一元一次不等式应用题精讲及分类训练
一元一次不等式(组)的应用经典题目分类总结
类型一利用一元一次不等式解决简单的实际问题1．七年级一班在创意市场中共售出了20件作品，其中售出的男生的作品不比女生的作品多.男生的作品的平均售价为20元/件，女生的作品的平均售价为30元/件，总售价少于510元，则售出了件男生的作品.2．有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210 kg，每捆材料重20 kg，电梯的最大负荷为1 050 kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下，最多还能搭载捆材料.3．某种品牌毛巾原零售价为每条8元，凡一次性购买3条以上(含3条)，可享受商家推出的两种优惠销售办法中的任意一种，第一种:其中三条按原价，其余按7折优惠;第二种:全部按原价的8折优惠.若想在购买相同数量的情况下，使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少要购买条毛巾.4．某人上午8时以每小时100km的速度自驾从甲地出发赶往乙地，（中途休息、用餐共1小时）到达乙地时已超过当天下午2时45分，但不到3时，则甲、乙两地的距离x 的范围是．5．某射击运动员在一次比赛中前6次射击共击中52环，如果他要打破89环(10次射击，每次射击最高中10环)的纪录，那么他第7次射击不能少于( )A. 6环B. 7环C. 8环D. 9环6．某人要在18min内通过一段2.1 km长的路程，已知他每分钟走90m.若跑步每分钟可跑210m，则此人通过这段路程时，至少要跑( )A.-3 minB. 4 minC. 4.5 minD. 5 min7．某市自来水公司的收费标准:若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费2. 8元;若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费3元.小颖家每月水费都不少于29元，小颖家每月的用水量至少是( )A.11立方米B. 10立方米C. 9立方米D. 5立方米8．把一些书分给几名同学，若每人分11本，则有剩余，若（），依题意，设有x 名同学，可列不等式7（x+4）＞11x．A．每人分7本，则剩余4本B．每人分7本，则剩余的书可多分给4个人C．每人分4本，则剩余7本D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分4本类型二：分段计费1.为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，某市从今年4月起，居民生活用水按阶梯式计算水价，水价计算方式如下表所示，每吨水还需另加污水处理费0.80元．已知小张家今年4月份用水20吨，交水费49元；5月份用水25吨，交水费65.4元．(友情提示：水费=水价+污水处理费)（1）求m、n的值；（2）随着夏天的到来，用水量将激增．为了节省开支，小张计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小张家的月收入为8190元，则小张家6月份最多能用水多少吨？类型三决策性问题1.某游泳馆今年夏季推出两种游泳付费方式.方式一:先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元; 方式二:不购买会员证，每次游泳付费9元.设小明计划今年夏季游泳次数一为x(x为正整数)，方式一的总费用为y元，方式二的总1费用为y元.2(1)根据题意，填写下表:(2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多?x>时，小明选择哪种付费方式更合算?(3)当202.甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每把椅子80元.甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家:买一张办公桌送三把椅子;乙厂家:办公桌和椅子全部按原价8折优惠，现某公司要购买3张办公桌和若干把椅子，若x≥).购买的椅子为x把(9(1)分别用含x的式子表示到甲、乙两个广家购买桌椅所需的金额.(2)该公司到哪个厂家购买更划算?3.为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？4.“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元．（1）求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？（2）若个体户从淘宝网上购买A、B两款羽绒服各10件，均按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？类型四方案选择问题1.银杏树具有观赏、经济、药用等价值，深受人们喜爱.在银杏种植基地有A、B个品种的树苗出售，已知A种树苗的单价比B种树苗高20元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需200元.(1) A、B两种树苗的单价分别为多少元?(2)为扩大种植，某农户准备购买A、B两种银杏树苗共36株，且A种树苗的数量不少于B种树苗数量的一半，请求出费用最省的购买方案.2.为绿化校园，我区某学校计划购进甲、乙两种树苗共36棵，已知甲种树苗每棵50元，乙种树苗每棵40元．（1）若购进甲、乙两种树苗刚好用去1640元，问购进甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的数量不少于乙种树苗的数量2倍，请你选出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．3.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．(1)若小明妈妈准备用120元去商场购物，你建议小明妈妈去商场花费少（直接写“甲”或“乙”）；(2)根据两家商场的优惠活动方案，问顾客到哪家商场购物花费少？请说明理由．4.某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米。
一元一次不等式应用题专题
一元一次不等式应用题专题(附答案)1、某校王校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游。
甲旅行社说如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠，乙旅行社说包括校长在内全部按全票价的6折优惠（按全票价的60％收费，且全票价为1200元） ①设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（写出表达式） ②当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？ ③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
解：设设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，根据题意，得①y甲=1200+1200×50%×x=1200+600xy乙=(x+1)×1200×60%=720(x+1)=720x+720②当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？当y甲=y乙时，即1200+600x=720x+720120x=480x=4所以，当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样！③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
若y甲＞y乙，即1200+600x＞720x+720120x＜480x＜4，此时乙旅行社便宜。
若y甲＜y乙，即1200+600x＜720x+720解得，x>4,此时甲旅行社便宜。
答：当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠；当学生人数等于4人时，两个旅行社一样优惠。
2、李明有存款600元，王刚有存款2000元，从本月开始李明每月存款500元，王刚每月存款200元，试问到第几个月，李明的存款能超过王刚的存款。
解：设到第x个月李明的存款超过王刚的存款，根据题意，得600+500x＞2000+200x300x＞1400x＞14/3因为x为整数，所以x=5答：到第5个月李明的存款超过王刚的存款。
3、暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。
一元一次不等式(组)应用题及练习(含答案)
类型一例1.*校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，假设只租用36座客车假设干辆，则正好坐满；假设只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．(1)该校初三年级共有多少人参加春游"(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．【思路点拨】此题的关键语句是："假设只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人〞．理解这句话，有两层不等关系．(1)租用36座客车*辆的座位数小于租用42座客车(*-1)辆的座位数．(2)租用36座客车*辆的座位数大于租用42座客车(*-2)辆的座位数+30．【答案与解析】解：(1)设租36座的车*辆．据题意得：3642(1)3642(2)30x xx x<-⎧⎨>-+⎩，解得：79xx>⎧⎨<⎩．由题意*应取8，则春游人数为：36×8＝288(人)．(2)方案①：租36座车8辆的费用：8×400＝3200(元)，方案②：租42座车7辆的费用：7×440＝3080(元)，方案③：因为42×6+36×1＝288，所以租42座车6辆和36座车1辆的总费用：6×440＋1×400＝3040(元) ．所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱．练习一：1.将一筐橘子分给几个儿童，假设每人分4个，则剩下9个橘子；假设每人分6个，则最后一个孩子分得的橘子将少于3个，则共有_______个儿童，_______个橘子．2. 5.12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作．拟派30名医护人员，携带20件行李〔药品、器械〕，租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．(1) 设租用甲种汽车*辆，请你设计所有可能的租车方案；(2) 假设甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．类型二例2.*市局部地区遭受了罕见的旱灾，"旱灾无情人有情〞．*单位给*乡中小学捐赠一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．〔1〕求饮用水和蔬菜各有多少件？〔2〕现方案租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．〔3〕在〔2〕的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？解：〔1〕设饮用水有*件，蔬菜有y件，依题意，得320,80, x yx y+=⎧⎨-=⎩解得200,120.xy=⎧⎨=⎩所以饮用水和蔬菜分别为200件和120件．〔2〕设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车(8-m)辆．依题意得4020(8)200,1020(8)120.m mm m+-≥⎧⎨+-≥⎩解得2≤m≤4．又因为m为整数，所以m＝2或3或4．所以安排甲、乙两种货车时有3种方案．设计方案分别为：①2×400+6×360＝2960〔元〕；②3×400+5×360＝3000〔元〕；③4×400+4×360＝3040〔元〕．所以方案①运费最少，最少运费是2960元．练习二：1.户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：种植户种植A类蔬菜面积〔单位：亩〕种植B类蔬菜面积〔单位：亩〕总收入〔单位：元〕甲 3 1 12500乙 2 3 16500说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．⑴求A、Ｂ两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？⑵ *种植户准备租20亩地用来种植A、Ｂ两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植Ａ类蔬菜的面积多于种植Ｂ类蔬菜的面积〔两类蔬菜的种植面积均为整数〕，求该种植户所有租地方案.2、*公司为了更好得节约能源，决定购置一批节省能源的10台新机器。
七年级数学7.2一元一次不等式讲解与例题
7.2 一元一次不等式1．了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法．2．了解解不等式的概念，会用不等式的性质解简单的不等式，并能用数轴表示解集．3．运用一元一次不等式建立数学模型来解决实际问题，体会探索问题的过程，感知数学的应用价值．1．一元一次不等式的概念含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式．如不等式x －2≥4,2x ＋1＜11，x －3＞2,0.2x ＋4≤5都是一元一次不等式．(1)一元一次不等式的一般形式：ax ＋b ＞(≥)0或ax ＋b ＜(≤)0.(a ≠0)(2)一元一次不等式的最简形式：ax ＞(≥)0或ax ＜(≤)0.(a ≠0)(3)一元一次不等式概念的理解：①表示不等关系，即式子是不等式．②不等号的左右两边都是整式．例如，1y ＜2，1x ＋3≥5就不是一元一次不等式． ③只含有一个未知数，即未知数的个数不能多．例如，2x ＋y ＞3不是一元一次不等式．④未知数的最高次数是1.如x 2＋x －2≤1不是一元一次不等式．判断式子是否是一元一次不等式，上述四个条件缺一不可．一元一次不等式与一元一次方程的异同相同点：两者都只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，左边和右边都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，用不等号连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，用等号连接，等号没有方向．【例1】下列不等式是一元一次不等式的是( )．A ．2x (x －3)＞9B ．x ＋5y ＜2C ．6x －3＞2D ．1x－3＞5 解析：A 中的2x (x －3)应将括号展开，否则容易误认为x 的指数为1，其最高次数为2，故不是一元一次不等式；B 中含有两个未知数，故不是一元一次不等式；D 中不等号左边不是整式，也不是一元一次不等式；只有C 符合一元一次不等式的定义．故选C ．答案：C2．不等式的解集(1)一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集．求不等式解集的过程叫做解不等式．例如，x ＝3,4,5,6,7.5，…都是不等式x ＋2≥5的解，可以用x ≥3来表示，其中x ≥3就是不等式x ＋2≥5的解集．(2)不等式的解集必须满足的条件：一是解集中的每一个数值都能使不等式成立，解集外的任何一个数值都不能使不等式成立；二是能够使不等式成立的所有数值都在解集中．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解集是由使不等式成立的所有未知数的值组成的，一个不等式的解集包括不等式的每一个解．即所有的解组成了解集，解集包括解．(3)检验一个数是否为不等式的解与检验一个数是否为方程的解的方法相同，即将这个数代入不等式中，看不等式是否成立(其中方程是看等号两边是否相等，而不等式是看是否与不等号方向相同)．【例2】下列说法正确的个数是( )．(1)5是不等式x ＋2＞6的解；(2)3是不等式y －1＞2的解；(3)所有小于1的整数都是不等式x ＋1＜2的解．A ．1B ．2C ．3D ．0解析：把x ＝5代入(1)中不等式的左、右两边，这时x ＋2＝7，而7＞6，即x ＋2＞6成立，所以x ＝5是不等式x ＋2＞6的解，故说法(1)正确；把y ＝3代入(2)中不等式的左、右两边，这时y －1＝2，即y －1＞2不成立，所以3不是不等式y －1＞2的解，故说法(2)不正确；因为所有小于1的整数都能使x ＋1＜2成立，故说法(3)正确．因此选B ．答案：B3．一元一次不等式的解集及其表示(1)一元一次不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．类似地，使一元一次不等式成立的所有的解，组成了一元一次不等式的解集．(2)解集的形式：任意一个一元一次不等式最终都化简为ax ＞b 或ax ＜b (a ≠0)的形式，其解集可分为以下两种情形：①当a ＞0时，ax ＞b 的解集为x ＞b a ，ax ＜b 的解集为x ＜b a ；②当a ＜0时，ax ＞b 的解集为x ＜b a ，ax ＜b 解集为x ＞b a .(3)一元一次不等式的解集可以用数轴来表示．x ＜a 的全体实数，在数轴上表示a 左边的所有点，不包括在内；x ≤a 表示小于或等于a 的全体实数，在数轴上表示a 左边的所有点，包括a 在内；x ＞a 表示大于a 的全体实数，在数轴上表示a 右边的所有点，不包括a 在内；x ≥a 表示大于或等于a 的全体实数，在数轴上表示a 右边的所有点，包括a 在内．【例3】写出下列数轴上所表示的不等式的解集：解：把数轴上的点所表示的数的范围用不等式表示，即为所求的解集．所以(1)的解集为x ＞0；(2)的解集为x ≤－1.4．解一元一次不等式的步骤解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤一样，主要有以下几个步骤：(1)去分母：根据不等式的基本性质2或3，把不等式的两边都乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的不等式．(2)去括号：根据去括号法则去括号，特别要注意括号外面是负号时，括号里面的各项要改变符号．(3)移项：根据不等式的基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等号的左边，常数项移到不等号的右边．(4)合并同类项：根据整式的运算法则，将同类项合并．(5)系数化为1：根据不等式的基本性质2或3，将未知数的系数化成1.解一元一次不等式时易错点：(1)去分母时，不含分母的项容易漏乘分母的最小公倍数．如不等式3＋2－3x 5≤1＋x 2去分母时，常数项3容易漏乘分母的最小公倍数10.(2)去括号时，括号前是负号的，括号内各项的符号均要变．如不等式3－5⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －2－4(－1＋5x )＜0去括号时，不要忽视括号前面的负号．(3)移项时要变号．如不等式7x －6＜4x －9移项时，要改变符号．(4)未知数的系数化为1时，不等式的两边都除以未知数的系数，当系数是负数时，不等号的方向改变．如在化简－0.8x ≤－1.6时，两边都除以－0.8，要改变不等号的方向．【例4】解不等式：1＋x 3＞5－x －22，并在数轴上表示其解集． 分析：将不等式左右两边同时乘以未知数的系数的最小公倍数，然后合并化简求解． 解：去分母，得6＋2x ＞30－3(x －2)．去括号，得6＋2x ＞30－3x ＋6.移项，得2x ＋3x ＞30＋6－6.合并同类项，得5x ＞30.未知数系数化为1，得x ＞6.不等式的解集在数轴上的表示如图所示：在解这个一元一次不等式时要注意移项时要改变符号，系数化为1时，如果同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．5．一元一次不等式的应用与列一元一次方程解决实际问题一样，列一元一次不等式解应用题的步骤是：(1)审题．弄清题意和题目中的数量关系和不等关系，即分析题中已知什么、未知什么、求什么．(2)设元．即设未知数．分直接设和间接设两种，设时要带有单位．(3)列不等式．根据不等关系，用含有未知数的代数式表示出来．(4)解不等式．解所列不等式，求出未知数的范围．(5)检验并作答．检验所求解是否符合题意，是否符合实际情况，最后写出答案．【例5】某市自来水公司按如下标准收取水费，若每户每月用水不超过5 m 3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5 m 3，则超过部分每立方米收费2元．小童家某月的水费不少于10元，那么她家这个月的用水量至少是多少？分析：本题目中水费计算方法与用水量在不同的范围内而有所不同，设小童家的用水量是x m 3，当x ≤5时，水费为1.5x 元；当x ＞5时，不超过5 m 3的部分共收水费为1.5×5元，超过5 m 3部分的水收费2(x －5)元，两部分共1.5×5＋2(x －5)元．本题目中不等关系为：某月的水费不少于10元．解：设小童家的用水量是x m 3.由于10＞1.5×5，所以小童家的用水量超过5 m 3.根据题意，得1.5×5＋2(x －5)≥10.解这个不等式，得x ≥6.25(m 3)．故小童家这个月的用水量至少是6.25 m 3.建立不等式模型，即把实际问题转化为不等式问题求解，根据不等关系列出不等式．不等关系的找法可抓住关键词语，如：“至少”“最多”“不超过”“不低于”．6．与一元一次不等式有关的综合题一般情况下，不等式的解有无数个，但在特定的条件下，不等式的解的个数可以是有限个，可以利用这种方法和技巧求不等式的特殊解．求不等式的特殊解时，要先求出不等式的所有解集，再从所有解集中找出题目中要求的特殊解．通常先用数轴表示不等式的解集，再通过数轴求特殊解．不等式的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解、非负整数解，要求这些特殊解，首先要确定不等式的解集，然后再找到相应的答案．【例6】求不等式5－4x 12＜1的非正整数解． 分析：首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出符合条件的非正整数解即可．解：解不等式5－4x 12＜1. 去分母，得5－4x ＜12.移项，得－4x ＜12－5.合并同类项，得－4x ＜7.未知数系数化为1，得x ＞－74. 因此原不等式解集为x ＞－74. 该不等式的解集在数轴上表示为：故不等式5－4x 12＜1的非正整数解为－1,0，共两个．求不等式的特殊解，利用数轴表示解集可避免多解、漏解的现象．7．不等式解集的应用(1)不等式解集的应用范围很广，最典型的是求字母的取值范围．解决这一问题的关键是观察不等式中不等号的方向与其解集中不等号的方向是否一致．若不一致，则说明未知数的系数为负，即未知数的系数小于零；若一致，则说明未知数的系数为正，即未知数的系数大于零．从而把问题转化为关于参数的不等式，解这个不等式得到参数的解．(2)利用不等式的解集还可以解决以下问题：①判断代数式的值的大小关系；②求与之有关联的另一个不等式的解集；③与方程综合求代数式的值．解决这些问题的关键是正确地求出不等式的解集，根据题意列出新的方程或不等式．然后结合数轴或将给出的条件代入，即可确定字母系数的取值范围，但是要注意端点的取舍．【例7】m 取何值时，关于x 的方程23x －1＝6m ＋5(x －m )的解是非负数． 分析：本题首先要解这个关于x 的方程，求出方程的解，根据解是非负数，可以得到一个关于m 的不等式，然后再根据不等式求出m 的范围．解：由原方程，解得x ＝－3m ＋313， 因为方程23x －1＝6m ＋5(x －m )的解是非负数， 所以x ≥0，即－3m ＋313≥0. 解这个不等式，得m ≤－1.8．列一元一次不等式解决实际问题一元一次不等式的应用题与实际生活联系密切．此类题目涉及的知识点主要是一元一次不等式的解法，以及求不等式的特殊解(整数解、非负整数解、非正整数解、正整数解、负整数解)．要加强建立不等式模型解决问题的数学意识．对涉及日常生活中的经营决策、方案设计、最佳效益等方面的问题，要了解其中的专业术语和数学关系．例如方案设计问题常常是根据题中的不等关系列不等式，得到某些量的限制条件，从而确定不同的方案，完成对某些实际问题的方案设计．根据题中字母或有关量的限制条件找出符合实际意义的解，一般不等式有无数个解，但应用题要求的往往是符合实际意义的、具体的、有限的特殊解．【例8】为了更好地满足人民生活需求，丰富市场供应，某地区农村温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大．在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种．科学研究表明：在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果(同一种紧挨在一起种植不超过两垄)，可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益．现有一个种植总面积为540 m 2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄(垄数为正整数)，它解：设西红柿种了(24－x )垄．根据题意，得15x ＋30(24－x )≤540.解得x ≥12.∵x ≤14，且x 是正整数，∴x ＝12,13,14.故共有三种种植方案，分别是：方案一：草莓种植12垄，西红柿种植12垄；方案二：草莓种植13垄，西红柿种植11垄；方案三：草莓种植14垄，西红柿种植10垄．。
专题10 一元一次不等式(组)(归纳与讲解)(解析版)
专题10 一元一次不等式(组) 【专题目录】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧技巧2：一元一次不等式的解法的应用技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用【题型】一、不等式的性质【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围【题型】六、一元一次不等式的应用【考纲要求】1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次不等式(组)【注意】1. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
2. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
2．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．3．列不等式(组)解应用题的一般步骤： (1)审题； (2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系； (4)列出不等式(组)； (5)求出不等式(组)的解；(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值； (7)写出答案(包括单位名称)．【技巧归纳】技巧1：一元一次不等式组的解法技巧 【类型】一、解普通型的一元一次不等式组1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＜6，x －2≤0的解集，在数轴上表示正确的是( )2．解不等式组，并把解集表示在数轴上．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2），①1－2x 3＋15＞0.②【类型】二、解连写型的不等式组3．满足不等式组－1<2x －13≤2的整数的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．无数4．若式子4－k 的值大于－1且不大于3，则k 的取值范围是____________． 5．用两种不同的方法解不等式组－1<2x －13≤5.【类型】三、“绝对值”型不等式转化为不等式组求解． 6．解不等式⎪⎪⎪⎪3x －12≤4.【类型】四、“分式”型不等式转化为不等式组求解 7．解不等式3x －62x ＋1<0.参考答案 1．C2．解：由①得，x≥－1.由②得，x ＜45.∴不等式组的解集为－1≤x ＜45.表示在数轴上，如图所示．3．B 4.1≤k ＜55．解：方法1：原不等式组可化为下面的不等式组⎩⎨⎧－1<2x －13，①2x －13≤5.②解不等式①，得x>－1.解不等式②，得x≤8.所以不等式组的解集为－1<x≤8.方法2：－1<2x －13≤5，－3<2x －1≤15，－2<2x≤16，－1<x≤8.6．分析：由绝对值的知识|x|＜a(a ＞0)，可知－a ＜x ＜a.解：由⎪⎪⎪⎪3x －12≤4，得－4≤3x －12≤4.则原不等式可转化为⎩⎨⎧3x －12≥－4，①3x －12≤4.②解不等式①，得x≥－73.解不等式②，得x≤3.所以原不等式的解集为－73≤x≤3.点拨：解题时要先将不等式转化为不等式组再进行求解． 7．解：∵3x －62x ＋1＜0，∴3x －6与2x ＋1异号．即：(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧3x －6＞0，2x ＋1＜0或(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧3x －6＜0，2x ＋1＞0.解(Ⅰ)的不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＜－12.∴此不等式组无解． 解(Ⅱ)的不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x ＞－12.∴此不等式组的解集为－12＜x ＜2.∴原不等式的解集为－12＜x ＜2.技巧2：一元一次不等式的解法的应用 【类型】一、直接解不等式1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．(1)x ＞13x －2； (2)4x －13－x ＞1； (3)x ＋13≥2(x ＋1)．2．下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．解不等式：4－3x 3－1＜7＋5x5.解：去分母，得5(4－3x)－1＜3(7＋5x)． ① 去括号，得20－15x －1＜21＋15x. ② 移项，合并同类项，得－30x ＜2. ③ 系数化为1，得x ＞－115. ④【类型】二、解含字母系数的一元一次不等式 3．解关于x 的不等式ax －x －2＞0.【类型】三、解与方程(组)的解综合的不等式4．当m 取何值时，关于x 的方程23x －1＝6m ＋5(x －m)的解是非负数？5．二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝10，4x －3y ＝2的解满足不等式ax ＋y ＞4，求a 的取值范围．【类型】四、解与新定义综合的不等式6．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a(a －b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2★5＝2×(2－5)＋1＝－5.(1)求(－2)★3的值；(2)若3★x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来． 【类型】五、解与不等式的解综合的不等式7．已知关于x 的不等式3x －m ≤0的正整数解有四个，求m 的取值范围． 8．关于x 的两个不等式①3x ＋a2<1与②1－3x>0.(1)若两个不等式的解集相同，求a 的值； (2)若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围． 参考答案1．解：(1)x ＞13x －2，23x ＞ －2， x ＞ －3.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(2)4x －13－x ＞1，4x －1－3x ＞ 3，x ＞ 4.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．(3)x ＋13≥2(x ＋1)，x ＋1≥ 6x ＋6， －5x ≥ 5， x ≤ －1.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．2．解：第①步开始错误，应该改成：去分母，得5(4－3x)－15＜3(7＋5x)． 去括号，得20－15x －15＜21＋15x. 移项，合并同类项，得－30x ＜16. 系数化为1，得x ＞－815.3．解：移项，合并同类项得，(a －1)x ＞2，当a －1＞0，即a ＞1时，x ＞2a －1； 当a －1＝0，即a ＝1时，x 无解； 当a －1＜0，即a ＜1时，x ＜2a －1. 4．解：解方程得x ＝－313(m ＋1)，由题意得－313(m ＋1)≥0，解得m ≤－1.5．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝10，4x －3y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.代入不等式得2a ＋2＞4.所以a ＞1.6．解：(1)(－2)★3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.(2)∵3★x ＜13，∴3(3－x)＋1＜13， 去括号，得9－3x ＋1＜13， 移项，合并同类项，得－3x ＜3， 系数化为1，得x ＞－1. 在数轴上表示如图所示．7．解：解不等式得x ≤m 3，由题意得4≤m3＜5，解得12≤m ＜15.方法规律：已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．8．解：(1)由①得x ＜2－a 3，由②得x ＜13，由两个不等的解集相同，得2－a 3＝13，解得a ＝1.(2)由不等式①的解都是②的解，得2－a 3≤13，解得a ≥1.技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用 【类型】一、与方程组的综合问题1．已知实数x ，y 同时满足三个条件：①x －y ＝2－m ；②4x －3y ＝2＋m ；③x ＞y.那么实数m 的取值范围是( )A ．m ＞－2B ．m ＜2C ．m ＜－2D ．m ＞22．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－7－a ，x －y ＝1＋3a的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围； (2)化简|a －3|＋|a ＋2|.3．在等式y ＝ax ＋b 中，当x ＝1时，y ＝－3；当x ＝－3时，y ＝13.(1)求a ，b 的值；(2)当－1＜x ＜2时，求y 的取值范围． 【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题 题型1：已知解集求字母系数的值或范围4．已知不等式(a －2)x ＞4－2a 的解集为x ＜－2，则a 的取值范围是__________．5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ＜1，x －2b ＞3的解集为－1＜x ＜1，求(b －1)a ＋1的值．题型2：已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ＜a 的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为( )A ．7＜a ≤8B ．6＜a ≤7C ．7≤a ＜8D ．7≤a ≤87．如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ≥0，3x －b ＜0的整数解是1，2，3，求适合这个不等式组的整数a ，b 的值．题型3：已知不等式组有无解求字母系数的取值范围8．如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －a ＜0无解，则a 的取值范围是__________．9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜a ①，3x ＋5＞x －7 ②有解，求实数a 的取值范围．参考答案 1．B2．解：(1)解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋a ，y ＝－4－2a.∵x 为非正数，y 为负数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＋a ≤0，－4－2a ＜0，解得－2＜a ≤3. (2)∵－2＜a ≤3，即a －3≤0，a ＋2＞0，∴原式＝3－a ＋a ＋2＝5.3．解：(1)将x ＝1时，y ＝－3；x ＝－3时，y ＝13代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3，－3a ＋b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝1.(2)由y ＝－4x ＋1，得x ＝1－y 4.∵－1＜x ＜2，∴－1＜1－y4＜2，解得－7＜y ＜5.4．a ＜25．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ＜1.①，x －2b ＞3.②，解①得x ＜a ＋12；解②得x ＞2b ＋3.根据题意得a ＋12＝1，且2b ＋3＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，则(b －1)a ＋1＝(－3)2＝9. 6．A7．解：解不等式组得a 2≤x ＜b3.∵不等式组仅有整数解1，2，3， ∴0＜a 2≤1，3＜b3≤4.解得0＜a ≤2，9＜b ≤12. ∵a ，b 为整数，∴a ＝1，2，b ＝10，11，12. 8．a ≤19．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜a ①，3x ＋5＞x －7②，解不等式①得x ＜a －1.解不等式②得x ＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜x ＜a －1，则a －1＞－6，a ＞－5. 【题型讲解】【题型】一、不等式的性质例1、若a＞b，则下列等式一定成立的是（）A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．故选：B．【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示例2、不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式x+2＞0，得：x＞-2，解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选C．【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法例3、不等式12x-≤的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【详解】解：12x-≤，解得：3x≤，则不等式12x-≤的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选：D．【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围例4、若不等式组130x abx->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．【答案】-2 -3 【详解】解：由题意得：1?30? x abx->⎧⎨+≥⎩①②解不等式① 得: x>1+a ,解不等式①得:x≤3 b -不等式组的解集为: 1+a＜x≤3 b -不等式组的解集是﹣1＜x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为: -2, -3.【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围例5、若不等式组841x xx m+<-⎧⎨>⎩的解集是x＞3，则m的取值范围是（）.A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【答案】C【解析】详解：841x xx m+<-⎧⎨>⎩①②，解①得，x>3；解①得，x>m，①不等式组841x xx m+<-⎧⎨>⎩的解集是x>3，则m①3.故选：C.【题型】六、一元一次不等式的应用例6、某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】C【分析】根据竞赛得分10=⨯答对的题数(5)+-⨯未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．【详解】解：设要答对x 道．10(5)(20)120x x +-⨯->，10 100 5 120x x -+>， 15 220x >，解得：443x >， 根据x 必须为整数，故x 取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题． 故选C ．一元一次不等式(组)（达标训练）一、单选题1．若m n >，则下列不等式一定成立的是（ ）． A ．2121m n -+>-+ B ．1144m n ++> C ．m a n b +>+ D ．am an -<-【答案】B【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A 、①m >n ，①-2m <-2n ，则-2m +1<-2n +1，故该选项不成立，不符合题意； B 、①m >n ，①m +1>n +1，则1144m n ++>，故该选项成立，符合题意； C 、①m >n ，①m +a >n +a ，不能判断m +a >n +b ，故该选项不成立，不符合题意；D 、①m >n ，当a >0时，-am <-an ；当a <0时，-am >-an ；故该选项不成立，不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x 件，则能够得到的不等式是（ ）A ．100x +80（10﹣x ）＞900B ．100+80（10﹣x ）＜900C ．100x +80（10﹣x ）≥900D ．100x +80（10﹣x ）≤900【答案】D【分析】设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．【详解】解：设购买冰墩墩礼品x 件，则购买雪容融礼品（10﹣x ）件， 根据题意，得：100x +80（10﹣x ）≤900， 故选：D ．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．3．不等式组3050x x +>⎧⎨-≤⎩的解是（ ）A ．3x >-B ．5x ≤C ．35x -<≤D ．无解【答案】C【分析】先求出每个不等式的解集，再结合起来即可得到不等式组的解集． 【详解】由30x +>得：3x >- 由50x -≤得：5x ≤ ①35x -<≤ 故选C【点睛】本题考查一元一次方程组的求解，掌握方法是关键． 4．不等式3﹣x ＜2x +6的解集是（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1【答案】D【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化1求解即可． 【详解】解：326x x -<+， 移项得362x x -<+， 合并同类项得33x -<， 系数化1得1x >-，∴不等式326x x -<+的解集是1x >-，故选：D ．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键． 5．在数轴上表示不等式1x >-的解集正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断． 【详解】解：在数轴上表示不等式x >−1的解集的是A ． 故选：A ．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，是解题的关键．二、填空题6．超市用1200元钱批发了A ，B 两种西瓜进行销售，两种西瓜的批发价和零售价如下表所示，若计划将这批西瓜全部售完后，所获利润率不低于40%，则该超市至少批发A 种西瓜__________kg ．【答案】120【分析】设批发A 种西瓜x kg ，根据“利润率不低于40%”列出不等式，求解即可．【详解】解：设批发A 种西瓜x kg ，则 （6-4）x +120043x-×（4-3）≥1200×40%， 解得x ≥120．答：该超市至少批发A 种西瓜120kg ． 故答案为：120．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解． 7．不等式2103x --<的解集为____． 【答案】5x <【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解． 【详解】解：去分母，得：230x --<， 移项，得：23x <+， 合并同类项，得：5x <． ①不等式的解集为：5x <． 故答案为：5x <．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意①不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变；在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区别．三、解答题8．解不等式组：()36,3121,x x x x ≤-⎧⎨+>-⎩并将解集在数轴上表示．【答案】3x ≥，数轴表示见解析【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求两个解集的公共部分，即是不等式组的解集． 【详解】解：解不等式36x x -≤，得：3x ≥， 解不等式312(1)x x +>-，得：3x >-， ①3x ≥与3x >-的公共部分为3x ≥， ①不等式组的解集是：3x ≥． 在数轴上表示解集如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键．一元一次不等式(组)（提升测评）一、单选题1．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：①画一条数轴，在数轴上用点A ，B ，C 分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ①将这条数轴在点A 处剪断，点A 右侧的部分称为数轴I ，点A 左侧的部分称为数轴①； ①平移数轴①使点A 位于点B 的正下方，如图2所示；①扩大数轴①的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧． 则整数k 的最小值为（ ）A ．511B ．510C ．509D ．500【答案】A【分析】根据题意可得k ⋅AC AB >，列出不等式，求得最小整数解即可求解． 【详解】解：依题意，4AC =，2042AB =①扩大数轴①的单位长度至原来的k 倍，使点C 正上方位于数轴I 的点A 左侧， ∴k ⋅AC AB >，即42042k >， 解得15102k >，k 为正整数，①k 的最小值为511， 故选A ．【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出k ⋅AC AB >是解题的关键．2．不等式12<32x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的解在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得答案．【详解】解：去括号，得：21<3x x -， 移项，得：3+2<1x x -， 合并同类项，得：<1x -， 系数化为1，得>1x -， 在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．3．已知实数a ，b ，c 满足2a c b +=，112a c b+=．则下列结论正确的是（ ）A ．若0a b >>，则0c b >>B ．若1ac =，则1b =±C ．a ，b ，c 不可能同时相等D ．若2a =，则28b c =【答案】B【分析】A.根据0a b ＞＞，则11a b ＜，根据112a c b+=，得出c b ＜；B.根据112a cb +=，得出()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：21b ac ==，即可得出答案；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，即可判断出答案；D.根据解析B 可知，22b ac c ==，即可判断． 【详解】A.①0a b ＞＞， ①11a b ＜， ①112a c b+=，①11c b＞， ①c b ＜，故A 错误；B.①112a cb +=，即2a c ac b+=， ①()2ac b a c =+，把2a c b +=代入得：222ac b =，21b ac ∴==，解得：1b =±，故B 正确；C.当a b c ==时，可以使2a c b +=，112a c b+=，①a ，b ，c 可能同时相等，故C 错误；D.根据解析B 可知，2b ac =，把2a =代入得：22b c =，故D 错误． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．4．若数a 使关于x 的分式方程1133x a x x ++=--有非负整数解，且使关于y 的不等式组3212623y y y y a++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣5 B ．﹣3C ．0D ．2【答案】D【分析】解不等式组，根据题意确定a 的范围；解出分式方程，根据题意确定a 的范围，根据题意计算即可．【详解】解：3212623y y y y a ++⎧⎪⎨⎪≥-⎩＞①②，解不等式①得：y ＞﹣8， 解不等式①得：y ≤a ，①原不等式组的解集为：﹣8＜y ≤a ， ①不等式组至少有3个整数解， ①a ≥﹣5， 1133x ax x++=--， 去分母得①1﹣x ﹣a ＝x ﹣3，解得：x 42a-=， ①分式方程有非负整数解， ①x ≥0（x 为整数）且x ≠3， ①42a-为非负整数，且42a -≠3， ①a ≤4且a ≠﹣2，①符合条件的所有整数a 的值为：﹣4，0，2，4， ①符合条件的所有整数a 的和是：2， 故选：D ．【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．5．已知三个实数a 、b 、c ，满足325a b c ++=，231a b c +-=，且0a ≥、0b ≥、0c ≥，则37+-a b c 的最小值是（ ） A ．111-B ．57-C ．37D ．711【答案】B【分析】由两个已知等式3a +2b +c ＝5和2a +b ﹣3c ＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a ，b ，c 均是非负数，列出c 的不等式组，可求出未知数c 的取值范围，再把m ＝3a +b ﹣7c 中a ，b 转化为c ，即可得解．【详解】解：联立方程组325231a b c a b c ++=⎧⎨+-=⎩，解得，73711a c b c =-⎧⎨=-⎩，由题意知：a ，b ，c 均是非负数， 则07307110c c c ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩， 解得37711c ≤≤， ①3a +b ﹣7c＝3（﹣3+7c ）+（7﹣11c ）﹣7c ＝﹣2+3c，当c ＝37时，3a+b ﹣7c 有最小值，即3a+b ﹣7c ＝﹣2+3×37＝﹣57．故选：B ．【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．二、填空题6．一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 _____． 【答案】254m >-## 6.25m >-##164m >- 【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得254()0m =-->Δ，进行计算即可得． 【详解】解：根据题意得254()0m =-->Δ， 解得，254m >-， 故答案为：254m >-． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式并认真计算． 7．若关于x 的分式方程232x mx -=-的解是非负数，则m 的取值范围是________． 【答案】m ≤6且m ≠4【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：关于x 的分式方程232x mx -=-的解为：x ＝6−m ， ①分式方程有可能产生增根2， ①6−m ≠2， ①m ≠4，①关于x 的分式方程232x mx -=-的解是非负数， ①6−m ≥0， 解得：m ≤6，综上，m 的取值范围是：m ≤6且m ≠4． 故答案为：m ≤6且m ≠4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．三、解答题8．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型a 个，销售这批模型的利润为w 元． ①求w 与a 的函数关系式（不要求写出a 的取值范围）；①若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元(2)①51000w a =+①购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元【分析】（1）根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解.（2）①设“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个，根据利润关系即可表示w 与a 的关系式. ①根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，即可找到a 的取值范围，利用一次函数性质即可求解. （1）解：设“天宫”模型成本为每个x 元，则“神舟”模型成本为每个10x +（）元. 依题意得100100510x x =++. 解得10x =.经检验，10x =是原方程的解.答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元； （2）解：①“神舟”模型a 个，则“天宫”模型为200a -（）个.()()()3020151020051000w a a a ∴=-+--=+.①购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13. ()12003a a ∴≤-. 解得：50a ≤.51000w a =+.50k =>.()max 5055010001250a w ∴==⨯+=当时，元.即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.9．解不等式组：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩ 【答案】1x ≥-【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解． 【详解】解：3(2)821+1<52x x x x --≥--⎧⎪⎨⎪⎩①②， 解不等式①，得 1x ≥-，解不等式①，得 >7x -，①该不等式组的解集为 1x ≥-．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．。
一元一次不等式组(8类热点题型讲练)(原卷版) 八年级数学下册
第03讲一元一次不等式组(8类热点题型讲练)1.经历通过具体问题抽象出不等式组的过程；2.理解一元一次不等式组及其解的意义，初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法；3.会运用一元一次不等式组解决简单的实际问题；4.会利用数轴表示一元一次不等式组的解集．知识点01一元一次不等式组的定义（1）一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．（2）概念解析形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个．知识点02解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．知识点03一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．知识点04由实际问题抽象出一元一次不等式组由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．知识点05一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．题型01一元一次不等式组的定义【例题】（2023上·广东梅州·九年级校考开学考试）下列不等式组为一元一次不等式组的是（）A．32xx>-⎧⎨<⎩B．1020xy+>⎧⎨-<⎩C．()()320230xx x->⎧⎨-+>⎩D．32011xx y->⎧⎨+>+⎩【变式训练】1．（2023下·七年级课时练习）下列选项中，是一元一次不等式组的是（）题型02求一元一次不等式组的解集【例题】（2023下·江苏·七年级专题练习）解不等式组()417103158x x x x ⎧+≤+⎨-<-⎩①②，并在数轴上画出它的解集．【变式训练】题型03求一元一次不等式组的整数解题型04解一元一次不等式组中错解复原问题【变式训练】1)小明的解答过程中，第______步开始出现错误，错误的原因是题型05由一元一次不等式组的解集求参数题型06一元一次不等式组和方程组结合的问题【例题】（2023下·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于x ，y 的方程组232241x y m x y m +=-⎧⎨-=-⎩的解均是负数．(1)求m 的取值范围；(2)若8S x y =+，求S 的取值范围．【变式训练】1．（2023上·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）若关于x ，y 的二元一次方程2224x y kx y k+=⎧⎨+=⎩的解满足4x y +>，求k 的取值范围．2．（2023下·湖北恩施·七年级校考阶段练习）已知关于x 、y 的方程组713x y ax y a+=--⎧⎨-=+⎩的解x 为负数，y 为非正数．(1)求a 的取值范围；(2)在a 的取值范围内，当a 取何整数时，不等式(21)21a x a +>+的解为1x <？题型07列一元一次不等式组【例题】（2023下·四川达州·八年级校考期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是()A ．)87891(x x +≤+-B ．)89(71x x +≥-C ．()()878918791x x x x ⎧+<+-⎪⎨+≥-⎪⎩D ．()()87918791x x x x ⎧+≤-⎪⎨+≥-⎪⎩【变式训练】1．（2023·全国·七年级假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x 页，则由题意列出不等式组为()A ．7987(3)98x x <⎧⎨+>⎩B ．()7987398x x >⎧⎨+>⎩C ．()7987398x x <⎧⎨+<⎩D ．()7987398x x >⎧⎨+<⎩2．（2023下·江苏无锡·七年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）若一艘轮船沿江水顺流航行120km 用时少于3小时，它沿江水逆流航行60km 也用时少于3小时，设这艘轮船在静水中的航速为km/h x ，江水的流速为km/h y ，则根据题意可列不等式组为（）A ．3603120x y x y -<⎧⎨+<⎩B ．3()1203()60x y x y +>⎧⎨->⎩C ．3()1203()60x y x y ->⎧⎨+>⎩D ．3603120x y x y +>⎧⎨->⎩题型08一元一次不等组的应用【例题】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？(2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种购买方案？(3)上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？【变式训练】一、单选题1．（2023下·七年级单元测试）下列不等式组是一元一次不等式组的是（）A ．()2012x x x ->⎧⎨-≤⎩B ．1010x y +>⎧⎨-<⎩C ．203x x ->⎧⎨<-⎩D ．30110x x>⎧⎪⎨+<⎪⎩2．（2023上·浙江·八年级统考阶段练习）不等式组3020x x +>⎧⎨-≤⎩的解集是（）A ．2x <B ．3x >-C ．32x -≤＜D ．2x ≤3．（2023下·全国·八年级假期作业）满足不等式组237112x x -+≤⎧⎪⎨-<⎪⎩的整数解有（）A ．6个B ．4个C ．5个D ．无数个4．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，()23m m --，在第二象限，则m 的取值范围是（）A ．m>2B ．3m >C ．2m <D ．23m <<5．（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）已知关于x 的不等式组32240x a x <+⎧⎨->⎩有两个整数解，则a 的取值范围为（）A ．23a ≤≤B ．213a <≤C ．23a <≤D ．213a ≤<6．（2023·福建莆田·校考模拟预测）不等式组24241x xx x ≤+⎧⎨+<-⎩的正整数解是．7．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）若不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是．8．（2023上·河南濮阳·九年级统考期中）已知关于x 、y 的方程组5331x y ax y +=⎧⎨+=⎩的解是正数，则a 的取值范围是．9．（2023下·八年级课时练习）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a 个学生，依题意可列不等式组为．10．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）若关于x 的不等式组25131x x a x -⎧+≤⎪⎨⎪->⎩的解集为8x ≤-，且关于y 的15．（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）已知关于x ，y 的方程组533x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩，其中x 为非负数，y 为正数，求a 的整数解．16．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知关于x ，y 的方程组3217271x y x y a +=⎧⎨-=+⎩的解都为非负数．(1)求a 的取值范围；(2)若21a b -=-，求a b +的取值范围．17．（2023下·江苏·七年级专题练习）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A 型冷链运输车与3辆B 型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A 型冷链运输车与6辆B 型冷链运输车一次可以运输1350盒．(1)求每辆A 型车和每辆B 型车一次可以分别运输多少盒疫苗．(2)计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A 型车一次需费用5000元，B 型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？18．（2023下·福建泉州·七年级统考期中）我们约定一种新运算⊗，规定：2x y ax by ⊗=-（其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：124a b ⊗=-．(1)若()115-⊗=-，230⊗=．①求常数a 、b 的值；②若关于m 的不等式组2(54)4(32)m m m m p⊗-≤⎧⎨⊗->⎩无解，求有理数p 的取值范围；(2)非零常数a 、b 应满足什么条件时，才能使00t t ⊗=⊗对于任意有理数t 都成立？请写出推理过程．。
一元一次不等式的解法专题训练
一元一次不等式的解法专题训练一元一次不等式（组）的解法专题训练专题一：解一元一次不等式例题1：解：将不等式化简得：5x-3≤2x+3 或者 5x-3≥3x+5化简得：3x≥-6 或者2x≥8化XXX：x≥-2 或者x≥4因此，解集为x≥4.练题：1、-2x+6≥7x化XXX：9x≤6因此，解集为x≤2/3. 2、2x/3-2x+1/6≥1化简得：2x/3-2x≥5/6化简得：-4x/3≥5/6因此，解集为x≤-5/8.3、40-5(3x-7)≤-4(x+17) 化简得：55-15x≤-4x-68 化简得：11x≥123因此，解集为x≥11.4、x-10x-6/3≤4化简得：-7x-6/3≤4化XXX：-7x≤10因此，解集为x≥-10/7.5、(2x/3-2x+1/6)/6≥1/4化简得：2x/3-2x+1/6≥6/4化简得：2x/3-2x≥11/6化简得：-4x/3≥11/6因此，解集为x≤-11/8.6、3x/5+5x/4≤4化简得：12x/20+25x/20≤4化XXX：37x/20≤4因此，解集为x≤80/37.7、5-3x^3+5x^2≤6化简得：-3x^3+5x^2-1≤0因此，解集为-1≤x≤1.8、2x/6-1/6-5x/8+1/8≥1化简得：4x/24-3x/24-15/24+3/24≥1化XXX：x/24≥4/24因此，解集为x≥16.9、5-3x^3-5x^2≥6化简得：-3x^3-5x^2+1≥0因此，解集为x≤-1或者x≥1.10、x+2/2x-3/4-6≤1/4化简得：8x+16-6(2x-3)/8x-3≤1化简得：8x+16-12x+18/8x-3≤1化简得：-4x+34/8x-3≤1化简得：-4x+34≤8x-3化简得：12x≥37因此，解集为x≥37/12.11、x^2+xy+173y-7≤0因为不等式左边是关于x的二次函数，所以可以使用配方法将其化简为(x+y)^2+(172y-7)≤0，因此，解集为y≤7/172.专题二：解一元一次不等式组例题：解：将不等式组化XXX：x-3x+4≤0 或者 x-3x+4>0，且x+1≥0 或者 x+1<0.化简得：-2x+4≤0 或者 -2x+4>0，且x≥-1 或者 x<-1.因此，解集为x≤2且x≥-1/2.练题：1、x-3x+4<0，x+1≥0化XXX：-2x+4<0，x≥-1 因此，解集为-1<x<2. 2、x+2x-5≤0，3x-2≥0化简得：3x≤5，x≥2/3因此，解集为2/3≤x≤5/3.3、x+2x-5>0，3x-2<0化XXX：3x>5，x<2/3 因此，解集为x5/3.4、x+8m化XXX：3x>9，x>m因此，解集为x>m。
一元一次不等式应用题精讲及分类训练
一元一次不等式应用题精讲及练习例题精讲由于列不等式（组）解应用题手段独特，方法灵活，因而近几年来常出现在中考试卷中，许多同学感到求解有难度，事实上，列不等式（组）解应用题的方法和列一元一次方程解应用题基本上相同，简单地分为：设、找、列、解、答五个步骤，具体就是：（1）设：弄清题意和题目中的数量关系，用字母（x、y）表示题目中的未知数；（2）找：找到能够表示应用题全部含义的一个不等的关系；找到不等量关系后建议学生先用文字建立方程，详见例题。
（3）列：根据这个不等的数量关系，列出所需的代数式，从而列出不等式（组）；依据上一步建立的方程，将各个量用代数式替换。
（4）解：解这个所列出的不等式（组），求出未知数的解集；（5）答：写出答案这五步的关键是“列”，难点是“找”，下面结合几个例题分类加以说明．一.下列情况列一元一次不等式解应用题1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超过”等.例1．为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电千瓦时0.56元(“峰电”价),22：00至次日8：00每千瓦时0.28元(“谷电”价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.当“峰电”用量不超过．．．每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?2．应用题仍含有一个不等量关系，但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的，而是用比较隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断．例2．周未某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一段路程所用的时间之比为2：3．⑴直接写出甲、乙两组行进速度之比；⑵当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰Ａ处，且Ａ处离山顶的路程尚有1.2千米．试问山脚离山顶的路程有多远？⑶在题⑵所述内容（除最后的问句外）的基础上，设乙组从Ａ处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇．请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答（要求：①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件）．二.下列情况列一元一次不等式组解应用题1.应用题中含有两个(或两个以上,下同)不等量的关系.它们是由两个明显的不等关系体现出来,一般是讲两件事或两种物品的制作、运输等.例3.已知服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这两种面料生产M,N两种型号的时装共80套.已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6米,B种布料0.9米,可获利45元;做一套N型号的时装需用A种布料1.1米,B种布料0.4米,可获利润50元.若设生产N型号码的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元.(1)求y(元)与x(套)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;(2)服装厂在生产这批时装中,当N型号的时装为多少套时,所获利润最大?最大利润是多少?2.两个不等关系直接可从题中的字眼找到,这些字眼明显存在着上下限.例4.某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,则最后一人得到的课外读物不足．．3．本．.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖.请回答下列问题:(1)用含x的代数式表示m;(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.例5.某城市的出租汽车起步价为10元(即行驶距离在5千米以内都需付10元车费),达到或超过5千米后,每行驶1千米加1.2元(不足1千米也按1千米计).现某人乘车从甲地到乙地,支付车费17.2元,问从甲地到乙地的路程大约是多少?练习与提高：1、把价格为每千克20元的甲种糖果8千克和价格为每千克18元的乙种糖果若干千克混合，要使总价不超过400元，且糖果不少于15千克，所混合的乙种糖果最多是多少？最少是多少？2、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
一元一次不等式知识点及典型例题
一元一次不等式知识点及典型例题一元一次不等式的定义一元一次不等式是指只有一个未知数，并且该未知数只有一次的不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax + b > c，其中a、b、c是常数，x是未知数。
一元一次不等式的解集一元一次不等式的解集可以是一个区间，也可以是一个点。
解集的表示方法有三种：1.集合表示法：用大括号{}将所有解组成一个集合，例如{x | x > 3}表示所有大于 3 的实数构成的集合。
2.区间表示法：用方括号[]或圆括号()表示解集的开始和结束，方括号表示包含开始或结束的解，圆括号则表示不包含开始或结束的解。
例如(3, +∞)表示大于 3 的实数构成的区间。
3.图示表示法：用数轴上的线段表示解集。
例如，解集{x | x > 3}可以表示为一个起点为 3 且向右延伸的线段。
不等式的性质不等式和等式有许多相似的性质，例如：1.传递性：如果不等式a > b和b > c成立，则不等式a > c也成立。
2.乘法性：如果不等式a > b成立，并且c是正数，则不等式ac > bc也成立。
如果c是负数，则不等式的方向改变，即不等式ac < bc也成立。
3.加法性：如果不等式a > b成立，并且c是任意实数，则不等式a + c > b + c也成立。
解一元一次不等式的方法解一元一次不等式的基本步骤如下：1.将不等式转化为标准形式：将不等式的对立面转化为标准形式，即将不等号方向统一，将常数项移到等号右边。
2.去括号：如果有括号，可以使用分配律或去括号规则去除括号。
3.合并同类项：将同类项合并，化简表达式。
4.移项：将未知数项移到等号右边，常数项移到等号左边，使得方程只有一个未知数项。
5.通过运算求解：通过计算得到未知数的解。
6.确定解集：根据不等式的类型，确定解集的表示方法。
典型例题以下是一些典型的一元一次不等式例题，并给出了详细解题步骤和解集表示：例题1求解不等式3x + 5 < 7的解集。
一元一次不等式(组)专题训练
一元一次不等式（组）一、 一元一次不等式（组）的解A 、 已知不等式（组）的解（集），求参数的值或取值范围 例1：不等式-<+mx 23x 4的解集是63x m >-，求m 的取值范围。
练习：1、若关于x 的不等式a(1)x 12a x ->+-的解集是1x <-求a 的取值范围。
2、若关于x 的不等式(1)x 5a a -<+的解集和24x <的解集相同，求a 的取值。
3、不等式475x a x ->+的解集是1x <-求a 的取值4、若关于x 的不等式2132x a a ->-的解集和2x a <的解集相同，求a 的取值例2：若不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集是x a >则a 的取值范围是 练习：1、（1）若不等式组5x x m <⎧⎨>⎩ 无解，则a 的取值范围是 （2）若无解，则a 的取值范围是2、已知不等式组x a x b <⎧⎨>⎩无解，求不等式组11x a x b >-⎧⎨<-⎩的解3、当a 满足什么条件时，不等式组131x a x a >+⎧⎨<-⎩无解4、如果2a <，那么不等式组2x x a >⎧⎨>⎩的解集为 ，2x x a <⎧⎨<⎩的解集为 例3：若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为11x -<<求(a 3)(b 3)-+ 的值。
练习：1、一元一次不等式组13x a x -≤⎧⎨+>⎩的解集为x a ≥-，求a 的取值范围。
2、一元一次不等式组221x a b x a a -≥⎧⎨-<+⎩的解集为35x ≤<，求b a3、一元一次不等式组213(x 1)x x m ->-⎧⎨<⎩的解集为2x <，求m 的取值范围。
4、不等式组26x x x m-+<-⎧⎨>⎩的解集为4x >，求m 的取值范围B ：已知不等式（组）的整数解的个数，求参数的取值范围例4：已知不等式30x a -≤ 的正整数解有三个，1,2,3求a 的取值范围。
一元一次不等式不等式组应用题专题精讲
不等式组应用题专题训练1.迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？2.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，成本总额y最小，最小是多少元？100台．经可获得利润不4.8万元，两种型（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？4. 某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套.已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M 型号童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，设生产L型号的童装套数为x，用这批布料生产这两种型号的童装所获的利润为y(元).(1)如果你作为该厂的老板，应如何安排生产计划？请设计出所有生产方案；(2)该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?5.某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x块．（1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？（2）设加工两种巧克力的总成本为y元，求y与x的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？6.某房地产开发公司计划建A 、B 两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096(1) (2)该公司如何建房获得利润最大?(3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A 型住房的售价将会提高a 万元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大?( 注：利润=售价-成本)7.销售后获利的情况如下表所示：.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.⑴如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？⑵如果先进行精加工，然后进行粗加工.①试求出销售利润W 元与精加工的蔬菜吨数m 之间的函数关系式；②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多可获得多少利润？此时如何分配加工时间？8、“六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A 、B 、C 三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A 种电动玩具x 套，购进B 种电动玩具y 套，三种电动玩具的进价和售价如下表：（1）用含x 、y 的代数式表示购进C 种电动玩具的套数； （2）求出y 与x 之间的函数关系式；（3）假设所购进的电动玩具全部售出，且在购销这批玩具过程中需要另外支出各种费用共200元．①求出利润P （元）与x （套）之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出此时购进三种电动玩具各多少套？9、某校组织七年级学生到军营训练，为了喝水方便，要求每个学生各带一只水杯，几个学生可以合带一个水壶．可临出发前 ，带队老师发现有51名同学没带水壶和水杯，于是老师拿出260元钱并派两名同学去附近商店购买．该商店有大小不同的甲、乙两种水壶，并且水壶与水杯必须配套购买．每个甲种水壶配4只杯子，每套20元；每个乙种水壶配6只杯子，每套28元．若需购买水壶10个，设购买甲种水壶x 个，购买的总费用为y （元）．（1）求出y 与x 之间的函数关系式（不必写出自变量x 的取值范围）；（2）请你帮助设计所有可能的购买方案，并写出最省钱的购买方案及最少费用．10、整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？1．解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤解得：3331x x ⎧⎨⎩≤≥，∴3133x ≤≤ ∵x 是整数，x 可取31、32、33，∴可设计三种方案：①A 种园艺造型31个，B 种园艺造型19个；②A 种园艺造型32个，B 种园艺造型18个；③A 种园艺造型33个，B 种园艺造型17个．（2）方法一：由于B 种造型的造价成本高于A 种造型成本．所以B 种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：33×800+17×960=42720（元）方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）；方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）；∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．2. 解：（1）依题意得：43(50)150y x x x =+-=+（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)0.30.4(50)17.2(2)x x x x +-⎧⎨+-⎩≤…………≤………解不等式（1）得：30x ≤ 解不等式（2）得：28x ≥∴不等式组的解集为2830x ≤≤150y x =+，y 是随x 的增大而增大，且2830x ≤≤∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，28150178y =+=最小（元）3. 解：（1）设生产A 型冰箱x 台，则B 型冰箱为()100x -台，由题意得：解得：37.540x ≤≤ x 是正整数 x ∴取38，39或40．（2）设投入成本为y 元，由题意有：4000-< y ∴随x 的增大而减小 ∴当40x =时，y 有最小值．即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱50台，该厂投入成本最少此时，政府需补贴给农民(280040300060)13%37960()⨯+⨯⨯=元4. (1)根据题意列不等式组得：0.5x+0.9(50-x)38x+0.2(50-x)26≤⎧⎨≤⎩解之得：35x 202≤≤，∵x 为自然数，∴x=18或19或20 因此有以下三种方案可供选择：L 型童装18套，M 型童装32套；L 型童装19套，M 型童装31套；L 型童装20套，M 型童装30套(2)y=15x+1500，∵15>0，∴y 随x 的增大而增大，故选取第三套方案x=20此时，y=1800(元)，5. 解：（1）根据题意，得 135(50)410414(50)520x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤ 解得1820x ≤≤ x 为整数 181920x ∴=，， 当18x =时，50501832x -=-=当19x =时，50501931x -=-= 当20x =时，50502030x -=-=∴一共有三种方案：加工原味核桃巧克力18块，加工益智巧克力32块；加工原味核桃巧克力19块，加工益智巧克力31块，加工原味核桃巧克力20块，加工益智巧克力30块．（2） 1.22(50)y x x =+-=0.8100x -+0.80-< y ∴随x 的增大而减小∴当20x =时，y 有最小值，y 的最小值为84．∴当加工原味核桃巧克力20块、加工益智巧克力30块时，总成本最低．总成本最低是84元． 6. 解：(1)设A 种户型的住房建x 套，则B 种户型的住房建(80-x)套．由题意知2090≤25x+28(80-x)≤2096 48≤x ≤50∵ x 取非负整数， ∴ x 为48，49，50． ∴ 有三种建房方案：A 型48套，B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套(2)设该公司建房获得利润W(万元)．由题意知W=5x+6(80-x)=480-x∴ 当x=48时，W 最大=432(万元)即A 型住房48套，B 型住房32套获得利润最大(3)由题意知W=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x ，∴ 当O<a<l 时， x=48，W 最大，即A 型住房建48套，B 型住房建32套，当a=l 时，a-1=O ，三种建房方案获得利润相等当a>1时，x=50，W 最大，即A 型住房建50套，B 型住房建30套7.解：⑴设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工，根据题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，5x ＋15y ＝140. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8. 答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工．⑵①精加工m 吨，则粗加工（140－m ）吨，根据题意得：W ＝2000m ＋1000（140－m ）＝1000m ＋140000 .②∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，∴m 5＋140－m 15≤10 解得 m ≤5. ∴0＜m ≤5. 又∵在一次函数W ＝1000m ＋140000中，k ＝1000＞0，∴W 随m 的增大而增大，∴当m ＝5时，Wmax ＝1000×5＋140000＝145000.∴精加工天数为5÷5＝1，粗加工天数为（140－5）÷15＝9.∴安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元．8、解：（1）购进C 种玩具套数为：50x y --（或41147510x y --） （2）由题意得整理得230y x =-．（3）①利润＝销售收入－进价－其它费用整理得15250P x =+．②购进C 种电动玩具的套数为：50803x y x --=-．根据题意列不等式组，得102301080310x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≥，解得70203x ≤≤． ∴x 的范围为2023x ≤≤，且x 为整数．∵P 是x 的一次函数，150k =>，∴P 随x 的增大而增大．∴当x 取最大值23时，P 有最大值，最大值为595元．此时购进A 、B 、C 种玩具分别为23套、16套、11套．9、解：（1）2028(10)8280y x x x =+-=-+．∴y 与x 的函数关系式为8280y x =-+．（2）46(10)512028(10)260x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≤ 解得2.5 4.5x ≤≤．∵x 为非负整数，∴3x =或4．∴有两种购买方案，第一种：买甲种水壶3个，乙种水壶7个；第二种：买甲种水壶4个，乙种水壶6个．∵8280y x =-+，80-<，∴y 随x 的增大而减小．∴当4x =时，84280248y =-⨯+=（元）．答：有两种购买方案．第一种：买甲种水壶3个，乙种水壶7个；第二种：买甲种水壶4个，乙种水壶6个．其中最省钱的方案是第二种，最少费用是248元．10、解：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x 元，乙种药品的出厂价格为每盒y 元．则根据题意列方程组得：⎩⎨⎧=+-=+8.3362.256.6y x y x 解之得：⎩⎨⎧==36.3y x5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元） 6×3=18（元）答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元（2）设购进甲药品x 箱（x 为非负整数），购进乙药品（100-x ）箱，则根据题意列不等式组得： 解之得：607157≤≤x 则x 可取：58，59，60，此时100-x 的值分别是：42，41，40有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱；。
一元一次不等式组应用题分类
一元一次不等式组解决实际问题分配问题：1.把若干颗花生分给若干只猴子。
如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。
问猴子有多少只，花生有多少颗？2.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间 8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
4．将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？5. 用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？6.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？二速度、时间问题1爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。
已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？3.抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？三工程问题1 .一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？2 .用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。
最新二元一次方程组和一元一次不等式应用题分类汇编教师版
二元一次方程组应用题分类汇编1.（行程问题）甲、乙二人相距6km ，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。
二人的平均速度各是多少？解：设甲每小时走x 千米，乙每小时走y 千米题中的两个相等关系：1、同向而行：甲的路程=乙的路程+可列方程为：2、相向而行：甲的路程+ =可列方程为：2.（行程问题）在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站，A 到B 的距离为120千米，B 到C 的距离也是120千米．分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？3.（工程问题）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？454.（分配问题）用白铁皮做罐头盒。
每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。
现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套？5.（利润问题）一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？6.（配套问题）某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？一元一次不等式（组）解应用题精讲及分类练习识别不等式（组）类应用题的几个标志，供解题时参考.一.下列情况列一元一次不等式解应用题1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超过”等.2．应用题仍含有一个不等量关系，但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的，而是用比较隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断．用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：⑴审题，找出不等关系；⑵设未知数；⑶列出不等式；⑷求出不等式的解集；⑸找出符合题意的值；（行程问题）1、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？解：设后半小时的速度至少为x千米/小时50+（1-1/2）x≥12050+1/2x≥1201/2x≥70x≥140答：后半小时的速度至少是140千米/小时。
一元一次不等式组应用题解析版ppt精讲教学教材
测试卷2
解：（1）规划区的总面积：20×150÷（85％－ 60％）＝12000（平方米）
需搬迁的农户的户数：12000×60％÷150＝32 （户）
（2）设需要退出x户农民。 150x≥5％×12000 x≥4
答：最初需搬迁的农户有32户，政府规划的建 房区域总面积是12000平方米；为了保证绿色环境 占地面积不少于区域总面积的20%，至少需要退出 4户农户。
测试卷3
解:设养甲鱼的亩数为x亩，则养黄鳝的亩数为（10-x）亩，由表格可以看出：
养甲鱼的收益为2.5-1.5+0.2=1.2（万元／亩） 养黄鳝的收益为1.8-1+0.1=0.9（万元／亩）
｛ 根据题意得: 1.5x+10-x≤14, 1.2x+0.9(10-x)≥10.8 解得6≤x≤8
所以该农户可以这样安排养殖：养甲鱼6亩，黄鳝4亩；或养甲鱼7亩， 黄鳝3亩；或养甲鱼8亩,黄鳝2亩
2电视机：38台；洗衣机62台。 3.电视机：37台；洗衣机63台。 4电视机：36台；洗衣机64台。 5电视机：35台；洗衣机65台。 6.电视机34台；洗衣机66台。 （2）每台电视机的利润是200元，而每台洗衣机的利润是100元， 故进电视机越多，利润越高，故选择方案1利润最高。最高是： 39×（2000-1800）+61×（1600-1500）=13900（元）
Байду номын сангаас
接待一世博旅行团有290名游客，共有100件行李。计划租用
甲，乙两种型号的汽车共8辆。甲种汽车每辆最多能载40人和
10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李。
（1）设租用甲种汽车 x辆，请你帮助设计可能的租车方案；
（2）如果甲，乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元，
专题09 一元一次不等式组及应用(知识点串讲)(解析版)
专题09 一元一次不等式组及应用知识网络重难突破知识点一 解一元一次不等式组1.由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组2.组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时，这个不等式组无解.3.一元一次不等式组的分类及解如下(a ＜b )：不等式组数轴表示 解集 口诀 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＞b ，x ＞b大大取大⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，x ＜b ，x ＜a小小取小⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＜b ，a ＜x ＜b大小小大取中间⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，x ＞b ，无解大大小小则无解【典例1】（2018秋•温州期末）解不等式组，并把解表示在数轴上．【点拨】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【解析】解：， 由①得 x ≥﹣1， 由②得x ＜3，∴不等式组的解集是﹣1≤x ＜3， 把不等式组的解集在数轴上表示为：【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式（组），不等式的性质，在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．【典例2】（2019春•利辛县期末）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为m>0．【点拨】首先解每个不等式，然后根据不等式组无解即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．【解析】解：，解①得x＜2，解②得x＞2﹣m，根据题意得：2>2﹣m，解得：m>0．故答案是：m>0．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．【变式训练】1．（2019•慈溪市模拟）不等式组的解集是（）A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＜1 D．﹣＜x＜1【点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解析】解：，由①得，x＜﹣，由②得，x＜1，故不等式组的解集为：x＜﹣．故选：B．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．（2019•越城区一模）在平面直角坐标系中，若P（m﹣2，m+1）在第三象限，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1【点拨】根据第三象限点的符合特点列出不等式组，解之可得．【解析】解：由题意知，解得：m＜﹣1，故选：A．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．（2019秋•鄞州区期中）已知关于x的不等式组的解集为3≤x＜5，则b的值为6【点拨】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可．【解析】解：，∵解不等式①得：x≥a+b，解不等式②得：x＜，∴不等式组的解集是：a+b≤x＜，∵关于x的不等式组的解集为3≤x＜5，∴，解得：a＝﹣3，b＝6，【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．4.（2019春•西岗区期末）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1【点拨】不等式组整理后，由无解确定出a的范围即可．【解析】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到2﹣a≤2a﹣1，解得：a≥1，故选：D．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2018秋•德清县期末）解不等式组【点拨】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解析】解：，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x＜2，所以不等式组的解集为：﹣1＜x＜2．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．知识点二一元一次不等式组的整数解【典例3】（2018秋•北仑区期末）关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（）A．a＜3 B．2＜a≤3 C．2≤a＜3 D．2＜a＜3【点拨】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组恰好只有四个整数解，求出实数a的取值范围．【解析】解：由不等式，可得：x≤4，由不等式a﹣x＜2，可得：x＞a﹣2，由以上可得不等式组的解集为：a﹣2＜x≤4，因为不等式组恰好只有四个整数解，所以可得：0≤a﹣2＜1，解得：2≤a＜3，故选：C．【点睛】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，根据x的取值范围，得出x的取值范围，然后根据不等式组恰好只有四个整数解即可解出a的取值范围．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．【变式训练】1．（2018秋•慈溪市期末）明铭同学在“求满足不等式﹣5＜x≤﹣1的x的最小整数x1和最大整数x2”时，先在如图轴上表示这个不等式的解，然后，很直观的找到了所要求的x1、x2的值为（）A．x1＝﹣5，x2＝﹣1 B．x1＝﹣6，x2＝﹣1C．x1＝﹣6，x2＝﹣2 D．x1＝﹣5，x2＝﹣2【点拨】将该不等式x的范围表示在数轴上，结合数轴可得答案．【解析】解：将该不等式x的范围表示在数轴上如下：由数轴知，最小整数x1＝﹣5，最大整数x2＝﹣2，故选：D．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练将不等式x的范围准确地表示在数轴上．2．（2018秋•德清县期末）关于x的不等式组恰好只有两个整数解，则a的取值范围为（）A．5≤a＜6 B．5＜a≤6 C．4≤a＜6 D．4＜a≤6【点拨】分别求出两个不等式的解集，然后根据有2个整数解，求出a的取值范围．【解析】解：解2x﹣1≤11得：x≤6，解x+1＞a得：x＞a﹣1，故不等式组的解集为：a﹣1＜x≤6，∵关于x的不等式组恰好只有两个整数解，∴两个整数为：5，6，∴4≤a﹣1＜5，解得：5≤a＜6．故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．3．（2018秋•萧山区期末）解不等式组并写出它的整数解．【点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再其公共解集内找出符合条件的x的整数解即可．【解析】解：，由①得x＞2，由②得x≤6，故不等式组的整数解为：2＜x≤6，它的整数解有3，4，5，6．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．知识点三由实际问题抽象出一元一次不等式组【典例4】（2013•温岭市校级模拟）某校准备组织520名学生进行野外考察活动，行李共有240件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共12辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载50人和15件行李，乙种汽车每辆最多能载40人和25件行李．设租用甲种汽车x辆，你认为下列符合题意的不等式组是（）A．B．C．D．【点拨】设租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车（12﹣x）辆，根据题意可得两种车所载人数≥520人，两种车载行李数≥240件，根据不等关系列出不等式组即可．【解析】解：设租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车（12﹣x）辆，由题意得：，【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．【变式训练】1．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7课，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，植树的棵数为（7x+9）棵，下列各项能准确地求出同学人数与种植的树木的数量的是（）A．7x+9≤8+9（x﹣1）B．7x+9≥9（x﹣1）C．D．【点拨】不到8棵意思是植树棵树在0棵和8棵之间，包括0棵，不包括8棵，关系式为：植树的总棵树≥（x﹣1）位同学植树的棵树，植树的总棵树＜8+（x﹣1）位同学植树的棵树，把相关数值代入即可．【解析】解：（x﹣1）位同学植树棵树为9×（x﹣1），∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵，∴可列方程组为：，故选：C．【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵树和预计植树棵树之间的关系式是解决本题的关键；理解“有1位同学植树的棵数不到8棵”是解决本题的突破点．2.若干名学生住宿舍，每间住4人，2人无处住；每间住6人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有x间宿舍，则可列不等式（组）为1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6．【思路点拨】设有x间宿舍，根据“每间住4人，2人无处住”可得学生有（4x+2）人，再根据“每间住6人，空一间还有一间不空也不满”列出不等式组即可．【答案】解：设有x间宿舍，则学生有（4x+2）人，由题意得：1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6，故答案为：1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．知识点四一元一次不等式组的应用【典例5】（2018秋•西湖区期末）某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，把蔬菜266吨，水果169吨全部运到灾区已知一辆甲种货车同时可装蔬菜18吨，水果10吨：一辆乙种货车同时可装蔬菜16吨，水果（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？（2）若甲种货车每辆需付燃油费1600元，乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）种的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？【点拨】（1）设租用甲种货车x辆，表示出租用乙种货车为（16﹣x）辆，然后根据装运的蔬菜和水果数不少于所需要运送的吨数列出一元一次不等式组，求解后再根据x是正整数设计租车方案；（2）方法一：根据所付的费用等于两种车辆的燃油费之和列式整理，再根据一次函数的增减性求出费用的最小值；方法二：分别求出三种方案的燃油费用，比较即可得解．【解析】解：（1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，根据题意得，由①得x≥5，由②得x≤7，∴5≤x≤7，∵x为正整数，∴x＝5或6或7，因此，有3种租车方案：方案一：租甲种货车5辆，乙种货车11辆；方案二：租甲种货车6辆，乙种货车10辆；方案三：租甲种货车7辆，乙种货车9辆；（2）方法一：由（1）知，租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，设两种货车燃油总费用为y元，由题意得y＝1600x+1200（16﹣x），＝400x+19200，∵400＞0，∴y随x值增大而增大，当x＝5时，y有最小值，∴y最小＝400×5+19200＝21200元；方法二：当x＝5时，16﹣5＝11辆，5×1600+11×1200＝21200元；当x＝6时，16﹣6＝10辆，6×1600+10×1200＝21600元；当x＝7时，16﹣7＝9辆，7×1600+9×1200＝22000元．答：选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是21200元．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，找出题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键．【变式训练】1．（2019春•天台县期末）一个运输公司有甲、乙两种货车，两次满载的运输情况如下表：甲种货车辆数乙种货车辆数合计运货吨数第一次2418第二次5635（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨货物；（2）现有一批重34吨的货物需要运输，而甲、乙两种货车运输的保养费用分别为80元/辆和40元/辆．公司打算由甲、乙两种货车共10辆来完成这次运输，为了使保养费用不超过700元，公司该如何安排甲、乙两种货车来完成这次运输任务．【点拨】（1）设每辆甲种货车每次能运x吨货物，每辆乙种货车每次能运y吨货物，由第一次和第二次运输的货物的吨数可列二元一次方程组，解出方程组即可得解；（2）由保养费用不超过700元和运输货物不少于34吨可列出不等式组，求出整数解即可．【解析】（1）解：设甲车每辆运输x吨货物，乙车每辆运输y吨货物，由题意得：，解得：，答：甲车每辆运输4吨货物，乙车每辆运输2.5吨货物．（2）解：安排甲车a辆、乙车（10﹣a）辆，，解得：6≤a≤7.5，∵a为整数，∴a可以取的整数是6或7，答：公司可以安排甲车6辆、乙车4辆或甲车7辆、乙车3辆．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，第一问关键是看懂表格所表示的意义，根据表格所给数据列出方程组，求出每辆甲种货车和乙种货车每次运货量，第二问关键是根据不等关系列出不等式组求解．2．（2019春•慈溪市期末）某小区积极创建环保示范社区，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，已知温馨提示牌的单价为每个30元，垃圾箱的单价为每个90元，共需购买温馨提示牌和垃圾箱共100个．（1）若规定温馨提示牌和垃圾箱的个数之比为1：4，求所需的购买费用；（2）若该小区至多安放48个温馨提示牌，且费用不超过6300元，请列举所有购买方案，并说明理由．【点拨】（1）根据总价＝单价×数量，即可求出所需的购买费用；（2）设购买温馨提示牌x个，则购买垃圾箱（100﹣x）个，根据该小区至多安放48个温馨提示牌且费用不超过6300元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，进而可得出各购买方案．【解析】解：（1）100××30+100××90＝7800（元）．答：所需的购买费用为7800元．（2）设购买温馨提示牌x个，则购买垃圾箱（100﹣x）个，依题意，得：，解得：45≤x≤48．∵x为整数，∴x＝45，46，47，48，∴共4个购买方案，方案1：购买温馨提示牌45个、垃圾箱55个；方案2：购买温馨提示牌46个、垃圾箱54个；方案3：购买温馨提示牌47个、垃圾箱53个；方案1：购买温馨提示牌48个、垃圾箱52个．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．巩固训练1．（2019•鹿城区模拟）不等式组的解是（）A．x＞2 B．x＜3 C．2＜x＜3 D．2＜x＜6【点拨】先求出每一个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解析】解：由①得：x＞2，由②得：x＜3，∴原不等式组的解集为2＜x＜3，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．2．（2019•龙湾区模拟）不等式组的解集是﹣2≤x＜7．【点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解析】解：由①得，x＜7，由②得，x≥﹣2，故原不等式组的解集为﹣2≤x＜7．故答案为：﹣2≤x＜7．【点睛】本题考查的是解一元一此不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．3．（2018秋•西湖区校级月考）不等式组的整数解的和为10．【点拨】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，确定出不等式组的解集，找出解集中的整数解即可．【解析】解：，由①得：x＞﹣1，由②得：x≤4，故不等式组的解集为﹣1＜x≤4，则不等式组的整数解为：0，1，2，3，4，0+1+2+3+4＝10．故答案为10．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求出不等式组的解集是解本题的关键．4．（2018秋•下城区期末）解不等式组并把解在数轴上表示出来．【点拨】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．【解析】解：解不等式2x﹣4＜0，得：x＜2，解不等式（x+8）﹣2＞0，得：x＞﹣4，则不等式组的解集为﹣4＜x＜2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5．（2019春•慈溪市期末）解不等式组，并写出不等式组的整数解．【点拨】首先解两个一元一次不等式，然后求两个不等式解集的公共部分，最后写出不等式组的整数解．【解析】解：，解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集是﹣1≤x≤3，∴不等式组的整数解是﹣1，0，1，2，3．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（2019春•苍溪县期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值．【点拨】首先根据方程组可得，再解不等式组，确定出整数解即可．【解析】解：①+②得：3x+y＝3m+4，②﹣①得：x+5y＝m+4，∵不等式组，∴，解不等式组得：﹣4＜m≤﹣，则m＝﹣3，﹣2．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，关键是用含m的式子表示x、y．7．（2018•鹿城区校级一模）为了丰富同学们的知识，拓展阅读视野，学习图书馆购买了一些科技、文学、历史等书籍，进行组合搭配成A、B、C三种套型书籍，发放给各班级的图书角供同学们阅读，已知各套型的规格与价格如表：A套型B套型C套型规格（本/套）1297价格（元/套）200150120（1）已知搭配AC两种套型书籍共15套，需购买书籍的花费是2120元，问A、C两种套型各多少套？（2）若图书馆用来搭配的书籍共有2100本，现将其搭配成A、B两种套型书籍，这两种套型的总价为30750元，求搭配后剩余多少本书？（3）若图书馆用来搭配的书籍共有122本，现将其搭配成A、B、C三种套型书籍共13套，且没有剩余，请求出所有搭配的方案【点拨】（1）设A种套型有x套，C种套型有（15﹣x）套，根据“购买书籍的花费是2120元”列方程求解可得；（2）设A中书籍m套、B种书籍n套，由“两种套型的总价为30750元”得出n＝，根据搭配A、B两种套型书籍需要书籍12m+9n＝12m+9×＝1845求解可得；（3）设A种书籍a套，B种书籍b套，C种书籍（13﹣a﹣b）套，根据用来搭配的书籍共有122本得12a+9b+7（13﹣a﹣b）＝122，依据a、b均为非负整数求解可得．【解析】解：（1）设A种套型有x套，C种套型有（15﹣x）套，根据题意知，200x+120（15﹣x）＝2120，解得：x＝4，则C种套型有11套；答：A种套型有4套，C种套型有11套；（2）设A中书籍m套、B种书籍n套，则200m+150n＝30750，整理，得：4m+3n＝615，则n＝，所以搭配A、B两种套型书籍需要书籍12m+9n＝12m+9×＝12m+1845﹣12m＝1845（本），则搭配后剩余书籍2100﹣1845＝255（本）．（3）设A种书籍a套，B种书籍b套，C种书籍（13﹣a﹣b）套，根据题意，得：12a+9b+7（13﹣a﹣b）＝122，整理，得：5a+2b＝31，∵a、b均为非负整数，∴当a＝3时，b＝8，c＝13﹣3﹣8＝2；当a＝5时，b＝3，c＝13﹣5﹣3＝5；答：搭配的方案有两种：①A种书籍3套，B种书籍8套，C种书籍2套；②A种书籍5套，B种书籍3套，C种书籍5套．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组与一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系及不等关系，并据此列出相应的方程与不等式．。
八年级数学一元一次不等式精讲精练
八年级数学一元一次不等式精讲精练第七章一元一次不等式精讲精练(2)一.重点难点提示重点:理解一元一次不等式组的概念及解集的概念.难点:一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定.二.学习指导:1.几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.但这〝几个一元一次不等式〞必须含有同一个未知数,否则就不是一元一次不等式组了.2.前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成,在解方程组时,两个方程不是独立存在的(代入法和加减法本身就说明了这点);而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的,而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个.(我们主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组).3.在不等式组中,几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集.(注意借助于数轴找公共解)4.一元一次不等式组的基本类型(以两个不等式组成的不等式组为例)类型(设a_gt;b)不等式组的解集数轴表示1.(同大型,同大取大)__gt;a2.(同小型,同小取小) __lt;b3.(一大一小型,小大之间) b_lt;__lt;a4.(比大的大,比小的小空集)无解三.一元一次不等式组的解法例1.解不等式组,并将解集标在数轴上分析:解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分,在解的过程中各个不等式彼此之间无关系,是独立的,在每一个不等式的解集都求出之后,才从〝组〞的角度去求〝组〞的解集,在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题.步骤:解:解不等式(1)得__gt;解不等式(2)得_≤4∴(利用数轴确定不等式组的解集)∴原不等式组的解集为_lt;_≤4∴(1)分别解不等式组的每一个不等式(2)求组的解集(借助数轴找公共部分)(3)写出不等式组解集(4)将解集标在数轴上例2.解不等式组解:解不等式(1)得__gt;-1,解不等式(2)得_≤1,解不等式(3)得__lt;2,∴ ∵在数轴上表示出各个解为:∴原不等式组解集为-1_lt;_≤1注意:借助数轴找公共解时,应选图中阴影部分,解集应用小于号连接,由小到大排列,解集不包括-1而包括1在内,找公共解的图为图(1),若标出解集应按图(2)来画.例3.解不等式组解:解不等式(1)得__gt;-1,解不等式(2), ∵_≤5, ∴-5≤_≤5,∴将(3)(4)解在数轴上表示出来如图,∴ 原不等式组解集为-1_lt;_≤5.∴四.一元一次不等式组的应用.例4.求不等式组的正整数解.步骤:解:解不等式3_-2_gt;4_-5得:__lt;3,解不等式≤1得_≤2,∴∴原不等式组解集为_≤2,∴这个不等式组的正整数解为_=1或_=21.先求出不等式组的解集.2.在解集中找出它所要求的特殊解, 正整数解.例5,m为何整数时,方程组的解是非负数?分析:本题综合性较强,注意审题,理解方程组解为非负数概念,即.先解方程组用m的代数式表示_, y, 再运用〝转化思想〞,依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围,最后切勿忘记确定m的整数值.解:解方程组得∵方程组的解是非负数,∴即解不等式组∴此不等式组解集为≤m≤,又∵m为整数,∴m=3或m=4.例6,解不等式_lt;0.分析:由〝〞这部分可看成二个数的〝商〞此题转化为求商为负数的问题.两个数的商为负数这两个数异号,进行分类讨论,可有两种情况.(1) 或(2)因此,本题可转化为解两个不等式组.解:∵_lt;0,∴(1) 或(2)由(1) ∴无解,由(2) ∴-_lt;__lt;, ∴原不等式的解为-_lt;__lt;.例7.解不等式-3≤3_-1_lt;5.解法(1):原不等式相当于不等式组解不等式组得-≤__lt;2,∴原不等式解集为-≤__lt;2.解法(2):将原不等式的两边和中间都加上1,得-2≤3__lt;6,将这个不等式的两边和中间都除以3得,-≤__lt;2,∴原不等式解集为-≤__lt;2.例8._取哪些整数时,代数式与代数式的差不小于6而小于8.分析:(1)〝不小于6〞即≥6, (2) 由题意转化成不等式问题解决,解:由题意可得,6≤-_lt;8,将不等式转化为不等式组,∴∴解不等式(1)得_≤6,解不等式(2)得__gt;-,∴ ∴原不等式组解集为-_lt;_≤6,∴-_lt;_≤6的整数解为_=±3, ±2, ±1, 0, 4, 5, 6.∴当_取±3,±2,±1,0,4,5,6时两个代数式差不小于6而小于8.例9.有一个两位数,它十位上的数比个位上的数小2,如果这个两位数大于20并且小于40,求这个两位数.分析:这题是一个数字应用题,题目中既含有相等关系,又含有不等关系,需运用不等式的知识来解决.题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数;一个相等关系:个位上的数＝十位上的数+2,一个不等关系:20_lt;原两位数_lt;40.解法(1):设十位上的数为_, 则个位上的数为(_+2), 原两位数为10_+(_+2), 由题意可得:20_lt;10_+(_+2)_lt;40,解这个不等式得,1_lt;__lt;3,∵_为正整数,∴1_lt;__lt;3的整数为_=2或_=3,∴当_=2时,∴10_+(_+2)=24,当_=3时,∴10_+(_+2)=35,答:这个两位数为24或35.解法(2):设十位上的数为_, 个位上的数为y, 则两位数为10_+y,由题意可得(这是由一个方程和一个不等式构成的整体,既不是方程组也不是不等式组,通常叫做〝混合组〞).将(1)代入(2)得,20_lt;11_+2_lt;40,解不等式得:1_lt;__lt;3,∵_为正整数,1_lt;__lt;3的整数为_=2或_=3,∴当_=2时,y=4,∴10_+y=24,当_=3时,y=5,∴10_+y=35.答:这个两位数为24或35.解法(3):可通过〝心算〞直接求解.方法如下:既然这个两位数大于20且小于40,所以它十位上的数只能是2和3.当十位数为2时,个位数为4,当十位数为3时,个位数为5,所以原两位数分别为24或35.例10.解下列不等式:(1)≤4;(2)_lt;0;(3)(3_-6)(2_-1)_gt;0.(1)分析:这个不等式不是一元一次不等式,因此,不能用解一元一次不等式的方法来解.但由绝对值的知识__lt;a, (a_gt;0)可知-a_lt;__lt;a, 将其转化为;若__gt;a, (a_gt;0)则__gt;a或__lt;-a.解:≤4,-4≤≤4,∴由绝对值的定义可转化为:即解不等式(1),去分母:3_-1≥-8,解不等式(2)去分母:3_-1≤8,移项:3_≥-8+1, 移项:3_≤8+1,合并同类项:3_≥-7 合并同类项:3_≤9,系数化为1,∴_≥-, 系数化为1:∴_≤3,∴,∴原不等式的解集为-≤_≤3.(2)分析:不等式的左边为是两个一次式的比的形式(也是以后要讲的分式形式),右边是零.它可以理解成〝当_取什么值时,两个一次式的商是负数?〞由除法的符号法则可知,只要被除式与除式异号,商就为负值.因此这个不等式的求解问题,可以转化为解一元一次不等式组的问题.解:∵ _lt;0,∴3_-6与2_+1异号,即:I 或II解I的不等式组得, ∴不等式组无解,解II的不等式组得, ∴不等式组的解集为-_lt;__lt;2,∴原不等式的解集为-_lt;__lt;2.(3)分析:不等式的左边是(3_-6)(2_+1)为两个一次式的积的形式,右边是零.它可以理解为〝当_取何值时,两个一次式的积是正数?〞由乘法的符号法则可知只要两个因式同号,积就为正值.因此这个不等式的求解问题,也可以转化为解一元一次不等式组的问题.解:∵ (3_-6)(2_+1)_gt;0, ∴(3_-6)与(2_+1)同号,即I或II解I的不等式组得, ∴不等式组的解集为__gt;2,解II的不等式组得, ∴不等式组的解集为__lt;-,∴原不等式的解集为__gt;2或__lt;-.说明:ab_gt;0(或_gt;0)与ab_lt;0(或_lt;0)这两类不等式都可以转化为不等式组的形式,进行分类讨论.这类问题一般转化如下:(1)ab_gt;0(或_gt;0),∴a.b同号,即I或II , 再分别解不等式组I和II,如例10的(3)题.(2)ab_lt;0(或_lt;0),∵ab_lt;0(或_lt;0),∴a.b异号,即I或II,再分别解不等式组I和不等式组II.例11.已知整数_满足不等式3_-4≤6_-2和不等式-1_lt;, 并且满足方程3(_+a)=5a-2试求代数式5a3-的值.分析:同时满足两个不等式的解的_值实际是将这两个不等式组成不等式组,这个不等式组的解集中的整数为_值.再将_值代入方程3(_+a)=5a-2,转化成a的方程求出a值,再将a代入代数式5a3-即可.解:∵整数_满足3_-4≤6_-2和-1_lt;,∴_为,解集的整数值,解不等式(1),得_≥-, 解不等式(2)得,__lt;1,∴的解集为-≤__lt;1.∴-≤__lt;1的整数_为_=0,又∵_=0满足方程3(_+a)=5a-2,∴将_=0代入3(_+a)=5a-2中, ∴3(0+a)=5a-2, ∴a=1,当a=1时,5a3-=5_13-=4,答:代数式5a3-的值为4.一次不等式(组)中参数取值范围求解技巧(提高部分)已知一次不等式(组)的解集(特解),求其中参数的取值范围,以及解含方程与不等式的混合组中参变量(参数)取值范围,近年在各地中考卷中都有出现.求解这类问题综合性强,灵活性大,蕴含着不少的技能技巧.下面举例介绍常用的五种技巧方法.一.化简不等式(组),比较列式求解例1．若不等式的解集为,求k值.解:化简不等式,得_≤5k,比较已知解集,得,∴.例2．(_年山东威海市中考题)若不等式组的解集是__gt;3,则m的取值范围是( ).A.m≥3B.m=3C.m_lt;3D.m≤3解:化简不等式组,得,比较已知解集__gt;3,得3≥m, ∴选D.例3．(_年重庆市中考题)若不等式组的解集是-1_lt;__lt;1,那么(a+1)(b-1)的值等于_____.解:化简不等式组,得∵ 它的解集是-1_lt;__lt;1,∴ 也为其解集,比较得∴(a+1)(b-1)=-6.评述:当一次不等式(组)化简后未知数系数不含参数(字母数)时,比较已知解集列不等式(组)或列方程组来确定参数范围是一种常用的基本技巧.二.结合性质.对照求解例4．(2000年江苏盐城市中考题)已知关于_的不等式(1-a)__gt;2的解集为,则a的取值范围是( ).A.a_gt;0B.a_gt;1C.a_lt;0D.a_lt;1解:对照已知解集,结合不等式性质3得:1-a_lt;0, 即a_gt;1,选B.例5．(_年湖北荆州市中考题)若不等式组的解集是__gt;a,则a的取值范围是( ).A.a_lt;3B.a=3C.a_gt;3D.a≥3解:根确定不等式组解集法则:〝大大取较大〞,对照已知解集__gt;a,得a≥3, ∴选D.变式(_年重庆市初数赛题)关于_的不等式(2a-b)__gt;a-2b的解集是,则关于_的不等式a_+b_lt;0的解集为______.三.利用性质,分类求解例6．已知不等式的解集是,求a的取值范围.解:由解集得_-2_lt;0,脱去绝对值号,得.当a-1_gt;0时,得解集与已知解集矛盾;当a-1=0时,化为0·__gt;0无解;当a-1_lt;0时,得解集与解集等价.∴例7．若不等式组有解,且每一个解_均不在-1≤_≤4范围内,求a的取值范围.解:化简不等式组,得∵它有解,∴ 5a-6_lt;3aa_lt;3;利用解集性质,题意转化为:其每一解在__lt;-1或__gt;4内.于是分类求解,当__lt;-1时,得,当__gt;4时,得4_lt;5a-6a_gt;2.故或2_lt;a_lt;3为所求.评述:(1)未知数系数含参数的一次不等式,当不明确未知数系数正负情况下,须得分正.零.负讨论求解;对解集不在a≤__lt;b 范围内的不等式(组),也可分__lt;a或_ ≥b 求解.(2)要细心体验所列不等式中是否能取等号,必要时画数轴表示解集分析等号.四.借助数轴,分析求解例8．(2000年山东聊城中考题)已知关于_的不等式组的整数解共5个,则a 的取值范围是________.解:化简不等式组,得有解,将其表在数轴上,如图1,其整数解5个必为_=1,0,-1,-2,-3.由图1得:-4_lt;a≤-3.变式:(1)若上不等式组有非负整数解,求a的范围.(2)若上不等式组无整数解,求a的范围.(答:(1)-1_lt;a≤0;(2)a_gt;1)例9．关于y的不等式组的整数解是-3,-2,-1,0,1.求参数t的范围.解:化简不等式组,得其解集为借助数轴图2得化简得 ,∴ .评述:不等式(组)有特殊解(整解.正整数解等)必有解(集),反之不然.图2中确定可动点4.B的位置,是正确列不等式(组)的关键,注意体会.五.运用消元法,求混台组中参数范围例10. 下面是三种食品A.B.C含微量元素硒与锌的含量及单价表.某食品公司准备将三种食品混合成100kg,混合后每kg含硒不低于5个单位含量,含锌不低于4.5个单位含量.要想成本最低,问三种食品各取多少kg?ABC硒(单位含量/kg)446锌(单位含量/kg)624单位(元/kg)9510解设A.B.C三种食品各取_,y,z kg,总价S元.依题意列混合组视S为参数,(1)代入(2)整体消去_+y得:4(100-z)+6z≥500z≥50,(2)+(3)由不等式性质得:10(_+z)+6y≥950,由(1)整体消去(_+z)得: 10(100-y)+6y≥950y≤12.5,再把(1)与(4)联立消去_得:S=900-4y+z≥900+4_(-12.5)+50,即S≥900.∴ 当_=37.5kg, y=12.9kg, z=50kg时,S取最小值900元.评述:由以上解法得求混合组中参变量范围的思维模式:由几个方程联立消元,用一个(或多个)未知数表示其余未知数,将此式代入不等式中消元(或整体消元),求出一个或几个未知数范围,再用它们的范围来放缩(求出)参数的范围.涉及最佳决策型和方案型应用问题,往往需列混合组求解.作为变式练习,请同学们解混合组其中a, n为正整数,_,y为正数.试确定参数n的取值.。
2020-2021八年级数学一元一次不等式精讲精练
一、重点难点提示重点：理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。
难点：一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。
二、学习指导：1、几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
但这“几个一元一次不等式”必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次不等式组了。
2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时，两个方程不是独立存在的（代入法和加减法本身就说明了这点）；而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。
（我们主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组）。
3、在不等式组中，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。
（注意借助于数轴找公共解）4、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）类型（设a>b）不等式组的解集数轴表示1.（同大型，同大取大）x>a2.（同小型，同小取小） x<b3.（一大一小型，小大之间） b<x<a 4.（比大的大，比小的小空集）无解三、一元一次不等式组的解法例1.解不等式组，并将解集标在数轴上分析：解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中各个不等式彼此之间无关系，是独立的，在每一个不等式的解集都求出之后，才从“组”的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。
步骤：解：解不等式(1)得x>（1）分别解不等式组的每一个不等式解不等式(2)得x≤4∴（利用数轴确定不等式组的解集）（2）求组的解集（借助数轴找公共部分）（3）写出不等式组解集（4）将解集标在数轴上∴原不等式组的解集为<x≤4∴例2.解不等式组解：解不等式(1)得x>-1, 解不等式(2)得x≤1,解不等式(3)得x<2,∴∵在数轴上表示出各个解为：∴原不等式组解集为-1<x≤1注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括-1而包括1在内，找公共解的图为图（1），若标出解集应按图（2）来画。
专题2.4 一元一次不等式(组)的应用【八大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.4一元一次不等式(组)的应用【八大题型】【北师大版】【题型1工程问题】 (1)【题型2销售问题】 (5)【题型3行程问题】 (9)【题型4得分问题】 (12)【题型5古代问题】 (15)【题型6方案问题】 (19)【题型7数字问题】 (24)【题型8几何图形问题】 (28)【题型1工程问题】【例1】（2023春·广西南宁·八年级统考期末）2022年9月28日上午，伴随着盾构机隆隆轰鸣声，南宁市轨道交通4号线“五象火车站一清平坡站”区间盾构顺利始发，标志着4号线续建工程正式进入区间据进施工阶段，待此次工程建设完工后，将实现4号线全线贯通运营，目前，地铁4号线续建工程正在有序进行施工，工地现有大量的泥土需要运输，某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆满载运输一次可以运输110吨泥土．(1)求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？(2)随着工程的进展，该车队需要一次运输泥土不低于163吨，为了完成任务，该车队准备再购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？【答案】(1)该车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆；(2)3辆．【分析】（1）设该车队有载重量为8吨的卡车辆，载重量为10吨的卡车辆，根据“该车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆满载运输一次可以运输110吨泥土”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设再次购进载重量为8吨的卡车辆，则再次购进载重量为10吨的卡车6−辆，根据该车队需要一次运输泥土不低于163吨，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．【详解】（1）解：设该车队有载重量为8吨的卡车辆，载重量为10吨的卡车辆，根据题意得：+=128+10=110，解得：=5=7．答：该车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆；（2）解：设再次购进载重量为8吨的卡车辆，则再次购进载重量为10吨的卡车6−辆，根据题意得：110+8+10(6−p≥163，解得：≤72，又∵为正整数，∴的最大值为3．答：最多购进载重量为8吨的卡车3辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【变式1-1】（2023春·山东临沂·八年级统考期末）为了改善山东的交通，我省修建了鲁南高铁，其中鲁南高铁临沂段已于2019年11月26日开通运营．开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米，运行时间为30分钟，某次临沂到日照火车需要150分钟，平均速度是开通后的高铁的725．(1)求临沂段高铁临沂段铁路全长各为多少千米？(2)已知修建临沂段高铁时，有甲、乙两个工程队同时施工，甲每天施工1.4千米，乙每天施工1千米，计划40天完成，施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？【答案】(1)临沂段高铁全长为100千米，临沂段铁路全长为140千米；(2)甲工程队后期每天至少施工74千米．【分析】（1）设高铁的平均速度为千米/分钟，则临沂到日照火车的平均速度为725千米/分钟，根据“路程=速度×时间”、“开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；（2）设甲工程队后期每天施工x千米，根据“确保整个工程提早3天以上（含3天）完成”列不等式，求解即可．【详解】（1）解：设高铁的平均速度为千米/分钟，则临沂到日照火车的平均速度为725千米/分钟，由题意得：150×725−30=40，解得=103，则30×103=100（千米），100+40=140（千米），答：临沂段高铁全长为100千米，临沂段铁路全长为140千米；（2）设甲工程队后期每天施工x千米，由题意得：1.4×5+40−5−3+40−3×1≥100，解得：≥74，答：甲工程队后期每天至少施工74千米．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找出合适的等量关系和不等关系，正确建立方程和不等式是解题关键．【变式1-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）政府计划为某村修建一条长为1000米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．已知若甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程．甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米．(1)求甲、乙两工程队每天各施工多少米？(2)现计划由两工程队联合施工完成该工程，两工程队联合施工4天后，因甲队有事，剩下的部分由乙工程队独立完成，若要在12天内完成该项工程，则乙工程队每天至少应再多施工多少米？【答案】(1)甲、乙两工程队每天各施工50米和40米(2)乙工程队每天至少应再多施工40米【分析】（1）设甲、乙两工程队每天各施工米和米，根据等量关系列出方程组即可求解；（2）设乙工程队每天应再多施工米，根据题意列出不等式，可求解；【详解】（1）解：设甲、乙两工程队每天各施工米和米，由题意得：5+8+=1000−302+20=3，解得：=50=40，答：甲、乙两工程队每天各施工50米和40米．（2）解：设乙工程队每天应再多施工米，由题意得：450+40+12−440+≥1000，解得≥40，答：乙工程队每天至少应再多施工40米．【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意并列出方程组或不等式是解题的关键．【变式1-3】（2023春·四川泸州·八年级统考期末）我市张坝桂圆林景区公园是泸州人民的城市花园之一，为了给大家创建更优美的休闲环境，市园林局利用景区滨江路临水区恰好位于长江流域的资源建造一个露天游泳池，工程需要运送大量的沙土．“兴泸”公司有载重量分别为8吨和10吨的、两种卡车共12辆，这12辆卡车每次能运送沙土110吨．(1)这12辆、两种卡车各有多少辆？(2)因计划改变，需要每次运送沙土至少165吨，为按时完成任务，“兴泸”公司还需要外租6辆、两种卡车（每种车至少一辆），请写出租用方案．【答案】(1)A种卡车有5辆，B种卡车有7辆(2)共有2种租用方案，方案1：租用A种卡车1辆，B种卡车5辆；方案2：租用A种卡车2辆，B种卡车4辆【分析】（1）设A种卡车有x辆，B种卡车有y辆，根据“8吨和10吨的A、B两种卡车共12辆，且这12辆卡车每次能运送沙土110吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用A种卡车m辆，则租用B种卡车（6-m）辆，根据每次运送沙土至少165吨，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租用方案．（1）解：设A种卡车有x辆，B种卡车有y辆，由题意得：+=128+10=110，解得：=5=7，答：A种卡车有5辆，B种卡车有7辆．（2）设租用A种卡车m辆，则租用B种卡车（6-m）辆，依题意得：110+8m+10（6-m）≥165，解得：m≤52，又∵m为正整数，∴m可以为1，2，∴共有2种租用方案，方案1：租用A种卡车1辆，B种卡车5辆；方案2：租用A种卡车2辆，B种卡车4辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【题型2销售问题】【例2】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）某校组织师生研学，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车．则可以少租一辆，且余30个空位．(1)求该校参加春游的人数；(2)该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你帮助设计本次春游所需车辆的租金．．【答案】(1)270人(2)1400元【分析】（1）先设租用45座客车辆，利用人数不变，可列出一元一次方程，求出车的辆数，再乘以45就是人数．（2）可根据租用两种汽车时，租用45座客车的费用+租用60座客车的费用<单独租用一种客车的费用，依此可列出不等式组，求出租用车辆的大致范围，然后根据60座客车比45座客车多租1辆，来判断出两种车各有多少辆进而求出租金的费用．【详解】（1）解：设租用辆45座的客车，依题意得45=60(−1)−30，解得=6．6×45=270人．答：该校参加春游的人数为270人．（2）解：设租用辆45座的客车，依题意得45+60(+1)≥270250+300(+1)<6×250，解不等式组得2≤<2411．所以该校租用2辆45座的客车，3辆60座的客车．2×250+3×300=1400元．答：按这种方案需要租金1400元．【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，解决问题的关键是读懂题意，关键知道60座客车比45座客车多租1辆，租金比单独一种客车要节省，进而找到所求的量的等量关系．【变式2-1】（2023春·福建漳州·八年级校考期中）为响应阳光体育运动的号召，学校决定从体育用品商店购买一批篮球和足球，按标价若购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元．(1)求篮球、足球每个分别是多少元？(2)由于购买数量较多，商店决定给予一定的优惠，篮球每个优惠20%，足球每个优惠10%，若学校决定买两种球共40个，在购买资金不超过4500元时，则购买蓝球至多是多少个？【答案】(1)篮球、足球每个分别是150元，100元(2)购买篮球至多是30个【分析】（1）设篮球、足球每个分别是x元，y元，根据购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元列出方程组求解即可；（2）设购买篮球m个，则购买足球40−个，根据购买费用不超过4500元列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设篮球、足球每个分别是x元，y元，由题意得，2+3=6003+=550，解得=150=100，∴篮球、足球每个分别是150元，100元；（2）解：设购买篮球m个，则购买足球40−个，由题意得，150×1−20%+100×1−10%40−≤4500，解得≤30，∴m的最大值为30，∴购买篮球至多是30个．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键．【变式2-2】（2023春·云南楚雄·八年级统考期末）随着“云品入沪”工程的深入实施，为云南特色农产品(简称云品)开拓了广阔市场．某农户要将规格相同的80件云品运往A，B两蔬菜产销对接基地，各地的运费如表所示：销售地A地B地运费(元/件)206(1)若运往A，B两地的总运费为760元，分别求出运往A、B两地云品的件数；(2)若此农户运往两地的总运费不超过800元，求最多可运往A地的云品的件数．【答案】(1)运往A地20件，运往B地的蔬菜为60件(2)最多可运往A地的云品的件数为22件【分析】（1）根据总运费等于760，列方程求解；（2）根据总运费不超过800，列不等式求解．【详解】（1）设运往A地x件，则运往B地的蔬菜为(80−p件，由题意得：20+6(80−p=760，解得：=20，∴80−=60，∴运往A地20件，运往B地的蔬菜为60件；（2）设运往A地x件，则运往B地的蔬菜为(80−p件，由题意得：20+6(80−p≤800，解得：≤2267，∴的最大整数解为22，∴最多可运往A地的云品的件数为22件．【点睛】本题考查了一元一次方程（不等式）的应用，理解题意列方程或不等式是解题的关键．【变式2-3】（2023春·云南临沧·八年级统考期末）2023年五一假期期间，全国各地的游客大量涌入云南，颇具云南特色的装饰物品备受游客青睐．某特色饰品店的王老板立即购进两类特色饰品进行售卖．已知王老板用310元可以购进4件A类饰品和5件B类饰品；用540元可以购进6件A类饰品和10件B类饰品．(1)求A、B两类饰品的进货单价．(2)已知A类饰品的销售单价为50元，B类饰品的销售单价为35元．若王老板购进A、B两类饰品共100件，进货总费用不超过3220元，且销售总额超过3785元，王老板有几种进货方案？哪种方案的总利润最高？总利润最高是多少钱？【答案】(1)A类饰品的进货单价为40元，B类饰品的进货单价为30元(2)王老板有三种进货方案，其中A类饰品进22件，则B类饰品进78件时总利润最高，总利润最高为610元【分析】（1）设A类饰品的进货单价为x元，B类饰品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解，即可得到答案；（2）设A类饰品进m件，则B类饰品进100−件，总利润为w元，根据题意列一元一次不等式组求解，得出的整数解，再分别代入计算求出利润进行比较，即可得到答案．【详解】（1）解：设A类饰品的进货单价为x元，B类饰品的进货单价为y元，由题意可得：4+5=3106+10=540，解得=40=30．答：A类饰品的进货单价为40元，B类饰品的进货单价为30元；（2）解：设A类饰品进m件，则B类饰品进100−件，总利润为w元，由题意可得：40+30100−≤322050+35100−>3785，解得：19<≤22，由题意可知，m为整数，∴可取20、21、22，∴王老板有3种进货方案，分别为：方案①：A类饰品进20件，则B类饰品进80件，此时=50−40×20+35−30×80=600（元）；方案②：A类饰品进21件，则B类饰品进79件，此时=50−40×21+35−30×79=605（元）；方案③：A类饰品进22件，则B类饰品进78件，此时=50−40×22+35−30×78=610（元）；综上所述，王老板有三种进货方案，其中A类饰品进22件，则B类饰品进78件时，总利润最高，总利润最高为610元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数的混合运算，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题关键．【题型3行程问题】【例3】（2023春·吉林四平·八年级统考期末）星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时12km，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？【答案】小明的爸爸至少以48km/h的速度，才能在20分钟内追上小明．【分析】先设小明爸爸的速度为Dm/h，由题意知小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程，由此不等关系列出不等式求解．【详解】解：设小明爸爸的速度为Dm/h，依题意有：2060≥12×1+解得≥48．故小明的爸爸至少以48km/h的速度，才能在20分钟内追上小明．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键在于弄清题意，找出不等关系：小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程．【变式3-1】（2023春·安徽·八年级统考期中）某车间有3个小组计划在10天内生产500件产品(每天每个小组生产量相同)，按原先的生产速度，不能完成任务，如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务，请问每个小组原先每天生产多少件产品．(结果取整数)【答案】16件【分析】首先设小组原先生产x件产品，根据“不能完成任务”“提前完成任务”列出不等式组，解不等式组，根据x是整数可得出x的值．【详解】解：设每个小组原先每天生产x件产品，3×10⋅<5003×10(+1)>500，解得473<<503，因为x整数，所以x=16．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．【变式3-2】（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）某核酸检测点开始检测时，已经有a名居民在排队等候检测．检测开始后，仍有居民继续前来排队检测，设居民按m人/分钟的速度增加，每个窗口的检测速度为n人/分钟．若开放一个检测窗口，则需要25分钟将排队等候检测的居民全部检测完毕；若同时开放两个检测窗口，则需要10分钟将排队等候检测的居民全部检测完毕．(1)若=100，求m和n的值；(2)根据（1）的结果猜想m与n的数量关系，并说明理由；(3)如果要在5分钟内将排队等候检测的居民全部检测完毕，以便后来的居民能随到随检，则至少要同时开放几个检测窗口？【答案】(1)=2=6(2)=3，理由见解析(3)至少要同时开放4个检测窗口【分析】（1）根据等量关系：居民总数=所有窗口检测总人数，列方程计算即可；（2）当a为任意值时，根据等量关系：居民总数=所有窗口检测总人数，列方程计算即可；（3）设开放x个窗口，根据不等关系：5分钟总居民人数≤个窗口5分钟检测人数，列不等式求解即可．【详解】（1）解：若=100，由题意得：100+25=25100+10=10×2解得：=2=6；（2）解：=3，理由如下：由题意得：r25=25s+10=10×2②由①−②得：=3；（3）解：设开放x个窗口，由题意得：+5≤5B，由（2）可得=25−25=50，∴50+5≤5⋅3，∵>0，∴解得：≥113∴至少要同时开放4个检测窗口．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式：居民总数=所有窗口检测总数．难点是需要考虑的变量比较多．【变式3-3】（2023春·重庆永川·八年级统考期末）甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B 地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍．(1)求甲、乙两人行驶的速度；(2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围；(3)当=3时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由．【答案】(1)甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时(2)116<<196(3)当=3时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是0≤<43【分析】（1）根据甲的路程和时间求出速度，从而得到乙的速度；（2）根据题意列出不等式组，解之可得x的范围；（3）分若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，两种情况，列出不等式组，根据解集即可得解．【详解】（1）解：由题意，知甲从A地到B地用了2小时，行程是40千米，∴甲行驶的速度是402=20（千米/时）．∵乙的速度是甲的3倍，∴乙行驶的速度是20×3=60（千米/时）．答：甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时．（2）由题意，得+4060>2+12+8060<4+12，解之，得116<<196．答：所求的取值范围是116<<196．（3）∵116<3<196，∴由（2）可知，当=3时，在甲从B地到C地的行驶过程中，乙与甲第一次相遇．若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，则3+8060+560++560<4+12≥0，即<0≥0，此不等式组无解．若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，则有3+8060+560++560+4060<4+12+2≥0，解之，得0≤<43．答：当=3时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是0≤<43．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，题中条件较多，要仔细理解题干，抽象出不等式组．【题型4得分问题】【例4】（2023春·吉林长春·八年级校联考期末）一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分.下表记录了2名参赛学生的得分情况.参赛学生答对题数答错或不答题数得分甲18288乙101040（1）若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？（2）参赛学生至少要答（）道题，总分才不会低于60分.【答案】（1）小亮的得分是76分.;（2）14.【分析】根据题意，有18−2=8810−10=40，解方程组可得；设小明答对x道题，根据总分不低于60分列出一元一次不等式即可.【详解】（1）根据题意，有18−2=8810−10=40解这个方程组，得：=5=116×5−(20−16)=76答：小亮的得分是76分.（2）设小明答对x道题，根据题意可得5x-2（20-2-x）≥60解得：x≥1357因为x是整数，所以x所取最小值为14，【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用，找出关系式列出式子是解题的关键.【变式4-1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至少要答对道题．【答案】14【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，由于x是整数，从而可以解答本题．【详解】解：设小玉答对了x道题，10−520−>95解得，>13∴小玉至少答对14道，故答案为：14．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的一元一次不等式．【变式4-2】（2023春·山西临汾·八年级校联考期中）某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况．参赛者答对题数不答题数答错题数得分A190194B181191C182094（1）由表格知，不答一题得______分，答错一题扣______分．（2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？（3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？【答案】（1）2，1；（2）13道；（3）6道，理由见解析【分析】（1）根据C和A的数据求解即可；（2）设该选手不答题数为，列出方程求解即可；（3）设后10道题答对道题，列出不等式计算即可；【详解】解：（1）由C可知，不答一题的得分为：94−18×5÷2=94−90÷2=2，由A可知，答错一题的得分为：94−19×5÷1=94−95÷1=−1；故答案是：2，1；（2）设该选手不答题数为，∴则答错题数为2+1，∴答对题数为20−−2+1=19−3道，∴519−3+2−2+1=64，解得：=2，∴答对题数=19−3×2=13；（3）前10道题得分为：5×8+2−1=40+2−1=41分，设后10道题答对道题，则，5+210−≥79−41，解得：≥6，∴至少要答对6题才有可能使最后得分不低于79分．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键．【变式4-3】（2014秋·浙江宁波·八年级统考期中）在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？（2）小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？【答案】（1）小李答对了16道题；（2）小王答对了17道题或18道题．【详解】试题分析：（1）设小李答对了x道题，则有（20﹣x）道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是60分，即可得到一个关于x的方程，解方程即可；（2）先设小王答对了y道题，根据二等奖在75分～85分之间，列出不等式组，求出y的取值范围，再根据y只能取正整数，即可．试题解析：（1）设小李答对了x道题．依题意得5x﹣3（20﹣x）=60．解得x=15．答：小李答对了16道题；（2）设小王答对了y道题，依题意得：{5−3(20−p≥755−3(20−p≤85，解得：1358≤y≤1458，即∵y是正整数，∴y=17或18，答：小王答对了17道题或18道题．考点：1.一元一次不等式组的应用2.一元一次方程的应用．【题型5古代问题】【例5】（2023·湖南长沙·校考三模）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：(1)求每头牛、羊各值多少两银子？(2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．【答案】(1)每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．(2)共有4种购买方法，方案1：购买10头牛，10只羊；方案2：购买9头牛，11只羊；方案3：购买8头牛，12只羊；方案4：购买7头牛，13只羊．【分析】（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买头牛，则购买(20−p只羊，利用羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，列出关于的不等式组，结合为正整数，即可得出各购买方案．【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，依题意得：5+2=192+5=16，解得：=3=2．答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；（2）解：设购买头牛，则购买(20−p只羊，依题意得：20−≤23+2(20−p≤50，解得：203≤≤10．∵为整数，∴有4种方案：①购买7头牛，购买13只羊；②购买8头牛，购买12只羊；③购买9头牛，购买11只羊；④购买10头牛，购买10只羊．【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是仔细审题，将实际问题转化为方程思想求解．【变式5-1】（2023秋·四川绵阳·八年级校联考开学考试）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋．已知购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元．(1)求象棋和围棋的单价；(2)学校准备购买象棋和围棋总共120副，围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，总费用可以是3500元吗？【答案】(1)象棋的单价是25元，围棋的单价是30元(2)总费用不能是3500元【分析】（1）设象棋单价是元，围棋的单价是元，根据购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元列出方程组，解之即可；（2）设购买象棋m副，根据围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，列出不等式组，求出m的范围，再根据总费用为3500元列出方程，解之，结合m的范围即可判断．。
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一元一次不等式（组）解应用题精讲及分类练习一.下列情况列一元一次不等式解应用题1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超过”等.例1．为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电千瓦时0.56元(“峰电”价),22：00至次日8：00每千瓦时0.28元(“谷电”价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.当“峰电”用量不超过．．．每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?二.下列情况列一元一次不等式组解应用题1.应用题中含有两个(或两个以上,下同)不等量的关系.它们是由两个明显的不等关系体现出来,一般是讲两件事或两种物品的制作、运输等.例3.已知服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这两种面料生产M,N两种型号的时装共80套.已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6米,B种布料0.9米,可获利45元;做一套N型号的时装需用A种布料1.1米,B 种布料0.4米,可获利润50元.若设生产N型号码的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元.(1)求y(元)与x(套)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;(2)服装厂在生产这批时装中,当N型号的时装为多少套时,所获利润最大?最大利润是多少?2.两个不等关系直接可从题中的字眼找到,这些字眼明显存在着上下限.例4.某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,则最后一人得到的课外读物不足．．3．本．.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖.请回答下列问题:(1)用含x的代数式表示m;(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.例5.某城市的出租汽车起步价为10元(即行驶距离在5千米以内都需付10元车费),达到或超过5千米后,每行驶1千米加1.2元(不足1千米也按1千米计).现某人乘车从甲地到乙地,支付车费17.2元,问从甲地到乙地的路程大约是多少?（分配问题）1、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人？。
2、把若干颗花生分给若干只猴子。
如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。
问猴子有多少只，花生有多少颗？3、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
7、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？（积分问题）1、某次数学测验共20道题（满分100分）。
评分办法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。
某学生有1道未答。
那么他至少答对几道题才能及格？2、在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分，至少要答对多少道题目？3、一次知识竞赛共有15道题。
竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。
结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？（比较问题）1、某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。
已知两家旅行社的全票价都是240元，至少要多少名学生选甲旅行社比较好？2、暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。
假设这两位家长至带领多少名学生去旅游，他们应该选择甲旅行社？（行程问题）1、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？2、爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？3、王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。
已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟（车费问题）1、出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程超过多少km?2、某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需要7元车费），超过3km，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计）。
某人乘这种出租车从A地到B地共支付车费19元。
设此人从A地到B地经过的路程最多是多少km？（工程问题）1 .一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？2 .用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。
B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？（增减问题）1、一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。
在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹簧伸长0.5cm.求弹簧所挂物体的最大质量是多少？2、几个同学合影，每人交0.70元，一张底片0.68元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，将收来的钱尽量用完，这张照片上的同学至少有多少个？3、某人点燃一根长度为25㎝的蜡烛，已知蜡烛每小时缩短5㎝，几个小时以后，蜡烛的长度不足10㎝？（销售问题）1 .水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。
售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。
如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？2.“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？3、某电影院暑假向学生优惠开放，每张票2元。
另外，每场次还可以售出每张5元的普通票300张，如果要保持每场次票房收入不低于2000元，那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张？（数字问题）1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20且小于40，求这个两位数方案选择与设计1．某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，（1）设需用x千克甲种原料，写出x应满足的不等式组。
（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？2.红星公司要招聘A、B两个工种的工人150人，A、B工种的工人的月工资分别为600和1000元，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？3.某工厂接受一项生产任务，需要用10米长的铁条作原料。
现在需要截取3米长的铁条81根，4米长的铁条32根，请你帮助设计一下怎样安排截料方案，才能使用掉的10米长的铁条最少？最少需几根？4.某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资，到这学期结束时再投资又可获利4.8％;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的0.2％作保管费，问：（1）当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的？（2）按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。
5.某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法。
年票分为A、B、C三种：A年票每张120元，持票进入不用再买门票；B类每张60元，持票进入园林需要再买门票，每张2元，C类年票每张40元，持票进入园林时，购买每张3元的门票。
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
（2）求一年中进入该园林至少多少时，购买A类年票才比较合算。
6.某城市平均每天处理垃圾700吨，有甲和乙两个处理厂处理，已知甲每小时可处理垃圾55吨，需要费用550元，乙厂每小时可处理垃圾45吨，需要费用495员。
如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少要多少吨？25. 为极大地满足人民生活的需求，丰富市场供应，某市郊区温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大。
在耕地上培成一行一行的长方形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种。
科学研究表明：在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果（同一种紧挨在一起种植不超过两垄），可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益。
现有一个种植总面积为540m2的长方形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓和西红柿单种农作物的垄数都超过10垄，但不超过14垄（垄数为正整数），它们的占地面积、产量、利润分别如下：m/垄）产量（千克/垄）利润（元/千克）占地面积（2西红柿30 160 1.1草莓15 50 1.6（1）若设草莓共种植了x垄，通过计算说明共有几种种植方案?分别是哪几种?（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大?最大利润是多少?27．（本题8分）某电器经营业主计划购进一批同种型号的冷风扇和普通电风扇，若购进8台冷风扇和20台普通电风扇，需要资金17400元；若购进10台冷风扇和30台普通电风扇，需要资金22500元．(1)求冷风扇和普通电风扇每台的采购价各是多少元？(2)该经营业主计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的冷风扇可获利200元，销售一台这样的普通电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500元．试问：该经营业主有哪几种进货方案，各种进货方案分别可获利多少元？27.某商场用36000（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；（注：获利售价进价）（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，B种商品最低售价为每件多少元？。