中考数学专题复习-路径长
2020年中考数学(线段路径)最值问题解法分类(10种)及试题精练(PDF版带答案)
中考数学专题:线段/路径最值问题线段最值问题解法分类一、定点到定点⇒连线段点P在直线l上，AP+BP何时最小？二、定点到定线⇒作垂线点P在直线l上，AP何时最小？三、定点到定圆⇒连心线点P在圆O上，AP何时最小？线段最值问题一般转化为上述三个问题.例题赏析：1.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN 的周长最小值为．思路：把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2，周长即为P1M+MN+P2N，转化为求P1、P2两点之间最小值，得△PMN最小值为P1P2＝OP＝6.2.如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．思路：点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的连线最小值，即BN'⊥AC时，最小值为2√2.3.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心、1为半径画圆，E是⊙A上一动点，F是BC 上的一动点，则FE+FD的最小值是．思路：点D沿BC翻折至D'，DF+EF＝D'F+EF，转化为求点D'到圆A上各点的最小距离，易求D'E＝4.4.抛物线y=3/5x2-18/5x+3与直线y=3/5x+3相交于A、B两点，点M是线段AB上的动点，直线PM∥y轴，交抛物线于点N．在点M运动过程中，求出MN的最大值.思路：设M（m，3/5m2-18/5m+3），N（m，3/5m+3），用函数关系式表示MN=（3/5m+3）-（3/5m2-18/5m+3）=21/5m-3/5m2，求得最大值即可.5.在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，点E、F分别是边 AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是思路：点E沿AC翻折，转化为点到点的距离.（将军饮马问题实质就是通过翻折转化为定点到定点的问题）6.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为 .思路：取AB中点E，连接DE、OE，由两点间线段最短，得OD≤OE+DE，最大为1+√2.7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP 沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是简解：B'点运动路径为以C为圆心，BC为半径的圆弧，转化为点到圆的最短距离AC-B'C=1.8.如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为 .思路：正六边形最大半径为1/2，与正方形中心重合，E点运动路径为圆，转化为求点到圆的最短距离，如下图.9.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是 .思路：D是定点，C是直线AC上的动点，转化为求点到线的最短距离.10.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F'，求线段EF'长度的最大值与最小值的差.思路：先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F'的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E到圆环的最短和最长距离.E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9，其差为7.2.问：何时需要作辅助线翻折其中的定点（定线或定圆）？答：当动点所在直线不在定点（定线或定圆）之间时，需把定点（定线或定圆）沿动点所在直线翻折以使定点（定线或定圆）处于动点所在直线的两侧，从而便于连接相关线段或作垂线与动点所在直线找到交点.如上述例3，动点F所在直线不在定圆A和定点D之间，因而需把D点沿BC翻折至D'，即可转化为定点D'到定圆A的最短距离，另外亦可把圆A沿BC翻折至另一侧，同样可以转化为定点D到定圆A'的最短距离，如下图.关键方法：动中求定，动点化定线；以定制动，定点翻两边.（1）动中求定，动点化定线：如例7、例8、例10，动点所在路径未画出时需先画出动点所在轨迹，一般动点所在轨迹为线或圆.（2）以定制动，定点翻两边：如例1、例2、例3、例5，定点（线或圆）在动点所在直线同侧时需翻折至两侧，转化为上述三种关系.练1、如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
中考专题1——立体图形中的最短路径问题
中考复习专题1——立体几何中的最短路径问题姓名：（蚂蚁沿阶梯、正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题）1、台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？2、圆柱问题有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐底面圆周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？变式2：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。
问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
ABABcABD C D 1C 1①421AC 1=√42+32=√25;②A B B 1CA 1C 1412AC 1=√62+12=√37;A B 1D 1D A 1C 1③412AC 1=√52+22=√29 .3、正方体问题 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. （A ）3 （B ） 5 （C ）2 （D ）14、长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？分析：展开图如图所示，372925<<路线①即为所求。
小结：长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。
5、圆锥问题 如图，已知O 为圆锥的顶点，MN 为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M 点出发，绕圆锥侧面爬行到N 点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（ ）．A BABA’ABCABC211AB A 1B 1D CD 1C 124ACB D练习：1、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
中考专题复习——最短路径问题
word专业资料-可复制编辑-欢迎下载A B C DABABL A BCDDO CP中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。
（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。
请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。
四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。
4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN第2题张村李庄张村李庄AABB第1题第3题图(2)EBDACP＋MN 的最小值为 。
第4题 第5题 第6题 第7题 5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
中考数学重点难点专题练习-第12讲 运动路径长度问题
中考数学重点难点专题练习-第12讲运动路径长度问题想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等Ps强烈建议：如果您之前没有对上述模型进行过学习，建议您先到学科网搜索下载独家精品出版的：《中考数学几何模型能力提升篇》专题系列资料包，您一定可以大有提升！一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论.二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2 B．2C．D．5【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为．4．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．8．如图，A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），P，C，M按逆时针顺序排列，动点P在线段AB上，∠C＝90°，∠CPM＝30°，请求出当P点从A运动到B点时，点M运动的路径时什么？并求出M点运动路径长度．9．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD 运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段D﹣O﹣C运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t＝1秒时，求动点P、Q之间的距离；（2）若动点P、Q之间的距离为4个单位长度，求t的值；（3）若线段PQ的中点为M，在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为．10．（2019秋•江岸区校级月考）如图，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQ＝AD，点M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为．(看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之)11．如图，在四边形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，CD＝BC．（1）求∠B+∠D的度数．（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．（3）若BC＝2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2＝CE2+BE2，求点E运动路径的长度．12．已知在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝8．（1）如图1，过点O作OE⊥OB，交弧AB于点E，再过点E作EF⊥OA于点F，则FO的长是，∠FEO＝°；（2）如图2，设点P为弧AB上的动点，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN，则①求点P运动的路径长是多少？②MN的长度是否是定值？如果是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）中的条件下，若点D是△PMN的外心，直接写出点D运动的路经长．13．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．（1）求∠OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．14．（2019•兴化市模拟）正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥P A交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2 B．1 C．4 D．15．（2019•武汉模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P 向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（）A．πB．πC．πD．π16．如图，BC是⊙O的直径，BC＝4，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON＝120°，△ABC的内心为E点，当点A在上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（）A．B．C．D．17．（2020•河北模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是边BC上的一个动点，由点B开始运动，运动到C停止．连接AP，以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q．则点P从B运动到C的过程中，点Q的运动路径长为（）A．πB．C．D．118．无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．Q（m，n）是直线l上的点，则（2m﹣n+3）2的值等于．19．如图，已知点C是以AB为直径的半圆的中点，D为弧AC上任意一点，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，若AB＝4，则AE的最小值为．20．如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是．21．如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），点P（0，m），将线段P A绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO+BA的最小值为．22．如图，P为边长为2的正方形ABCD的边BC上一动点，将线段DP绕P逆时针旋转90°得到线段PE （E为D的对应点），M为线段PE的中点，当点P从点C运动到点B的过程中，点M的运动路径长为____________.23．等边△ABC的边长为18，在AC，BC边上各取一点D，E，连接AE，BD相交于点P，若AE＝BD，当D从点A运动到点C时，点P所经过的路径长为．24．（2020•武汉模拟）如图，定直线l经过圆心O，P是半径OA上一动点，AC⊥l于点C，当半径OA绕着点O旋转时，总有OP＝OC，若OA绕点O旋转60°时，P、A两点的运动路径长的比值是．25．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD 于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．26．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：10.《隐圆模型》11.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”12.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”13.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：14.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上15.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上16.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半17.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例18.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等Ps强烈建议：如果您之前没有对上述模型进行过学习，建议您先到学科网搜索下载独家精品出版的：《中考数学几何模型能力提升篇》专题系列资料包，您一定可以大有提升！一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论.二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【分析】解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图，连接OP，AQ，设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，∴＝，∠ABQ＝∠OBP，∴△ABQ∽△OBP，∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，∴AQ＝，又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，∴0°≤∠BOP≤90°，∴0°≤∠BAQ≤90°，∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，∴点Q运动的路径长为＝，故选：D．[本题用《主从联动模型》来接替会更快得到结果]【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ⊥AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，∵∠AFD＝90°，∴点F在以AD为直径的圆上，∴点F运动的路径为，∵弦CD⊥AB且过OB的中点，∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴MQ和ME为中位线，∴MQ＝，∠QME＝60°，∴F运动的路径长度＝＝．故选：A．【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型【解析】连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【分析】解题标签：“线段垂直平分线”产生“平行定距型”【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ，QF=22BQ，∴PE+QF=22（CQ+BQ）=22BC=2×22=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12（PE+QF）=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故答案为：C．[或连接OM，CM，点M运动路径为线段OC中垂线]【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【分析】解题标签：“共顶点模型”、“全等或相似转固定角度法确定动点的直线运动”【解析】（1）∵∠ODB＝45°，∠AOB＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OD＝OB，∵△BDE是等边三角形，∴DE＝BE，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠DEO＝∠BEO，即OE平分∠BED；（2）∵△BOE是等边三角形，∴∠EDB＝60°，∵OB⊥DE，设OD＝x，则OE＝x，∵∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，∴∠DBO＝∠ABD＝∠BAO＝30°，∴BD＝2OD＝2x，AD＝BD＝2x，∵OA＝AD+OD＝3x＝6，解得，x＝2，∴E（0，﹣2）；（3）如图1，在x轴上取点C，使BC＝BA，连接CE，∵∠ABD+∠OBD＝∠CBE+∠OBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAO＝30°，∴当D在OA上滑动时，点E总在与x轴夹角为30°的直线CE上滑动，如图可知，点E运动路径的长度为6．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：8﹣12．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x＝2，∴c＝0，﹣＝2，则b＝﹣4、c＝0，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x；（2）设点B（a，a2﹣4a），∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4），则OA2＝22+42＝20、OB2＝a2+（a2﹣4a）2、AB2＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，①若OB2＝OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a＝2（舍）或a＝，∴B（，﹣），则直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣3，即P（2，﹣3），∴t＝（﹣3+4）÷1＝1；②若AB2＝OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2＝20+a2+（a2﹣4a）2，解得a＝0（舍）或a＝，∴B（，），则直线OB解析式为y＝x，当x＝2时，y＝1，即P（2，1），∴t＝[1﹣（﹣4）]÷1＝5；③若OA2＝AB2+OB2，则20＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18＝0，a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18＝0，a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）＝0，（a﹣3）（a2﹣5a+6）＝0，（a﹣3）2（a﹣2）＝0，则a＝3或a＝2（舍），∴B（3，﹣3），∴直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣2，即P（2，﹣2），∴t＝[﹣2﹣（﹣4）]÷1＝2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5．（3）∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t＝1时，如图1，由（2）知∠OAB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B（，﹣），∴M（，﹣）；当t＝5时，如图2，由（2）知，∠AOB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B（，）、A（2，﹣4），∴M（，﹣）；当t＝2时，如图3，由（2）知，∠OBA＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，∵A（2，﹣4），∴M（1，﹣2）；则点M经过的路径长度为＝．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2 B．2C．D．5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系．设OB＝t，则OA＝5﹣t，∴B（t，0），A（0，5﹣t），∵AP＝PB，∴P（，），令x＝，y＝，消去t得到，y＝﹣x+（0≤x≤），∴点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），∴点P的运动路径的长为＝，故选：C．【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．∵点Q（0，2t），P（6-t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x= 代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【分析】解题标签：“主从联动模型”【解析】22；2；4；26【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为=2 π．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴OP＝AB＝1，∵CM＝MP，CK＝OK，∴MK＝OP＝，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，∴点M运动的路径长＝•2•π•＝，故答案为．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP＝∠BFP∵∠A＝∠FPB，∴AH∥PF，同理，BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵M为EF的中点，∴M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，∴QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，∵∠A＝∠FPB＝60°，∴AH∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：54．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解析】连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AP•AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ为⊙O的切线，点Q运动的路径长为切线长，∵弧AC的度数是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，当点P在C点时，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．【答案】4【解析】如图所示：过点M作GH⊥AD.∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC.在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM.∴MG=MH.∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,∠F2+∠EBF1=90∘,∠BEF1+∠EBF1=90∘，∴∠F2=∠EBF1.∵∠EF1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2.∴，即∴F1F2=8，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2= F1F2=4.故答案为：4.6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．（2）如图1，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，∴∠AOB＝120°，又∵AB＝2，∴OA＝2，点P的路径是l＝＝＝；（3）如图2，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，∴当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为△ABC的中心，过B作BE′⊥AC于E′，∴PC＝BE′，∵△ABC是等边三角形，∴BE′＝BC＝3，∴PC＝2．∴CP长度的最小值是2．方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．【答案】【解析】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，∠PAB=∠PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，∠AED=60°,在Rt△ADO中，∠DOA=90°,∠PAB=30°,AO=1,故AD=,∴AE=AD=,弧APB的长度==。
2020年中考数学二轮核心考点讲解第12讲运动路径长度问题解析版
【中考数学二轮核心考点讲解】第12讲运动路径长度问题想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论. 二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【分析】解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图，连接OP，AQ，设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，∴＝，∠ABQ＝∠OBP，∴△ABQ∽△OBP，∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，∴AQ＝，又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，∴0°≤∠BOP≤90°，∴0°≤∠BAQ≤90°，∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，∴点Q运动的路径长为＝，故选：D．[本题用《主从联动模型》来接替会更快得到结果]【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ⊥AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，∵∠AFD＝90°，∴点F在以AD为直径的圆上，∴点F运动的路径为，∵弦CD⊥AB且过OB的中点，∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴MQ和ME为中位线，∴MQ＝，∠QME＝60°，∴F运动的路径长度＝＝．故选：A．【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型【解析】连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【分析】解题标签：“线段垂直平分线”产生“平行定距型”【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ，QF=22BQ，∴PE+QF=22（CQ+BQ）=22BC=2×22=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12（PE+QF）=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故答案为：C．[或连接OM，CM，点M运动路径为线段OC中垂线]【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【分析】解题标签：“共顶点模型”、“全等或相似转固定角度法确定动点的直线运动”【解析】（1）∵∠ODB＝45°，∠AOB＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OD＝OB，∵△BDE是等边三角形，∴DE＝BE，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠DEO＝∠BEO，即OE平分∠BED；（2）∵△BOE是等边三角形，∴∠EDB＝60°，∵OB⊥DE，设OD＝x，则OE＝x，∵∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，∴∠DBO＝∠ABD＝∠BAO＝30°，∴BD＝2OD＝2x，AD＝BD＝2x，∵OA＝AD+OD＝3x＝6，解得，x＝2，∴E（0，﹣2）；（3）如图1，在x轴上取点C，使BC＝BA，连接CE，∵∠ABD+∠OBD＝∠CBE+∠OBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAO＝30°，∴当D在OA上滑动时，点E总在与x轴夹角为30°的直线CE上滑动，如图可知，点E运动路径的长度为6．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：8﹣12．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x＝2，∴c＝0，﹣＝2，则b＝﹣4、c＝0，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x；（2）设点B（a，a2﹣4a），∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4），则OA2＝22+42＝20、OB2＝a2+（a2﹣4a）2、AB2＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，①若OB2＝OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a＝2（舍）或a＝，∴B（，﹣），则直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣3，即P（2，﹣3），∴t＝（﹣3+4）÷1＝1；②若AB2＝OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2＝20+a2+（a2﹣4a）2，解得a＝0（舍）或a＝，∴B（，），则直线OB解析式为y＝x，当x＝2时，y＝1，即P（2，1），∴t＝[1﹣（﹣4）]÷1＝5；③若OA2＝AB2+OB2，则20＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18＝0，a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18＝0，a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）＝0，（a﹣3）（a2﹣5a+6）＝0，（a﹣3）2（a﹣2）＝0，则a＝3或a＝2（舍），∴B（3，﹣3），∴直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣2，即P（2，﹣2），∴t＝[﹣2﹣（﹣4）]÷1＝2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5．（3）∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t＝1时，如图1，由（2）知∠OAB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B（，﹣），∴M（，﹣）；当t＝5时，如图2，由（2）知，∠AOB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B（，）、A（2，﹣4），∴M（，﹣）；当t＝2时，如图3，由（2）知，∠OBA＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，∵A（2，﹣4），∴M（1，﹣2）；则点M经过的路径长度为＝．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2B．2C．D．5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系．设OB＝t，则OA＝5﹣t，∴B（t，0），A（0，5﹣t），∵AP＝PB，∴P（，），令x＝，y＝，消去t得到，y＝﹣x+（0≤x≤），∴点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），∴点P的运动路径的长为＝，故选：C．【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．∵点Q（0，2t），P（6-t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x= 代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【分析】解题标签：“主从联动模型”【解析】22；2；4；26【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为=2 π．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴OP＝AB＝1，∵CM＝MP，CK＝OK，∴MK＝OP＝，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，∴点M运动的路径长＝•2•π•＝，故答案为．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP＝∠BFP∵∠A＝∠FPB，∴AH∥PF，同理，BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵M为EF的中点，∴M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，∴QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，∵∠A＝∠FPB＝60°，∴AH∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：54．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解析】连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AP•AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ为⊙O的切线，点Q运动的路径长为切线长，∵弧AC的度数是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，当点P在C点时，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．【答案】4【解析】如图所示：过点M作GH⊥AD.∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC.在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM.∴MG=MH.∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,∠F2+∠EBF1=90∘,∠BEF1+∠EBF1=90∘，∴∠F2=∠EBF1.∵∠EF1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2.∴，即∴F1F2=8，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2= F1F2=4.故答案为：4.6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．（2）如图1，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，∴∠AOB＝120°，又∵AB＝2，∴OA＝2，点P的路径是l＝＝＝；（3）如图2，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，∴当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为△ABC的中心，过B作BE′⊥AC于E′，∴PC＝BE′，∵△ABC是等边三角形，∴BE′＝BC＝3，∴PC＝2．∴CP长度的最小值是2．方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．【答案】【解析】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，∠PAB=∠PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，∠AED=60°,在Rt△ADO中，∠DOA=90°,∠PAB=30°,AO=1,故AD=,∴AE=AD=,弧APB的长度==。
中考数学：点动产生路径长问题
点动产生的路径长问题近几年中考，和我们同学做的中考模拟试卷中，不断的出现了因动点计算路径长问题，这种题型因为隐藏的比较深，从而难以发现，计算比较繁琐。
在填空题选择题中比较多。
只要同学们在做题的过程中发现是这种题型，那么点所经过的路径一般就是就是两种结果。
一是线段。
二是圆弧。
为什么呢？因为只有这两图形是可以计算路径长的。
其它图形我们目前能计算路径长吗。
哈哈，这样解释印象有没有很深。
下面我们来看看我们会碰到的几种题型。
题型1：简单的图形翻转问题。
解法：这种题型比较简单。
只要找出旋转圆心，旋转时圆的半径，还有圆心角就可以了，然后利用扇形的弧长计算公式来计算。
注意，如果是圆弧旋转的话，圆心的路径是直线。
例题1：一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为___________试题分析：现将木板沿水平线翻滚， B点从开始至结束走过了4条弧，每条弧是一等边三角形的边为半径的扇形，圆心角为等边三角形的内角，所以 B点从开始至结束所走过的路程长度=4l=点评：本题考查扇形的弧长公式，关键是找出扇形的圆心角和半径，考查学生的空间想象能力例题2：矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是例题3：将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A’O’B’处，则顶点O经过的路线长为。
例题4：如图，一个圆心角为270°，半径为2m的扇形工件，未搬动前如图所示，A，B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是m．（结果保留π）例题5：已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m。
中考数学复习----《弧长的计算》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《弧长的计算》知识点总结与专项练习题（含答案解析） 知识点总结1. 圆的周长计算公式：r C π2=2. 弧长计算公式：︒=180r n l π（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ） 练习题1．（2022•丹东）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC ，OC ，若AB ＝6，∠A ＝30°，则BC ⌒的长为（ ）A ．6πB ．2πC ．πD ．π【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC ＝2∠A ＝60°，求出半径OB ，再根据弧长公式求出答案即可．【解答】解：∵直径AB ＝6，∴半径OB ＝3，∵圆周角∠A ＝30°，∴圆心角∠BOC ＝2∠A ＝60°，∴的长是＝π，故选：D ．2．（2022•广西）如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，∠BAC ＝α，将△ABC 绕点A 逆时针旋转2α，得到△AB ′C ′，连接B ′C 并延长交AB 于点D ，当B ′D ⊥AB 时，BB ′⌒的长是（ ）A ．332πB ．334πC ．938πD ．9310π 【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD 的长度，根据弧长公式即可得出答案．【解答】解：∵CA ＝CB ，CD ⊥AB ，∴AD ＝DB ＝AB ′．∴∠AB ′D ＝30°，∴α＝30°，∵AC ＝4，∴AD ＝AC •cos30°＝4×＝2，∴， ∴的长度l ＝＝π． 故选：B ．3．（2022•河北）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA ，PB 分别与AMB ⌒所在圆相切于点A ，B ．若该圆半径是9cm ，∠P ＝40°，则AMB ⌒的长是（ ）A ．11πcmB ．211π cmC ．7πcmD ．27π cm 【分析】根据题意，先找到圆心O ，然后根据PA ，PB 分别与所在圆相切于点A ，B ．∠P ＝40°可以得到∠AOB 的度数，然后即可得到优弧AMB 对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．【解答】解：OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，OA ，OB 交于点O ，如图，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠P ＝40°，∴∠AOB ＝140°，∴优弧AMB 对应的圆心角为360°﹣140°＝220°，∴优弧AMB 的长是：＝11π（cm ），故选：A ． 4．（2022•湖北）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，以点C 为圆心，CA 的长为半径画弧，交AB 于点D ，则AD ⌒的长为（ ）A ．πB ．34πC ．35πD ．2π【分析】连接CD ，根据∠ACB ＝90°，∠B ＝30°可以得到∠A 的度数，再根据AC ＝CD 以及∠A 的度数即可得到∠ACD 的度数，最后根据弧长公式求解即可．【解答】解：连接CD ，如图所示：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，∴∠A ＝90°﹣30°＝60°，AC ＝＝4，由题意得：AC ＝CD ，∴△ACD 为等边三角形，∴∠ACD ＝60°，∴的长为：， 故选：B ．5．（2022•甘肃）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（AB ⌒），点O 是这段弧所在圆的圆心，半径OA ＝90m ，圆心角∠AOB ＝80°，则这段弯路（AB ⌒）的长度为（ ）A ．20πmB ．30πmC ．40πmD ．50πm【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（）的长度． 【解答】解：∵半径OA ＝90m ，圆心角∠AOB ＝80°，∴这段弯路（）的长度为：＝40π（m ），故选：C ． 6．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m ，高为23m ，则改建后门洞的圆弧长是（ ）A ．π35m B ．π38m C ．π310m D ．（π35+2）m 【分析】先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m），故选：C．7．（2022•枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为．（结果保留π）【分析】由含30度直角三角形的性质求出AB，根据弧长公式即可求出结论．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为＝，故答案为：．8．（2022•沈阳）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则AB⌒的长是（结果保留π）．【分析】连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接OA、OB．∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB＝BC＝DC＝AD，∴＝＝＝，∴∠AOB＝×360°＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，解得：AO＝2，∴的长＝＝π，故答案为：π．9．（2022•大连）如图，正方形ABCD的边长是2，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD 的度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是（结果保留π）．【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD＝45°，AC＝AB＝×＝2，然后利用弧长公式计算的长度．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD＝45°，AC＝AB＝×＝2，∵对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，∴的长度为＝π．故答案为：π．10．（2022•青海）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为cm．【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大，∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OE＝OA＝30cm，∴弧CD的长＝＝20πcm，故答案为：20π．11．（2022•广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧DE⌒的长是．（结果保留π）【分析】连接OD，OE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A＝∠COE，再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．【解答】解：连接OD，OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，∴∠A＝∠COE，∵圆O与边AB相切于点D，∴∠ADO＝90°，∴∠A+∠AOD＝90°，∴∠COE+∠AOD＝90°，∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，∴劣弧的长是＝2π．故答案为：2π．。
2023年九年级数学中考专题复习——最值问题(将军饮马,胡不归,阿氏圆)
牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。
2021中考数学专题复习：圆锥侧面的最短路径问题(附答案详解)
2021中考数学专题复习：圆锥侧面的最短路径问题（附答案详解）1．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A 拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（）A．8 B．11 C．10 D．92．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．33B．332C．32D．23．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（）A．3m B．33m C．35m D．4m4．如图所示，圆锥底面的半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( )5．如图圆柱的底面周长是10cm,圆柱的高为12cm,BC为圆柱上底面的直径,一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点A处爬到上底面点B处，那么它爬行的最短路程为( )A．10cm B．11cm C．13cm D．12cm6．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（）A．8 B．9 C．10 D．117．如图，已知O为圆锥的顶点，MN为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M点出发，绕圆锥侧面爬行到N点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（）A．B．C．D．8．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（）A．B．2C．3D．49．如图，有一个圆锥，高为8 cm ，直径为12 cm ．在圆锥的底边B 点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A 处的食物，则它需要爬行的最短路程是（）A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．11 cm10．已知圆锥的底面半径为r ＝20cm ，高h =2015cm ,现在有一只蚂蚁从底边上一点A 出发．在侧面上爬行一周又回到A 点，求蚂蚁爬行的最短距离．11．请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的高为5dm ，底面半径为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的AC ．如下图（2）所示：设路线1的长度为1l ，则()22222221552525l AC AB AC ππ==+=+=+，路线2：高线AB + 底面直径BC ．如上图（1）所示：设路线2的长度为2l ，则()()2222510225l AB AC =+=+=， ∵()22221225252252580l l ππ-=+-=->，∴2212l l > ∴12l l >，所以要选择路线2较短．（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm ，高AB 为5dm”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：路线1：221l AC ==___________________；22∵21l 22l ，∴1l 2l (填>或<) 所以应选择路线_________(填1或2)较短.(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短．12．如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6.（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC 的度数；（2）如果A 是底面圆周上一点,从点A 拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A 点,求这根绳子的最短长度.13．如图，圆锥母线的长l 等于底面半径r 的4倍，（1）求它的侧面展开图的圆心角．（2）当圆锥的底面半径r ＝4cm 时，求从B 点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B 点的最短路径的长14．（1）解方程：4（x +1）2-169=0；（2）一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是多少？15．圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B 出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?16．如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？17．已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．18．如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是_____．19．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为_____．20．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为__________．21．已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（结果保留根号）22．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为8，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A处的最短路程是_________．23．圆锥的底面周长为23，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为______．24．如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B出发，沿表面爬到母线AC的中点D处，则最短路线长为_____．25．如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm的等边三角形，点是母线的中点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的表面爬行到点处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是_______cm．26．如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6，如果A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,则这根绳子的最短长度是________.27．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为5cm，母线()OE OF长为5cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且2=，一只蚂FA cm蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为____cm．28．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为6 cm，母线OE（OF）长为9cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA = 3cm．在母线OE上的点B处有一只蚂蚁，且EB = 1cm．这只蚂蚁从点B处沿圆锥表面爬行到A点，则爬行的最短距离为cm．29．如图,一个圆柱形水杯深20cm,杯口周长为36cm,在杯子外侧底面A点有一只蚂蚁,它想吃到杯子相对的内壁上点B处的蜂蜜,已知点B距离杯子口4cm,不考虑杯子的厚度,蚂蚁爬行的最短距离为________ 。
中考数学专题复习-几何问题线段的旋转
1.旋转—线段1.在ABC 中，AB AC =，060BAC αα∠=︒︒（＜＜），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ． （1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE ，若45DEC∠=︒，求α的值．解析：（1） 60ABD ABC ∠=∠-︒ 又18019022ABC αα︒-∠==︒- 1190603022ABD αα∴∠=︒--︒=︒- （2）ABE 是等边三角形证明：连接AD 、CD∵60DBC∠=︒，DB BC = ∴BCD 是等边三角形，60BDC ∠=︒，BD DC =又∵AB AC =，AD AD =，∴ABD ACD ≌∴ADB ADC ∠=∠，∴150ADB ∠=︒∵60ABE DBC ∠=∠=︒，∴ABD EBC ∠=∠又∵BD BC =，150ADB ECB ∠=∠=︒∴ABD EBC ≌，∴AB EB = ∴ABE 是等边三角形（3）解：∵BDC 是等边三角形，∴60BCD ∠=︒ ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒又∵45DEC ∠=︒，∴EC DC BC ==, ∴1801801501522BCE EBC CEB ︒-∠︒-︒∠=∠===︒, ∵ 302EBC ABD a ∠=∠=︒-, ∴30α=︒.2.在ABC 中，BA BC =，BAC α∠=，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若60α=︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ,请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2）在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．解析：（1）补全图形，见图1；30CDB ∠=︒（2）猜想：90CDB α∠=︒-证明：如图2 ，连结AD ，PC∵BA BC =，M 是AC 的中点，∴BM AC ⊥∵点D ，P 在直线BM 上，∴PA PC =，DA DC = 又∵DP 为公共边，∴ADP CDP ≌∴DAP DCP ∠=∠，ADP CDP ∠=∠又∵PA PQ =，∴PQ PC =∴DCP PQC ∠=∠，DAP PQC ∠=∠∵180PQC DQP ∠+∠=︒，∴180DAP DQP ∠+∠=︒∴在四边形APQD 中，180ADQ APQ ∠+∠=︒∴2APQ α∠=，∴1802ADQ α∠=︒- ∴9012CDB ADQ α∠=∠=︒-（3）4560α︒︒＜＜提示：由（2）知90CDB α∠=︒-，且PQ QD =QPD CDB ∴∠=∠∴21802PQC QPD CDB CDB PAD PCQ α∠=∠+∠=∠=︒-=∠=∠∵点P 不与点B ，M 重合，∴MAD PAD BAD ∠∠∠＜＜∴18022ααα︒-＜＜，∴4560α︒︒＜＜3.如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A ，B 重合），点F 在BC 边上（不与点B ，C 重合）． 第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ；第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ；依此操作下去…（1）图2中的EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为____________，求此时线段EF 的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH ．①请判断四边形EFGH 的形状为____________，此时AE 与BF 的数量关系是_________；②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及y 的取值范围．（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．解析：（1）由旋转可得：EF FD DE == DEF ∴为等边三角形∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BCAB ===，90A B C ∠=∠=∠=︒ ∵ED FD =，∴ADE CDF ≌ ∴AE CF =，BE BF =∴三角形BEF 是等腰直角三角形设BE 的长为x ，则DE EF==，4AE x =- 在Rt ADE 中，222DE AD AE =+∴ 2224)4()x =+-解得14x =-+，24x =--（舍去）∴EF ==-+（2）①四边形EFGH 的形状为正方形，此时AE BF = ．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：由旋转性质可知，EF FG GH HE === ，∴ 四边形EFGH 的形状为正方形．12902390∠+∠=︒∠+∠=︒， ，13∴∠=∠ ．34902390∠+∠=︒∠+∠=︒， ，24∴∠=∠ ．在AEH 与BFE 中，1324EH EF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AEH BFE ASA ∴≌（）AE BF ∴= ．②利用①中结论，易证AEH BFE CGF DHG 、、、均为全等三角形，BF CG DH AE x ∴==== ，4AH BE CF DG x ====- ．在Rt BEF 中，222EF BE BF =+∴2224281(60)4y x x x x x =-+=-+（＜＜） ∵222816(228)y x x x =-+=-+∴当2x =时，y 取得最小值8；当0x =时，16y =∴y 的取值范围是816y ≤＜（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4-．如答图2所示，粗线部分是由线段EF 经过7次操作所形成的正八边形．设边长EF FG x == ，则BF CG x == ，422BC BF FG CG x x x =++=++=，解得：4x =-．4.已知，四边形ABCD 是正方形，点P 在直线BC 上，点G 在直线AD 上（P 、G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD PG =，DFPG ⊥于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PE ，连结EF ．（1）如图1，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时．①求证：2DG PC =；②求证：四边形PEFD 是菱形；（2）如图2，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 的延长线上时，猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．解析：（1）①作PM AD ⊥于点M∵PD PG =，∴MG MD =又∵MD PC =，∴2DG PC =②∵PG FD ⊥于H ，∴90DGHADF ∠+∠=︒ 又∵90ADF AFD ∠+∠=︒∴DGP AFD ∠=∠∵四边形ABCD 是正方形，PMAD ⊥于点M ∴90A PMD ∠=∠=︒，PMAD = ∴PMG DAF ≌，∴DF PG =∵PG PE =，∴DFPE = ∵DF PG ⊥，PE PG ⊥，∴DF PE∴四边形PEFD 是平行四边形又∵PE PD =，∴PEFD 是菱形（2）四边形PEFD 是菱形证明：∵四边形ABCD 是正方形，DHPG ⊥于H ∴90ADC DHG ∠=∠=︒∴90CDG DHG ∠=∠=︒∴90CDP PDG ∠+∠=︒，90GDHG ∠+∠=︒ ∵PD PG =，∴PDG G ∠=∠∴CDP GDH ∠=∠∴CDP ADF ∠=∠又∵AD DC =，90FAD PCD ∠=∠=︒∴PCD FAD ≌，∴DF PD =∵PD PG PE ==，∴DF PE =又∵FD PG ⊥，PE PG ⊥，∴DF PE ∴四边形PEFD 是平行四边形又∵DFPD =，∴平行四边形PEFD 是菱形5.如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且DE 平分ADF ∠．（1）求证：AE CF DF +=；（本小问不予评分，自行查看解析） （2）当FE 平分BFD ∠时（如图2），将线段DF 绕点F 逆时针旋转45︒，旋转后的线段分别交AD 、ED 于点P 、Q ，若正方形ABCD 的边长为4，求PEQ 的面积．解析：（1）证明：将ADE 绕点D 顺时针旋转90︒到CDG则AE CG =，ADE CDG ∠=∠，AED G ∠=∠∵AB DC ，∴AED EDC ∠=∠ ∴G EDC ∠=∠∵ADE EDF ∠=∠，∴CDG EDF ∠=∠∴FDG FDC CDG FDC EDFEDC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴G FDG ∠=∠，∴DFFG = ∵CFCG FG +=，∴AE CF DF +=（2）过E 作EG DF ⊥于G 则ADE GDE ≌，BEF GEF ≌∴2AE GE BE ===，∴DE =∵AD BC ，∴180ADF BFD ∠+∠=︒ ∵DE 平分ADF ∠，FE 平分BFD ∠∴180ADFBFD ∠+∠=︒ ∴90EDFDFE ∠+∠=︒，∴90DEF ∠=︒∴EDF ADE ∽，∴EF =5DF =∴3CF=，1BF = 过Q 作QH DF ⊥于H ，设QH x =45,DFP FH QH x ∠=︒∴== 又21,tan tan 42AE ADE EDH ADE EDH AD ∠=∠∴∠====∠ 2DH x ∴=∴25x x +=，∴ 53x = ，∴ 553DQ =， 523QF =∴3EQ DE DQ =-=，∴15EQ DQ = 过E 作EIBF 交PF 于I ，则EI 是梯形ABFP 的中位线 设EI t =，11,55EQ DP EQ DQ EI DQ =∴== 5DP t ∴=，45AP t =-∴ 4511()2t t =-+， 57t = ，∴ 257DP =过P 作PK DE ⊥于K ，则 25sin7PK PD ADE =⋅∠==∴ 112522342PEQ EQ PK S ⋅=⨯==6.在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，DE BC ⊥，垂足为点E ，连接CD ．（1）如图1，DE 与BC 的数量关系是___________；（2）如图2，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系_____________．解析：（1）9030ACB A ∠=︒∠=︒， ，60B ∴∠=︒ ，点D 是AB 的中点，DB DC ∴= ，DCB ∴ 为等边三角形，DE BC ⊥ ，2DE BC ∴=；故答案为2DEBC =（或BC =）（2）BF BP += （或()2BF BP DE +=）证明：∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒∴60ABC ∠=︒∵D 是AB 的中点，∴12CD AB BD == ∴DCB 是等边三角形，∴60CDB PDF ∠=∠=︒∴CDP BDP BDFBDP ∠+∠=∠+∠ 即CDP BDF ∠=∠又∵DP DF =，∴CDP BDF ≌ ∴CP BF =∵BC BP CP =+，∴BC BP BF =+，∵sin60DE BC CD ===︒∴BP BF += （3）如图，与（2）一样可证明DCP DBF ≌ ，CP BF ∴= ，而CP BC BP =+ ，BF BP BC ∴-= ，BF BP ∴-=（或)2BF BP DE -=）7.在ABC 中，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，D 是AC 的中点，E 为射线DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DF ，连接FC ，过点F 作FG FC ⊥，交直线AB 于点G ． （1）如图1，当点E 在线段DC 上时，判断FG 与FC 的数量关系并加以证明；（2）如图2，当点E 在线段DC 的延长线上时，其它条件不变，你在（1）中得到的结论是否成立，请说明理由；（3）当点E 从DC 的中点M 移动到C 点时，直接写出线段FG 的中点N 所经过的路径长．解析：（1）FG FC =证明：连接EF ，延长DF 交AB 于H∵90EDF ACB ∠=∠=︒，∴DH BC∵D 是AC 的中点，∴H 为AB 的中点，12DC AC = ∴DH 是ABC 的中位线，∴12DH BC = ∵AC BC =，∴DC DH =∵DE DF =，∴CE FH =∵90EDF∠=︒，FG FC ⊥ ∴90ECFDFC ∠+∠=︒，90HFG DFC ∠+∠=︒ ∴ECFHFG ∠=∠ ∵DEF 和ADH 都是等腰直角三角形∴45DEFAHD ∠=∠=︒，∴135CEF FHG ∠=∠=︒ ∴CEF FHG ≌，∴FG FC =（2）成立证明：连接EF ，设DF 交AB 于H同理可证CE FH =，45CEF FHG ∠=∠=︒90ECF FCB ∠=︒+∠，90HFG DFC ∠=︒+∠∵DF BC ，∴DFC FCB ∠=∠∴ECF HFG ∠=∠，∴CEF FHG ≌∴FG FC =（3）线段FG 的中点N 所经过的路径长为 2提示：延长DF 交AB 于H ，取DH 中点P ，连接PC 、PN 、CN则2CD DP =，2CFFN = ∴CDP CFN ∽，∴DCP FCN ∠=∠∴DCF PCN ∠=∠∵2CD DP =，2CFFN =∴2CP CD =，2CN = ∴CP CD CN CF= ，∴CDF CPN ∽ ∴90CPNCDF ∠=∠=︒ ∴90FPN DPC ∠=︒-∠，是定值∴线段FG 的中点N 所经过的路径是一条线段当点E 与点M 重合时，F 是DH 的中点连接MF 、CG ，则MF 是DCH 的中位线由（1）知，CMF FHG ≌ ∴1122HG MF CH BH === 当点E 与点C 重合时，点G 与点B 重合，此时N 为BH 的中点∴点N 所经过的路径长即为图中NG 的长∵4AC BC ==，∴2CD =，1DF =，FG FC ==∴2NG=8.已知90ACD ∠=︒，AC DC =，MN 是过点A 的直线，DB MN ⊥于点B ．（1）如图1，求：BD AB +=；（2）当MN 绕点A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，猜想BD 、AB 、CB 满足的关系式，并给予证明；（3）在MN 在绕点A 旋转过程中，当30BCD ∠=︒，BD =时，则CD =_________，CB =_________．解析：（1）证明：如图1，过点C 作CE CB ⊥，交MN 于点E∵90ACB ACE ∠+∠=︒，90ACB BCD ∠+∠=︒∴ACE BCD ∠=∠∵四边形ACDB 内角和为360︒∴180D CAB ∠+∠=︒∵180EAC CAB ∠+∠=︒，∴EACD ∠=∠ 又AC DC =，∴ACE DCB ≌ ∴AE DB =，CECB = ∴ECB 为等腰直角三角形∴BE =又BE AE AB =+，∴BE BD AB =+∴BD AB +=（2）图2中，AB BD -=；图3中，BD AB -=证明：如图2，过点C 作CECB ⊥，交MN 于点E ∵90ACB ACE ∠-∠=︒，90ACB BCD ∠-∠=︒∴ACE BCD ∠=∠∵90ACD ABD ∠=∠=︒，∴EACD ∠=∠ 又AC DC =，∴ACE DCB ≌ ∴AE DB =，CECB = ∴ECB 为等腰直角三角形 ∴2BE CB =又BE AB AE =-，∴BE AB BD =-∴AB BD -=如图3，过点C 作CECB ⊥，交MN 于点E ∵90ACEACB ∠=︒+∠，90BCD ACB ∠=︒+∠ ∴ACE BCD ∠=∠∵90ABD ACD ∠=∠=︒，∴EACD ∠=∠ 又AC DC =，∴ACE DCB ≌ ∴AE DB =，CECB = ∴ECB 为等腰直角三角形∴BE =又BE AE AB =-，∴BE BD AB =-∴BD AB -=（3）2CD =，1CB =-1+提示：过点C 作CE CB ⊥，交MN 于点E ，连接AD , ACD 和ECB 都是等腰直角三角形∴45CAD CEB ∠=∠=︒∵ACE DCB ≌，∴30ACE BCD ∠=∠=︒当C 、D 两点在直线MN 异侧时则15EAC ∠=︒，∴30BAD ∠=︒∵BD =AE BD ==，AD =AB =∴2CD =∵AB BD -=-=∴1CB =-当C 、D 两点在直线MN 同侧时45ABC ADC ∠=∠=︒，∴30BAD BCD ∠=∠=︒∵BD =AE BD ==，AD =AB =∴2CD =∵BD AB +==∴1CB =+9.在ABCD 中，过点C 作CE CD ⊥交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段EF （如图1）．（1）在图1中画图探究：①当1P 为射线CD 上任意一点（1P 不与C 点重合）时，连结1EP ，将线段1EP 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段1EG ，判断直线1FG 与直线CD 的位置关系并加以证明；②当2P 为线段DC 的延长线上任意一点时，连结2EP ，将线段2EP 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段2EG ，判断直线12G G 与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若6AD =，43tanB =，1AE =，在①的条件下，设1CP x =，11PFG S y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．解析：（1）①直线1FG 与直线CD 的位置关系为互相垂直．证明：如图，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．∵线段EC 、1EP 分别绕点E 逆时针旋转90︒依次得到线段EF 、1EG ．∴1190PEG CEF ∠=∠=︒，11EG EP =，EF EC =． ∵1190G EFPEF ∠=︒-∠，1190PEC PEF ∠=︒-∠． ∴11G EFPEC ∠=∠，∴11G EF PEC ≌． ∴1190G FEPCE ∠=∠=︒，∴90EFH ∠=︒，∴90FHC ∠=︒． ∴1FG CD ⊥．②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B ADC ∠=∠．∵6AD =，1AE =，43tanB =．∴5DE =，43tan EDC tanB ∠==． 可得4CE= 由（1）可得四边形FECH 为正方形∴4CHCE ==①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时11G EF PEC ≌（已证） 11FG CP x ∴==四边形ABCD 为平行四边形B D ∴∠=∠1,6,AE AD ==5ED ∴= 又4tan 3B ∠= 4EC ∴=四边形EFHC 中90,90,90CEF EOD FDH ∠=︒∠=︒∠=︒且EF EC =∴四边形EFHC 为正方形4CH EC ∴==114PH CP CH x ∴=-=-． ∴1112111()222142P FG FG P S x x H x x ⋅==-=- 即22412y x x x =-（＞） ②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C 、H 两点重合）时∵11FG CP x ==，14PH x =-． ∴11211(11·4222)12P FG S FG PH x x x x ==-=-+ 即224120y x x x =-+（＜＜） ③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG 不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是212(4)2x x yx ->= 或224120y x x x =-+（＜＜）．10.在ABC 中，AB AC =，D 为BC 中点，CE 为AB 边的高，点M 在AB 边上，点N 在线段CE 上，且DM DN ⊥．（1）如图l ，当45B ∠=︒时，线段AM 与CN 的数量关系为___________；（2）如图2，当30B ∠=︒时，求证：132ME AB -=； （3）如图3，在（2）的条件下，将射线DM 绕点D 顺时针旋转30︒，交AC 边于点F ，连接MF 、MN ，若:BM CN =MN =MF 的长．解析：（1）AM CN =提示：连接AD ，∵AB AC = ，45B ∠=︒ ，∴90BAC ∠=︒ ，45C ∠=︒ ，∵D 为BC 边上的中点，∴AD BD DC == ，且AD BC ⊥ ，∴45DAB B C ∠=∠=︒=∠∵MD DN ⊥ ，∴90MDA AND ∠+∠=︒ ，且90AND NDC∠+∠=︒ ， ∴MDA NDC ∠=∠ ，在ADM 与CDN 中，DAB C AD CDMDA NDC ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩CB∴ADM CDN ≌（2）连接AD∵AB AC = ，D 为BC 中点，30B ∠=︒∴AD BC ⊥ ，30C B ∠=∠=︒ ，60BAD CAD ∠=∠=︒∵CE 为AB 边的高，∴60DCN∠=︒ ∵DMDN ⊥ ，∴ADM CDN ∠=∠ ∴ADM CDN ∽∴tan303AM AD CN CD ==︒= ，∴3AM = ∵1122ME AM AE AC AB -===∴132ME AB -=（3）由:BM CN =CN =，则5BM k =由（2）知3AM=，∴AM k =∴6AB k AC == ，132AE AC k == ，4ME k = ，CE =，NE = 在Rt MEN 中，222ME NE MN +=∴2224)()k +=，解得2k = （舍去负值）∴12AB = ，10BM = ，6AE = ，2AM = ，CE =BC =，BD CD ==连接AD，6AD ===,由（2）知ADM CDN ∽∴3DM AD AD DN CD BD===，∴30MND B MDF ∠=︒=∠=∠∴12DM MN ==∵30MDF B ∠=∠=︒ ，∴150BMD BDM ∠+∠=︒ ，150CDF BDM ∠+∠=︒∴BMD CDF ∠=∠ ，∴BMD CDF ∽ ，∴BM MD CD DF= ∵BD CD = ，∴BM MD BD DF= ∴BMD DMF ∽ ，∴MF MD MD BM =10= ，∴14 2.85MF ==。
专题十 圆的综合问题-2023年中考二轮专题复习(原卷版)(全国适用)
专题十圆的综合问题一、非动态问题例题1如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 作EF AC ⊥于点E ，交AB 的延长线于点F ，连接AD ．(1)求证：EF 是O 的切线．(2)求证：FBD FDA △△∽．(3)若4DF =，2BF =，求O 的半径长．练习题1．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ．(1)如图①，以点B 为圆心，BC 为半径作圆弧交AB 于点M ，连结CM ，若∠ABC ＝66°，求∠ACM ；(2)如图②，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，求证：AE ＝EC ；(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若tanA ＝34，求S △ADE ：S △ACM 的值．2．如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交斜边AB 于点M ，若H 是AC 的中点，连接MH ．(1)求证：MH 为O 的切线．(2)若32MH =，34AC BC =，求O 的半径．(3)如图2，在（2）的条件下分别过点A 、B 作O 的切线，两切线交于点D ，AD 与O 相切于点N ，过N 点作NQ BC ⊥，垂足为E ，且交O 于Q 点，求线段AO 、CN 、NQ 的长度．3．如图，点P 在y 轴的正半轴上，P 交x 轴于B 、C 两点，以AC 为直角边作等腰Rt △ACD ，BD 分别交y 轴和P 于E 、F 两点，连接AC 、FC ，AC 与BD 相交于点G ．(1)求证：ACF ADB =∠∠；(2)求证：CF DF =；(3)DBC ∠=______°；(4)若3OB =，6OA =，则△GDC 的面积为______．4．如图，四边形ABCD 内接于半圆O ，BC 是半圆O 的直径，CE 是半圆O 的切线，CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ，14DE BC =，OE 与CD 相交于点F ，连接BF 并延长交AE 的延长线于点G ，连接CG ．(1)求证：AD BC ∥．(2)探究OF 与BF 的数量关系．(3)求tan GBC ∠的值．5．【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．【数学理解】如图①，在O 中，AB 是弦，OP AB ⊥，垂足为P ，则OP 的长是弦AB 的弦心距．(1)若O 的半径为5，OP 的长为AB 的长为______．(2)若O 的半径确定，下列关于AB 的长随着OP 的长的变化而变化的结论：①AB 的长随着OP 的长的增大而增大；②AB 的长随着OP 的长的增大而减小；③AB 的长与OP 的长无关．其中所有正确结论的序号是______．(3)【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°．(4)已知如图②给定的线段EF 和O ，点Q 是O 内一定点．过点Q 作弦AB ，满足AB EF =，请问这样的弦可以作______条．6．已知O 为ACD ∆的外接圆，AD CD =．(1)如图1，延长AD 至点B ，使BD AD =，连接CB ．①求证：ABC ∆为直角三角形；②若O 的半径为4，5AD =，求BC 的值；(2)如图2，若90ADC ∠=︒，E 为O 上的一点，且点D ，E 位于AC 两侧，作ADE ∆关于AD 对称的图形ADQ ∆，连接QC ，试猜想QA ，QC ，QD 三者之间的数量关系并给予证明．7．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在△ABC 和△DEF 中，若∠A +∠E ＝∠B +∠D ＝90°，且AB ＝DE ，则△ABC 和△DEF 是余等三角形．(1)图2，等腰直角△ABC ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），则图中△________和△________是余等三角形，并求证：AD 2+BD 2＝2CD 2．(2)图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为5，且AD 2+BC 2＝100，①求证：△ABC 和△ADC 是余等三角形．②图4，连接BD 交AC 于点I ，连接OI ，E 为AI 上一点，连接EO 并延长交BI 于点F ，若∠ADB ＝67.5°，IE ＝IF ，设OI ＝x ，S △y 关于x 的函数关系式．8．如图1，在等腰ABC 中，AB AC ==120BAC ∠=︒，点D 是线段BC 上一点，以DC 为直径作O ，O 经过点A ．(1)求证：AB 是O 的切线；(2)如图2，过点A 作AE BC ⊥垂足为E ，点F 是O 上任意一点，连结EF ．①如图2，当点F 是DC 的中点时，求EF BF的值；②如图3，当点F 是O 上的任意一点时，EF BF 的值是否发生变化？请说明理由．(3)在（2）的基础上，若射线BF 与O 的另一交点G ，连结EG ，当90GEF ∠=︒时，直接写出EF EG -的值．9．【证明体验】（1）如图1，过圆上一点A 作O 切线AD ，AC 是弦（不是直径），若AB 是直径，连接BC ，求证：DAC ABC ∠=∠；（2）如图2，若AB 不是直径，DAC ∠______ABC ∠（填“＞”、“<”或“=”）；（3）如图3，（1）、（2）的结论是否成立，说明理由；【归纳结论】（4）由以上证明可知：切线与弦的夹角等于它所夹的弧对的______；【结论应用】（5）如图4，ABC 内接圆于O ，弦BE AB ⊥，交AC 于F ，过点A 作O 的切线AD ，交EB 的延长线于点D ．若6AD =，2sin 3ACB ∠=，求线段BE 的长．10．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD 中，若∠A=∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形(1)如图①，半圆O的直径为BC，OA⊥OB，点E在过点A的切线上，且BE=BA，点D 是AC 上的动点（不在点A、C上），求证：四边形AEBD为准平行四边形．(2)如图②，准平行四边形ABCD内接于⊙O，∠B≠∠D，若⊙O的半径为5，AB=AD，则①准平行四边形ABCD的面积S是线段AC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；②准平行四边形ABCD的面积S有最大值吗？如果有求出最大值，如果没有，说明理由．二、动点问题例题2（2021·浙江温州·三模）如图，在⊙O中，AB是直径，点D在圆内，点C在圆上，CD⊥半径OA于点E，延长AD交⊙O于F点，连结BF．当点M从点C匀速运动到点D 时，点N恰好从点B匀速运动到点A，且M，N同时到达点E．(1)请判断四边形ACBF 的形状，并说明理由．(2)连结AM 并延长交⊙O 于点G ，连结OG ，DN ．记CM ＝x ，AN ＝y ，已知y ＝12．①求出AE 和BF 的长度．②当M 从C 到E 的运动过程中，若直线OG 与四边形BFDN 的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x 的值．练习题1．（2021·浙江温州·一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，E 是线段AB 上的一个动点，经过A ，D ，E 三点的⊙O 交线段AC 于点K ，交线段CD 于点H ，连接DE 交线段AC 于点F ．(1)求证：AE ＝DH ；(2)连接DK ，当DE 平分∠ADK 时，求线段DE 的长；(3)连接HK ，KE ，在点E 的运动过程中，当线段DH ，HK ，KE 中满足某两条线段相等时，求出所有满足条件的AE 的长．2．（2022·河北·石家庄外国语教育集团一模）已知，在半圆O 中，直径AB =6，点C ，D 在半圆AB 上运动，（点C ，D 可以与A ，B 两点重合），弦CD =3．(1)如图1，当∠DAB=∠CBA 时，求证：△CAB ≌△DBA ；(2)如图2，若∠DAB =15°时，求图中阴影部分（弦AD 、直径AB 、弧BD 围成的图形）的面积；(3)如图3，取CD 的中点M ，点C 从点A 开始运动到点D 与点B 重合时结束，在整个运动过程中：①点M 到AB 的距离的最小值是___________；②直接写出点M 的运动路径长___________．3．（2022·湖南长沙·九年级期中）已知O 为ABC ∆的外接圆，AC BC =，点D 是劣弧 AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC ．(1)如图1，若AB 是直径，将ACD ∆绕点C 逆时针旋转得到BCE ∆．若4CD =，求四边形ADBC 的面积；(2)如图2，若AB AC =，半径为2，设线段DC 的长为x ．四边形ADBC 的面积为S ．①求S 与x 的函数关系式；②若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置．DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化．求所有t 值中的最大值，并求此时四边形ADBC 的面积S ．4．（2022·广东·深圳中学一模）（1）【基础巩固】如图1，△ABC 内接于⊙O ，若∠C ＝60°，弦AB =r ＝______；（2）【问题探究】如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，点B 为弧AC 上一动点（不与点A ，点C 重合）求证：AB ＋BC ＝BD（3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段AD 、AB 、BC ）和一条道路劣弧 CD围成，已知CM DM =千米，∠DMC ＝60°， CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M 另外三个入口分别在点C 、D 、P 处，其中点P 在 CD 上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM 、MC 、CP 、PD ，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP 的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．5．（2022·四川·绵阳市桑枣中学一模）在矩形ABCD 中，5AB cm =，BC 10cm =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点时就停止移动，设两点移动的时间为t 秒，解答下列问题：(1)如图1，当t 为几秒时，PBQ △的面积等于24cm ？(2)如图2，以Q 为圆心，PQ 为半径作Q ．在运动过程中，是否存在这样的t 值，使Q 正好与四边形DPQC 的一边(或边所在的直线)相切？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．6．（2022·广东深圳·一模）在O 中，弦CD 平分圆周角ACB ∠，连接AB ，过点D 作DE //AB 交CB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若1tan3CAB ∠=，且B 是CE 的中点，O ，求DE 的长．(3)P 是弦AB 下方圆上的一个动点，连接AP 和BP ，过点D 作DH BP ⊥于点H ，请探究点P 在运动的过程中，BH AP BP +的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．7．（2021·四川德阳·二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AO ⊥BC 于点O ，OE ⊥AB 于点E ，以点O 为圆心，OE 为半径作半圆，交AO 于点F ．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若点F 是OA 的中点，OE ＝3，求图中阴影部分的面积；(3)在（2）的条件下，点P 是BC 边上的动点，当PE ＋PF 取最小值时，直接写出BP 的长．8．（2022·湖南永州·一模）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于D ，过D 点作O 的切线DE 交AC 于E ．(1)求证：DE AC ⊥；(2)若10AB =，3cos 5ABC ∠=，求DE 的长；(3)在（2）的条件下,若P 为线段BD 上一动点，过P 点作BC 的垂线交AB 于N ，交CA 的延长线于M ，求证：PN PM +是定值，并求出定值是多少？9．（2022·江苏·南通市海门区东洲国际学校一模）[问题提出](1)如图1，已知线段AB ＝4，点C 是一个动点，且点C 到点B 的距离为2，则线段AC 长度的最大值是________；[问题探究](2)如图2，以正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，E 为半圆O 上一动点，若正方形的边长为2，求AE 长度的最大值；[问题解决](3)如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，AC＝BC＝120米，∠ACB ＝30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分 BPC需满足∠BPC＝60°．为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由．10．（2021·江苏南京·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=BC＝6，∠B＝45°，点E为CD上一动点，经过A、C、E三点的⊙O交BC于点F．(1)【操作与发现】当E运动到AE CD⊥处，利用直尺与圆规作出点E与F．（保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，证明AF ABAE AD=．(3)【探索与证明】点E运动到任何一个位置时，求证AF AB AE AD=．(4)【延伸与应用】点E在运动的过程中，直接写出EF的最小值______．三、动圆问题例题3（2021·山东威海·一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，点O 在射线AC 上（点O 不与点A 重合），过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，以点O 为圆心，OD 为半径画半圆O ，分别交射线AC 于E ，F 两点，设OD =x ．(1)如图1，当点O 为AC 边的中点时，则x =；(2)如图2，当点O 与点C 重合时，连接DF ，求弦DF 的长；(3)若半圆O 与BC 无交点，则x 的取值范围是．练习题1．（2022·江苏·常州市武进区前黄实验学校一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 落在x 轴上，点B 的坐标为()1,0-，3AB =，6BC =，边AD 与y 轴交于点E ．(1)直接写出点A 、C 、D 的坐标；(2)在x 轴上取点()3,0F ，直线()0y kx b k =+≠经过点E ，与x 轴交于点M ，连接EF ．①当15MEF ∠=︒时，求直线()0y kx b k =+≠的函数表达式；②当以线段EM 为直径的圆与矩形ABCD 的边所在直线相切时，求点M 的坐标．9．（2021·江苏镇江·一模）如图1，ABC 中，5AB =，AC =7BC =，半径为r 的O 经过点A 且与BC 相切，切点M 在线段BC 上（包含点M 与点B 、C 重合的情况）．(1)半径r 的最小值等于__________．(2)设BM =x ，求半径r 关于x 的函数表达式；(3)当BM =1时，请在图2中作点M 及满足条件的O ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗）10．（2022·浙江温州·一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，且∠ABE ＝∠CBF ，延长BE 交CD 的延长线于点G ，H 为BG 中点，连结CH 分别交BF ，AD 于点M ，N ．(1)求证：BF CH ⊥．(2)当FG ＝9时．①求tan FBG ∠的值．②在线段CH 上取点P ，以E 为圆心，EP 为半径作E （如图），当E 与四边形ABMN 某一边所在直线相切时，求所有满足条件的HP 的长．11．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图：已知线段5AM =，射线AS 垂直于AM ，点N 在射线AS 上，设AN n =，点P 在经过点N 且平行于AM 的直线上运动，PAM ∠的平分线交直线NP 于点Q ，过点Q 作QB AP ∥，交线段AM 于点B ，连接PB 交AQ 于点C ，以Q 为圆心，QC 为半径作圆．(1)求证：PB 与Q 相切；(2)已知Q 的半径为3，当AM 所求直线与Q 相切时，求n 的值及PA 的长；(3)当2n 时，若Q 与线段AM 只有一个公共点，则Q 的半径的取值范围是______．四、圆的图形变换问题例题4平面上，矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图摆放，分别延长DA 和QP 交于点O ，且∠DOQ ＝60°，OQ ＝OD ＝3，OP ＝2，OA ＝AB ＝1．让线段OD 及矩形ABCD 位置固定，将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着点O 按逆时针方向形如旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现（1）当α＝0°，即初始位置时，点P____直线AB 上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ 经过点B ？（2）在OQ 旋转过程中．简要说明α是多少时，点P ，A 间的距离最小？并指出这个最小值：（3）如图，当点P 恰好落在BC 边上时．求α及S 阴影．拓展如图．当线段OQ 与CB 边交于点M ，与BA 边交于点N 时，设BM ＝x （x ＞0），用含x 的代数式表示BN 的长，并求x 的取值范围．探究当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值．练习题1．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕6AB =，求O 的半径．2．如图，已知AB 为O 的直径，CD 为弦．CD =AB 与CD 交于点E ，将CD沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，延长BA 至P ，使AP OA =，连接PC ．(1)求O 的半径；(2)求证：PC 是O 的切线；(3)点N 为 ADB 的中点，在PC 延长线上有一动点M ，连接MN 交AB 于点G ．交 BC 于点F的值．（F与B、C不重合）．求NG NF3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，O是AC的中点，以点O为圆心在AC的右侧作半径为3的半圆O，分别交AC于点D、E，交AB于点G、F．(1)思考：连接OF，若OF⊥AC，求AF的长度；(2)探究：如图2，将线段CD连同半圆O绕点C旋转．①在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值；②若半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，连接AK，求AK的长．4．如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为圆心、OB的长为半径作优弧AB，使C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为4．点A点的左上方，且tan∠AOB(1)S扇形AOB＝；(2)点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为；(3)在（2）的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP<180°时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，顺时针旋转a（0°≤a≤360°），①连接CP，AD．在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；②直接写出在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围．5．如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．(1)AG ＝；(2)如图2，将半圆O 绕点E 逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O 的对应点为O ′，点F 的对应点为F ′，设M 为半圆O ′上一点．①当点F ′落在AD 边上时，求点M 与线段BC 之间的最短距离；②当半圆O ′交BC 于P ，R 两点时，若PR 的长为53π，求此时半圆O ′与正方形ABCD 重叠部分的面积；③当半圆O ′与正方形ABCD 的边相切时，设切点为N ，直接写出tan ∠END 的值．6．如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦，AB 与CD 交于点M ，将弧CD 沿着CD 翻折后，点A 与圆心O 重合，延长OA 至P ，使AP =OA ，链接PC ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）点G 为弧ADB 的中点，在PC 延长线上有一动点Q ，连接QG 交AB 于点E ，交弧BC 于点F （F 与B 、C 不重合）．问GE ▪GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．7．如图，在ABE △中，BE AE >，延长BE 到点D ，使DE BE =，延长AE 到点C ，使CE AE =．以点E 为圆心，分别以BE 、AE 为半径作大小两个半圆，连结CD ．（1）求证：AB CD =；（2）设小半圆与BD 相交于点M ，24BE AE ==．①当ABE S 取得最大值时，求其最大值以及CD 的长；②当AB 恰好与小半圆相切时，求弧AM 的长．8．在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP ' ．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与 AB 所在的圆相切于点B ．①求APO ∠'的度数．②求AP 的长．（2）如图2，BO '与 AB 相交于点D ，若点D 为 AB 的中点，且//PD OB ，求 AB 的长．9．如图，矩形ABCD 中，4=AD ，AB m =（4m >），点P 是DC 上一点（不与点D ，C 重合），连接AP ，APQ 与APD △关于AP 对称，PM 是过点A ，P ，Q 的半圆O 的切线，且PM 交射线AB 于点M ．（1）当AP PM =时，半圆O 与AB 所围成的封闭图形的面积为___________；（2）当Q 在矩形ABCD 内部时，①判断PAQ ∠与AMP ∠是否相等，并说明理由；②若3tan 4PAQ ∠=，求AM 的长；（3）当14DP DC =时，若点Q 落在矩形ABCD 的对称轴上，求m 的值及此时半圆O 落在矩形ABCD 内部的弧长．10．如图1，在正方形ABCD 中，10AB =，点O 、E 在边CD 上，且2CE =，3DO =，以点O 为圆心，OE 为半径在其左侧作半圆O ，分别交AD 于点G ，交CD 延长线于点F ．（1）AG =________．（2）如图2，将半圆O 绕点E 逆时针旋转()0180αα︒<<︒，点O 的对应点为O '，点F 对应点为F '，当半圆O '交BC 于P 、R 两点时，若弧PR 的长为5π3，求此时半圆O '与正方形ABCD 重叠部分的面积．（3）当半圆O '与正方形ABCD 相切时，设切点为N ，直接写出tan END ∠的值．11．如图⊙O 中直径AB ＝2，点E 是AB 的中点，点C 是AE 上的一个动点，将CB 沿线段BC 折叠交AB 于点D ．（1）如图1，当∠ABC ＝20°时，求此时 AC 的长．（2）如图2，连结AC ，当点D 与点О重合时，求此时AC 的长．（3）设AC ＝x ，DO ＝y ，请直接写出y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围．12．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝15，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．（1）当∠DPQ ＝10°时，求∠APB 的大小．（2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）．（3）若点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边所在直线上时，直接写出PB 旋转到PQ 时点B 经过的路径的长（结果保留π）．13．如图1，四边形ABCD 是正方形，且AB ＝8，点O 与B 重合，以O 为圆心，作半径长为5的半圆O ，交BC 于E ，交AB 于F ，交AB 延长线于G 点，M 是半圆O 上任一点；发现：AM 的最大值为，S 阴影＝．如图2，将半圆O 绕点F 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．思考：（1）若点C 落在半圆O 的直径GF 上，求圆心O 到AB 的距离；（2）若α＝90°，求半圆O 落在正方形内部的弧长；探究：在旋转过程中，若半圆O 与正方形的边相切，求点A 到切点的距离．【注：sin37°＝35，sin53°＝45，tan37°＝34】14．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，O 是AD 的中点，以O 为圆心，在AD 的下方作半径为3的半圆O ，交AD 于点E ，F ．（1）思考：连接BD ，交半圆O 于点G 、H ，求GH 的长；（2）探究：将线段AP 连带半圆O 绕点A 顺时针旋转，得到半圆O '，设其直径为E F ''，旋转角为α（0180α<<︒）；①设F '到直线AD 的距离为m ，当72m >时，求α的取值范围．②若半圆O '与线段AB 相切，或半圆O '与线段BC 相切，设切点为R ，直接写出 F R '的长．（3sin 494︒=，3cos 414︒=，3tan 374︒=，结果保留π）15．如图1，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，6BC =，O 是AC 的中点，以点O 为圆心在AC 的右侧作半径为3的半圆O ，分别交AC 于点D 、E ，交AB 于点G 、F ．思考：连接OF ，若OF AC ⊥，求AF 的长度；探究：如图2，将线段CD 连同半圆O 绕点C 旋转．（1）在旋转过程中，求点O 到距离的最小值；（2）若半圆O 与Rt ABC 的直角边相切，设切点为K ，连接AK ，求AK 的长．16．如图，在矩形ABCD 中，4=AD ，30BAC ∠=︒，点O 为对角线AC 上的动点（不与A 、C 重合），以点O 为圆心在AC 下方作半径为2的半圆O ，交AC 于点E 、F ．（1）当半圆O 过点A 时，求半圆O 被AB 边所截得的弓形的面积；（2）若M 为 EF的中点，在半圆O 移动的过程中，求BM 的最小值；（3）当半圆O 与矩形ABCD 的边相切时，求AE 的长．17．如图1，扇形OAB 的半径为4，∠AOB ＝90°，P 是半径OB 上一动点，Q 是 AB 上一动点．（1）连接AQ 、BQ 、PQ ，则∠AQB 的度数为；（2）当P 是OB 中点，且PQ ∥OA 时，求 AQ的长；（3）如图2，将扇形OAB 沿PQ 对折，使折叠后的 QB'恰好与半径OA 相切于点C ．若OP ＝3，求点O 到折痕PQ 的距离．18．如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，以MN 为直径的半圆O 按如图所示位置摆放，点M 与点A 重合，点N 在边AC 的中点处，点N 从现在的位置出发沿AC CB -方向以每秒2个单位长度的速度运动，点M 随之沿AC CB -下滑，并带动半圆O 在平面内滑动，设运动时间为t 秒（0t ≥），点N 运动到点B 处停止，点P 为半圆中点．（1）如图2，当点M 与点A 重合时，连接OP 交边AB 于E ，则EP 为____________；（2）如图3，当半圆的圆心O 落在了Rt ABC ∆的斜边AB 的中线时，求此时的t ，并求出此时CMN ∆的面积；（3）在整个运动的过程中，当半圆与边AB 有两个公共点时，求出t 的取值范围；（4）请直接写出在整个运动过程中点P 的运动路径长．19．如图1，矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，以AD 为直径在矩形ABCD 内作半圆O ．（1）若点M 是半圆O 上一点，则点M 到BC 的最小距离为________；（2）如图2，保持矩形ABCD 固定不动，将半圆O 绕点A 顺时针旋转α()090α︒<<︒度，得到半圆O'，则当半圆O'与BC相切时，求旋转角α的度数；AD'与边BC有交点时，求tanα的取值范围．（3）在旋转过程中，当20．如图，半圆O的直径4AB=，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P 点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．发现 AP的长与 QB的长之和为定值l，求l；思考点M与AB的最大距离为_______，此时点P，A间的距离为_______；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为________．探究当半圆M与AB相切时，求 AP的长．（注：结果保留π，cos35= ，cos55=。
2020年中考数学专题突破二十：连锁轨迹— —动点在直线上产生的动点轨迹问题
专题二十：连锁轨迹——动点在直线上产生的动点轨迹问题【导例引入】导例：如图：A是定点，动点B从O(0,0)运动到C(8,0). 点M为线段AB的中点，①画出线段AB的中点M运动的路径②M运动的路径的长是.分析：求解动点运动问题的关键是把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”．首先要分清运动的轨迹是线段还是弧，然后确定起始点和终止点，再作出相应的草图就能解决问题动点B和M的关系可定义为：B叫做主动点，M叫做从动点.如果：①动点的初始位置②动点的中途位置③动点的终止位置三点在一条直线上，那么可以初步判断动点的运动路径是．【方法指引】注意画图分析：第一步：画出△BDE的初始位置和终止位置第二步：标出①点的初始位置②点的中途位置③点的终止位置第三步：判断动点的运动路径，计算其长度导例答案：(1)线段M1M2即为点M的运动路径；【例题精讲】类型一：动点产生的路径与最值问题例1．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以为边向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为．【分析】连接CF，由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得∠ABD=∠ACF=45°，可得CF⊥BC，即点F在过点C且垂直BC的直线上，则当PF⊥CF时，PF的值最小，即可求PF的最小值．类型二：动点产生的路径长问题例2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，∠BAC=90°，点D在AB边上且BD=4cm，过点D作DE⊥AB交BC于点E．（1）求DE的长；（2）若动点P从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向终点A运动，连结PE，设点P运动的时间为t秒．当S△PDE=6cm2时，求t的值；（3）若动点P从点D出发沿着DA方向向终点A运动，连结PE，以PE为腰，在PE右侧按如图方式作等腰直角△PEF，且∠PEF=90°．当点P从点D运动到点A时，求点F运动的路径长（直接写出答案）．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答；（2）分点P 在线段BD 上和点P 在线段AD 上两种情况，根据三角形的面积公式计算；（3）证明△PDE ≌△EHF ，根据全等三角形的性质、结合图形解答即可．【专题过关】1．如图，在△ABC 中，BC ＝8，M 是边边 BC 上一动点，连接 AM ，取 AM的中点 P ，随着 点 M 从点 B 运动到点 C ，求动点 P 的路径长为 ．2. 已知线段AB ＝6，C 、D 是AB 上两点，且AC ＝DB ＝1，P 是线段CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF ，G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移动的路径长度为_______．3. 如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．连结PQ ，M 为线段PQ 的中点，则在整个运动过程中，M 点所经过的路径长为 ．4.如图，在Rt ABC ∆中，6,8AC BC ==，90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点，点D 是AC延长线上的一个定点，连接PD ，过点D 作DE PD ⊥，连接PE ，且2tan 5DPE ∠=，当点P 从点A 运动到点B 时，点E 运动的路径长为 .5.如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，点E 在边AD 上，且AE ：ED=1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交射线BC 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为 ．6．如图，已知AB=9，点E 是线段AB 上的动点，分别以AE ，EB 为底边在线段AB 的同侧作等腰直角△AME 和△BNE ，连接MN ，设MN 的中点为F ，当点E 从点A 运动到点B 时，则点F 移动路径的长是7．如图所示，点E 坐标为(﹣1,0)，点B 坐标为(0,2)，等腰直角△BDC 的直角端点D 从D(0,0)运动到D(2,0)时，（1）画出线段EC 的中点M 运动的路径；（2）EC 的中点M 运动的路径的长是多少？8.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点P 是AB 边上的一个动点，连接CP ，过点P 作PC 的垂线交AD 于点E ，以PE 为边作正方形PEFG ，顶点G 在线段PC 上，对角线EG ，PF 相交于点O ．（1）若AP=1，则AE= ；（2）①求证：点O 一定在△APE 的外接圆上；②当点P 从点A 运动到点B 时，点O 也随之运动，求点O 经过的路径长；（3）当点P 运动至AB 中点时，求线段CO 的长．9．正方形ABCD 的边长为2，动点E 在边AB ，AD 上运动，连接CE ，以CE 为边作正方形CEFG （点C 、E ，F ，G 按顺时针方向排列），连接DG ．问题解决：（1）如图（1），当点E 在AB 上运动时，求证：△BEC ≌△DGC ；（2）如图（2），当点E 在AD 上运动时，点M 是FG 的中点，连接CM ．若DG=CM ，则AE 的长为 ；（3）如图（1），点E 沿边AB 由点B 运动到点A 时，求点F 的运动路径的长．10．如图，平面直角坐标系中，直线AB ：y=－31x+b 交y 轴于点A （0，2），交X 轴于点B ．过点E （2，0）作X 轴的垂线EF 交AB 于点D ，P 是射线DF 上一动点，设P （2，n ）．（1）B点坐标为；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）以PB为斜边作等腰直角△BPC，且点C始终在第一象限．①若S△AEP=2，求点C的坐标．②若点P从（2，2）运动到（2，4），则点C运动的路径长为11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，连结EG、FG．（1）求证：△AME≌△DMF；（2）在点E的运动过程中，探究：①△EGF的形状是否发生变化，若不变，请判断△EGF的形状，并说明理由；②线段MG的中点H运动的路程最长为多少（直接写出结果）？（3）设AE=x，△EGF的面积为S，求当S=6时，求x的值．12．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG，FG．（1）试判断△EGF的形状，并说明理由；（2）设AE=x，△EGF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）若P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．13．在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝Rt∠，直线AQ交y轴于点C．（1）当a＝1时，则点Q的坐标为多少；（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a为多少时，AQ+BQ的值最小，最小值为多少？例题答案：例1．连接CF．∵∠CAB=90°，AB=AC=4，P为AC中点，∴∠ABC=∠ACB=45°，AP=PC=2．∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，且AB=AC，AD=AF．∴△ABD≌△ACF（SAS）．∴∠ABD=∠ACF=45°．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．∴CF⊥BC．∴点F在过点C且垂直BC的直线上运动．∴当PF⊥CF时，PF的值最小．∴PF的最小值==．例2．（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．∵DE⊥AB，∴∠B=∠BED=45°．∴DE=BD=4cm；（2）当点P在线段BD上时，S△PDE=×DP×DE=×4×（4-2t）=6，整理得4-2t=3，解得t=0.5．当点P在线段AD上时，S△PDE=×DP×DE=×4×（2t-4）=6，整理得2t-4=3，解得t=3.5．综上所述，t=0.5或3.5；（3）点F运动的路径长为10-4．理由如下：如图，连接AE，过点E作EF1⊥DE，且使EF1=ED，过点E作EF2⊥DE，且使EF2=AE，∴∠DEF1F=90°，∠AEF2=90°∴∠DEA＝∠F1EF2．∴△DEA≌△F1EF2．∴AD=F1F2=10-4．∴当P从点D运动到点A时，点F运动的路径为线段F1F2，该线段的长度=AD=10-4．【专题过关】1.4．2.如图，分别延长AE、BF交于点H．∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF．∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE．∴四边形EPFH为平行四边形．∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．∵CD=6-1-1=4，∴MN=2，即G的移动路径长为2．3. 以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，依题意，可知0≤t≤3，当t=0时，点M1的坐标为（4，0）；当t=3时，点M2的坐标为（，3）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，则解得∴直线M1M2的解析式为y=-2x+8．∵点Q（0，2t），P（8-t，0），∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为（，t）．把x=，代入y=-2x+8，得y=-2×+8=t．∴点M3在M1M2直线上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=3，M1N=．∴M1M2=．∴线段PQ中点M所经过的路径长为单位长度．4.分析：点E的运动路径是一条线段，点E运动的路径长就是线段E1E2的长度.于是提出猜想一“在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点共线时，从动点的运动路径为线段”.∵1190E DE PDE ∠+∠=︒，1190PDP PDE ∠+∠=︒， ∴11PDP E DE ∠=∠.又∵1125DE DE DP DP ==， ∴11E DE PDP ∆∆．∴11DEE DPP ∠=∠.同理22E DEP DP ∆∆，可得22DEE DPP ∠=∠. 又∵12180DPP DPP ∠+∠=︒，∴12180DEE DEE ∠+∠=︒.∴点1E ，点E ，点2E 三点共线.∵121290E DE PDE ∠+∠=︒，121290PDP PDE ∠+∠=︒，∴1212PDP E DE ∠=∠.∵121225DE DE DP DP ==，∴1212E DE PDP ∆∆．∴121225E E PP =.∵1210PP =，∴124E E =.5.如图所示：过点M 作GH ⊥AD ．∵AD ∥CB ，GH ⊥AD ，∴GH ⊥BC ．在△EGM 和△FHM 中，∴△EGM ≌△FHM ．∴MG=MH ．∴点M 的轨迹是一条平行于BC 的线段．当点P 与A 重合时，BF 1=AE=2；当点P 与点B 重合时，∠F 2+∠EBF 1=90°，∠BEF 1+∠EBF 1=90°，∴∠F 2=∠EBF 1．∵∠EF 1B=∠EF 1F 2，∴△EF 1B ∽△∠EF 1F 2． ∴21111F F EF EF BF =．∴21662F F =．∴F 1F 2=18．∵M 1M 2是△EF 1F 2的中位线，∴M 1M 2=21F 1F 2=9．6．如图，分别延长AM 、BN 交于点C ．∵∠A=∠BEN=45°，∴AC ∥EN ．同理可得，BC ∥EM ．∴四边形MENC 为平行四边形，∴CE 与MN 互相平分．∵F 为MN 的中点，∴F 为CE 中点．当点E 从点A 运动到点B 时，F 始终为CE 的中点．故F 的运行轨迹为△CAB 的中位线，点F 移动路径的长等于AB 的一半．∴F 的移动路径长为21×9=29．7．设OD=t,作CH ⊥OA 于H,可得△BOD ≌DHC ，∴CH=OD=t ，DH=BO=2。
中考数学专卷2020届中考数学总复习(27)图形的旋转-精练精析(1)及答案解析
图形的变化——图形的旋转1一．选择题（共9小题）1．如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（）A．（a﹣2，b）B．（a+2，b）C．（﹣a﹣2，﹣b）D．（a+2，﹣b）2．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70° B．65° C．60° D．55°3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A．B．C．D．π4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（）A．6 B．4 C．3 D．35．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A． B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30° B．60° C．90° D．150°7．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）A．2﹣B．C．﹣1 D．18如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（）A．πB．6πC．3πD．1.5π9．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°二．填空题（共8小题）10．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=_________ ．11如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E 的对应点为F，则∠EAF的度数是_________ ．12．如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为_________ ．13．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于_________ ．14．如图，在△A BC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为_________ ．15如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是_________ ．16．如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为_________ ．17如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A 顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=_________ ．三．解答题（共7小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．19．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．20．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2．21．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为_________ cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．22．正方形ABCD中，E是CD边上一点，（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是_________ ，∠AFB=∠_________（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2．23．（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．24．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）证明：△ABE≌△C1BF；（2）证明：EA1=FC；（3）试判断四边形ABC1D的形状，并说明理由．图形的变化——图形的旋转1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（）A．（a﹣2，b）B．（a+2，b）C．（﹣a﹣2，﹣b）D．（a+2，﹣b）考点：坐标与图形变化-旋转．专题：压轴题．分析：先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解．解答：解：由图可知，△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，设点P′的坐标为（x，y），所以，=﹣1，=0，解得x=﹣a﹣2，y=﹣b，所以，P′（﹣a﹣2，﹣b）．故选C．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是（﹣1，0）是解题的关键．2如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°考点：旋转的性质．专题：几何图形问题．分析：根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．解答：解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．故选：B．点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A．B C．D．π考点：旋转的性质；弧长的计算．专题：几何图形问题．分析：利用锐角三角函数关系得出BC的长，进而利用旋转的性质得出∠BCB′=60°，再利用弧长公式求出即可．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，∴cos30°=，∴BC=ABcos30°=2×=，∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，∴∠BCB′=60°，∴点B转过的路径长为：=π．故选：B．点评：此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点B转过的路径形状是解题关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（）A． 6 B4C3D．3考点：旋转的性质．专题：几何图形问题．分析：利用直角三角形的性质得出AB=4，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出AB′=2，进而得出答案．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠CAB=30°，故AB=4，∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，∴AB=A′B′=4，AC=A′C，∴∠CAA′=∠A′=30°，∴∠ACB′=∠B′AC=30°，∴AB′=B′C=2，∴AA′=2+4=6．故选：A．点评：此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质等知识，得出AB′=B′C=2是解题关键．5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A．B C D．考点：旋转的性质；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．解答：解：连接AC1，∵四边形AB1C1D1是正方形，∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1，∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，∴∠B1AB=45°，∴∠DAB1=90°﹣45°=45°，∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，∵正方形ABCD的边长是1，∴四边形AB1C1D1的边长是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1==，则DC1=﹣1，∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，∴∠C1OD=45°=∠DC1O，∴DC1=OD=﹣1，∴S△ADO=×OD•AD=，∴四边形AB1OD的面积是=2×=﹣1，故选：C．点评：本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30°B60°C．90°D．150°考点：旋转的性质．专题：几何图形问题．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△A′AC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后根据旋转角的定义解答即可．解答：解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故选：B．点评：本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．7．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）A．2﹣B．C．﹣1 D．1考点：旋转的性质．分析：连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解．解答：解：如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C=90°，AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′D=×2=1，∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故选：C．点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．8．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（）A．πB6πC．3πD．1.5π考点：旋转的性质；弧长的计算．专题：计算题．分析：根据弧长公式列式计算即可得解．解答：解：的长==1.5π．故选：D．点评：本题考查了旋转的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．9．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°考点：旋转的性质．专题：计算题．分析：先根据平行线的性质得∠DCA=∠CAB=65°，再根据旋转的性质得∠BAE=∠CAD，AC=AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC=∠DCA=65°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，于是有∠BAE=50°．解答：解：∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD，∴∠ADC=∠DCA=65°，∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，∴∠BAE=50°．故选：C．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．二．填空题（共8小题）10．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=55°．考点：旋转的性质．分析：根据题意得出∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，即可得出∠A的度数．解答：解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，∠A′DC=90°，∴∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，则∠A=∠A′=55°．故答案为：55°．点评：此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出∠A′的度数是解题关键．11．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是60°．考点：旋转的性质；等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．解答：解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，∴旋转角为60°，E，F是对应点，则∠EAF的度数为：60°．故答案为：60°．点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．12如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为12﹣4．考点：旋转的性质；菱形的性质．分析：根据菱形的性质得出DO的长，进而求出S正方形DNMF，进而得出S△ADF即可得出答案．解答：解：如图所示：连接AC，BD交于点E，连接DF，FM，MN，DN，∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC⊥BD，四边形DNMF是正方形，∠AOC=90°，BD=2，AE=EC=，∴∠AOE=45°，ED=1，∴AE=EO=，DO=﹣1，∴S正方形DNMF=2（﹣1）×2（﹣1）×=8﹣4，S△ADF=×AD×AFsin30°=1，∴则图中阴影部分的面积为：4S△ADF+S正方形DNMF=4+8﹣4=12﹣4．故答案为：12﹣4．点评：此题主要考查了菱形的性质以及旋转的性质，得出正确分割图形得出DO的长是解题关键．13．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于﹣1 ．考点：旋转的性质；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，进而求出阴影部分的面积．解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．14．如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB、CA′相交于点D，则线段BD的长为 6 ．考点：旋转的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：利用平行线的性质以及旋转的性质得出△CAD∽△B′A′C，再利用相似三角形的性质得出AD的长，进而得出BD的长．解答：解：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，∴AC=CA′=4，AB=B′A′=2，∠A=∠CA′B′，∵CB′∥AB，∴∠B′CA′=∠D，∴△CAD∽△B′A′C，∴=，∴=，解得AD=8，∴BD=AD﹣AB=8﹣2=6．故答案为：6．点评：此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△CAD∽△B′A′C是解题关键．15．如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作半圆．若AB=4，则阴影部分的面积是2π．考点：旋转的性质．分析：首先计算出圆的面积，根据图示可得阴影部分面积为半圆的面积，进而可得答案．解答：解：∵AB=4，∴BO=2，∴圆的面积为：π×22=4π，∴阴影部分的面积是：×4π=2π，故答案为：2π．点评：此题主要考查了旋转的性质，关键是掌握圆的面积公式．16．如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为2﹣．考点：旋转的性质．专题：几何图形问题．分析：利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．解答：解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A′B=1，∴BD=，∴A′D=﹣1，∴在Rt△DA′E中，DE==2﹣．故答案为：2﹣．点评：此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．17．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A 顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=1342+672．考点：旋转的性质．专题：规律型．分析：由已知得AP1=，AP2=1+，AP3=2+；再根据图形可得到AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；每三个一组，由于2013=3×671，则AP2013=（2013﹣671）+671，然后把AP2013加上即可．解答：解：AP1=，AP2=1+，AP3=2+；AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；∵2013=3×671，∴AP2013=（2013﹣671）+671=1342+671，∴AP2014=1342+671+=1342+672．故答案为：1342+672．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．三．解答题（共7小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．考点：旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．专题：几何图形问题．分析：（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；（2）四边形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四边形ACFD是菱形．点评：此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC是等边三角形是解题关键．19如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．考点：旋转的性质；正方形的判定；平移的性质．专题：几何图形问题．分析：（1）根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE、FG的位置关系是垂直；（2）根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形．解答：（1）解：FG⊥ED．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG⊥ED；（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，∵CG∥EB，∴∠BCG=∠CBE=90°，∴∠BCG=90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB=BE，∴四边形CBEG是正方形．点评：此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．20在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2．考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．专题：作图题．分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．解答：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示．点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为4cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．考点：几何变换综合题．专题：几何综合题．分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案；（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，此时DP+EP值为最小，进而得出答案；（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．解答：解：（1）∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm，∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴CD=AC÷cos30°=12÷=12×=8（cm），∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=4cm．故答案为：4；（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE，∴△ADE为等边三角形，∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°，∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′，∴点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′，∵△ADE是等边三角形，AD=AE=4，∴DD′=2×AD×=2×6=12，即DP+EP最小值为12cm；（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=4，在△ABD′和△CBD′中，，∴△ABD′≌△CBD′（SSS），∴∠D′BG=45°，∴D′G=GB，设D′G长为xcm，则CG长为（6﹣x）cm，在Rt△GD′C中x2+（6﹣x）2=（4）2，解得：x1=3﹣，x2=3+（不合题意舍去），∴点D′到BC边的距离为（3﹣）cm．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质和锐角三角函数关系以及等边三角形的判定与性质等知识，利用垂直平分线的性质得出点E，D′关于直线AC对称是解题关键．22．正方形ABCD中，E是CD边上一点，（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是BF ，∠AFB=∠AED（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．分析：（1）直接根据旋转的性质得到DE=BF，∠AFB=∠AED；（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，根据旋转的性质得∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，而∠PAQ=45°，则∠PAE=45°，再根据全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，则PE=PQ，于是PE=PB+BE=PB+DQ，即可得到DQ+BP=PQ；（3）根据正方形的性质有∠ABD=∠ADB=45°，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，根据旋转的性质得∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，与（2）一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK，由于∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，得到△BMK为直角三角形，根据勾股定理得BK2+BM2=MK2，然后利用等相等代换即可得到BM2+DN2=MN2．解答：解：（1）∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，∵DE=BF，∠AFB=∠AED．故答案为BF，AED；（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，则∠D=∠ABE=90°，即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，∵∠PAQ=45°，∴∠PAE=45°，∴∠PAQ=∠PAE，在△APE和△AP Q中∵，∴△APE≌△APQ，∴PE=PQ，而PE=PB+BE=PB+DQ，∴DQ+BP=PQ；（3）∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°，如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，与（2）一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK，∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，∴△BMK为直角三角形，∴BK2+BM2=MK2，∴BM2+DN2=MN2．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．23．（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A 与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．考点：旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质．分析：（1）根据题意得出△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，进而得出∠PBQ=90°，再利用勾股定理得出∠PQC的度数，进而求出∠BQC的度数；（2）由题意可得出：△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，进而得出∠PP'C=90°，即可得出∠BPA的度数．解答：解：（1）连接PQ．由旋转可知：，QC=PA=3．又∵ABCD是正方形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，即∠PBQ=90°，∴∠PQB=45°，PQ=4．则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2．即∠PQC=90°．故∠BQC=90°+45°=135°．（2）将此时点P的对应点是点P′．由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．又∵△ABC是正三角形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，得∠PBP′=60°，又∵P′B=PB=5，∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，∴PC2=PP′2+P′C2．即∠PP′C=90°．故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．点评：此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理逆定理和正方形的性质等知识，熟练利用勾股定理逆定理得出是解题关键．24．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）证明：△ABE≌△C1BF；（2）证明：EA1=FC；（3）试判断四边形ABC1D的形状，并说明理由．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；菱形的判定．分析：（1）利用全等三角形的判定结合ASA得出答案；（2）利用全等三角形的性质对边相等得出答案；（3）首先得出四边形ABC1D是平行四边形，进而利用菱形的判定得出即可．解答：（1）证明：∵等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，∴AB=BC1=A1B=BC，∠ABE=∠C1BF，∠A=∠C1=∠A1=∠C，在△ABE和△C1BF中，，∴△ABE≌△C1BF（ASA）；（2）证明：∵△ABE≌△C1BF，∴EB=BF．又∵A1B=CB，∴A1B﹣EB=CB﹣BF，∴EA1=FC；（3）答：四边形ABC1D是菱形．证明：∵∠A1=∠C=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，∠A1=∠C=∠ABA1=∠CBC1．∴AB∥C1D，AD∥BC1，∴四边形ABC1D是平行四边形∵AB=BC1，∴四边形ABC1D是菱形．点评：此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．。
中考数学复习专题(五)解直角三角形的实际应用(含答案)
（湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH 为5003米，桥的长度为1255米． ①求点H 到桥左端点P 的距离；②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度A B ．【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米．②设BC ⊥HQ 于C ．在Rt △BCQ 中，∵BC =AH =5003，∠BQC =30°， ∴CQ =tan 30BC︒=1500米，∵PQ =1255米，∴CP =245米，∵HP =250米，∴AB =HC =250﹣245=5米．答：这架无人机的长度AB 为5米．.考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．（内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角030=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角060=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7.求（1）单摆的长度（7.13≈）；（2）从点A 摆动到点B 经过的路径长（1.3≈π）.【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm（2）从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=12 x，在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=32x，由PQ=OQ﹣OP 3﹣12x=7，解得：x3（cm），.答：单摆的长度约为18.9cm；（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB3，∴∠AOB=90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为907+73180π⨯（）≈29.295，答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹.（湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD 两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【答案】4.2m．考点：解直角三角形的应用．（海南第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度B C．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）【答案】水坝原来的高度为12米．.考点：解直角三角形的应用，坡度.（乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，,B C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救≈≈≈，结果取整数）援的艇的航行速度.(sin370.6,cos370.8,3 1.732【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．【解析】试题分析：辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求AD，在Rt△BCE中，根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AC，再根据路程÷时间=速度求解即可．试题解析：辅助线如图所示：答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题（浙江省绍兴市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）【答案】（1）38°；（2）20.4m．【解析】试题分析：（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．试题解析：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．考点：1．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2．应用题；3．等腰三角形与直角三角形．（·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．2. （·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．3.（·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．4. （·辽宁丹东·10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°在Rt△ADB中，tan64°=，则BD=≈AB，在Rt△ACB中，tan48°=，则CB=≈AB，∴CD=BC﹣BD即6=AB﹣AB解得：AB=≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米．5.（·四川宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A 点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．6.（·湖北黄石·8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．（·湖北荆门·6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小和小明同时分别从A处和B 处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小的行走速度为米/秒．若小明与小同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设AD =x 米，小明的行走速度是a 米/秒， ∵∠A =45°，CD ⊥AB ，∴AD =CD =x 米， ∴AC =x ．在Rt △BCD 中， ∵∠B =30°， ∴BC ===2x ，∵小的行走速度为米/秒．若小明与小同时到达山顶C 处，∴=，解得a =1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．8.（·四川内江）(9分)如图，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。
中考数学狙击重难点系列专题25----与平面展开有关的最短路径问题(含答案)
与平面展开有关的最短路径问题1. 如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A. cmB. cmC. cmD. ９cm2. 如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A. （4+）cm B. 5cm C. 2cm D. 7cmπ3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（）A. 15 dmB. 20dmC. 25dmD. 30dm4. 已知AB是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过PB上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是（）A. MB. NC. SD. T5. 2015年是国际“光”年，某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 15cm6. 如图，圆柱形容器的底面周长是24cm，高为17cm，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（）A. 20cmB. 8 cmC. cmD. 24cm7. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）A. 20cmB. 2 cmC. （12+2 ）cmD. 18cm8. 如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少________cm．9. 在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 ________cm．（结果保留π）10. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是________．11. 如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为5m的半圆，其边缘AB=CD=20cm，小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为________m．（π取3）12. 如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB^BC，图中阴影是草地，其余是水面。
中考数学考点解读复习试题(求最短路径问题)
求最短路径问题最短路径问题在中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切．类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？【思路点拨】方案一管道长为CE＋DF，方案二管道长为PC＋PD，利用垂线段最短即可比较出大小．【解答】按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：∵CE⊥AB，DF⊥AB，而AB与CD不垂直，∴根据“垂线段最短”，可知DF＜DP，CE＜CP，∴CE＋DF＜CP＋DP，∴沿CE、DF铺设管道更节省材料．本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．1．(保定一模)如图，点A的坐标为(－1，0)，点B(a，a)，当线段AB最短时，点B的坐标为( )A．(0，0) B．(22，－22) C．(－22，－22) D．(－12，－12)2．(杭州模拟)在直角坐标系中，点P落在直线x－2y＋6＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )A.352B．3 5 C.655D.103．(内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为________．4．(碑林区期中)如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题(乐陵模拟)(1)如图1，直线同侧有两点A，B，在直线MN上求一点C，使它到A、B之和最小；(保留作图痕迹不写作法)(2)知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短；(保留作图痕迹不写作法)(3)解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；(保留作图痕迹不写作法)②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．【思路点拨】(1)根据两点之间线段最短，作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN 于C，即可解决；(2)作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD交OA、OB于E、F，此时△PEF周长有最小值；(3)①取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，PQ的长度即为△AMN的周长最小值；②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．【解答】(1)作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，则此时C 点符合要求．图1 图2 图3(2)作图如图．(3)①作图如图．②∵∠BAE＝125°，∴∠P＋∠Q＝180°－125°＝55°.∵∠AMN＝∠P＋∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠P＋∠Q)＝2×55°＝110°.“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．1．(内江)如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( )A. 3 B．2 3 C．2 6 D. 62．(遵义)如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )A．50°B．60° C．70° D．80°3．(攀枝花)如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE 的最小值为________．4．(鄂州)如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为________．5．(凉山)菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E(0，－1)，当EP ＋BP 最短时，点P 的坐标为____________．6．(广元改编)如图，已知抛物线y ＝－1m (x ＋2)(x －m)(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧．(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m 的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH ＋CH 最小，并求出点H 的坐标．7．(成都改编)如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例y ＝3x (k 为常数，且k ≠0)的图象交于A ，B 两点．在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．8．如图所示，已知点A 是半圆上的三等分点，B 是AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一动点，⊙O 的半径为1，请问：P 在MN 上什么位置时，AP ＋BP 的值最小？并给出AP ＋BP 的最小值．9．(达州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，∠AOC 的平分线交AB 于点D ，E 为BC 的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数y ＝45x 2＋bx ＋c 的图象抛物线经过A ，C 两点． (1)求该二次函数的表达式；(2)F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接D 、E 、F 、G 构成四边形DEFG ，求四边形DEFG 周长的最小值；(3)抛物线上是否在点P ，使△ODP 的面积为12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题 1．D 2.C3.24 提示：∵直线y ＝kx －3k ＋4必过点D(3，4)， ∴当BC 过点D 且BC ⊥OD 时最小．∵点D 的坐标是(3，4)，∴OD ＝5.∵OB ＝OA ＝13， ∴根据勾股定理可得BD ＝12.∴BC 的长的最小值为24.4.(1)∵两点之间线段最短，∴连接AD ，BC 交于H ，则H 为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．(2)过H 作HG ⊥EF ，垂足为G.则沿HG 开渠最短，根据垂线段最短．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题1．B 2.D 3.7 提示：作B 关于AC 的对称点B ′，连接AD 、AB ′、BB ′、B ′D ，交AC 于E ，此时BE ＋ED ＝B ′E ＋ED ＝B ′D ，根据两点之间线段最短可知B ′D 就是BE ＋ED 的最小值，∵B 、B ′关于AC 对称，∴AC 、BB ′互相垂直平分．∴四边形ABCB ′是平行四边形．∵三角形ABC 是边长为2，∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC.∴AD ＝3，BD ＝CD ＝1，BB ′＝2AD ＝23，作B ′G ⊥BC 的延长线于G ，∴B ′G ＝AD ＝3，在Rt △B ′BG 中，BG ＝BB ′2－B ′G 2＝（23）2－（3）2＝3.∴DG ＝BG －BD ＝3－1＝2.在Rt △B ′DG 中，B ′D ＝DG 2－B ′G 2＝22＋（3）2＝7.故BE ＋ED 的最小值为7.4.363－545.(23－3，2－3)6.(1)抛物线过点G(2，2)时，－1m(2＋2)(2－m)＝2，即m ＝4.(2)∵m ＝4，∴y ＝－14(x ＋2)(x －4)．令y ＝0，则－14(x ＋2)(x －4)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4.∴A(－2，0)，B(4，0)．∴抛物线对称轴为直线x ＝－2＋42＝1.令x ＝0，则y ＝2，∴C(0，2)．∵B 点与A 点关于对称轴对称，∴连接BC ，BC 与对称轴的交点便为所求点H.∵B(4，0)，C(0，2)，∴求得线段BC 所在直线为y ＝－12x ＋2.当x ＝1时，y ＝32，∴H(1，32)．7.联立⎩⎨⎧y ＝－x ＋4，y ＝3x ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.∴A(1，3)，B(3，1)．B 点关于x 轴的对称点B ′坐标为(3，－1)， 连接AB ′交x 轴于点P ′，连接BP ′.设直线AB ′为y ＝kx ＋b ，联立得⎩⎨⎧k ＋b ＝3，3k ＋b ＝－1.解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝5.∴y ＝－2x ＋5.令y ＝0，得x ＝52.∴P ′(52，0)．即满足条件的P 的坐标为(52，0)．8.作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上，连接BA ′交MN 于P ，连接PA ，则PA ＋PB 最小，此时PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝A ′B.连接OA 、OA ′、OB ，∵AN ︵＝13MN ︵，∴∠AON ＝∠A ′ON ＝60°.∵AB ︵＝BN ︵， ∴∠BON ＝12∠AON ＝30°.∴∠A ′OB ＝90°.∴A ′B ＝OA ′2＋OB 2＝12＋12＝2，即AP ＋BP 的最小值是 2.9.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数y ＝45x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧20＋5b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎨⎧b ＝－245，c ＝4. ∴二次函数的表达式y ＝45x 2－245x ＋4.(2)延长EC 至E ′，使E ′C ＝EC ，延长DA 至D ′，使D ′A ＝DA ，连接D ′E ′，交x 轴于F 点，交y 轴于G 点，连接DG ，EF ，DE ，GD ＝GD ′，EF ＝E ′F ，(DG ＋GF ＋EF ＋ED)最小＝D ′E ′＋DE ， 由E 点坐标为(5，2)，D(4，4)，得D ′(－4，4)，E ′(5，－2)．由勾股定理， 得DE ＝22＋12＝5，D ′E ′＝（5＋4）2＋（4＋2）2＝313，∴(DG ＋GF ＋EF ＋ED)最小＝D ′E ′＋DE ＝313＋5，即四边形DEFG 周长的最小值为313＋ 5. (3)如下图：OD ＝AO 2＋AD 2＝4 2. ∵S △ODP ＝12.∴点P 到OD 的距离＝2S △OPDOD ＝2×1242＝3 2.过点O 作OF ⊥OD ，取OF ＝32，过点F 作直线FG ∥OD ，交y 轴于G 点，交抛物线于点P 1，P 2，在Rt △OGF 中，OG ＝OF 2＋FG 2＝（32）2＋（32）2＝6.∴直线GF 的解析式为y ＝x －6.将y ＝x －6代入y ＝45x 2－245x ＋4得：x －6＝45x 2－245x ＋4.解得x 1＝29＋418，x 2＝29－418.将x 1，x 2的值代入y ＝x －6得：y 1＝－19＋418，y 2＝－19－418. ∴点P 1(29－418，－19－418)，P 2(29＋418，－19＋418)． 如下图所示：过点O 作OF ⊥OD ，取OF ＝32，过点F 作直线FG ，交y 轴于G 点，交抛物线于P 3，P 4，在Rt △GFO 中，OG ＝OF 2＋GF 2＝6. ∴直线FG 的解析式为y ＝x ＋6.将y ＝x ＋6代入y ＝45x 2－245x ＋4得：x ＋6＝45x 2－245x ＋4.解得x 1＝29＋ 1 0018，x 2＝29－ 1 0018.y 1＝x 1＋6＝77＋ 1 0018，y 2＝x 2＋6＝77－ 1 0018， ∴P 3(29－ 1 0018，77－ 1 0018)，P 4(29＋ 1 0018，77＋ 1 0018)．综上所述：点P 的坐标为(29－418，－19－418)或(29＋418，－19＋418)或(29－ 1 0018，77－ 1 0018) 或(29＋ 1 0018，77＋ 1 0018)．。
中考专题立体图形中的最短路径问题
中考复习专题1——立体几何中的最短路径问题 姓名： （蚂蚁沿阶梯、正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题）1、台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想， 这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？2、圆柱问题 有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐底面圆周长是12m ，高AB是5m ，要从点A处开始绕油罐一周建造 梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？变式2： 桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米 的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖。
问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
3、正方体问题 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是（ ）. （A ）3 （B ） 5 （C ）2 （D ）1A BABcABCABD C D 1C 1①421AC 1=√42+32=√25;②A B B 1CA 1C 1412AC 1=√62+12=√37;A B 1D 1D A 1C 1③412AC 1=√52+22=√29 .4、长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？分析：展开图如图所示，372925<<路线①即为所求。
小结：长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。
5、圆锥问题 如图，已知O 为圆锥的顶点，MN 为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M 点出发，绕圆锥侧面爬行到N 点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（ ）．练习：1、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计）， 圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。
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复习专题：动点运动的路径长问题
【学习目标】
1、正确判断动点运动路径的“直”和“弯”；
2、确定动点运动路径的“起点”和“终点”；
3、熟练求动点运动路径的长度
【导学指导】
一、知识链接
1、平行四边形的性质
2、三角形的中位线
3、圆的定义、性质及判定
二、自主探究
（一）“直”路径
问题1：如图，已知AB=10，P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作
等边△ACP 和△PDB ，连接CD ，设CD 的中点为G ，当点P 从点A 运动到点B 时，则点G 移动路径的长是
问题1图 巩固练习1图
【巩固练习1】如图，二次函数42
12+--=x x y 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针旋转，与直线AB 重合时终止
运动，直线l 与BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点，则点P 所经过的路线长为
（二）“弯”路径
问题2：将两块全等的三角板ABC 和DEC 按如图所示的位置放置．∠B=60°，AC=2，若三角
板ABC 绕点C 沿逆时针方向旋转，使点E 恰好落在斜边AB 上，则点A 运动路径的长度为 方法总结：当判断出点的路径为一段 时，关键在于找出 及 的度数
问题2图 问题3图 巩固练
习2
问题3：如图，在Rt △ABC 纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P 在AC 上运动，将纸片沿PB
折叠，得到点C 的对应点D （P 在C 点时，点C 的对应点是本身），则折叠过程对应点D 的路
径长是_________
【巩固练习2】如图，直线y=-x+4与两坐标轴交A 、B 两点，点P 为线段OA 上的动点，连
接BP ，过点A 作AM 垂直于直线BP ，垂足为M ，当点P 从点O 运动到点A 时，则点M 运动路
径的长为________
【巩固练习3】如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD
的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动
到点D时，点F所经过的路径长为________
巩固练习3图
三、方法总结
1、判断路径是“直”还是“弯”
2、找出起点和终点
3、求路径长
四、拓展提升
1、如图，抛物线y=ax2+bx+3过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P为线段OC上的动点，连接BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P 从点O运动到点C时，求点N运动路径的长．
拓展提升1图拓展提升2图
2、如图，形状不变的一条抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，其顶点P在线段CD上移动，线段CD的解析式y=x+（﹣1≤x≤3），当顶点P从C点移动到D点时，求E点走过的路径长度．
3. 如图，正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝2AE＝2．将正方形AEFG绕点A逆时针旋转60°，BE的延长线交直线DG于点P，旋转过程中点P运动的路线长为．。