21.3实际问题与一元一次方程(1)

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21.3 实际问题与一元二次方程教案【新人教版九年级上册数学】

21.3 实际问题与一元二次方程教学内容21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标1. 掌握用“倍数关系”、“面积法”等建立数学模型，并利用它解决实际问题．2. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．3. 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．教学重点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．教学难点根据“倍数关系”、“面积法”等之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．课时安排3课时.1教案A第1课时教学内容21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．教学重点用“倍数关系”建立数学模型．教学难点用“倍数关系”建立数学模型．教学过程一、导入新课师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．试：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．二、新课教学探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？教师引导学生审题，让学生思考怎样设未知数，找等量关系列出方程．分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有个人患了流感．列方程1＋x＋x(x＋1)＝121，整理，得x2＋2x－120＝0．解方程，得x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）2答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？121＋121×10＝1331（人）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?后一轮被传染的人数是前一轮患病人数的x倍．三、巩固练习某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干，如果支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋xx＝91，即x2＋x－90＝0．解得x1＝9，x2＝－10（不合题意，舍去）答：每个支干长出9个小分支．四、课堂小结本节课应掌握：1．利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．2．解一元二次方程的一般步骤：一审、二设、三列、四解、五验（检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去）、六答．五、布置作业习题21.3 第6题．第2课时教学内容21.3实际问题与一元二次方程（2）：建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题．教学目标掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．教学重点如何解决增长率与降低率问题．教学难点解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x是增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量．教学过程一、导入新课同学们好，我们上节课学习了探究1关于“倍数”的问题，知道了解一元二次方程的一般步骤．今天，我们就学习如何解决“增长率”与“降低率”的问题．二、新课教学探究2：两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 0003元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：根据题意，很容易知道甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000（元）；乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200（元）．显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5 000(1－x)2元，于是有5 000(1－x)2＝3 000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．根据药品的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？试比较这两种药品成本的年平均下降率．解：设乙种药品成本的年平均下降率为x，则一年后乙种药品成本为6 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为6 000(1－x)2元，于是有6 000(1－x)2＝3 600．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．同理，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%．思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）．三、巩固练习某人将2 000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1 000元用于购物，剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1 320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2 000元取1 000元，剩下的本金和利息是1 000＋2 000x×80%；第二次存，本金就变为1 000＋2000x×80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1 000＋2 000x×80%＋(1 000＋2 000x×8%)x×80%＝1 320．整理，得1 280x2＋800x＋1 600x＝320，即8x2＋15x－2＝0．解得4。

21.3 实际问题与一元二次方程(第1课时)教案

21.3实际问题与一元二次方程（1）【教学目标】知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述情感态度价值观：1.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，2.了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．【学习重难点】教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题教学难点：发现传播问题中的等量关系【教学过程】一、自主学习1、解一元二次方程都是有哪些方法？2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答说明：为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫．二、合作学习【探究1】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“两轮传染”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了人；第一轮传染后，共有人患了流感；在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感.（4）根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10， x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．(5)为什么要舍去一解？（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？说明：使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．【探究2】两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元。

人教版九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程-解决代数问题(第1课时)公开课优质教案

21.3实际问题与一元二次方程第1课时解决代数问题教学目标知识技能1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.2.通过学生自主探究，会根据传播问题，百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题解题的具体步骤.3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.数学思考与问题解决1.通过列一元二次方程解决实际问题，培养学生的“模型思想”和对数学的“应用意识”.2.在病毒的传播问题中要弄清每一轮的传播源(即每一轮的感染者也是下一轮的传播者)，同时要注意与细胞分裂、电脑病毒的传播等问题的区别与联系；在百分率问题中，注意弄清数量与百分率的关系，会归纳总结出增长率(降低率)问题的等量关系.情境态度通过列方程解决实际问题，让学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，感知数学与生活的密切联系，体会数学知识应用的价值，不断提高学生学习数学的兴趣.重点难点重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题.难点如何理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题、百分率问题中的数量关系.教学设计活动1 创设情境一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？分析：设这个小组x人，那么每个人要送给除了他自己以外的人，共送张贺卡，由此可列方程： .提出问题：列一元二次方程解决实际问题的步骤有哪些？总结：(1)审：认真审题，分清题意，弄清已知量和未知量，寻找相等关系；(2)设：就是设未知数，分直接设未知数和间接设未知数，到底选择何种方式设未知数，要以有利于列出方程为准则；(3)列：就是根据题目中的已知量和未知量之间的关系列出方程；(4)解：就是求出所列方程的解；(5) 就是检验方程的解.首先检验计算是否正确，然后检验每个解是否复合问题的实际意义，再正确取舍；(6)答：就是对实际问题进行回答.提出问题：列一元二次方程解决实际问题的步骤与列一元一次方程解决实际问题的一般步骤有哪些相同点和不同点？活动2 探究新知例1 教材第19页探究2变化率问题.提出问题：(1)如何比较哪种药品成本的年平均下降率较大？(2)本题中应该如何设未知数？如何列方程？(3)讨论：在本题解方程的过程中，方程有两个解应该怎么办？(4)哪种药品成本的年平均下降率较大？哪种药品成本的年平均下降额较大？(5)讨论：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？总结:变化率问题的公式若平均增长(或降低)的百分率为x ，增长(或降低)前的量是a ，增长(或降低)n 次后的量是b ，则它们的数量关系可表示为b x a n=±)1((其中增长取＋，降低取－).例2 教材第19页探究1传播问题.提出问题：(1)本题中的已知量未知量分别是什么？(2)本题中我们设直接未知数还是间接未知数？(3)本题中的数量关系是什么？设每轮传染中平均一个人传染x 个人，那么①患流感的这个人在第一轮传染中传染了人；第一轮传染后，共有人患了流感.②在第二轮传染中传染源是人，这些人中每一个人有传染了人，第二轮传染后，共有人患流感.(4)怎么列方程？(5)方程的解是多少？10和－12都是这个实际问题的解吗？(6)如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？(7)请观察式子)1(1x x x +++与[])1(1)1(1x x x x x x x +++++++能不能化简？请在课后写出表示四轮传染、五轮传染后的患病人数的代数式，并猜测n 轮传染后的患病人数.活动3 练习巩固1.参加篮球联赛的每两队之间都进行了两次比赛(双双循环比赛)，共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？2.某商场2014年的经营中，一月份的营业额为200万元.一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均每月营业额的增长率.3.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？活动4 课堂小结与作业布置课堂小结1. 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤是哪些？2.列一元二次方程解决实际问题中，最关键是那一步？检验应该要注意什么？3.变化率问题和传播问题有什么规律？布置作业教材21－22页习题21.3第2—7题.。

人教版九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程(第1课时)公开课精品教案

21.3 实际问题与一元二次方程教学时间课题21.3实际问题与一元二次方程（1）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.2.培养学生的阅读能力.过程方法1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力.3.经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤情感态度通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．教学重点建立数学模型，找等量关系，列方程教学难点找等量关系，列方程教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：同一元一次方程，二元一次方程（组）等一样，一元二次方程和实际问题，也有紧密的联系，本节课就来讨论如何利用一元二次方程来解决实际问题.二、探究新知●探究课本30页问题1分析：设正方体的棱长是xdm，则一个正方体的表面积是多少？10个呢？等量关系是什么？●探究课本38页问题分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度是多少？●某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支点题，板书课题.教师指导学生进行阅读，找关键词，题中数据，联系所要求的量，明确量与量的关系，设直接未知数，表示相关量，找等量关系尝试列方程，求根，根据实际问题要求，对根进行取舍.学生独立解答问题1，2，然后交流，讨论，达到共识.学生尝试叙述，然后师联系曾经学习过的方程应用衔接本节内容，明确本节课任务淡化解方程，重点突出列方程弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．（利息税为利息的20%）分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．●课本46页探究2分析：设甲种药品的成本年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本是多少？两年后甲种药品成本是多少？相关的等量关系是什么？类似的乙甲种药品成本的年平均下降率是多少？相关的等量关系是什么？方程的解都是该问题的解吗？如果不是，如何选择？为什么？如何回答课本46页思考？归纳：通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？●某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？分析：设平均增长率是x，则二月份生产电视机的台数是多少？三月份生产电视机的台数是多少？第一季度生产电视机的总台数还可以怎样表示？等量关系是什么？归纳：以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．三、课堂训练补充练习：生归纳师引导生对照上题，分析找出两题的异同点让学生体会建立数学模型思想，分析、解决实际问题.学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记.让学生更加熟练地列方程解应用题，并强化运用.把握百分率问题的解题技巧通过类比，联系新旧知识，明确共性.使学生巩固提高，了解学生掌握情况纳入知识系统，总结本节课内容，把握利用列一元二次方程解常见实际问题的题的技巧○1．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）．A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元 ○2．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（）．A ．100p p + B ．p C ．1001000p p- D ．100100p p +○3． 2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（）．A ．100（1+x ）2=250 B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250C ．100（1-x ）2=250 D ．100（1+x ）2四、小结归纳1.列一元二次方程解应用题的一般步骤2.利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题五、作业设计必做：P18：1、2、3 选做：P19：9 补充作业：上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大? 教学反思。

《实际问题与一元一次方程》课件

03 实际问题中的一元一次方程应用
行程问题中的一元一次方程
匀速运动问题
通过速度、时间和距离的关系，建立一元一次方程求解。
追及问题
根据两物体的相对速度和时间，建立一元一次方程求解追及时间或距离。
相遇问题
根据两物体相向而行的速度和时间，建立一元一次方程求解相遇时间或距离。
工程问题中的一元一次方程
一元一次方程的概念
一元一次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1 的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的解
使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解。
一元一次方程的标准形式
ax+b=0（a、b为常数，a≠0）。
解一元一次方程的方法
移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解一元一次方程。
解的唯一性
唯一性定理
01
一元一次方程的解是唯一的。
证明方法
02
反证法。假设方程有两个不同的解，通过代入和比较，可以得
到矛盾，从而证明解的唯一性。
实际意义
03
在实际问题中，一元一次方程的解往往代表某个具体的数量或
结果，因此解的唯一性非常重要。
解的合理性
解的合理性定义
解必须满足方程的所有条件，并且符合实际问题的背景和意义。
检验方法
将解代入原方程进行验证，同时考虑解是否符合实际问题的约束条件。
不合理解的处理
如果解不合理，需要检查方程的建立过程是否正确，或者考虑是否存在其他因素导致解的不合理。例如，在实际问题中，解可能是负数或分数，但根据问题的背景，这些解可能不符合实际情况。
05 实际问题与一元一次方程的综合应用
实际问题中的多元一次方程组转化为一元一次方程

《21.3_实际问题与一元二次方程(1)》教案

备课班级
九年级
上课时间
执教人
课题：21.3实际问题与一元二次方程
课时
第1课时
教学设计
课标
要求
能根据具体问题的实际意义，检验方程的根是否合理。
教
材
及
学
情
分
析
1、教材分析：
本节以“探究”的形式讨论如何用一元二次方程解决实际问题，问题中的数量关系更加复杂，目的是是学生更深入地认识一元二次方程与现实生活的联系，加强建模思想，培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，其中，重点是分析实际问题中的数量关系，列一元二次方程。要注意让学生经历完整的建立一元二次方程解决实际问题的过程。
重点
用“倍数关系”建立数学模型．
难点
用“倍数关系”建立数学模型．
教法学法
指导
启发式练习法
教具
准备
教学过程提要
环节
学生要解决的问
题或完成的任务
师生活动
设计意图
引
入
新
课
一、导入
师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？
生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．
试：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．
教
学
过
程
二、实际问题与一元二次方程
1、分析问题，建立模型
2、方法总结，知识内化
(一）探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解一元二次方程的一般步骤：

实际问题与一元一次方程

实际问题与一元一次方程一元一次方程是数学中最基础也最常用的方程形式之一，它可以被用来解决各种实际生活中的问题。

一元一次方程的一大重要用途就是解决实际生活中的问题，我们可以通过一元一次方程来解答物品价格，速度问题，人员工资问题等等。

今天，我们来探讨一元一次方程在实际生活中的应用。

首先，我们来看一元一次方程在价格问题中的应用。

很多时候，我们可能需要计算两种商品或服务的价格之间的关系，一元一次方程可以很好地帮助我们解决这类问题。

比如，假设A和B两个商家在卖同样的商品，但是价格不一样，现在我们想知道如果我们买了一定量的商品，哪个商家的价格更划算。

我们可以通过一元一次方程来解决这个问题。

设A商家的价格为a元，B商家的价格为b元，我们需要买x个商品，通过一元一次方程ax=bx可以得到当x大于0时，a=b。

也就是说，只要商品数量大于0，两家商家的价格是一样的。

这样我们就可以用一元一次方程来解答这个价格问题。

除了价格问题，一元一次方程在速度问题中也有着广泛的应用。

例如，我们在日常生活中经常会遇到这样的问题：两个物体相向而行，在一定时间内相遇，现在我们想知道这两个物体的速度分别是多少？假设物体A的速度为a，物体B的速度为b，他们相向而行，在t时间内相遇。

我们可以通过一元一次方程来解决这个问题。

设距离为d，我们可以得到at+bt=d，也就是a+b=d/t，这样我们就能通过一元一次方程得到a和b。

此外，一元一次方程在人员工资问题中也有着使用。

在公司中，很多时候员工的薪资是根据工作时间来计算的。

例如，某位员工的时薪为a元，他/她一天工作了t小时，现在我们想知道他/她的工资是多少？我们可以通过一元一次方程来解决这个问题。

设工资为s，我们可以得到s=at。

综上所述，一元一次方程在解决实际生活中的问题中有着非常重要的作用。

通过一元一次方程，我们可以解决价格问题，速度问题，工资问题等等。

了解和掌握一元一次方程在实际生活中的应用，对我们的日常生活和学习都有着积极的帮助。

秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与一

第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与一元二次方程学习目标：1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题.重点：分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程来解决问题.难点：正确分析问题（传播问题）中的数量关系.一、知识1.解一元二次方程的四种解法是什么？2.列方程解应用题的一般步骤是什么？二、要点探究探究点1：传播问题与一元二次方程探究1有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?想一想如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支?讨论1在分析探究1和例1中的数量关系时它们有何区别？讨论2解决这类传播问题有什么经验和方法？方法归纳：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．(2)“设”是指设未知数；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“验”就是对所得的解进行检验，得到实际问题的解．例2某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？练一练某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？方法总结：握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以2.【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？方法总结：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列等量关系.例3一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？方法总结：解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准确的表达出原数.三、课堂小结1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980X，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A. x2=1980B. x(x+1)=1980C. 12x(x-1)=1980 D. x(x-1)=19802.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A. 1+x+x(1+x)=73B. 1+x+x2=73C. 1+x2=73D. (1+x)2=733.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（）A. 10B. 9C. 8D. 74.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，则初三有几个班？6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.参考答案自主学习知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.设未知数，找等量关系，列方程，解方程，检验作答.课堂探究二、要点探究探究点1：传播问题与一元二次方程探究1 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得(1+x)2=121.解方程，得x1=10, x2=-12（不符合题意，舍去）. 答：平均一个人传染了10个人.想一想第1种做法：以1人为传染源,3轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331（人）.第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.例1 解：设每个支干长出x个小分支，则 1+x+x2=133，即x2+x-132=0.解得x1=11, x2=-12（不合题意，舍去）.答：每个支干长出11个小分支.讨论1 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.讨论2 （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.例2解：设共有x个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间只比赛一场，故根据题意得(1)15,2x x解得x1=6, x2=-5（舍去）.∴x=6, 答：共有6个班级参赛．练一练解：设共有x人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得(1)10,2x x解得x1=5, x2=-4（舍去）.∴x=5.答：共有5个人参加聚会．【变式题】解：设共有x个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得(1)72,x x解得x 1=9, x2=-8（舍去）.∴x=9.答：共有9个班级参赛．例3解：设这个两位数个位数字为x，则十位数字为(x－3)，根据题意得x2=10(x-3)+x,解得x1=5, x2=6.∴x＝5时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3.答：这个两位数是25或36.当堂检测1.D2.B3.D4.105.解：初三有x个班，根据题意列方程，得1(1)6,2x x化简，得x2-x-12=0,解得x1=4, x2=-3（舍去）.答：初三有4个班.6.解：（1）设每个有益菌一次分裂出x个有益菌,60+60x+60(1+x)x=24000,∴x1=19, x2=-21（舍去）.∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.（2）三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000（个）.7.解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的数字为(5－x)，依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736，解得x1=2, x2=x＝2时，5－x=3；当x＝3时，5－x=2.答：原来的两位数是23或32.。

人教版九年级数学上21.3《实际问题与一元二次方程》第一课时参考教案(

21.3实际问题与一元二次方程（1）一、教学目标1.会利用一元二次方程解决传播问题.2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识.二、教学重点和难点1.重点：利用一元二次方程解决传播问题.2.难点：根据传播问题列方程.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有人得流感.(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.【(1)题答案为11，121，(2)题答案为1+x，1+x+x(x+1)，先让生自己做，然后师进行讲解】（二）创设情境，导入新课师：和一元一次方程一样，利用一元二次方程可以解决实际问题，上节课我们做了一个例题，本节课我们再来看一个例题.（三）尝试指导，讲授新课（师出示下面的例题）例有一人得了流感，经过两轮传染后，共有121人得了流感，每轮传染中平均每一个人传染了几个人？师：大家把这个题目好好默读几遍.（生默读）师：谁能不看黑板说出题目的意思？生：……（让几名同学说）师：这个题目怎么设？生：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.（师板书：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人）师：（在黑板的其它地方板书：第一轮后）设平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有多少人得了流感？生：1+x.（多让几名同学回答，然后师板书：1+x）师：（在黑板的其它地方板书：第二轮后）那么第二轮后，共有多少人得了流感？（让生思考一会儿再叫学生）生：1+x+x(1+x).（多让几名同学回答，然后师板书：1+x+x(1+x)）师：下面大家根据题目的意思列一列方程.（生列方程，师巡视）师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？生：1+x+x(1+x)=121（生答师板书：1+x+x(1+x)=121）.师：（指方程）这是一个一元二次方程，怎么解这个方程？大家试着解一解.（生解方程）师：解出来的结果是什么？生：x1=10，x2=-12（生答师板书：x1=10，x2=-12）.师：（指方程）解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦.实际上我们可以用直接开平方法来解.怎么用直接平方法来解？（稍停）师：（指准1+x+x(1+x)=121）1+x+x(1+x)有公因式1+x，我们把1+x提取出来，得到(1+x)(1+x)（边讲边在其它地方板书：(1+x)(1+x)），可见方程可以化成(1+x)2=121（边讲边在其它地方板书：(1+x)2=121），用直接开平方法解这个方程，容易求出x1=10，x2=-12.师：方程中的x表示每个人传染的人数，所以x2=-12不符合题目的意思，要舍去（板书：（不合题意，舍去））.师：最后还要答.（板书：答：每轮传染中平均每个人传染了10个人）师：下面请大家自己来做一个练习.（三）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程：有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.根据题意列方程，得.提公因式，得( )2= .解方程，得x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：每轮传播中平均一个人传播了个人.3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：(1)经过一轮传播后，共有人知道这个消息；(2)经过两轮传播后，共有人知道这个消息；(3)经过三轮传播后，共有人知道这个消息；(4)请猜想，经过十轮传播后，共有人知道这个消息.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题.俗话说：一传十，十传百.这一传十，十传百是怎么么传的？（指准方程）用方程来表示就是(1+x)2=121.如果传了三轮，就成了(1+x)3；如果传了十轮，就成了(1+x)10.（作业：P21习题1(3)(4)、4，4题中91改为81）四、板书设计（略）。

人教版九年级数学上册第21章第3节《实际问题与一元二次方程》课件第1-3课时

传染病，一传十, 十传百… …
素养目标
21.3 实际问题与一元二次方程/
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程.
探究新知知识点 1
21.3 实际问题与一元二次方程/
第1轮传染后人数 x+1
第2轮传染后人数 x(x+1)+x+1
探究新知
21.3 实际问题与一元二次方程/
根据示意图，列表如下：
传染源人数第1轮传染后的人数第2轮传染后的人数
1
1+x=(1+x)1
1+x+x(1+x)=(1+x)2
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
有更简单的方法解这个
方程吗？
能力提升题
3. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两
轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若
干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌
探究新知
21.3 实际问题与一元二次方程/
【归纳】
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题
分析数量关系建立一元二
设未知数
次方程模型
解一元二次方程
实际问题的解
检验
一元二次方程的根
巩固练习
21.3 实际问题与一元二次方程/
1电. 脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期21.3、实际问题与一元二次方程导学案30

21.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）导学探究阅读教材P19，回答下列问题:1.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染3个人.(1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一轮传染后，共有_______人患了流感.(2)在第二轮传染中，传染源是____人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感.2.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染x 个人.(1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一轮传染后，共有_______人患了流感.(2)在第二轮传染中，传染源是______人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感.3.回忆、类比:用一元一次方程解决问题有哪些步骤?关键是什么? 你能类比出用一元二次方程解决问题的步骤吗?归纳梳理1.列一元二次方程解应用题的步骤: 审、设审、设、找、列、解、检、答.2.循环比赛问题:(1)若n(n ≥2)支球队进行单循环比赛(每两支球队之间只比赛一场)，一共需要进行_______场比赛;(2)若n(n ≥2)支球队进行双循环比赛(每两支球队之间主客场比赛两场)，一共需要进行________场比赛.典例探究【例1】（2014秋•剑阁县校级期中）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？总结：总结：传播问题的基本特征是：以相同速度逐轮传播传播问题的基本特征是：以相同速度逐轮传播. .解决此类问题的关键是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．练1．（2014秋•集美区校级期末）为了宣传环保，秋•集美区校级期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，将倡议书发表在自己的微博上，将倡议书发表在自己的微博上，再邀请再邀请n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请又邀请n 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n 的值是多少？的值是多少？【例2】市体育局要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两球队之间都比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛场比赛，应邀请多少支球队参加比赛? ?总结总结: : n(n ≥2)支球队进行单循环比赛，共需要进行12n(n-1)场比赛. 练2．（20152015•山西模拟）九（•山西模拟）九（•山西模拟）九（11）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（张，则九（11）班的人数是（）班的人数是（）A ．39B ．40C ．50D ．60夯实基础1．（20152015•兰州二模）•兰州二模）•兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，人患了流感，设每轮传染中设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则x 的值为（的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．82.2.（（20152015•东西湖区校级模拟）卫生部门为了控制前段时间红眼病的流行传染，对该种传染•东西湖区校级模拟）卫生部门为了控制前段时间红眼病的流行传染，对该种传染病进行研究发现，病进行研究发现，若一人患了该病，若一人患了该病，若一人患了该病，经过两轮传染后共有经过两轮传染后共有121人患了该病．若按这样的传染速度，第三轮传染后我们统计发现有2662人患了该病，则最开始有（人患了该病，则最开始有（）人患了该病．）人患了该病．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】首先设每轮一人传染了x 人，根据题意可得：第一轮患病的人数为1+1x 传播的人数；第一轮患病人数将成为第二轮的传染源，第二轮患病的人数为第一轮患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一轮患病的人数的人数，等量关系为：第一轮患病的人数++第二轮患病的人数第二轮患病的人数=121=121求得每轮被传染的人数，然后代入求得结果即可．然后代入求得结果即可．【解答】解：设每轮一人传染了x 人，由题意得：人，由题意得：1+x+1+x+（（1+x 1+x）×）×）×x=121x=121x=121，，（1+x 1+x））2=121=121，，∵1+x 1+x＞＞0，∴1+x=111+x=11，，x=10x=10．．∴每轮一人传染了10人；人；设最开始有y 人被传染，则根据题意得：人被传染，则根据题意得：y+10y+10y+10y+10（（y+10y y+10y））+10[y+10y+10+10[y+10y+10（（y+10y y+10y））]=2662]=2662，，解得：解得：y=2y=2y=2．．故选B ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，本题考查了一元二次方程的应用，有关传染问题是一个一元二次方程的老问题，有关传染问题是一个一元二次方程的老问题，有关传染问题是一个一元二次方程的老问题，有有着广泛的应用，求得每轮传染的人数是解答本题的关键着广泛的应用，求得每轮传染的人数是解答本题的关键. .3．（2014春•信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有果不及时控制，第三轮将又有________________________人被传染．人被传染．人被传染．4．（20142014•襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数•襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是9191，每个支干长出多少小分支？，每个支干长出多少小分支？，每个支干长出多少小分支？5（20142014•东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有•东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？典例探究答案：答案：【例1】（2014秋•剑阁县校级期中）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？分析：（1）设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据经过两轮传染后共有121人患病，人患病，可求可求出x ，（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．解答：解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x 人，人，1+x+x 1+x+x（（x+1x+1））=121=121，，x=10或x=x=﹣﹣1212（舍去）（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了10个人；个人；（2）121+121121+121××10=133110=1331（人）（人）．答：第三轮后将有1331人被传染．人被传染．点评：本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人是解题关键．键．练1．（2014秋•集美区校级期末）为了宣传环保，秋•集美区校级期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，将倡议书发表在自己的微博上，将倡议书发表在自己的微博上，再邀请再邀请n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请又邀请n 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n 的值是多少？的值是多少？分析：设邀请了n 个好友转发倡议书，第一轮传播了n 个人，第二轮传播了n 2个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．人参与列出方程求解即可．解答：解：由题意，得解答：解：由题意，得n+n 2+1=111+1=111，，解得：解得：n n 1=﹣1111（舍去）（舍去），n 2=10=10．．故n 的值是1010．．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键．人建立方程是关键．【例2】市体育局要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两球队之间都比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛场比赛，应邀请多少支球队参加比赛? ?【解析】计算n 支球队进行单循环比赛(每两队之间只赛一场)的总场数P ，可这样来考虑:由于单循环赛中每一支球队都和其他的球队进行一场比赛，即每一支球队比赛(n-1)场，n 个球队应赛n(n-1)场，但两个队之间只需比赛一场，故实际进行比赛的总场数P=12n(n-1)（n 为不小于2的整数）的整数）解答：设应邀请n 支球队参加比赛支球队参加比赛,,则12n(n-1)=15 [答案】6支练2．（2015•山西模拟）九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（）班的人数是（）A ．39B ．40C ．50D ．60 解：设九（1）班共有x 人，根据题意得：人，根据题意得：x （x ﹣1）=780，解之得x1=40，x2=﹣39（舍去），答：九（1）班共有40名学生．名学生．故选B ．夯实基础答案1．（2015•兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则x 的值为（的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 解：根据题意得：1+x+x （1+x ）=49，解得：x=6或x=﹣8（舍去），则x 的值为6．故选：B ．2.2.（（20152015•东西湖区校级模拟）卫生部门为了控制前段时间红眼病的流行传染，对该种•东西湖区校级模拟）卫生部门为了控制前段时间红眼病的流行传染，对该种传染病进行研究发现，传染病进行研究发现，若一人患了该病，若一人患了该病，若一人患了该病，经过两轮传染后共有经过两轮传染后共有121人患了该病．若按这样的传染速度，第三轮传染后我们统计发现有2662人患了该病，则最开始有（人患了该病，则最开始有（）人患了该病．病．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】首先设每轮一人传染了x 人，根据题意可得：第一轮患病的人数为1+1x 传播的人数；第一轮患病人数将成为第二轮的传染源，第二轮患病的人数为第一轮患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一轮患病的人数的人数，等量关系为：第一轮患病的人数++第二轮患病的人数第二轮患病的人数=121=121求得每轮被传染的人数，然后代入求得结果即可．然后代入求得结果即可．【解答】解：设每轮一人传染了x 人，由题意得：人，由题意得：1+x+1+x+（（1+x 1+x）×）×）×x=121x=121x=121，，（1+x 1+x））2=121=121，，∵1+x 1+x＞＞0，∴1+x=111+x=11，，x=10x=10．．∴每轮一人传染了10人；人；设最开始有y 人被传染，则根据题意得：人被传染，则根据题意得：y+10y+10y+10y+10（（y+10y y+10y））+10[y+10y+10+10[y+10y+10（（y+10y y+10y））]=2662]=2662，，解得：解得：y=2y=2y=2．．故选B ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，本题考查了一元二次方程的应用，有关传染问题是一个一元二次方程的老问题，有关传染问题是一个一元二次方程的老问题，有关传染问题是一个一元二次方程的老问题，有有着广泛的应用，求得每轮传染的人数是解答本题的关键着广泛的应用，求得每轮传染的人数是解答本题的关键. .3．（2014春•信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有如果不及时控制，第三轮将又有_____________________人被传染．人被传染．人被传染．解：设一个患者一次传染给x 人，由题意，得人，由题意，得x （x+1x+1））+x+1=81+x+1=81，，解得：解得：x1=8x1=8x1=8，，x2=x2=﹣﹣1010（舍去）（舍去），第三轮被传染的人数是：第三轮被传染的人数是：818181××8=648人．人．故答案为：故答案为：648648648．．4．（20142014•襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数•襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是9191，每个支干长出多少小分支？，每个支干长出多少小分支？，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出的小分支的数目是x 个，个，根据题意列方程得：根据题意列方程得：x x 2+x+1=91+x+1=91，，解得：解得：x=9x=9或x=x=﹣﹣1010（不合题意，应舍去）（不合题意，应舍去）；∴x=9x=9；；答：每支支干长出9个小分支．个小分支．5（20142014•东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有•东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x 人，人，1+x+x 1+x+x（（x+1x+1））=49x=6或x=x=﹣﹣8（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了6个人；个人；（2）4949××6=2946=294（人）（人）．答：第三轮将又有294人被传染．人被传染．。

21.3 实际问题与一元二次方程1教学设计1

21.3 实际问题与一元二次方程【本节分析】本单元主要是在具体问题中加深对一元二次方程的综合应用，培养学生对方程的建模意识，同时让学生明确应用题的关键在于（1）弄清题意（2）根据题意，找出等量，列出方程（3）正确求解方程并检验解的合理性.主要有以下四类问题：流感传播问题、增长率问题、营销问题、面积问题.对于数量关系较多学生在思考时可能会有一定的难度，引导学生用图像、表格等不同的形式分析题意，提炼数学信息，并将相关语言翻译为数学语言，进而确定相关量之间的数量关系，最终建立一元二次方程的数学模型.【学情分析】此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题.本节是讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展.用一元二次方程解决实际问题有一定的难度，解决这问题要以多练为主．【课时安排】3课时21.3 实际问题与一元二次方程【教学目标】1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.2．能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.【教学重难点】重点:正确列出一元二次方程并根据实际意义检验结果的合理性.难点:准确判断实际问题中的数量关系，并找到相等关系.【课前准备】多媒体课件教学设计（一）【教学过程设计】一、设计问题，创设情境（一）前期回顾1．课件出示一个简单的实际问题让学生解决，最快的方法是用一元一次方程来解决这个问题，起到与本节课的类比效果.2．学生解决完这个实际问题后，提出问题“用一元一次方程解决实际问题需要哪些步骤？”让学生来回顾总结用一元一次方程来解决实际问题所用的步骤.3．课件出示问题：简单回顾一元二次方程的解法有哪些？（二）探究活动1．课件出示实际问题：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？2．教师提出探究活动的问题引导：1. 问题中有哪些数量关系？2. 如何理解“经过两轮传染后共有……”？3. 问题中有怎样的相等关系？4. 如何选取未知数并根据相等关系列出方程？3．学生活动：根据提出的问题引导进行小组讨论，并把讨论的结果进行记录设计意图：前期回顾环节是通过解决一个简单的用一元一次方程解决的实际问题，让学生回顾用方程解决实际问题的步骤，达到温故知新，为这节课用一元二次方程解决问题做好铺垫.复习一元二次方程的解法也是本节课的学习需要.对于探究活动，为了让学生有的放矢，设置了几个问题引导，让小组交流更有成效.二、信息交流，揭示规律1．学生交流共享：学生将小组交流成果展示，课件展示分析过程，学生填写（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人（2）则第一轮的传染源有______人，有________ 人被传染（3）第二轮的传染源有______人，有__________ 人被传染（4）两轮过后共有_____________人患了流感？（5）你能根据问题中的数量关系列出方程并解答吗？2.学生活动：尝试写出探究一的解答过程，并由一名学生板演.3.师生出示解答过程，并与学生一起共同定义解题步骤.4.师生共同归纳总结用一元二次方程解决实际问题的一般步骤，并比较与一元一次方程解决实际问题的异同.设计意图：本环节注重学生的探究与小组交流活动，为了更高效的完成探究任务，教师设计了几个问题引导，师生共完成问题解决并归纳所需步骤，养成学生边学习边归纳的习惯，掌握好这种数学模型的应用.三、运用规律，解决问题1．学生根据上一环节的解题规律乘胜追击，解决问题“如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？”2．对于传播问题，教师引导学生进行规律的探索“对类似的传播问题的数量关系你有新的认识吗？”学生交流讨论.3．应用新知：某种植物的主干长出若干树木的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？4. 教师引导学生找到“枝干”的问题与前面的“传播问题”有何异同？教导学生针对不同的实际问题，找到不同的解决思路，学会具体问题具体分析.设计意图:对于探究一“传播问题”的一个延伸问题，目的是检验学生是否对这一类问题的数量关系理解透彻，熟练掌握.解决“枝干”问题的过程中提示学生相似问题的解题思路不一定相同，学会具体问题具体分析，而不是简单套公式.四、变练演编，深化提高应用：1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组有多少名同学？2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?3.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数.设计意图：通过这几个不同类型实际问题的解决，让学生熟练掌握用一元二次方程解决实际问题的步骤，并在解决问题的过程中进行总结和反思.五、反思小结，观点提高1．用一元二次方程解决实际问题你认为要经过那些过程？2．比较以前的用一元一次方程解决实际问题，你认为我们这节课更要注意什么问题？谈谈你的感想？3．本节课我们主要针对解决了一类实际问题，你们能形象的定义一下吗？解决这类问题你们掌握了什么方法或者窍门吗？设计意图：通过归纳，进一步让学生理解并掌握用一元二次方程解决实际问题的步骤，并对其中的验根环节加以强调.通过对本节课的传播类的问题的研究，帮助学生养成归类总结的好习惯，在学习过程中善于找规律，找捷径.六、课后作业，分层提升必做课本第21页习题21.3第2、3、5、6题七、板书设计：21.3 实际问题与一元二次方程解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人列方程1+x+x(1+x)=121解方程，得x1=10，x2= -12根据题意，舍去x2= -12答：每轮传染中平均一个人传染了10个人八、教学反思、本节课通过引入一个实际问题，让学生掌握了用一元二次方程解决问题的数学模型，学生能够在之前学习的基础上总结出解决问题的一般步骤.难点还是在于由实际问题向数学模型的转化，应该对熟悉问题中的数量关系，找到相等关系这一环节进行大量的练习，以提高学生正确列出一元二次方程来解决实际问题的能力.设计者：张颖。

实际问题与一元一次方程(1)

实际问题与一元一次方程（1）主备人：张晓璐审核人：数学组时间：教学目标：1.能够找出配套问题、工程问题及和差倍分问题里的等量关系，通过等量关系列出方程。

2.初步学会在具体的情境中从数学的角度去发现问题，并综合运用数学知识和方法解决简单实际问题。

3.通过列一元一次方程表达数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识。

4.在运用方程解决问题的过程中，体会方程的价值。

教学重点：探究实际问题转化成数学方程的思路方法教学难点：将实际问题转化成数学问题，通过列方程解决问题一、课前展示各小组在课前每组准备一道和行程问题或工程问题相关的应用题写在黑板上，并且完成它的解答过程，同时为大家分析这道应用题。

二、自主探究1.配套问题问题1 某服装厂生产一批西装，每2米宽面布可以裁上衣3件或裤子4条，现有宽面布245米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用宽面布多少米？等量关系：（1）生产甲部件的人数与生产乙部件的人数及总人数三者之间的关系：（2）甲部件的数量与乙部件的数量之间的比例关系：（3）生产各部分所需原料与原料总量之间的关系：2.和、差、倍、分问题问题2 2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？等量关系：（1）增长量、原有量与增长率三者之间的数量关系：（2）现有量、原有量与增长量三者之间的数量关系：（3）现有量、原有量与降低量三者之间的数量关系：各小组合作讨论，交流上述问题的过程及结果，寻找相应的等量关系式，完成问题的解答过程。

三、例题讲解例1某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。

1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？分析：每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍时，它们刚好配套。

例2 整理一批图书，由一个人做要40小时完成。

实际问题与一元一次方程精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版实际问题与一元一次方程【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．要点二、常见列方程解应用题的几种类型1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2．行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．5．利润问题 (1) =100% 利润利润率进价(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3) 实际售价＝标价×打折率(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．6．存贷款问题（1）利息=本金×利率×期数（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)（3）实得利息=利息-利息税（4）利息税=利息×利息税率（5）年利率＝月利率×12（6）月利率＝年利率×121 7.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a ．选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．【典型例题】类型一、和差倍分问题例1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?类型二、行程问题1.车过桥问题例2.某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．注：火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火车头)：(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？2.相遇问题（相向问题）例3．小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，求A、B两站间的距离.3.追及问题（同向问题）例4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了13，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度．4.航行问题（顺逆风问题）例5．盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时．已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B 两地间的距离．【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．5.环形问题例6．环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的72倍，环城一周是20千米，求两个人的速度.相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米.【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65m/min的速度，乙从B 以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?类型三、工程问题例7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割23后，改用新式农机，工作效率提高到原来的112倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积．类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）例8．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？类型五、利润问题例9．以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价40%，后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？【变式1】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？【变式2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．类型六、存贷款问题例10．爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7％，五年后取出本息和为17025元，爸爸开始存入多少元.类型七、数字问题例11．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数.【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，这个两位数又是这两个数字的和的4倍，求这个两位数.类型八、方案设计问题例12．为鼓励学生参加体育锻炼．学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为80元．(1)篮球和排球的单价分别是多少元?(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量不少于26个．请探究有哪几种购买方案?【变式】某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的88%购票；方案二：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．(1)若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱?(2)参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多?【课堂练习】1．某校用56m长的篱笆围成一个长方形的生物园，要使长为16 m，则宽为________m．2．小明和他父亲的年龄之和为54，又知父亲年龄是小明年龄的3倍少2岁，则他父亲的年龄为____岁．3. 甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9米，乙每秒钟跑7米．（1）当两人同时同地背向而行时，经过________秒钟两人首次相遇；（2）两人同时同地同向而行时，经过________秒钟两人首次相遇．4．某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先干一天，然后，甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了x天，乙工作的天数为________，由此可列出方程________________．5. A、B两地相距216千米，甲、乙分别在A、B两地，若甲骑车的速度为15千米/时，乙骑车的速度为12千米/时。