动点路径长问题解法探究(公开课教案)
动点轨迹方程求解教学设计
动点轨迹方程求解教学设计第一部分：引言（约200字）动点轨迹方程求解是高中数学中的重要内容之一。
掌握动点轨迹方程的求解方法，对于理解和应用数学知识具有重要意义。
本教学设计旨在通过灵活多样的教学方法，帮助学生全面掌握动点轨迹方程的求解技巧。
在本教学设计中，我们将引导学生通过具体问题，逐步分析问题并建立数学模型，最终求解动点轨迹的方程，提高学生的数学能力和问题解决能力。
第二部分：教学目标（约200字）1. 知识目标：掌握动点轨迹方程的求解方法，了解不同类型问题的求解思路。
2. 能力目标：培养学生的问题分析和建模能力，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
3. 情感目标：通过动手实践和解决问题的过程，培养学生的数学兴趣和创新精神。
第三部分：教学内容（约500字）1. 基本概念的讲解：首先，我们将讲解动点轨迹的概念以及与方程的关系，引导学生理解动点轨迹方程的意义和作用。
2. 例题分析：通过简单的例题，引导学生深入理解动点轨迹方程的基本求解思路。
例如，给定一个直线方程和一个点，让学生思考并解决点在直线上的问题。
3. 探索问题：设计一系列具体问题，要求学生通过观察、分析和实践来寻找解题方法和规律。
例如，通过让学生分析点在圆上的运动规律，引导学生建立点在圆上的动点轨迹方程。
4. 案例分析：选取一些实际问题，并引导学生分析问题可以转化为动点轨迹方程的求解。
例如，给定一个楼梯的高度和斜度，让学生思考并解决一个物体从楼梯上滚下的问题。
5. 拓展应用：为了提高学生的创新思维和问题解决能力，设计一些拓展应用题，让学生灵活应用所学知识解决更复杂的问题。
第四部分：教学方法（约300字）1. 讲授法：通过直观的图像和示例，向学生讲解动点轨迹方程的基本概念和求解方法，帮助学生建立直观的认知。
2. 探究法：通过引导学生观察问题、实践和讨论，培养学生的问题解决能力和创新精神，激发他们的学习兴趣。
3. 讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生互相提问、思考和帮助，促进知识和经验的交流，提高学生的学习效果。
初三中考动点运动轨迹专题教案-精选学习文档
中考复习专题——动点运动轨迹问题“动点运动路径长”问题的一般策略如下：首先可以通过画图（一般要画出起始点、中间若干关键点和结束点）来判断路径类型和范围（在初中阶段主要考查的一般是圆弧型和线段型）；其次是结合已知条件的特点运用不同的数学方法说明自己的判断是正确的；最后按照判断的路径类型及范围来计算路径长.专题一：动点形成的轨迹——线段例1：如图，已知线段AB＝10，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为．例2：如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在边AD上，且AE：ED=1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 .例3：如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B 停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线例4：如图，已知点A是第一象限内横坐标为3=于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ONy-x上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 .例5：如图，在平面内，线段AB＝6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA.若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为 .例6：一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=12cm （如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为．（结果保留根号）例7：如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F 运动的路径长是 .例8：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD= .（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．例9：如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B 在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A 时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA，过点P作PD⊥OB于点D．（1）填空：PD的长为 (用含t的代数式表示）；（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；（3）在点P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）填空：在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为．专题二：动点形成的轨迹——圆弧例1：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 .例2：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，以2为半径的圆上一动点，连接CE，点P为CE的中点，连接BP，若AC＝a，BD＝b，则BP的最大值为 .例3：（2019启东市一模）如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为 .例4：如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 _______．例5：在5×5的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫做格点.矩形ABCD的边分别过格点E，F，G，H，则OD的最大值为 .例6：（2017•玄武区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，P为△ABC内一个动点，∠PAB=∠PBC，则CP的最小值为例7：如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P．从点P 向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为______ ．例8：如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______.例9：如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．（1）求O点所运动的路径长；（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．例10：如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是______.例11：等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P.AP 的值. （1）若AE=CF.①求证：AF=BE，并求∠APB的度数.②若AE=2，试求AF（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.例12：某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF、AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．。
公开课复习专题-动点问题详解
A
D
P
B
Q
C
4. 例 1 、 如 图 ， 已 知 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ，
D
Q
∟
A 在RtABC中，C 90
SinA 8 10
P
QN 8
N
AQ 10
B
C
QN 8
5 t 10
三角函数法
QN 4 4 t 5
y 1 2t 4 4 t
2
5
y 4 t 2 4t 5
2.(3)是否存在某一时刻t，使△ APQ的面积与△ ABC的面积 比为7︰15？若存在，求出相应的t的值；不存在说明理由。
(2)设△ APQ的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系。
A
A
M
D
P
D
P
Q
Q
∟
N
B
CB
C
2.(2)
D
Q
B
相似法
∟
A
∵△AQN∽ △ABC
P
QN AQ
BC
AB
N
QN 5 t
C
8
10
QN 4 4 t
5
y 1 2t 4 4 t
2
5
y 4 t 2 4t 5
2.(2)
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
1.如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段
DP将线段BC三等分？
解决动点问题
D
C
的好助手：
E
数形结合定相似
A
B
P
比例线段构方程
D
C
初中动点问题教案
教案：初中动点问题教学目标：1. 理解动点的概念，掌握动点的运动规律。
2. 能够运用动点问题解决实际问题，提高学生的应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 动点的概念及其运动规律。
2. 动点问题的解决方法。
教学难点：1. 动点运动规律的理解和应用。
2. 解决实际问题时动点条件的确定。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 动点问题实例。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入动点概念，让学生举例说明动点的含义。
2. 引导学生思考动点的运动规律。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解动点的运动规律，如直线运动、曲线运动等。
2. 通过实例讲解动点问题的解决方法，如追及问题、相遇问题等。
3. 引导学生总结动点问题的解题步骤和注意事项。
三、课堂练习（15分钟）1. 给学生发放动点问题练习题，让学生独立解答。
2. 引导学生互相讨论，共同解决问题。
3. 教师讲解答案，解析解题思路和方法。
四、实例分析（10分钟）1. 给学生发放实际问题，让学生运用动点知识解决。
2. 引导学生分析问题，确定动点条件。
3. 教师讲解答案，解析解题思路和方法。
五、课堂小结（5分钟）1. 让学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
2. 教师强调动点问题的解题方法和注意事项。
六、作业布置（5分钟）1. 布置动点问题作业，让学生巩固所学知识。
2. 鼓励学生自主学习，提高解决问题的能力。
教学反思：本节课通过讲解动点的概念、运动规律和解决实际问题的方法，使学生掌握了动点问题的解题思路。
在课堂练习和实例分析环节，学生能够独立解决问题，提高了应用能力。
但部分学生在理解动点运动规律时仍存在困难，需要在今后的教学中加强引导和练习。
在作业布置环节，注重培养学生的自主学习意识，提高解决问题的能力。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
动点轨迹问题教学设计1
动点的轨迹问题教学设计一、教学目标设计：（一）知识与技能：1．掌握圆的定义及基本性质；2．进一步熟练掌握求动点轨迹问题的基本方法；3．体会数学实验的直观性，提高几何画板的操作能力。
（二）过程与方法：1．使学生在问题的研究过程中，进一步地领会求动点轨迹的思想方法，更深一步地了解、运用圆的定义和性质来分析问题的能力；2．培养学生的观察能力、抽象概括能力和空间想象能力；3．强化类比、联想的方法，领会方程思想，数形结合思想。
（三）情感态度价值观：1．感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美；2．树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感；树立学好数学的信心，激发提出问题和解决问题的勇气。
3．树立辩证唯物主义思想，体会运动与静止的相互关系。
二、教学重点、难点分析：本节课的重点是动点轨迹的求法，进一步了解圆的定义和性质；难点是深入理解动点间的相互关联与制约；本堂课是一节探究课，主要让学生通过例题的分析和探索，熟练地运用相关动点法解题，掌握动点轨迹的一般求法；掌握数形结合、等价转化等数学思想.三、教学对象分析：虽然本节课的内容及主要知识学生已经学过，但是通过前几节课的教学我发现学生对一些常见问题的基本处理方法已经比较生疏，尤其是运用性质来分析问题、解决问题，就更加薄弱了。
因此在教学中，立足于学生的这种状况，我充分调动学生的学习兴趣（通过发挥学生的想象力以及多媒体动画演示等手段），耐心教学，精心辅导，深入浅出，根据学生的现场反应随时调整教学进程和教学手段，注重学生的学习能力的培养，注重知识的生成和发展过程。
四、教学方法设计：根据本节课的内容和学生实际水平，我采用的主要是启发式的教学方法，讲练结合，利用多媒体辅助教学。
启发式的教学方法符合辩证唯物主义内因与外因相互作用的观点，符合教学论中的自觉性、积极性、巩固性、可接受性，教学与发展相结合，教师的主导作用与学生的主体地位相统一等原则.启发式教学方法的关键是通过教学中的引导、启发、充分调动学生学习的主动性。
初三数学复习专题动点路径长问题(学案)
中考专题复习——动点的路径长问题【学习目标】1.学会根据条件判定动点的运动轨迹2.掌握动点轨迹的常见模型3.利用动点轨迹解决相关问题【学习重点】运动轨迹的判定、起始点和终点的判定【学习过程】一、几何模型回顾（1）直线型路径①__________________________ ②____________________________ （2）圆弧型路径①__________________________ ②____________________________二、典例分析例1.（1）如图，等边△ABC的边长为4 cm，动点D从点B出发，沿射线BC 方向移动，以AD为边作等边△ADE，在点D从点B开始移动至点C的过程中，请判断点E的运动轨迹，并求其运动路径的长.解决运动路径长的一般步骤：___________________________________________________________.___________________________________________________________.（2）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在边AD上，且AE：ED=1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，请判断点M运动轨迹，并求其经过的路线的长.例2.（1）如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是_______（2）如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C 在⊙O上运动一周时，点D运动的路径长为_______三、变式练习1. 在正方形ABCD中，AD=2，点E从点D出发向终点A运动，点F从C出发向终点D 运动，且始终保持DE=CF.连接AE，DF交于点P，则点P运动的路径长_______. .2. 如图，等边△ABC中，BC=6，D、E是边BC上两点，且BD=CE=1，点P是线段DE上的一个动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，点G的路径长为_________ .3. 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为_________. .4. 如图，抛物线23y ax bx=++过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OC上的动点，连接BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，求点N运动路径的长．四、巩固练习1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_______ .2. 如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．若点E从在圆周上运动一周，则点F所经过的路径长为________. .3. 如图，边长为4的等边三角形△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA，过点P作PD⊥OB于点D．（1）填空：PD的长为__________ （用含t的代数式表示）；（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；（3）填空：在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为________. .。
“动点运动路径长”问题的求解方略
＿ Ａ ３ Ｐ刚 ＝ ３ ＿ Ｐ Ｂ
，
．
【 问题 ４ 】 如图 ４ — １ ， 点 Ｍ、 Ｎ是 边长 为 ４ 的正 三角形 Ａ Ｂ Ｃ边
．
・
ＥＭ ＋ ＦＮ ：
Ａ Ｂ、 ＡＣ上的动点 ， 且满足 ： 将 ＡＡ ＭＮ沿 ＭＮ折叠使 Ａ点恰好落在 Ｂ Ｃ边上 Ｄ点处。问当 Ｄ从 Ｂ移动 到 Ｃ的过程 中， 点 Ⅳ随之运动 的总路径长为多少？
Ｇ （ 如图３ － ２所 示） ， 关键 是如何说 明理 由。 其他边上运动时中点 运动的路径也是 圆弧 ， 四段 圆弧 的总长 即 位线 Ｇ。 简解 ： 易求点 Ｇ 。 （ ３ ． ５ ， ２ ） ， Ｇ （ ２ ． ５ ， ０ ） ． ＿ ． 线段 Ｇ Ｇ 的解 析式 为 个半径为 １ 的圆周长。． ・ ． 路 径 总 长＝ ２ ＇ ｎ ＇ ｘ ｌ ＝ ２ ＂ ａ － 。
由 题 （ １ ） 点ｐ （ ５ 一 ｔ ， ０ ） ， Ｑ （ ２ ＋ ÷￡ ， ４ 一 ） ． ・ ． 尸 Ｑ 中 点Ｇ 的 坐 标 为
ｆ 、 ＝ １ ０
・ ． ’
侧 的两个等边三角形 ， Ｇ为线段 Ｅ Ｆ的中点。 当点 Ｐ从点 ｃ移动 到 点 Ｄ时 ， 点 Ｇ 移 动 的路 径 长 为 多 少 ？
－ ． 点 Ｇ运动的路径是一条平行于 曰的线段 。易求当点 Ｐ与 段Ｅ Ｆ的 两 端 放 在 正方 形 相 邻 的两 边 上 同 时 滑 动 。如 图 点 Ｅ从 Ａ 变 。． Ｈ＝ ２ ， 当点 Ｐ与点 Ｄ重合时 ＡＨ ＝ ４ 。 出发 ，沿 图 中所 示 方 向按 Ａ一 曰 一Ｃ —Ｄ — 滑 动 到 点 Ａ 为止 ， 同 点 Ｃ重合时 Ａ
时 点 Ｆ从 点 Ｂ 出发 ， 沿 图 中所 示 方 向按 曰 一Ｃ 一 Ｄ — ＋ Ａ — Ｂ滑 动 到
初中数学九年级《直线型动点路径问题》公开课教学设计
直线型动点路径问题
教学目标：
1、理解直线型动点路径的成因，学会辨别直线型动点路径。
2、在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系，学会从问题的本质破解复杂的
数学问题。
教学重点：辨别直线型动点路径
教学难点：利用不变特征验证猜想
教学过程：
引入：
一、图片—用“静”拼成“动”
二、通过画板点的路径引入，中学阶段常见的两种路径：线段与圆弧。
问题1：
如图：在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在线段BC上，连接AD，点P是线段AD的中点.
[1] 若BC等于8，当点D从B点运动到C点，点P随之的路径长.
[2] .分析：
1、分析背景，标注信息
2、定点：;
3、动点：（元点）；（派生点）；
4、不变特征：
（数量、位置）；
5、猜测：元点起点：;特殊点；元点终点；
6、验证；
7、设计方案，求出路径长。
问题2：
1)如图，边长为6的等边三角形ABC中，点D是直线AB上的一个动点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到CE.
[1]当点D从A点运动到B点，点E随之的路径长.
[2] .
分析：
1、分析背景，标注信息
2、定点：;
3、动点：（元点）；（派生点）；
4、不变特征：
（数量、位置）；
5、猜测：元点起点：;特殊点；元点终点；
6、验证；
7、设计方案，求出路径长。
数学人教版九年级下册动点的路径长问题教学设计
动点的路径长问题一．内容对于初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：_________．解决动点路径长问题思路：_________二．例题分析（一）、运动路径是圆弧1．（2013•宁德）如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是_________．（第1题）（第2题）（第3题）2．如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的路径长为_________米．3．（2013•鄂尔多斯）如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为_________．（二）、运动路径是线段4．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G 移动路径的长是_________．（第4题）（第5题）5.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝6， BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q 分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．三．小结本节课你的收获是什么？四．课后思考题6．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_________．。
动点路径长问题解法探究(公开课教案)
动点路径长问题解法探究江夏二中林建平教学目的：1、知识和能力：了解动点路径长问题的基本解题方法。
2、过程和方法：注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识3、情感态度价值观：培养学生的良好的学习习惯教学重点：动点路径长问题的基本解题方法。
教学难点：确定动点路径类型。
一、导入：动点路径长问题是近年来中考的热点题型.常见类型：1、线段2、圆弧3、组合解题步骤：1、取动点在运动过程中特殊的三点（运动开始、运动中、运动结束）位置探索出动点运动的路径形状；三点共线→线段，三点不共线→圆弧2、第二步，根据题目的已知条件求出动点运动的路径长；二、例题：（2017元调第16题）在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A(0，4)逆时针旋转90°到点B(m，1)．若－5≤m≤5，则点C运动的路径长为___________。
变式1、将例题中旋转角90°改为60°，其余条件不变。
则点C运动的路径长为___________。
变式2、将例题中旋转角90°改为120°，其余条件不变。
则点C运动的路径长为___________。
变式3、在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，点B(m，1)，以点B为旋转中心，将点A(0，4)逆时针旋转90°到点C。
若－5≤m≤5，则点C运动的路径长为。
三、课堂检测练习：1、如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是．练习1图练习2图练习3图2、如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径是。
3、如图，矩形ABCD中，AB=8，CD=6，将矩形ABCD在直线上按顺时针方向不滑动的转动90°，转动3次后停止，则顶点A经过的路线长为。
初中数学轨迹问题解析教案
初中数学轨迹问题解析教案教学目标：1. 理解动点轨迹问题的基本概念和特点；2. 掌握判断动点轨迹的方法和技巧；3. 能够解决实际问题中的动点轨迹问题。
教学内容：1. 动点轨迹问题的定义和分类；2. 判断动点轨迹的方法和技巧；3. 动点轨迹问题的实际应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入动点轨迹问题的概念，让学生初步了解动点轨迹问题的基本特点；2. 提问学生：动点轨迹问题有哪些分类？让学生思考并回答。
二、讲解（20分钟）1. 讲解动点轨迹问题的基本概念和特点，让学生深入理解动点轨迹问题的定义；2. 讲解判断动点轨迹的方法和技巧，让学生掌握解决动点轨迹问题的方法；3. 通过具体例题，演示解决动点轨迹问题的过程，让学生跟随步骤进行解题；4. 让学生进行练习，巩固所学的知识和技巧。
三、应用（15分钟）1. 给出实际问题，让学生应用所学的动点轨迹问题解决方法进行解决；2. 引导学生思考和讨论，帮助学生理解问题的本质和解决思路；3. 给出解答，让学生对比自己的解答，发现不足并进行改进。
四、总结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的知识和技巧，进行自我总结；2. 强调动点轨迹问题的重要性和实际应用价值，激发学生学习的兴趣和动力。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性；2. 学生练习的积极性和参与度；3. 学生对实际应用问题的理解和解决能力。
教学资源：1. PPT课件；2. 动点轨迹问题的习题集。
教学反思：本节课通过讲解动点轨迹问题的基本概念和特点，让学生深入理解动点轨迹问题的定义。
通过讲解判断动点轨迹的方法和技巧，让学生掌握解决动点轨迹问题的方法。
通过实际问题的应用，让学生将所学的知识和技巧应用到实际问题中，提高学生解决实际问题的能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考和讨论，帮助学生理解问题的本质和解决思路。
同时，要给出解答，让学生对比自己的解答，发现不足并进行改进。
在教学评价中，要关注学生对动点轨迹问题的理解和解决能力的提高，同时也要关注学生对实际应用问题的理解和解决能力的提高。
寻找通法,举一反三——一道关于动点路线长的解题探索
寻扶通法，举一辰三一道关于动点路线长的解题探索□吉林大学附属中学程国庆如图①，已知线段佔长为12,点C、D在线段佔上，且4C==2.动点P 从点C出发沿线段CD向点。
移动（移动到点D停止），分别以4P、BP为斜边在线段同侧作等腰宜角三角形AEP和等腰直角三角形BFP.设EF的中点为G,直接写出整个运动过程中,点G移动的路径长.这是最近几年很流行的求动点经过的路径长问题,解决这样问题的基本思路是先确定动点经过的路径的形状（是直线型还是曲线型），然后再通过起始点与结束点的位置计算出路径长即可.如图①，取4P和的中点M、N,连结GM、GN.（为方便,我们先隐去无关紧要的点C、D）.GM是梯形4PFE的中位线,.-.MG//PF且MG=|（AE+PF）.同理NG〃EP且GN=|（PE+BF）.图①又V AAEP和ZkBFP是等腰直角三角形,:.MG=NG且MG丄NG.•••MP=^AP,NP=*BP,MN=^-AB..•.△GMN是一个随P点运动而运动的形状和大小不变的等腰直角三角形.•••G经过的路径是一条线段.如图②，作EM丄,GH丄AB,FN丄AB,垂足分别是M、H、N,则GH//EM//FN.•••G是EF的中点，GH是梯形EMNF的中位线.;.GH=*（EM+FN）.又v AAEP和是等腰直角三角形，.\EM=^AP,FN=^PB..-.EM+FN=^AB.:.gh=\ab.4•••点G经过的路径是一条平行于的线段.如图③，建立如图所示的平面直角坐标系，设点P的坐标是（t,0）,由方法2可以写出点G的坐标（|+3,3）,从而可以判断出点G经过的路径是一条线段,又2W/W8,G的起始点是（4,3）,终止点是（8,3）,/.点G经过的路径长是4.我们将这道题寻根溯源,找到它的母题,进一步把它推广•（为方便,我们隐去无关紧要的C、D）.由于等腰Rt AAEP和等腰BtABFP虽然是运动变化的,但是4、B两点是不动点,EF两点运动的方向也是不变的,这就让我们想到延长血、霸,它们的交点是一个不动点，我们不妨记为点Q,如图④•因为Rt/\AEP和等腰Rt形状是相似的，总有两组边是平行的,就出现了平行四边形QEPF,连结PQ，点G恰好是平行四边形QEPF的对角线的交点,这样就把问题归结为最为简单的情形,即P是线段上的一个动点,Q是直线佃外一点，当点P从4运动到B时,PQ的中点G运动的路图④图⑤径有多长的最简单的问题•如图⑤，是三角形中位线的基本图形,G点经过的路线和P点经过的路线是平行的，且点G经过的路径长是P点运动路径长的一半•于是，前面的问题迎刃而解.我们找到了这道题的母题，那么就可以在这个基础上生发和提炼，举一反三,解决类似的问题•请尝试用上面的方法解答下面的问题：练习1：P是线段佃上的动点，以AP、PB为边在AB同侧作等边ZUEP和等边设EF的中点为G,直接写出整个运动过程中,点G移动的路径的长练习2：P是线段AB上的动点，以为边在的同侧作正方形APME和正方形PEVF设衣啲中点为G,直接写出整个运动过程中,点G移动的路线的长我们可以进一步猜想：1.P是线段佃上的动点，以SP、PB为边在佔同侧作两个正"边形，设E、F为两个正"边形的相对应顶点,EF的中点为G,能否直接写出整个运动过程中点G移动的路线的长？2.P是线段AB上的动点,以为边在同侧作相似的ZUEP和△BFP.设貯的中点为G,能否宜接写出整个运动过程中点G移动的路线的长？小结:找到不动点Q,点G和点P经过的路径是位似的关系,点Q恰好是位似中心;如果从方程与曲线的角度来讲，动点P在曲线£上运动,Q是定点，线段PQ上某一分点运动的轨迹是曲线Z的伴随曲线,它们的形状是一样的,表达式也具有相关性.。
动点产生的路径问题(二))
动点产生的路径问题（二）教学目标：研究近几年的中考题，发现“动点产生的路径问题”是一个非常重要的考点，帮助学生建立良好的解题思路，克服做题时的恐惧和盲目。
教学重难点：寻找、计算路径长是重难点。
教学辅助：使用PPT，辅以白板画图，学生使用下发学习任务单教学设计说明：本节课设计的落脚点不在教材，而是根据对中考考题的研究设计的：考题中的路径只有弧与线段两种选择。
整个内容设计两个课时:第一课时重点难点是如何寻找路径，再辅以计算指导；第二课时，继续练习落实上一节课的目标，引入最短线段增加题型变化。
期望学生掌握该类型题的方法，提高考试中的得分。
教学过程：1、下发学习任务单，学生完成前三个问题。
目的是，复习唤醒已有的知识和解题手段2、完成两个联系，通过讨论交流，完成审题、画图、思考、计算，让学生体验感悟解题思路和方法3、思考第四个问题“根据我们的解题经验，路径的问题还可以结合什么内容来考？”，引导学生拓展思维，没有对错，有联想就好，引入下两道练习4、通过路径找最短线段5、自我总结、反思。
根据学生情况再思考下节课的安排。
学习任务单：1、动点产生的路径问题具体说是什么问题？2、动点运行的路径怎么确定？3、具体计算时有什么方向上的指导？4、练一练如图，在以O为圆心，2为半径的圆上任取一点，过点A作AM⊥y轴于点M，AN⊥x轴于点N，点P为MN的中点，当点A沿着圆圈在第一象限内顺时针方向走完45°弧长时，则点P走过的路径长为5、再练一下边长为2的正方形ABCD 的两条对角线相交于O ，把BA 与CD 同时分别绕点B 和C 逆时针方向旋转，此时正方形ABCD 随之变成四边形A'BCD'，设A'C ，B'D 交于点O'则旋转90度时，点O运动到点O'所经过的路径长是5、 根据我们的解题经验，路径的问题还可以结合什么内容来考？7、如图，正方形ABCD 中，E 、F 为BC 、CD 上两个动点，点E 从B 、点F 从C 同时出发，速度相同，G 为AE 、BF 交点。
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动点路径长问题解法探究
江夏二中林建平
教学目的：1、知识和能力：了解动点路径长问题的基本解题方法。
2、过程和方法：注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识
3、情感态度价值观：培养学生的良好的学习习惯
教学重点：动点路径长问题的基本解题方法。
教学难点：确定动点路径类型。
一、导入：动点路径长问题是近年来中考的热点题型.
常见类型：1、线段2、圆弧3、组合
解题步骤：1、取动点在运动过程中特殊的三点（运动开始、运动中、
运动结束）位置探索出动点运动的路径形状；三点共线→线段，三点
不共线→圆弧
2、第二步，根据题目的已知条件求出动点运动的路径长；
二、例题：（2017元调第16题）在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A(0，4)逆时针旋转90°到点B(m，1)．若－5≤m≤5，则点C运动的路径长为___________。
变式1、将例题中旋转角90°改为60°，其余条件不变。
则点C运动的路径长为___________。
变式2、将例题中旋转角90°改为120°，其余条件不变。
则点C运动的路径长为___________。
变式3、在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，点B(m，1)，以点B为旋转中心，将点A(0，4)逆
时针旋转90°到点C。
若－5≤m≤5，则点C
运动的路径长为。
三、课堂检测
练习：1、如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是．
练习1图练习2图练习3图
2、如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径是。
3、如图，矩形ABCD中，AB=8，CD=6，将矩形ABCD在直线上按顺时针方向不滑动的转动90°，转动3次后停止，则顶点A经过的路线长为。
o
x
y
四、归纳、总结。
五、作业设计。
1、如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若
点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是。
2、如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是。
3、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为。
4、如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为。
5、如图，边长为4的等边△AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动。
在点P的运动过程中，线段BP的中点为点E，将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC。
则在点P从点O到点A的运动过程中，点C所经过的路径长。