云南师大附中2020届高三文科数学适应性月考卷(五)附答案解析
云南师范大学附属中学2020届高考适应性月考卷(四) 文科数学附答案与详解
西南名校联盟高考适应性月考卷文科数学试卷注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2|10A x x =->，{}|0,1,2,3B x =，则()R C A B =I （ ） A. {}2,3 B. {}0,1C. []1,1-D. ()(),11,-∞-+∞U2. 复数z 满足()12z i i ⋅-=，则z =（ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i --D. 1i -+3. 《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.如果经过n 天，该木锤剩余的长度为n a （尺），则n a 与n 的关系为（ ）A. 12n n a =B. 112n n a =-C. 1n a n=D. 11n a n=-4. 若关于x 的不等式210ax ax ++≥的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A. []0,4 B. ()0,4 C. [)4,0-D. []4,0-5. 已知命题p ：0x ∀≥，1xe ≥或sin 1x ≤，则p ∀为（ ）A. 0x ∃<，1xe <且sin 1x > B. 0x ∃<，1xe ≥或sin 1x ≤C. 0x ∃≥，1xe <或sin 1x > D. 0x ∃≥，1xe <且sin 1x >6. 两个红球与两个黑球随机排成一行，从左到右依次在球上标记1，2，3，4，则红球上的数字之和小于黑球上的数字之和的概率为（ ）A.16 B.14 C. 13D. 127. 定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象交于点P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12P P 的长为（ ）A.23B.C.D.568. 某多面体的三视图如图所示，网格小正方形的边长为1，则该多面体最长棱的长为（ ）A.B. C. 3D. 9. 如图是函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象，则34f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A. -2B.C. 2D.10. 已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A. 1B.C.1D.1l. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为（ ） A. (),2-∞- B. ()2,+∞C. ()(),11,-∞-+∞UD. ()(),22,-∞-+∞U12. 在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成曲边三角形，作两个内切半圆的公切线把曲边三角形分隔成两块，阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是同样大小的，由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，他称此为“皮匠刀定理”，如图，若2AC CB =，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）A.1081B.2081C.49D.89二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知狄利克雷函数()1,0,R x QD x x C Q∈⎧=⎨∈⎩，则()()D D x =______.14. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l α⊂，m β⊂.给出下列三个论断：①l m ⊥；②l β⊥；③αβ⊥.以其中一个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出一个真命题：______.（用论断序号和推出符号“⇒”作答）15. 双曲线S ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以线段12F F 为直径的圆与S 的渐近线的交点恰是一个正六边形的顶点，则S 的离心率为______. 16. 已知数列{}n a满足112n a +=+134a =，则2020a =______. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知三角形ABC，56A π=，D 在边BC 上，6CAD π∠=，2BD DC =，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求a ，b ，c .18. 2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年~2018年，我国GDP 从679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均CDP 从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.特别是党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革，中国特色社会主义进入新时代.如图是全国2012年至2018年GDP总量y（万亿元）的折线图.注：年份代码1~7分别对应年份2012~2018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年全国GDP的总量.附注：参考数据：71492.01 iiy ==∑，70.29y=，712131.99 i iit y ==∑165.15≈.参考公式：相关系数()()ni it t y y r--=∑回归方程$$y a bt=+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ni iiniit t y ybt t==--=-∑∑$，$a y bt=-$.19. 如图，楔形几何体EF ABCD-由一个三棱柱截去部分后所得，底面ADE⊥侧面ABCD，90AED∠=︒，楔面BCF是边长为2的正三角形，点F在侧面ABCD的射影是矩形ABCD的中心O，点M在CD上，且CM DM=.（1）证明：BF ⊥平面AMF ； （2）求楔形几何体EF ABCD -的体积. 20. 已知函数()1sin ln 12f x x x x =+--，()'f x 为()f x 的导数. （1）证明：()f x 在定义域上存在唯一的极大值点； （2）若存在12x x ≠，使()()12f x f x =，证明：124x x <.21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点为()1F .（1）求C 的标准方程；（2）若动点M 为C 外一点，且M 到C 的两条切线相互垂直，求M 的轨迹D 的方程；（3）设C 的另一个焦点为2F ，自直线l ：7x =上任意一点P 引（2）所求轨迹D 的一条切线，切点为Q ，求证：2PQ PF =.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是曲线段C ：2x t y t=⎧⎨=-⎩（t 是参数，1122t -≤≤）的左、右端点，P 是C 上异于A ，B 的动点，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（1）建立适当的极坐标系，写出点Q 轨迹的极坐标方程； （2）求PA PQ ⋅的最大值. 23.【选修4-5：不等式选讲】已知()()()2f x x x a a R =--∈，若关于x 的不等式()6f x >的解集为()()4,58,+∞U . （1）求a ；（2）关于x 的方程()f x b =的方程有三个相异实根1x ，2x ，3x ，求123x x x ++的取值范围.云南师大附中2020届高考适应性月考卷（四）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5：BDAAD 6-10：CACBC11-12：BB【解析】1. (){}{}{}|110,1,2,30,1R C A B x x =-≤≤=I I ，故选B.2. ()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+，故选D. 3. {}n a 是一个首项为12，公比为12的等比数列，所以12n n a =，故选A. 4. 当0a =时，不等式为10≥，恒成立，满足题意；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨-≤⎩，解得04a <≤，或0a ≠时，()f x 有最小值，且最小值大于或等于0，即0102a f >⎧⎪⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得04a <≤.综上，实数a 的取值范围是[]0,4，故选A.5. 全称命题的否定为特称命题，()()()p q p q ⌝∧=⌝∨⌝，()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝，故选D.6. 红球与黑球上标记数字情况用表格列举如下：共6种情况，其中红球与黑球上数字之和相等的情况有两种，其余4种情况中红球上数字之和小于黑球上数字之和与红球上数字之和大于黑球上数字之和是“对等”的，各占一半，故所求概率为2163=，故选C. 7. 如图，从6cos 5tan 02x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭中解出sin x 的值为23，即为所求线段12P P 的长，故选A.8. 多面体的直观图如图所示，111AE A E ==，111112AD AA EE A D DD DC ======，11CE D E ==，1CD =13CE =，最长棱为1CE ，其长为3，故选C.9. 根据图象，可得()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以332sin 424f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 10. 法一：将A ，C 视为定点，OA OC ⊥，O 视为以AC 为直径的圆上的动点，AC 的中点为M ，当BO过圆心M ，且O 在BM 的延长线上时，OB 1，故选C.法二：设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy-+=⇒+=++11≤+=+取等号条件：ay cx =，令d B O ==，则212d d ≤+，得1d ≤，故选C.1l. 设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，得()()112211f x x f x x --<--，即()()12F x F x <，所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->，所以11x ->，2x >，故选B.12. 设2BC r =，则4AC r =，6AB r =，建立如图所示的坐标系，()0,0C ，()12,0O r -，(),0O r -，()2,0O r ，设()3,O a t -，()4,O b v ，则()()22222r a r a t +--=，得t =所以(3O a -，由圆O与圆3O3r a=-，解得23a r=.同理()()222r b r b v+--=，得v=O与圆4O3r b=-，解得23b r=，于是阿基米德“皮匠刀定理”得证.()()222211123222223rr r rSππππ⎛⎫⋅-⋅--⋅⋅ ⎪⎝=⎭阴影2109rπ=，所以22102099812SrrSππ==阴影大半圆，故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 1 14. ②⇒①③15. 2 16.24+【解析】13. ()0D x=或1，()()1D Dx=.14. ②⇒①③.15. tan60ba=︒=2223c aa-=，224ca=，所以2cea==.16.由题意，112na≤≤，22111122n n n na a a a++⎛⎫=-=-⎪⎝⎭221114n n n na a a a++⇒-+=--①，于是22221114n n n na a a a++++-+-=-②，②-①得()()2210n n n na a a a++-+-=，因为134a=，所以210n na a++-≠，所以2n na a+=，所以数列{}n a是周期数列，周期为2，所以202021224a a==+=.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 解：如图，2sinsin 32sin sin 6ABD ACD c S BD c BAD S DC b CAD b ππ∆∆∠==⇒=∠2==，①1151sin sin 2264ABC S bc A bc bc π∆====联立①，②，解得b =c =在ABC ∆中，由余弦定理，得22252cos 682266a b c bc A π=+-=+-=，所以a =18. 解：（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得4t =，()72128ii tt=-=∑，()()777111iii iii i i tty y t y t y===--=-∑∑∑2131.994492.01163.95=-⨯=，所以163.950.99165.15r =≈，因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（2）由70.29y =及（1）得()()()71721163.955.8628iii ii tty y btt===≈--=-∑∑$， $70.29 5.86446.85ay bt ≈-⨯==-$， 所以y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+.将2019年对应的代码8t =代入回归方程得$46.85 5.86893.73y =+⨯=. 所以预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元.19.（1）证明：如图，连接MO 交AB 于N ，连接FN ，MB . 则N 是AB 的中点，2AD NM BC ===.因为FO ⊥平面ABCD ，所以平面FMN ⊥平面ABCD ，又平面ADE ⊥平面ABCD ，所以平面//ADE 平面FMN ， 根据题意，四边形ABFE 和DCFE 是全等的直角梯形， 三角形ADE 和NMF 是全等的等腰直角三角形，所以NF MF ==1OF =，在直角三角形BFN 中，NB ==所以AB =2AF =，MB =于是222AF BF AB +=，222MF BF MB +=，所以BF AF ⊥，BF MF ⊥. 因为,AF MF ⊂平面AMF ，AF MF F =I ， 所以BF ⊥平面AMF .（2）解：据（1）可知，楔形几何体EF ABCD -由直三棱柱ADE NMF -和四棱锥F BCMN -组成，直三棱柱ADE NMF -的体积为ADE NMF ADE V S AN -∆=⋅12==四棱锥F BCMN -的体积为13F BCMN BCMN V S FO -=⋅12133=⨯=，所以楔形几何体EF ABCD -的体积为3ADE NMF F BCMN V V --+=. 20. 证明：（1）()11'cos 12f x x x =+-， 当2x ≥时，1102x <≤，11112x -<-≤-，()11111cos 1cos cos 102222x x x x +-≤-=-≤，“=”不能同时取到，所以()'0f x <；当02x <<时，()211''sin 02f x x x =--<，所以()'f x 在()0,2上递减， 因为()1'1cos102f =>，()11'2cos 2022f =-<，所以在定义域()0,+∞存在唯一0x ，使()0'0f x =且()01,2x ∈；当00x x <<时，()'0f x >；当0x x >时，()'0f x <，所以0x 是()f x 在定义域()0,+∞上的唯一极值点且是极大值点.（2）存在12x x ≠，使()()12f x f x =，即11122211sin ln 1sin ln 122x x x x x x +--=+--， 得()1212121sin sin ln ln 2x x x x x x ---=-. 设()sin g x x x =-，则()'1cos 0g x x =-≥，()g x 在()0,+∞上递增， 不妨设120x x >>，则()()12g x g x >，即1122sin sin x x x x ->-，1212sin sin x x x x ->-， 所以()()()()1212121211sin sin 22x x x x x x x x ---<---12ln ln x x =-，得12122ln ln x x x x -<-，121212ln ln 2x x x x x x -+<<-2<，124x x <. 21.（1）解：设()2220a b c c -=>，由题设，得c =4c a =，所以4a =，29b =， 所以C 的标准方程为221169x y +=. （2）解：设(),M m n ，切点分别为1P ，2P ，当4m ≠±时，设切线方程为()y n k x m -=-，联立方程，得()221169y n k x m x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，得()()()22216932161440k x k n km x n km ++-+--=，① 关于x 的方程①的判别式()()()222221324169161440k n km k n km ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦， 化简，得()22216290m k mnk n -++-=，②关于k 的方程②的判别式()()2222244169m n m n ∆=---()224916144m n =+-，因为M 在椭圆221169x y +=外，所以221169m n +>，即229161440m n +->，所以20∆>， 关于k 的方程②有两个实根1k ，2k 分别是切线1MP ，2MP 的斜率.因为12MP MP ⊥，所以121k k =-，即229116n m-=--，化简为2225m n +=. 当4m =±时，可得3n =±，满足2225m n +=，所以M 的轨迹方程为2225x y +=.（3）证明：如图，)2F ，设0P y ⎫⎪⎪⎝⎭，2202022256812577y PQ OP Q y O ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝=⎭-， 2222200817PF y y =+=+⎝， 所以222PQ PF =，即2PQ PF =.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）如图，曲线段C 即为抛物线上一段21122y x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭， 端点11,24A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，11,24B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 在A 处的切线斜率为1212⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，与y 轴的交点坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为QA QB ⊥，所以Q 的轨迹是以线段AB 为直径的圆弧（不含端点），以线段AB 的中点10,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭为极点，射线MB 为极轴，建立极坐标系， 则Q 点轨迹的极坐标方程为1022πρθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.（2）设直线PM 与以10,4M ⎛⎫-⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆交于两点E ，F ， 则12ME MF ==, 由相交弦定理，得PA PQ PE PF ⋅=⋅()()214ME PM MF PMPM =+⋅-=-2222211114444t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 当0t =，即()0,0P 时，PA PQ ⋅最大，最大值为316。
2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷(五)数学(文)试题(解析版)
2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（五）数学（文）试题、单选题1 •已知集合A {x|x2 1 20} , B {x| x 2x 3 0}.则AI BA. { 1,}B. {1}D. [ 1,3]C. [ 1,1]【答案】B【解析】先计算得到A1,1 ,B {x| 1 x 3}，再计算A B得到答案.【详解】A 1,1 ,B {x| 1 x 3}, A B 1故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题•2. 、3si n15 sin 75 ( )A.B. 12C.22【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案【详解】』3si n15 sin 75 、3si n15 cos15 2si n 15 30 、2故选：C【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力i uuu uuu3•设复数Z1 , Z2 引,z（,Z2在复平面内所对应的向量分别为OP , OQ （O1 iuuu UULTuuu i i uuur【解析】化简得到OP ，— ,OQ2 21 1 uuu uuur，—，再计算OP OQ 得到答案•2 2【详解】故选：B【点睛】 本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键 4•已知数列｛a n ｝为等差数列，S n 为前n 项和，若a 2 4 ,8，则So （）A . 125B . 115C. 105D. 95【答案】Da 2 a 4 2a 1 4d4【解根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案a 5a 1 4d 8【详解】a 2a 42a 1 4d 4,4,S 10 10,10 9 3 954a 5 a 1 4d 8d 3,2故选：D 【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键5•如图，在圆 O 的圆心O 处有一个通信基站， 2,假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域（该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常） ，若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A .B .C. D.【答案】BZ i1 i亍 Z 2 Z i i1 i uuu ,OP21 1 murOQ 2 2 1 1 uuu uiurOP OQ 0 2 2B.-【答案】【解析】【详解】sin 2 2 sin 2D.2设该圆的半径为R计算圆面积和阴影部分面积，利用几何概型相除得到答案设该圆的半径为R则圆的面积是n R2,S阴影S扇形OABS VAOB 1 2?R221si n2?R22R21 1si n22 ，故P2n故选:【点睛】本题考查了几何概型计算概率，计算区域面积是解题的关键6 .函数f(x) sin(e x e x)的图象大致为( )【答案】D【解析】判断函数为偶函数，取特殊点C 10 f 0 sin2 1，且f x f x ，函数为偶函数故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键 •7 .在四边形ABCD 中，已知AB 3 , BC 4 , CD 5 , AD 6 , B 60，则四 边形ABCD 的面积为( )A . 6 2.3B . 9 3、3 C. 9 D. 8/3【答案】B一4 3 【解析】由余弦定理可求得 AC 、13，进一步求得cos D sin D —,再利用 55面积公式计算得到答案. 【详解】2 5 2故选：B 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力8.已知直线Ax By C 0与圆G x 2 y 2 4x 0相交于A, B 两点，且三角形ABC1，为直角三角形，贝U 代B 中点M 的轨迹方程为()A . (x 2)2 (y 1)2 1B . (x1)2 (y 1)222 2 2 2C. (x 1) y1D. (x2)y 2【答案】D【解析】根据题意得到 MC 1 J2, M 的轨迹是以C 为圆心，半径为42的圆，得到答ABC 中，由余弦定理可得 AC 2 BC 2 BA 2 2BC BA cos B 得到 AC .13 , ADC 中，由余弦定理得到 AC 2DC 2 DA 22DC DA cos D 得到43cos D —, sin D - 5 5S 1 5 6 3- 3 4 sin609 3、3案•因为VABC i 为直角三角形，且AC i BC i ，所以AB 2 2, MC i .2，所以M 的轨 迹是以C 为圆心，半径为罷的圆 故选：D 【点睛】本题考查了圆的轨迹问题，根据题意得到MC 1 ,2是解题的关键C.—e【答案】A【解析】直接代入计算得到答案【详解】In2In1 Q In2 1, f In2 e e 2, f 12故选：A 【点睛】本题考查了分段函数的计算，属于简单题 2倍(纵坐标不变)，再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为g(x)，若函数的图象在P , Q 两处的切线都与x 轴平行，则|PQ|的最小值为( A .后 B . 4C. 4D. 2躬【答案】 B【解析】 先计算得到g x. n n 12sin 一 x 一 -，画出函数图像，计算PQ 1145,2 2 3PQ 24得到答案.9 •已知函数f(x)xe ,xx ,X e，则 f (In 2)1f(1)A .e 2 2e2eD. e 2f 1/?L -22e10.已知函数f(x) 2sin( x 丄)，将yf(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的n n 1根据变换得到：g x 2sin x，图象如图:故选：B【点睛】 本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力• 11.如图，已知BD 是圆0的直径，A , C 在圆上且分别在 BD 的两侧，其中BD 2 ,AB CD .现将其沿BD 折起使得二面角 A BD C 为直二面角，则下列说法不正确 的是（ ） A. A , B , C , D 在同一个球面上1B. 当AC BD 时，三棱锥A BCD 的体积为— 3C. AB 与CD 是异面直线且不垂直D.存在一个位置，使得平面 ACD 平面ABC【答案】D【解析】 依次判断每个选项的正误： OA OB OC OD R ，所以A 正确；当AC BD , A , C 各在所在圆弧的中点，计算体积得到B 正确；反证法证明 AB 与CD不垂直C 正确；根据C 选项知D 错误，得到答案。
云南省师范大学附属中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)答案
，故选
C．
图2
4． x2 + y2 = (x − 0)2 + ( y − 0)2 其几何意义为可行域内的点到点 (0，0) 的距离，故选 A．
5．如图 3，由图象知 f (x) = cos x 与 g(x) =| ln x | 的 交 点 个 数
为 原 函 数零点个数，故选 B．
6． a5 + a13 = 2a9 = 40 ，所以 a7 + a8 + a9 + a10 + a11 = 100 ，故
3
，
所以 1 = m + 3 ， 1 = m + 3 ，
k1
y1 k2
y2
因此
1 k12
+
1 k22
=
m
+
3 y1
2
+
m
+
3 y2
2
= 2m2
+
6m
1 y1
+
1 y2
+
9
1 y12
+
1 y22
= 2m2
+ 6m
y1 + y2 y1 y2
ρ ρ
cosθ， sinθ，
则曲线
C2
的极坐标方程为 ρ 2
=
cos2 θ
4 + 4sin2 θ
．
………………（5 分）
文科数学参考答案·第 5 页（共 6 页）
（2）如图
10，由题意知 S△AOC
=
1 2
OA
【文数】云南师大附中2020届高考适应性月考试卷及答案(3月)
（舍去），
p
=
3
，故选
C．
9．如图 1 所示，将正四面体 A − BCD 放入正方体中，则正四面体的每一
条棱都是正方体的面对角线， E，F 则分别是上下底面的中心．由图
中容易看出，EF ⊥ AB 和 EF ⊥ CD 显然成立，且 EF 与 AC，BD 所成
角都应该为 π ，故不正确的选项为 D，故选 D．
单调性即可． f ′(x) = 2x + sin x ，当 x ∈ (0，π) 时，易得 f ′(x) > 0 ，故 f (x) 在 x ∈ (0，π) 上
单调递增，
a=
f (log1 3) =
5
f (log5 3)，b =
f (log3 15) =
f (log3 5)
，
1 5
3
=
0.008
<
log5
5
< log5 3 < 1 < log3 5 <
π ，由函数单调性可知
f
1 5
3
<
f (log5 3) <
f
(log3 5) ，即 c <
a<b，
故选 B．
12．设由船 P
到
B
台和到
A 台的距离差确定的双曲线方程为
x2 a2
−
y2 b2
= 1(x ≥ a) ，由于船 P 到
B
台和到 A 台的距离差为 30 海里，故 a = 15 ，又 c = 17 ，故 b = 8 ，故由船 P 到 B 台和到 A 台
4
图1
10．先读懂程序：输入任意一个无重复数字的三位数，将其个位，十位，百位重新排列，组
2020届云南师大附中高考适应性与考卷(五)文科数学及答案详解
文科数学参考答案·第1页（共7页）云南师大附中2020届高考适应性月考卷（五）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案B C B D D D B D A B D C 【解析】1．{11}{|13}{1}A B x x A B =-=-<<= ，，，，故选B ．2．cos152sin(1530)=︒+︒=︒+︒=原式，故选C ．3．121i 1i 1i 1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫======-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，∴，，，，，故选B ． 4．24111051244410910(4)3954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，，，故选D ． 5．设该圆的半径为R ，则圆的面积是2πR ，22112sin 222AOB OAB S S S R R =-=-= 阴影扇形△ 211sin 22R ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2sin 22πP -=，故选D. 6．(0)sin 21f =<，且()()f x f x -=，函数为偶函数，故选D ．7．由余弦定理可求得AC =，进一步求得43cos sin 55D D ∠=∠=，，13156252S =⨯⨯⨯+⨯ 34sin 609⨯⨯︒=+，故选B ．8．因为1ABC △为直角三角形，且11AC BC =，所以1AB MC ==，所以M 的轨迹是以C 1的圆，故选D ．9．1ln ln 2211ln 21(ln 2)e e (1)2ef f -<====∵，∴，A ． 10．由题，ππ1()2sin 223g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，图象如图1，由图可知，||PQ 取到的最小可能为12||||PQ PQ ，，因为1||PQ =2||4PQ =，所以最小值为4，故选B ．图1文科数学参考答案·第2页（共7页）11．因为OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD 的面积和高均处于最大位置，此时体积为111211233⨯⨯⨯⨯=，所以B 正确；AB 与CD 显然异面，用反证法证明他们不垂直．若AB CD ⊥，过A 作BD 的垂线，垂足为E ，因为为直二面角，所以AE ⊥平面BCD ，所以AE CD ⊥，所以CD ABD ⊥平面，所以CD BD ⊥，这与CD BC ⊥矛盾，所以AB 与CD 不垂直，所以正确．若平面ACD ⊥平面ABC 的交线是AC ，在平面ABC 上过点B 作AC BF ⊥ ，则BF ⊥平面ACD ，(C)BF CD CD BC CD ABC CD AB ⊥⊥⊥⊥∴，又，∴平面，∴同，所以不正确，故选D ．12．有如下两种情况：（1）0b a >>； （2）0a b >>．图2 （1）如图2甲，可求出A ，B 的坐标分别为222222a ab a c abc A B c c a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，，，所以2211222AOB BOF AOF abc ab S S S c c ab e b a c =-=⨯-⨯=⇒=-△△△；同理可得当0a b >>时，满足条件的离心率e =，故选C ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 13．答案不唯一，满足条件即可．例如：(2123).--，，，14．抛物线的标准方程为214x y =，最小距离为1216p =． 15．可行域如图3所示，设()P x y ，为可行域内任意一点，则2222x y PO +==，由图可知min PO ==max PO CO ==，所以22x y +的取值范围为[220]，．图3文科数学参考答案·第3页（共7页）16．2222222221221log 4200log 4log 1000log 23log 10log 3320320n ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，因为2log 10= 211210log 1lg 20.320=<<，所以22218log 320n n +⇒≤的最大值为8． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）40{}n n a a =，为常数列；1110{}n n n n b b b ->-=，，是首项为10，公差为10的等差数列；11120.4n n n c c c ->==，，，所以{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．………………………………………（4分）所以1100.42n n n b n c -==⨯，．……………………………………………………………（6分）（2）设投资10天三种投资方案的总收益为101010A B C ，，，由（1）知：101010101090.4(12)400101010550409.2212A B C ⨯-==⨯+⨯===-；；， 因为101010B C A >>，所以应该选择方案二．…………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下： 826592821109213311013813326%12%20%21%4%658292110133-----=====；；；；； 15413812%138-=， 所以2013年的增长率最高，达到了26%．……………………………………………（6分）（2）由表格可计算出：7721177443516()287i i i i i t y t y t t =====-=∑∑，，， 77435167477471515450.57287b a -⨯⨯===-⨯= ，，…………………………………（8分） y 关于t 的回归直线方程为 1550.57y t =+．…………………………………………（10分）文科数学参考答案·第4页（共7页）令149.431550.572009.9615t t +>⇒>=． 所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．………………………………………………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）（1）证明：如图4，设BE 的中点为H ，AC BD O = ，连接HG ，HO ．因为G 是BF 的中点，所以12HG EF AO HG EF AO ==∥∥，， 所以四边形AGHO 是平行四边形，所以AG HO ∥，又因为HO ⊂平面BDE ，AG ⊄平面BDE ， 所以AG BDE ∥平面．……………………………………………………………………（6分） （2）解：因为ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，所以ABC △为正三角形．又因为ACEF 为矩形，且2AC AF =.AF a =设，则2AC a BD ==，，又231233V a =⨯⨯=七面体， 由题有1a =∴．……………………………………………………………………………（8分）B DEF E BCD F ABD V V V V ---=--=--=七面体，2DE DF EF ====⇒在三角形DEF 中，EF 边上的高为2，所以2DEF S =△．…………………………………………………………………………（10分） 设B 到平面DEF 的距离为d ，则13B DEF DEF V S d d -=⨯⨯=⇒=△．……………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）证明：（1）因为00()P x y ，在椭圆上， 所以2200221x y a b+=，所以P 也在直线上．…………………………………………………（1分） 图4文科数学参考答案·第5页（共7页）联立直线和椭圆方程222220222222222224420000000222222221()201x y a b b x x y a b a y a y b x x a b x x b a a y x x y y b x a y a b ab ⎧⎧-+=⎪=⎪⎪⇒⇒+-+-=⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎪⎩，， ………………………………………………………………………………………（3分）因为P 在椭圆上，所以222222222222220000200a y b x a b a b x a b x x a b x +=⇒-+=⇒∆= ⇒所以直线l 与椭圆相切，又因为l C P = ，所以直线l 是椭圆在点P 处的切线．……………………………………………………（6分）（2）设2F 关于直线l 的对称点为211()F x y '，，则22F F '，的中点在直线l 上，直线22F F '与l 垂直， 即22210120201210221x c a b b x y a y b x y x c a y +⎧-⎪=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪-⎪⎩ ……………………………………………………………（8分）244242000142420022200142420022()a b x a y c b x c x a y b x a b y a x c y a y b x ⎧+-=⎪+⎪⇒⎨-⎪=⎪+⎩，， ……………………………………………………（10分） 212222200000014224222222221000000()()()()F F b y a x c b y a x c y a x c y k x c b x a y c b x a b c b x c a c x a c x c'---====+++--+- 120002000()()()PF y a x c y k a x c x c x c-===-++， 所以21F P F '，，三点共线，所以从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F ．…………………………………（12分）（注：此题证明方法较多，请酌情给分）21．（本小题满分12分）（1）证明：若e ()e e ()e e x x a f x x f x '==-=-，则，， 所以()f x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增， 所以()f x 的最小值为(1)0f =，即有()0f x ≥．………………………………………（4分）文科数学参考答案·第6页（共7页）（2）解：()()ln x x f x a ax f x a a a '=-=-，， 令()0log ln a a f x x a'>⇒>．……………………………………………………………（6分） 令2ln 1()(1)()ln ln x x g x x g x x x-'=>=，则， 所以()g x 在(1e)，上单调递减，在(e )+∞，上单调递增，()(e)e g x g =≥， 所以e ln 1ln ln a a a a，≥．…………………………………………………………………（8分） 所以()f x 在0log ln a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在log ln a a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， min ln ln ()log log 1ln ln ln ln ln ln ln ln a a aa a a a a a a a f x f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………………………………………………………………（10分） 由以上()g x 的讨论可知，当且仅当e a =时，e ln a a=，此时min ()0f x =． 当min (1e)(e )()0a f x ∈+∞< ，，时，，又因为(1)0f x =→+∞且时，()f x →+∞，所以，当e a =时，函数()f x 只有一个零点；当1e a a >≠且时，函数()f x 有两个零点．……………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）因为直线的倾斜角为30°，经过时间t 后，小虫爬行的距离为2t ，其所在位置为(1)t -+，所以该射线的参数方程为1(0)x t t y t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩为参数，≥，． ………………………………………………………………………………………（5分）文科数学参考答案·第7页（共7页）（2）曲线C 1的直角坐标方程为22100x y x +-=；将射线的参数方程带入曲线C 1的方程，得24110t -+=，设t 1，t 2分别为小虫爬入和爬出的时间，则1212114t t t t =+=，，逗留时间214(min)t t -==，所以小虫在圆内逗留的时间为4min ．…………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）如图5，22x y x y OD OC +-==，，CD =5分） （2）由（1）知，()2a b CD OD a b +=≥，时取等号， 所以2221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22441112482a b a b a b +⎛⎫⇒+== ⎪⎝⎭≥≥≥当时取到等号， 所以44a b +的最小值为18．……………………………………………………………（10分）图5。
2024学年云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．12．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A ．194B ．114C ．32D ．744．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题5．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ===，，，则直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ） A ．32B ．33C ．155D ．1056．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．7．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．528．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，9．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭10．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．311．已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ） A ．9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]4,13C ．[]4,12D ．7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南师范大学附属中学高三上学期适应性月考卷(五)数学答案
数学参考答案·第1页（共10页）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案DCACBDDA【解析】1．复数20232i 2i z =+=-，则z 的共轭复数2i z =+在复平面内对应的点(21)，位于第一象限，故选D ．3．||2a = ∵且向量a 与b 的夹角为π3，∴向量a 在b 上的投影为||cos 1a a b 〈〉=，，又||1b = ∵，∴向量a 在b 上的投影向量为b，故选A ．4的正方体的棱切球，其半径为面对角线的一半，即：1r =，所以该球的表面积24π4πS r ==，故选C ．5．tan 67tan 68tan 67tan 68tan(6768)(1tan 67tan 68)tan 67tan 681︒︒-︒-︒=-︒+︒-︒⨯︒+︒⨯︒=-tan 67tan 68tan 67tan 681︒⨯︒+︒⨯︒=，故选B ．6．记小明步行上班为事件A ，骑共享单车上班为事件B ，乘坐地铁上班为事件C ，小明上班迟到为事件H ．则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.5P C =，(|)1(|)0.09P H A P H A =-=，(|)1(|)0.08P H B P H B =-=，(|)1(|)0.07P H C P H C =-=，所以()()()P H P AH P BH =+()()(|)()(|)(0.20.090.3)(|)0.080.50.07P CH P A P H A P B P H B P C P H C =⨯+⨯+⨯+=++0.077=，所以某天上班他迟到的概率是0.077，故选D ．7．以AB 为直径的圆的方程为224x y +=，若直线上存在一点P ，使得0PA PB <，则点P 是在以AB 为直径的圆的内部．所以直线与圆相交.即圆心(00)，到直线3x my =-的距离2d =，所以2m <或2m >．2m <-或52m >是“22m -<<”成立的既不充分也不必要条件，故选D ．数学参考答案·第2页（共10页）8．对于双曲线，原点到右支的最短距离为a ，所以在函数1()f x x x =-上找一点P 到原点的最小值即为a ．设点0001P x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则d =，所以当2022x =时，min d a ==，所以实轴长为，故选A ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BCDABCACDAD【解析】9．对于不等式a b +≥成立的条件之一是：a b *∈N ，，所以A ：令e (0)x t =∈+∞，，12t t+≥，当1t =，即0x =时取等号，A 正确；B ：令ln (0)(0)t x =∈-∞+∞ ，，，不满足上述基本不等式的条件，B 错误；C ：令cos [10)(01]t x =∈- ，，，不满足上述基本不等式的条件，C 错误；D ：(0)(0)x y ∈-∞+∞ ，，，，不满足上述基本不等式的条件，D 错误，故选BCD ．10．对于随机事件A B C ，，，A ：若B 为事件B 的对立事件，由条件概率的性质可知：在事件A 的条件下，事件B 发生和事件B 发生的概率之和为1，所以(|)1(|))P B A P B A =-，A 正确；B ：若事件B C ，A 的条件下，B C ，发生的概率等于在事件A 的条件下，B 发生的概率与C 发生的概率之和．即(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+ ，B 正确；C ：()()(|)()P AB P A P A B P B ==∵，()()()P AB P A P B =∴，∴事件A B ，独立，C 正确；D ：比如投掷一枚骰子，随机事件A 为：向上的点数为奇数，则1()2P A =，随机事件B 为：向上的点数不小于4，则1()2P B =，虽然()()1P A P B +=，但事件A 与事件B 不是对立事件，D 错误，故选ABC ．11．在正三棱柱111ABC A B C -中，其侧面展开图如图1：当1AE EF FA ++取得最小值时，在侧面展开图中连接1AA ，分别为交11BB CC ，图1数学参考答案·第3页（共10页）于点E F ，，由相似可知，点E F ，分别为11BB CC ，的三等分点，A ：如图2，过点E 作1EH CC ⊥交1CC 于点H ，由勾股定理得：AE =EF =，AB BC =∵EH =，BE HF =，∴AE EF =，A 正确；B ：由A 选项知：EF BH ∥，所以EF 与平面ABC 所成的角即为BH 与平面ABC 所成的角，1CC ABC ⊥平面∵，∴HBC∠为BH 与平面ABC 所成的角．又12AA AB =∵且H 为三等分点，tan HCHBC BC∠=∴1122333CC BCBC BC ===，B 错误；C ：在正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ABC ⊥平面，1CC AD ⊥∴.又∵AB AC BC ==且点D 为中点，∴AD BC ⊥.又∵1BC CC C = ，11AD BCC B ⊥面平∴，∴AD EF ⊥，即直线AD 与EF 所成角为90︒，C 正确；D ：11D AA F F DAA V V --=，11A ADE E DAA V V --=，取11B C 的中点1D ，连接1DD ，则11CC DD ∥，11BB DD ∥，所以点F 到平面1DAA 的距离等于点E 到平面1DAA 的距离，∴11D AA F A ADE V V --=，D 正确，故选ACD ．12．当0x ≥，0y ≥时，221x y -=；当0x ≥，0y ≤时，221x y +=；当0x ≤，0y ≥时，221x y --=（不存在）；当0x ≤，0y ≤时，221y x -=；1)()1)0)x f x x x ⎪=<⎨⎪⎪⎩≥，≤，≤，∴函数()f x 的图象如图3，()0()()0f x x g x f x x -⎧=⎨--<⎩，≥，，，∴即11)()11)x x g x x ⎧-⎪=-<<≤或≥，，函数()g x 的图象如右图4，∴由图可知：()f x 在定义域内单调递增，A 正确；()f x 关于直线y x =-对称，B 错误；()g x 的值域为(1]-∞，，C 错误；()g x 为偶函数，故其导函数为奇函数，D 正确，故选AD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516图2图3图4数学参考答案·第4页（共10页）答案160-π313(44)-，【解析】13．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是：33362C 20(8)160x x -⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．14．假设()f x 的图象如图5所示，∵5EF =，124y y -=，∴32T=，∴2π6||T ω==，π3ω=∴，故答案是π3ω=．15．如图6，设圆柱外切长方体的底边长为x ，则高为1x -，∴圆柱的底面半径为2x ，高为1x -，∴圆柱的体积为232π(1)π244x x x V x ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23π042x V x ⎛⎫'=⨯-+= ⎪⎝⎭，10x =，∴223x =，∴V 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在23⎫⎡+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递减，∴当23x =，即半径为13时，圆柱的体积最大．16．因为()(1)e 1x f x x '=+=，所以00x =，所以点(00)P ，到直线yx a =+的距离为时，d ==，解得4a =或4-．当4a =-时，函数()e x f x x =图象与直线4y x =-不相交（如图7），从而函数()e x f x x =的图象上只有一点到直线4y x =-的距离为4a =时，函数()e x f x x =图象与直线4y x =+相交（如图），从而函数()e x f x x =的图象上有且仅有三个点到直线4y x =+的距离为．综上，要满足点P 到直线y x a =+的距离为(44)a ∈-，．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）在ABC △中，∵πA B C ++=，图5图6图7数学参考答案·第5页（共10页）∴sin()sin A B C +=，sin()sin A C B +=，sin()sin B C A +=，∴sin sin )sin b B a A c C =++，…………………………………………（2分）∴由正弦定理得：222b a c =++，即：222a c b =+-，………………………………………………………………（3分）∴由余弦定理得：2222cos 22a cb B ac +-==-……………………………（4分）∴3π4B =．…………………………………………………………………（5分）（2）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C====得：a A =，c C =，………………………………………（7分）∴2sin sin ac A C ==………………………………………………（9分）∴ABC △的面积为11sin 1222ABC S ac B ==⨯=△．………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：当2AC =时，此三棱锥A BCD -为正四面体，如图8，取AD 的中点F ，连接CF ，BF ．在正四面体A BCD -中，CF AD ⊥，BF AD ⊥且CF BF F = ，……………………………………………………（3分）∴AD CBF ⊥平面，∴.AD BC ⊥………………（5分）（2）解：当ABD ⊥平面BDC 平面时，取BD 的中点H ，建立如图所示的空间直角坐标系，则00)A ，，(010)B ，，，(00C ，，(010)D -，，.……………………（6分）设平面ACD 的法向量111()m x y z = ，，，(0AC =，(01DC =，(01BC =-，，∴11110000m AC m DC y ⎧⎧+==⎪⎪→⎨⎨=+=⎪⎪⎩⎩，，，令1x =得：3m =- ，……………………………………………………………………（9分）∴设直线BC 与平面ACD 所成角为α，则||sin |cos |||||m BC m BC m BC α=〈〉==，155=图8数学参考答案·第6页（共10页）∴cos 5α==∴直线BC 与平面ACD 所成角的余弦值为105．………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）当小灯泡亮的时候，后一个元件A 一定是合格的．在质检员犯错误的情况下，对于前面的元件A ，B 分为两大类：第一类：元件A 合格，元件B 不合格，故1313343416P =⨯⨯=………………（2分）第二类：元件B 合格，元件A 不合格，故221313448P =⨯⨯=，…………………（4分）所以该质检员犯错误的概率为：12315.16816P P +=+=…………………（5分）（2）在图甲中，记小灯泡亮的概率为P ，则5323111643416P =+⨯⨯=…………………………………………………………………（7分）所以X 服从二项分布：11316X N ⎛⎫⎪⎝⎭，，则033115125(0)C 16164096P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1213115825(1)C 16164096P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21231151815(2)C 16164096P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3331151331(3)C 16164096P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭．…………………………………………………………………（11分）∴X 的分布列为：…………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）当1n =时，12a =；…………………………………………………（2分）当2n ≥时，312232222n na a a a n ++++= ①，311223112222n n a a a a n --++++=- ②，……………………………………………（4分）0123125409682540961815409613314096数学参考答案·第7页（共10页）①−②得：12nna =，∴2n n a =，当1n =时，12a =，∴2.n n a =…………………………………………………………………（6分）（2）∵50122n nb =+∴100501005050100501112222222222nn nn n n nb b --+=+=+++++ 505050505050501222122(22)2(22)22n n n n n +=+==+++，………………………（8分）∴123991502509950111222222b b b b ++++=++++++ ①，9998972199509850150111222222b b b b b +++++=++++++ ②，又∵1995012b b +=∴①+②得：1239950992()2b b b b ++++= …………………（10分）∴1299b b b +++ =5199.2…………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：在椭圆C 中，由题意可得：1c =，…………………（2分）又∵2ABF △的周长为，∴由椭圆的定义可知：4a =，即a =∴1b =，∴椭圆C 的标准方程为2212y x +=．………………………（5分）（2）证明：如图9，设：AB l ：1y kx =+，11()A x y ，，22()B x y ，，3(2)H x ，，联立方程：22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得：22(2)210k x kx ++-=，∴12222k x x k +=-+，12212x x k -=+．………………………………………（7分）∵点Q B H ，，三点共线，图9数学参考答案·第8页（共10页）∴223222y x x +=，即3x =∴22321)(22HPy k x x +-==11AP y k x =∴212121)(AP HPy y k k x x -+-=-2122112(2)(21)(2)y x y x x x --+=2122112(12)(21)(12)kx x kx x x x +--++=1212121212(222)(12)()()2)(1kx x x x x x k x x x x -+-++==+-，…………………………………………………………………（10分）把12222k x x k +=-+，12212x x k -=+代入得：2)(10AP HP k k k k -=+-=，∴A P H ，，三点共线.…………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）（1）解：当()()f x g x =时，2(0)x a x x =>，两边同时取对数得：2ln ln x a x =，即ln 2ln x a x =，∴2ln ln xa x=……………………………（2分）令2ln x y x =，则22(1ln )0x y x -'==，得：e x =，所以在(0e)，上函数单调递增，在(e )+∞，上函数单调递减，当e x =时，函数2ln x y x =取得最大值2e，函数图象如图10：……………………（4分）∴当()()f x g x =有两个根时，20ln ea <<，∴2e1e .a <<…………………………………………………………………（6分）图10数学参考答案·第9页（共10页）（2）证明：当2e a =时，22ln 2ln ln ()ln(e )2xx x xh x xx ===，2()ln h n n n n =，由不等式ln 1x x -≤，得：ln 11x x x-≤，令2x n =，得：2222ln 2ln 11n n n n n=-≤，22ln 1112n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤；………………………（8分）当2n ≥时：222(2)(3)()ln 2ln 3ln 2323h h h n nn n+++=+++ ，由22ln 1112n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭累加可得：222222ln 2ln 3ln 111111123223n n n ⎛⎫+++-+-++- ⎝⎭ 2221111(1)223n n ⎡⎤⎛⎫=--+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ .……………………………………………………………………………（10分）又∵211111(1)1n n n n n n n =>=-++ ，∴2221111111111111(1)(1)22322334451n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+++<---+-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即：(2)(3)()23h h h n n +++ 11113(1)2212224n n n n ⎡⎤⎛⎫<---=+- ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦，结论成立．因此，当2n ≥时，(2)(3)()13232224h h h n n n n +++<+-+ 成立．…………………………………………………………………（12分）。
云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合{13},{(2)(4)0}A xx B x x x =≤≤=--<∣∣，则A B =I （ ） A ．(2,3]B ．[1,2)C ．(,4)-∞D ．[1,4)2．已知命题2:,10p z z ∃∈+<C ，则p 的否定是（ ） A ．2,10z z ∀∈+<C B ．2,10z z ∀∈+≥C C ．2,10z z ∃∈+<CD ．2,10z z ∃∈+≥C3．正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，且135,2,a a a -三项成等比数列，则d =（ ） A ．7B ．5C ．3D ．14．若sin160m ︒=，则︒=sin 40（ ）A ．2m -B ．2-C ．2-D ．25．已知向量(1,2),||a a b =+r r r (2)b b a ⊥-r r r ，则cos ,a b 〈〉=rr （ ）A ．B ．C D6．函数)()ln f x kx =是奇函数且在R 上单调递增，则k 的取值集合为（ ）A ．{}1-B ．{0}C ．{1}D ．{1,1}-7．函数π()3sin ,06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()(2π)f x f ≤对x ∈R 恒成立，且()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3条对称轴，则ω=（ ） A ．16B ．76C ．136 D ．16或768．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线与E 交于A ，B 两点，点C 满足23AF FC =u u u r u u u r ，若0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则E 的离心率为（ ）A B C D二、多选题9．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22()n S kn n k =-∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 不可能为常数列C ．若{}n a 为递增数列，则0k >D ．若{}n S 为递增数列，则1k >10．甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以110.820y x =+、220.7525y x =+的方式赋分，其中12,x x 分别表示甲、乙两班原始考分，12,y y 分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（ ）A ．甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高B ．甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高C ．甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D ．若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ，若(1)f x +与()f x '均为偶函数，且(1)(1)2f f -+=，则下列结论正确的是（ ） A ．(1)0f '= B ．4是()f x '的一个周期 C ．(2024)0f =D ．()f x 的图象关于点(2,1)对称三、填空题12．曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为．13．若复数cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为．14．过抛物线2:3C y x =的焦点作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于M ，N 两点，若||12AB =，则||MN =．四、解答题15．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos 0a b c A -+=．(1)求角C ；(2)若AB 边上的高为1，ABC V ABC V 的周长． 16．如图，PC 是圆台12O O 的一条母线，ABC V 是圆2O 的内接三角形，AB 为圆2O 的直径，4,AB AC ==(1)证明：AB PC ⊥；(2)若圆台12O O 的高为3，体积为7π，求直线AB 与平面PBC 夹角的正弦值． 17．已知函数()ln f x x ax =+．(1)若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；(2)若()1,()e ()xa g x f f x ==-，证明：()g x 存在唯一极小值点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()02g x >．18．动点(,)M x y 到直线1:l y 与直线2:l y =的距离之积等于34，且|||y x ．记点M 的轨迹方程为Γ． (1)求Γ的方程；(2)过Γ上的点P 作圆22:(4)1Q x y +-=的切线PT ，T 为切点，求||PT 的最小值； (3)已知点40,3G ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:2(0)l y kx k =+>交Γ于点A ，B ，Γ上是否存在点C 满足0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．19．设n ∈N ，数对(),n n a b 按如下方式生成：()00,(0,0)a b =，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若n n a b >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,1,n n n n a b a b ++=+；当硬币的反面朝上时，若n n b a >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,,1n n n n a b a b ++=+．抛掷n 次硬币后，记n n a b =的概率为n P ． (1)写出()22,a b 的所有可能情况，并求12,P P ；(2)证明：13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n P ；(3)设抛掷n 次硬币后n a 的期望为n E ，求n E ．。
云南师范大学附属中学2020届高三数学(文)适应性月考卷(五)附答案详析
云南师范大学附属中学2020届高三数学（文）适应性月考卷（五）一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =（ ）A ．{1,1}-B ．{1}C ．[1,1]-D ．[1,3]-2sin 75︒︒+=（ ）A ．2B ．1CD ．23．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP ，OQ（O 为原点），则OP OQ ⋅=（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．24．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（ ） A ．125 B ．115 C ．105 D ．955．如图，在圆O 的圆心O 处有一个通信基站，2θ=，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域（该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A ．1sin 2π- B ．2πC ．1sin 22π-D ．2sin 22π-6．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．在四边形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，5CD =，6AD =，60B ︒∠=，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6+B ．9+C ．9D．8．已知直线0Ax By C ++=与圆1C 2240x y x ++=相交于,A B 两点，且三角形1ABC ，为直角三角形，则,A B 中点M 的轨迹方程为（ ） A ．22(2)(1)1x y +++= B ．22(1)(1)2x y +++= C ．22(1)1x y ++=D ．22(2)2x y ++=9．已知函数,1(),1x e x f x x x e-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则(ln 2)(1)f f +=（ ）A ．22e e +B ．12e e + CD ．2e +10．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）AB ．4C ．4πD．11．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC二、填空题12．能说明命题“a ，b ，c ，d 是实数，若a b >，c d >，则ac bd >”是假命题的一组数对（a ，b ，c ，d ）是________.13．抛物线24y x =上的点到其准线的距离的最小值为________.14．若实数,x y 满足约束条件20220x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩，则22x y +的取值范围为________. 15．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n 有下列关系：22log 3wn x≤（注：lg 20.3≈），根据以上信息，一张长为21cm ，厚度为0.05mm 的纸最多能对折___次.三、解答题16．已知F 是双曲线G ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，1l ，2l 是双曲线的两条渐近线，过F 且垂直1l 的直线与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若三角形AOB 的面积2AOB S ab ∆=（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A．3B．2C．2或2D或217．在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 记三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c .（1）根据数列的定义判断数列{}n a ，{}n b ，{}n c 的类型，并据此写出三个数列的通项公式； （2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.18．至2018年底，我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位，下表是我国2012年至2018年发明专利申请量以及相关数据.注：年份代码1～7分别表示2012～2018.（1）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？（2）建立y 关于t 的回归直线方程（精确到0.01），并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份.参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为112211()ˆ()()()n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x x x ====---==--∑∑∑∑，.ˆˆay bx =-19．如图，已知菱形ABCD 和矩形ACFE 所在的平面互相垂直，2AC AE =.（1）若G 为BE 的中点，求证：//AG 平面BDF ；（2，且60ABC ︒∠=，求点B 到平面DEF 的距离.20．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，00(,)P x y 在椭圆C 上.求证：（1）直线l ：00221x x y ya b+=是椭圆在点P 处的切线；（2）从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F .21．设函数()(0,1)x f x a ax x a =->>. （1）证明：若a e =，则()0f x ≥恒成立； （2）讨论()f x 的零点个数.22．在直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为1)(1)y x x =+≥-，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为10cos ρθ=.一只小虫从点(1,0)A -沿射线l 向上以2单位/min的速度爬行（1）以小虫爬行时间t 为参数，写出射线l 的参数方程； （2）求小虫在曲线1C 内部逗留的时间.23．如图，AB 是半圆直径，O 为AB 的中点，⊥DO AB ，C 在AB 上，且AC x =，BC y =.（1）用x ，y 表示线段OD ，CD 的长度；（2）若0a >，0b >，1a b +=，求44a b +的最小值.解析云南师范大学附属中学2020届高三数学（文）适应性月考卷（五）一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =（ ）A ．{1,1}-B ．{1}C ．[1,1]-D ．[1,3]- 【答案】B【解析】先计算得到{}11{|13}A B x x =-=-<<，，，再计算A B ⋂得到答案. 【详解】{}{}11{|13}1A B x x A B =-=-<<⋂=，，，故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题. 2sin 75︒︒+=（ ） A．2 B ．1 CD【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案. 【详解】()sin75cos152sin 1530︒︒+=︒+︒=︒+︒=故选：C 【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力. 3．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP ，OQ（O 为原点），则OP OQ ⋅=（ ） A ．12-B ．0C ．12 D．2【答案】B【解析】化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，再计算OP OQ ⋅得到答案. 【详解】121i 1i 1i 1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，，，，，， 故选：B 【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（ ） A ．125 B ．115 C ．105 D ．95 【答案】D【解析】根据等差数列公式得到方程组2415124448a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，计算得到答案.【详解】()2411105124441091043954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，， 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键.5．如图，在圆O 的圆心O 处有一个通信基站，2θ=，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域（该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A ．1sin 2π- B ．2πC ．1sin 22π-D ．2sin 22π-【答案】D【解析】设该圆的半径为R ，计算圆面积和阴影部分面积，利用几何概型相除得到答案. 【详解】设该圆的半径为R ，则圆的面积是2πR ，2211·2?sin2?22AOBOAB S S SR R =-=-=阴影扇形 211sin22R ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2sin22πP -=故选：D【点睛】本题考查了几何概型计算概率，计算区域面积是解题的关键. 6．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】判断函数为偶函数，取特殊点()00sin21f <=<，判断得到答案. 【详解】()00sin21f <=<，且()()f x f x -=，函数为偶函数故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.7．在四边形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，5CD =，6AD =，60B ︒∠=，则四边形ABCD 的面积为（ ） A．6+ B．9+ C ．9D．【答案】B【解析】由余弦定理可求得AC =43cos sin 55D D ∠=∠=，，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅∠得到AC =ADC ∆中，由余弦定理得到2222cos AC DC DA DC DA D =+-⋅∠得到43cos sin 55D D ∠=∠=，1315634sin609252S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯︒=+故选：B 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.8．已知直线0Ax By C ++=与圆1C 2240x y x ++=相交于,A B 两点，且三角形1ABC ，为直角三角形，则,A B 中点M 的轨迹方程为（ ） A ．22(2)(1)1x y +++= B ．22(1)(1)2x y +++= C ．22(1)1x y ++= D ．22(2)2x y ++=【答案】D【解析】根据题意得到1MC ，M 的轨迹是以C 1. 【详解】因为1ABC 为直角三角形，且11AC BC =，所以1AB MC =所以M 的轨迹是以C 1为圆心，故选：D 【点睛】本题考查了圆的轨迹问题，根据题意得到1MC 是解题的关键.9．已知函数,1(),1x e x f x x x e-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则(ln 2)(1)f f +=（ ）A ．22e e +B ．12e e + CD ．2e +【答案】A【解析】直接代入计算得到答案. 【详解】()()()()1lnln22112ln21ln2ee1?ln21?2e 2e f f f f e-+<∴====+=，，， 故选：A【点睛】本题考查了分段函数的计算，属于简单题.10．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）A B ．4C ．4πD ．【答案】B【解析】先计算得到()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，画出函数图像，计算1PQ =24PQ =得到答案.【详解】根据变换得到：()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，图象如图：由图可知，PQ 取到的最小可能为12PQ PQ ，，因为1PQ =24PQ =，所以最小值为4 故选：B【点睛】本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.11．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC 【答案】D【解析】依次判断每个选项的正误：OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，计算体积得到B 正确；反证法证明AB 与CD 不垂直C 正确；根据C 选项知D 错误，得到答案。
云南师大附中2020届高考数学适应性月考试题(一)文(含解析)新人教A版
云南师大附中2020届高考适应性月考卷（一）文科数学【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、圆锥曲线、立体几何、数列、三角函数的性质、解三角形、命题、程序框图、概率、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)【题文】1、已知全集U 和集合A 如图1所示，则()U C A B ⋂=A.{3}B.{5,6}C.{3,5,6}D.{0,4,5,6,7,8}【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 解析：由图易知()U A B =I ð{5,6}.则选B. 【思路点拨】本题主要考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，理解集合的补集与交集的含义是解题的关键.【题文】2、11ii-+=A. ﹣2iB. ﹣iC.1﹣iD.1+i 【知识点】复数的代数运算L4【答案解析】B 解析：21i (1i)2ii.1i 22---===-+则选B.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点之一，熟记运算法则是解题的关键. 【题文】3、在如下的四个电路图中，记：条件M:“开关1S ”闭合；条件N ：“灯泡L 亮”，则满足M 是N 的必要不充分条件的图为【知识点】充要条件A2【答案解析】C 解析：对于图A ，M 是N 的充分不必要条件．对于图B ，M 是N 的充要条件．对于图C ，M 是N 的必要不充分条件．对于图D ，M 是N 的既不充分也不必要条件．则选C. 【思路点拨】判断充分必要条件一般先明确条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性成立，若由结论能推出条件，则必要性成立. 【题文】4、下列命题为真命题的是 A 、命题“若x ＞y ，则x ＞y”的逆命题B 、命题“若x ＞1，则21x >”的否命题C 、命题“若x=1，则220x x +-=”的否命题D 、命题“若x(x ﹣1) ＞0，则x ＞1”的逆否命题【知识点】命题及其关系A2【答案解析】A 解析：命题“若x y >，则x y>”的逆命题是“若x y>，则x y >”无论y是正数、负数、0都成立．则选A.【思路点拨】可先写出逆命题与否命题，再判断真假，判断逆否命题真假只需判断原命题真假.【题文】5、等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若1361,,a a a +成等比数列，则n S =A 、()1n n + B 、2n C 、()1n n - D 、2n【知识点】等差数列与等比数列D2 D3【答案解析】A 解析：依题意得2316(1)a a a =+，即2111(4)(1)(10)a a a +=++，解得12a =，所以(1)n S n n =+.则选A.【思路点拨】可直接利用等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和公式解答.【题文】6、已知向量,a b r r满足a b -=r r 1a b •=r r，则a b +r r =【知识点】向量的数量积及其应用F3 【答案解析】C 解析：由已知得222222()226-=-=+-⋅=+-=a b a b a b a b a b ，即228+=a b ，所以2+=a b 222()210+=++⋅=a b a b a b，即+=a b 则选C.【思路点拨】遇到求向量的模时，一般利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解.【题文】7、在区间[0,1]内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为 A 、29 B 、79 C 、118 D 、1718【知识点】几何概型K3【答案解析】D 解析：设,[0,1]x y ∈，作出不等式组01,01,13x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+>⎩≤≤≤≤ 所表示的平面区域，由几何概型知，所求概率111117233.1118P -⨯⨯==⨯ 则选D.【思路点拨】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】8、在△ABC 中，若sinC=2sinAcosB,则此三角形一定是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】A 解析：由已知及正、余弦定理得，22222a c b c a ac +-=，所以22a b =，即a b =.则选A.【思路点拨】判断三角形形状，可以用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解. 【题文】9、已知函数f(x)及其导数()'f x ，若存在x ，使得()()00'f x f x =，则称x 是f(x)的一个“和谐点”，下列函数中①()2f x x=；②()1x f x e =；③()ln f x x =；④()1f x x x =+，存在“和谐点”的是A 、①②B 、①④C 、①③④D 、②③④ 【知识点】导数的应用B11【答案解析】C 解析：①显然成立，②显然不成立，对于③④作出()y f x =与()y f x '=的图象可知成立．则选C.【思路点拨】对于新定义问题，关键是理解其含义，本题的本质是方程有无实根问题. 【题文】10、将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为A 、36aB 、312a C、312a D、312a【知识点】棱锥的体积G7【答案解析】D 解析：设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，沿AC 折起后，依题意得：当BD ＝a 时， DE ⊥BE ，又DE ⊥AC ， ∴DE ⊥平面ABC ，∴三棱锥D −ABC 的高为DE＝a ，∴VD−ABC＝13·12a2·22a＝3212a．则选D.【思路点拨】对于翻折问题，应注意结合翻折前后的垂直关系及线段的对应关系进行解答. 【题文】11、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为A.310 B.510 C.710 D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D解析：圆锥毛坯的底面半径为4cmr=，高为3cmh=，则母线长5cml=，所以圆锥毛坯的表面积2ππ36πS rl r=+=原表，切削得的零件表面积2π2140πS S=+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为910．则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特征.【题文】12、若函数()1lnf x a xx=+在区间(1, ＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是A.( ﹣∞, ﹣2]B. ( ﹣∞, ﹣1]C.[1，＋∞)D. [2，＋∞)【知识点】导数的应用B12【答案解析】C解析：因为()f x在区间(1,)+∞上单调递增，所以1x>时，21()0af xx x'=-≥恒成立，即1ax≥在区间(1,)+∞上恒成立，因为1x>，所以101x<<，所以 1.a≥则选C. 【思路点拨】先由函数的单调性转化为导数的符号问题，再由不等式恒成立求参数范围即可.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)【题文】13设A、B分别是椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)的左、右顶点，点P在C上且异于A、B两点，若直线AP与BP的斜率之积为﹣13，则C的离心率为__________.【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】63解析：由题意知(,0),(,0)A aB a-，取(0,)P b，则13AP BPb bk ka a⎛⎫⋅=⨯-=-⎪⎝⎭，故223a b=，所以，222223a bea-==，即6e=．【思路点拨】利用已知条件得到椭圆中的量a,b,c的关系，再求离心率即可.【题文】14、定义一种新运算“⊗”：S a b=⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，则3654⊗-⊗=_______.【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a bSb a a b->⎧=⎨-⎩≤从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答.【题文】15、设奇函数f(x)在(0, ＋∞)上为单调递增函数，且f(2)=0，则不等式()()2f x f xx--≥的解集为__________.【知识点】奇函数函数的单调性B3 B4【答案解析】[﹣2，0) ∪(0，2]解析：原不等式可化为()0x f x⋅≤且0x≠，作出奇函数()f x 的简图，可知其解集为[2,0)(0,2]-U．【思路点拨】先由奇函数的性质对不等式转化，再结合奇函数及函数的单调性解答即可.【题文】16、已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为nS ，且()*121n n S S n N +=+∈，则na =_______.【知识点】等比数列D3 【答案解析】12n -解析：由121n n S S +=+得，当2n ≥时，121n n S S -=+，∴112()n n n n S S S S +--=-，即12n n a a +=，∴12n na a +=，又11a =，得2112213S a a a =+==+，∴22a =，∴212a a =，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n a -=．【思路点拨】一般遇到数列的前n 项和之间的递推公式，经常利用1n n n a S S -=-进行转化求解.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)【题文】17、(12分)已知函数()221cos cos 2sin 2f x x x x x =+-(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f(x)的值域. 【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4 【答案解析】(1) π (2) 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 解析：（1）1cos21cos21()22222x x f x x +-=+⨯-Q11cos222x x=-π1sin 26x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．所以其最小正周期为2ππ2T ==． （2）由（Ⅰ）知π()1sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又Q πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴．所以函数()f x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【思路点拨】一般研究与三角有关的函数的性质通常先化成sin()y A x ωϕ=+形式再进行解答.【题文】18、(12分)某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x 依次为1,2,3,4,5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得频率分布表如下：(1)若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，等级编号为5的恰有2件，求a,b,c 的值；(2)在(1)的条件下，将等级编号为4的3件产品记为123,,x x x ，等级编号为5的2件产品记为12,y y ，现从123,,x x x ,12,y y 这5件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率.【知识点】频率分布表 概率I2 K2【答案解析】(1) 0.1a =，0.15b =，0.1c = (2) 1213{,},{,},x x x x1112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x y x y x x x y x y x y x y y y ()0.4P A =解析：（1）由频率分布表得0.20.451a b c ++++=，即0.35a b c ++=．因为抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，所以30.1520b ==．等级编号为5的恰有2件，所以20.120c ==．从而0.350.1a b c =--=． 所以0.1a =，0.15b =，0.1c =．（2）从12312,,,,x x x y y 这5件产品中任取两件，所有可能的结果为：1213{,},{,},x x x x 1112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x y x y x x x y x y x y x y y y ．设事件A 表示“从12312,,,,x x x y y 这5件产品中任取两件，其等级编号相同”，则A 包含的基本事件为：12132312{,},{,},{,},{,}x x x x x x y y 共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率4()0.410P A ==．【思路点拨】一般求古典概型的概率问题，通常利用列举法计算事件的个数进行解答.【题文】19、(12分)如图4，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，AD=2AB ，点E 、F 分别是线段PD 、PC 的中点.(1)证明：EF ∥平面PAB ；(2)在线段AD 上是否存在一点O ，使得BO ⊥平面PAC ，若存在，请指出点O 的位置，并证明BO ⊥平面PAC ；若不存在，请说明理由.【知识点】直线与平面平行的判定 线面垂直的判定G4 G5【答案解析】(1)略 (2) 在线段AD 上存在一点O 为线段AD 的四等分点 解析：（1）∵EF CD ∥，CD AB ∥，∴EF AB ∥， 又∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB ．（2）在线段AD 上存在一点O ，使得BO ⊥平面PAC ， 此时点O 为线段AD 的四等分点，且14AO AD =.∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BO ⊥，又∵长方形ABCD 中，△ABO ∽△DAC ，∴AC BO ⊥， 又∵PA AC A =I ，∴BO ⊥平面PAC ．【思路点拨】一般遇到判定直线与平面平行或垂直问题，通常利用其判定定理解答. 【题文】20、(12分)如图5，已知抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C 上一点H()00,x y ()00y >作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，分别交抛物线于E 、F 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174.(1)求抛物线C 的方程；(2)当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率..【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1) 2y x = (2)14EF k =- 解析：（1）∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =．（2）方法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点(4,2)H ，∴HE HF k k =-， 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，∴12122244y y x x --=---，即1222122244y y y y --=---， ∴124y y +=-. 212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+．方法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点(4,2)H ，∴60AHB ∠=︒， 可得3HA k =3HB k =-∴直线HA 的方程为3432y x =-，联立方程组23432,,y x y x ⎧-⎪⎨=⎪⎩ 234320y --=，∵32Ey +=，∴E y =，E x ．分）同理可得F y =，F x =，∴14EF k =-． 【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，第二问抓住当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，两切线的斜率互为相反数进行解答. 【题文】21、(12分)已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，且对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，在(0,)+∞上单调递减,；当0a >时在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增；(2) 211e b -≤解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x -'=-=，∴当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． 当0a >时，由()0f x '≤，得10x a <≤；由()0f x '≥，得1x a ≥，∴函数()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增．（2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =，∴1ln ()21xf x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1x g x x x =+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增， ………（10分）∴2min21()(e )1e g x g ==-，即211e b -≤．【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】22、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 经过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D.(1)求证：直线AB 是圆O 的切线；(2)若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长.【知识点】几何证明选讲N1【答案解析】(1)略； (2)5解析：（1）证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB ==∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线.（2）解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒，在Rt△ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =.∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠，又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD∽△BEC,∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =则2BC x =，又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+， 解得：120,2x x ==, ∵0BD x =>, ∴2BD =，∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，若直线与圆有公共点，则公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可.【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为5ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，若点P的坐标为(，求PA PB +.【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】(1)(2)解析：（1）由ρθ=，可得220x y +-=，即圆C的方程为22(5x y +-=．由3,,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）可得直线l的方程为30x y +=． 所以，圆C 的圆心到直线l．（2）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得223522⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ， 故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一般由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答.【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲]已知一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <； (2)若不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围.【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.(2) 15a -≤≤且a ≠0．解析：（1）()4f x <⇔24ax -<⇔424ax -<-<⇔26ax -<<，当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.（2）()3f x ≤⇔23ax -≤⇔323ax --≤≤⇔15ax -≤≤⇔5,1,ax ax ⎧⎨-⎩≤≥∵[0,1]x ∈，∴当x =0时，不等式组恒成立；当x ≠0时，不等式组转化为5,1,a x a x ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥ 又∵515,1x x --≥≤，所以15a -≤≤且a ≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方法，对于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.。