2016年天津市西青区数学中考一模试卷【答案】

2016年天津市西青区中考数学一模试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）计算﹣3﹣4的结果是（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．72．（3分）计算sin60°的结果等于（）A．B．C．D．3．（3分）下列“表情图”中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）腾讯公益网是腾讯公益慈善基金会设立的公益网站，旨在推动社会和谐、发展公益慈善事业．据网站统计，目前已大约有2 451 000人献出爱心．将“2 451 000”用科学记数法表示为（）A．2.451×106B．2.451×107C．2451×103D．24.51×1055．（3分）如图所示的几何体是一个由圆柱体和一个长方体组成的立体图形，从上面看=观察这个立体图形，能得到的平面图形是（）A．B．C．D．6．（3分）边长为a的正六边形的内切圆的半径为（）A．aB． a C．2a D．a7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠C=40°，则∠B的大小为（）A．20°B．25°C．40°D．50°8．（3分）如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE=AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．69．（3分）若点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y1＞y310．（3分）某款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，设平均每次降价的百分数为x，则下面所列方程中正确的是（）A．688（1+x）2=1299 B．1299（1+x）2=688 C．688（1﹣x）2=1299 D．1299（1﹣x）2=68811．（3分）甲、乙、丙、丁四位跨栏运动员在每天“110米跨栏”调练中，每人各跑5次，据统计它们的平均成绩都是13.2秒，甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别是0.11、0.03、0.05、0.02．则当天这四位运动员“110米跨栏”的训练成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且高于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根．有以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc=0；③m的最大值为3．其中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算（2a）3的结果等于．14．（3分）已知反比例函数y=，当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是．15．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，过程向上一面的点数，两枚骰子点数的和是9的概率为．16．（3分）抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴是．17．（3分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，则∠ACB的度数是°．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺和圆规画出与△ABC的面积相等的正方形的一条边，并简要说明画法（不要求证明，保留作图痕迹）．．三、解答题（本大题共有7小题，共66分）19．（8分）解不等式组．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8分）某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次参加跳绳测试的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生有多少人？21．（10分）已知⊙O的直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q 在⊙O上，且OP⊥PQ于点P．（Ⅰ）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（Ⅱ）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．22．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100nmile 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东45°方向上的B 处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈0.33，≈1.41）23．（10分）现有A、B型两种客车，它们的载客量和租金如表：某学校计划在总费用1900元的限额内，租用A、B型客车共5辆送九年级师生集体外出活动．设租用A型客车x辆．（Ⅰ）根据题意，用含x的式子填写表格：（Ⅱ）设租车费用y（单位：元）是x的函数，求y与x的函数解析式；（Ⅲ）若九年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最节省费用的租车方案．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，把矩形COAB绕点C顺时针旋转，得到矩形CFED，记旋转角为α，设FC与AB交于点H，且点A（0，4），C（6，0）．（Ⅰ）如图1，当α=60°时，求BD、HC的长；（Ⅱ）当AH=HC时，求直线FC的解析式；（Ⅲ）如图2，当α=90°时，经过点D，且以点B为顶点的抛物线是否经过矩形CFED的对称中心M，并说明理由．25．（10分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．2016年天津市西青区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）计算﹣3﹣4的结果是（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7【解答】解：原式=﹣3+（﹣4）=﹣7．故选：A．2．（3分）计算sin60°的结果等于（）A．B．C．D．【解答】解：sin60°=．故选C．3．（3分）下列“表情图”中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．4．（3分）腾讯公益网是腾讯公益慈善基金会设立的公益网站，旨在推动社会和谐、发展公益慈善事业．据网站统计，目前已大约有2 451 000人献出爱心．将“2 451 000”用科学记数法表示为（）A．2.451×106B．2.451×107C．2451×103D．24.51×105【解答】解：将2 451 000用科学记数法表示为：2.451×106．故选：A．5．（3分）如图所示的几何体是一个由圆柱体和一个长方体组成的立体图形，从上面看=观察这个立体图形，能得到的平面图形是（）A．B．C．D．【解答】解：圆柱体的俯视图是圆，长方体的俯视图是长方形，所以，组合图形为长方形内有一个圆的图形．故选C．6．（3分）边长为a的正六边形的内切圆的半径为（）A．aB． a C．2a D．a【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为a的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=a，∴OG=OA•sin60°=a，∴边长为a的正六边形的内切圆的半径为a，故选A．7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠C=40°，则∠B的大小为（）A．20°B．25°C．40°D．50°【解答】解：连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵∠C=40°，∴∠AOC=90°﹣40°=50°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∵∠AOC=∠B+∠OAB=50°，∴∠B=25°，故选B．8．（3分）如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE=AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．6【解答】解：在▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∵E为AD的三等分点，∴AE=AD=BC，∵AD∥BC，∴==，∵AC=12，∴AF=×12=4.8．故选B．9．（3分）若点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y1＞y3【解答】解：在反比例函数y=中，k=3＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，∵﹣5＜﹣3，∴点（﹣5，y1），（﹣3，y2）在第三象限，∴0＞y 1＞y2，∵点（3，y3）在第一象限，∴y3＞0，∴y3＞y1＞y2，故选C．10．（3分）某款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，设平均每次降价的百分数为x，则下面所列方程中正确的是（）A．688（1+x）2=1299 B．1299（1+x）2=688 C．688（1﹣x）2=1299 D．1299（1﹣x）2=688【解答】解：根据题意得1299（1﹣x）2=688．故选D．11．（3分）甲、乙、丙、丁四位跨栏运动员在每天“110米跨栏”调练中，每人各跑5次，据统计它们的平均成绩都是13.2秒，甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别是0.11、0.03、0.05、0.02．则当天这四位运动员“110米跨栏”的训练成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：∵0.02＜0.03＜0.05＜0.11，∴丁的成绩的方差最小，∴当天这四位运动员“110米跨栏”的训练成绩最稳定的是丁．故选：D．12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且高于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根．有以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc=0；③m的最大值为3．其中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵由的图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，∴c=0，∴b2﹣4ac=b2＞0，故结论①正确∴abc=0，故结论②正确；又∵抛物线的顶点的纵坐标为﹣3，∴=﹣3∴b2=12a又∵关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴b2﹣4am≥0，∴12a﹣4am≥0，即4a（3﹣m）≥0，又∵抛物线的开口向上，∴a＞0∴3﹣m≥0，即m≤3，故结论③正确．故：选D二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算（2a）3的结果等于8a3．【解答】解：（2a）3=8a3．故答案为：8a3．14．（3分）已知反比例函数y=，当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是﹣4＜y ＜﹣．【解答】解：在反比例函数y=中，k=4＞0，∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，当﹣3＜x＜﹣1时，函数图象在第三象限，当x=﹣3时，y=﹣，当x=﹣1时，y=﹣4，∴﹣4＜y＜﹣，故答案为：﹣4＜y＜﹣．15．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，过程向上一面的点数，两枚骰子点数的和是9的概率为．【解答】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子点数的和是9的结果数为4，所以两枚骰子点数的和是9的概率==．故答案为．16．（3分）抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴是直线x=4．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4x+3的二次项系数a=，一次项系数b=﹣4，∴对称轴方程是：x=﹣=﹣=4，即x=4；故答案是：直线x=4．17．（3分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，则∠ACB的度数是75°．【解答】解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；∵△PCD中，∠APC=60°，∴∠DCP=30°，PC=2PD，∵PC=2PB，∴BP=PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，∵∠ABP=45°，∴∠ABD=15°，∵∠BAP=∠APC﹣∠ABC=60°﹣45°=15°，∴∠ABD=∠BAD=15°，∴BD=AD，∵∠DBP=45°﹣15°=30°，∠DCP=30°，∴BD=DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD=AD，∴AD=DC，∵∠CDA=90°，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，故答案为：75．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为12；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺和圆规画出与△ABC的面积相等的正方形的一条边，并简要说明画法（不要求证明，保留作图痕迹）．画射线OK，再在OK上截取OM=3，作直角三角形OMN，是另一直角边NM=1，连接ON，．则NO长为，利用圆规以O为圆心，ON长为半径，在OK上截取OL=，再以OL为直角边，L为直角顶点再画直角三角形OLE，则OE=，再利用圆规以O为圆心，OE长为半径，在OK上截取OH=OE，再同法作直角三角形OHF，则OF=2，再利用圆规以O为圆心，OF长为半径，在OK上截取OG=OF，OF 即为所求．【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积：6×4×=12；（II）如图所示：，画射线OK，再在OK上截取OM=3，作直角三角形OMN，是另一直角边NM=1，连接ON，．则NO长为，利用圆规以O为圆心，ON长为半径，在OK上截取OL=，再以OL为直角边，L为直角顶点再画直角三角形OLE，则OE=，再利用圆规以O为圆心，OE长为半径，在OK上截取OH=OE，再同法作直角三角形OHF，则OF=2，再利用圆规以O为圆心，OF长为半径，在OK上截取OG=OF，OF即为所求．故答案为：画射线OK，再在OK上截取OM=3，作直角三角形OMN，是另一直角边NM=1，连接ON，．则NO长为，利用圆规以O为圆心，ON长为半径，在OK上截取OL=，再以OL为直角边，L为直角顶点再画直角三角形OLE，则OE=，再利用圆规以O为圆心，OE长为半径，在OK上截取OH=OE，再同法作直角三角形OHF，则OF=2，再利用圆规以O为圆心，OF长为半径，在OK上截取OG=OF，OF即为所求．三、解答题（本大题共有7小题，共66分）19．（8分）解不等式组．（Ⅰ）解不等式①，得x≤2；（Ⅱ）解不等式②，得x＞1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为1＜x≤2．【解答】解：．（Ⅰ）解不等式①，得x≤2；（Ⅱ）解不等式②，得x＞1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为1＜x≤2．故答案为x≤2，x＞1，1＜x≤2．20．（8分）某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次参加跳绳测试的学生人数为50，图①中m的值为10；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生有多少人？【解答】解：（Ⅰ）本次参加跳绳的学生人数是10+5+25+10=50（人），m=100×=10．故答案是：50，10；（Ⅱ）平均数是：（10×2+5×3+25×4+10×5）=3.7（分），众数是：4分；中位数是：4分；（Ⅲ）该校九年级跳绳测试中得3分的学生有1200×10%=120（人）．答：该校九年级跳绳测试中得3分的学生有120人．21．（10分）已知⊙O的直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q 在⊙O上，且OP⊥PQ于点P．（Ⅰ）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（Ⅱ）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）如图1中，连接OQ．在Rt△POB中，∵OB=3，∠PBO=30°，∠POB=90°，∴OP=OB•tan30°=，在Rt△OQP中，PQ===．（Ⅱ）如图2中连接OQ，当OP⊥BC时，PQ长的最大．此时OP=OB=，在Rt△OPQ中，PQ===．22．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100nmile 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东45°方向上的B 处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈0.33，≈1.41）【解答】解：∵∠APC=90°﹣53°=37°，AP=100nmile，∴PC=AP•cos37°=100×sin53°≈80（nmile），又∵∠BPC=45°，∴BP=PC≈1.41×80≈113（nmile）．答：B处距离灯塔P有113nmile．23．（10分）现有A、B型两种客车，它们的载客量和租金如表：某学校计划在总费用1900元的限额内，租用A、B型客车共5辆送九年级师生集体外出活动．设租用A型客车x辆．（Ⅰ）根据题意，用含x的式子填写表格：（Ⅱ）设租车费用y（单位：元）是x的函数，求y与x的函数解析式；（Ⅲ）若九年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最节省费用的租车方案．【解答】解：（Ⅰ）由题意B型客车的载客量和租金分别为30（5﹣x）人，280（5﹣x）元．故答案为30（5﹣x），280（5﹣x）．（Ⅱ）设租车费用y（单位：元）是x的函数，则y与x的函数解析式：y=400x+280（5﹣x）=120x+1400，（Ⅲ）由题意，解得3≤x，∵x为整数，∴x=3或4，∴方案一租用A型客车3辆，租用B型客车2辆．方案二租用A型客车4辆，租用B型客车1辆．∵费用y=120x+1400，k=120＞0，∴x=3时，y的值小，∴方案一的费用较少．24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，把矩形COAB绕点C顺时针旋转，得到矩形CFED，记旋转角为α，设FC与AB交于点H，且点A（0，4），C（6，0）．（Ⅰ）如图1，当α=60°时，求BD、HC的长；（Ⅱ）当AH=HC时，求直线FC的解析式；（Ⅲ）如图2，当α=90°时，经过点D，且以点B为顶点的抛物线是否经过矩形CFED的对称中心M，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（0，4），C（6，0）．∴B（6，4），BC=4，由旋转得，CD=CB=4，∵旋转角∠DBC=α=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD=BC=4，在Rt△CBH中，BC=4，∠BCH=90°﹣α=30°，∴cos∠BCH==，∴CH=；（Ⅱ）设AH=a，则CH=a，BH=AB﹣AH=6﹣a，在Rt△BCH中，BC=4，根据勾股定理得，BH2+BC2=CH2，即：（6﹣a）2+16=a2，∴a=，∴H（，4），∵C（6，0），∴直线FC解析式为y=﹣x+；（Ⅲ）当旋转角为90°时，D（10，0），以点B（6，4）为顶点的抛物线，设抛物线解析式为y=a（x﹣6）2+4，∵点D（10，0）在抛物线上，∴0=a（10﹣6）2+4，∴a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）2+4，由旋转得点F（6，6），∵矩形CFED的对称中心M，∴M（8，3），∴当x=8时，y=﹣（8﹣6）2+4=3，∴经过点D，且以点B为顶点的抛物线经过矩形CFED的对称中心M．25．（10分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，作NP⊥OA于P，如图1所示：则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴，即，解得：OP=x，PN=，∴点N的坐标是（x，）；（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，∴S=OM•PN=（4﹣x）•=﹣x2+x，∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4），配方得：S=﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是；（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴，即，解得：x=2；②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴，即，解得：x=；综上所述：x的值是2秒或秒．。