非线性规划问题难点突破
非线性规划算法
非线性规划算法现代数学算法的发展，使得计算机在解决多种实际问题中发挥出越来越重要的作用。
其中，非线性规划算法作为一种重要的优化算法，被广泛应用于生产、经济、地质和金融等领域。
本文将介绍非线性规划问题的定义、特点、求解方法和应用。
一、非线性规划问题的定义非线性规划问题是指在目标函数和约束条件中至少有一项是非线性函数的数学规划问题。
具体的表示形式可以是以下形式：$$\min f(x)$$$$s.t.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_i(x) \leq 0, \ \ i=1,2, \cdots, m $$$$h_j(x) =0,\ \ j=1,2, \cdots, n$$其中，$x$为决策变量，$f(x)$为目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$分别是不等式约束和等式约束条件。
二、非线性规划问题的特点非线性规划问题与线性规划问题相比，具有以下几个特点：1. 非线性规划问题的数学模型较为复杂。
在考虑实际问题时，目标函数中经常包含各种复杂的非线性函数，如三角函数、指数函数、对数函数等等。
同时，约束条件的不等式表达式也可能是非线性函数。
2. 非线性规划问题的求解难度较大。
因为非线性规划问题的目标函数和约束条件不再满足线性性质，导致求解过程中出现很多非线性优化问题。
这也意味着，非线性规划问题中需要用到高级的优化算法，这些算法的计算成本和正确性都需要严格考虑。
3. 非线性规划问题的解可能存在多个局部最优解。
相比线性规划问题，非线性规划问题的解集合往往具有多个局部最优解。
这意味着，解决这类问题时需要针对不同的局部解进行分析，从而找到全局最优解。
三、非线性规划求解方法通常情况下，非线性规划问题的求解方法包括以下几种:1. 梯度方法。
梯度方法是一种基于梯度信息的优化算法，能保证解的收敛性和稳定性。
这种方法的主要思想是通过计算目标函数的梯度信息来确定下一步迭代的方向和步长。
2. 共轭梯度法。
共轭梯度法是在梯度法基础上改进而来的算法，更加高效和优化。
非线性规划问题的求解方法[优质ppt]
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3、问题：
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
如何将此算法模块化？
外点法框图： kk1
初始 x(0),1 0,1 0,k1
以x(k)为初始点 , 解
min f ( x) k p( x)
得到 x (k 1)
No
k1k
kp(x(k1)) yes
停 x (k 1) f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)
a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; else m(k+1)=c*m(k);
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
九.非线性规划(NonlinearProgramming)
九. 非线性规划(Nonlinear Programming)非线性规划是研究目标函数和约束条件中至少包含一个非线性函数的约束极值最优化问题。
由于非线性问题的复杂性，非线性规划与线性规划相比在理论和算法上呈现出明显的多样性，成果非常丰富。
非线性规划的理论成果包括约束极值问题到达极值解的充分和必要条件（即最优性条件）、非线性规划的对偶理论等。
非线性规划的算法种类繁多，但本质上都是采用数值计算迭代方法求解非线性方程组。
解非线性规划问题时所用的计算方法最常见的是迭代下降算法，即算法同时具有迭代和下降两种特征:迭代：从一点x(k)出发，按某种规则算出后继点x(k+1)；用x(k)代替x(k+1)，重复上述过程，产生点列{x(k)}；下降：对某个函数，每次迭代后，后继点的函数值要有所减少。
评价算法的几个要素通用性与可靠性对参数与数据的敏感性准备与计算的工作量收敛性一维搜索算法可以归纳为两大类：试探法和函数逼近法。
试探法：黄金分割法（0.618法）；Fibonacci法（斐波那契法）函数逼近法：牛顿法；割线法；抛物线法；插值法多维搜索中使用导数的最优化算法（无约束问题）最速下降法（梯度法）；牛顿法（二阶梯度法）；共轭梯度法；拟牛顿法；……多维搜索无约束最优化的直接方法（不用导数）模式搜索法；Rosenbrock算法；单纯形法；……有约束最优化方法可行方向法；惩罚函数法；线性逼近法及二次规划；SQP(序贯二次规划)法；……十.多目标数学规划(Multiobjective Programming)多目标规划标准形式：(VP)实际问题往往难以用一个指标来衡量，需要用一个以上相互间不很协调（甚至相互冲突）的衡量指标，形成多目标规划问题。
x f x f V T p )](,),(min[1符号V －min 表示区别于单目标求最小，指对向量形式的p 个目标求最小。
由于实际问题中p 个目标量纲不同，有必要对每个目标事先规范化。
非线性规划算法在工程优化问题中的应用探索
非线性规划算法在工程优化问题中的应用探索一、引言非线性规划算法是一种应用于工程优化问题的有效方法。
工程优化问题是指在给定的约束条件下，寻找最优解的问题。
这些问题涉及到多个变量和多个约束条件，且目标函数为非线性函数。
非线性规划算法通过寻找目标函数的极值点，实现了工程优化的目的。
本文将从理论和实践两方面来探讨非线性规划算法在工程优化问题中的应用。
二、非线性规划算法的理论基础非线性规划算法的核心思想是利用数学方法求解非线性优化问题。
其中，常用的算法包括牛顿法、拟牛顿法和遗传算法等。
这些算法基于不同的假设和思想，通过迭代的方式逐步逼近最优解。
在工程优化问题中，非线性规划算法能够有效地处理大规模、复杂的问题，并找到全局最优解或者近似最优解。
三、非线性规划算法在工程优化中的应用1. 工程结构优化工程结构优化是指在给定约束条件下，寻找最优结构设计的问题。
通过非线性规划算法，可以对结构进行优化，使得结构更加稳定、可靠和经济。
例如，在建筑设计中，可以通过优化结构的几何形状和材料的选择，提高结构的抗震性能和承载能力。
2. 电力系统优化电力系统优化是指在给定电力需求和约束条件下，优化电力系统的运行方案。
非线性规划算法可以用于优化电力系统的发电和输电方案，以提高电力系统的经济性和可靠性。
例如，在电力调度中，通过优化发电机组的输出功率和输电线路的负荷分配，可以降低电力损耗和运行成本。
3. 交通网络优化交通网络优化是指在给定交通需求和约束条件下，寻找最优的交通流分配方案。
非线性规划算法可以应用于交通网络的路线规划、交通信号优化和交通拥堵缓解等问题。
例如，在城市交通规划中，通过优化道路网络的布局和交通信号的配时方案，可以提高交通效率和减少交通拥堵。
4. 生产计划优化生产计划优化是指在给定生产需求和约束条件下，优化生产过程的安排和物料的调度。
非线性规划算法可以用于优化生产线的工艺流程、生产批量和生产调度，以提高生产效率和降低生产成本。
非线性规划算法介绍
非线性规划算法介绍在优化问题中，线性规划被广泛应用，但是有时候我们需要解决一些非线性问题。
非线性规划问题是指目标函数或约束条件至少有一个是非线性的优化问题，求解非线性规划问题是在一些工程和科学领域中很重要的任务。
这篇文章将会介绍非线性规划算法的一些概念和原理。
1. 概述非线性规划（Non-linear programming，简称NLP）是指存在非线性的目标函数和约束的最优化问题。
相对于线性规划问题，非线性规划问题的求解要困难得多，因此需要更复杂的算法来解决。
然而，在实际应用中非线性规划问题比比皆是，如金融风险管理、科学研究、交通规划等，因此非线性规划算法的研究意义非常重大。
2. 常见算法(a) 梯度下降法梯度下降法（Gradient descent algorithm）是求解最小化目标函数的一种方式。
在非线性规划问题中，该方法利用目标函数的梯度方向来确定下降的方向，迭代调整参数，直到梯度为零或达到可接受的误差范围。
梯度下降法有多种变形，包括共轭梯度法、牛顿法等。
(b) 拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton methods）是用来求解非线性约束优化问题的经典算法之一。
拟牛顿法利用牛顿法的思想，但不需要求解目标函数的二阶导数，转而用近似的Hessian矩阵来取代二阶导数，并用更新步长向量的方式近似求解目标函数的最小值。
(c) 启发式算法启发式算法（Heuristic algorithms）是一种不确定性的、基于经验的求解方法，因此不保证能找到全局最优解。
虽然有缺点，但启发式算法具有较强的鲁棒性和适应性，可用于非线性规划问题的求解。
常见的启发式算法包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等。
3. 应用案例非线性规划算法在实际应用中发挥着不可或缺的作用。
这里介绍两个基于非线性规划算法的应用案例。
(a) 水利工程在水利工程中，常常需要寻找最优的方案来解决水库调度、灌溉、排洪等问题。
非线性规划算法能够通过寻找水资源的最优利用方法，保证水利工程的经济和社会效益。
非线性规划问题的求解方法
越是接近极值点，收敛越慢；
它是其它许多无约束、有约束最优化方法的基础。
该法一般用于最优化开始的几步搜索。
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以梯度法为基础的最优化方法
min f (x), x E n
求f(x)在En中的极小点
基础：方向导数、梯度
思想：
解析法） 。
一般要用到目标函数的导数。
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（2）直接法
直接法是一种数值方法 这种方法的基本思想是迭代，通过迭代产生 一个点序列{ X(k) }，使之逐步接近最优点。 只用到目标函数。 如黄金分割法、Fibonacci、随机搜索法。
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（3）迭代法一般步骤
（1） 选定初始点 X (0)，k=0 （2） 寻找一个合适的方向 P (k)，k=0，1，2，…
min( x12 2x22 ) s.t. x1 x 2 1
2、将例子程序改写为一个较为通用的罚函数 法程序。（考虑要提供哪些参数）
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2. 内点法（障碍函数法）
min f (x) s.t. gi (x) 0,i 1,2,, m
仅适合于不等式约束的最优化问题
其中 f (x), gi (x)(i 1,2,, m) 都是连续函数，将模型的定义域记为
k=k+1;
end
disp(‘最优解’),disp(x0)
disp('k='),disp(k)
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程序2：计算 P(x (k) )的函数fun2p.m
function r=fun2p(x) %罚项函数 r=((x(1)-1)^3-x(2)*x(2))^2;
非线性规划算法综述
非线性规划算法综述非线性规划是现代数学中的一个重要领域，其应用范围广泛，包括物理学、经济学、机械工程学、化学工程学等众多领域。
而在实际应用中，非线性规划问题往往十分复杂，需要采用各种算法进行求解。
本文将对非线性规划算法进行综述，重点介绍了当前主要的非线性规划算法，包括黄金分割法、拟牛顿法、粒子群算法、遗传算法等。
一、黄金分割法黄金分割法是一种基于区间搜索的优化算法，其核心思想是通过不断缩小搜索区间，逐步逼近最优解。
该算法要求函数必须在搜索区间内具有单峰性质。
黄金分割法的优点是简单易懂、易于实现、对初始区间的选择不敏感。
但其缺点也十分明显，当函数具有多峰性质时，该算法的表现将十分不理想。
二、拟牛顿法拟牛顿法是一种基于梯度下降的优化算法，其核心思想是利用梯度信息寻找搜索方向，并通过迭代逐步改进优化结果。
该算法可以处理非线性约束和非线性目标，且具有较高的收敛速度和精度。
拟牛顿法优点是在一定程度上能解决高维、多约束、多峰等非线性问题，且能够综合利用目标函数和约束条件信息。
但是其在某些情况下会出现收敛陷入局部极小值的问题，需要采用一些策略来提高其质量。
三、粒子群算法粒子群算法是一种基于启发式算法的优化方法，利用群体行为的思想进行全局搜索。
该算法基于种群演化，可以利用全局信息和局部交换以及自我适应等特点，综合利用了搜索中的多样性和少数量的节点数。
粒子群算法的优点是能够解决高维、多峰、非线性约束、非凸性等问题，并且具备较强的全局搜索能力。
然而其也存在较大的局限性，例如易收敛到局部最优解、易出现早熟现象等问题，需结合其他优化算法进一步优化。
四、遗传算法遗传算法是一种基于生物遗传进化机制的优化算法，其核心思想是通过选择、交叉、变异等操作，利用自然选择和适应性的原理进行问题求解。
该算法基于种群智能，适用于高维、非线性、找寻全局最优解等具有良好解空间的优化问题。
遗传算法的优点在于其能够在多峰时取得较优的解，尤其适用于求解具有很多可怕的自变量时。
数学建模中的非线性问题与求解
智能算法在非线性问题求解中的重要性 智能算法的效率和有效性对非线性问题求解的影响 智能算法在不同非线性问题中的表现和适用性 提高智能算法效率和有效性的方法与策略
数值解法：高 效、精确的数
值计算方法
近似解析解法： 简化问题复杂 度，提高求解
效率
人工智能与机 器学习：用于 求解复杂非线
性问题
混合方法：结 合数值解法和 近似解析解法 的优势，提高 求解精度和效
介绍偏微分方程 的基本概念和分 类
阐述非线性偏微 分方程的求解方 法，如有限元法、 有限差分法等
举例说明非线性 偏微分方程的求 解过程，包括建 立数学模型、选 择合适的求解方 法、进行数值计 算等
总结非线性偏微 分方程求解的难 点和挑战，以及 未来发展的方向
求解方法：梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等 应用场景：机器学习、图像处理、信号处理等领域 实例：最小二乘问题、支持向量机等 注意事项：选择合适的求解方法，避免陷入局部最优解
非线性方程的 求解方法：迭 代法、牛顿法、
二分法等
求解实例：求 解非线性代数 方程的数值解
法
求解过程：迭 代过程、收敛 性判断、误差
估计等
实例：求解非线性常微分方程的数值方法 常用算法：欧拉法、龙格-库塔法等 实例应用：在物理、化学、生物等领域的应用 求解技巧：如何处理非线性项、如何选择合适的初值和步长等
离散问题：非线性离散问题通常涉 及到离散的变量和关系，如图论、 组合优化等问题。
定义：非线性问题是指数学模型中的变量之间存在非线性关系的问题，即变量的输出值与输入 值不成正比例关系。
分类：非线性问题可以分为多种类型，如非线性方程、非线性优化、非线性动力学等。
应用场景：非线性问题在各个领域都有广泛的应用，如物理、化学、工程、经济等。
非线性规划难点
线性规划非线性规划哪里是最优解？注意：最优解不在拐角点上，而是在等值线第一次交于可行域之处。
另一个例子Min(x-8) 那么全局无约束最小仍然可行。
最优解不是可行域的边界。
若对于任意两点x,y ∈Ｓ，实数λ∈［0,1］，λx+(1-λ)y ∈Ｓ，那么S 是凸集。
我们把S 中的元素W 叫做极值点（顶点或拐角点），若W 不是S中任何线段的中点。
线性规划的可行域是凸集。
连接任意点的线段总在曲线下端。
（y+z ）／2连接任意点的线段总在曲线上端。
解一元非线性规划：Max f(θ)s.t. a≤θ≤b最优解是边界点或者满足f’(θ*)=0并且f’’(θ*)<0。
搜索区间长度 3最大值可能在哪？能够找到一个局部最大解，但不一定是全局最大解然后估计f(x)= λ1(-20)+λ2(-7 1/3)假定-3≤x ≤-1，将x 表示为λ1(-3)+ λ2(-1) ，λ1，λ2≥0且λ1+λ2＝１。
估计一个非线性一元函数：λ法用分段线性规划近似。
选择不同的x 值描述x 轴。
若-3≤x ≤1 会怎样？如何估计区间中的f()?设-1≤x ≤1,令x= λ2(-3)+ 3(-1), λ1， λ2≥0且λ1+λ2＝１当只有两个λ为正时，该方法给出的近似是正确的。
近似问题：min λ1f(a 1)+λ2f(a 2)+λ3f(a 3)+λ4f(a 4)+其他线性项 s.t. λ1+λ2+λ3+λ4=1；λ≥0 考虑λ1＝λ3＝１/2， λ2＝λ4=０+邻接条件 +其他约束+其他约束+其他约束从一个非线性规划开始： 对任意j,k 成立和邻接条件约束约束限制替代项 原项 代替，并令加入约束。
非线性规划方案山大刁在筠运筹学讲义
非线性规划方案山大刁在筠运筹学讲义那天，阳光透过窗户洒在我的书桌上，我翻看着山大刁在筠教授的运筹学讲义，非线性规划这一章节引起了我的兴趣。
思绪如泉水般涌出，我决定以意识流的方式，写下这篇非线性规划方案。
一、问题的提出非线性规划是运筹学中的一个重要分支，它研究的是在一组约束条件下，如何找到使目标函数取得最优解的问题。
这类问题在实际应用中广泛存在，如生产计划、资源分配、投资决策等。
山大刁在筠教授的讲义中，以一个具体的生产问题为例，引导我们深入探讨非线性规划的方法。
二、方案的构建1.确定目标函数我们要明确目标函数。
在生产问题中，我们通常追求的是最大化利润或最小化成本。
以最大化利润为例，我们可以将目标函数表示为：maxf(x)=p1x1+p2x2++pnxn其中，x1,x2,,xn分别表示各种产品的产量，p1,p2,,pn表示相应产品的单位利润。
2.构建约束条件我们要构建约束条件。
约束条件通常包括资源约束、技术约束、市场约束等。
以资源约束为例，我们可以将其表示为：a11x1+a12x2++a1nxn≤b1a21x1+a22x2++a2nxn≤b2am1x1+am2x2++amnxn≤bm其中，a11,a12,,amn表示各种资源消耗系数，b1,b2,,bm表示各种资源的总量。
3.确定求解方法构建好目标函数和约束条件后，我们需要选择合适的求解方法。
非线性规划问题的求解方法有很多，如拉格朗日乘子法、KKT条件、序列二次规划法等。
在实际应用中，我们需要根据问题的特点选择合适的方法。
三、方案的实施1.确定初始解在实际操作中，我们通常需要先确定一个初始解。
这个初始解可以是任意一个满足约束条件的解。
我们可以通过观察目标函数和约束条件的图形，或者使用启发式算法来找到一个合适的初始解。
2.迭代求解3.分析结果求解完成后，我们需要对结果进行分析。
我们要检查最优解是否满足所有约束条件。
如果满足，那么我们可以将最优解应用于实际问题中。
非线性规划问题难点突破
2．垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于 → HB → HC → → 对边；在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则 HA · ＝HB · ＝ → HA → → → → → → → → HB → HC → → HC· 或HA2 ＋BC2＝HB2＋CA2 ＝HC2＋AB2，反之，若HA · ＝HB · → HA → ＝HC· ，则H是△ABC的垂心． 3．内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形 内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等；在向量表达形式中，若 → → → → → → → → → 点I是△ABC的内心，则有|BC|· ＋|CA|· ＋|AB|· ＝0，若|BC|· ＋|CA IA IB IC IA → → → |· ＋|AB|· ＝0，则点I是△ABC的内心． IB IC
答案：垂
→ → → 4．求证：在△ABC中，存在一点P，使|PA |2＋|PB |2＋|PC|2最小，则 点P是△ABC的重心．
→ → → → → → → 证明：设△ABC的重心为G，因PA ＝GA －GP ，PB ＝GB －GP ，PC → → → → → → → → → GP → ＝GC － GP ，所以|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝3GP2 －2(GA ＋ GB ＋GC )· ＋ → → → GA2＋GB2＋GC2， → → → → → → → 因GA＋GB ＋GC ＝0，所以当GP2 ＝0时，|PA |2＋|PB |2＋|PC|2有最小 → → → 值|GA|2＋|GB|2＋|GC|2，即点P与G重合．
→
＋
→ AC
→
)，λ∈
|AB|cosB
|AC|cosC
(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心． → → AB AC → 【解析】 由条件，得AP＝λ( → ＋ → )， |AB |cosB |AC|cosC
非线性规划问题的求解方法
运行输出：
最优解 1.00012815099165 -0.00000145071779
k= 33
练习题：
1、用外点法求解下列模型
min( x12 2x22 ) s.t. x1 x2 1
2、将例子程序改写为一个较为通用的罚函数 法程序。（考虑要提供哪些参数）
2. 内点法（障碍函数法）
min f (x) s.t. gi (x) 0,i 1,2,, m
第二步：求 (k) 最优的目标函数
function r=fungetlamada(lamada) %关于lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
a 1, b 1 ，a,b 为常数，通常取 a=b=2。
算法步骤
（1）给定初始点 x(0)，初始罚因子 (1) ， 放大系数 c>1；允许误差 e>0,设置 k=1；
（2）以 x(k-1)作为搜索初始点，求解无约束规划问题 min f (x) P(x) ，令 x(k)为所求极小点。
lamada=fminsearch(‘fungetlamada’,la mada);%求最优步长lamada
x0=x0-lamada*fun1gra(x0);%计算x0 d=fun1gra(x0);%计算梯度 k=k+1;%迭代次数
end
disp('x='),disp(x0),disp('k='),disp (k),disp('funobj='),disp(2*x0(1)^2+ x0(2)^2)
非线性规划优化算法的改进及其应用
非线性规划优化算法的改进及其应用随着科学技术的发展，人们在解决复杂问题时需要越来越高效的优化算法。
非线性规划优化算法在实际应用中发挥着越来越重要的作用。
然而，传统的非线性规划优化算法存在一些局限性，例如比较容易陷入局部极小值，求解速度较慢等。
针对这些限制，近年来出现了一些新的非线性规划优化算法，本文将重点介绍这些算法及其应用。
一. 非线性规划优化算法的基本概念在介绍非线性规划优化算法的改进之前，我们需要先了解基本的非线性规划优化算法。
首先，我们需要明确什么是规划问题和线性规划问题。
规划问题是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数最优的决策变量的问题。
如果目标函数是线性函数，则称之为线性规划问题。
如果目标函数是非线性函数，则称之为非线性规划问题。
非线性规划问题的求解比较困难，因为非线性函数往往存在多个驻点或极值点。
在求解时，需要注意避免陷入局部极小值。
常见的非线性规划算法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
二. 基于遗传算法的非线性规划优化算法遗传算法是一种计算智能算法，该算法模拟生物进化的过程，通过交叉、变异等操作不断改进解的质量。
近年来，研究者们将遗传算法应用于非线性规划优化领域，提出了基于遗传算法的非线性规划优化算法。
基于遗传算法的非线性规划优化算法的核心思想是通过遗传算法不断改进解的质量。
具体实现上，需要将遗传算法应用到非线性规划问题中，将个体的适应度函数比较大小，筛选出适应度较高的个体，并通过交叉、变异等操作产生新的个体。
通过反复迭代，最终得到最优解。
基于遗传算法的非线性规划优化算法的优点是能够避免陷入局部极小值，求解效率较高。
但是，该算法需要进行大量的迭代计算，所以算法的时间复杂度较高。
三. 基于深度学习的非线性规划优化算法深度学习是一种典型的人工智能算法，该算法通过神经网络等结构模拟人类神经系统的工作原理，利用大量数据训练模型，在数据中发现规律和模式，实现智能化的预测和决策。
近年来，研究者将深度学习应用于非线性规划优化，提出了基于深度学习的非线性规划优化算法。
非线性多目标规划在工程项目管理中的应用探究
非线性多目标规划在工程项目管理中的应用探究工程项目管理涉及复杂的决策问题，常常需要在多个目标之间进行权衡和优化。
在传统的单目标规划中，只考虑了单一的指标来衡量项目的成功与否，而忽略了多个目标之间的相互影响和关联性。
而非线性多目标规划则提供了一种有效的决策工具，可以同时优化多个目标，并在实践中得到广泛应用。
非线性多目标规划的基本思想是通过建立一个数学模型，在考虑多个目标的前提下，寻找一组最优决策变量值，使得这些目标函数可以同时达到最优。
这一问题可以被描述为一个多约束和非线性的优化问题。
在工程项目管理中，非线性多目标规划可以应用于多个方面。
首先，在项目的目标设定阶段，可以利用非线性多目标规划方法来确定项目的多个目标，并对这些目标之间的重要性进行权衡。
例如，在设计一个新的工程项目时，我们可能有多个目标，包括成本最小化、时间最短化、资源利用率最高等。
通过应用非线性多目标规划，我们可以根据项目的实际情况和需求，确定目标的权重和相对重要性，为后续的决策提供指导。
其次，非线性多目标规划可以应用于项目进度管理中。
在项目执行过程中，常常需要在有限的资源条件下，优化项目进度，并使得各个子任务能够按时完成。
这些子任务通常会有不同的时间和资源限制条件，如工期要求、资源限制、技术约束等。
通过应用非线性多目标规划，可以找到最佳的项目进度安排，使得项目能够同时满足多个目标，减少项目延误的风险。
此外，非线性多目标规划也可以应用于项目资源管理中。
在项目执行过程中，资源的管理和分配是一个重要的问题。
通过应用非线性多目标规划，可以在有限的资源条件下，优化资源的分配方案，使得不同的资源能够合理利用，同时满足项目的多个目标要求。
例如，在一个建筑项目中，我们可能有多个资源需求，如工人、设备和材料等。
通过非线性多目标规划方法，可以确定最优的资源分配方案，以提高工作效率和项目质量。
最后，非线性多目标规划还可以应用于项目风险管理中。
在工程项目中，风险是无法避免的，而风险管理则是确保项目成功的一项重要工作。
(汇总)非线性规划问题的求解方法.ppt
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5
3、问题：
..........
6
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
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7
外点法框图： k k1
初始x(0) , 1 0, 1 0, k 1
以x(k)为初始点, 解
min f (x) k p(x)
得到 x(k 1)
No
k1 k
k p( x(k1) )
..........
yes
停
x(k1) opt
8
4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （1） 给定初始内点 x(0) S ，允许误差 e>0，
障碍参数 (1) ，缩小系数b (0,1) ，置 k=1；
（2） 以 x(k1) 为初始点，求解下列规划问题： min f (x) (k) B(x) ，令x(k) 为所求极小点 s.t. x S
else
m(k+1)=c*m(k);
..........
12
end end
结果：
•
ans =
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• 1.0000
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• ans =
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• -7.1594e-004
•
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• k=
•
• 14
..........
13
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
s.t. x S0 从x(k )出 发, 求 得 x(k1)
No
k1 k
kq( x(k1) )
yes
停
x(k1) opt
如何处理棘手的非线性问题
如何处理棘手的非线性问题最近，我的工程师团队遭遇到了一个真正棘手的的问题。
这是那种正在变得越来越典型的问题，它真真切切地反映出现今来自于实际问题的挑战和复杂性。
为了设计出了一种可膨胀的防泄漏系统，我们需要采用某种非纺织聚合材料作为气囊结构，这种气囊材料像纸一样具有高度的柔韧性，但在特殊的应用中，它会更坚韧，并且具有更多的功能。
我们的任务在于：对于某个给定的气囊尺寸，挑选出最优秀地非纺织聚合材料，保证防泄漏系统可以承受14 psi 的内压而不破裂。
尽管我们解决过一些其他的高度非线性问题，例如，减少复印机中纸张阻塞的问题，改进手机在严重冲击情况下（如跌落）的坚固性问题，以及分析可以承受100 mph风暴袭击的房屋状况，气囊是个棘手的非线性问题。
第一步：搞明白我们到底知道什么首先，我们从已知的事情开始。
我们知道气囊结构在未膨胀之前的尺寸，我们有若干种候选材料的数据，包括薄片厚度，以及标准失效实验的单向应力应变曲线。
通过一些测试，我们观察到，这些气囊结构会显著地伸长，当压力接近破裂值时，气囊结构大约伸长了20％。
这个结果是令人迷惑的，因为根据单方向测试获得的极限失效数据显示，我们本应该观察到相对较低的破裂应力。
此外，我们发现对于这种材料，得到的Mullen破裂压力（片状结构失效行为TAPPI工业标准）显示出大约100％的可变性，然而，当实际气囊充气达到破裂的时候，我们观察到的可变性要低很多。
结论是，经典压力容器计算方程对于这种气囊结构的分析是过于简单了——它低估了应力和应变的作用，误差甚至达到300％的程度！第二步：判断建模是否会起作用使用吸管向一个样本气囊结构内吹气，这就可以实际观察到我们所要面对的挑战，包括褶皱在内的膨胀后复杂的形状表明。
我们成功分析的最佳方法是采用显式动态方法（Explicit Dynamics）。
这是一种特殊的非线性有限元分析方法，汽车设计工程师们常用这种方法对汽车碰撞过程中安全气囊的展开过程进行模拟分析。
职高数学中非线性规划的解题技巧
职高数学中非线性规划的解题技巧
郭鹏
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2013(000)011
【摘要】职高数学中一个较为重要的教学内容便是非线性规划问题．非线性规划问题指的是目标函数或约束条件中包含非线性函数的规划问题．通常情况下，非线性规划可分为三种类型，第一种是约束条件为非线性，目标函数为线性；第二种，约束条件为线性，而目标函数为非线性；第三种，约束条件和目标函数同为非线性．在职高教学和考试中，前两种类型较为常见，是较为重要的教学和考试知识点．本文以第二种类型为例，结合具体的例题，解决线性约束条件下的非线性目标函数最值问题，分析非线性规划问题的解题技巧．
【总页数】1页(P30-30)
【作者】郭鹏
【作者单位】江苏省如皋市第一中等专业学校,226500
【正文语种】中文
【中图分类】G718.2
【相关文献】
1.解决水闸工程设计中非线性规划问题的新途径 [J], 房凯;李凯;臧东年
2.职高数学非线性规划问题的解题策略 [J], 张小芝
3.生物高考中非选评题的解题技巧 [J], 陈伟芬
4.运筹学课程中非线性规划的概念教学探讨 [J], 李高西;杨洁;李季
5.新课标下线性规划解题技巧 [J], 欧中益;阳年春
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类型2 题．
斜率型：求解目标是分式型的，根据两点连线的斜率公式，
把问题转化为已知的平面区域内的点与某个定点连线的斜率的范围问
例2 定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知 b＋1 y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a、b满足f(2a＋b)<1，则 的 a＋1 取值范围是( 1 1 A．( ， ) 5 3 1 B．(－∞， )∪(5，＋∞) 3 1 C．( ，5) 3 D．(－∞，3) )
＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是(
)
【分析】
方程y＝kx＋1表示过定点(0,1)的直线系，画出不等式组
表示的平面区域，根据直线系的特点进行计算．
【解析】
区域D为图中的阴影部分，直线y＝kx＋1恒过定点
x＋y－1＝0， 3x－y－3＝0，
C(0,1)，如果要把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1 只要经过AB的中点即可．由方程组
【答案】 C
本题在知识交汇处命制，要求考生对各个部分的知识有较为全面 的掌握，需要有较强的分析问题、解决问题的能力．
类型3 值．
距离型：当求解目标是二元二次式时，可以通过配方的方
法把其化为关于x，y的平方和的形式，根据两点间的距离公式求解其最
x＋y－1≤0， 例3 已知 x－y＋1≥0， y≥－1，
【答案】
[－1,20]
对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，可以用三个函数值把系数a， b，c表示出来，这样在知道其中三个函数值范围的情况下，就可以求其 他函数值的范围，本题中的二次函数只含有两个待定的系数，故只要知 道其中两个函数值就可以把其系数表示出来，然后表示出f(3)，再根据 不等式的性质确定其取值范围．本题常犯的错误是把a，c的取值范围独 立地求出来，再根据这个范围确定f(3)的范围，这样实际上是扩大了a， c在整体上的取值范围，在本题中已知条件是－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c
利用定义、性质转化，利用平面几何中的结论求解
根据圆锥曲线的定义，把所求的最值与范围问题灵活转化，利用 平面几何的有关结论直接求解，如利用平面内两点之间线段最短、点到 直线的垂线段最短等直接判断，或者利用圆锥曲线的有关性质确定最值 与范围等，关键是灵活利用圆锥曲线的定义或性质进行转化．
例 1 已知点 P 在抛物线 y 2＝4x 上，那么点 P 到点 Q(2， －1)的距离 与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为( 1 A．( ，－1) 4 C．(1,2) 1 B．( ，1) 4 D．(1，－2) )
突破方向二 求解
引入参数，建立目标函数，转化为函数的有关问题
解决解析几何问题最主要的方法就是坐标法，然后利用代数方法 解决有关问题．在解决有关最值、范围问题时，最主要的方法就是通过 设参数利用已知条件建立所求问题的目标函数，将问题转化为该函数的 最值或值域，这是求解最值与范围问题最为普遍的方法，其关键是准确 建立函数关系．
5 8 故f(3)＝9a－c＝－ f(1)＋ f(2)． 3 3
5 5 20 因为－4≤f(1)≤－1，所以 ≤－ f(1)≤ ， 3 3 3 8 8 40 因为－1≤f(2)≤5，所以－ ≤ f(2)≤ . 3 3 3 两式相加得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]． 故填[－1,20]．
(对应学生用书P141)
聚焦5类非线性规划问题 所谓线性规划问题是指在约束条件是线性的情形下求线性目标函 数的最大值或最小值的问题，这类试题虽然是高考考查的重点，但更多 的试题并不是单纯考查线性规划的试题，如给出二元一次不等式组表示 的平面区域，求解区域的面积、求解非线性目标函数的最值等．本文就 谈谈这些类型的问题和解决方法．
当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)，
y＝kx－m， 2 由x 得(1＋4k2)x2－8k 2mx＋4k 2m 2－4＝0， ＋y2＝1， 4
8k2m 设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝ ， 1＋4k2 4k2m2－4 x1x2＝ . 1＋4k2 |km| 又由l与圆x ＋y ＝1相切，得 2 ＝1，即m2k2＝k2＋1. k ＋1
【分析】
把f(1)，f(2)作为一个整体，使用它们表示a，c，即可
a－c＝f1， 由题意得 4a－c＝f2，
把f(3)用f(1)，f(2)表示出来，然后使用不等式的性质求解．
【解析】
a＝1[f2－f1]， 3 解得 c＝－4f1＋ 1f2. 3 3
度较大的一个题目．
求解范围与最值问题的关键是构造目标函数或构造与所求问题相 关的不等式，利用函数的性质或解不等式求解相应的最值与范围，常用 的方法有：转化法、参数法、函数法和基本不等式法等．在处理过程中 要注意题中的一些隐含条件，如直线和曲线相交于不同的两点，需要转 化为二次方程的判别式大于零．
突破方向一
【解】 (1)由已知，得a＝2，b＝1，所以c＝ a2－b2 ＝ 3 ，所以 c 3 椭圆G的焦点坐标为(－ 3，0)，( 3，0)，离心率e＝ ＝ . a 2 (2)由题意，知|m|≥1. 当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A、B的坐标分别为(1， 3 (1，－ )，此时|AB|＝ 3， 2 当m＝－1时，同理可得|AB|＝ 3. 3 )， 2
内，即右图中的△ABC内，根据题意可知点
3 (2,2)到直线x＋y－1＝0的距离最小，这个最小值是 ，故所求的最小 2 9 值是 .故选B. 2
【答案】
B
本题求解的基本思想就是根据目标函数的几何意义进行解题，由 于目标函数不是线性的，而平面区域是由线性约束条件构成的，在解决 这类问题时要注意根据目标函数的变化情况选择其取得最大值或最小值 的位置．
2 2
所以|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 64k 4m 2 44k 2m 2－4 1＋k2[ － ] 1＋4k2 1＋4k2 2
4 3|m| ＝ 2 . m ＋3 4 3|m| 4 3 因为|AB|＝ 2 ＝ ≤2， 3 m ＋3 |m|＋ |m| 且当m＝± 3时，|AB|＝2， 又当m＝± 1时，|AB|＝ 3， 所以|AB|的最大值为2.
为( ) 3 2 A. 2 9 B. 2
且u＝x2＋y 2－4x－4y＋8，则u的最小值
2 C. 2
1 D. 2
【解析】
求解目标u＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其
几何意义是坐标平面内的点P(x，y)到点(2,2)的距离的平方，而点P在平
x＋y－1≤0， 面区域 x－y＋1≥0， y≥－1，
x－y＋1＝0， 程组 3x－y－3＝0，
解得A(1,0)；由方
3 3 解得B(2,3)．所以AB的中点为E( ， )，代入直线 2 2
1 方程y＝kx＋1，得k＝ .故选C. 3
【答案】 C
在含有参数的直线中首先要确定直线系的特点，然后再根据题目 的具体设问确定参数的取值或者取值范围．
)
3 3 B．[－ ， ] 2 2 D．[－1,1]
【分析】
y y x 1 令t＝ ，则 － ＝t－ ，只要求出t的取值范围，再根据 x x y t
1 函数f(t)＝t－ 的性质即可求出其取值范围． x＋y－3≤0， t x－y＋1≥0， y y x 1 【解析】 令t＝ ，则 － ＝t－ .不等式组 x x y t x≥1，
组表示的平面区域是图中的矩形AB′CD′(包含边界)，显然前一个区 域是后面这个区域的真子集．
直线与圆锥曲线位置关系中的
最值与范围问题 直线与圆锥曲线位置关系中的最值与范围问题是历年高考必考的
热点，在选择题、填空题与解答题中均有体现，尤其是在解答题中，命
题者往往结合其他知识将其设计为考查的核心内容，成为高考试题中的 一个难点，对考生的意志和数学知识都是一种考验，是高考试题中区分
表示
y≥1
的平面区域如图中阴影部分所示，根据t的几何意义可知t值为区域内的 1 点与坐标原点连线的斜率，显然直线OA的斜率 最小，直线OB的斜率2 2 1 1 1 3 最大，即 ≤t≤2.由于函数f(t)＝t－ 在[ ，2]上单调递增，故－ 2 2 2 t 3 ≤f(t)≤ .故选B. 2
【答案】
【分析】
由抛物线的定义，可知抛物线上任意一点到焦点的距
离等于其到准线的距离，所以可结合图形直接判断最值，从而确定点P
的坐标．
【解析】 点 P 到抛物线焦点的距离等于点 P 到抛物线准线的距离， 如图所示，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值是在 S，P，Q 三点共线时 1 取得，此时 P，Q 的纵坐标都是－1，代入 y ＝4x，得 x＝ ，故点 P 的 4
2
1 坐标为( ，－1)，故选 A. 4
【答案】
A
解决平面解析几何问题最主要的方法就是坐标法，最值与范围问 题如果直接将其坐标化，用代数的方法求解，思路往往会受阻，要结合 图形，灵活利用圆锥曲线的定义和性质进行转化，利用已有的有关结论 直接进行判断、求解，特别适合求曲线上的点到焦点距离有关的最值、 范围问题，这也是数形结合思个基本量表示时，把这个
基本量的范围求出，把求解目标化为这个基本量的函数，通过函数的值 域得到求解目标的范围．
x＋y－3≤0， x－y＋1≥0， 例4 设点P(x，y)满足 x≥1， y≥1，
3 A．[ ，＋∞) 2 3 C．[－ ，1] 2
y x 则 － 的取值范围是( x y
类型1
区域面积型：二元一次不等式组表示平面上的区域，根据
给出的二元一次不等式组求解与区域面积相关的问题，主要考查数形结 合思想和分析问题、解决问题的能力．
x－y＋1≥0， 例1 已知不等式组 x＋y－1≥0， 3x－y－3≤0