圆锥曲线间的三个统一统一定义、统一公式、统一方程
圆锥曲线的方程与性质总结
圆锥曲线的方程与性质总结1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b ac =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
高二数学选修4-4教案04圆锥曲线的统一极坐标方程
圆锥曲线的统一极坐标方程教学目标掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．教学重点：圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．教学难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．教学疑点：双曲线左支所对应的θ范围，双曲线的渐近线的极坐标方程．活动设计：1．活动：思考、问答、讨论．2．教具：尺规、挂图．教学过程：一、问题引入大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义．学生1答：列定点F(焦点)的距离与列定直线l(准线)的距离比是一个常数e(离心e∈(0，1)时椭圆，e∈(1，f∞)时双曲线，e=1时抛物线．二、数学构建建立统一方程在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程．过F作FK⊥l于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系．设M(ρ，θ)是曲线上任一点，连MF，作MA⊥l于A，MB⊥l于B(如图3-24)．|FK|=常数，设为p．∵|MA|=|BK|=|KF|+|FB|，∴|MA|=p+ρcosθ．这就是圆锥曲线统一的极坐标方程．三、知识理解对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思考讨论并深入了解下述几个要点：(1)必须以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点，Ox轴方向向右，尚若Ox方向向左，其方程如何？(讨论后)学生2答：无需重新求方程，只须两个极坐标系Ox与Ox′之间的坐标关系作坐标转换(图3-25)．(2)根据统一的极坐标方程，由几何条件求出e、p后即可写出曲线的极坐标方程，这要明确e、p的几何意义分别是离心率和焦准距(ep为有关几何量e，p，a，b，c？(讨论后)学生3答：此式为统一极坐标方程的标准式得到一个二元一次方程组，使问题的计算得以简化．e∈(0，1)时，表椭圆．e=1时，表抛物线．e∈(1，+∞)时，表双曲线．但注意到，e＞1时，1-ecosθ≤0关于θ有解，而ep＞0，这样ρ＜0，甚至无意义．前面学过，通常情况下，ρ≥0，这就似乎出现矛盾，如何解决这一矛盾？(讨论后)学生4答：(如图3-26)上面推导统一方程过程中，当m在左支时，|MA|=|BK|=此时方程与右支的情况不同．这时，若设θ=θ′+π，ρ′=-ρ，上述推导与分析实际上是：若射线OP与双曲线有两个交点；当视θ=∠xOP时，则ρ＞0(∵cosθ＜0)，此时所表点是右支上的点；当视θ=∠xOP-π时，则ρ＜0，此时所表点是左支上的点．综上知，e＞1时，统一极坐标方程所表双曲线情况是：若ρ＞0，即1-ecosθ＞0，则表右支；若ρ＜0，即1-ecosθ＜0，则表左支；取θ∈[0，2π)，则θ范围所对曲线如下：线左支；条渐近线．如图3-27所示，只有掌握这一对应关系，才能在有关计算中不会造成混乱和错误．四、应用举例线交椭圆于M、N两点，设∠F2F1M=θ(0≤θ＜π)，求θ的值，使|MN|等于短轴长．解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系椭圆的极坐标方程为设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则五、课堂小结(1)三种圆锥曲线的统一极坐标方程，常数的几何意义．(2)曲线的极坐标方程求法，根据极坐标方程确定a、b、c的注意点及进行有关计算．(3)双曲线左、右支所对的ρ及θ的范围．六、布置作业1．第二教材．2．选择题：线方程是(C) A ．ρcosθ=1 B ．ρcosθ=2(2)椭圆、双曲线、抛物线三条曲线的焦点是极点(椭圆左焦点和双曲线右焦点)，它们的图形如图3-28所示，则图中编号为①、②、③的曲线应分别是(D)．A ．椭圆、双曲线、抛物线B ．抛物线、椭圆、双曲线C ．椭圆、抛物线、双曲线D ．双曲线、抛物线、椭圆双曲线θρcos 5115-=的两渐近线的夹角是 。
圆锥曲线的统一定义焦半径公式PPT课件
a2 cx a x c2 y2
思考1. x c2 y2 a ex , 即为 MF2 a ex ;
若另一种移法可得： MF1 a ex . 这是焦半径公式
思考2.
x c2 y2 c
a2 x
. a
这是椭圆的第二定义.
c
若另一种移法可得：
xB2 3
y B,由2 1
得F1 A 5 F2 B x,A 2 5(xB
xA2 3
yA2
1
2) yA 5yB
,联立方程组可得 xA . 0
x 分析2:（数形结合）如果右准线与 轴的交点为 ,C可以证
明A、B、C三点共线，由定义可以知道 到A 左右准线距离相
等，所以 x。A 0
微课小结 回归课本、高于课本······
一个 背景 二种 结论
一次 探究
二类 思想
椭圆标准方程的推导 圆锥曲线的统一定义、焦半径公式 点坐标
数形结合、消元引参、
移项、两边平方得
x c2 y2 4a2 4a x c2 y2 x c2 y2
a2 cx a x c2 y2
方程形式
两边再平方，得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
x c2
x a2
y2
c. a
c
1.圆锥曲线的统一定义 2.圆锥曲线的焦半径公式
材料1.
设
F1
,F2分
别
为
椭
圆x2 3
圆锥曲线
圆锥曲线概述圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
圆锥曲线的由来两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。
2.3.2抛物线的简单几何性质1(3)
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0
x
p0
x 0
所以抛物线的范围为 x 0, y R
y
2、 对称性
x
(x, y) 关于x轴 (x, y) 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 则 (-y)2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
X=3
四、课堂练习
（1）已知点A（-2，3）与抛物线 y2 2 px( p 0)
的焦点的距离是5，则P = 4 。
（2）抛物线 y2 4x 的弦AB垂直x轴，若|AB|= 4 3 ，
则焦点到AB的距离为 2 。
（3）已知直线x-y=2与抛物线 y2 4x交于A、B两
点，那么线段AB的中点坐标是 (4, 2) 。
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。
例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(E D--半径是2422FE D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E)2=44F-E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
比较好用的圆锥曲线三级公式
比较好用的圆锥曲线三级公式比较好用的圆锥曲线三级公式圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b ²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程 x²/a²+y²/b²=1(a>b>0) x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0) y²=2px(p>0)范围 x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞)y∈[-b,b] y∈R y∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点 (c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线 x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2渐近线—————— y=±(b/a)x —————离心率 e=c/a,e∈（0,1) e=c/a,e∈（1,+∞） e=1焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣焦准距 p=b²/c p=b。
曲线与方程
曲线与方程【要点梳理】要点一：圆锥曲线的统一定义当点P 到定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)cc a a >>时，这个点的轨迹是双曲线，方程为22221x y a b-=（其中222b c a =-），这个常数就是双曲线的离心率．这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上） 的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当01e <<时，它表示椭圆； 当1e >时，它表示双曲线； 当1e =时，它表示抛物线． 其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方分别为22,a a x x c c=-=． 要点二：曲线与方程概念的理解一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解； （2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上.那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线. 要点诠释：（1）如果曲线C 的方程为,0f x y =（），那么点00(,)P x y 在曲线C 上的充要条件为00,0f x y =（）； （2）曲线C 可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而,0f x y =（）正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线C ：{(,)|,0}C x y f x y ==（）. （3）曲线C 也称为满足条件,0f x y =（）的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程,0f x y =（）的解的点不在曲线C 上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线C 是否为满足方程,0f x y =（）的点的轨迹而言. （4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”．要点三：关于坐标法与解析几何1.解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.2.解析几何的两个基本问题：①根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； ②通过方程，研究平面曲线的性质.3.根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ，y ）所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.要点四：求曲线方程①建系：建立适当的直角坐标系； ②设点：设动点坐标P(x,y)；③列式：写出动点P 满足的几何条件，把条件坐标化，得方程F(x, y)=0；④化简：化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解； ⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线是。
高中三年级数学 圆锥曲线的统一定义及其应用
问题2 刘洋同学身高1.7 m, 若在这次跳投中，球在 头顶上方0.25 m处出手， 问：球出手时，他跳离 地面的高度是多少？
3.5m 2.5m
4m
3.05 m
三 归纳小结
1、圆锥曲线的统一定义 2、利用统一定义解决求轨迹，求最值等问题 3、圆锥曲线在生活中的作用
一 创设情境 问题1:圆锥曲线形成的方法： 问题2：抛物线的定义是什么？ 问题3：当距离不相等，动点的轨迹又是什么呢？
一 创设情境
问题3：根据这个常数的变化，你能总结出椭圆、 双曲线、抛物线与这个常数有什么关系？
问题4：你能根据椭圆、双曲线、抛物线的联系给它们 下一个统一的定义吗？ 圆锥曲线的统一定义：
A y 8x2( x 0) B y2 8x( x 0) C x2 8 y( x 0) D x 8 y2( x 0)
练习一
1.动点P到点F（2，0）的距离比到x=-3的距离小1， 则点P的轨迹为（ ）
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.双曲线的一支
2.动点P(x,y)满足 ( x 1)2 ( y ， 2则)2点P1的
如下图,花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1 m,水从 喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,若最 高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则在水池直径 的下列可选值中,最合适的是( )
A 2.5m B 4m
C 5m
D 6m
P O
练习三
如图，有一次,我班刘洋同学在距篮下4m处跳 起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水 平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确 落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
平面上到一个定点F的距离和它到定直线L的距 离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线。
圆锥曲线间的三个统一统一定义、统一公式、统一方程
圆锥曲线间的三个统一巴彦淖尔市奋斗中学0504班高卓玮指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、四种圆锥曲线的统一定义动点P到定点F的距离到定直线L的距离之比等于常数e，则当01e<<时，动点P的轨迹是椭圆：当1e=时，动点P的轨迹是抛物线；当1e>时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e=，我们规定直线L在无穷远处且P与F的距离为定值（非零），则此时动点P的轨迹是圆，同时我们称e为圆锥曲线的离心率，F为焦点，L为准线。
二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p，则2bpa =。
如图1，将椭圆22221(0)x ya ba b+=>>按向量（,0a）平移得到2222()1x a ya b-+=∴222222b by x xa a=+∵椭圆的半通径211||bF M pa==，2221bea=-∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x=+-(01)e<<类似的，如图2，将双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>按向量(,0)a-平移得到2222()1x a y a b +-=∴222222b b y x x a a=+ ∵双曲线的半通径222||b F M a=，2221b e a =- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+->对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成2222(1)(1)y px e x e =+-=对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-=于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。
圆锥曲线统一的极坐标方程
当e 1,
ep 1- e cos
为双曲线
双曲线右支 双曲线左支
（，2 -） （-，）
圆锥曲线统一的极坐标方程
课堂反思
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
圆锥曲线统一的极坐标方程
课后作业
习题1：判断方程 6 为哪类圆锥曲线？ 2 cos
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
谢谢
12/9/2020
圆锥曲线统一的极坐标方程
探究应用
例1：方程为 = 6 表示什么曲线？ 1 2 cos
变式：方程为= 5 表示什么曲线？ 3 2cos
分析：已知方程完全符合圆锥曲线极坐标方程 结构形式.因此判断可以寻找e.
分析：方程并非符合圆锥曲线统一极坐标方程 构造称为圆锥曲线的极坐标方程
ep 1 e cos
习题2：判断方程 5 为哪类圆锥曲线？ 3 3cos
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
圆锥曲线统一的极坐标方程
课后作业
习题1：判断方程 6 为哪类圆锥曲线. 2 cos
解析： e 1，该曲线为椭圆 2
习题2：判断方程 5 为哪类圆锥曲线？ 3 3cos
解析： e 1，该曲线为抛物线
sin2
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
圆锥曲线统一的极坐标方程
温故知新
圆锥曲线
l
统一的名称：圆锥曲线
统一的方程：
思考一：能否找到统一的特征求出统一 的方程？
与一个定点的距离和一条定直线 （定点不在定直线上）的距离的比
等于常数e 的轨迹. 其中当e 1时，轨迹为抛物线
令e 1，直线l为定直线，F为定点，M 为动点 MF 为动点到定点的距离 MA 为动点到定直线的距离
高中数学圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于定长定长通常等于2a,且2a>F 1F 2的点的轨迹叫椭圆;1①椭圆的标准方程：i. 中心在原点,焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax=+.ii. 中心在原点,焦点在y 轴上：)0(12222b a b x a y=+.注：A.以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222b ac =-；B.在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位置,只要看2x 和2y 的分母的大小;②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+.③椭圆的标准方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 一象限θ应是属于20πθ .⑵椭圆的性质①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴,y 轴；长轴长a 2,短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.∵0a c >>,∴01e <<,且e 越接近1,c 就越接近a ,从而b 就越小,对应的椭圆越扁；反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,从而b 越接近于a ,这时椭圆越接近于圆;当且仅当a b =时,0c =,两焦点重合,图形变为圆,方程为222x y a +=;⑦焦点半径：i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点,21,F F 为左、右焦点,则ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a a y b x =+上的一点,21,F F 为上、下焦点,则由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a ca x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆.⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：),(2222a b c a b d -=和),(2ab c⑨焦点三角形的面积：若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ∆的面积为2tan 2θb 用余弦定理与a PF PF 221=+可得;若是双曲线,则面积为2cot2θ⋅b ;（3）（4）共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==,方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数,)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 2.3.椭圆的第二定义：平面内到定点F 的距离和它到一条定直线LF 不在L 上的距离的比为常数e 01e <<的点的轨迹叫做椭圆;其中定点F 为椭圆的焦点,定直线L 为椭圆焦点F 相应的准线;二、双曲线方程1.2. 双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F 1,F 2的差的绝对值等于定长定长通常等于2a,且2a<F 1F 2的点的轨迹叫做双曲线;12||||||2PF PF a -=;⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-.一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b ya x 或02222=-by a xii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2±=. 渐近线方程：0=±bx a y 或02222=-b x a y ,参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴,实轴长为2a , 虚轴长为2b ,焦距2c.③离心率ace =.④准线距c a 22两准线的距离；通径ab 22.⑤参数关系ace b a c =+=,222.⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-by ax21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点“长加短减”原则：与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-M aex F M --='01⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-yA.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线;定义式：a b =；B.等轴双曲线的性质：1渐近线方程为：x y ±= ；2渐近线互相垂直;C.注意到等轴双曲线的特征a b =,则等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴,当0<λ时焦点在y 轴上;⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：02222=-by a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时,它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ,求双曲线的方程解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ,代入)21,3(-得12822=-y x .2.双曲线的第二定义：平面内到定点F 的距离和它到一条定直线LF 不在L 上的距离的比为常数ee>1的点的轨迹叫做双曲线;其中定点F 为双曲线的焦点,定直线L 为双曲线焦点F 相应的准线;三、抛物线方程1抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 不在定直线l 上;定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线;方程()022>=p pxy 叫做抛物线的标准方程;注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上,焦点坐标是F2p ,0,它的准线方程是2px -= ；2抛物线的性质设0 p ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①通径过焦点且垂直于坐标轴的线段为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.px y 22=或py x 22=的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222或⎩⎨⎧==222pt y ptx t 为参数. 四、圆锥曲线的统一定义1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时,轨迹为椭圆；当1=e 时,轨迹为抛物线；当1 e 时,轨迹为双曲线；当0=e 时,轨迹为圆a c e =,当b ac ==,0时.弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=2.备注1双曲线：1等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线,其渐近线方程为x y ±=,离心率2=e . 2共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时,它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x . 备注2抛物线：1设抛物线的标准方程为2y =2pxp>0,则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ,顶点到准线的距离2p,焦点到准线的距离为p.2已知过抛物线2y =2pxp>0焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,则线段AB 称为焦点弦,设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,则弦长AB=21x x ++p 或α2sin 2pAB =α为直线AB 的倾斜角,221p y y -=,2,41221px AF p x x +==AF 叫做焦半径. §弦长公式：。
妙用圆锥曲线的统一方程
妙用圆锥曲线的统一方程程德明(安徽省阜阳市第五中学㊀２３６０００)摘㊀要:圆锥曲线是高中数学中的一章重要内容ꎬ在高考的考试当中ꎬ圆锥曲线的问题也是必考的一种.而且圆锥曲线具有很多特性ꎬ所以它可以与其他的相关知识相结合在一起.这样在考试中它的题型也是多样的.但是尽管题型再多样化ꎬ多元化ꎬ它遵循的定理是不变的ꎬ就像我们常说的ꎬ换汤不换药.题型在不断的改变ꎬ但解题所用的定理是不变的.圆锥曲线包括双曲线㊁椭圆㊁圆和抛物线ꎬ并且它们具有三个统一ꎬ统一定义㊁统一公式和统一方程.本文就圆锥曲线的统一方程展开讨论ꎬ从圆锥曲线的诞生及发展讲圆锥曲线的统一性ꎬ重点讲解几种用圆锥曲线的统一方程的应用.关键词:圆锥曲线ꎻ统一方程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０７－００４１－０３收稿日期:２０１８－１２－０５作者简介:程德明(１９８３.１１－)ꎬ男ꎬ安徽省阜阳人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀一㊁圆锥曲线的诞生及发展圆锥曲线最早是由古希腊学者梅内克谬斯(Ｍｅｎａｅｃｈｍｕｓ)进行系统研究的ꎬ他用顶角分别为直角㊁锐角和钝角ꎬ三种直圆锥以不过顶点而垂直一条母线的平面截割这三种圆锥曲面ꎬ而分别得到抛物线㊁椭圆和双曲线的一支.设圆锥的半顶角为αꎬ平面与圆锥的轴所成的角为θ:㊀当θ＝α时ꎬ截面和圆锥的一条母线平行ꎬ交线是抛物线ꎻ当α<θɤπ/２时ꎬ截面和所有的母线相交ꎬ交线是椭圆ꎬ特别当θ＝π/２时ꎬ交线时圆ꎻ当０ɤθ<α时ꎬ截面和两条母线平行ꎬ交线时双曲线.㊀㊀因此ꎬ圆锥曲线包括抛物线㊁椭圆和双曲线ꎬ统称圆锥曲线.随着社会的不断发展ꎬ科学的不断进步ꎬ到了亚历山大里亚时期ꎬ阿波罗尼奥斯在他的«圆锥曲线学»中指出同一圆锥的不同截口曲线可以是抛物线㊁椭圆和双曲线ꎬ并且研究了圆锥曲线的共轭直径㊁切线和法线及其性质.这就让圆锥曲线不断的发展起来ꎬ并逐渐的应用起来直到现在.在高考的数学当中ꎬ圆锥曲线问题也是一个每年必考的题型ꎬ所以人们对圆锥曲线这个问题也越来越重视并进行多次研究.㊀㊀二㊁圆锥曲线的统一性圆锥曲线的统一性包括统一定义㊁统一公式和统一方程.从双曲线和椭圆来看ꎬ二者有许多相似的地方和相同的特性.例如ꎬ它们都有离心率和焦半径㊁切线方程㊁焦点三角形㊁焦准距和通径ꎬ而且他们这些特性的表达式都是十分相似的ꎬ它们的原理也是相同的.只是因为它们的图形不一样ꎬ所以他们有了一些微小的差别.也正是因为他们有这样多的详细的性质ꎬ所以考试时会在圆锥曲线当中也衍变出许多的问题ꎬ而且这些问题又可以与其他的知识点相结合ꎬ所以这也成了热门的考试题型之一的原因.其中他们的统一性的应用最常见的是中点弦的求解问题.中点弦方程的求解方法有以下几种.１.联立方程法一般这样的题型中会在已知条件中告诉我们截锥曲线的方程和与这条弦有关的条件.我们可以利用点斜式设出该弦的方程.然后将这个方程与圆锥曲线方程联立.然后消去一个未知数ꎬ由韦达定理得到两根之和的表达式ꎬ再由中点坐标公式和两根之和的具体数值ꎬ求出该弦的方程.１４２.点差法(代点相减法)我们都知道弦一定与圆锥曲线图形有两个交点ꎬ我们一般也叫作为弦的两端点.设出弦的两端点坐标(ｘ１ꎬｙ１)和(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ代入圆锥曲线的方程ꎬ然后二者相减ꎬ将会得到一个弦中点与斜率有关的方程ꎬ这种方法大大地减少了我们的计算量ꎬ我们把它叫作点差法或者是代点相减法.㊀㊀三㊁妙用圆锥曲线的统一方程圆锥曲线的统一方程的性质不只用在求解中点弦时ꎬ更多的是利用它的性质与其他知识相结合的题.下面就总结一下妙用圆锥曲线的统一方程的题型.１.求圆锥曲线的离心率及离心率的取值范围在解决这类型问题时ꎬ最简单的方法就是直接用定义ꎬ而在大多数的题型中ꎬ并没有直接给到我们所需要的ａ和ｃ的值.所以我们会选择用更多其他的方法来解出ａ和ｃ的值或者是与ａ和ｃ有关的关系式.其次就是可以根据直线与圆锥曲线的位置为背景ꎬ设而不求确定ｅ的方程.在求解的ｅ的取值范围时ꎬ我们更多的是去构造不等式来确定ｅ的取值范围.还有一种方法就是利用数形结合的方法确定ａ与ｃ有关的不等式ꎬ这种办法可以直接从图上观察到一些特点ꎬ可以让学生有更好的思路去解题.下面通过一个例题来看如何求圆锥曲线的离心率及离心率的取值范围.㊀㊀例１㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的右支上存在一点ꎬ它到右焦点及左准线的距离相等ꎬ则双曲线离心率的取值范围是(㊀㊀).Ａ.(１ꎬ２]㊀㊀Ｂ.[２ꎬ＋ɕ)Ｃ.(１ꎬ２＋１]㊀㊀Ｄ.[２＋１ꎬ＋ɕ)解析㊀Ｃ.ｅｘ０－ａ＝ｘ０＋ａ２ｃң(ｅ－１)ｘ０＝ａ２ｃ＋ａңａ２ｃ＋ａ≧(ｅ－１)ａꎬʑｅ－１ɤ１＋ａｃ＝１＋１ｅ⇒ｅ２－２ｅ－１ɤ０⇒１－２ɤｅɤ１＋２.而双曲线的离心率ｅ>１ꎬʑｅɪ(１ꎬ２＋１]ꎬ故选Ｃ.２.求圆锥曲线上点的坐标求圆锥曲线上点的坐标一般用的是联立方程的方法.我们都知道圆锥曲线与直线的位置关系结果就是可能有一个交点ꎬ或者是两个交点ꎬ或者没有交点.所以当联立一个方程组之后ꎬ会得到一个方程式.我们可以根据方程式去求Δ的值ꎬ比较它和零的大小ꎬ若是大于０ꎬ则说明有个不同的交点ꎻ如果是等于０说明有一个交点ꎻ小于０的时候ꎬ就没有交点.然后再通过韦达定理进行进一步的计算.下面通过一个简单的例题来求圆锥曲线上的一个点.例２㊀点Ａ㊁Ｂ分别为椭圆ｘ２３６＋ｙ２２０＝１长轴的左㊁右端点ꎬ点Ｆ是椭圆的右焦点ꎬ点Ｐ在椭圆上ꎬ且位于ｘ轴上方ꎬＰＡʅＰＦ.(１)求点Ｐ的坐标ꎻ(２)设Ｍ是椭圆长轴ＡＢ上的一点ꎬＭ到直线ＡＰ的距离等于｜ＭＢ｜ꎬ求椭圆上的点到点Ｍ的距离ｄ的最小值.解析㊀(１)由已知可得点Ａ(－６ꎬ０)ꎬＦ(４ꎬ０)ꎬ设点Ｐ的坐标是(ｘꎬｙ)ꎬ则ＡＰң＝(ｘ＋６ꎬｙ)ꎬＢＰң＝(ｘ－４ꎬｙ).由已知得ｘ２３６＋ｙ２２０＝１ꎬ(ｘ＋６)(ｘ－４)＋ｙ２＝０.{消去ｙꎬ得２ｘ２＋９ｘ－１８＝０ꎬʑｘ＝３２或ｘ＝－６.由于ｙ>０ꎬ只能ｘ＝３２ꎬ于是ｙ＝５３２ꎬ所以点Ｐ的坐标是(３２ꎬ５３２).３.求最值求最值的问题一般是出现在大题当中ꎬ最后的压轴题当中.在求解最值时ꎬ也会用到联立方程组的方法ꎬ找到交点ꎬ然后再结合题中的其他条件.而最值最常见的是与抛物线相结合ꎬ我们都知道抛物线有最高点与最低点的两种可能ꎬ一些圆锥曲线问题就会与抛物线相结合ꎬ它们的交点刚好就是抛物线的顶点ꎬ最后用这两种图形的特性去证明这一点就是它们的最值点.这只是其中的一种情况ꎬ还有的会在它们的弦的中点或者是１/３处等ꎬ它们的解决方法都离不开圆锥曲线的性质.根据上一题的第二问ꎬ我们看一下在最值问题中的应用.(２)直线ＡＰ的方程是ｘ－３ｙ＋６＝０.设点Ｍ的坐标是(ｍꎬ０)ꎬ则Ｍ到直线ＡＰ的距离是｜ｍ＋６｜２ꎬ于是｜ｍ＋６｜２＝｜ｍ－６｜ꎬ又－６ɤｍɤ６ꎬ解得:ｍ＝２.ȵ椭圆上的点(ｘꎬｙ)到点Ｍ的距离是ｄꎬʑｄ２＝(ｘ－２)２＋ｙ２＝ｘ２－４ｘ＋４＋２０－５９ｘ２＝４９(ｘ－９２)２＋１５.由于－６ɤｘɤ６ꎬ所以当ｘ＝９２号时ｄ取最小值１５. ２４４.求距离在圆锥曲线中求距离也是最常见的一种题型.而这个求距离一般都是运用公式.在学习圆锥曲线问题之前ꎬ我们就学习过两点之间的距离公式ꎬ还有坐标ꎬ向量它们之间的距离是怎样求的.圆锥曲线问题就可以与这些知识点相结合ꎬ考察的就是求距离问题.求距离也是利用圆锥曲线与其他图形相结合的性质来解决ꎬ尤其是一些函数的联立ꎬ这种题型也一般出现在大型题中.下面通过一个距离的范围例题来解释一下圆锥曲线中距离的问题.例３㊀已知椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点分别是Ｆ１㊁Ｆ２ꎬ其离心率ｅ＝１２ꎬ点Ｐ为椭圆上的一个动点ꎬәＰＦ１Ｆ２面积的最大值为４３.(１)求椭圆的方程ꎻ(２)若Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ㊁Ｄ是椭圆上不重合的四个点ꎬＡＣ与ＢＤ相交于点Ｆ１ꎬＡＣң ＢＤң＝０ꎬ求｜ＡＣң｜＋｜ＢＤң｜的取值范围.㊀㊀解㊀(１)当点Ｐ是椭圆的上㊁下顶点时ꎬәＰＦ１Ｆ２的面积取最大值ꎬ此时ＳәＰＦ１Ｆ２＝１２｜Ｆ１Ｆ２｜｜ＯＰ｜＝ｂｃ.ʑｂｃ＝４３.ȵｅ＝１２ꎬｂ＝２３ꎬａ＝４ꎬ所以椭圆方程为ｘ２１６＋ｙ２１２＝１.(２)由(１)得Ｆ的坐标为(－２ꎬ０).因为ＡＣң ＢＤң＝０ꎬ所以ＡＣʅＢＤ.①当直线ＡＣ与ＢＤ中有一条直线斜率不存在时ꎬ易得｜ＡＣң｜＋｜ＢＤң｜＝６＋８＝１４.②当直线ＡＣ斜率ｋ存在且ｋʂ０时ꎬ其方程为ｙ＝ｋ(ｘ＋２)ꎬ设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＣ(ｘ２ꎬｙ２)则点Ａ㊁Ｃ的坐标是方程组ｙ＝ｋ(ｘ＋２)ꎬｘ２１６＋ｙ２１２＝１{的解.化得(３＋４ｋ２)ｘ２＋１６ｋ２ｘ＋１６ｋ２－４８＝０ꎬｘ１＋ｘ２＝－１６ｋ２３＋４ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－１６ｋ２－４８３＋４ｋ２.｜ＡＣң｜＝１＋ｋ２｜ｘ１－ｘ２｜＝２４(ｋ２＋１)３＋４ｋ２.此时直线ＢＤ的方程为ｙ＝－１ｋ(ｘ＋２).同理由ｙ＝－１ｋ(ｘ＋２)ꎬｘ２１６＋ｙ２１２＝１ꎬ{可得ＢＤң＝２４(ｋ２＋１)４＋３ｋ２.｜ＡＣң｜＋｜ＢＤң｜＝２４(ｋ２＋１)４＋３ｋ２＋２４(ｋ２＋１)３＋４ｋ２＝１６８(ｋ２＋１)２(３＋４ｋ２)(４＋３ｋ２).令ｔ＝ｋ２＋１ꎬ则｜ＡＣң｜＋｜ＢＤң｜＝１６８１２＋ｔ－１ｔ２(ｔ>１).ȵｔ>１ꎬ０<ｔ－１ｔ２ɤ１４ꎬʑ｜ＡＣң｜＋｜ＢＤң｜＝１６８１２＋ｔ－１ｔ２ɪ[９６７ꎬ１４).综上ꎬ｜ＡＣң｜＋｜ＢＤң｜的取值范围是[９６７ꎬ１４]小结:圆锥曲线的图形较多ꎬ它的特点也多.其次就是圆锥曲线的知识点相对很多ꎬ而且各种图形的特点是相似的ꎬ这也就造成了同学们轻易地就混淆了它们的公式ꎬ尤其是一些正负号的记忆ꎬ如果不能够真正地从理论上去理解这个知识点ꎬ那么对圆锥曲线的记忆是有一些困难的.出题者也会因为圆锥曲线的性质多ꎬ与其他知识点结合的多样性而热衷于去出更多的圆锥曲线有关的问题去考查学生.但是如果能够真正掌握了圆锥曲线统一性的运用ꎬ能够灵活巧妙地去解剖一些题型ꎬ就会发现很多的题型利用的都是圆锥曲线的统一方程这一特点ꎬ所以我们在学习的过程中更应该注重对统一方程的应用.㊀㊀㊀㊀参考文献:[１]王成维.高中数学自主学习解题大典[Ｍ].天津:光明日报出版社ꎬ２０１３.[２]何乃文.朴实无华陷无奈峰回路转显神奇:从一道高考试题谈与圆锥曲线焦点弦㊁离心率相关的一类问题[Ｊ].中国数学教育:高中版ꎬ２００９(１２):３５－３６.[３]朱云艳.应用圆锥曲线的极坐标方程对一个猜想的探究拓展[Ｊ].上海中学数学ꎬ２０１３(５).[４]于雷.对一道高考数学试题的思考与拓展[Ｊ].中国数学教育:高中版ꎬ２００９(６):４０－４１.[责任编辑:杨惠民]３４。
圆锥曲线与方程知识总结
高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固知识网络知识要点梳理知识点一：圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。
平面内，到一定点的距离与它到一条定直线（不经过定点）的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。
定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率。
①e∈（0，1）时轨迹是椭圆；②e=1时轨迹是抛物线；③e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。
知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质1．椭圆：(1)定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；(3)椭圆的的简单几何性质:范围：，，焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝，2．双曲线(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.(3)双曲线的简单几何性质范围：，；焦点，顶点，实轴长=，虚轴长=，焦距＝；离心率是，准线方程是；渐近线：.3．抛物线(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(2)标准方程四种形式：，，，。
(3)抛物线标准方程的几何性质范围：，，对称性：关于x轴对称顶点：坐标原点离心率：.知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程，其判别式为Δ。
(1)若Δ＞0，则直线和椭圆相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和椭圆相切，有一个切点(或一个公共点)；(3)若Δ＜0，则直线和椭圆相离，无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程后化简方程①若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；②若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线方程代入抛物线方程后化简后方程：①若为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；②若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==-- 31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩52b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。
根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线间的三个统一巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e ，则当01e <<时，动点P 的轨迹是椭圆：当1e =时，动点P 的轨迹是抛物线；当1e >时，动点P 的轨迹是双曲线；若0e =，我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值（非零），则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为焦点，L 为准线。
二、四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为p ，则2b p a=。
如图1，将椭圆22221(0)x y a b a b+=>>按向量（,0a ）平移 得到2222()1x a y a b -+= ∴222222b b y x x a a=+ ∵椭圆的半通径211||b F M p a ==，2221b e a=- ∴椭圆的方程可写成2222(1)y px e x =+- (01)e <<类似的，如图2，将双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>按向量(,0)a -平移得到2222()1x a y a b +-= ∴222222b b y x x a a=+ ∵双曲线的半通径222||b F M a =，2221b e a=- ∴双曲线方程可写成2222(1)(1)y px e x e =+->对于抛物线22(0)y px x =>P 为半通径，离心率1e =，它也可写成2222(1)(1)y px e x e =+-=对于圆心在（P ，0），半径为P 的圆，其方程为222()x p y p -+=，它也可写成2222(1)(0)y px e x e =+-=于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程2222(1)y px e x =+-，其中P 是曲线的半通径长，当0e =，01e <<，1,1e e =>时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。
三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式在同一坐标系下，作出方程2222(1)y px e x =+-所表示的四种圆锥曲线，如图3，设P 、B 、A 、C 分别是圆的圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为2222(1)y px e x =+-的焦点F 则有222(1)(1)11c a a e P OC c a e a c e e --=-===>+++ (1)21p p OA e e ===+，222(1)(01)11a c a e p OB a c e a c e e --=-===<<+++ (0)1p OP p e e ===+ 即方程2222(1)y px e x =+-所表示的四种圆锥曲线的一个焦点为(,0)1p F e +，设焦点F 相应的准线为x m =，则有OF e m =-。
∴准线L 为(1)p x m e e -==+，对于圆0e =表示准线L 在无限远处，设点00(,)M x y 为曲线2222(1)y px e x =+-上在y 轴右侧的动点，则点M 对焦点F 的焦半径00||()1p mF e x m ex e =-=++。
圆锥曲线的在统一，使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地联系起来，从而更好地理解圆锥曲线的含义，更好地运用圆锥曲线解决实际问题。
圆锥曲线中的数学思想方法巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅在解决圆锥曲线的有关问题时，数学思想方法尤为重要，通过对我们平时所遇到的例题及习题的归纳、总结，可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的数学思想方法，帮助我们解决问题。
思想方法一：分类讨论思想例 1. 给定抛物线22y x =设(,0)A a ()a R +∈，P 是抛物线上的一点，且||PA d =，试求d 的最小值。
解：设00(,)P x y (0)x ≥，则2002y x =∴||d PA ====又a R +∈，00x ≥∴（1）当01a <<时，10a ->，此时有00x =min d a ==（2）当1a ≥时，此时有01x a =-min d =评注：引起分类讨论的情况有：参数的取值围、去绝对值符号、大小关系不等式等，在讨论中要思维全面，谨慎，做到不懂不漏。
思想方法二：转化思想例2 已知过点A （―2，―4）且斜率为1的直线L 交抛物线22(0)y px p =>于B 、C 两点，若|AB|、|BC|、|CA|成等比数列，求抛物线方程。
解：直线L 的方程为2y x =-设B （11,x y ），22(,)C x y由222y x y px=-⎧⎨=⎩ 得22(2)40x p x -++=∴122(2)x x p +=+ 124x x =∵|AB|、|BC|、|CA|成等比数列 ∴||||||||BC CA AB BC = 过A 作直线l '∥x 轴，设B 、C 在l '上的射影分别是B '，C ' 则211||||||||2x x BC B C AB AB x ''-=='+ 2212||||||||x CA C A BC B A x x '+==''- ∴21222122x x x x x x -+=+- 即22112()(2)(2)x x x x -=++ ∴212121212()42()4x x x x x x x x +-=+++得24(2)1644(2)4p p +-=+++ 化简为2340p p +-=解得1p =满足1∆>或4p =-（舍去）故所求的抛物线方程为22y x =评注：如何将“|AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为A 、B 、C 三点坐标间的关系是解题的关键，本题巧妙运用了“投影”方法将这一条件转化为在水平线上的三线段之间的比例关系，从而达到转化的目的。
思想方法三：化归思想例3 直线L ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点A 、B 。
（1）数k 的取值围。
（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点。
解：（1）将直线L 的方程1y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=，得 22(2)220k x kx -++= ①依题意直线L 与双曲线C 的右支交于不同两点∴2222220(2)8(2)02220,022k k k k k k k ⎧⎪-≠⎪∆=-->⇒-<<⎨⎪⎪->>--⎩2）设A 、B 两点的坐标分别为1122(,)(,)x y x y则由①可得 12222k x x k +=-，12222x x k =- ② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c ，0）则由FA ⊥FB 得1212()()0x c x c y y --+=整理得：221212(1)()()10k x x k c x x c ++-+++= ③把②式及2c =代入③式化简得：2560k +-=∴65k =-或6(2,5k =∉-（舍去）∴k =使得以AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F 。
评注：解决数学问题的过程，实质就是在不断转化与化归的过程。
应在解题时注意思维调控，恰当转化解题途径，使解题更加便捷。
思想方法四：数形结合思想例4函数y =________。
分析：原式=，其几何模型是定曲线2y x =上的动点(,)p x y 到两定点A （3，2），B （0，1）的距离之差，要求其最大值。
||||||y AP PB AB =-≤==∴max y 评注：利用问题模型的几何意义，借助图形性质来解决问题，可使抽象问题具体化，复杂问题简单化。
思想方法五：函数与方程思想例5 斜率为2的直线与等轴双曲线2212x y -=相交于两点12,P P ，求线段12P P 中点的轨迹方程。
解：设直线方程为2y x m =+代入双曲线方程得2234120x mx m +++=∵直线与双曲线相交于12,P P∴22(4)43(12)0m m ∆=-⨯⨯+>∴6m >或6m <-设12,P P 的坐标为11(,)x y 22(,)x y ，线段12P P 中点为(,)x y 则12223x x x m +==-且4x <-或4x > ∴32m x =- 代入直线方程得： 所求轨迹方程为12y x = （4x >或4x <-） 思想方法六：构造思想例6 已知,x y 满足2211625x y +=，求3y x -的取值围。
解：令3y x -=b ，则3y x b =+原问题转化为：在椭圆2211625x y +=相切时，有最大截距与最小截距 由22311625y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得2216996164000x bx x ++-= 由0∆= 得13b =±∴3y x =的取值围为[－13，13]评注：应用构造思想解题的关键有①要有明确方向，即为何构造②要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合。
思想方法七：对称思想例7 在直线L ：90x y --=上任取一点M 过M 且以椭圆221123x y +=的焦点为焦点作椭圆。
问M 在何处时，所作的椭圆长轴最短，并求出其方程。
解：∵221123x y +=的两焦点12(3,0),(3,0)F F -，1F '是1F 关于L 的对称点 又11F F '的直线方程为30x y ++=与90x y -+=联立，求得1(9,6)F '-，这时12F F '的方程为230x y +-=23090x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 得(5,4)M =- 这时122||a F F '==∴椭圆方程为2214536x y += 评注：用对称思想解题，不仅可以利用对称的性质，沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决。
思想方法八：参数思想例8 在椭圆2244x y x +=上，求使22z x y =-取得最大值和最小值的点P 的坐标。
解：将已知方程转化为22(2)141x y -+= 设椭圆上动点P 为(22cos ,sin )θθ+∴22z x y =-=222241(22cos )sin 5cos 8cos 35(cos )55θθθθθ+-=++=+-∴当4cos 5θ=-，即点P 坐标为23(,)55或23(,)55-时，min 15z =- 当cos 1θ=，即点P 坐标为（4，0）时，max 16z =评注：参数法是很重要的一种方法，特别是求最值问题、不等式问题，引入参数往往能减少变元，避免繁琐的运算。