南校区高中数学《1.1.2 导数的概念》教案新人教A版选修2-2

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高中数学 1.1.2导数的概念学案新人教A版选修2-2

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.1.2导数的概念学案新人教A 版选修2-2【学习目标】1.了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度；2. 理解导数(瞬时变化率)的概念。

【重点难点】导数的概念【学习过程】一、课前预习：（阅读课本第4页到第5页，填写并思考）问题1试述什么是瞬时速度和平均速度，它们有何区别？问题2 从物理角度看，我们把物体在某一时刻的速度称为________。

一般地，若物体的运动规律为s =f (t )，则物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t t ∆+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即ts v x ∆∆=→∆0lim =___________________ 在上一节高台跳水中，运动员相对水面的高度与时间满足()105.69.42++-=t t t h 则运动员在t =2时的瞬时速度可以表示为：_______________________=__________思考：1、运动员在某一时刻t 0的瞬时速度怎样表示？2、函数f (x )在x =x 0处的瞬时变化率怎样表示？问题3一般地，对于函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0limx y x ∆→∆=∆______________________________我们称它为函数()y f x =在0x x =处的__________，记作_________或_______，即_______________________________思考：由导数的定义，可知1、高台跳水中，高度h 关于时间t 的导数就是_____________________________________；2、气球膨胀中，气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的_______________________________.。

3、实际上导数是描述任何事物的__________________。

点拔: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 二、例题解析：例1（课本例题，先自我阅读，并完成解答）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第x h 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解:例2、(1)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. (2)求函数23x y =在1=x 处的导数解：（1）（2）由例1、例2总结：求导数的步骤：（1）求增量，即：（2）算变化率，即：（3）求极限得导数，即：练习：求22+=x y 在点x =1处的导数.课后作业1、已知函数)(x f y =，下列说法错误的是（）A 、)()(00x f x x f y -∆+=∆叫函数增量B 、xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00叫函数在[x x x ∆+00,]上的平均变化率 C 、)(x f 在点0x 处的导数记为y 'D 、)(x f 在点0x 处的导数记为)(0x f '2、若质点A 按规律22t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（）A 、6B 、18C 、54D 、813、设函数)(x f 是可以求导的，则x f x f x ∆-∆+→∆3)1()1(lim0=（） A 、)1(f ' B 、)1(31f ' C 、不存在 D 、以上都不对 4.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.f (x 1)5.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.6、函数x x y 1+=在1=x 处的导数是______________7、求函数x y =在1=x 处的导数8、已知自由下落物体的运动方程是221gt s =，(s 的单位是m,t 的单位是s)，求：（1）物体在0t 到t t ∆+0这段时间内的平均速度；（2）物体在0t 时的瞬时速度；（3）物体在0t =2s 到s t 1.21=这段时间内的平均速度；（4）物体在s t 2=时的瞬时速度。

高中数学 1.1.2导数的概念教案新人教版选修2-2

§1.1.2导数的概念教学目标1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：ht o思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。

高中数学第一章导数及其应用1.1.2导数的概念教案新人教A版选修2_2

§1.1.2 导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数。

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：导数的概念．
（一）、情景引入，激发兴趣
【教师引入】：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。

科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。

(二)、探究新知，揭示概念。

选修2-2第一章1.1.2导数的概念-教案

第1页共3页1.1 导数1.1.2 导数的概念【提出问题】质点M 的运动方程为2()s t t =，求1t =时的瞬时速度。

解：因为22(1)(1)(1)1(2)s s t s t t t ∆=+∆-=+∆-=+∆∆ 所以2s t t∆=+∆∆ 当t ∆趋近于0时，s t ∆∆趋近于2 所以1t =时的瞬时速度为2那么，对于一般函数()f x 的瞬时变化率怎么定义呢？【抽象概括】设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应的改变量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数f (x )在点x 0处的瞬时变化率．事实上，运动的瞬时速度就是路程函数y ＝s (t )的瞬时变化率．“当Δx 趋近于0时，平均变化率f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ”可以用符号“→”记作“当Δx →0时， f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→l ” 通常也记作000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆ 【获得新知】函数()f x 在x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0处的导数，通常记作f ′(x 0)，第2页共3页即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为导数．【概念领悟】1．对导数概念的理解(1)Δx →0是指Δx 可以从0的左右两侧趋向于0，可以任意小的间隔，但始终不会为0.(2)如果lim Δx →0Δy Δx存在，则称f (x )在x ＝x 0处可导． (3)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0，于是f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x )－f (x 0)x －x 0，与概念中的f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx意义相同．（4）这里研究的是两个变量,y x ∆∆比值变化的性质与状态，尽管,y x ∆∆在变化过程中都趋近于0，但是它们的比值却趋近于一个确定的常数。

高中数学《导数的概念》教案1 新人教A版选修2-2

第一课时导数的背景：曲线的切线与瞬时速度【课时目标】理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义【引入探索】1．圆的切线直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。

这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。

问题：能不能把圆的切线推广为一般曲线的切线呢？（请学生说出推广的结果后，教师引导学生加以剖析）。

2．曲线的切线 1）观察图形得出：相切可能不止一个交点，有惟一交点的也不一定是相切。

所以对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义。

2）作图，按书上讲解，再用几何画板演示一次。

3）一般地，已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，P（00,y x ），Q （y y x x ∆+∆+00,）是曲线C 上的两点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即x ∆趋向于0时，如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时，割线PQ 的斜率xy k PQ ∆∆=无限趋近于切线PT 的斜率k ，也就是说，当x ∆趋向于0时，割线PQ 的斜率x y k PQ ∆∆=的极限为k. 例题 P （1,2）是曲线2x y =+1上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.（图略）3．巩固练习 P111练习1，2（处理：学生自求）4．瞬时速度例题一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？说明：1）上例中，如果运用物理所学地匀变速直线运动地速度公式，可得v t =v 0+at=gt=29.4(m/s)这与上面用平均速度的极限求得的瞬时速度是一样的。

2）这种速度的极限求法适用范围就比较广，只要知道运动的规律（函数表达式），即可求出任一时刻的瞬时速度。

一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ∆）这段时间内的平均速度为t t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(. 如果t ∆无限趋近于0时，ts ∆∆无限趋近于某个常数a ，就说当t ∆趋向于0时，t s ∆∆的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 5．巩固练习：P113练习1，2（处理：学生自求）【小结】瞬时速度是平均速度t s ∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy ∆∆当x ∆趋近于0时的极限。

高中数学 1.1.2《导数的概念》学案1 新人教A版选修2-2

1.1.2导数的概念【学习目标】1. 了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2. 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3. 会求函数在某点的导数；理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；会求函数在某点处附近的平均变化率【学习重难点】重点：导数的求解方法和过程，导数符号的灵活运用；难点：导数概念的理解、认识和运用。

【学习过程】一、学前准备1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是33()4Vr V πV 从0增加到1时，气球的平均膨胀率. 2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.二、合作探究：探究一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是新知：瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究二：导数问题2：瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0 (3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率. 典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts∆∆.(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆；第三步：取极限得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.【学习检测】1. (A) 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（）A ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；C ．当时间为t ∆时物体的速度；D ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度2.(A) 2y x =在 x =1处的导数为（）A ．2xB ．2C ．2x +∆D ．1 3. (B)在0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于04（B) 如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为5.（B) 若0()2f x '=-，则0001[]()2lim k f x k f x k→--等于6.（B) 求曲线y = f (x ) = x 3在1x =时的导数．7 (C)高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.8. （C ）已知2()2f x x =+(1) 求()f x 在1x =处的导数 (2) 求()f x 在x a =处的导数【小结与反思】。

《导数的概念》说课稿(人教A版选修2-2)

说课稿一、教材分析导数的概念是高中新教材人教A 版选修2-2第一章1.1.2的内容, 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度--难点二、教学目标1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 三、重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点四、教学设想（具体如下表）五、学法与教法学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。

（如问题2的处理）（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。

（如问题3的处理）（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

（如例题的处理）教学用具：电脑、多媒体、计算器教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。

②导——教师指导、循序渐进（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲（2）理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识（4）变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知六、评价分析这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。

高中数学第一章导数及其应用 1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2(2021年整理)

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导数的概念本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。

2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验;5．通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法;2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：复习准备理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．体会模型感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．应用概念理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．小结作业通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计5分钟1．复习准备设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系,感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．（2)提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？(3）高台跳水的例子中，在时间段]4965,0[里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态。

新人教A版高中数学(选修22)1.2《导数的计算》word教案4篇

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111；（3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4；（5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是新知：1．瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2：瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。

2019-2020学年人教A版选修2-2 1.1.2导数的概念教案

§1.1.2导数的概念教学目标1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知， )0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１) =6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。

2021年高中数学1.1.导数的概念教学案新人教A版选修

2021年高中数学1.1.2导数的概念教学案新人教A 版选修2-2预习目标：“导数的概念”了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念预习内容：问题1 我们把物体在某一时刻的速度称为________。

一般地，若物体的运动规律为，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到这段时间内，当_________时平均速度的极限，即=___________________问题2 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlimx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数在处的______，记作或________，即________________________提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中学习目标：了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解学习难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点学习过程：一：问题提出问题：我们把物体在某一时刻的速度称为________。

一般地，若物体的运动规律为，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到这段时间内，当_________时平均速度的极限，即=___________________二：导数的概念函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数在处的______，记作或________，即________________________三：探究求导数的步骤：（即___变化率）四：精讲点拨课本例1 五：有效训练求在点x=1处的导数.反思总结：附注： ①导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同②定义的变化形式：=xx x f x f x yx x ∆∆--=∆∆→∆→∆)()(lim )(lim0000；=00)()(lim )(lim00x x x f x f x yx x x x --=∆∆→→；=；，当时，，所以000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-③求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

高中数学新人教版A版精品教案《1.1.2 导数的概念》

人民教育出版社高中数学选修2-2（A版）第一章（教案设计）导数的概念课型：新授课教学目的: ⑴通过对高台跳水案例的研究分析——从平均速度到瞬时速度，与学生共同体会抽象出：从函数的平均变化率到瞬时变化率。

体会导数概念的实际背景。

⑵领会瞬时变化率的实质，形成导数的概念，了解导数的内涵。

⑶通过导数概念的形成过程，学习归纳，类比的推理方式。

体验无限逼近，从特殊到一般，化归与转化的数学思想。

提高广泛联系，抽象概括能力。

培养学生正确认识量变到质变，运动与静止的统一（逼近的思想，运动的变化美），形成正确的数学观。

教学要求: ⑴通过查阅资料（数学史的发展），让学生了解导数产生的背景。

⑵通过跳水视频的观看，让学生求知的欲望和兴趣得到进一步释放。

让学生明白数学与生活的联系。

⑶借助运动员的运动状态的描述的要求的变化（平均速度→瞬时速度），能让学生体会到导数产生的过程以及内涵（平均变化率→瞬时变化率）。

⑷借助熟悉的生活例子，体会导数的实际意义。

⑸通过例题的研究与讲解，让学生能简单的掌握导数的求解方法以及对相应的数学符号的把握。

并能简单的应用导数的概念解释实际生活现象。

教学重点: 形成导数的概念，了解导数的内涵。

教学难点: 对导数概念的理解，对瞬时速度的求解（逼近思想的理解）。

教学手段:⑴借助“设问式”的处理，与学生一起探究出导数的概念。

⑵通过“特殊→一般”的认知模式，提升学生对导数概念的理解。

⑶借助“图表”，“框图”比较直观的体会和解决这节课的重点和难点。

⑷利用“电子黑板”，“一体机”，“投影仪”等工具更好的促进和服务于课堂教学。

课前任务: （●第1张PPT图片——课前任务）布置课本第61页实习作业《走进微积分》,阅读,学生上网查阅牛顿,莱布尼兹生平简介,以及他们创立微积分的起始问题是什么有何差异让学生将查阅的资料做成word文档并打印出来教学过程：引入◆同学们,课前任务落实的怎么样啊哪位同学能否把你的成果给我们展示一下找一个同学的成果,用投影仪投影出来;找一个同学阅读他们创立微积分的起始问题老师评价◆显然，微积分的创立，牛顿从运动学出发，莱布尼茨从几何学出发。

新人教A版选修2-2：1.1.2导数的概念

§1.1。

2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程: 一．创设情景（一)平均变化率(二)探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探究过程：如图是函数h (t )= —4.9t 2+6.5t +10的图像,结合图形可知，)0()4965(h h =, 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，速度为虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少?考察2t =附近的情况：思考:当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度,因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆表示“当2t =，t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明:（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 (2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时,0x x →，所以00()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-三．典例分析例1．(1）求函数y =3x 2在x =1处的导数。

高中数学 1.1.2导数的概念学案新人教A版选修22

1．1.2 导数的概念1．了解瞬时变化率、导数概念的实际背景． 2．了解导数概念．3．会利用导数的定义求函数的导数．基础梳理1．瞬时变化率：设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0到x 1时，函数值从f (x 0)到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f （x 1）－f （x 0）x 1－x 0＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ，当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个稳定值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数：函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝想一想：(1)能否认为函数在x ＝x 0处的导数越大，其函数值的变化就越大？ (2)函数f (x )＝x 在x ＝0处的导数为_____________．(1)解析：这种说法不正确，应该说导数的绝对值越大，函数值变化越快．自测自评1．函数f (x )在x 0处可导，则 (B )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关解析：由导数的定义可知选B.2．一物体运动满足曲线方程s ＝4t 2＋2t －3，且s ′(5)＝42(m/s)，其实际意义是(D ) A ．物体5秒内共走过42米 B ．物体每5秒钟运动42米C ．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒D ．物体以t ＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米解析：由导数的物理意义知，s ′(5)＝42(m/s)表示物体在t ＝5秒时的瞬时速度．故选D.3．如果质点A 的运动方程为y ＝3t 2，则它在t ＝1时的瞬时速度为(D ) A ．6t B ．3 C ．6＋Δt D ．6解析：t ＝1的瞬时速度就是t ＝1附近的平均速度当时间变化量Δt 趋近于0的极限．基础巩固1．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是(D )A ．－3B ．3C ．6D ．－62．函数f (x )＝2x在x ＝3处的导数是(C )A ．－23B ．－13C ．－29D ．－19解析：Δy ＝f (3＋Δx )－f (3)＝23＋Δx －23＝－2·（Δx ）3（3＋Δx ），所以Δy Δx ＝－23（3＋Δx ），于是f (x )在x ＝3处的导数为f ′(3)＝＝－29.故选C.3．物体自由落体的运动方程为：s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝s （1＋Δt ）－s （1）Δt＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是(C )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速度B ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率解析：由于s (t )＝12gt 2，所以由导数的定义可得：即s ′(1)＝s （1＋Δt ）－s （1）Δt＝9.8(m/s)．所以9.8 m/s 是物体在t ＝1 s这一时刻的速率．4．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，那么在t ＝3时的瞬时速度为________．解析：∵Δy ＝3(3＋Δt )2－3×32＝18Δt ＋3(Δt )2，∴s ′(3)＝Δs Δt＝ (18＋3Δt )＝18.答案：18 能力提升5．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是(C ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．3解析：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－x 30＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2， ∴f ′(x 0)＝[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20，由f ′(x 0)＝3得3x 20＝3，∴x 0＝±1.6．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则(C )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b解析：∵f ′(x 0)＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝a Δx ＋b （Δx ）2Δx＝(a ＋b Δx )＝a ，∴f ′(x 0)＝a .7．设函数f (x )满足f （1）－f （1－x ）x＝－1，则f ′(1)＝________．解析：∵f （1）－f （1－x ）x＝f （1－x ）－f （1）－x＝f ′(1)＝－1.答案：－18．函数f (x )＝x 2＋1在x ＝1处可导，在求f ′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx ，则函数的增量Δy ＝____________．解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[(1＋Δx )2＋1]－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2. 答案：2Δx ＋(Δx )29．求函数f (x )＝x 3＋2x ＋1在x 0＝1处的导数f ′(1)．解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋5Δx ，∴f ′(1)＝Δy Δx＝[]（Δx ）2＋3Δx ＋5＝5.10．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在关系s (t )＝10t ＋5t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)．(1)求t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与ΔsΔt ；(2)求t ＝20时的速度．解析：(1)当t ＝20，Δt ＝0.1时， Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202) ＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)． ∴Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)由导数的定义知，t ＝20时的速度即为v＝ΔsΔt＝10（t＋Δt）＋5（t＋Δt）2－10t－5t2Δt＝5（Δt）2＋10Δt＋10tΔtΔt＝ (5Δt＋10＋10t)＝10＋10t ＝10＋10×20＝210(m/s)．。

高中数学《1.1.2导数的概念》教案新人教a版选修22

§1.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为． 2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。