动点路径长训练

2017春初三数学（路径）给力训练
1.等边三角形ABC ∆，点(3,0)B -,点(3,0)C ,点
A 在y 轴的正半轴上，点P 从点
B 出发，沿B
C 向点C 运动，AP 绕点A 逆时针旋转60o 得
到AQ ,点P 从点B 运动到点C 过程中，点Q 也随之运动.
（1）点Q 是 （是线段还是弧）；（2）求点Q 运动的路径长.
2.如图，已知点A 是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=﹣x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，
∠APB=30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，求点B 运动的路径长．
3.如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF⊥AE 于F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，求点F 所经过的路径长.
4.如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的AB 上有一运动的点
P ．从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ．设
△OPH 的内心为I ，当点P 在AB 上从点
A 运动到点
B 时，求内心I 所经过的路径长 ．
5.如图，⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，点P 是直线y=-x+6上的一点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，求切线长PQ
的最小值
6.如图，一根木棒(AB)长为2a ，斜靠在与地面(OM )垂直的墙壁(ON )上，与地面的倾斜角（∠ABO ）为60°，当木棒A 端沿NO 向下滑动到A ′，AA ′＝(23-)a ，求B 端沿直线OM 向右滑动到B ′，木棒中点从P 随之运动到P ′所经过的路径长．
7.如图，在直角坐标系中有一块三角板GEF 按图1放置，其中∠GEF=60°，∠G=90°，EF=4．随后三角板的点E 沿y 轴向点O 滑动，同时点F 在x 轴的正半轴上也随之滑动．当点E 到达点O 时，停止滑动．
（1）在图2中，利用直角三角形外接圆的性质说明点O 、E 、G 、F 四点在同一个圆上，并在图2中用尺规方法作出该圆，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）滑动过程中直线OG 的函数表达式能确定吗？若能，请求出它的表达式；若不能，请说明理由； （3）求出滑动过程中点G 运动的路径的总长；
（4）若将三角板GEF 换成一块∠G=90°，∠GEF=α的硬纸板，其它条件不 变，试用含α的式子表示点G 运动的路径的总长．
8.点
A 在反比例函数6
(0)y x x
=>图象上的一个动点,AO OP ⊥,60OAP ∠=︒.点Q 是OA 的中点，点P 与Q 随点A 运动A
而变化，问点A 运动过程中,
（1）点Q 运动路径是什么函数图象，并说明理由. （2）点P 运动路径是什么函数图象，并说明理由. x
y
P
O
A
9.如图，在以O为圆心，2为半径的圆上任取一点A，过点A作AM⊥y轴于点M，AN⊥x轴于点N，点P为MN的中点，当点A沿着圆圈在第一象限内顺时针方向走完45°弧长时，求点P走过的路径长.
10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为2．函数y=-x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点（包括端点）．
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
（4）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s
与t之间的函数关系，并写出t的取值范围；设点M为线段EF的中点，试写出点M的运动轨
迹，并直接写出点M运动轨迹的长度．
11.如图，△ABC在第一象限，其面积为16．点P从点A出发，沿△ABC的边从A-B-C-A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O 的对称点Q，再以PQ为边作等边三角形PQM，点M在第二象限.求点M随点P运动所形成的图形的面积．
12.如图，⊙P在第一象限，半径为3．动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原
点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限.求点C 随点A运动所形成的图形
的面积 .
13.如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．①求证：△ABP≌△ACQ；
②若AB=6，点D是AQ的中点，求当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．
14.边长为2的正方形ABCD的两条对角线交于点O，把BA与CD同时分别绕点B和C逆时针方向旋转，此时正方形ABCD随之变成四边形A′BCD′，设A′C，BD′交于点O，则旋转60°时，求点O运动到点O′所经
过的路径长
15.数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：
如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 、BPEF ．
（1）当点P 运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．
（2）分别连接AD 、DF 、AF ，AF 交DP 于点K ，当点P 运动时，在△APK、△ADK、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由． 问题拓展：
（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8．若点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，向点D 运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长．
（4）如图3，在“问题思考”中，若点M 、N 是线段AB 上的两点，且AM=BN=1，点
G 、H 分别是边CD
、
EF 的中点，请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O
所经过的路径的长及OM+OB 的最小值．
16.已知R t △ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O 是AB 中点，点P 、Q 分别从点A 、C 出发，沿AC 、CB 以每秒1个单位的速度运动，到达点C 、B 后停止。

连结PQ 、点D 是PQ 中点，连结CD 并延长交AB 于点E.
（1）试说明：△POQ 是等腰直角三角形；
（2）设点P 、Q 运动的时间为t 秒，试用含t 的代数式来表示△CPQ 的面积S ，并求出
S 的最大值；
（3）如图2，点P 在运动过程中，连结EP 、EQ ，问四边形PEQC 是什么四边形，并说明理由； （4）求点D 运动的路径长.
（图2）
（图1）
A
17.如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t ≥0）． （1）直接用含t 的代数式分别表示：QB= ，PD= ．
（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长．
18.Rt ABC ∆在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，90C ∠=︒，6AB =，3AC =，点A 在x 轴上由原点O 开始向右滑动，同时点B 在y 轴上也随之向点O 滑动，如图2所示；当点B 滑动至点O 重合时，运动结束。

在上述运动过程中， G 始终以AB 为直径。

（1）试判断在运动过程中，原点O 与⊙G 的位置关系，并说明理由；
（2）设点C 坐标为（x ，y ），试求出y 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C 运动的路径的长。

19.在平面直角坐标系x O y 中，点A 的坐标为（0，2），直线OP 经过原点，且位于一、三象限，∠AOP=45 °（如图1），设点A 关于直线
OP 的对称点为B .
（1）写出点B 的坐标 ；
（2）过原点O 的直线l 从直线OP 的位置开始，绕原点O 顺时针旋转， ①当直线l 顺时针旋转10°到直线l 1的位置时（如图1），点A 关于直线l 1的对称点为C ，则∠BOC 的度数是 ，线段OC 的长为 ； ②当直线l 顺时针旋转55°到直线l 2的位置时（如图2），点A 关于直线l 2的对称点为D ，则∠BOD 的度数是 ； ③直线l 顺时针旋转n °（0＜n ≤90），在这个运动的过程中，点A 关于直线l 的对称点所经过的路径长为 （用含n 的代数式表示）.
x y x y l 1
l 2第25题图
图2图1
A O A O P
P。