动点路径长专题
2020年中考数学二轮核心考点讲解第12讲运动路径长度问题解析版
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【中考数学二轮核心考点讲解】第12讲运动路径长度问题想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来,那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好:1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外,还需要明白的动点类型还有:5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离,处处相等一、路径为圆弧型解题策略:①作出隐圆,找到圆心②作出半径,求出定长解题关键:通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆,即可轻易得出结论. 二、路径为直线型解题策略:①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点,计算出路径长度即可解题关键:解题过程中常常出现中位线,平行线分线段成比例,相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略:①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点,感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键:解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图,等腰Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=,⊙O与AB相切,分别交OA、OB于N、M,以PB为直角边作等腰Rt△BPQ,点P在弧MN上由点M运动到点N,则点Q运动的路径长为()A.B.C.D.【分析】解题标签:《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图,连接OP,AQ,设⊙O与AB相切于C,连接OC,则OC⊥AB,∵OA=OB,∠AOB=90°,OB=,∴AB=2,OP=OC=AB=,∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形,∴=,∠ABO=∠QBP=45°,∴=,∠ABQ=∠OBP,∴△ABQ∽△OBP,∴∠BAQ=∠BOP,=,即=,∴AQ=,又∵点P在弧MN上由点M运动到点N,∴0°≤∠BOP≤90°,∴0°≤∠BAQ≤90°,∴点Q的运动轨迹为以A为圆心,AQ长为半径,圆心角为90°的扇形的圆弧,∴点Q运动的路径长为=,故选:D.[本题用《主从联动模型》来接替会更快得到结果]【例题2】已知⊙O,AB是直径,AB=4,弦CD⊥AB且过OB的中点,P是劣弧BC上一动点,DF垂直AP于F,则P从C运动到B的过程中,F运动的路径长度()A.πB.C.πD.2【分析】解题标签:“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ⊥AC于Q,如图,当P点在C点时,F点与Q重合;当P点在B点时,F点与E点重合,∵∠AFD=90°,∴点F在以AD为直径的圆上,∴点F运动的路径为,∵弦CD⊥AB且过OB的中点,∴OE=OD,CE=DE=,AC=AC=2,∴∠DOE=60°,∴∠DAC=60°,∴△ACD为等边三角形,∴MQ和ME为中位线,∴MQ=,∠QME=60°,∴F运动的路径长度==.故选:A.【例题3】如图,⊙O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的最大面积是.【分析】解题标签:“定边对定角”确定隐圆模型【解析】连结OA、OB,作△ABC的外接圆D,如图1,∵OA=OB=1,AB=1,∴△OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠APB=∠AOB=30°,∵AC⊥AP,∴∠C=60°,∵AB=1,要使△ABC的最大面积,则点C到AB的距离最大,∵∠ACB=60°,点C在⊙D上,∴∠ADB=120°,如图2,当点C优弧AB的中点时,点C到AB的距离最大,此时△ABC为等边三角形,且面积为AB2=,∴△ABC的最大面积为.故答案为:.【例题4】如图,等腰Rt△ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP 交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为()A. B. C. 1 D. 2【分析】解题标签:“线段垂直平分线”产生“平行定距型”【解析】连接OC,作PE⊥AB于E,MH⊥AB于H,QF⊥AB于F,如图,∵△ACB为到等腰直角三角形,∴AC=BC= AB= ,∠A=∠B=45°,∵O为AB的中点,∴OC⊥AB,OC平分∠ACB,OC=OA=OB=1,∴∠OCB=45°,∵∠POQ=90°,∠COA=90°,∴∠AOP=∠COQ,在Rt△AOP和△COQ中,∴Rt△AOP≌△COQ,∴AP=CQ,易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形,∴PE=22AP=22CQ,QF=22BQ,∴PE+QF=22(CQ+BQ)=22BC=2×22=1,∵M点为PQ的中点,∴MH为梯形PEFQ的中位线,∴MH=12(PE+QF)=12,即点M到AB的距离为12,而CO=1,∴点M的运动路线为△ABC的中位线,∴当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长=12AB=1,故答案为:C.[或连接OM,CM,点M运动路径为线段OC中垂线]【例题5】已知:如图1,平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,6),点B在x轴上,且∠BAO=30°,点D是线段OA上的一点,以BD为边向下作等边△BDE.(1)如图2,当∠ODB=45°时,求证:OE平分∠BED.(2)如图3,当点E落在y轴上时,求出点E的坐标.(3)利用图1探究并说理:点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中,点E也会在一条直线上滑动;并直接写出点E运动路径的长度.【分析】解题标签:“共顶点模型”、“全等或相似转固定角度法确定动点的直线运动”【解析】(1)∵∠ODB=45°,∠AOB=90°,∴∠OBD=∠ODB=45°,∴OD=OB,∵△BDE是等边三角形,∴DE=BE,在△DOE和△BOE中,,∴△DOE≌△BOE(SSS),∴∠DEO=∠BEO,即OE平分∠BED;(2)∵△BOE是等边三角形,∴∠EDB=60°,∵OB⊥DE,设OD=x,则OE=x,∵∠BAO=30°,∠AOB=90°,∴∠DBO=∠ABD=∠BAO=30°,∴BD=2OD=2x,AD=BD=2x,∵OA=AD+OD=3x=6,解得,x=2,∴E(0,﹣2);(3)如图1,在x轴上取点C,使BC=BA,连接CE,∵∠ABD+∠OBD=∠CBE+∠OBD=60°,∴∠ABD=∠CBE,在△ABD和△CBE中,,∴△ABD≌△CBE(SAS),∴∠BCE=∠BAO=30°,∴当D在OA上滑动时,点E总在与x轴夹角为30°的直线CE上滑动,如图可知,点E运动路径的长度为6.【例题6】如图,Rt△ABC中,BC=4,AC=8,Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上,点A与原点重合,随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动,点B也沿着x轴向点O滑动,直到与点O重合时运动结束.在这个运动过程中,点C运动的路径长是8﹣12.【分析】解题标签:“运动路径为来回型”【解析】①当A从O到现在的点A处时,如图2,此时C′A⊥y轴,点C运动的路径长是CC′的长,∴AC′=OC=8,∵AC′∥OB,∴∠AC′O=∠COB,∴cos∠AC′O=cos∠COB==,∴=,∴OC′=4,∴CC′=4﹣8;②当A再继续向上移动,直到点B与O重合时,如图3,此时点C运动的路径是从C′到C,长是CC′,CC′=OC′﹣BC=4﹣4,综上所述,点C运动的路径长是:4﹣8+4﹣4=8﹣12;故答案为:8﹣12.【例题7】如图1,已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O,它的对称轴是直线x=2,动点P从抛物线的顶点A 出发,在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动,设动点P运动的时间为t杪,连结OP并延长交抛物线于点B,连结OA,AB.(1)求抛物线的函数解析式;(2)当△AOB为直角三角形时,求t的值;(3)如图2,⊙M为△AOB的外接圆,在点P的运动过程中,点M也随之运动变化,请你探究:在1≤t≤5时,求点M经过的路径长度.【分析】解题标签:“运动路径为来回型”【解析】(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过原点O,且对称轴是直线x=2,∴c=0,﹣=2,则b=﹣4、c=0,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x;(2)设点B(a,a2﹣4a),∵y=x2﹣4x=(x﹣2)2﹣4,∴点A(2,﹣4),则OA2=22+42=20、OB2=a2+(a2﹣4a)2、AB2=(a﹣2)2+(a2﹣4a+4)2,①若OB2=OA2+AB2,则a2+(a2﹣4a)2=20+(a﹣2)2+(a2﹣4a+4)2,解得a=2(舍)或a=,∴B(,﹣),则直线OB解析式为y=﹣x,当x=2时,y=﹣3,即P(2,﹣3),∴t=(﹣3+4)÷1=1;②若AB2=OA2+OB2,则(a﹣2)2+(a2﹣4a+4)2=20+a2+(a2﹣4a)2,解得a=0(舍)或a=,∴B(,),则直线OB解析式为y=x,当x=2时,y=1,即P(2,1),∴t=[1﹣(﹣4)]÷1=5;③若OA2=AB2+OB2,则20=(a﹣2)2+(a2﹣4a+4)2+a2+(a2﹣4a)2,整理,得:a3﹣8a2+21a﹣18=0,a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18=0,a2(a﹣3)﹣5a(a﹣3)+6(a﹣3)=0,(a﹣3)(a2﹣5a+6)=0,(a﹣3)2(a﹣2)=0,则a=3或a=2(舍),∴B(3,﹣3),∴直线OB解析式为y=﹣x,当x=2时,y=﹣2,即P(2,﹣2),∴t=[﹣2﹣(﹣4)]÷1=2;综上,当△AOB为直角三角形时,t的值为1或2或5.(3)∵⊙M为△AOB的外接圆,∴点M在线段OA的中垂线上,∴当1≤t≤5时,点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段,当t=1时,如图1,由(2)知∠OAB=90°,∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点,∵B(,﹣),∴M(,﹣);当t=5时,如图2,由(2)知,∠AOB=90°,∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点,∵B(,)、A(2,﹣4),∴M(,﹣);当t=2时,如图3,由(2)知,∠OBA=90°,∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点,∵A(2,﹣4),∴M(1,﹣2);则点M经过的路径长度为=.【例题8】如图,OM⊥ON,A、B分别为射线OM、ON上两个动点,且OA+OB=5,P为AB的中点.当B由点O向右移动时,点P移动的路径长为()A.2B.2C.D.5【分析】解题标签:“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系.设OB=t,则OA=5﹣t,∴B(t,0),A(0,5﹣t),∵AP=PB,∴P(,),令x=,y=,消去t得到,y=﹣x+(0≤x≤),∴点P的运动轨迹是线段HK,H(0,),K(,0),∴点P的运动路径的长为=,故选:C.【例题9】如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0),在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.【分析】解题标签:“利用解析法计算几何路径长”【解析】如图2,以C为原点,以AC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.依题意,可知0≤t≤4,当t=0时,点M1的坐标为(3,0),当t=4时点M2的坐标为(1,4).设直线M1M2的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6.∵点Q(0,2t),P(6-t,0)∴在运动过程中,线段PQ中点M3的坐标(,t).把x= 代入y=-2x+6得y=-2×+6=t,∴点M3在直线M1M2上.过点M2作M2N⊥x轴于点N,则M2N=4,M1N=2.∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度.【例题10】(1)如图1,已知AB=2,点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点,以BD为一边向右下方作等边△BDE,当点D由点A运动到点C时,求点E运动的路径长;(2)如图2,已知AB=2,点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点,以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE,当点D由点A运动到点C时,求点E运动的路径长;(3)如图3,已知AB=2,点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点,以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE,当点D由点A运动到点C时,求点E运动的路径长;(4)如图4,已知AB=2,点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点,以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE,且∠BDE=120°,当点D由点A运动到点C时,求点E运动的路径长;【分析】解题标签:“主从联动模型”【解析】22;2;4;26【例题11】如图,已知扇形AOB中,OA=3,∠AOB=120°,C是在上的动点.以BC为边作正方形BCDE,当点C从点A移动至点B时,点D经过的路径长是________.【分析】解题标签:“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示,易得点D的运动轨迹的长为=2 π.1.如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点,当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长是.【解析】如图,连接OP,OC,取OC的中点K,连接MK.∵AC=BC=,∠ACB=90°,∴AB==2,∴OP=AB=1,∵CM=MP,CK=OK,∴MK=OP=,∴当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径是以K为圆心,长为半径的半圆,∴点M运动的路径长=•2•π•=,故答案为.2.已知线段AB=8,C、D是AB上两点,且AC=2,BD=4,P是线段CD上一动点,在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF,M为线段EF的中点,若∠AEP=∠BFP,则当点P由点C移动到点D时,点M移动的路径长度为4﹣3.【解析】如图,分别延长AE、BF交于点H.∵△APE和△PBF都是等腰三角形,且∠AEP=∠BFP∵∠A=∠FPB,∴AH∥PF,同理,BH∥PE,∴四边形EPFH为平行四边形,∴EF与HP互相平分.∵M为EF的中点,∴M为PH中点,即在P的运动过程中,M始终为PH的中点,所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN.∵CD=AB﹣AC﹣BD=8﹣6,∴QN=CD=4﹣3,即M的移动路径长为4﹣3.故答案是:4﹣3.3.已知线段AB=10,P是线段AB上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点,点P由点A移动到点B时,G点移动的路径长度为5.【解析】如图,分别延长AE、BF交于点H,∵∠A=∠FPB=60°,∴AH∥PF,∵∠B=∠EP A=60°,∴BH∥PE,∴四边形EPFH为平行四边形,∴EF与HP互相平分.∵G为EF的中点,∴G正好为PH中点,即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN.∴MN=AB=5,即G的移动路径长为5.故答案为:54.如图,AB为⊙O的直径,AB=3,弧AC的度数是60°,P为弧BC上一动点,延长AP到点Q,使AP•AQ=AB2.若点P由B运动到C,则点Q运动的路径长为3.【解析】连接BQ,如图,∵AB为⊙O的直径,∴∠APB=90°,∵AP•AQ=AB2.即=,而∠BAP=∠QAB,∴△ABP∽△AQB,∴∠ABQ=∠APB=90°,∴BQ为⊙O的切线,点Q运动的路径长为切线长,∵弧AC的度数是60°,∴∠AOC=60°,∴∠OAC=60°,当点P在C点时,∠BAQ=60°,∴BQ=AB=3,即点P由B运动到C,则点Q运动的路径长为3.故答案为3.5.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E在边AD上,且AE:ED=1:2.动点P 从点A出发,沿AB 运动到点B停止.过点E作EF⊥PE交射线BC于点F.设点M是线段EF的中点,则在点P运动的整个过程中,点M的运动路径长为________.【答案】4【解析】如图所示:过点M作GH⊥AD.∵AD∥CB,GH⊥AD,∴GH⊥BC.在△EGM和△FHM中,∴△EGM≌△FHM.∴MG=MH.∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2,当点P与点B重合时,∠F2+∠EBF1=90∘,∠BEF1+∠EBF1=90∘,∴∠F2=∠EBF1.∵∠EF1B=∠EF1F2,∴△EF1B∽△∠EF1F2.∴,即∴F1F2=8,∵M1M2是△EF1F2的中位线,∴M1M2= F1F2=4.故答案为:4.6.等边三角形ABC的边长为2,在AC,BC边上各有一个动点E,F,满足AE=CF,连接AF,BE相交于点P.(1)∠APB的度数;(2)当E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长;(3)连结CP,直接写出CP长度的最小值.【解析】(1)∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,又∵AE=CF,在△ABE和△CAF中,,∴△ABE≌△CAF(SAS),∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.∴∠APB=180°﹣∠APE=120°.(2)如图1,∵AE=CF,∴点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP 为等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°,∴∠AOB=120°,又∵AB=2,∴OA=2,点P的路径是l===;(3)如图2,∵AE=CF,∴点P的路径是一段弧,∴当点E运动到AC的中点时,CP长度的最小,即点P为△ABC的中心,过B作BE′⊥AC于E′,∴PC=BE′,∵△ABC是等边三角形,∴BE′=BC=3,∴PC=2.∴CP长度的最小值是2.方法二:由图1可知,CP最小值等于CO减OA,OA就是那圆弧的半径,可得PC的最小值为2.7.如图,AB为半圆O的直径,AB=2,C,D为半圆上两个动点(D在C右侧),且满足∠COD=60°,连结AD,BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动,当点D与B重合时运动停止,则点P所经过的路径长为________.【答案】【解析】解:点C从点A运动到点D与点B从何时,AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧,C,D两点运动到恰好是半圆的三等分点时,AD与BC的相点P是弧的最高点,作AP,BP的中垂线,两线交于点E,点E是弧APB的圆心;由题意知:AD=BD,∠PAB=∠PBA=30°,连接AE,DE,根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上,易证△ADE是一个等边三角形,∠AED=60°,在Rt△ADO中,∠DOA=90°,∠PAB=30°,AO=1,故AD=,∴AE=AD=,弧APB的长度==。
中考数学:点动产生路径长问题
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点动产生的路径长问题近几年中考,和我们同学做的中考模拟试卷中,不断的出现了因动点计算路径长问题,这种题型因为隐藏的比较深,从而难以发现,计算比较繁琐。
在填空题选择题中比较多。
只要同学们在做题的过程中发现是这种题型,那么点所经过的路径一般就是就是两种结果。
一是线段。
二是圆弧。
为什么呢?因为只有这两图形是可以计算路径长的。
其它图形我们目前能计算路径长吗。
哈哈,这样解释印象有没有很深。
下面我们来看看我们会碰到的几种题型。
题型1:简单的图形翻转问题。
解法:这种题型比较简单。
只要找出旋转圆心,旋转时圆的半径,还有圆心角就可以了,然后利用扇形的弧长计算公式来计算。
注意,如果是圆弧旋转的话,圆心的路径是直线。
例题1:一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至结束所走过的路径长度为___________试题分析:现将木板沿水平线翻滚, B点从开始至结束走过了4条弧,每条弧是一等边三角形的边为半径的扇形,圆心角为等边三角形的内角,所以 B点从开始至结束所走过的路程长度=4l=点评:本题考查扇形的弧长公式,关键是找出扇形的圆心角和半径,考查学生的空间想象能力例题2:矩形ABCD的边AB=8,AD=6,现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚,当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时(如图所示),则顶点A所经过的路线长是例题3:将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB,在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A’O’B’处,则顶点O经过的路线长为。
例题4:如图,一个圆心角为270°,半径为2m的扇形工件,未搬动前如图所示,A,B两点触地放置,搬动时,先将扇形以B为圆心,作如图所示的无滑动翻转,再使它紧贴地面滚动,当A,B两点再次触地时停止,则圆心O所经过的路线长是m.(结果保留π)例题5:已知一个半圆形工件,未搬动前如图所示,直径平行于地面放置,搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移50m,半圆的直径为4m,则圆心O所经过的路线长是 m。
8专题3:动点问题
![8专题3:动点问题](https://img.taocdn.com/s3/m/fac94109c281e53a5802ffa8.png)
专题3:动点问题一、选择题1.如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线A→B→D→C→A的路径运动,回到点A 时运动停止.设点P运动的路程长为x,AP长为y,则y关于x的函数图象大致是【D】A.B.C.D.5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P从点A 出发,沿AB的速度向终点B运动;同时,动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm 的速度向终点C运动,将△PQC沿BC翻折,点P 的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒,若四边形QPCP′为菱形,则t的值为【B】A. B. 2 C. D. 43.如图,直角梯形AOCD的边OC在x轴上,O为坐标原点,CD垂直于x轴,D(5,4),AD=2.若动点E、F同时从点O出发,E点沿折线OA→AD→DC运动,到达C点时停止;F点沿OC运动,到达C点是停止,它们运动的速度都是每秒1个单位长度.设E运动秒x时,△EOF的面积为y(平方单位),则y 关于x的函数图象大致为【C】A .B .C .D .4.如图,正△ABC 的边长为3cm ,动点P 从点A 出发,以每秒1cm 的速度,沿A B C →→的方向运动,到达点C 时停止,设运动时间为x (秒),2y PC =,则y 关于x 的函数的图像大致为【 C 】A .B .C .D .5.如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A =90°,AB =BC =4,DE ⊥BC 于点E ,且E 是BC 中点;动点P 从点E 出发沿路径ED →DA →AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动;设点P 的运动时间为t 秒,△PBC 的面积为S ,则下列能反映S 与t 的函数关系的图象是【 B 】A .B .C .D .6..如图,菱形ABCD 的边长为2,∠B = 30.动点P 从点B 出发,沿B -C -D 的路线向点D 运动.设△ABP 的面积为y (B 、P 两点重合时,△ABP 的面积可以看做0),点P 运动的路程为x ,则y 与x 之间函数关系的图像大致为【 C 】7.如图为反比例函数1y x=在第一象限的图象,点A 为此图象上的一动点,过点A 分别作AB ⊥x 轴和AC ⊥y 轴,垂足分别为B ,C .则四边形OBAC 周长的最小值为【 A 】A. 4 B. 3 C. 2 D. 18.如图,正方形ABCD的边长为4cm,动点P、Q同时从点A出发,以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C 的路径向点C运动,设运动时间为x(单位:s),四边形PBDQ的面积为y(单位:cm2),则y与x(0≤x≤8)之间函数关系可以用图象表示为【B】A.B.C.D.9.如图,矩形ABCD中,P为CD中点,点Q为AB上的动点(不与A,B重合).过Q作QM⊥P A于M,QN⊥PB于N.设AQ的长度为x,QM与QN的长度和为y.则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是【D】A.B.C.D.10.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,动点P 从A 点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动,同时动点Q 从B 点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC →CD 方向运动,当P 运动到B 点时,P 、Q 两点同时停止运动.设P 点运动的时间为t ,△APQ 的面积为S ,则S 与t 的函数关系的图象是【 D 】A .B .C .D .二、填空题 1.如图①,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A =60°,动点P 从A 点出发,以1cm/s 的速度沿着A →B →C →D的方向不停移动,直到点P 到达点D 后才停止.已知△P AD 的面积S (单位:)与点P 移动的时间t (单位:s )的函数关系式如图②所示,则点P 从开始移动到停止移动一共用了 4+(结果保留根号).2.如图(1)所示,E 为矩形ABCD 的边AD 上一点,动点P 、Q 同时从点B 出发,点P 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止,点Q 沿BC 运动到点C 时停止,它们运动的速度都是1cm/秒.设P 、Q 同时出发t 秒时,△BPQ 的面积为y cm 2.已知y 与t 的函数关系图象如图(2)(曲线OM 为抛物线的一部分),则下列结论:①AD =BE =5;②cos ∠ABE =;③当0<t ≤5时,22 5y t =;④当294t =秒时,△ABE ∽△QBP ;其中正确的结论是 ①③④ (填序号).3.在△ABC 中,P 是AB 上的动点(P 异于A 、B ),过点P 的直线截△ABC ,使截得的三角形与△ABC 相似,我们不妨称这种直线为过点..P .的.△.ABC ...的相似线,.....简记为P (x l ),(x 为自然数). (1)如图①,∠A =90°,∠B =∠C ,当BP =2P A 时,P (1l )、P (2l )都是..过点P 的△ABC 的相似线(其中1l ⊥BC ,2l ∥AC ),此外还有 1 _条.(2)如图②,∠C =90°,∠B =30°,当BP BA= 12或34或 时,P (x l )截得的三角形面积为△ABC 面积的41.4.如图,边长为6的正方形ABCD 内部有一点P ,BP =4,∠PBC =60°,点Q 为正方形边上一动点,且△PBQ 是等腰三角形,则符合条件的Q 点有 5 个.5.如图,点A 的坐标为(-1,0),点B 在直线y =2x -4上运动,当线段A 最短时,点B 的坐标是 (7655- ,) .三、解答题1.如图,直线l 1经过点A (-1,0),直线l 2经过点B (3,0), l 1、l 2均为与y 轴交于点C (0,,抛物线2(0)y a x bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)抛物线的对称轴依次与x 轴交于点D 、与l 2交于点E 、与抛物线交于点F 、与l 1交于点G .求证:DE =EF =FG ;(3)若l 1⊥l 2于 y 轴上的C 点处,点P 为抛物线上一动点,要使△PCG 为等腰三角形,请写出符合条件的点P 的坐标,并简述理由.解:(1)∵抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A (-1,0),B (3,0),C (0,∴ 0930 a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩,解得 a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为:2y =+ (2)证明:设直线l 1的解析式为y =kx +b ,由直线l 1经过A (-1,0),C (0,,得∴0 k b b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩,解得k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴直线l 1的解析式为:y=-. 直线l 2经过B (3,0),C (0,l 2解析式为:y=x .∵抛物线)221y x =+-∴对称轴为x =1,D (1,0),顶点坐标为F (1, ).点E 为x =1与直线l 2:y = x x =1,得y = ,∴E (1, ).点G 为x =1与直线l 1:y =- 的交点,令x =1,得y =-,∴G (1,-.∴各点坐标为:D (1,0),E (1, ),F (1,),G (1,-),它们均位于对称轴x =1上.∴DE =EF =FG . (3)如图,过C 点作C 关于对称轴x =1的对称点P 1,CP 1交对称轴于H 点,连接CF ,PG.,△PCG 为等腰三角形,有三种情况:①当CG =PG 时,如图,由抛物线的对称性可知,此时P 1满足P 1G =CG.∵C (0,,对称轴x =1,∴P 1(2,).②当CG =PC 时,此时P 点在抛物线上,且CP 的长度等于CG.如图,C (1,),H 点在x =1上,∴H (1,.在Rt △CHG 中,CH =1,HG =|y G -y H |=|--(|=∴由勾股定理得:2CG =.∴PC =2. 如图,CP 1=2,此时与①中情形重合.又Rt △OAC 中,2AC ,∴点A 满足PC =2的条件,但点A 、C 、G 在同一条直线上,所以不能构成等腰三角形.③当PC =PG 时,此时P 点位于线段CG 的垂直平分线上.∵l 1⊥l 2,∴△ECG 为直角三角形.由(2)可知,EF =FG ,即F 为斜边EG 的中点.∴CF =FG ,∴F 为满足条件的P 点,∴P 2(1,).又cos CG CGE EG ∠==CGE =30°.∴∠HCG =60°. 又P 1C =CG ,∴△P 1CG 为等边三角形.∴P 1点也在CG 的垂直平分线上,此种情形与①重合.综上所述,P 点的坐标为P 1(2,)或P 2(1, ).2.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB 于E,连接PQ交AB于D.(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,∴∠ACB=60°.∵∠B Q D=30°,∴∠Q CP=90°.设AP=x,则PC=6﹣x,Q B=x,∴Q C=Q B+C=6+x.∵在Rt△Q CP中,∠B Q D=30°,∴PC=12Q C,即6﹣x=12(6+x),解得x=2.∴当∠B Q D=30°时,AP=2.(2)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:作Q F⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接Q E,PF.∵PE⊥AB于E,∴∠DF Q=∠AEP=90°.∵点P、Q做匀速运动且速度相同,∴AP=B Q.∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠FB Q=60°.∴在△APE和△B Q F中,∵∠A=∠FB Q,AP=B Q,∠AEP=∠BF Q=90°,∴△APE≌△B Q F(AAS).∴AE=BF,PE=Q F且PE∥Q F.∴四边形PE Q F是平行四边形.∴DE=12 EF.∵EB+AE=BE+BF=AB,∴DE=12 AB.又∵等边△ABC的边长为6,∴DE=3.∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.3.如图,在平面直角坐标系中,直线y x+1分别与两坐标轴交于B,A两点,C为该直线上的一动点,以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动,作等边△CDE,点D和点E都在x轴上,以点C为顶点的抛物线y=a(x﹣m)2+n经过点E.⊙M与x轴、直线AB都相切,其半径为3(1a.(1)求点A的坐标和∠ABO的度数;(2)当点C与点A重合时,求a的值;(3)点C移动多少秒时,等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切?解:(1)当x =0时,y =1;当y =0时,x =OA =1,OB∴A 的坐标是(0,1).∴tan ∠ABO=OA OB ==.∴∠ABO =30°. (2)∵△CDE 为等边三角形,点A (0,1),∴tan30°=OD OA ,∴OD. ∴D,0),E,0), 把点A (0,1),D,0),E,0)代入 y =a (x ﹣m )2+n ,得222100am n a m n a m n⎧⎪=+⎪⎪⎛⎫⎪=+ ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎫⎪=+⎪⎪⎪⎝⎭⎩,解得301a m n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴a =﹣3. (3)如图,设切点分别是Q ,N ,P ,连接M Q ,MN ,MP ,ME ,过点C 作CH ⊥x 轴,H 为垂足,过A 作AF ⊥CH ,F 为垂足.∵△CDE 是等边三角形,∠ABO =30°,∴∠BCE =90°,∠ECN =90°.∵CE ,AB 分别与⊙M 相切,∴∠MPC =∠CNM =90°.∴四边形MPCN 为矩形.∵MP =MN ,∴四边形MPCN 为正方形.∴MP =MN =CP =CN =3(1a (a <0).∵EC 和x 轴都与⊙M 相切,∴EP =E Q .∵∠NB Q+∠NM Q=180°,∴∠PM Q=60°.∴∠EM Q ,=30°.∴在Rt △MEP 中,tan30°=PE PM,∴PE =3)a. ∴CE =CP +PE =3(1a +3)a =﹣∴DH=HE=,CH=﹣3a,BH=﹣∴OH=﹣OE=﹣∴E(﹣0),C(﹣3a).设二次函数的解析式为:y=a(x2﹣3a,∵E在该抛物线上,∴a(﹣)2﹣3a=0,得:a2=1,解之得a1=1,a2=﹣1.∵a<0,∴a=﹣1.∴AF CF=2,∴AC=4.∴点C移动到4秒时,等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切.4.如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是BC边的中点.点P从点B出发,以a cm/s(a >0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为ts.(1)若a=2,△BP Q∽△BDA,求t的值;(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.①若a=52,求PQ的长;②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点,∴BD=CD=12BC=6.∵a=2,∴BP=2t,D Q=t.∴B Q=BD-Q D=6-t.∵△BP Q∽△BDA,∴BP BQBD AB=,即6610t t-=,解得:1813t=.(2)①过点P作PE⊥BC于E,∵四边形P Q CM为平行四边形,∴PM∥C Q,P Q∥CM,P Q=CM.∴PB :AB =CM :AC.∵AB =AC ,∴PB =CM.∴PB =P Q .∴BE =12B Q=12(6-t ). ∵a = 5 2,∴PB = 52t.∵AD ⊥BC ,∴PE ∥AD.∴PB :AB =BE :BD ,即51(6)22106-t t =. 解得,t =32.∴P Q=PB = 5 2t =154(cm ).②不存在.理由如下:∵四边形P Q CM 为平行四边形,∴PM ∥C Q ,P Q ∥CM ,P Q=CM. ∴PB :AB =CM :AC.∵AB =AC ,∴PB =CM ,∴PB =P Q .若点P 在∠ACB 的平分线上,则∠PC Q=∠PCM , ∵PM ∥C Q ,∴∠PC Q=∠CPM.∴∠CPM =∠PCM. ∴PM =CM.∴四边形P Q CM 是菱形.∴P Q=C Q .∴PB =C Q .∵PB =at ,C Q=BD +Q D =6+t ,∴PM =C Q=6+t ,AP =AB -PB =10-at ,且 at =6+t ①. ∵PM ∥C Q ,∴PM :BC =AP :AB ,∴6101210t at+-=,化简得:6at +5t =30②. 把①代入②得,t =611-. ∴不存在实数a ,使得点P 在∠ACB 的平分线上.5.如图,已知一次函数1y kx b =+的图象与x 轴相交于点A ,与反比例函数2c y x= 的图象相交于B (-1,5)、C (25,d )两点.点P (m ,n )是一次函数1y kx b =+的图象上的动点. (1)求k 、b 的值; (2)设312m -<<,过点P 作x 轴的平行线与函数2cy x=的图象相交于点D .试问△P AD 的面积是 否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值及此时点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)设1m a =-,如果在两个实数m 与n 之间(不包括m 和n )有且只有一个整数,求实数a 的取值 范围.解:(1)将点B 的坐标代入2c y x =,得c 51=- ,解得c=5-. 反比例函数解析式为25y x=-.将点C (52,d )的坐标代入25y x=-,得5d =252=--.∴C (52,-2).∵一次函数1y kx b =+的图象经过B (-1,5)、C (52,-2)两点,∴5522k bk b =-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩,解得23k b =-⎧⎨=⎩. (2)存在.令1y 0=,即2x 30-+=,解得3x 2=.∴A (32,0).由题意,点P (m ,n )是一次函数1y 2x 3=-+的图象上的动点,且31m 2-<< ∴点P 在线段AB 上运动(不含A 、B ).设P (3nn 2-,). ∵DP ∥x 轴,且点D 在25y x =-的图象上,∴5,D P D y y n x n ===-,即D (5n n-,). ∴△PAD 的面积为2113513492224216n S PD OP n n n -⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅+⋅=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴S 关于n 的二次函数的图象开口向下,有最大值.又∵n =2m 3-+,31m 2-<<,得0n 5<<,而30n=52<<. ∴当3n=2时,即P (3342 ,)时,△PAD 的面积S 最大,为4916. (3)由已知,P (1a,2a+1- ). 易知m ≠n ,即1a 2a+1-≠,即a 0≠.若0a >,则1m n <<.由题设,02,m n >≤,解出不等式组的解为102a <≤. 若0a <,则1n m <<.由题设,02,n m ≥<,解出不等式组的解为102a -≤<. 综上所述,数a 的取值范围为102a -≤<,102a <≤. 6.已知,在矩形ABCD 中,AB =4,BC =2,点M 为边BC 的中点,点P 为边CD 上的动点(点P 异于C 、D 两点).连接PM ,过点P 作PM 的垂线与射线DA 相交于点E (如图).设CP =x ,DE =y. (1)写出y 与x 之间的函数关系式 ▲ ; (2)若点E 与点A 重合,则x 的值为 ▲ ;(3)是否存在点P ,使得点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上?若存在,求x 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)y =-x 2+4x.(2)或2 (3)存在.过点P 作PH ⊥AB 于点H.则∵点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上,∴P D ′=PD =4-x ,E D ′=ED = y =-x 2+4x ,EA =AD -ED = x 2-4x +2,∠P D ′E =∠D =900.在Rt △D ′P H 中,PH =2, D ′P =DP =4-x ,D ′H∵∠ E D ′A =1800-900-∠P D ′H =900-∠P D ′H =∠D ′P H ,∠P D ′E =∠P HD ′ =900,∴△E D ′A ∽△D ′P H.∴ E D EAD P D H '='',即2244x x x -=-+即2x =,两边平方并整理得,2x 2-4x +1=0.解得x =.∵当22x +=时,y =2+42-⎝⎭, ∴此时,点E 已在边DA 延长线上,不合题意,舍去(实际上是无理方程的增根).∵当22x =y=2+42<-⎝⎭, ∴此时,点E 在边AD 上,符合题意.∴当2x 2=时,点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上. 7.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(m ,m ),点B 的坐标为(n ,﹣n ),抛物线经过A 、O 、B 三点,连接OA 、OB 、AB ,线段AB 交y 轴于点C .已知实数m 、n (m <n )分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P 为线段OB 上的一个动点(不与点O 、B 重合),直线PC 与抛物线交于D 、E 两点(点D 在y 轴右侧),连接OD 、BD .①当△OPC 为等腰三角形时,求点P 的坐标; ②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D 的坐标.解:(1)解方程x 2﹣2x ﹣3=0,得 x 1=3,x 2=﹣1. ∵m <n ,∴m =﹣1,n =3.∴A (﹣1,﹣1),B (3,﹣3). ∵抛物线过原点,设抛物线的解析式为y =ax 2+bx.∴1933a b a b -=-⎧⎨-=-⎩,解得:1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴抛物线的解析式为21122y x x =-+.(2)①设直线AB 的解析式为y =kx +b.∴133k b k b -+=-⎧⎨+=-⎩,解得:1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴直线AB 的解析式为1322y x =--.∴C 点坐标为(0,32-).∵直线OB 过点O (0,0),B (3,﹣3),∴直线OB 的解析式为y =﹣x.∵△OPC 为等腰三角形,∴OC =OP 或OP =PC 或OC =PC. 设P (x ,﹣x ).(i )当OC =OP 时,()2294x x +-=,解得1244x x ==-(舍去).∴P 1(44-,). (ii )当OP =PC 时,点P 在线段OC 的中垂线上,∴P 2(3344-,).(iii )当OC =PC 时,由223924x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭,解得12302,x x ==(舍去).∴P 3(3322-,).综上所述,P 点坐标为P 1-)或P 2(3344-,)或P 3(3322-,). ②过点D 作DG ⊥x 轴,垂足为G ,交OB 于Q ,过B 作BH ⊥x 轴,垂足为H .设Q (x ,﹣x ),D (x ,21122x x -+). S △BOD =S △OD Q +S △BD Q =12D Q•OG +12D Q•GH=12D Q (OG +GH )=21113222x x x ⎡⎤⎛⎫+-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=233274216x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.∵0<x <3,∴当3x=2时,S 取得最大值为2716,此时D (3328- ,). 8.如图,在矩形ABCO 中,AO =3,tan ∠ACB =34,以O 为坐标原点,OC 为x 轴,OA 为y 轴建立平面直角坐标系.设D ,E 分别是线段AC ,OC 上的动点,它们同时出发,点D 以每 秒3个单位的速度从点A 向点C 运动,点E 以每秒1个单位的速度从点C 向点O 运动,设运动时间为t 秒.(1)求直线AC 的解析式;(2)用含t 的代数式表示点D 的坐标; (3)当t 为何值时,△ODE 为直角三角形?(4)在什么条件下,以Rt △ODE 的三个顶点能确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线?并请选择一种 情况,求出所确定抛物线的解析式.解:(1)根据题意,得CO =AB =BC •tan ∠ACB =4, ∴A (0,3)、B (4,3)、C (4,0).设直线AC 的解析式为:y =kx +3,代入C 点坐标,得:4k +3=0,k =34-.∴直线AC :y =34-x +3. (2)分别作DF ⊥AO ,DH ⊥CO ,垂足分别为F ,H , 则有△ADF ∽△DCH ∽△ACO.∴AD :DC :AC =AF :DH :AO =FD :HC :OC , 而AD =3t (其中0≤t ≤35),OC =AB =4,AC =5, ∴FD =41255AD t =,AF =3955AD t =,DH =93t 5-,HC =124t 5-.∴D (12t 5,93t 5-). (3)CE = t ,E (t ,0),OE =OC -CE =4- t ,HE =|CH -CE |=1217(4)455t tt --=-, 则OD 2=DH 2+OH 2=22291254(3)()99555t t t t -+=-+, DE 2=DH 2+HE 2=22291774(3)(4)3825555t t t t -+-=-+.当△ODE 为直角三角形时,有OD 2+DE 2=OE 2,或OD 2+OE 2=DE 2,或DE 2+OE 2=OD 2,即2225474(99)(3825)(4)55t t t t t -++-+=-①, 或2225474(99)(4)382555t t t t t -++-=-+②,或2227454(3825)(4)9955t t t t t -++-=-+③,上述三个方程在0≤t ≤35内的所有实数解为 12341520101917,,,t t t t ====. (4)当DO ⊥OE ,及DE ⊥OE 时,即3t 0=和420t 17=时,以Rt △ODE 的三个顶点不确定对 称轴平行于y 轴的抛物线,其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线. ∵D (12t 5,93t 5-),E (4-t ,0),∴当2t 1=时,D (125,65),E (3,0). ∵抛物线过O (0,0),∴设所求抛物线为2y ax bx =+,将点D ,E 坐标代入,得6144125255093a b a b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩,解得5652a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴所求抛物线为25562y x x =-+.9.如图,在平面直角坐标系中,点A ,C 分别在x 轴,y 轴上,四边形ABCO 为矩形,AB =16,点D 与点A 关于y 轴对称,tan ∠ACB =34,点E ,F 分别是线段AD ,AC 上的动点(点 E 不与点A ,D 重合),且∠CEF =∠ACB. (1)求AC 的长和点D 的坐标; (2)说明△AEF 与△DCE 相似;(3)当△EFC 为等腰三角形时,求点E 的坐标.解:(1)∵四边形ABCO 为矩形,∴∠B =90°.在Rt △ABC 中,BC =AB ÷tan ∠ACB =16÷43=12 ,AC 20. 则AO =BC =12.∴ A (-12,0).∵点D 与点A 关于y 轴对称,∴D (12,0). (2)∵点D 与点A 关于y 轴对称,∴∠CDE =∠CAO. ∵∠CEF =∠ACB ,∠ACB =∠CAO ,∴∠CDE =∠CEF .又∵∠AEC =∠AEF +∠CEF =∠CDE +∠DCE (三角形外角性质),∴∠AEF =∠DCE. 则在△AEF 与△DCE 中,∠CDE =∠CAO ,∠AEF =∠DCE , ∴△AEF ∽△DCE.(3)当△EFC 为等腰三角形时,有以下三种情况:①当CE =EF 时,∵△AEF ∽△DCE ,∴△AEF ≌△DCE.∴AE =CD =20. ∴OE =AE -OA =20-12=8.∴E (8,0).②当EF =FC 时,如图所示,过点F 作FM ⊥CE 于M , 则点M 为CE 中点.∴CE =2ME =2EF •c o s ∠CEF =2EF •c o s ∠ACB =65EF . ∵点D 与点A 关于y 轴对称,∴CD =AC =20.∵△AEF∽△DCE,∴EF AECE CD=,即6205EF AEEF=,解得503AE=.∴OE=AE-OA=50141233-=,∴E(143,0).③当CE=CF时,则有∠CFE=∠CEF,∵∠CEF=∠ACB=∠CAO,∴∠CFE=∠CAO.即此时F点与A点重合,这与已知条件矛盾.综上所述,当△EFC为等腰三角形时,点E的坐标为(8,0)或(143,0).10.已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明∠BMC=90°;(2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;(3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.(1)证明:∵b=2a,点M是AD的中点,∴AB=AM=MD=DC=a,又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,∴∠AMB=∠DMC=45°.∴∠BMC=90°.(2)解:存在,理由如下:若∠BMC=90°,则∠AMB=∠DMC=90°.又∵∠AMB+∠ABM=90°,∴∠ABM=∠DMC.又∵∠A=∠D=90°,∴△ABM∽△DMC.∴AM AB CD DM=.设AM=x,则x ab b x=-,整理得:x2﹣bx+a2=0.∵b>2a,a>0,b>0,∴△=b2﹣4a2>0.,∴方程有两个不相等的实数根.又∵两根之积等于a2>0,∴两根同号.又∵两根之和等于b>0,∴两根为正.符合题意.∴当b>2a时,存在∠BMC=90°.(3)解:不成立.理由如下:若∠BMC=90°,由(2)可知x2﹣bx+a2=0,∵b<2a,a>0,b>0,∴△=b2﹣4a2<0,∴方程没有实数根.∴当b<2a时,不存在∠BMC=90°,即(2)中的结论不成立.11.如图,抛物线y =ax 2+bx ﹣4与x 轴交于A (4,0)、B (﹣2,0)两点,与y 轴交于点C ,点P 是线段AB 上一动点(端点除外),过点P 作PD ∥AC ,交BC 于点D ,连接CP . (1)求该抛物线的解析式;(2)当动点P 运动到何处时,BP 2=BD •BC ; (3)当△PCD 的面积最大时,求点P 的坐标.解:(1)∵抛物线y =ax 2+bx ﹣4与x 轴交于A (4,0)、B (﹣2,0)两点∴164404240a b a b +-=⎧⎨--=⎩,解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2142y x x =--.(2)设点P 运动到点(x ,0)时,有BP 2=BD •BC ,在2142y x x =--中,令x =0时,则y =﹣4,∴点C 的坐标为(0,﹣4). ∵PD ∥AC ,∴△BPD ∽△BAC.∴BD BPBC BA=.∵BC =AB =6,BP =x ﹣(﹣2)=x +226x +=,即)2BD x =+.∵BP 2=BD •BC ,∴())222x x +=+⋅x 1=43,x 2=﹣2(不合题意,舍去). ∴点P 的坐标是(43,0).∴当点P 运动到(43,0)时,BP 2=BD •BC.(3)∵△BPD ∽△BAC ,∴2BPD BAC S BP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴()222211642623BPD BAC BP x S S x AB ∆∆+⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又∵()1242BPC S x ∆=⋅+⋅,∴()()()2211124213233PCD BPC BPD S S S x x x ∆∆∆=-=⋅+⋅-+=--+. ∵13-<0,∴当x =1时,S △BPC 有最大值为3.∴点P 的坐标为(1,0)时,△PDC 的面积最大.12.如图,在△ABC 中,∠C =90º,AC =6cm ,BC =8cm ,D 、E 分别是AC 、AB的中点,连接DE .点P 从点D 出发,沿DE 方向匀速运动,速度为1cm/s ;同时,点Q 从点B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为2cm/s ,当点P 停止运动时,点Q 也停止运动.连接P Q ,设运动时间为t (0<t <4)s .解答下列问题:(1)当t 为何值时,P Q ⊥AB ?(2)当点Q 在B 、E 之间运动时,设五边形P Q BCD 的面积为y cm 2,求y 与t 之间的函数关系式; (3)在(2)的情况下,是否存在某一时刻t ,使得P Q 分四边形BCDE 所成的两部分的面积之比为PQE PQBCD S S ∆五形边∶=1∶29?若存在,求出此时t 的值以及点E 到P Q 的距离h ;若不存在,请说明理由.解:(1)如图,在Rt △ABC 中,AC =6,BC =8,∴10AB . ∵点D 、E 分别是AC 、AB 的中点, ∴AD =DC =3,AE =EB =5,DE ∥BC ,且DE =12BC =4. ∵P Q ⊥AB ,∴∠P Q B =∠C =900.又∵DE ∥BC ,∴∠AED =∠B.∴△P Q E ∽△ABC.∴PE QEAB BC=.由题意,得PE =4-t ,Q E =2t -5,∴4t 2t 5108--=,解得41t=14. ∴当41t=14时,P Q ⊥AB.(2)过点P 作PM ⊥AB 于点M.由△PME ∽△ABC ,得PM PEAC AB=, ∴4610PM t -=,即()345PM t =-. ∴()()21133395246225510PDE S EQ PM t t t t ∆=⋅⋅=⋅-⋅-=-+,()DCBE 1S 4+83182 =⨯⨯=梯形 .∴2233933918612510510梯形PDE DCBE y S S t t t t ∆⎛⎫=-=--+=-++ ⎪⎝⎭.(3)假设存在时刻t 使PQE PQBCD S S ∆五形边∶=1∶29,此时,PQE BCDE 1S =S 30∆梯形, ∴23391t t+6=1851030-⨯,即22t 13t+18=0-.解得129t 2t =2=,(舍去). 当t 2=时,PM =()364255⨯-=,ME =()484255⨯-=,E Q=5-2×2=1,M Q=ME +E Q=813+155=,PQ =∵1325PQ h ⋅⋅=,∴65h =. 当2t =时, P Q 分四边形BCDE 所成的两部分的面积之比为五边形∶PQE PQBCD S S ∆=1∶29,此时点E 到P Q的距离h 13.在平面直角坐标系xOy 中,点P 是抛物线:y =x 2上的动点(点在第一象限内).连接 OP ,过点O 作OP 的垂线交抛物线于另一点Q .连接PQ ,交y 轴于点M .作P A 丄x 轴于点A ,QB 丄x 轴于点B .设点P 的横坐标为m .(1)如图1,当m①求线段OP 的长和tan ∠POM 的值;②在y 轴上找一点C ,使△OCQ 是以O Q 为腰的等腰三角形,求点C 的坐标; (2)如图2,连接AM 、BM ,分别与OP 、OQ 相交于点D 、E . ①用含m 的代数式表示点Q 的坐标; ②求证:四边形ODME 是矩形.解:(1)①把x y =x 2,得 y =2,∴P 2),∴OP∵P A 丄x 轴,∴P A ∥MO.∴tan tan OP POM OPA AP ∠=∠== ②设 Q (n ,n 2),∵tan ∠QOB =tan ∠POM,∴2n n =-.∴n =. ∴Q (12 ,).∴OQ∴当 OQ =OC 时,则C 1(0),C 2(0.当 OQ =C Q 时,则 C 3(0,1).(2)①∵点P 的横坐标为m ,∴P (m ,m 2).设 Q (n ,n 2),∵△APO ∽△BO Q ,∴BQ BO AO AP =.∴22n n m m -=,得1n m=-.∴Q (211, m m -). ②设直线PO 的解析式为:y =kx +b ,把P (m ,m 2)、Q (211, m m-)代入,得: 2211m mk bk b m m⎧=+⎪⎨=-⋅+⎪⎩,解得b =1.∴M (0,1). ∵21QB OB MO AP m==,∠QBO =∠MOA =90°,∴△QBO ∽△MOA.,∴∠MAO =∠Q OB ,∴QO ∥MA. 同理可证:EM ∥OD.又∵∠EOD =90°,∴四边形ODME 是矩形.14.在△ABC 中,点P 从B 点开始出发向C 点运动,在运动过程中,设线段AP 的长为y ,线段BP 的长为x (如图甲),而y 关于x 的函数图象如图乙所示.Q (1乙两图,解答下列问题.(1)请直接写出AB 边的长和BC 边上的高AH 的长; (2)求∠B 的度数;(3)若△ABP 为钝角三角形,求x 的取值范围. 解:(1)AB =2;AH(2)在Rt△ABH中,AHBH=1,tan∠BB=60°.(3)①当∠APB为钝角时,此时可得x<1;②当∠BAP为钝角时,过点A作AH⊥AB交BC于点H.则241cos2ABBHB===∠,∴当4<x≤6时,∠BAP为钝角.综上所述,当0<x<1或4<x≤6时,△ABP为钝角三角形.15.如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接P Q,若设运动时间为t(0<t<103)秒.解答如下问题:(1)当t为何值时,P Q∥BO?(2)设△A Q P的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;解:(1)∵A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,OA=8.∴10AB=.如图①,当P Q∥BO时,A Q=2t,BP=3t,则AP=10﹣3t.∵P Q∥BO,∴AP AQAB AO=,即1032105t t-=,解得t=2011.∴当t=2011秒时,P Q∥BO.(2)由(1)知:OA=8,OB=6,AB=10.如图②所示,过点P作PD⊥x轴于点D,则PD∥BO.∴△APD∽△ABO.∴AP PDAB OB=,即103106t PD-=,解得PD=6﹣95t.∴221199952665 225553S AQ PD t t t t t⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅-=-+=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴S 与t 之间的函数关系式为:S =295553t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(0<t <103).∴当t =53秒时,S 取得最大值,最大值为5(平方单位). 16.如图,在△ABC 中,∠C =90°,BC =5米,AC =12米.M 点在线段CA 上,从C 向A 运动,速度为1米/秒;同时N 点在线段AB 上,从A 向B 运动,速度为2米/秒.运动时间为t 秒. (1)当t 为何值时,∠AMN =∠ANM ?(2)当t 为何值时,△AMN 的面积最大?并求出这个最大值.解:(1)∵从C 向A 运动,速度为1米/秒;同时N 点在线段AB 上,从A 向B 运动,速度为2米/秒,运动时间为t 秒,∴AM =12﹣t ,AN =2t.∵∠AMN =∠ANM ,∴AM =AN ,即12﹣t =2t ,解得:t =4 秒.∴当t 为4时,∠AMN =∠ANM.(2)如图作NH ⊥AC 于H ,∴∠NHA =∠C =90°.∴NH ∥BC.∴△ANH ∽△ABC.∴AN NH AB BC =,即2135t NH =.∴NH =1013t . ∴()()22110560518012621313131313ABC S t t t t t ∆=⋅-⋅=-+=--+.∴当t =6时,△AMN 的面积最大,最大值为18013.17.如图,在□O A B C 中,点A 在x 轴上,∠A O C =60o ,O C =4c m .O A =8c m .动 点P 从点O 出发,以1cm /s 的速度沿线段OA →AB 运动;动点Q 同时..从点O 出发,以 a c m /s 的速度沿线段OC →C B 运动,其中一点先到达终点B 时,另一点也随之停止运动. 设运动时间为t 秒.(1)填空:点C 的坐标是(______,______),对角线OB 的长度是_______cm ;(2)当a =1时,设△OP Q 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式,并直接写出当t 为何值时,S 的值最大? (3)当点P 在OA 边上,点Q 在CB 边上时,线段PQ 与对角线OB 交于点M .若以O 、M 、P 为顶点的三角形与△OAB 相似,求a 与t 的函数关系式,并直接写出t 的取值范围.解:(1)C (2,,OB. (2)①当0<t ≤4时,过点Q 作QD ⊥x 轴于点D (如图1),则QD∴S =12OP ·Q Dt 2. t =4,S 最大= ②当4<t ≤8时,作Q E ⊥x 轴于点E (如图2),则Q E∴S =12DP ·Q Et =8,S 最大= ③当8<t <12时,延长Q P 交x 轴于点F ,过点P 作PH ⊥AF 于点H (如图3). 易证△PB Q 与△P AF 均为等边三角形, ∴OF =OA +AP =t ,AP =t -8.∴PHt -8). ∴OQFOPF S S S ∆∆=-=12t ·12t(t -8)=2t=8,S 最大=综上所述,()()()220448812t S t t <≤=<≤⎪+<<⎪⎩.∵①②中S 随t 的增加而增加, ③中S=)226t +=-+S 随t 的增加而减小, 综上,∴当t =8时,S 最大.(3)①当△OPM∽△OAB时(如图4),则P Q∥AB.∴C Q=OP.∴at-4=t,即a=1+4t.t的取值范围是0<t≤8.②当△OPM∽△OBA时(如图5),则OP OMOB OA=,8OM=.∴OM.又∵Q B∥OP,∴△B Q M~△OPM.∴QB BMOP OM=,即12att-=.整理得t-at=2,即a=1-2t,t的取值范围是6≤t≤8.综上所述:a=1+4t(0<t≤8)或a=1-2t(6≤t≤8).18.如图1,在直角坐标系中,已知△AOC的两个顶点坐标分别为A(2,0),C(0,2).(1)请你以AC的中点为对称中心,画出△AOC的中心对称图形△ABC,此图与原图组成的四边形OABC 的形状是,请说明理由;(2)如图2,已知D(12-,0),过A,C,D的抛物线与(1)所得的四边形OABC的边BC交于点E,求抛物线的解析式及点E的坐标;(3)在问题(2)的图形中,一动点P由抛物线上的点A开始,沿四边形OABC的边从A﹣B﹣C向终点C运动,连接OP交AC于N,若P运动所经过的路程为x,试问:当x为何值时,△AON为等腰三角形(只写出判断的条件与对应的结果)?解:(1)设AC的中点为E,连接OF并延长至B,使得BF=OF;连接AC,AB,则△ABC为所求作的△AOC 的中心对称图形.∵A(2,0),C(0,2),∴OA=OC.∵△ABC是△AOC的中心对称图形,∴AB=OC,BC=OA.∴OA=AB=BC=OC.∴四边形OABC是菱形,又∵∠AOC=900,∴四边形OABC是正方形.(2)设经过点A、C、D的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,∵A(2,0),C(0,2),D(,0),∴,解得232abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴抛物线的解析式为:y=﹣2x2+3x+2.由(1)知,四边形OABC为正方形,∴B(2,2).∴直线BC的解析式为y=2.令y=﹣2x2+3x+2=2,解得x1=0,x2=32.∴点E的坐标为(32,2).(3)在点P的运动过程中,有三种情形使得△AON为等腰三角形:①当x= 2时,此时点P与点B重合,△AON为等腰直角三角形;②当x=6﹣P位于B﹣C段上,△AON为等腰三角形;③当x=4时,此时点P与点B重合,△AON为等腰直角三角形.19.如图,在平面直角坐标系中,直线112y x=+与抛物线23y ax bx=+-交于A,B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A,B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作PD⊥AB于点D(1)求a,b及sin ACP∠的值(2)设点P的横坐标为m①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m值,使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在,直接写出m值;若不存在,说明理由.解:(1)由1102x +=,得到x =-2,∴A (-2,0).由1132x +=,得到x =4,∴B (4,3). ∵23y ax bx =+-经过A 、B 两点,∴423016433a b a b --=⎧⎨+-=⎩,解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.设直线AB 与y 轴交于点E ,则E (0,1).∴根据勾股定理,得AE∵PC ∥y 轴,∴∠ACP =∠AEO.∴sin sin OA ACP AEO AE ∠=∠=== (2)①由(1)可知抛物线的解析式为211322y x x =--. 由点P 的横坐标为m ,得P 211322,m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ,C 112,m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. ∴PC =2211111342222m m m m m ⎛⎫+---=-++ ⎪⎝⎭. 在Rt △PCD中,)221sin 412PD PC ACP m m m ⎛⎫=⋅∠=-++=- ⎪⎝⎭∵0,∴当m =1时,PD②存在满足条件的m 值,53229或m =.。
初中数学动点路径长的问题解决策略
![初中数学动点路径长的问题解决策略](https://img.taocdn.com/s3/m/6ea529f6172ded630b1cb685.png)
2017·05路径长问题的通常没有给出具体的动点运动轨迹,比较抽象,是学生难以把握的问题之一。
问题的解决策略是将动态问题转化为静态问题,寻找问题中的不变量,把抽象问题具体化,而初中阶段动点的运动轨迹一般只限于直线运动或圆弧运动,解决路径长问题关键在于确定动点运动的轨迹。
摘要关键词轨迹;运动;路径长;策略路径长问题是近几年中考的热点问题,它设计新颖,内涵丰富,既考查学生的基本画图能力,又考查学生逻辑推理能力。
它的难点在于题目中没有给出具体的动点运动轨迹,而且比较抽象,需要学生思考探究,很多学生对这类问题常常感到无从下手,产生畏难情绪。
为了解决这个问题,教师可以引导学生将动态问题转化为静态问题,寻找路径长问题中不变的量,把抽象问题具体化。
现结合例题探讨动点路径是线段与圆弧这两类问题轨迹的解题策略。
一、追根溯源,探究问题中不变的量教学过程中教师们常常发现学生在审题、析题方面不能抓住重点,遇到疑难问题,不懂得寻求解题的突破口,过度依赖教师的讲解,不能独立思考,学习处于被动状态。
新课程理念倡导以学生为主体,让学生积极、主动地参与课堂的探究活动,学生通过探究获得的解题经验往往比较直观,而且印象深刻,因此,教师传授新知识、新方法时,要让学生有充足的时间探究题目中隐含的条件,寻找解题的关键点,把复杂问题简单化。
学生在探究的过程得出解题经验,既获得成功的体验,又提高自身的综合解题能力。
1.动点到定直线距离保持不变,其轨迹是线段人教版七年级下册数学教科书采用这个例题来讲解无理数π如何在数轴上表示。
如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点O 到达点O′,点O′的数值是___。
这是初中阶段教科书第一次讲解动点的轨迹问题,从图中可以看出O O′的长是这个圆的周长π,所以点O′在数轴上对应的数是π。
教师再让学生思考圆形车轮让乘坐者感觉舒适平稳的原因,学生探究后得出结论:圆心到水平面的距离相等。
中考数学专题:动点轨迹问题专题
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动点轨迹问题——直线、圆弧型路径一.典例分析例1如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E在边AD上,且AE:ED=1:3.动点P从点A出发,沿AB 运动到点B停止.过点E作EF ⊥PE交射线BC于点F,设M是线段EF的中点,则在点P运动的整个过程中,点M运动路线的长为 .例2如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=2,O为AC中点,若点D在直线BC上运动,连接OE,则在点D运动过程中,线段OE的最小值是为 .例3如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=22,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点,当点P沿半圆从点A运动至点B 时,点M运动的路径长是 .例4 在正方形ABCD中,AD=2,点E从点A出发向终点D运动,点F从D出发向终点C运动,且始终保持AE=DF.连接AF,BE交于点P,则点P运动的路径长是 .三、巩固练习1. 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D 是平面内的一个动点,且AD=2,M 为BD 的中点,在D 点运动过程中,线段CM 长度的取值范围是 .1题图 2题图 3题图2. 如图,等边三角形ABC 中,BC=6,D 、E 是边BC 上两点,且BD=CE=1,点P 是线段DE 上的一个动点,过点P 分别作AC 、AB 的平行线交AB 、AC 于点M 、N ,连接MN 、AP 交于点G ,则点P 由点D 移动到点E 的过程中,线段BG 扫过的区域面积为 .3. 如图,以G (0,1)为圆心,半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 、D 两点,点E 为⊙G 上一动点,CF ⊥AE 于F .若点E 从在圆周上运动一周,则点F 所经过的路径长为 .4. 如图,已知点A 是第一象限内横坐标为32的一个定点,AC ⊥x 轴于点M ,交直线y=﹣x 于点N .若点P 是线段ON 上的一个动点,∠APB=30°,BA ⊥PA ,则点P 在线段ON 上运动时,A 点不变,B 点随之运动.求当点P 从点O 运动到点N 时,点B 运动的路径是 .4题图 5题图 6题图5. 如图,在边长为3的等边三角形ABC 中,P 为AC 边上一动点,Q 为线段PC 上一点,∠PBQ=30°,D 为BQ 延长线上一点,PD=PB. 当点P 从点A 运动到AP=31AC 时,点D 经过的路线长为 .6. 如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=AC=2,线段BC 上一动点P 从点C 开始运动,到点B停止,以AP 为边在AC 的右侧作等边△APQ ,则点Q 运动的路径长为 .7. (2018 花都区一模 )已知,如图1,正方形ABCD 的边长为5,点E 、F 分别在边AB 、AD 的延长线上,且BE DF =,连接EF .(1)证明:EF AC ⊥;(2)将AEF ∆绕点A 顺时针方向旋转,当旋转角α满足045α︒<<︒时,设EF 与射线AB交于点G ,与AC 交于点H ,如图2所示,试判断线段FH ,HG ,GE 的数量关系,并说明理由.(3)若将AEF ∆绕点A 旋转一周,连接DF 、BE ,并延长EB 交直线DF 于点P ,连接PC ,试说明点P 的运动路径并求线段PC 的取值范围.8. (2017 越秀区期末25题)如图,在平面直角坐标系xoy 中,点A (0,3),B (5,3).点P (x ,0)是x 轴正半轴上的一个动点,以BP 为直径作圆Q 交x 轴于点C ,圆Q 与直线AC 交于点D ,连接PD 、BD ,过点P 作PE ∥BD 交圆Q 于点E ,连接BE.(1)求证:四边形BDPE 是矩形;(2)设矩形BDPE 的面积为S ,试求S 关于x 的函数关系式,写出x 的取值范围,并判断S 是否存在最大值或最小值?若存在,求出这个最大值或最小值,若不存在,请说明理由;(3)当0≤x ≤5时,求点E 移动路线的长.备用图9.(2018 越秀区期末25题)如图1所示,正方形ABCD的边长为2,点E、F分别为边AB、AD的中点,如图2所示,将△AEF绕点A逆时针旋转α(0°<α 90°),射线BE、DF相交于点P.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)如图2,在△AEF旋转过程中,若射线BE恰好通过AD的中点H,求PF的长;(3)如图3,若将△AEF从图1的位置旋转至AE⊥BE,试求点P在旋转过程中的运动路径长.10.如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止.连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连结EG、FG.(1)设AE=x时,△EGF的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)P是MG的中点,请直接写出点P运动路线的长.11.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2.点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P 到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA.(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标;(2)求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少?(3)在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形?若能,求t的值;若不能,请说明理由;(4)请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长.12.如图,直角坐标系中,已知点A(2,4),B(5,0),动点P从B点出发沿BO向终点O运动,动点Q从A点出发沿AB向终点B运动.两点同时出发,速度均为每秒1个单位,设从出发起运动了x秒.(1)Q点的坐标为( , )(用含x的代数式表示);(2)当x为何值时,△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形?(3)记PQ的中点为G.请你直接写出点G随点P,Q运动所经过的路线的长度.13. 已知△ABC 是等腰直角三角形,AC=BC=2,D 是边AB 上的一动点(A 、B 两点除外),将△CAD 绕点C 按逆时针方向旋转角α得到△CEF ,其中点E 是点A 的对应点,点F 是点D 的对应点.(1)如图1,当α=90°时,G 是边AB 上一点,且BG=AD ,连接GF .求证:GF ∥AC ;(2)如图2,当90°≤α≤180°时,AE 与DF 相交于点M .①当点M 与点C 、D 不重合时,连接CM ,求∠CMD 的度数;②设D 为边AB 的中点,当α从90°变化到180°时,求点M 运动的路径长.14. 已知抛物线 ()023:21≠-+=a bx ax y C 经过点A (1,0)和B (-3,0). (1)求抛物线1C 的解析式,并写出其顶点C 的坐标;(2)如图1,把抛物线1C 沿着直线AC 方向平移到某处时得到抛物线2C ,此时点A ,C 分别平移到点D ,E 处.设点F 在抛物线1C 上且在x 轴的上方,若△DEF 是以EF 为底的等腰直角三角形,求点F 的坐标.(3)如图2,在(2)的条件下,设点M 是线段BC 上一动点,EN ⊥EM 交直线BF 于点N ,点P 为线段MN 的中点,当点M 从点B 向点C 运动时:①tan ∠ENM 的值如何变化?请说明理由;②点M 到达点C 时,直接写出点P 经过的路线长.15.如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一个动点(点C除外),直线PM交AB的延长线于点D.(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);(2)当△ADP是等腰三角形时,求m的值;(3)设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2).当点P从原点O向点C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长(不写解答过程).16.问题探究:(1)请在图①的正方形ABCD内,画出使∠APB=90°的一个点,并说明理由.(2)请在图②的正方形ABCD内(含边),画出使∠APB=60°的所有的点P,并说明理由.问题解决:(3)如图③,现在一块矩形钢板ABCD,AB=4,BC=3.工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板,且∠APB=∠CP'D=60度.请你在图③中画出符合要求的点和,并求出△APB的面积(结果保留根号).17.如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,AC=2,AD=1,F为BE 的中点.(1)如图1,当边AD与边AB重合时,连接DF,求证:DF⊥CF;(2)若∠BAE=135°,如图2,求CF2的值;(3)将△ADE绕点A旋转一周,直接写出点F运动路径的长。
青岛市中考数学动点题汇编
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青岛市中考数学动点题汇编在中考数学中,动点问题一直是学生们的难题之一。
动点问题涉及到的知识点较多,需要学生有较强的数学思维和解决问题的能力。
为了帮助学生更好地掌握动点问题的解题技巧,提高解题效率,本文将汇编青岛市中考数学动点题,并给出相应的解析和答案。
动点问题是指在图形中,一个或多个动点在给定条件下运动,求出动点的轨迹、路径、距离等问题。
动点问题的解题思路一般包括:分析动点的运动规律,运用相关数学知识建立方程或不等式,求解并检验。
例1:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的一个动点,连接CP,过点P作PD⊥AC于D,则AD的长度y与AP的长度x之间的函数关系式是_________。
解析:根据勾股定理可求得AB的长,再根据相似三角形的性质可得答案:根据勾股定理可求得AB的长为10。
根据相似三角形的性质可得例2:在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,E为AD上一点,且BE=7cm,将纸片折叠使点A与E重合,求折痕的长度。
解析:首先根据勾股定理求出AE的长,再根据相似三角形的性质求出折痕的长。
题1:在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=6cm,点P是BC边上的一个动点,连接AP。
设BP的长度为,求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围。
题2:在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=AD=2cm,BC=4cm。
点P是BC 边上的一个动点,连接AP。
设BP的长度为,求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围。
鉴于甲、乙双方与丙方于年月日签订《房地产营销顾问合同协议书》(以下简称“原合同”),约定丙方接受甲、乙双方的委托,担任房地产营销顾问,负责推动和促进甲、乙双方共同商定之交易事项的完成。
现甲、乙双方经友好协商,决定提前终止原合同,特订立本协议书,以兹共信守。
甲、乙双方同意,自本协议书签署之日起,原合同终止执行。
丙方已完成的房地产营销顾问工作,甲、乙双方确认其工作成果,并按照原合同的约定支付相应的顾问费用。
人教版八年级数学上册数学动点问题专题练习(含详细参考答案)
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人教版八年级数学上册数学动点问题专题练习(详细参考答案附后)1、在△ABC中,BC=12cm,AC=9,点P为一动点,沿着C→B→A→C的路径运动(返回C点时则停止运动),已经点P的运动速度为2cm/秒,试求:(1)AB的取值范围;(2)若∠C=90度,AB=15cm①当P点在CB上运动时,经过多长时间PC=AC;②经过多长时间后,点P与△ABC某一顶点的连线将把△ABC的周长分成相等的两部分.③当P从运动开始,几秒后点P与△ABC某一顶点的连线将这个△ABC分成面积相等的两部分;2、点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点,过点P作BC的垂线,交AB 于点E,交CA的延长线于点F。
(1)如图(1),请观察AF与AE,它们相等吗?并证明你的猜想。
(2)如图(2)如果点P沿着底边BC所在的直线,按由C向B的方向运动到CB 的延长线上时,(1)中所得的结论还成立吗?请你在图(2)中完成图形,并给予证明。
3、如图,己知△ABC中,∠B=∠C,AB=8厘米,BC=6厘米,点D为AB的中点。
如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动,设运动时间为t(秒)(0≤t≤3)。
(1)用的代数式表示PC的长度;(2)若点P、Q的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;(3)若点P、Q的运动速度不相等,当点Q的运动速度a为多少时,能够使△BPD 与△CQP全等?人教版八年级数学上册数学动点问题专题练习参考答案1、在△ABC中,BC=12cm,AC=9,点P为一动点,沿着C→B→A→C的路径运动(返回C点时则停止运动),已经点P的运动速度为2cm/秒,试求:(1)AB的取值范围;(2)若∠C=90度,AB=15cm①当P点在CB上运动时,经过多长时间PC=AC;②经过多长时间后,点P与△ABC某一顶点的连线将把△ABC的周长分成相等的两部分.③当P从运动开始,几秒后点P与△ABC某一顶点的连线将这个△ABC分成面积相等的两部分;解:(1)根据三角形三边之间的关系可知AB> BC -AC AB<AC+BC∴AB> 12 -9 AB<12+9即:3<AB<21(2)①∵PC=AC=9 t=v÷s=9÷2=4.5(秒)②△ABC的周长一半=(AB+ AC+BC)÷2=(15+9+12)÷2=36÷2=18(cm)当P从点C往点B运动至9cm处时,点P与点A的连线恰好将△ABC的周长分成相等的两部分。
动点问题相关题目
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动态问题动态问题1.如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,中,AD∥BC,AD=6AD=6AD=6,,BC=16BC=16,,E 是BC 的中点.点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发,沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发,沿CB 向点B 运动.点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动.当运动时间t 何值时,以点P ,Q ,E ,D 为顶点的四边形是平行四边形?形?2.如图,Rt△ABC 中,∠A=30°,中,∠A=30°,BC=10cm BC=10cm BC=10cm,点,点Q 在线段BC 上从B 向C 运动,点P 在线段BA 上从B 向A 运动.运动.Q Q 、P 两点同时出发,运动的速度相同,当点Q 到达点C 时,两点都停止运动.作PM⊥PQ 交CA 于点M ,过点P 分别作BC BC、、CA 的垂线,垂足分别为E 、F .(1)求证:△PQE∽△PMF;)求证:△PQE∽△PMF;(2)当点P 、Q 运动时,请猜想线段PM 与MA 的大小有怎样的关系?并证明你的猜想;关系?并证明你的猜想;(3)设BP=x ,△PEM 的面积为y ,求y 关于x 的函数关系式,当x 为何值时,y 有最大值,并将这个值求出来.值求出来.3.如图①,在△ABC 中,AB AB==AC AC,, BC BC==a cm cm,,∠B=∠B=30300。
动点P 以1cm/s 的速度从点B 出发出发,,沿折线B-A-C运动到点C 时停止运动。
设点P 出发xs 时,△PBC 的面积为ycm2ycm2。
已知y 和x 的函数图象如图②所示。
请根据图中信息,解答下列问题:的函数图象如图②所示。
请根据图中信息,解答下列问题:试判断△DOE 的形状的形状, , , 并说明理由;并说明理由;并说明理由; 当a 为何值时,△DOE 和△ABC 相似?相似?A B C P 图①4.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,中,P P 为AB 的中点,的中点,Q Q 为边CD 上一动点,设DQ DQ==t (0≤t≤2),线段PQ 的垂直平分线分别交边AD AD、、BC 于点M 、N ,过Q作QE⊥AB 于点E ,过M 作MF⊥BC 于点F .((1)当t≠1时,求证:△PEQ≌△NFM;时,求证:△PEQ≌△NFM;((2)顺次连接P 、M 、Q 、N ,设四边形PMQN 的面积为S ,求出S 与自变量t之间的函数关系式,并求S 的最小值.的最小值.5.如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,中,∠B=90°,BC=BC=35,∠C=30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动,同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒(t >0).过点D 作DF⊥BC 于点F ,连接DE DE、、EF EF..(1)求证:)求证:AE=DF AE=DF AE=DF;;(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t 值;如果不能,说明理由.值;如果不能,说明理由.(3)当t 为何值时,△DEF 为直角三角形?请说明理由.为直角三角形?请说明理由.6.如图,将—矩形OABC 放在直角坐际系中,放在直角坐际系中,O O 为坐标原点.点A 在x 轴正半轴上.点E 是边AB 上的—个动点个动点((不与点A 、N 重合重合)),过点E 的反比例函数)0(>=x x k y 的图象与边BC 交于点F 。
动点运动路径长问题
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乘胜 追击
例 2(2017 宁波考纲)在矩形 ABCD 中, AD=6,AB=
6 2 3 ,E 是 AB 边上的一点,且 AE=AD,P 是线段 CD 上
一点,连接 PE,将矩形沿着 PE 折叠,点 B、C 分别落在 G、
F 处,当点 P 从点 C 移动到点 D 时,点 G 经过的路径长为
________。
例 3(2016 武汉)如图,在等腰 Rt△ABC 中,AC=BC=2 2 , 点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆 O 上,M 为 PC 的中点.当
点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时,点 M 运动的路径长是( B )
A. 2
B. C. 2 2
D. 2
本节课学习了哪些内容
课后 拓展
(2014 义乌)如图,等边三角形 ABC 的边长为 6,点 E,F 分别
在 AC,BC 上,连结 AF,BE 相交于点 P, 若 AE=CF,当点
E 从点 A 运动到点 C 时,求点 P 经过的路径长。
D(P)
C
A
E
B
F G
攻坚 克难
例 3(2016 武汉)如图,在等腰 Rt△ABC 中,AC=BC=2 2 , 点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆 O 上,M 为 PC 的中点.当
点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时,点 M 运动的路径长是( B )
A. 2Biblioteka B. C. 2 2D. 2
攻坚 克难
∵∠ADO=90°
∴点 D 在以 AO 为直径的圆上
当点C与A重合;D与A重合;
当点C运动90°时;
∴点 D 的运动路线是以 AO 为直径的 1 圆弧
∴ l n R 90 2
九年级上册圆的最值题型整理与寻找隐圆和动点路径长方法归纳
![九年级上册圆的最值题型整理与寻找隐圆和动点路径长方法归纳](https://img.taocdn.com/s3/m/16a1f186a6c30c2258019e46.png)
授课类型 T 能力( 圆最值 )授课日期及时段2019年教学内容(比一比!)动点运动轨迹——圆或圆弧型动点轨迹为定圆,利用三点共线方法指导:1.当动点的轨迹是定圆时,可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和,最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解.2.试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”,这是常见判断动点轨迹是圆的条件。
Ⅰ 动点到定点的距离不变..........,则点的轨迹是圆或圆弧; 1.如图 1,在正方形 ABCD 中,边长为 2,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 边上任意一点,将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF ,连接 AP ,则 CP 的最小值________,AP 的最小值是_________.【变式 1】在矩形 ABCD 中,已知 AB =2cm ,BC =3cm ,现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积_______cm 2.T 能力——圆最值检测定位【变式2】如图,一根木棒AB 长为2a,斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上,与地面的倾斜角∠ABO=60°,若木棒沿直线NO 下滑,且 B 端沿直线OM 向右滑行,则木棒中点P 也随之运动,已知 A 端下滑到A′时,AA′)a,则木棒中点P 随之运动到P′所经过的路线长_______________.=(323.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,P 是AB 边上的动点(不与点B 重合),将△BCP 沿CP 所在的直线翻折,得到△B′CP,连接B′A,则B′A 长度的最小值是________.4.如图,在□ABCD 中,∠BCD=30°,BC=4,CD=3 3,M 是AD 边的中点,N 是AB 边上的一动点,将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C 长度的最小值是________.5.如图,在四边形ABCD 中,AB=AC=AD,若∠BAC=25°,∠CAD=75°,则∠BDC=_________°,∠DBC=____________°.定边对定角模型定弦定角当某条边与该边所对的角是定值时,该角的顶点的轨迹是圆弧.见.直角→找.斜边(定长)→想.直径→定.外心→现.“圆”形;见.定角→找.对边(定长)→想.周角→转.心角→现.“圆”形;【一般解题步骤】①让主动点动一下,观察从动点的运动轨迹,发现从动点的运动轨迹是一段弧。
2020年中考数学专题突破二十:连锁轨迹— —动点在直线上产生的动点轨迹问题
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专题二十:连锁轨迹——动点在直线上产生的动点轨迹问题【导例引入】导例:如图:A是定点,动点B从O(0,0)运动到C(8,0). 点M为线段AB的中点,①画出线段AB的中点M运动的路径②M运动的路径的长是.分析:求解动点运动问题的关键是把握运动规律,寻求运动中的特殊位置,在“动”中求“静”,在“静”中探求“动”.首先要分清运动的轨迹是线段还是弧,然后确定起始点和终止点,再作出相应的草图就能解决问题动点B和M的关系可定义为:B叫做主动点,M叫做从动点.如果:①动点的初始位置②动点的中途位置③动点的终止位置三点在一条直线上,那么可以初步判断动点的运动路径是.【方法指引】注意画图分析:第一步:画出△BDE的初始位置和终止位置第二步:标出①点的初始位置②点的中途位置③点的终止位置第三步:判断动点的运动路径,计算其长度导例答案:(1)线段M1M2即为点M的运动路径;【例题精讲】类型一:动点产生的路径与最值问题例1.如图,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC=4,P为AC中点,点D在直线BC上运动,以为边向AD的右侧作正方形ADEF,连接PF,则在点D的运动过程中,线段PF的最小值为.【分析】连接CF,由“SAS”可证△ABD≌△ACF,可得∠ABD=∠ACF=45°,可得CF⊥BC,即点F在过点C且垂直BC的直线上,则当PF⊥CF时,PF的值最小,即可求PF的最小值.类型二:动点产生的路径长问题例2.如图,在△ABC中,已知AB=AC=10cm,∠BAC=90°,点D在AB边上且BD=4cm,过点D作DE⊥AB交BC于点E.(1)求DE的长;(2)若动点P从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向终点A运动,连结PE,设点P运动的时间为t秒.当S△PDE=6cm2时,求t的值;(3)若动点P从点D出发沿着DA方向向终点A运动,连结PE,以PE为腰,在PE右侧按如图方式作等腰直角△PEF,且∠PEF=90°.当点P从点D运动到点A时,求点F运动的路径长(直接写出答案).【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质解答;(2)分点P 在线段BD 上和点P 在线段AD 上两种情况,根据三角形的面积公式计算;(3)证明△PDE ≌△EHF ,根据全等三角形的性质、结合图形解答即可.【专题过关】1.如图,在△ABC 中,BC =8,M 是边边 BC 上一动点,连接 AM ,取 AM的中点 P ,随着 点 M 从点 B 运动到点 C ,求动点 P 的路径长为 .2. 已知线段AB =6,C 、D 是AB 上两点,且AC =DB =1,P 是线段CD 上一动点,在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF ,G 为线段EF 的中点,点P 由点C 移动到点D 时,G 点移动的路径长度为_______.3. 如图在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动,动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.连结PQ ,M 为线段PQ 的中点,则在整个运动过程中,M 点所经过的路径长为 .4.如图,在Rt ABC ∆中,6,8AC BC ==,90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点,点D 是AC延长线上的一个定点,连接PD ,过点D 作DE PD ⊥,连接PE ,且2tan 5DPE ∠=,当点P 从点A 运动到点B 时,点E 运动的路径长为 .5.如图,矩形ABCD 中,AB=6,AD=8,点E 在边AD 上,且AE :ED=1:3.动点P 从点A 出发,沿AB 运动到点B 停止.过点E 作EF ⊥PE 交射线BC 于点F ,设M 是线段EF 的中点,则在点P 运动的整个过程中,点M 运动路线的长为 .6.如图,已知AB=9,点E 是线段AB 上的动点,分别以AE ,EB 为底边在线段AB 的同侧作等腰直角△AME 和△BNE ,连接MN ,设MN 的中点为F ,当点E 从点A 运动到点B 时,则点F 移动路径的长是7.如图所示,点E 坐标为(﹣1,0),点B 坐标为(0,2),等腰直角△BDC 的直角端点D 从D(0,0)运动到D(2,0)时,(1)画出线段EC 的中点M 运动的路径;(2)EC 的中点M 运动的路径的长是多少?8.如图,已知正方形ABCD 的边长为4,点P 是AB 边上的一个动点,连接CP ,过点P 作PC 的垂线交AD 于点E ,以PE 为边作正方形PEFG ,顶点G 在线段PC 上,对角线EG ,PF 相交于点O .(1)若AP=1,则AE= ;(2)①求证:点O 一定在△APE 的外接圆上;②当点P 从点A 运动到点B 时,点O 也随之运动,求点O 经过的路径长;(3)当点P 运动至AB 中点时,求线段CO 的长.9.正方形ABCD 的边长为2,动点E 在边AB ,AD 上运动,连接CE ,以CE 为边作正方形CEFG (点C 、E ,F ,G 按顺时针方向排列),连接DG .问题解决:(1)如图(1),当点E 在AB 上运动时,求证:△BEC ≌△DGC ;(2)如图(2),当点E 在AD 上运动时,点M 是FG 的中点,连接CM .若DG=CM ,则AE 的长为 ;(3)如图(1),点E 沿边AB 由点B 运动到点A 时,求点F 的运动路径的长.10.如图,平面直角坐标系中,直线AB :y=-31x+b 交y 轴于点A (0,2),交X 轴于点B .过点E (2,0)作X 轴的垂线EF 交AB 于点D ,P 是射线DF 上一动点,设P (2,n ).(1)B点坐标为;(2)求△ABP的面积(用含n的代数式表示);(3)以PB为斜边作等腰直角△BPC,且点C始终在第一象限.①若S△AEP=2,求点C的坐标.②若点P从(2,2)运动到(2,4),则点C运动的路径长为11.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,M是AD的中点,动点E在线段AB上,连接EM并延长交射线CD于点F,过点M作EF的垂线交BC于点G,连结EG、FG.(1)求证:△AME≌△DMF;(2)在点E的运动过程中,探究:①△EGF的形状是否发生变化,若不变,请判断△EGF的形状,并说明理由;②线段MG的中点H运动的路程最长为多少(直接写出结果)?(3)设AE=x,△EGF的面积为S,求当S=6时,求x的值.12.如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F,过点M作EF的垂线交射线BC于点G,连接EG,FG.(1)试判断△EGF的形状,并说明理由;(2)设AE=x,△EGF的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)若P是MG的中点,请直接写出点P运动路线的长.13.在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,3),过点B作直线∥x轴,点P(a,3)是直线上的动点,以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ,∠APQ=Rt∠,直线AQ交y轴于点C.(1)当a=1时,则点Q的坐标为多少;(2)当点P在直线上运动时,点Q也随之运动.当a为多少时,AQ+BQ的值最小,最小值为多少?例题答案:例1.连接CF.∵∠CAB=90°,AB=AC=4,P为AC中点,∴∠ABC=∠ACB=45°,AP=PC=2.∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°.∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF,且AB=AC,AD=AF.∴△ABD≌△ACF(SAS).∴∠ABD=∠ACF=45°.∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.∴CF⊥BC.∴点F在过点C且垂直BC的直线上运动.∴当PF⊥CF时,PF的值最小.∴PF的最小值==.例2.(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.∵DE⊥AB,∴∠B=∠BED=45°.∴DE=BD=4cm;(2)当点P在线段BD上时,S△PDE=×DP×DE=×4×(4-2t)=6,整理得4-2t=3,解得t=0.5.当点P在线段AD上时,S△PDE=×DP×DE=×4×(2t-4)=6,整理得2t-4=3,解得t=3.5.综上所述,t=0.5或3.5;(3)点F运动的路径长为10-4.理由如下:如图,连接AE,过点E作EF1⊥DE,且使EF1=ED,过点E作EF2⊥DE,且使EF2=AE,∴∠DEF1F=90°,∠AEF2=90°∴∠DEA=∠F1EF2.∴△DEA≌△F1EF2.∴AD=F1F2=10-4.∴当P从点D运动到点A时,点F运动的路径为线段F1F2,该线段的长度=AD=10-4.【专题过关】1.4.2.如图,分别延长AE、BF交于点H.∵∠A=∠FPB=60°,∴AH∥PF.∵∠B=∠EPA=60°,∴BH∥PE.∴四边形EPFH为平行四边形.∴EF与HP互相平分.∵G为EF的中点,∴G为PH中点,即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.∵CD=6-1-1=4,∴MN=2,即G的移动路径长为2.3. 以C为原点,以AC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,依题意,可知0≤t≤3,当t=0时,点M1的坐标为(4,0);当t=3时,点M2的坐标为(,3).设直线M1M2的解析式为y=kx+b,则解得∴直线M1M2的解析式为y=-2x+8.∵点Q(0,2t),P(8-t,0),∴在运动过程中,线段PQ中点M3的坐标为(,t).把x=,代入y=-2x+8,得y=-2×+8=t.∴点M3在M1M2直线上.过点M2作M2N⊥x轴于点N,则M2N=3,M1N=.∴M1M2=.∴线段PQ中点M所经过的路径长为单位长度.4.分析:点E的运动路径是一条线段,点E运动的路径长就是线段E1E2的长度.于是提出猜想一“在三点图中,从动点的起点,终点,过程点三点共线时,从动点的运动路径为线段”.∵1190E DE PDE ∠+∠=︒,1190PDP PDE ∠+∠=︒, ∴11PDP E DE ∠=∠.又∵1125DE DE DP DP ==, ∴11E DE PDP ∆∆.∴11DEE DPP ∠=∠.同理22E DEP DP ∆∆,可得22DEE DPP ∠=∠. 又∵12180DPP DPP ∠+∠=︒,∴12180DEE DEE ∠+∠=︒.∴点1E ,点E ,点2E 三点共线.∵121290E DE PDE ∠+∠=︒,121290PDP PDE ∠+∠=︒,∴1212PDP E DE ∠=∠.∵121225DE DE DP DP ==,∴1212E DE PDP ∆∆.∴121225E E PP =.∵1210PP =,∴124E E =.5.如图所示:过点M 作GH ⊥AD .∵AD ∥CB ,GH ⊥AD ,∴GH ⊥BC .在△EGM 和△FHM 中,∴△EGM ≌△FHM .∴MG=MH .∴点M 的轨迹是一条平行于BC 的线段.当点P 与A 重合时,BF 1=AE=2;当点P 与点B 重合时,∠F 2+∠EBF 1=90°,∠BEF 1+∠EBF 1=90°,∴∠F 2=∠EBF 1.∵∠EF 1B=∠EF 1F 2,∴△EF 1B ∽△∠EF 1F 2. ∴21111F F EF EF BF =.∴21662F F =.∴F 1F 2=18.∵M 1M 2是△EF 1F 2的中位线,∴M 1M 2=21F 1F 2=9.6.如图,分别延长AM 、BN 交于点C .∵∠A=∠BEN=45°,∴AC ∥EN .同理可得,BC ∥EM .∴四边形MENC 为平行四边形,∴CE 与MN 互相平分.∵F 为MN 的中点,∴F 为CE 中点.当点E 从点A 运动到点B 时,F 始终为CE 的中点.故F 的运行轨迹为△CAB 的中位线,点F 移动路径的长等于AB 的一半.∴F 的移动路径长为21×9=29.7.设OD=t,作CH ⊥OA 于H,可得△BOD ≌DHC ,∴CH=OD=t ,DH=BO=2。
运用“三点法”求解动点路径长问题
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运用“三点法”求解动点路径长问题初中数学中动点路径问题,一般有两种情况:线段或圆弧.本文提出一种求动点路径长的方法——三点法,“三点”指动点的起点,终点与过程点.该方法分为三步:(1)精准作图,运用刻度尺,圆规及量角器等工具作出位置较为精准的“三点”.(2)大胆猜测,若“三点”共线,则动点路径为线段;若“三点”不共线,则动点路径为圆弧.(3)小心验证,根据画出的“三点图”,运用相似三角形、“定角定长定圆”等方法对猜想进行严格的证明.一、知识准备1、基本概念如图1,在Rt ABC ∆中,6,8AC BC ==,90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点,点D 是AC 延长线上的一个定点,连结PD ,过点D 作DE PD ⊥,连结PE ,且2ta n 5D PE ∠=,当点P 从点A 运动到点B 时,点E 运动的路径长为 .在图1中,点P 是“主动”在边AB 上开始动的点,称为“主动点”;点E 是跟着点P 在运动的点,称为“从动点”.又点P 从点A 运动到点B ,当点P 与点A 重合时记作点1P ,称为“主动点的起点”,此时1E 称为“从动点的起点”,此时作出符合要求的图形(如图2),称该图为“起点图”;当点P 与点B 重合时记作点2P ,称为“主动点的终点”,此时2E 称为“从动点的终点”,作出符合要求的图形(如图3),称该图为“终点图”.区别于起点1P ,终点2P ,将图1中的点P 称为“主动点的过程点”,此时E 称为“从动点的过程点”,相应地把图1称为“过程图”.将起点图,终点图,过程图放在同一个图形中,将这个图形称为“三点图”(如图4).2、定角定长定圆固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆,此时定线段为定圆的一条弦,定角为弦所对的一个圆周角.引例1 如图5,线段4AB =,点C 是平面上的一个动点,使90ACB ∠=︒,作出点C的运动路径.由“90º角所对的弦是直径”可以得到点C 的运动路径是以AB 为直径的圆,且不与点A 、点B 重合(如图6).引例2 如图7,线段4AB =,点C 是平面上的一个动点,45ACB ∠=︒,作出顶点C 的运动路径.当点C 位置不同时,ACB ∠度数不变,根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”,可以将ACB ∠看作弦AB 所对的一个圆周角,圆心O 必在弦AB 的垂直平分线上,且290AOB ACB ∠=∠=︒,计算可得半径OA =所以,点C 的运动路径是优弧ACB ,且不与点A 、点B 重合(如图8).引例3 如图9,线段4AB =,点C 是平面上的一个动点,120ACB ∠=︒,作出顶点C 的运动路径.作出ACB ∠的补角'AC B ∠为60º,'AC B ∠的位置不同时度数为定值.类比引例2,可将'AC B ∠看作弦AB 所对的一个圆周角,圆心O 必在弦AB 的垂直平分线上,且2'120AOB AC B ∠=∠=︒,计算可得半径OA =.在所以点C 的运动路径是劣弧»AB ,且不与点A 、点B 重合(如图10).二、方法归纳例l 如图11,在R t A B C ∆中,6,8AC BC ==,90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点,点D 是AC 延长线上的一个定点,连结PD ,过点D 作DE PD ⊥,连结PE ,且2tan 5DPE ∠=,当点P 从点A 运动到点B 时,点E 运动的路径长为 .1.精准作图因为2tan 5DPE ∠=,所以通过计算很难得到DPE ∠的度数(不借助计算器),但可以运用量角器测量图12中22DPE ∠≈︒.在图11的基础上,先作起点图.当点P 与点A 重合时记作点1P ,在图中作出122DPQ ∠=︒(如图12),过点D 作11DE PD ⊥交射线AQ 于点1E (如图13).当点P 与点B 重合时记作点2P ,运用类似的方法在图13的基础上作出终点图,并去掉多余部分,得到一幅完整的三点图(如图14).2、大胆猜测通过三点图发现点1E ,点E ,点2E 基本在一条直线上(如图14),所以可以大胆的猜测点E 的运动路径是一条线段,点E 运动的路径长就是线段12E E 的长度.于是提出猜想一“在三点图中,从动点的起点,终点,过程点三点共线时,从动点的运动路径为线段”.在三点图中,从动点的起点,终点,过程点三点不共线时,就初中数学而言,不共线的三点确定一个圆,这里提出猜想二“在三点图中,从动点的起点,终点,过程点三点不共线时,从动点的运动路径为圆弧”.当运动路径为圆弧时,考虑寻找固定度数的角与固定长度的线段,运用“定角定长定圆”的方法作出运动路径.3.小心验证在图15中,因为1190E DE PDE ∠+∠=︒,1190PDP PDE ∠+∠=︒, ∴11PDP E DE ∠=∠. 又∵1125DE DE DP DP ==, ∴11E DE PDP ∆∆:, ∴11DEE DPP ∠=∠.同理22E DE P DP ∆∆:,可得22DEE DPP ∠=∠.又∵12180DPP DPP ∠+∠=︒,∴12180DEE DEE ∠+∠=︒.∴点1E ,点E ,点2E 三点共线.∵121290E DE PDE ∠+∠=︒,121290PDP PDE ∠+∠=︒,∴1212PDP E DE ∠=∠. ∵121225DE DE DP DP ==, ∴1212E DE PDP ∆∆:, ∴121225E E PP =.∵1210PP =,∴124E E =.通过上述论证得到结论一:“当主动点在一条线段上运动,从动点也在一条线段上运动时,主动点的起点、终点、某个定点构成的三角形和从动点的起点、终点、某个定点构成 的三角形相似”.因此可以先求出主动点的运动路径长再乘以相似比得到从动点的运动路径长.三、运用求解例2 如图16,在R t C O D ∆中,90COD ∠=︒,2OC OD ==,以O 为圆心,AB 为直径的圆经过点C ,点D .连结,AD BC 相交于点P ,将Rt COD ∆从OA 与OC 重合的位置开始,绕着点O 顺时针旋转90º,则交点P 所经过的路径长是 .在图16的基础上先作起点图,当点C 与点A 重合时记作点1C ,此时点D 在点1D ,位置,1BC ,1AD ,交于点1P ,此时点1P ,与点A 重合(如图17).再作终点图,此时点C 与点1D 重合记作点2C ,点D 与点B 重合记作点2D ,2AD 与2BC 交于点2P ,点2P 与点B 重合(如图18).通过三点图,发现点1P ,点P ,点2P 三点不共线,考虑从动点的运动路径为圆弧,但需要运用“定角定长定圆”的方法加以证明.在PAB ∆中,4AB =为定长,因为90COD ∠=︒,所以90COA DOB ∠+∠=︒,又“同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半”, 得到190452CBA DAB ∠+∠=⨯︒=︒,所以135APB ∠=︒为定角.所以点P 在以4AB =为弦,135APB ∠=︒为圆周角的定圆上运动.类比引例2,APB ∠的补角'45AP B ∠=︒也为定角,可将'AP B ∠看作弦AB 所对的一个圆周角,圆心'O 必在弦AB 的垂直平分线上,且2'90AOB AP B ∠=∠=︒.又因为“直径所对的圆周角为90º”,所以'O 是弦AB 的垂直平分线与圆O 的一个交点所以半径'O A =所以点P 的运动路径是劣弧AB (如图19),根据弧长公式得到90180l π︒⨯==︒. 通过上述论证可以发现,主动点1C ,点2C 与点O 构成的扇形12C OC 圆心角为90º,半径为2;从动点1P ,2P 与点0构成的扇形12POP 的圆心角为90º,半径为因为两个扇形的圆心角都为90º,所以扇形12C OC :扇形12POP ,相似比为,因此扇形的弧长之比也为1.主动点C 的运动路径长为1902180l ππ︒⨯==︒,故从动点P 的运动路径长为l =.于是得到结论二:“当主动点在一条圆弧上运动,从动点也在一条圆弧上运动时,主动点的起点、终点、某个定点构成的扇形和从动点的起点、终点、某个定点构成的扇形相似”.因此,可以先求出主动点的运动路径长再乘以相似比得到从动点的运动路径长.。
最全动点问题讲义
![最全动点问题讲义](https://img.taocdn.com/s3/m/7b4c393aeff9aef8941e06b2.png)
动点路径(轨迹)问题动点路径问题中,核心方法是寻找定点、定线、定长、定角等,再根据线与圆的基本概念及基本性质确定运动轨迹所形成的图形.一、定点+定长⇒圆二、定线+定角⇒圆三、定线+定长⇒线段四、旋转缩放(主从联动)⇒从路径=主路径×缩放比五、坐标定位(多点运动)⇒建系求函数一、定点+定长⇒圆1.如图,OA⊥OB,垂足为O,P、Q分别是射线OA、OB上的两个动点,点C是线段PQ的中点,且PQ=4.则动点C运动形成的路径长是___.2.矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是BC边上一动点,把△ABP沿AP翻折△AQP,CQ的最小值________二、定线+定角⇒圆3.已知A(0,3),B(1,0),P是线段AO上动点,AQ⊥BQ,当点P从点A运动到点O 时,Q点经过的路径长为________4.如图,半径为2CM,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P,从P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I,当P从点A运动到点B时,I点的运动轨迹长_____三、定线+定长⇒线段5.如图所示,扇形OAB从图①无滑动旋转到图②,再由图②到图③,∠O=60∘,OA=1.求O点所运动的路径长.四、旋转缩放(主从联动)⇒从路径=主路径×缩放比6.如图,点B在线段AC上,点D,E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.(1)求证:AC=AD+CE;(2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作PQ⊥DP,交直线BE于点Q. i)当点P与A,B两点不重合时,求DPPQ的值;ii)当点P从点A运动到AC的中点时,求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长.五、坐标定位(多点运动)⇒建系求函数7.如图在Rt△ABC中,∠C=90∘,AC=8,BC=6,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动。
点的运动路径问题
![点的运动路径问题](https://img.taocdn.com/s3/m/80a1f59ad4bbfd0a79563c1ec5da50e2524dd191.png)
1.线段 常见类型 2.圆弧
3.组合型
解题步骤
第一步,取动点在运动过程中特殊的三点(运 动开始、运动中、运动结束)位置探索出动点 运动的路径形状;
三点共线
线段
三点不共线
圆弧
解题步骤
第二步,根据题目的已知条件求出动点运动的 路径长;
三点共线
线段
(勾股定理、两 点间距离公式等)
②当点P从点B运动至点C时,试求点N运动路径的长.
在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1.将
直角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AB,BC于
点E,F,连接EF(如图①),当点E与点B重合时,点F
恰好与点C重合(如图②),将直尺从图②中的位置开
始,绕点P顺时针旋转,当点E和点A重合时停止.在这
如图,半径为2,圆心角为90°的扇形OAB的上有一
动点P。从点P向半径OA引垂线当点P在上从点A运动到
点B时,点I所经过的路径长为
.
B
P
I
AH
O
三、组合型
如图,矩形ABCD中, AB=8,CD=6,将矩形
ABCD在直线上按顺时针方向不滑动的转动90°, 转动3次后停止,则顶点A经过的路线长为 .
三点不共线
圆弧 (确定圆心、半
径、圆心角)
一、点沿直线运动
如图,在△ABC中,AB=BC=10,tan∠ABC= 4 , 3
点P是边BC上的一点,在线段AP上取点M,将线段PM
绕点P顺时针旋转90°得线段PN.设BP=t. (1);(2)当PM 1 AP时
4 ①求点N到BC边的距离(用含t的代数式表示)
个过程中线段EF的中点经过的路线长为
七年级数学上册-动点问题专题讲解
![七年级数学上册-动点问题专题讲解](https://img.taocdn.com/s3/m/4c8e2b245022aaea988f0f33.png)
七年级数学上册 动点问题专题讲解明确以下几个问题:1.数轴上两点间的距离,即为这两点所对应的坐标差的绝对值.......,也即用右边的数减去左边的数的差。
即数轴上两点间的距离......... =. 右边点表示的数....... -. 左边点表示的数.......。
2.点在数轴上运动时,由于数轴向右的方向为正方向,因此向右运动的速度看作正速度,而向作运动的速度看作负速度。
这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。
即一个点表示的数为a ,向左运动b 个单位后表示的数为a -b ;向右运动b 个单位后所表示的数为a+b 。
3.数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
基础题1.如图所示,数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ,再向右移动5个单位长度到达点C 点. (1)求动点A 所走过的路程及A 、C 之间的距离. (2)若C 表示的数为1,则点A 表示的数为 .2.画个数轴,想一想(1)已知在数轴上表示3的点和表示8的点之间的距离为5个单位,有这样的关系5=8-3,那么在数轴上表示数4的点和表示-3的点之间的距离是________单位;(2)已知在数轴上到表示数-3的点和表示数5的点距离相等的点表示数1,有这样的关系1=-+,那么在数轴上到表示数a的点和表示数b的点之间距离相等的点表示的数是1(35)2__________________.(3)已知在数轴上表示数x的点到表示数-2的点的距离是到表示数6的点的距离的2倍,求数x.应用题1、已知数轴上有A、B、C三点,分别代表-24,-10,10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时出发相向而行,甲的速度为4个单位/秒。
⑴问多少秒后,甲到A、B、C的距离和为40个单位?⑵若乙的速度为6个单位/秒,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行,问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?⑶在⑴⑵的条件下,当甲到A、B、C的距离和为40个单位时,甲调头返回。
【中考数学专题】11 连锁轨迹—动点在直线(线段)上产生的动点轨迹类问题探究-
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专题十一:连锁轨迹——动点在直线(线段)上产生的动点轨迹类问题探究专题导例已知,如图Rt△AB C中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,D、E分别是AC、BC的中点,连接DE,M是DE上一动点,点M从点D开始沿DE向终点E运动,在运动过程中AM的中点移动的路径长为.【分析】取AD的中点P,AE的中点Q,连接PQ,根据勾股定理得到AB=5,根据三角形中位线定理计算即可.如果:①动点的初始位置②动点的中途位置③动点的终止位置三点在一条直线上,那么可以初步判断动点的运动路径是.导例答案解:取AD的中点P,AE的中点Q,连接PQ,∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB==5,∵D、E分别是AC、BC的中点,∴DE=AB=,∵P、Q分别是AD、AE的中点,∴PQ=DE=,∴AM的中点移动的路径长为,故答案为:.典例剖析类型一:动点产生的路径与最值问题例1.如图,△AB C中,∠ABC=90°,AB=BC=4,D为BC边上一动点,点O是正方形ADEF的中心,当点D沿BC边从点B运动到点C时,点O运动的路径长为.【分析】以点B为原点建立如图所示坐标系,作EG⊥x轴,证△ABD≌△DGE得AB=DG=4、BD =EG=a,从而得E(4+a,a),根据线段的中点坐标知O(,),从而知点O在直线y=x 上,由0≤a≤4知点O的横坐标2≤x≤4、纵坐标满足2≤y≤4,根据两点间的距离公式可得答案.类型二:动点产生的路径长问题例2.如图,在Rt△AB C中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AB边上的动点,过点D作DE⊥AB 交边AC于点E,过点E作EF⊥DE交BC于点F,连接DF.(1)当AD=4时,求EF的长度;(2)求△DEF的面积的最大值;(3)设O为DF的中点,随着点D的运动,则点O的运动路径的长度为.【分析】(1)由勾股定理可求AB=10,通过证明△AED∽△ABC,可得=,可求AE=5,CE =3,通过△CEF∽△ACB,可得=,即可求EF的长度;(2)设AD=x,由相似三角形的性质可可得DE=•BC=x,EF=•AB=10﹣x,由三角形的面积公式可得S△DEF=DE•EF=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+6,由二次函数的性质可求△DEF的面积的最大值;(3)以点A为原点,AB为x轴建立平面直角坐标系,设AD=t,则点D坐标(t,0),点E(t,t),点F(10﹣t,t),由中点坐标公式可求点O坐标,由t的取值范围可求点O的运动路径的长度.专题突破1.如图,在△AB C中,∠B=45°,∠C=60°,且AB=,M是边BC上的一个动点,连接AM,P 为AM的中点,当M点从点B运动到点C的过程中,P点的运动路线长为()A.1+B.1﹣πC.+D.2. 如图,在矩形ABC D中,已知AB=2cm,BC=4cm,现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为()A.(8﹣π)cm2B.4cm2C.(3+π)cm2D.8cm23.已知线段AB=12,C、D是AB上两点,且AC=DB=2,P是线段CD上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点,点P由点C移动到点D时,G点移动的路径长度为4.如图,等腰直角△AB C中,AC=BC=3,P为斜边AB上一动点,D为BC延长线上一点,以点D为直角顶点作直角△PQD,并且使∠DPQ=30°,则当点P从点A运动到点B时,点Q运动的路径长为.5.如图,矩形ABC D中,AB=4,AD=6,点E在边AD上,且AE:ED=1:2.动点P从点A出发,沿AB运动到点B停止.过点E作EF⊥PE交射线BC于点F.设点M是线段EF的中点,则在点P运动的整个过程中,点M的运动路径长为.6.如图,在△AB C中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x秒.(1)x为何值时,PQ∥BC;(2)是否存在某一时刻,使△APQ∽△CQB?若存在,求出此时AP的长;若不存在,请说明理由;7.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点P是AB边上的一个动点,连接CP,过点P作PC的垂线交AD于点E,以PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上,对角线EG、PF相交于点O.(1)若AP=1,则AE=;(2)①求证:点O一定在△APE的外接圆上;②当点P从点A运动到点B时,点O也随之运动,求点O经过的路径长;(3)在点P从点A到点B的运动过程中,△APE的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到AB边的距离的最大值.8.如图,正方形ABCD的边长为2,动点E从点A出发,沿边AB﹣BC向终点C运动,以DE为边作正方形DEFG(点D、E、F、G按顺时针方向排列).设点E运动的速度为每秒1个单位,运动的时间为x秒.(1)如图1,当点E在AB上时,求证:点G在直线BC上;(2)设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式;(3)直接写出整个运动过程中,点F经过的路径长.9.如图,平面直角坐标系中,直线AB:y=﹣x+b交y轴于点A(0,1),交x轴于点B.过点E (1,0)作x轴的垂线EF交AB于点D,P是直线EF上一动点,且在点D的上方,设P(1,n).(1)直线AB的表达式为;(2)求△ABP的面积(用含n的代数式表示);(3)当S△ABP=2时,以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC,请直接写出点C的坐标.10.如图,在矩形ABC D中,AB=2,BC=4,M是AD的中点,动点E在线段AB上,连接EM并延长交射线CD于点F,过点M作EF的垂线交BC于点G,连接EG、FG.(1)求证:△AME≌△DMF;(2)在点E的运动过程中,探究:①△EGF的形状是否发生变化?若不变,请判断△EGF的形状,并说明理由;②线段MG的中点H运动的路程最长为多少?(直接写出结果)(3)设AE=x,△EGF的面积为S.①当S=6时,求x的值;②直接写出点E的运动过程中S的变化范围.11.如图,正方形ABCD的边长为4,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止.(1)如图1,当E是AB的中点,F是AD上的一点,且AF=AD,求证:CE平分∠BCF.(2)如图2,若点Q是AD的中点,连接EQ并延长交射线CD于点G,过Q作EG的垂线交射线BC于点P,连接PE、PG.①设AE=x时,△PEG的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.②若点M是PQ的中点,请直接写出点M的运动的路线的长.12.在平面直角坐标系中,A(2,0)、B(0,3),过点B作直线l∥x轴,点P(a,3)是直线上的动点,以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ,∠APQ=Rt∠,直线AQ交y轴于点C.(1)当a=时,求点Q的坐标.(2)当P A+PO最小时,求a.专题十一答案:轨迹之点在直线(线段)上运动问题探究例1.解:如图,以点B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,过点E作EG⊥x轴于点G,连接AE,根据题意知,点A(0,4)、C(4,0),∵∠ABD=∠ADE=∠DGE=90°,∴∠ADB+∠EDG=∠ADB+∠DAB=90°,∴∠DAB=∠EDG,在△ABD和△DGE中,∵,∴△ABD≌△DGE(AAS),∴AB=DG=4,BD=EG,设BD=EG=a,则BG=BD+DG=4+a,∴点E(4+a,a),∵点O为正方形ADEF的中心,即点O为AE的中点,∴点O(,),即O(,),则无论a为任意实数,点O的横纵坐标相等,即点O在直线y=x上,∵0≤a≤4,∴2≤≤4,即点O的横坐标2≤x≤4、纵坐标满足2≤y≤4,则点O的运动路径长为=2,故答案为:2.例2.解:(1)∵在Rt△AB C中,∠C=90°,∴AB==10.∵DE⊥AB,∴∠EDA=90°.∵∠A=∠A,∠EDA=∠C=90°,∴△AED∽△ABC,∴=.∴AE=•AB=5.∴CE=AC﹣AE=8﹣5=3.∵DE⊥AB,∴∠DEF=90°.∵∠EDA=∠DEF=90°,∴EF∥A B.∴△CEF∽△ACB,∴=.∴EF=•AB=.(2)设AD=x.∵△AED∽△ABC,∴==.∴DE=•BC=x,AE=•AB=x.∴CE=AC﹣AE=8﹣x.∵△CEF∽△ACB,∴=.∴EF=•AB=10﹣x.∴S△DEF=DE•EF=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+6.∴当x=时,S△DEF取最大值为6.因此,△DEF的面积的最大值为6.(3)如图,以点A为原点,AB为x轴建立平面直角坐标系,设AD=t,则点D坐标(t,0),点E(t,t),点F(10﹣t,t)∵点O是DF的中点,∴点O(5+t,t)∴点O在直线y=上运动,∵过点D作DE⊥AB交边AC于点E,∴0≤t≤∴当t=0时,点O坐标为(5,0)当t=时,点O坐标为(,)∴点O的运动路径的长度==故答案为:专题突破答案1.解:如图作AH⊥BC于H.在Rt△ABH中,∵AB=,∠B=45°,∴AH=BH=1,在Rt△ACH中,∵AH=1,∠C=60°,∴CH==,∴BC=1+当点M与B重合时,点P与A B中点E重合,当点M与C重合时,点P与F重合,∴点P的运动轨迹是△ABC的中位线EF,∴EF=BC=+.故选:C.2. 解:如图,∵P是EF的中点,∴BP=EF=×2=1(cm),∵AB=2,∴点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积,:又∵四个扇形的面积正好等于一个相同半径的圆的面积,∴4×2﹣π•12=8﹣π(cm2).故选:A.3.解:如图,分别延长AE、BF交于点M,∵∠A=∠DPF=60°,∴AM∥PF,∵∠B=∠EP A=60°,∴BM∥PE,∴四边形PEMF为平行四边形,∴EF与MP互相平分.∵G为EF的中点,∴G正好为PM的中点,即在P的运动过程中,G始终为PM的中点,∴G的运行轨迹为△MCD的中位线H I,∵H I=CD=×(12﹣2﹣2)=4,∴G点移动的路径长度为4.故答案为:44.解:如图,过点D作DK⊥AD,使得∠DAK=30°,连接AK,KQ.∵∠ADK=90°,∠DAK=30°,∴=,∵∠PDQ=90°,∠DPQ=30°,∴=,∴=,∵∠ADK=∠PDQ=90°,∴∠ADP=∠KDQ,∴△ADP∽△KDQ,∴==,∠DAP=∠DKQ,∴当则当点P从点A运动到点B时,点Q运动的轨迹是线段KQ,∵点P的运动路径是3,∴点Q的运动路径是3÷=.故答案为.5.解:如图,当P与A重合时,点F与K重合,此时点M在H处,当点P与B重合时,点F与G重合,点M 在N处,点M的运动轨迹是线段HN.在Rt△AE B中,AE=2,AB=4,∴BE==2,∵△AEB∽△EBG,∴=,∴BG==10,∵BK=AE=2,∴KG=BG﹣BK=8,∴HN=KG=4,∴点M的运动路径的长为4.故答案为4.6.解:(1)∵PQ∥BC,∴∠AQP=∠C.又∵∠A=∠A,∴△APQ∽△ABC,∴=,即=,解得x=.即当x=时,PQ∥B C.(2)能相似.∵AB=BC,∴∠A=∠C,∴△APQ和△CQB相似可能有以下两种情况:①△APQ∽△CQB,可得=,即=,解得x=.经检验,x=是上述方程的解.∴当AP=4x=cm时,△APQ∽△CQB;②△APQ∽△CBQ,可得=,即=,解得x=5或x=-10(舍去).经检验,x=5是上述方程的解.∴当AP=4x=20 cm时,△APQ∽△CBQ.综上所述,当AP的长为cm或20 cm时,△APQ与△CQB相似.7.(1)解:∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形,∴∠A=∠B=∠EPG=90°,PF⊥EG,AB=BC=4,∠OEP=45°,∴∠AEP+∠APE=90°,∠BPC+∠APE=90°,∴∠AEP=∠BPC,∴△APE∽△BCP∴,即,解得:AE=;故答案为:;(2)①证明:如图3,取PE的中点Q,连接AQ,OQ,∵∠POE=90°,∴OQ=PE,∵△APE是直角三角形,∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心,∴AQ=PE,∴OQ=AQ,∴点O一定在△APE的外接圆上;(到圆心的距离等于半径的点必在此圆上)②解:连接OA、AC,如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,∠BAC=45°,∴AC==4,∵A、P、O、E四点共圆,∴∠OAP=∠OEP=45°,∴点O在AC上,当P运动到点B时,O为AC的中点,OA=AC=2,即点O经过的路径长为2;(3)解:设△APE的外接圆的圆心为M,作MN⊥AB于N,如图2所示:则MN∥AE,∵ME=MP,∴AN=PN,∴MN=AE,设AP=x,则BP=4﹣x,由(1)得:△APE∽△BCP,∴,即,解得:AE=x﹣x2=﹣(x﹣2)2+1,∴x=2时,AE的最大值为1,此时MN的值最大=×1=,即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为.8.(1)证明:∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形,∴AD=CD,DE=DG,∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°,∴∠ADE=∠CDG,在△ADE和△CDG中,,∴△ADE≌△CDG(SAS),∴∠DCG=∠DAE=90°,∵∠DCB=90°,∴∠DCG+∠DCB=180°,∴点G在直线BC上;(2)解:①当点E在AB边上时,过点E作EK∥AD,交CD于点K,如图1所示:则AC∥EK∥AD,∴∠HEK=∠EHB,∠DEK=∠EDA,∵∠EHB+∠BEH=90°,∠EDA+∠AED=90°,∠HEK+∠DEK=90°,∴∠EDA=∠BEH,∠AED=∠EHB,∴△ADE∽△BEH,∴=,即=,∴BH=,S=正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积=2×2﹣×2×x﹣×(2﹣x)×=;②当点E在BC边上时,S=△DEC的面积=×2×(4﹣x)=4﹣x;(3)解:由(1)知,当点E在AB上时,点G在直线BC上,当点E与B点重合时,点F的位置如图2所示:点F运动的路径为BF;同理,点E在BC上时,当点E与C点重合时,点F运动的路径为FG;∵BD===2,∴BF+FG=2BD=4,∴点F运动的路径长为4.9.解:(1)∵y=﹣x+b经过A(0,1),∴b=1,∴直线AB的解析式是y=﹣x+1;故答案为:y=﹣x+1;(2)过点A作AM⊥PD,垂足为M,则有AM=1,∵x=1时,y=﹣x+1=,P在点D的上方,∴PD=n﹣,S PD•AM=,由点B(3,0),可知点B到直线x=1的距离为2,即△BDP的边PD上的高长为2,∴S△BPD=PD×2=n﹣,∴S△P AB=S△APD+S△BPD=n﹣+n﹣=n﹣1;(3)当S△ABP=2时,n﹣1=2,解得n=2,∴点P(1,2).∵E(1,0),∴PE=BE=2,∴∠EPB=∠EBP=45°.第1种情况,如图1,∠CPB=90°,BP=PC,过点C作CN⊥直线x=1于点N.∵∠CPB=90°,∠EPB=45°,∴∠NPC=∠EPB=45°,在△CNP与△BEP中,,∴△CNP≌△BEP,∴PN=NC=EB=PE=2,∴NE=NP+PE=2+2=4,∴C(3,4).第2种情况,如图2∠PBC=90°,BP=BC,过点C作CF⊥x轴于点M.∵∠PBC=90°,∠EBP=45°,∴∠CBM=∠PBE=45°,在△CBP与△PBE中,,∴△CBM≌△PBE.∴BF=CF=PE=EB=2,∴OF=OB+BF=3+2=5,∴C(5,2).第3种情况,如图3,∠PCB=90°,CP=EB,∴∠CPB=∠EBP=45°,在△PCB和△PE B中,,∴△PCB≌△PEB(SAS),∴PC=CB=PE=EB=2,∴C(3,2).∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC,点C的坐标是(3,4)或(5,2)或(3,2).10.解:(1)在矩形ABC D中,AB∥CD,∴∠A=∠FDM=90°,∠AEM=∠DFM,又∵M是AD的中点,∴AM=DM,∴△AME≌△DMF(AAS);(2)①△EGF的形状不发生变化,是等腰直角三角形,理由如下:如图1,过点M作MN⊥BC于点N,则∠NMD=∠FMG=90°,MN=AB=AD=MD,∴∠NMD﹣∠MDG=∠FMG﹣∠MDG,即∠FMD=∠GMN,又∵∠MNG=∠MDF=90°,∴△MNG≌△MDF(ASA),∴MG=MF,∴∠MGF=45°,∵MG垂直平分EF,∴GF=GE,∴∠EGM=∠MGF=45°,∴∠EGF=90°,∴△EGF的形状不发生变化,是等腰直角三角形;②如图2,由题意知,MG的运动路线是从MN开始,至MC结束,∴点H的运动路程是如图所示的HO,∵H是MN的中点,O是MC的中点,∴HO=NC=1,∴线段MG的中点H运动的路程最长为1;(3)①由(1)和(2)知,△AME≌△DMF≌△NMG,∴AE=NG=x,BE=2﹣x,∴EG2=BE2+BG2=(2﹣x)2+(2+x)2=8+2x2,∴S△EGF=EG2=(8+2x2)=x2+4,∴当S=6时,x=(取正值);②由题意知,0≤x≤2,∴当x=0时,S有最小值4;当x=2时,S有最大值8,故S的取值范围为:4≤S≤8.11.解:(1)过点E作EG⊥CF于G,连接EF,∵AF=AD,E是AB的中点,AB=AD=4,∴AF=1,FD=3,AE=BE=2,∴CF===5,∵S△EFC=4×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×3×4=5,∴S△EFC=×CF×EG=5,∴EG=2=BE,且EG⊥CF,EB⊥BC,∴CE平分∠BCF;(2)设CP=a,∵四边形ABCD是正方形,∴∠GDQ=∠BAQ=90°,∵点Q是AD的中点,∴DQ=AQ,∵∠DQG=∠AQB,∴△GDQ≌△BAQ(ASA),∴DG=AB=4,∴CG=CD+DG=4+x,在Rt△BPE中,PE2=BE2+BP2=(4﹣x)2+(4+a)2,在Rt△GCP中,GP2=CP2+CG2=(4+x)2+a2,∵PE=PG,∴a=2x﹣2,PQ2=PE2﹣QE2=4x2+16,∴PQ=,∴S=y=××=2x2+8(其中0≤x≤4)(3)如图,MM′即为M点运动的距离;当点E与点A重合时,∵PQ⊥EQ,∠BAQ=∠ABP=90°,∴四边形ABPQ是矩形,∴BP=AQ=2,当点E与点B重合时,由(2)可得P'E'=P'G,DG=AB=4,∴CG=8,∵P'G2=P'C2+CG2,∴P'E'2=(P'E'﹣4)2+64,∴P'E'=10,∴P'P=8,∵点M,点M'分别是QP,QP'的中点,∴MM'=PP'=4,∴点M的运动的路线的长为4.12.解:(1)过点P作PE⊥OA,垂足为E,过点Q作QF⊥BP,垂足为F,如图1.∵BP∥OA,PE⊥OA,∴∠EPF=∠PEO=90°.∵∠APQ=90°,∴∠EP A=∠FPQ=90°﹣∠APF.在△PEA和△PFQ中,∴△PEA≌△PFQ.∴PE=PF,EA=QF.∵a=,∴P(,3).∴OE=BP=,PE=3.∵A(2,0),∴OA=2,∴EA=0.5.∴PF=3,QF=0.5.∴点Q的坐标为(4.5,3.5).(2)如图2,作O点关于直线l的对称点O′,连接AO′,交直线l于点P,此时OP=O′P,∴P A+PO=P A+PO′,∴AO′是P A+PO的最小值,∵点B的坐标为(0,3).∴点O′(0,6),.设直线AO′为y=kx+6,代入A(2,0)得,0=2k+6,解得k=﹣3,∴直线AO′为y=﹣3x+6,把y=3代入得,3=﹣3x+6,解得x=1,∴P(1,3),∴当P A+PO最小时,a=1.。
数学专题:动点轨迹长度问题
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一、直线型:
【特殊型变一般型】
变式2:如图,等腰Rt∆ABC中,斜边AB的长为2,O为AC上的
动点,过点O作OP⊥AB交AB于点P,过点P作PQ∥AC交BC于
点Q,连接OQ,M为OQ的中点,当点O从点A运动到点C时,
点M所经过的路线长为
。
一、直线型:
【变2:解法分析】
转化中点,由题意可得四边形ODQC为矩形,则OQ的中点也是 DC的中点,点M所经过的路线长= 1 点D所经过的路线长. 那如何求点D所经过的路线长呢? 2
10 4
.
一、直线型:
【往返型轨迹】
变式3:如图,等腰Rt∆ABC中,斜边AB的长为2,O为AB上的
动点,连接OC将点C绕着点O逆时钟旋转45°交AB于点P,线段
BP的中点为点M,当点O从点A运动到点B时,点M所经过的路
线长为
。
一、直线型: 【变3:解法分析】
由一线三等角模型可得,∆AOC∽∆BPO,
1 OM=CM= 2 PQ,可知点M在线段OC的垂直平分线上,即点M 的轨迹为直线(OC的垂直平分线)一部分。
一、直线型:
【解法分析】 (2)确定始末点:连接OC易证∆APO≌∆CQO(ASA), 则可得OP=OQ,即∆POQ为等腰直角三角形。 易确定始末两点分别是AC,BC的中点, 即点M的轨迹长度= 1 AB=1。
在等边三角形ABC中,PC为AB边上的高,所以PC= 3a,在
2
⊿OPC中,根据三角形三边关系,OC ≤ OP+PC
所以OC的长的最大值为 1 a + 3a,
2
2
二、圆弧型:
变式练习:如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在
边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,
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动点路径长专题一.选择题(共2小题)1.如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为()A.B.C.D.2.如图,半径为4的⊙O中,CD为直径,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,点E为⊙O上一动点,CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为()A.B.C.D.二.填空题(共9小题)3.(2013•鄂尔多斯)如图,直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点,点P为线段OA上的动点,连接BP,过点A 作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时,则点M运动路径的长为_________.4.如图,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I,当点P在上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为_________.5.(2011•江西模拟)已知扇形的圆心角为60°,半径为1,将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置,①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′;②点O到O′的路径是→→;③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2;④点O到O′的所经过的路径长为.以上命题正确的是_________.6.(2013•宁德)如图,在Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=BC=4,点P在AC上运动,将纸片沿PB折叠,得到点C的对应点D(P在C点时,点C的对应点是本身),则折叠过程对应点D的路径长是_________.7.如图,已知AB=10,P是线段AB上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB,连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,则点G移动路径的长是_________.8.(2013•湖州)如图,已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=﹣x于点N.若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°,BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是_________.9.(2013•桂林)如图,已知线段AB=10,AC=BD=2,点P是CD上一动点,分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB,设正方形对角线的交点分别为O1、O2,当点P从点C运动到点D时,线段O1O2中点G的运动路径的长是_________.10.(2013•竹溪县模拟)如图:已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=1;P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB,连结EF,设EF的中点为G;当点P从点C运动到点D时,则点G移动路径的长是_________.11.如图,一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处,此时BC为1米,当A点下滑至A'处并且A'C=1米时,木棒AB的中点P运动的路径长为_________米.三.解答题(共1小题)12.(2012•义乌市模拟)如图,边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上,点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P 运动的时间是t秒.在点P的运动过程中,线段BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC.(1)当点P运动到线段OA的中点时,点C的坐标为_________;(2)在点P从点O到点A的运动过程中,用含t的代数式表示点C的坐标;(3)在点P从点O到点A的运动过程中,求出点C所经过的路径长.《动点路径长专题》参考答案与试题解析一.选择题(共2小题)1.如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为()A.B.C.D.考点:二次函数综合题.专题:压轴题.分析:首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得A′B′即是所求的长度.解答:解:如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点,∴x2﹣x﹣=x﹣2,解得:x=1或x=,当x=1时,y=x﹣2=﹣1,当x=时,y=x﹣2=﹣,∴点A的坐标为(,﹣),点B的坐标为(1,﹣1),∵抛物线对称轴方程为:x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与对称轴(直线x=)的交点是E,与x轴的交点是F,∴BF=B′F,AE=A′E,∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′,延长BB′,AA′相交于C,∴A′C=++(1﹣)=1,B′C=1+=,∴A′B′==.∴点P运动的总路径的长为.故选A.点评:此题考查了二次函数与一次函数的综合应用.注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数形结合与方程思想的应用.2.如图,半径为4的⊙O中,CD为直径,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,点E为⊙O上一动点,CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为()A.B.C.D.考点:圆的综合题.专题:压轴题.分析:连接AC,AO,由AB⊥CD,利用垂径定理得到G为AB的中点,由中点的定义确定出OG的长,在直角三角形AOG中,由AO与OG的长,利用勾股定理求出AG的长,进而确定出AB的长,由CO+GO求出CG的长,在直角三角形AGC中,利用勾股定理求出AC的长,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始终为直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半径,如图中红线所示,当E位于点B时,CG⊥AE,此时F与G重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,在直角三角形ACG中,利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数,进而确定出所对圆心角的度数,再由AC的长求出半径,利用弧长公式即可求出的长,即可求出点F所经过的路径长.解答:解:连接AC,AO,∵AB⊥CD,∴G为AB的中点,即AG=BG=AB,∵⊙O的半径为4,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,∴OG=2,∴在Rt△AOG中,根据勾股定理得:AG==2,∴AB=2AG=4,又∵CG=CO+GO=4+2=6,∴在Rt△AGC中,根据勾股定理得:AC==4,∵CF⊥AE,∴△ACF始终是直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆,当E位于点B时,CG⊥AE,此时F与G重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,在Rt△ACG中,tan∠ACG==,∴∠ACG=30°,∴所对圆心角的度数为60°,∵直径AC=4,∴的长为=π,则当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为π.故选C.点评:此题考查了圆的综合题,涉及的知识有:坐标与图形性质,勾股定理,锐角三角函数定义,弧长公式,以及圆周角定理,其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,是解本题的关键.二.填空题(共9小题)3.(2013•鄂尔多斯)如图,直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点,点P为线段OA上的动点,连接BP,过点A作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时,则点M运动路径的长为.考点:一次函数综合题.分析:根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标,由题意可得点M的路径是以AB的中点N为圆心,AB长的一半为半径的,求出的长度即可.解答:解:∵AM垂直于直线BP,∴∠BMA=90°,∴点M的路径是以AB的中点N为圆心,AB长的一半为半径的,连接ON,∵直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点,∴OA=OB=4,∴ON⊥AB,∴∠ONA=90°,∵AB==4,∴ON=2,∴=•2=.故答案为:π.点评:本题考查了二次函数的综合题,涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹,难点在于根据∠BMC=90°,判断出点M的运动路径是解题的关键,同学们要注意培养自己解答综合题的能力.4.如图,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设△OPH的内心为I,当点P在上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为.考点:弧长的计算;全等三角形的判定与性质;三角形的内切圆与内心.专题:计算题.分析:如图,连OI,PI,AI,由△OPH的内心为I,可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣(∠HOP+∠OPH)=135°,并且易证△OPI≌△OAI,得到∠AIO=∠PIO=135°,所以点I在以OA为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;过A、I、O三点作⊙O′,如图,连O′A,O′O,在优弧AO取点P,连PA,PO,可得∠APO=180°﹣135°=45°,得∠AOO=90°,O′O=OA=×2=,然后利用弧长公式计算弧OA的长.解答:解:如图,连OI,PI,AI,∵△OPH的内心为I,∴∠IOP=∠IOA,∠IPO=∠IPH,∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣(∠HOP+∠OPH),而PH⊥OA,即∠PHO=90°,∴∠PIO=180°﹣(∠HOP+∠OPH)=180°﹣(180°﹣90°)=135°,又∵OP=OA,OI公共,而∠IOP=∠IOA,∴△OPI≌△OAI,∴∠AIO=∠PIO=135°,所以点I在以OA为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;过A、I、O三点作⊙O′,如图,连O′A,O′O,在优弧AO取点P,连PA,PO,∵∠AIO=135°,∴∠APO=180°﹣135°=45°,∴∠AOO=90°,而OA=2cm,∴O′O=OA=×2=,∴弧OA的长==(cm),所以内心I所经过的路径长为cm.故答案为:cm.点评:本题考查了弧长的计算公式:l=,其中l表示弧长,n表示弧所对的圆心角的度数.同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质.5.(2011•江西模拟)已知扇形的圆心角为60°,半径为1,将它沿着箭头方向无滑动滚动到O′A′B′位置,①点O到O′的路径是OO1→O1O2→O2O′;②点O到O′的路径是→→;③点O在O1→O2段上运动路线是线段O1O2;④点O到O′的所经过的路径长为.以上命题正确的是.考点:旋转的性质;弧长的计算.分析:圆心O由O到O1的路径是以A为圆心,以OA为半径的圆弧;由O1到O2圆心所经过的路线是线段O1O2;由O2到O′,圆心经过的路径是:以B′为圆心,以O′B′为半径的圆弧.据此即可判断.解答:解:圆心O由O到O1的路径是以A为圆心,以OA为半径的圆弧;由O1到O2圆心所经过的路线是线段O1O2;由O2到O′,圆心经过的路径是:以B′为圆心,以O′B′为半径的圆弧.故正确的是:③④.故答案为:③④.点评:本题主要考查了图形的旋转,正确确定圆心O经过的路线是解决本题的关键.6.(2013•宁德)如图,在Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=BC=4,点P在AC上运动,将纸片沿PB折叠,得到点C的对应点D(P在C点时,点C的对应点是本身),则折叠过程对应点D的路径长是.考点:翻折变换(折叠问题);弧长的计算.分析:根据翻折变换的性质以及△ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心,以BC的长为半径的扇形,然后利用弧长公式列式计算即可得解.解答:解:∵∠C=90°,AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形,如图,点D的路径是以点B为圆心,以BC的长为半径的扇形,路径长==2π.故答案为:2π.点评:本题考查了翻折变换的性质,弧长的计算,判断出点D的路径是扇形是解题的关键.7.如图,已知AB=10,P是线段AB上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB,连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,则点G移动路径的长是.考点:三角形中位线定理;等边三角形的性质;平行四边形的判定与性质.专题:压轴题.分析:分别延长AC、BD交于点H,易证四边形CPDH为平行四边形,得出G为PH中点,则G的运行轨迹△HAB 的中位线MN,运用中位线的性质求出MN的长度即可.解答:解:如图,分别延长AC、BD交于点H,∵∠A=∠DPB=60°,∴AH∥PD,∵∠B=∠CPA=60°,∴BH∥PC,∴四边形CPDH为平行四边形,∴CD与HP互相平分.∵G为CD的中点,∴G正好为PH中点,即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN.∴MN=AB=5,即G的移动路径长为5.故答案为:5.点评:本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质,解答本题的关键是作出辅助线,找到点G移动的规律,判断出其运动路径,综合性较强.8.(2013•湖州)如图,已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=﹣x于点N.若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°,BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是.考点:一次函数综合题.专题:压轴题.分析:(1)首先,需要证明线段B0B n就是点B运动的路径(或轨迹),如答图②所示.利用相似三角形可以证明;(2)其次,如答图①所示,利用相似三角形△AB0B n∽△AON,求出线段B0B n的长度,即点B运动的路径长.解答:解:由题意可知,OM=,点N在直线y=﹣x上,AC⊥x轴于点M,则△OMN为等腰直角三角形,ON=OM=×=.如答图①所示,设动点P在O点(起点)时,点B的位置为B0,动点P在N点(终点)时,点B的位置为B n,连接B0B n.∵AO⊥AB0,AN⊥AB n,∴∠OAC=∠B0AB n,又∵AB0=AO•tan30°,AB n=AN•tan30°,∴AB0:AO=AB n:AN=tan30°,∴△AB0B n∽△AON,且相似比为tan30°,∴B0B n=ON•tan30°=×=.现在来证明线段B0B n就是点B运动的路径(或轨迹).如答图②所示,当点P运动至ON上的任一点时,设其对应的点B为B i,连接AP,AB i,B0B i.∵AO⊥AB0,AP⊥AB i,∴∠OAP=∠B0AB i,又∵AB0=AO•tan30°,AB i=AP•tan30°,∴AB0:AO=AB i:AP,∴△AB0B i∽△AOP,∴∠AB0B i=∠AOP.又∵△AB0B n∽△AON,∴∠AB0B n=∠AOP,∴∠AB0B i=∠AB0B n,∴点B i在线段B0B n上,即线段B0B n就是点B运动的路径(或轨迹).综上所述,点B运动的路径(或轨迹)是线段B0B n,其长度为.故答案为:.点评:本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹,难度很大.本题的要点有两个:首先,确定点B的运动路径是本题的核心,这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力;其次,由相似关系求出点B 运动路径的长度,可以大幅简化计算,避免陷入坐标关系的复杂运算之中.9.(2013•桂林)如图,已知线段AB=10,AC=BD=2,点P是CD上一动点,分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB,设正方形对角线的交点分别为O1、O2,当点P从点C运动到点D时,线段O1O2中点G的运动路径的长是.考点:正方形的性质;轨迹.专题:压轴题.分析:根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长,进而得出线段O1O2中点G的运动路径的长.解答:解:如图所示:当P移动到C点以及D点时,得出G点移动路线是直线,利用正方形的性质即线段O1O2中点G的运动路径的长就是O2O″的长,∵线段AB=10,AC=BD=2,当P与C重合时,以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB,∴AP=2,BP=8,则O1P=,O2P=4,∴O2P=O2B=4,当P′与D重合,则P′B=2,则AP′=8,∴O′P′=4,O″P′=,∴H′O″=BO″=,∴O2O″=4﹣=3.故答案为:3.点评:此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识,根据已知得出G点移动的路线是解题关键.10.(2013•竹溪县模拟)如图:已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=1;P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB,连结EF,设EF的中点为G;当点P从点C运动到点D时,则点G移动路径的长是.考点:三角形中位线定理;等边三角形的性质;平行四边形的判定与性质.分析:分别延长AE、BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形,得出G为PH中点,则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.再求出CD的长,运用中位线的性质求出MN的长度即可.解答:解:如图,分别延长AE、BF交于点H,∵∠A=∠FPB=60°,∴AH∥PF,∵∠B=∠EPA=60°,∴BH∥PE,∴四边形EPFH为平行四边形,∴EF与HP互相平分.∵G为EF的中点,∴G正好为PH中点,即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.∵CD=10﹣1﹣1=8,∴MN=4,即G的移动路径长为4.故答案为:4.点评:本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质,解答本题的关键是作出辅助线,找到点G移动的规律,判断出其运动路径,综合性较强.11.如图,一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处,此时BC为1米,当A点下滑至A'处并且A'C=1米时,木棒AB的中点P运动的路径长为米.考点:勾股定理的应用;弧长的计算.专题:压轴题.分析:先根据三角函数求出∠BAC的度数,再根据直角三角形的性质得到∠ACP的度数,同理求出∠B′CP′的度数,可得∠PCP′的度数,再根据弧长的计算公式求解即可.解答:解:连接CP,CP′.∵∠ACB=90°,BC=1米,A′B=2米,∴∠BA′C=30°,∵P是木棒AB的中点,∴PC=PA=1米,∴∠PCA=30°,同理求出∠B′CP′=30°,则∠PCP′=30°,∴木棒AB的中点P运动的路径长为:×2π×1=米.故答案为:米.点评:考查了三角函数,直角三角形的性质和弧长的计算公式,木棒AB的中点P运动的路径为半径为1的扇形的弧长.三.解答题(共1小题)12.(2012•义乌市模拟)如图,边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上,点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.在点P的运动过程中,线段BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC.(1)当点P运动到线段OA的中点时,点C的坐标为;(2)在点P从点O到点A的运动过程中,用含t的代数式表示点C的坐标;(3)在点P从点O到点A的运动过程中,求出点C所经过的路径长.考点:相似形综合题.分析:(1)过点作CD⊥x轴于点D,先由等边三角形的性质求出P点坐标及BP的长,故可得出PE的长,由图形旋转的性质求出PC=PE及∠CPD的度数,再由锐角三角函数的定义即可求出PD及CD的长,进而可得出结论;(2)过P作PD⊥OB于点D,过C作CF⊥PA于点F,在Rt△OPD中PD=OP•sin60°=,由相似三角形的判定定理得出△BPD∽△PCF,故可得出CF及PF的长,进而可得出C点坐标;(3)取OA的中点M,连接MC,由(2)得,,由锐角三角函数的定义得出∠CMF=30°,可知点C在直线MC上运动.故当点P在点O时,点C与点M重合.当点P运动到点A时,点C的坐标为(5,),由两点间的距离公式即可得出结论.解答:解:(1)如图1,过点作CD⊥x轴于点D,∵△AOB是等边三角形,P是OA的中点,∴P(2,0),BP=OB•sin60°=4×=2,∵E是BP的中点,∴PE=,∴PE=PC=,∵∠BPC=60°,∴∠CPA=30°,∴PD=PC•cos30°=×=,CD=PC•sin30°=×=,∴OD=OP+PD=2+=,∴C(,);(2)如图2,过P作PD⊥OB于点D,过C作CF⊥PA于点F在Rt△OPD中PD=OP•sin60°=,∵∠OBP+∠OPB=∠CPF+∠OPB=120°∴∠DBP=∠FPC,∵∠PDB=∠CFP=90°∴△BPD∽△PCF,∴CF=,∴点C的坐标是();(3)取OA的中点M,连接MC,由(2)得,.∴∴∠CMF=30°.∴点C在直线MC上运动.当点P在点O时,点C与点M重合.当点P运动到点A时,点C的坐标为∴点C所经过的路径长为.点评:本题考查的是相似形综合题及旋转的性质、等边三角形的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.。