反比例函数的图象与性质
反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。
根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。
5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。
同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。
反比例函数反比例函数的图象与性质
在匀速运动中，速度与时间成反比例 关系。通过给定的速度和时间条件， 可以建立反比例函数求解相关问题。
变速运动
在某些变速运动问题中，速度可能与 位移或时间成反比例关系。根据具体 条件建立反比例函数模型，可以求解 变速运动的相关问题。
浓度问题求解
溶液稀释
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶 液的体积成反比例关系。通过给定的 溶质质量和溶液体积条件，可以建立 反比例函数求解相关问题。
题目6
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 与反比例函数 y = m/x (m ≠ 0) 的图象交于 A、B 两点 ，且点 A 的坐标为 (2, 1)，则不等式 kx + b > m/x 的解集为 _______．
历年中考真题回顾
题目7
(2019年中考)已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 的图象上有 两点 A(x1, y1)，B(x2, y2)，且 x1 < 0 < x2，则 y1 _______ y2．(填“>”、“<”或“=”)
与一次函数关系比较
相似之处
两者都是线性函数，具有直线型的图象。
不同之处
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，一次函数的斜率是常数，而反比 例函数的斜率则随着x的变化而变化。
与二次函数关系比较
相似之处
两者都是非线性函数，具有曲线型的图象。
不同之处
二次函数的图象是一个抛物线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，二次函数的对称 轴是y轴或x轴，而反比例函数的对称中心是原点。
06
练习题及解析
基础知识练习题
03
题目1
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图象 经过点 (2, -3)，则 k 的值为 _______．
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
2023函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质•反比例函数概述•反比例函数的图象特征•反比例函数的性质•反比例函数的应用目•反比例函数与其他数学内容的联系•研究反比例函数的实验与数值模拟录01反比例函数概述形如$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k \neq 0$）的函数称为反比例函数。
定义当$k > 0$时，图象分布在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k < 0$时，图象分布在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
性质定义与性质描述生活中常见的数量关系例如，当两个变量成反比例关系时，可以用反比例函数来描述它们之间的关系。
例如，路程一定时，速度与时间成反比；物体重量一定时，浮力与排开液体的体积成反比等。
数学中基本概念之间的联系反比例函数与正比例函数、一次函数、二次函数等有密切的联系，研究反比例函数有助于理解这些基本概念之间的联系与区别。
反比例函数的重要性描述自然现象和社会现象许多自然现象和社会现象中都存在反比例关系，例如物理学中的万有引力定律、电学中的欧姆定律等。
研究反比例函数可以描述这些现象，并帮助人们更好地理解它们。
数学应用在数学中，反比例函数与其他函数、方程、不等式等都有密切的联系。
研究反比例函数可以帮助人们更好地理解这些概念，并为解决实际问题提供更好的数学工具。
研究反比例函数的意义与发展02反比例函数的图象特征中心对称反比例函数图象以原点为中心对称。
双曲线反比例函数图象表现为双曲线，两支曲线永远不会相交。
形状特征水平位置当反比例函数解析式中的常数为正数时，图象在第一、三象限；当常数为负数时，图象在第二、四象限。
垂直位置由于反比例函数的图象关于原点对称，因此当常数为正数时，图象向右上方倾斜；当常数为负数时，图象向右下方倾斜。
位置特征当自变量x增大时，函数值y会减小；当自变量x减小时，函数值y会增大。
当|x|增大时，|y|会减小；当|x|减小时，|y|会增大。
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
反比例函数图象和性质
解：∵MN⊥x 轴，点 M(a,1)， ∴S△OMN＝12a＝2，∴a＝4. ∴M(4,1)． ∵正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝kx2(x>0)的图 象交于点 M(4,1)， ∴k1＝14，k2＝4×1＝4. ∴正比例函数的解析式是 y＝14x，反比例函数的解析式是 y ＝4x.
足分别为 B，C，则四边形 OBAC 周长的最小值为( A )
A．4
B．3
C．2
D．1
图 26-1-5
解析：要使四边形的周长最小，则需要四边形为正方形，
此时 OB＝AB＝AC＝OC＝1，所以周长为 4.
6．已知：正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝kx2(x>0) 的图象交于点 M(a,1)，MN⊥x 轴于点N(如图 26-1-6)，若△OMN 的面积等于 2，求这两个函数的解析式．
(1)反比例函数的增减性不是连续的，因此在 涉及反比例函数的增减性时，一般都是指在各自象限内的增减 情况．
(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由反比例 系数 k 的符号决定的；反过来，由双曲线的位置和函数的增减 性，也可以推断出 k 的符号．
(3)解决反比例函数的相关问题时，往往我们需要画出函数 的大致图象(即草图)采用数形结合的方法，解决问题更直观．
(2)当 k<0 时，由于____x_y_____得负，因此可以判断 x，y 的符号__相__反____，所以点(x，y)在__第__二__或__第__四__象限，所以函数 图象位于___二__、__四___象限．
归纳：反比例函数的图象是_双__曲__线__，它有_两__个__分支． 当 k>0 时，函数图象位于____一__、__三____象限； 当 k<0 时，函数图象位于____二__、__四____象限．
反比例函数的图象与性质定
奇偶性
反比例函数是奇函数，因为对于所 有 x，都有 f(-x) = -f(x)。
无界性
由于反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象在 x = 0 处无 界。
反比例函数的性质
01
02
03
分母不为零
反比例函数的分母不能为 零，因此其定义域为 x ≠ 0。
无界性
反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象 在 x = 0 处无界。
当$x<0$时，反比例函数的图象位于 第三象限，与直线$y=kx+b$相交于 一点，这一点也是它们的切点。
与二次函数的关系
二次函数是形如 $y=ax^2+bx+c$的函数，其 中$a, b, c$是常数且$a neq 0$
。
反比例函数的图象是一个双曲 线，分布在第一和第三象限。
二次函数的图象是一个抛物线 ，可以开口向上或向下。
反比例函数的图象与性质
目 录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象特点 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他函数的关系 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
反比例函数的值域
反比例函数是一种数学函数，其定义 为 f(x) = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。
磁场强度与电流
在电磁学中，磁场强度与电流之间的关系可以用反比例函数 描述，通过分析反比例函数的特性，可以研究电磁感应和电 磁波的传播。
与其他数学知识的结合
代数方程
反比例函数可以与其他代数方程 结合，用于解决代数问题，例如 求解代数方程的根或解决代数不 等式问题。
反比例函数的性质及图像
反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性。
反比例函数图像：
具体性质：
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和
一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
反比例函数图像的变换规律
伸缩变换
当k值变化时，反比例函数的图像 会沿着x轴或y轴方向伸缩。当k增 大时，图像会向原点靠近；当k减 小时，图像会远离原点。
平移变换
当反比例函数沿x轴或y轴平移时 ，其图像也会相应地沿x轴或y轴 方向移动。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
递减性
当$k > 0$时，反比例函数在$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递 减。
溶质溶解度
在溶质溶解度中，溶解度 与温度也成反比关系，即 温度越高，溶解度越低。
反比例函数在经济问题中的应用
供需关系
在市场经济中，供需关系 呈反比关系，即供应量越 大，需求量越小；反之亦 然。
货币流通速度
在货币流通中，货币流通 速度与货币供应量也成反 比关系，即货币供应量越 大，货币流通速度越慢。
热力学中的气体定律
在热力学中，气体的压强与体积也成反比关系，即压强越大，体积 越小。
反比例函数在化学问题中的应用
01
02
03
化学反应速率
在化学反应中，反应速率 与反应物的浓度成反比关 系，即浓度越高，反应速 率越快。
化学平衡
在化学平衡中，反应物的 转化率与反应温度成反比 关系，即温度越高，转化 率越低。
04
反比例函数的图像是双 曲线。
反比例函数的应用场景
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，例如电 流与电阻之间的关系可以表示为 $I = \frac{V}{R}$。
在化学中，反比例函数可以用来描述一些化学反应速率与反应物浓度之 间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用来描述一些经济现象之间的关系，例如 需求与价格之间的关系可以表示为 $D = \frac{N \times P}{M}$。
反比例函数的图象和性质课件
函数值的无限性
01
由于x不能为0，所以y的值是无限 的，即反比例函数图像上存在无穷 多个点。
02
在每一个象限内，随着x的增大或 减小，y的值会趋近于无穷大或无 穷小。
函数值的单调性
当k>0时，函数在(0, +∞)区间内单调 递减，在(-∞, 0)区间内也单调递减。
当k<0时，函数在(0, +∞)区间内单调递 增，在(-∞, 0)区间内也单调递增。
反比例函数的定义
反比例函数是指形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 k 是 常数。
反比例函数的性质
反比例函数的图象是双曲线，当 k > 0 时，双曲线的两支 分别位于第一、第三象限；当 k < 0 时，双曲线的两支分 别位于第二、第四象限。
反比例函数的单调性
在各自象限内，反比例函数是单调递减的。
反比例函数的图象和性质课件
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数是指函数形式为$f(x) = frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的函数。
当$k > 0$时，反比例函数的图像分布在 第一象限和第三象限；当$k < 0$时，图 像分布在第二象限和第四象限。
经济问题
在经济学中，反比例函数可以用 于描述商品价格与市场需求之间 的关系，通过分析反比例函数的 特性，可以预测市场价格的变动
趋势。
在物理中的应用
磁场问题
在电磁学中，磁场与电流之间的 关系可以用反比例函数描述，通 过分析反比例函数的特性，可以 解决与磁场和电流相关的问题。
反比例函数的图象与性质
第17讲 反比例函数的图象与性质考点·方法·破译1．反比例函数的定义：形如k y x=（或1y kx -=，k ≠0）,y 叫做x 的反比例函数. 2．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于y ＝x 或y ＝－x 轴对称，关于原点O 成中心对称，当k ＞0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k ＜0时，图象的两支分别在第二、四象限，3．反比例函数的性质：当k ＞0时，在每个象限内，y 随x 增大而减小；当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 增大而增大.经典·考题·赏析【例１】（西宁）已知函数ky x=-中，x ＞0时，y 随x 增大而增大，则y ＝kx －k 的大致图象为（ ）k ＞0，而一 次A 01．已知反比例函数a y x=（a ≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随着x 值增大而减小，则一次函数y ＝－ax ＋a 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 02．（龙岩）函数y ＝x ＋m 与my x=（m ≠0）在同一象限内的图象可以是（ 03（2，y 1随着x 其中正确结论的序号是 . 【例2】如图，A 、B 分别是反比例函数10y x =，6y x=图象上的点，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OB 、OA ，OA 交BD于E 点，△BOE 的面积为S 1，四边形ACDE 的面积为S 2，则S 2－S 1＝ .ABCDABC D【解法指导】在反比例函数kyx=中，k的几何意义为：中122121106()()22222ODE OBEk kS S S S S S∆∆-=+-+=-=-=【变式题组】01．（宁波）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数kyx=过点A，则k的值是（）A．2 B．－2 C．4 D．－402．（兰州）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线3yx=（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小03．（牡丹江）如图，点A、B是双曲线3yx=上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S阴影＝1，则S1＋S2＝.04．（河池）如图，A、B是函数2yx=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y 轴，△ABC的面积记为S，则（）A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞405．（泰安）如图，双曲线kyx=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）A．1yx=B．2yx=C．3yx=D．6yx=【例3】（成都）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数myx=的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图⑵求△AOB 的面积.【解法指导】利用割补法求图形面积.解：⑴∵点A （－2，1）在反比例函数my x=的图象上， ∴m ＝(－2)×1＝－2，∴反比例函数的表达式为2y x=-.∵点 B （1，n ）也在反比例函数2y x=-图象上，∴n ＝－2，即B （1，－2）把点A （－2，1）点B （1，－2）代入一次函数y ＝kx ＋b 中，得212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩ ∴一次函数的表达式为y ＝－x －1． ⑵在y ＝－x －1中，当y ＝0时，得x ＝－1，∴直线y ＝－x －1与x 轴的交点为C （－1，0），∵线段OC 将△AOB 分成△AOC 和△BOC ，∴1113111212222AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=+=.【变式题组】01．（徐州）如图，已知A (n ,－2),B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．⑴求反比例函数和一次函数的关系式； ⑵求△AOC 的面积； ⑶求不等式kx ＋b mx-＜0的解集（直接写出答案）02．已知反比例函数112k y x=的图象与一次函数22y k x b =+的图象交于A 、B 点，A (1，n )，B (12-，－2). ⑴求两函数的解析式；⑵在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，说明理由. ⑶求AOB △S ；⑷若y 1＞y 2，求x 的取值范围.03．如图，A 是反比例函数1ky x=（x ＞0）上一点，AB ⊥x 轴，C 是OB 的中点，一次函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点A 、C 两点，并交y 轴为D （0，－2），AOD S ∆＝4. ⑴求两函数的解析式；⑵在y 轴右侧，若y 1＞y 2时，求x 的取值范围.04．如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线ky x=与直线y ＝－x －(k ＋1)在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，32ABO S ∆=. ⑴求这两个函数的解析式； ⑵求A 、C 两点的坐标；⑶若P 是y 轴上一动点，5PAC S ∆=，求点P 的坐标.【例4】（咸宁）两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点.其中一定正确的是 （把你认为正确的序号都填上）【解法指导】∵A 、B 两点在1y x=的图象上，根 据反比例函数ky x=中k 的几何意义可知12ODB OAC S S ∆∆==，因而①正确；∵1ODB OAC PDOC PAOB S S S S k ∆∆=--=-矩形四边形，当k 不变时，若P 变动，而四边形PAOB 的面积不变．因1x =而是②正确；若设P （t ,k t ），则A （t ,1t），B （,t k k t ），∴PA ＝11k k t t t --=，PB ＝t t k -.若PA ＝PB ，则有1(1)k t k t k--=.∵k ≠1,∴2t k =,∵t ＞0,t =,∴当P时，有PA ＝PB ，并不是PA 与PB 始终相等，因而③不正确；当A 为PC 的中点时，OAC OPA OBD S S S ∆∆∆==，OPC ODP S S ∆∆=，∴ODB OPB S S ∆∆=，∴DB ＝PB ，因而④正确；故填①，②．④.【变式题组】01．（武汉）如图，已知双曲线ky x=（k ＞0）经过矩形OABC 的边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝ . 02．如图，矩形ABCD 对角线BD 中点E 与A 都在反比例函数ky x=的图象上，且3ABCD S =矩形，则k ＝ .03．如图，P 为x 轴正半轴上一点，过点P 作x 轴的垂线，交函数1y x =（x ＞0）的图象于点A ，交函数4y x=（x ＞0）的图象于点B ，过点B 作x 轴的平行线，交1y x=（x ＞0）于点C ，连接AC ，当点P 的坐标为（t ，0）时，△ABC 的面积是否随t 的变化而变化？ 04．函数2y x =（x ＞0）与8y x=（x ＞0）的图象如图所示，直线x ＝ t （t ＞0）分别与两个函数图象交于A 、C 两点，经过A 、C 分别作x 轴的平行线，交两个函数图象于B 、D两点，探索线段AB 与CD 的比值是否与t 有关，请说明理由.第1题图第3题图05．如图，梯形AOBC的顶点A、C有反比例函数的图象上，OA∥BC，上底OA在直线y＝x上，下底BC交x轴于E（2，0），求四边形AOEC的面积.演练巩固·反馈提高01．（恩施自治州）如图，一次函数y1＝x－1与反比例函数22yx=的图象点A（2，1）、B （－1，－2），则使y1＞y2的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＞2或－1＜x＜0C．－1＜x＜2 D．x＞2或x＜－102．（常州）若反比例函数1kyx-=的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以是（）A．－1 B．3 C．0 D．－303．（荆州）如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线，Rt△ABC中直角边AC＝4，BC＝3，将BC边在直线l上滑动，使A、B在函数kyx=的图象上，那么k的值是（）A．3 B．6 C．12 D．15 404．（丽水）点P在反比例函数1yx=（x＞0）的图象上，且横坐标为2，若将点P先向右第4题图平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为P /，则在第一象限内，经过点P /的反比例函数图象的解析式是（ ） A ． 5y x =-（x ＞0） B ． 5y x =（x ＞0） C ． 6y x =-（x ＞0） D ． 6y x=（x ＞0）05．（铁岭）如图所示，反比例函数y 1与正比例函数y 2的图象的一个交点坐标是A （2，1），若y 2＞y 1＞0，则x 的取值范围在数轴上表示为（ ）06．（泰安）函数1y x x=+图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ） A ．该函数的图象是中心对称图形 B ．当x ＞0时，该函数在x ＝1时取得上值2C ．在每个象限内，y 随x 的增大而减小D ． y 的值不可能为1 07．（芜湖）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 向上平移一个单位长度得到直线l , 直线l与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A （a ,2）则k 的值等于 . 08．（广安）如图，在反比例函数4y x=-（x ＞0）的图象上有三点P 1、P 2、P 3，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作x 轴、y 轴的垂线，设斩中阴影部分的面积依次为S 1、S 2、S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝ .09．（十堰）已知函数y ＝－x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，与双曲线ky x=交于点A 、D ，若AB ＋CD ＝BC ，则k 的值为 . 10．（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数ky x=（x ＞0，常数k ＞0）的图象经过点A （1，2），B （m ,n ）,(m ＞1),过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，则点B 的坐标为 .11．如图，点P 的坐标为（2，32），过点P 作x 轴的平行线交y 01 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 A B CD y x A (2,1) 0 1 2 1 Y 1 Y 2第5题图B l C1 O yx A 第3题图y x 0 1 －2 －1 第6题图2 y x0 1 2 3 第8题图P 1 P 2 P 3轴于点A，交双曲线kyx=（x＞0）于点N，作PM⊥AN，交双曲线于kyx=（x＞0）于点M．连接AM，已知PN＝4，⑴求k的值；⑵求△APM的面积.12．如图，反比例函数kyx=的图象与直线y＝x＋m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标3，D、C 为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴，⑴直接写出k、m的值；⑵求梯形ABCD的面积.13．如图，已知双曲线kyx=（x＞0）经过Rt△OAB斜边的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求k的值.14．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴的正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长交y轴负半轴于E，双曲线kyx=（x＞0）的图象经过点A，若BECS∆＝8，求k的值.15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC所在直线的解析式为42033y x=-+，AC＝3，若AB的D在双曲线ayx=（x＞0）上，将三角形向左平移，当点B 落在双曲线上时，求三角形平移的距离.16．（荆州）如图，D 为反比例函数ky x=（k ＜0）图象上一点，过D 作DC ⊥y 轴于C ，DE ⊥x 轴于E ，一次函数y x m =-+与323y x =-+的图象都经过点C ，与x 轴分别交于A 、B 两点，若梯形DCAE 有面积为4，求k 的值.17．（四川广安）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于点A （－1，2）、点B （－4，n ）⑴求一次函数和反比例函数的解析式； ⑵求△AOB 的面积.培优升级·奥赛检测01．如图，直线l 与反比例函数m y x =与ny x=（m ＞n ＞0）的图象分别交于点A 、B ，且直线l ∥x 轴，连接PA 、PB ，小芳与小丽同学针对△PAB 面积的讨论，有以下两种意见：小芳：点P 在x 轴上移动时，△PAB 的面积总保持不变； 小丽：当直线l 上下平移时，△PAB 的面积总保持不变； 那么，你认为她们的说法中（ ）A ．只有小芳正确B ．只有小丽正确C ．两人都正确D ．两人都不正确02．（南昌市八年级竞赛题）在函数21a y x+=-（a 为常数）的图象上有三点：（－1，y 1）,(21,4y -),( 31,2y )则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 03．（济南）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y ＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线kyx=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1＜k＜2 B．1≤k≤3 C．1≤k≤4 D．1≤k＜404．（第十八届“希望杯”初二）直线l交反比例函数3yx=的图象于点A，交x轴于点B，点A、B与坐标原点O构等边三角形，则直线l的函数解析式为05．（成都）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数kyx=（k＞0，x＜0）的图象上，若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当S＝m（m为常数，且0＜m＜4）时，点R的坐标是.（用含m的代数式表示）06．如图，已知直线12y x=与双曲线kyx=（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，若双曲线kyx=（k＞0）上一点B的纵坐标为8，求△AOB的面积.07．（北京）如图，A、B两点在函数myx=（x＞0）的图象上，⑴求m的值及直线AB的解析式；⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.08．（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数myx=在第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，n）.过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于点F，⑴求m、n的值；⑵求直线AB的函数解析式；⑶求证：△AEC≌△DFB．09．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设在矩形OEPF 中和正方形OABC不重合的部分面积为S.⑴求点B的坐标和k的值；⑵当92S=时，求点P的坐标；⑶写出S关于m的函数关系式.。
26.1.2反比例函数的图象与性质
在求解反比例函数相关问题时，要确保 $x$ 的取值范围使得函数有意义（即 $x neq 0$ ）。
在实际应用中，要注意理解反比例关系背后 的实际意义，避免盲目套用公式。
拓展延伸：反比例函数在其他领域应用
经济学中的应用
在经济学中，反比例函数可以表 示某些经济变量之间的关系，如 价格与需求量之间的反比关系。
04
感谢您的观看
THANKS
06
函数图像在第二象限和第四象限内分别位于 $x$ 轴和 $y$ 轴的两侧，且无限接近于坐标轴。
02
反比例函数图象特征
图象形状与位置
图象形状
反比例函数的图象为双曲线，两 支分别位于第一、三象限或第二 、四象限。
图象位置
当$k > 0$时，图象位于第一、三 象限；当$k < 0$时，图象位于第 二、四象限。
表达式
反比例函数的一般表达式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是比例系数， 且 $k neq 0$。
自变量取值范围
自变量 $x$ 的取值范围
在反比例函数中，自变量 $x$ 不能取值为 0，即 $x neq 0$。
函数定义域
反比例函数的定义域为 $x in R$ 且 $x neq 0$。
偶函数性质
反比例函数不是偶函数，即不满足$f(-x)=f(x)$，图像不关于 y轴对称。
周期性考察
无周期性
反比例函数不具有周期性，即不存在 一个正数T，使得对于定义域内的任 意x，都有$f(x+T)=f(x)$成立。
图像特征
反比例函数的图像是双曲线，两支分 别位于第一、三象限和第二、四象限 ，且无限接近坐标轴但永不相交。
渐近线与交点情况
渐近线
第十四讲反比例函数的图像和性质
选择合适坐标系
为了清晰地展示反比例函 数的图像，需要选择合适 的坐标系，通常使用笛卡 尔坐标系。
绘制函数图像
在坐标系中，通过计算不 同 $x$ 值对应的 $y$ 值 ，可以绘制出反比例函数 的图像。
图像变化趋势及拐点分析
变化趋势
当 $x$ 从负无穷增加到 0 时，反比例函数的值 $y$ 会从负无穷增加到负无穷 大；当 $x$ 从 0 增加到正无穷时，反比例函数的值 $y$ 会从正无穷大减小到 正无穷小。因此，反比例函数图像在坐标系中呈现双曲线形状。
图像特征
反比例函数的图像是以原点为对称中 心的两条曲线，当 $k > 0$ 时，图像 位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时， 图像位于第二、四象限。
渐近线
反比例函数的图像无限接近于但永不 相交于 $x$ 轴和 $y$ 轴，这两条轴 是反比例函数的渐近线。
单调性
在每一象限内，随着 $x$ 的增大（或
03
与指数函数、对数函数关系
反比例函数与指数函数、对数函数在图像和性质上都有显著区别，一般
不会混淆。但在某些特定条件下，它们之间可能存在一定的联系或转化
关系。
02
反比例函数图像绘制与特点
坐标系中绘制反比例函数图像
01
02
03
确定函数表达式
首先确定反比例函数的表 达式，例如 $y = frac{k}{x}$（其中 $k neq 0$）。
定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常 数且 $k neq 0$）的函数称为反 比例函数。
表示方法
反比例函数通常用 $y = frac{k}{x}$ 或 $xy = k$（$k$ 为 常数且 $k neq 0$）来表示，其 中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量 。
反比例函数图象及性质
反比例函数图象及性质【知识点】定义：一般的，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成(k 为常数，k≠0，x≠0），其中k 叫做反比例系数，x 是自变量，y 是x 的函数，x 的取值范围是不等于0的一切实数,且y 也不能等于0。
表达式：y*x=-1,y=x^(-1)*k ，y=kx^-1（k 为常数(k≠0），x 不等于0）函数的图像：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x 和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交.函数的性质：Y 与x 的变化：当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小； 当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大。
因为在(k≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交，只能无限接近x 轴，y 轴。
面积：在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|， 反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y 轴和x 轴，则QOWM 的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT △OMQ 的面积=½|k|。
对称性：类型一：函数性质，比较大小例1.如果两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数xy 1=的图象上，那么y 1与y 2间的关系是（ ） A. y 2＜y 1＜0 B.y 1＜y 2＜0 C.y 2＞y 1＞0 D.y 1＞y 2＞0 例2.对于函数3x ky x+＝（k ＞0）有以下四个结论： ①这是y 关于x 的反比例函数；②当x ＞0时，y 的值随着x 的增大而减小； ③函数图象与x 轴有且只有一个交点；④函数图象关于点（0，3）成中心对称．其中正确的是 。
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质知识清理1、利用描点法画函数图象的步骤是列表、描点、连线。
2、反比例函数的解析式一般用待定系数法来求得，因为在反比例函数xk y =（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，就确定了反比例函数的解析式。
通常给出一组x 和y 的对应值或者图像上一点的坐标，代入xk y =中，即可以求出k 值，从而求得反比例函数的解析式。
3、反比例函数k y =（k 为常数，且k ≠0）的图像是双曲线具有以下性质：4、反比例函数xk y =（k ≠0）中的比例系数k 的几何意义。
如图：矩形PMON 的面积S=PM ×PM=y x y x ∙=∙，因为xk y =，所以xy=k 。
所以S=K ，即多双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为K ，若已知矩形的面积k 的绝对值时，应当依据双曲线的位置确定k 值的符号。
例题精讲：例题1、已知正比例函数与反比例函数图像交点到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，求它们的解析式。
例题2、在反比例函数xk y =（k ≠0）的图像上有一点p ，它的横坐标m 和纵坐标n 是方程0242=--t t 的两个根： （1）求k 的值。
（2）求点p 到原点o 的距离。
例题3、函数1-=kx y 与xk y -=（k ≠0）在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）（多项选择）例题4、设函数552)2(+--=m mx m y ，当m 取何值时，它是反比例函数？它的图像位于哪些象限内？（1）在每个象限内，当x 的值增大时，对应的y 值是如何变化的？ （2）画出函数草图。
（3）利用图像求出当221≤≤x 时，函数值y 的变化范围。
作业练习 一、选择题1. （2011广东汕头）已知反比例函数xk y =的图象经过（1，－2）．则________．2．（2011湖南邵阳）已知点（1,1）在反比例函数xk y =（k 为常数，k ≠0）的图像上，则这个反比例函数的大致图像是（ ）3. （2011江苏连云港）关于反比例函数xy 4=的图象，下列说法正确的是（ ）A ．必经过点（1，1）B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．两个分支关于原点成中心对称4. （2011湖南怀化）函数x y 2=与函数xy 1-=-在同一坐标系中的大致图像是k=5. （2011江苏淮安）如上右图，反比例函数xk y=的图象经过点A(-1,-2).则当x＞1时，函数值y的取值范围是（）A.y＞1B.0＜y＜1C. y＞2D.0＜y＜26. （2011湖北黄石）若双曲线xky12-=的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是A.k＞21B. k＜21C. k=21D. 不存在7. （2011贵州贵阳）如图，反比例函数y1=k1xy2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若k1x＞k2x，则x的取值范围是（A）-1＜x＜0 （B）-1＜x＜1 （C）x＜-1或0＜x＜1 （D）-1＜x＜0或x＞18. （2011广东茂名）若函数xmy2+=的图象在其象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围是A．B．C．D．9（2011山东东营）如图,直线和双曲线)0(>=kxky交于A、B两点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则（）A. S1＜S2＜S3B. S1>S2>S3C. S1=S2>S3D. S1=S2<S310. （2011福建福州）下图是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是（）A．B．C．D．11. （2011山东威海）下列各点中，在函数xy6-=图象上的是（）A．（－2，－4）B．（2，3）C．（－1，6）D．(3,21-)12. （2011四川南充）小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y(km/h)和行车时间x(h)之间的函数图像是（）y xm2->m2-<m2>m2<ml2y x=4yx=3yx=-12y x=13. （2011浙江杭州）如图，函数和函数xy 22=的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．14. （2011浙江台州）如图，反比例函数xm y =的图象与一次函数的图象交于点M ，N ，已点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程xm =的解为（ ）A. －3,1B. －3,3C. －1,1D.3，-115（2011河北）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ,Q ，连接OP ,OQ.则以下结论 ①x ＜0时，xy 2=， ②△OPQ 的面积为定值，③x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ④MQ=2PM ⑤∠POQ 可以等于90°其中正确的结论是（ ）A ．①②④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤11y x =-12y y >102x x <-<<或12x x <->或1002x x -<<<<或102x x -<<>或b kx y -=b kx -yoABx第16题图16. （ 2011重庆江津）已知如图,A 是反比例函数xk y =的图像上的一点,AB ⊥x 轴于点B,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( ) A.3 B.-3 C.6 D.-6·17. （2011湖北宜昌）如图，直线y=+2与双曲线xm y 3-=在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ ）二、填空题1. （2011浙江金华）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOC ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y= k x ，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是_________________。
第1节 反比例函数的图像和性质
第二十六章反比例函数第一节反比例函数的图像和性质一、课标导航二、核心纲领1.反比例函数⑴定义：一般地，形如kyx=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数.注：①自变量x在分母上，指数为1.②比例系数k≠0.③自变量x的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y≠0.④反比例函数的其他形式：xy=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0）.⑵图像：反比例函数的图像是双曲线，也称双曲线kyx=（k≠0）⑶性质（如下表所示）注：⑴y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件.⑵kyx=（k为常数，k≠0）中自变量x≠0，函数值y≠0，所以双曲线不经过原点，两个分支逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.2.待定系数法求反比例函数的解析式只需图像上一个点的坐标即可求出k.3.反比例函数的图像的对称性⑴中心对称：对称中心是原点.⑵轴对称：对称轴是直线y=x和直线y=—x.4.k的几何意义（如下表所示）5.数学思想⑴数形结合；⑵分类讨论.本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义.三、全能突破基础演练1.如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ）A. 反比例函数B. 正比例函数C.一次函数D. 反比例或正比例函数 2.若反比例函数22(21)m y m -=-的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ）A.-1或1B.小于12的任意实数 C.-1 D.不能确定 3.如图26-1-1所示，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数221k k y x++=的图像上.若点A 的坐标为（-2，2）则k 的值为（ ）A. 1B.-3C.4D.1或-34.若函数1mm y x-=为反比例函数，则m =______.5.三个反比例函数y 1，y 2，y 3的图像的一部分如图26-1-2所示，则k 1，k 2，k 3的大小关系为______.6. 反比例函数2k y x-=的图像一个分支经过第一象限，对于给出的下列说法： ①常数k 的取值范围是k ＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图像上取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），当a 1＞a 2时，则b 1＜b 2；④在函数图像的某一分支上取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），当a 1＞a 2时，则b 1＜b 2； ⑤函数的图像是中心对称图形但不是轴对称图形. ⑥一元二次方程x 2—（2k —1）x +k 2—1=0无实数根. 其中正确的是______（在横线上填出正确的序号）7.已知y =y 1+y 2，而y 1与x +1成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x =1时，y =2；x =0时，y =2. 求y 与x 的函数关系式.3y图26-1-18.如图26-1-3所示，定义：若双曲线kyx=（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线kyx=（k＞0）的对径.⑴求双曲线1yx=的对径；⑵若双曲线kyx=（k＞0）的对径为k的值；⑶仿照上述定义，定义双曲线kyx=（k＜0）的对径.能力提升9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图26-1-4所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）10.下列选项中，阴影部分面积最小的是（）BACD11.根据图26-1-5（a ）所示的程序，得到了y 与x 的函数图像如图26-1-5（b ），过点M 作PQ ∥x 轴交图像于点P 、Q ，连接OP 、OQ .则以下结论：①x ＜0时，2y x=；②△OPQ 的面积为定值；③x ＞0时，y 随x 的增大而增大；④MQ =2PM ；⑤∠POQ 可以等于90°. 其中正确的结论是（ ）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤12.⑴正比例函数y =k 1x (k 1≠0)和反比例函数2k y x=(k 2≠0)的一个交点为（1，-2），则另一个交点为______.（2）直线y=ax （a ）0）与双曲线y=x3交于A ()11,y x 、B ()22,y x 两点，则122134y x y x -= .13.如图26-1-6所示，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数()0>=k xky 的图像上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 .（a ）（b ）图26-1-5A14. 如图26-1-7所示，点A 、B 是函数y=x 与y=x1的图像的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为 .15. 如图26-1-8所示，已知双曲线()0>=k xky 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若△OBC 的面积为6，则k= .16. 如图26-1-9所示，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数()0,0>>=x k xky 的图像上.若点R 是该反比例函数图像上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S=m （m 为常数，且0<m<4）时，反比例函数解析式为 ，点R 的坐标是 （用含m 的代数式表示）.17. 如图26-1-10所示，在平行四边形AOBC 中，对角线交与点E ，双曲线()0>=k xky 经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k = .18. 如图26-1-11所示，△AOB 为等边三角形，点B 的坐标为（-2，0），过点C （-2，0）作直线l交AO 于D ，交AB 于E ，点E 在某反比例函数图像上，当△ADE 和△DCO 的面积相等时，那么该反比例函数解析式为 . 19.（1）两个反比例函数xy x y 63==、在第一象限内的图像如图26-1-12所示，点321P P P 、、、…、2013P 在反比例函数xy 6=的图像上，它们的横坐标分别是321x x x 、、、…、2013x ，纵坐标分别是1、3、5、…共2013个连续奇数，过点分别作y 轴的平行线与的图像交点依次是()111,y x Q 、()222,y x Q 、()333,y x Q 、…、()201320132013,y x Q ，则2013y = .（2）如图26-1-13所示，在函数()08>=x xy 的图像上有点321P P P 、、、…、n P 、1+n P ，点1P 的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点321P P P 、、、…、n P 、1+n P 分别作x 轴、y 轴的垂线段，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为321S S S 、、、…、n S ，则1S ，n S .（用含n 的代数式表示）20.（1）①如图26-1-14（a ）所示，一个正方形的一个顶点在函数()01>=x xy 的图像上，则点1P 的坐标是（ ， ）.②如图26-1-14（b ）所示，若有两个正方形的顶点1P 、2P 都在函数()01>=x xy 的图像上，则点2P 的坐标是（ ， ）.（2）如图26-1-14（c ）所示，若将两个正方形改为两个等腰直角三角形，直角顶点在函数()04>=x xy 的图像上，斜边1OA 、21A A 都在x 轴上， ①求点的坐标；②求点2P 的坐标.（3）如图26-1-14（d ）所示，若有两个等边三角形的顶点都在函数()034>=x xy 的图像上，点1A 、1A 在x 轴上，直接写出点2P 的坐标.21.（1）探究：如图26-1-15（a ）所示，已知△ABC 和△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.（2）应用：①如图26-1-15（b ）所示，点M 、N 在反比例函数()0>=k xky 图像上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F ，试证明：MN ∥EF .②若①中其它条件不变，只改变点M 、N 的位置，如图26-1-15（c ）所示，请判断MN 与EF 是否平行，直接写出结论。
反比例函数的图像与性质.
x 0
y
0
x
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
k 3.已知反比例函数 y (k≠0) x
b’
b B A a’ a
0 书本练习P53. 1 .2
x
已知直线y=kx（k>0） 绕原点旋转，与反比例函数 8 在第一象限交于点P。 y=— X 过点P向X轴，y轴作垂线， 垂足分别是A，B。 问 OAPB是一个什么图形？ 随着直线的转动，这个图形 的面积将如何变化？
B B
P
y=kx P
A
A
不变，等于8
C 4
x
Gibco胎牛血清/xueqing/ Gibco胎牛血清
mqu79hno
次装满一大海碗，对耿兰说：“兰儿，你去姥爷那儿跑一趟哇，这个饺子应该比饭店里做的好吃呢，让姥爷和舅舅他们也尝一 尝！”剩下的，郭氏装在干净的竹篮子里，吩咐耿英悬挂到地窖里去了。耿兰从姥爷那儿返回来的时候，娘和姐姐已经把所有 的剩饭剩菜都收拾妥当，并且把几大摞碗碟，以及酒瓶子酒盅筷子什么的都洗刷干净归置好了。郭氏说：“咱们都歇息一会儿 哇，晚上还要热闹呢！娘今儿个很高兴，可也有些个累了呢！”于是，娘三个就在东、西两个厢房内小睡去了。半下午时分， 耿英醒来了。看到妹妹还在酣睡呢，就轻手轻脚地起身下炕来。再轻轻走到西厢房的门口探头往里瞧瞧，见娘还睡得很沉，就 动作轻轻地把晚上“供月”的各色水果都洗干净了空在漏箩里。看到娘和妹妹还没有睡醒的迹象，耿英想，俺也看看水稻去！ 于是，她轻手轻脚地出门倒挂上院门，又尽量动作轻轻地拉齐了。然后，就脚步轻盈地往爹试种的水稻田那边去了。耿英先去 了自家的水田边，看到齐刷刷秀了穗儿的水稻在微风中略显沉重地摇曳着。用手捏一捏，真是已经灌了半饱的浆了呢！再看看 稻田周围的几十个草人儿，见它们“手”里绑着的那些个拉了很长的纸旗儿一飘一飘的忒好玩儿，耿英不觉笑出了声儿。高高 兴兴地独自观看一圈后，她又往不远处舅舅家的水田那边溜达过去了。一直到黄昏时分，父子四个才高高兴兴地返回家来。这 个时候，郭氏和耿兰已经把八仙桌和餐桌全都搬到当院儿里了，正在那里摆放各种鲜瓜和鲜果子呢。见父子四个回来了，郭氏 说：“哎呀，这一下午，睡得可真叫个香哇。醒来以后，一点儿都不觉得累了！英子啊，你还是那样经得起摔打哇，早早地就 起来洗好了瓜果，还去看你爹的水稻了？”耿英轻轻笑一笑说：“俺睡了一会儿就不觉得累了。咱们上午那点儿活计，小菜一 碟儿！”耿兰不好意思地说：“可俺像死猪一样，几乎睡了整整一个下午呢！”耿直夸张地瞪大眼睛大声儿对妹妹说：“兰兰 啊，你哪里能跟咱姐比哇！你是咱娘在暖房里养大的嫩苗苗，咱姐可是在旷野中疯长的圪针啊，不光是硬实无比，还扎人呢！” 耿英笑着说：“小直子你就摆忽哇。将来啊，非得让你在咱们家盖的大戏台上，好好儿地过一把你这个喜欢瞎摆忽的瘾不可！” 郭氏不解地看看耿英，又看看耿直，说：“你们都在说些什么呢？嫩苗苗、圪针的，还要让小直子过什么瞎摆忽的瘾？俺怎么 越听越糊涂了？”耿兰假装生气地斜了姐姐和二哥一眼，恨恨地说：“俺也只是听明白了一半呢！娘，咱俩不理他们，还给咱 们咬文嚼字呢！谝他们强，看俺将来不超过他们！”耿老爹听了小女儿这话却非常高兴，笑着说：“就是，俺兰儿一点儿也不 比他们差，将来一定能超过他们的！”耿正对爹说：“俺就喜欢兰
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2.反比例函数的图象与性质
目标要求:
1. 熟悉作函数图象的主要步骤,会作出反比例函数的图象,掌握反比例函数的图象是双曲线.
2. 提高从函数图象中获取信息的能力,并掌握反比例函数的主要性质,并能运用性质解决实际问题.
3. 体会函数的三种表示方法的相互转换,对函数进行认识上的整合.
考点1:反比例函数的图象及画法
1.反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它们关于原点对称,由于反比例函数中自变量 x ≠0,函数值y ≠0,所以它的图象与x 轴、y 轴都没有交点.
2.反比例函数图象的画法(描点法)
①列表:自变量的取值应以0为中心,沿0的两边取三对(或三对以上)互为相反数的数,如1和-1,2和-2,3或-3等,然后计算出与之对应的函数值; ②描点; ③连线.
例:画出反比函数x
y 6=与x
y 6-=的图象.
解:
考点2:反比例函数的性质
1. 关于反比例函数的性质主要研究它的图象和函数值的增减情况,列表归纳如下:
例:已知反比例函数x
m y 2
=
的图象经过(-13,-12),且双曲线x
m y =
位于二、四象限,
求m 的值.
考点3:反比例函数x
k y =
(k ≠0)中的比例系数k 的几何意义
1. 如图,过双曲线上任一点作x 轴,y 轴的垂线PM 、PN,所得矩形PMON 的面积S =PM ×PN=
y ×x =xy , ∵x
k y =
∴k
xy
=
∴S =k
,即过双曲线上任意一点作x 轴,y 轴的垂线,所得的矩形的面积为k ,
所得∆FOE 的面积S =2
k .
F
O P N
M 图(1)
A B
O
例:如图(1),点A 是x
y 4=
图象上的一点,AB ⊥y 轴于点B,则∆ABO 的面积为( ).
A 1
B 2
C 3
D 4 考点4:反比例函数与正比例函数图象的交点 1. 当正比例函数kx y =中的k 与反比例函数x
k y =
中的k 的符号相同,两图象必有交点,
并且有两个交点,这两个交点关于原点或中心对称.
2. 双曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形,并且它有有两条对称轴.
例:如图(1),反比例函数x
k y =
与直线x y 2-=相交于点A,A 点的横坐标为-1,则反比例
函数的关析式为( ). A x
y 2=
B x
y
21=
C x
y 2-= D x
y 21-
=
图(1)
A O
图(2)
A
O
N
M
练兵场:
1.(黄冈)反比例函数2
2
)12(--=m x m y ,当x ＞0时, y 随x 的增大而增大,则m 的值是
( ).
A ±1
B 小于2
1的实数 C -1 D 1
2.如图(2)一个反比例函数在第三象限的图象,若A 是图象上任意一点,AM ⊥x 轴于M,O 是原点,如果∆AOM 的面积是3,那么这个反比例函数的解析式是 .
3.已知k ≠0,在同一坐标系内,函数)1(+=x k y 与x
k y =
的图象大致为图中的( ).
O
O
O
O
A B C D 4.已知反比例函数x
m y 21-=
的图象上有两点A(11,y x ),B(22,y x ),当1x ＜0＜2x 时,有
1y ＜2y ,则m 的取值范围是( ).
A m ＞0
B m ＜0
C m ＞2
1 D m ＜
2
1
5.已知反比例函数x
k y -=
4,分别根据下列条件求出字母k 的取值范围.
(1)函数图象位于第一、三象限;
(2)在每个象限内y 随x 的增大而增大.
6.由四条曲线围成的广告标志,建立如图的平面直角坐标系,双曲线的表达式分别为
x
y 6=
,x
y 6-
=,现由四根钢条固定这四条曲线,已知OF=OH=2米,这种钢条加工成矩形
成品按面积计算,每平方米15元,则所需钢条一共花多少元?
M
A
F C
B
O H E
D
7.点P 是x 轴正半轴上的一个动点,过点P 作是x 轴的垂线PA 交双曲线x
y 1=于点A,连接
OA 如图.
①如图(1),当点P 在x 轴的正方向运动时,Rt ∆AOP 的面积大小是否变化?若不变,请求出
Rt ∆AOP 的面积;若变化,试说明理由; ②如图(2)在x 轴上点P 的右侧有一点D,过点D 作x 轴的垂线交双曲线于点B,连接OB 交AP 于点C,设∆AOP 的面积为1S ,梯形BCPD 的面积为2S ,则它们面积的大小关系是 .
③如图(3)AO 的延长线与双曲线x
y 1=
的另一个交点为F,FH 垂直于x 轴,垂足为点H,连接
AH,PF.试说明四边形APFH 的面积为一常数.
A
O P
图(1)图(2)A D
C
B
O
P
图(3)
A
F
O
H
P。