几何图形面积计算之鸟头与蝴蝶模型
小升初几何常考五大模型(等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾)
小升初几何常考五大模型(等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾)下面给大家整理小升初数学几何常考五大模型(等积变换模型、鸟头定理、蝴蝶定理、相似模型、燕尾定理)(一)等积变换模型性质与应用简介平面几何问题,是历年小升初的必考题目,也在各大杯赛中占有很大比例,这些题目都是以等积变形为主导思想,结合五大模型的变化应用交织而成的,这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。
1.等积变换模型(1)等底等高的两个三角形面积相等;(2)两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;(3)如右图夹在一组平行线之间的等积变形,S△ACD=S△BCD反之,S△ACD=S△BCD,则可知直线AB∥直线CD等积变换模型例题讲解与课后练习题(一)例题讲解与分析【例1】:如右图,在△ABC中,BE=3AE,CD=2AD.若△ADE 的面积是1平方厘米,那么三角形ABC的面积是多少?【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高,面积比等于底边比,所以三角形ABD的面积是4,S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比,三角形ABC的面积是ABD的3倍,是12.【总结】要找准那两个三角形的高相同。
【例2】:如图,四边形ABCD中,AC和BD相交于O点,三角形ADO的面积=5,三角形DOC的面积=4,三角形AOB的面积=15,求三角形BOC的面积是多少?【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2,△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。
【总结】从这个题目我们可以发现,题目的条件和结论都是三角形的面积比,我们在解题过程中借助结论2,先把面积比转化成线段比,再把线段比用结论2转化成面积比,解决了问题。
事实上,这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座'桥梁',请同学们体会一下。
(二)鸟头定理(共角定理)模型平面几何问题,是历年小升初的必考题目,也在各大杯赛中占有很大比例,这些题目都是以等积变形为主导思想,结合五大模型的变化应用交织而成的,第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理(共角定理)模型。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△;反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;五大模型1S 2S二、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质:金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===; ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
小升初——直线型面积问题的五大模型
小升初直线型面积问题解题思路梳理(五大模型)【内容提要】一.三角形等积变形(共边模型)(熟练掌握)二.鸟头模型(掌握)三.蝴蝶模型(掌握).燕尾模型(掌握)五.金字塔、沙漏模型(了解)一、三角形等积变形①.两个三角形,如果底边相等,高也相等,那么它们的面积相等。
拓展:夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。
②.两个三角形,如果底相等,一个的高是另一个的n倍那么它的面积也是另一个的n倍;③.两个三角形,如果高相等,一个的底是另一个的n倍,那么它的面积也是另一个的n倍。
一半模型二.鸟头模型(共角模型) 三.蝴蝶模型 ⑴任意四边形中的比例关系 ⑵梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) △ AM" &. AD* AE 四.燕尾模型 五.金字塔模型 AD A£ 」AH~^4C如图,在梯形ABCD中,三角形ABE的面积为4.6平方厘米,BE= EF=FD,求三角形ABF、CDF、ABD、ACD 的面积。
如图,由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大三角形,已知: S = 2,S△ADE △AEC如图,在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点,并且^OAB、△ABC. △BCD.△CDE、△DEF的面积都等于1,则4DCF的面积等于________ 。
[例4](★★★★)如图,等腰4ABC中,AB=AC=12cm, BD、DE、ER、FG把它的面积5等分,求AF、FD、DC、AG、GE、EB 的长。
ABC 的面积是2,则4DEF 的面积是多少? 如图,已知四边形ABCD 、BEFG 、CHIJ 为正方形,正方形ABCD 边长为10,正方形BEFG 边 长为6,求阴影部分的面积。
丙 h C H[例 6] (★★★★)如图,E 、M 分别为直角梯形ABCD 两边上的点,且DQ 、CP 、ME 彼此平行,若AD=5, BC=7,AE=5,EB=3。
求阴影部分的面积。
如图,已知^DEF 的面积为7平方厘米,BE=CE,AD=2BD,CF= 3AF,求4ABC 的面积。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等; 其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; 二、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =; ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质:金字塔模型 沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===; ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
六年级数学【小升初】共角(鸟头)模型+蝴蝶定理
(1)共角(鸟头)模型【知识讲解】如图,三角形ADE 与三角形ABC ,这两个三角形有一个共角的角A ,并且角A 的两边AD 、AE 分别在AB 、AC 上。
对于符合这种情况的三角形ADE 与三角形ABC ,我们称之为“共角三角形”。
对于这两个“共角”的三角形,它们的面积之比等于对应两边长度之比的乘积。
即:ACAEAB AD ABC ADE ⨯=的面积三角形的面积三角形。
【精讲精练】例1:如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,BD=DC=4,BE=3,AE=6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几?练习1:三角形ABC 中,BD 的长度是AB 的41,AE 的长度是AC 的31。
三角形AED 的面积是8,那么三角形ABC 的面积是多少?例2:如图,已知长方形ADEF 的面积是16,BE=3BD ,CE=CF 。
请问:三角形BEC 的面积是多少?练习2:如图,长方形ABCD 的面积是48,BE :CE=3:5,DF :CF=1:2.三角形CFE 的面积是多少?例3:如图,△ABC 的面积是36,并且AE=31AC ,CD=41BC ,BF=51AB ,试求△DEF 的面积。
练习3:如图,在三角形ABC 中,,D 为BC 的中点,E 为AB 上的一点,且BE=31AB,已知四边形EDCA 的面积是35,求三角形ABC 的面积.(2)蝴蝶模型【知识讲解】一、任意四边形中的面积关系 (“蝴蝶定理”):如图,对于一个任意的四边形ABCD ,连接对角线AC 和BD ,将整个四边形分成4个小三角形,由等高三角形的基本结论,我们可以得到如下关系: ①32413421S S S S S S S S BO DO ++=== ②34213241S S S S S S S S BO AO ++=== 二、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”): ① S 1︰S 3=a 2︰b 2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为(a+b )2【精讲精练】例1:如图,长方形ABCD 中,△ABP 的面积为20平方厘米,△CDQ 的面积为35平方厘米,则阴影四边形的面积等于多少平方厘米?练习1:四边形ABCD 中,AC 、BD 两条对角线交于O 点,三角形ABO 的面积为6,三角形AOD 的面积为8,三角形BOC 的面积是15,那么四边形ABCD 的面积是多少?S 4S 3s 2s 1O DCBA S 4S 3s 2s 1ba例2:图中四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O 点,如果△ABD 的面积是30平方厘米,△ABC 的面积是48平方厘米,△BCD 的面积是50平方厘米。
几何图形面积计算之鸟头与蝴蝶模型
几何图形面积计算之鸟头与蝴蝶模型TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】模块一、鸟头模型 1、如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.2、如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,:3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.【练一练】如图,三角形ABC 的面积为3平方厘米,其中:2:5AB BE =,:3:2BC CD =,三角形BDE 的面积是多少已知三角形DEF 的面积为18,AD ∶BD =2∶3,AE ∶CE =1∶2,BF ∶CF =3∶2,则三角形ABC 的面积为?【练一练】已知ABC △的面积为24平方厘米,,2,3BE CE AD BD CF AF ===,求DEF △的面积.如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =;延长BC 至E ,使2CE BC =;延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积.【练一练】如图,已知三角形DEF 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =;延长BC 至E ,使2=CE BC ;延长CA 至F ,使3=AF AC ,求三角形ABC 的面积.模块二、蝴蝶模型1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ACD BCD S S =△△ BOD S ACO S △△=(同减S △COD) 正方形ABCD 和正方形CEFG ,且正方形ABCD 边长为10厘米,则图中阴影面积为多少平方厘米?鸟头、蝴蝶模型图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?如图所示,BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块,DEF ∆的面积是5平方厘米,CED ∆的面积是10平方厘米.问:四边形ABEF 的面积是多少平方厘米?1、已知三角形ABC 的面积是9,AD:AB=1:2,AE:EC=1:1,求三角形AED 的面积。
小学数学几何五大模型教师版
小学数学几何五大模型教师版五大几何模型简介等积变换模型:等积变换模型有四个基本特点,分别是:等底等高的两个三角形面积相等;两个三角形高相等,面积之比等于底之比;两个三角形底相等,面积在之比等于高之比;在一组平行线之间的等积变形。
例如,对于一个三角形ABC,如果D、E、F 分别是BC、AC、AD的中点,那么三角形DEF的面积可以通过等积变换模型求得。
鸟头(共角)定理模型:鸟头(共角)定理模型有两个基本特点,分别是:两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形;共角三角形的面积之比等于对应角两夹边的乘积之比。
例如,在一个三角形ABC中,如果D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点,那么可以通过共角定理求得S△ADE:S△ABC=(AD:AB)×(AE:AC)。
蝴蝶模型:蝴蝶模型有两个基本特点,分别是:梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”);任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)。
例如,在一个梯形ABCD中,如果对角线AC、BD交于点O,已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米,那么可以通过梯形蝴蝶定理求得梯形ABCD的面积。
另外,在一个四边形ABCD中,如果对角线AC、BD交于点O,且三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3,且AO=2、DO=3,那么可以通过蝴蝶定理求得CO的长度是DO长度的几倍。
相似模型:相似模型有两个基本特点,分别是:两个相似三角形的面积之比等于它们的边长之比的平方;两个相似四边形的面积之比等于它们的边长之比的平方。
例如,在一个相似三角形ABC和DEF中,如果AB:DE=2:3,BC:EF=3:4,那么可以通过相似模型求得S△ABC:S△DEF=4:9.相似三角形是指形状相同但大小不相等的两个三角形,要找到相似模型的前提是平行线。
平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比,周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方。
小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)
即 400 S丙 200 200 SAMHN ,所以 S丙 SAMHN .
又 S阴影 SADF S甲 S乙 SAMHN ,所以
1
S阴影
S甲
S乙
S丙
SADF
143
400 4
43 .
【例 5】 如图,已知 CD 5 , DE 7 , EF 15 , FG 6 ,线段 AB 将图形分成两部分,左
边形 EFGO 的面积为
.
A
D
O
E
G
B
F
C
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之 和,以及三角形 AOE 和 DOG 的面积之和,进而求出四边形 EFGO 的面积.
由于长方形 ABCD 的面积为15 8 120 ,所以三角形 BOC 的面积为120 1 30 ,所
存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之
O
间提供互相联系的途径.
B
D
C
典型例题
【例 1】 如图,正方形 ABCD 的边长为 6,AE 1.5,CF 2.长方形 EFGH 的面积为
.
_H
_A
_D
_E _G
_H
_A
_D
_E _G
_B _F _C
_B _F _C
【解析】连接 DE,DF,则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍. 三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,
1 2
AB
AB 边上的高,
1 ∴ S△ABG 2 S ABCD (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)
小学奥数平面几何五种面积模型 等积 鸟头 蝶形 相似 共边
以三角形 AOE 和 DOG 的面积之和为120 3 70 20 ;
4
又三角形
AOE
、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和为120
1 2
1 4
30
,所以四边形
EFGO 的面积为 30 20 10 .
另解:从整体上来看,四边形 EFGO 的面积 三角形 AFC 面积 三角形 BFD 面积
所以阴影部分的面积是: S阴影 18 SEBF 18 4.5 13.5
解法二:特殊点法.找 H 的特殊点,把 H 点与 D 点重合,
那么图形就可变成右图:
,而 ,
A
D (H)
E
G
B
F
C
这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积,根据鸟头定理,则有:
S阴影
S ABCD
SAED
边部分面积是 38,右边部分面积是 65,那么三角形 ADG 的面积是
.
A
A
CD E B
FG
CD E
F
G
B
【解析】连接 AF , BD . 根据题意可知, CF 5 7 15 27 ; DG 7 15 6 28 ;
所以, SBEF
15 27 SCBF
, SBEC
存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之
O
间提供互相联系的途径.
B
D
C
典型例题
【例 1】 如图,正方形 ABCD 的边长为 6,AE 1.5,CF 2.长方形 EFGH 的面积为
.
_H
小学奥数平面几何五种面积模型等积鸟头蝶形_相似_共边
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨 一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等;②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△;反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.ba S 2S 1DC BA共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图⑴ 图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”):①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =;③S 的对应份数为()2a b +.四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①AD AE DE AFAB AC BC AG===; ②22:ADE ABC S S AF AG =△△:.所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理(燕尾模型和风筝模型)在三角形ABC 中,AD ,BE ,CF 相交于同一点O ,那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.OFEDCBA典型例题【例 1】 如图,正方形ABCD 的边长为6,AE =1.5,CF =2.长方形EFGH 的面积为 .【解析】 连接DE ,DF ,则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍.三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33.【巩固】如图所示,正方形ABCD 的边长为8厘米,长方形EBGF 的长BG 为10厘米,那么长方形的宽为几厘米【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形).三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半._A_B_G_C_E_F _D _A _B_G_C_E _F _D _A _B_C_D _E _F _G _H _H _G _F _E _D _C_B_A证明:连接AG .(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起).∵在正方形ABCD 中,G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高,∴12ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理,12ABG EFGB S S =△.∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米).【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ,E 、F 、G 为各边中点,H 为AD 边上任意一点,问阴影部分面积是多少【解析】 解法一:寻找可利用的条件,连接BH 、HC ,如下图:可得:12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHCS S ∆∆=,而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=;而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影,11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=.所以阴影部分的面积是:1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二:特殊点法.找H 的特殊点,把H 点与D 点重合,那么图形就可变成右图:这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积,根据鸟头定理,则有:11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影.【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与P 点连接,求阴影部分面积.【解析】 (法1)特殊点法.由于P 是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设P 点与A 点重合,则阴影部分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16,所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米.(法2)连接PA 、PC .由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16,所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米.【例 3】 如图所示,长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70,8AB =,15AD =,四边形EFGO 的面积为 .【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和,以及三角形AOE 和DOG 的面积之和,进而求出四边形EFGO 的面积.由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=,所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=,所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=;又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭,所以四边形EFGO 的面积为302010-=.另解:从整体上来看,四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积,而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半,即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积,即1207050-=,所以四边形的面积为605010-=.【巩固】如图,长方形ABCD 的面积是36,E 是AD 的三等分点,2AE ED =,则阴影部分的面积为 .【解析】 如图,连接OE .根据蝶形定理,1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===,所以12OEN OED S S ∆∆=;1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===,所以15OEM OEA S S ∆∆=.又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形,26OEA OED S S ∆∆==,所以阴影部分面积为:1136 2.725⨯+⨯=. 【例 4】 已知ABC 为等边三角形,面积为400,D 、E 、F 分别为三边的中点,已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.(丙是三角形HBC )【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点,所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线,也就与对应的边平行,根据面积比例模型,三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半,即为200.根据图形的容斥关系,有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙,即400 200200AMHN S S -=+-丙,所以AMHN S S =丙.又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影,所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影.【例 5】 如图,已知5CD =,7DE =,15EF =,6FG =,线段AB 将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG 的面积是 .【解析】 连接AF ,BD .根据题意可知,571527CF =++=;715628DG =++=;所以,1527BE CBF F S S ∆∆=,1227BE CBF C S S ∆∆=,2128AEG ADG S S ∆∆=,728AED ADG S S ∆∆=,于是:2115652827ADG CBF S S ∆∆+=;712382827ADG CBF S S ∆∆+=; 可得40ADG S ∆=.故三角形ADG 的面积是40.【例 6】 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△,::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△,所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△,设8ADE S =△份,则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC △的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 .【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少【解析】 连接BE .∵3EC AE =∴3ABC ABE S S =V V又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ,∴1515ABC ADE S S ==V V .【巩固】如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍【解析】 连接AD .∵3BE =,6AE =∴3AB BE =,3ABD BDE S S =V V又∵4BD DC ==,∴2ABC ABD S S =V V ,∴6ABC BDE S S =V V ,5S S =乙甲.【例 7】 如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,:3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.【解析】 连接BE ,::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△,所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△,设6ADE S =△份,则25ABC S =△份,12ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,ABC △的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图,平行四边形ABCD ,BE AB =,2CF CB =,3GD DC =,4HA AD =,平行四边形ABCD 的面积是2, 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.【解析】 连接AC 、BD .根据共角定理∵在ABC △和BFE △中,ABC ∠与FBE ∠互补,∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△. 又1ABC S =△,所以3FBE S =△.同理可得8GCF S =△,15DHG S =△,8AEH S =△.所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△.所以213618ABCD EFGH S S ==. 【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形,难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换:把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转,使长为13的两条边重合,此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样,通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形,且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此,原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示,ABC ∆中,90ABC ∠=︒,3AB =,5BC =,以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ,中心为O ,求OBC ∆的面积.【解析】 如图,将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒,到达OCF ∆的位置.由于90ABC ∠=︒,90AOC ∠=︒,所以180OAB OCB ∠+∠=︒.而OCF OAB ∠=∠,所以180OCF OCB ∠+∠=︒,那么B 、C 、F 三点在一条直线上.由于OB OF =,90BOF AOC ∠=∠=︒,所以BOF ∆是等腰直角三角形,且斜边BF 为538+=,所以它的面积为218164⨯=.根据面积比例模型,OBC ∆的面积为516108⨯=.【例 11】 如图,以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ,90AEB ∠=︒,AC 、BD 交于O .已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ,求三角形OBE 的面积.【解析】 如图,连接DE ,以A 点为中心,将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置.那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒,而AEB ∠也是90︒,所以四边形AFBE 是直角梯形,且3AF AE ==,所以梯形AFBE 的面积为:()1353122+⨯⨯=(2cm ). 又因为ABE ∆是直角三角形,根据勾股定理,222223534AB AE BE =+=+=,所以21172ABD S AB ∆==(2cm ). 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm ),所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm ). 【例 12】 如下图,六边形ABCDEF 中,AB ED =,AF CD =,BC EF =,且有AB 平行于ED ,AF 平行于CD ,BC 平行于EF ,对角线FD 垂直于BD ,已知24FD =厘米,18BD =厘米,请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米【解析】 如图,我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合,将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合,这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了.这样就组成了一个长方形BGFD ,它的面积与原六边形的面积相等,显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米,所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米.【例 13】 如图,三角形ABC 的面积是1,E 是AC 的中点,点D 在BC 上,且:1:2BD DC =,AD 与BE 交于点F .则四边形DFEC 的面积等于 .【解析】 方法一:连接CF ,根据燕尾定理,12ABF ACF S BD S DC ==△△,1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份,则2DCF S =△份,3ABF S =△份,3AEF EFC S S ==△△份,如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二:连接DE ,由题目条件可得到1133ABD ABCS S ==△△, 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△,所以11ABD ADES BF FE S ==△△,111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△,而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△.所以则四边形DFEC 的面积等于512.【巩固】如图,长方形ABCD 的面积是2平方厘米,2EC DE =,F 是DG 的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】 设1DEF S =△份,则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示).如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13,且2AO =,3DO =,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍.【解析】 在本题中,四边形ABCD 为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ,这可以向模型一蝶形定理靠拢,于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH 垂直BD 于H ,CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之比.再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果.请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝶形定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.解法一:∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==,∴236OC =⨯=,∴:6:32:1OC OD ==.解法二:作AH BD ⊥于H ,CG BD ⊥于G .∵13ABDBCD S S ∆∆=,∴13AH CG =,∴13AODDOC S S ∆∆=, ∴13AO CO =,∴236OC =⨯=,∴:6:32:1OC OD ==.【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,求:⑴三角形BGC 的面积;⑵:AG GC =【解析】 ⑴根据蝶形定理,123BGC S ⨯=⨯V ,那么6BGC S =V ;⑵根据蝶形定理,()():12:361:3AG GC =++=.【例 15】 如图,平行四边形ABCD 的对角线交于O 点,CEF △、OEF △、ODF △、BOE△的面积依次是2、4、4和6.求:⑴求OCF △的面积;⑵求GCE △的面积.【解析】 ⑴根据题意可知,BCD △的面积为244616+++=,那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=,所以OCF △的面积为844-=;⑵由于BCO △的面积为8,BOE △的面积为6,所以OCE △的面积为862-=,根据蝶形定理,::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===,所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==,那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+. 【例 16】 如图,长方形ABCD 中,:2:3BE EC =,:1:2DF FC =,三角形DFG 的面积为2平方厘米,求长方形ABCD 的面积.【解析】 连接AE ,FE .因为:2:3BE EC =,:1:2DF FC =,所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形.因为12AED ABCD S S =V 长方形,11::5:1210AG GF ==,所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米,所以12AFDS =V 平方厘米.因为16AFD ABCD S S =V 长方形,所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米.【例 17】 如图,正方形ABCD 面积为3平方厘米,M 是AD 边上的中点.求图中阴影部分的面积.【解析】 因为M 是AD 边上的中点,所以:1:2AM BC =,根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△()(),设1AGM S =△份,则123MCD S =+=△ 份,所以正方形的面积为1224312++++=份,224S =+=阴影份,所以:1:3S S =阴影正方形,所以1S =阴影平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD 中,E 是BC 边的中点,AE 与BD 相交于F 点,三角形BEF 的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD 面积是 平方厘米.【解析】 连接DE ,根据题意可知:1:2BE AD =,根据蝶形定理得2129S =+=梯形()(平方厘米),3ECD S =△(平方厘米),那么12ABCD S =W (平方厘米).【例 18】 已知ABCD 是平行四边形,:3:2BC CE =,三角形ODE 的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】 连接AC .由于ABCD 是平行四边形,:3:2BC CE =,所以:2:3CE AD =,根据梯形蝶形定理,22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ,所以6AOC S =V (平方厘米),9AOD S =V (平方厘米),又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米),阴影部分面积为61521+=(平方厘米).【巩固】右图中ABCD 是梯形,ABED 是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】 连接AE .由于AD 与BC 是平行的,所以AECD 也是梯形,那么OCD OAE S S ∆∆=.根据蝶形定理,4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=,故236OCD S ∆=,所以6OCD S ∆=(平方厘米).【巩固】右图中ABCD 是梯形,ABED 是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】 连接AE .由于AD 与BC 是平行的,所以AECD 也是梯形,那么OCD OAE S S ∆∆=.根据蝶形定理,2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=,故216OCD S ∆=,所以4OCD S ∆=(平方厘米).另解:在平行四边形ABED 中,()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米),所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米),根据蝶形定理,阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米).【例 19】 如图,长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米.【解析】 连接DE 、CF .四边形EDCF 为梯形,所以EOD FOC S S ∆=V ,又根据蝶形定理,EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅,所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=,所以4EOD S ∆=(平方厘米),4812ECD S ∆=+=(平方厘米).那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米,四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米).【例 20】 如图,ABC ∆是等腰直角三角形,DEFG 是正方形,线段AB 与CD 相交于K 点.已知正方形DEFG 的面积48,:1:3AK KB =,则BKD ∆的面积是多少【解析】 由于DEFG 是正方形,所以DA 与BC 平行,那么四边形ADBC 是梯形.在梯形ADBC 中,BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的.而:1:3AK KB =,所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+,那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14. 由于ABC ∆是等腰直角三角形,如果过A 作BC 的垂线,M 为垂足,那么M 是BC 的中点,而且AM DE =,可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半,所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等,为48.那么BDK ∆的面积为148124⨯=.【例 21】 下图中,四边形ABCD 都是边长为1的正方形,E 、F 、G 、H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn,那么,()m n +的值等于 . 【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求,所以可以先求出空白部分的面积,再求阴影部分的面积.如下图所示,在左图中连接EG .设AG 与DE 的交点为M .左图中AEGD 为长方形,可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14,所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=.又左图中四个空白三角形的面积是相等的,所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=.如上图所示,在右图中连接AC 、EF .设AF 、EC 的交点为N .可知EF ∥AC 且2AC EF =.那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14,所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=,梯形AEFC 的面积为113288-=.在梯形AEFC 中,由于:1:2EF AC =,根据梯形蝶形定理,其四部分的面积比为:221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=,所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++,那么四边形BENF 的面积为1118246+=.而右图中四个空白四边形的面积是相等的,所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=.那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=,即32m n =, 那么325m n +=+=.【例 22】 如图, ABC △中,DE ,FG ,BC 互相平行,AD DF FB ==,则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 .【解析】 设1ADE S =△份,根据面积比等于相似比的平方,所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△,22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△,因此4AFG S =△份,9ABC S =△份,进而有3DEGF S =四边形份,5FGCB S =四边形份,所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图,DE 平行BC ,且2AD =,5AB =,4AE =,求AC 的长.【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===,所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图, ABC △中,DE ,FG ,MN ,PQ ,BC 互相平行,Q E GNMF PADCBAD DF FM MP PB ====,则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 .【解析】 设1ADE S =△份,22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△,因此4AFG S =△份,进而有3DEGF S =四边形份,同理有5FGNM S =四边形份,7MNQP S =四边形份,9PQCB S =四边形份.所以有【例 23】 如图,已知正方形ABCD 的边长为4,F 是BC 边的中点,E 是DC 边上的点,且:1:3DE EC =,AF 与BE 相交于点G ,求ABG S △【解析】 方法一:连接AE ,延长AF ,DC 两条线交于点M ,构造出两个沙漏,所以有::1:1AB CM BF FC ==,因此4CM =,根据题意有3CE =,再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==,所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△. 方法二:连接,AE EF,分别求4224ABF S =⨯÷=△,4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△,根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△,所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△. 【例 24】 如图所示,已知平行四边形ABCD 的面积是1,E 、F 是AB 、AD 的中点, BF交EC 于M ,求BMG ∆的面积.【解析】 解法一:由题意可得,E 、F 是AB 、AD 的中点,得//EF BD ,而::1:2FD BC FH HC ==,::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==,并得G 、H 是BD 的三等分点,所以BG GH =,所以::2:3BG EF BM MF ==,所以25BM BF =,11112224BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=Y ;又因为13BG BD =,所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=.解法二:延长CE 交DA 于I ,如右图,可得,::1:1AI BC AE EB ==,从而可以确定M 的点的位置,::2:3BM MF BC IF ==,25BM BF =,13BG BD =(鸟头定理),可得2121115353430BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=Y 【例 25】 如图,ABCD 为正方形,1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =,请问四边形PQRS的面积为多少【解析】 (法1)由//AB CD ,有MP PCMN DC=,所以2PC PM =,又MQ MB QC EC =,所以 12MQ QC MC ==,所以111236PQ MC MC MC =-=,所以SPQR S 占AMCF S 的16,所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm ). (法2)如图,连结AE ,则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm ),而RB ER AB EF =,所以2RB AB EF EF ==,22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm ).而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm ),因为MN MPDC PC=, 所以13MP MC =,则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm ),阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm ). 【例 26】 如右图,三角形ABC 中,:4:9BD DC =,:4:3CE EA =,求:AF FB .【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△(都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数)所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!【巩固】如右图,三角形ABC 中,:3:4BD DC =,:5:6AE CE =,求:AF FB .【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△(都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数)所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图,三角形ABC 中,:2:3BD DC =,:5:4EA CE =,求:AF FB .【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△(都有AOB △的面积要统一,所以找最小公倍数)所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!【例 27】 如右图,三角形ABC 中,:::3:2AF FB BD DC CE AE ===,且三角形ABC 的面积是1,则三角形ABE 的面积为______,三角形AGE 的面积为________,三角形GHI 的面积为______.【分析】 连接AH 、BI 、CG .由于:3:2CE AE =,所以25AE AC =,故2255ABE ABC S S ∆∆==;根据燕尾定理,::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==,::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==,所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=,则419ACG S ∆=,919BCG S ∆=; 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=; 同样分析可得919ACH S ∆=,则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==,::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==,所以::4:5:10EG GH HB =,同样分析可得::10:5:4AG GI ID =,所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=,55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=. 【巩固】 如右图,三角形ABC 中,:::3:2AF FB BD DC CE AE ===,且三角形GHI 的面积是1,求三角形ABC 的面积.【解析】 连接BG ,AGC S △=6份根据燕尾定理,::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△,::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份),9ABG S =△(份),则19ABC S =△(份),因此619AGC ABC S S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1,所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图,ABC ∆中2BD DA =,2CE EB =,2AF FC =,那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍.【分析】 如图,连接AI .根据燕尾定理,::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==,::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==,所以,::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=,那么,221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++. 同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27,所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=,所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍.【巩固】如图在ABC △中,12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值. 【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份,根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份),4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份),因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的,那么在同样的位置上的图形,虽然形状千变万化,但面积是相等的,这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图,三角形ABC 的面积是1,BD DE EC ==,CF FG GA ==,三角形ABC 被分成9部分,请写出这9部分的面积各是多少?【解析】 设BG 与AD 交于点P ,BG 与AE 交于点Q ,BF 与AD 交于点M ,BF 与AE 交于点N .连接CP ,CQ ,CM ,CN .根据燕尾定理,::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△,::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△,设1ABP S =△(份),则1225ABC S =++=△(份),所以15ABP S =△ 同理可得,27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△,所以2137535APQ S =-=△,1213721AQG S =-=△.同理,335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形,139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形 【巩固】如图,ABC ∆的面积为1,点D 、E 是BC 边的三等分点,点F 、G 是AC 边的三等分点,那么四边形JKIH 的面积是多少【解析】 连接CK 、CI 、CJ .根据燕尾定理,::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==,::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==,所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=,那么111247ACK S ∆==++,11321AGK ACK S S ∆∆==. 类似分析可得215AGI S ∆=. 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==,::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==,可得14ACJ S ∆=.那么,111742184CGKJ S =-=. 根据对称性,可知四边形CEHJ 的面积也为1784,那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=,所以四边形JKIH 的面积为61917070-=.【例 29】 右图,ABC △中,G 是AC 的中点,D 、E 、F 是BC 边上的四等分点,AD 与BG交于M ,AF 与BG 交于N ,已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米,则ABC △的面积是多少平方厘米【解析】 连接CM 、CN .根据燕尾定理,::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△,::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△,所以15ABM ABC S S =△△;再根据燕尾定理,::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△,所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△,所以:4:3AN NF =,那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△,所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△.根据题意,有157.2528ABC ABC S S -=△△,可得336ABC S =△(平方厘米) 【例 30】 如图,面积为l 的三角形ABC 中,D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.【解析】 三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!令BI 与CD 的交点为M ,AF 与CD 的交点为N ,BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形:在ABC △中,根据燕尾定理,::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份),则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△,所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△, 所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形, 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形:在ABC △中,根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△ 在ABC △中,根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△,所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105,所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影 【例 31】 如图,面积为l 的三角形ABC 中,D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ,连接CR在ABC △中根据燕尾定理,::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△,同理17MNP S =△根据容斥原理,和上题结果11131777010S =+-=六边形 课后练习:练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米,,2,3BE CE AD BD CF AF ===,求ABC △的面积.【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△,:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份,则4BDE S =△份,4ADF S =△份,9CEF S =△份,244497DEF S =---=△份,恰好是7平方厘米,所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图,四边形EFGH 的面积是66平方米,EA AB =,CB BF =,DC CG =,HD DA =,求四边形ABCD 的面积.【解析】 连接BD .由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△,即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△,即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ,同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米,E 是AB 的中点,F 是BC 的中点,四边形BGHF 的面积是 平方厘米.【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积.由题意可得到:::1:2EG GC EB CD ==,所以可得:13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点,可得::::1:1BM DC MF FD BF FC ===,而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=,得25CH CE =,而12CF BC =,所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11773014351515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形.EF ,确定H 的位置(也就是:FH HD ),同样也能解出.练习4. 如图,已知4cm AB AE ==,BC DC =,90BAE BCD ∠=∠=︒,10cm AC =,则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm .【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90o ,构成三角形'AEC 和'A DC ,再连接''A C ,显然'AC AC ⊥,'AC A C ⊥,''AC A C AC ==,所以''ACA C 是正方形.三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称,在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系:''AEC A DC S S ∆∆=;''AEC A DC S S ∆∆=;'CED C DE S S ∆∆=.所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=W .练习5. 如图,正方形ABCD 的面积是120平方厘米,E 是AB 的中点,F 是BC 的中点,四边形BGHF 的面积是_____平方厘米.【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份,根据燕尾定理2CHD S =△份,2BHD S =△份,因此122)210S =++⨯=正方形(份,127236BFHG S =+=,所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米). 练习6. 如图,ABC ∆中,点D 是边AC 的中点,点E 、F 是边BC 的三等分点,若ABC ∆的面积为1,那么四边形CDMF 的面积是_________.【解析】 由于点D 是边AC 的中点,点E 、F 是边BC 的三等分点,如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比,那么所分成的六小块的面积都可以求出来,其中当然也包括四边形CDMF 的面积.连接CM 、CN .根据燕尾定理,::2:1ABM ACM S S BF CF ∆∆==,而2ACM ADM S S ∆∆=,所以。
几何中的蝴蝶定理
几何中的蝴蝶定理几何中的蝴蝶定理几何之蝴蝶定理一、基本知识点模型一:同一三角形中,相应面积与底的正比关系:即:两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。
bS1US2 =aUb ;模型一的拓展:等分点结论(“鸟头定理”)如图,三角形AED占三角形ABC面积的211×= 346模型二:任意四边形中的比例关系(我们把它称作蝴蝶定理)As2BDs1S3CS4①S1US2=S4US3 或者S1×S3=S2×S4 ②AOUOC=(S1+S2)U(S4+S3)模型三:梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)几何中的蝴蝶定理as1s2S3bS4①S1US3=aUb22②S1*****S4= aUbUabUab ;2③S的对应份数为(a+b)模型四:相似三角形性质22bBhacCHahcBHAA①abch; ABCH22②S1US2=aUA二、例题分析例1、如图,AD DB,AE EF FC,已知阴影部分面积为5平方厘米,ABC的面积是多少平方厘米?例2、有一个三角形ABC的面积为1,如图,且AD 三角形DEF的面积.A111AB,BE BC,CF CA,求234D例3、如图,在三角形ABC中,,D为BC的中点,BEFCE为几何中的蝴蝶定理AB上的一点,且BE=AB,已知四边形EDCA的面积是35,求三角形ABC的面积. 3 例4、例1 如图,ABCD是直角梯形,求阴影部分的面积和。
(单位:厘米)例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积(如图所示),求另两个三角形的面积各是多少?(单位:平方厘米)例6、如下图,图中BO=2DO,阴影部分的面积是4平方厘米,求梯形ABCD的面积是多少平方厘米?几何中的蝴蝶定理例7、(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD 分成四个部分,△AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD的面积为3平方千米,公园陆地的面积是6.92平方千米,求人工湖的面积是多少平方千米?例8、如图:在梯形ABCD中,三角形AOD的面积为9平方厘米,三角形BOC的面积为25平方厘米,求梯形ABCD的面积。
几何 -鸟头定理与蝴蝶定理
几何—鸟头定理与蝴蝶定理
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例题1如图,三角形ABC被分成了甲乙两部分,BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部分面积是甲部分面积的几倍?
例题2如下图,在△ABC中,BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC=1/3BC,求四边形DGEF面积占△ABC面积的几分之几?
例题3(2005年第三届小学“希望杯”数学邀请赛)在图1中三角形ABC是直角三角形,四边形BDEF是正方形,AD=4厘米,FC=9厘米,则三角形ABC的面积是__________平方厘米。
例题4如图,在平行四边形ABCD中,AB=16,AD=10,BE=4,那么FC的长度是多少?
例题5如下图,求梯形ABCD的面积。
例题6如图,梯形ABCD的上底是3厘米,下底BC长9厘米。
三角形AOB的面积为12平方厘米,则梯形ABCD是____________平方厘米。
例题7如图,长方形ABCD中,AD=8厘米,AB=5厘米,对角线AC和BD交于O,四边形OEFG的面积是4平方厘米,则阴影部分的面积之和是________________平方厘米。
例题8 在梯形ABCD中,AB平行于CD,对角线AC,BD交于O点,已知AB=6,CD=4,梯形ABCD的面积为5,求三角形OBC的面积。
拓展如图,三角形两边上的点都是各边上的五等分点,问:阴影部分与空白部分的面积之比为多少?
拓展(第七届中环杯五年级复赛)如图,梯形ABCD的面积是225平方厘米,下底20厘米,高15厘米。
那么,三角形AOD的面积是()平方厘米。
拓展如图所示,边长为1的正方形ABCD中,点M是边AD的中点,求阴影部分的面积。
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模块一、鸟头模型 1、如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.
2、如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,:3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.
【练一练】如图,三角形ABC 的面积为3平方厘米,其中:2:5AB BE =,:3:2BC CD =,三角形BDE 的面积是多少?
已知三角形DEF 的面积为18,AD ∶BD =2∶3,AE ∶CE =1∶2,BF ∶CF =3∶2,则三角形ABC 的面积为?
【练一练】已知ABC △的面积为24平方厘米,,2,3BE CE AD BD CF AF ===,求DEF △的面积. 如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =;延长BC 至E ,使2CE BC =;延长CA 至F ,使3AF AC =,求三角形DEF 的面积.
【练一练】如图,已知三角形DEF 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =;延长BC 至E ,使2=CE BC ;延长CA 至F ,使3=AF AC ,求三角形ABC 的面积.
模块二、蝴蝶模型
1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯
ACD BCD S S =△△ BOD S ACO S △△=(同减S △
COD) 正方形ABCD 和正方形CEFG ,且正方形ABCD 边长为10厘米,则图中阴影面积为多少平方厘米? 图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
如图所示,BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块,DEF ∆的面积是5平方厘米,CED ∆的面积是10平方
鸟头、蝴蝶模型
厘米.问:四边形ABEF 的面积是多少平方厘米?
1、已知三角形ABC 的面积是9,AD:AB=1:2,AE:EC=1:1,求三角形AED 的面积。
2、设111,,,345
AD AB BE BC FC AC ===如果三角形DEF 的面积为19平方厘米,那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米?
3、正方形ABCD 和正方形CEFG ,且正方形ABCD 边长为8厘米,则图中阴影面积为多少平方厘米?
4、甲、乙两地相距420千米,一辆汽车从甲地开到乙地共用了8小时,途中,有一段路在整修路面,汽车行驶这段路时每小时只能行20千米,其余时间每小时行60千米。
整修路面的一段路长多少千米?
5、甲、乙两包糖的重量比是4:1。
从甲包取出130克放入乙包后,甲、乙两包糖的重量比为7:5。
原来甲包有多少克糖?
6、如下图,在∶ABC 中,BD=2AD ,AG=2CG ,BE=EF=FC ,求阴影部分面积占三角形面积的几分之几?
7、下图,将三角形ABC 的BA 边延长1倍到D ,CB 的边延长2倍到E ,AC 边延长1倍到F 。
如果三角形ABC 的面积等于1,那么三角形DEF 的面积是多少?
8、甲、乙、丙三个数的平均数是84,甲、乙、丙三个数的比是3:4:5,甲、 乙、丙三个数各是多少?
9、甲乙两人沿运动场的跑道跑步,甲每分钟跑290米,乙每分钟跑270米,跑道一圈长400米,如果两人同时从起跑线上同方向跑。
那么,经过甲经过多长时间才能第一次追上乙?此时甲跑了多少米
10、如图,∶ABC 的AB 、BC 两条边上各有三个四等分点.如果∶ABC 的面积为80平方厘米.那么阴影部分的面积为多少平方厘米?
11、甲、乙、丙、丁四人称体重,乙、丙、丁三人共重120千克,甲、丙、丁三人平均体重42千克,丙、丁二人的平均体重是40千克。
求四人的平均体重是多少千克?
12、胡老师骑自行车过一座桥,上桥速度为每小时12 千米,下桥速度为每小时24 千米,而且上桥和下桥所经过的路程相等,中间也没有停顿,问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少? 13、如图,三角形ABC 面积为60平方厘米,AD=3DB ,AC=3AE ,求阴影部分三角形ADE 的面积.
14、如图,若∶ABC 的面积是24,D 、E 、F 分别是BC 、AD 、AB 的中点,则∶BEF 的面积是________。
15、某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人.问方 阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多少人? 家庭作业
16、如图所示,S∶DEF=1,AE:EF=2:1,BF:FD=3:1,CD:DE=2:1,求S∶ ABC的面积。
17、5+
18。