第11讲 图形显示软件(2)

计算机图形显示技术第十一讲图形软件Bresenham画线算法圆的生成算法•Bresenham画圆法•中点画圆法区域填充算法•扫描线填充算法•边界填充算法图形软件——Bresenham画线算法About Bresenham•E.Jack Bresenham——Professor of Computer Science•Ph.D., Stanford University, 1964MSIE, Stanford University, 1960BSEE, University of New Mexico, 1959•Retired from 27 years service at IBM as a Senior Technical Staff Member in 1987. Have taught 10 years at Winthrop. Holder of five patents.图形软件——Bresenham画线算法Bresenham算法•该算法由Bresenham在1965年提出，是目前使用较为广泛的一种扫描转换算法，可用于直线、圆弧等图元的扫描转换。

图形软件——Bresenham画线算法Bresenham画线算法基本思想•过各行各列像素中心构造一组假象的栅格•按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后根据误差项的符号确定该列象素中与此交点最近的象素——Bresenham 画线算法Bresenham 画线算法•设直线从起点（x1, y1）到终点（x2, y2）•设直线方程为：y=kx+b其中b = y1 -k * x1dxdy =−−=x1x2y1y2k——Bresenham画线算法Bresenham画线算法若直线斜率k∈[0,1]且x2>x1的情况（1a象限）•根据•即DDA算法的讨论有：x i+1=x i+1(1)y i+1=y i+k(2)在1a象限里，当直线光栅化时，x每次都增加1个单元：x i+1=x i+1——Bresenham画线算法Bresenham画线算法若直线斜率k∈[0,1]且x2>x1的情况（1a象限）•由于k不一定是整数，因此由(2)式求出的y也不一定是整数。

所以要用最靠近y的整数y i来代替y•假设直线上第i个像素坐标为(x i,y i)，那么，它的下一个点的像素点的可能位置为(x i+1,y i)或(x i+1,y i+1)。

如图：——Bresenham画线算法Bresenham画线算法若直线斜率k∈[0,1]且x2>x1的情况（1a象限）•如上图•该点•因此在x=x i+1处，直线上y的值y=k(x i+1)+b距离点(x i+1,y i)和点(x i+1,y i+1)的距离分别为d1和d2：d1=y-y i=k(x i+1)+b-y i(3)d2=(y i+1)-y=(y i+1)-k(x i+1)-b (4)，这两个距离的差为：d1-d2=2k(x i+1)-2y i+2b-1 (5)——Bresenham画线算法Bresenham画线算法若直线斜率k∈[0,1]且x2>x1的情况（1a象限）•根据（5）式，作如下讨论分析：当d1-d2>0时，说明直线上的理论点距离(x i+1,y i+1) 较近，因此下一个直线像素点应取(x i+1,y i+1)•当d1-d2<0时，说明直线上的理论点距离(x i+1,y i)较近，因此下一个直线像素点应取(x i+1,y i)•当d1-d2=0时，说明直线上的理论点距离上、下两个像素点的距离相等，因此规定取(x i+1,y i+1)作为下一个直线像素点——Bresenham画线算法Bresenham画线算法若直线斜率k∈[0,1]且x2>x1的情况（1a象限）•因此，利用（d1-d2）的符号就可以决定下一个像素点的选择•然而含有变量xi 、y i，不利于计算。

为此，我们构造一个新的判别式：p i= Δx *(d1-d2)=2 x iΔy-2y iΔx +c （6）其中：Δx=(x2-x1)>0，因此p i与(d1-d2)符号相同；Δy=y2-y1；数c=2Δy+Δx(2b-1)——Bresenham画线算法Bresenham画线算法若直线斜率k∈[0,1]且x2>x1的情况（1a象限）①以i+1代入式(6)中的i ，得：p i+1= Δx *(d1-d2)=2 x i+1Δy-2y i+1Δx +c （7）②将式(7)减去式(6)，并由x i+1=x i+1可得：p i+1=p i+2Δy-2Δx (y i+1-y i) （8）③假设直线上的初始端点恰好是其像素点的坐标，则将将x1, y1，和b代入式（6）中的x i, y i可到p i的初始值p=2Δy-Δx （9）——Bresenham画线算法Bresenham画线算法若直线斜率k∈[0,1]且x2>x1的情况（1a象限）•利用上面构造的误差判别变量，可得第1a象限内的直线Bresenham算法：p1=2Δy-Δxx i+1=x i+1y i+1=y i+1, p i+1=p i+2(Δy-Δx) 当p i≥0时y i+1=y i, p i+1=p i+2Δy 当p i< 0时——Bresenham画线算法Bresenham画线算法若直线斜率k∈[0,1]且x2>x1的情况（1a象限）•从算法可以看出，第i+1步的判别变量p i+1仅与第i步的判别变量p i、直线的两个端点分量差Δx、Δy有关，•只用整数相加和乘2运算，没有四舍五入处理，而乘2可利用左移一位来实现•因此该算法速度快且易于硬件实现——Bresenham画线算法Bresenham画线算法描述若直线斜率k∈[0,1]且x2>x1的情况（1a象限）1、输入两端点(x1,y1),(x2, y2)，并以第一点作为起始点2、分别计算Δx =x2-x1; Δy=y2-y1；计算误差初值p1=2 Δy-Δx；i=1；3、求直线的下一点位置：x i+1=x i+1；if p i ≥0则y i+1=y i+1；否则y=y；——Bresenham画线算法Bresenham画线算法描述若直线斜率k∈[0,1]且x2>x1的情况（1a象限）4、画点（x i+1, y i+1）；5、求下一个误差p i+1；if p i ≥0则p i+1=p i+2Δy-2Δx；否则p i+1=p i+2Δy；6、i=i+1；if i<Δx +1则转3；否则end——Bresenham画线算法Bresenham画线算法•现在讨论如何让该算法实现任何方向线段的绘制•如图所示，线段的方向可分为8种，从原点出发射向8个区•当直线斜率的绝对值大于1时，让y坐标每次增加1，再用Bresenham的误差判别式确定x坐标是否需要增加1。

——Bresenham画线算法Bresenham画线算法如果能充分利用x－y平面各种八分和四分区域间的对称性，就可减少运算量。

x i+1 = xi或xi-13b、4b xi+1= xi或xi+11b、2b yi+1= yi或yi-13a、4a yi+1= yi或yi+11a、2a 取值象限——Bresenham 画线算法Bresenham 画线算法•例:分析从(0,0)到(5,3)的直线段-10123456-10123456图形软件——圆的生成算法•给出圆心坐标(x c , y c )和半径r ，逐点画出一个圆周的公式有下列两种：⒈直角坐标法(x −x c )2+ (y −y c )2= r 2由上式导出：c c 22()y y r x x =±−−——圆的生成算法⒈直角坐标法•当•但•同时x −x c 从−r 到r 作加1递增时，就可以求出对应的圆周点的y 坐标由于有乘方和平方根运算，且都是浮点运算，算法效率不高。

，这样求出的圆周上的点是不均匀的，|x −x c |接近R 时，由于圆的斜率趋向于无穷大，使得圆周上有较大的间隙——圆的生成算法⒉极坐标法•假设•利用圆周上一点（x,y ）处的半径与x 轴的夹角为θ,则圆的极坐标方程为：x = x c + r ·cos θ，y = y c + r ·sin θ圆周上点的对称性，我们可求出圆上各点，此时自变量θ的取值范围是[0,45]度，以固定角度为步长来变化，可得到沿圆周等距离分布的一系列光点，但运算量大，也不被采用。

——圆的生成算法A B极坐标法对称性（x,y ）（y,x ）（y,-x ）（x,-y ）（-x,y ）（-y,x ）（-y,-x ）（-x,-y ）45°直角坐标法画圆——圆的生成算法Bresenham画圆算法•与Bresenham直线生成算法一样，其基本思想：利用判别变量来判断选择最近的像素，判别变量仅用加减和移位就可计算出来•为讨论方便，仅考虑圆心在原点，半径为R的第一象限上的一段圆弧•取（0，R）为起点，按顺时针方向绘制该1/4圆弧——圆的生成算法Bresenham画圆算法如图所示，从当前点亮像素出发，按顺时针方向生成圆时，最佳逼近该圆的下一个像素只可能为H、D、V三像素之一。

H、D、V中距圆周边界距离最小者，即为所求的像素点。

——圆的生成算法Bresenham画圆算法H、D、V三点到圆心的距离平方与圆的半径平方差，即为H、D、V到圆弧距离的一种度量：ΔH= (x+1)2+ y2-R2；ΔD= (x+1)2+ (y-1)2-R2；（式1）ΔV= x2+ (y-1)2-R2；为了根据这些度量值可确定最佳像素点，首先，将H、D、V与理想圆弧的关系进行分类——圆的生成算法Bresenham画圆算法如图存在以下五种情况：1）H、D、V全在圆内2）H在圆外，D、V在圆内3）D在圆上，H在圆外，V在圆内4）H、D在圆外，V在圆内5）H、D、V全在圆外——圆的生成算法Bresenham画圆算法与Bresenham画线算法一样，按照上述不同类型，找出误差度量的递推公式，然后判别它的正、负性即可确定最佳逼近的像素点当ΔD < 0, 只可能为1或2种情况。

为了确定是H还是D，可用如下判别式：δHD= | ΔH| -| ΔD|δHD≤0 则应选H，否则选D——圆的生成算法Bresenham画圆算法对于第2种情况：δHD= ΔH+ ΔD= (x+1)2+ y2-R2 + (x+1)2+ (y-1)2-R2=2 ΔD+ 2y -1对于第1种情况：∵y是x的单调递减函数∴H为下一点亮像素。

（如图）另，此时ΔH< 0 和ΔD< 0ΔH+ ΔD = 2 ΔD+ 2y-1 < 0综上两种情况可得如下结论：在ΔD＜0时，若2（ΔD +y) -1 ≤0，则取H，否则取D——圆的生成算法Bresenham画圆算法当ΔD ＞0 , 只可能有4、5两种情况。