初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练

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初中几何中的最短路径与最值问题，快速解题思路及典型练习

初中几何中的最短路径与最值问题，快速解题思路及典型练习
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初中几何中最值问题的依据是:''两点之间,线段最短''、''垂线段最短''.在解决最值问题时,通常利用轴对称、平移等变换作出最值位置,从而把已知问题转化为容易解决的问题。

平面几何中最值问题综合性强、能力要求高.解题时要善于运用特殊与一般、转化、建模等数学思想，灵活运用特殊位置法、轴对称法、平移法、旋转法、构造三角形法、判别式法、配方法等各种数学方法，找到几何最值取得时的位置;或将问题转化成基本最短路径模型;或建立方程、函数模型，再求解。

两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。

步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。

步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。

则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。

步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。

③交点就是动点的位置
下面小编找了很多相关的练习，提供给老师、同学们去练习，只有见得多，练得多，才能熟能生巧哦！。

中考最短路径问题专题训练(将军饮马-胡不归-瓜豆原理-辅助圆-费马点)

最短路径问题专题训练一、将军饮马问题特征：定直线上找一动点到两定点距离之和最小. 解法:做不动点对称点如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？例1.（一动点两定点）如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．例2.（一定点两动点）如图，点P 是△AOB 内任意一点，△AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．例3.（一定点两动点）已知P 为△AOB 内部一定点，在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。

二、费马点问题若点P 满足∠PAB =∠BPC =∠CPA =120°，则PA +PB +PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点．在∠ABC 内找一点P ，使得PA +PB +PC 最小．PBAP OBAMNP'M NAPOOPBMABCDMN例1.如图，在△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．例2.如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．三、胡不归问题从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V 的值最小．ABCPCABCDME2驿道2MM【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin △DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH △AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则CD 的最小值是_______．例2. 如图，平行四边形ABCD 中，△DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD上的一动点，则PB 的最小值等于________．总结：在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．四、瓜豆原理引例：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点．考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？考虑到Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，ABCDEABCDP任意时刻，均有△AMQ △△AOP ，QM :PO =AQ :AP =1:2．【模型总结】为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠P AQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩．例1 如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．例2 如图，正方形ABCD 中，25AB ，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．五、辅助圆（轨迹圆/隐圆）定直线对定角/四点共圆例1 如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，△APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．例2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，△A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．O yxA BCM POABCDEF例3 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BC =42 ，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为__________．例4 如图，∠A O B =45°，边O A 、OB 上分别有两个动点C 、D ，连接C D ,以CD 为直角边作等腰Rt △CDE ，且CD =CE ，当CD 长保持不变且等于2cm 时，OE 最大值为__________．综合练习1. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，△A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为__________．2. 如图，在Rt △ABC 中，△C =90°，AB =17，AC =8，D 为AB 边上的一动点，E 、F 分别为AC 、BC 上两点，且DE △DF ，则EF 的最小值为__________．3. 如图，△MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为__________．4. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 2 +6,则正方形的边长 .5. 如图，在四边形ABCD 中，AB =2，BC =5，若AC =AD 且△ACD =60°，则当对角线BD 取得最大值时，对角线AC 的长是_________．lPO CBA A'NMABCD6. 在等边△ABC 中，AB =4，点D 是BC 的中点，连接AD ，P 为AD 上一动点，则CP +12BP 最小值为____．7. 如图，在等腰直角△ABC 中，BC =8，D 为BC 中点，E 为DC 中点，P 为AD 上一动点，则2PE +2AP 的最小值________．8. 如图，在△ABC 中，AB =AC =10，tan △A =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +55BD 的最小值为________．9.如图，已知正方形ABCD 的边长为4.点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．10. 如图，AC 为边长为4的菱形ABCD 的对角线，∠ABC =60°，点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CA 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．11. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF .连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．。

初二数学最短路径问题知识归纳+练习

初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：-①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．-③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】．“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．】【十二个基本问题】1作法图形【问题原理A A两点之间线段最短．P l．交点即为P连AB，与l l PA+PB 最小值为AB．BB，使上求一点P在直线l值最小．PA+PB【问题2】“将军饮马”作法图形原理A AB＇B关于作B l 的对称点两点之间线段最短．Bl l PA+PB 最小值为 A B P．＇．连A B ＇，与l 交点即为P，使P在直线l 上求一点B'PA+PB 值最小．3】作法图形原理【问题P'l 1l 1分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短．M PPM +MN +PN 的最小值为对称点P＇和P＇，连P＇P＇，P ll l 、上2．M，P＇＇＇的长．N与两直线交点即为线段P分别求点在直线l212NM 、N，使△PMN的周长P''最小．4】作法【问题图形原理l 1l1Q'Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短．MPl 、l P＇Q＇和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2＇，与两直线交点即Q连＇P值为线段P＇P＇＇的长．l 2、l l 上分别求点在直线．，N为M21N，使四边形N 、M PQMN P'的周长最小．【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文A A M m将点A 向下平移MN 的长度两点之间线段最短．n A'M n＇B，交单位得A＇，连A N m AM +MN +BN 的最小值为B于m N 作NM ⊥于点N，过n N，n ，在m 、n 直线m ∥A＇B+MN ．．M B MN、N，使上分别求点M 的，且AM+ MN+ BN ⊥m 值最小．【问题6】作法图形原理A A'A将点A 向右平移a 个长度单B B l两点之间线段最短．的对＇，作 A ＇关于位得A l a N l M，交直线称点A＇，连A＇B AM +MN +BN 的最小值为MN l MM（上求两点、N在直线l 点向左平，将于点NNA＇B+ MN．A''MN a 移 a 个单位得M．在左），使，并使的值最小．AM + MN+ NB 】【问题7作法图形原理l l1 1 P'P P l点到直线，垂线段最短．＇，的对称点作点P 关于P 1A ll 于B⊥，交作P＇B22PA+ AB 的最小值为线段P＇l 2于A．l B的长．2l l 上求A上求点在，在21B，使PA+ AB 值最小．点B图形原理】【问题8作法l 1B'NAl 1l的对称点关于 A 作点2l2两点之间线段最短．MB l 的对称A ＇，作点 B 关于N1A AM +MN +NB 的最小值为lll，于B＇交M 为上点B＇，连A＇A 为上一定点，B 212线段A＇B＇的长．l 2BM l l ，一定点，在上求点交M．N 于21A'l 在使，N 点上求1的值最小．AM + MN+ NB图形原理】【问题9作法A A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等．B的中垂线与AB ，作连AB l l．l 直线的交点即为P PA PB ＝0．P PA 上求一点l P，使在直线的值最小．PB【问题10】作法图形原理范文A三角形任意两边之差小于A B作直线AB，与直线l 的交第三边．PA PB ≤AB．l Bl ．点即为P P，使l 上求一点P在直线PA PB 的最大值＝AB．PA PB 的值最大．【问题11】作法图形原理A三角形任意两边之差小于A作B 关于l 的对称点B＇l B'第三边．PA PB ≤AB＇．l交点即l 作直线 A B＇，与B P为P．B PA PB 最大值＝AB＇．，使l 上求一点P在直线PA PB 的值最大．【问题12】“费马点”作法图形原理A所求点为“费马点”，即满D APB＝∠BPC＝∠足∠A两点之间线段最短．E AC°．以AB、APC＝120 C B、ABD 为边向外作等边△PA+ PB+ PC 最小值＝CD ．P△ABC 中每一内角都小于△ACE，连CD 、BE 相交CB于P ，点P 即为所求．，ABC 内求一点P120°，在△值最小．PA+PB+PC 使【精品练习】1 的面积为．如图所示，正方形ABCD12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）AD62 62 3B．．C．3D A．PEBC2．如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60 °，若将△ACD 绕点 A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD）交于点E、F ，则△CEF 的周长的最小值为（A．2B．2 3C．23D．4范文3．四边形ABCD 中，∠B＝∠D ＝90°，∠C＝70 °，在BC 、CD 上分别找一点M、N，使△AMN 的周长最小时，∠AMN + ∠ANM 的度数为（）AD°110°D．140CA．120°B．130°．N BM4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42 ，∠BAC＝45 °，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和ABC 的最小值是上的动点，则BM +MN ．D MAN B5．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90 °，∠B＝30 °，AB＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上重合），、C （不与点B．的取值范围是且ED ＝AE，则线段AEA ECD B6．如图，∠AOB＝30°，点M、N 分别在边OA、OB 上，且OM ＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA 上，则MP ＋PQ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，222BC AC AB°，则有＝90 C即Rt△ABC 中，∠）7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B 在x轴的正半轴，坐标为B( 63 ，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．范文y轴上，D 在在x 轴上，则四边形4）、B （4，2）．C 8．已知A（2，ABCD 的周长最小值为，两点的坐标分别为D 此时C、．yABOx．已知9）．，2 1，1）、B（4A（y点的坐标；轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P （1）P 为xBAOx点的坐标；P 的值最大时x 轴上一动点，求PA PB ）（2 P 为y BAOx（3）CD 为x 轴上一条动线段， D 在 C 点右边且CD ＝1，求当AC+ CD+ DB 的最小值和此时C 点的坐标；yBAOxC D10 ．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点 D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．ACB O范文11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于F，连AF，求证：AF +BF +CF ＝CD ；（2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB＝6，BC＝8，∠ A ，∠C 均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．DA A EC B F图②C B图①处，需经过两座桥处到达 B A ＇处直角转弯，河宽相等，从12 ．荆州护城河在CC＇，护城河及两桥EE ＇、DD点路径最短？到都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使B A范文。

初中数学八年级上册最短路径问题同步专项练习题含答案

初中数学八年级上册最短路径问题同步专项练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值是（）A.2√5+2B.2√3C.2√5D.2√3+22. 如图，圆柱形纸杯高8cm，底面周长为l2cm，在纸杯内壁离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）A.2√3B.6√2C.10D.以上答案都不对3. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在矩形内部，且满足S PCD=1 4S长方形ABCD，则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为( )A.8B.10C.14D.2√134. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )A. B.C. D.5. 如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）A. B.C. D.6. 如图所示，矩形ABCD中，BC=6,AB=4，点P是平面内的一个动点，点P运动过程中始终满足∠BPC=90∘，线段AP的最小值是( )A.1B.2C.3D.47. 如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是( )A.√2B.√3C.√5D.28. 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+ MN的最小值为( )A.6B.8C.12D.109. 已知∠MON=40∘，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A.40∘B.100∘C.140∘D.50∘10. 如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB＝2，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F 分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 对于平面直角坐标系中的线段MN及点Q，给出如下定义：若点Q满足QM=QN，则称点Q为线段MN的“对称点”；当QM=QN=MN时，称点Q为线段MN的“完美对称点”．（1）如图1，点A坐标为(4,0)，有点Q1(0,4),Q2(2,−4)，Q3(1,√3)，则线段OA的“对称点”是________．（填“Q1”"Q2"或 "Q3"）(2)如图2，已知Q(2,2√3)为线段OA的“完美对称点”，D为线段OQ的中点，B为线段OA 的一个“对称点”，则BO+BD的最小值为________．12. 在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm，若在AC，AB上各取点M，N，使BM+NM最小，则BM+NM的最小值是________．AC，AB=8，E是AB上13. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=30∘，∠C=90∘．AD=14任意一点，F是AC上任意一点，则折线DEFB的最短长度为________．14. 小明在广场上散步，先向东走12m后，再向北又走了9m，现要以最短距离________m回到原地．15. 如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是________.16. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E，F将对角线AC三等分，点P是矩形的边上的动点．则△PEF周长的最小值为________.17. 如图，△ABC中，∠ACB=45∘，边AB上一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最短时，∠MPN的度数是________．18. 一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是________．19. 如图，在△ABC中，AC=4，AB=5，BC=6，⊙A的半径为2，点P是BC边上的动点，过点P作⊙A的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为________．20. 如图，∠AOB＝45∘，点C在∠AOB内部，CD⊥OB于点D，CD＝5，OD＝13，点E、点F分别是射线OA、射线OB上的动点，那么FE+FC的最小值是________．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分，）21. 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值．22. 如图，要在河岸l修建一个水泵站P，分别向张庄、李庄送水，修在河岸l的什么地方：(1)使到张庄、李庄的距离相等．(2)使所用的水管最短？（请通过你所学的知识画出这个地点的位置，不必说明理由.请保留作图痕迹）.23. 已知：如图所示（每个小正方形的边长为1），（1）求△ABC的面积，并求出它的AC边上高的长度；（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小，并求出该最小值．24. 一只蚂蚁从长为4cm，高时5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱跑到B点，有不同的爬行路线．画出平面图示（相同类型画一个），并通过计算说明哪条线路最短，最短路线长多少？，高BC=12cm，P为BC的中点，求蚂25. 如图：有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π蚁从A点爬到P点的最短距离．26. 如图，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是多少厘米？注：π取3．27. 如图，圆柱的高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离是多少cm？(π取3)．28. 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；并求AC+CE的最小值；（2）若x+y=12，x>0，y>0请仿照（1）中的规律，运用构图法求出代数式√x2+4+√y2+9的最小值．29. 如图，已知∠MON=30∘，在OM上有两点A、B分别到ON的距离为2cm和1cm，若在ON上找一点P使|PA−PB|的值最大，求P点到O点的距离．30. 从A村到B村要修一条路，中间隔着两条河，在河上需要架2座桥，桥与两岸垂直，桥架在什么地方，使A村到B村总路程最短？31. 如图，已知∠AOB=30∘，P为其内部一点，OP=3，M，N分别为OA，OB边上的一点，要使△PMN的周长最小，请给出确定点M，N位置的方法，并求出最小周长．32. 一只螳螂在松树树干的A点处，发现它的正上方B点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的半径为10cm，A、B两点的距离为40cm．（其中π取3）（1）若螳螂想吃掉在B点的小虫子，求螳螂绕行的最短距离．（要求画图）（2）螳螂得知又有一只虫子在点C处被松树油粘住不能动弹，这时螳螂还在A点，螳螂想吃掉虫子，求螳螂爬行的最短距离．（要求画图）（3）如果螳螂在点A处时，虫子在点E处不动，其中点E是CD的中点那么螳螂吃掉虫子的最短距离是多少cm？（要求画图）33.作图题：现要在形如△ABC的地面范围内建一中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．（要求：保留作图痕迹，并用适当的文字说明作图方法）34. 在一条笔直公路上分布A，B，C，D，E五个工厂（各相邻工厂之间的距离均不相等），为方便这些工厂的员工，现要在公路上设一个汽车站，使各工厂到汽车站的距离之和最小．【简化分析】(1)假若由三个工厂A，B，C时，汽车站的位置有五种情形：①A厂门口，②AB之间，③B厂门口，④BC之间，⑤C厂门口.【分类讨论】①当车站设在A工厂门口时，则A厂到汽车站的距离为0，B厂到汽车站的距离为AB，C厂到汽车站的距离为AB＋BC，所以各工厂到车站的距离之和为________②当车站设在A，B两工厂之间的P点时，则A厂到汽车站的距离为AP，B厂到汽车站的距离为BP，C厂到汽车站的距离为BP+BC，所以各工厂到车站的距离之和为_________③当车站设在B工厂门口，则各工厂到汽车站的距离之和为_________④当车站设在B，C两工厂之间的Q点时，则各工厂到汽车站的距离之和为_________⑤当车站设在C工厂门口，则各工厂到汽车站的距离之和为________【总结归纳】综上可知：汽车站设在________时，各工厂到汽车站的距离之和最小.【问题解决】 (2)当有A，B，C，D，E五个工厂时，汽车站设在哪里，才能使各工厂到汽车站的距离之和最小？请说明理由.35. 如图是平放在桌面上的长方体木块，其长为14cm，宽为10cm，高为20cm，点B是高CD的中点，一只蜘蛛要沿长方体木块的表面从A点爬到B点，请你求出蜘蛛爬行的最短路程是多少？36. （1）如图，已知：线段r和∠ACB=60∘，求作一⊙O，使它与∠ACB的两边相切，且圆的半径等于r；（不写作法，要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）36.（2）如图，已知点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM，ON上确定点B，点C，使△ABC的周长最小．（不写作法，要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）37. 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李村B送水，已知张村A、李村B 到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．(1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）(2)如果铺设水管的工程费用为每千米3000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？38. 如图所示，一只昆虫要从正方体的一个顶点A爬到相距它最远的另一个顶点B，哪条路径最短？说明理由．39. 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）试求AC+CE的最小值．40. 李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120∘，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．参考答案与试题解析初中数学八年级上册最短路径问题同步专项练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】求△BDE周长的最小值，就是要求DE+BE的最小值，根据勾股定理即可求得．【解答】解：过点B做BO⊥AC于点O，延长BO到B′，使OB′=OB，连接DB′，交AC于E，此时DB′=DE+EB′=DE+BE的值最小，连接CB′易证CB′⊥BC在RT△DCB′中，根据勾股定理可得DB′=√B′C2+CD2=√42+22=√20=2√5．故△BDE周长的最小值为2√5+2．故选：A．2.【答案】C【考点】平面展开-最短路径问题【解析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′C的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，由题意可得出：A′D=6cm，CD=8cm，A′C=√A′D2+CD2=10(cm)，故选：C．3.【答案】B【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：∵S PCD=14S长方形ABCD，设△PCD的CD边上的高为ℎ∴12CD⋅ℎ=14CD⋅AD，又AD=8，∴ℎ=4,∴动点P在与CD平行且与CD的距离为4的直线l上，如图，作D关于直线l的对称点A，连接AC，则AC的长就是所求的最短距离.在Rt△ADC中，CD=AB=6，AD=8∴AC=√AD2+CD2解得AC=10.故选B.4.【答案】D【考点】轴对称——最短路线问题利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连结QP′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，所需管道最短．故选D．5.【答案】B【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作点A关于直线l的对称点，再把对称点与点B连接，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点M．【解答】解：根据轴对称确定最短路线问题，B选项图形方案符合．故选B．6.【答案】B【考点】路径最短问题【解析】要想求得点P的个数，由∠BPC=90∘可判断以BC为直径的圆与AD的交点个数即可．【解答】解：∵ 点P运动过程中始终满足∠BPC=90∘,∴ 点P在以BC为直径的半圆上，圆心为O，如下图所示，连接AO，AO与半圆的交点为P，此时AP距离最短.由题意知，AO=√AB2+OB2=√42+32=5，∴ AP=AO−OP=5−3=2，∴ 线段AP的最小值是2.7.【答案】C【考点】平面展开-最短路径问题【解析】本题考查了平面展开-最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．【解答】解：将纸箱展开，如图所示，由勾股定理得：AB2=12+(1+1)2=5，∴ AB=√5．故选C.8.【答案】D【考点】轴对称——最短路线问题【解析】要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．【解答】解：根据题意，连接BD，BM，则BM就是所求DN+MN的最小值，在Rt△BCM中，BC=8，CM=6根据勾股定理得：BM=√62+82=10，即DN+MN的最小值是10.故选D．9.【答案】B【考点】轴对称——最短路线问题【解析】AB+BP=P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON 于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′=OP″=OP，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，∴∠P′OP″=2∠MON=2×40∘=80∘，∴∠OP′P″=∠OP″P′=(180∘−80∘)÷2=50∘，又∵∠BPO=∠OP″B=50∘，∠APO=∠AP′O=50∘，∴∠APB=∠APO+∠BPO=100∘．故选B．10.【答案】C【考点】平面展开-最短路径问题【解析】首先证明四边四边形ABCD是菱形，得AD//BC，作出F关于AB的对称点M，再过M作ME′⊥AD，交AB于点P，此时PE′+PF最小，求出ME即可．【解答】解：作出F关于AB的对称点M，再过M作iM′⊥AD，交AB于点P，此时FE′+PF最小，此时PE′+PF=ME，过点A作AN⊥BC&nbspCH⊥AB于H，________△ABC沿AB翻折得到△ABDAC=AD&nbspBC=BD．AC=BCAC=AD=BC=BD四边形ADBC是菱形，．AD//BC∵AC=BCAE=1AB=1由勾股定理可得，CH=√32−12=2√2．12×AB×CH=12×BC×AN可得AN=4√23ME′=AN=4√2 3PE+PF最小为4√23故选：C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】Q22．【考点】图形间的距离定义新图形路径最短问题坐标与图形性质【解析】（1）找到OA的垂直平分线即可找到对应的点．（2）利用“完美对称点”的特征，作出图象，从而确定最小值．【解答】解：(1)当点Q满足QO=QA时，Q为OA的“对称点”，∴ Q在线段OA的垂直平分线上，∵ A(4,0)，∴ 线段OA的垂直平分线是直线x=2，∵Q2(2,−4)，∴ 线段OA的“对称点”是Q2.故答案为：Q2．∵ Q(2,2√3)为线段OA的“完美对称点”，∴ QO=OA=QA，∴ △QOA是等边三角形，过点Q作QH⊥OA于H，则直线QH为线段AO的垂直平分线，如图：∵ B为线段OA的一个“对称点”，∴ BO=BA，∴ B是直线QH上的一点，显然，当Q、B重合时，BQ+BD有最小值，此时BQ+BD=BD，∵ Q(2,2√3)，∴ OQ=√22+(2√3)2=4，∵ D为线段OQ的中点，∴ DQ=12OQ=12×4=2，∴ BD=2，∴ BQ+BD的最小值为2. 故答案为：2.12.【答案】16cm【考点】轴对称——最短路线问题【解析】过B点作BE⊥AC于O，使OE=OB，过E作EN⊥AB交AB于N点，交AC于M，此时BM+NM有最小值，EN就是所求的线段．【解答】解：过B点作BE⊥AC于O，使OE=OB，过E作EN⊥AB交AB于N点，交AC于M，此时BM+NM有最小值，EN就是所求的线段．∵AB=20cm，BC=10cm，∴AC=√AB2+BC2=10√5cm，∵12AB⋅BC=12AC⋅OB，∴OB=4√5cm，∴BE=8√5cm．∵△ABC∽△BEN，∴ENAB =BEAC，∴EN=AB⋅BEAC =√510√5=16cm．∴BM+NM的最小值为16cm，故答案为16cm．13.【答案】√67【考点】【解析】利用轴对称求最短路径的方法，重新构造直角三角形，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：作D 点关于AB 的对称点D′，B 点关于AC 的对称点B′，连接D′B′分别交AB 于点E ，AC 于点F ，作B′R ⊥AB ，过点D′作D′W ⊥B′R 于点W ，∵ ∠CAB =30∘，∠C =90∘．AD =14AC ，AB =8， ∴ BC =4，AC =4√3，则AD =√3，BB′=8，B′R =4√3，∴ DT =12AD =√32，AT =√AD 2−DT 2=32，BR =4， ∴ RW =√32，D′W =8−32−4=52， ∴ B′W =9√32，B′D′=√D′W 2+B′W 2=(52)+(9√32)=√67．故答案为：√67．14.【答案】15【考点】勾股定理路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设小明散步原地为O ，则先向东走12m 到达A 点后，再向北又走了9m 到达B 点，则要回到原地，最短行走距离为OB 的距离，根据勾股定理可得OB =√122+92=15m .15.【答案】√5【考点】平面展开-最短路径问题【解析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．【解答】解:∵展开后由勾股定理得：AB2=12+(1+1)2=5，∴AB=√5．故答案为：√5.16.【答案】√5+√13【考点】轴对称——最短路线问题【解析】此题暂无解析【解答】解: ①P在AD上，如图所示:则作E点关于AD的对称点G，连接EG，FG交AD于点P′，则对AD上点P，PG=PE，则△PEF周长=PE+PF+EF=PG+PF+EF≥GF+EF，故当C△PEF最小时，PG+PF=GF，即P与P′重合，记GE交AD于点M，由AB=3，BC=6，四边形ABCD为矩形知：AC=√32+62=3√5，∵EF为三等分点，知AE=EF=13AC=√5，GM=ME=13CD=1，作FN⊥GE于N，则EN=1，FN=2，GF=√22+32=√13，C△PEF=GF+EF=√13+√5；②P在CD上，如图所示，则同理QF=FR=RH=2,EQ=1，当P与P′重合时，C△PEF最小，最小值为EF+EH=√5+√62+12=√5+√37>√13+√5，所以C△DEF最小值为√5+√13.故答案为：√5+√13.17.【答案】90∘【考点】轴对称——最短路线问题【解析】根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180∘，由∠ACB=45∘，易求得∠D+∠G=45∘，继而求得答案．【解答】解：∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90∘，∴∠C+∠EPF=180∘，∵∠C=45∘，∴∠EPF=135∘，∵∠D+∠G+∠EPF=180∘，∴∠D+∠G=45∘，由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，∴∠GPN+∠DPM=45∘，∴∠MPN=135∘−45∘=90∘，故答案为：90∘18.【答案】√193【考点】平面展开-最短路径问题【解析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．【解答】解：如图1：AB=√162+32=√265(cm)，如图2：AB=√152+42=√241(cm)，如图3：AB=√122+72=√193(cm)，∴√265>√241>√193，∴它所行的最短路线的长是√193cm．故答案为：√193cm．19.【答案】√1114【考点】切线的性质勾股定理路径最短问题【解析】连接PA，AQ，由切线的性质得到∠AQP=90∘，由AQ=2是定值，要使PQ的长度最小，只有PA的值最小时才成立，进而确定出△PCA和△PBA是直角三角形，由勾股定理求出PC的长度，进而求出PA2，最后求勾股定理求解.【解答】解：连接PA，AQ，如下图.∵ PQ是⊙A的切线，∴ AQ⊥PQ，∴ ∠AQP=90∘.∵ AQ=2是定值，要使PQ的长度最小，∴ PA ⊥BC ，即PA 的值最小时才成立，∴ PQ 2=PA 2−AQ 2.由PA ⊥BC 可知，△PCA 和△PBA 是直角三角形，∵ AC =4，AB =5，BC =PC +PB =6，∴ PA 2=AC 2−PC 2，PA 2=AB 2−PB 2，∴ AC 2−PC 2=AB 2−PB 2，即42−PC 2=52−(6−PC )2，解得PC =94，∴ PA 2=42−(94)2， ∴ PQ =√PA 2−AQ 2=√16−8116−4=√11116=√1114，即线段PQ 的最小值是√1114. 故答案为：√1114. 20.【答案】 9√2【考点】轴对称——最短路线问题【解析】如图，作点E 关于OD 的对称点E′，作射线OE′，作CE ″⊥OE′交OD 于F′，延长DC 交OA 于H ，作CM ⊥OA 于M ．因为EF +CF ＝E′F +CF ，所以根据垂线段最短可知，当CE ″⊥OE′时，EF +CF 的值最小，最小值为CE ″，求出CE ″即可解决问题．【解答】如图，作点E 关于OD 的对称点E′，作射线OE′，作CE ″⊥OE′交OD 于F′，延长DC 交OA 于H ，作CM ⊥OA 于M ．∵ EF +CF ＝E′F +CF ，∴ 根据垂线段最短可知，当CE ″⊥OE′时，EF +CF 的值最小，最小值为CE ″， ∵ ∠AOD ＝45∘，∠ADO ＝90∘，∴ ∠DOH ＝∠DHO ＝45∘，∴ OD ＝DH ＝13，∵ CD ＝5，∴ CH ＝8，∵ CM ⊥OA ，∴ ∠CMH ＝90∘，∠MCH ＝∠MHC ＝45∘，∴ CM ＝MH ＝4√2，∵ ∠AOE′＝2∠AOD ＝90∘＝∠OE ″C ＝∠CMO ，∴四边形CMOE″是矩形，∴OE″＝CM＝4√2，在Rt△OCD中，OC2＝OD2+CD2＝132+52＝194，在Rt△OCE″中，CE″$= \sqrt{OC^{2} - OE"^{2}} = \sqrt{194 - 32} = 9\sqrt{2}$，∴EF+CF的值最小为9√2．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：如图所示：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC；连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小；连接BC′，由轴对称的性质得：∠C′BE=∠CBE=45∘，∴∠CBC′=90∘，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45∘，∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理得：DC′=√BC′2+BD2=√22+12=√5；∴DE+CE的最小值为√5．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC；连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小；再根据勾股定理求出DC′即可．【解答】解：如图所示：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC；连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小；连接BC′，由轴对称的性质得：∠C′BE=∠CBE=45∘，∴∠CBC′=90∘，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45∘，∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理得：DC′=√BC′2+BD2=√22+12=√5；∴DE+CE的最小值为√5．22.【答案】解：(1)如图1，设河边为直线CD，∵到A，B两点的距离相等，∴可以作线段AB的垂直平分线，交河边CD于点P，则PA=PB，∴P点位置即为到张庄、李庄距离相等的点；(2)如图2，设河边为直线CD，点A关于直线CD的对称点为A′，连接A′B，交CD于点Q，则AQ=A′Q，∴A′B=AQ+BQ，∴此时到A、B两地的距离最短，∴Q点即为所求的位置．【考点】路径最短问题作图—应用与设计作图轴对称——最短路线问题线段垂直平分线的性质【解析】（1）可作线段AB的垂直平分线，与河边的交点即为所求的点；（2）找出A点关于河边的对称点A′，连接A′B交河边于点Q，则Q即为所求的点．【解答】解：(1)如图1，设河边为直线CD，∵到A，B两点的距离相等，∴可以作线段AB的垂直平分线，交河边CD于点P，则PA=PB，∴P点位置即为到张庄、李庄距离相等的点；(2)如图2，设河边为直线CD，点A关于直线CD的对称点为A′，连接A′B，交CD于点Q，则AQ=A′Q，∴A′B=AQ+BQ，∴此时到A、B两地的距离最短，∴Q点即为所求的位置．23.【答案】解：(1)△ABC的面积=3×4−12×1×2−12×2×3−12×2×4，=12−1−3−4，=12−8，=4，由勾股定理得，AC=√22+42=2√5，设AC边上高的长度为ℎ，则12×2√5ℎ=4，解得ℎ=4√55．所以，AC边上高的长度为4√55；（2）点P如图所示，由勾股定理得，PA+PC最小值=√62+42=2√15．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】（1）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式求出△ABC的面积，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）找出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，根据轴对称确定最短路线问题，A′C与直线l的交点即为所求的点P，最短距离为A′C的长度，再利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：(1)△ABC的面积=3×4−12×1×2−12×2×3−12×2×4，=12−1−3−4，=12−8，=4，由勾股定理得，AC=√22+42=2√5，设AC边上高的长度为ℎ，则12×2√5ℎ=4，解得ℎ=4√55．所以，AC边上高的长度为4√55；（2）点P如图所示，由勾股定理得，PA+PC最小值=√62+42=2√15．24.【答案】解：如图1所示：AB=√(4+3)2+52=√74(cm)，如图2所示：AB=√(5+3)2+42=√80(cm)，∵√74<√80，∴蚂蚁按照图1这条路线爬行，路线最短，最短路线长为：√74cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】利用展开图不同，分别结合勾股定理得出AB的长，进而求出答案．【解答】解：如图1所示：AB=√(4+3)2+52=√74(cm)，如图2所示：AB=√(5+3)2+42=√80(cm)，∵√74<√80，∴蚂蚁按照图1这条路线爬行，路线最短，最短路线长为：√74cm．25.【答案】解：已知如图：∵圆柱底面直径AB=16πcm、母线BC=12cm，P为BC的中点，∴圆柱底面圆的半径是8πcm，BP=6cm，∴AB=12×2×8π=8cm，在Rt△ABP中，AP=√AB2+BP2=10cm，∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】把圆柱的侧面展开，连接AP，利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．【解答】解：已知如图：∵圆柱底面直径AB=16πcm、母线BC=12cm，P为BC的中点，∴圆柱底面圆的半径是8πcm，BP=6cm，∴AB=12×2×8π=8cm，在Rt△ABP中，AP=√AB2+BP2=10cm，∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm．26.【答案】解：B为CE的中点．AB就是蚂蚁爬的最短路径．∵CE=2π⋅r=2×3×2=12厘米，∴CB=12÷2=6厘米．∵AC=8厘米，∴AB=√62+82=10厘米．蚂蚁要爬行的最短距离是10厘米．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】圆柱展开为长方形，根据题意可知道点A和B在平面上的位置，根据两点之间线段最短可求出解．【解答】解：B为CE的中点．AB就是蚂蚁爬的最短路径．∵CE=2π⋅r=2×3×2=12厘米，∴CB=12÷2=6厘米．∴AB=√62+82=10厘米．蚂蚁要爬行的最短距离是10厘米．27.【答案】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形ADFE，连接AB，则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，B分别是AE，DF的中点．∵AD=12cm，DB=πr=3π=9cm(π取3)，∴AB=√AD2+DB2=√122+92=15cm．故蚂蚁经过的最短距离为15cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长．【解答】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形ADFE，连接AB，则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，B分别是AE，DF的中点．∵AD=12cm，DB=πr=3π=9cm(π取3)，∴AB=√AD2+DB2=√122+92=15cm．故蚂蚁经过的最短距离为15cm．28.【答案】解：（1）∵CD=x，BD=8，∴CB=8−x，AC+CE=√52+(8−x)2+√x2+1，当A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；当A、C、E在同一直线上时，延长AB，作EF⊥AB于点F，∵AB=5，DE=1，∴AF=6，∵∠ABD=90∘，∵∠BDE=∠BFE=90∘，∴四边形BFED是矩形，∴BD=EF=8，∴AE=√AF2+EF2=√62+82=10，；（2）如下图所示：作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，当BC=x，∵x+y=12，∴y=12−x，AE的长即为代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值，过点A作AF // BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2，AF=BD=12，所以AE=√AF2+EF2=√122+(3+2)2=13，即代数式√x2+4+√y2+9的最小值为13．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】（1）根据勾股定理得出AC，CE的长进而得出用含x的代数式表示AC+CE的长；由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，AC+CE>AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，利用勾股定理求出即可；（2）由（1）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式√x2+4+√y2+9的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．【解答】解：（1）∵CD=x，BD=8，∴CB=8−x，AC+CE=√52+(8−x)2+√x2+1，当A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；当A、C、E在同一直线上时，延长AB，作EF⊥AB于点F，∵AB=5，DE=1，∴AF=6，∵∠ABD=90∘，∴∠FBD=90∘，∵∠BDE=∠BFE=90∘，∴四边形BFED是矩形，∴BD=EF=8，∴AE=√AF2+EF2=√62+82=10，；（2）如下图所示：作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，当BC=x，∵x+y=12，∴y=12−x，AE的长即为代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值，过点A作AF // BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2，AF=BD=12，所以AE=√AF2+EF2=√122+(3+2)2=13，即代数式√x2+4+√y2+9的最小值为13．29.【答案】解：因为A、B在OM上，要使|PA−PB|的值最大，P应在OM上，如果P不在OM上，则P、A、B构成三角形，根据三角形的三边关系，|PA−PB|<AB，所以，P是OM和ON的交点，即O点，所以P到O的距离为0．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】根据三角形的三边关系，两边的差小于第三边，可以判定当P点在OM和ON的交点处|PA−PB|的值最大，从而求得P点到O点的距离．【解答】解：因为A、B在OM上，要使|PA−PB|的值最大，P应在OM上，如果P不在OM上，则P、A、B构成三角形，根据三角形的三边关系，|PA−PB|<AB，所以，P是OM和ON的交点，即O点，所以P到O的距离为0．30.【答案】解：把点A向下平移河②的宽度后得到A″，平移两条河的宽度后到点A′，连接A′B交于b于点P，作PQ⊥b，连接A″Q，交c于M，作MN⊥d于N，由于A″A′平行且等于PQ，AA′平行且等于MN，则四边形A″A′PQ是平行四边形，四边形AA′MN是平行四边形，有A′P=QA″，AN=A″M，由于A′B是点A′到点B的最短距离，所以在PQ、MN处建桥就是使得A村到B村总路程最短的桥的位置．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】把点A向下平移河②的宽度后得到A″，平移两条河的宽度后到点A′，连接A′B交于b于点P，连接A″Q，交c于M，则点P、M就是所求的建桥的位置．【解答】解：把点A向下平移河②的宽度后得到A″，平移两条河的宽度后到点A′，连接A′B交于b于点P，作PQ⊥b，连接A″Q，交c于M，作MN⊥d于N，由于A″A′平行且等于PQ，AA′平行且等于MN，则四边形A″A′PQ是平行四边形，四边形AA′MN是平行四边形，有A′P=QA″，AN=A″M，由于A′B是点A′到点B的最短距离，所以在PQ、MN处建桥就是使得A村到B村总路程最短的桥的位置．31.【答案】解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，△PMN的最小周长为：PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，。

2022-2023学年人教版八年级数学上册《最短路径问题》专题练习(含答案)

最短路径问题专题练习1．如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（）A．B．C．D．2．小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．3．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（）A．（BM垂直于a）B．（AM不平行BN）4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．9.6B．8C．6D．4.85．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则P A+PQ的最小值是（）A．1B．2C．3D．46．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF 的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105°B．115°C．120°D．130°7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°8．在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m．上的一动点，则△APC的周长的最小值为（）A．6B．10C．11D．139．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，BD 平分∠ABC ，如果点M ，N 分别为BD ，BC上的动点，那么CM +MN 的最小值是（）A ．4B ．4.8C ．5D ．610．如图，OE 为∠AOB 的角平分线，∠AOB ＝30°，OB ＝6，点P ，C 分别为射线OE ，OB 上的动点，则PC +PB的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．611．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD ＝BC ，点P 为直线BC 上方的一个动点，△PBC 的面积等于△ABC的面积的12，则当PB +PC 最小时，∠PBD 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12．如图，在锐角三角形ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝60°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB上的动点，当BM +MN 取得最小值时，AN ＝（）A ．2B ．4C ．6D ．813．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足S△PBC=12S△ABC，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，作AD⊥BC于点D，AD=12AB，点E为AC边上的中点，点P为BC上一动点，则P A+PE的最小值为．15．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB＝．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A﹣PB的最大值为（）A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm17．如图，AB＝AC＝8，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上一动点，则|PB ﹣PC|的最大值是．思考题1．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°2．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN 最小时，∠MBN的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°最短路径问题专题练习（答案）1．如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（D）A．B．C．D．2．小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（B）A．B．C．D．3．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（D）A．（BM垂直于a）B．（AM不平行BN）4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．9.6B．8C．6D．4.8【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．∵S△ABC=12BC•AD=12AC•BQ，∴BQ=BC⋅ADAC=12×810=9.6．故选：A．5．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则P A+PQ的最小值是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作AH⊥OB于H，交OC于P，作PQ⊥OA于Q，∵∠OAB＝∠AOB＝15°，∴PH＝PQ，∴P A+PQ＝P A+PH＝AH，∴P A+PQ的最小值为AH，在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝6，∠ABH＝30°，∴AH=12AB＝3，∴P A+PQ的最小值为3，故选：C．6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF 的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105°B．115°C．120°D．130°【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故选：B．7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD 于N，交BC于M，连接AM、AN，∵∠B＝∠D＝90°，∴AN＝NF，AM＝EM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，∵∠F AN＝∠F，∠E＝∠EAM，∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，∵∠BAD＝130°，∴∠E+∠F＝50°，∴∠BAM+∠F AN＝50°，∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，故选：C．8．在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m．上的一动点，则△APC的周长的最小值为（）A．6B．10C．11D．13【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，∴BP＝CP，∴△ACP的周长＝AP+PC+AC＝BP+AP+AC≥AB+AC，∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，∵AB＝6，BC＝7，AC＝4，∴△ACP的周长6+4＝10，∴△ACP的周长最小值为10，故选：B．9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（）A．4B．4.8C．5D．6【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵BD平分∠ABC，∴ME＝MN，∴CM+MN＝CM+ME＝CE．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，∴S△ABC=12•AB•CE=12•AC•BC，∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8．即CM+MN的最小值是4.8，10．如图，OE 为∠AOB 的角平分线，∠AOB ＝30°，OB ＝6，点P ，C 分别为射线OE ，OB 上的动点，则PC +PB 的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：过点B 作BD ⊥OA 交于D 点，交OE 于点P ，过点P 作PC ⊥OB 交于C 点， ∵OE 为∠AOB 的角平分线，∴DP ＝CP ，∴PB +PC ＝PD +PB ＝BD ，此时PC +PB 的值最小，∵∠AOB ＝30°，OB ＝6，∴BD ＝3，故选：A ．11．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD ＝BC ，点P 为直线BC 上方的一个动点，△PBC 的面积等于△ABC 的面积的12，则当PB +PC 最小时，∠PBD 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【解答】解：∵△PBC 的面积等于△ABC 的面积的12，∴P 在与BC 平行，且到BC 的距离为12AD 的直线l 上，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，∵AD⊥BC，AD＝BC，∴BB'＝BC，BB'⊥BC，∴△BB'C是等腰直角三角形，∴∠B'＝45°，∵PB＝PB'，∴∠PBB'＝∠B'＝45°，∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；故选：B．12．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴E点在AC上，∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小，由对称性可知，AE＝AB，∵AB＝4，在Rt △ABE 中，∠EAN ＝60°，∴∠AEN ＝30°，∴AN ＝2，故选：A ．13．如图，△ABC 中，AD 垂直BC 于点D ，且AD ＝BC ，BC 上方有一动点P 满足S △PBC =12S △ABC，则点P 到B 、C 两点距离之和最小时，∠PBC 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【解答】解：∵S △PBC =12S △ABC ，∴P 在与BC 平行，且到BC 的距离为12AD 的直线l 上， ∴l ∥BC ，作点B 关于直线l 的对称点B '，连接B 'C 交l 于P ，如图所示：则BB '⊥l ，PB ＝PB '，此时点P 到B 、C 两点距离之和最小，作PM ⊥BC 于M ，则BB '＝2PM ＝AD ，∵AD ⊥BC ，AD ＝BC ，∴BB '＝BC ，BB '⊥BC ，∴△BB 'C 是等腰直角三角形，∴∠B '＝45°，∵PB ＝PB '，∴∠PBB '＝∠B '＝45°，∴∠PBC ＝90°﹣45°＝45°；14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，作AD⊥BC于点D，AD=12AB，点E为AC边上的中点，点P为BC上一动点，则P A+PE的最小值为4．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝8，AD⊥BC，∴BD＝CD＝4，延长AD至A'，使AD＝A'D，连接A'E，交BC于P，此时P A+PE的值最小，就是A'E的长，∵AD=12AB，AA′＝2AD，∴AA'＝AB＝AC，∵AD＝A'D，AD⊥CD，∴AC＝A'C，∴△AA'C是等边三角形，∵E是AC的中点，∴A'E⊥AC，∴A'E＝CD＝4，即P A+PE的最小值是4，故答案为：4．15．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB＝30°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD＝5，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN＝5，∴DM+CN+MN＝5，即CD＝5，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；故答案为30°．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A﹣PB的最大值为（）A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm【解答】解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm），在MN上取点P，∵MN垂直平分AC连接P A、PB、PC∴P A＝PC∴P A﹣PB＝PC﹣PB在△PBC中PC﹣PB＜BC当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm．故选：B．17．如图，AB＝AC＝8，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P 为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是8．【解答】解：如图．作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．则AB＝AB'，PB'＝PB，∠B'AD＝∠BAD＝25°，∠B'AC＝∠BAC﹣∠BAB'＝110°﹣25°﹣25°＝60°．∵AB＝AC＝8，∴AB'＝AC＝8，∴△AB'C是等边三角形，∴B'C＝8，在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值B'C，即为8．∴|PB﹣PC|的最大值是8．故答案为：8．思考题1．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN=12（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+12（180°﹣β），∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），∴β﹣α＝40°，故选：C．2．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故选：C．。

专题08 旋转中的最值问题(解析版)

专题08 旋转中的最值问题考点一费马点问题求最值【方法点拨】费马点证明都是依据旋转思想，构造三角形全等，然后将三条线段之和转化到是否在一条直线上来决定最小值。

这个思路一定要掌握，因为它会应用在实际的考试题目中。

【典例剖析】1．（经典例题）已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求P A +PB +PC 的最小值．【点拨】顺时针旋转△BPC 60度，可得△PBE 为等边三角形，若P A +PB +PC ＝AP +PE +EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上，求出AF 的值即可．【解析】解：顺时针旋转△BPC 60度，可得△PBE 为等边三角形．即得P A +PB +PC ＝AP +PE +EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小P A +PB +PC ＝AF ．此时∠EBC +∠CBP ＝∠FBE +∠EBC ＝60°＝∠FBC ，所以∠ABF ＝90°+60°＝150°，∠MBF ＝30°，BM ＝BF •cos30°＝BC •cos30°=√32，MF =12，则AM ＝1+√32=2+√32，在△AMF 中，勾股定理得：AM 2+MF 2＝AF 2AF =√2+√3=(√22)2+2×√22×√62+(√62)2=(√2+√62)2=√2+√62．2．（朝阳区二模）阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，在△ABC内部有一点P，连接P A、PB、PC，求P A+PB+PC的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，P A+PB+PC的最小值为√61；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于P A+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当P A+PB+PC值最小时PB的长．【点拨】（1）先由旋转的性质得出△APC≌△EDC，则∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝5，∠PCD＝60°，再证明∠BCE＝90°，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的长度，即为P A+PB+PC的最小值；（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，则线段BD即为P A+PB+PC最小值的线段；②当B、P、E、D四点共线时，P A+PB+PC值最小，最小值为BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DEC，则CP＝CE，再证明△PCE是等边三角形，得到PE＝CE＝CP，然后根据菱形、三角形外角的性质，等腰三角形的判定得出BP＝CP，同理，得出DE＝CE，则BP＝PE＝ED=13BD．【解析】解：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，∴△APC≌△EDC，∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝5，∠PCD＝60°，∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°．在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝6，CE＝5，∴BE=√BC2+CE2=√62+52=√61，即P A+PB+PC的最小值为√61；（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，则线段BD等于P A+PB+PC最小值的线段；②如图，当B、P、E、D四点共线时，P A+PB+PC值最小，最小值为BD．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，∴△APC≌△DEC，∴CP＝CE，∠PCE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴PE＝CE＝CP，∠EPC＝∠CEP＝60°．∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP=12∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠EPC﹣∠CBP＝60°﹣∠30°＝30°，∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DE＝CE，∴BP＝PE＝ED．连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt △BOC 中，∵∠BOC ＝90°，∠OBC ＝30°，BC ＝4，∴BO ＝BC •cos ∠OBC ＝4×√32=2√3，∴BD ＝2BO ＝4√3，∴BP =13BD =4√33．即当P A +PB +PC 值最小时PB 的长为4√33．故答案为：4√33．3．（延庆县一模）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB ＝2，AC ＝4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ′BC ，连接A ′A ，当点A 落在A ′C 上时，此题可解（如图2）．（1）请你回答：AP 的最大值是 6 ．（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt △ABC ．边AB ＝4，P 为△ABC 内部一点，请写出求AP +BP +CP 的最小值长的解题思路．提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A′BP′．①请画出旋转后的图形②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．【点拨】（1）由旋转得到△A′BC，有△A′BA是等边三角形，当点A′A、C三点共线时，A′C＝AA′+AC，最大即可；（2）由旋转得到结论P A+PB+PC＝P1A1+P1B+PC，只有，A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，根据勾股定理，即可．【解析】解：（1）∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA＝60°，A′B＝AB，AP＝A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A＝AB＝BA′＝2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C＝AA′+AC，即AP＝6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）①旋转后的图形如图1；②如图2，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A1P1B．则A1B＝AB＝BC＝4，P A＝P1A1，PB＝P1B，∴P A+PB+PC＝P1A1+P1B+PC．∵当A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，∴A1C＝P A+PB+PC，∴A1C长度即为所求．过A1作A1D⊥CB延长线于D．∵∠A1BA＝60°（由旋转可知），∴∠A1BD＝30°．∵A1B＝4，∴A1D＝2，BD＝2√3∴CD＝4+2√3；在Rt△A1DC中，A1C=√A1D2+DC2=√22+(4+2√3)2=2√2+2√6．4．（2019春•灞桥区校级期末）问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．问题提出：如图1，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，求P A+PB+PC 的最小值．方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．问题解决：如图2，将△BP A绕点B逆时针旋转60°至△BP'A'，连接PP'、A'C，记A′C与AB交于点D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP 为正三角形，有PB＝P'P．故PA+PB+PC=P′A+P′P+PC≥A′C=√3．因此，当A'、P'、P、C共线时，P A+PB+PC有最小值是√3．学以致用：（1）如图3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，则的最小值是5．（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB=2√2，CA=3，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，求√2PA+PB+PC的最小值．（3）如图5，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接P A、PD、PQ，求P A+PD+PQ 的最小值．【点拨】（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，易知△AFP是等边三角形，∠EAB＝90°，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．（2）将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAB＝135°，作EH⊥BA交BA的延长线于H．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．（3）如图5中，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则易知△AFP是等边三角形，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“垂线段最短”求最小值．【解析】解：（1）如图3中，将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，易知△AFP是等边三角形，∠EAB＝90°，在Rt△EAB中，BE=√AE2+AB2=5，∵P A+PB+PC＝EF+FP+PB≥BE，∴P A+PB+PC≥5，∴P A+PB+PC的最小值为5．故答案为5．（2）如图4中，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAB＝135°，作EH⊥BA交BA的延长线于H．在Rt△EAH中，∵∠H＝90°，∠EAH＝45°，AE＝AB＝2√2∴EH＝AH＝2，在Rt△EHC中，EC=√22+52=√29∵√2P A+PB+PC＝FP+EF+PC≥CE，∴P A+PB+PC≥√29，∴P A+PB+PC的最小值为√29．（3）如图5中，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则易知△AFP是等边三角形，作EH ⊥BC 于H ，交AD 于G ．∵P A +PD +PQ ＝EF +FP +PQ ≤EH ，易知EG ＝AE •sin60°=√3，GH ＝AB ＝2，∴EH ＝2+√3，∴P A +PD +PQ ≤√3+2，∴P A +PD +PQ 的最小值为√3+2．考点二其它旋转中的最值问题【方法点拨】正确的作出辅助线构造全等三角形是解决此类题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线．【典例剖析】1．（无锡一模）如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为BC 上任意一点（可以与B 点或C 重合），分别过B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B '，C '，D '，则BB '+CC '+DD '的最大值与最小值的和为 2+√2 ．【点拨】连接AC ，DP ，根据正方形的性质可得出AB ＝CD ，S正方形ABCD ＝1，由三角形的面积公式即可得出12AP •（BB ′+CC ′+DD ′）＝1，结合AP 的取值范围即可得出BB ′+CC ′+DD ′的范围，将其最大值与最小值相加即可得出结论．【解析】解：连接AC ，DP ，如图所示．∵四边形ABCD 是正方形，正方形ABCD 的边长为1，∴AB ＝CD ，S 正方形ABCD ＝1，∵S △ADP =12S 正方形ABCD =12，S △ABP +S △ACP ＝S △ABC =12S 正方形ABCD =12，∴S △ADP +S △ABP +S △ACP ＝1，∴12AP •BB ′+12AP •CC ′+12AP •DD ′=12AP •（BB ′+CC ′+DD ′）＝1，则BB ′+CC ′+DD ′=2AP， ∵1≤AP ≤√2， ∴当P 与B 重合时，有最大值2；当P 与C 重合时，有最小值 √2．∴√2≤BB ′+CC ′+DD ′≤2，∴BB '+CC '+DD '的最大值与最小值的和为2+√2．故答案为：2+√2．2．（2019•金台区二模）如图，正方形ABCD 的边长为2√3，点E 为正方形外一个动点，∠AED ＝45°，P 为AB 中点，线段PE 的最大值是 √15+√6 ．【点拨】当点E 在正方形右侧时，连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ，EO ，根据A ，C ，E ，D 四点共圆，可得OE ＝OD =12BD =√6，再根据PE ≤OP +OE =√6+√3，可得当点O 在线段PE 上时，PE ＝OP +OE =√6+√3，则线段PE 的最大值为√6+√3；当点E 在正方形上方时，作斜边为AD 的等腰直角△AOD ，则点E 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，当点P ，点O ，点E 共线时，PE 的值最大，求得此时PE 最大值为√15+√6；比较两个最大值，可得最终结果．【解析】解：如图，若点E在正方形右侧，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，∴A，C，E，D四点共圆，∵正方形ABCD的边长为2√3，∴OE＝OD=12BD=√6，∵P为AB的中点，O是BD的中点，∴OP=12AD=√3，∵PE≤OP+OE=√6+√3，∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE=√6+√3，即线段PE的最大值为√6+√3，如图，点E在正方形ABCD上方，作斜边为AD的等腰直角△AOD，∠AOD＝90°，则点E在以O为圆心，OA为半径的圆上，∴当点P，点O，点E共线时，PE的值最大，过点O作ON⊥AB，交BA延长线于点N，∵AD＝2√3，AO＝DO，∠AOD＝90°∴AO=√6，∠OAD＝45°，∵ON⊥AB，AD⊥AB∴∠NAO＝∠NOA＝45°∴AN＝NO=√3∴PO=√PN2+ON2=√12+3=√15∴PE最大值为√15+√6＞√6+√3，故答案为：√15+√63．（2018•无锡一模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC （A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB 的左侧作等边三角形BOE，连接AE．（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）线段OC的最大值为3．【灵活运用】（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB 外一动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【迁移拓展】（4）如图③，BC＝4√2，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．【点拨】（1）结论：OC＝AE．只要证明△CBO≌△ABE即可；（2）利用三角形的三边关系即可解决问题；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝P A＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2√2+3；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝4√2=定值，∠BDC＝90°，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；【解析】解：（1）如图①中，结论：OC＝AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE，∴OC＝AE．（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，∴当E、O、A共线，∴AE的最大值为3，∴OC的最大值为3．故答案为3．（3）如图1，连接BM，菁优网∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝P A＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）最大值＝AB+AN，∵AN=√2AP＝2√2，∴最大值为2√2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE=√2，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3−√2=2−√2，∴P（2−√2，√2）．（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4√2=定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2√2+2 √2，∴AC的最大值为2√2+2√6．当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为2√6−2√2．4．如图1正方形ABCD，边CD在等腰三角形DEF的边DE上，AB＝3，DE＝5，连接AE、CF，点M、N 分别是AE、CF的中点，连DM、DN、MN．（1）直接写出AE与CF的关系和△DMN的形状．（2）如图2，将等腰直角三角形DEF绕点D顺时针旋转α°（0°≤α≤45°），连接AE、CF，点M、N分别是AE、CF的中点，连DM、DF、MN．此时（1）中的两个结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．（3）在（2）的条件下，△ECF的面积在旋转过程中变化吗？若没有变化，请直接写出面积；若有变化，请直接写出它的最大值和最小值．【点拨】（1）如图1中，结论：AE＝CF，AE⊥CF，△DMN是等腰直角三角形．证明△ADE≌△CDF（SAS）即可解决问题．（2）如图2中，结论成立．证明△ADE≌△CDF（SAS），再证明△ADM≌△CDN（SSS）即可解决问题．（3）△DMN的面积是变化的．求出△DMN面积的最小值或最大值即可解决问题．【解析】解：（1）如图1中，结论：AE＝CF，AE⊥CF，△DMN是等腰直角三角形．理由：延长FC交AE于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF，∠DEF＝90°，∵AD＝DC，∠ADE＝∠CDE，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DCF＝∠EAD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠HCE＝∠DCF，∴∠HCE+∠AED＝90°，∴∠CHE＝90°，∴AE⊥CF，∵AM＝EM，CN＝NF，∴DM=12AE＝AM＝ME，DN=12CF＝CN＝NF，∴DM＝DN，∠ADM＝∠MAD，∠DCN＝∠NDC，∴∠ADM＝∠CDN，∴∠NDM＝∠ADC＝90°，∴△MDN是等腰直角三角形．（2）如图2中，结论成立．理由：延长FC交AE于H．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵AD＝DC，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DCF＝∠EAD，∵∠DCF+∠DCH＝180°，∴∠DAH+∠DCH＝180°，∴∠ADC+∠AHC＝180°，∵∠ADC＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AE⊥CF，∵△ADE≌△CDF，DM，DN是三角形的中线，∴DM＝DN，AM＝CN，∵AD＝DC，∴△ADM≌△CDN（SSS），∴∠ADM＝∠CDN，∴∠NDM＝∠ADC＝90°，∴△MDN是等腰直角三角形．（3）如图3中，△ECF的面积在旋转过程中有变化．①当DE与DC重合时，DM的长最小，此时△DMN的值最小，DM最小值=12•√AD2+DE2=12•√32+52=√342，此时△DMN的面积=12×√342×√342=174．②当旋转角为45°时，DM 的值最大，此时△DMN 的面积最大．如图3中，DA ＝3，DE ＝5，∠ADM ＝45°，作 EH ⊥DA 交DA 的延长线于H ，MK ⊥AH 于K ．则HE ＝DH =5√22，∵MK ∥EH ，AM ＝ME ，∴AK ＝KH =12（DH ﹣AD ）=12（5√22−3），MK =12EH =5√24， ∴DM 2＝MK 2+DK 2＝（5√24）2+[3+12（5√22−3）]2=172+15√24， ∴△DMN 的面积的最大值=12DM 2=174+15√28．。

(完整版)初二数学最短路径问题知识归纳+练习

初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。

2020中考数学旋转求线段最值题型

2020中考数学旋转求线段最值题型一.利用旋转转化为三点或四点共线求最值1.如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．2.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是 .3.如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，当PA+PB+PC值最小时PB的长为．4.如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．5.如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为．6.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 .7.如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．二.利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值1.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为．2.如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．3.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．4.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 .5.图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则AC+OC的最小值是．6.如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到 EG的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值为．三.利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值1.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．2.已知：AD＝2，BD＝4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．当∠ADB变化时，则CD的最大值．3.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝6，DA＝10，则CD的最小值为5.如图在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°．若AB＝4cm，AD＝3cm，则对角线AC的最大值为cm．6.如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．若∠ABC＝30°，∠ACD＝45°，AC＝2，则B、D之间距离的最大值为．。

专题05 最短路径的三种考法(原卷版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册人教版)

专题05最短路径的三种考法类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题）（1）若点C 是y 轴上任意一点，连接AC ，在直线AC 上方以AC 为一边作等边①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD ，求证：AB ⊥BD ；②若△ABD 是等腰三角形，求点C 的坐标；（2）如图2，若FB 是OA 边上的中线，点M 是FB 一动点，点N 是OB 一动点，且的值最小，请在图2中画出点M 、N 的位置，并求出OM+NM 的最小值．【变式训练1】如图所示，点(,0)A a ，(0,)B b ，且a ，b 满足2(1)|22|0a b -+-=轴上异于原点O 和点A 的一个动点，连接PB ，以线段PB 为边构造等腰直角BPE 点），连接AE ．(1)如图1所示，直接写出点A 的坐标为，点B 的坐标为；(2)如图2所示，当点P 在点O ，A 之间运动时，则AB 、AE 之间的位置关系为明；(3)如图3所示，点P 在x 轴上运动过程中，若AE 所在直线与y 轴交于点F ，请直接写出点的坐标为，当OE BE +的值最小时，请直接写出此时OE 与BE 之间的数量关系【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM 的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．类型二、几何图形中的最短路径问题A．36︒B．48︒中，例2．如图，在三角形ABC=线段BD，BC上的动点，BM CN【变式训练2】如图，等腰三角形线EF分别交边AC，AB于点+的最小值为（）CM MDA．8B．10【变式训练3】如图，在等边△ABC 在AD的右侧作等边△ADE，连接类型三、最短路径问题的实际应用例1.如图1，直线a b ，表示一条河的两岸，且a b ∥现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄A 经桥过河到村庄B 现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：小明：作AD a ⊥，交a b ，于点D ，点C ．在CD 处建桥．路径是---A C D B ．小红：作AD a ⊥，交a b ，于点D ，点C ；把CD 平移至BE ，连AE ，交b 于G ，作GF a ⊥于F ．在FG 处建桥．路径是A G F B ---．（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．（2）假设新桥就按小红的设计在FG 处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；【变式训练】阅读下列材料，解决提出的问题：最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．任务：数学思考（1）材料中划线部分的依据是．（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是．（填字母代号即可）A．转化思想B．分类讨论思想C．整体思想迁移应用（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为A C边上的动点，点D为AB 边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为cm．课后训练A ．43．如图，在五边形DE 上分别找到一点A ．100︒B ．4．如图，ACD 中，AB 12MCD ACD S S =△△，则点M6．如图，在边长为2的等边△最小值为．（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为()1,1，点B 的坐标为()4,3，动点上，求PA PB +的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC 中，6AB =，60BAC ∠=︒，BAC ∠的角平分线交BC M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值为______.（3）如图4，30AOB ∠=︒，5OC =，12OD =，点E ，F 分别是射线OA ，OB 上的动点，8．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，4AC =，CD 平分ACB ∠，交边AB 于点D ，点E 是边AB 的中点．点P 为边CB 上的一个动点．(1)AE =______，ACD ∠=______度；(2)当四边形ACPD 为轴对称图形时，求CP 的长；(3)若CPD △是等腰三角形，求CPD ∠的度数；(4)若点M 在线段CD 上，连接MP 、ME ，直接写出MP ME +的值最小时CP 的长度．。

中学数学平面几何最短路径练习题(含答案)

平面图形上的最短路径问题知识点：1.两点之间，线段最短2.垂线段最短3.线段垂直平分线是的点到线段两端点的距离相等4.三角形任意两边之差小于第三边总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”常考题型题：将军饮马、造桥选址、费马点（一）根据两点之间，线段最短题型一两点在直线同侧（将军饮马）题型二相交直线之间一点或两点题型四费马点（二）根据垂线段最短题型五和最小（三）根据线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等题型六差最小（四）根据三角形任意两边之差小于第三边题型七差最大题型一两点在直线同侧例题1：如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．3B．6解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN’最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），∵AD平分∠CAB，AE=AB，∴EO=OB，AD⊥BE，∴AD是BE的垂直平分线（三线合一），∴E和B关于直线AD对称，∴EM=BM，即BM+MN′=EM+MN′=EN′，∵EN’⊥AB，∴∠EN’A=90°，∵∠CAB=60°，∴∠AEN′=30°，∵AE=AB=6，∴AN’=3，在△AEN’中，由勾股定理得：EN’即BM+MN B．巩固练习：如图，在平面直角坐标系中，R t△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则P A+PC的最小值为____ _____．解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时P A+PC的值最小．∵DP=P A，∴P A+PC=PD+PC=CD．∵B（3，∴AB OA=3，∠B=60°．由勾股定理得：OB OA×AB OB×AM，∴AM AD．∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°．∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°．∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°．∴AN由勾股定理得：DN C（1，0），∴CN=3-1在R t△DNC中，由勾股定理得：DC∴P A+PC题型二相交直线之间一或两点例题2：如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R ．若△PQR 周长最小，则最小周长是（）A ．10B ．15C ．20D ．30 解：设∠POA =θ，则∠POB =30°﹣θ，作PM ⊥OA 与OA 相交于M ，并将PM 延长一倍到E ，即ME =PM ．作PN ⊥OB 与OB 相交于N ，并将PN 延长一倍到F ，即NF =PN ．连接EF 与OA 相交于Q ，与OB 相交于R ，再连接PQ ，PR ，则△PQR 即为周长最短的三角形．∵OA 是PE 的垂直平分线， ∴EQ =QP ；同理，OB 是PF 的垂直平分线， ∴FR =RP ， ∴△PQR 的周长=EF ． ∵OE =OF =OP =10，且∠EOF =∠EOP +∠POF =2θ+2（30°﹣θ）=60°， ∴△EOF 是正三角形，∴EF =10，即在保持OP =10的条件下△PQR 的最小周长为10，故选A ．巩固练习：如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =5，ON =12，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP +PQ +QN 的最小值是．解：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M’N’，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM’=OM =5，ON’=ON =12， ∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°，∴在Rt M ON ''中，''13M N = 故答案为：13．题型三造桥选址例题3：荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A 到B点路径最短？解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作B G⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E’、D’，作DD’、EE’即为桥证明：由做法可知，AF∥DD’，AF=DD’，则四边形AFDD’为平行四边形于是AD=FD’同理，BE=G E’由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图所示位置时，ADD’E’EB最短巩固练习：如图，工厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个工厂水平距离是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短（河岸是平行的）①请画出架桥的位置（不写画法）②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程.解：①如图所示，AA’=1km，则MN为架桥位置A B===②过点B作BE⊥AA’，交其延长线于点E。

初中数学最短路径问题专练习题附答案

最短路径问题专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，点A ，B 的坐标分别为(2,0),(0,2)A B ，点C 为坐标平面内一点，1BC =，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（）A1B 12C ．1D ．12【答案】B【解析】【分析】如图所示，取AB 的中点N ，连接ON ，MN ，根据三角形的三边关系可知OM ＜ON+MN ，则当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．【详解】解：如图所示，取AB 的中点N ，连接ON ，MN ，三角形的三边关系可知OM ＜ON+MN ，则当ON 与MN 共线时，OM= ON+MN 最大，∵(2,0),(0,2)A B ，则∵ABO 为等腰直角三角形，N 为AB 的中点，∵ON=12AB = 又∵M 为AC 的中点，∵MN 为∵ABC 的中位线，BC=1，则MN=1212BC =，12，∵OM 12【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．2．如图，在∵ABC中，AB＝2，∵ABC＝60°，∵ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE∵l，BF∵l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）B．C．D．A【答案】A【解析】【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【详解】解：如图，过点C作CK∵l于点K，过点A作AH∵BC于点H，在Rt∵AHB中，∵BH ＝1，AH在Rt∵AHC 中，∵ACB ＝45°，∵AC=∵点D 为BC 中点，∵BD ＝CD ，在∵BFD 与∵CKD 中，90BFD CKD BDF CDK BD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵BFD∵∵CKD （AAS ），∵BF ＝CK ，延长AE ，过点C 作CN∵AE 于点N ，可得AE+BF ＝AE+CK ＝AE+EN ＝AN ，在Rt∵ACN 中，AN ＜AC ，当直线l∵AC，综上所述，AE+BF．故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．3．如图，在ABC 中，AB AC =，边AC 的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，点D 是边BC 的中点，点P 是MN 上任意一点，连接PD ，PC ，若A α∠=，CPD β∠=，PCD 周长最小时，α，β之间的关系是（）A ．αβ>B ．αβ<C ．αβ=D ．90αβ=︒-【答案】C连接AP ，根据线段垂直垂直平分线的性质可知P A =PC ，PAC PCA ∠=∠．由PCD L DP PC CD =++，即得出PCD LDP PA CD =++，由此可知当A 、P 、D 在同一直线上时，PCD L 最小．再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD 为BAC ∠的平分线，即1122PAC A α∠=∠=．最后根据三角形外角性质即得出PAC PCA β=∠+∠，由此即可判断αβ=．【详解】如图，连接AP ，∵直线MN 是线段AC 的垂直平分线，且P 在线段MN 上，∵P A =PC ，PAC PCA ∠=∠．∵PCD LDP PC CD =++, ∵PCDL DP PA CD =++．由图可知CD 为定值，当A 、P 、D 在同一直线上时，DP PA +最小，即为AD 的长， ∵此时PCD L 最小．∵D 是边BC 的中点，AB =AC ，∵AD 为BAC ∠的平分线， ∵1122PAC A α∠=∠=． ∵CPD PAC PCA ∠=∠+∠，即PAC PCA β=∠+∠，∵αβ=．本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．根据题意理解当A 、P 、D 在同一直线上时PCD L 最小是解题关键． 4．如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，AB AC ⊥，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上一动点，则ABP △周长的最小值是（）A ．6B ．7C ．8D ．128【答案】B【解析】【分析】根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点E 重合时，AP BP +的最小值，求出AC 长度即可得到结论．【详解】解：设AC 交EF 于点E ，连接CP ，EF 垂直平分BC ，B ∴、C 关于EF 对称，∵CP BP =，∵CP AP AC +≥∵BP AP AC +≥，∴当P 和E 重合时，AP BP +的值最小，最小值等于AC 的长，ABP ∴∆周长的最小值是437AC AB +=+=．故选：B ．【点睛】题的关键是找出P的位置．5．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）cmA B．13cm C．D．【答案】B【解析】【分析】将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短即可知A′B的长度即为最短距离．利用勾股定理求出A′B即可．【详解】如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∵A′D＝5cm，A′E=AE=3，BD＝12﹣3+A′E＝12cm，∵A′B13cm．故选：B．【点睛】和勾股定理进行求解是解题的关键．6．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则MC+MD的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD∵BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵∵ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∵AD∵BC，∵S△ABC=12BC•AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∵点C关于直线EF的对称点为点A，∵AD的长为CM+MD的最小值，∵MC+MD的最小值为8．故选：B．【点睛】7．如图，在ABC 中，10AB AC BC ==，，60ABC S =△，AD BC ⊥于点D ，EF 垂直平分AB ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积公式得到6AD =，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD 的长度PB PD =+的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB AC =，10BC =，60ABC S =△，AD BC ⊥， ∵1=602BC AD ⨯， ∵12AD =，∵EF 垂直平分AB ，∵点A ，B 关于直线EF 对称，∵EF 与AD 的交点即为P 的，此时PA PB =，AD 的长度PB PD =+的最小值，即PB PD +的最小值为12，故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道AD 的长度PB PD =+的最小值是解题的关键．分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则∵CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】【分析】根据题意，点A，点C关于EF对称，连接AD，交EF于点M，则△CDM周长的最小值AD+DC，利用三角形面积公式计算AD即可．【详解】∵AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，∵点A，点C关于EF对称，连接AD，交EF于点M，则△CDM周长的最小值是AD+DC，∵AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，点D为BC边的中点，∵AD∵BC，DC=2，11416 22BC AD AD=⨯⨯=，解得AD=8，∵△CDM周长的最小值为：AD+DC=8+2=10，故选C．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，将军饮马河原理，三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的性质，将军饮马河原理是解题的关键．9．如图，菱形ABCD的边长为9，面积为P、E分别为线段BD、BC上的动点，则PE+PC的最小值为___．【答案】【解析】【分析】如图，连接AP，过点A作AH∵BC于H．说明P A=PC，再根据垂线段最短，解决问题即可．【详解】解：如图，连接AP，过点A作AH∵BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∵A、C关于BD对称，∵P A=PC，∵PE+PC=AP+PE，∵AP+PE≥AH，∵S菱形ABCD=BC•AH，∵AH ，∵PE+PC∵PE+PC的最小值为故答案为：．垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，已知点A （0，4）．以AB 为直角边在AB 左侧作等腰直角△ABC ，∵CAB ＝90°．(1)当点B 在x 轴正半轴上，且AB ＝8时∵求AB 解析式；∵求C 点坐标；(2)当点B 在x 轴上运动时，连接OC ，求AC +OC 的最小值及此时B 点坐标．【答案】(1)∵4y =+；∵C (4,4--(2)(2,0)B【解析】【分析】（1）∵根据(0,4)A ，8AB =，推出OB B ，0)，设直线AB 的解析式为4y kx =+，将A 、B 坐标代入即可求出AB 解析式；∵过点A 作x 轴的平行线，分别过点C 、B 作y 轴的平行线，交于G 、H ．则AHB CGA ∆∆，所以4AG HB ==，CG AH ==C (4,4--；（2）由AGC BHA ∆≅∆可知4AG =，点C 在直线4x =-上运动，作点O 关于直线4x =-的对称点O '，所以AC OC AC O C '+=+，AC OC +的最小值为AO '的长度，此时2OB AH CG ===，即可求出B 坐标．(1)解：∵(0,4)A ，8AB =，OB ∴B ∴0)，设直线AB 的解析式为4y kx =+，04∴=+，k =AB ∴解析式：4y x =+； ∵过点A 作x 轴的平行线，与分别过点C 、B 作y 轴的平行线交于G 、H ．则AHB CGA ∆∆()AAS4AG HB ∴==，CG AH ==C ∴(4,4--；(2)由AGC BHA ∆≅∆可知4AG =，(B 在x 轴负半轴同理可说明）点C 在直线4x =-上运动，作点O 关于直线4x =-的对称点O '，4OC O C '∴==，448OO '=+=，AC OC AC O C '∴+=+．AC OC +的最小值为AO '=此时2OB AH CG ===，(2,0)B ∴．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点C的运动轨迹是关键．。

八年级数学上册最短路径问题(将军饮马)专项训练(含解析)

最短路径问题（将军饮马）专项训练一、单选题1．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =，60ABC S =△，D 是BC 中点，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．132．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上，点P 也在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC 且要回到P ），则这个人所走的路程最少是（）A ．7B ．14C ．10D ．不确定3．如图，在等边△ABC 中，AB ＝2，N 为AB 上一点，且AN ＝1，AD ＝3，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM 、MN ，则BM+MN 的最小值是（）A ．3B ．2C ．1D ．34．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则BQ+QP 的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°6．图1为某四边形ABCD纸片，其中∠B=70°，∠C=80°．若将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，如图2所示，则∠MNB的度数为（）度.A．90 B．95 C．100 D．1057．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15 B．17 C．18 D．208．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD的面积为（）A．13B．23C．43D．839．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，AB =8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是A ．4B ．5C ．6D ．711．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5，BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是（）A ．29B ．21C ．74D ．4512．如图是一块长，宽，高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体纸盒子，一只老鼠要从长方体纸盒子的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A ．(3213cm +B 85cmC 97cmD 109cm13．如图，ABC ∆是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．2314．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．615．如图，A 、B 是两个居民小区，快递公司准备在公路l 上选取点P 处建一个服务中心，使P A +PB 最短．下面四种选址方案符合要求的是（）A ．B ．C ．D ．16．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点A 1处，CA 1与AB 交于点N ，且AN=AC ，则∠A 的度数是（）A ．30°B ．36°C ．50°D ．60°17．如图，在ABC 中，90BCA ∠=︒，3BC =，4CA =，AD 平分BAC ∠，点M N 、分别为AD AC 、上的动点，则CM MN +的最小值是（）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．518．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C 的坐标为（m ，3 m ）（m 为非负数），则CA ＋CB 的最小值是（）A ．6B ．37C ．27D ．5二、填空题 19．如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，H 是AD 上任意一点．如果10AB AC BC ===，53AD =，那么HE HB +的最小值是．20．如图，在ABC 中，10AB AC cm ==，8BC cm =，AB 的垂直平分线交AB 于点M ，交AC 于点N ，在直线MN 上存在一点P ，使P 、B 、C 三点构成的PBC 的周长最小，则PBC 的周长最小值为______．21．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6，面积是36，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值____．22．如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为___________.23．等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为__．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，M是AB边上一动点，N是AC边上的一动点，则MN+MC的最小值为_____．25．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为____．26．如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是________．27．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.28．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线4AD=，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，EB EF+的最小值是______．29．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR 周长最小，则最小周长是_____30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC 的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.32．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．33．某市为解决农村燃气困难，在P处建立了一个燃气站，从P站分别向A、B、C村铺设燃气管道。

九年级数学-旋转中的最值、路径长

第13讲旋转中的最值、路径长【板块一】旋转最值题型一运用垂线段最短求最值【例1】如图，等边△ABC 边长为6，点E 是中线AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ，在点E 运动过程中，DF 的最小值为 .BA CE FD【解析】取AC 的中点G ，连接EG ，在△DCF 和△GCE 中，CE ＝CF ，∠DCF ＝∠GCE ，∴△DCF ≌△GCE （SAS ），∴DF ＝EG .根据垂线段最短，EG ⊥AD 时，EG 最短，即DF 最短，∵︒=︒⨯=∠306021CAD ，362121=⨯==AC AG ，∴EG 的最小值为5.132121=⨯=AG ， ∴DF 的最小值为1.5. 【例2】如图，点B （0，3），点A 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得AC ，连接OC ，求OC 长的最小值.xx【解析】在x 轴正半轴上取点F ，使OF ＝OB ＝3，延长CF 交y 轴于点D ，在OB 上截取OE ＝O A .证△AFC ≌△BE A . ∴∠CF A ＝∠AEB ＝135°，得点C 在直线DF 上运动，△ODF 为等腰直角三角形，当OC ⊥DF 时OC 最小为22323=.题型二运用两边之和大于第三边求最值【例3】如图，在直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝AC ＝5，BP ＝2，将PC 绕点C 逆时针旋转90°得线段CD ，连接BD ，当BP 绕点B 旋转时，线段BD 的最小值为 .CB PDCABPD【解析】连接AP ，∴△DCB ≌△PCA （SAS ），∴AP ＝BD ，当点P 在AB 的延长线上时，AP 的最大值＝AB ＋PB ＝25＋2，∴BD 的最大值为225+.【例4】如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BC ＝C A .若AC ＝52，点P 为BC 的中点，动点Q 满足PQ ＝3，将线段AQ 绕点A 逆时针旋转90°到线段AM ，连PM ，则线段PM 的最小值为 .CAMQ PN【解析】连接AP ，将AP 绕点A 逆时旋转90°到AN ，连接PN ，MN .易证△APQ ≌△ANM ，∴MN ＝PQ ＝3，AP ＝AN ＝522=+PC AC ，∴PN ＝2AP ＝25，325-=-≥MN PN PM ，∴PM 最小值为325-.题型三运用中线，中位线求最值【例5】如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA ，CD 分别绕点B ，C 以相同的速度同时逆时针旋转一周，四边形ABCD 的形状也随之发生改变，A 'C 与D 'B 交于点O ′，那么在旋转的过程中，求AO '的最大值.BADC OD'A'O'B ADCOD'A'O'G【解析】首先证A 'B ∥CD '，得四边形A 'BCD '为菱形，∴A 'C ⊥BD '.取BC 的中点G ，连接AG ，O ′G ，则O ′G ＝BC 21＝1，AG ＝51222=+，在△AO ′G 中，15'15+≤≤-AO ，故AO ′的最大值为15+.针对练习11.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝10，D 为线段AC 上一动点，将线段BD 绕点D 逆时针旋转90°.点B 的对应点为点E ，连接AE ，求AE 长的最小值.ACBDE解：在AC 上取点F ,使CF ＝BC ＝6.在CB 上取点G ，使CG ＝CD ，可证△DEF ≌△BDG ，∴∠EFD ＝∠BGD ＝135°，∴∠AFE ＝45°，得点E 在直线FE 上运动，且AE ⊥FE 时，AE 的最小值为222610=-.2.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得PM ，求AM 长的最大值.xx解：将△APM 绕点P 顺时针旋转90°得△NPB ，连接AN ，则BN ＝AM ，△ANP 为等腰直角三角形， ∴222==PA AN ，又3=AB .∴在△ANB 中，223223+≤≤-BN ，即AM 长的最大值为223+.3.如图，边长为4的正方形ABCD 外有点E ，∠AEB ＝90°，F 为DE 的中点，连接CF .求CF 的最大值.FEDC BA解：N M A BDE FG取AB 的中点G ，过点G 作GN ⊥CD 于点N ，延长DC 至点M ，使CM ＝CD ，则MN ＝6，GN ＝4，∴GM＝又EG ＝12AB ＝2，∴在△EMG 中，EG 2，而FC ＝12EM ，故FC1，∴CF 1.【板块二】旋转图形中动点的路径与动线段的取值范围题型一旋转图形中点的运动路径【例1】在平面直角坐标系中，点C 沿某条路径运动，以点C 为旋转中心，将点A (0，4)逆时针旋转90°到点B (m ，1)，若－5≤m ≤5，求点C 运动的路径长. 【解析】如图，过点C 作MN ∥y 轴，AN ⊥MN 于点N ，BM ⊥MN 于点M ，则△CAN ≌△BCM ，AN ＝CM ，CN ＝BM ，∵AN ＝x c ，CM ＝y C －1，CN ＝4－ y C ，BM ＝x C －m ，解得x C ＝32m +，y C ＝52m +，∵－5≤m ≤5，∴－2≤m ＋3≤8，∴－1≤x C ≤4，y C ＝x C ＋1，当x C ＝－1时，C (－1，0)；当x C ＝4时，C (4，5)；点C 的运动路【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝13x －1分别交x 轴，y 轴于点B ，点A ，点M 为直线AB 上一动点，连接OM ，将线段OM 绕点M 逆时针旋转90°，点O 的对应点为点N .当点M 运动时，判断点N 的运动路线是什么图形，并说明理由.【解析】点N 在直线y ＝－12x －32上运动，理由如下：设M (m ，13m －1)，过点M 作MC ⊥OB 于点C ，过点N 作ND ⊥MC 于点D ，可证△OCM ≌△MDN ，OC ＝MD ＝m ，ND ＝CM ＝1－13m ，D (m ，－1－23m )，N (43m－1，－1－23m ），x N ＝43m －1①，y N ＝－1－23m ②，由①＋②×2得：－2－43m ＋43m －1＝x N ＋2y N ，∴x N ＋2y N ＝－3，y N ＝－12x －32·题型二旋转图形中变量的取值范围【例3】在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D ，E 分别在AC ，BC 上，DE ∥AB ，CF ⊥DE 于点F ，AC ＝6，CF ＝4，G 是AE 中点.（1）如图1，直接写出FG ，BE 的数量关系和位置关系为；（2）如图2，将△CFE 绕点C 旋转，在旋转过程中，线段GF 的取值范围是 .图1ABC DEFG图2ABCEFG【解析】（1）FG ＝12BE ，且FG ⊥BE ；（2）延长EF 至点D ，使DF ＝EF ，连接AD ，易得FG ＝12AD ，在Rt △CDE 中，CD ＝由旋转得，当点D 在边AC 上时，AD 最小，最小值为AC －CD ＝6－，FG 最小＝12AD ＝3－，当点D 在边AC 延长线时，AD 最大，AD 最大值为AC ＋CD ＝6＋∴FG 最大＝12AD ＝3＋∴3－FG ≤3＋针对练习21.如图，矩形ABCD 中，BC ＝2AB ＝8.点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，连接MN ，点P 是BC 边上的动点，将PM 绕点P 顺时针方向旋转90°得PE ，当点P 从点B 运动到点C 的过程中，点E 运动的路径长为 .NMPABCDEF解：GFEDCBAPMNQ过点E 作EF ⊥BC 于点F ，是长MN ，CE 交于点G ，证△PMN ≌△EPF ，∴PF MN ＝NC ，可证 EF ＝F C .∴∠BCE ＝45°，即点E 在∠BCD 外角平分线上运动，运动径为GC ＋CQ ＝.2.如图，一副含30°角和45°角的三角板ABC 和DEF 叠E 在一起，边BC 与EF 重合，BC ＝EF ＝12cm ，点G 为边BC (EF )的中点，边FD 与AB 相交于点H ，将△DEF 绕点G 按顺时针方向旋转，旋转角度从0°到60°的变化过程中，点H 相应移动的路径长共为 .G FEDC BA解：H 1H 2H D 1E 1A B CDEF G如图，当旋转角从0°到30°时，H运动路径为HH1，当旋转角从30°到60°时，H运动路径为H1H2，所以H移动的路径长为HH1＋H1H2＝2HH1＋HH2＝15)＋12)]＝18.。

吉林专版2024春七年级数学下册第10章轴对称平移与旋转特色专题训练最短路径问题作业课件

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（2）如图②，点M在锐角∠AOB的内部，在边OB上求作一点N，使得点N到点M的距离与点N到边OA的距离之和最小. 解：（2）如图②，点N即为所求作.
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两线两点型 7.如图，小明打算从A处赶几只羊到草地l1放羊，然后赶
羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设小明赶羊走的都是直线，请你为他设计一条最短路线，标明放羊与饮水的位置.
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易得∠P'OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，所以∠OP'P″＝∠OP″P'＝（180°－80°）÷2＝50°，所以∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP'O＝50°，所以∠APB＝∠APO＋∠BPO＝100°.
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6.（1）如图①，点M在锐角∠AOB的内部，在边OA上求作一点P，在边OB上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小；解：（1）如图①，点P，Q即为所求作.
1Hale Waihona Puke 34567893.如图，线段AC是正方形ABCD的对角线，点M是边CD上一定点（不与点D，C重合），请在对角线AC上取一点P，使得△PDM的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）. 解：如图，点P即为所求作.
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4.如图①，要在直线l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道，输送燃气.
第10章轴对称、平移与旋转长春特色专题训练（七）训练最短路径问题
两点一线型 1.如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直
线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下列作图正确的是（ C ）
A
B
C
D
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2024学年初中数学几何(最短路径问题)模型专项练习(附答案)

12024学年初中数学几何（最短路径问题）模型专项练习1．如图，长方体的高为9cm，底边是边长为6cm的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（）A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm2．如图，有一长方体容器，AB＝3，BC＝2，AA'＝4，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点C 爬到点A'的最短爬行距离是（）A ． B． C．7 D ．3．如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G，蚂蚁爬行的最短路程是 cm．4．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的棱的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．cm B．cm C．cm D．cm5．如图，长方体的长EF为3cm，宽AE为2cm，高CE为4cm，B是GF的中点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点D爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是（）A．5cm B．cm C．（2+3）cm D．（2+）cm6．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（）A． B． C．10 D．7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）A．20cm B．2cm C．（12+2）cm D．18cm8．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S，则移动的最短距离为（）A．10 B．12 C．14 D．2039．如图，有一圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，则梯子最短需 m （油罐底面圆的周长为15m ，高AB ＝8m ）．10．如图，台阶阶梯每一层高20cm ，宽30cm ，长50cm ，一只蚂蚁从A 点爬到B 点，最短路程是（）A ．10B ．50C ．120D ．13011．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55dm 、10dm 和6dm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁从A 点出发沿着台阶爬到B 点的最短距离是 dm ．12．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm ，25cm 和15cm 的长方体，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点．在A 点处有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短路程是多少？1参考答案1．如图，长方体的高为9cm，底边是边长为6cm的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（）A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm【过程解答】解：如图，（1）AB＝＝＝3；（2）AB ＝＝15，由于15＜3；则蚂蚁爬行的最短路程为15cm．故选：C．2．如图，有一长方体容器，AB＝3，BC＝2，AA'＝4，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点C 爬到点A'的最短爬行距离是（）A ． B． C．7 D ．【过程解答】解：如图1，A′C ＝＝＝，如图2，A′C＝＝＝，如图3，A′C＝＝＝3，∵＜3＜，∴从点C爬到点A'的最短爬行距离是．故选：B．3．如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G，蚂蚁爬行的最短路程是 2cm．【过程解答】解：①如图1，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，3∵∠ACG＝90°，AC＝12+9＝21，CG＝5，在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG ＝＝（cm）；②如图2，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，∵∠ABG＝90°，AB＝12，BG＝9+5＝14，在Rt△ACBG中，由勾股定理得：AG ＝＝＝2（cm）；③如图3，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，∵∠AFG＝90°，AF＝5+12＝17，FG＝9，在Rt△AFG中，由勾股定理得：AG ＝＝（cm）．∴蚂蚁爬行的最短路程是2cm，故答案为：2．4．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的棱的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A ．cm B．cm C．cm D．cm【过程解答】解：如图，AB＝＝，∴需要爬行的最短路径长为，故选：A．5．如图，长方体的长EF为3cm，宽AE为2cm，高CE为4cm，B是GF的中点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点D爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是（）A．5cm B．cm C．（2+3）cm D．（2+）cm 【过程解答】解：将长方体展开，连接DB，根据题意可得，HB＝2+2＝4，DH＝3，由勾股定理得：DB＝＝＝5，则它需要爬行的最短距离是5cm；故选：A．6．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（）A． B． C．10 D．【过程解答】解：如图1所示，则AB＝＝2；5如图2所示，AB ＝＝10，故它运动的最短路程为10，故选：C．7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M 在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（）A．20cm B．2cm C．（12+2）cm D．18cm【过程解答】解：如图1，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，∴MN ＝＝20；如图2，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，∴MN ＝＝＝2．∵20＜2，∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20．故选：A．8．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S，则移动的最短距离为（）A．10 B．12 C．14 D．20【过程解答】解：如图所示，在圆柱的截面ABCD中AB＝16，BC＝12，∴AB＝×16＝8，BS＝BC＝6，∴AS＝＝10．故选：A．9．如图，有一圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，则梯子最短需 17m（油罐底面圆的周长为15m，高AB＝8m）．7【过程解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：则AC ＝底面周长＝15m ，BC ＝8m ，在Rt △ABC 中，AB＝＝17（m ），故答案为：17．如图，台阶阶梯每一层高20cm ，宽30cm ，长50cm ，一只蚂蚁从A 点爬到B 点，最短路程是（）A ．10B ．50C ．120D ．130【过程解答】解：如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm ，宽30cm ，长50cm ， ∴AB ＝＝50（cm ）．答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是50cm ，故选：B ．11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55dm 、10dm 和6dm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁从A 点出发沿着台阶爬到B 点的最短距离是 73 dm ．【过程解答】解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×10+3×6＝48，BC＝55，由勾股定理得：AB＝＝＝73dm，故答案为：73．12．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？【过程解答】解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，答：最短路程是150cm．。

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初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练专练3 最短路径模型——旋转最值类
基本模型图:
【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连
结B′D，则B′D的
最小值是（）．
A． B.6 C. D.4
【思路探究】根据E为AB中点，BE＝B′E可知，点A、B、B′在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B′是动点，当E、B′、D三点共线时，B′D的长最小，此时B′D＝DE－EB′，问题得解.
【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE－EB′.故选A．
22
-=-
【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线B D DE B E ''≤-时，等号成立.
【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是
.
【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.
【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中
点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝，
OD ＝，∴DH 的最小值为112
AB
=OD －OH .
1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决.
DH OD OH ≤-【针对训练】
1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大x y 距离为（）.
A
B
C ．
D ．31
2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为（
）.
A ． B. C. D.4
323. 如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的运点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（）.
A.6
B.
C.9
D.1+32
2
4.如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（
）.A. B. C.5 D.213-213+9
16
5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 边上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ，则CG 的最小值为（
）．
A B 11-1-1+
6．如图，△ABC 、△EFG 是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FG 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是
A ． B
21+1-
7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是.
8．如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．。