电子技术基础—数字部分康光华主编课件 (5)

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ABCD=0111 1 ACD=101 最后将剩 下的填0 14
Y1 = AB = AB (C + C )( D + D) = ABC D + ABC D + ABC D + ABCD = ∑ m (12,13,14,15)
Y2 = AC D = A( B + B )C D = A BC D + ABC D = ∑ m (9,13)
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最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
表1-18 三变量最小项的编号表
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（3）最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例1-7 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。 解： = AB + BC = AB(C + C ) + ( A + A) BC Y
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（2）卡诺图的画法 首先讨论三变量（A、B、C）函数卡诺图的画 （ 、 、 ） 法。 ① 3变量的卡诺图 有23个小方块； ② 几何相邻的必须 相邻 逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 相邻 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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= ABC + ABC + ABC
或： ( A, B, C ) = m3 + m6 + m7 Y
= ∑ m (3,6,7)
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2.卡诺图及其画法 （1）卡诺图及其构成原则 卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方 框图。构成卡诺图的原则是： ① N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）； ② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不 同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。 几何相邻的含义： 一是相邻——紧挨的； 二是相对——任一行或一列的两头； 在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断 某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。 三是相重——对折起来后位置相重。
表1-19 逻辑函数Y的真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 2012-4-1 1 1 1 图1-13 例1-8的卡诺图
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（2）从最小项表达式画卡诺图 把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入 1，其余的小方块中填入0。 例1-9 画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。
不 相邻 相邻 相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。 对角线上不相 邻。
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3. 用卡诺图表示逻辑函数 （1）从真值表画卡诺图 根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一 个小方块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。 例1-8 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。
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m3
BC D
m11
图1-15 两个最小项合并
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图1-16 四个最小项合并
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图1-17 八个最小项合并
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（2）利用卡诺图化简逻辑函数 A．基本步骤： ① 画出逻辑函数的卡诺图； ② 合并相邻最小项（圈组）； ③ 从圈组写出最简与或表达式。 关键是能否正确圈组 。 B．正确圈组的原则 ① 必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相 邻最小项； ② 每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次， 但可以圈多次； ③ 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能 大（消去的变量就越多）。
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1.3
逻辑函数及其化简
1.3.5 逻辑函数的卡诺图化简法
1. 最小项及最小项表达式 2. 卡诺图及其画法 3. 用卡诺图表示逻辑函数 4. 卡诺图化简法
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复习
与或表达式最简的标准是什么？ 公式化简法的优点？局限性？
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1.3.5 逻辑函数的卡诺图化简法
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它 克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。 卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函 数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方 法。 卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论一 下最小项及最小项表达式。
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1.最小项及最小项表达式 （1）最小项 设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项： ①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是 它的一个因子； ②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、 B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。 具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘 积项为三变量A、B、C的最小项。 AB是三变量函数的最小项吗？ AB是三变量函数的最小项吗？ 推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式， ABBC是三变量函数的最小项吗？ ABBC是三变量函数的最小项吗？ 因此N个变量共有2N个最小项。
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最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
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（2）最小项的性质 ①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0； ②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
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C．从圈组写最简与或表达式的方法： ① 将每个圈用一个与项表示 圈内各最小项中互补的因子消去， 相同的因子保留， 相同取值为1用原变量， 相同取值为0用反变量； ② 将各与项相或，便得到最简与或表达式。
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例1-10 用卡诺图化简逻辑函数 Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11) 解：
图1-14 例1-9的卡诺图
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（3）从与－或表达式画卡诺图 把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项 就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上 1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。 例 已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，画卡诺图。 ＝ ＋ ＋
1 AB＝11 ＝ 1 1 +1 1 1
Y3 = ABCD = m7
（4）从一般形式表达式画卡诺图 先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。
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4.卡诺图化简法 由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量 取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻 最小项，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去 ， ＋ ＝ ， 一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。 （1）卡诺图中最小项合并的规律 合并相邻最小项，可消去变量。 合并两个最小项，可消去一个变量； 合并四个最小项，可消去两个变量； 合并八个最小项，可消去三个变量。 合并2N个最小项，可消去N个变量。
A
相邻
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A
BC

相邻
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A
BC
Y = A + BC + B D
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B D
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例1-11 化简图示逻辑函数。 解：
1 2 多余 的圈
4
3
Y = ACD + ABC + AC D + ABC
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2
3
4
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圈组技巧(防止多圈组的方法)： ① 先圈孤立的1； ② 再圈只有一种圈法的1； ③ 最后圈大圈； ④ 检查：每个圈中至少有一个1未被其它圈圈 过。