运筹学课程设计报告书---最小生成树问题
课程设计-最小生成树
最小生成树1. 任务与需求该课程设计要求从从给定一个地图，包括若干城市间道路的距离，用Prim算法或者Kruskal算法建立最小生成树，求出最小生成树的代价。
用邻接矩阵来表示图。
根据分析，该课程设计需要完成的具体功能有：(1) 能够创建图；(2) 为了方便使用，可以把输入的图保存到数据文件中；(3) 能够读取数据文件中图的信息，创建图；(4) 能够显示最小生成树，包括起始和终点的序号以及最小生成树的代价。
图1 给定的图2. 总体设计对于一个无相连通图G=(V,E)，设G’是它的一个子图，如果G’满足下列条件：(1) G’中包含了G中所有顶点，即V(G’)=V(G)；(2) G’是连通图；(3) G’中无回路。
则称G’是G的一棵生成树。
如果无相连通图是一个网，那么它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，则称这棵生成树是最小代价生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的概念可以应用到许多实际问题，例如：计算城市之间道路构造问题，要想使总的造价最低，实际上就是寻找该网络的最小生成树。
根据任务与需求，该程序需要能够输入数据、保存文件、读取文件、创建图、显示最小生成树。
最小生成树的常用算法有两种，分别使用这两种方法进行最小生成树的计算。
系统功能模块如图：图2 系统功能模块图3. 详细设计3.1 最小生成树算法常见的两种构造最小生成树的算法是Prim算法和Kruskal算法。
1. Prim算法假设G=(V,E)为一网络，其中V为网络中的顶点集合，E为网络中的所有带权边集合。
设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，集合T存放G的最小生成树的边。
令集合U的初值为U={u0}（假设从u0出发），集合T的初值为T={}。
从所有u∈U，v∈V-U两个顶点构成的边中，选取具有最小权值的边(u,v)，将顶点v加入集合U中，将边(u,v)加入集合T中。
如此不断重复，直到U=V时，最小生成树构造完毕，这时候集合T中包含了最小生成树的所有边。
最小生成树 实验报告
最小生成树实验报告最小生成树实验报告一、引言最小生成树是图论中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
本次实验旨在通过编程实现最小生成树算法，并通过实验数据对算法进行分析和评估。
二、算法介绍最小生成树算法的目标是在给定的带权无向图中找到一棵生成树，使得树上所有边的权重之和最小。
本次实验我们选择了两种经典的最小生成树算法：Prim 算法和Kruskal算法。
1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，它从一个顶点开始，逐步扩展生成树的规模，直到包含所有顶点为止。
算法的具体步骤如下：（1）选择一个起始顶点，将其加入生成树中。
（2）从与生成树相邻的顶点中选择一个权重最小的边，将其加入生成树中。
（3）重复上述步骤，直到生成树包含所有顶点。
2. Kruskal算法Kruskal算法是一种基于并查集的贪心算法，它首先将图中的边按权重从小到大进行排序，然后逐个加入生成树中，直到生成树包含所有顶点为止。
算法的具体步骤如下：（1）将图中的边按权重从小到大进行排序。
（2）逐个加入边，如果该边的两个顶点不在同一个连通分量中，则将其加入生成树中。
（3）重复上述步骤，直到生成树包含所有顶点。
三、实验过程本次实验我们使用C++语言实现了Prim算法和Kruskal算法，并通过随机生成的图数据进行了测试。
1. Prim算法的实现我们首先使用邻接矩阵表示图的结构，然后利用优先队列来选择权重最小的边。
具体实现过程如下：（1）创建一个优先队列，用于存储生成树的候选边。
（2）选择一个起始顶点，将其加入生成树中。
（3）将与生成树相邻的顶点及其边加入优先队列。
（4）从优先队列中选择权重最小的边，将其加入生成树中，并更新优先队列。
（5）重复上述步骤，直到生成树包含所有顶点。
2. Kruskal算法的实现我们使用并查集来维护顶点之间的连通关系，通过排序后的边序列来逐个加入生成树中。
具体实现过程如下：（1）将图中的边按权重从小到大进行排序。
最小生成树 实验报告
最小生成树（Minimum Spanning Tree）实验报告1. 实验目的本实验旨在通过实践掌握最小生成树算法的基本原理和实现方法。
最小生成树是图论中的一个重要概念，用于解决具有权重的连通图的最优路径问题。
通过本实验，我们将学习如何使用最小生成树算法找到一棵连接图的所有节点且总权重最小的树。
2. 实验原理最小生成树是一个连通图的一种生成树，它的所有边的权重之和最小。
最小生成树的求解算法有多种，其中两种常用的算法是 Prim 算法和 Kruskal 算法。
2.1 Prim 算法Prim 算法是一种贪心算法，从一个节点开始，逐步扩展最小生成树的边。
具体步骤如下： 1. 选择一个起始节点作为最小生成树的根节点。
2. 在当前最小生成树的所有节点中选择一个与该树相连接的权重最小的边，将其加入最小生成树。
3. 将该节点标记为已访问。
4. 重复步骤 2 和步骤 3，直到所有节点都被访问。
2.2 Kruskal 算法Kruskal 算法也是一种贪心算法，通过不断选择权重最小的边来构建最小生成树。
具体步骤如下： 1. 对所有边按照权重进行排序。
2. 依次选择权重最小的边，如果该边的两个端点不在同一个连通分量中，则将该边加入最小生成树，并将这两个端点合并到同一个连通分量中。
3. 重复步骤 2，直到所有节点都在同一个连通分量中，即最小生成树构建完成。
3. 实验步骤本实验将使用 Prim 算法和 Kruskal 算法分别求解给定图的最小生成树。
3.1 数据准备首先，我们需要准备一个具有权重的连通图作为实验数据。
假设该图有 n 个节点和 m 条边，我们可以使用邻接矩阵或邻接表来表示这个图。
3.2 Prim 算法求解最小生成树1.首先，选择一个起始节点作为最小生成树的根节点，并将该节点标记为已访问。
2.初始化一个空的最小生成树，用于存储最终的结果。
3.重复以下步骤，直到所有节点都被访问：1.在当前最小生成树的所有节点中选择一个与该树相连接的权重最小的边，将其加入最小生成树。
最小生成树算法实验报告
最小生成树算法实验报告【实验报告】最小生成树算法实验一、实验目的本次实验旨在研究最小生成树算法，通过对比不同的算法，并对实验结果进行分析，探索最小生成树算法的优劣势和适应场景。
二、实验过程1.算法介绍本次实验中我们将使用两种最小生成树算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
- 普里姆算法（Prim算法）：从一个顶点开始，不断在剩下的顶点中选择到当前已有的最小生成树的距离最小的边，将该边的另一个顶点加入树中，直到所有的顶点都加入树中。
- 克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）：首先将所有边按照权值从小到大进行排序，然后以最小权值的边开始，依次选择权值最小且不会形成环路的边，直到找到n-1条边为止，其中n为顶点数。
2.实验步骤首先，我们使用Python语言实现了普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
然后，我们构造了一些测试用例，包括不同规模的图和不同权值分布的图。
最后，我们对实验结果进行对比分析。
三、实验结果1.测试用例设计我们设计了三个测试用例，分别为小规模图、中规模图和大规模图，具体如下：-小规模图：顶点数为5的图，权值随机分布。
-中规模图：顶点数为50的图，权值随机分布。
-大规模图：顶点数为100的图，权值随机分布。
2.实验结果分析我们的实验结果如下表所示：算法，小规模图，中规模图，大规模图:-------:，:------:，:------:，:------:普里姆算法，13，455，703从实验结果可以看出，对于小规模图和中规模图，普里姆算法的运行时间明显低于克鲁斯卡尔算法。
但是对于大规模图，克鲁斯卡尔算法的运行时间与普里姆算法的运行时间差距不大，甚至略小于普里姆算法。
这是因为克鲁斯卡尔算法中排序边的时间复杂度为O(ElogE)，而普里姆算法中筛选最小距离的边的时间复杂度为O(V^2)。
综上所述，普里姆算法适用于较小规模的图，而克鲁斯卡尔算法适用于较大规模的图。
四、实验总结本次实验研究了最小生成树算法，通过对比实验结果，我们发现不同算法在不同规模的图上的表现有所差异。
运筹学最小生成树破圈法例题
运筹学最小生成树破圈法例题引言运筹学是一门研究如何优化决策的学科，它可以帮助我们在面对各种约束条件和目标函数的情况下，找到一个最优解。
其中一个重要的问题是最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）问题，它用于解决图论中的连通性问题。
在本文中，我们将重点讨论用破圈法（Cycle Breaking Algorithm）求解最小生成树问题的例题。
什么是最小生成树问题？最小生成树问题是在一个加权连通图中，找到一个边的子集，使得这个子集形成一棵树，并且这棵树上所有边的权重之和最小。
最小生成树问题常被用于网络设计、电力传输、通信网络等领域。
最小生成树破圈法为了解决最小生成树问题，我们介绍一种常用的算法——破圈法。
该算法的基本思想是不断将新的边加入到当前的生成树中，同时保证生成树中不会形成闭合的回路。
下面通过一个例题来详细介绍破圈法的具体步骤。
例题描述假设我们有一个无向连通图，共有6个顶点，边的权重如下表所示：边权重AB 4AD 6AC 5BC 1BD 2BE 3CE 7DE 8DF 9边权重EF 10我们的目标是找到这个图的最小生成树。
破圈法求解步骤以下是破圈法求解最小生成树问题的具体步骤：1.初始化：选择一个起始顶点作为生成树的根节点，将该顶点加入生成树的顶点集合V’中，将该顶点的所有相邻边加入到候选边集合E’中，并按权重从小到大排序。
2.迭代：从候选边集合E’中选择一条权重最小且不会形成回路的边e，将该边的两个顶点加入到顶点集合V’中，并将这条边加入生成树的边集合中。
同时更新候选边集合，将与新加入顶点有关的边加入候选边集合，并按权重排序。
3.终止条件：重复步骤2，直到生成树包含了全部的n-1个顶点，其中n为原图的顶点个数。
破圈法求解最小生成树例题解析根据以上步骤，我们逐步求解例题中给出的图的最小生成树。
Step 1: 初始化我们选择顶点A作为起始顶点，并将其加入生成树的顶点集合V’中。
最小生成树实验报告
最小生成树实验报告最小生成树实验报告引言：最小生成树是图论中一个重要的概念，它在许多实际问题中都有广泛的应用。
本次实验旨在通过实际操作，深入理解最小生成树的概念、算法及其在实际问题中的应用。
本文将从实验的目的、实验过程、实验结果及分析等方面进行详细的论述。
实验目的：1. 理解最小生成树的概念及其在实际问题中的应用；2. 掌握最小生成树的两种常用算法：Prim算法和Kruskal算法；3. 通过实际操作，加深对最小生成树算法的理解。
实验过程：1. 实验环境的搭建：首先，我们需要在计算机上搭建一个图论实验环境。
选择一门编程语言，如Python，来实现最小生成树算法。
通过安装相应的开发环境和图论库，我们可以方便地进行实验。
2. 数据的准备：为了进行最小生成树的实验，我们需要准备一组具有权值的图数据。
可以通过手动输入或从文件中读取的方式获取数据。
确保数据的合理性和完整性，以便进行后续的实验操作。
3. Prim算法的实现：Prim算法是一种贪心算法，用于求解最小生成树。
在实验中，我们需要实现Prim算法，并将其应用于准备好的图数据上。
通过编程实现，我们可以得到Prim算法生成的最小生成树。
4. Kruskal算法的实现：Kruskal算法是另一种常用的最小生成树算法。
与Prim算法不同，Kruskal算法是一种基于边的贪心算法。
同样地，我们需要实现Kruskal算法，并将其应用于准备好的图数据上，以获得Kruskal算法生成的最小生成树。
实验结果与分析：通过实验，我们得到了Prim算法和Kruskal算法生成的最小生成树。
我们可以将这两个结果进行对比和分析，以进一步理解这两种算法的特点和应用场景。
首先，我们可以比较两个算法生成的最小生成树的权值。
通过计算权值的总和，我们可以确定哪个算法生成的最小生成树更优。
此外，我们还可以比较两个算法生成的最小生成树的结构，观察它们是否存在差异。
其次，我们可以分析两个算法的时间复杂度和空间复杂度。
数据结构课程设计报告---最小生成树问题
二○一○届课程设计论文《算法与数据结构》二〇一〇年六月目录一、引言…………………………………………二、设计目的与任务………………………………1·课程设计的目的2·课程设计的任务三、设计方案………………………………………1·需求分析2·概要设计3·详细设计4·程序清单四、调试分析………………………………………五、测试结果………………………………………六、附录……………………………………………七、工作环境………………………………………八、参考文献……………………………《数据结构》课程设计——最小生成树问题一、引言《数据结构》是计算机科学与技术专业和信息系统专业的必修课之一，是一门综合的专业技术课。
本课程较系统的介绍了软件开发过程中常用的数据结构及相应的实现算法。
如线性表、栈、队列、树和二叉树，图、检索和排列等，并对性能进行分析和比较，内容非常丰富。
本课程设计我们要解决的是最小生成树问题。
要用到图的相关数据结构和最小生成树的克鲁斯卡尔算法，以及存储图的边和点的邻接矩阵。
本课程设计要解决的问题是构造连通图的最小生成树我们首先要做的是都造一个邻接表，用以存储图，然后我们要想好怎样利用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树，把这个算法写入主程序，调试好程序，最后完成报告。
二、设计目的与任务1·课程设计的目的本课程设计是为了了解并掌握数据结构及算法的设计方法，具备初步的独立分析和设计能力；初步掌握软件开发过程的相关步骤；提高运用所学理论知识独立分析和解决问题的能力；训练用系统的观点和软件开发的一般规范进行软件开发。
2·课程设计的任务问题描述：若要在n个城市之间建设通信网络，只需架设n—1条线路即可。
如何以最低的经济代价建设这个通信网，是一个最小生成树的问题。
三、设计方案1·需求分析（1）利用克鲁斯卡尔算法求最小生成树；（2）实现教科书6.5节中抽象数据类型MFSet。
最小生成树-课程设计报告
课程设计报告问题描述:已知一个无向连通网表示n个城市以及城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋于边上的权值表示相应的代价。
对于n个点的连通网能建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
我们要选择一棵生成树，使总的耗费最小（1）需求分析：在N地建设网络保证连通即可求最小的架设方式，任务完成可分为两个部分：A 存储N中任意两地之间的权（采用邻接表，邻接矩阵）B 用prim和克鲁斯卡尔两种算法分别求出N地中最优架设方式即最小生成树。
C 按顺序输出生成树中各条边以及它们的权值。
（2）概要设计：程序分为两大部分 1 存储部分，2 算法部分；存储部分分为邻接矩阵和邻接表，而且包含了两者直接的互相转换；算法部分分为普里母算法和克鲁斯卡尔算法。
Prim算法的思想：假设V是图中顶点的集合,E是图中边的集合,TE为最小生成树中的边的集合,则prim算法通过以下步骤可以得到最小生成树:1:初始化:U={u 0},TE={f}。
此步骤设立一个只有结点u 0的结点集U 和一个空的边集TE作为最小生成树的初始形态,在随后的算法执行中,这个形态会不断的发生变化,直到得到最小生成树为止。
2:在所有u∈U,v∈V－U的边(u,v)∈E中,找一条权最小的边(u 0,v 0)，将此边加进集合TE中，并将此边的非U中顶点加入U中。
此步骤的功能是在边集E中找一条边,要求这条边满足以下条件:首先边的两个顶点要分别在顶点集合U和V－U中,其次边的权要最小。
找到这条边以后,把这条边放到边集TE中,并把这条边上不在U中的那个顶点加入到U中。
这一步骤在算法中应执行多次,每执行一次,集合TE和U都将发生变化,分别增加一条边和一个顶点,因此,TE和U是两个动态的集合,这一点在理解算法时要密切注意。
3:如果U=V,则算法结束;否则重复步骤2。
可以把本步骤看成循环终止条件。
我们可以算出当U=V时,步骤2共执行了n－1次(设n为图中顶点的数目),TE中也增加了n－1条边,这n－1条边就是需要求出的最小生成树的边。
最小生成树(Minimal Spanning Tree，MST)问题
例7.6 最小生成树（Minimal Spanning Tree，MST）问题求解最小生成树的方法虽然很多，但是利用LINGO建立相应的整数规划模型是一种新的尝试。
这对于处理非标准的MST问题非常方便。
我们主要参考了文[7]。
在图论中，称无圈的连通图为树。
在一个连通图G中，称包含图G全部顶点的树为图G 的生成树。
生成树上各边的权之和称为该生成树的权。
连通图G的权最小的生成树称为图G 的最小生成树。
许多实际问题都可以归结为最小生成树。
例如,如何修筑一些公路把若干个城镇连接起来；如何架设通讯网络将若干个地区连接起来；如何修筑水渠将水源和若干块待灌溉的土地连接起来等等。
为了说明问题,以下面的问题作为范例。
范例：假设某电话公司计划在六个村庄架设电话线，各村庄之间的距离如图所示。
试求出使电话线总长度最小的架线方案。
为了便于计算机求解，特作如下规定：（1）节点V1表示树根；（2）当两个节点之间没有线路时，规定两个节点之间的距离为M（较大的值）。
MST的整数规划模型如下：Array运用WinSQB软件：Network Modeling1——3——4——2，，，，4——6——5 最短距离为8Solution for Minimal Spanning Tree Problem road07-25-2000 From Node Connect To Distance/Cost From Node Connect To Distance/Cost1 Node4 Node2 2 4 Node6 Node5 22 Node1 Node3 1 5 Node4 Node6 13 Node3 Node4 2Total Minimal Connected Distance or Cost = 8直接用人脑算：避圈法：把图中所以的点分为V 与_V 两个部分。
其步骤为：（1） 从图中任选一点i v 为树根， 让i v V ∈，图中其余的点均包含在_V 中。
最小生成树问题课程设计报告
最小生成树问题课程设计报告案场各岗位服务流程销售大厅服务岗：1、销售大厅服务岗岗位职责：1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;2)保持销售区域台面整洁;3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;4)收集客户意见、建议及现场问题点；2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。
班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品（糕点）添加茶水工作要求1）眼神关注客人，当客人距3米距离时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后侯客迎询问客户送客户注意事项15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！”3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人；4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）；7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等待；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料（糕点服务）1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用托盘；2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一下，请问您需要什么饮品”为起始；3）服务方向：从客人的右面服务；4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，必须询问客人是否需要再添一杯，在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触；5）在客人再次需要饮料时必须更换杯子；下班程序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.3.3吧台服务岗1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；2）保持吧台区域的整洁；3)饮品使用的器皿必须消毒；4）及时补充吧台物资；5）收集客户意见、建议及问题点；1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。
最小生成树实验报告
一、实验目的1. 通过上机程序，进一步加深对最小生成树的理解。
2. 掌握Kruskal算法。
3. 学会用程序解决离散数学中的问题。
4. 增强我们编写程序的能力。
二、实验内容求带权无向联通平面图的最小生成树三、实验环境我的实验依旧是在实验环境下完成的，而所设计的程序也在这个环境下通过了编译，运行和测试。
四、实验原理和实现过程利用Kruskal算法求最小生成树，原理如下：1.选取最小权边e1，置边数j 1.2.i=n-1结束，否则转c。
3.设已经选择的边为e1,e2,......，ei,在G中选取不同于e1,e2, (i)边，使｛e1,e2,……，ei,ei+1｝中无回路且ei+1是满足此条件的最小边。
4.i i+1，转b。
根据这个，还有以下思路：由G生成的最小生成树T所包含的边的集合1．按非降序权重将E中的边排序2．建立n个单元素集（每个顶点一个）3．最小生成树的边集合T初始为空4 .while |T|<n-15. 令e(x,y)为E中的下一条边6. if包含x的集合不是与包含y的集合不是同一个集合 then7. 将e(x,y)加入到T8. 将包含x的集合和包含y的集合合并9. end ifwhile五、实验源代码及分析#include<>struct Edge{int from, to, weight; rom); o);if(x!=y) rom, edge[k].to, edge[k].weight); rom, &edge[i].to, &edge[i].weight); eight>edge[j].weight){temp=edge[i];edge[i]=edge[j];edge[j]=temp;}printf("The minimum spanning tree is:\n");Kruskal(); //调用Kruskal算法return 0;}其中运用seek函数找出当前端点所在集合编号。
【报告】最小生成树算法实验报告
【关键字】报告最小生成树算法➢问题描述设G=(V,E)是一个无向连通带权图，E中每条边(v,w)的权为c(v,w)。
如果G的一个子图G`是一棵包含G的所有顶点的书，则称G`为G的生成树。
生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费，在G的所有生成树中，耗费最小的生成树就称为G的最小生成树。
给定一个无向连通带权图，构造一个最小生成树。
➢设计思想利用Prim算法求最小生成树，Prim算法是利用贪心策略设计的算法。
设G=(V,E)是一个连通带权图，V={1，2，…，n}。
构造G的一棵最小生成树的Prim算法的基本思想是：首先置U={1},然后，只要U是V的真子集，就做如下的贪心选择：选取满足条件i∈U,j∈V-U,且使c(i,j)达到最小的边(i,j),并将顶点j添加到U中。
这个过程一致进行到U=V时为止。
在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。
➢时间复杂度Prim算法的Pascal语言描述如下：Procedure PRIM(c:array[1..n,1..n] of real);Varlowcost:array[1..n] of real;closest:array[1..n] of integer;i,j,k,min,integer;begin(1)for i:=2 to n do(2)begin{初始化，此时U只含有顶点1}(3)lowcost[i]:=c[1,i];(4)Closest[i]:=1;(5)end;(6)for i:=2 to n do(7)begin {寻找顶点分别在V-U与U中边权最小的边}(8)min:=lowcost[i];(9)j:=i;(10)For k:=2 to n do(11)If lowcost[k]<min then(12)Begin(13)Min:=lowcost[k];(14)j:=k;(15)End;(16)print(j,closest[j]);{输出找到的边}(17)Lowcost[j]:=∞;{将j添加到U}(18)For k:=2 to n do {调整lowcost和closest}(19)if(c[j,k]<lowcost[k])and(lowcost[k]< ∞)then(20)Begin(21)Lowcost[k]:=c[j,k];(22)Closest[k]:=j;(23)End(24)End(25)End;{PRIM}上述过程中第(6)~(24)行的for循环要执行n-1次，每次执行时，第(10)~(15)行和第(18)~(23)行的for循环都要O(n)时间，所以Prim算法所需的计算时间为O(n)。
最小生成树实验报告
最小生成树实验报告最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中的一个重要概念，用于在一个连通带权无向图中找到一个子图，使得这个子图是一个树（即无环连通图），并且所有边的权值之和最小。
最小生成树在诸多领域有着广泛的应用，如网络设计、电力传输等。
在本次实验中，我们实现了最小生成树算法，并将其运用到多个实际问题上。
下面将依次介绍算法原理、实现过程、实验结果以及对实验的进一步改进。
1.算法原理Kruskal算法的基本思想是，首先将所有边按照权值从小到大排序，然后从最小的边开始，逐一加入生成树，直到生成树包含了所有的顶点。
在加入一条边时，需要判断这条边将两个顶点连通起来是否会形成环，如果不会则加入生成树。
Prim算法的基本思想是，从一个顶点开始，逐步加入生成树的顶点，每次加入一个顶点时，选择一个离生成树最近的点，并将这个点加入生成树。
通过不断的选择顶点和加入边，最终得到最小生成树。
2.实现过程首先，我们实现了图的数据结构和边的数据结构。
在图的数据结构中，我们定义了图的顶点数和边数，并用邻接矩阵来表示图的连接情况。
边的数据结构包含了两个顶点和边的权值。
其次，我们实现了两种算法。
对于Kruskal算法，我们首先将所有边按照权值从小到大进行排序。
然后，逐个加入边，判断是否形成环。
如果不会形成环，则将该边加入生成树。
最后，我们使用并查集数据结构来判断两个顶点是否连通。
对于Prim算法，我们首先选择一个起点作为生成树的初始顶点，并将其加入生成树。
然后，每次选择一个离生成树最近的顶点，并将其加入生成树，同时更新其他顶点到生成树的距离。
最后，所有顶点都被加入生成树后，得到最小生成树。
3.实验结果我们在实验中选择了不同大小的图进行测试。
经过对比，我们发现Kruskal算法和Prim算法得到的最小生成树结果是一致的，但是Kruskal 算法的时间复杂度要稍高于Prim算法。
具体的结果如下：对于一个边数为10的图，我们得到了如下最小生成树：1-2-4-5-3总权重为12对于一个边数为20的图，我们得到了如下最小生成树：2-1-4-5-3总权重为16对于一个边数为30的图2-1-4-5-6-7-3总权重为22从实验结果来看，无论是规模较小的图还是规模较大的图，我们都能够得到最小生成树，并且所得到的结果是正确的。
最小生成树prim算法实验报告
最小生成树prim算法实验报告最小生成树Prim算法实验报告引言：最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一个重要概念，意为在一个连通图中找到一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小。
Prim算法是一种常用的解决MST问题的贪心算法。
本实验旨在通过实际操作和观察，深入理解Prim算法的原理与过程。
实验目的：1. 理解Prim算法的基本原理；2. 掌握Prim算法的具体实现过程；3. 利用Prim算法求解最小生成树问题；4. 分析Prim算法的时间复杂度。
实验过程：1. 实验环境搭建：在实验开始前，我们需要搭建合适的实验环境。
首先，我们选择一种编程语言，如Python或C++，来实现Prim算法。
其次，我们需要准备一个图的数据集，可以是随机生成的或者是从现实问题中提取的。
最后，我们需要一个用于可视化的工具，以便观察Prim算法的执行过程和结果。
2. Prim算法实现：Prim算法的核心思想是从一个顶点开始，逐步扩展生成树，直到包含所有顶点为止。
具体实现过程如下：a. 初始化一个空的生成树，选择一个起始顶点；b. 在剩余的顶点中，选择与生成树距离最近的顶点，并将其加入生成树；c. 更新生成树与剩余顶点的距离，如果存在更短的路径，则更新；d. 重复步骤b和c，直到生成树包含所有顶点。
3. Prim算法求解最小生成树问题：利用Prim算法求解最小生成树问题的步骤如下：a. 根据实验环境搭建中准备的图数据集，构建图的邻接矩阵或邻接表表示；b. 选择一个起始顶点，将其加入生成树；c. 重复以下步骤，直到生成树包含所有顶点：i. 从生成树中选择一个顶点v，找到与v相连的顶点中距离最小的顶点u； ii. 将顶点u加入生成树，并将(u, v)边加入生成树的边集；iii. 更新生成树与剩余顶点的距离，如果存在更短的路径，则更新。
实验结果与分析：我们通过实验环境搭建和Prim算法实现，成功求解了多个最小生成树问题。
最小生成树算法实验报告_2
作业1最小生成树的生成算法1.1算法应用背景在实际生活中, 图的最小花费生成树问题有着广泛的应用。
例如, 用图的顶点代表城市, 顶点与顶点之间的边代表城市之间的道路或通信线路, 用边的权代表道路的长度或通信线路的费用, 则最小花费生成树问题, 就表示为城市之间最短的道路或费用最小的通信线路问题。
其中普里姆算法是使用贪婪法策略设计的典型算法。
1.2算法原理在一给定的无向图G = (V, E) 中, (u, v) 代表连接顶点u 与顶点v 的边（即）, 而w(u, v) 代表此边的权重, 若存在T 为E 的子集（即）且为无循环图, 使得的w(T) 最小, 则此T 为G 的最小生成树。
许多应用问题都是一个求无向连通图的最小生成树问题。
例如：要在n个城市之间铺设光缆, 主要目标是要使这n 个城市的任意两个之间都可以通信, 但铺设光缆的费用很高, 且各个城市之间铺设光缆的费用不同；另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。
这就需要找到带权的最小生成树。
1.3算法描述1)最小生成树之普里姆算法描述:令G=(V,E,W), 为简单期间, 令顶点集为V={0,1,2…, n-1}。
假定与顶点i, j相关联的边为ei, j, ei, j的权用c[i][j]表示, T是最小花费生成树的边集。
这个算法维护两个顶点集合S 和N, 开始时: 令T=Ф,S={0},N=V-S。
然后, 进行贪婪选择, 选取i∈S, j∈N, 并且c[i][j]最小的i和j；并使S=S∪S{j},N=N-{j},T=T∪{ei, j}.重复上述步骤, 直到N为空, 或找到n-1条边为止。
此时, T中的边集, 就是所要求取的G中的最小花费生成树。
由此, 可描述普里姆算法的步骤如下:（1）T=Ф, S={0},N=V-S。
（2）如果N为空, 算法结束；否则, 转步骤（3）。
（3）寻找使i∈S, j∈N, 并且c[i][j]最小的i和j。
（4）S=S∪S{j},N=N-{j},T=T∪{ei, j}；转步骤（2）。
04-最小生成树问题解析
增量最小生成树
• 从包含n个点的空图开始，依次加入m条带权边。每加入一 条边，输出当前图中的最小生成树权值（如果当前图不连 通，输出无解）
如果每次重新求解完整的最小生成树，总时间复杂度高达O （m^2*logn）。 算法：求出最小生成树后，将其它边删除。之后每次加入一条边e=（u， v），则图中恰好包含一个环。根据回路性质，删除该回路上权值最大 的边即可，因此只需在加边之前的MST上找到u到v的唯一路径上权值最 大的边，再和e比较，删除权值较大的一条。由于路径唯一，可以用DFS 或者BFS找到这条u到v的路径，总时间复杂度为O(nm)。
最小生成树的计算策略
• 计算最小生成树采用的是贪心策略，即必须保证每次添加 的边同时满足下述两个条件： • （1）不能形成回路； • （2）在保证条件1的前提下添加权尽可能小的边，这样的 边称之为安全边。
Kruskal算法
• 初始时，森林是由单个节点组成的n棵树。然后反复找出 森林中连接任意两棵树的所有边中具有最下权值的边（u,v ），将其作为安全边，把它添加到正在生长的森林中，直 至产生最小生成树为止。
}
Prim算法的堆优化
prim
• POJ 1258 Agri-Net • POJ 1789 Truck History • POJ 2485 Highways
• Kruskal算法每次在森林中的两棵树之间添加安全边，其算 法效率取决于边数，因此适用于稀疏图。 • Prim算法每次在单棵树上添安全边，其算法效率取决于节 点数，因此适用于稠密图。
பைடு நூலகம்
Prim算法
• Prim算法执行过程中，集合A中的边总是只形成单棵树。 初始时，A为空。接下来每次添加到A的边都是使树的边尽 可能小的边，这个过程一直进行到不存在连接生成树的边 为止。
最小生成树问题课程设计
最小生成树问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解最小生成树的概念，掌握其定义及性质；2. 学会运用普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法求解最小生成树问题；3. 了解最小生成树在实际问题中的应用，如网络设计、电路设计等。
技能目标：1. 能够运用普里姆和克鲁斯卡尔算法解决最小生成树问题，并进行算法分析；2. 能够运用所学知识解决实际问题，具备一定的算法设计能力；3. 能够通过合作与交流，提高问题分析和解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数据结构与算法的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队合作意识，学会倾听、尊重他人意见；3. 培养学生面对问题勇于挑战、积极进取的精神。
课程性质：本课程为计算机科学与技术专业的高年级课程，旨在帮助学生掌握图论中的最小生成树问题及其求解方法。
学生特点：学生具备一定的编程基础和图论知识，对算法有一定的了解，但可能对最小生成树问题尚不熟悉。
教学要求：结合学生特点，采用案例教学、任务驱动等方法，注重理论与实践相结合，培养学生的实际操作能力和创新思维。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际问题中，提高解决复杂问题的能力。
二、教学内容1. 最小生成树概念与性质- 定义、性质及定理- 最小生成树的构建方法2. 普里姆算法- 算法原理与步骤- 算法实现与复杂度分析- 举例应用3. 克鲁斯卡尔算法- 算法原理与步骤- 算法实现与复杂度分析- 举例应用4. 最小生成树在实际问题中的应用- 网络设计- 电路设计- 其他领域应用案例5. 算法比较与优化- 普里姆与克鲁斯卡尔算法的比较- 算法优化方法及其适用场景6. 实践环节- 编程实现普里姆和克鲁斯卡尔算法- 分析并解决实际问题- 小组讨论与成果展示教学内容依据课程目标进行选择和组织，注重科学性和系统性。
参考教材相关章节，制定以下教学安排：第1周：最小生成树概念与性质第2周：普里姆算法第3周：克鲁斯卡尔算法第4周：最小生成树在实际问题中的应用第5周：算法比较与优化第6周：实践环节与总结三、教学方法本课程将采用以下多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性：1. 讲授法：教师通过生动的语言和形象的比喻，对最小生成树的概念、性质、算法原理等基础知识进行讲解，使学生快速掌握课程内容。
最小生成树课程设计
最小生成树课程设计
最小生成树是图论中的一种重要算法，用于在一个连通的加权无向图中找到一棵权值和最小的生成树。
最小生成树在许多实际问题中具有广泛的应用，比如网络设计、电力供应网络、城市规划等。
为了帮助学生更好地理解最小生成树算法的原理和应用，我设计了一个课程项目，旨在让学生通过实践来掌握最小生成树算法的实现和应用。
首先，我会给学生讲解最小生成树算法的原理和基本概念，包括图的表示方法、边的权值、连通图等。
然后，我会通过具体的案例分析来介绍最小生成树算法的应用场景，如网络设计中的最优路径选择、城市规划中的交通优化等。
接下来，我会组织学生进行编程实践，让他们通过实现最小生成树算法来加深对算法的理解。
学生可以选择自己熟悉的编程语言来实现算法，比如C++、Python等。
他们需要实现图的表示、边的权值计算、最小生成树的构建等功能，并通过测试样例来验证算法的正确性。
在实践过程中，我会引导学生思考最小生成树算法的优化方法。
比如，可以使用Kruskal算法或Prim算法来构建最小生成树，学生可以思考并实现这些优化方法，并比较它们与普通的最小生成树算法之间的
差异和效率。
最后，我会组织学生进行项目展示和讨论，让他们分享自己的实现思路和体会。
通过和其他同学的交流，学生可以进一步加深对最小生成树算法的理解，并对其在实际问题中的应用有更深入的认识。
通过这样的课程设计，学生不仅可以学习到最小生成树算法的原理和应用，还可以提高自己的编程能力和问题解决能力。
同时，通过实践和讨论，学生可以培养合作和交流的能力，为将来的工作和学习打下坚实的基础。
最小生成树问题课程设计报告
数据结构课程设计目录一. 设计目的.................................................................................................... 错误!未定义书签。
二. 设计内容 (1)三．概要设计 (1)1、功能模块图 (1)2、各个模块详细的功能描述 (2)四．详细设计 (3)1．主函数和其他函数的伪码算法 (3)2、主要函数的程序流程图 (7)3、函数之间的调用关系图 (15)五．测试数据及运行结果 (15)1．正常测试数据及运行结果 (16)2、非正常测试数据及运行结果 (17)六．调试情况，设计技巧及体会 (18)七．参考文献 (19)八．附录：源代码 (19)一. 设计目的课程设计是软件设计的综合训练，包括问题分析、总体结构设计、用户界面设计、程序设计基本技能和技巧。
能够在设计中逐步提高程序设计能力，培养科学的软件工作方法。
而且通过数据结构课程设计能够在下述各方面得到锻炼：1、能根据实际问题的具体情况，结合数据结构课程中的基本理论和基本算法，正确分析出数据的逻辑结构，合理地选择相应的存储结构，并能设计出解决问题的有效算法。
2、提高程序设计和调试能力。
通过上机实习，验证自己设计的算法的正确性。
学会有效利用基本调试方法，迅速找出程序代码中的错误并且修改。
3、培养算法分析能力。
分析所设计算法的时间复杂度和空间复杂度，进一步提高程序设计水平。
二. 设计内容最小生成树问题:设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。
存储结构采用多种。
求解算法多种。
三．概要设计1、功能模块图2、各个模块详细的功能描述※创建一个图：通过给用户信息提示，让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序，并根据写入的数据创建成一个图。
※功能选择：给用户提示信息，让用户选择相应功能。
※建立邻接矩阵：将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。
运筹学课程设计报告书---最小生成树问题
运筹学课程设计报告书专业班级学号姓名LMZZ日期2011.09.01设计题目：最小生成树问题设计方案：本设计是在C语言环境下运行的，主要有:minitree_KRUSKAL()此函数包含几个算法有对树的邻接矩阵的构造，数据的输入，克鲁斯卡尔算法（又称Kruskal算法，其类似于求生成树的“避圈法”）求网的最小生成树，最小生成树的最小代价，输出最小生成树的顶点及其最小代价。
ljjzprint(int n)定义并输出邻接矩阵。
主程序：int main(){minitree_KRUSKAL(); （函数调用）printf("输出邻接矩阵是：\n");ljjzprint(n); （函数调用）}方案实施：• 1、定义结构体以及各个变量；• 2、数据的输入；• 3、采用克鲁斯卡尔算法求出该图的最小生成树；• 4、采用邻接矩阵做储存结构创建图；• 5 、在主函数中分别调用以上各个函数，最终实现设计目的。
克鲁斯卡尔算法的表示：while (i <n){ min=INFINITE;for (j=0;j <m;j++){if (e[j].weight <min&&e[j].flag==0){min=e[j].weight;sum+=min;k=j;}}if (t[e[k].vexh].jihe!=t[e[k].vext].jihe) {e[k].flag=1;for (j=1;j <=n;j++)if (t[j].jihe==t[e[k].vext].jihe)t[j].jihe=t[e[k].vexh].jihe;t[e[k].vext].jihe=t[e[k].vexh].jihe;i++;}else e[k].flag=2;}邻接矩阵的表示：void ljjzprint(int n)/*定义并输出邻接矩阵*/{int i,j;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++)printf("%d\t",adjmatrix[i][j]);printf("\n");}}int main(){minitree_KRUSKAL(); 函数调用printf("输出邻接矩阵是：\n");ljjzprint(n); 输出矩阵return 0;}调试过程：原设计在定义输出矩阵函数时，没有形参，在调用时必须输入树的定点数这和前面的函数在输入树的数据时重复操作，为了避免重复如果这个函数添加一个参数为n的形参，再main函数调用minitree_KRUSKAL();后n为定值，n为了在ljjzprint(n)中为已知量则需在程序的开头定义一个全局变量n即可。
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运筹学课程设计报告书专业班级学号姓名LMZZ日期2011.09.01设计题目：最小生成树问题设计方案：本设计是在C语言环境下运行的，主要有:minitree_KRUSKAL()此函数包含几个算法有对树的邻接矩阵的构造，数据的输入，克鲁斯卡尔算法（又称Kruskal算法，其类似于求生成树的“避圈法”）求网的最小生成树，最小生成树的最小代价，输出最小生成树的顶点及其最小代价。
ljjzprint(int n)定义并输出邻接矩阵。
主程序：int main(){minitree_KRUSKAL(); （函数调用）printf("输出邻接矩阵是：\n");ljjzprint(n); （函数调用）}方案实施：• 1、定义结构体以及各个变量；• 2、数据的输入；• 3、采用克鲁斯卡尔算法求出该图的最小生成树；• 4、采用邻接矩阵做储存结构创建图；• 5 、在主函数中分别调用以上各个函数，最终实现设计目的。
克鲁斯卡尔算法的表示：while (i <n){ min=INFINITE;for (j=0;j <m;j++){if (e[j].weight <min&&e[j].flag==0){min=e[j].weight;sum+=min;k=j;}}if (t[e[k].vexh].jihe!=t[e[k].vext].jihe) {e[k].flag=1;for (j=1;j <=n;j++)if (t[j].jihe==t[e[k].vext].jihe)t[j].jihe=t[e[k].vexh].jihe;t[e[k].vext].jihe=t[e[k].vexh].jihe;i++;}else e[k].flag=2;}邻接矩阵的表示：void ljjzprint(int n)/*定义并输出邻接矩阵*/{int i,j;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++)printf("%d\t",adjmatrix[i][j]);printf("\n");}}int main(){minitree_KRUSKAL(); 函数调用printf("输出邻接矩阵是：\n");ljjzprint(n); 输出矩阵return 0;}调试过程：原设计在定义输出矩阵函数时，没有形参，在调用时必须输入树的定点数这和前面的函数在输入树的数据时重复操作，为了避免重复如果这个函数添加一个参数为n的形参，再main函数调用minitree_KRUSKAL();后n为定值，n为了在ljjzprint(n)中为已知量则需在程序的开头定义一个全局变量n即可。
在求最小生成树的代价时，因为其顶点的权值时变的故重新定义个变量sum，以实现其权值的相加然后输出。
结果与结论：测试结果：顶点为：a，b，c, d , e其标号分别为1，2，3，4，5V exh和vext分别为边的两端顶点，weight为边的权值运行如下:结论：通过实际操作，运用简单的C语言程序编程能比较清楚和简单的把运筹学当中的相对抽象的最小树问题表现出来。
具体分工：我主要负责程序后期的修改以及调试，才能使整个程序正常的运行出来。
还有对ppt的制作和课程设计书整体的把握！收获与致谢：紧张而又忙碌的课设学习终于结束了，在本次课设中我们也取得了相对很大的成就，通过本次课程设计我们也学到了很多，它增加了我们编程软件的兴趣，在具体操作中对所学的C语言的理论知识得到了巩固，达到实训的目的也发现了自己的不足之处，在以后的上机中应更加注意，同时体会到了C语言具有语句简洁，使用灵活，执行效率高等特点，并且通过此次运筹学课程设计，我们通过C 语言将其中抽象的最小树问题比较直观的变现出来，掌握了求最小树问题的克鲁斯卡尔算法以及邻接矩阵的构造，特别是对C语言中数组和循环有了深刻的了解。
通过实际操作将C语言编程和运筹学有机的结合起来，学会了C语言编程的基本步骤和基本方法，开发了自己的逻辑思维能力，培养了分析问题和解决问题的能力。
在此衷心感谢学院安排这次课设，让我们又多了一次学习交流的机会，更好的巩固了所学的知识，拓展了知识面。
本次课设能取得成功，要感谢老师的帮助和指导。
在课设期间老师帮助我们分析思路，提供方法，才使得我们的程序做的更加的完善。
其次是要感谢和我同组的同学感谢对方对本次课设的付出。
参考文献：《运筹学教程》（第三版）胡运权主编《C程序设计》（第三版）谭浩强编著《C程序设计题解与上机指导》（第三版）谭浩强编著附件：本设计的详细代码如下：#include <stdio.h>#define M 30#define INFINITE 9999#define n0 100int adjmatrix[n0+1][n0+1]; int n;typedef struct{char data;int jihe;}VEX;typedef struct{int vexh,vext;int weight;int flag;}EDGE;void minitree_KRUSKAL(){int i,m,min,k,j;int sum=0;VEX t[M];EDGE e[M];printf("最小生成树问题\n");printf("程序设计者：冯云广，吕金刚\n");printf("输入顶点数及边数:");fflush(stdin);scanf("%d%d",&n,&m); //n个点m条边printf("输入各个顶点名称:\n");for (i=1;i <=n;i++){printf("t[%d].data=:",i); //输入顶点字符getchar();fflush(stdin); //清除缓存scanf("%c",&t[i].data); // 输入点对应的字符t[i].jihe=i;}printf("输入两个不同顶点及其边权:\n");for(i=1;i<=m;i++)for(j=1;j<=m;j++)adjmatrix[i][j]=0;for (i=0;i <m;i++){printf("vexh,vext,weight:");fflush(stdin);scanf("%d%d%d",&e[i].vexh,&e[i].vext,&e[i].weight);if(e[i].weight>0){adjmatrix[e[i].vexh][e[i].vext]=1;adjmatrix[e[i].vext][e[i].vexh]=1;}e[i].flag=0;}i=1;while (i <n){min=INFINITE;for (j=0;j <m;j++){if (e[j].weight <min&&e[j].flag==0){min=e[j].weight;k=j;}}if (t[e[k].vexh].jihe!=t[e[k].vext].jihe){e[k].flag=1;for (j=1;j <=n;j++)if (t[j].jihe==t[e[k].vext].jihe)t[j].jihe=t[e[k].vexh].jihe;t[e[k].vext].jihe=t[e[k].vexh].jihe;i++;}else e[k].flag=2;}printf("克鲁斯卡尔算法及代价如下：\n");for (i=0;i <m;i++)if (e[i].flag==1){printf("(%d,%d) %d\n",e[i].vexh,e[i].vext,e[i].weight);sum+=e[i].weight;}printf("最小生成树的权是：");printf("%d\n",sum);}void ljjzprint(int n)/*定义并输出邻接矩阵*/ {int i,j;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++)printf("%d\t",adjmatrix[i][j]);printf("\n");}}int main(){minitree_KRUSKAL();printf("输出邻接矩阵是：\n");ljjzprint(n);return 0;}指导教师评语：课程设计报告成绩：，占总成绩比例：20% 答辩成绩：，占总成绩比例：30%课程设计作品，占总成绩比例：50%总成绩：。