线性方程组的数值解法实验

线性方程组的数值解法

实验

题目

用Gauss消元法和Seidel迭代法求线性方程组的解。

实验目的

通过本次实验了解Gauss消元法和Seidel迭代法的基本原理，掌握其算法,学会用Matlab编程进行计算，并能用这些方法解决实际问题。

Gauss 顺序消元法的基本原理算法：

（1）输入：,.

A b

（2）对1,2,,1

k n

=⋅⋅⋅-做

1）if0

kk

a=then输出算法失败信息，停机；

2）对1,,

i k n

=+⋅⋅⋅做

1/;

ik ik ik kk

a l a a

←=

2;

i i ik k

b b l b

=-

3对1,,

j k n

=+⋅⋅⋅做;

ij ij ik kj

a a l a

=-

（3）if0

nn

a=then输出算法失败信息，并停机else做

1）/;

n n n nn

b x b a

←=

2）对1,,2,1

i n

=-⋅⋅⋅做

1

()/;

n

i i i ij j ii

j i

b x b a x a

=+

←=-∑

（4）输出方程组的解.X

流程图见附页

Seidel 迭代法的基本原理算法：

（1）输入：,;

A b

（2）输入：初始解向量

;x

（3）对1,2,,

i n

=⋅⋅⋅做

1）

1

()/;

n

i i ij j ii

j

j i

y b a x a

=

≠

=-∑

2）;

i i i

e y x

=-

3）;

i i

x y

=

（4）if

1

{||}

max i

i n

eε

≤≤

i

x i n

=⋅⋅⋅停机；else返回第（3）步。

Gauss 顺序消元法的实验步骤步骤：

（1）利用Gauss顺序消元法设计主程序:

①根据RB RA

-的值判断方程组是否有解，当RB RA

>时方程组无解，当RB RA n

==时方程组有唯一解，当RB RA n

=<时，方程组有无穷多解；

②根据公式

(1)()()

(1)()()

(,1,,)

(1,,)

k k k

ij ij ik kj

k k k

i i ik k

a a l a i j k n

b b l b i k n

+

+

=-=+⋅⋅⋅

=-=+⋅⋅⋅

将增广矩阵[,]

B A b

=化为上三角形矩阵；

（2）建立.

backsub m文件；

（3）调用.

backsub m文件，在Matlab命令窗口输入,A b矩阵，再输入[,,,](,)

RA RB n X gaus A b

=，进行Matlab实现得出方程的解。

Seidel 迭代法的实验步骤步骤：

（1）利用Seidel迭代法设计主程序:

①确定精确度;ε

②当<

err relerr

εε

<或时,

（ⅰ）若=1,

j则 X(1)=(b(1)-A(1,2:n)*P(2:n))/A(1,1);

（ⅱ）若=,

j n则 X(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*(X(1:n-1))')/A(n,n);

（ⅲ）对于2,3,,1

j n

=⋅⋅⋅-

X(j)=(b(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1)'-A(j,j+1:n)*P(j+1:n))/A(j,j);

（2）在Matlab命令窗口输入

,,

A b x矩阵，再输入

(,,,0.0005,15)

Seidel A b x，进行Matlab实现得出方程的解，输出X。

Gauss 顺序消元法的Matlab 原代码

Gauss 顺序消元法的实验结果在Matlab命令窗口输入：

A=[-2 1 1;1 -2 1;1 1 -2] ;

[1;2;4];

b=-

[,,,](,)

RA RB n X gaus A b

=

A=[1 1 1;1 1 1;1 1 1] ;

[1;1;1];

b=

[,,,](,)

RA RB n X gaus A b

=

结果显示：

在Matlab命令窗口输入：

A=[2 1 1;1 2 1;1 1 2] ;

b=

[1;2;4];

=

[,,,](,)

RA RB n X gaus A b 结果显示：