中考数学三轮易错复习：最短路径问题(含解析)

中考数学三轮易错复习：专题15最短路径问题

【例1】（2019·河南南阳一模）如图，已知一次函数y=1

2

x+2的图象与x轴、y轴交于点A、C，与反比

例函数y=k

x

的图象在第一象限内交于点P，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，且△ABP的面积为9.

（1）点A的坐标为，点C的坐标为，点P的坐标为；

（2）已知点Q在反比例函数y=k

x

的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，是的△PQM的周

长最小，求出点M的坐标.

【变式1-1】（2017·新野一模）已知抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+

1

2

交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；

（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2019·三门峡二模）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA ＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，

连接DE，设OD＝m．

（1）问题发现

如图1，△CDE的形状是三角形．

（2）探究证明

如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．

图1 图2

强化精炼：

1.（2018·焦作一模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．（1）填空：抛物线的解析式为，点C的坐标；

（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标；

（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，请直接写出当点Q'落在坐标轴上时点P的坐标．

图1 图2

2.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．

3.（2017·预测卷）已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）

为反比例函数y 图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．

（1）求m的值；

（2）求当AO′最短和最长时A′点的坐标．

4.（2017·郑州一模）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ 切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）

A B C．2 D．3

5.（2019·许昌月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为．

6.（2019·郑州外国语模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(-1,0)，

C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

（2）如图，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于F，N是直线EF上一动点，M(m，0)是x轴上一个动点，

请直接写出CN+MN+1

2

MB的最小值.

7.（2019·郑州实验中学模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；

（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

8.（2018·郑州预测卷）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；

（3）设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

9. （2019·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y2-与x轴交于A，C （A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．

（1）求直线BC的函数表达式；

（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值.

10.（2019·三门峡一模）反比例函数

k

y

x

=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A(1，3)，B(3，m)．（

1）求反比例函数的解析式及点

B的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使P A+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．