中考数学最短路径问题(珍藏版纯word版)

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最短路径(八年级最短路径问题归纳)

原创不容易，【关注】店铺，不迷路！2019年中考数学大结局分析——最短路径问题4:费马点费马点问题一个等边三角形是在三角形的三条边的每一条边上向外形成的。

三个等边三角形的外接圆相交于一点T，称为托里切利点，而三个等边三角形的外接圆称为托里切利圆。

在一定条件下，托里切利点与等中心和费马点相同。

托里切利点是意大利物理学家托里切利发现的。

这个问题是费马(1601-1665)向意大利物理学家托里切利(1608-1647)提出的，作为一个著名的“寻找一个点使它到三角形三个顶点的距离最小”的极值问题，托里切利解决了这个问题。

当三角形的内角都小于120时，K为期望点，所以K称为托里切利点，也称为费马点。

后来德国的施泰纳(1796-1863)独立提出并推广，所以也叫施泰纳问题。

本篇文章中介绍的问题主要是以大家熟知的费马点为背景。

平时大家一听这名字感觉很神奇，学过之后可能感觉也就那回事。

很多数学问题、数学知识都是经历几代数学家的努力之后的成果。

除了做题，有空的时候可以多了解一些数学文化、数学史，领略数学的魅力。

话不多说，直接上题。

【题1】(武汉，2019)问题背景：如图1所示，绕a点逆时针转动ABC，得到ADE，其中DE和BC在p点相交，可以推导出结论：paPC=PE。

解题：如图2，在MNG中，Mn=6，m=75，mg=42。

如果点o是MNG中的一个点，则从点o到MNG三个顶点的距离之和的最小值为。

回答之前，可以先看一下前面的文章：旋转结构的几何最大值【分析】三角形内确定一点到三个顶点的距离和最小值，就是我们前面说的问题。

上辅助线先。

怎么做，圆内任取一点并连接三个顶点，再将其中一个三角形如MOG绕点M 逆时针旋转60度得MOG，连接OO。

易得四点共线时距离和最小。

点G是定点，所以NG的长度为定值。

NMG为135，所以容易求得NG为229。

（备注：过点G作MN的垂线即可解得。

）下面是菁优网的答案。

29。

下面是陕西省的中考压轴题【题2】(2018陕西)问题提出(1)如图所示，在ABC中，a=120，ab=AC=5，那么ABC的外接圆半径r为。

中考专题复习——最短路径问题

word专业资料-可复制编辑-欢迎下载A B C DABABL A BCDDO CP中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。

（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。

请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。

四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。

4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN第2题张村李庄张村李庄AABB第1题第3题图(2)EBDACP＋MN 的最小值为。

第4题第5题第6题第7题 5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为。

精品初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(最全资料)

初中数学竞赛专题讲解最短路径问题之高陈檩檀创作【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包含：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题布景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】lAlA B CD 图(2)EB DACPPB PA -的值最大．边．PB PA -≤AB ． PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇．PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA+PB+PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． PA+PB+PC 最小值＝CD ．一、基础过关1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A 处到内壁的B 处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程.2.如右图是一个长方体木块，已知3,4,2AB BC CD ===，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块正面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

(完整)初中数学最短路径问题典型题型复习.doc

初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图， A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。

解：连接 AB, 线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短 .）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短．解：只有 A、C、B 在一直线上时，才能使AC+ BC 最小．作点 A关于直线“街道”的对称点 A ′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则点 C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图 A 是锐角∠ MON内部任意一点，在∠ MON的两边OM，ON上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小 .解：分别作点 A 关于 OM ，ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A ′， A ″，分别交 OM ，ON 于点B 、点 C，则点 B、点C 即为所求分析：当 AB 、 BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图， A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂A·直）解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接 AE 交河对岸与点M,则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

证明：由平移的性质，得BN ∥ EM且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,MNEB所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ ACE 中，∵ AC+CE ＞AE, ∴ AC+CE+MN ＞ AE+MN, 即 AC+CD+DB ＞ AM+MN+BN所以桥的位置建在CD 处， AB 两地的路程最短。

中考数学蚂蚁爬行的最短路径试题(带解析)

蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行，爬行的各段路程依次为： +5，-3，+10，-8 ，-9，+12， -10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点 0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．解：（ 1）否， 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0；（2）（ |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114 粒2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3．（2006?茂名）如图，点 A 、B 分别是棱长为 2 的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段 AB= 22 12 5 ．AB 即为最短路线．B 的最短路程是两个棱长的长，即 2+2=4．4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A．A? P? B B ．A? Q? B C ．A? R? B D ．A? S? B解：根据两点之间线段最短可知选A．故选A．5．如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B 的最短路程是（）解：如图，AB= 1 2 2 12 10 ．故选C．6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为（）解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，1所以MC= BC=1，2在直角三角形中AM= = ．7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向 B 处爬行，所走最短路程是cm 。

故选C．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离解：将正方体展开，连接M、D1，根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1+2，=3MD1= MD 2 DD1232 22139．如图所示一棱长为 3cm 的正方体，把所有的面均分成 3×3个小正方形．其边长都为 1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm ，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 秒钟解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（ 1）展开前面右面由勾股定理得 AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得 AB==5cm ；所以最短路径长为 5cm ，用时最少： 5÷2=2.5 秒．10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是。

【配套K12】中考数学专题复习六求最短路径问题

中考数学专题复习学案六求最短路径问题【专题思路剖析】知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

这类问题在中考中出现的频率很高，一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【典型例题赏析】类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题例题1：（2015•辽宁省盘锦,第15题3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．解答：解：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=2，∴∠BPC=90°，∵E为BC的中点，∴BE=BC=1，PE=BC=1，∴PE=BE，∵∠DAB=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBE=60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB=BE=PE=1，∴PB+BE+PE=3；故答案为：3．点评：本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【方法点评】本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．【变式练习】（2015•福建第16题 4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是．考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=3，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为：1．点评：本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题例题2：（2015•四川凉山州第26题5分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．.分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．解答：解：连接ED，如图，∵点B的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y=x，∵点E的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．点评：此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．【方法点评】“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．【变式练习】（2015•营口，第10题3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°考点：轴对称-最短路线问题．分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴CM+DN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．类型3、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。

初中数学：不同背景下的最短路径问题解题方法和技巧（珍藏版）

初中数学：不同背景下的最短路径问题解题方法和技巧（珍藏版）最短路径问题的规律或关键在于：动点在哪条直线上，就以哪条直线为对称轴，作定点关于此直线的对称点，实现“折转直”。

理论依据：“两点之间线段最短”、“三角形两边之和大于第三边”、“垂线段最短”、“点关于线对称”、“线段的平移”、“立体图形展开图”。

出题背景：直线、平行线、角、三角形、坐标轴、矩形、菱形、长方体、圆、圆锥、抛物线等。

一、“直线”背景1.1、两点位于直线异侧或同侧（将军饮马问题、两定一动模型）例1、如左图，A，B在直线a的两侧，在a上求一点P，使得PA PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线a的交点P ，即为所求。

（理论依据：两点之间线段最短.）例2、如右图，A，B在直线a的同侧，在a上求一点P，使得PA PB最小。

解：如图，作定点B关于直线a的对称点B’，连接AB’与直线a的交点P1即为所求。

理论依据：三角形两边之和大于第三边。

（AP PB’>AB’）二、“平行线”背景（造桥选址问题）例3、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥CD，桥造在何处才能使从A到B的路径ACDB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河上岸与点C,3、过点C作CD垂直于对岸于点D，CD即为所求。

证明：由平移的性质，得 BE平行且等于CD∴DB=CE∴AC CD DB=AC CE EB=AE EB而对于桥上岸任一点P，都有AP PE>AE（理论依据：三角形两边之和大于第三边）。

所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。

三、“角”背景（点在角的内部）例4、如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求四、“三角形”背景（费马问题）例5、已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和为最小。

初中数学最短路径问题典型题型复习(K12教育文档)

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初中数学最短路径问题典型题型复习(word版可编辑修改)初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短"，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直"等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小.解：连接AB，线段AB与直线L的交点P ,就是所求。

(根据:两点之间线段最短。

）二、两点在一条直线同侧例:图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时,才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道"的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C,则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″,分别交OM,ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时,三角形的周长最小例：如图,A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)解:1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,2。

完整版本初中数学最短路径问题典型题型及解题技巧

初中数学 [ 最短路径问题 ]典型题型及解题技巧最短路径问题中 , 关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短〞，“垂线段最短〞，“点关于线对称〞，“线段的平移〞“立体图形展开图〞。

教材中的例题“饮马问题〞，“造桥选址问题〞“立体展开图〞。

考的较多的还是“饮马问题〞。

知识点：“两点之间线段最短〞，“垂线段最短〞，“点关于线对称〞，“线段的平移〞。

“饮马问题〞，“造桥选址问题〞。

考的较多的还是“饮马问题〞，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折〞转“直〞，近两年出现“三折线〞转“直〞等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：：如图，A ，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB最小。

解：连接 AB, 线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。

〔根据：两点之间线段最短 .〕二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A 、B 到它的距离之和最短．解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道〞的对称点 A ′，然后连接 A ′B，交“街道〞于点 C ，那么点 C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：：如图 A 是锐角∠ MON 内部任意一点，在∠ MON的两边OM ，ON 上各取一点 B， C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点 A 关于 OM ， ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点 B、点 C ，那么点 B、点 C 即为所求分析：当 AB 、BC 和 AC 三条边的长度恰好能够表达在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图， A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何A·M 处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？〔假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直〕解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，NEB2.连接 AE 交河对岸与点M,那么点 M 为建桥的位置， MN 为所建的桥。

中考数学试题解析之最短路径问题

中考数学试题解析之最短路径问题知识储备：利用轴对称知识解决最短路径问题.典型解析：【例题 1】如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为 32 cm，在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）．【答案】20．【分析】解：如图，将杯子侧面展开，作点 A 关于 EF 的对称点A′，连接A′B，则A′B 即为最短距离，A′B = √(A′D²＋BD²)＝20（cm）．当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平” 或“化折为直” 的思想来解决问题．【例题 2】如图，∠AOB = 60°，点 P 是∠AOB 内的定点且OP = √3，若点 M、N 分别是射线OA、OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（）A．3√6/2B．3√3/2C．6D．3【答案】D．【分析】解：如图作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 分别交 OA、OB 于 M、N，则 MP = MC，NP = ND，OP = OD = OC = √3，∠BOP = ∠BOD，∠AOP = ∠AOC，∴ PN + PM + MN = ND + MN + NC = DC，∠COD = ∠BOP + ∠BOD + ∠AOP + ∠AOC = 2∠AOB = 120°，∴ 此时△PMN 周长最小，作OH⊥CD 于 H，则 CH = DH，∵ ∠OCH = 30°，∴ OH = 1/2OC = √3/2，CH = √3OH= 3/2，∴ CD = 2CH = 3．【例题 3】如图，⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3,4），点 P 是⊙M 上的任意一点，PA⊥PB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则AB 的最小值为（）A.3B.4C.6D.8【答案】C．【分析】解：∵ PA⊥PB，∴ ∠APB = 90°，∵ AO=BO，∴ AB = 2PO，若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，连接 OM，交⊙M 于点P′，当点 P 位于P′ 位时，OP′ 取得最小值，过点 M 作MQ⊥x 轴于点 Q，则 OQ = 3、MQ = 4，∴ OM = 5，又∵ MP′ = 2，∴ OP′ = 3，∴ AB = 2OP′ = 6．【例题 4】如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是 AB、BC 边上的中点，则 MP + PN 的最小值是（）A.1/2B.1C.√2D.2【答案】B．【分析】解：如图，作点 M 关于 AC 的对称点M′，连接M′N 交 AC 于 P，此时 MP + NP 有最小值，最小值为M′N 的长．∵ 菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点，∴ M′ 是 AD 的中点，又∵ N 是 BC 边上的中点，∴ AM′∥BN，AM′=BN，∴ 四边形ABNM′ 是平行四边形，∴ M′N = AB = 1，∴ MP + NP = M′N =1，即 MP + NP 的最小值为 1．。

初中数学几何最短路径问题详解

初中数学几何最短路径问题详解
最短路径问题是初二上学期数学的一个重难点，很多同学看到这种题型可能会没有思路，不知道怎么下手!
寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径，算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题。

②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。

③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。

涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。

出题背景：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题思路：找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

中考数学考点解读复习试题(求最短路径问题)

求最短路径问题最短路径问题在中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切．类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？【思路点拨】方案一管道长为CE＋DF，方案二管道长为PC＋PD，利用垂线段最短即可比较出大小．【解答】按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：∵CE⊥AB，DF⊥AB，而AB与CD不垂直，∴根据“垂线段最短”，可知DF＜DP，CE＜CP，∴CE＋DF＜CP＋DP，∴沿CE、DF铺设管道更节省材料．本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．1．(保定一模)如图，点A的坐标为(－1，0)，点B(a，a)，当线段AB最短时，点B的坐标为( )A．(0，0) B．(22，－22) C．(－22，－22) D．(－12，－12)2．(杭州模拟)在直角坐标系中，点P落在直线x－2y＋6＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )A.352B．3 5 C.655D.103．(内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为________．4．(碑林区期中)如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题(乐陵模拟)(1)如图1，直线同侧有两点A，B，在直线MN上求一点C，使它到A、B之和最小；(保留作图痕迹不写作法)(2)知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短；(保留作图痕迹不写作法)(3)解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；(保留作图痕迹不写作法)②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．【思路点拨】(1)根据两点之间线段最短，作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN 于C，即可解决；(2)作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD交OA、OB于E、F，此时△PEF周长有最小值；(3)①取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，PQ的长度即为△AMN的周长最小值；②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．【解答】(1)作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，则此时C 点符合要求．图1 图2 图3(2)作图如图．(3)①作图如图．②∵∠BAE＝125°，∴∠P＋∠Q＝180°－125°＝55°.∵∠AMN＝∠P＋∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠P＋∠Q)＝2×55°＝110°.“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．1．(内江)如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( )A. 3 B．2 3 C．2 6 D. 62．(遵义)如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )A．50°B．60° C．70° D．80°3．(攀枝花)如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE 的最小值为________．4．(鄂州)如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为________．5．(凉山)菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E(0，－1)，当EP ＋BP 最短时，点P 的坐标为____________．6．(广元改编)如图，已知抛物线y ＝－1m (x ＋2)(x －m)(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧．(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m 的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使AH ＋CH 最小，并求出点H 的坐标．7．(成都改编)如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例y ＝3x (k 为常数，且k ≠0)的图象交于A ，B 两点．在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．8．如图所示，已知点A 是半圆上的三等分点，B 是AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一动点，⊙O 的半径为1，请问：P 在MN 上什么位置时，AP ＋BP 的值最小？并给出AP ＋BP 的最小值．9．(达州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，∠AOC 的平分线交AB 于点D ，E 为BC 的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数y ＝45x 2＋bx ＋c 的图象抛物线经过A ，C 两点． (1)求该二次函数的表达式；(2)F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接D 、E 、F 、G 构成四边形DEFG ，求四边形DEFG 周长的最小值；(3)抛物线上是否在点P ，使△ODP 的面积为12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题 1．D 2.C3.24 提示：∵直线y ＝kx －3k ＋4必过点D(3，4)， ∴当BC 过点D 且BC ⊥OD 时最小．∵点D 的坐标是(3，4)，∴OD ＝5.∵OB ＝OA ＝13， ∴根据勾股定理可得BD ＝12.∴BC 的长的最小值为24.4.(1)∵两点之间线段最短，∴连接AD ，BC 交于H ，则H 为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．(2)过H 作HG ⊥EF ，垂足为G.则沿HG 开渠最短，根据垂线段最短．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题1．B 2.D 3.7 提示：作B 关于AC 的对称点B ′，连接AD 、AB ′、BB ′、B ′D ，交AC 于E ，此时BE ＋ED ＝B ′E ＋ED ＝B ′D ，根据两点之间线段最短可知B ′D 就是BE ＋ED 的最小值，∵B 、B ′关于AC 对称，∴AC 、BB ′互相垂直平分．∴四边形ABCB ′是平行四边形．∵三角形ABC 是边长为2，∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC.∴AD ＝3，BD ＝CD ＝1，BB ′＝2AD ＝23，作B ′G ⊥BC 的延长线于G ，∴B ′G ＝AD ＝3，在Rt △B ′BG 中，BG ＝BB ′2－B ′G 2＝（23）2－（3）2＝3.∴DG ＝BG －BD ＝3－1＝2.在Rt △B ′DG 中，B ′D ＝DG 2－B ′G 2＝22＋（3）2＝7.故BE ＋ED 的最小值为7.4.363－545.(23－3，2－3)6.(1)抛物线过点G(2，2)时，－1m(2＋2)(2－m)＝2，即m ＝4.(2)∵m ＝4，∴y ＝－14(x ＋2)(x －4)．令y ＝0，则－14(x ＋2)(x －4)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4.∴A(－2，0)，B(4，0)．∴抛物线对称轴为直线x ＝－2＋42＝1.令x ＝0，则y ＝2，∴C(0，2)．∵B 点与A 点关于对称轴对称，∴连接BC ，BC 与对称轴的交点便为所求点H.∵B(4，0)，C(0，2)，∴求得线段BC 所在直线为y ＝－12x ＋2.当x ＝1时，y ＝32，∴H(1，32)．7.联立⎩⎨⎧y ＝－x ＋4，y ＝3x ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.∴A(1，3)，B(3，1)．B 点关于x 轴的对称点B ′坐标为(3，－1)，连接AB ′交x 轴于点P ′，连接BP ′.设直线AB ′为y ＝kx ＋b ，联立得⎩⎨⎧k ＋b ＝3，3k ＋b ＝－1.解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝5.∴y ＝－2x ＋5.令y ＝0，得x ＝52.∴P ′(52，0)．即满足条件的P 的坐标为(52，0)．8.作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上，连接BA ′交MN 于P ，连接PA ，则PA ＋PB 最小，此时PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝A ′B.连接OA 、OA ′、OB ，∵AN ︵＝13MN ︵，∴∠AON ＝∠A ′ON ＝60°.∵AB ︵＝BN ︵， ∴∠BON ＝12∠AON ＝30°.∴∠A ′OB ＝90°.∴A ′B ＝OA ′2＋OB 2＝12＋12＝2，即AP ＋BP 的最小值是 2.9.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数y ＝45x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧20＋5b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎨⎧b ＝－245，c ＝4. ∴二次函数的表达式y ＝45x 2－245x ＋4.(2)延长EC 至E ′，使E ′C ＝EC ，延长DA 至D ′，使D ′A ＝DA ，连接D ′E ′，交x 轴于F 点，交y 轴于G 点，连接DG ，EF ，DE ，GD ＝GD ′，EF ＝E ′F ，(DG ＋GF ＋EF ＋ED)最小＝D ′E ′＋DE ，由E 点坐标为(5，2)，D(4，4)，得D ′(－4，4)，E ′(5，－2)．由勾股定理，得DE ＝22＋12＝5，D ′E ′＝（5＋4）2＋（4＋2）2＝313，∴(DG ＋GF ＋EF ＋ED)最小＝D ′E ′＋DE ＝313＋5，即四边形DEFG 周长的最小值为313＋ 5. (3)如下图：OD ＝AO 2＋AD 2＝4 2. ∵S △ODP ＝12.∴点P 到OD 的距离＝2S △OPDOD ＝2×1242＝3 2.过点O 作OF ⊥OD ，取OF ＝32，过点F 作直线FG ∥OD ，交y 轴于G 点，交抛物线于点P 1，P 2，在Rt △OGF 中，OG ＝OF 2＋FG 2＝（32）2＋（32）2＝6.∴直线GF 的解析式为y ＝x －6.将y ＝x －6代入y ＝45x 2－245x ＋4得：x －6＝45x 2－245x ＋4.解得x 1＝29＋418，x 2＝29－418.将x 1，x 2的值代入y ＝x －6得：y 1＝－19＋418，y 2＝－19－418. ∴点P 1(29－418，－19－418)，P 2(29＋418，－19＋418)．如下图所示：过点O 作OF ⊥OD ，取OF ＝32，过点F 作直线FG ，交y 轴于G 点，交抛物线于P 3，P 4，在Rt △GFO 中，OG ＝OF 2＋GF 2＝6. ∴直线FG 的解析式为y ＝x ＋6.将y ＝x ＋6代入y ＝45x 2－245x ＋4得：x ＋6＝45x 2－245x ＋4.解得x 1＝29＋ 1 0018，x 2＝29－ 1 0018.y 1＝x 1＋6＝77＋ 1 0018，y 2＝x 2＋6＝77－ 1 0018， ∴P 3(29－ 1 0018，77－ 1 0018)，P 4(29＋ 1 0018，77＋ 1 0018)．综上所述：点P 的坐标为(29－418，－19－418)或(29＋418，－19＋418)或(29－ 1 0018，77－ 1 0018) 或(29＋ 1 0018，77＋ 1 0018)．。

初中数学最短路径问题

初中数学最短路径问题在初中数学中，最短路径问题是经常出现的一类问题，它涉及到轴对称、坐标轴、一次函数、三角函数以及两点之间的距离公式等多个方面。

下面将分别对这些问题进行介绍和解析。

1.轴对称与最短路径轴对称是最基本的一种对称形式，是指在平面内，将一个图形沿一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合。

在最短路径问题中，轴对称可以用来寻找两点之间的最短路径。

例如，在一条直线上有两个点A和B，要求找到A到B的最短路径，可以通过作A关于直线对称的点A'，然后连接A'和B，得到的线段A'B就是最短路径。

2.坐标轴上的最短路径在坐标轴上，最短路径问题通常涉及到两点之间的距离。

在x轴和y轴上分别有点A(x1,0)和B(0,y1)，那么A到B的最短路径就是在x轴和y轴上分别截取两个点C(x2,0)和D(0,y2)，使得AC=BD，那么线段AB就是最短路径。

3.一次函数与最短路径在一次函数中，最短路径问题通常涉及到函数的单调性和最值。

例如，在一条直线上有点A(x1,y1)，有点B(x2,y2)，要求找到A到B的最短路径，可以通过作A关于直线对称的点A'，然后连接A'和B，得到的线段A'B就是最短路径。

在这个过程中，可以运用一次函数的单调性和最值来计算最短路径的长度。

4.三角函数与最短路径在三角函数中，最短路径问题通常涉及到角度和长度之间的关系。

例如，在一张三角形ABC中，有点A(x1,y1)，有点C(x2,y2)，要求找到A到C的最短路径，可以通过作AB边上的一点D，使得AD=CD，那么线段AD就是最短路径。

在这个过程中，可以运用三角函数的性质和定理来计算最短路径的长度。

5.两点之间距离公式在解决最短路径问题时，常常需要使用两点之间距离公式。

这个公式可以用来计算两点之间的直线距离，也可以用来计算两点之间的曲线距离。

例如，在一张三角形ABC中，有点A(x1,y1)，有点C(x2,y2)，要求找到A到C的最短路径，可以先运用两点之间距离公式计算出AC的距离，然后根据三角函数的性质和定理来计算出最短路径的长度。

中考数学：最短路径问题(珍藏版)

10．点 C 为∠AOB 内一点．（1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．
11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于 F，连 AF，求证：AF+BF+CF＝CD； -5-
，
此时 C、D 两点的坐标分别为
．
9．已知 A（1，1）、B（4，2）．（1）P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标；
（2）P 为 x 轴上一动点，求 PA PB 的值最大时 P 点的坐标；
（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD＝1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；
7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( 6 3 ，0)． OC 平分∠AOB，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA＋MN 的最小值是______．
-4-
8．已知 A（2，4）、B（4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为
初中数学最短路径问题精华版
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
【问题 7】
将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A＇，作 A＇关于 l 的对称点 A＇＇，连 A＇＇B，交直线 l 于点 N，将 N 点向左平移 a 个单位得 M．

初中数学中考复习专题最短路径问题 24张

A●
●
A' ●
P
B ● l
最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算法问题，旨在寻找图（有结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法形式包括：
一、确定起点的最短路径问题
二、确定终点的最短路径问题
三、确定起点、终点的最短路径问题
四、全局最短路径问题
问题原型 “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”
作B关于l 的对称点B ＇,作直线 A B＇与l 交点即为P
．
图形
原理
三角形任意两边之差小于第三边︱PA-PB︱≤AB＇．︱PA-PB︱最大值＝AB＇
问题12 “费马点”
作法
图形
原理
所求点为“费马点”，
既满足
△ABC中每一内角都小于
∠APB=∠BPC=∠ APC=1200.以AB、
1200，在 △ABC内求一
AM+MN+NB的值最小．
作点A关于l2的对称点A＇，作点B关于l1的对称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段最短．
AM+MN+NB 的最小值为线段A＇B＇的
长
问题9
作法
A
B l
在直线l上求一点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P
AC为边向外作等边 △ABD、△ACE,连
点P，使

CD、BE相交于P，
PA+PB+PC最点P即为所求点.
小．
两点之间线段最
短.PA+PB+ PC最小值
=CD.
随堂练习一
如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点，

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初中数学竞赛专题讲解最短路径问题之水城攒孽创作【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包含：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题布景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】A B CD 图(2)EBDACPPB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇．PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA+PB+PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． PA+PB+PC 最小值＝CD ．一、基础过关1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A 处到内壁的B 处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程.2.如右图是一个长方体木块，已知3,4,2AB BC CD ===，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块正面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

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