高中数学人教课标版必修三《变量间的相关关系》参考课件

名师点睛
1． 相关关系与函数关系的异同点 相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：①函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动 中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关 系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系． ②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关 系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿 童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会新 词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素——年龄，当儿 童长大一些，他们的阅读能力会提高，而且由于长大脚也 变大．
^ ^ ^
一个自然的想法是将各个偏差加起来作为总偏差．可是，由于 偏差有正有负，直接相加会相互抵消，这样就无法反映这些数 据点的贴近程度，即这个总偏差不能用 n 个偏差之和 (yi－yi)
i＝1 n n ^
来表示，通常是用偏差的平方和，即 Q＝ (yi－ a－ bxi)2 作为
i＝1
总偏差，并使之达到最小 ( 类似的思想方法在定义方差时用 过 )．上式展开后，是一个关于 a、 b 的二次多项式，应用配方 法的知识可求出使 Q 取得最小值时 a、 b 的值，
回归直线的方程 2． (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 _________ 一条直线 附近，就称这两个变量之间具有_________ 线性相关 关 系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程与最小二乘法 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数 据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，用Q＝(y1－bx1－a)2＋ (y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2表示点到直线y＝bx＋a的“ 整体距离”，当Q最小时，a，b的值可由下列公式给出：
n n xi－ x yi－ y xiyi－n x y i＝1 i ＝1 b＝ ＝ ， ^ n n 2 xi－ x xi2－n x 2 i＝1 i＝1 a ＝ y －^ b x. ^ 1n 1n 其中 x ＝ xi， y ＝ yi， ni＝1 ni＝1 这样，回归方程的斜率为^ b ，截距为^ a ，回归方程为 ^ y ＝^ b x＋^ a 通过上述求 Q 最小值而得到回归直线的 _________.
方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的 平方和最小 的方法叫做最小二乘法． ___________
回归直线通过样本点的中心，对照平均数与样本数据 之间的关系，你能说说回归直线与散点图中各点之间的关 系吗？
提示 假设样本点为(x1，y1)(x2，y2)，…，(xn，yn)，记 x ＝
1n 1n xi， y ＝ yi，则( x ， y )为样本点的中心，回归直线一 ni ni＝1 ＝1 定过这一点，对于单变量样本数据而言，平均数是样本数 据的中心，类似地，对于双变量样本点而言，回归直线是 样本点的中心．
2.3
2.3.1
变量间的相关关系
变量之间的相关关系
2.3.2
两个变量的线性相关
【课标要求】 1．理解两个变量的相关关系的概念． 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具 有相关关系． 3．会求回归直线方程． 【核心扫描】 1．求回归直线的方程．(重点) 2．准确理解变量的相关关系．(易混点)
解析 题号 ① ② ③ ④ 答案 ④ 判断 函数关系 不是相关关系 原因分析 正方体的棱长与体积的关系为 V＝a3，确定性关系 身高与视力无关，不具有函数 关系，也不具有相关关系
不是函数关系， 自由落体的物体的质量与落地 也不是相关关系 时间无关，不具有相关关性的关系
n xiyi－n x y i＝1 b＝ ^ n 即 xi2－n x 2 i＝1 a ＝ y －^ b x ^ 从而得到回归直线方程．
题型一
变量间相关关系的判断
【例1】下列关系中，属于相关关系的是________． ①正方体的棱长与体积之间的关系； ②人的身高与视力的关系； ③自由落体的物体的质量与落地时间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． [思路探索] 确定两个变量是否有关系，若有关系，是确定 的，还是随机的，即可得到结果．
2．回归直线方程问题 (1)回归直线方程^ y ＝^ b x＋^ a 的理解 这里在 y 的上方加记号 “^ ”是为了区别实际值 y， 表示当 x 取值 xi(i＝ 1,2，…， n)时， y 相应的观察值为 yi，而直线上对应于 xi 的纵坐标是yi＝ a＋ bxi. (2)求回归直线方程的原理 ——最小二乘法． 设 x、y 的一组观察值为(xi，yi)(i＝ 1,2，…，n)，且回归直线方 程为y＝^ a ＋^ b x. 当 x 取值 xi(i＝ 1,2，…，n)时，y 的观察值为 yi，对应回归直线 ^ ^ ^ ^ ^ 上的yi.取yi＝ a ＋ b xi 差 yi－yi(i＝ 1,2，…， n)刻画了实际观察值 yi 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度．我们希望 y i 与 yi 的 n 个偏差构成的总偏差越小越好，这才说明所求的直线是 最贴近已知点的．
自学导引
1．两个变量的线性相关 (1)散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面 直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关 左下角 到_______ 右上角 的区域． ①正相关：散点图中的点散布在从_______ 左上角 到_______ 右下角 的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从_______
规律方法 (1)函数关系是一种确定性关系，如匀速直线 运动中路程s与时间t的关系；相关关系是一种非确定性关 系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系． (2)判断两个变量是否是相关关系的关键是看这两个变量 之间是否具有不确定性．
【变式1】下列关系中，带有随机性相关关系的是________． ①正方形的边长与面积之间的关系；②水稻产量与施肥量 之间的关系；③人一生的身高与年龄之间的关系；④某餐 点热饮销售的数量与气温的关系． 解析 ①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；② 水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是 具有相关性，因而是相关关系；③人的身高与年龄之间的 关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达 到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相 关关系；④一般来说，气温越高，售出的热饮越少．因此 填②④. 答案 ②④