直线的方向向量与平面的法向量
方向向量和法向量
2、法向量的求法 待定系数法
(1)(设):设出平面法向量的坐标为 n(u,v,w)
(2)(列):根据 na0,，n列b出0方程组；
(3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w) 表示另外两个量
(4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好),
练习：已知底面边长为1,高为3的正三 棱柱,试建立合适的空间直角坐标系， 确定三个侧面的面对角线所在直线的 一个方向向量。z
A1
C13Biblioteka B1A xD1 C y B
二、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做
平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
平行的非零向量 d 叫做直线l的一个方
向向量。
z
l
d
y
d2
O
d1
x
注：
1、一条直线l 有无穷多个方向向量， 这些方向向量之间互相平行。
2、直线l 的方向向量也是所有与l平行 的直线的方向向量。
2、方向向量的求法
可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
dAB
z
(x2x1,y2y1,z2z1)
z
(1)平面BDE （1，-1，0） D 1
C1
(2)平面ACE （1，1，-2） A 1
B1
(3)平面DC1E （1，-2，2）
(4)平面A1EC （-1，1，2） D
A
x
x
E
y
C
立体几何篇【知识点11】直线的方向向量与平面的法向量
【知识全扫描：立体几何篇】知识点11 直线的方向向量与平面的法向量【例11】如图3，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求直线SC 的方向向量；(2)求平面ABCD 的一个法向量；(3)求平面SAB 的一个法向量；(4)求平面SCD 的一个法向量．[解]以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D 12，0，0，S (0,0,1)．(1)由上SC →＝(1,1，－1)(2)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量．(3)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ，∴AD →＝12，0，0是平面SAB 的一个法向量．(4)在平面SCD 中，DC →＝12，1，0，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z)，(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量．注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一。
则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴x ＝－2y ，z ＝－y ，令y ＝－1，得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．【练习11-1】在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为() A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】DD 1∥AA 1，AA 1→＝(0,0,1)；BC 1∥AD 1，AD 1→＝(0,1,1)，直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →＝(0,1,0)；C 1点坐标为(1,1,1)，AC 1→与平面B 1CD 不垂直，∴④错．故选C [练习11-2]正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD 1B 1的一个法向量；(2)平面BDEF 的一个法向量．[解]设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)．(1)连接AC(图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量．(2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∴n·DB→＝0，n·DE→＝0，∴2x＋2y＝0，x＋2z＝0，∴y＝－x，z＝－12x.令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量.【反思】1.利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.(3)列方程组：由列出方程组．(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.。
3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
自学检测:
P87练习1
一、直线的方向向量
定义：直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量 叫做直线 l 果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直 于平面 ，那么称向量 n 垂直于平面 ，记作 n ， 此时，我们把向量 n 叫做平面 的法向量
在平面向量中，我们借助向量研究了平 面内两条直线平行、垂直等位置关系。
那么，如何用向量来刻画空间的 两条直线、直线与平面、平面和平面 的位置关系呢？
§3.2空间向量的应用
为了用向量来研究空间的线面位置关系， 首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”
那么， 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”？
3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
学习目标:
1.理解直线的方向向量与平面的法向量； 2.会用待定系数法求平面的法向量
自学指导:
1.什么叫直线的方向向量与平面的法向量? 2.一个确定的平面的法向量是唯一的吗? 3.求平面的法向量一般用什么方法? 4.例1还可以用传统的几何法来证明吗?请比较两种方 法的优劣? 5.例2的结论说明什么?在平面中的相应结论是什么样 的?你能够写出来吗?
l
a
A
图3.2 14
例1．在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中， 求证： DB1是平面 ACD1 的法向量 例2．在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 P( x0 , y0 , z0 ) ，平面 的法向量为 e ( A，B，C) ，M ( x, y, z ) 是平面内任意一点， 求 x, y , z 满足的关系式
思考:已知直线上一点和直线的方向向量,这条 直线就唯一确定.那么,已知平面内一点和平面的 法向量,这个平面是否唯一确定?
直线的方向向量和平面的法向量 课件
[解析] (1)显然有 b＝3a，即 a∥b， ∴l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)． (2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然 b＝－4a，即 a∥b，故 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)．
命题方向 利用法向量研究两平面位置关系
[例 2] 设 u，v 分别是不重合平面 α、β 的法向量，根据 下列条件，判断 α、β 的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)，v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
O→P＝ xa＋yb . 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．如图所示， 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的
法向量．
给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A 以向量 a 为法向量 的平面唯一确定．
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，∴α⊥β. (2)观察知 v＝－2u，即 u∥v，∴α∥β.
(3)∵u·v＝－29≠0，
∴u、v 不垂直，显然 u≠v，
∴α 与 β 既不平行也不垂直．
命题方向 求平面的法向量 [例 3] 已知 A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量． [分析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平 面 ABC 内的任意向量，不妨取A→B、B→C，求得 n.
课件直线的方向向量与平面的法向量
例2
在正方体
uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1
中，求证：
DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
面的一个法向量?
比如 ，在 空间 直角坐 标系 中, 已知
A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C(0, 0, 2) ,试求平面rABC 的一个法
向量.
r n (4, 3, 6)
解:设平面 r uuur r
ABuCuur的一个uuu法r 向量为
n
(uxuu,ry,
z
)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
直线的方向向量与平面的法向量
1
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我
们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的
uAuDuur1
(1, uuur
0,
1)
uuuur uuur
DB1
AC uuuur
0，所以 uuuur
DB1
AC
,
同理 DB1 uAuuDur1
又因为 AD1 I
18-19 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
18-19 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量[解析] 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AB →＝z ＝0，n ·AC →＝－x ＋y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝0， 即n ＝(1,1,0)，则平面ABC 的一个法向量为(1,1,0)． [答案] (1,1,0)(答案不惟一)[合 作 探 究·攻 重 难]直线的方向向量及其应用(1)已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.(2)在空间直角坐标系中，已知点A (2,0,1)，B (2,6,3)，P 是直线AB 上一点，且满足AP ∶PB ＝3∶2，则直线AB 的一个方向向量为________，点P 的坐标为________.【导学号：71392185】[精彩点拨] (1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)AB →即是直线AB 的一个方向向量，利用AP →＝35AB →求点P 的坐标．[解析] (1)由l 1∥l 2可知，向量(－7,3,4)和(x ，y,8)共线，所以x －7＝y 3＝84，解得x ＝－14，y ＝6.(2)AB →＝(0,6,2)是直线AB 的一个方向向量． 由AP ∶PB ＝3∶2，得AP →＝35AB →.设P (x ，y ，z )，则(x －2，y ，z －1)＝35(0,6,2)，即x －2＝0，y ＝185，z －1＝2·35， 解得x ＝2，y ＝185，z ＝115， 所以直线AB 的一个方向向量是(0,6,2)，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，115.[答案] (1)－14 6 (2)(0,6,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，185，115[名师指津]1．应注意直线AB 的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.求平面的法向量如图3-2-1，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SBA 与平面SCD 的法向量．图3-2-1[精彩点拨] 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n ，再利用待定系数法求解．[自主解答] ∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SBA 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，有n ⊥DC →，n ⊥DS →，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，12. [名师指津]1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.[再练一题]1．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BB 1，C 1D 1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN 的一个法向量.【导学号：71392186】[解] 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，1.设平面AMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝y ＋12z ＝0，n ·AN →＝－x ＋12y ＋z ＝0，令y ＝2，∴x ＝－3，z ＝－4，∴n ＝(－3,2，－4).证明平面的法向量在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点． 图3-2-2求证：D 1F →是平面ADE 的法向量. 【导学号：71392187】 [精彩点拨] 要证明D 1F →是平面ADE 的法向量，只需证明D 1F ⊥平面ADE 即可．[自主解答] 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以AD →＝(－1,0,0)，D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，所以AD →·D 1F →＝(－1,0,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝0， AE →·D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝0， 所以AD →⊥D 1F →，AE →⊥D 1F →，又AD ∩AE ＝A ， 所以D 1F →⊥平面ADE ，从而D 1F →是平面ADE 的法向量．[名师指津] 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.2．如图3-2-3所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥正方形ABCD 所在的平面，PA ＝AD ＝1，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．图3-2-3(1)建立适当的空间直角坐标系，写出向量MN →的坐标； (2)求证：MN →为平面PCD 的一个法向量．[解] (1)由PA ⊥正方形ABCD 所在平面知PA ，AB ，AD 两两互相垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．图3-2-3由PA ＝AD ＝1得P (0,0,1)，C (－1,1,0)，D (－1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12.(2)证明：由(1)MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，PC →＝(－1,1，－1)，PD →＝(－1,0，－1)，则MN →·PC →＝－12×(－1)＋0×1＋12×(－1)＝0，MN →·PD →＝－12×(－1)＋0×0＋12×(－1)＝0，∴MN ⊥PC ，MN ⊥PD .又∵PC ∩PD ＝P ，PC ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ⊥平面PCD .∴MN →为平面PCD 的一个法向量.方向向量与法向量的特征[1．如何正确地判断直线的方向向量？[提示] (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．(2)与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)给定空间中任意一点A 和非零向量a ，就可以确定惟一一条过点A 且平行于向量a 的直线．(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．2．过空间任意一定点P ，能否作出平面α的法向量？能作几条？ [提示] 由于过空间任意一点P ，有且仅有一条直线PO 垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．由于直线PO 的方向向量有无数个，因此，过点P 的平面α的法向量也有无数个．3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？[提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．4．依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？[提示] 不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x ，y ，z 中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？ [提示] (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；(2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝()2，2，－1.【导学号：71392188】[精彩点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． [自主解答] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12，∴u ·ν＝(－1,1，－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥ν，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u ·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [再练一题]3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)． [解] (1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，∴a ·b ＝8－6－2＝0，∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9,0)，∴ν＝－3u ，∴ν∥u ，即α∥β.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a 和b 在同一直线上，则m ＝________.[解析] ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴m 3＝4－2， ∴m ＝－6.[答案] －62．若点A (0,1,2)，B (－1,0,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为________．[解析] AB →＝(－1，－1,0)，即为l 的一个方向向量．[答案] (－1，－1,0)3．若向量a ＝(x,2,1)，b ＝(1，y,3)都是直线l 的方向向量，则x ＋y ＝________.[解析] 据题意可知，a ∥b ，故存在实数λ，使a ＝λb ，即(x,2,1)＝λ(1，y,3)，即x ＝λ，2＝λy,1＝3λ，解得λ＝13，y ＝6，x ＝13，x ＋y ＝13＋6＝193. [答案] 1934．若直线l ⊥α，且l 的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，则m 为________.【导学号：71392189】[解析] ∵(m,2,4)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝12λ，2＝λ，4＝2λ，∴m ＝1.[答案] 1 5．如图3-2-4，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，求平面ABC 1的一个法向量．图3-2-4[解] 法一：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)．∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)，∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)， 则⎩⎨⎧ n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．法二：设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵B (0,0,0)，A (0,1,0)，C 1(1,0,1)， ∴BA →＝(0,1,0)，BC 1→＝(1,0,1)， 则⎩⎨⎧ n ·BA →＝y ＝0，n ·BC 1→＝x ＋z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝0，∴n ＝(－1,0,1)．。
3.2.1直线的方向向量与平面法向量
线线垂直
l ⊥ m ⇔ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 ；
l ⊥α ⇔ a ∥ u ⇔ a = ku ；
线面垂直
面面垂直
α ⊥ β ⇔ u ⊥ v ⇔ u ⋅ v = 0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
rr 的方向向量,根据下列 例1 (1)设a ‚ 分别是直线 l 1 ‚l 2 的方向向量 根据下列 设 b
的位置关系: 条件判断 l1 与 l2 的位置关系 r r r r ① a = (2,3, −1), b = (−6, −9,3) ② a = (5,0,2), b = (0,4,0)
r 1.若直线 u 若直线l的方向向量为 1.若直线 的方向向量为a = (1, 0, 2) ,平面 α 平面 r 的法向量为µ = (−2, 0, −4) ,则l与 α 的位置 则与
3.若平面 3.若平面 α、 β 的法向量分别 u r r β 为 µ = (1, 2, −2) ， = (−3, −6, 6) ，则α 、 v 的位置关系是
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直, 例3 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直. 则该直线与此平面垂直 已知:直线 已知 直线m,n是平面 α 内的任意两条相交直线 直线 是平面 内的任意两条相交直线, 求证:l 且l⊥m,l ⊥n.求证 ⊥α ⊥ 求证
rr rr a rr rr rr rr rr rr ⊥ ⊥ ⋅⋅ = = ⊥ b , a ⋅⋅b = 0 ⊥ =
1、点的位置向量 、
在 空 间 中 ， 我 们 取 一 定 点 O作 为 基 点 ， 那 么 空 间 中 任 意 一 点 P的 位 置 就 可 以 用 uuu r uuu r 向 量 OP来 表 示 。 我 们 把 向 量 OP称 为 点 P的 位 置 向 量 。
直线的方向向量、平面的法向量及其应用
直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量： 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用： 利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．（1）若有直线l , 点A 是直线l 上一点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB a =，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =，这样，点A 和向量a 不仅可以确定l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点．（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是a 和b ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得OP =xa yb +，这样，点O 与方向向量a 、b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．2、在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的．三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ，则有l 1// l 2⇔1u //2u ，l 1⊥l 2⇔1u ⊥2u ．2、若两平面α、β的法向量分别是1v 、2v ，则有α//β⇔1v //2v ，α⊥β⇔1v ⊥2v ．若直线l 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有l //α⇔u ⊥v ，l ⊥α⇔u //v四、平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：1、设出平面的法向量为(,,)n x y z =．2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==3、根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4、解方程组，取其中一个解，即得法向量五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．1、线线平行：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1// l 2，只需证明a //b ，即()a kb k R =∈2、线面平行：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则要证明//l α，只需证明⊥a n ，即0⋅=a n .（2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3、面面平行（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．（2）若能求出平面α、β的法向量u 、v ，则要证明α//β，只需证明u // v（二）用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．1、线线垂直：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1⊥ l 2，只需证明a ⊥b ，即0a b ⋅=2、线面垂直：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证l ⊥α，只需证明a // u（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．3、面面垂直：（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．（2）证明两个平面的法向量互相垂直．六、用向量方法求空间的角（一）两条异面直线所成的角1、定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线////,//a a b b ，则/a 与/b 所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．2、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是02πθ<≤3、向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为ϕ，则有cos |cos |a ba b θϕ⋅==⋅4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（二）直线与平面所成的角1、定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．2、范围：直线和平面所成角θ的取值范围是02πθ≤≤3、向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则有sin |cos |cos sin a u a u θϕθϕ⋅===⋅或 （三）二面角1、二面角的取值范围：[0,]π2、二面角的向量求法（1）若AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角（如图（a ）所示）．（2）设1n 、2n 是二面角l αβ--的两个角α、β的法向量，则向量1n 与2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b ）所示）．七、用向量的方法求空间的距离（一）点面距离的求法如图（a ）所示，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，BO BA =cos ∠ABO= cos cos BA BO ABOABO BO ⋅⋅∠∠=。
直线方向向量与平面法向量的关系
直线方向向量与平面法向量的关系直线方向向量与平面法向量的关系直线和平面是几何中重要的概念，它们的性质及关系在计算几何和分析几何中都有广泛的应用。
在研究直线和平面的性质时，经常需要掌握直线方向向量和平面法向量的关系。
下面将从几何角度阐述它们的关系，希望能够帮助大家理解。
一、直线的方向向量通过两点可确定一个直线，其中的向量称为该直线的方向向量。
方向向量的模表示该向量长度，在几何中也称为线段长度或距离，方向向量的方向表示直线的方向。
二、平面的法向量平面是一个有无数个点组成的二维平面，其法向量表示平面的法线方向。
在三维空间中，一个平面有且只有一个法向量。
平面法向量和法线的概念相似，但是区别在于，平面法向量只考虑向量的方向而不考虑长度。
三、直线与平面的关系1. 垂直关系当直线的方向向量和平面的法向量互相垂直时，称直线与平面垂直。
此时，平面的法向量与直线上任一向量的内积等于零，即法向量与直线上的向量垂直。
垂直关系是直线和平面的特殊关系，它在计算几何和物理中都有很多应用。
2. 平行关系当直线的方向向量与平面的法向量平行时，称直线与平面平行。
此时，平面的法向量与直线上的向量的内积等于零，即法向量与直线上的向量平行或反平行。
平行关系也是直线和平面的特殊关系之一，它在计算几何和工程中也很重要。
3. 斜交关系当直线的方向向量与平面的法向量既不垂直也不平行时，称直线与平面斜交。
此时，直线上的向量不能表示为平面法向量的倍数，也不能表示为平面任何二维向量的线性组合。
总之，直线方向向量与平面法向量的关系是几何中一个重要问题，它不仅涉及到几何，也与计算几何、物理、工程等学科有着深刻的关联。
有了对这一关系的深入理解，可以更好地掌握相关知识，并且应用到实际问题中去。
3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量重点难点剖析1．空间直线的方向向量：如果一非零向量s平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量． 若),,(p n m s = ，那么s 的坐标p n m ,,称作这条直线的方向数， 而s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦．显然一条直线的方向向量有无穷多个，它们互相平行，从方向上可以分成两组，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量． 2．利用向量求距离的方法(1) 利用|AB|=|AB AB AB ∙可以求解有关距离问题；求线段的长度：2AB AB x ===(2) 设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是A ′B ′，则有|''A B |=|AB ·e |，由此可求点到线，点到面的距离问题。
其中以法向量的应用最常用。
求P 点到平面α的距离：||||PM n PN n ⋅=，（N 为垂足，M 为斜足，n 为平面α的法向量）。
3．平面与方程平面方程为三元一次方程0Ax By Cz D +++=；反之，一个这样的三元一方程也一定表示一个平面.这是因为，取方程的一组解000,,x y z ，则有0000Ax By Cz D +++=，从而有000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.它表示过点0M 000(,,)x y z 且以{,,}n A B C =为法向量的一个平面方程，这个方程与0Ax By Cz D +++=是同解的，故三元一次方程表示平面。
方程0Ax By Cz D +++=为平面的一般式方程，其中,,x y z 的系数就是平面的法向量的坐标，即平面法向量的法向量{,,}n A B C =.平面与三元一次方程之间有一一对应关系.不同的法向量对应三元一次方程表示不同的平面，它们的位置关系由系数,,A B C 和常数D 来确定。
当系数,,A B C 或常数D [中某些个]为零时，平面有明显的位特征： 如0Ax By Cz ++=确定的平面过坐标原点；0By Cz D ++=的法向量为{0,,},n B C =表明这平面垂直于与x 轴；类似地，0Ax Cz D ++=确定的平面垂直于y 轴，0Ax By D ++=确定的平面垂直于z 轴；再者，0Ax D +=表示平行于坐标面yOz 的平面；0By D +=表示平行于坐标面xOz 的平面，0Cz D +=表示平行于坐标面xOy 的平面； 而0(0)Ax x =⇔=是坐标面yOz 的方程，0(0)By y =⇔=是坐标面xOz 的方程，0(0)Cz z =⇔=是坐标面xOy 的方程.典例分析例1 已知(3,0,4)AB =，AC =（5，-2，-14），求BAC ∠角平分线上的单位向量．分析 欲求角平分线上的单位向量，由于0a a a=，我们只需先在角平分线上求出任一向量，它可以看作是菱形的对角线向量，由此就不难求出单位向量．解 ：在AB 、AC 上分别取'B 、'C ，使''AB AC =，以'AB 、'AC 为邻边作平行四边形''AC DB ，则''AD AB AC =+即为ABC ∠的平分线上的向量，特别的可取'AB 、'AC 为单位向量，'113,0,4)(3,0,4)5AB AB AB==-=-，'''112,14)(5,2,14)15AC AC AC ==--=--． 于是''11(3,0,4)(5,2,14)515AD AB AC =+=-+-- 352414(,0,)41515515=-+--2(2,1,1)15=-．AD 上的单位向量有两个向量，它们为(2,1,1)6AD AD±=点评：利用向量解决几何问题时，要与几何图形相联系．与向量a 平行的向量的方向有两个，故需要添“±”号.例2 求△ABC 所在平面的单位法向量，其中A （－1，－1，0）、B （1，1，1）、C （3，4，3） 分析：求出平面内的两个向量后，利用待定法求解.解：∵，，，，，AB AC →=→=()()221453 设，，n x y →=()1则由··n AB n AC x y x y →→=→→=⎧⎨⎪⎩⎪⇒++=++=⎧⎨⎩0022104530 ∴，，n →=-()1211于是单位法向量为±±，，＝±，，n n →→=--||()()231211132323点评：一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.例3 设平面π过原点与点(6,3,2)M -，并且与平面1π：428x y z -+=垂直，求平面π的方程.解： 由π过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=，由过点M 得6320A B C -+=； 再由π⊥1π即1{,,}{4,1,2}n A B C n =⊥=-，得420A B C -+=；联立6320,420A B C A B C -+=⎧⎨-+=⎩解得,3.2B AC A =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以平面π的方程为302x y z +-=，即 2230x y z +-=.点评：平面0Ax By Cz D +++=的法向量为{,,}n A B C =.例4 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面EFG 的向量，它的长即为点B 到平面EFG 的距离解：如图，设CD =4i ，=4j ，=2k ， 以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系C －xyz ．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2) ∴ (2,0,0)BE =，(4,2,0)BF =-， (0,4,2)BG =-，(2,4,2)GE =-，(2,2,0)EF =-设⊥BM 平面EFG ，M 为垂足，则M 、G 、E 、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a 、b 、c ，使得BM aBE bBF cBG =++)1(=++c b a ， ∴ (2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BM a b c =+-+-＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )由⊥BM 平面EFG ，得GE BM ⊥，EF BM ⊥，于是 0B M G E ⋅=，BM EF ⋅=∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-⋅--+=-⋅--+10)0,2,2()2,42,42(0)2,4,2()2,42,42(c b a c c b b a c c b b a整理得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-102305c b a c b a c a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==1131171115c b a ．∴ BM ＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )＝)116,112,112(． ∴||11BM ⎛==故点B 到平面EFG 1111另法：∵(0,4,0B ， (2,4,0)E ，(4,2,0)F ，(0,0,2)G 设EFG 的方程为：0A x B y C z D +++=则240420,6220A B D D D A B D A B C C D ++=⎧⎪++=⇒==-=-⎨⎪+=⎩取D ＝－6，则A=B=1,C=3,所以EFG 的方程为：360x y z ++-=， 所以点(0,4,0)B 到平面EFG的距离为：11d ===. 点评：（1）向量法求解距离问题的步骤：① 建立适当的空间直角坐标系；② 将相应线段及平面的法线等用向量或坐标表示出来； ③ 利用向量的相应距离公式求解。
空间直线的方向向量和平面的法向量
（2）写出空间直线 的一个方向向量，并说明这个方向向量 是否可以表示正方体A'的F 某条棱所在直线的方向。
例题2：已知长方体 AB A C 'B 'C 'D D '的棱长 A B 2 ,A ，D 4 ,A' A 3
以长方体的顶点D为' 坐标原点，过D' 的三条棱所在的直线为坐标
方向向量；
2 、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体
ABC DA 1B 1C 1D 1， E , F分别是 DD1, DB 中点 ，G 在
1
棱 C D 上 ，CG 4 CD， H 是 C 1 G 的中点，求线段
，
B1C,EF ,C1G,FH所在直线的一个方向向量
3、教材P49 1 4、教材P49 2
3.3 空间直线的方向向量和平面 的法向量
平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？ 如何表示空间直线的方向？
❖方向向量 对于空间任意一条直线l,我们把与直线平行的非零向量d
叫做直线的一个方向向量能够表示几条空间直线的方向向量？
例1：如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a的正方体 O A B C O A B C 中，F为棱上的中点，
轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
( 1 )A';( A 2 )B 'C ;(3 )A 'C ;(4 )D ' B
a 例题3：已知所有棱长为 的正三棱锥 ABCD，试建立空间
直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。
课堂练习：
1、已知A(3, 3,1) ，B(1, 0, 5) ，求线段A B 所在直线的一个
直线的方向向量与平面的法向量课件
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
【解析】以 A 为坐标原点，分别以A→B ，A→D ，A→P 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ，－1)，即为直线 PC 的一个方向向量．
【解析】选 C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检 验只有选项 C 中 s·n＝0.
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
直线的方向向量与平面的法向量课件高二下学期数学选择性
1－
315052＝
3352，
所以平行四边形 ABCD 的面积＝|A→B|·|A→D|·sin ∠BAD＝8 6.
内容索引
内容索引
1. 已知直线 l 的一个方向向量为 m＝(2，－1，3)，且直线 l 过 A(0，
y，3)和 B(－1，2，z)两点，则 y－z 等于
()
A. 0
B. 1C.Fra bibliotek3 2【答案】 AC
12345
内容索引
4. 在空间直角坐标系O-xyz中，设平面α经过点P(1，0，0)，平面α 的法向量为e＝(1，0，0)，M(x，y，z)为平面α内任意一点，则x，y，z 满足的关系是______________．
【解析】 由题意可知 e·P→M＝0，即(1，0，0)·(x－1，y，z)＝0，所 以 x＝1，y∈R，z∈R.
D. 3
【解析】 因为 A(0，y，3)和 B(－1，2，z)，所以A→B＝(－1，2－y， z－3).因为直线 l 的一个方向向量为 m＝(2，－1，3)，故设A→B＝km， 所以－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k，解得 k＝－12，y＝32，z＝32，所以 y－z＝0.
【答案】 A
12345
Thank you for watching
直线l上的非零向量e以及与e共线的非零向量叫作直 直线的方向向量
线l的方向向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面 平面的法向量 α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我 们把向量n叫作平面α的法向量
内容索引
(2) 用向量表示直线的位置：
直线 l 上一点 A 条件
直线的方向向量
如果在直线 l 上取A→B＝a，那么对于直线 l 上任意一点 P， 性质
直线的方向向量与平面的法向量课件
A
B
D
C
例3
如图（自己画），在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面 ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的坐标系，求平面PAB 的一个法向量.
解 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得 BD＝ 3AD， 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D为坐标原点，以射线DA，DB， DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，P(0,0,1)，A→B＝(－1， 3，0)，P→B＝(0， 3，－1).
→ C.AB
—→
√D. A1A
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或 重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.
课堂练习
4.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为 1的正方体，给出下列结论： ①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个 方 向 向 量 为 (0,1,1) ； ③ 平 面 ABB1A1 的 一 个 法 向 量 为 (0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是_①__②__③___.(填序号)
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z). 则nn··AP→ →BB＝ ＝00， ， 即－3xy＋－z＝3y0＝，0， 因此可取 n＝( 3，1， 3). 所以平面 PAB 的一个法向量可以为( 3，1， 3)(答案不唯一).
解析 由题意得a∥b， 所以26xx2＝＝－2，6， 解得 x＝－1.
课堂练习
2.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为
直线的方向向量和平面的法向量改动
直线与平面的平行与垂直
平行关系
当直线与平面平行时，直线的方向向量与平面的法向量平行。
垂直关系
当直线几何中的应用
向量在解析几何中的应用
直线的方向向量
直线的方向向量是垂直于该直线且具有相同方向的向量。通过直线的方向向量， 可以确定直线的方向和倾斜角。
向量点乘
03
两个方向向量的点乘为0，表示两直线垂直或平行。
方向向量的应用
1 2
确定直线位置
通过给定的两个点，可以确定一个直线的方向向 量。
判断直线关系
通过比较两个直线的方向向量，可以判断两直线 是否平行、垂直或相交。
3
计算直线长度
已知直线上两点和方向向量，可以计算出直线的 长度。
02
平面的法向量
平面的法向量
平面的法向量是与平面垂直的向量。通过平面的法向量，可以确定平面的法线方 向和与平面相交的直线。
向量在平面几何中的应用
向量的加法
向量的加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。通过向量的加法，可以计算向量的长度和 方向。
向量的数乘
向量的数乘是指将一个数与一个向量相乘，得到一个新的向量。通过向量的数乘，可以改变向量的长 度和方向。
直线的倾斜角是直线与x轴正方向的夹角。 当改变直线的倾斜角时，直线与x轴的夹角 也会随之改变。例如，将直线的倾斜角增大 ，则直线与x轴的夹角增大；反之，将直线 的倾斜角减小，则直线与x轴的夹角减小。
感谢您的观看
THANKS
定义与性质
定义
平面的法向量是与平面垂直 的向量。
性质
法向量与平面内的任意向量 都垂直，且方向可以是任意 的。
单位法向量
单位法向量是长度为1的法向 量，通常表示为 $mathbf{e}$。
新教材2023版高中数学第三章 4.1直线的方向向量与平面的法向量课件北师大版选择性必修第一册
2
A．－4
C．－8
B．－6
D．8
答案：C
1
2
解析：∵l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为（1， ，2）
1
∴向量为(2，m，1)与平面α的法向量（1， ，2）垂直
2
1
1
则(2，m，1)·（1， ，2）＝2＋ m＋2＝0
2
2
解得m＝－8.
5．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，求平面ABC的一
4
3
1
1
3
1
1
＝AB＋AD＋ (AP－AB－AD)＝ AB＋ AD＋ AP＝ a＋ b
4
4
4
4
4
4
3
＋ c，
4
1
1
3
故直线AE的一个方向向量是 a＋ b＋ c.
4
4
4
题型二 求平面的法向量
例 2 如 图 ， 已 知 ABCD 是 直 角 梯 形 ， ∠ABC ＝ 90° ， SA⊥ 平 面
1
ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，试建立适当的坐标系．
－5＝0
＝5
∴D点的坐标为(1，0，5).
[课堂十分钟]
1．已知AB＝(2，2，1)，AC＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法
向量为(
)
1
2
2
1
2
2
A． − ， − ， −
B． − ， ， −
C．
3
3
1
2
2
− ， ，
3
3
3
3
3
3
3
1
2
2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。