2013艺术生高考数学复习学案(二)
2013届高考数学二轮复习精品教学案专题09 圆锥曲线(教师版)
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【2013考纲解读】1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用.2.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.3. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.4.了解圆锥曲线的简单应用,理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系. 【知识络构建】【重点知识整合】2.双曲线(1)双曲线的定义;(2)两种标准方程:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),焦点在x 轴上;y 2a 2-x 2b 21(a >0,b >0),焦点在y 轴上;(3)双曲线方程的一般形式:mx 2+ny 2=1(mn <0),其焦点位置有如下规律:当m >0,n <0时,焦点在x 轴上;当m <0,n >0时,焦点在y 轴上;(4)双曲线的简单几何性质. 3.抛物线 (1)抛物线的定义;(2)抛物线的标准方程;(3)抛物线方程的一般形式:焦点在x 轴上的抛物线方程可以用y 2=λx (λ≠0)表示;焦点在y 轴上的抛物线标准方程可以用x 2=λy (λ≠0)表示;(4)抛物线的简单几何性质. 【高频考点突破】 考点一 椭圆1.定义式:|PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|).2.标准方程:焦点在x 轴上:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0);焦点在y 轴上:y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0);焦点不确定:mx 2+ny 2=1(m >0,n >0). 3.离心率:e =ca=1-b a2<1.4.过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b 2a.例1、过点C (0,1)的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A (a,0)、B (-a,0).过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ,并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆右焦点时,求线段CD 的长; (2)当点P 异于点B 时,求证:O P ·O Q为定值.所以D 点坐标为(837,-17).故|CD |=837-0 2+-17-1 2=167.【变式探究】若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点在x 轴上,过点(1,12)作圆x 2+y 2=1的切线,切点分别为A ,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.【方法技巧】1.涉及椭圆基本量运算时要注意以下几个问题(1)求椭圆标准方程或离心率要注意a 、b 、c 三者之间关系;(2)要善于借助于图形分析问题;(3)对于焦点三角形问题要注意定义与正弦定理余弦定理的综合应用,尤其是配方法的使用.2.直线与椭圆的位置关系问题(1)判断方法:利用Δ>0,Δ=0,Δ<0可解决; (2)弦长问题:|AB |=1+k 2x 1-x 22=1+1k2y 1-y 22; (3)中点弦问题:用点差法较简单. 考点二 双曲线1.定义式:||PF 1|-|PF 2||=2a (2a <|F 1F 2|) 2.标准方程:焦点在x 轴上:x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0),焦点在y 轴上:y 2a 2-x2b 2=1(a >0,b >0),焦点不明确:mx 2+ny 2=1(mn <0). 3.离心率与渐近线问题: (1)焦点到渐近线的距离为b . (2)e =c a=1+b a2>1,注意:若a >b >0,则1<e <2, 若a =b >0,则e =2, 若b >a >0,则e > 2.(3)焦点在x 轴上,渐近线的斜率k =±ba ,焦点在y 轴上,渐近线的斜率k =±ab.(4)与x 2a 2-y 2b 2=1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2-y 2b2=λ(λ≠0).例2、已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( )A.x 236-y 2108=1 B.x 29-y227=1C.x 2108-y 236=1D.x 227-y 29=1【变式探究】设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C .2D .3【方法技巧】1.使用双曲线定义时注意点在双曲线的哪一个分支上.2.对于双曲线的离心率与渐近线的关系.若已知渐近线而不 明确焦点位置,那么离心率一定有两解.3.直线与双曲线的交点比椭圆复杂,要注意结合图形分析.尤其是直线与双曲线有且只有一个交点⇔Δ=0或l 平行于渐近线.考点三 抛物线 1.定义式:|PF |=d .2.根据焦点及开口确定标准方程.注意p >0时才有几何意义,即焦点到准线的距离. 3.直线l 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,交抛物线于A 、B 两点,则有: (1)通径的长为2p .(2)焦点弦公式:|AB |=x 1+x 2+p =2p sin 2θ(3)x 1x 2=p24,y 1y 2=-p 2.(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)1|AF |+1|BF |=2p.例3、如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值;(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【变式探究】已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.74解析:根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到y轴的距离为:1 2(|AF|+|BF|)-14=32-14=54.答案:C【方法技巧】1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法.利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值.注意定义转化.2.直线与抛物线有且只有一个交点时,不一定有Δ=0,还有可能直线平行于抛物线的对称轴.3.研究抛物线的几何性质时要注意结合图形进行分析. 【难点探究】难点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1、已知双曲线x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C :x 2+y 2-6x +5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( )A.x 25-y 24=1B.x 24-y 25 1 C.x 23-y 26=1 D.x 26-y 231 【变式探究】(1)已知点P 为双曲线x 216-y 29=1右支上一点,F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点,I 为△PF 1F 2的内心,若S △IPF 1=S △IPF 2+λS △IF 1F 2成立,则λ的值为( )A.58B.45C.43D.34(2)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为________________.【答案】(1)B (2)x 216+y 28=1【解析】 (1)根据三角形面积公式把S △IPF 1=S △IPF 2+λS △IF 1F 2转化为焦点三角形边之间的关系.根据S △IPF 1=S △IPF 2+λS △IF 1F 2,得|PF 1|=|PF 2|+λ|F 1F 2|,即2a =2λc ,则λ=a c =45.注意内心是三角形内切圆的圆心,到三角形各边的距离相等.(2)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).因为离心率为22,所以22=1-b 2a2,解得b 2a 2=12,即a 2=2b 2.又△ABF 2的周长为||AB +||AF 2+||BF 2=||AF 1+||BF 1+||BF 2+||AF 2=(||AF 1+||AF 2)+(||BF 1+||BF 2)=2a +2a =4a ,所以4a =16,a =4,所以b =22,所以椭圆方程为x 216+y28=1.难点二 圆锥曲线的几何性质例2、已知椭圆C 1:x 2a 2y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2-y 24=1有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分,则( )A .a 2=132B .a 2=13C .b 2=12D .b 2=2【变式探究】已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1左、右焦点分别为F 1、F 2,过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ,且∠PF 1F 2=π6,则双曲线的渐近线方程为________.【答案】y =±2x【解析】 根据已知|PF 1|=2·b 2a 且|PF 2|=b 2a ,故2·b 2a -b 2a =2a ,所以b 2a 2=2,ba = 2.难点三 直线与圆锥曲线的位置关系例3、设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为A (0,2),右焦点F 与点B (2,2)的距离为2.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在经过点(0,-2)的直线l ,使直线l 与椭圆相交于不同的两点M ,N 满足|AM →|=|AN →|?若存在,求直线l 的倾斜角α;若不存在,请说明理由.(2)由题意可设直线l 的方程为y =kx -2(k ≠0),由|AM |=|AN |知点A 在线段MN 的垂直平分线上,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx -2,x 212+y 24=1消去y 得x 2+3(kx -2)2=12,即可得方程(1+3k 2)x 2-12kx =0,()由k ≠0得方程()的Δ=(-12k )2=144k 2>0,即方程()有两个不相等的实数根.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),线段MN 的中点P (x 0,y 0),则x 1,x 2是方程()的两个不等的实根,故有x 1+x 2=12k1+3k 2.从而有x 0=x 1+x 22=6k1+3k 2,y 0=kx 0-2=6k 2-2 1+3k 21+3k 2=-21+3k 2. 于是,可得线段MN 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫6k1+3k 2,-21+3k 2.又由于k ≠0,因此直线AP 的斜率为k 1=-21+3k 2-26k 1+3k2=-2-2 1+3k 26k.由AP ⊥MN ,得-2-2 1+3k 26k ×k =-1,即2+2+6k 2=6,解得k =±33,即tan α=±33.又0≤α<π,故α=π6或α=5π6.综上可知存在直线l 满足题意,其倾斜角为α=π6或α=5π6.【点评】 本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题,首先求出圆锥曲线方程,然后再研究直线与圆锥曲线的位置关系.在直线与圆锥曲线位置关系的问题中,等价转化和设而不求是解决问题的一个重要指导思想,本题解答中使用的是等价转化的方法,实际上也可以根据两点间距离公式得到点M ,N 的坐标满足的关系式,即x 21+(y 1-2)2=x 22+(y 2-2)2,即(x 1+x 2)(x 1-x 2)+(y 1+y 2-4)(y 1-y 2)=0,由于点M ,N 在直线上,y 1=kx 1-2,y 2=kx 2-2,代入(x 1+x 2)(x 1-x 2)+(y 1+y 2-4)(y 1-y 2)=0,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+(kx 1+kx 2-8)(kx 1-kx 2)=0,直线斜率存在,则x 1≠x 2,所以(x 1+x 2)+k [k (x 1+x 2)-8]=0,然后根据韦达定理整体代入即可求出k 值.【变式探究】如图所示,设P 是圆x 2+y 2=25上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影,M 为PD 上一点,且|MD |=45|PD |.(1)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度.【规律技巧】1.离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a ,b ,c 的不等式,再根据a ,b ,c 的关系消掉b 得到关于a ,c 的不等式,由这个不等式确定a ,c 的关系.2.抛物线y 2=2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2,0的弦AB ,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2,弦长|AB |=x 1+x 2+p .同样可得抛物线y 2=-2px ,x 2=2py ,x 2=-2py 类似的性质.3.解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是:设而不求,根据韦达定理,进行整体代入.即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)时,|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+1k2|y 1-y 2|,而|x 1-x 2|=x 1+x 22-4x 1x 2等,根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程,利用韦达定理进行整体代入. 【历届高考真题】 【2012年高考试题】1.【2012高考真题浙江理8】如图,F 1,F 2分别是双曲线C :22221x y ab-=(a,b >0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ,若|MF 2|=|F 1F 2|,则C的离心率是A.3B 。
2013高考数学第二轮复习学案_第1--8讲答案
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1第1讲 二次函数一、课前热身1、D 2 110 3、D 4、(-∞,-1) 二、例题探究例1. 解:令sin t x =,[1,1]t ∈-,∴221()(2)24a y t a a =--+-+,对称轴为2at =,(1)当112a -≤≤,即22a -≤≤时,2max 1(2)24y a a =-+=,得2a =-或3a =(舍去).(2)当12a>,即2a >时,函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增,由max 111242y a a =-+-+=,得103a =.(3)当12a <-,即2a <-时,函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减,由max 111242y a a =---+=,得2a =-(舍去).综上可得:a 的值为2a =-或103a =.例2. 解法一:由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根,设根为12,x x则120x x ≤或121200x x x x ∆≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩,得94a ≤≤.解法二:由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020f a >⎧⎪--⎪->⎨⎪∆≥⎪⎩,得94a ≤. 例3. 解:(1)2()3f x x x =--,0x 是()f x 的不动点,则2000()3f x x x x =--=,得01x =-或03x =,函数()f x 的不动点为1-和3.(2)∵函数()f x 恒有两个相异的不动点,∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根,224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立, ∴2(4)160a a -<,得a 的取值范围为(0,1). (3)由2(1)0ax bx b ++-=得1222x x b a +=-,由题知1k =-,2121y x a =-++,2设,A B 中点为E ,则E 的横坐标为21(,)2221b b a a a -++,∴212221b b a a a -=++,∴2112142a b a a a=-=-≥-++,当且仅当12(01)a a a =<<,即2a =时等号成立,∴b的最小值为4-.冲刺强化训练(1)1、A2、A3、C4、,或它们的某个子集。
2013艺术生高考数学复习学案(三)
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数系的扩张与复数的四则运算⑴【考点及要求】了解数系的扩充过程;理解复数的基本概念、代数表示法及复数相等的充要条件。
理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形式的四则运算。
【基础知识】1。
数的扩展:数系扩展的脉络是: → → ,用集合符号表示为 ⊆⊆ ,实际上前者是后者的真子集.2.复数的概念及分类:⑴概念:形如(,)a bi a b R +∈的数叫做 ,其中a b 与分别为它的 和 .⑵分类:①若(,)a bi a b R +∈为实数,则 ,②若(,)a bi a b R +∈为虚数,则 ,③若(,)a bi a b R +∈为纯虚数,则 ;⑶复数相等:若复数(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈⇔ ; ⑷共轭复数:(,,,)a bi c di a b c d R ++∈⇔与共轭 ; 3。
复数的加、减、乘、除去处法则:设12|||2(z z z a a ---=12|z ||为正常数,2a<|z -z|) 则 ⑴加法: 12()()z z a bi c di +=+++= ; ⑵减法: 12()()z z a bi c di -=+-+= ;⑶乘法: 12()()z z a bi c di •=+•+= ;⑷乘方: m n z z •= ;()m n z = ;12()n z z •= ;⑸除法:12z a bi z c di +==+12z a bi z c di+==+ = ;4。
复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 , 叫做实轴, 叫做虚轴;实轴上的点表示 ,除原点外,虚轴上的点都表示 。
5.复数的模:向量OZ 的模叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 (或 ),记作 (或 ),即||||z a bi =+= ;复数模的性质:⑴121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+;⑵2222||||||||z z z z z z ====•;6. 常见的结论:⑴4411n n i +=4n+24n+34n+4n n+1n+2n+3的运算律:i ,i =i,i =-1,i =-i,i =1,i +i +i +i =0; ⑵2(1)i ±= ;11i i +=- ;11ii-=+ ;⑶1,22ωω-±3设=则= ;2ω= ;21ωω++= ;【基本训练】1.若i b i i a -=⋅-)2(,其中,,a b R i ∈是虚数单位,则22a b +等于 .2.设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈,若12z z 为实数,则x 等于 .3.若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位),则使21z =-的θ值可能是 . 4.22)1(1)1(1i ii i -+++-等于______________。
2013高考数学教案和学案(有答案)---第2章--学案11
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2013高考数学教案和学案(有答案)---第2章--学案11D变式迁移2用二分法求函数f(x)=3x-x-4f(1.600 0)=0.200f(1.587 5)=0.133f(1.575 0)=0.067f(1.562 5)=0.003f(1.556 2)=-0.029f(1.550 0)=-0.060 据此数据,可得f(x)=3-x-4的一个零点的近似值(精确到0.01)为________.探究点三利用函数的零点确定参数例3已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x -3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.变式迁移3若函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,求实数a的取值范围.1.全面认识深刻理解函数零点:(1)从“数”的角度看:即是使f(x)=0的实数x;(2)从“形”的角度看:即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标;(3)若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相切,则零点x0通常称为不变号零点;(4)若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相交,则零点x0通常称为变号零点.2.求函数y=f(x)的零点的方法:(1)(代数法)求方程f(x)=0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等);(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点;(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值,二分法的条件f(a)·f(b)<0表明:用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.3.有关函数零点的重要结论:(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数,则f(x)至多有一个零点;(2)连续不间断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号;(3)连续不间断的函数图象通过零点时,函数值符号可能不变.(满分:90分)一、填空题(每小题6分,共48分)1.(2010·天津改编)函数f (x )=2x +3x 的零点个数为________.2.若f (x )=⎩⎨⎧ x 2-x -1 (x ≥2或x ≤-1)1 (-1<x <2),则函数g (x )=f (x )-x 的零点为______________.3.(2010·苏北四市模拟)若方程ln x -6+2x =0的解为x 0,则不等式x ≤x 0的最大整数解为________.4.若函数f (x )=2ax 2-x -1在(0,1)内恰有一个零点,则a 的取值范围是____________.5.(2010·南通二模)已知函数f (x )=⎩⎨⎧ 2x -1, (x >0)-x 2-2x , (x ≤0),若函数g (x )=f (x )-m 有3个零点,则实数m 的取值范围为________.6.(2010·泰州期末)已知函数f (x )=log a (2+ax )的图象和函数g (x )=1log (2)aa x +(a >0,且a ≠1)的图象关于直线y =b 对称(b 为常数),则a +b =________.7.(2010·深圳一模)已知函数f (x )=x +2x ,g (x )=x +ln x ,h (x )=x -x -1的零点分别为x 1,x 2,x 3,则x 1,x 2,x 3的大小关系是______________.8.若函数f (x )的零点与g (x )=4x +2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f (x )可以是下列四个函数中的________.(填上正确的序号)①f (x )=4x -1;②f (x )=(x -1)2;③f (x )=e x -1;④f (x )=ln(x -0.5).二、解答题(共42分)9.(12分)已知函数f (x )=x 3-x 2+x 2+14. 证明:存在x 0∈(0,12),使f (x 0)=x 0.10.(14分)是否存在这样的实数a ,使函数f (x )=x 2+(3a -2)x +a -1在区间[-1,3]上与x 轴有且只有一个交点.若存在,求出a 的范围;若不存在,说明理由.11.(16分)设函数f (x )=ax 2+bx +c ,且f (1)=-a 2,3a >2c >2b ,求证: (1)a >0且-3<b a <-34; (2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点;(3)设x 1,x 2是函数f (x )的两个零点,则2≤|x 1-x 2|<574.答案 自主梳理1.(1)0 (2)x 轴 零点 2.f (a )·f (b )<0 (a ,b )3.(x 1,0),(x 2,0) 两个 一个 无自我检测1.-3和e 2 2.a >15或a <-1 3.①③ 4.3 5.a >1课堂活动区例1 解题导引 判断函数零点个数最常用的方法是令f (x )=0,转化为方程根的个数,解出方程有几个根,函数y =f (x )就有几个零点,如果方程的根解不出,还有两种方法判断:方法一是基本方法,是利用零点的存在性原理,要注意参考单调性可判定零点的唯一性;方法二是数形结合法,要注意作图技巧.解 方法一 设f (x )=ln x +2x -6,∵y =ln x 和y =2x -6均为增函数,∴f (x )也是增函数.又∵f (1)=0+2-6=-4<0,f (3)=ln 3>0, ∴f (x )在(1,3)上存在零点.又f (x )为增函数, ∴函数在(1,3)上存在唯一零点.故函数y =ln x +2x -6的零点个数为1.方法二在同一坐标系画出y=ln x与y=6-2x的图象,由图可知两图象只有一个交点,故函数y=ln x+2x-6只有一个零点.变式迁移1(1)1(2)4解析(1)∵f′(x)=3x2+b>0,∴f(x)在[-1,1]上为增函数,又f(-12)·f(12)<0,∴f(x)在[-1,1]内存在唯一零点,方程f(x)=0有唯一根.(2)由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)-log3|x|=0,得f(x)=log3|x|,令y=f(x),y=log3|x|,这两个函数都是偶函数,画两函数y轴下边的图象如图,两函数有两个交点,因此零点个数在x≠0,x∈R的范围内共4个.例2解题导引用二分法求函数的零点时,最好是利用表格,将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中,可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程,有时也可利用数轴来表示这一过程.解∵f(1)=1-1-1=-1<0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0,∴f(x)在区间[1,1.5]存在零点.取区间[1,1.5]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算列表如下:端(中)点坐标中点函数值符号零点所在区间[1,1.5]1.25f(1.25)<0[1.25,1.5]1.375f(1.375)>[1.25,1.375]1.312 5f(1.3125)<0[1.3125,1.375]1.343 75f(1.34375)>0[1.3125,1.343 75]由上表可知,区间[1.312 5,1.343 75]的左右端点精确到0.1所取近似值都是1.3,因此1.3就是所求函数的一个零点近似值.变式迁移2 1.56解析∵f(1.562 5)·f(1.556 2)<0,且区间[1.556 2,1.562 5]左右端点精确到0.01所取近似值都是1.56,因此1.56即为符合要求的零点.例3解题导引函数与方程虽然是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,然后通过方程进行研究.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点.解 若a =0,f (x )=2x -3,显然在[-1,1]上没有零点,所以a ≠0.令Δ=4+8a (3+a )=8a 2+24a +4=0,解得a =-3±72. ①当a =-3-72时,f (x )=0的重根x =3-72∈[-1,1], 当a =-3+72时,f (x )=0的重根x =3+72∉[-1,1],∴y =f (x )恰有一个零点在[-1,1]上; ②当f (-1)·f (1)=(a -1)(a -5)<0,即1<a <5时,y =f (x )在[-1,1]上也恰有一个零点.③当y =f (x )在[-1,1]上有两个零点时,则 ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a >0Δ=8a 2+24a +4>0-1<-12a <1f (1)≥0f (-1)≥0,或⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a <0Δ=8a 2+24a +4>0-1<-12a <1f (1)≤0f (-1)≤0,解得a ≥5或a <-3-72. 综上所述实数a 的取值范围是a >1或a ≤-3-72. 变式迁移3 解 方法一 (换元)设2x =t ,则函数f (x )=4x +a ·2x +a +1化为g (t )=t 2+at +a +1 (t ∈(0,+∞)).函数f (x )=4x +a ·2x +a +1在(-∞,+∞)上存在零点,等价于方程t 2+at +a +1=0,①有正实数根.(1)当方程①有两个正实根时,a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=a 2-4(a +1)≥0t 1+t 2=-a >0t 1·t 2=a +1>0,解得:-1<a ≤2-22;(2)当方程①有一正根一负根时,只需t 1·t 2=a +1<0,即a <-1;(3)当方程①有一根为0时,a =-1,此时方程①的另一根为1.综上可知a ≤2-2 2.方法二 令g (t )=t 2+at +a +1 (t ∈(0,+∞)).(1)当函数g (t )在(0,+∞)上存在两个零点时,实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=a 2-4(a +1)≥0-a 2>0g (0)=a +1>0,解得-1<a ≤2-22;(2)当函数g (t )在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数a 应满足g (0)=a +1<0,解得a <-1;(3)当函数g (t )的一个零点是0时,g (0)=a +1=0,a =-1,此时可以求得函数g (t )的另一个零点是1.综上(1)(2)(3)知a ≤2-2 2.方法三 f (x )存在零点⇔方程a =-4x +12x +1有实根.因为-4x +12x +1=-(2x +1)2-2(2x +1)+22x +1=-[(2x +1)+22x +1-2]≤2-2 2. 当且仅当2x +1=2,即x =log 2(2-1)时,上式取“=”.所以a ≤2-2 2.课后练习区1.1解析 因为f (-1)=12-3<0,f (0)=1>0, 所以f (x )在区间(-1,0)上存在零点.又f (x )在R 上单调递增.所以f (x )只有1个零点.2.1+2或1解析 求g (x )=f (x )-x 的零点,即求f (x )=x 的根,∴⎩⎨⎧ x ≥2或x ≤-1x 2-x -1=x 或⎩⎨⎧-1<x <2x =1. 解得x =1+2或x =1.3.2解析 令f (x )=ln x -6+2x ,则f (1)=ln 1-6+2=-4<0,f (2)=ln 2-6+4=ln 2-2<0,f (3)=ln 3>0,∴2<x 0<3.∴不等式x ≤x 0的最大整数解为2.4.(1,+∞)解析 当a =0时,函数的零点是x =-1,不合题意;当a ≠0时,若Δ>0,f (0)·f (1)<0,则a >1;若Δ=0,即a=-18,函数的零点是x =-2,不合题意,所以a ∈(1,+∞).5.(0,1)解析 在坐标系内作出函数f (x )=⎩⎨⎧2x -1, (x >0)-x 2-2x , (x ≤0)的图象(如图),发现0<m <1时,函数f (x )的图象与直线y =m 有3个交点,即g (x )=f (x )-m 有3个零点. 6.2 解析 依题意有f (x )+g (x )=log a (2+ax )+1log a (a +2x )=2b ,所以有⎩⎨⎧ f (0)+g (0)=2b ,f (1)+g (1)=2b , 即有11log 2log 2log (2)log (2)2a a a a a b a a b+=⎧⎪⎨+++=⎪⎩⇒⎩⎨⎧a =2,b =0, 所以a +b =2.7.x 1<x 2<x 3解析 令x +2x =0,即2x =-x ,设y =2x ,y =-x ;令x +ln x =0,即ln x =-x ,设y =ln x ,y =-x .在同一坐标系内画出y=2x,y=ln x,y=-x,如图:x1<0<x2<1,令x-x-1=0,则(x)2-x-1=0,∴x=1+52,即x3=3+52>1,所以x1<x2<x3.8.①解析f(x)=4x-1的零点为x=0.25,f(x)=(x-1)2的零点为x=1,f(x)=e x-1的零点为x =0,f(x)=ln(x-0.5)的零点为x=1.5,现在我们来估算g(x)=4x+2x-2的零点,因为g(0)=-1,g(0.25)≈-0.086,(g(0.5)=1,所以g(x)的零点x∈(0,0.5),又函数f(x)的零点与g(x)=4x +2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f(x)=4x-1的零点适合.9.证明令g(x)=f(x)-x.………………………………………………………………(2分)∵g(0)=14,g(12)=f(12)-12=-18,∴g(0)·g(12)<0.……………………………………………………………………………(8分)又函数g(x)在(0,12)上连续,……………………………………………………………(10分)所以存在x0∈(0,12),使g(x0)=0.即f(x0)=x0.………………………………………………………………………………(12分)10.解∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)>0,∴若存在实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.………………………………………………………………(3分)f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0.所以a≤-15或a≥1.………………………………………………(5分)检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0.得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.…………………………………………(8分)②当f (3)=0时,a =-15, 此时f (x )=x 2-135x -65, 令f (x )=0,即x 2-135x -65=0, 解之得x =-25或x =3. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a ≠-15.………………………………………(12分) 综上所述,a <-15或a >1.………………………………………………………………(14分)11.证明 (1)∵f (1)=a +b +c =-a 2, ∴3a +2b +2c =0.又3a >2c >2b ,∴3a >0,2b <0,∴a >0,b <0. 又2c =-3a -2b ,由3a >2c >2b ,∴3a >-3a -2b >2b .∵a >0,∴-3<b a <-34.……………………………………………………………………(4分)(2)∵f (0)=c ,f (2)=4a +2b +c =a -c . ①当c >0时,∵a >0,∴f (0)=c >0且f (1)=-a 2<0, ∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点.……………………………………………(8分)②当c ≤0时,∵a >0,∴f (1)=-a 2<0且f (2)=a -c >0, ∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点. 综合①②得f (x )在(0,2)内至少有一个零点.……………………………………………(12分)(3)∵x 1,x 2是函数f (x )的两个零点,则x 1,x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根.∴x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a =-32-b a . ∴|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =(-b a )2-4(-32-b a )=(b a +2)2+2.……………………………………………(15分)∵-3<b a <-34,∴2≤|x 1-x 2|<574.……………………………………………………(16分)。
2013高考数学教案和学案有答案
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2013高考数学教案和学案(有答案)--第1章学案1第1章集合与常用逻辑用语学案1 集合的概念与运算导学目标: 1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算.自主梳理12?表示. 3.集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法. 4.集合间的基本关系对任意的x∈A,都有x∈B,则A?B(或B?A).若A?B,且在B中至少有一个元素x∈B,但x?A,则 A B(或B A).若A?B且B?A,则A=B. 5.集合的运算及性质设集合A,B,则A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A 或x∈B}.设全集为S,则?SAA∩?=?,A∩B?AA∩B=A?A?B.A∪?=A,A∪B?A,A∪B?B, A∪B=B.A∩?UA=?;A∪?UA=U. 自我检测 1.(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号).①M={(3,2)},N={(2,3)};②M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1};③M={4,5},N={5,4};④M={1,2},N={(1,2)}.答案③ 2.(2009·辽宁改编)已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|-5<x<5},则M∩N=________. 答案{x|-3<x<5}解析画数轴,找出两个区间的公共部分即得M∩N={x|-3<x<5}. 3.(2010·湖南)已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m=________. 答案 3解析∵A∩B={2,3},∴3∈B,∴m=3.224.(2010·常州五校联考)集合M={y|y=x-1,x∈R},集合N={x|y=-x,x∈R},则M∩N=________. 答案 [-1,3]解析∵y=x2-1≥-1,∴M=[-1,+∞).又∵y=9-x2,∴9-x2≥0.∴N=[-3,3].∴M∩N=[-1,3].5.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B?A,则a=________. 答案-1或2解析由a2-a+1=3,∴a=-1或a=2,经检验符合.由a2-a+1=a,得a=1,但集合中有相同元素,舍去,故a=-1或2.探究点一集合的基本概念b例1 若a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,b},求b-a的值.a解题导引解决该类问题的基本方法为:利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但解出后应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性.b解由{1,a+b,a}={0,b}可知a≠0,则只能a+b=0,则有以下对应法则:aa+b=0,a+b=0,??b?a=a,??b=1由①得???b=a,①或?b??a1.②??a=-1,?b=1,? 符合题意;②无解.∴b-a=2.变式迁移1 设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A =B,求实数a,b. 解由元素的互异性知,a≠1,b≠1,a≠0,又由A=B,22???a=1,?a=b,得?或?解得a=-1,b=0. ?ab=b,?ab =1,??探究点二集合间的关系例2 设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则M与N之间有什么关系?解题导引一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之间的关系,应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后将所给集合化简整理,弄清每个集合中的元素个数或范围,再判断它们之间的关系.解集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R}={x|x=(a-2)2+1,a∈R}={x|x≥1}, N={y|y=4b2+4b+2,b∈R}={y|y=(2b+1)2+1,b∈R}={y|y≥1}.∴M=N.2变式迁移2 设集合P={m|-1<m<0},Q={m|mx+4mx -4<0对任意实数x恒成立,且m∈R},则集合P与Q之间的关系为________.答案 P Q解析 P={m|-1<m<0},??m<0,Q:?或m=0.∴-1<m≤0. 2?Δ=16m+16m<0,?∴Q={m|-1<m≤0}.∴P Q.探究点三集合的运算例3 设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}.(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;(2)若(?RA)∩B=B,求实数a的取值范围.解题导引解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性.1解 (1)A={x≤x≤3}.2当a=-4时,B={x|-2<x<2},1∴A∩B={x≤x<2},2A∪B={x|-2<x≤3}.1(2)?RA={x|x<或x>3}.2当(?RA)∩B=B时,B??RA,即A∩B=?.①当B=?,即a≥0时,满足B??RA;②当B≠?,即a<0时,B={x|-a<x<a},11要使B??RA-a≤a<0.241综上可得,a的取值范围为a≥.4变式迁移 3 已知A={x||x-a|<4},B={x||x-2|>3}. (1)若a=1,求A∩B;(2)若A∪B=R,求实数a的取值范围.解 (1)当a=1时,A={x|-3<x<5}, B={x|x<-1或x>5}.∴A∩B={x|-3<x<-1}.(2)∵A={x|a-4<x<a+4},B={x|x<-1或x>5},且A∪B=R, ??a-4<-1∴??1<a<3. ?a+4>5?∴实数a的取值范围是(1,3).分类讨论思想在集合中的应用2例 (14分)(1)若集合P={x|x+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S?P,求由a的可取值组成的集合;(2)若集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B?A,求由m的可取值组成的集合.【答题模板】解 (1)P={-3,2}.当a=0时,S=?,满足S?P;[2分]1当a≠0时,方程ax+1=0的解为x,[4分]a11为满足S?P3=2,aa11即a=a.[6分]3211故所求集合为{0,}.[7分]32(2)当m+1>2m-1,即m<2时,B=?,满足B?A;[9分] 若B≠?,且满足B?A,如图所示,∴2≤m≤3.[13分]?m+1≤2m-1,?则?m+1≥-2,??2m-1≤5,?m≥2,?即?m≥-3,??m≤3,故m<2或2≤m≤3,即所求集合为{m|m≤3}.[14分]【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论,分类时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答.【易错点剖析】(1)容易忽略a=0时,S=?这种情况.(2)想当然认为m+1<2m-1忽略“>”或“=”两种情况.解答集合问题时应注意五点:1.注意集合中元素的性质——互异性的应用,解答时注意检验.2.注意描述法给出的集合的元素.如{y|y=2x},{x|y=2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的集合.3.注意?的特殊性.在利用A?B解题时,应对A是否为?进行讨论. 4.注意数形结合思想的应用.在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化,一般地,集合元素离散时用Venn图表示,元素连续时用数轴表示,同时注意端点的取舍.5.注意补集思想的应用.在解决A∩B≠?时,可以利用补集思想,先研究A∩B=?.的情况,然后取补集.(满分:90分)一、填空题(每小题6分,共48分) 1.(2010·北京改编)集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2≤9},则P∩M=________. 答案 {0,1,2}解析由题意知:P={0,1,2},M={-3,-2,-1,0,1,2,3},∴P∩M={0,1,2}. 2.(2011·南京模拟)设P、Q为两个非空集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}.若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q=________________. 答案{1,2,3,4,6,7,8,11}解析 P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}.3.满足{1}A?{1,2,3}的集合A的个数是________.答案 3解析 A={1}∪B,其中B为{2,3}的子集,且B非空,显然这样的集合A有3个,即A={1,2}或{1,3}或{1,2,3}. 4.(2010·天津改编)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若A∩B=?,则实数a 的取值范围是______________.答案 a≤0或a≥6解析由|x-a|<1得-1<x-a<1,即a-1<x<a+1.由图可知a+1≤1或a-1≥5,所以a≤0或a≥6. 5.设全集U是实数集R,2M={x|x2>4},N={x|≥1},则如图中阴影部分所表示的集合是________.x-1答案 {x|1<x≤2}解析题图中阴影部分可表示为(?UM)∩N,集合M为{x|x>2或x<-2},集合N为 {x|1<x≤3},由集合的运算,知(?UM)∩N={x|1<x≤2}. 6.(2011·泰州模拟)设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数为________.答案 4解析由题意知B的元素至少含有3,因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}.*7.(2009·天津)设全集U=A∪B={x∈N|lg x<1},若A ∩(?UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合B=______________. 答案 {2,4,6,8}*解析 A∪B={x∈N|lg x<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A ∩(?UB)={1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}.28.(2010·江苏)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a+4},A∩B={3},则实数a=____. 答案 12解析∵3∈B,由于a+4≥4,∴a+2=3,即a=1. 二、解答题(共42分)229.(14分)集合A={x|x+5x-6≤0},B={x|x+3x>0},求A∪B和A∩B. 解∵A={x|x2+5x-6≤0} ={x|-6≤x ≤1}.(3分)B={x|x2+3x>0}={x|x<-3或x>0}.(6分)如图所示,∴A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3或x>0}=R.(10分) A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3或x>0} ={x|-6≤x<-3,或0<x≤1}.(14分)110.(14分)(2011·南通模拟)已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B={x|<x≤2}.若2B?A,求实数a的取值范围.解当a=0时,显然B?A;(2分)当a<0时,若B?A,如图,41-,a2则(6分)1-,a???a≥-8,??1∴?∴-a<0;(8分) 12?a>-2.?当a>0时,如图,若B?A,1-,?-1a2则?4?a2, (11分)??a≤2,∴?∴0<a≤2.(13分) ?a≤2.?1综上知,当B?A时,-a≤2.(14分) 2x-5211.(14分)已知集合A={x|≤0},B={x|x-2x-m<0}, x+1(1)当m=3时,求A∩(?RB);(2)若A∩B={x|-1<x<4},求实数m的值.x-5解由≤0, x+1所以-1<x≤5,所以A={x|-1<x≤5}.(3分)(1)当m=3时,B={x|-1<x<3},则?RB={x|x≤-1或x≥3},(6分)所以A∩(?RB)={x|3≤x≤5}.(10分)(2)因为A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4},(12分)所以有42-2×4-m=0,解得m=8.此时B={x|-2<x<4},符合题意,故实数m的值为8.(14分)荐小学数学教案[1000字] 荐初二数学教案(800字) 荐生活中的数学教案[1000字] 荐人教版初一上数学教案(全册) [1500字]荐工程数学教案 (500字)。
2013高考数学二轮复习精品资料专题07 立体几何教学案(学生版)
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2013高考数学二轮复习精品资料专题07 立体几何教学案(学生版)【2013考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法,理解三个公理及三个推论的内容及作用,初步掌握性质与推论的简单应用。
2、空间两条直线的三种位置关系,并会判定。
3、平行公理、等角定理及其推论,了解它们的作用,会用它们来证明简单的几何问题,掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。
4、异面直线所成角的定义,异面直线垂直的概念,会用图形来表示两条异面直线,掌握异面直线所成角的范围,会求异面直线的所成角。
5.理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图.7.空间平行与垂直关系的论证.8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法,掌握三垂线定理及其逆定理,并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法,熟练解决有关问题.9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法(如:直接法、转化法、向量法).对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况)和距离公式计算距离。
【知识网络构建】【重点知识整合】1.空间几何体的三视图(1)正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;(2)侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图;(3)俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.2.斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1)建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐标系;(2)画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox′,Oy′,使∠x′Oy′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平平面;(3)画对应图形,在已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中画成平行于x′轴,且长度保持不变;在已知图形中平行于y轴的线段,在直观图中画成平行于y′轴,且长度变为原来的一半;(4)擦去辅助线,图画好后,要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线).3.体积与表面积公式:(1)柱体的体积公式:V=柱Sh;锥体的体积公式: V=锥13Sh;台体的体积公式: V=棱台1()3h S SS S'';球的体积公式: V=球343rπ.(2)球的表面积公式: 24S R π=球. 【高频考点突破】考点一 空间几何体与三视图1.一个物体的三视图的排列规则是:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图的长度一样,侧视图放在正视图的右面,高度与正视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.2.画直观图时,与坐标轴平行的线段仍平行,与x 轴、z 轴 平行的线段长度不变,与y 轴平行的线段长度减半.例1、将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )【方法技巧】该类问题主要有两种类型:一是由几何体确定三视图;二是由三视图还原成几何体.解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系.抓住“正侧一样高,正俯一样长,俯侧一样宽”的特点作出判断.考点二 空间几何体的表面积和体积常见的一些简单几何体的表面积和体积公式:圆柱的表面积公式:S =2πr 2+2πrl =2πr (r +l )(其中r 为底面半径,l 为圆柱的高); 圆锥的表面积公式:S =πr 2+πrl =πr (r +l )(其中r 为底面半径,l 为母线长); 圆台的表面积公式:S =π(r ′2+r 2+r ′l +rl )(其中r 和r ′分别为圆台的上、下底面半径,l 为母线长);柱体的体积公式:V =Sh (S 为底面面积,h 为高);锥体的体积公式:V =13Sh (S 为底面面积,h 为高);台体的体积公式:V =13(S ′+S ′S +S )h (S ′、S 分别为上、下底面面积,h 为高);球的表面积和体积公式:S =4πR 2,V =43πR 3(R 为球的半径).例 2、如图所示,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( )A .6 3B .9 3C .12 3D .18 3考点三 球与空间几何体的“切”“接”问题1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径. 2.正方体的内切球其棱长为球的直径.3.正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线.4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.例3、一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的外接球的表面积为________.【方法技巧】1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直,且PA=a,PB=b,PC =c,则4R2=a2+b2+c2(R为球半径).可采用“补形”法,构造长方体或正方体的外接球去处理.例4、如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP;(2)求证:四边形DEFG为矩形;(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.【方法技巧】1.证明线线平行常用的两种方法:(1)构造平行四边形;(2)构造三角形的中位线.2.证明线面平行常用的两种方法:(1)转化为线线平行;(2)转化为面面平行.3.证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直.而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平面垂直.例5、如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1)直线EF∥平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD.【方法技巧】考点六利用空间向量证明位置关系设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面α,β的法向量分别为u=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)(1)线面平行:l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0⇔a1a3+b1b3+c1c3=0(2)线面垂直:l⊥α⇔a∥u⇔a=ku⇔a1=ka3,b1=kb3,c1=kc3(3)面面平行:α∥β⇔u∥v⇔u=kv⇔a3=ka4,b3=kb4,c3=kc4(4)面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a3a4+b3b4+c3c4=0例6、如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O 分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.(1)设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE;(2)证明:在△ABO 内存在一点M ,使FM ⊥平面BOE .【方法技巧】1.用向量法来证明平行与垂直,避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了.把几何问题代数化.尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷.但是向量法要求计算必须准确无误.2.利用向量法的关键是正确求平面的法向量.赋值时注意其灵活性.注意(0,0,0)不能作为法向量.3.向量法求二面角:求出二面角α-l -β的两个半平面α与β的法向量n 1,n 2,若二面角α-l -β所成的角θ为锐角,则cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|=|n 1·n 2||n 1||n 2|;若二面角α-l -β所成的角θ为钝角, 则cos θ=-|cos 〈n 1,n 2〉|=-|n 1·n 2||n 1||n 2|.例7、如图,在四棱锥P -ABCD 中, PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱形, AB =2,∠BAD =60°.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.考点八利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只须通过坐标运算进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在”问题,转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围的解”等,可以使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法.例8、如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O 落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.【难点探究】难点一空间几何体的表面积和体积例1、(1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .48B .32+817C .48+817D .80(2)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .92π+12B .92π+18 C .9π+42 D .36π+18难点二 球与多面体例 2、已知球的直径SC =4,A ,B 是该球球面上的两点,AB =3,∠ASC =∠BSC =30°,则棱锥S -ABC 的体积为( )A .3 3B .2 3 C. 3 D .1【解题规律与技巧】1.真实图形中和两坐标轴平行的线段在直观图中仍然和两坐标轴平行,在真实图形中与x 轴平行的线段在直观图中长度不变,在真实图形中和y 轴平行的线段在直观图中变为原来的一半.这种画法蕴含着一个一般的规律,在斜二测画法中,真实图形的面积和直观图的面积之比是2 2.2.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分“是侧面积还是表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和.3.实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球,往往是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体,解决这类组合体体积的基本方法就是“分解”,将组合体“分解成若干部分,每部分是柱、锥、台、球或其一个部分,分别计算其体积”,然后根据组合体的结构,将整个的体积转化为这些“部分体积”的和或差.【历届高考真题】【2012年高考试题】一、选择题1.【2012高考真题新课标理7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()()A6()B9()C12()D182.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD,AB=1,BC=2。
2013高考数学第二轮复习学案 第17--20讲学案
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第17讲 圆锥曲线的方程和性质一、复习目标1、能根据条件熟练地求出曲线的方程。
2、进一步掌握圆和三种圆锥曲线的定义、方程和简单的几何性质。
3、理解圆和椭圆的参数方程。
二、课前热身1.若R ∈α,则方程1sin 422=+αy x 所表示的曲线必定不是( )(A )直线 (B )圆 (C )双曲线 (D )抛物线 2.以椭圆1162522=+yx的中心为焦点,右准线为准线的抛物线与椭圆的左准线交于A 、B两点,则AB 的值是( ) (A )665 (B )350 (C )3350 (D )33253.动点P 在椭圆)10()1(22<<=-+a a y a x 上运动,线段OP 长度的最大值是( )(A )1 (B )2 (C )a 2 (D )21a +4.已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点MN 的中点的横坐标为32-,则此双曲线方程是5.点A 的坐标为)1,2(,F 为抛物线x y 22=的焦点,P 在抛物线上移动,若PF PA +取最小值,则点P 的坐标为 三、例题探究 例1.已知A 、B 是椭圆12592222=+ay ax 上的点,2F 是右焦点且a BF AF 5822=+,AB的中点N 到左准线的距离等于23,求此椭圆的方程。
例2.已知双曲线12222=-bya x(0,0>>b a )的右准线2L 与一条渐近线L 交于点P ,F 是双曲线的右焦点: (1)求证:L PF ⊥;(2)若3=PF 且双曲线的离心率45=e ,求双曲线的方程;(3)延长FP 交双曲线左准线1L 和左支分别为M 、N ,若M 为PN 的中点,求双曲线的离心率例3(选讲).抛物线有光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出。
今有抛物线Px y 22=(0>P ),一光源在点M (4,441)处,由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴方向射向抛物线上的点P ,反射后又射向抛物线上的点Q ,再反射后又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出,途中遇到直线L :01742=--y x 上的点N ,再反射后又射回到点M(1) 设P 、Q 两点的坐标分别为),(11y x ,),(22y x ,证明:221P y y -=; (2) 求抛物线的方程;(3) 试判断在抛物线上是否存在一点R 使该点与点M 关于PN 所在直线对称?若存在请求出此点的坐标;若不存在,请说明理由。
2013高考数学第二轮复习学案_第1--8讲学案
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第1讲 二次函数一. 【复习目标】1.准确理解函数的有关概念.2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.二、【课前热身】1、 f(x)是定义在全体实数上的偶函数,它的图象关于x=2为轴对称,已知当x ∈(-2,2)时f(x)的表达式为-x 2+1,则当x ∈(-6,-2)时,f(x)的表达式是: ( )(A)-x 2+1 (B )-(x-2)2+1 (C)-(x+2)2+1 (D )-(x+4)2+12、 已知f(x)=x 2+(lga+2)x+lgb 且f(-1)=-2,又f(x)≥2x 对一切x ∈R 都成立,求a+b = .3、函数f(x)=x 4-2x 2+2的单调增区间是( )(A )[1,+∞), (B )(-∞,-1)∪[1,+∞), (C)[-1,0]∪[1,+∞), (D)以上都不对4、已知方程x 2+2px+1=0有一个根大于1,有一个根小于1,则P 的取值为 。
三. 【例题探究】例1.已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2,求a 的值 .例2. 已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点,求a 的取值范围.例3.对于函数()f x ,若存在0x R ∈,使00()f x x =,则称0x 是()f x 的一个不动点,已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠,(1)当1,2a b ==-时,求函数()f x 的不动点;(2)对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围;(3)在(2)的条件下,若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点,且,A B 两点关于直线2121y kx a =++对称,求b 的最小值.四、【方法点拨】1.讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②函数在此区间上的单调性;2.讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置.冲刺强化训练(1)班级 姓名 学号 日期 月 日1、函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 ( ) A .0b ≥ B . 0b ≤ C . 0b > D . 0b <2、 函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0,那么其值域为 ( ) A .{}3,0,1- B .{}3,2,1,0 C .{}31≤≤-y y D .{}30≤≤y y 3、若函数f (x )=4)2(2)2(2--+-x a x a 的图象位于x 轴的下方,则实数a 的取值范围是( ) )2(]22(]22[)2(--∞---∞,、,、,、,、D C B A4、使函数542+-=x x y 具有反函数的一个条件是_____________________________。
2013艺术生高考数学复习学案(四)
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17.已知偶函数f(x)在 上递减,用“<”把下列各式连接起来;
为.
18.下列五个命题:① 且 ;② 与
表示相同函数;③若 是奇函数,则 ;④ 是指数函数且
定义域为 ;⑤函数 的图象恒过定点 .其中 命题的序号是
.
三、解答题:共有5个小题,满分70分.
19. (1)化简: , .
(2)已知 ,求 的值.
6.已知全集 且 则 =
7.经统计知,某村有电话的家庭有35家,有农用三轮车的家庭有65家,既有电话又有农用三轮车的家庭有20家,则电话和农用三轮车至少和一种的家庭数为家
8. ,且 ,则m的取值是9.以下六个关系式:① ,② ,③ ,④ ,⑤ ,
⑥ 是空集,其中错误的个数是个
10.设 , 则: ,
.
20.已知定义在 上的函数 , 为常数.
(1)如果 满足 ,求 的值;
(2)当 满足(1)时,用单调性定义判断 在 上的单调性.并猜想 在 上的单调性(不必证明).
21.设集合 ,
,求 .
22.已知函数 是定义在R上的奇函数,且x<0时, (1)求出函数 的解析式;
(2)画出函数 的图象;
23.已知函数 是奇函数.
4、已知f( )=x+3,则 的解析式是
5、已知函数 ,且 ,则函数 的值是;
6.已知y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1+x),当x<0时,f(x)=
7、已知集合A={x|y= ,x∈R},B={x|x=t2,t∈A},则集合AB
8、设α,β是方程x2-2mx+1-m2=0 (m∈R)的两个实根,则 + 的最小值是
3.在以下四个命题:① ;② ;③ ;
④ (其中 为全集)中,与命题 等价的是
2013高考数学第二轮复习学案_第14-16讲答案
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第14讲 等差数列与等比数列【课前热身】1.B 2,A 3,A 4,B 5、y=±2 2.解析:由条件易知m =2,n =4.但要注意椭圆焦点所在的坐标轴是y 轴.因此准线方程为y =±a2c=±2 2.【例题探究】1, (I )解:设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d .由,8l o g 2l o g )2(l o g 29,322231+=+==d a a 得即d =1. 所以,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=n n a (II )证明因为11111222n nnn na a ++==--,所以nnn a a a a a a 2121212111132112312++++=-++-+-+.1211211212121<-=-⨯-=nn2, 解:(I )213211,44111.228a a a a a a =+=+==+(II ) 因为43113428a a a =+=+,所以54113.2416a a a ==+所以112335*********,(),().44424444b a a b a a b a a =-=-≠=-=-=-=-猜想:{}n b 是公比为12的等比数列.证明如下: 因为12121414n n n b a a ++=-=-1 2 2121*111)24411()241,()2n n n a a b n N --=+-=-=∈ ( 所以{}n b 是首项为14a -,公比为12的等比数列.3,解:甲方案是等比数列,乙方案是等差数列, ①甲方案获利:63.423.013.1%)301(%)301(%)301(11092≈-=+++++++ (万元)银行贷款本息:29.16%)51(1010≈+(万元) 故甲方案纯利:34.2629.1663.42=-(万元)②乙方案获利:5.02910110)5.091()5.021()5.01(1⨯⨯+⨯=⨯+++⨯++++50.32=(万元);银行本息和:]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++⨯21.1305.0105.105.110≈-⨯=(万元)故乙方案纯利:29.1921.1350.32=-(万元); 综上,甲方案更好.冲刺强化训练(14)1.C 2.A 3.B 4.C 5.(1)、(2)、(3) 6.解:3699)2(5919-=⋅=⨯+=a a a S 45-=∴a10413132713113-=⨯=⨯+=a a a S 87-=∴a327575=⋅=⋅a a b b 3226=∴b 246±=b点评:此题也可以把1a 和 d 看成两个未知数,通过369-=S 10413-=S 列方程,联立解之d=2- 41=a 。
艺术班高考数学有效复习探究
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No . 0 4 . 2 0 1 3
Y u S h u Wa i X u e X i
2 0 1 3年第 4期
艺 术 班 高 考 数 学 有效 复 习探 究
廖辉煌
( 乐昌市城 关 中学, 广东
摘
韶关 5 1 2 2 0 0 )
要: 艺术 考 生在 高三复 习时 由于要备 考术科 , 用在文 化课 学 习的 时间 比较 少 。因此 , 如何 在 有 限 的 时间 内提 高 艺术 生的 复 习
效率, 是数 学教 师 面 临的一 个难题 。本文 笔者从 融洽 感 情 , 夯 实基础 , 强 化训练 v x 7 2 . 差异教 学 , 分 层复 习等 四个 方面对 艺术 班 高考数 学
的有效 复 习进 行 了 探 究。
关键 词 : 高考 复 习 ; 高 中数 学 ; 艺术特 长 生
中图分 类号 : G 6 3 3 文献 标识 码 : A 文章 编号 : 1 0 0 5— 6 3 5 1 ( 2 0 1 3 ) 一 0 4 — 0 1 0 0— 0 2
A ・ { 1 ) B ・ { ÷} C ・ { 1 , 3 ) D - { 0 , 1 , 亍}
因为前 面 已经 复 习了关 于集合 的一 系 列知 识 , 我 认 为这 道 题 目是一道 很简 单 的 题 目, 当 问题 提 出 以后 , 班 上很 少 有 同学 能 够 参卜 正确的解答此题。开始我极为震惊, 非常生气 , 但是转念一想, 艺 术 生平 时学 习文化 知识 的时 间本 身就 很少 , 他们 的基 础 差是 可 以 理解的, 其实 他们 是 因 为忽 略 了 空 集是 任 何 集合 的子 集 , 我 一 步 步的 引导学 生 , 带领学 生分 析集合 { 1 , 3 ) 的子 集有 哪 些 , 怎样 求 出相应 的 m值 。顺 着我 的 思路 学 生 终于 选 出 了正 确 的答 案 。此 弓 刻, 我 明显能 感觉 到学 生脸 上 自信 的微笑 。我 庆幸 自己 能 够从 学 兰 生 的角 度多体 谅 他们 , 给学生 营造 了一个 轻松 的学 习氛 围 。
2013艺术生高考数学复习学案(二)
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2013艺术生高考数学复习学案(二)D2345变式: 在△OAB中,C是AB边上一点,且BCCA=λ(λ>0),若OA→=a,OB→=b,试用a,b表示OC→.例4.某人在静水中游泳,速度为4 3 千米/时,他在水流速度为4千米/时的河中游泳.(1)若他垂直游向河对岸,则他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少?(2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度为多少?变式: 一艘船从A点出发以2 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为2 km/h,求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).【课堂小结】在理解向量加减法定义的基础上,掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则以及减法的三角形法则,并了解向量加减法在物理学中的应用。
【课堂检测】1.四边形A BCD满足AD→=BC→,且|AC→|=|BD→|,则四边形A BCD是 .2.化简:(AD→+MB→)+(BC→+CM→)=3.若AB→=5e1,CD→=-7e1,且|AD→|=|BC→|,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.等腰梯形C.菱形D.梯形但两腰不相等【课后作业】1.设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点,且BC→=a,CA→=b,给67出下列命题:①AB →=-12 a -b ②BE →=a +12 b ③CF →=-12 a +12b ④AD→+BE →+CF →=0.其中正确的命题个数为 ( )A.1B.2C.3D.42.若O 为平行四边形ABCD 的中心,AB →=4e 1,BC →=6e 2,则3e 2-2e 1等于 ( ) A. AO →B. BO →C. CO→D. DO →3.已知G 为△ABC 的重心,P 为平面上任一点,求证:PG =13(PA +PB +PC ).§39 平面向量 2 (1)【考点及要求】1. 理解平面向量的坐标表示;2. 掌握平面向量的加减及数乘的坐标运算;3. 理解向量平行的等价条件的坐标形式. 【基础知识】1.平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,i 、j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底),由平面向量的基本定理可知:平面内任一向量a ,有且只有一对实数x ,y ,使a =xi +yj 成立,即向量a 的坐标是________2.平面向量的坐标运算:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =___________, a -b =____________。
2013届高考数学二轮复习精品教学案专题06平面向量(教师版)
![2013届高考数学二轮复习精品教学案专题06平面向量(教师版)](https://img.taocdn.com/s3/m/90813adcb8f67c1cfad6b89b.png)
【2013考纲解读】1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2.了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【知识络构建】【重点知识整合】 1.平面向量的基本概念 2.共线向量定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使b =λ·a .如果向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2=x 2y 1或者x 1y 2-x 2y 1=0,即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等.当其中一个向量的坐标都不是零时,这个充要条件也可以写为x 2x 1=y 2y 1,即对应坐标的比值相等.3.平面向量基本定理对于任意a ,若以不共线的向量e 1,e 2作为基底,则存在唯一的一组实数对λ,μ,使a =λe 1+μe 2.4.向量的坐标运算a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),λa =(λx 1,λy1).5.数量积(1)已知a,b的夹角为〈a,b〉=θ(θ∈[0,π]),则它们的数量积为a·b=|a|·|b|cosθ,其中|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影,向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律,但不满足结合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c;(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2;(3)两非零向量a,b的夹角公式为cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21x22+y22;(4)|a|2=a·a.(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零.【高频考点突破】考点一向量的有关概念和运算(1)零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意向量都共线,记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量,与a同向的单位向量为a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).例1、已知关于x的方程:·x2+·2x+=0(x∈R),其中点C为直线AB上一点,O是直线AB外一点,则下列结论正确的是()A.点C在线段AB上B.点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点C.点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点D.以上情况均有可能【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点(1)正确理解向量的基本概念;(2)正确理解平面向量的基本运算律,a+b=b+a,a·b=b·a,λa·b=λ(a·b)与a(b·c)≠(a·b)c;(3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量,在概念考查中一定要重视,如有遗漏,则会出现错误.考点二平面向量的数量积1. 两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值确定.2.求非零向量a ,b 的夹角一般利用公式cos 〈a ,b 〉=a·b|a |·|b |先求出夹角的余弦值,然后求夹角;向量a 在向量b 方向上的投影为a·b|b |.【方法技巧】(1)准确利用两向量的夹角公式cos 〈a ,b 〉=a·b|a ||b |及向量模的公式|a |=a·a .(2)在涉及数量积时,向量运算应注意: ①a·b =0,未必有a =0,或b =0; ②|a·b |≤|a ||b |;③a (b·c )与(a·b )c 不一定相等.考点三 平面向量与三角函数的综合应用通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题,是高考中经常出现的题型.例3.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),c =(-1,0). (1)求向量b +c 的长度的最大值; (2)设α=π4,且a ⊥(b +c ),求cos β的值.[解] (1)法一:由已知得b +c =(cos β-1,sin β),则 |b +c |2=(cos β-1)2+sin 2β=2(1-cos β). ∵-1≤cos β≤1,∴0≤|b +c |2≤4,即0≤|b +c |≤2. 当cos β=-1时,有|b +c |max =2, 所以向量b +c 的长度的最大值为2. 法二:∵|b |=1,|c |=1,|b +c |≤|b |+|c |=2. 当cos β=-1时,有b +c =(-2,0),即|b +c |=2,所以向量b +c 的长度的最大值为2.【难点探究】难点一 平面向量的概念及线性运算例1、 (1)a ,b 是不共线的向量,若AB →=λ1a +b ,AC →=a +λ2b (λ1,λ2∈R),则A ,B ,C 三点共线的充要条件为( )A .λ1=λ2=-1B .λ1=λ2=1C .λ1·λ2+1=0D .λ1λ2-1=0(2) 设A 1,A 2,A 3,A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A 1A 3→=λA 1A 2→(λ∈R),A 1A 4→=μA 1A 2→(μ∈R),且1λ+1μ=2,则称A 3,A 4调和分割A 1,A 2,已知点C (c,0),D (d,0)(c ,d ∈R)调和分割点A (0,0),B (1,0),则下面说法正确的是( )A .C 可能是线段AB 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点C .C 、D 可能同时在线段AB 上D .C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【点评】 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理.平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示,这个定理的一个极为重要的导出结果是,如果a ,b 不共线,那么λ1a +λ2b =μ1a +μ2b 的充要条件是λ1=μ1且λ2=μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论,即如果OA →=xOB →+yOC →,则A ,B ,C 三点共线的充要条件是x +y =1.【变式探究】(1)如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →=mAM →,AC →=nAN →(m ,n >0),则1m +4n的最小值为( )A .2B .4 C.92D .9(2) 设向量a ,b 满足|a |=25,b =(2,1),且a 与b 的方向相反,则a 的坐标为________. 【答案】(1)C (2)(-4,-2)【解析】 (1)MO →=AO →-AM →=AB →+AC →2-1m AB →=⎝⎛⎭⎫12-1m AB →+12AC →,同理NO →=⎝⎛⎭⎫12-1n AC →+12AB →,M ,O ,N 三点共线,故⎝⎛⎭⎫12-1m AB →+12AC →=λ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12-1n AC →+12AB →,即⎝⎛⎭⎫12-1m -λ2AB →+⎝⎛⎭⎫12-λ2+λn AC →=0.难点二 平面向量的数量积例2 如图所示,P 为△AOB 所在平面内一点,向量OA →=a ,OB →=b ,且P 在线段AB 的垂直平分线上,向量OP →=c .若|a |=3,|b |=2,则c ·(a -b )的值为( )A .5B .3 C.52 D.32【答案】C【解析】 设AB 中点为D ,c =OP →=OD →+DP →,所以c ·(a -b )=(OD →+DP →)·BA →=OD →·BA →+DP →·BA →=OD →·BA →=12(a +b )·(a -b )=12(|a |2-|b |2)=52.【点评】 平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合,这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则,探究解题的思想.【变式探究】(1)已知a 与b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题: p 1:|a +b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0,2π3; p 2:|a +b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3,π; p 3:|a -b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0,π3; p 4:|a -b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3,π. 其中的真命题是( ) A .p 1,p 4 B .p 1,p 3C .p 2,p 3D .p 2,p 4(2)在△OAB 中,设OA →=a ,OB →=b ,则OA 边上的高等于________.难点三 平面向量的共线与垂直的综合运用例3 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左顶点为A ,若|F 1F 2|=2,椭圆的离心率为e =12.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P 是椭圆上的任意一点,求PF 1→·P A →的取值范围;(3)已知直线l :y =kx +m 与椭圆相交于不同的两点M ,N (均不是长轴的端点),AH ⊥MN ,垂足为H 且AH →2=MH →·HN →,求证:直线l 恒过定点.【解答】 (1)由已知得c =1,a =2,b =3,∴所求椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)设P (x 0,y 0),又A (-2,0),F 1(-1,0), ∴PF 1→·P A →=(-1-x 0)(-2-x 0)+y 20=14x 20+3x 0+5. 由于P (x 0,y 0)在椭圆上,∴-2≤x 0≤2,可知f (x 0)=14x 20+3x 0+5在区间[-2,2]上单调递增,∴当x 0=-2时,f (x 0)取最小值为0;当x 0=2时,f (x 0)取最大值为12,∴PF 1→·P A →的取值范围是[0,12].(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-12=0,由Δ>0得4k 2+3>m 2.【点评】 本题是以考查解析几何基本问题为主的试题,但平面向量在其中起着关键作用.本题的难点是第三问,即把已知的垂直关系和向量等式转化为AM →·AN →=0,从而达到使用韦达定理建立直线中参数k ,m 的方程,确定k ,m 的关系,把双参数直线系方程化为单参数直线系方程,实现了证明直线系过定点的目的.【变式探究】已知双曲线的中心在原点,坐标轴为对称轴,一条渐近线方程为y =43x ,右焦点F (5,0),双曲线的实轴为A 1A 2,P 为双曲线上一点(不同于A 1,A 2),直线A 1P 、A 2P 分别与直线l :x =95交于M 、N 两点.(1)求双曲线的方程;(2)求证:FM →·FN →为定值.【解答】 (1)依题意可设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1,则⎩⎪⎨⎪⎧b a =43,c =5,c 2=a 2+b2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =4,∴所求双曲线方程为x 29-y 216=1.(2)A 1(-3,0)、A 2(3,0)、F (5,0),设P (x ,y ),M ⎝⎛⎭⎫95,y 0,A 1P →=(x +3,y ),A 1M →=⎝⎛⎭⎫245,y 0, ∵A 1、P 、M 三点共线,∴(x +3)y 0-245y =0,∴y 0=24y5x +3,即M ⎝⎛⎭⎫95,24y 5x +3. 同理得N ⎝⎛⎭⎫95,-6y 5x -3.∴FM →=⎝⎛⎭⎫-165,24y 5x +3,FN →=⎝⎛⎭⎫-165,-6y 5x -3,∴FM →·FN →=25625-14425·y 2x 2-9. ∵x 29-y 216=1,∴y 2x 2-9=169,∴FM →·FN →=25625-14425·169=25625-25625=0,即FM →·FN →=0为定值.【历届高考真题】 【2012年高考试题】1.【2012高考真题重庆理6】设,x y ∈R ,向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥,则b a +(A )5 (B )10 (C )25 (D )102.【2012高考真题浙江理5】设a ,b 是两个非零向量。
2013届高考数学第二轮备考复习教案
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2013届高考数学第二轮备考复习教案教案67数列的综合应用一、课前检测1.猜想1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,……的第n个式子为。
答案:2.用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为(C)A.1B.1+C.D.二、知识梳理1.等差、等比数列的应用题常见于:产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。
⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如,第一年产量为,年增长率为,则每年的产量成等比数列,公比为.其中第年产量为,且过年后总产量为:⑵银行部门中按复利计算问题.例如:一年中每月初到银行存元,利息为,每月利息按复利计算,则每月的元过个月后便成为元.因此,第二年年初可存款:=.注意:“分期付款”、“森林木材”型应用问题⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指”,细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.⑵利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为:(等差数列问题);②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利率为(按复利),那么每期等额还款元应满足:(等比数列问题).⑶分期付款应用题:为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清;为年利率.2.将实际问题转化为数列问题时应注意:(1)分清是等差数列还是等比数列;(2)分清是求an还是求Sn,特别要准确地确定项数n.3.数列与其他知识的综合也是常考的题型,如:数列与函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透,都是常见的题型。
4.强化转化思想、方程思想的应用.三、典型例题分析题型1以等差数列为模型的问题例1由于美伊战争的影响,据估计,伊拉克将产生60~100万难民,联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000t,第二天运送1100t,以后每天都比前一天多运送100t,直到达到运送食品的最大量,然后再每天递减100t,连续运送15天,总共运送21300t,求在第几天达到运送食品的最大量.剖析:本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.解:设在第n天达到运送食品的最大量.则前n天每天运送的食品量是首项为1000,公差为100的等差数列.an=1000+(n-1)•100=100n+900.其余每天运送的食品量是首项为100n+800,公差为-100的等差数列.依题意,得1000n+×100+(100n+800)(15-n)+×(-100)=21300(1≤n≤15).整理化简得n2-31n+198=0.解得n=9或22(不合题意,舍去).答:在第9天达到运送食品的最大量.变式训练1数列{an}中,a1=6,且an-an-1=an-1n+n+1(n∈N*,n≥2),则这个数列的通项an=________.答案:(n+1)(n+2) 解:由已知等式得nan=(n+1)an-1+n(n+1)(n∈N*,n≥2),则ann+1-an-1n=1,所以数列{ann+1}是以a12=3为首项,1为公差的等差数列,即ann+1=n+2,则an=(n+1)(n+2).n=1时,此式也成立.小结与拓展:对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。
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§37 平面向量 1 (1)【考点及要求】1.解掌握平面向量的概念; 2.握平面向量的线性运算. 【基础知识】1.向量的概念(向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量);2.向量的加法与减法(法则、几何意义);3.实数与向量的积(定义、运算律、两个向量共线定理); 4.平面向量基本定理. 【基本训练】1.判断下列命题是否正确:⑴两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同; ( ) ⑵若四边形ABCD 是平行四边形,则AB =DC ; ( ) ⑶若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;( )⑷若AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线; ( ) ⑸若AB +BC +CA =0,则A 、B 、C 三点共线;( )2.若ABCD 为正方形,E 是CD 的中点,且AB =a ,AD =b ,则BE 等于( ) A .b +a 21B .b a21-C .a +b 21 D .a b21-3.设M 为△ABC 的重心,则下列各向量中与AB 共线的是 ( )A .AB +BC +AC B .AM +MB +BCC .AM +BM +CMD .3AM +AC4.已知C 是线段AB 上一点,BC =λCA (λ>0).若OA =a ,OB =b ,请用a ,b表示OC .OADBCMN【典型例题讲练】例1、如图所示,OADB 是以向量OA =a ,OB =b 为边的平行四边形,又BM=31BC ,CN=31CD .试用a ,b 表示OM ,ON ,MN .变式: 平行四边形ABCD 中,M 、N 分别为DC 、BC 的中点,已知AM →=c ,AN →=d ,试用c ,d 表示AB →和AD →.例2设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量(1)如果AB =1e +2e ,BC =21e +82e ,CD =3(21e e ),求证A 、B 、D 三点共线;(2)试确定实数k 的值,使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量.变式: 已知OA 、OB 不共线,OP = a OA +b OB .求证:A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1. 【课堂小结】向量是既有大小又有方向的量,应用概念解题,注意数形结合;能够从图形和代数式两个角度理解向量的加减以及数乘运算。
【课堂检测】1.如图,△ABC 中,D ,E ,F 分别是边BC ,AB ,CA 的中点,在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段中所表示的向量中,(1)与向量FE共线的有 . (2)与向量D F的模相等的有 .(3)与向量ED相等的有 .2.已知正方形ABCD 边长为1,AB +BC +AC 模等于( )A .0B .3C .22D .23.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.①向量AB →与CD →是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上; ②单位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等;④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →=DC →; ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件; ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.4.已知ABC D 中,点E 是对角线AC 上靠近A 的一个三等分点,设EA →=a ,EB →=b ,则向量BC 等于 ( ) A. 2a +bB.2a -bC.b -2aD.-b -2a§38 平面向量 1 (2)【典型例题讲练】例3如图,OA →=a ,OB →=b ,AP →=t AB →(t ∈R),当P 是(1)AB →中点,(2)AB →的三等分点(离A 近的一个)时,分别求OP →.变式: 在△OAB 中,C 是AB 边上一点,且BCCA=λ(λ>0),若OA →=a ,OB →=b ,试用a,b表示OC→.例4.某人在静水中游泳,速度为4 3 千米/时,他在水流速度为4千米/时的河中游泳.(1)若他垂直游向河对岸,则他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少?(2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度为多少?变式:一艘船从A点出发以2 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 2 km/h,求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).【课堂小结】在理解向量加减法定义的基础上,掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则以及减法的三角形法则,并了解向量加减法在物理学中的应用。
【课堂检测】1.四边形A BCD满足AD→=BC→,且|AC→|=|BD→|,则四边形A BCD是 .2.化简:(AD→+MB→)+(BC→+CM→)=3.若AB→=5e1,CD→=-7e1,且|AD→|=|BC→|,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.等腰梯形C.菱形D.梯形但两腰不相等【课后作业】1.设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点,且BC→=a,CA→=b,给出下列命题:①AB→=-12a-b②BE→=a+12b③CF→=-12a+12b④AD→+BE →+CF →=0.其中正确的命题个数为 ( ) A.1B.2C.3D.42.若O 为平行四边形ABCD 的中心,AB →=4e 1,BC →=6e 2,则3e 2-2e 1等于 ( ) A. AO →B. BO →C. CO →D. DO →3.已知G 为△ABC 的重心,P 为平面上任一点,求证:PG =13(PA +PB +PC ).§39平面向量 2 (1)【考点及要求】1. 理解平面向量的坐标表示;2. 掌握平面向量的加减及数乘的坐标运算;3. 理解向量平行的等价条件的坐标形式. 【基础知识】1.平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,i 、j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底),由平面向量的基本定理可知:平面内任一向量a ,有且只有一对实数x ,y ,使a =x i +y j 成立,即向量a 的坐标是________2.平面向量的坐标运算:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =___________, a -b =____________。
3.平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的____坐标减去____坐标.4.实数与向量积的坐标表示:若a =(x ,y ),则λa =____________5. 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),由a ∥b ⇔ x 1 y 2-x 2 y 1=_______ 【基本训练】 1.设向量a =(1,-3),b =(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a 、4b -2c 、2(a -c )、d 的有向线段依次首尾相接能构成四边形,则向量d 为 ( )A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6) 2.平面上A (-2,1),B (1,4),D (4,-3),C 点满足21AC =→--→--CB,连DC 并延长至E ,使|→--CE|=41|→--ED|,则点E 坐标为:( )A 、(-8,35-) B 、(311,38-) C 、(0,1) D 、(0,1)或(2,311)3.若向量a =(x -2,3)与向量b =(1,y +2)相等,则( )A .x =1,y =3B .x =3,y =1C .x =1,y =-5D .x =5,y =-1 4.已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ,则αt a n =( ) A .43 B .43-C .34 D .34-【典型例题讲练】例1、 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D 的坐标。
变式引申:已知平面上三点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3, 4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
例2已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4),且CA CM 3 =,CB CN 2 =,求M ,N 的坐标和MN 的坐标.变式: 若向量j i AB 2 -=,j m i BC + =,其中i ,j 分别为x 轴,y 轴正方向上的单位向量,求使A ,B ,C 三点共线的m 值.【课堂小结】设:(x 1, y 1)、b(x 2, y 2)(1)加减法:a 〒b =(x 1〒x 2,y 1〒y 2)(其中a =(x 1,y 2)、b =(x 2,y 2)). (2)数乘:若a =(x,y),则λa =(λx,λy)(3)a∥b(b ≠0)12210a b x y x y λ⇔=⇔-=注意:充要条件不能写成:1122x y x y =或1122xy x y =,但在解题中,当分母不为0时常使用; 【课堂检测】1.若向量a =(x -2,3)与向量b =(1,y +2)相等,则( )A .x =1,y =3B .x =3,y =1C .x =1,y =-5D .x =5,y =-1 2.已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ,则αt a n =( ) A .43 B .43-C .34 D .34-3.若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC = 4.已知)2,3(=a ,)1,2(-=b ,若b a b a λλ++与平行,则λ= 5.已知A B C D 中A(3,-2),B(5,2),C(-1,4),则D 的坐标为____________§40 平面向量 2 (2)【典型例题讲练】例3已知点O(0,0), A(1,2), B(4,5), 及.AB t OA OP +=问:(1) t 为何值时,P 在x 轴上? P 在第二象限? (2) 四边形OABP 能否成为平行四边形?若能;求出相应的t 值;若不能;请说明理由.变式: 已知a =(3, -1), b =(-1, 2), c=(-1,0), 求λ与μ,使c a b λμ=+例4.已知向量u =(x ,y )与向量v =( y ,2y -x )的对应关系用)( u f v =表示, (1) 证明对于任意向量a ,b 及常数m ,n 恒有)()()(b nf a mf b n a m f ++=成立;(2) 设a =(1,1),b =(1,0),求向量)(a f 及)(b f 的坐标;变式引申: 求使)(c f =(p ,q ) (p ,q 为常数)的向量c 的坐标.【课堂小结】运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合。
【课堂检测】1.若向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),则x= 2.已知三点P (1,1)、A (2,-4)、B (x ,-9)在一条直线上,求x 的值.3.已知向量a =(2x -y +1,x +y -2), b=(2,-2),x 、y 为何值时,(1)a b = ; (2) //a b【课后作业】1.平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a ,回答下列问题: (1)求满足c n b m a +=的实数m,n ; (2)若()()a b c k a -+2//,求实数k ;2.(2005湖北).已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过5,则k 的取值范围是3.设→--OA =(3,1),→--OB =(-1,2),→--OC ⊥→--OB ,→--BC ∥→--OA ,O 为坐标原点,则满足→--OD +→--OA =→--OC 的→--OD 的坐标是____§41平面向量 3 (1)【考点及要求】熟练掌握平面向量数量积运算规律,能利用数量积的几个重要性质及数量积运算规律解决有关问题。