方向向量与法向量名师制作优质教学资料

AA' (0,0 3), AC (4,2,0), u 0 v 0 w ( 3) 0 u ( 4) v 2 w 0 0
w0 2u v 0
A
3 A’ x D’
B
C’ B’
y
取u 1 v 2,
d BC ( 3,1,0);
d CD ( 3,1,0);
B (O)
z
A(
3a a 6a , , ). 6 2 3
E
F
y D(0 , a,0)
d BA (1, 3,2 2 );
d AC (1,0 2 );
d AD (1, 3,2 2 ).
x
3a a C( , ,0). 2 2
D 4 A 3 D’ B C’ y z 2 C
解：（ 1 ） n (0,0,1).
A’
x
B’
(2)设平面 ACC' A'的一个法向量为 n (u, v, w)则
n AA' n AA' 0 n AC n AC 0.
z D 4 2 C
B’
x
1．若 A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向 量为( ) B．(1,3,2) D．(3,2,1)
A．(1,2,3) C．(2,1,3)
【解析】
【答案】
→ ＝(2,4,6)＝2(1,2,3)． AB
A
2．(201源自文库· 济宁高二质检)已知向量 a＝(2，－3,5)与 b＝(4，x， y)平行，则 x，y 的值分别为( A．6 和－10 C．－6 和－10 ) B．－6 和 10 D．6 和 10
D A C
(1) AA' (0,0 3), D ’(0,0,0). 直 线AA'的 一 个 方 向 向 量 是
d AA' (0,0 3).
B
3
D’
A’ C’
(2)d B'C (4,0,3).
y
(3)d A'C (4,2,3).
(4)d DB ' (4,2,3).
4 2
例1:已知长方体ABCD—A’B’C’D’的棱长 AB=2,AD=4,AA’=3.建系如图,求下列直线的一个 方向向量:(1)AA’; (2)B’C; (3)A’C; (4)DB ’ . 解:A(4,0,3), B(4,2,3), C(0,2,3),
D(0,0,3),A’(4,0,0),B’(4,2,0),C’(0,2 ,0), z
z
O1 A1
C1 B1
o
A B
C
y
x
如何刻画平面的方向？
二、平面的法向量：
对于非零的空间向量 n, 如 果 它 所 在 的 直 线 与 面 平垂 直 ，
. 那么向量 n叫 做 平面的一个法向量
例3：长方体中，求下列平面的一个法向量：
（1）平面ABCD; (2)平面ACC’A’; (3)平面ACD’.
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2)
3 y x ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 4 ∴ 即 ∴ ( x , y , z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2 z 0 z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6)
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量
平面 α的向量式方程
l
a
a AP 0

A
P
2．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的 方向向量 a，则a叫做平面α的 法向量.
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1,0,0) (1)直线OA的一个方向向量坐标为___________ (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___________ (0,0,1) (-1,-1,1) (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为___________
【解析】
【答案】
) B．(2,0,1) D．(－2,3，－1)
同一个平面的法向量平行，故选 D.
D
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
u 4u 2v 0 v 24 . w u 4u 3w 0 3
B
C’ B’
y
取u 3, 得v 6, w 4,
平面ACD'的一个法向量 n (3,6,4).
3．若 u＝(2，－3,1)是平面 α 的一个法向量，则下列向量中能 作为平面 α 的法向量的是( A．(0，－3,1) C．(－2，－3,1)
【解析】
4 x y 因为 a 与 b 平行，∴2＝ ＝5， －3
解得 x＝－6，y＝10.
【答案】 B
例2:已知所有棱长为 a 的正三棱锥A-BCD,试建立 空间直角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量. 解:建系如图,则B(0,0,0)、
D(0, a ,0)、C ( 3a a , ,0). 2 2
平面ACC' A'的一个法向量 n (1,2,0).
(3)设n (u, v, w)是平面 ACD'的一个法向量，
z
n AC n AC 0 n AD' n AD' 0
D 4 A 3 A’ x D’
2
C
AC (4,2,0), AD' (4,0,3),
3.2.1 立体几何中的向量方法
——方向向量与法向量
一、方向向量与法向量 １．直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
A

l
a
P
直线ｌ的向量式方程
AP ta
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 平行或共线 的向量．
B (O) z A D y
设E为BD的 中 点 ， F是 等 边 BCD的 中 心 . a 则E (0, ,0).F ( 2 3a a A( , , 6 2 3a a , ,0), 6 2 6a ). 3
E
F
C
x
2 a 6a AF AC 2 CF 2 a 2 , 3 3
d BD (0,1,0);