率为0.01.从该地区随机选取一人,用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性,能否判断此人患该疾病的概率超过0.5?并说明理由.(19)(本小题14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,圆222:O x y r +=(O 为坐标原点).过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2),与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-. (Ⅰ)求椭圆C 的方程和圆O 的方程;(Ⅱ)过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切,试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系,并说明理由.已知函数()11e xx x f x -+=-.(Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)判断函数()f x 的零点的个数,并说明理由;(Ⅲ)设0x 是()f x 的一个零点,证明曲线e x y =在点00(,e )xx 处的切线也是曲线ln y x =的切线.(21)(本小题14分)设数列12:,,,n A a a a L (3n ≥)的各项均为正整数,且12n a a a ≤≤≤L .若对任意{3,4,,}k n ∈L ,存在正整数,(1)i j i j k ≤≤<使得k i j a a a =+,则称数列A 具有性质T .(Ⅰ)判断数列1:1,2,4,7A 与数列2:1,2,3,6A 是否具有性质T ;(只需写出结论) (Ⅱ)若数列A 具有性质T ,且11a =,22a =,200n a =,求n 的最小值;(Ⅲ)若集合123456{1,2,3,,2019,2020}S S S S S S S ==L U U U U U ,且i j S S =∅I (任意,{1,2,,6}i j ∈L ,i j ≠).求证:存在i S ,使得从i S 中可以选取若干元素(可重复选取)组成一个具有性质T 的数列.北京市朝阳区高三年级高考练习一数学参考答案2020.4第一部分(选择题 共40分)一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)(1)C (2)D (3)A (4)B (5)B (6)D (7)C (8)A (9)C (10)B第二部分(非选择题 共110分)二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)(11 (12)5:4 (13)15 (14)100 (15)①② 三、解答题(共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) (16)(本小题14分)解:(1)因为sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭,sin sin a b A B =.所以sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又因为sin 0A ≠,所以sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭,即1sin cos sin 22B B B =+. 所以sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 又因为2333B πππ-<-<,所以03B π-=,所以3B π=. (Ⅱ)若选①7b =,则在ABC △中,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-, 得25240a a --=,解得8a =或3c =-(舍).所以8a =.若选②4c π=,则sin sin()A B C =+=sincoscossin34344ππππ+=, 由正弦定理sin sin a cA C=,得2=,解得a =所以a =(17)(本小题14分)解:(1)因为四边形11ACC A 是正方形, 所以1CC AC ⊥.又因为平面ABC ⊥平面11ACC A , 平面ABC ⋂平面11ACC A AC =, 所以1CC ⊥平面ABC . 又因为AB ⊂平面ABC , 所以1AB CC ⊥.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1CC AB ⊥,11AA CC ∥, 所以1AA AB ⊥.又4AB =,12AC AA ==,BC = 所以222AB AC BC +=. 所以AC AB ⊥.如图,以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz -.所以(0,0,0)A ,(4,0,0)B ,(0,0,2)C ,1(0,2,0)A . 则有(2,0,1)D ,1(0,2,2)C ,(4,1,0)E ,平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =r.设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =r,又(2,0,1)AD =u u u r,1(0,2,2)AC =u u u u r ,由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r 得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =,则2z =-,2y =.所以(1,2,2)v =-r.设二面角1D AC C --的平面角为θ,则||11|cos |133||||u v u v θ⋅===⨯r rr r . 由题知,二面角1D AC C --为锐角,所以其余弦值为13. (Ⅲ)平面1AC D 与平面1A EF 不平行.理由如下:由(Ⅱ)知,平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v =-r,1(4,1,0)A E =-u u u r , 所以120A E v ⋅=≠u u u r r ,所以1A E 与平面1AC D 不平行. 又因为1A E ⊂平面1A EF ,所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行. 14分 (18)(本小题14分)(Ⅰ)由题意知,80位患者中有76位用该试剂盒检测一次,结果为阳性.所以从该地区患者中随机选取一位,用该试剂盒检测一次,结果为阳性的概率估计为76198020=. (Ⅱ)由题意可知~(,)X B n p ,其中3n =,1920p =. X 的所有可能的取值为0,1,2,3.03031911(0)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 121319157(1)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,21231911083(2)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3331916859(3)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为故X 的数学期望57()20E X np ==. (Ⅲ)此人患该疾病的概率未超过0.5.理由如下:由题意得,如果该地区所有人用该试剂盒检测一次,那么结果为阳性的人数为11999000100010020⨯+⨯9909501940=+=,其中患者人数为950.若某人检测结果为阳性,那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=. 所以此人患该疾病的概率未超过0.5. 14分 (19)(本小题14分)解:(Ⅰ)因为圆O 过点(1,2),所以圆O 的方程为:225x y +=.因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+, 又因为过点(1,2),所以1b =.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭,所以222835511a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,解得24a =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(Ⅱ)直线2l 与椭圆C 相切.理由如下:设圆O 上动点()00,P x y ()02x ≠±,所以22005x y +=.依题意,设直线()100:l y y k x x -=-.由()220044,x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=. 因为直线1l 与椭圆C 相切,所以()()()22200008414440k y kx ky kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 所以()220014k y kx +=-.所以()()22200004210x k x y k y -++-=. 因为22005x y +=,所以220041x y -=-. 所以()()22200001210y k x y k y -++-=. 设直线()2001:l y y x x k-=--, 由()220044,1,x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得2200002481440x x x y x y k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()()222100*********x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∆=--+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()()2220000216421x kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2220000216121y kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()22200002161210y k kx y y k ⎡⎤=--++-=⎣⎦. 所以直线2l 与椭圆C 相切. 14分(20)(本小题15分)解:(Ⅰ)因为1()1x x f x e x +=-, 所以001(0)201f e +=-=-,22()(1)x f x e x '=+-,022(0)3(01)f e '=+=-. 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=.(Ⅱ)函数()f x 有且仅有两个零点.理由如下:()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R . 因为22()0(1)x f x e x '=+>-, 所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增.因为(0)20f =>,21(2)03f e --=-<, 所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x .因为2(2)30f e =->,545904f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭, 所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x .综上,()f x 有且仅有两个零点.(Ⅲ)曲线x y e =在点()00,x x e 处的切线方程为()000x x y e e x x -=-,即0000x x x y e x x e e =-+.设曲线ln y x =在点()33,x y 处的切线斜率为0x e , 则031x e x =,031e x x =,30y x =-,即切点为001,x x e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以曲线ln y x =在点001,x x e ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为 y 0001x x y x e x e ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,即001x y e x x =--.因为0x 是()f x 的一个零点,所以00011x x e x +=-. 所以()()00000000011111x x x x x e e e x x x x +-+=-=-=---. 所以这两条切线重合.所以结论成立. 15分(21)(本小题14分)解:(Ⅰ)数列1A 不具有性质T ;数列2A 具有性质T .(Ⅱ)由题可知22a =,3224a a =„,4328a a 剟,…,872128a a 剟, 所以9n …. 若9n =,因为9200a =且982a a „,所以8128100a 厖. 同理,76450a 厖,63225a 厖,51612.5a 厖,48 6.25a 厖,34 3.125a 厖. 因为数列各项均为正整数,所以34a =.所以数列前三项为1,2,4.因为数列A 具有性质T ,4a 只可能为4,5,6,8之一,而又因为48 6.25a 厖, 所以4=8a .同理,有516a =,632a =,764a =,8128a =.此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,200.但数列中不存在19i j <剟使得200i j a a =+,所以该数列不具有性质T . 所以10n …. 当10n =时,取A :1,2,4,8,16,32,36,64,100,200.(构造数列不唯一)经验证,此数列具有性质T .所以,n 的最小值为10.(Ⅲ)反证法:假设结论不成立,即对任意(1,2,,6)i S i =L 都有:若正整数,i a b S ∈,a b <,则i b a S -∉.否则,当a b a <-时,a ,b a -,b 是一个具有性质T 的数列;当a b a >-时,b a -,a ,b 是一个具有性质T 的数列;当a b a =-时,a ,a ,b 是一个具有性质T 的数列.(ⅰ)由题意可知,这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个,不妨设此集合为1S ,从1S 中取出337个数,记为12337,,,a a a L ,且12337a a a <<<L .令集合3137|{1,2,,336}i N a a i S =-=⊆L .由假设,对任意33711,2,,336,i i a a S =-∉L ,所以123456N S S S S S ⊆⋃⋃⋃⋃. (ⅱ)在2S ,3S ,4S ,5S ,6S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素,不妨设这个集合为2S ,从21S N ⋂中取出68个数,记为1268,,,b b b L ,且8162b b b <<<L .令集合{}268|1,2,,67i N b b i S =-=⊆L .由假设682i b b S -∉.对任意1,2,,68k =L ,存在{1,2,,336}k s ∈L 使得337k k s b a a =-.所以对任意1,2,,67i =L ,()()686868337337i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-,由假设681i s s a a S -∉,所以681i b b S -∉,所以6812i b b S S -∉⋃,所以23456N S S S S ⊆⋃⋃⋃.(ⅲ)在3S ,4S ,5S ,6S 中至少有一个集合包含N 中的至少17个元素,不妨设这个集合为3S ,从32S N ⋂中取出17个数,记为1217,,,c c c L ,且1217c c c <<<L .令集合{}317|1,2,,16i N c c i S =-=⊆L .由假设173i c c S -∉.对任意1,2,,17k =L ,存在{1,2,,67}k t ∈L 使得68k k t c b b =-.所以对任意1,2,,16i =L ,()()1717176868i i t t t t i c c b b b b b b -=---=-,同样,由假设可得1712i t t b b S S -∉⋃,所以17123i c c S S S -∉⋃⋃,所以3456N S S S ⊆⋃⋃.(ⅳ)类似地,在4S ,5S ,6S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素,不妨设这个集合为4S ,从43S N ⋂中取出6个数,记为126,,,d d d L , 且126d d d <<<L ,则{}4665|1,2,,5i N d d i S S =-=⊆⋃L . (ⅰ)同样,在5S ,6S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素, 不妨设这个集合为5S ,从54S N ⋂中取出3个数,记为123,,e e e ,且123e e e <<, 同理可得{}153326,N e e e e S =--⊆.(ⅰ)由假设可得()()2131326e e e e e e S -=---∉. 同上可知,2112345e e S S S S S -∉⋃⋃⋃⋃,而又因为21e e S -∈,所以216e e S -∈,矛盾. 所以假设不成立.所以原命题得证. 14分。

2020 朝阳一模(答案版)

2020 朝阳一模(答案版)

北京市朝阳区高三年级高考练习一数学参考答案 2020.04第一部分(选择题 共40分)一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)(1)C (2)D (3)A (4)B (5)B (6)D (7)C (8)A (9)C (10)B第二部分(非选择题 共110分)二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)(11 (12)5:4 (13)15 (14)100 (15)①② 三、解答题(共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) (16)(本小题14分)解:(1)因为sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭,sin sin a b A B =.所以sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又因为sin 0A ≠,所以sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭,即1sin cos sin 22B B B =+. 所以sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 又因为2333B πππ-<-<,所以03B π-=,所以3B π=. (Ⅱ)若选①7b =,则在ABC △中,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-, 得25240a a --=,解得8a =或3c =-(舍).所以8a =.若选②4c π=,则sin sin()A B C =+=sincoscossin3434ππππ+=, 由正弦定理sin sin a cA C=,得2=,解得a =所以52a =. (17)(本小题14分)解:(1)因为四边形11ACC A 是正方形, 所以1CC AC ⊥.又因为平面ABC ⊥平面11ACC A , 平面ABC ⋂平面11ACC A AC =, 所以1CC ⊥平面ABC . 又因为AB ⊂平面ABC , 所以1AB CC ⊥.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1CC AB ⊥,11AA CC ∥, 所以1AA AB ⊥.又4AB =,12AC AA ==,BC = 所以222AB AC BC +=. 所以AC AB ⊥.如图,以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz -.所以(0,0,0)A ,(4,0,0)B ,(0,0,2)C ,1(0,2,0)A . 则有(2,0,1)D ,1(0,2,2)C ,(4,1,0)E ,平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =. 设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =, 又(2,0,1)AD =,1(0,2,2)AC =,由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =,则2z =-,2y =.所以(1,2,2)v =-. 设二面角1D AC C --的平面角为θ,则||11|cos |133||||u v u v θ⋅===⨯.由题知,二面角1D AC C --为锐角,所以其余弦值为13. (Ⅲ)平面1AC D 与平面1A EF 不平行.理由如下:由(Ⅱ)知,平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v =-,1(4,1,0)A E =-, 所以120A E v ⋅=≠,所以1A E 与平面1AC D 不平行. 又因为1A E ⊂平面1A EF ,所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行. 14分 (18)(本小题14分)(Ⅰ)由题意知,80位患者中有76位用该试剂盒检测一次,结果为阳性.所以从该地区患者中随机选取一位,用该试剂盒检测一次,结果为阳性的概率估计为76198020=. (Ⅱ)由题意可知~(,)X B n p ,其中3n =,1920p =. X 的所有可能的取值为0,1,2,3.03031911(0)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 121319157(1)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,21231911083(2)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3331916859(3)20208000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为故X 的数学期望57()20E X np ==. (Ⅲ)此人患该疾病的概率未超过0.5.理由如下:由题意得,如果该地区所有人用该试剂盒检测一次,那么结果为阳性的人数为11999000100010020⨯+⨯9909501940=+=,其中患者人数为950.若某人检测结果为阳性,那么他患该疾病的概率为9509700.519401940<=. 所以此人患该疾病的概率未超过0.5. 14分 (19)(本小题14分)解:(Ⅰ)因为圆O 过点(1,2),所以圆O 的方程为:225x y +=.因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+, 又因为过点(1,2),所以1b =.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭,所以222835511a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,解得24a =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(Ⅱ)直线2l 与椭圆C 相切.理由如下:设圆O 上动点()00,P x y ()02x ≠±,所以22005x y +=.依题意,设直线()100:l y y k x x -=-.由()220044,x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=. 因为直线1l 与椭圆C 相切, 所以()()()22200008414440k y kx ky kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 所以()220014k y kx +=-.所以()()22200004210x k x y k y -++-=.因为22005x y +=,所以220041x y -=-. 所以()()22200001210y k x y k y -++-=. 设直线()2001:l y y x x k-=--, 由()220044,1,x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得2200002481440x x x y x y k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()()222100001116421x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∆=--+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()2220000216421x kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2220000216121y kx y y k k⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()22200002161210y k kx y y k⎡⎤=--++-=⎣⎦. 所以直线2l 与椭圆C 相切. 14分 (20)(本小题15分)解:(Ⅰ)因为1()1xx f x ex +=-, 所以001(0)201f e +=-=-,22()(1)x f x e x '=+-,022(0)3(01)f e '=+=-. 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=. (Ⅱ)函数()f x 有且仅有两个零点.理由如下:()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R .因为22()0(1)xf x e x '=+>-, 所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增.因为(0)20f =>,21(2)03f e --=-<, 所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x .因为2(2)30f e =->,545904f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x . 综上,()f x 有且仅有两个零点.(Ⅲ)曲线xy e =在点()00,x x e处的切线方程为()000x x y ee x x -=-,即0000x x xy e x x e e =-+.设曲线ln y x =在点()33,x y 处的切线斜率为0x e ,则031x e x =,031e x x =,30y x =-,即切点为001,x x e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以曲线ln y x =在点001,x x e ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为 y 0001xx y x e x e ⎛⎫+=-⎪⎝⎭,即001x y e x x =--.因为0x 是()f x 的一个零点,所以00011x x e x +=-. 所以()()0000000011111xx x x x e ee x x x x +-+=-=-=---. 所以这两条切线重合.所以结论成立. 15分 (21)(本小题14分)解:(Ⅰ)数列1A 不具有性质T ;数列2A 具有性质T .(Ⅱ)由题可知22a =,3224a a =,4328a a ,…,872128a a , 所以9n .若9n =,因为9200a =且982a a ,所以8128100a .同理,76450a ,63225a ,51612.5a ,48 6.25a ,34 3.125a . 因为数列各项均为正整数,所以34a =.所以数列前三项为1,2,4.因为数列A 具有性质T ,4a 只可能为4,5,6,8之一,而又因为48 6.25a , 所以4=8a .同理,有516a =,632a =,764a =,8128a =. 此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,200.但数列中不存在19i j <使得200i j a a =+,所以该数列不具有性质T . 所以10n .当10n =时,取A :1,2,4,8,16,32,36,64,100,200.(构造数列不唯一) 经验证,此数列具有性质T . 所以,n 的最小值为10.(Ⅲ)反证法:假设结论不成立,即对任意(1,2,,6)i S i =都有:若正整数,i a b S ∈,a b <,则i b a S -∉.否则,当a b a <-时,a ,b a -,b 是一个具有性质T 的数列; 当a b a >-时,b a -,a ,b 是一个具有性质T 的数列;当a b a =-时,a ,a ,b 是一个具有性质T 的数列.(ⅰ)由题意可知,这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个,不妨设此集合为1S ,从1S 中取出337个数,记为12337,,,a a a ,且12337a a a <<<.令集合3137|{1,2,,336}i N a a i S =-=⊆.由假设,对任意33711,2,,336,i i a a S =-∉,所以123456N S S S S S ⊆⋃⋃⋃⋃.(ⅱ)在2S ,3S ,4S ,5S ,6S 中至少有一个集合包含1N 中的至少68个元素,不妨设这个集合为2S ,从21S N ⋂中取出68个数,记为1268,,,b b b ,且8162b b b <<<.令集合{}268|1,2,,67i N b b i S =-=⊆.由假设682i b b S -∉. 对任意1,2,,68k =,存在{1,2,,336}k s ∈使得337k k s b a a =-.所以对任意1,2,,67i =,()()686868337337i i i s s s s b b a a a a a a -=---=-,由假设681i s s a a S -∉,所以681i b b S -∉,所以6812i b b S S -∉⋃, 所以23456N S S S S ⊆⋃⋃⋃.(ⅲ)在3S ,4S ,5S ,6S 中至少有一个集合包含N 中的至少17个元素,不妨设这个集合为3S ,从32S N ⋂中取出17个数,记为1217,,,c c c ,且1217c c c <<<.令集合{}317|1,2,,16i N c c i S =-=⊆.由假设173i c c S -∉. 对任意1,2,,17k =,存在{1,2,,67}k t ∈使得68k k t c b b =-.所以对任意1,2,,16i =,()()1717176868i i t t t t i c c b b b b b b -=---=-,同样,由假设可得1712i t t b b S S -∉⋃,所以17123i c c S S S -∉⋃⋃, 所以3456N S S S ⊆⋃⋃.(ⅳ)类似地,在4S ,5S ,6S 中至少有一个集合包含3N 中的至少6个元素,不妨设这个集合为4S ,从43S N ⋂中取出6个数,记为126,,,d d d ,且126d d d <<<,则{}4665|1,2,,5i N d d i S S =-=⊆⋃.(ⅰ)同样,在5S ,6S 中至少有一个集合包含4N 中的至少3个元素,不妨设这个集合为5S ,从54S N ⋂中取出3个数,记为123,,e e e ,且123e e e <<, 同理可得{}153326,N e e e e S =--⊆.(ⅰ)由假设可得()()2131326e e e e e e S -=---∉. 同上可知,2112345e e S S S S S -∉⋃⋃⋃⋃, 而又因为21e e S -∈,所以216e e S -∈,矛盾. 所以假设不成立.所以原命题得证. 14分。

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.i是虚数单位,=()A.1﹣i B.﹣1﹣i C.1+i D.﹣1+i2.已知全集U=R,函数y=ln(x﹣1)的定义域为M,集合N={x|x2﹣x<0},则下列结论正确的是()A.M∩N=N B.M∩(∁U N)=∅C.M∪N=U D.M⊆(∁U N)3.“”是“e a>e b”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.42 B.19 C.8 D.35.在△ABC中,角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若(a2+c2﹣b2)tanB=ac,则角B的值为()A.B.或C.D.或6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是()(注:结余=收入﹣支出)A.收入最高值与收入最低值的比是3:1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是()A.B.C.1 D.8.若圆x2+(y﹣1)2=r2与曲线(x﹣1)y=1没有公共点,则半径r的取值范围是()A.0<r<B.0<r<C.0<r<D.0<r<二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.二项式(x2+)5的展开式中含x4的项的系数是_______(用数字作答).10.已知等差数列{a n}(n∈N*)中,a1=1,a4=7,则数列{a n}的通项公式a n=_______;a2+a6+a10+…+a4n+10=_______.11.在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为x2+y2=2,曲线C2的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线C1与C2的交点的极坐标为_______.12.不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与区域D有公共点,则实数a的取值范围是_______.13.已知M为△ABC所在平面内的一点,且.若点M在△ABC的内部(不含边界),则实数n的取值范围是_______.14.某班主任在其工作手册中,对该班每个学生用十二项能力特征加以描述.每名学生的第i(i=1,2,…,12)项能力特征用x i表示,,若学生A,B的十二项能力特征分别记为A=(a1,a2,…,a12),B=(b1,b2,…,b12),则A,B两名学生的不同能力特征项数为_______(用a i,b i表示).如果两个同学不同能力特征项数不少于7,那么就说这两个同学的综合能力差异较大.若该班有3名学生两两综合能力差异较大,则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_______.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.已知函数,ω>0.(Ⅰ)若ω=1,求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若,求f(x)的最小正周期T的表达式并指出T的最大值.16.为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如表.1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1(Ⅰ)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率?(Ⅱ)若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望;(Ⅲ)试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小(只需写出结论).17.如图,在直角梯形AA1B1B中,∠A1AB=90°,A1B1∥AB,AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到,且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.M为线段BC的中点,P为线段BB1上的动点.(Ⅰ)求证:A1C1⊥AP;(Ⅱ)当点P是线段BB1中点时,求二面角P﹣AM﹣B的余弦值;1(Ⅲ)是否存在点P,使得直线A1C∥平面AMP?请说明理由.18.已知函数f(x)=x+alnx,a∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈[1,2]时,都有f(x)>0成立,求a的取值范围;(Ⅲ)试问过点P(1,3)可作多少条直线与曲线y=f(x)相切?并说明理由.19.已知点和椭圆C:.(Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率;(Ⅱ)若直线l:与椭圆C交于两个不同的点A,B,直线PA,PB 与x轴分别交于M,N两点,求证:|PM|=|PN|.20.已知等差数列{a n}的通项公式.设数列{b n}为等比数列,且.(Ⅰ)若b1=a1=2,且等比数列{b n}的公比最小,(ⅰ)写出数列{b n}的前4项;(ⅱ)求数列{k n}的通项公式;(Ⅱ)证明:以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个.2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.i是虚数单位,=()A.1﹣i B.﹣1﹣i C.1+i D.﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】两个复数代数形式的乘除法,两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,运算求得结果.【解答】解:===1+i,故选C.2.已知全集U=R,函数y=ln(x﹣1)的定义域为M,集合N={x|x2﹣x<0},则下列结论正确的是()A.M∩N=N B.M∩(∁U N)=∅C.M∪N=U D.M⊆(∁U N)【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】分别解出关于M,N的范围,然后判断即可.【解答】解:由x﹣1>0,解得:x>1,故函数y=ln(x﹣1)的定义域为M=(1,+∞),由x2﹣x<0,解得:0<x<1,故集合N={x|x2﹣x<0}=(0,1),∴∁U N={x|x≥1或x≤0},∴M⊆(∁U N),故选:D.3.“”是“e a>e b”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】“”等价于a>b,可得“e a>e b”,反之不成立,例如取a=2,b=﹣1.即可判断出结论.【解答】解:∵“”⇔a>b⇒“e a>e b”,反之不成立,例如取a=2,b=﹣1.∴“”是“e a>e b”的充分不必要条件.故选:A.4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.42 B.19 C.8 D.3【考点】程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,依次写出每次循环得到的S,i的值,当i=4时不满足条件i<4,退出循环,输出S的值为19.【解答】解:模拟执行程序,可得i=1,S=1满足条件i<4,S=3,i=2满足条件i<4,S=8,i=3满足条件i<4,S=19,i=4不满足条件i<4,退出循环,输出S的值为19.故选:B.5.在△ABC中,角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若(a2+c2﹣b2)tanB=ac,则角B的值为()A.B.或C.D.或【考点】余弦定理.【分析】利用余弦定理表示出cosB,整理后代入已知等式,利用同角三角函数间基本关系化简,求出sinB的值,即可确定出B的度数.【解答】解:∵cosB=,∴a2+c2﹣b2=2accosB,代入已知等式得:2ac•cosBtanB=ac,即sinB=,则B=或.故选:B.6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是()(注:结余=收入﹣支出)A.收入最高值与收入最低值的比是3:1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化.【分析】根据折现统计图即可判断各选项.【解答】解:由图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3:1,故A正确,由图可知,结余最高为7月份,为80﹣20=60,故B正确,由图可知,1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确,由图可知,前6个月的平均收入为(40+60+30+30+50+60)=45万元,故D错误,故选:D.7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是()A.B.C.1 D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知:该几何体为如图所示的三棱锥,CB⊥侧面PAB.利用体积计算公式即可得出.【解答】解:由三视图可知:该几何体为如图所示的三棱锥,CB⊥侧面PAB.该几何体的体积V=××1=.故选:A.8.若圆x2+(y﹣1)2=r2与曲线(x﹣1)y=1没有公共点,则半径r的取值范围是()A.0<r<B.0<r<C.0<r<D.0<r<【考点】圆与圆锥曲线的综合.【分析】求得圆的圆心和半径,设圆与曲线y=相切的切点为(m,n),代入曲线的方程,求出函数的导数和切线的斜率,由两点的斜率公式和两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,解方程可得切点,进而得到此时圆的半径,结合图象即可得到所求范围.【解答】解:圆的圆心为(0,1),半径为r,设圆与曲线y=相切的切点为(m,n),可得n=,①y=的导数为y′=﹣,可得切线的斜率为﹣,由两点的斜率公式可得•(﹣)=﹣1,即为n﹣1=m(m﹣1)2,②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0,化为(n2﹣n﹣1)(n2+1)=0,即有n2﹣n﹣1=0,解得n=或,则有或.可得此时圆的半径r==.结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候,r的范围是(0,).故选:C.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.二项式(x2+)5的展开式中含x4的项的系数是10(用数字作答).【考点】二项式定理.【分析】先求出二项式(x2+)5的展开式中通项公式,令x的系数等于4,求出r的值,即可求得展开式中含x4的项的系数.【解答】解:二项式(x2+)5的展开式中通项公式为T r+1=x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r.令10﹣3r=4,可得r=2,∴展开式中含x4的项的系数是=10,故答案为10.10.已知等差数列{a n}(n∈N*)中,a1=1,a4=7,则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1;a2+a6+a10+…+a4n+10=(n+3)(4n+11).【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差,由此能求出结果.【解答】解:∵等差数列{a n}(n∈N*)中,a1=1,a4=7,∴a4=1+3d=7,解得d=2,∴a n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,∴a2=1+2=3,a6=1+5×2=11,a6﹣a2=8,∴a2+a6+a10+…+a4n+10=×3+×8=(n+3)(4n+11).故答案为:2n﹣1,(n+3)(4n+11).11.在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为x2+y2=2,曲线C2的参数方程为(t 为参数).以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线C1与C2的交点的极坐标为(,).【考点】简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系.【分析】将曲线C2的参数方程代入曲线C1的方程,可得t=1,再由x=ρcosθ,y=ρsinθ,tanθ=,求得ρ,θ,即可得到所求坐标.【解答】解:将曲线C2的参数方程(t为参数)代入曲线C1的方程为x2+y2=2,可得(2﹣t)2+t2=2,解得t=1,可得交点的直角坐标为(1,1),由x=ρcosθ,y=ρsinθ,tanθ=,可得ρ==,tanθ=1,0<θ<,可得θ=.可得交点的极坐标为(,).故答案为:(,).12.不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与区域D有公共点,则实数a的取值范围是.【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合进行求解即可.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域图示:因为y=a(x+1)过定点C(﹣1,0).当a≤0时,直线y=a(x+1)与区域D有公共点,满足条件.当a>0时,当直线y=a(x+1)过点A时,由公共点,由得,即A(3,3),代入y=a(x+1)得4a=3,a=,又因为直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点.此时0<a≤.综上所述,a≤.故答案为:.13.已知M为△ABC所在平面内的一点,且.若点M在△ABC的内部(不含边界),则实数n的取值范围是(0,).【考点】向量在几何中的应用.【分析】根据题意可作出图形,将,带入并进行向量的数乘运算便可以得出,这样根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义便可得到,从而便可得出实数n的取值范围.【解答】解:如图,由得:;∴;∴;∴;∴;∴实数n的取值范围是.故答案为:.14.某班主任在其工作手册中,对该班每个学生用十二项能力特征加以描述.每名学生的第i(i=1,2,…,12)项能力特征用x i表示,,若学生A,B的十二项能力特征分别记为A=(a1,a2,…,a12),B=(b1,b2,…,b12),则A,B两名学生的不同能力特征项数为(用a i,b i表示).如果两个同学不同能力特征项数不少于7,那么就说这两个同学的综合能力差异较大.若该班有3名学生两两综合能力差异较大,则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为22.【考点】函数模型的选择与应用;分段函数的应用.【分析】根据A,B两名学生的每一项的特征数是否相同,进行求解计算即可.【解答】解:若第i(i=1,2,…,12)项能力特征相同,则差为0,特征不相同,绝对值为1,则用x i表示A,B两名学生的不同能力特征项数为=|a1﹣b1|+|b2﹣c2|+…+|c12﹣a12|=,设第三个学生为C=(c1,c2,…,c12),则d i=|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|,1≤i≤12,∵d i的奇偶性和(a i﹣b i)+(b i﹣c i)+(c i﹣a i)=0一样,∴d i是偶数,3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d1+d2+…+d12为偶数,又S≥7×3=21.则S≥22,取A=(0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1),B=(1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1),C=(1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1),则不同能力特征数总和恰好为22,∴最小值为22,故答案为:,22三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.已知函数,ω>0.(Ⅰ)若ω=1,求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若,求f(x)的最小正周期T的表达式并指出T的最大值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性.【分析】(Ⅰ)当ω=1时,利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式,然后求解函数的单调区间.(Ⅱ)化简函数的解析式为:f(x)=.通过,求出.然后求解T的最大值.【解答】(本小题满分13分)解:(Ⅰ)当ω=1时,==.令.解得.所以f(x)的单调递增区间是.…(Ⅱ)由==.因为,所以.则,n∈Z.解得.又因为函数f(x)的最小正周期,且ω>0,所以当ω=时,T的最大值为4π.…16.为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如表.1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1(Ⅰ)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率?(Ⅱ)若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望;(Ⅲ)试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小(只需写出结论).【考点】离散型随机变量的期望与方差;极差、方差与标准差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)设事件A:从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生阅读本数之和为4.由此能求出这两名学生阅读名著本数之和为4的概率.(Ⅱ)阅读名著不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X的取值为0,1,2,3,4.分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列和数学期望.(Ⅲ).【解答】(本小题满分13分)解:(Ⅰ)设事件A:从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生阅读本数之和为4.由题意可知,.…(Ⅱ)阅读名著不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X的取值为0,1,2,3,4.由题意可得,,,,.所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P随机变量X的均值.…(Ⅲ).…17.如图,在直角梯形AA1B1B中,∠A1AB=90°,A1B1∥AB,AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到,且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.M为线段BC的中点,P为线段BB1上的动点.(Ⅰ)求证:A1C1⊥AP;(Ⅱ)当点P是线段BB1中点时,求二面角P﹣AM﹣B的余弦值;1(Ⅲ)是否存在点P,使得直线A1C∥平面AMP?请说明理由.【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.【分析】(Ⅰ)证明AC⊥AB.结合AC⊥AA1,证明AC⊥平面AA1B1B.推出A1C1⊥平面AA1B1B.即可证明A1C1⊥AP.(Ⅱ)以AC,AB,AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求出平面ABM的一个法向量,平面APM的一个法向量,利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值.(Ⅲ)存在点P,使得直线A1C∥平面AMP.设P(x1,y1,z1),求出平面AMP的一个法向量,求出,利用.求出λ,即可证明结果.【解答】(本小题满分14分)解:(Ⅰ)证明:由已知∠A1AB=∠A1AC=90°,且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,所以∠BAC=90°,即AC⊥AB.又因为AC⊥AA1且AB∩AA1=A,所以AC⊥平面AA1B1B.由已知A1C1∥AC,所以A1C1⊥平面AA1B1B.因为AP⊂平面AA1B1B,所以A1C1⊥AP.…(Ⅱ)由(Ⅰ)可知AC,AB,AA1两两垂直.分别以AC,AB,AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2,所以A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),B1(0,1,2),A1(0,0,2).因为M为线段BC的中点,P为线段BB1的中点,所以.易知平面ABM的一个法向量=(0,0,1).设平面APM的一个法向量为=(x,y,z),由,得取y=2,得=(﹣2,2,﹣3).由图可知,二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角,所以===.所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为.…(Ⅲ)存在点P,使得直线A1C∥平面AMP.设P(x1,y1,z1),且,λ∈[0,1],则(x1,y1﹣2,z1)=λ(0,﹣1,2),所以x1=0,y1=2﹣λ,z1=2λ.所以.设平面AMP的一个法向量为=(x0,y0,z0),由,得取y0=1,得(显然λ=0不符合题意).又,若A1C∥平面AMP,则.所以.所以.所以在线段BB1上存在点P,且时,使得直线A1C∥平面AMP.…18.已知函数f(x)=x+alnx,a∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈[1,2]时,都有f(x)>0成立,求a的取值范围;(Ⅲ)试问过点P(1,3)可作多少条直线与曲线y=f(x)相切?并说明理由.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(Ⅰ)求出函数f(x)的定义域,函数的导函数,通过(1)当a≥0时,(2)当a <0时,当0<x<﹣a时,当x>﹣a时,导函数的符号,判断函数的单调性.(Ⅱ)(1)当﹣a≤1时,(2)当1<﹣a<2时,(3)当﹣a≥2时,分别求解函数的最值.(Ⅲ)设切点为(x0,x0+alnx0),则切线斜率,求出切线方程,切线过点P(1,3),推出关系式,构造函数(x>0),求出导函数,(1)当a<0时,判断g(x)单调性,说明方程g(x)=0无解,切线的条数为0.(2)当a>0时,类比求解,推出当a>0时,过点P(1,3)存在两条切线.(3)当a=0时,f(x)=x,说明不存在过点P(1,3)的切线.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为{x|x>0}..(1)当a≥0时,f′(x)>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)当a<0时,令f′(x)=0,得x=﹣a.当0<x<﹣a时,f′(x)<0,函数f(x)为减函数;当x>﹣a时,f′(x)>0,函数f(x)为增函数.综上所述,当a≥0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).当a<0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,﹣a),单调递增区间为(﹣a,+∞).…(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,(1)当﹣a≤1时,即a≥﹣1时,函数f(x)在区间[1,2]上为增函数,所以在区间[1,2]上,f(x)min=f(1)=1,显然函数f(x)在区间[1,2]上恒大于零;(2)当1<﹣a<2时,即﹣2<a<﹣1时,函数f(x)在[1,﹣a)上为减函数,在(﹣a,2]上为增函数,所以f(x)min=f(﹣a)=﹣a+aln(﹣a).依题意有f(x)min=﹣a+aln(﹣a)>0,解得a>﹣e,所以﹣2<a<﹣1.(3)当﹣a≥2时,即a≤﹣2时,f(x)在区间[1,2]上为减函数,所以f(x)min=f(2)=2+aln2.依题意有f(x)min=2+aln2>0,解得,所以.综上所述,当时,函数f(x)在区间[1,2]上恒大于零.…(Ⅲ)设切点为(x0,x0+alnx0),则切线斜率,切线方程为.因为切线过点P(1,3),则.即.…①令(x>0),则.(1)当a<0时,在区间(0,1)上,g′(x)>0,g(x)单调递增;在区间(1,+∞)上,g′(x)<0,g(x)单调递减,所以函数g(x)的最大值为g(1)=﹣2<0.故方程g(x)=0无解,即不存在x0满足①式.因此当a<0时,切线的条数为0.(2)当a>0时,在区间(0,1)上,g′(x)<0,g(x)单调递减,在区间(1,+∞)上,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以函数g(x)的最小值为g(1)=﹣2<0.取,则.故g(x)在(1,+∞)上存在唯一零点.取,则=.设,u(t)=e t﹣2t,则u′(t)=e t﹣2.当t>1时,u′(t)=e t﹣2>e﹣2>0恒成立.所以u(t)在(1,+∞)单调递增,u(t)>u(1)=e﹣2>0恒成立.所以g(x2)>0.故g(x)在(0,1)上存在唯一零点.因此当a>0时,过点P(1,3)存在两条切线.(3)当a=0时,f(x)=x,显然不存在过点P(1,3)的切线.综上所述,当a>0时,过点P(1,3)存在两条切线;当a≤0时,不存在过点P(1,3)的切线.…19.已知点和椭圆C:.(Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率;(Ⅱ)若直线l:与椭圆C交于两个不同的点A,B,直线PA,PB 与x轴分别交于M,N两点,求证:|PM|=|PN|.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.【分析】(Ⅰ)利用椭圆的方程,求出a,b,c.通过椭圆的定义求解三角形的周长,求解椭圆的离心率.(Ⅱ)联立,利用直线l与椭圆C有两个交点,求出﹣4<m<0或0<m<4.设A(x1,y1),B(x2,y2),结合韦达定理,求解AB坐标,设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,推出k1+k2=0,即可证明|PM|=|PN|.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,a2=4,b2=2,所以c2=2.因为是椭圆C上的点,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4.所以△PF1F2的周长为.易得椭圆的离心率.…(Ⅱ)证明:由得.因为直线l与椭圆C有两个交点,并注意到直线l不过点P,所以解得﹣4<m<0或0<m<4.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,,.显然直线PA与PB的斜率存在,设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,则======.因为k1+k2=0,所以∠PMN=∠PNM.所以|PM|=|PN|.…20.已知等差数列{a n}的通项公式.设数列{b n}为等比数列,且.(Ⅰ)若b1=a1=2,且等比数列{b n}的公比最小,(ⅰ)写出数列{b n}的前4项;(ⅱ)求数列{k n}的通项公式;(Ⅱ)证明:以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个.【考点】等差数列与等比数列的综合.【分析】(Ⅰ)(ⅰ)写出数列{a n}的前若干项,观察可得等比数列{b n}的公比最小为4,即可得到所求;(ⅱ)由(ⅰ)可知{b n}的通项公式,由等差数列的通项公式可得.证明k n为正整数即可;(Ⅱ)设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列,求出c1,c2,求得公比q,只要证是数列{a n}的项,运用归纳法,即可得证.【解答】解:(Ⅰ)观察数列{a n}的前若干项:2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,….因为数列{a n}是递增的整数数列,且等比数列以2为首项,显然最小公比不能是,最小公比是4.(ⅰ)以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2,8,32,128.(ⅱ)由(ⅰ)可知b1=2,公比q=4,所以.又,所以,即.再证k n为正整数.显然k1=1为正整数,n≥2时,,即,故为正整数.所以,所求通项公式为;(Ⅱ)证明:设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列,且,,所以公比.因为等比数列{c n}各项为整数,所以q为整数.取k2=5m+2(m∈N*),则q=3m+1,故.只要证是数列{a n}的项,即证3k n﹣1=5•(3m+1)n﹣1.只要证(n∈N*)为正整数,显然k1=2为正整数.又n≥2时,,即,又因为k1=2,5m(3m+1)n﹣2都是正整数,故n≥2时,k n也都是正整数.所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列,其公比q=3m+1有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故数列{a n}所包含的以a2=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个.2020年9月12日。

北京市朝阳区2020届高三第一次模拟考试数学试题 含答案

北京市朝阳区2020届高三第一次模拟考试数学试题 含答案

(A) − 1 2
(B) − 1 3
(C) 1 2
(D) 1 3
A
E
B
D
C
(第 4 题图)
(5)已知抛物线 C : y2 = 2 px( p 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,点 A 是抛物线 C 上一点, AD ⊥ l 于 D .
若 AF = 4 , DAF = 60 ,则抛物线 C 的方程为
为了使中签率超过 0.9 ,则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.
(14)已知函数
f
(x) =
x cos x 2
.数列 {an } 满足 an
=
f
(n) +
f
(n +1)
( n N* ),则数列{an } 的前100 项和
是________.
(15)数学中有许多寓意美好的曲线,曲线 C : (x2 + y2 )3 = 4x2 y2 被称为“四叶玫瑰线”(如图所示).
(A) y2 = 8x
(B) y2 = 4x
(C) y2 = 2x(D来自 y2 = x(6)现有甲、乙、丙、丁、戊 5 种在线教学软件,若某学校要从中随机选取 3 种作为教师“停课不停学”的
教学工具,则其中甲、乙、丙至多有 2 种被选取的概率为
(A) 2 3
(B) 2 5
(C) 3 5
(D) 9 10
与平面 A1EF 是否平行,并说明理由.
D A A1
F
(18)(本小题 14 分)
B
E
B1
某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性,质检部门从某地
(17)(本小题 14 分)

北京朝阳区2019-2020学年第二学期高三数学一模试卷

北京朝阳区2019-2020学年第二学期高三数学一模试卷

北京市朝阳区高三年级高考练习一数 学 2020.4(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{}1,3,5A =,{}|(1)(4)0B x x x =∈−−<Z ,则AB =(A ){}3(B ){}1,3(C ){}1,2,3,5(D ){}1,2,3,4,5(2)下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是(A )3y x = (B )21y x =−+ (C )2log y x = (D )||2x y = (3)在等比数列{}n a 中,11a =,48a =−,则{}n a 的前6项和为(A )21− (B ) 11 (C ) 31 (D )63(4)如图,在△ABC 中,点D ,E 满足2BC BD =,3CA CE =.若DE xAB y AC =+(,)x y ∈R ,则x y +=(A )12−(B )13−(C ) 12(D ) 13(5)已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,准线为l ,点A 是抛物线C 上一点,AD l ⊥于D .若4AF =,60DAF ∠=︒,则抛物线C 的方程为(A )28y x = (B ) 24y x = (C )22y x = (D )2y x =(0,)+∞ED CB A(第4题图)(6)现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件,若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具,则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 (A )23 (B ) 25 (C ) 35 (D ) 910(7)在△ABC 中,BC AB =,︒=∠120ABC .若以A ,B 为焦点的双曲线经过点C ,则该双曲线的离心率为(A )25 (B )27(C(D(8)已知函数()=)(>0)f x ωx φω-的图象上相邻两个最高点的距离为π,则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件(9)已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧−+≤⎪=⎨−>⎪⎩若关于x 的不等式()2a f x ≥在R 上恒成立,则实数a 的取值范围为(A)(−∞(B )3[0,]2(C )[0,2] (D)(10)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M ,N 分别是棱AB ,1BB 的中点,点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时,点P 的位置是 (A )线段1CA 的三等分点,且靠近点1A (B )线段1CA 的中点(C )线段1CA 的三等分点,且靠近点C(D )线段1CA 的四等分点,且靠近点CPMN ABCDD 1C 1B 1A 1(第10题图)第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。

北京市朝阳区六校联考2020届高三数学四月份测试试题A(含解析)

北京市朝阳区六校联考2020届高三数学四月份测试试题A(含解析)

北京市朝阳区六校联考2019-2020学年高三年级四月份测试数学试卷A第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知命题p :x ∀∈R ,e 1x >,那么命题p 的否定为( ) A. 0x ∃∈R ,0e 1x ≤ B. x ∀∈R ,e 1x < C. 0x ∃∈R ,0e 1x > D. x ∀∈R ,e 1x ≤【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得解. 【详解】原命题是全称命题,∴命题p 的否定是“0x ∃∈R ,0e 1x ≤”.故选:A.【点睛】本题考查了全称命题的否定,属于基础题.2.下列函数中既是奇函数,又在区间(0,1)上单调递减的是( ) A. 3()2x f x =-+ B.12()log ||f x x =C. 3()3f x x x =- D. ()sin f x x =【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质()()f x f x -=-和函数的单调性逐项判断即可得解. 【详解】对于A ,()3()2f x f x x -=+≠-,不是奇函数,故A 错误;对于B ,()12()log ||f x x f x -=-=,所以()f x 为偶函数不是奇函数,故B 错误;对于C ,()3()3f x x x f x -=-+=-,所以()f x 为奇函数;由()2()31f x x '-=-,当()0,1x ∈时,()0f x '-<,故()f x 在()0,1上单调递减,故C 正确;对于D ,由正弦函数的单调性可知,函数()sin f x x =在()0,1上单调递增,故D 错误. 故选:C.【点睛】本题考查了奇函数性质的应用和常见函数的单调性,考查了利用导数判断函数的单调性,属于基础题.3.设集合{}2340A x Z x x =∈-->,{}2|1x B x e-=<,则以下集合P 中,满足()Z P A B ⊆⋂的是( )A. {1,0,1,2}-B. {1,2}C. {1}D. {2}【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ,解指数不等式求得集合B ,即可确定()ZA B ,进而判断各选项即可.【详解】集合{}2340A x Z x x =∈-->,解得{4A x Z x =∈>或}1x <-,{}2|1x B x e -=<,解得{}|2B x x =<,则{}1,0,1,2,3,4ZA =-,所以(){}{}{}1,0,1,2,3,4|21,0,1ZA B x x ⋂=-⋂<=-,对比四个选项可知,只有C 符合()Z P A B ⊆⋂, 故选:C.【点睛】本题考查了一元二次不等式和指数不等式的解法,集合补集和交集的简单运算,属于基础题. 4.已知2a =,0.2log 0.3b =,11tan 3c π=,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A. c b a << B. b a c << C. c a b <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的单调性和正切函数的性质可得01c b a <<<<,即可得解. 【详解】由对数函数的单调性可知33log2log31a =>=,0.20.20log 0.3log 0.21b <=<=,由正切函数的性质得112tan tan 3033c ππ===-<, 故01c b a <<<<. 故选:A【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较大小,考查了正切函数的性质,属于基础题. 5.若一个n 面体有m 个面是直角三角形,则称这个n 面体的直度为mn,如图是某四面体的三视图,则这个四面体的直度为( )A.14B.12C.34D. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图,还原空间几何体,即可确定四面体中直角三角形个数,即可得解. 【详解】由三视图还原空间几何体如下图所示:则四面体为P ABC -,由图可知,四面体中有4个直角三角形,分别为,,,Rt PAB Rt PAC Rt PBC Rt ABC △△△△,由题意可知这个4面体的直度为414m n ==, 故选:D.【点睛】本题考查根据三视图还原空间几何体,立体几何中新定义的简单应用,属于基础题. 6.已知向量(2,23)a =,若(3)a b a +⊥,则b 在a 上的投影是( ) A.34B. 34-C.43D. 43-【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标先求得向量a ,结合平面向量数量积的运算律求得a b ⋅,即可由平面向量投影的定义求得b 在a 上的投影.【详解】向量(2,23a =,则()222234a =+=,因为()3a b a +⊥,则()30a b a +⋅=,即()2330a b a a a b +⋅=+⋅=,所以163 a b⋅=-,b在a上的投影为164343a ba-⋅==-.故选:D.【点睛】本题考查由坐标求平面向量模,平面向量数量积的运算律简单应用,投影的定义和求法,属于基础题.7.已知ABC,则“sin cosA B=”是“ABC是直角三角形”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】若sin cosA B=,则2A Bπ+=或2A Bπ=+;若2Aπ=,则sin cosA B≠;由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】若sin cosA B=,则2A Bπ+=或2A Bπ=+,不能推出ABC是直角三角形;若2Aπ=,则sin cosA B≠,所以ABC是直角三角形不能推出sin cosA B=;所以“sin cosA B=”是“ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选:D.【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念,属于基础题.8.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记n a为图中虚线上的数1,3,6,10,⋅⋅⋅构成的数列{}na的第n项,则100a的值为()A. 5049B. 5050C. 5051D. 5101【答案】B 【解析】 【分析】观察数列的前4项,可得()12n n n a +=,代入即可得解. 【详解】由题意得11a =,2312a ==+,36123a ==++,4101234a ==+++⋅⋅⋅观察规律可得()11232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=, 所以10010010150502a ⨯==. 故选:B.【点睛】本题考查了观察法求数列的通项公式,属于基础题.9.已知双曲线2212y x -=的渐近线与抛物线2:2(0)M y px p =>交于点(2,?)A a ,直线AB 过抛物线M 的焦点,交抛物线M 于另一点B ,则||AB 等于( ) A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得渐近线方程,将点A 的坐标求出后代入抛物线方程,即可求得抛物线的方程和焦点坐标,由A 和焦点坐标可得直线AB 的方程,联立直线AB 的方程和抛物线方程,化简后由韦达定理可得A B x x +,即可由A B B x p A x ++=求解.【详解】双曲线2212y x -=,双曲线的渐近线方程为y =,不妨取y =,双曲线渐近线与抛物线交于点()2,A a ,则将点A代入可得(2,A , 将点A代入抛物线方程可得24p =,则2p =,所以抛物线2:4M y x =,焦点坐标为()1,0,直线AB 过抛物线M 的焦点,则由A 和焦点坐标可得直线AB 的方程为)1y x =-, 直线AB 与抛物线交于,A B ,联立抛物线方程)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩,化简可得22520x x -+=, 则52A B x x +=, 所以 4.5A B x x p AB ++==, 故选:C.【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用,直线与抛物线相交所得弦长的求法,属于基础题.10.关于函数2()(1)e xf x x ax =+-,有以下三个结论: ①函数恒有两个零点,且两个零点之积为1-; ②函数的极值点不可能是1-; ③函数必有最小值其中正确结论的个数有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】D 【解析】 【分析】把函数()f x 的零点转化为函数21y x ax =+-的零点,即可判断①;求得()f x '后代入1x =-,根据()f x '是否为0即可判断②;设()2210x a x a +++-=的两个实数根为3x ,4x 且34x x <,结合①可得当()3,x x ∈-∞时,()0f x >,再证明4()0f x <即可判断③;即可得解.【详解】由题意函数()2()1e xf x x ax =+-的零点即为函数21y x ax =+-的零点,令210x ax +-=,则240a =+>,所以方程必有两个不等实根1x ,2x ,设12x x <, 由韦达定理可得121x x =-,故①正确;()()()22()2e 1e 21e x x xf x x a x a a x x x a ⎡⎤+=+++-⎣=++⎦'-,当1x =-时,()1112()e 201a a f x e --=--+-'=-≠,故1-不可能是函数()f x 的极值点,故②正确;令()0f x '=即()2210x a x a +++-=,()()2224180a a a =+--=+>,设()2210x a x a +++-=的两个实数根为3x ,4x 且34x x <,则当()3,x x ∈-∞,()4,x x ∈+∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增, 当()34,x x x ∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减,所以4()f x 为函数极小值; 由①知,当()1,x x ∈-∞时,函数()0f x >,所以当()3,x x ∈-∞时,()0f x >,又 (0)0xf e =-<,所以()30,x ∈+∞,所以()4()00f x f ≤<,所以4()f x 为函数的最小值,故③正确. 故选:D.【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题,考查了推理能力,属于中档题.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.在52x ⎫⎪⎭的二项展开式中,2x -的系数为________(用数字作答) 【答案】-80 【解析】 【分析】由二项定理展开式通项,即可确定2x -的系数.【详解】在52x ⎫⎪⎭的二项展开式中,由展开式通项可得()535215522rrr r rr r T C C x x --+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭, 令5322r-=-,解得3r =,所以系数为()()3355428802C ⨯⋅-=⨯-=-, 故答案为:80-.【点睛】本题考查了二项定理展开通项式的简单应用,指定项系数的求法,属于基础题. 12.设复数z 在复平面内对应的点位于第一象限,且满足||5z =,z 6z +=,则z 的虚部为________,1z=________. 【答案】 (1). 4 (2). 342525i - 【解析】 【分析】设出复数z ,结合条件即可求得复数,进而由复数的定义和除法运算即可得解. 【详解】复数z 在复平面内对应的点位于第一象限, 设复数(),,,0,0z a bi a b R a b =+∈>>, 所以z a bi =-,因为满足5z =,z 6z +=,则222526a b a ⎧+=⎨=⎩,解得34a b =⎧⎨=⎩,所以34z i =+, 所以z 的虚部为4;由复数除法运算化简可得()()1134343434342525i i z i i i -===-++-, 故答案为:4;342525i -. 【点睛】本题考查了复数的概念和几何意义简单应用,复数的除法运算,属于基础题. 13.设无穷等比数列{}n a 的各项为整数,公比为q ,且1q ≠-,1322a a a +<,写出数列{}n a 的一个通项公式________. 【答案】()*2,nn a n =-∈N (答案不唯一)【解析】 【分析】根据题意可知首项与公比都为整数,结合不等可求得10a <,即可取一个负数作为首项得数列{}n a 的通项公式.【详解】无穷等比数列{}n a 的各项为整数,则公比q 为整数,且1q ≠-,1322a a a +<,则21112a q q a a +<,变形可得()2110a q -<,所以10a <,当12,2a q =-=时,数列{}n a 的一个通项公式为()*2nn a n N =-∈,故答案为:()*2nn a n N =-∈.(答案不唯一)【点睛】本题考查了数列的简单应用,由等比数列的通项公式及不等式确定首项的范围,开放性试题只需写出一个符合要求的解即可,属于中档题.14.在平面直角坐标系中,已知点(0,1)A ,(1,1)B ,P 为直线AB 上的动点,A 关于直线OP 的对称点记为Q ,则线段BQ 的长度的最大值是________.1 【解析】 【分析】转化条件得Q 点轨迹为以O 为圆心,OA 为半径的圆(不包括点F ),由max BQ OB OA 即可得解. 【详解】A 关于直线OP 的对称点记为Q ,P 为直线AB 上的动点,∴OQ OA =,∴Q 点轨迹为以O 为圆心,OA 为半径的圆(不包括点F ),如图,又 OB ==∴max221BQ OA .1.【点睛】本题考查了圆上点到定点距离最值的求解,考查了转化化归思想,属于中档题. 15.关于曲线22:4C x xy y -+=,给出下列四个结论: ①曲线C 关于原点对称,但不关于x 轴、y 轴对称; ②曲线C 恰好经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ③曲线C 上任意一点都不在圆223x y +=的内部; ④曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于2. 其中,正确结论的序号是________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据关于原点、x 轴、y 轴对称的横纵坐标特点,代入即可判断①;取x 的整数值,代入求得y 的值即可判断②;由基本不等式确定22x y +的最大值,即可判断③;由两点间距离公式及基本不等式,化简即可判断④; 【详解】曲线22:4C x xy y -+=,对于①,将x -替换x ,y -替换y ,代入可得224x xy y -+=,所以曲线C 关于原点对称;将x -替换x ,代入可得224x xy y ++=,所以曲线C 不关于y 轴对称;将y -替换y ,代入可得224x xy y ++=,所以曲线C 不关于x 轴对称;所以①正确;对于②,当0x =时,代入可得2y =±,所以经过()()0,2,0,2-; 当0y =时,代入可得2x =±,所以经过()()2,0,2,0-;当2x =时,代入可得2y =,所以经过()2,2; 当2x =-时,代入可得2y =-,所以经过()2,2--; 所以至少有六个整点在曲线C 上,所以②错误; 对于③,由224x xy y -+=可知224x y xy =++, 而222x y xy +≥,所以42xy xy +≥,解得4xy ≤, 即48xy +≤,则228x y +≤,同理222x y xy ≥-+,解得2283x y+≥,所以22883x y ≤+≤,则③错误; 对于④,由③可知22883x y ≤+≤,≤,故④正确, 综上可知,正确的为①④, 故答案为:①④.【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线性质的应用,由基本不等式确定取值范围的应用,属于中档题.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知()cos 2cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (I )求()f x 的最小正周期和单调递增区间;(II )当[0,]x π∈时,若()(1,1]f x ∈-,求x 的取值范围. 【答案】(I )π,,,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z .(II )20,,623πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】(I )由正弦和角与差角公式,结合辅助角公式化简函数解析式,即可求得最小正周期,结合正弦函数图像与性质可求得单调递增区间;(II )根据(I )所得函数解析式,由[0,]x π∈可得112666x πππ-≤-≤,()(1,1]f x ∈-可知11sin 2,622x π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,结合正弦函数的图像即可确定x 的取值范围. 【详解】(I )由正弦和角与差角公式,结合辅助角公式化简函数解析式可得()2cos cos sin sin cos cos sin sin 4444f x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2cos sin cos 2222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22cos sin cos2x x x x x =--=-12cos222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以222T πππω=== 由222262k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,得63k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈.故()f x 的单调递增区间为:,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. (Ⅱ)因为[0,]x π∈,则112666x πππ-≤-≤, 若()(1,1]f x ∈-,则11sin 2,622x π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦, 画出正弦函数sin y x =在11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的函数图像如下图所示:结合正弦函数图像可知,当2,666x πππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦或572,666x πππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭, 解得20,,623x πππ⎛⎤⎡⎫∈⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭, 所以当()(]1,1f x ∈-时,x 的取值范围为20,,623πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【点睛】本题考查了三角函数式的化简,正弦函数图像与性质的综合应用,属于基础题. 17.体温是人体健康状况的直接反应,一般认为成年人腋下温度T (单位:C ︒)平均在36C 37C ︒-︒之间即为正常体温,超过37.1C ︒即为发热.发热状态下,不同体温可分成以下三种发热类型:低热:37.138T ≤≤;高热:3840T <≤;超高热(有生命危险):40T >.某位患者因患肺炎发热,于12日至26日住院治疗.医生根据病情变化,从14日开始,以3天为一个疗程,分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热.住院期间,患者每天上午8:00服药,护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下: 抗生素使用情况 没有使用使用“抗生素A ”疗使用“抗生素B ”治疗日期 12日 13日 14日 15日 16日 17日 18日 19日 体温(C ︒) 38.739.439.740.139.939.2 38.939.0抗生素使用情况 使用“抗生素C ”治疗 没有使用 日期 20日 21日 22日 23日 24日 25日 26日 体温(C ︒) 38.438.037.637.136.836.636.3(I )请你计算住院期间该患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值;(II )在19日—23日期间,医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a 项目”的检查,记X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数,试求X 的分布列与数学期望;(III )抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰,开始杀灭细菌,达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立,请依据表中数据,判断哪种抗生素治疗效果最佳,并说明理由.【答案】(I )平均值为39.55C ︒(II )分布列见解析,65.(III )“抗生素C ”治疗效果最佳,理由见解析. 【解析】 【分析】(I )根据所给表格,可计算体温不低于39C ︒的各天体温平均值;(II )由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2,分别求得各自的概率,即可得分布列,进而求得数学期望;(III )根据三种抗生素治疗后温度的变化情况,结合平均体温和体温方差,即可做出判断. 【详解】(I )由表可知,该患者共6天的体温不低于39C ︒,记平均体温为x ,()139.439.740.139.939.239.039.55C 6x =+++++=︒. 所以,患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值为39.55C ︒ (Ⅱ)X 的所有可能取值为0,1,2()3032351010C C P X C ===, ()213235631105C C P X C ====, ()1232353210C C P X C ===,则X 的分布列为:所以()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ)“抗生素C ”治疗效果最佳,理由如下:①“抗生素B ”使用期间先连续两天降温后又回升0.1C ︒,“抗生素C ”使用期间持续降温共计1.2C ︒,说明“抗生素C ”降温效果最好,故“抗生素C ”治疗效果最佳②“抗生素B ”治疗期间平均体温39.03C ︒,方差约为0.0156:“抗生素C ”平均体温38C ︒,方差约为0.1067,“抗生素C ”治疗期间体温离散程度大,说明存在某个时间节点降温效果明显,故“抗生素C ”治疗效果最佳.【点睛】本题考查了平均数的求法,古典概型概率求法,离散型随机变量分布列及数学期望的求法, 分析实际问题方案的解决方法,属于中档题.18.在四棱锥P ABCD -中,平面ABCD ⊥平面PCD ,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,AD DC ⊥,且1AB =,2AD DC DP ===,120PDC ∠=︒.(I )求证:AD PC ⊥; (II )求二面角_____的余弦值; 从①PAB C ,②P BD C --,③P BC D --这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.(III )若M 是棱PA 的中点,求证:对于棱BC 上任意一点F ,MF 与PC 都不平行. 【答案】(I )见解析(II )见解析(III )见解析 【解析】 【分析】(I )根据面面垂直的性质及线面垂直的判定定理,可证明AD ⊥平面PCD ,进而证明AD PC ⊥;(II )在平面PCD 内过点D 作DH DC ⊥,交PC 于H ,以D 为原点,,,DA DC DH 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -,写出各个点的坐标,并求得各平面法向量,由法向量法即可求得各二面角的大小;(III )假设棱BC 上存在点F ,//MF PC .设,BF BC λ=表示出MF ,PC ,设MF PC μ=,可得关于,λμ的方程组,方程组无解即可确定MF 与PC 不平行. 【详解】(I )证明:因为平面ABCD ⊥平面PCD ,平面ABCD平面PCD CD =,AD ⊂平面ABCD ,AD DC ⊥,所以AD ⊥平面PCD , 又因为PC ⊂平面PCD , 所以AD PC ⊥.(Ⅱ)选择①:在平面PCD 内过点D 作DH DC ⊥,交PC 于H .由(I )可知,AD ⊥平面PCD ,所以AD DH ⊥. 故,,AD CD DH 两两垂直,如图,以D 为原点,,,DA DC DH 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -, 则()(()()()0,0,0,0,3,2,0,0,2,1,0,0,2,0D P A B C -.因为DH ⊥平面ABCD ,所以平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =. 而(2,1,3PA =-,(2,2,3PB =-, 设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =则由00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得2302230x y z x y z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩,取2z =,有()3,0,2m =.所以cos ,7n m n m n m ⋅=== 由题知二面角P AB C 为锐角,故二面角PAB C 选择②:(下面给出关键点供参考,若与上面建系相同,)平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =; 平面PBD 的一个法向量为()3,2m =-;二面角P BD C --为钝角:二面角P BD C --的余弦值为 选择③:(下面给出关键点供参考,若与上面建系相同,) 平面ABCD 的法向量()0,0,1n =; 平面PBC 的法向量(1,2,2m=;二面角P BC D --为锐角;二面角P BC D -- (Ⅲ)假设棱BC 上存在点F ,//MFPC .设[],0,1BF BC λλ=∈.依题意,可知11,2M ⎛- ⎝⎭,()2,1,0BC =-,()2,,0BF λλ=-,()22,1,0F λλ=-+,312,,2MF λλ⎛=-+ ⎝⎭,(0,3,PC =,设MF PC μ=,则120332λλμ-=⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩,而此方程组无解, 故假设不成立,所以结论成立.【点睛】本题考查了面面垂直的性质及线面垂直的判定定理应用,由空间向量法求二面角大小,线线平行的向量证明方法,属于中档题.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ,B 两点,当直线l 与x 轴垂直时,3AB =.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当直线l 与x 轴不垂直时,在x 轴上是否存在一点P (异于点F ),使x 轴上任意点到直线PA ,PB 的距离均相等?若存在,求P 点坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)22143x y +=;(2)存在点(4,0)P 【解析】 【分析】(1)由题意可得方程222223,1,2,b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解方程后即可得解;(2)设直线:1(0)l x my m =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ,假设存在点P ,设0(,0)P x ,由题意120121020122(1)()0()()my y x y y x k x x k x +-+-+==-,联立方程组表示出12y y +、12y y ,代入即可得解.【详解】(1)由题意得222223,1,2b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得:2a =,b =1c =.所以椭圆的标准方程为:22143x y +=.(2)依题意,若直线l 的斜率不为零,可设直线:1(0)l x my m =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y . 假设存在点P ,设0(,0)P x ,由题设,01x ≠,且10x x ≠,02x x ≠. 设直线PA ,PB 的斜率分别为1k ,2k ,则1110y k x x =-,2220y k x x =-.因为11(,)A x y ,22(,)B x y 在1x my =+上, 故111x my =+,221x my =+,而x 轴上任意点到直线PA ,PB 距离均相等等价于“PF 平分APB ∠”, 继而等价于120k k +=. 则12121020y y k k x x x x +=+--12210121020()()()x y x y x y y x x x x +-+=--1201210202(1)()0()()my y x y y x x x x +-+==--.联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去x 得:22(34)690m y my ++-=, 有122634my y m -+=+,122934y y m -=+. 则0012221020102018662460(34)()()(34)()()m m mx m mx k k m x x x x m x x x x --+-++===+--+--,即040m mx -+=,故04x =或0m =(舍). 当直线l 的斜率为零时,(4,0)P 也符合题意.故存在点(4,0)P ,使得x 轴上任意点到直线PA ,PB 距离均相等.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解,考查了直线与椭圆的位置关系及转化化归思想的应用,属于中档题.20.已知函数2()e ()x f x ax a R =-∈.(1)若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行,求a ; (2)已知()f x 在[0,1]上的最大值不小于2,求a 的取值范围;(3)写出()f x 所有可能的零点个数及相应的a 的取值范围.(请直接写出结论) 【答案】(1)e2a =;(2)(,e 2]-∞-;(3)见解析 【解析】 【分析】(1)由题意结合导数的几何意义可得()01f '=,即可得解;(2)原命题等价于2e 2x a x -≤在(0,1]x ∈上有解,设2e 2()x g x x-=,(0,1]x ∈,通过求导可得max ()(1)2g x g e ==-,由有解问题的解决方法即可得解;(3)令()0f x =,显然0x =不成立,若0x ≠,则2xe a x =,令()2x e h x x=,求导后画出函数()h x 的草图数形结合即可得解.【详解】(1)因为2()e ()x f x ax a R =-∈,故()e 2x f x ax '=-.依题意(1)e 20f a ='-=,即e2a =. 当e2a =时,e (1)02f =≠,此时切线不与x 轴重合,符合题意, 因此e2a =. (2)当[0,1]x ∈时,()f x 最大值不小于2⇔2()e 2x f x ax =-≥在[0,1]x ∈上有解,显然0x =不是解,即2e 2x a x -≤在(0,1]x ∈上有解, 设2e 2()x g x x -=,(0,1]x ∈, 则3e 2e 4()x x x g x x-='+. 设()e 2e 4x xh x x =-+ ,(0,1]x ∈,则()e (1)0xh x x '=-≤.所以()h x 在(0,1]单调递减, ()(1)40h x h e ≥=->, 所以()0g x '>,所以()g x 在(0,1]单调递增, 所以max ()(1)2g x g e ==-. 依题意需2a e ≤-,所以a 的取值范围为(,e 2]-∞-.(3)当0a ≤时,()y f x =有0个零点;当2e 04a <<时,()yf x =有1个零点当2e 4a =时,()y f x =有2个零点;当2e 4a >时,()y f x =有3个零点.·【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了数形结合思想和转化化归思想,考查了推理能力,属于中档题.21.已知集合{}{}12|,,,0,1,1,2,,n n S X X x x x i n ==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅(2)n ≥,对于()12,,,n n A a a a S =⋅⋅⋅∈,()12,,,n n B b b b S =⋅⋅⋅∈,定义A 与B 的差为()1122,,,n n A B a b a b a b -=--⋅⋅⋅-;A 与B 之间的距离为1122(,)n n d A B a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-.(I )若(0,1)A B -=,试写出所有可能的A ,B ; (II ),,n A B C S ∀∈,证明: (i )(,)(,)d A C B C d A B --=;(ii )(,),d A B (,),d A C (,)d B C 三个数中至少有一个是偶数;(III )设n P S ⊆,P 中有m (2m >,且为奇数)个元素,记P 中所有两元素间距离的平均值为p d ,证明:(1)2p n m d m+≤. 【答案】(I )(0,0),A =(0,1)B =;(0,1),A =(0,0)B =;(1,0),A =(1,1)B =;(1,1),A =(1,0)B =(II )(i )见解析(ii )见解析 (III )见解析 【解析】 【分析】(I )根据定义,结合()0,1A B -=即可确定所有可能的A ,B ; (II )(i )由{}12,,,0,1n x x x ⋅⋅⋅∈,令()()()121212,,,,,,,,,,,n n n A a a a B b b b C c c c =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=,讨论0i c =和1i c =即可代入绝对值式子化简,即可证明;(ii )设()12,,,n A a a a =⋅⋅⋅,()12,,,n B b b b =⋅⋅⋅,()12,,,n n C c c c S =⋅⋅⋅∈,(),d A B k =,(),d A C l =,(),d B C h =.记()0,0,,0n O S =⋅⋅⋅∈,设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数,结合(i )中的结论可得2h l k t =+-,由此可知,k ,l ,h 三个数不可能都是奇数,得证. (III )记(),,,d A B A B P ∈∑为P 中所有两个元素间距离的总和,设P 中所有元素的第i个位置的数字中共有i t 个1,i m t -个0,则可得(),d A B ∑,根据P 为奇数可得()()211,2,,4i i m t m t i n --≤=⋅⋅⋅,因而()()21,4n m d A B -≤∑,即可证明不等式成立. 【详解】(I )根据定义及()0,1A B -=,可知有以下四种情况:()()0,0,0,1A B ==;()()0,1,0,0A B ==; ()()1,0,1,1A B ==;()()1,1,1,0A B ==(Ⅱ)令()()()121212,,,,,,,,,,,n n n A a a a B b b b C c c c =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=,(i )证明:对1,2,,i n =⋅⋅⋅,当0i c =时,有i i i i i i a c b c a b ---=-,当1i c =时,有()11i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-. 所以()11222222,d A C B C a c b c a c b c --=---+---+⋯ ()1122,n n n n n n a c b c a b a b a b d A B +---=-+-+⋯+-=.(ⅱ)证明:设()12,,,n A a a a =⋅⋅⋅,()12,,,n B b b b =⋅⋅⋅,()12,,,n n C c c c S =⋅⋅⋅∈,(),d A B k =,(),d A C l =,(),d B C h =.记()0,0,,0n O S =⋅⋅⋅∈,由(I )可知,()()(),,,d A B d A A B A d O B A k =--=-=,()()(),,,d A C d A A C A d O C A l =--=-=, ()(),,d B C d B A C A h =--=,所以()1,2,,i i b a i n -=中1的个数为k ,()1,2,,i i c a i n -=的1的个数为l .设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数,则2h l k t =+-. 由此可知,k ,l ,h 三个数不可能都是奇数,即()()(),,,,,d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数. (Ⅲ)记(),,,d A B A B P ∈∑为P 中所有两个元素间距离的总和,设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1,i m t -个0, 则()()()1,,,niii d A B t m t A B P ==-∈∑∑.因为m 为奇数,所以()()211,2,,4i i m t m t i n --≤=⋅⋅⋅,且12i m t -=或12+m 时,取等号.所以()()()21,,,4n m d A B A B P -≤∈∑.所以()()()()222111,,,42p mmn m m n d d A B A B P C C m-+=≤=∈∑.【点睛】本题考查了集合新定义的综合应用,对分析问题、解决问题的能力要求高,读懂题意并正确分析解决思路是关键,对思维能力要求高,属于难题.。

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