2020年4月安徽省安庆市普通高中2020届高三下学期第二次高考模拟考试数学(文)答案解析

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2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合M={x|x2-3x+2≤0}，N={-2，-1，0，1，2}，则M∩N=（）A. {1}B. {-2，-1}C. {1，2}D. {0，1，2}2.设i是虚数单位，则复数z=（1+i）（3-4i）的模是（）A. 10B. 5C. 2D.3.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a4+a6=12，则S7=（）A. 20B. 28C. 36D. 44.函数f（x）=，若实数a满足f（a）=f（a-1），则f（）=（）A. 2B. 4C. 6D. 85.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b．一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A.B.C.D.6.函数f（x）=的图象的大致形状是（）A. B.C. D.7.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角α满足cosα=，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是（）A. B. C. D.8.为了计算，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（）A.B.C.D.9.若函数f（x）=4sin x-2cos2x+m在R上的最大值是3，则实数m=（）A. -6B. -5C. -3D. -210.直线l是抛物线x2=2y在点（-2，2）处的切线，点P是圆x2-4x+y2=0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于（）A. 0B.C.D.11.如图是某个几何体的三视图，根据图中数据（单位：cm）求得该几何体的表面积是（）A. （94π）cm2B. （94π）cm2C. （94π）cm2D. （94π）cm212.将函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜ω＜8，|φ|＜）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，且函数f（x）满足f（）+f（）=2，则下列命题中正确的是（）A. 函数g（x）图象的两条相邻对称轴之间距离为B. 函数g（x）图象关于点（）对称C. 函数g（x）图象关于直线x=对称D. 函数g（x）在区间（0，）内为单调递减函数二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向量=（3，1）与向量=（-1，2）的夹角余弦值是______．14.若双曲线=1的一条渐近线方程是x-2y=0，则此双曲线的离心率为______．15.已知实数x，y满足不等式，则函数z=2x+3y的最大值为______．16.在△ABC中，AB=1，BC=，CA=3，O为△ABC的外心．若=m•+n•，其中m，n∈[0，1]，则点P的轨迹所对应图形的面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}满足：S1=1，S2=4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AA1⊥平面ABC，AB=AC，E是线段BB1上的动点，D是线段BC的中点．（Ⅰ）证明：AD⊥C1E；（Ⅱ）若AB=2，AA1=3，且直线AC、C1E所成角的余弦值为，试指出点E在线段BB1上的位置，并求三棱锥B1-A1DE的体积．19.我们知道，地球上的水资源有限，爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任．某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准．为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调查，获得了n个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如表所示．分组频数频率[0，10）25[10，20）0.19[20，30）50[30，40）0.23[40，50）0.18[50，60]5（Ⅰ）分别求出n，a，b的值；（Ⅱ）若以各组区间中点值代表该组的取值，试估计全市家庭年均用水量；（Ⅲ）从样本中年用水量在[50，60]（单位：立方米）的5个家庭中任选3个，作进一步的跟踪研究，求年用水量最多的家庭被选中的概率（5个家庭的年用水量都不相等）．20.如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，离心率e=，长轴与短轴的长度之和为10．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）在椭圆E上任取点P（与A、B两点不重合），直线PA交y轴于点C，直线PB交y轴于点D，证明：为定值．21.设函数f（x）=x2+4x+2，g（x）=te x（f′（x）-2），其中t∈R，函数f（x）的图象在点A（，f（））处的切线与函数g（x）的图象在点B（0，g（0））处的切线互相垂直．（Ⅰ）求t的值；（Ⅱ）若kg（x）≥2f（x）在x∈[2，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位．圆C的方程为ρ=2si nθ，l被圆C截得的弦长为．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（m，），且m＞0，求|PA|+|PB|的值．23.已知f（x）=2|x+1|+|2x-1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞f（1）；（Ⅱ）若不等式f（x）≥+（m＞0，n＞0）对任意的x∈R都成立，证明：m+n≥．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：M={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，则M∩N={1，2}．故选：C．求出集合M的等价条件，结合交集定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合交集的定义是解决本题的关键．2.答案：B解析：【分析】根据复数的计算及模长意义即可求出．本题主要考查复数的计算及模长意义，属于基础题．【解答】解：z=（1+i）（3-4i）=7-i，则|z|==5，故选B．3.答案：B解析：解：由等差数列的性质，a2+a4+a6=12，可得：3a4=12，解得a4=4，∴S7==7a4=28，故选：B．由等差数列的性质，a2+a4+a6=12，可得：3a4=12，解得a4，再利用求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：D解析：解：根据题意，f（x）=，其定义域为（-1，+∞）则函数f（x）在（-1，0）和区间[0，+∞）上都是增函数，若实数a满足f（a）=f（a-1），必有a＞0，且有2a=，解可得a=，则f（）=f（4）=8，当a≥1时，有2a=2（a-1），无解；故f（）=8，故选：D．根据题意，由函数的解析式分析函数的定义域，分析可得函数f（x）在（-1，0）和区间[0，+∞）上都是增函数，进而分析可得若实数a满足f（a）=f（a-1），必有a＞0，且有2a=，解可得a的值，结合解析式求出f（）的值即可得答案．本题考查分段函数的应用，注意分段函数解析式的形式，要分段进行分析，属于基础题．解析：【分析】把正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱AA1剪开再展开，求解直角三角形得答案．本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是基础题．【解答】解：正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1 的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为．故选：A．6.答案：A解析：解：函数的定义域为{x|x＞0}，由f（x）=0得ln x2=0得2ln x=0，即x=1，即函数只有一零点1，排除B，D函数的导数f′（x）=（）′=，当f′（x）＞0得2-ln x＞0，即ln x＜2，即0＜x＜e2，函数为增函数，当f′（x）＜0得2-ln x＜0，即ln x＞2，即x＞e2，函数为减函数，排除C，故选：A．求出函数的零点，利用零点个数进行排除，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数单调性进行排除．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的零点个数以及函数的单调性与导数的关系以及结合排除法是解决本题的关键．7.答案：D解析：解：设大正方形边长为5，由cosα=知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=．故选：D．设出大正方形的边长，结合cosα=，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键．8.答案：B解析：【解答】解：S=1-=1+++…+-（++…+）=N-T，即N=1+++…+，T=++…+，则每次循环，i增加2，即i=i+2，故选：B．利用S=1-=1+++…+-（++…+）=N-T，得到N，T相邻两个数的关系即可得到结论．本题主要考查程序框图的应用，根据循环条件，进行分类是解决本题的关键．9.答案：C解析：解：因为f（x）=4sin x-2cos2x+m，=4sin2x+4sin x+m-2，=（2sin x+1）2+m-3．所以函数f（x）在R上的最大值是（2+1）2+m-3=3，解得：m=-3．故选：C．直接利用三角函数关系式的恒等变变换和二次函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.答案：C解析：解析：本题主要考查导数的几何意义及直线与圆的位置关系．y′=x|x=2=-2，∴l：y=-2x-2，所以圆心（2，0）到l的距离是=．所以最小值是．故选：C．利用导数的几何意义求得切线方程，利用距离公式即可求解．本题主要考查导数的几何意义及直线与圆的位置关系．属于中档题．11.答案：A解析：解：由三视图可以看出，该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为S=2×（12+15+20）+×4π×32-3×π×32=94-π．故选：A．由三视图知该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体，结合图中数据求出几何体的表面积．本题主要了考查利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题．解析：解：对于函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜ω＜8，|φ|＜），因为函数f（x）的最大值是1，函数f（x）满足f（）+f（）=2，所以f（）=f（）=1，∴-=k•，k∈Z，取k=1，可得=，∴ω=4，∴sin（4•+φ）=sin（4•+φ）=1，即sin（+φ）=sin（+φ）=1，∴φ=-，∴函数f（x）=sin（4x-）．把函数f（x）=sin（4x-）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）=sin（4x+-）=sin（4x+）的图象．经过检验，在四个选项中A、B、C选项错误，D正确．故选：D．由题意可得f（）=f（）=1，求得ω=4，再结合sin（4•+φ）=sin（4•+φ）=1，求得φ，可得f（x）的解析式．再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．13.答案：解析：解：cos＜，＞==-．故答案为：-．根据向量夹角公式计算可得．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，属基础题．14.答案：解析：解：根据双曲线方程可知其渐近线方程为y=±x．而已知x-2y=0是一条渐近线方程，则有=，则a=16，∴c==2，∴e===，故答案为：．根据双曲线方程可知其渐近线方程为y=±x．可得a=16，即可求出离心率．本题主要考查双曲线的渐近线方程和离心率，属于基础题．15.答案：11解析：【分析】本题考查简单线性规划,考查推理能力和计算能力，属于基础题.画出可行域,分析z的几何意义,然后平移直线求解即可.【解答】解: 作出实数x，y满足不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=-x+，即z为斜率是-的直线在y轴上的截距的3倍,平移直线y=-x,由图象可知当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，3）．此时z的最大值为z=2×1+3×3=11，故答案为11.16.答案：解析：解：如图，由余弦定理得，=；∴；∴；∴；由题意知，点P的轨迹对应图形是边长为OB的菱形，；∴这个菱形的面积是：=．故答案为：．可画出图形，根据余弦定理即可求出cos A=，从而得出A=，再根据正弦定理即可求出OB=，而据题意可知，点P的轨迹为以OB，OC为邻边的平行四边形及内部，从而可求出该轨迹图形的面积．考查正弦定理及余弦定理，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，三角形外心的定义．17.答案：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，∵S1=1，S2=4．∴a1=1，a1（1+q）=4，解得：a1=1，q=3．∴a n=3n-1．S n==．（Ⅱ）b n===，∴数列{b n}的前n项和T n=1-+……+=1-=．解析：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由S1=1，S2=4．可得a1=1，a1（1+q）=4，解得：a1，q．利用通项公式与求和公式即可得出．（Ⅱ）b n===，利用裂项求和方法即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为AA1⊥平面ABC，所以CC1⊥平面ABC．而CC1⊂平面BCC1B1，所以平面ABC⊥平面BCC1B1．………（2分）因为线段BC的中点为D，且△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC，而AD⊂平面ABC，平面ABC∩平面CBB1C1=BC，所以AD⊥平面CBB1C1．又因为C1E⊂面CBB1C1，所以AD⊥C1E．………（5分）解：（Ⅱ）AA1⊥平面ABC，则AA1⊥AC．∠BAC=90°，即AC⊥AB．又AB∩AC=A，所以AC⊥平面ABB1A1，故A1C1⊥平面ABB1A1，所以△A1EC1是直角三角形．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，直线AC，C1E所成角的余弦为，则在Rt△A1EC1中，cos∠A1C1E=，A1C1=AC=2，所以A1E=2．………（7分）在Rt△A1B1E中，A1B1=2，所以B1E=2．因为AA=3，所以点E是线段BB1的靠近点B的三等分点．………（9分）因为=•CA==，所以===．………（12分）解析：（Ⅰ）推导出CC1⊥平面ABC，从而平面ABC⊥平面BCC1B1，推导出AD⊥BC，从而AD⊥平面CBB1C1．由此能证明AD⊥C1E．（Ⅱ）推导出AA1⊥AC，AC⊥AB，从而AC⊥平面ABB1A1，进而A1C1⊥平面ABB1A1，△A1EC1是直角三角形，由==，由此能求出三棱锥B1-A1DE的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥B1-A1DE的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（Ⅰ）用水量在[20，30）内的频数是50，频率是0.025×10=0.25，则n==200．……………（2分）用水量在[0，10）内的频率是=0.125，则==0.0125．用水量在[50，60]内的频率是=0.025，则a==0.0025．……………（4分）（Ⅱ）估计全市家庭年均用水量为5×0.125+15×0.19+25×0.25+35×0.23+45×0.18+55×0.025=27.25……………（7分）（Ⅲ）设A，B，C，D，E代表年用水量从多到少的5个家庭，从中任选3个，总的基本事件为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE共10个，其中包含A的有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE共6个．…………（10分）所以P==．即年用水量最多的家庭被选中的概率是……………（12分）解析：（Ⅰ）根据表格中的数据以及频率公式可得；（Ⅱ）用各区间的中点值乘以该区间的频率再相加可得；（Ⅲ）根据古典概型公式计算可得．本题考查了分布可频率分布表，属中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题可知e==，2a+2b=10，解得a=3，b=2．故椭圆E的标准方程为E：+=1证明（Ⅱ）：设P（x0，y0），直线PA交y轴于点C（0，y1），直线PB交y轴于点D （0，y2）．则+=1，即=4．易知与同向，故•=y1y2．因为A（-3，0），B（3，0），所以得直线PA的方程为=，令x=0，则y1=；直线PB的方程为为=，令x=0，则y2=所以故•=y1y2==4，为定值．解析：（Ⅰ）由e==，2a+2b=10，解得a=3，b=2．，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），直线PA交y轴于点C（0，y1），直线PB交y轴于点D（0，y2），求得直线PA，PB的方程，分别求出y1，y2，再根据向量的数量积即可证明本题考查椭圆的方程的求法，注意运用联立直线求交点，考查向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）由f（x）=x2+4x+2，得f′（x）=2x+4x．于是g（x）=te x（f′（x）-2）=2te x（x+1），∴g′（x）=2te x（x+2），∵函数f（x）的图象在点A（，f（））处的切线与函数g（x）的图象在点B（0，g（0））处的切线互相垂直，∴f′（）•g′（0）=-1，即，解得t=1；（Ⅱ）f（x）=x2+4x+2，g（x）=2te x（x+1），设函数F（x）=kg（x）-2f（x）=2ke x（x+1）-2x2-8x-4，（x≥-2），则F′（x）=kg′（x）-2f′（x）=2ke x（x+1）+2ke x-4x-8=2（x+2）（ke x-2）．由题设可知F（0）≥0，即k≥2．令F′（x）=0，得，x2=-2．①若-2＜x1≤0，则2≤k≤2e2，此时x∈（-2，x1），F′（x）＜0，x∈（x1，+∞），F′（x）＞0，即F（x）在（-2，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增，∴F（x）在x=x1取最小值F（x1）．而F（x1）==≥0，∴当x≥-2时，F（x）≥F（x1）≥0，即kg（x）≥2f（x）恒成立．②若x1=-2，则k=2e2，此时F′（x）=2（x+2）（2e x+2-2）≥0，∴F（x）在（-2，+∞）单调递增，而F（-2）=0，∴当x≥-2时，F（x）≥0，即kg（x）≥2f（x）恒成立．③若x1＜-2，则k＞2e2，此时F（-2）=-2ke-2+4=-2e-2（k-2e2）＜0．∴当x≥-2时，kg（x）≥2f（x）不能恒成立．综上所述，k的取值范围是[2，2e2]．解析：（Ⅰ）求出f（x）的导函数，代入g（x），对函数g（x）求导，结合函数f（x）的图象在点A（，f（））处的切线与函数g（x）的图象在点B（0，g（0））处的切线互相垂直列式求得t值；（Ⅱ）设函数F（x）=kg（x）-2f（x）=2ke x（x+1）-2x2-8x-4，（x≥-2），求其导函数，分类求得函数最小值，可得k的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．22.答案：解：（Ⅰ）由得x2+y2-2y=0，即x2+（y-）2=5．………………（2分）直线的普通方程为x+y-m-，被圆C截得的弦长为，所以圆心到的距离为，即=，解得m=3或m=-3．………………（5分）（Ⅱ）当m=3时，将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得，（3-）2+（）2=5，即2t2-3．由于△=（3）2-4×4=2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P（3，），故由上式及t的几何意义，得|PA|+|PB|=2（|t1|+|t2|）=2（t1+t2）=3．………………（10分）解析：（Ⅰ）先将圆C的方程化成直角坐标方程，直线l化成普通方程，再由圆心到直线的距离以及勾股定理列式可得；（Ⅱ）联立直线l与圆C的方程，根据韦达定理以及参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程根，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）f（x）＞f（1）就是2|x+1|+|2x-1|＞5．（1）当x时，2（x+1）+（2x-1）＞5，得x＞1．（2）当-1≤x≤时，2（x+1）-（2x-1）＞5，得3＞5，不成立．（3）当x＜-1时，-2（x+1）-（2x-1）＞5，得x＜-．综上可知，不等式f（x）＞f（1）的解集是（-∞，-）∪（1，+∞）．（Ⅱ）因为2|x+1|+|2x-1|=|2x+2|+|2x-1|≥|（2x+2）-（2x-1）|=3，所以+≤3．因为m＞0，n＞0时，+≥2，所以2≤3，得≥．所以m+n≥2≥．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．（Ⅰ）分3种情况去绝对值，解不等式组可得；（Ⅱ）先求出f（x）的最小值，再求出的取值范围，再由基本不等式可证．。

安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题含答案

2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（答案在最后）命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.设集合{}213A x x =-≤，集合101x B x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.(1,2]B.[1,2]C.(1,1)- D.(1,2)-【答案】A 【解析】【分析】计算出集合A 、B 后借助交集定义即可得.【详解】由213x -≤，可得12x -≤≤，故{}12A x x =-≤≤，由101x x +>-，可得()()110x x +->，即1x >或1x <-，故{1B x x =>或}1x <-，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.2.已知复数2z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.14B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可.【详解】221=+i 422z -+-，而1i 22z =--，可得1113(+i)(1222244z z ⋅=---=+=.故选：B.3.设F 是椭圆22:1259x y C +=的一个焦点，过椭圆C 中心的直线交椭圆于P ，Q 两点，则PQF △的周长的最小值为（）A.12B.14C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义求出10PF QF +=，再由min 26PQ b ==，即可求解.【详解】由椭圆的对称性可知P ，Q 两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为1F ，则四边形1PFQF 为平行四边形，由椭圆定义可知：11420PF PF QF QF a +++==，又1PF QF =，1PF QF =，所以10PF QF +=，又PQ 过原点，所以min 26PQ b ==，所以PQF △的周长的最小值为：10616+=.故选：C4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A.80B.78C.76D.74【答案】B 【解析】【分析】借助百分位数的定义计算即可得.【详解】由0.005100.015100.020100.4⨯+⨯+⨯=，0.005100.015100.020100.030100.7⨯+⨯+⨯+⨯=，故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80]之间，设这次调查数据的第64百分位数为x ，则有700.640.4100.70.4x --=-，解得78x =.故选：B .5.设{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等比数列基本量的计算以及正项等比数列的单调性、充要条件的定义即可得解.【详解】{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，所以()*0,N n a n >∈，一方面：“{}n a 为递减数列”，等价于101n na q a +<=<，要使得()111,0nn a a q a =<>，只需11nq a <，即1lg lg n q a <-，从而1lg lg a n q>-，所以取10lg max 1,1lg n q a ⎧⎫⎡⎤=-+⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，其中[]x 是指不超过x 的最大整数，则当0n n >时，有1n a <，另一方面：我们假设1q >，且“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”，则当n 越来越大时，同理可得()111,0nn a a q a =>>，但这与“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”矛盾，综上所述，“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的充要条件.故选：C.6.已知点(1,0)P，(C ，O 是坐标原点，点B 满足1BC = ，则OP 与PB夹角的最大值为（）A.56π B.23π C.2π D.3π【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，结合直线与圆相切，求得切线的倾斜角，即可求解.【详解】设点(,)B x y，可得()BC x y =--，因为1BC =，可得22(1x y +-=，即点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，如图所示，设过点P 与圆C 相切的直线PB 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=，1=，解得3k =-，设切线的倾斜角为(0π)αα≤<，则tan 3α=-，可得5π6α=，即OP 与PB 夹角的最大值为5π6.故选：A.7.已知函数2()2cos sin 21(0)f x x x ωωω=+->的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.32C.52D.72【答案】B 【解析】【分析】先化简解析式，根据对称性可得12,2k k ω=-∈Z ，再结合最小值点即可求解.【详解】2π()2cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πππ0424f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,24k k ω+=∈Z ，即12,2k k ω=-∈Z ，当ππ22π42x k ω+=-+，即3ππ,8k x k ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，由115228k ω=-≤解得1918k ≤，故1k =，得32ω=.故选：B8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（）A.不存在点E ，使得1EC D E⊥B.空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C.过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有1条D.过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条【答案】D 【解析】【分析】当E 为AB 的中点时判断A ；作图判断B ；利用角平分面的特征判断C ；建立空间直角坐标系，分析判断D.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，对于A ，当E 为AB 的中点时，连接DE ，则45AED BEC ∠=∠= ，即有EC DE ⊥，而1DD ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，则1EC DD ⊥，又11,,DE DD D DE DD ⋂=⊂平面1DD E ，因此EC ⊥平面1DD E ，而1D E ⊂平面1DD E ，则1EC D E ⊥，A 错误；对于B ，连接11,BD B D ，设BD EC K ⋂=，111////BB CC DD ，则平面11BDD B 与直线EC 交于K ，点K 在线段BD 上，不含端点，则直线1D K 与直线1BB 相交，同理直线1A E 与直线1BB 相交,因此直线1D K 、1A E 分别与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交，B 错误；对于C ，AB ⊥平面11ADD A ，而1AD ⊂平面11ADD A ，则1AB AD ⊥，又AB AD ⊥，于是1DAD ∠是二面角1D AE D --的平面角，且1π4DAD ∠=，显然1DAD ∠的平分线与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8，过点E 与此直线平行的直线符合要求，这样的直线只有1条；半平面1D AE 与半平面DAEC 的反向延长面所成二面角的角平分面与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于3π8，在此角平分面内过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有2条，因此过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有3条，C 错误；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系，直线1,,AB AD AA 的方向向量分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，设过点E 的直线l 方向向量为(,,)a x y z =，由直线l 分别与直线1,,AB AD AA 所成角都相等，==||||||x y z ==，不妨令||1x =，有(1,1,1)a =r 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- ，显然使得||||||1x y z ===成立的向量a有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用线线夹角的求法是求解选项D 的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A.(0)1f = B.(1)(1)1f f +-=C.函数()f x 为减函数 D.函数()y f x =的图象关于点()0,1对称【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：借助赋值法令0x y ==计算即可得；对B ：借助赋值法令1x =，1y =-计算即可得；对C ：结合函数单调性的定义及赋值法令0y >计算即可得；对D ：结合函数对称性及赋值法令y x =-计算即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0001f f f =+-，故(0)1f =，故A 正确；对B ：令1x =，1y =-，则有()()()0111f f f =+--，故()()112f f +-=，故B 错误；对C ：令0y >，则有()()()1f x y f x f y +-=-，其中x y x +>，()10f y -<，令1x x y =+，2x x =，即有对1x ∀、2x ∈R ，当12x x >时，12())0(f x f x -<恒成立，即函数()f x 为减函数，故C 正确；对D ：令y x =-，则有()()()1f x x f x f x -=+--，又(0)1f =，故()()2f x f x +-=，故函数()y f x =的图象关于点()0,1对称，故D 正确.故选：ACD.10.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（）A.当16AB =时，π3α=B.AOB 面积的最大值为2C.点E 在一条定直线上D.设直线EF 倾斜角为β，αβ-为定值【答案】CD 【解析】【分析】由焦点为(0,1)F 可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于x 的一元二次方程，即可得与x 有关韦达定理，对A ：利用韦达定理与弦长公式计算即可得；对B ：利用韦达定理与弦长公式及面积公式计算即可得；对C ：借助导数的几何意义可得AE l 与BE l 的方程，即可得点E 坐标，即可得解；对D ：由tan tan 1αβ⋅=-，故可得2παβ-=.【详解】由抛物线的焦点为(0,1)F ，故2p =，即2:4C x y =，由题意可知，直线l 斜率存在，设():1tan AB l y kx k α=+=，()11,A x y ，()22,B x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，有2440x kx --=，216160k ∆=+>，124x x k +=，124x x =-，对A：()241AB k ===+，当16AB =时，即有()24116k +=，故k =，即tan α=，即π3α=或2π3α=，故A 错误；对B：()2114122AOB S d AB k =⨯=+= ，故2AOB S ≥ ，故B 错误；对C ：由()11,A x y ，2:4C x y =，即24x y =，有2x y '=，故()111:2AE x l y x x y =-+，又2114x y =，故211:24AE x x l y x =-，同理可得222:24BE x x l y x =-，设点(),E m n ，则有2112222424x x n m x xn m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，有22121212242x x x x m x x -+=⨯=-，21121122244x x x x x x n +=⨯-=，由124x x k +=，124x x =-，故2m k =，1n =-，故点E 在一条定直线上且该直线为1y =-，故C 正确；对D ：由()2,1E k -，(0,1)F ，则111tan 2k kβ+==--，故有1tan tan 1k k αβ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，即π2αβ-=，故αβ-为定值且该定值为π2，故D 正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.11.满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N 的数列{}na 称为卢卡斯数列，则（）A.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等差数列B.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列C.()*243n n n a a a n ++=+∈ND.()20242023113ii i a a =-=-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对A 、B ：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C ：借助21n n n a a a ++=+代入即可得；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后借助该式裂项相消即可得.【详解】对A ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等差数列，则有211n n n n ad ta a ta +++-+=-，即()211n n n a t a ta d ++=-++，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()111n n n n a a t a ta d +++=-++恒成立，即有1110t t d -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故不存在这样的实数t ，故A 错误；对B ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等比数列，则有211n n n na q ta a ta ++++=+，即()21n n n a q t a qta ++=-+，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()11n n n n a a q t a qta +++=-+恒成立，即有11q t qt -=⎧⎨=⎩，即210t t +-=，解得12t -±=，此时21110a ta +=-=≠，故存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列，故B 正确；对C ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N，则32214223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++=++=+++=，即有()*243n n n a a a n ++=+∈N，故C 正确；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，故()()()()()222121111111n n n n nn n n n n a a a a a +++++++-=-+-=--+-，故()()()()()20242320241232024111111ii i a a a a a =-=-+-+-+-=∑ ()()()()()()()()()()2232432023202221324320232022121111111111a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯+--+-+--+-+--+-++--+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()202312023202321113a a a ⎡⎤=-++---=-⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于由()*21n n n a a a n ++=+∈N，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后可借助该式裂项相消.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式10的展开式中，常数项为__________．【答案】210【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对10，有10151536211010C C kkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5506k -=，则6k =，则有655671010C C 210T x -===.故答案为：210.13.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径2AB =．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】画出圆锥的截面PAB ，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，可得PAB 为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得.【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O 为圆锥的内切球球心，则有BO 为PBA ∠的角平分线，由O 为圆锥的外接球球心，则OB OP =，故PBO OPB ∠=∠，故APB PBA ∠=∠，又PA PB =，故PAB 为等边三角形，故PM =，2PB =，则22πππ1π123πS r rl =+=⨯+⨯⨯=全.故答案为：3π.14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为__________；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．【答案】①.2a②.a【解析】【分析】由曲线C 的方程可得，该曲线关于x 轴、原点对称，故只需研究第一象限即可，求出第一象限上的点到曲线C 的最短距离即可得其内切圆半径；当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线段长.【详解】设点(),P x y 在曲线222333(0)x y a a +=>上，则(),x y -、(),x y -、(),x y --亦在曲线222333(0)x y a a +=>上，故曲线222333(0)x y a a +=>关于x 轴、y 轴、原点对称，故只需研究第一象限内部分，当0x >，0y >时，由(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，故有222333x y a +=，即有2211331x y a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即3cos x a α=，3sin y a α=，则OP ======，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(]2sin 20,1α∈，则min2a OP ==，即曲线C 的内切圆半径为2a ；当0x >，0y >时，222333(0)x y a a +=>可化为322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11221122223333333223y a x x x a x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-='-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则曲线上的点()00,x y 的切线方程为：()3122122223333300y a x xa x x x -⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，则有()13122222233333000y xa x x a x -⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11222222222122333333333300a x x a x a a x a y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，则有1222133333000x x a x x a x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则AB a ====.即曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于a .故答案为：2a；a .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助曲线的对称性，得出只需研究第一象限部分，若点(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而计算出点P 到曲线的最短距离即可得曲线C 的内切圆半径，当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可计算得该直线被坐标轴截得的线段长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面凸四边形ABCD 中，2sin tan tan cos BADABD ADB ABD∠∠+∠=∠.（1）求ADB ∠；（2）若4AD BD ==，6ACB BDC π∠=∠=，求CD .【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将所给式子化简计算即可得；（2）结合题意，借助正弦定理与余弦定理计算即可得.【小问1详解】由已知得：sin sin 2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠∠+=∠∠∠，故sin cos cos sin 2sin cos cos cos ABD ADB ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠+∠∠∠=∠∠∠，所以sin()2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠+∠∠=∠∠∠．因为()()sin sin πsin 0ABD ADB BAD BAD ∠+∠=-∠=∠≠，故1cos 2ADB ∠=，由三角形内角范围知π3ADB ∠=；【小问2详解】由4AD BD ==，π3ADB ∠=，故ABD △为边长为4的等边三角形，在ABC 中，π6ACB ∠=，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB=∠∠，故sin 8sin sin AB BACBC BAC ACB∠==∠∠，由于πBAC BCA ABD CBD ∠+∠+∠+∠=，所以π2BAC CBD ∠+∠=，故8cos BC CBD =∠，在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC CBD =+-⨯⨯∠，即22248cos 16CD BC BC CBD =+-⨯⨯∠=，得4CD =.16.已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ．（1）当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）递增区间为(0,3)，递减区间为(3,)+∞（2）(,1]-∞【解析】【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助(1)0f ≤，得到1m £，在1m £的情况下，借助1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，从而构造函数1()2ln g x x x x=-+，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，通过研究2()2ln h x x x x =-得解.【小问1详解】当3m =-时，3()2ln f x x x x=--，其定义域为(0,)+∞，()()2222312323()1x x x x f x x x x x--+-++='=-+=，令()0f x '=，得3x =（=1x -舍去），当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,)+∞；【小问2详解】方法1：由条件可知(1)0f ≤，于是10m -≤，解得1m £．当1m £时，1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，构造函数1()2ln g x x x x=-+，1x ≥，()222121()10x g x x x x-=---'=≤，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减，于是()(1)0g x g ≤=，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．方法2：由条件可知22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln h x x x x =-，1x ≥，只需min [()]m h x ≤即可．()()()22ln 12ln 1h x x x x x =-+=--'，令()ln 1x x x μ=--，则()10x x xμ-'=≥，所以函数()h x '在[1,)+∞上单调递增，于是()()10h x h ''≥=，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ⎡⎤==⎣⎦，于是1m £，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．17.如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC 所在平面的两侧，且PA PD =．设E 是PA 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取BC 的中点O ，根据题意，分别证得OP BC ⊥和OP OA ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OP ⊥平面ABC ，进而证得平面PBC⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面ABC 和EBD 得到法向量(0,0,1)m =和()3,2n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC 是边长为2的等边三角形，所以ABC 也是边长为2的等边三角形，在等边PBC 中，O 是BC 的中点，可得OP BC ⊥且3OA OP ==又因为6PA =222PA OA OP =+，所以OP OA ⊥，因为⋂=OA BC O ，且,OA BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；又因为OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．因为O 是等边ABC 的BC 边中点，可得OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,0),,(0,1,0)(0,1,0)3),A B C -，可得33,0,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又因为OP BC ⊥，OD OP O ⋂=，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz 内，可得3,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,1,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0223022n BE x y z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，令2z =，则0x =，y =()2n =，所以cos ,7m mm n m n ⋅===，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则sin 7θ==，故平面EBD 与平面ABC 的夹角的正弦值为217．18.树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值12.2ξ≥时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ，B 两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布(9,2.56)N ．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A 类试题，每次测试合格的概率为13，作答B 类试题，每次测试合格的概率为14，且每次测试相互独立．①在解答A 类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A 、B 两类试题测试合格的类数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）68（2）①34；②分布列见解析，115()144E X =.【解析】【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可.（2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可.【小问1详解】10.9545(12.2)(2)0.022752P P ξξμσ-≥=≥+==．所以符合该项指标的学生人数为：30000.0227568.2568⨯=≈人．【小问2详解】①记1A 表示解答A 类试题第一次测试合格，1B ，2B 分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M ，则()113P A =，()()()1121213113313443444P A M P AB B P AB B =+=⨯⨯+⨯⨯=．()()()()()112112111134().143P A B B P A B B P A M P M A P A P A +====∣②设X 的取值为0，1，2，224(0)339P x ==⨯=，13321335(1)344334416P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，35(2)1(0)(1)144P x P x P x ==-=-==，所以X 的分布列为X12P4951635144数学期望4535115()012916144144E X =⨯+⨯+⨯=．19.取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x ∈R ，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，函数[]y x =称为取整函数．另外也称[]x 是x 的整数部分，称{}[]x x x =-为x 的小数部分．（1）直接写出[]ln π和34⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的值；（2）设a ，*b ∈N ，证明：a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，且01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a ，a 能唯一写为1212k aaak a p p p =⨯⨯⨯ ，其中i p 为质数，i a 为整数，且对任意的i j <，i j p p <，i ，{1,2,3,,}j k ∈⋯，称该式为a 的标准分解式，例如100的标准分解式为2210025=⨯．证明：在!n 的标准分解式中，质因数i p （i p n ≤，1n >，*n ∈N ）的指数231i r r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ．【答案】（1）1，0.25（2）证明见解析，a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义计算即可得；（2）由题意可得a a ab b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，即可得证a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，由a ，b 都为整数，结合定义可证得0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得证01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，可得a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，即有a a n b b ⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即可得解；（3）利用（2）中结论可得i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，依次进行下去，可得123r i r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证.【小问1详解】由e π2e <<，故12ln π<<，故[]1ln π=，()3333110.2544444⎧⎫⎡⎤-=---=---==⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦；【小问2详解】因为a a a b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，得a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为a ，b 都为整数，所以a a b a b b b⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，即得证，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，*n ∈N ，因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a n b b⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；【小问3详解】!123n n =⨯⨯⨯⨯ ，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数i p ，利用（2）中结论，i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为1n ，将这些数都提取i p 出来，此时p 的倍数中还有可以提取出i p 的数，注意到2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为2n ，将这些数提取i p 出来；同理，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为3n ，依此这样进行下去，则质因数i p的指数112323ri ri i i in n n na n n np p p p∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证．。

2020届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学(文)试题 PDF版

数学试题（文）参考答案
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的
题号 1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A D
B
B
D
C
A
B
D
B
CC
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上．
13. 2 5
（Ⅰ）在这 25 名学生中，甲组学生中有男生 6 人，乙组学生中有女生 11 人，试问有没有 90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人，求至少有 1 人在甲组的概率.
附表及公式：
18．（本小题满分 12 分）
第页
4
（Ⅱ）若折叠后，A、B 两点间的距离为 d ，求 d 最小时，四棱锥 A PBCQ 的体积.
20. （本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，中心在原点的椭圆
C
经过点
3
3 2
,1
，其右焦点与抛物线
y2
4
5x
的焦点重合.
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）设点 M m,0为长轴上的一个动点，过点 M 作斜率为 2 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点，试判
在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长
度单位.已知曲线 C
的极坐标方程为
4sin
0
，直线 l
的参数方程为

2020届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学(理)试题 PDF版

A.241
B.242
C.243
D.244
10. 已知抛物线 C : y2 2 px （ p 0 ）的焦点为 F ，准线与 x 轴交于点 K ，过点 K 作圆
第页
2
x
p 2 2
y2
p2 4
的切线，切点分别为 A ， B .
若
AB
3 ，则 p 的值为
A. 1
B. 3
C. 2
D. 3
11. 棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P，Q 分别为 C1D1, BC 的中点，现有下列结论：
单位，所得图象关于 x π 对称，则实数 m 的最小值为 3
A． π 4
B． π 3
C． 3π 4
D． π
9. 今年（2020 年）是闰年. 如图所示是判断 2000～3000（包括 2000，但不包括 3000）年中哪些年份是闰年的程序框图，那么由框图可知，在 2000～3000 年中年份是闰年的个数是
（Ⅰ）证明： BD EC ；（Ⅱ）求平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值．
19.（本小题满分 12 分）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有
力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图（如图）.
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
4.
函数
f (x)
x sin x 的大致图象是 x2 1
D．既不充分也不必要条件
5.
等比数列an的前 n 项和为

安徽省安庆市2020届高三第二次模拟考试数学(文)试题参考答案

将列联表数据代入公式计算得, K 2 = 25 × (6 ×11 − 4 × 4)2 ≈ 2.778 > 2.706.
10 ×15 ×10 ×15
所以有 90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关.……………………8 分
（Ⅱ）由分层抽样知, 甲组应抽 2 人（记为 A、B），乙组应抽 3 人（记为 a, b, c ）.
11. 解析：本题主要考查四面体的外接球.
Q PB2 + PC 2 = 12 +12 = 24 = BC 2,∴ PB ⊥ PC, 又PA ⊥ 平面PBC,∴ PA ⊥ PB, PA ⊥ PC
∴四面体
P
−
ABC
的外接球半径为
1 2+12 +16 =
10.
2020 年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（文）参考答案
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的
题号 1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A D
B
B
D
C
A
B
D
B
CC
1.解析：本题主要考查集合的运算.
因为 N = { x | x2 = x } = {0,1}，所以 M ∩ (CU N ) = {− 1,2}.故选A.
由解得，故选 0.025(x − 20) = 0.5 − 0.315
x = 27.40 .
D.
10.解析：本题主要考查直线与双曲线的位置关系.
双曲线 x2
−
y2 8
= 1的右焦点是 F（2 3,0），直线 4x

安徽省安庆市2020届高三数学第二次模拟考试试题(详解)理(扫描版)

安徽省安庆市高三数学第二次模拟考试试题（详解）理（扫描版）2013年安庆市高三模拟考试（二模）D数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题1．解析：31i i i==-+-，故选B 。

考点：复数的基本运算 2．解析：∵}10|{}ln 11|{≠>=+-==x x x x x y x A 且， }1|{}21|{≤=+-==y y x y y B ∴)1,0(=B A I ，故选D 。

考点：集合的含义与运算。

错误!未找到引用源。

3．解析：663624186=⇒=+⇒+=a d a a a ，∴42727)(4717==⨯+=a a a S ，故选B 。

考点：等差数的通项与求和。

4．解析：∵021=⋅PF PF ，∴21PF PF ⊥，∴102||||2||2121===+F F PO PF PF ，故选D 。

考点：向量的运算与双曲线的性质。

5．解析：由题意得：)322sin(]3)(2sin[)(πϕπϕ++=++=x x x g则Z k k ∈+=+,232πππϕ，可得ϕ的最小正值为12π，故选A 。

6. 解析：∵若A 、B 、C 三点共线， ∴λ=即)(b y a b a x +=+λ11=⇒⎩⎨⎧==⇒xy y x λλ，故选B 。

考点：向量共线的充要条件与轨迹7．解析：由三视图知原几何体为四个面均为直角三形的三棱锥，如右图所示。

则外接球球心为AD 的中点，故2=r ，∴外接球的体积是π328。

故选C 。

考点：三视图与几何体体积的计算。

8．解析：∵方程),(022R b a b ax x ∈=-++的两根分别错误!未找到引用源。

在区间]2,(--∞和),2[+∞上错误!未找到引用源。

，∴⎩⎨⎧≤++≤+-022022b a b a ，由线性规划知识得：22b a +错误!未找到引用源。

的最小值为4。

故选D 。

考点：二次方程的根的分布和简单的线性规划。

9．解析：将极坐标方程22sin cos =+θρθρ和1=ρ化为直角坐标系下的方程得：22=+y x 和122=+y x ，由数形结合易得：这两条切线的夹角的最大值为3π，故选B10．解析：设c bx ax x x f +++=23)(在区间)2,1(上的三个零点为1x 、2x 、3x ，则))()(()(321x x x x x x x f ---=，∴)2)(2)(2)(1)(1)(1()2()1(321321x x x x x x f f ------=⋅)]2)(1)][(2)(1)][(2)(1[(332211x x x x x x -------=641221221221233222211-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≥x x x x x x ∵1x 、2x 、3x 为三个零点，∴1x 、2x 、3x 互不相等，∴上式“=”不成立。

【4月安庆二模理数】2020年安徽省安庆市高三高考第二次模拟考试数学试卷及参考答案(解析版)

50
52
49
42
43
471 1048.32 1669.92 3144.12 3891.5
计算可得农村居民人均食品支出总额呈增长趋势，故 B 正确；
71
209
244
159
47
1074 1392 4078 1564
2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长 4078 元，为最快；故 C 正确；2015 年到
A. z 的虚部为 i
B. z 2
C. z z 2
D. z2 2
【考查目标】考查复数的概念、运算及其性质.
2.
C. 解析：
z
1
2 i3
2 1i
1 i
，其虚部为1，A
错；
z
12 12
2 ，B 错；
z z (1 i)(1 i) 2 ，C 正确； z2 (1 i)2 2i 2 ，D 错误.故选 C.
1 ， a1(1 q4 ) 2 1q
15 2
，解得
a1
4，
a2
2
， a4
1 2
， a2
a4
5 2
，故选
B.
6. 改革开放 40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精
神追求，消费结构明显优化.下图给出了 1983—2017 年部分年份我国农村居民人均生活
消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计
据的能力.
6. D.解析：从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故 A 正确；根据“农
村居民人均食品支出总额=农村居民人均生活消费支出恩格尔系数”，
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2020届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学(理)试题 PDF版

绝密★启封并使用完毕前2020年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理科）第 I卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A x x 10， 5 6 0B x x 2 x ，则A I B =A. 1，1B. 1，2C. 1，3D. 1，62. 已知i 为虚数单位，复数z 满足1 i z 2，则下列判断正确的是3A. z 的虚部为iB. z 2C. z z 2D. z 2 23. 设p ：0 log x 1，q ：2x 1，则p 是q 成立的2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4. 函数x sin xf (x ) 的大致图象是x 2 15.等比数列a 的前n项和为n S .若a2 ，3a 2an 6 515S ，则4a2 a42A. 32B.52C. 32D.406. 改革开放40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费结构明显优化.下图给出了 1983—2017 年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数（恩格第页1尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图. 对所列年份进行分析，则下列结论错．误．的是A. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势B. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势C. 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长最快D. 2015 年至 2017 年农村居民人均生活消费支出总额增长比率大于人均食品支出总额增长比率7. 已知矩形ABCD ，AB 2AD 4，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 沿EF 折起,使AEB 120，则过A ，B ，C ，D ，E ，F 六点的球的表面积为A. 52π B. 5π C. 10π D.20π8. 已知函数f (x) 2sin2 x （ 0 ）的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移m （m 0）个单位，所得图象关于πx 对称，则实数m 的最小值为3A．π4B．π3C．3π4D．π9. 今年（2020 年）是闰年. 如图所示是判断 2000～3000（包括 2000，但不包括 3000）年中哪些年份是闰年的程序框图，那么由框图可知，在 2000～3000 年中年份是闰年的个数是A.241B.242C.243D.24410. 已知抛物线C : y2 2px（p 0）的焦点为F ，准线与x 轴交于点K ，过点K 作圆第页22 2ppx y224的切线，切点分别为 A ， B . 若 AB 3 ，则 p 的值为A. 1B.3C. 2D. 311. 棱长为 1 的正方体 A BCD A 1B C D 中， P ，Q 分别为 C D ,BC1 1 111的中点，现有下列结论：① P Q // BD ；② PQ // 平面 B B 1D D ；③ PQ平面 ABC111；④四面体 DPQB1的体积等于1 24.其中正确的是 A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④12. 函数 f (x )ln xax 恰有两个零点x ， 1 x ，且 x21x . 则 2x 所在区1间为1 1 1 A.0,B. ,e3e32e1 11C. ,12 , D.e ee 第Ⅱ卷二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 13. 已知向量 a =(1，3) ， ab 1， a 与 ab 的夹角为60 ，则 ab.14. 等差数列a 中， na，22aa 3a16111S 是其前 n 项和，则使nS 取最大值的 n 的值n为 .15. 鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质. 如图，若点 C 为线段AB 的三等分点且AC 2CB ，分别以线段AB，AC，BC 为直径且在AB 同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）.现等可能地从以AB 为直径的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为.x y2 216. 已知双曲线C : 1 a 0 b 0 的左、右焦点分别为，a b2 2 F ，F ，1 2π一条渐近线方程记为y tan x (0 ) 与2 2，直线l : y tan x双曲线C 在第一象限内交于点P ，若O P P F，则双曲线C 的离心率2为.三、解答题：共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21第页3题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分.17.（本小题满分 12 分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a，b ，c，且b c sin Aa c sin B sin C.（Ⅰ）求角B 的大小；1534 （Ⅱ）若△ABC 的周长等于15，面积等于，求a，b ，c的值．18.（本小题满分 12 分）如图，在四面体ABCD 中， E 是线段AD 的中点，，AB BD，BC DC EC ．ABD BCD 90o（Ⅰ）证明：BD EC ；（Ⅱ）求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值．19.（本小题满分 12 分）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图（如图）.（I）从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取 5 户.①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在[3，4）（单位：kg)的概率是多少？②若抽取的 5 户中购买量在[3，6]（单位：kg)的户数为 2 户，从 5 户中选出 3 户进行生活情况调查，记 3 户中需求量在[3，6]（单位：kg)的户数为，求的分布列和期望；（II）将某户某天购买甲类物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于 0.5kg 时，则将该居民户称为“迫切需求户”，若从小区某天购买甲类物资的居民户中随机抽取 10 户，且抽到 k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求 k 的值.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆Ex y2 2: 1（a b 0 ）的离12 ，F 是E 的右焦点，过点F 的直线交E 于点心率为a b2 2A(x ，y ) 和点1 1 B(x ，y )（2 2y1 y 2 0）．当直线AB 与x轴垂直时，AB3．第页4（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l : x 2a 交x 轴于点G ，过点B 作x 轴的平行线交直线l 于点C ．求证：直线AC 过线段FG 的中点．21.（本小题满分 12 分）1已知函数f x a x a x （a R ）.( ) ln 1 122（Ⅰ）讨论f (x) 的单调性；（Ⅱ）当a 1时，对任意的x ，x20，，且1x1x ，都有2x1(x ) x ( )mx xf f x2 2 1x x121 2，求实数m的取值范围．（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长1x t2度单位.已知曲线C 的极坐标方程为 4sin 0 ，直线l 的参数方程为3，y 1t2（t 为参数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A，B 两点，M (0，1) ，且MA MB ，求1 的值．1 MA MB23. [选修 4–5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）已知a 0 ，b 0，且a 2 b 2 1.(Ⅰ)若对于任意的正数a ,b ,不等式2x 1 ≤1 1(Ⅱ)证明：( )(a 5 b5 )≥1.a b 1a21恒成立，求实数x 的取值范围；b2第页52020年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理科）参考答案第 I 卷二、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A CAABDDBCCCD二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.3. 14.16.15. 4 9.16. 51.三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.（本小题满分 12 分） b c sin A解析：（Ⅰ）由，根据正弦定理得a c sin B sin Cb cab caac ac bac222222a cb c，根据余弦定理得 cos Ba 2 c 2b 21，由 0 B π ，所以 2π 2ac2 3B . (5)分13 15 3（Ⅱ）由Sac B ac ，得 ac 15 . 又 a b c 15，sin ABC244由（Ⅰ）知b 2 a 2 c 2 ac ( a c ) 2 15 (15b ) 2 15 ，所以 b 7 ，化简得 a c 8.得 a 3， c 5，或者 a 5， c 3.所以 a3， b 7, c 5，或者 a5， b 7, c 3.………… 12 分【考查目标】考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运算求解能力. 18.（本小题满分 12 分）解析：（Ⅰ）取线段 BD 的中点 F ，连接 EF ，CF .因为E 是线段AD的中点，所以EF / /AB ．又AB BD ，所以EF BD ．因为BC DC ，F 是BD的中点，所以CF BD ．因为EF 平面ECF ，CF 平面ECF ，EF I CF F ，所以BD 平面ECF ，而CE 平面ECF ，所以BD EC ．………… 5 分第页6（Ⅱ）令BC DC EC a ，则AB BD 2a ，那么EF AB a ， 1 21 2CF BD a ，所以2 2 2 2EF CF a EC ，所以EF CF ．2 2 2 2又EF BD，CF BD ，故可以点F 为原点，射线FC 、FD、FE分别为x轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，2 2如图所示．则B 0，a，0 ，C a，0，0 ，2 22 2D 0，a，0 ，E 0 0 a，，，2 2u u u r u u u ru u u r2 2 2 2 2 2所以BC a a 0DC a ，a ，，，，，0 EC a，0， a ．2 2 2 2 2 2设平面BEC 、平面DEC 的法向量分别为m x ，y ，z ，n x ，y ，z ，1 1 1 2 222 2ax ay2 2m BC 01 1 由u r u u u r，得m EC 0x 11，则m 1，1，1.y 1，取1z 112 2ax az2 21 1n 由nDCEC，得2222ax2ax22222ay2az21x1，取y 1，则n 1，1，1 .1z 11u r rm n 11111 1 1所以cos m，n .u r r1 1 1 32 22m n故平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为13. (12)分解法二：令BC DC EC a ，由已知及（Ⅰ）得BE ED a ，所以BCE ，CDE 均为棱长为a的正三角形.取CE 中点G ，则BG CE , DG CE ，故BGD 为二面角3B CE D 的平面角，在BDG 中，BG DG a ，2BD 2a，由余弦定理可得：第页7BG DG BD 12 2 2cos BGD ,2BG DG 31故平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为. …………12 分3 【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法，通过空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及计算考查考生的运算求解能力.19.（本小题满分 12 分）解析：（I）由题意，事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 1 户，购买量在[3，4)”发生的概率为1p . (1)分4①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 5 户，则至少有两户购买量在[3，4)”为A，则1 1 1 P（A） 5)1C1 (1 )4 (154 4 4 47128 . ……… 3 分②随机变量所有可能的取值为 0，1，2.则C 32P （）,3C 1035C C 31 1P（）,1 3 2C 535C 12P（2）2 ,C 10350 1 2P （）31035110 3 1 4所以E () 1 2…………………7 分5 10 5（II）每天对甲类物资的购买量平均值为1.50.10 2.50.30 3.50.25 4.50.20 5.50.15 3.5（kg）……… 8 分则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为[4，6]，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为p 0.35，若从小区随机抽取 10 户，且抽到X 户为“迫切需求户”，则X ~ B(10,0.35) ，故P(X P(X k C k p k p 10k k ，若 k 户的可能性最大，则)10(1) , 0,1, ,10P(Xk)≥k)≥P(XP(Xkk1)1)，得k kC (0.35)10kk C (0.35)10 10k(0.65)10k (0.65)k 1 k 111k≥C (0.35) (0.65)10k 1 k 19k≥C (0.35) (0.65)10，解得2.85≤k ≤3.85 ，由于k N* ,故k 3. ……… 12 分【考查目标】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的第页8思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查考生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力. 20.（本小题满分 12 分）解析：（Ⅰ）由 ec 1 ，得13c a ，所以 b a2c2a ． c1 ，得13a 2 22因为直线 AB 经过点 F ，且y 1 y 2 0，当直线 AB 与 x 轴垂直时，1 3 x x c a ，则 y 1 ya ，且1222 4y 1 y ，23 3 a ，得 a 2，所以 b 3 ， c 1．所以 AB2 y 1 a ，故 32 2所以椭圆 E 的方程为x y． …………4 分2214 3（Ⅱ）由（Ⅰ）有直线l : x 4 ，故G (4,0) ，因为 F 1，0，则线段FG 的中点为 5 0， . 2①当直线 AB 与 x 轴垂直时，1 1 y x 1 x， y0，且22B ，，故 A (1，y ) ， (1y ) C 4， y ，1113 y，1y22yy y x 2这时直线 AC 的方程为1y 11，即 ( 1)1y y 1y x ． 4 131令 y0，得 5 x ，所以直线 AC 过线段 FG 的中点．2②当直线AB 不与x轴垂直时，可设其方程为y k x 1，代入x y，2 21 4 3整理得3 4k2 x 2 8k2 x4 k 2 3 0．所以8k2x x1 223 4k，4 k32x x1 2 23 4k．y y因为A x ，y ，B x ，y ，C ，y ，所以直线AC 的方程为4 y 2 1 x x y因为A x ，y ，B x ，y ，C ，y ，所以直线AC 的方程为4 x1 12 2 2 111．因为y k x ，1 1 1 y2 k x 2 1 ，所以k x xy y 5 52 1 x y x k x2 114 x 2 4 x 21 1 1 11 1第页9xx5kx x 1 2 14 x21115x xx4 x x 1 211112k4 x1k 5 2x xx x121 24 x 14k4 k3258k22 3 4k34k224 x1420 k 4kk43 4 35222k，这说明直线 AC 过点 0，0 ．4 x 34k221综上，可知直线 AC 过线段 FG 的中点．………… 12 分【考查目标】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和考生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力. 21.（本小题满分 12 分）解析：（Ⅰ）a 1 x a2a（x 0 ）．f (x) a 1 xx x（1）当a≥1时，f (x ) 0，f (x) 在0，上单调递增；（2）当0 a 1时，a a1a x xa 1 a 1，f (x)x所以当xaa1时，f (x ) 0，当0x aa1时，f (x )0，a a所以f (x) 在0，上单调递增，在，上单调递减；a 1 a 1（3）当a ≤0时，f (x ) 0，f (x) 在0，上单调递减. ………… 5 分（Ⅱ）当a 1时，f (x ) ln x x 2 1,不妨设0 x x ，则1 2 x1f (x ) x f (x )mx x2 2 1x x1 21 2等价于f ，考察函数(x ) f (x )2 m x x1 ( )2 1x x2 1f (x)g(x ) ，得xg'(x) lnx x 2 2，令x2h(x) lnx x 2 2，x2h'(x) 5 2 ln x5 5 5，则x(0e2) 时，h'(x) 0 ，x(e2，)时，h'(x) 0，所以h(x) 在区间(0 e2 )，，x35 51上是单调递增函数，在区间(e2 ) g'( )，上是单调递减函数.故g'(x)≤e2 1 0 ，所以g(x) 在2e5第页10(0,) 上单调递减.从而 g (x 1) g (x ) ，即2f，故 ( ) ( ) ( )( 2 )( )x f xf f x，x112m xx21xxxx 21 12所以f (f x，即x1)( )mx2mxmx12xx12g (xmxg x mx恒成立，1)( )122设(x ) g (x ) mx ，则(x ) 在 (0,) 上恒为单调递减函数， 1从而'(x ) g '(x ) m ≤0 恒成立！故'(x ) g '(x ) m ≤1m2e≤0，51故 m ≤1. …………12 分2e5【考查目标】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力. （二）选考题：共 10 分。

2020年安庆市高三模拟考试(二模)数学(文)试题

绝密★启封并使用完毕前2020年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（文科）命题：安庆市高考命题研究课题组第Ⅰ卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知全集Z U =，}2,1,0,1{-=M ，=N {R x ∈|2x =x }，则M ∩（N C U ）=A ．{}2,1-B ．{}0,1-C ．{}1,0D ．{}2,1 2. 复数()是虚数单位i i iz -=2的共轭复数是 A ．i 5251+ B.i 5251+- C.i 5251- D. i 5251--3. 设n m ,为实数，则“n m 22>”是“n m 5151log log <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数sin cos y x x =-在[]ππ-，上的图象大致是5. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”右图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的5.1=S (单位：升)，则器中米k 应为 A. 2升 B. 3升 C . 4升 D. 6升6. 数列{}n a 和数列{}n b 满足:31=a ,)(121*+∈-=N n a a n n ,)(1*∈-=N n a b n n ，则 =⋅20172019b b A.20192B. 20202C. 20184D. 202047. 若ααcos 21sin -=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4sin 2cos παα= A. 22-B. 22C. 214- D. 2148．掷铁饼是一项体育竞技活动.如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”.经测量此时两手掌心之间的弧长是,85π“弓”所在圆的半径为25.1米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为 (参考数据：732.13414.12=≈，) A. 012.1米B ．768.1米C ．043.2米D ．945.2米9.“爱护地球节约用水”是我们每个公民的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调查，获得了n 个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表所示.则估计全市家庭年用水量的中位数是 A ．74.20立方米B ．50.25立方米C ．69.26立方米D ．40.27立方米10. 点21,F F 分别是双曲线1822=-y x 的左、右焦点，直线0124=--y x 与该双曲线交于两点Q P ,,则=-+PQ Q F P F 11A. 24B. 4C. 22D. 211. 已知在四面体ABC P -中，PBC PA PC PB BC PA 平面⊥====,32,62,4,则四面体ABC P -的外接球的表面积是A. π160B. π128 C . π40 D. π32 12. 已知函数)(2sin sin )(R m x x m x f ∈+=的图象在点))0(,0(f 处的切线斜率是4，则)(x f 的最大值是A.23B. 223 C . 233 D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． 13. 直线0334=+-y x 被圆:E 016222=+-++y x y x 截得的弦长是 . 14. 设函数)(1tan )(3R a x x a x f ∈++=. 若,5)2(=f 则=-)2(f .15. 已知圆锥的顶点为A ，过母线AB 、AC 的截面面积是32. 若AB 、AC 的夹角是ο60，且AC 与圆锥底面所成的角是ο30，则该圆锥的表面积为__________． 16.在ABC ∆中，O 为其外心, ,3=⋅且73=+⋅+⋅，则边AC 的长是 .第Ⅱ卷三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）2015年7月31日，国际体育奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办. 某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛. 随机抽取了25名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图. 成绩在平均分以上（含平均分）的学生所在组别定义为甲组，成绩在平均分以下（不含平均分）的学生所在组别定义为乙组.（Ⅰ）在这25名学生中，甲组学生中有男生6人，乙组学生中有女生11人，试问有没有90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率. 附表及公式：18．（本小题满分12分）设数列{}n a 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，其前n 项和为n S , 420S =，且三项124a a a 、、成等比数列.（Ⅰ）求公差d 的值；（Ⅱ）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求使不等式20192020n T >成立的最小正整数n .19．（本小题满分12分）正三角形ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起（其中P 在AB 边上，Q 在AC 边上），使平面.APQ BPQC 平面⊥ E D ,分别是BC PQ ,的中点. （Ⅰ）证明：⊥PQ 平面ADE ；（Ⅱ）若折叠后，A 、B 两点间的距离为d ，求d 最小时，四棱锥PBCQ A -的体积.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点的椭圆C 经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,233，其右焦点与抛物线x y 542=的焦点重合.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点()0,m M 为长轴上的一个动点，过点M 作斜率为32的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，试判断22MB MA +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.21．(本小题满分12分)已知函数()xaf x x e =+的极小值为1，其中a R ∈，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若函数()()g x f x kx =-无零点，求实数k 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C 的极坐标方程为0sin 4=-θρ，直线l的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，(01)M ，，且MB MA >，求MBMA 11-的值．23. [选修4–5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知0a >，0b >，且.122=+b a（Ⅰ）若对于任意的正数a ，b ，不等式12-x ≤2211ba +恒成立，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）证明：1))(11(55≥b a ba ++.。

2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(文科)

2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．（5分）已知全集U＝Z，A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＝x}，则A∩∁U B为（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）已知复数z=i2−i，则复数z的共轭复数是（）A．−15+25i B．15+25i C．15−25i D．−15−25i3．（5分）设m，n为实数，则“2m＞2n”是“log15m＜log15n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）函数y＝﹣sin x|cos x|在[﹣π，π]上的图象大致是（）A．B．C．D．5．（5分）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的S＝1.5（单位：升），则器中米k应为（）A ．2升B ．3升C ．4升D ．6升6．（5分）数列{a n }和数列{b n }满足：a 1＝3，a n +1＝2a n ﹣1（n ∈N *），b n ＝a n ﹣1（n ∈N *），则b 2019•b 2017＝（） A ．22019B ．22020C ．42018D ．420207．（5分）若sin α=12−cosα，则cos2αsin(α−π4)=（）A ．−√22B ．√22C ．−√142D ．√1428．（5分）掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是5π8，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（）（参考数据：√2≈1.414，√3=1.732）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米9．（5分）“爱护地球节约用水”是我们每个公民的义务与责任．某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准．为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调查，获得了n 个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如表所示．分组频数频率 [0，10） 25 [10，20） 0.19 [20，30） 50 [30，40） 0.23 [40，50） 0.18 [50，60]5则估计全市家庭年用水量的中位数是（）A ．20.74立方米B ．25.50立方米C ．26.69立方米D ．27.40立方米10．（5分）点F 1，F 2分别是双曲线x 2−y 28=1的左、右焦点，直线4x ﹣y ﹣12＝0与该双曲线交于两点P ，Q ，则|F 1P |+|F 1Q |﹣|PQ |＝（） A ．4√2B ．4C ．2√2D ．211．（5分）已知在四面体P ﹣ABC 中，P A ＝4，BC ＝26，PB ＝PC ＝23，P A ⊥平面PBC ，则四面体P ﹣ABC 的外接球的表面积是（） A ．160πB ．128πC ．40πD ．32π12．（5分）已知函数f （x ）＝m sin x +sin2x （m ∈R ）的图象在点（0，f （0））处的切线斜率是4，则f （x ）的最大值是（） A ．32B ．3√22C ．3√32D ．3。

2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)

2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，0，1，，，则为A. B. C. D.2.已知复数，则复数z的共轭复数是A. B. C. D.3.设m，n为实数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数在上的图象大致是A.B.C.D.5.我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的单位：升，则器中米k应为A. 2升B. 3升C. 4升D. 6升6.数列和数列满足：，，，则A. B. C. D.7.若，则A. B. C. D.8.掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为参考数据：A. 米B. 米C. 米D. 米9.“爱护地球节约用水”是我们每个公民的义务与责任．某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准．为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调查，获得了n个家庭某年的用水量单位：立方米，统计结果如表所示．分组频数频率25505则估计全市家庭年用水量的中位数是A. 立方米B. 立方米C. 立方米D. 立方米10.点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与该双曲线交于两点P，Q，则A. B. 4 C. D. 211.已知在四面体中，，，，平面PBC，则四面体的外接球的表面积是A. B. C. D.12.已知函数的图象在点处的切线斜率是4，则的最大值是A. B. C. D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线被圆E：截得的弦长是______．14.设函数若，则______．15.已知圆锥的顶点为A，过母线AB、AC的截面面积是若AB、AC的夹角是，且AC与圆锥底面所成的角是，则该圆锥的表面积为______．16.在中，O为其外心，，且，则边AC的长是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.2015年7月31日，国际体育奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会简称冬奥会在北京和张家口两个城市举办．某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了25名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图．成绩在平均分以上含平均分的学生所在组别定义为甲组，成绩在平均分以下不含平均分的学生所在组别定义为乙组．Ⅰ在这25名学生中，甲组学生中有男生6人，乙组学生中有女生11人，试问有没有的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？Ⅱ如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附表及公式：，其中k18.设数列是一个公差为的等差数列，其前n项和为，，且三项、、成等比数列．Ⅰ求公差d的值；Ⅱ设数列的前n项和为，求使不等式成立的最小正整数n．19.正三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起其中P在边AB上，Q在AC边上，使平面平面，E分别是PQ，BC的中点．Ⅰ证明：平面ADE；Ⅱ若折叠后，A，B两点间的距离为d，求d最小时，四棱锥的体积．20.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点的椭圆C经过点，其右焦点与抛物线的焦点重合．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ设点为长轴上的一个动点，过点M作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21.已知函数的极小值为1，其中，e为自然对数的底数．Ⅰ求a的值；Ⅱ若函数无零点，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数．Ⅰ求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；Ⅱ若直线l与曲线C交于A，B两点，，且，求的值．23.已知，，且．Ⅰ若对于任意的正数a，b，不等式恒成立，求实数x的取值范围；Ⅱ证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由题设解得，且，，故选AB为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解．本题考查集合的基本运算，属容易题．2.答案：D解析：解：，．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：，但不能推出，因为m，n可以为负数．由可以得到．故“”是“”的必要不充分条件．故选：B．利用，但不能推出，即可判断出关系．本题考查了指数函数与对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：函数在上是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除选项A，D；当时，，所以，排除选项C．故选：B．根据函数在上是奇函数，排除选项A，D；再根据时，排除选项C．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5.答案：D解析：解：由得，，；由得，，；由得，，．故选：D．根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环．本题考查算法框图与数学文化，程序框图，属于基础题．6.答案：C解析：解：，．于是．故选：C．直接根据递推关系式得到数列是个等比数列，求出其通项即可求得结论．本题主要考查了递推公式的应用以及等比数列的通项公式，属于基础题．7.答案：A解析：解：，，，故选：A．由题意利用三角恒等变换，化简所要求的式子，可得结果．本题主要考查三角函数的化简与计算，属于基础题．8.答案：B解析：解：根据题意作出下图，弧AD的长为，，所以．故选：B．由已知结合弧长公式可求弧AD，进而可求．本题主要考查圆与数学文化，属于基础试题．9.答案：D解析：解：用水量在内的频数是50，频率是，用水量在内的频数是25，则，用水量在内的频率是，用水量在内的频率是，设中位数为x立方米．则，解得．故选：D．求出，从而用水量在内的频率是，用水量在内的频率是，由此能求出中位数．本题主要考查频率分布表、频率分布直方图、中位数的求法．考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：双曲线的右焦点是，直线经过点，P，Q两点在右支上，于是．故选：B．求出双曲线的右焦点是，直线经过点，P，Q两点在右支上．转化求解即可．本题主要考查直线与双曲线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．11.答案：C解析：解：，，又平面PBC，，．四面体的外接球半径为．于是四面体的外接球的表面积是．故选：C．根据题意可知四面体由两两垂直的三条边，可嵌入到长方体中，求其外接球．本题考查四面体的外接球，注意是否是特殊的四面体，有没有通用的方法，属于中档题．12.答案：C解析：解：因为，所以，．因此．于是．当，即时，；当，即时，．所以当时，取得最大值．故选：C．先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求m，结合导数与单调性的关系即可求解．本题主要考查三角函数的最值与导数几何意义的应用，属于基础试题．13.答案：解析：解：根据题意，圆的标准方程为，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，则直线被圆E：截得的弦长为；故答案为：．根据题意，将圆的一般方程变形为圆的标准方程，分析可得圆心的坐标以及半径，由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，结合勾股定理分析可得的弦长为，计算即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长公式的应用，注意利用点到直线的距离公式计算．14.答案：解析：解：．，，则故答案为：由已知可得，代入即可求解．本题主要考查了利用奇偶性求解函数值，属于基础试题．15.答案：解析：解：如图所示，、AC的夹角是，，是等边三角形，，解得．与圆锥底面所成的角是，．则该圆锥的表面积．故答案为：．如图所示，根据等边三角形的面积计算公式可得由AC与圆锥底面所成的角是，可得底面半径即可得出该圆锥的表面积．本题考查了等边三角形的面积计算公式、线面角、圆锥的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：，，，，在中，O为其外心，．又，代入式，可得，．故答案为：．本题根据O为的外心，代入已知式子中，消去，求得，通过平面向量的线性运算和模长公式求得边AC的长．本题考查了平面向量与三角形外心的综合应用，涉及向量线性运算、数量积和模长公式，属综合考查类题目．17.答案：解：Ⅰ由茎叶图数据计算得，平均分为80，所以甲组10人，乙组15人．作出列联表如下：甲组乙组合计男生6410女生41115合计101525将列联表数据代入公式计算得，．所以有的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关．Ⅱ由分层抽样知，甲组应抽2人记为A、，乙组应抽3人记为a，b，．从这5人中抽取2人的情况分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共有10种．其中至少有一人在甲组的种数是7种，分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc．故至少有1人在甲组的概率是．解析：Ⅰ由茎叶图数据计算得，平均分为80，得到甲组，乙组人数．作出列联表，求出，即可判断是否与性别有关．Ⅱ由分层抽样知，甲组应抽2人记为A、，乙组应抽3人记为a，b，从这5人中抽取2人共有10种．至少有一人在甲组的种数是7种，然后求解至少有1人在甲组的概率．本题考查了独立性检验的应用问题，古典概型概率的求法，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．18.答案：解：Ⅰ、、成等比数列，，而是等差数列，，．于是，即，解得．由知，，解得．Ⅱ由Ⅰ知，得，．．由，解得．故使不等式成立的最小正整数n为2020．解析：Ⅰ由、、成等比数列，得，结合是等差数列，得关于首项与公差的关系式，再由列式求得．Ⅱ由Ⅰ知，得，可得，利用裂项相消法求得，再求解不等式可得使不等式成立的最小正整数n．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．19.答案：证明：连接AD，DE，AE，在中，，D是PQ的中点，所以．又因为DE是等腰梯形BPQC的对称轴，所以．而，所以平面ADE．解：因为平面平面BPQC，，所以平面PBCQ，连结BD，则．设，为BC的中点，于是．，当时，．此时四棱锥的体积为．解析：连接AD，DE，AE，可证，，从而可证平面ADE．设，为BC的中点，则计算可得，从而可得d何时最小并能求得此时四棱锥的体积．线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线．立体几何中的最值问题应选择合适的变量，再根据条件得到目标函数，最后根据函数的性质得到最值．20.答案：解：Ⅰ由题意知椭圆C的两个焦点．设椭圆由解得，．故椭圆C的标准方程是．Ⅱ由题意可设直线l的方程为．联立消去y得，．因为，所以．因为点为椭圆C长轴上的一个动点，所以．此时设，，则．于是．故为定值13．解析：Ⅰ由题意知椭圆C的两个焦点设椭圆利用已知条件求出a，b，即可得到椭圆C的标准方程．Ⅱ由题意可设直线l的方程为联立椭圆方程，消去y得，设，，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：Ⅰ已知函数，所以当时，恒成立，则在R上单调递增，所以函数无极值，不符合题意．当时，令，得，．当，；当，．所以在内单调递减，在内单调递增．因此在处取得极小值，且极小值为，解得．故a的值为1．Ⅱ当时，，则．函数无零点，等价于方程在R上没有实数解，即关于x的方程：在R上没有实数解．当时，方程为，易知方程没有实数解．当时，方程化为．令，则由得，是的极小值，也是最小值，，．所以当时，方程无实数解，解得．综上可知，实数k的取值范围是．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数取得极小值的条件，结合已知可求；函数无零点，等价于方程在R上没有实数解，即关于x的方程：在R上没有实数解，然后结合k的范围及函数的性质可求．本题主要考查了函数继续存在条件的应用及利用导数求解函数的零点，考查了运算求解能力，属于中档试题．22.答案：解；Ⅰ由直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为，将，代入，得曲线C的普通方程为．Ⅱ设A，B对应的参数为，将代入，得，所以，．由于直线l过，且，所以，．于是，故．解析：Ⅰ相切参数方程中的t，即可得到直线l的普通方程和，利用，代入，即可化简曲线C的极坐标方程为直角坐标方程；Ⅱ利用直线参数方程的几何意义，结合韦达定理，化简求解的值．本题考查极坐标方程，参数方程的的应用，直线参数方程的几何意义，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.答案：解：Ⅰ因为，所以即，当且仅当时取等号，因此的最小值是4．于是，所以．故实数x的取值范围是．Ⅱ证明：，当且仅当时取等号．故．解析：Ⅰ利用基本不等式转化求解的最小值，然后转化求解不等式，即可实数x的取值范围；Ⅱ：展开，通过构造法，结合基本不等式求解不等式的最小值，即可证明不等式．本题考查考生对绝对值不等式的理解和转化以及对绝对值函数的运算求解能力，考查绝对值不等式的性质，考查利用平均不等式证明相关不等式的方法．。

2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>−2},B={x|(x+5)(x−2)≤0}，则A∩B=()A. (−2,+∞)B. [−2,2]C. (−2,2]D. [−5,+∞)2.已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=()A. −2iB. 2iC. −2D. 23.已知log43=p，log325=q，则lg5(用p，q表示)等于()A. pqp+q B. p+qpqC. 1+pqp+qD. pq1+pq4.已知函数f(x)=14x2−4x，则f(x)的大致图象是()A. B.C. D.5.已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n−1，则a12+a22+⋯+a n2等于()A. (2n−1)2B. 13(2n−1) C. 4n−1 D. 13(4n−1)6.在国家各类与消费有关的统计数据中社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据．社会消费品零售总额是国民经济各行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品总额，是反映各行业通过多种商品流通渠道向城乡居民和社会集团供应的生活消费品总量是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标．图示为我国2010—2019年社会消费品零售总额和同比增长率的统计图．根据统计图分析，下列说法错误的是A. 从2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升B. 从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元C. 从2010年到2013年社会消费品零售总额同比增长率波动性较大D. 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率连年下降7.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=90∘，DA=DC=√6，现沿对角线AC折起，使得平面DAC⊥平面ABC，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的体积是()A. 92π B. 8√23π C. 272π D. 12π8.已知函数f(x)=sin2(ωx)−12(ω>0)的最小正周期为π2，若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为()A. π4B. 3π4C. π2D. π89.执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n<2019，则输出A的值为()．A. 12B. 2C. −1D. −210. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 23−x 2=1相交于M ，N 两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p =( )A. 2√3B. √3C. 3√3D. 611. 设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//βC. 若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD. 若α⊥β，m ⊥β，m ⊈α，则m//α12. 设函数f(x)=x +lnx ，则函数f (x )( )A. 在区间(0,1e )，(1e ,+∞)内均有零点 B. 在区间(0,1e )，(1e ,+∞)内均无零点C. 在区间(0,1e )内有零点，在区间(1e ,+∞)内无零点 D. 在区间(0,1e )内无零点，在区间(1e ,+∞)内有零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 已知等差数列{a n }中，若−2<a 2<2，1<a 5<8，则S 7的取值范围是______ ． 15. 如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一半为半径在正方形内作圆弧得到的．现等可能地在该正方形内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为__________．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）).17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA=acos(B−π6(1)求角B的大小；(2)若b=3，△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长．18.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=AE=2，CF=3．(1)求证：EF⊥平面BDE；(2)求锐二面角E−BD−F的大小．19.为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市计划对居民用电实行阶梯收费.阶梯电价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用电量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯电量第二阶梯电量第三阶梯电量月用电量范围(单位：kW⋅ℎ)(0,200](200,400]从本市随机抽取了100户，统计了今年6月份的用电量，这100户中用电量为第一阶梯的有20户，第二阶梯的有60户，第三阶梯的有20户．(1)现从这100户中任意选取2户，求至少1户用电量为第二阶梯的概率；(2)以这100户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取3户，X表示用电量为第二阶梯的户数，求X的概率分布列和数学期望．20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√3，且过点P(1,√32)．(1)求E的标准方程；(2)过E的右焦点F作直线l交E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M(0,m)，求m的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2−1−lnx，其中a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥x对x∈(1,+∞)成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=1+2cosφ,y=√3+2sinφ(φ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)直线l：y=kx(k>0)分别交曲线C1，C2于M，N(M,N都非原点)两点，且|MN|=2，求k的值．23.已知a2+b2=1．(1)求证：|a−b|≤|1−ab|；(2)若a⋅b>0，求(a+b)⋅(a3+b3)的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解：∵集合A ={x|x >−2}，B ={x|(x +5)(x −2)≤0}={x|−5≤x ≤2}， ∴A ∩B ={x|−2<x ≤2}=(−2,2]．故选：C ．2.答案：A解析：本题考查复数的四则运算，属于基础题．根据已知，求出z ，进而可得答案．解：∵复数z 满足zi =1+i ， ∴z =1+i i=−i (1+i )−i 2=1−i ，∴z 2=(1−i )2=−2i ，故选A ．3.答案：D解析：本题考查对数函数运算性质的应用，属于中档题．解：log 43=lg32lg2，log 325=2lg5lg3，∴pq =lg5lg2=lg51−lg5， ∴lg5=pq1+pq ．故选D ．4.答案：B解析：本题考查函数的图象，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用函数值的分布情况即可求解．解：易知当0<x <1时，f(x)<0；x <0或x >1时，f(x)>0，可排除A 、C ，又可由f(13)<f(12)，排除D ，故选B ．5.答案：D解析：本题主要考查数列的求和问题，以及由前n 项和求数列通项和等比数列的前n 项和公式，属于中档题．解：∵等比数列{a n }的前n 项和S n =2n −1， ∴a 1=S 1=1，a 2=S 2−S 1=2，q =2，所以等比数列的首项为1，公比q 为2，则a n =2n−1，则a n 2=4n−1，是首项为1，公比为4的等比数列，所以，则a 12+a 22+⋯a n 2=1−4n 1−4=13(4n −1)．故选D ．6.答案：D解析：本题考查图表分析能力，准确读囹识图是关键，是基础题，利用图表逐项分析即可求解解：对A ：2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升，故A 正确；对B ：由图观察知，从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元，故B 正确；对C ：由图观察知，从2010年到2013年社会消费品零售总额变化较大，及同比增长率波动性较大，故C 正确；对D ：由图观察知，从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率上升，从2011年到2019年该地区社会消费品零售额增长速度递增，故D错误；故选D．7.答案：A解析：本题主要考查几何体外接球体积的求解，关键是利用两平面的形状寻找外球球的球心位置，属于中档题．取AC的中点E，连接DE，BE，根据面面垂直的性质得到DE⊥平面ABC，可得外接球的球心O在直线DE上，利用勾股定理求出外接球半径，从而可得出球的体积．解：在图2中，取AC的中点E，连接DE，BE，∵AD=CD，∴DE⊥AC，∵平面ACD∩平面ABC=AC，平面ACD⊥平面ABC，DE⊂平面ACD，∴DE⊥平面ABC，∵∠ABC=90°，∴棱锥外接球的球心O在直线DE上，∵AD=CD=√6，AB=BC=2，∠ABC=90°，∴BE=AE=CE=12AC=√2，DE=√AD2−AE2=2，设OE=x，则OD=2−x，OB=√x2+2，∴2−x=√x2+2，解得x=12，∴外接球的半径r=2−x=32，∴外接球的体积V=4πr33=4π3×(32)3=9π2．故选A．8.答案：D解析：解：∵f(x)=sin2(ωx)−12=1−cos2ωx2−12=−12cos2ωx，∴2π2ω=π2，解得：ω=2，∴f(x)=−12cos4x，∵将函数f(x)图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，得到的新函数为g(x)=−12cos(4x−4a)，∴cos4a=0，∴4a=kπ+π2，k∈Z，当k=0时，a的最小值为π8．故选：D．由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．9.答案：B解析：本题主要考查算法初步中逻辑结构的程序框图，属于基础题．解：执行如图所示的程序框图，第一次，A=−1，n=2;第二次，A=2，n=3;第三次，A=12，n=4;第四次，A=−1，n=5;…;第二零一八次，A=2，n=2019，此时输出A的值为2，故选：B．10.答案：A解析：本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N.利用三角形是直角三角形，转化求解即可．解：由题设知抛物线y2=2px的准线为x=−p2，代入双曲线方程y23−x2=1解得y=±√3+3p24，由双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形，∴∠FMN=π4，∴tan∠FMN=√3+4=1，∴p2=3+3p24，即p=2√3，故选：A．11.答案：D解析：解：当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，D选项中由α⊥β，m⊥β，m⊈α，可得m//α，故是正确命题故选D由题意设有直线m、n和平面α、β，在此背景下对四个选项逐一判断找出正确选项，A选项可由线线平行的条件作出判断，B选项可由面面平行的条件作出判断，C选项可由线面垂直的条件作出判断，D选项可由线面平行的条件作出判断．本题考点是命题真假的判断与应用，考查了线线平行的判定，面面平行的判定，线面垂直的判定，线面平行的判定，解题的关键是有着较强的空间想像能力，能根据题设条件想像出实物图形，本题考查了空间想像能力，推理判断的能力，命题真假的判断与应用题是近几年高考的热点，主要得益于其考查的知识点多，知识容量大，符合高考试卷命题精、博的要求12.答案：D解析：本题主要考查函数零点的判断，求函数的导数，判断函数的单调性，以及利用函数零点的判断条件是解决本题的关键．求函数的导数，判断函数的单调性，然后利用函数零点的判断条件即可得到结论．解：函数的导数为f′(x)=1+1x =x+1x，因为x >0，所以f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(1e )=1e +ln 1e =1e −1<0，f(e)=e +lne =e +1>0，所以f(x)在(0,1e )内无零点，在(1e ,+∞)内有零点．故选D ．13.答案：28解析：解：∵a⃗ =(3,−4) ∴|a ⃗ |=√32+(−4)2=5 a ⃗ ⋅b ⃗ =3×2−4×3=−6 ∴2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ =28 故答案为28．利用向量模的坐标公式求出|a⃗ |，利用向量的数量积公式求出向量的数量积，代入求出值．本题考查向量模的坐标形式的公式、向量的数量积公式．14.答案：(214,42)解析：解：∵等差数列{a n }中，−2<a 2<2，1<a 5<8，∴{−2<a 1+d <21<a 1+4d <8， S 7=72(a 1+a 7)=7(a 1+3d)=7a 1+21d ，作出可行域四边形ABCD ，得(S 7)A =7×0+21×14=214，(S 7)B =7×1+21×0=7， (S 7)C =7×2+21×0=14， (S 7)D =7×0+21×2=42． ∴S 7的取值范围是(214,42)．故答案为：(214,42)．利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项与公差满足的不等关系，利用不等式的性质及等差数列的前n 项和公式及线性规划能求出前7项的和的范围．利用不等式的性质解决问题时，一定要注意不等式的两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，是中档题．15.答案：解析：本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，是基础题．设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由该点落在图中阴影部分的概率为是面积比得答案．解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4．图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和，其面积为，所以该点落在图中阴影部分的概率为．故答案为．16.答案：2解析：本题考查双曲线的简单性质，是中档题．由题意画出图形，结合已知可得F 1B ⊥OA ，从而可得，进而求出离心率．解：如图，∵F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴F 1B ⊥F 2B,F 1A =AB ，∴OA⊥F1B，则△AOF1≌△AOB，则，所以一条渐近线的斜率为，所以e=ca =√1+b2a2=2，故答案为：2．17.答案：解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA =bsinB，可得bsinA=asinB，又由bsinA=acos(B−π6)，得asinB=acos(B−π6)，即sinB=cos(B−π6)，可得：tanB=√3．又因为B∈(0,π)，可得B=π3．(2)因为△ABC的面积为2√3，所以12acsinπ3=2√3，所以ac=8，又因为9=a2+c2−2accosπ3=(a+c)2−3ac，所以a+c=√33，所以△ABC的周长为3+√33．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanB =√3，结合范围B ∈(0,π)，可求B =π3；(2)利用三角形的面积公式可求ac =8，利用余弦定理即可解得a +c 的值，可求三角形的周长．18.答案：(1)证明：连接AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，以O 为原点，OA ，OB 为x.y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系，则B(0,√3,0)，D(0,−√3,0)，E(1,0，2)，F(−1,0，3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴EF ⊥DE ，EF ⊥BE ，又DE ∩BE =E ， ∴EF ⊥平面BDE ；(2)解：由知(1)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)是平面BDE 的一个法向量，设m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)是平面BDF 的一个法向量， DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,3)，由m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，m ⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得：{−x +√3y +3z =0−x −√3y +3z =0，取x =3，得z =1，y =0，于是m ⃗⃗⃗ =(3,0,1)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ,EF⃗⃗⃗⃗⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||EF⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−5√10×√5=−√22，由于二面角E −BD −F 为锐二面角，故其大小为45°．解析：(1)证明连接AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，以O 为原点，OA ，OB 为x.y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的数量积，即可证得EF ⊥平面BDE ；(2)由知(1)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)是平面BDE 的一个法向量，求出平面BDF 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(3,0,1)，再利用向量的夹角公式，即可得到二面角E −BD −F 的大小．本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量．19.答案：解：(1)从这100户中任意选取2户，基本事件总数n =C 1002=4950，至少1户用电量为第二阶梯的概率： p =1−C 402C 1002=139165．(2)从全市任取1户，抽到用电量为第二阶梯的概率P =610=35，所以X ～B(3,35)，P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ,k =0,1,2,3， X 的分布列为E(X)=3×35=95．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查排列组合、古典概型，属于中档题．(1)基本事件总数n =C 1002=4950，利用对立事件概率计算公式能求出至少1户用电量为第二阶梯的概率．(2)X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和数学期望E(X)．20.答案：解：(1)依题意得：2c =2√3， c =√3，即焦点坐标F 1(−√3,0),F 2(√3,0)，那么2a =(√2)+(√2)=4，即a =2，则b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)当直线l 斜率不存在时，得m =0．当直线l 斜率存在时，设直线方程为y =k(x −√3)．因为直线l 交椭圆于A 、B 两点，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程：{x 24+y 2=1y =k(x −√3)消去y 得：(4k 2+1)x 2−8√3k 2x +12k 2−4=0．所以x 1+x 2=8√3k 24k 2+1,y 1+y 2=k(x 1−√3)+k(x 2−√3)=−2√3k4k 2+1，所以AB中点坐标为(4√3k24k2+1,−√3k4k2+1)．设AB垂直平分线方程为y+√3k4k2+1=−1k(x−4√3k24k2+1)，即y=−1kx+3√3k4k2+1．令x=0，得m=3√3k4k2+1，当k>0时，1m =23√3k=3√33√3k⩾3√3，即0<m⩽3√34，当k<0时，1m =23√3k=3√33√3k)≤3√3，即−3√34⩽m<0．综上，m取值范围为[−3√34,3√34]．解析：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，考查基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．(1)由题意可知：焦点坐标F1(−√3,0),F2(√3,0)，根据椭圆的定义，即可求得a的值，即可求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标求得AB中点坐标，求得方程，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得实数m的取值范围．21.答案：解：(1)函数f(x)=ax2−1−lnx的导数为f′(x)=2ax−1x =2ax2−1x，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)为减函数；当a>0时，f′(x)=0可得x=√12a，当0<x<√12a 时，f′(x)<0；当x>√12a时，f′(x)>0．可得f(x)在(0,√12a )为减函数，在(√12a,+∞)为增函数，综上可得，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)为减函数；当a>0时，f(x)在(0,√12a )为减函数，在(√12a,+∞)为增函数；(2)f(x)≥x对x∈(1,+∞)成立，可得ax2≥1+x+lnx，当x>1时，a≥1x2+1x+lnxx2，令g(x)=1x2+1x+lnxx2，g′(x)=−2x3−1x2+1−2lnxx3=−1−x−2lnxx3，当x≥1时，−1−x−2lnx<0，即g′(x)<0，g(x)在[1,+∞)递减，可得a≥g(1)=2，则a的取值范围是[2,+∞)．解析：(1)求出f(x)的导数，讨论当a≤0时，当a>0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；(2)由题意可得ax2≥1+x+lnx，当x>1时，a≥1x2+1x+lnxx2，令g(x)=1x2+1x+lnxx2，求出导数，判断单调性，可得g(x)的最大值，可得a的范围．本题考查导数的运用：求单调性，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．22.答案：解：，消φ，得曲线C1的普通方程为(x−1)2+(y−√3)2=4．将x2+y2=ρ2，x=ρcosθ代入，得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4x．(2)由(1)知曲线C1极坐标方程为，即．设直线l的极坐标方程为θ=α(α∈(0,π))．由，得．由，得ρN=4cosα．故，故由，得α=π3，由，得无解，故．解析：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地把参数方程与极坐标方程和普通方程互相转化，寻找解题的适当方法，培养了学生的综合能力．(1)消去参数φ，把曲线C1的参数方程化为直角坐标方程，利用极坐标公式，把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设出直线l 的极坐标方程为θ=α(α∈(0,π))，求出ρM ,ρN ，进而可求解．23.答案：解：(1)证明：要证原不等式，即证： (a −b )2≤(1−ab )2，只需证：(a 2−1)(1−b 2)≤0， ∵a 2+b 2=1，∴a 2≤1,b 2≤1∴(a 2−1)(1−b 2)≤0，故原不等式成立;(2)根据题意，(a +b)(a 3+b 3)=a 4+ab 3+a 3b +b 4≥a 4+2√ab 3×a 3b +b 4=(a 2+b 2)2=1，当且仅当a =b =√22或−√22时，等号成立，则(a +b)(a 3+b 3)的最小值为1．解析：本题考查不等式的证明方法，涉及利用基本不等式求最值问题，属于中档题．(1)根据题意，变形可得(a −b)2≤(1−ab)2，进而可得可得：(a 2−1)(1−b 2)≤0，结合a 、b 的范围分析可得证明；(2)根据题意，分析可得(a +b)(a 3+b 3)=a 4+ab 3+a 3b +b 4≥a 4+2√ab 3×a 3b +b 4，进而利用基本不等式分析从而可求得最值．。

2020年安庆市高三模拟考试(二模)数学(文)试题参考答案

2020年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（文）参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的1.解析：本题主要考查集合的运算.因为=N {x |2x =x }{}1,0=，所以(){}2,1-=⋂N C M U .故选A.2.解析：本题主要考查复数的计算与共轭复数的意义.()()()i z i i i i i i i i z 5251,52515122222--=∴+-=-=+-+=-=Θ. 故选D. 3.解析：本题主要考查简易逻辑.,22n m nm>⇔>但n m >不能推出n m 5151log log <,因为n m ,可以为负数.由n m l 5151log og <可以得到n m >.故“n m 22>”是“n m 5151log log <”的必要不充分条件. 故选B.4.解析：本题主要考查三角函数的图象.显然， )(x f 是奇函数，排除A,D;当π≤≤x 0时，,0sin ≥x 所以sin cos y x x =-,0≤排除C. 故选B.5.解析: 本题主要考查算法框图与数学文化.由5.1=S 得，,45.1SS -=2=S ; 由2=S 得，,32S S -=3=S ; 由3=S 得，,23SS -=6=S .故选D.6.解析：本题主要考查等比数列及其性质..222)1(211211111n n n n n n n n n b b b b a a a a =⋅=⇒=⇒-=-⇒-=-+++于是==⋅2201820172019b b b 20184. 故选C.7.解析：本题主要考查三角函数的化简与计算.原式=()().22sin cos 2cos sin 22sin cos 22-=+-=--αααααα 故选A 8.解析：本题主要考查圆与数学文化.根据题意作出下图，弧AD 的长为,165π ,425.1165ππ==∠AOC所以.768.14sin25.122≈⋅⨯==πAC AB 故选B.9. 解析：本题主要考查频率分布表、频率分布直方图和方图中中位数的求法.用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=，则502000.25n ==. 用水量在[)0,10内的频率是250.125200=，用水量在[]50,60内的频率是50.025200=.设中位数为x 立方米. 因为前3组的频率之和为,5.0565.025.019.0125.0>=++而前2组的频率之和为,5.0315.019.0125.0<=+ 所以.3020<<x 由315.05.0)20(025.0-=-x 解得，40.27=x . 故选D.10.解析：本题主要考查直线与双曲线的位置关系.双曲线1822=-y x 的右焦点是）（0,32F ，直线034=--y x 经过点）（0,32F ,Q P ,两点在右支上.于是.422212111=+=-+-=-+a a Q F Q F P F P F PQ Q F P F 故选B. 11. 解析：本题主要考查四面体的外接球.PCPA PB PA PBC PA PC PB BC PC PB ⊥⊥∴⊥⊥∴==+=+,,,,241212222平面又Θ ∴四面体ABC P -的外接球半径为.101612122121222=++=++PC PB PA 于是四面体ABC P -的外接球的表面积是.40)10(42ππ=故选C.12. 解析：本题主要考查三角函数的最值与导数.因为x x m x f 2cos 2cos )(+='，所以.2,42)0(==+='m m f 因此x x x f 2sin sin 2)(+=.于是)1cos 2)(1(cos 2)1cos 2(2cos 22cos 2cos 2)(2-+=-+=+='x x x x x x x f .当21cos >x ，即3232ππππ+<<-k x k 时，0)(>'x f ；当21cos <x ，即 35232ππππ+<<+k x k 时，0)(<'x f .所以当Z k k x ∈+=,32ππ时，)(x f 取得最大值.233)32(2sin )32sin(2)32(=+++=+ππππππk k k f 故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13. 52 14. 3- 15. π)634(+ 16. 13- 13.解析：本题主要考查直线与圆的位置关系.016222=+-++y x y x 就是.9)3-(122=++y x ）（圆心）（3,1-E 到直线0334=+-y x 的距离是253334=+⨯--. 截得的弦长是.52492=- 14.解析：本题主要考查函数的性质.因为2)()(=+-x f x f ，所以3)2(-=-f15.解析：本题主要考查圆锥的截面和表面积.设圆锥的母线长是l ，则.22,3260sin 212==⋅l l ο 圆锥底面半径是630cos 22=⨯ο.于是该圆锥的表面积为.)634()6(2262212πππ+=⋅+⋅⋅⋅ 16.解析：本题主要是考查平面向量与解三角形.设ABC ∆外接圆的半径是.ROCOC OA OB ++=⋅⇒-=⇒=+⋅+⋅377322223cos cos 32372222=∠⇒∠++=⇒AOC AOC R R R R . 23cos 32=⇒=∠⇒=⋅R AOC R OC OA .于是=2AC ,324cos 2222-=∠-+AOC R R R .13-=AC三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）由茎叶图数据计算得，平均分为80，所以甲组10人，乙组15人. …2分作出22⨯列联表如下：………………………………5分将列联表数据代入公式计算得, ().706.2778.215101510441162522>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 所以有90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关.……………………8分（Ⅱ）由分层抽样知, 甲组应抽2人（记为A 、B ），乙组应抽3人（记为c b a ,,）.…………………9分从这5人中抽取2人的情况分别是，bc ac ab Bc Bb Ba Ac Ab Aa AB ,,,,,,,,,共有10种. 其中至少有一人在甲组的种数是7种，分别是.,,,,,,Bc Bb Ba Ac Ab Aa AB 故至少有1人在甲组的概率是.107………………………………12分 18．(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）因为124a a a 、、成等比数列，所以 2214a a a =.而{}n a 是等差数列，所以2141,3a a d a a d =+=+.于是2111()(3)a d a a d +=+，即222111123a a d d a a d ++=+，解得1(0)a d d =≠.…………4分由420S =知,1434202a d ⨯+=，解得2d =. …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 12a d ==，易求得21(1)2n n n S na d n n -=+=+，所以1111(1)1n S n n n n ==-++. 1211111111111=12231+11n n n T S S S n n n n =+++=-+-++-=-++L L . …………9分由20192020n T >解得,2019n >.故使不等式成立的最小正整数n 为2020. …………12分19．(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）连接.,,AE DE AD 在APQ ∆中，AQ AP =D 是PQ 的中点，所以.PQ AD ⊥ …………2分又因为DE 是等腰梯形BPQC 的对称轴，所以.PQ DE ⊥而,D DE AD =I 所以⊥PQ 平面ADE . …………4分（Ⅱ）因为平面,APQ BPQC 平面⊥，PQ AD ⊥所以.PBCQ AD 平面⊥ 连结BD ，则.222BD AD d +=设的中点）为BC E x a DE x AD (23,-==，于是2222241)23(a x a BE DE BD +-=+=. 因此+=22x d 222222241)23(a x a x BE DE x BD +-+=++=,85)43(222a a x +-= ……………8分当a x 43=时，.410min a d = 此时四棱锥PBCQ A -的体积为 AD S PBCQ ⨯⨯梯形31.6434343)411(3132a a a =⨯⋅-⨯= …………12分 20. (本小题满分12分)解析：（Ⅰ）由题意知椭圆C 的两个焦点()().0,5,0,521F F -设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C .由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+5114272222b a b a 解得，.4922⎪⎩⎪⎨⎧==b a .14922=+y x C 的标准方程是故椭圆 ………………4分（Ⅱ）由题意可设直线l 的方程为()m x y -=32. 联立()0922,149322222=-+-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=m mx x y y x m x y 得消去. ……………………6分 ()()()23,23,098222-∈>---=∆m m m 所以因为.因为点()0,m M 为椭圆C 长轴上的一个动点，所以().3,3-∈m此时.0>∆()().29,,,,,221212211-==+m x x m x x y x B y x A 则设 ……………………8分()()()()()()()[]().13926926291392692691391391322121221221222122212222212122=++--+=++-+=-+-=+-++-=+m x x m x x x x m x x m x x m x m x y m x y m x MB MA 于是故22MB MA +为定值13. …………………………12分 21. (本小题满分12分)解析：（Ⅰ）已知函数()x a f x x e=+，所以()1x a f x e '=-.xx e ae -=. (1) 当a ≤0时，()0f x '>恒成立，则()f x 在R 上单调递增，所以函数()f x 无极值,不符合题意. ………2分(2) 当0a >时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =．当()ln x a ∈-∞，，()0f x '<；当()ln x a ∈+∞，，()0f x '>．所以()f x 在()ln a -∞，内单调递减，在()ln a +∞，内单调递增.因此()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为,11ln )(ln =+=a a f 解得.1=a 故a 的值为1. ………5分（Ⅱ）当1a =时，()1x f x x e =+，则()()1xg x f x kx x kx e =-=+-. 函数()y g x =无零点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解，即关于x 的方程：()11x k x e-=在R 上没有实数解． (1)当1k =时，方程为10x e=，易知方程没有实数解. ………7分(2)当1k ≠时，方程化为11x xe k =-.令,)(xxe x h =则.)1()(xe x x h +='由0)(='x h 得,1x =-.)1(-h 是)(x h 的极小值,也是最小值, ,1)1(e h -=-..1)(⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∈e x h ………9分所以当111k e<--时，方程无实数解，解得1k 1<<-e . 综上可知, 实数k 的取值范围是(]1,1e -. ……………12分请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程解析；（Ⅰ）由直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为13+=x y ，……………………2分将x =θρcos ，y =θρsin 代入，0sin 4=-θρ得曲线C 的普通方程为0422=-+y y x ． ……………………5分（Ⅱ）设B A ,对应的参数为21,t t ，将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 23121代入0422=-+y y x ，得0332=--t t ，所以321-=t t ，.321=+t t ………………7分由于直线l 过)1,0(M ，且MB MA >，所以.0,021<>t t于是11t t MA ==，22t t MB -==.故331111212121-=+=+=-t t t t t t MB MA . ………………10分23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲解析: （Ⅰ）因为122=+b a ，所以22222222222))(11(11ba ab b a b a b a ++=++=+≥4即2211ba +≤4，当且仅当22==b a 时取等号，因此2211b a +的最小值是4.…………3分于是12-x ≤44-⇔≤12-x ≤234-⇔≤x ≤.25故实数x 的取值范围是.25,23⎥⎦⎤⎢⎣⎡-……………………………… 5分（Ⅱ）55554411()()b a a b a b a b a b ++=+++5522222()2b a a b a b a b=+++- ≥,1)(22)(2222252225=+=-⋅++b a b a b a a b b a 故))(11(55b a ba ++≥1. …………10分或直接运用二维柯西不等式：))(11(55b a b a++≥255)11(b ba a ⋅+⋅ ,1)(222=+=b a 当且仅当22==b a 时取等号. 故))(11(55b a ba ++≥1.。

2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)

2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={1,3，5，6，8}，A={1,6}，B={5,6，8}，则(∁U A)∩B=()A. {6}B. {5,8}C. {6,8}D. {3,5，6，8}2.在复平面内，复数z=2i−1+2i的共轭复数的虚部为()A. 25B. −25C. 25i D. −25i3.“2x>2”是“lgx>−1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数y=sin x(1+cos2x)在区间[−π,π]上的大致图象为()A. B.C. D.5.执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是()A. S>12B. S>35C. S>710D. S>456.数列{a n}中，a1=1，a n a n+1=2n+1，则a7等于()A. 4B. 4√2C. 8D. 167.已知cosα=35，则cos2α+sin2α的值为()A. 925B. 1825C. 2325D. 34258.已知在扇形AOB中，∠AOB=3rad，弦AB的长为4，则该扇形的周长为()A. 6sin3B. 10sin3C. 6sin32D. 10sin329.某社区有300户居民，为了解该社区居民的用水情况，从中抽取一部分住户某年每月的用水量(单位：t)进行分析，得到这些住户月均用水量的频率分布直方图(如图)，由此可以估计该社区居民月均用水量在(4,6)的住户数为()A. 50B. 80C. 120D. 15010.已知双曲线x22−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M(x0,y0)在双曲线上，且满足MF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤0，则y0取值范围是()A. [−√33,√33] B. [−√36,√36] C. [−2√33,2√33] D. [−3√22,3√22]11.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AP=4，AB=4√2，M是线段BC上一动点，∠PMA的最大值为45°，则三棱锥P−ABC的外接球的体积是A. 20πB. 80πC. 160√5π3D. 80√5π312.函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2，则8a+bab的最小值是()A. 10B. 9C. 8D. 3√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆C：x2+y2+4y−21=0，直线l：2x−y+3=0，则直线被圆截的弦长为______ ．14.已知f(x)=ax5+bx3+x+1，f(5)=5，则f(−5)=_____________．15.已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为__________cm．16.已知平面向量a⃗，b⃗ ，e⃗满足|e⃗|=1，a⃗⋅e⃗=1，b⃗ ⋅e⃗=−1，|a⃗−b⃗ |=4，则a⃗⋅b⃗ 的最小值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证，某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取100人进行调查，其中，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣．男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占56(Ⅰ)试完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？(Ⅱ)已知在被抽取的女生中有6名高一(1)班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18.在等差数列{a n}中，公差d=4,a2+a5=22，记数列{an}的前n项和为S n．(1)求S n；(2)设数列{n(2n+1)S n}的前n项和为T n，求T14．19.已知直角三角形ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，点D，E分别是边AC，AB上的动点(不含A点)，且满足ADAE =√32(图1).将△ADE沿DE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，连结AB、AC(图2)．(I)求证：AD⊥平面BCDE；(II)求四棱锥A−BCDE体积的最大值．20.已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率e=2√5．(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，设点M(m,0)是线段OF 上的一个动点，且(MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求m 的取值范围．21. 已知函数f(x)=e x [13x 3−2x 2+(a +4)x −2a −4]，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)关于x 的不等式f(x)<−43e x 在(−∞,2)上恒成立，求a 的取值范围； (2)讨论函数f(x)极值点的个数．22. 已知在平面直角坐标系内，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθ,y =cosθ−sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ−π4)=8√2． (1)把曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；(2)过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于A ，B 两点，射线上另有一点M 满足|OA|2=|OM|·|OB|，求点M 的轨迹方程(写成直角坐标形式的普通方程)．23.已知函数f(x)=|x+2|−|x−1|．(1)求不等式f(x)≥−2的解集；(2)设a，b，c为正实数，若函数f(x)的最大值为m，且a+b+2c=m，求证ab+ac+bc+c2≤9．4【答案与解析】1.答案：B解析：解：由于U={1,3，5，6，8}，A={1,6}，∴C U A={3,5，8}，∵B={5,6，8}，∴(C U A)∩B={5,8}，故选B．根据补集和交集的意义直接求解即可．本题考查集合的交集及补集运算，较简单．2.答案：A解析：解：∵z=2i−1+2i =2i(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=4−2i5=45−25i，∴z.=45+25i，∴复数z=2i−1+2i 的共轭复数的虚部为25．故选：A．由复数代数形式的除法运算化简复数z，求出其共轭复数，则答案可求．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：解：由“2x>2”得x>1，由“lgx>−1”得x>110，则“2x>2”是“lgx>−1”充分不必要条件，故选：A．求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．4.答案：A解析：本题考查与三角函数有关的函数的图象，根据二倍角公式化简后，由解析式得到奇偶性，再根据范围即可求解．解：y =sinx(2cos 2x)=2sinxcos 2x ，则函数是奇函数，又x ∈[0,π]时，sin ≥0，y ≥0，且x =0，π2，π时函数值为0．故选A ．5.答案：C解析：解：由程序框图知：程序运行的S =910×89×…×kk+1， ∵输出的k =6， ∴S =910×89×78=710∴判断框的条件是S >710．故选：C ．判断程序框图的规律，然后利用已知条件推出结果即可．本题考查程序框图的应用，基本知识的考查．6.答案：C解析：解：数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=2n+1，可得a n−1a n =2n ，所以a n+1=2a n−1，所以a 7=23a 1=8．故选：C ．利用递推关系式，推出数列性质，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．7.答案：A解析：由cosα=35，得cos2α+sin 2α=2cos 2α−1+1−cos 2α=cos 2α=925.8.答案：D解析：本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．由已知条件求出OA ，再求出弧AB 的长，则答案可求．解：如图：∵∠AOB =3，AB =4，OA =OB ，∴sin 32=2OA ，即OA =2sin 32，∴弧AB 的长为3OA =6sin 32，∴该扇形的周长为2sin 32+2sin 32+6sin 32=10sin 32．故选D ．9.答案：C解析：本题考查频率分布直方图，求频数，属于基础题．解：由用水量的频率分布直方图得：居民月均用水量在(4,6)的频率0.2×2=0.4，所以居民月均用水量在(4,6)的住户数0.4×300=120．故选C ．10.答案：A解析：解：双曲线x 22−y 2=1的左、右焦点分别为F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，M(x 0,y 0)在双曲线上，且满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤0，可得x 02=2+2y 02，(−√3−x 0,−y 0)⋅(√3−x 0,−y 0)≤0，即有x02−3+y02≤0，即为2+2y02−3+y02≤0，即3y02≤1，解得−√33≤y0≤√33，故选：A．求得双曲线的焦点坐标，由M在双曲线上，代入双曲线方程，结合向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示，解不等式可得所求范围．本题考查双曲线的方程和性质，考查向量的数量积的坐标表示，以及不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．11.答案：C解析：本题考查了线面垂直的性质，球的体积公式，考查空间想象能力，属于中档题．将三棱锥P−ABC放入一个长方体内，通过∠PMA的最大值为45°求解出AC的长度，利用长方体的性质即可求解三棱锥P−ABC的外接球的半径，从而可得答案．解：在三棱锥P−ABC中，∵PA⊥平面ABC，AB⊥AC，∴可将三棱锥P−ABC放入一个长方体内，如图所示：∵M是线段BC上一动点，AM⊂平面ABC，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥AM，tan∠PMA=PAAM，∴当AM⊥BC时，∠PMA取得最大值45°，此时AM=AP=4，cos∠MAB=AMAB =√22，∠MAB=45°，∠MAC=45°，AC=4√2．长方体的体对角线长为√42+(4√2)2+(4√2)2=4√5，∴三棱锥P−ABC的外接球半径为R=4√52=2√5，外接球体积为．故选C．解析：本题主要考查导数的概念及其几何意义和导数在研究函数中的应用，属于中档题．根据导数的概念及几何意义进行求解．对函数求导，得f ′(x )=2ax +b ，函数在点(1,f(1))处斜率为2，即f ′(1)=2a +b =2，b =2−2a ，b =2−2a >0，a <1．令g (a )=8a+b ab=8a+2−2a a (2−2a )=3a+1a−a 2(0<a <1)，则g ′(a )=3(a−a 2)−(3a+1)(1−2a )(a−a 2)2=3a 2+2a−1(a−a 2)2，令g ′(a )=0，则a =−1(舍去)或a =13，令g ′(a )>0，则13<a <1；令g ′(a )<0，则0<a <13，则g (a )在(0,13)上单调递减，(13,1)上单调递增，即当a =13时，g (a )有最小值g (13)=213−19=9．故选B ．13.答案：4√5解析：本题考查了直线与圆的相交弦长问题及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．把圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标与圆的半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理计算直线l ：2x −y +3=0被圆C 所截得的弦长．解：圆的标准方程为：x 2+(y +2)2=25， ∴圆的圆心为(0,−2)，半径为R =5； ∴圆心到直线的距离d =√5=√5，∴直线l ：2x −y +3=0被圆C 所截得的弦长为2√25−5=4√5．故答案为：4√5．解析：本题考查了利用函数奇偶性求函数值问题，由题意得到g(x)=f(x)−1=ax5+bx3+x为奇函数，结合条件，得到结果．解：由题：令g(x)=f(x)−1=ax5+bx3+x，因为g(x)+g(−x)=0，所以g(x)为奇函数，得f(x)−1+f(−x)−1=0，所以f(x)+f(−x)=2，所以f(−5)=2−f(5)=2−5=−3．故答案为−3．15.答案：2解析：解：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl=2πr，解得l=2r；又圆锥的表面积为12π，所以πr2+πrl=3πr2=12π，解得r=2；所以圆锥的底面圆半径为2cm．故答案为：2．设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，利用侧面展开图求得母线长与底面半径之间的关系，代入表面积公式求出r．本题考查了圆锥的表面积公式与侧面展开图计算问题，利用侧面展开图是半圆求得母线长与底面半径之间的关系是解题的关键．16.答案：−4解析：本题考查了平面向量的坐标运算和数量积，属于中档题．设出三个向量的坐标，根据数量积关系得出a⃗,b⃗ 的横坐标，根据|a⃗−b⃗ |=4得出a⃗,b⃗ 的纵坐标的关系，代入数量积公式，利用二次函数性质得出最小值．解：设e⃗=(1,0)，a⃗=(x1,y1)，b⃗ =(x2,y2)，∴a ⃗ ⋅e ⃗ =x 1=1，b ⃗ ⋅e ⃗ =x 2=−1，即a ⃗ =(1,y 1)，b ⃗ =(−1,y 2)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(−2,y 1−y 2). ∵|a ⃗ −b ⃗ |=4， ∴(y 1−y 2)2+4=16， ∴y 1=y 2±2√3.∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−1+y 1y 2 =−1+y 2(y 2±2√3)=y 22±2√3y 2−1=(y 2±√3)2−4≥−4，故答案为−4.17.答案：解：(1)2×2列联表如下，依题意，男生60人，故女生有100−60=40人，对游泳感兴趣的男生有60×56=50人，则对游泳不感兴趣的男生有60−50=10人，对游泳不感兴趣的女生有15人，故对游泳感兴趣的女生有40−15=25人，K 2=100×(50×15−25×10)275×25×40×60≈5.556<6.635，故没有99%的把握认为对游泳是否有兴趣与性别有关 (Ⅱ)设A ={6人抽取3人，至少有2人对游泳感兴趣}，则P(A)=C 31C 32+C 33C 63=1020=12．解析：本题考查了独立性检验，古典概型的概率求法，属基础题． (Ⅰ)分别求出男女生感兴趣和不感兴趣的人数，填入表中即可．(Ⅱ)6人中有3人对游泳感兴趣，三人不感兴趣，算出所有的抽取方法，计算出至少2人对游泳感兴趣的概率即可．18.答案：解：(1)等差数列{a n }中，由a 2+a 5=22可得2a 1+5d =22，又因为d=4，所以a1=1，于是a n=4n−3，则S n=(1+4n−3)n2=2n2−n．(2)因为n(2n+1)S n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以T14=12(1−13+13−15+...+127−129)=12(1−129)=1429．解析：此题考查等差数列的通项公式、求和公式的应用，及裂项相消求和的应用．(1)利用等差数列的通项公式求出首项，得出通项公式，利用等差数列的求和公式S n=(1+4n−3)n2= 2n2−n；(2)由裂项相消法得出T14．19.答案：证明：(I)∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∴AB=√AC2−BC2=3√3．∵ADAE =√32=ABAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC=90°，即AD⊥DE．∵平面ADE⊥平面BCDE，且平面∩平面=DE，AD⊆平面ADE，∴AD⊥平面BCDE．解：(II)设DE=x，则AE=2x，AD=√3x，∴S四边形BCDE =S△ABC−S△ADE=12×3×3√3−√32x2=√32(9−x2)．∴V A−BCDE=13S四边形BCDE⋅AD=13×√32(9−x2)⋅√3x=12(9x−x3)，(0<x<3√32).令f(x)=9x−x3(0<x≤3√32)，则f′(x)=9−3x2，令f′(x)=0得x=√3，当0<x <√3时，f′(x)>0，当√3<x <3√32时，f′(x)<0．∴f(x)在(0,√3]上单调递增，在(√3,3√32]上单调递减， ∴当DE =√3，即AE =2√3，AD =3时，四棱锥A −BCDE 体积最大．此时V A−BCDE =12×(9√3−3√3)=3√3．解析：(I)利用勾股定理计算AB ，则ADAE =ABAC ，故而△ADE∽△ABC ，所以AD ⊥DE ，由面面垂直的性质即可推出AD ⊥平面BCDE ；(II)设DE =x ，用x 表示出四棱锥A −BCDE 的体积，利用函数的单调性求出棱锥体积的最大值．本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，函数的最值，属于中档题．20.答案：解：(1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)，由题意b =1，又e =√1−b 2a 2=√1−1a 2=2√5，∴a 2=5，故椭圆方程为x 25+y 2=1 ．(2)由(1)得右焦点F(2 ,0)，则0≤m ≤2，设l 的方程为y =k(x −2)，(k ≠0)，代入x 25+y 2=1，得(5k 2+1)x 2−20k 2x +20k 2−5=0，∴Δ=20(k 2+1)>0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=20k 25k 2+1，x 1⋅x 2=20k 2−55k 2+1，且y 1+y 2=k(x 1+x 2−4)， y 2−y 1=k(x 2−x 1)．∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,y 1)+(x 2−m,y 2)=(x 1+x 2−2m,y 1+y 2)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 1,y 2−y 1)，由，得(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2−2m)(x 2−x 1)+(y 1+y 2)⋅(y 2−y 1)=0，=(x1+x2−2m)(x2−x1)+k(x1+x2−4)⋅k(x2−x1)=0，因x2−x1≠0，所以20k25k2+1−2m+k2(20k25k2+1−4)=0⇒k2=m8−5m>0⇒0<m<85，∴当0<m<85时，有成立．解析：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，属于难题．(1)由抛物线的性质得b=1，再结合离心率求解；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设出直线方程，联立方程，把向量关系坐标化，结合韦达定理转化求解即可．21.答案：解：(1)由f(x)<−43e x，得e x[13x3−2x2+(a+4)x−2a−4]<−43e x，即x3−6x2+(3a+12)x−6a−8<0对任意x∈(−∞,2)恒成立，即(6−3x)a>x3−6x2+12x−8对任意x∈(−∞,2)恒成立，因为x<2，所以a>x 3−6x2+12x−8−3(x−2)=−13(x−2)2对任意x∈(−∞,2)恒成立，记φ(x)=−13(x−2)2，因为φ(x)在(−∞,2)上单调递增，且φ(2)=0，所以a≥0，即a的取值范围为[0,+∞)；(2)由题意，可得f′(x)=e x(13x3−x2+ax−a)，可知f(x)只有一个极值点或有三个极值点．令g(x)=13x3−x2+ax−a，①若f(x)有且仅有一个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g(x)为单调增函数或g(x)的极值同号(或有一个极值为0)．(ⅰ)当g(x)为单调增函数时，g′(x)=x2−2x+a≥0在R上恒成立，得a≥1．(ⅰ)当g(x)的极值同号(或有一个极值为0)时，设x1，x2为极值点，则g(x1)⋅g(x2)≥0，由g′(x)=x2−2x+a=0有两个不同的解，得a<1，且x12−2x1+a=0，x22−2x2+a=0，所以x1+x2=2，x1x2=a，x12=2x1−a,所以g(x1)=13x13−x12+ax1−a=13x1(2x1−a)−(2x1−a)+ax1−a=23x12−13ax1−2x1+a+ax1−a=23(2x1−a)+23ax1−2x1=23[(a−1)x1−a]，同理，g(x2)=23[(a−1)x2−a]，所以g(x1)g(x2)=23[(a−1)x1−a]⋅23[(a−1)x2−a]≥0，化简得(a−1)2x1x2−a(a−1)(x1+x2)+a2≥0，所以(a−1)2a−2a(a−1)+a2≥0，解得a≥0，所以0≤a<1．综合(ⅰ)(ⅰ)可知当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点；②若f(x)有三个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a<0．综上，当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点，当a<0时，f(x)有三个极值点．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了不等式的恒成立问题，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题．(1)将原不等式分离参数，等价转化为a>−13(x−2)2，根据二次函数的单调性即可求出a的取值范围；(2)对函数f(x)求导，构造函数g(x)=13x3−x2+ax−a，进行分类讨论，利用导数和函数极值的关系即可判断．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程得：x24+y2=(cosθ+sinθ)2+(cosθ−sinθ)2=2，所以曲线C的直角坐标方程为x28+y22=1．又由ρcos(θ−π4)=8√2得ρcosθ+ρsinθ=16，将极坐标与直角坐标的转化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得直线l的直角坐标方程为x+y−16=0．(2)在极坐标系内，设M(ρ,θ)，A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ)，则ρ12cos 2θ8+ρ12sin 2θ2=1，ρ2cosθ+ρ2sinθ=16．由|OA|2=|OM|·|OB|得，ρ12=ρρ2，即1ρ12=1ρρ2，所以cos 2θ8+sin 2θ2=cosθ+sinθ16ρ，从而得ρ2cos 2θ8+ρ2sin 2θ2=ρ(cosθ+sinθ)16，且ρ≠0，转化为直角坐标方程为x 28+y 22=x+y 16，所以点M 的轨迹方程为2x 2+8y 2−x −y =0(除去原点(0,0))．解析：本题考查曲线的极坐标方程、实数值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． (1)由曲线C 的参数方程，能求出曲线C 的普通方程，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，能求出曲线C 的极坐标方程．(2)由|OA|2=|OM|·|OB|得，ρ12=ρρ2，即1ρ12=1ρρ2，然后代入化简即可求出结果．23.答案：(1)解：∵f(x)=|x +2|−|x −1|，∴f(x)={−3,x ≤−22x +1,−2<x <13,x ≥1，∵f(x)≥−2，∴当x ≥1时，成立；当x ≤−2时，不成立；当−2<x <1时，由2x +1≥−2，得−32≤x <1， ∴f(x)≥−2的解集为{x|x ≥−32}．(2)证明：由(1)可知，f(x)的最大值为3，∴a +b +2c =3， ∵a ，b ，c 为正实数，∴ab +ac +bc +c 2=(a +c)(b +c)≤(a+b+2c 2)2=94，当且仅当a =b ，a +c =32时等号成立， ∴ab +ac +bc +c 2≤94．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≥−2，利用零点分段法解不等式即可；(2)由(1)可知，f(x)的最大值为3，从而得到a +b +2c =3，再根据ab +ac +bc +c 2=(a +c)(b +c)，利用基本不等式即可得到ab+ac+bc+c2≤9．4。

安徽省安庆市2020届高三第二次模拟考试试题数学(文)【含答案】

安徽省安庆市2020届高三第二次模拟考试试题数学（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知全集Z U =，}2,1,0,1{-=M ，=N {R x ∈|2x =x }，则M ∩（N C U ）=A ．{}2,1-B ．{}0,1-C ．{}1,0D ．{}2,1 2. 复数()是虚数单位i i iz -=2的共轭复数是 A ．i 5251+ B.i 5251+- C.i 5251- D. i 5251--3. 设n m ,为实数，则“nm 22>”是“n m 5151log log <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数sin cos y x x =-在[]ππ-，上的图象大致是5. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”右图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的5.1=S (单位：升)，则器中米k 应为A. 2升B. 3升 C . 4升 D. 6升 6. 数列{}n a 和数列{}n b 满足:31=a ,)(121*+∈-=N n a a n n ,)(1*∈-=N n a b n n ，则 =⋅20172019b b A.20192B. 20202C. 20184D. 202047. 若ααcos 21sin -=，则⎪⎭⎫⎝⎛-4sin 2cos παα= A. 22-B. 22C. 214-D. 2148．掷铁饼是一项体育竞技活动.如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”.经测量此时两手掌心之间的弧长是,85π“弓”所在圆的半径为25.1米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为(参考数据：732.13414.12=≈，)A. 012.1米B ．768.1米C ．043.2米D ．945.2米9.“爱护地球节约用水”是我们每个公民的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准.为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调查，获得了n 个家庭某年的用水量（单位：立方米），统计结果如下表所示. 则估计全市家庭年用水量的中位数是A ．74.20立方米B ．50.25立方米C ．69.26立方米D ．40.27立方米10. 点21,F F 分别是双曲线1822=-y x 的左、右焦点，直线0124=--y x 与该双曲线交于两点Q P ,,则=-+PQ Q F P F 11A. 24B. 4C. 22D. 211. 已知在四面体ABC P -中，PBC PA PC PB BC PA 平面⊥====,32,62,4,则四面体ABC P -的外接球的表面积是A. π160B. π128 C . π40 D. π3212. 已知函数)(2sin sin )(R m x x m x f ∈+=的图象在点))0(,0(f 处的切线斜率是4，则)(x f 的最大值是 A.23B. 223 C . 233 D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． 13. 直线0334=+-y x 被圆:E 016222=+-++y x y x 截得的弦长是 . 14. 设函数)(1tan )(3R a x x a x f ∈++=. 若,5)2(=f 则=-)2(f .15. 已知圆锥的顶点为A ，过母线AB 、AC 的截面面积是32. 若AB 、AC 的夹角是 60，且AC 与圆锥底面所成的角是 30，则该圆锥的表面积为__________． 16.在ABC ∆中，O 为其外心, ,3=⋅OC OA 且073=+⋅+⋅OC OB OA ，则边AC 的长是 .第Ⅱ卷三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）2015年7月31日，国际体育奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办. 某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛. 随机抽取了25名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图. 成绩在平均分以上（含平均分）的学生所在组别定义为甲组，成绩在平均分以下（不含平均分）的学生所在组别定义为乙组.（Ⅰ）在这25名学生中，甲组学生中有男生6人，乙组学生中有女生11人，试问有没有90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率.附表及公式：18．（本小题满分12分）设数列{}n a 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，其前n 项和为n S , 420S =，且三项124a a a 、、成等比数列.（Ⅰ）求公差d 的值；（Ⅱ）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求使不等式20192020n T >成立的最小正整数n .19．（本小题满分12分）正三角形ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起（其中P 在AB 边上，Q 在AC 边上），使平面.APQ BPQC 平面⊥ E D ,分别是BC PQ ,的中点. （Ⅰ）证明：⊥PQ 平面ADE ；（Ⅱ）若折叠后，A 、B 两点间的距离为d ，求d 最小时，四棱锥PBCQ A -的体积.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点的椭圆C 经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,233，其右焦点与抛物线x y 542=的焦点重合.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点()0,m M 为长轴上的一个动点，过点M 作斜率为32的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，试判断22MB MA +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.21．(本小题满分12分)已知函数()x af x x e=+的极小值为1，其中a R ∈，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若函数()()g x f x kx =-无零点，求实数k 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C 的极坐标方程为0sin 4=-θρ，直线l 的参数方程为12312x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，(01)M ，，且MB MA >，求MBMA 11-的值．，23. [选修4–5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知0a >，0b >，且.122=+b a（Ⅰ）若对于任意的正数a ，b ，不等式12-x ≤2211ba +恒成立，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）证明：1))(11(55≥b a ba ++.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的1.解析：本题主要考查集合的运算.因为=N {x |2x =x }{}1,0=，所以(){}2,1-=⋂N C M U .故选A.2.解析：本题主要考查复数的计算与共轭复数的意义.()()()i z i i i i i i i i z 5251,52515122222--=∴+-=-=+-+=-=. 故选D. 3.解析：本题主要考查简易逻辑.,22n m nm>⇔>但n m >不能推出n m 5151log log <,因为n m ,可以为负数.由n m l 5151log og <可以得到n m >.故“nm22>”是“n m 5151log log <”的必要不充分条件. 故选B.4.解析：本题主要考查三角函数的图象.显然， )(x f 是奇函数，排除A,D;当π≤≤x 0时，,0sin ≥x 所以sin cos y x x =-,0≤排除C. 故选B.5.解析: 本题主要考查算法框图与数学文化.由5.1=S 得，,45.1SS -=2=S ; 由2=S 得，,32S S -=3=S ; 由3=S 得，,23SS -=6=S .故选D.6.解析：本题主要考查等比数列及其性质..222)1(211211111n n n n n n n n n b b b b a a a a =⋅=⇒=⇒-=-⇒-=-+++于是==⋅2201820172019b b b 20184. 故选C.7.解析：本题主要考查三角函数的化简与计算.原式=()().22sin cos 2cos sin 22sin cos 22-=+-=--αααααα 故选A 8.解析：本题主要考查圆与数学文化.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADBBDCABDBCC根据题意作出下图，弧AD 的长为,165π ,425.1165ππ==∠AOC所以.768.14sin25.122≈⋅⨯==πAC AB 故选B.9. 解析：本题主要考查频率分布表、频率分布直方图和方图中中位数的求法.用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=，则502000.25n ==. 用水量在[)0,10内的频率是250.125200=，用水量在[]50,60内的频率是50.025200=.设中位数为x 立方米. 因为前3组的频率之和为,5.0565.025.019.0125.0>=++ 而前2组的频率之和为,5.0315.019.0125.0<=+ 所以.3020<<x 由315.05.0)20(025.0-=-x 解得，40.27=x . 故选D. 10.解析：本题主要考查直线与双曲线的位置关系.双曲线1822=-y x 的右焦点是）（0,32F ，直线034=--y x 经过点）（0,32F ,Q P ,两点在右支上.于是.422212111=+=-+-=-+a a Q F Q F P F P F PQ Q F P F 故选B. 11. 解析：本题主要考查四面体的外接球.PC PA PB PA PBC PA PC PB BC PC PB ⊥⊥∴⊥⊥∴==+=+,,,,241212222平面又 ∴四面体ABC P -的外接球半径为.101612122121222=++=++PC PB PA 于是四面体ABC P -的外接球的表面积是.40)10(42ππ=故选C.12. 解析：本题主要考查三角函数的最值与导数.因为x x m x f 2cos 2cos )(+='，所以.2,42)0(==+='m m f 因此x x x f 2sin sin 2)(+=.于是)1cos 2)(1(cos 2)1cos 2(2cos 22cos 2cos 2)(2-+=-+=+='x x x x x x x f .当21cos >x ，即3232ππππ+<<-k x k 时，0)(>'x f ；当21cos <x ，即 35232ππππ+<<+k x k 时，0)(<'x f .所以当Z k k x ∈+=,32ππ时，)(x f 取得最大值.233)32(2sin )32sin(2)32(=+++=+ππππππk k k f 故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13. 52 14. 3- 15. π)634(+ 16. 13- 13.解析：本题主要考查直线与圆的位置关系.016222=+-++y x y x 就是.9)3-(122=++y x ）（圆心）（3,1-E 到直线0334=+-y x 的距离是253334=+⨯--.截得的弦长是.52492=- 14.解析：本题主要考查函数的性质.因为2)()(=+-x f x f ，所以3)2(-=-f15.解析：本题主要考查圆锥的截面和表面积.设圆锥的母线长是l ，则.22,3260sin 212==⋅l l 圆锥底面半径是630cos 22=⨯ .于是该圆锥的表面积为.)634()6(2262212πππ+=⋅+⋅⋅⋅ 16.解析：本题主要是考查平面向量与解三角形.设ABC ∆外接圆的半径是.ROA OC OA OB OC OB OA ++=⋅⇒--=⋅⇒=+⋅+⋅32373707322223cos cos 32372222=∠⇒∠++=⇒AOC AOC R R R R . 23cos 32=⇒=∠⇒=⋅R AOC R .于是=2AC ,324cos 2222-=∠-+AOC R R R .13-=AC三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）由茎叶图数据计算得，平均分为80，所以甲组10人，乙组15人. …2分作出22⨯列联表如下：………………………………5分将列联表数据代入公式计算得, ().706.2778.215101510441162522>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 所以有90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关.……………………8分（Ⅱ）由分层抽样知, 甲组应抽2人（记为A 、B ），乙组应抽3人（记为c b a ,,）.…………………9分从这5人中抽取2人的情况分别是，bc ac ab Bc Bb Ba Ac Ab Aa AB ,,,,,,,,,共有10种. 其中至少有一人在甲组的种数是7种，分别是.,,,,,,Bc Bb Ba Ac Ab Aa AB 故至少有1人在甲组的概率是.107………………………………12分 18．(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）因为124a a a 、、成等比数列，所以 2214a a a =.而{}n a 是等差数列，所以2141,3a a d a a d =+=+.于是2111()(3)a d a a d +=+，即222111123a a d d a a d ++=+，解得1(0)a d d =≠.…………4分由420S =知,1434202a d ⨯+=，解得2d =. …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 12a d ==，易求得21(1)2n n n S na d n n -=+=+，所以1111(1)1n S n n n n ==-++. 甲组乙组合计男生 6 4 10 女生 4 11 15 合计1015251211111111111=12231+11n n n T S S S n n n n =+++=-+-++-=-++. …………9分由20192020n T >解得,2019n >.故使不等式成立的最小正整数n 为2020. …………12分19．(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）连接.,,AE DE AD 在APQ ∆中，AQ AP =D 是PQ 的中点，所以.PQ AD ⊥ …………2分又因为DE 是等腰梯形BPQC 的对称轴，所以.PQ DE ⊥而,D DE AD = 所以⊥PQ 平面ADE . …………4分（Ⅱ）因为平面,APQ BPQC 平面⊥，PQ AD ⊥所以.PBCQ AD 平面⊥ 连结BD ，则.222BD AD d +=设的中点）为BC E x a DE x AD (23,-==，于是2222241)23(a x a BE DE BD +-=+=. 因此+=22x d 222222241)23(a x a x BE DE x BD +-+=++=,85)43(222a a x +-= ……………8分当a x 43=时，.410min a d = 此时四棱锥PBCQ A -的体积为 AD S PBCQ ⨯⨯梯形31.6434343)411(3132a a a =⨯⋅-⨯= …………12分 20. (本小题满分12分)解析：（Ⅰ）由题意知椭圆C 的两个焦点()().0,5,0,521F F -设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C .由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+5114272222b a b a 解得，.4922⎪⎩⎪⎨⎧==b a .14922=+y x C 的标准方程是故椭圆 ………………4分（Ⅱ）由题意可设直线l 的方程为()m x y -=32.联立()0922,149322222=-+-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=m mx x y y x m x y 得消去. ……………………6分 ()()()23,23,098222-∈>---=∆m m m 所以因为.因为点()0,m M 为椭圆C 长轴上的一个动点，所以().3,3-∈m此时.0>∆()().29,,,,,221212211-==+m x x m x x y x B y x A 则设 ……………………8分()()()()()()()[]().13926926291392692691391391322121221221222122212222212122=++--+=++-+=-+-=+-++-=+m x x m x x x x m x x m x x m x m x y m x y m x MB MA 于是故22MB MA +为定值13. …………………………12分21. (本小题满分12分)解析：（Ⅰ）已知函数()x a f x x e=+，所以()1x a f x e '=-.x x e ae -=. (1) 当a ≤0时，()0f x '>恒成立，则()f x 在R 上单调递增，所以函数()f x 无极值,不符合题意. ………2分(2) 当0a >时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =．当()ln x a ∈-∞，，()0f x '<；当()ln x a ∈+∞，，()0f x '>．所以()f x 在()ln a -∞，内单调递减，在()ln a +∞，内单调递增.因此()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为,11ln )(ln =+=a a f 解得.1=a 故a 的值为1. ………5分（Ⅱ）当1a =时，()1x f x x e =+，则()()1xg x f x kx x kx e =-=+-. 函数()y g x =无零点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解，即关于x 的方程：()11xk x e -=在R 上没有实数解．(1)当1k =时，方程为10x e=，易知方程没有实数解. ………7分 (2)当1k ≠时，方程化为11x xe k =-.令,)(xxe x h =则.)1()(xe x x h +='由0)(='x h 得,1x =-.)1(-h 是)(x h 的极小值,也是最小值,,1)1(e h -=-..1)(⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∈e x h ………9分所以当111k e<--时，方程无实数解，解得1k 1<<-e . 综上可知, 实数k 的取值范围是(]1,1e -. ……………12分请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程解析；（Ⅰ）由直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为13+=x y ，……………………2分将x =θρcos ，y =θρsin 代入，0sin 4=-θρ得曲线C 的普通方程为0422=-+y y x ． ……………………5分（Ⅱ）设B A ,对应的参数为21,t t ，将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 23121代入0422=-+y y x ，得0332=--t t ，所以321-=t t ，.321=+t t ………………7分由于直线l 过)1,0(M ，且MB MA >，所以.0,021<>t t于是11t t MA ==，22t t MB -==.故331111212121-=+=+=-t t t t t t MB MA . ………………10分23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲解析: （Ⅰ）因为122=+b a ，所以22222222222))(11(11ba ab b a b a b a ++=++=+≥4即2211b a +≤4，当且仅当22==b a 时取等号，因此2211b a +的最小值是4.…………3分于是12-x ≤44-⇔≤12-x ≤234-⇔≤x ≤.25故实数x 的取值范围是.25,23⎥⎦⎤⎢⎣⎡-……………………………… 5分（Ⅱ）55554411()()b a a b a b a b a b ++=+++5522222()2b a a b a b a b=+++- ≥,1)(22)(2222252225=+=-⋅++b a b a b a a b b a 故))(11(55b a ba ++≥1. …………10分或直接运用二维柯西不等式：))(11(55b a b a++≥255)11(b ba a ⋅+⋅ ,1)(222=+=b a 当且仅当22==b a 时取等号. 故))(11(55b a ba ++≥1.。

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