初中八年级上册数学教案：探索勾股定理(2)

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新苏科版八年级数学上册学案：3.1勾股定理(2)

新苏科版八年级数学上册学案：3.1勾股定理（2）课题 3.1勾股定理（2）自主空间学习目标经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，会运用勾股定理解决一些简单问题，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。

学习重难点用面积的方法说明勾股定理的正确.勾股定理的应用.教学流程预习导航动脑想一想，看谁反应快！！1.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b, ∠C=90°,(1)已知a=3,b=4,则c=_______;(2)已知a=6,c=10,则b=_____;(3)已知a=24，b=7，则c=_______;2.在平面直角坐标系中，点（-3，-4）与原点之间的距离是______.3.已知一等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则此等腰三角形的面积为（）A.12B.60C.65D.无法确定4、一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为。

5、如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=10cm,BC=6cm,CD⊥AB与D, 求： CD的长。

BCAD合作探究一、定理探索活动1：你能把右边图①、②、③、④、⑤剪下，用它们可以拼一个与正方形ABDE大小一样的正方形吗？你能用它验证勾股定理吗？与同学交流。

活动2：早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用右边的“弦图”验证了勾股定理。

你能利用右边图形通过计算验证勾股定理吗？与同学交流。

二、例题分析例1：如图，这是美国第20届总统加菲尔德的构图，其中Rt△ADE和RtΔBEC是完全相同的，请你试用此图形验证勾股定理的正确性。

（分析：要验证a、b、c之间的关系，应从直角梯形的面积入手。

）EDCBAccbbaababababacccc三、展示交流1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是( )A. 9,12,15B. 7,24,25C. 6,8,10D. 3,5,72、若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为（）A.6B.8C.10D.以上答案均不对3、如图，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？4、想一想：如图，大正方形的面积该怎样表示？你能用它来验证勾股定理吗？四、提炼总结观察下图的⊿ABC 和⊿DEF，它们是直角三角形吗？观察图，并分别以⊿ABC和⊿DEF的各边为边向外作正方形，其中2个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗？当堂达标1.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( ) A.20m B.25m C.30mD.35m2.一个等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( )A. 12cmB. cm1360 C.cm13120D.cm5133、在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.；(1) 已知：a=40，c=41，b =______；(2) 已知：c=13，b=5，a =______；(3) 已知: a:b=3:4, c=15,a=______、b=______4、如图,小方格的面积为1,找出图中以格点为端点且长度为5的线段。

八年级数学上册《探索勾股定理》教案、教学设计

-设计具有挑战性的延伸性问题，激发学生的探究欲望，为下一节课的学习打下基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过多媒体展示勾股定理的历史背景，如古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理的故事，以及我国古代对勾股定理的研究成果，引发学生对勾股定理的好奇心。
2.提问学生：“同学们，你们知道直角三角形有什么特征吗？”让学生回忆直角三角形的定义和性质，为新课的学习做好铺垫。
3.教师提出问题：“在直角三角形中，斜边与直角边之间是否存在某种特殊的数量关系？今天我们就一起来探讨这个问题。”
（二）讲授新知
1.教师通过动画演示，引导学生观察直角三角形中斜边与直角边的关系，并提出勾股定理的猜想。
2.教师逐步引导学生，利用数学归纳法证明勾股定理，强调数学逻辑性和严谨性。
-首先，验证直角边长度为1的直角三角形，斜边长度是否满足勾股定理；
4.多元评价：采用口头提问、课堂练习、课后作业等多种形式，全面评价学生的学习效果。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探索数学知识的热情；
2.培养学生严谨、细心的学习态度，提高他们的数学素养；
3.培养学生的团队协作意识，让他们在合作探究中学会倾听、交流、分享；
4.使学生认识到勾股定理在数学发展中的重要地位，以及数学在人类文明进步中的价值。
此外，学生在解决问题的过程中，可能存在以下问题：对勾股定理的理解不够深入，难以灵活运用；在解决实际问题时，容易忽略细节，导致计算错误。因此，在教学过程中，教师应关注学生的这些薄弱环节，有针对性地进行教学设计和指导。
在此基础上，教师要关注学生的兴趣和动机，通过生动有趣的教学手段，激发学生的学习兴趣，使他们愿意主动参与到勾股定理的探究过程中。同时，注重培养学生的团队合作精神，让他们在互动交流中共同提高，为学生的全面发展奠定基础。

浙教版数学八年级上册2.7探索勾股定理教学设计(共2课时)

2.7 探索勾股定理（1）〖教学目标〗◆1、体验勾股定理的探索过程. ◆2、掌握勾股定理．◆3、学会用勾股定理解决简单的几何问题．〖教学重点与难点〗◆教学重点：本节的重点是勾股定理.◆教学难点：勾股定理的证明采用了面积法，这是学生从未体验的，是本节教学的难点. 〖教学过程〗（一）创设情境，导入新课向学生展示国际数学大会（ICM--2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路，从而激发学生勾股定理的兴趣。

可以首次提出勾股定理。

（二）探索新知1.让学生尽量准确地作出三个直角三角形，两直角边长分别为3cm 和4cm ，6cm 和8cm ，5cm 和12cm ，并根据测量结果，完成下列表格：2.（1）你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在图象交流的基础上，老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

这就是著名的勾股定理。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 和b ，斜边为 c ，那么222c b a =+。

我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。

(2)分别以9cm 和12cm 为直角边长作一个直角三角形，并测量斜边长度，请同学们两人一组讨论，三边关系符合勾股定理吗？（三）例题教学例1 已知△ABC 中，∠C=90°，AB=c, BC=a, AC=b,(1) 如果,2,1==b a 求c ； (2) 如果,17,15==c a 求b ；可以让学生独立完成这个基本训练，但教师应强调解题过程的规范表述。

例2 如图，是一个长方形零件，根据所给尺寸（单位：mm ），求两孔中心A 、B 之间的距离。

首先，教学过程中应启发学生构造出含所求线段的直角三角形，从而应用勾股定理求解。

其次，应强调，构造新图形的过程及主要的推理过程都应书写完整。

（四）巩固练习1. 已知△ABC 中，∠C=90°，AB=c, BC=a, AC=b, （1）如果,53,54==b a 求c ；（2）如果,13,12==c a 求b ；（3）如果,15:8:,34==b a c 求a,b ；2. 用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为3cm 。

初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 勾股定理探索勾股定理教案

第一章勾股定理第一节探索勾股定理：一、教学目标（一）知识与技能：.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程..掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。

（二）能力训练要求.通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。

（三）情感与态度：.通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。

.在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。

二、教学重难点重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边长。

难点：拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角三角形另一边长。

三、教学方法引导—探究—发现法．四、教学过程（一）自学指导请同学们认真看可课本至页内容，并解决下列问题：、“做一做”中的问题，你能完成吗?你能发现什么规律呢？、什么是勾股定理？、解答“想一想”中的问题（二）合作交流对于自学中的困惑请提出来，看你的同桌是否能帮助你，必要时请教老师，力争解决自己在学习过程中的疑惑。

如果你感觉还行，请不要保留地传授给你的同桌你的经验和收获。

（三）检查自学效果．观察下面两幅图，对做一做中的问题，通过讨论动手操作，总结规律。

结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．.勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么 222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理）. 利用勾股定理解出折断处与旗杆顶间的长为米，所以旗杆折断前米高。

（四）当堂训练.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：弦股勾225100x 1517.在△中∠＝度，若,则..如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？.小明妈妈买了一部英寸（厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有厘米长和厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？.某工人拿一个2.5m 的梯子，一头放在离墙1.5m 处，另一头靠墙，以便去修理梯子另一头的有线电视分线盒（如图）。

八年级数学上册教学课件《探索勾股定理(第2课时)》

因为AB=5，AC=4, 所以BC2=52-42. 所以BC2=9,所以BC=3，因为20s=1180h, 所以3÷1180=540km.
答：飞机每小时飞行540km.
探究新知
1.1 探索勾股定理
素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题
例等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， A
求这个三角形的面积.
cb a
=4×12ab+c2 =c2+2ab，所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
所以a2+b2=c2 .
探究新知
1.1 探索勾股定理
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2+b2
a
=c2.
证明：因为 S梯形=12(a+b)(a+b)
b
c
=12(a2+b2+2ab)
拼图验证
应用
思路步骤
1.1 探索勾股定理首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理．
拼出图形写出图形面积的表达式找出相等关系恒等变形导出勾股定理
课后作业
作业内容
1.1 探索勾股定理
教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( C ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
课堂检测
基础巩固题

2024年八年级数学《勾股定理》教案(通用篇)

2024年八年级数学《勾股定理》教案（通用篇）八年级数学《勾股定理》教案 1教学目标1、知识与技能目标学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念．2、过程与方法(1)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力．(2)在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3、情感态度与价值观(1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣．(2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．教学重点：探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题．教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．教学准备：多媒体教学过程：第一环节：创设情境，引入新课（3分钟，学生观察、猜想）情景：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的.蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？第二环节：合作探究（15分钟，学生分组合作探究）学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。

让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算．学生汇总了四种方案：（１）（２）（3）（4）学生很容易算出：情形（１）中A→B的路线长为：AA’+d，情形（２）中A→B的路线长为：AA’+πd／2所以情形（１）的路线比情形（２）要短．学生在情形（３）和（４）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，前三种情形A→B是折线，而情形（４）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（４）最短．如图：（１）中A→B的路线长为：AA’+d;（２）中A→B的路线长为：AA’+A’B>AB;（３）中A→B的路线长为：AO+OB>AB;（４）中A→B的路线长为：AB.得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB？在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圆柱体高为12c，底面半径为3c，π取3，则.第三环节：做一做（7分钟，学生合作探究）教材23页李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD 长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？第四环节：巩固练习（10分钟，学生独立完成）1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．3．有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒有多长？第五环节课堂小结（3分钟，师生问答）内容：1、如何利用勾股定理及逆定理解决最短路程问题？第六环节：布置作业（2分钟，学生分别记录）内容：作业：1．课本习题1．5第1，2，3题．要求：A组（学优生）：1、2、3B组（中等生）：1、2C组（后三分之一生）：1板书设计：教学反思：八年级数学《勾股定理》教案 21、勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长．即c2=a2＋b2，a2=c2－b2，b2=c2－a2．2．学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形．请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a，b，c的'四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b－a），面积为（b－a）2，四个直角三角形的面积为4×ab=2ab．由图（1）可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c2=（b－a）2＋2ab，则a2＋b2=c2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）．3．在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点．二、典例精析例1如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是cm2．分析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可．根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12．所以这个直角三角形的面积是×12×5=30（cm2）．例2如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为()A．B．C．3aD．分析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开八年级数学《勾股定理》教案 3重点、难点分析本节内容的重点是勾股定理的逆定理及其应用。

北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)

= 25 km .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使站到，
两村的距离相等.你知道应该把站建在距点多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点作 ⊥ 于点，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知

八年级数学上册第1章《探索勾股定理(2)》优质教案(北师大版)

第一章勾股定理1．探索勾股定理（2）一、学情与教材分析1.学情分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.2.教材分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.二、教学目标1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.三、教学重难点教学重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.教学难点：验证勾股定理.四、教法建议1.教学方法：引导——探究——应用.2.课前准备：教具：教材，课件，电脑.学具：教材，铅笔，直尺，练习本.五、教学设计（一）课前设计1.预习任务结合课本上P5页1-5和1-6，应用等面积法证明勾股定理，（提示：图中的正方形的面积可以表示为边长的平方，也可以表示成小正方形加上四个直角三角形的面积）2.预习自测一、选择题1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，可以验证（）公式．A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（a+b）2=a2﹣2ab+b2C．c2=a2+b2 D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2答案：C解析：∵大正方形的面积表示为：c2又可以表示为：ab×4+（b﹣a）2，∴c2=ab×4+（b﹣a）2，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，∴c2=a2+b2．故选C．点拨：利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等可以整理出c2=a2+b2．二、填空题2. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是_________．答案：勾股定理解析：我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．点拨：观察我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理．3. 如图，由四个直角三角形拼成2个正方形，则4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即_________+_________=_________化简得：a2+b2=c2．答案：4×ab、（b﹣a）2、c2．解析：如图所示，4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即 4×ab+（b﹣a）2=c2，故答案是：4×ab、（b﹣a）2、c2．点拨：根据直角三角形的面积公式和正方形的面积公式进行填空．（二）课堂设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：探究发现；第三环节：数学小史；第四环节：知识运用；第五环节：随堂检测；第六环节：课堂小结．第一环节：知识回顾内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：探究发现活动1：教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ：自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系图1整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节：数学小史活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法. 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.意图：（1（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.第四环节：知识运用a b内容：例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s 后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题.（1）教材P6练习题1.（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.第五环节：随堂检测一、选择题1. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选D．点拨：根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．2．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34答案：B解析：根据题意得：小正方形的面积=（6﹣3）2=9，大正方形的面积=32+62=45，9﹣45=36．故选B．点拨：由正方形的性质和勾股定理求出小正方形和大正方形的面积，即可得出小正方形与大正方形的面积差．二、填空题3. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．其中正确结论序号是_________．答案：①④解析：直角三角形的斜边长是c，则c2=a2+b2，大正方形的面积是13，即c2=a2+b2=13，①正确；∵小正方形的面积是1，∴b﹣a=1，则（b﹣a）2=1，即a2+b2﹣2ab=1，∴ab=6，故④正确；根据图形可以得到a2+b2=13，b﹣a=1，而b=1不一定成立，故②错误，进而得到③错误．故答案是：①④点拨：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而判断．4. 利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理的结论其数学表达式是_________．答案：勾股定理、a2+b2=c2．解析：用图（2）较简单，如图正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．这个定理称为勾股定理．故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．点拨：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．三、解答题5. 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是_________三角形，结论是_________（三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；答案：（1）直角；a2+b2=c2；（2）见解析解析：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方．故答案是：直角；a2+b2=c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°．∵S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2=c2．点拨：（1）根据图示直接填空；（2）利用S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED进行解答．第六环节：课堂小结教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.布置作业：1．习题1.2 T2，32．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.分层作业基础型：一、选择题1. 历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA =S△CEBB．S△EDA+S△CEB=S△CDBC．S四边形CDAE =S四边形CDEBD．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD答案：D解析：∵由S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．可知ab+c2+ab=（a+b）2，∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．故选D．点拨：用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．2. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C解析：如图所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．点拨：观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．二、填空题3. 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为6cm，以AC 为边的正方形的面积为25，则正方形M的面积为________．答案：11=AB2，25=AC2，AC2+AB2=BC2=6×6，解析：根据题意知，SM=36﹣25=11（cm2）．∴SM故答案是：11cm2．点拨：根据正方形的面积公式以及勾股定理解答即可．4. 如图，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8．则△ABC的周长为_________．答案：48解析：在直角三角形ABD中，AB=17，AD=8，根据勾股定理，得BD=15；在直角三角形ACD中，AC=10，AD=8，根据勾股定理，得CD=6；∴BC=15+6=21，∴△ABC的周长为17+10+21=48，故答案为：48．点拨：分别在两个直角三角形中求得线段BD和线段CD的长，然后求得BC的长，从而求得周长．三、解答题5. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，试求：（a+b）2的值．答案：B解析：根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．点拨：根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．能力型：一、选择题1. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52 B．42 C．76 D．72答案：C解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，解得x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：C．点拨：由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．二、填空题2. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为_______cm2．答案：27解析：∵最大的正方形的边长为3cm，∴正方形G的面积为9cm2，由勾股定理得，正方形E的面积+正方形F的面积=9cm2，正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积=9cm2，∴图中所有正方形的面积之和为27cm2，故答案为：27．点拨：根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可．3. 魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF=2，CF=4，则AE的长为_______．答案：6解析：∵BF=2，CF=4，∴BC=BF+CF=2+4=6，∵AB∥EC，∴=，即=，解得：CE=12，在Rt△ADE中，AD=6，DE=DC+CE=6+12=18，根据勾股定理得：AE==6，故答案为：6．点拨：由BF+CF求出BC的长，即为正方形ABCD的边长，由AB与CE平行，得比例求出CE的长，由DC+CE求出DE的长，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的长即可．三、解答题4. （1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理．答案：见解析解析：（1）这个公式为（a+b）2=a2+2ab+b2；证明：由图可知大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形，大正方形的面积=（a+b）2，两个长方形的面积=（a+b）b+ab，小正方形的面积=a2，那么大正方形的面积=（a+b）b+ab+a2=（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BAC=∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°；由于B，C，D共线，所以∠ACE=180°﹣（∠ACB+∠DCE）=180°﹣90°=90°．（3）梯形ABDE的面积为（AB+ED）•BD=（a+b）（a+b）=（a+b）2；另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成ab+ab+c2．所以，（a+b）2=ab+ab+c2．即a2+b2=c2．点拨：（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式．（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积=三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+三角形ACE的面积．探究型：一、解答题1. 教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a=3，b=4时梯形ABCD的周长．（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．答案：见解析解析：（1）证明：由图得，×ab×4+c2=（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2=a2+b2+2ab，即a2+b2=c2；（2）解：∵a=3，b=4，∴c==5，梯形ABCD的周长为：a+c+3a+c═4a+2c=4×3+2×5=22；（3）解：如图4，BD是△ABC的高．∵S=AC•△ABCBD=AB×3，AC==5，∴BD===．点拨：（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）由（1）中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形ABCD的周长；（3）先根据高的定义画出BD，由（1）中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．2. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB =S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB =S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+ a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．证明：连结_______，过点B作______________，则_________．∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=______________．又∵S五边形ACBED=______________=ab+c2+a（b﹣a），∴______________=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．答案：BD，BF⊥DE于F，BF=b﹣a，ab+ b2+ab，S△ACB +S△ABE+S△ADE，ab+b2+ ab．解析：证明：连结BD，过点B作BF⊥DE于F，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴。

2024-2025学年北师版中学数学八年级上册1.1探索勾股定理(第2课时)教学课件

400 m
500 m
解：由勾股定理，
得BC 2 =AB2 - AC 2 =5002 - 4002 =90 000，
即BC=300 m.汽车10 s行驶300 m，那么它1 h行驶的距离为：
300 × 3 600=10 80（0 m）=10（8 km /h）. 10 答：敌方汽车速度为108 km /h.
15
10
152 x2 102 （25 x)2
C
解得：x 10
D
答：E站应建在距A站10千米处.
你是如何做的？与同伴交流.
活动1：小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？
D
A C
B
补
你能将所有三角形和正方形的面积用含a,b,c的关系式表示出来吗？
毕达哥拉斯证法
a+b
大正方形ABCD的面积可以表示为：
____4_×__12_a_b_+_c2__或者__(_a__+__b_)2__
可得等式_4_×__12_a_b_+_c2_=_(_a+_b_)_2 ____
你能用右图验证勾股定理吗？
证明：∵S正方形ABCD =4
1 ×
2
ab+c 2，
又∵S正方形ABCD =（a+b）2，
∴4 × 1 ab+c2 =（a+b）2. 2
∴2ab+c2 =a2 +2ab+b2.
∴a2 +b2 =c2.
当堂检测
1.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线 MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、 B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和．

北师大版八年级数学上册课件1.1探索勾股定理(第2课时)(19张PPT)

于是推得 AB2 AC 2 BC 2
课堂小结
勾股定理的验证
探索勾股定理
勾股定理的简单运用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
2. 我国历史上将弦上的正方形称为弦图（如图）.
1. 已知一个等边三角形的边长为6 cm，则以它的高为边长的正方形的面积为( B )
2
22
a 化简,得
b
B
a2 b2 c2.
欧几里得证明勾股定理
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形 BDLM等积，同理正方形 ACKH与矩形MLEC也等积，
A. 36 cm2 B. 27 cm2 C. 18 cm2 D. 12 cm2
2. 一个直角三角形的两条边的长分别是9和40，则第三条边的长的平方是
（C）
A. 1 681
B. 1 781 C. 1 519或1 681 D. 1 519
3. 一个直角三角形三条边的长为三个连续的自然数，则这三条边的长分
【基础训练】
1. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，
CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，
若CM=4，则CE2+CF2的值为( D )
A.8 B.16 C.32 D.64
2. 已知Rt△ABC的两直角边分别是6 cm，8 cm，则Rt△ABC斜边上
的高是（ A ）
A. 4.8cm
B.2.4cm
C.48cm

探索勾股定理(第2课时)教学课件北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理
探索勾股定理第2课时
学习目标
1 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2 在实际问题的情景中，能熟练运用勾股定理解决问题.
复习回顾
1．直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）直角三角形中 30°的角所对的直角边等
典型例题
分析：根据题意，可以画出图形，其中点A表示小王所在的位置，点C、点B表示两个时刻敌方汽车的位置．由于小王距离公路400 m，因此∠C是直角，这样就可以由勾股定理来解决这个问题了．
典型例题
C
B 公路
400 m
500 m
A
解：由勾股定理，可以得到 AB2 BC2 AC2，也就是 5002 BC2 4002 ，所以BC=300．
M
30 km N 40 km O
50 km
P
120 km
Q
随堂练习
解：MO MN 2 NO2 302 402 50， OQ OP2 PQ2 502 1202 130， MO OQ 50 130 180．因为沿江高速公路的建设成本是5 000万元 / km，所以5 000 180 900 000(万元)．
再见
2
探究新知
图2中,如何表示大正方形的面积
方法一：大正方形的面积
c2
方法二：小正方形的面积+四个直角三角形的面积
4 1 ab (b a)2 2
图2
你能由此得到勾股定理吗？为什么？
由 c2 4 1 ab (b a)2 得 a2 b2 c2
2
探究新知
验证勾股定理
分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,利用下图验证勾股定理.

八年级上册数学1.1《探索勾股定理》(2)(教案)

1.1 探索勾股定理（2）教学目标知识与技能1．经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

2．掌握勾股定理并能简单应用。

过程与方法让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的过程，进一步体会数形结合的思想．情感与态度在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐.重点难点重点：经历勾股定理的验证过程，能利用勾股定理解决实际问题.难点：用拼图法验证勾股定理.教学过程【新课导入】创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理，那么我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢？请跟我一起去探索吧！【新知构建】一、勾股定理的验证展示教材P4图1 -4，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.生：割补法进行验证.师：出示教材P5图1 - 5和图1 - 6，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？生：讨论交流.师总结：图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a，b，c的直角三角形；图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a，b，c的直角三角形和一个小正方形.图1 - 5采用的是“补”的方法，而图1 - 6采用的是“割”的方法，请同学们将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来.(1)动笔操作，独立完成.师：图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少？你们有哪些方法求？与同伴进行交流.(2)分组讨论面积的不同表示方法.1ab+c2两种方法.生1：得出(a+b)2，4×2生2：根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.师：化简之后能得到勾股定理吗？生：得到a2+b2=c2，即两直角边的平方和等于斜边的平方，验证了勾股定理.师：你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗？学生独立完成.师：(强调)割补法是几何证明中常用的方法，要注意这种方法的运用.二、勾股定理的简单应用1.展示教材P5例题我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?分析：根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m，因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.知识拓展：利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为(a+b)(a+b),又可以表示为(2ab+c2),所以可得(a+b)(a+b)=(2ab+c2),化简可得a2+b2=c2.2.展示教材P8图1 - 8.观察图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.。

初中八年级上册数学教案探索勾股定理

初中八年级上册数学教案：探索勾股定理（2）教学目标1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯2、掌握勾股定理和它的简单应用。

重点难点重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理．0难点：用面积证勾股定理．教学过程一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学们交流。

在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中P7图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？同学们回答有两种可能：（1）2)(b a + （2）2421c ab +⋅在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。

22421)(c ab b a +⋅=+请同学们对上式进行化简，得到：22222c ab b ab a +=++即 222c b a =+这就可以从理论上说明了勾股定理存在。

请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。

二、讲解例题例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。

如右图，图中△ABC 的∠C ＝90°，AC = 4000米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20 秒时间里飞行的路程，即图中的CB 的长，由于△ ABC 的斜边AB =5000米，AC= 4000 米，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。

解：由勾股定理得)(945222222千米=-=-=AC AB BC 即 BC=3千米飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为：5403203600=⨯（千米／时）答：飞机每小时飞行 540千米。

(八年级数学教案)探索勾股定理

探索勾股定理
八年级数学教案
一、教材分析
(一)教材所处的地位
这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级第一章第一节探索勾股定理第一课时,勾股定理是几何中几个重要定理之一,它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。

它在数学的发展中起过重要的作用,在现时世界中也有着广泛的作用。

学生通过对勾股定理的学习,可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

(二)根据课程标准,本课的教学目标是:
1、能说出勾股定理的内容。

2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

3、在探索勾股定理的过程中,让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想,并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

4、通过介绍勾股定理在中国古代的研究,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想,激励学生发奋学习。

(三)本课的教学重点:探索勾股定理
本课的教学难点:以直角三角形为边的正方形面积的计算。

●二、教法与学法分析:
教法分析:针对初二年级学生的知识结构和心理特征,本节课可选择引导探索法,由浅入深,由特殊到一般地提出问题。

引导学生自主探索,合作交流,这种教学理念反映了时代精神,有利于提高学生的思维能力,能有效地激发学生的思维积极性,基本教学流程是:提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六部分。

学法分析:在教师的组织引导下,采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式,让学生思考问题,获取知识,掌握方法,借此培养学生动手、动脑、动口的能力,使学生真正成为学习的主体。

●三、教学过程设计
(一)提出问题:。