七年级数学第六章实数复习
人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第六章6-4《实数》章末复习(基础巩固)
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第六章 实数6.4 《实数》章末复习(基础巩固)【要点梳理】要点一:平方根和立方根要点二:实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分:实数⎧⎨⎩有理数:有限小数或无限循环小数无理数:无限不循环小数按与0的大小关系分:实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释:(1)所有的实数分成三类:有限小数,无限循环小数,无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统称有理数,无限不循环小数叫做无理数.(2等; ②有特殊意义的数,如π; ③有特定结构的数,如0.1010010001…(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数,并且无理数不能写成分数形式. (4)实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质:在实数范围内,正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式: (1)任何一个实数a 的绝对值是非负数,即|a |≥0; (2)任何一个实数a 的平方是非负数,即2a ≥0;(30≥ (0a ≥). 非负数具有以下性质: (1)非负数有最小值零;(2)有限个非负数之和仍是非负数;(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.4.实数的运算:数a 的相反数是-a ;一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序:先乘方、开方、再乘除,最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行,有括号先算括号里.5.实数的大小的比较:有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数 大;法则2.正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较,绝对值大的反而小;法则3. 两个数比较大小常见的方法有:求差法,求商法,倒数法,估算法,平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题例1、下列命题:①负数没有立方根;②一个实数的算术平方根一定是正数;③一个正数或负数的立方根与这个数同号;④如果一个数的算术平方根是这个数本身,那么这个数是1或0;⑤如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数是1或0 ,其中错误的有( )A.2个B.3 个C.4 个D.5个 【答案】B ;【解析】①负数有立方根;②0的算术平方根是0;⑤立方根是本身的数有0,±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三:【变式】下列运算正确的是( )A 2=±B =2=- D .|2|2--= 【答案】C ;例210.1== 若7160.03670.03=,542.1670.33=,则_____________3673= 【答案】±1.01;7.16;【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201,它的平方根的小数点向左移动1位,变成1.01,注意符号;0.3670的小数点向右移动3位变成367,它的立方根的小数点向右移动1位,变成7.16【总结升华】一个数的小数点向左移动2位,它的平方根的小数点向左移动1位;一个数的小数点向右移动3位,它的立方根的小数点向右移动1位.类型二、与实数有关的问题 例3、把下列各数填入相应的集合: -1、3、π、-3.14、9、26-、22-、7.0 . (1)有理数集合{ }; (2)无理数集合{ }; (3)正实数集合{ };(4)负实数集合{ }.【思路点拨】首先把能化简的数都化简,然后对照概念填到对应的括号里. 【答案与解析】(1)有理数集合{-1、-3.14、9、7.0 };(2)无理数集合{ 3、π、26-、22-}; (3)正实数集合{ 3、π、9、26-、7.0 };(4)负实数集合{ -1、-3.14、22-}. 【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数,无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式.举一反三:【变式】在实数0、π、、、﹣中,无理数的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个 【答案】B ;例4、计算(1)233)32(1000216-++(2)23)451(12726-+- (3)32)131)(951()31(--+【思路点拨】先逐个化简后,再按照计算法则进行计算. 【答案与解析】解:(1)233)32(1000216-++=226101633++= (2)23)451(12726-+-23111112743412⎛⎫--=-+=- ⎪⎝⎭ (3)32)131)(951()31(--+=3314218121393327333⎛⎫⨯-=-=-=- ⎪⎝⎭.【总结升华】根据开立方和立方,开平方和平方互逆运算的关系,可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.举一反三: 【变式】计算(1) 333000216.0008.012726---- (2) ()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-【答案】 解:(1) 333000216.0008.012726---- ()310.20.0627=---- 29150=-(2) ()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-()184434=-⨯+-⨯- 321336=---=-. 例5、已知:(a+6)2+=0,则2b 2﹣4b ﹣a 的值为 .【答案】12. 【解析】 解:∵(a+6)2+=0,∴a+6=0,b 2﹣2b ﹣3=0, 解得,a=﹣6,b 2﹣2b=3, 可得2b 2﹣4b=6,则2b 2﹣4b ﹣a=6﹣(﹣6)=12, 故答案为:12.【总结升华】本题主要考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.举一反三:【变式1】实数a 、b 在数轴上所对应的点的位置如图所示: 化简2a +∣a -b ∣= .【答案】 解:∵a <0<b , ∴a -b <0∴2a +∣a -b ∣=-a -(a -b )=b -2a .【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示,则2,1,,a aa a -的大小关系是: ;-1a【答案】21a a a a<<<-; 类型三、实数综合应用例6、现有一面积为150平方米的正方形鱼池,为了增加养鱼量,欲把鱼池的边长增加6米,那么扩建鱼池的面积为多少(最后结果保留4个有效数字)?【答案与解析】解:因为原正方形鱼池的面积为150平方米,根据面积公式, 15012.247≈ (米).由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为(12.247+6)米, 所以扩建后鱼池的面积为218.247≈333.0(平方米). 答:扩建后的鱼池的面积约为333.0(平方米).【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积,应先求出其边长,而原鱼池的面积为150平方米,由此可得原鱼池的边长,再加上增加的6米,故新鱼池面积可求.举一反三:【变式】一个底为正方形的水池的容积是4863m ,池深1.5m ,求这个水池的底边长. 【答案】解:设水池的底边长为x ,由题意得2 1.5486x ⨯=2324x =18x =答:这个水池的底边长为18m .【巩固练习】一.选择题1. 下列说法正确的是( ) A .数轴上任一点表示唯一的有理数 B .数轴上任一点表示唯一的无理数 C .两个无理数之和一定是无理数 D .数轴上任意两点之间都有无数个点2.的算术平方根是( )A .2B .±2C .D .±3.已知a 、b 是实数,下列命题结论正确的是( ) A .若a >b ,则2a >2bB .若a >|b |,则2a >2bC .若|a |>b ,则2a >2b D .若3a >3b ,则2a >2b4. 3387=-a ,则a 的值是( ) A.87 B. 87- C. 87± D. 512343- 5. 若式子3112x x -+-有意义,则x 的取值范围是 ( ). A.21≥x B. 1≤x C.121≤≤x D. 以上答案都不对. 6. 下列说法中错误的是( )A.3a 中的a 可以是正数、负数或零.B.a 中的a 不可能是负数.C. 数a 的平方根有两个.D.数a 的立方根有一个. 7. 数轴上A ,B 两点表示实数a ,b ,则下列选择正确的是( ) A.0>+b a B. 0ab > C.0a b -> D.||||0a b ->8. 估算219+的值在 ( )A. 5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间 二.填空题9. 若2005的整数部分是a ,则其小数部分用a 表示为 . 10.当x 时,32-x 有意义. 11. =--32)125.0( .12. 若12-x 是225的算术平方根,则x 的立方根是 . 13. 3343的平方根是 . 14.﹣64的立方根与的平方根之和是 .15. 2112- ,5- 22 , 33 216. 数轴上离原点距离是5的点表示的数是 . 三.解答题17. 一个正数x 的平方根是32-a 与a -5,则a 是多少?18. 已知x ﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x 2+y 2的平方根.19. 已知:表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,请你化简()2b a b a ++-20. 阅读题:阅读下面的文字,解答问题.大家知道2是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此2的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用2-1表示2的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,因为2的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.请解答:已知:10+3=y x +,其中x 是整数,且10<<y ,求y x -的相反数.【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D ;【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数. 2. 【答案】C 3. 【答案】B ;【解析】B 答案表明,||||a b a b >>且,故2a >2b . 4. 【答案】B ; 【解析】33378a a ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭.5. 【答案】A ;6. 【答案】C ;【解析】数a 不确定正负,负数没有平方根. 7. 【答案】C ; 8. 【答案】B ;【解析】4195<<,61927<+<. 二.填空题9. 【答案】2005a -; 10.【答案】为任意实数 ; 【解析】任何实数都有立方根. 11.【答案】25.0-;【解析】3233(0.125)0.250.25--=-=-. 12.【答案】3;【解析】x -12=15, x =27,3273=. 13.【答案】7±;【解析】 3343=7,7的平方根是7±.14.【答案】﹣2或﹣6. 【解析】∵﹣64的立方根是﹣4,=4,∵4的平方根是±2,∵﹣4+2=﹣2,﹣4+(﹣2)=﹣6,∴﹣64的立方根与的平方根之和是﹣2或﹣6.15.【答案】>;<;>;16.【答案】5【解析】数轴上离原点距离是5的点有两个,分别在原点的左右两边.三.解答题17.【解析】解:∵一个正数x 的平方根是32-a 与a -5,∴32-a 与a -5互为相反数,即32-a +a -5=0,解得2a =-.18.【解析】解:∵x ﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,∴x ﹣2=22,2x+y+7=27,解得x=6,y=8,∴x 2+y 2=62+82=100,∴x 2+y 2的平方根是±10.19.【解析】解:∵b <a <0 ∴()2b a b a ++-()||2a b a b a b a b b=-++=--+=- 20.【解析】解:∵11<10+3<12∴x =11,y =10+3-11=31∴()3111312x y y x --=-=-=.。
期末复习第六章实数资料
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9.一般来说,被开放数扩大(或缩小) 倍,算术平方根扩大(或缩小) 倍,例如 .
题型规律总结:
1、平方根是其本身的数是;算术平方根是其本身的数是和;立方根是其本身的数是和。
(5)应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如: 等;无理数也不一定带根号,如:
(6)有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。
例4.(1)下列各数:①3.141、②0.33333……、③ 、④π、⑤ 、⑥ 、⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有_______;是无理数的有_______。(填序号)
8. ________
10.使式子 有意义的条件是。
11.当 时, 有意义。
12.若 有意义,则 的取值范围是。
13.已知 ,则 的取值范围是。
14.当 时,
。
15.如果一个数的平方根为a+1和2a-7,这个数为________
16、— 的绝对值是;
17.任何实数a,可用[a]表示不超过a的最大整数,如[4]=4,[ ]=1.现对72进行如下操作:
负分数____________________________
无理数____________________________
考点二:平方根、立方根、 的化简
1.判断下列说法是否正确
(1) 的算术平方根是-3;
(2) 的平方根是±15.
七年级数学下册第六章实数知识集锦(带答案)
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七年级数学下册第六章实数知识集锦单选题1、如图,若数轴上的点A,B,C,D表示数−1,1,2,3,则表示数4−√11的点应在()A.A,O之间B.B,C之间C.C,D之间D.O,B之间答案:D分析:先估算出4−√11的值,再确定出其位置即可.解:∵9<11<16,∴3<√11<4,∴−4<−√11<−3,∴4−4<4−√11<4−3,即0<4−√11<1∴表示数4−√11的点应在O,B之间.故选:D.小提示:本题考查的是实数与数轴.熟知实数与数轴上各点是一一对应关系,能够正确估算出√11的值是解答此题的关键.2、若一个正方形的面积是12,则它的边长是()A.2√3B.3C.3√2D.4答案:A分析:根据正方形的面积公式即可求解.解:由题意知:正方形的面积等于边长×边长,设边长为a,故a²=12,∴a=±2√3,又边长大于0∴边长a=2√3.故选:A.小提示:本题考查了正方形的面积公式,开平方运算等,属于基础题.3、对多项式x−y−z−m−n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简,称之为“加算操作”,例如:(x−y)−(z−m−n)=x−y−z+m+n,x−y−(z−m)−n=x−y−z+m−n,…,给出下列说法:①至少存在一种“加算操作”,使其结果与原多项式相等;②不存在任何“加算操作”,使其结果与原多项式之和为0;③所有的“加算操作”共有8种不同的结果.以上说法中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3答案:D分析:给x−y添加括号,即可判断①说法是否正确;根据无论如何添加括号,无法使得x的符号为负号,即可判断②说法是否正确;列举出所有情况即可判断③说法是否正确.解:∵(x−y)−z−m−n=x−y−z−m−n∴①说法正确∵x−y−z−m−n−x+y+z+m+n=0又∵无论如何添加括号,无法使得x的符号为负号∴②说法正确③第1种:结果与原多项式相等;第2种:x-(y-z)-m-n=x-y+z-m-n;第3种:x-(y-z)-(m-n)=x-y+z-m+n;第4种:x-(y-z-m)-n=x-y+z+m-n;第5种:x-(y-z-m-n)=x-y+z+m+n;第6种:x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n;第7种:x-y-(z-m-n)=x-y-z+m+n;第8种:x-y-z-(m-n)=x-y-z-m+n;故③符合题意;∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D .小提示:本题考查了新定义运算,认真阅读,理解题意是解答此题的关键.4、已知min {a,b,c }表示取三个数中最小的那个数,例加:min{−1,−2,−3}=−3,当min{√x,x 2,x}=181时,则x 的值为( )A .181B .127C .13D .19 答案:D分析:根据题意可知√x,x 2,x 都小于1且大于0,根据平方根求得x 的值即可求解.解:∵min{√x,x 2,x}=181∴√x,x 2,x 都小于1且大于0∴x 2<x <√x∴x 2=181∴x =19(负值舍去)故选D小提示:本题考查了求一个数的平方根,判断√x,x 2,x 的范围是解题的关键.5、定义:若10x =N ,则x =log 10N ,x 称为以10为底的N 的对数,简记为lgN ,其满足运算法则:lgM +lgN =lg(M ⋅N)(M >0,N >0).例如:因为102=100,所以2=lg100,亦即lg100=2;lg4+lg3=lg12.根据上述定义和运算法则,计算(lg2)2+lg2⋅lg5+lg5的结果为( )A .5B .2C .1D .0答案:C分析:根据新运算的定义和法则进行计算即可得.解:原式=lg2⋅(lg2+lg5)+lg5,=lg2⋅lg10+lg5,=lg2+lg5,=1,故选:C.小提示:本题考查了新定义下的实数运算,掌握理解新运算的定义和法则是解题关键.6、在四个实数−2,0,−√3,−1中,最小的实数是()A.−2B.0C.−√3D.−1答案:A分析:根据实数比较大小的方法直接求解即可.解:∵−2<−√3<−1<0,∴四个实数−2,0,−√3,−1中,最小的实数是−2,故选:A.小提示:本题考查了有理数大小比较:正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小.7、下列说法正确的是()A.−81平方根是−9B.√81的平方根是±9C.平方根等于它本身的数是1和0D.√a2+1一定是正数答案:D分析:A、根据平方根的概念即可得到答案;B、√81的平方根其实是9的平方根;C、平方根等于它本身的数与算术平方根是它本身的数要分清楚;D、先判断出a2+1>0,再利用算术平方根的性质直接得到答案.A、−81是负数,负数没有平方根,不符合题意;B、√81=9,9的平方根是±3,不符合题意;C、平方根等于它本身的数是0,1的平方根是±1,不符合题意;D、a2+1>0,正数的算术平方根大于0,符合题意.小提示:此题考查了平方根及算术平方根的定义及性质,熟练掌握相关知识是解题关键.8、按如图所示的运算程序,能使输出y值为1的是()A.m=1,n=1B.m=1,n=0C.m=1,n=2D.m=2,n=1答案:D分析:逐项代入,寻找正确答案即可.解:A选项满足m≤n,则y=2m+1=3;B选项不满足m≤n,则y=2n-1=-1;C选项满足m≤n,则y=2m+1=3;D选项不满足m≤n,则y=2n-1=1;故答案为D;小提示:本题考查了根据条件代数式求值问题,解答的关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值.9、−√64的立方根等于()A.−8B.−4C.−2D.±2答案:C分析:先求出−√64=−8,再求出-8的立方根即可得.3=−2,解:∵−√64=−8,√−8∴−√64的立方根等于-2,故选:C.小提示:本题考查了立方根的意义,解题的关键是掌握立方根.10、下列说法正确的是()A.-4是(-4)2的算术平方根B.±4是(-4)2的算术平方根C.√16的平方根是-2D.-2是√16的一个平方根答案:D分析:根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得.A、(−4)2=16,16的算术平方根是4,则此项错误,不符题意;B、(−4)2=16,16的算术平方根是4,则此项错误,不符题意;C、√16=4,4的平方根是±2,则此项错误,不符题意;D、√16=4,4的平方根是±2,则−2是√16的一个平方根,此项正确,符合题意;故选:D.小提示:本题考查了算术平方根、平方根,掌握理解定义是解题关键.填空题11、根据图中呈现的运算关系,可知a=______,b=______.答案:-2020 -2020分析:根据立方根和平方根的定义进行求解即可.解:∵2020的立方根是m,a的立方根是-m,∴m3=2020,∴(−m)3=−m3=−2020,∴a=−2020;∵n的两个平方根分别为2020、b,∴b =−2020,所以答案是:-2020,-2020.小提示:本题主要考查了平方根和立方根,熟知二者的定义是解题的关键.12、比较大小:√22______√33(填写“>”或“<”或“=”).答案:>分析:比较两者平方后的值即可.解:∵(√22)2=12,(√33)2=13,∵12>13, ∴ √22>√33. 所以答案是:>.小提示:本题考查了实数的大小比较,解题的关键是灵活变通,比较两者平方后的结果.13、写出一个比√2大且比√15小的整数______.答案:2(或3)分析:先分别求出√2与√15在哪两个相邻的整数之间,依此即可得到答案.∵1<√2<2,3<√15<4,∴比√2大且比√15小的整数是2或3.所以答案是:2(或3)小提示:本题主要考查了实数的大小比较,也考查了无理数的估算的知识,分别求出√2与√15在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键.14、若√a +13与√a 2−53互为相反数,则a 3+5a 2﹣4的值为 _____.答案:12分析:先根据相反数的定义得√a +13+√a 2−53=0,再利用立方根的意义进行整理,最后利用整体代入的方法即可求得答案 .解:由题意得:√a +13+√a 2−53=03∴√a+13=−√a2−5∴a+1=﹣(a2﹣5).∴a2+a=4.∴a3+a2=4a.∴a3=﹣a2+4a.∴a3+5a2﹣4=﹣a2+4a+5a2﹣4=4a2+4a﹣4=4(a2+a)﹣4=4×4﹣4=12.所以答案是:12.小提示:本题考查的相反数的应用,立方根的应用,解题的关键是在于整理出所需形式,利用整体代入求解.15、若实数a的立方等于27,则a=________.答案:3分析:根据立方根的定义即可得.3=3,解:由题意得:a=√27所以答案是:3.小提示:本题考查了立方根,熟练掌握立方根的运算是解题关键.解答题16、据说,我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:求59319的立方根,华罗庚脱口而出:39.你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗?请研究解决下列问题:(1)已知x3=10648,且x为整数.∵1000=103<10648<1003=1000000,∴x一定是一个两位数;∵10648的个位数字是8,∴x的个位数字一定是______;划去10648后面的三位648得10,∵8=23<10<33=27,∴x的十位数字一定是______;∴x=______.(2)y3=614125,且y为整数,按照以上思考方法,请你求出y的值.答案:(1)2#,2#,22#(2)y=85分析:(1)根据立方根的定义和题意即可得出答案;(2)根据(1)中的方法计算书写即可得出结果.(1)解:∵x3=10648,且x为整数.∵1000=103<10648<1003=1000000,∴x一定是一个两位数;∵10648的个位数字是8,∴x的个位数字一定是2;划去10648后面的三位648得10,∵8=23<10<33=27,∴x的十位数字一定是2;∴x=22.所以答案是:2,2,22.(2)∵1000=103<614125<1003=100000,∴y一定是两位数;∵614125的个位数字是5,∴y的个位数字一定是5;划去614125后面的三位125得614,∵512=83<614<93=729,∴y的十位数字一定是8;∴y=85.小提示:本题考查立方根,灵活运用立方根的计算是解题的关键.17、如图,把图(1)中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到如图(2)的大正方形.问题发现若大正方形的面积为32cm2,则小正方形的面积是__________cm2,边长为___________cm;知识迁移某兴趣小组想将图(1)中的一个小正方形纸片,沿与边平行的方向剪裁出面积为12cm2,且长宽之比为3∶2的长方形纸片.兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片?请说明理由.拓展延伸如图(3)是由5个边长为1的小正方形组成的纸片,能否把它剪开并拼成一个大正方形?若能,请画出示意图,并写出边的长度,若不能,请说明理由.答案:问题发现:小正方形的面积为16cm2,边长为4cm知识迁移:不能裁出符合要求的长方形纸片拓展延伸:能把它剪开并拼成一个大正方形,示意图见解析,大正方形边长为√5分析:问题发现:先求出小正方形的面积,再根据正方形的面积等于边长的平方求边长;知识迁移:设长和宽分别为3x、2x,利用面积列方程,最后检验即可;拓展延伸:新的大正方形面积为5,则边长为√5,可以把它剪开并拼成一个大正方形.问题发现:小正方形的面积为32÷2=16cm2,∴小正方形的边长为4cm.所以答案是:16;4.知识迁移:设长和宽分别为3x、2x,由题意得:3x⋅2x=12,整理得:x2=2,∵实际问题x为正数,∴x=√2,∴长方形的长为3x=3√2≈5.19>4,即裁剪后的长方形的长大于小正方形的边长,∴不能裁出符合要求的长方形纸片.拓展延伸:能把它剪开并拼成一个大正方形,裁剪示意图如图所示:∵原图形的面积是5,∴裁剪后的正方形面积也是5,∴大正方形边长为√5.小提示:本题考查了算术平方根的实际应用、正方形的面积和正方形的有关画图,巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.18、求下列式子中的x :(1)25(x ﹣35)2=49;(2)12(x +1)2=32. 答案:(1)x 1=2,x 2=−45(2)x 1=7,x 2=﹣9分析:(1)两边同时除以25,再开平方解一元一次方程即可;(2)方程两边同时乘以2,再开平方解一元一次方程即可.(1)解: 25(x ﹣35)2=49,(x ﹣35)2=4925, x ﹣35=±75,x ﹣35=75或x ﹣35=﹣75,解得:x 1=2,x 2=−45;(2)12(x +1)2=32, (x +1)2=32×2,(x +1)2=64, x +1=±8,x +1=8或x +1=﹣8,解得:x 1=7,x 2=﹣9.小提示:此题考查了利用平方根定义解方程,正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键.。
七年级初一数学第六章 实数知识点总结附解析
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(1) 的整数部分是______,小数部分是_______。
(2)如果 的小数部分为a, 的整数部分为b,求 的值。
(3)已知x是 的整数部分,y是其小数部分,直接写出 的值.
23.观察下列两个等式: , ,给出定义如下:我们称使等式 成立的一对有理数 , 为“共生有理数对”,记为( , ),如:数对( , ),( , ),都是“共生有理数对”.
【详解】
A. 是无理数;
B. 是无理数;
C. ,是有理数;
D.0.121 121 112…是无理数;
故选:C.
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样 Nhomakorabea律的数.
3.C
解析:C
【分析】
观察已知等式,发现末位数字以2,4,8,6进行循环,每4个数一个循环的和位数为0,只要把原式的数的个数除以4得出余数即可求解.
A.2B.0C.-2D.以上都不对
10.在下列实数中,无理数是( )
A. B.πC. D.
二、填空题
11.已知M是满足不等式 的所有整数的和,N是满足不等式x≤ 的最大整数,则M+N的平方根为________.
12.a是 的整数部分,b的立方根为-2,则a+b的值为________.
13.按如图所示的程序计算:若开始输入的值为 ,输出的值是_______.
18. ________.
19.已知: , ,则 (精确到0.01)≈__________.
20.利用计算器,得 ,按此规律,可得 的值约为_____________
三、解答题
21.对数运算是高中常用的一种重要运算,它的定义为:如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作:x=logaN,例如:32=9,则log39=2,其中a=10的对数叫做常用对数,此时log10N可记为lgN.当a>0,且a≠1,M>0,N>0时,loga(M•N)=logaM+logaN.
第六章 实数(复习课件)七年级数学下册(人教版)
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举一反三
【7-2】如图,用两个边长为 18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸
片,沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片,能否使截得的长
方形纸片长宽之比为3:2,且面积为30cm2?请说明理由.
解:不能.理由如下:因为大正方形纸片的面
积为( 18)2+( 18)2=36(cm2) ,
高频考点
高频考点七 实数的综合运用
(3)如果2+ 5的整数部分是a,小数部分是b,求出a-b的值.
(3)因为 4< 5< 9,即2< 5<3,
所以4<2+ 5<5,
所以2+ 5的整数部分为4,小数部分为2+ 5-4= 5-2,即a=4,b= 5-2,
所以a-b=4-( 5-2)= 6- 5.
举一反三
【7-1】若 2的整数部分为x,小数部分为y,则 2x-y的值是( C )
A.2 2-2
B.2
C.1
D. 2
【7-2】如图,用两个边长为 18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸
片,沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片,能否使截得的长
方形纸片长宽之比为3:2,且面积为30cm2?请说明理由.
0
一个,为负数
3
a
可以为任何数
知识梳理
四、实数及其运算
有理数包括整数和分数,它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形
式.
5 3 27 11 9
, , , , .
2 5 4 9 11
5
2.5
2
3
0.6
5
27
6.75
4
.
11
初一数学 第六章 实数 知识点归纳
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第六章 实数 知识点归纳一、实数的概念及分类 (3分)1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如32,7等;(2)有特定结构的数,如0.1010010001…等;(3)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等; 3. 实数与数轴上点的关系:实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大二、实数的倒数、相反数和绝对值 (3分)1、相反数从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。
零的绝对值时它本身,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、 无限小数是有理数(×) 无限小数是无理数(×)有理数是无限小数(×) 无理数是无限小数(√)数轴上的点都可以用有理数表示(×) 有理数都可以由数轴上的点表示(√) 数轴上的点都可以用无理数表示(×) 无理数都可以由数轴上的点表示(√) 数轴上的点都可以用实数表示(√) 实数都可以由数轴上的点表示(√)三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。
人教版七年级数学下册第六章《 实数》单元同步复习题及答案
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第六章《实数》单元同步检测试卷一.选择题(共10小题)1.下列各数3.14,,0.,,2.131 331 333 1…(相邻两个1之间3的个数逐次多1),,,其中无理数的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个2.在如图所示的数轴上表示﹣2的点在()A.点A和点B之间B.点B和点C之间C.点C和点D之间D.点D和点E之间3.若a=,b=﹣|﹣|,c=,则a、b、c的大小关系是()A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a4.当式子的值取最小值时,a的取值为()A.0B.C.﹣1D.15.有一个数值转换器,流程如下:当输入x的值为64时,输出y的值是()A.2B.C.D.6.已知,则的平方根为()A.1B.C.±1D.7.,,则1720的平方根为()A.13.11B.±13.11C.41.47D.±41.478.下列说法:①=﹣10;②数轴上的点与实数成一一对应关系;③﹣3是的平方根;④任何实数不是有理数就是无理数;⑤两个无理数的和还是无理数;⑥无理数都是无限小数,正确的个数有()A.2个B.3个C.4个D.5个9.若把﹣写成整数a与正的纯小数x的和,那么整数a的值为()A.﹣3B.﹣4C.﹣5D.﹣610.如图,O为原点,实数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C,则下列结论正确的是()A.ac<bc B.c2<ac C.b2<bc D.ab<bc二.填空题(共5小题)11.若一个数x的平方根是m﹣3和m﹣7,那么这个数x是.12.已知2x+1的平方根是±3,则﹣5x﹣7的立方根是.13.若k<<k+1(k是整数),则k=.14.当x取时,代数式2﹣取值最大,并求出这个最大值.15.小亮求的近似值,下面是他的草稿纸上的部分内容:3.52=12.25,3.82=14.44,3.92=15.21,3.852=14.8225,3.872=14.9769,3.882=15.0544,3.8752=15.015625依据以上数据,可以得到的近似值(精确到0.01)是.三.解答题(共6小题)16.把下列各数填在相应的大括号中3.1415926,8,,0.275,0,﹣,﹣6,π,﹣0.25,﹣|﹣2|,2.5353353335…分数:{…}非负整数:{…}无理数:{…}.17.已知2a﹣1的算术平方根是3,3a+b﹣9的立方根是2,c是的整数部分,求7a﹣2b﹣2c的平方根.18.(1)若x,y为实数,且x=+4,求(x﹣y)2的平方根;(2)已知x﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根.19.阅读理解∵<<,即2<<3.∴1<﹣1<2∴﹣1的整数部分为1.∴﹣1的小数部分为﹣2.解决问题:已知a是﹣3的整数部分,b是﹣3的小数部分,求(﹣a)3+(b+4)2的平方根.20.定义:可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数,整数可以看作分母为1的有理数;反之为无理数.如不能表示为两个互质的整数的商,所以,是无理数.可以这样证明:设与b是互质的两个整数,且b≠0.则a2=2b2因为b是整数且不为0,所以,a是不为0的偶数,设a=2n,(n是整数),所以b2=2n2,所以b也是偶数,与a,b是互质的正整数矛盾.所以,是无理数.仔细阅读上文,然后,请证明:是无理数.21.阅读下面的文字,解答问题大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用﹣1来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.又例如:<<,即2<<3,∴的整数部分为2,小数部分为(﹣2)请解答:(1)的整数部分是,小数部分是.(2)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求|a﹣b|+的值.(3)已知:9+=x+y,其中x是整数,且0<y<1,求x﹣y的相反数.参考答案一.选择题(共10小题)1.B.2.C.3.D.4.B.5.C.6.C.7.D.8.C.9.C.10.A.二.填空题(共5小题)11.412.﹣3.13.9.14.5,2.15.3.87.三.解答题(共6小题)16.解:分数:{3.1415926,,0.275,﹣,﹣0.25};非负整数:{8,9,0};无理数:{π,2.5353353335…},故答案为:3.1415926,,0.275,﹣,﹣0.25;8,9,0,;π,2.5353353335…,17.解:∵2a﹣1的算术平方根是3,∴2a﹣1=9,∴a=5,∵3a+b﹣9的立方根是2,∴3a+b﹣9=8,∴b=2,∵c是的整数部分,,∴c=3,∴7a﹣2b﹣2c=35﹣4﹣6=25,∴7a﹣2b﹣2c的平方根是±5.18.解:(1)由题意得:,解得y=3,∴x=4,∴(x﹣y)2=1,∴(x﹣y)2的平方根是±1.(2)由x﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,得x﹣2=4,2x+y+7=27,解得x=6,y=8.∴x2+y2=100,∴x2+y2的算术平方根是10.19.解:∵<<,∴4<<5,∴1<﹣3<2,∴a=1,b=﹣4,∴(﹣a)3+(b+4)2=(﹣1)3+(﹣4+4)2=﹣1+17=16,∴(﹣a)3+(b+4)2的平方根是:±4.20.解:设与b是互质的两个整数,且b≠0.则,a2=5b2,因为b是整数且不为0,所以a不为0且为5的倍数,设a=5n,(n是整数),所以b2=5n2,所以b也为5的倍数,与a,b是互质的正整数矛盾.所以是无理数.21.解:(1)∵,∴的整数部分是7,小数部分是﹣7.故答案为:7;﹣7.(2)∵,∴,∵,∴b=2,∴|a﹣b|+===5.(3)∵,∴11<9+<12,∵9+=x+y,其中x是整数,且0<y<1,∴x=11,y==,∴x﹣y==,∴x﹣y的相反数是:.。
人教版七年级数学下册第六章《实数》小结与复习说课稿
![人教版七年级数学下册第六章《实数》小结与复习说课稿](https://img.taocdn.com/s3/m/7f9cc81b5bcfa1c7aa00b52acfc789eb162d9e66.png)
4.生活实践:让学生收集生活中的实数问题,进行分析和解决,培养学生的数学应用意识。
(四)总结反馈
在总结反馈阶段,我将采取以下措施引导学生自我评价,并提供有效的反馈和建议:
1.让学生总结本节课所学知识,分享自己的学习心得;
(2)掌握实数运算的顺序和法则;
(3)解决实数混合运算中的实际问题。
二、学情分析导
(一)学生特点
本节课面向的是七年级学生,这个年龄段的学生正处于青春期,好奇心强,求知欲旺盛,具备一定的独立思考能力。在认知水平上,他们已经掌握了基本的算术运算,具备了一定的数学逻辑思维能力。然而,由于年龄和经验的限制,他们对实数概念的理解可能还不够深入,对实数运算的掌握也可能不够熟练。
2.互动教学:设计课堂提问、小组讨论等活动,引导学生积极参与,提高他们的学习主动性;
3.激励评价:对学生在课堂上的表现给予积极的评价和鼓励,增强他们的自信心;
4.举一反三:通过典型例题的讲解,引导学生发现解题规律,提高他们解决问题的能力;
5.数学游戏:设计一些与实数相关的数学游戏,让学生在游戏中学习,提高他们的学习兴趣。
板书在教学过程中的作用是帮助学生构建知识框架,直观展示教学内容的逻辑关系。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构,我将采取以下措施:
1.提前规划板书内容,确保知识点完整、系统;
2.使用不同颜色的粉笔,区分重点、难点和关键点;
3.板书过程中,适时引导学生关注,解释板书中的逻辑关系;
4.在适当位置留下空白,用于记录学生的疑问和课堂生成性内容。
2.提高练习:设计一些综合性较强的实数题目,培养学生的解题能力和思维能力;
初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)
![初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)](https://img.taocdn.com/s3/m/1031eb1fee06eff9aff8071a.png)
实 数
有理数
正整数 0 自然数 负整数 正分数
无理数
无限不循环小数
一般有三种情况
负分数 正无理数 负无理数 (1)含π 的数
2 开方开不尽的数
(3)有规律但不循环的无限小数
七年级数学第六章实数
也可以这样来分类: 正实数 实 数 0
负有理数 正有理数
正无理数
负实数
负无理数
七年级数学第六章实数
七年级数学第六章实数
几个基本公式:(注意字母 的取值范围)
a a =
2
a
0
a
3
2
a
a 0
a
a 0 a 0
(a 0)
a
3
a a
3
3
a为任何数 a为任何数 a为任何数
a
3
a =
-3 a
七年级数学第六章实数
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗?
3 47 9 11 5 3, , , , , 5 8 11 90 9
3 47 3 3.0, 0.6, 5.875, 5 8 9 11 5 0. 81, 0.1 2, 0. 5 11 90 9
事实上,任何一个有理数都可以写成有限小数或 无限循环小数。
4
3 0.13
(2)无理数集合: (3)整数集合: (4)负数集合: (5)分数集合: (6)实数集合: 9
3
5
64
3
3
9
9
3
3 4
9
3 4
0. 6
3
0.13
3 0. 6 4
初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)
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七年级数学第六章实数
实数
七年级数学第六章实数
目录:
1.算术平方根 2.平方根 3.立方根 4.有理数 5.无理数 6.实数定义 7.实数的运算 8.实数的大小比较
七年级数学第六章实数
1.算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x的平方等于 2 a,即 x =a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根。a的算术平方根记为 a , 读作“根号a”,a叫做被开方数。
特殊:0的算术平方根是 0 。
记作:0 0
七年级数学第六章实数
2. 平方根的定义:
一般地,如果一个数的平方等于a ,那 么这个数就叫做a 的平方根(或二次方 根).
注意:计算过程中要多保留一位!
七年级数学第六章实数
3.实数运算
当数从有理数扩充到实数以后,实数之
间不仅可以进行加 减 乘 除 乘方运算,
又增加了非负数的开平方运算,任意实数
可以进行开立方运算。进行实数运算时, 有理数的运算法则及性质等同样适用。
七年级数学第六章实数
练习:
2 3 3 2 5 3 3 2
不 要 遗 漏
解: (3 y ) 4 9 4 3 y 9
2
解:
2 3 27 ( x ) 125 3
2 3 125 (x ) 3 27 2 5 x 3 3
2 3 125 x 3 27
1 2 y 2 或y 3 3 3
2 y 3 3
x 1
七年级数学下册第六章【实数】知识点总结(含答案)
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一、选择题1.在实数,-3.14,0,π中,无理数有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个2.下列说法正确的是( ) A .2-是4-的平方根 B .2是()22-的算术平方根 C .()22-的平方根是2 D .8的平方根是43.0215中,是无理数的是( )A B .0C D .2154.在0.010010001,3.14,π,1.51,27中无理数的个数是( ).A .5个B .4个C .3D .2个5.若3a =,则a 在( )A .3-和2-之间B .2-和1-之间C .1-和0之间D .0和1之间6.下列命题中真命题的个数( )①无理数包括正无理数、零和负无理数;②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;③和为180°的两个角互为邻补角;的算术平方根是7;⑤有理数和数轴上的点一一对应;⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行. A .4B .3C .2D .17.设,A B 均为实数,且A B ==,A B 的大小关系是( )A .AB >B .A B =C .A B <D .A B ≥8 )A .8B .8-C .D .±9.下列有关叙述错误的是( )AB 是2的平方根C .12<<D .2是分数10.在1.414,213,5π,2-中,无理数的个数是( ) A .1B .2C .3D .411.按照下图所示的操作步骤,若输出y 的值为22,则输入的值x 为( )A .3B .-3C .±3D .±9二、填空题12.计算: (1)132322⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭(2)2291|121232⎛⎫-+--⨯- ⎪⎝⎭13.计算:(1223168(2)(3)--(2)22(2)8x -=14.比较大小:221(填“>”、“=”或“<”). 15.计算:3612516--=____.16.若2x =,29y =,且0xy <,则x y -等于______. 17.求下列各式中的x : (1)2940x -=;(2)3(1)8x -=18.3189124- 19.已知4a +1的平方根是±3,3a +b ﹣1的立方根为2. (1)求a 与b 的值;(2)求2a +4b 的平方根.20.若x ﹣1与2x ﹣3是数A 的两个平方根,则A =_______. 21.已知有理数1a ≠,我们把11a-称为a 的差倒数,如:2的差倒数是1112=--,1-的差倒数是()11112=--,如果13a =-,2a 是1a 的差倒数,4a 是3a 的差倒数,4a 是5a 的差倒数…依此类推,那么的12342017201820192020a a a a a a a a -+-⋅⋅⋅+-+-值是______.三、解答题22.计算:2(3)216--23.已知(25|50x y -++-=.(1)求x ,y 的值; (2)求xy 的算术平方根.24.已知31a +的算数平方根是4,421c b +-的立方根是3,c 22a b c +-的平方根.25.计算.(1)3218433⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭(2)178(4)4(5)-÷-+⨯-(3163⎫-⎪⎪⎭(4)22323223⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦一、选择题1.给出下列各数①0.32,②227,③π,④5,⑤0.2060060006(每两个6之间依次多个0),⑥327,其中无理数是( ) A .②④⑤ B .①③⑥C .④⑤⑥D .③④⑤2.有下列四种说法:①数轴上有无数多个表示无理数的点; ②带根号的数不一定是无理数; ③平方根等于它本身的数为0和1; ④没有最大的正整数,但有最小的正整数; 其中正确的个数是( ) A .1B .2C .3D .43.对于任意不相等的两个实数a ,b ,定义运算:a ※b =a 2﹣b 2+1,例如3※2=32﹣22+1=6,那么(﹣5)※4的值为( ) A .﹣40B .﹣32C .18D .104.有下列说法:①在1和2之间的无理数有且只有2,3这两个;②实数与数轴上的点一一对应;③两个无理数的积一定是无理数;④2π是分数.其中正确的为( ) A .①②③④B .①②④C .②④D .②5.下列各数中,无理数有( )3.14125,8,127,0.321,π,2.32232223(相邻两个3之间的2的个数逐次增加1)A .0个B .1个C .2个D .3个6.64的算术平方根是( ) A .8B .±8C .22D .22±7.下列实数中,是无理数的为( ) A .3.14B .13C .5D .98.数轴上有O 、A 、B 、C 四点,各点位置与各点所表示的数如图所示.若数线上有一点D ,D 点所表示的数为d ,且|d ﹣5|=|d ﹣c |,则关于D 点的位置,下列叙述正确的是?( )A .在A 的左边B .介于O 、B 之间C .介于C 、O 之间D .介于A 、C 之间9.如果32.37≈1.333,323.7≈2.872,那么32370约等于( ) A .287.2B .28.72C .13.33D .133.310.下列命题中真命题的个数( )①无理数包括正无理数、零和负无理数;②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;③和为180°的两个角互为邻补角;④49的算术平方根是7;⑤有理数和数轴上的点一一对应;⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行. A .4B .3C .2D .111.如图是一个按某种规律排列的数阵:根据数阵排列的规律,第n (n 是整数,且n ≥3)行从左向右数第(n ﹣2)个数是( )(用含n 的代数式表示)A .21n -B .22n -C .23n -D .24n -二、填空题12.把下列各数表示在数轴上,并把这些数按从大到小的顺序用“>”连接起来. 0,327-,()2--,1--,9,22-13)11163532-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭14.111111133557792017201920192021++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 15.已知103x ,小数部分是y ,求x ﹣y 的相反数_____.16.以下几种说法:①正数、负数和零统称为有理数;②近似数1.70所表示的准确数a 的范围是1.695 1.705a <;164±;④立方根是它本身的数是0和1;其中正确的说法有:_____.(请填写序号)17.将1236按如图方式排列.若规定(m ,n )表示第m 排从左向右第n 个数,则(15,7)表示的数是____.18.(1)求x 的值:2490x -=; (2()2325227-19.计算:(1)﹣12327-﹣(﹣2)9(2331)+32| 20.3189124--+. 21.-64的立方根是____,9的平方根是_____,16的算术平方根是_____81_____.三、解答题22.计算:(132125(2)(10)4---⨯- (2)2325(24)27-⨯--÷23.已知4a +1的平方根是±3,3a +b ﹣1的立方根为2. (1)求a 与b 的值;(2)求2a +4b 的平方根. 24.先化简,再求值:()222233a ab a ab ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,其中|2|a +3b - 25.(1)小明解方程2x 1x a332-+=-去分母时,方程右边的−3忘记乘6,因而求出的解为x=2,则原方程正确的解为多少?(2)设x ,y 是有理数,且x ,y 满足等式2x 2y 2y 1742++=-x-y 的值.一、选择题1.在实数3-,-3.14,0,π,364中,无理数有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个2.81的平方根是( ) A .9B .-9C .9和9-D .813.下列计算正确的是( ) A .11-=-B .2(3)3-=-C .42=±D .31182-=-4.如图,四个实数m ,n ,p ,q 在数轴上对应的点分别为M ,N ,P ,Q ,若0n q +=,则m ,n ,p ,q 四个实数中,绝对值最大的一个是( )A .pB .qC .mD .n5.下列实数中,属于无理数的是( ) A .3.14B .227C .4D .π6.估计50的立方根在哪两个整数之间( ) A .2与3B .3与4C .4与5D .5与67.在下列实数3,0.31,3π,27-,9,12-,38,1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中,无理数的个数为( ) A .1B .2C .3D .48.如图是一个按某种规律排列的数阵:根据数阵排列的规律,第n (n 是整数,且n ≥3)行从左向右数第(n ﹣2)个数是( )(用含n 的代数式表示)A 21n -B 22n -C 23n -D 24n -9.在1.414,3213,5π,23中,无理数的个数是( ) A .1B .2C .3D .410.下列等式成立的是( )A .±1B =±2C 6D 311.下列各组数中都是无理数的为( )A .0.07,23,π; B .0.7•,π;C ,π;D .0.1010101……101,π二、填空题12.先化简,再求值:()222233a ab a ab ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,其中|2|a + 13.计算:(1(2)0(0)|2|π-- (3)解方程:4x 2﹣9=0.14.(22-15.把下列各数填在相应的集合里: 4,3.5,0,3π,5-4,10%,2-3,2016,﹣2.030030003…(每两个3之间依次多一个0)正分数集合{ …} 负有理数集合{ …} 非负整数集合{ …} 无理数集合{ …}.16. ________0.5.(填“>”“<”或“=”) 17.已知甲数是719的平方根,乙数是338的立方根,则甲、乙两个数的积是__.18.已知5的整数部分为a ,5-b ,则2ab b +=_________. 19.计算:(1)﹣12﹣(﹣2)(21)+2|20.设a ,b 是两个连续的整数,若a b <<,是,则a b =____.21.比较大小:三、解答题22.把下列各数在数轴上表示出来,并把它们按从小到大的顺序用“<”连接:1.5-,38,0,13-,4-23.教材中的探究:如图,把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开,用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形.由此,得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法(数轴的单位长度为1).(1)阅读理解:图1中大正方形的边长为________,图2中点A 表示的数为________; (2)迁移应用:请你参照上面的方法,把5个小正方形按图3位置摆放,并将其进行裁剪,拼成一个大正方形.①请在图3中画出裁剪线,并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图.②利用①中的成果,在图4的数轴上分别标出表示数-0.5以及 35-+ 的点,并比较它们的大小.24.213a -=,31a b -+的平方根是4±,c 433a b c ++的平方根.25.设26+x 、y ,试求x 、y 的值与1x -的立方根.。
七年级初一数学 第六章 实数知识点-+典型题及解析
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A.①③B.①②③C.①②③④D.①②④
7.估计 的值在()
A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间
8.实数 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
9.正方形ABCD在数轴上的位置如图所示,点D、A对应的数分别为0和1,若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点B所对应的数为2;则翻转2016次后,数轴上数2016所对应的点是( )
15.a※b是新规定的这样一种运算法则:a※b=a+2b,例如3※(﹣2)=3+2×(﹣2)=﹣1.若(﹣2)※x=2+x,则x的值是_____.
16.按下面的程序计算:
若输入n=100,输出结果是501;若输入n=25,输出结果是631,若开始输入的n值为正整数,最后输出的结果为656,则开始输入的n值可以是________.
④若a*b=b*a,则有3a-b=3b-a,
化简得a=b,
故④正确;
正确的有②④,
故选:B
【点睛】
本题考查了含有乘方的有理数的混合运算,熟练掌握计算法则是解题关键.
12.若 ,则mn的值为____.
13.观察下列算式:
① = + =16+4=20;
② = + =40+4=44;…
根据以上规律计算: =__________
14.对于这样的等式:若(x+1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5的值为_____.
4.C
人教版七年级数学下册课件第六章《实数》单元复习
![人教版七年级数学下册课件第六章《实数》单元复习](https://img.taocdn.com/s3/m/c2d0f7fc48649b6648d7c1c708a1284ac85005d0.png)
②按正负分类:
正实数
正有理数
正无理数
实数 0
负实数
负有理数
负无理数
(3)实数与数轴上的点是一一对应的.
6.把下列各数填入相应的大括号中(只填序号):
①-3,②
·
,③ ,④0,⑤0.7,⑥ ,⑦π,⑧-1..
(1)整数:{ ②③④ …};
(2)负分数:{ ①⑧ …};
(3)无理数:{ ⑥⑦ …}.
所示:
化简:2 (b-a)2 +|b+c|- (a-c)2 -2|a|.
解:原式=2(b-a)+b+c+a-c+2a
=2b-2a+b+c+a-c+2a
=3b+a.
A.0.09 的平方根是 0.3
B. 16=±4
C.0 的立方根是 0
D.1 的立方根是±1
3
5.计算: -8= -2
.
知识点三:实数
(1)实数的概念:有理数和 无理
数统称为实数.
(2)实数的分类
①按定义分类:
实数
正有理数
有理数 0
有限小数或无限循环小数
负有理数
无理数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
第六章
实数
单元复习
知识要点
知识点一:算术平方根与平方根
(1)算术平方根:a 的算术平方根记为 a.
①正数有 1
②负数 没有
个算术平方根;
算术平方根;
③0的算术平方根是 0 .
(2)平方根:正数 a 的平方根记为± a.
①一个正数有 2
②负数 没有
个平方根,它们互为 相反
平方根;
③0的平方根是 0 .
(1)实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘
第六章 实数复习题及答案
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第六章 实数复习题及答案一、选择题1.设记号*表示求a 、b 算术平均数的运算,即*2a ba b +=,则下列等式中对于任意实数a ,b ,c 都成立的是( ).①(*)()*()a b c a b a c +=++;②*()()*a b c a b c +=+; ③*()(*)(*)a b c a b a c +=+;④(*)(*2)aa b c b c c+=+. A .①②③B .①②④C .①③④D .②④ 2.已知4a ++(b ﹣3)2=0,则(a +b )2019等于( ) A .1B .﹣1C .﹣2019D .20193.下列计算正确的是( ) A .42=±B .1193±= C .2(5)5-= D .382=±4.下列各数-(-3),0,221(-)--2--42π,,,中,负数有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个5.我们规定一种运算“★”,其意义为a ★b =a 2﹣ab ,如2★3=22﹣2×3=﹣2.若实数x 满足(x +2)★(x ﹣3)=5,则x 的值为( ) A .1B .﹣1C .5D .﹣56.下列命题中,是真命题的有( )①两条直线被第三条直线所截,同位角的角平分线互相平行; ②立方根等于它本身的数只有0; ③两条边分别平行的两个角相等; ④互为邻补角的两个角的平分线互相垂直 A .4个B .3个C .2个D .1个7.如图,数轴上,A B 两点表示的数分别为1,2--,点B 关于点A 的对称点为点C ,则点C 所表示的数是( )A .12B 21C .22D 228.在实数227-911π38中,无理数的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 9.4的平方根是( ) A .±16B .2C .﹣2D .±210.下列判断正确的有几个( )①一个数的平方根等于它本身,这个数是0和1;②实数包括无理数和有理数;333的立方根;④无理数是带根号的数;⑤2的算术平方根是2. A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 二、填空题11.如图所示,把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上,圆形纸片上的A 点对应原点,将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周,点A 到达点A′的位置,则点A′表示的数是_______.12.下面是按一定规律排列的一列数:14,37,512,719,928…,那么第n 个数是__. 13.如果一个数的平方根和它的立方根相等,则这个数是______.14.对任意两个实数a ,b 定义新运算:a ⊕b=()()a a b b a b ≥⎧⎨⎩若若<,并且定义新运算程序仍然是先做括号内的,那么(5⊕2)⊕3=___. 15.为了求2310012222+++++的值,令2310012222S =+++++,则234101222222S =+++++,因此101221S S -=-,所以10121S =-,即231001*********+++++=-,仿照以下推理计算23202013333+++++的值是____________.16.规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分,如[3.65]3,31⎡⎤==⎣⎦,按此规定113⎡⎤-=⎣⎦_____.17.对于任意有理数a ,b ,定义新运算:a ⊗b =a 2﹣2b +1,则2⊗(﹣6)=____. 18.1111111111112018201920182019202020182019202020182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.19.如图,数轴上的点A 能与实数15,3,,22---对应的是_____________20.如果36a =b 7的整数部分,那么ab =_______.三、解答题21.(阅读材料)数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:求59319的立方根.华罗庚脱口而出:“39”.邻座的乘客十分惊奇,忙间其中计算的奥妙.你知道怎样迅速准确的计算出结果吗?请你按下面的步骤试一试:10=100=,1000593191000000<<,∴10100<<.∴能确定59319的立方根是个两位数. 第二步:∵59319的个位数是9,39729= ∴能确定59319的立方根的个位数是9.第三步:如果划去59319后面的三位319得到数59,<<34<<,可得3040<<,由此能确定59319的立方根的十位数是3,因此59319的立方根是39. (解答问题)根据上面材料,解答下面的问题 (1)求110592的立方根,写出步骤. (2=__________. 22.先阅读下面的材料,再解答后面的各题:现代社会会保密要求越来越高,密码正在成为人们生活的一部分,有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分解,其中,,,,,Q W E N M 这26个字母依次对应1,2,3,,25,26这26个自然数(见下表).给出一个变换公式:(126,3)3217(126,31)318(126,32)3J J J xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是自然数,被整除是自然数,被除余是自然数,被除余 将明文转成密文,如4+24+17=193⇒,即R 变为L :11+111+8=123⇒,即A 变为S .将密文转成成明文,如213(2117)210⇒⨯--=,即X 变为P :133(138)114⇒⨯--=,即D 变为F .(1)按上述方法将明文NET 译为密文.(2)若按上方法将明文译成的密文为DWN ,请找出它的明文.23.数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础.小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究: 操作一:(1)折叠纸面,若使表示的点1与﹣1表示的点重合,则﹣2表示的点与 表示的点重合; 操作二:(2)折叠纸面,若使1表示的点与﹣3表示的点重合,回答以下问题: ①3表示的点与数 表示的点重合;②若数轴上A 、B 两点之间距离为8(A 在B 的左侧),且A 、B 两点经折叠后重合,则A 、B 两点表示的数分别是__________________; 操作三:(3)在数轴上剪下9个单位长度(从﹣1到8)的一条线段,并把这条线段沿某点折叠,然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图). 若这三条线段的长度之比为1:1:2,则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.24.已知32x y --的算术平方根是3,26x y +-的立方根是37的整数部分是z ,求42x y z ++的平方根.25.规律探究计算:123499100++++⋅⋅⋅++如果一个个顺次相加显然太繁杂,我们仔细观察这个式子的特点,发现运用加法的的运算律,可简化计算, 提高计算速度.()()()12349910011002995051101505050++++⋅⋅⋅++=++++⋅⋅⋅++=⨯=计算:(1)246898100++++⋅⋅⋅++(2)()()()()22334100101a m a m a m a m ++++++⋅⋅⋅++26.给定一个十进制下的自然数x ,对于x 每个数位上的数,求出它除以2的余数,再把每一个余数按照原来的数位顺序排列,得到一个新的数,定义这个新数为原数x 的“模二数”,记为()2M x .如()()22735111, 561101M M ==.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐,从右往左依次将相应数位.上的数分别相加,规定: 0与 0相加得 0; 0与1相加得1;1与1相加得 0,并向左边一位进1.如735561、的“模二数”111101、相加的运算过程如下图所示.根据以上材料,解决下列问题:(1)()29653M 的值为______ ,()()22589653M M +的值为_(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等,则称这两个数“模二相加不变”.如()()22124100,630010M M ==,因为()()()222124630110,124630110M M M +=+=,所以()()()222124*********M M M +=+,即124与630满足“模二相加不变”.①判断126597,,这三个数中哪些与23“模二相加不变”,并说明理由; ②与23“模二相加不变”的两位数有______个【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】①中(*)2b c a b c a ++=+,()*()22a b a c b ca b a c a ++++++==+,所以①成立;②中*()2a b c a b c +++=,()*2a b c a b c +++=,所以②成立; ③中()()*(*)*222a b a c b ca b a c a a b c ++++=+=+=+,所以③不成立; ④中(*)2a b a b c c ++=+,22(*2)22222a abc a b c a b b c c +++++=+==+,所以④成立. 故选B.2.B解析:B 【分析】根据非负数的性质,非负数的和为0,即每个数都为0,可求得a 、b 的值,代入所求式子【详解】根据题意得,a +4=0,b ﹣3=0, 解得a =﹣4,b =3,∴(a +b )2019=(﹣4+3)2019=﹣1, 故选:B . 【点睛】本题考查了非负数的性质,以及-1的奇次方是-1,理解非负数的性质是解题关键.3.C解析:C 【分析】A 、根据算术平方根的定义即可判定;B 、根据平方根的定义即可判定;C 、根据平方根的性质计算即可判定;D 、根据立方根的定义即可判定. 【详解】A 2=,故选项错误;B 、13=±,故选项错误;C 、2(=5,故选项正确;D 2,故选项错误. 故选:C . 【点睛】此题考查平方根,立方根,解题关键在于掌握运算法则.4.C解析:C 【分析】根据相反数的定义,有理数的乘方,绝对值的性质分别化简,再根据正负数的定义进行判断即可得解 【详解】解:-(-3)=3;211()24-=;224-=-;44--=-; 所以2-2-4π--,,是负数,共3个。
七年级数学下册第六章【实数】复习题(含答案)
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一、选择题1.下列命题中,①81的平方根是9;②16的平方根是±2;③−0.003没有立方根;④−64的立方根为±4;⑤5,其中正确的个数有( ) A .1B .2C .3D .42.在实数﹣34,0,9,215中,是无理数的是( ) A .﹣34B .0C .9D .2153.下列各数中无理数共有( ) ①–0.21211211121111,②3π,③227,④8,⑤39.A .1个B .2个C .3个D .4个4.下列说法中,正确的是 ( ) A .64的平方根是8 B .16的平方根是4和-4 C .()23-没有平方根D .4的平方根是2和-25.下列说法正确的是( ) A .2的平方根是2 B .(﹣4)2的算术平方根是4 C .近似数35万精确到个位 D .无理数21的整数部分是56.如图,直径为1个单位长度的圆从A 点沿数轴向右滚动(无滑动)两周到达点B ,则点B 表示的数是( )A .1π-B .21π-C .2πD .21π+7.已知实数a 的一个平方根是2-,则此实数的算术平方根是( ) A .2±B .2-C .2D .48.数轴上表示下列各数的点,能落在A ,B 两个点之间的是( )A .3B 7C 11D 139.下列计算正确的是( ) A 11-=-B 2(3)3-=-C 42=±D 31182-=-10.和数轴上的点一一对应的数是( ) A .自然数B .有理数C .无理数D .实数11.下列计算正确的是( )A .21155⎛⎫-= ⎪⎝⎭B .()239-=C 42=±D .()515-=-二、填空题12.计算: (13168-. (2)()23540.255(4)8⨯--⨯⨯-.13.计算:(1)(23)(41)----; (2)1111115()13()3()555-⨯-+⨯--⨯-; (3)23(2)|21|27-+;(4)311()()(2)424-⨯-÷-.14.求满足条件的x 值:(1)()23112x -= (2)235x -=15.解方程:(1)24(1)90--=x (2)31(1)7x +-=-16.若一个正数的平方根是3m +和215m -,n 的立方根是2-,则2n m -+的算术平方根是______.17.把下列各数填在相应的集合里: 4,3.5,0,3π,5-4,10%,2-3,2016,﹣2.030030003…(每两个3之间依次多一个0)正分数集合{ …} 负有理数集合{ …} 非负整数集合{ …} 无理数集合{ …}.18.27-的立方根是___________;81的平方根是___________;| 3.14|π-的绝对值是___________. 19.求下列各式中的x : (1)2940x -=;(2)3(1)8x -=20.已知21a -的平方根是17±,31a b +-的算术平方根是6,求4a b +的平方根. 21.根据如图所示的程序计算,若输出y 的值为16,则输入x 的值为 ______.三、解答题22.已知31a +的算数平方根是4,421c b +-的立方根是3,c 1322a b c +-的平方根.23.已知1,25x a y a =-=-.(1)已知x 的算术平方根为3,求a 的值; (2)如果x y ,都是同一个数的平方根,求这个数.24.计算:()23143282--⨯--() 25.求下列各式中x 的值: (1)()214x -=; (2)3381x =-.一、选择题1.16的算术平方根是( ) A .2 B .4C .2±D .-42.-18的平方的立方根是( ) A .4 B .14C .18D .1643.已知122=,224=,328=,4216=,5232=,……,根据这一规律,20192的个位数字是( ) A .2B .4C .8D .64.如图,数轴上表示实数5的点可能是( )A .点PB .点QC .点RD .点S581 ) A .3B .﹣3C .±3D .66.下列选项中,属于无理数的是( ) A .πB .227-C 4D .0764 ) A .8B .8-C .22D .22±8.在 -1.414216π,3 3.212212221…,227,3.14这些数中,无理数的个数为( ) A .2B .3C .4D .59.下列说法正确的有( ) (1)带根号的数都是无理数; (2)立方根等于本身的数是0和1; (3)a -一定没有平方根;(4)实数与数轴上的点是一一对应的;(5)两个无理数的差还是无理数;(6)若面积为3的正方形的边长为a ,a 一定是一个无理数. A .1个B .2个C .3个D .4个10.下列说法中:①0是最小的整数;②有理数不是正数就是负数;③﹣2π不仅是有理数,而且是分数;④237是无限不循环小数,所以不是有理数;⑤无限小数不一定都是有理数;⑥正数中没有最小的数,负数中没有最大的数;⑦非负数就是正数;⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数;其中错误的说法的个数为( ) A .7个B .6个C .5个D .4个11.已知|x |=2,y 2=9,且xy <0,则x +y 的值为( ) A .1或﹣1B .-5或5C .11或7D .-11或﹣7二、填空题12.计算下列各题(1)﹣2;(2)﹣(结果保留2位有效数字). 13.对于结论:当a +b =0时,a 3+b 3=0也成立.若将a 看成a 3的立方根,b 看成是b 3的立方根,由此得出这样的结论:“如果两数的立方根互为相反数,那么这两数也互为相反数”. (1)试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立?(21-的值. 14.求下列各式中x 的值: (1)()214x -=; (2)3381x =-.15.在实数的原有运算法则中,我们补充新运算法则“*”如下:当a≥b 时,a*b=b 2,当a<b时,a*b=a ,则当时,()()1*-3*=x x x ______16.一个正数的两个平方根分别为27a -与34a -+,则这个正数为_______.17.小燕在测量铅球的半径时,先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中,拿出铅球时,小燕发现小水桶中的水面下降了1cm ,小燕量得小水桶的直径为12cm ,于是她就算出了铅球的半径.你知道她是如何计算的吗?请求出铅球的半径.(球的体积公式343V r π=,r 为球的半径.)18.定义一种新运算;观察下列各式;131437=⨯+=()3134111-=⨯-=5454424=⨯+=()4344313-=⨯-=(1)请你想一想:a b = ;(2)若ab ,那么ab ba (填“=”或“≠” );(3)先化简,再求值:()()2a b a b -+,其中1a =-,2b =.19.如图,一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ,点A 表示2-,设点B 所表示的数为m .(1)求11m m ++-的值;(2)在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ,且有2c d +4d +求23c d -的平方根.20.对于有理数x 、y ,当x ≥y 时,规定x ※y =y x ;而当x <y 时,规定x ※y =y -x ,那么4※(-2)=_______;如果[(-1)※1]※m=36,则m 的值为______.21.任何实数a ,可用[a]表示不大于a 的最大整数,如[4]=4,31⎡=⎣,现对72进行如下操作:72→72⎡⎣=8→82⎡=⎣→2⎤⎦=1,类似地:(1)对64只需进行________次操作后变为1;(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是________.三、解答题22.把下列各数在数轴上表示出来,并把它们按从小到大的顺序用“<”连接:1.5-380,134-23.求x 的值:(1)2(3)40x +-= (2)33(21)240x ++=24.求下列各式中x 的值 (1)21(1)64x +-=;(2)3(1)125x -=.25.已知52a +的立方根是3,31a b +-的算术平方根是4,c 的整数部分. (1)求a ,b ,c 的值; (2)求3a b c -+的平方根.一、选择题1.27(7)0y z ++-=,则x y z -+的平方根为( ) A .±2B .4C .2D .±42.下列命题是真命题的是( ) A .两个无理数的和仍是无理数 B .有理数与数轴上的点一一对应 C .垂线段最短D .如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等 3.下列实数中,是无理数的为( )A .3.14B .13C D 4.各个数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做“水仙花数”.例如153是“水仙花数”,因为333153153++=.以下四个数中是“水仙花数”的是( ) A .135B .220C .345D .4075.下列说法中,正确的是( ) A .正数的算术平方根一定是正数 B .如果a 表示一个实数,那么-a 一定是负数 C .和数轴上的点一一对应的数是有理数 D .1的平方根是16.1的值( ) A .在7和8之间 B .在6和7之间 C .在5和6之间D .在4和5之间7.对任意两个正实数a ,b ,定义新运算a ★b 为:若a b ≥,则a ★ab b;若a b <,则a ★bba.则下列说法中正确的有( ) ①=a b b a ★★;②()()1a b b a =★★;③a ★b 12a b+<★ A .① B .②C .①②D .①②③8.下列实数31,7π-,3.14,1.010010001…(从左到右,每两个1之间依次增加一个0)中,其中无理数有( ) A .5个B .4个C .3个D .2个9.关于x 的多项式32711159x mx x --+与多项式22257x nx --相加后不含x 的二次和一次项,则()mn n -+平方根为( )A .3B .3-C .3±D .10.设,A B 均为实数,且A B ==,A B 的大小关系是( )A .AB >B .A B =C .A B <D .A B ≥11.下列说法中:①0是最小的整数;②有理数不是正数就是负数;③﹣2π不仅是有理数,而且是分数;④237是无限不循环小数,所以不是有理数;⑤无限小数不一定都是有理数;⑥正数中没有最小的数,负数中没有最大的数;⑦非负数就是正数;⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数;其中错误的说法的个数为( ) A .7个B .6个C .5个D .4个二、填空题12.解方程:(1)24(1)90--=x (2)31(1)7x +-=-13.对于有理数,a b ,我们规定*a b b ab =- (1)求(2)*1-的值.(2)若有理数x 满足(2)*36x -=,求x 的值.14.定义新运算:对于任意实数a ,b ,都有()1a b a a b ⊕=-+,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:252(25)12(3)1615⊕=⨯-+=⨯-+=-+=-,则(2)3-⊕=________.15.一个正方体的木块的体积是3343cm ,现将它锯成8块同样大小的小正方体木块,则每个小正方体木块的表面积是________.16.<x 的所有整数x 的和是_____.17.计算:(1)(1)|2|3-⨯-+ (2)2111(3)2⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭18. 1.414≈,于是我们说:的整数部分为1,小数部分则可记为1”.则:(11的整数部分是__________,小数部分可以表示为__________; (22的小数部分是a,7-b ,那么a b +=__________;(3x的小数部分为y,求1(x y --的平方根. 19.定义一种新运算“”规则如下:对于两个有理数a ,b ,ab ab b =-,若()()521x -=-,则x =______20.规定,()221x f x x =+,例如:()223931310f ==+,221113310113f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫÷ ⎪⎝⎭,通过观察,那么()()()()11111239910099982f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()100f +=______.21.规定一种关于a 、b 的新运算:2*2a b b ab a =+-+,那么()3*2-=______.三、解答题22.计算:(1)﹣12﹣(﹣2)(21)+2| 23.1 24.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的,已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米.(提示:182=324) (1)求正方形纸板的边长;(2)若将该正方形纸板进行裁剪,然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体,求剩余的正方形纸板的面积.25.求下列各式中x 的值: (1)()214x -=; (2)3381x =-.。
七年级初一数学第六章 实数知识点总结及解析
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七年级初一数学第六章 实数知识点总结及解析一、选择题1.表面积为12dm 2的正方体的棱长为( )A dmB .dmC .1dmD .2dm2.下列说法中正确的是( )A .若a a =,则0a >B .若22a b =,则a b =C .若a b >,则11a b> D .若01a <<,则32a a a << 3.下列计算正确的是( )A 2=±B .13=C .2(5=D 2=±4.规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如222÷÷,(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等,类比有理数的乘方,我们把222÷÷记作2③,读作“2的圈3次方”,把(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④,读作“3-的圈4次方”,一般地,把(0)a a a a a a ÷÷÷÷÷≠记作a ⓒ,读作“a 的圈c 次方”,关于除方,下列说法错误的是( ) A .任何非零数的圈2次方都等于1B .对于任何正整数a ,21()aa =④ C .3=4④④D .负数的圈奇次方结果是负数,负数的圈偶次方结果是正数.5.2,估计它的值( )A .小于1B .大于1C .等于1D .小于06.给出下列各数①0.32,②227,③π0.2060060006(每两个6之间依次多个0 ) A .②④⑤ B .①③⑥ C .④⑤⑥ D .③④⑤7.估算1的值是在哪两个整数之间( ) A .0和1 B .1和2 C .2和3D .3和48.1的值( )A .在6和7之间B .在5和6之间C .在4和5之间D .在7和8之间9.下列判断正确的有几个( )①一个数的平方根等于它本身,这个数是0和1;②实数包括无理数和有理数;3的立方根;④无理数是带根号的数;⑤2.A .2个B .3个C .4个D .5个10.在实数13-,0.7,34,π,16中,无理数有( )个.A .1B .2C .3D .4 二、填空题11.如图,四个实数m ,n ,p ,q 在数轴上对应的点分别为M ,N ,P ,Q ,若0n q +=,则m ,n ,p ,q 四个实数中,绝对值最大的是________.12.若()2320m n ++-=,则m n 的值为 ____.13.若|x |=3,y 2=4,且x >y ,则x ﹣y =_____.14.对于三个数a ,b ,c ,用M{a ,b ,c}表示这三个数的平均数,用min{a ,b ,c}表示这三个数中最小的数.例如:M{-1,2,3}=123433-++=,min{-1,2,3}=-1,如果M{3,2x +1,4x -1}=min{2,-x +3,5x},那么x =_______. 15.实a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简()2a b b a ++-=___________.16.有若干个数,第1个数记作1a ,第2个数记为2a ,第3个数记为3a ,……,第n 个数记为n a ,若1a =13,从第2个数起,每个数都等于1与前面的那个数的差的倒数,则2019a =_____.17.下列说法: ① ()210-10-=;②数轴上的点与实数成一一对应关系;③两条直线被第三条直线所截,同位角相等;④垂直于同一条直线的两条直线互相平行;⑤两个无理数的和还是无理数;⑥无理数都是无限小数,其中正确的个数有 ___________18.若x 、y 分别是811-的整数部分与小数部分,则2x -y 的值为________.19.如图,直径为1个单位长度的半圆,从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点O 到达点'O ,则点'O 对应的数是_______.20.用“*”表示一种新运算:对于任意正实数a ,b ,都有*1a b b .例如89914*=,那么*(*16)m m =__________.三、解答题21.阅读型综合题对于实数x y ,我们定义一种新运算(),L x y ax by =+(其中a b ,均为非零常数),等式右边是通常的 四则运算,由这种运算得到的数我们称之为线性数,记为(),L x y ,其中x y ,叫做线性数的一个数对.若实数 x y ,都取正整数,我们称这样的线性数为正格线性数,这时的x y ,叫做正格线性数的正格数对.(1)若(),3L x y x y =+,则()2,1L = ,31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭; (2)已知(),3L x y x by =+,31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭.若正格线性数(),18L x kx =,(其中k 为整数),问是否有满足这样条件的正格数对?若有,请找出;若没有,请说明理由.22.(1)观察下列式子:①100222112-=-==;②211224222-=-==;③322228442-=-==;……根据上述等式的规律,试写出第n 个等式,并说明第n 个等式成立;(2)求01220192222++++的个位数字.23.(1的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下:因为2211,24==,所以12,<<因为21.4 1.96=,21.5 2.25=,所以1.4 1.5,<< 因为221.41 1.9881,1.42 2.0164==,所以1.41 1.42<< 因为221.414 1.999396,1.415 2.002225==,所以1.414 1.415,<<1.41≈(精确到百分位),(精确到百分位).(2)我们规定用符号[]x 表示数x 的整数部分,例如[]0,2.42,34=⎤⎢⎥⎦=⎡⎣①按此规定2⎤⎦= ;a ,b 求a b -的值.24.阅读理解.23.∴11<21的整数部分为1,12.解决问题:已知a ﹣3的整数部分,b ﹣3的小数部分.(1)求a ,b 的值;(2)求(﹣a )3+(b +4)22=17.25.已知2+a b(1)求2a -3b 的平方根;(2)解关于x 的方程2420ax b +-=.26.阅读下列材料:小明为了计算22019202012222+++++的值,采用以下方法: 设22019202012222s =+++++ ① 则22020202122222s =++++ ②②-①得,2021221s s s -==-请仿照小明的方法解决以下问题:(1)291222++++=________;(2)220333+++=_________; (3)求231n a a a a ++++的和(1a >,n 是正整数,请写出计算过程).【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【分析】根据正方体的表面积公式:S =6a 2,解答即可.【详解】解:根据正方体的表面积公式:S =6a 2,可得:6a 2=12,解得:a .dm .故选:A .【点睛】此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用,解题的关键是根据公式进行计算.2.D解析:D【分析】根据绝对值的性质、平方根的性质、倒数的性质、平方和立方的性质对各项进行判断即可.【详解】 若a a =则0a ≥,故A 错误;若22a b =则a b =或=-a b ,故B 错误;当0a b >>时11b a <,故C 错误;若01a <<,则32a a a <<,正确,故答案为:D .【点睛】本题考查了有理数的运算,掌握有理数性质的运算是解题的关键.3.C解析:C【分析】A 、根据算术平方根的定义即可判定;B 、根据平方根的定义即可判定;C 、根据平方根的性质计算即可判定;D 、根据立方根的定义即可判定.【详解】A 2=,故选项错误;B 、13=±,故选项错误;C 、2(=5,故选项正确;D 2,故选项错误.故选:C .【点睛】此题考查平方根,立方根,解题关键在于掌握运算法则.4.C解析:C【解析】【分析】根据定义依次计算判定即可.【详解】解:A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除,所以都等于1; 所以选项A 正确;B 、a ④=21111()a a a a a a a a a ÷÷÷=⨯⨯⨯=; 所以选项B 正确; C 、3④=3÷3÷3÷3=19,4④=4÷4÷4÷4=116,,则 3④≠4④; 所以选项C 错误; D 、负数的圈奇数次方,相当于奇数个负数相除,则结果是负数,负数的圈偶数次方,相当于偶数个负数相除,则结果是正数.所以选项D 正确;故选:C .【点睛】本题是有理数的混合运算,也是一个新定义的理解与运用;一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算,另一方面也考查了学生的阅读理解能力;注意:负数的奇数次方为负数,负数的偶数次方为正数,同时对新定义,其实就是多个数的除法运算,要注意运算顺序.5.A解析:A【分析】首先根据479<<可以得出23<<2的范围即可. 【详解】∵23<<,∴22232-<<-,∴021<<,2-的值大于0,小于1.所以答案为A 选项.【点睛】本题主要考查了无理数的估算,熟练找出无理数的整数范围是解题关键.6.D解析:D【分析】无理数就是无限不循环小数.初中范围内学习的无理数有:π,开方开不尽的数,以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.由此逐一判断即可得答案.【详解】①0.32是有限小数,是有理数, ②227是分数,是有理数, ③π是无限循环小数,是无理数,⑤0.2060060006(每两个6之间依次多个0)是无限循环小数,是无理数,,是整数,是有理数,综上所述:无理数是③④⑤,故选:D.【点睛】此题主要考查了无理数的定义,初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数;熟练掌握定义是解题关键.7.C解析:C【分析】利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案.【详解】原式∵1.5<2∴3<4∴2<<3故选:C.【点睛】此题考查估算无理数的大小,熟练掌握运算法则是解题的关键.8.B解析:B【分析】利用36<38<49得到671进行估算.【详解】解:∵36<38<49,∴67,∴51<6.故选:B.【点睛】本题考查了估算无理数的大小,熟练掌握运算法则是解本题的关键.9.B解析:B【分析】根据平方根的定义判断①;根据实数的定义判断②;根据立方根的定义判断③;根据无理数的定义判断④;根据算术平方根的定义判断⑤.【详解】解:①一个数的平方根等于它本身,这个数是0,因为1的平方根是±1,故①错误;②实数包括无理数和有理数,故②正确;3的立方根,故③正确;④π是无理数,而π不带根号,所以无理数不一定是带根号的数,故④错误;⑤2,故⑤正确.故选:B .【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根及无理数、实数的定义,是基础知识,需熟练掌握.10.B解析:B【分析】根据无理数的定义判断即可.【详解】13-,0.716π是无理数, 故选:B .【点睛】本题主要考查无理数的定义,熟练掌握定义是关键.二、填空题11.【分析】根据可以得到的关系,从而可以判定原点的位置,从而可以得到哪个数的绝对值最大,本题得以解决.【详解】∵,∴n 和q 互为相反数,O 在线段NQ 的中点处,∴绝对值最大的是点P 表示的数.故解析:p【分析】根据0n q +=可以得到n q 、的关系,从而可以判定原点的位置,从而可以得到哪个数的绝对值最大,本题得以解决.【详解】∵0n q +=,∴n 和q 互为相反数,O 在线段NQ 的中点处,∴绝对值最大的是点P 表示的数p .故答案为:p .【点睛】本题考查了实数与数轴,解题的关键是明确数轴的特点,利用数形结合的思想解答.12.【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值,然后代入代数式进行计算即可得解.【详解】由题意得,m+3=0,n-2=0,解得m=-3,n=2,所以,mn=(-3)2=9.故答案为9.【解析:【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值,然后代入代数式进行计算即可得解.【详解】由题意得,m+3=0,n-2=0,解得m=-3,n=2,所以,m n=(-3)2=9.故答案为9.【点睛】此题考查绝对值和算术平方根非负数的性质,解题关键在于掌握几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0.13.1或5.【分析】根据题意,利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x与y的值,代入原式计算即可得到结果.【详解】解:根据题意得:x=3,y=2或x=3,y=﹣2,则x﹣y=1或5.故答案为1解析:1或5.【分析】根据题意,利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x与y的值,代入原式计算即可得到结果.【详解】解:根据题意得:x=3,y=2或x=3,y=﹣2,则x﹣y=1或5.故答案为1或5.【点睛】此题考查了代数式求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.14.或【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3,2x+1,4x-1}=1+2x,然后再根据min{2,-x+3,5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3,2x+1,4x-1}==2x+1解析:12或13【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3,2x+1,4x-1}=1+2x,然后再根据min{2,-x+3,5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3,2x+1,4x-1}=321413x x+++-=2x+1,∵M{3,2x+1,4x-1}=min{2,-x+3,5x},∴有如下三种情况:①2x+1=2,x=12,此时min{2,-x+3,5x}= min{2,52,52}=2,成立;②2x+1=-x+3,x=23,此时min{2,-x+3,5x}= min{2,73,103}=2,不成立;③2x+1=5x,x=13,此时min{2,-x+3,5x}= min{2,83,53}=53,成立,∴x=12或13,故答案为12或13.【点睛】本题考查了阅读理解题,一元一次方程的应用,分类讨论思想的运用等,解决问题的关键是读懂题意,依题意分情况列出一元一次方程进行求解.15.【解析】由数轴得,a+b<0,b-a>0,|a+b|+=-a-b+b-a=-2a.故答案为-2a.点睛:根据,推广此时a可以看做是一个式子,式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小解析:2a-【解析】由数轴得,a+b<0,b-a>0,=-a-b+b-a=-2a.故答案为-2a.点睛:根据,0,0a aaa a≥⎧=⎨-<⎩,推广此时a可以看做是一个式子,式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小于0,把绝对值变为括号,前面再加负号.最后去括号,化简.16.-2【分析】根据1与它前面的那个数的差的倒数,即,即可求得、、……,然后根据得到结果出现的规律,即可确定.【详解】解:=……所以数列以,,三个数循环,所以==故答案为:.【解析:-2【分析】根据1与它前面的那个数的差的倒数,即111n n a a +=-,即可求得2a 、3a 、4a ……,然后根据得到结果出现的规律,即可确定2019a .【详解】解:1a =13 2131213a ==-312312a ==--411123a ==+ …… 所以数列以13,32,2-三个数循环, 20193673÷=所以2019a =3a =2-故答案为:2-.【点睛】通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.17.2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定;②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定;③根据平行线的性质即可判断;根据平行公理的推论对④进行判断;⑤根据无理数的性质即可判定;⑥根据无理数的定义即解析:2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定;②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定;③根据平行线的性质即可判断;根据平行公理的推论对④进行判断;⑤根据无理数的性质即可判定;⑥根据无理数的定义即可判断.【详解】=,故①错误;①10②数轴上的点与实数成一一对应关系,故说法正确;③两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;故原说法错误;④在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,故原说法错误;与的和是0,是有理数,故说法错误;⑥无理数都是无限小数,故说法正确.故正确的是②⑥共2个.故答案为:2个.【点睛】此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系.有理数都可以化为小数,其中整数可以看作小数点后面是零的小数,分数可以化为有限小数或无限循环小数;无理数是无π也是无理数.18.【分析】估算出的取值范围,进而可得x,y的值,然后代入计算即可.【详解】解:∵,∴,∴的整数部分x=4,小数部分y=,∴2x-y=8-4+,故答案为:.【点睛】本题考查了估算无理解析:4+【分析】估算出8-x ,y 的值,然后代入计算即可.【详解】解:∵34<<,∴4<85,∴8x =4,小数部分y =448=∴2x -y =8-44=故答案为:4【点睛】本题考查了估算无理数的大小,解题的关键是求出x ,y 的值.19.【分析】点对应的数为该半圆的周长.【详解】解:半圆周长为直径半圆弧周长即故答案为:.【点睛】本题考查数轴上的点与实数的关系.明确的长即为半圆周长是解答的关键. 解析:12π+【分析】点O '对应的数为该半圆的周长.【详解】解:半圆周长为直径+半圆弧周长 即12π+ 故答案为:12π+.【点睛】 本题考查数轴上的点与实数的关系.明确OO '的长即为半圆周长是解答的关键.20.+1【分析】首先正确理解题目要求,然后根据给出的例子进行计算即可.【详解】m*(m*16)=m*(+1)=m*5=+1.故答案为:+1.【点睛】此题考查实数的运算,解题的关键是要【分析】首先正确理解题目要求,然后根据给出的例子进行计算即可.【详解】m*(m*16)=m*)=m*5=..【点睛】此题考查实数的运算,解题的关键是要掌握运算法则.三、解答题21.(1)5,3;(2)有正格数对,正格数对为()26L ,【分析】(1)根据定义,直接代入求解即可;(2)将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入(),3L x y x by =+求出b 的值,再将(),18L x kx =代入(),3L x y x by =+,表示出kx ,再根据题干分析即可.【详解】解:(1)∵(),3L x y x y =+∴()2,1L =5,31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭3 故答案为:5,3;(2)有正格数对. 将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入(),3L x y x by =+,得出,1111323232L b ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭,, 解得,2b =, ∴()32L x y x y =+,,则()3218L x kx x kx =+=, ∴1832x kx -=∵x ,kx 为正整数且k 为整数 ∴329k +=,3k =,2x =,∴正格数对为:()26L ,. 【点睛】本题考查的知识点是实数的运算,理解新定义是解此题的关键.22.(1)11222n n n ---=,理由见解析;(2)01220192222++++的个位数字为5.【分析】(1)找规律,发现等式满足11222n n n ---=,证明,即可.(2)利用公式11222n n n ---=,分别表示每个项,利用相消法,计算结果,即可.【详解】(1)11222n n n ---=理由是:122n n -- 11122n n +--=-11222n n --=⨯-()1212n -=-⨯12n -=(2)原式=()()()()1021322020201922222222-+-+-++-2020022=-()505421=-505161=-因为6的任何整数次幂的个位数字为6.所以505161-的个位数字为5,即01220192222++++的个位数字为5.【点睛】本题考查了与数字运算有关的规律题,仔细观察发现规律是解题的关键.23.(1)2.24;(2)①5,②3-【分析】(1近似值的方法解答即可;(22的范围,再根据规定解答即可;的整数部分a b 的值,再代入所求式子化简计算即可.【详解】解:(1)因为2224,39==,所以23,<<因为222.2 4.84,2.3 5.29==,所以2.2 2.3<<,因为222.23 4.9729,2.24 5.0176==,所以2.23 2.24,<< 因为222.236 4.999696,2.237 5.004169==,所以2.236 2.237<<,2.24≈.(2)①因为3.12=9.61,3.22=10.24,所以3.1 3.2<<,所以5.12 5.2<<,所以2⎤⎦=5;故答案为:5;②因为12,23<<<,所以1,2a b ==,所以原式12=)12123=-== 【点睛】本题考查了利用夹逼法求算术平方根的近似值、对算术平方根的整数和小数部分的认识以及实数的简单计算,属于常考题型,正确理解题意、熟练掌握算术平方根的相关知识是解题关键.24.(1)a =1,b ﹣4;(2)±4.【分析】(1)根据被开饭数越大算术平方根越大,可得a ,b 的值,(2)根据开平方运算,可得平方根.【详解】解:(1<,∴4<<5,∴1﹣3<2,∴a =1,b 4;(2)(﹣a )3+(b+4)2=(﹣1)3+﹣4+4)2=﹣1+17=16,∴(﹣a )3+(b+4)2的平方根是:±4.【点睛】本题考查了估算无理数的大小,利用被开方数越大算术平方根越大得出4<5是解题关键.25.(1)23a b -的平方根为4±;(2)3x =±.【分析】(1)先由相反数的定义列出等式,再根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出a 、b 的值,然后代入,根据平方根的定义求解即可;(2)先将a 、b 的值代入,再利用平方根的性质求解即可.【详解】(1)由相反数的定义得:20a b ++=由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得:203120a b b +=⎧⎨+=⎩解得24a b =⎧⎨=-⎩则23223(4)41216a b -=⨯-⨯-=+=故23a b -的平方根为4±;(2)方程2420ax b +-=可化为224(4)20x +⨯--=整理得22180x -=29x =解得3x =±.【点睛】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定义等知识点,利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点,需重点掌握.26.(1)1021-;(2)21332-;(3)111n a a +-- 【分析】(1)设式子等于s ,将方程两边都乘以2后进行计算即可;(2)设式子等于s ,将方程两边都乘以3,再将两个方程相减化简后得到答案; (3)设式子等于s ,将方程两边都乘以a 后进行计算即可.【详解】(1)设s=291222++++①, ∴2s=29102222++++②,②-①得:s=1021-,故答案为:1021-;(2)设s=220333+++①, ∴3s=22021333+++②,②-①得:2s=2133-, ∴21332s -=, 故答案为: 21332-; (3)设s=231n a a a a ++++①, ∴as=231n n a a a a a +++++②,②-①得:(a-1)s=11n a +-,∴s=111n a a +--. 【点睛】此题考查代数式的规律计算,能正确理解已知的代数式的运算规律是难点,依据规律对于每个式子变形计算是关键.。
七年级初一数学第六章 实数知识归纳总结附解析
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七年级初一数学第六章 实数知识归纳总结附解析一、选择题1.下列说法中正确的是( )A .4的算术平方根是±2B .平方根等于本身的数有0、1C .﹣27的立方根是﹣3D .﹣a 一定没有平方根2.圆的面积增加为原来的m 倍,则它的半径是原来的( )A .m 倍B .2m 倍C 倍D .2m 倍3.下列命题中,真命题是( )A .实数包括正有理数、0和无理数B .有理数就是有限小数C .无限小数就是无理数D .无论是无理数还是有理数都是实数4.2-是( )A .负有理数B .正有理数C .自然数D .无理数 5.下列数中,有理数是( )A B .﹣0.6 C .2π D .0.151151115… 6.若2a a a -=,则实数a 在数轴上的对应点一定在( )A .原点左侧B .原点或原点左侧C .原点右侧D .原点或原点右侧7.有四个有理数1,2,3,﹣5,把它们平均分成两组,假设1,3分为一组,2,﹣5分为另一组,规定:A =|1+3|+|2﹣5|,已知,数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ,再取这两个数的相反数,那么,所有A 的和为( )A .4mB .4m +4nC .4nD .4m ﹣4n8.下列各数中,属于无理数的是( )A .227B .3.1415926C .2.010010001D .π3- 9.下列说法中不正确的是( )A .是2的平方根B 2的平方根C .2D .2 10.估计20的算术平方根的大小在( )A .2与3之间B .3与4之间C .4与5之间D .5与6之间 二、填空题11.定义一种对正整数n 的“F”运算:①当n 为奇数时,结果为3n+5;②当n 为偶数时,结果为2k n (其中k 是使2kn 为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如:取n=26,则:若449n =,则第201次“F”运算的结果是 .12.观察下列各式: 123415⨯⨯⨯+=; 2345111⨯⨯⨯+=; 3456119⨯⨯⨯+=;121314151a ⨯⨯⨯+=,则a =_____.13.对于三个数a ,b ,c ,用M{a ,b ,c}表示这三个数的平均数,用min{a ,b ,c}表示这三个数中最小的数.例如:M{-1,2,3}=123433-++=,min{-1,2,3}=-1,如果M{3,2x +1,4x -1}=min{2,-x +3,5x},那么x =_______.14.如果一个数的平方根和它的立方根相等,则这个数是______. 15.定义新运算a ☆b =3a ﹣2b ,则(﹣2)☆1=_____.16.规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分,如[3.65]3,31⎡==⎣,按此规定113⎡=⎣_____. 17.34330035.12=30.3512x =-,则x =_____________.18.下列说法: ()210-10-=;②数轴上的点与实数成一一对应关系;③两条直线被第三条直线所截,同位角相等;④垂直于同一条直线的两条直线互相平行;⑤两个无理数的和还是无理数;⑥无理数都是无限小数,其中正确的个数有 ___________19.任何实数,可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]=4,5=2,现对72进行如下操作:72[72]8[8]2[2]1→=→=→=,这样对72只需进行3次操作后变为1,类似地,对正整数x 只进行3次操作后的结果是1,则x 在最大值是_____. 20.如果36a =b 7的整数部分,那么ab =_______.三、解答题21.数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:求59319的立方根.华罗庚脱口而出:39.众人感觉十分惊奇,请华罗庚给大家解读其中的奥秘. 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗?请你按下面的问题试一试: ①3310001000000100==,又1000593191000000<<,31059319100∴<<,∴能确定59319的立方根是个两位数.②∵59319的个位数是9,又39729=,∴能确定59319的立方根的个位数是9. ③如果划去59319后面的三位319得到数59,<<34<<,可得3040<<,由此能确定59319的立方根的十位数是3因此59319的立方根是39.(1)现在换一个数195112,按这种方法求立方根,请完成下列填空.①它的立方根是_______位数.②它的立方根的个位数是_______.③它的立方根的十位数是__________.④195112的立方根是________.(2)请直接填写....结果:=________.=________.22.定义:如果2b n =,那么称b 为n 的布谷数,记为()b g n =.例如:因为328=,所以()3(8)23g g ==, 因为1021024=,所以()10(1024)210g g ==. (1)根据布谷数的定义填空:g (2)=________________,g (32)=___________________. (2)布谷数有如下运算性质:若m ,n 为正整数,则()()()=+g mn g m g n ,()()m g g m g n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据运算性质解答下列各题:①已知(7) 2.807g =,求 (14)g 和74g ⎛⎫⎪⎝⎭的值; ②已知(3)g p =.求(18)g 和316g ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 23.观察下列等式: ①111122=-⨯, ②1112323=-⨯, ③1113434=-⨯. 将以上三个等式两边分别相加,得1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯. (1)请写出第④个式子 (2)猜想并写出:1n(n 1)+= . (3)探究并计算:111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯. 24.我们规定:a p -=1p a (a ≠0),即a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数.例:24-=214 (1)计算:25-=__;22-(﹣)=__;(2)如果2p -=18,那么p =__;如果2a -=116,那么a =__; (3)如果a p -=19,且a 、p 为整数,求满足条件的a 、p 的取值.25.z 是64的方根,求x y z -+的平方根26.对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时,如果12n x -≤<1n 2+,则x n <>=;反之,当n 为非负整数时,如果x n <>=,则1122n x n -<+≤. 例如: 00.480<>=<>=,0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=.(1)计算: 1.87<>= ;= ;(2)①求满足12x <->=的实数x 的取值范围, ②求满足43x x <>=的所有非负实数x 的值; (3)若关于x 的方程21122a x x -<>+-=-有正整数解,求非负实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案.【详解】解:A 、4的算术平方根是2,故A 错误;B 、平方根等于本身的数是0,故B 错误;C 、(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,故C 正确;D 、﹣a 大于或等于0时,可以有平方根,故D 错误.故选:C.【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义,熟记定义是解决此题的关键.注意平方根和算术平方根的异同.2.C解析:C【分析】设面积增加后的半径为R,增加前的半径为r,根据题意列出关系式计算即可.【详解】设面积增加后的半径为R,增加前的半径为r,根据题意得:πR2=mπr2,∴,故选:C.【点睛】此题主要考查了实数的运算,要注意,圆的面积和半径之间是平方关系而非正比例关系.3.D解析:D【分析】直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案.【详解】A、实数包括有理数和无理数,故此命题是假命题;B、有理数就是有限小数或无限循环小数,故此命题是假命题;C、无限不循环小数就是无理数,故此命题是假命题;D、无论是无理数还是有理数都是实数,是真命题.故选:D.【点睛】此题主要考查了命题与定理,正确掌握相关定义是解题关键.4.A解析:A【解析】【分析】由于开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数,根据有理数和无理数的定义及分类作答.【详解】∵2-是整数,整数是有理数,∴D错误;∵2-小于0,正有理数大于0,自然数不小于0,∴B、C错误;∴2-是负有理数,A正确.故选:A.【点睛】本题考查了有理数和实数的定义及分类,其中开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.5.B解析:B【分析】根据有理数的定义选出即可.【详解】解:A是无理数,故选项错误;B、﹣0.6是有理数,故选项正确;C、2π是无理数,故选项错误;D、0.l51151115…是无理数,故选项错误.故选:B.【点睛】本题考查了实数,注意有理数是指有限小数和无限循环小数,包括整数和分数.6.B解析:B【分析】根据非正数的绝对值是它的相反数,可得答案.【详解】解:由a-|a|=2a,得|a|=-a,故a是负数或0,∴实数a在数轴上的对应点在原点或原点左侧故选:B.【点睛】本题考查了实数与数轴,利用了非负数的绝对值,非正数与数轴的关系:非正数位于原点及原点的左边.7.C解析:C【分析】根据题意得到m,n的相反数,分成三种情况⑴m,n;-m,-n ⑵m,-m;n,-n ⑶m,-n;n,-m 分别计算,最后相加即可.【详解】解:依题意,m,n(m<n)的相反数为﹣m,﹣n,则有如下情况:m,n为一组,﹣m,﹣n为一组,有A=|m+n|+|(﹣m)+(﹣n)|=2m+2nm,﹣m为一组,n,﹣n为一组,有A=|m+(﹣m)|+|n+(﹣n)|=0m,﹣n为一组,n,﹣m为一组,有A=|m+(﹣n)|+|n+(﹣m)|=2n﹣2m所以,所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m=4n故选:C.【点睛】本题主要考查了新定义的理解,注意分类讨论是解题的关键.8.D解析:D【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.【详解】解:A、227是有理数,故选项A不符合题意;B、3.1415926是有理数,故选项B不符合题意;C、2.010010001是有理数,故选项C不符合题意;D、π3是无理数,故选项D题意;故选:D.【点睛】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.9.C解析:C【详解】解:A. 是2的平方根,正确;是2的平方根,正确;C. 2的平方根是±,故原选项不正确;D. 2,正确.故选C.10.C解析:C【解析】试题分析:∵16<20<25,∴∴4<5.故选C.考点:估算无理数的大小.二、填空题11..【详解】第一次:3×449+5=1352,第二次:,由题意k=3时结果为169;第三次:3×169+5=512,第四次:因为512是2的9次方,所以k=9,计算结果是1;第五次:1×3+5解析:8.【详解】第一次:3×449+5=1352,第二次:13522k,由题意k=3时结果为169;第三次:3×169+5=512,第四次:因为512是2的9次方,所以k=9,计算结果是1;第五次:1×3+5=8;第六次:82k,因为8是2的3次方,所以k=3,计算结果是1,此后计算结果8和1循环.因为201是奇数,所以第201次运算结果是8.故答案为8.12.181【分析】观察各式得出其中的规律,再代入求解即可.【详解】由题意得将代入原式中故答案为:181.【点睛】本题考查了实数运算类的规律题,掌握各式中的规律是解题的关键.解析:181【分析】观察各式得出其中的规律,再代入12n=求解即可.【详解】由题意得()31n n=⨯++将12n=代入原式中12151181a==⨯+=故答案为:181.【点睛】本题考查了实数运算类的规律题,掌握各式中的规律是解题的关键.13.或【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3,2x+1,4x-1}=1+2x,然后再根据min{2,-x+3,5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3,2x+1,4x-1}==2x+1解析:12或13【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3,2x+1,4x-1}=1+2x,然后再根据min{2,-x+3,5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3,2x+1,4x-1}=321413x x+++-=2x+1,∵M{3,2x+1,4x-1}=min{2,-x+3,5x},∴有如下三种情况:①2x+1=2,x=12,此时min{2,-x+3,5x}= min{2,52,52}=2,成立;②2x+1=-x+3,x=23,此时min{2,-x+3,5x}= min{2,73,103}=2,不成立;③2x+1=5x,x=13,此时min{2,-x+3,5x}= min{2,83,53}=53,成立,∴x=12或13,故答案为12或13.【点睛】本题考查了阅读理解题,一元一次方程的应用,分类讨论思想的运用等,解决问题的关键是读懂题意,依题意分情况列出一元一次方程进行求解.14.0【解析】试题解析:平方根和它的立方根相等的数是0.解析:0【解析】试题解析:平方根和它的立方根相等的数是0.15.﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果.【详解】解:根据题中的新定义得:(﹣2)☆1=3×(−2)−2×1=−6−2=−8,故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算,解析:﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果.【详解】解:根据题中的新定义得:(﹣2)☆1=3×(−2)−2×1=−6−2=−8,故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算,弄清题中的新定义是解本题的关键.16.-3【分析】先确定的范围,再确定的范围,然后根据题意解答即可.【详解】解:∵3<<4∴-3<<-2∴-3故答案为-3.【点睛】本题考查了无理数整数部分的有关计算,确定的范围是解答本解析:-3【分析】1⎡⎣的范围,然后根据题意解答即可.【详解】解:∵34∴-3<1--2∴1⎡=⎣-3故答案为-3.【点睛】17.-0.0433【分析】三次根式变化规律为:三次根号内的式子扩大或缩小1000倍,则得到的结果扩大或缩小10倍,根据规律可得x的值.【详解】从35.12变为-0.3512,缩小了100倍,且添解析:-0.0433【分析】三次根式变化规律为:三次根号内的式子扩大或缩小1000倍,则得到的结果扩大或缩小10倍,根据规律可得x的值.【详解】从35.12变为-0.3512,缩小了100倍,且添加了“-”∴根据规律,三次根式内的式子应该缩小1000000倍,且添加“-”故答案为:-0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律,二次根式规律类似:二次根号内的式子扩大或缩小100倍,则得到的结果扩大或缩小10倍.18.2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定;②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定;③根据平行线的性质即可判断;根据平行公理的推论对④进行判断;⑤根据无理数的性质即可判定;⑥根据无理数的定义即解析:2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定;②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定;③根据平行线的性质即可判断;根据平行公理的推论对④进行判断;⑤根据无理数的性质即可判定;⑥根据无理数的定义即可判断.【详解】=,故①错误;①10②数轴上的点与实数成一一对应关系,故说法正确;③两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;故原说法错误;④在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,故原说法错误;与的和是0,是有理数,故说法错误;⑥无理数都是无限小数,故说法正确.故正确的是②⑥共2个.故答案为:2个.此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系.有理数都可以化为小数,其中整数可以看作小数点后面是零的小数,分数可以化为有限小数或无限循环小数;无理数是无π也是无理数. 19.255【分析】根据规律可知,最后的取整是1,则操作前的一个数字最大是3,再向前一步推,操作前的最大数为15,再向前一步推,操作前的最大数为255;据此得出答案即可.【详解】解:∵,,,∴只解析:255【分析】根据规律可知,最后的取整是1,则操作前的一个数字最大是3,再向前一步推,操作前的最大数为15,再向前一步推,操作前的最大数为255;据此得出答案即可.【详解】解:∵1=,3=,15=,∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是255,故答案为:255.【点睛】本题考查了估算无理数大小的应用,主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力. 20.12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值,再根据无理数的估算得出b 的值,然后计算有理数的乘法即可.【详解】,即的整数部分是2,即则故答案为:.【点睛】本题考查了算术平方根的解析:12先根据算术平方根的定义求出a 的值,再根据无理数的估算得出b 的值,然后计算有理数的乘法即可.【详解】6a ==479<<<<23<<∴的整数部分是2,即2b =则6212ab =⨯=故答案为:12.【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算,根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键.三、解答题21.(1)①两;②8;③5;④58;(2)①24;②56.【分析】(1)①根据例题进行推理得出答案;②根据例题进行推理得出答案;③根据例题进行推理得出答案;④根据②③得出答案;(2)①先判断它的立方根是几位数,再判断个位、十位上的数字,即可得到结论; ②先判断它的立方根是几位数,再判断个位、十位上的数字,即可得到结论.【详解】(1)①31000100==,10001951121000000<< ,∴10100<<,∴能确定195112的立方根是一个两位数,故答案为:两;②∵195112的个位数字是2,又∵38512=,∴能确定195112的个位数字是8,故答案为:8;③如果划去195112后面三位112得到数195,<<∴56<<,可得5060<<,由此能确定195112的立方根的十位数是5,故答案为:5;④根据②③可得:195112的立方根是58,故答案为:58;(2)①13824的立方根是两位数,立方根的个位数是4,十位数是2,∴13824的立方根是24,故答案为:24;②175616的立方根是两位数,立方根的个位数是6,十位数是5,∴175616的立方根是56,故答案为:56.【点睛】此题考查立方根的性质,一个数的立方数的特点,正确理解题意仿照例题解题的能力,掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.22.(1)1;5;(2)①3.807,0.807;②12p +;4p -.【分析】(1)根据布谷数的定义把2和32化为底数为2的幂即可得出答案;(2)①根据布谷数的运算性质, g (14)=g (2×7)=g (2)+g (7),7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,再代入数值可得解; ②根据布谷数的运算性质, 先将两式化为2(18)(2)(3)g g g =+,3()(3)(16)16g g g =-,再代入求解.【详解】解:(1)g (2)=g (21)=1,g (32)=g (25)=5;故答案为1,32;(2)①g (14)=g (2×7)=g (2)+g (7),∵g (7)=2.807,g (2)=1,∴g (14)=3.807;7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g (4)=g (22)=2, ∴74g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=g (7)-g (4)=2.807-2=0.807; 故答案为3.807,0.807;②∵()3g p =.∴22(18)(23)(2)(3)12g g g g p =⨯=+=+; 3()(3)(16)416g g g p =-=-. 【点睛】本题考查有理数的乘方运算,新定义;能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键.23.(1)1114545=-⨯;(2)111(1)1n n n n =-++;(3)2551. 【解析】试题分析:(1)规律:相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差,故第四个式子为:1114545=-⨯; (2)根据以上规律直接写出即可;(3)各项提出12之后即可应用(1)中的方法进行计算. 解:(1)答案为:1114545=-⨯; (2)答案为:()11111n n n n =-++; (3)111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯ =12×(111122334++⨯⨯⨯+…+15051⨯) =12×5051=2551. 点睛:本题是一道找规律问题.解题的重点要根据所给式子中的数字变化归纳出规律,而难点在于第(3)问中要灵活应用所总结出来的公式.24.(1)125;14;(2)3;±4.(3)当a =9时,p =1;当a =3时,p =2;当a =﹣3时,p =2.【分析】(1)根据题意规定直接计算.(2)将已知条件代入等式中,倒推未知数.(3)根据定义,分别讨论当a 为不同值时,p 的取值即可解答.【详解】解:(1)5﹣2=125;(﹣2)﹣2=14; (2)如果2﹣p =18,那么p =3;如果a ﹣2=116,那么a =±4; (3)由于a 、p 为整数,所以当a =9时,p =1;当a =3时,p =2;当a =﹣3时,p =2.故答案为(1)125;14;(2)3;±4.(3)当a =9时,p =1;当a =3时,p =2;当a =﹣3时,p =2.【点睛】 本题考查新定义,能够理解a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数这个规定定义是解题关键.25.【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程,再根据非负数的性质列方程求出x 、y 的值,然后求出z 的值,再根据平方根的定义解答.【详解】,∴x+1=0,2-y=0,解得x=-1,y=2,∵z 是64的方根,∴z=8所以,x y z -+=-1-2+8=5,所以,x y z -+的平方根是【点睛】此题考查非负数的性质,相反数,平方根的定义,解题关键在于掌握几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0.26.(1)2,3 (2)①5722x ≤<②330,,42(3)00.5a ≤< 【分析】(1)根据新定义的运算规则进行计算即可;(2)①根据新定义的运算规则即可求出实数x 的取值范围;②根据新定义的运算规则和43x 为整数,即可求出所有非负实数x 的值; (3)先解方程求得22x a =-<>,再根据方程的解是正整数解,即可求出非负实数a 的取值范围.【详解】(1) 1.87<>=2;=3;(2)①∵12x <->= ∴1121222x --<+≤解得5722x ≤<; ②∵43x x <>=∴41413232x x x -<+≤ 解得3322x -<≤ ∵43x 为整数 ∴333,0,,442x =- 故所有非负实数x 的值有330,,42; (3)21122a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=-22x a =-<>∵方程的解为正整数∴21a -<>=或2①当21a -<>=时,2x =是方程的增根,舍去 ②当22a -<>=时,00.5a ≤<.【点睛】本题考查了新定义下的运算问题,掌握新定义下的运算规则是解题的关键.。