2015年上海二模压轴题汇总(部分)

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2015年上海中考各区二模数学试题及答案汇总

2 2 2 2
BC OC = ∴ OC ，∴ OD
2 2
x r 2 − x2
2
=
r 2 − x2 r
2
，…………………（1 分）
∴ xr = r − x ， x + rx − r − 0 ， 5 ∵ r ≠ 0 ， ( rx ) + rx − 1 ≠ 0 ， rx = − 1 ± (负值舍去) ，………………………（1 分） 2 BC x 5 −1 ∴sin∠ODC＝sin∠COB = OB ．……………（1 分） = = r 2
2 2 2 2
年长宁区初三数学教学质量检测试卷长宁区初三数学教学质量检测试卷参考答案初三数学教学质量检测试卷参考答案
2
x
2
2
2
∆ADE
2
∆ADE
1
2
D
E
H
F
C
P
G R
O
A
Q
B
初三数学基础考试卷—3—
2015
年上海各区县中考二模试题及答案
∴DE=CF. （1 分）（2）据题意，设 DP=t，PA=10-t，AQ=3t，QB=12-3t，BR=1.5t（0 < t < 4）. （1 分） ∵矩形 ABCD ∴∠A=∠B=90° 若△PAQ 与△QBR 相似，则有 AP AQ 10 - t 3t 14 ① QB = （2 分） = t= BR 12 - 3t 1.5t 5
25
D P E F C
O R
A
Q
B
第 25 题图
初三数学基础考试卷—2—
2015
年上海各区县中考二模试题及答案
2015 18. 1
或 11 . 6 24．（本题满分 12 分）解：（1） y = x − 2tx + t − 2 = (x - t ) - 2 ∴A（t，-2）（2 分） y ∵点 C 的横坐标为 1，且是线段 AB 的中点 ∴t =2 （1 分） ∴ y = (x - 2 ) - 2 D ∴P（1，-1）.（1 分） O （2）据题意，设 C（x，-2）（0< x < t），P（x， ( x − t ) − 2 ）E P B C A AC= t-x，PC= ( x − t ) （1 分）第 24 题图 ∵AC=PC ∴t-x = ( x − t ) ∵x < t ∴ t - x=1 即 x = t - 1 ∴AC=PC=1 （2 分） AC ∵DC//y 轴 ∴ PC ∴EB= t ∴OE=2-t = EB AB 1 1 3 ∴S = 1 (OE + DP) × OD = (3 − t )(t − 1) = − t + 2t − （1< t <2）. （2 分） 2 2 2 2 1 1 1 （3） S = 2 DP × AB = 2 ×1× t = 2 t （1 分） 1 3 ∵ S = 2S ∴ 1 t = 2( − t + 2t − ) 2 2 2 3 解得 t = 3 ， t = 2 （不合题意）∴ t = .（2 分） 2 2 25．（本题满分 14 分）（1）证:作 OH⊥DC 于点 H，设⊙O 与 BC 边切于点 G，联结 OG. （1 分） ∴∠OHC=90° ∵⊙O 与 BC 边切于点 G ∴OG=6，OG⊥BC ∴∠OGC=90° ∵矩形 ABCD ∴∠C=90° ∴四边形 OGCH 是矩形 ∴CH=OG ∵OG=6 ∴CH=6 （1 分） ∵矩形 ABCD ∴AB=CD 第 25 题图(1) ∵AB=12 ∴CD=12 ∴DH=CD﹣CH=6 ∴DH= CH ∴O 是圆心且 OH⊥DC ∴EH=FH （2 分）

3、中考数学：2015上海浦东新区区中考数学二模压轴题

例 2015年上海市浦东新区中考模拟第18题如图1，已知Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝4，BC ＝2，将△ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在点E 处，联结AE ，那么线段AE 的长度等于__________．图1动感体验请打开几何画板文件名“15浦东18”，拖动点E 沿直线CD 翻折，可以体验到，翻折以后，直线CD 垂直平分线段AE ，△CAG ∽△ABC ．答案．思路如下：如图2，CG 垂直平分线段AE ．如图3，由△CAG ∽△ABC ，得AG BCAC BA =．所以4AG =．解得AG =AE ＝2AG ．图2 图3例 2015年上海市浦东新区中考模拟第24题如图1，已知直线y ＝kx ＋2与x 轴的正半轴交于点A (t , 0)，与y 轴相交于点B ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A 和点B ，点C 在第三象限内，且AC ⊥AB ，tan ∠ACB ＝12．（1）当t ＝1时，求抛物线的表达式；（2）试用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）如果点C 在这条抛物线的对称轴上，求t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“15浦东24”，拖动点A 在x 轴正半轴上运动，可以体验到，点C 有两次机会落在抛物线的对称轴上，其中一次点C 在第三象限，另一次点C 在第一象限．思路点拨1．过直角顶点A 构造相似的直角三角形，就把直角三角形ABC 的两条直角边的比转化为两个相似的直角三角形的斜边的比．2．如果点C 在这条抛物线的对称轴上，可设抛物线的顶点式，再代入A 、B 两点列方程组．满分解答（1）由y ＝kx ＋2，得点B 的坐标为(0, 2)．将A (1, 0)、B (0, 2)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得10,2.b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝2．所以当t ＝1时，抛物线的表达式为y ＝－x 2－x ＋2（如图2）．图2 图3（2）如图3，过点A 作x 轴的垂线，过点B 、C 分别作y 轴的垂线，构造Rt △BMA 和Rt △ANC ，那么△BMA ∽△ANC ．所以BM MA AB AN NC CA==．又因为tan ∠ACB ＝AB CA ＝12，所以AN ＝2BM ＝2t ，NC ＝2MA ＝2BO ＝4．所以第三象限内的点C 的坐标是(t －4,－2t )．（3）因为点C (t －4,－2t )在抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴上，可设抛物线的顶点式为y ＝－(x －t ＋4)2＋k ．分别代入点A (t , 0)、B (0, 2)，得2160,(4) 2.k t k -+=⎧⎨--++=⎩①②由①，得k ＝16．将k ＝16代入②，得－(－t ＋4)2＋16＝2．整理，得(t －4)2＝14．解得4t =当4t =4所示．当t =5，点C 在第一象限，舍去．图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样解：因为点C (t －4,－2t )在抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴上，所以42b t =-．所以抛物线为y ＝－x 2＋2(t －4)x ＋c ．分别代入点A (t, 0)、B (0, 2)，得22(4)0,2.t t t c c ⎧-+-+=⎨=⎩①②②代入①，整理，得t 2－8t ＋2＝0．解得4t =例 2015年上海市浦东新区中考模拟第25题如图1，已知在△ABC 中，射线AM //BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD ＝∠B ，PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．（1）求证：AP 2＝AD ·BP ；（2）如果以AD 为半径的⊙A 与以BP 为半径的⊙B 相切，求线段BP 的长度；（3）将△ACD 绕点A 旋转，如果点D 恰好与点B 重合，点C 落在点E 的位置上，求此时∠BEP 的余切值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15浦东25”，拖动点P 在BC 上运动，可以体验到，⊙A 与⊙B 只可以内切一次．双击按钮“AD ＝AB ”，可以体验到，此时四边形ABPD 是菱形．思路点拨1．容易证明△ABP ∽△DP A ，于是得到AP 2＝AD ·BP ．由此把BP 设为自变量x ，那么可以用含有x 的式子表示AD ，即⊙A 的半径．2．讨论⊙A 与⊙B 相切，先罗列三要素R 、r 、d ，再分类列方程．3．第（3）题的核心一步，就是AD ＝AB 时，四边形ABPD 是菱形．满分解答（1）如图2，由AD //BC ，得∠DAP ＝∠APB ．又已知∠APD ＝∠B ，所以△DAP ∽△APB ．所以BP PA PA AD=．因此AP 2＝AD ·BP ．（2）如图3，作AH ⊥BC ，垂足为H ．设BP ＝x ．在Rt △ABH 中，AB ＝4，∠B ＝60°，所以BH ＝2，AH 2＝12．在Rt △APH 中，AP 2＝AH 2＋PH 2＝12＋(x －2)2＝x 2－4x ＋16．根据（1）中的结论AP 2＝AD ·BP ，得2416x x AD x -+=．图2 图3对于⊙A ，R ＝2416x x AD x-+=；对于⊙B ，r ＝BP ＝x ；圆心距d ＝AB ＝4．如果⊙A 与⊙B 外切，那么d ＝R ＋r ．所以24164+x x x x-+=．整理，得x 2－4x ＋8＝0．此方程无实根，所以⊙A 与⊙B 不可能外切．如果⊙A 与⊙B 内切，那么d ＝|R －r |．方程24164x x x x -+=-的解为x ＝2．方程24164x x x x-+=-无解．所以当BP ＝2时，⊙A 与⊙B 内切（如图4）．图4 图5（3）如图5，当AD ＝AB ＝4时，解方程24164x x x-+=，得x ＝BP ＝4．此时四边形ABPD 是菱形，四边形AHCD 是矩形．所以EB ＝DC ＝AH ＝ABE ＝∠ADC ＝90°．延长EB 交DP 的延长线于Q ，那么∠Q ＝∠ABE ＝90°．在Rt △BPQ 中，∠BPQ ＝60°，BP ＝4，所以PC ＝2，BQ ＝在Rt △PEQ 中，EQ ＝EB ＋BQ ＝cot ∠BEP ＝EQ PQ ＝。

中考数学：2015上海黄浦区中考数学二模压轴题

3 12 x ，所以点 D 的坐标为 (4， ) ． a a 12 由于 AC//y 轴，所以点 C 的坐标为 (a， ) ． a
由于直线 OA 的解析式为 y
2
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中考数学
所以 CD//x 轴．因此四边形 ABDC 是矩形．所以点 B、 C 到对角线 AP 的距离相等．因此△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形，它们的面积相等．所以
CD BF 3 1 y ，即． CE BC x 2
2 3x 3 ．定义域是 ≤x＜ 2 3 ． x 2
4
整理，得 y
图2
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中考数学
（3）△EFG 与△CDG 都是直角三角形，分两种情况讨论相似： ①如图 3，当∠FEG＝∠DCG 时，由于∠FDG＝∠DCG，所以∠FEG＝∠FDG．因此 FE＝FD．所以 FC 垂直平分 DE．此时 CE＝CD＝ 3 ． ②如图 4，当∠FEG＝∠CDG 时，EF//CD．此时 EF⊥AB．作 EH⊥CD 于 H，那么四边形 EFDH 是矩形，DF＝EH．所以 y＝
S△ABP S 的值是否随 a 的变化而变化？如果不变，求出 △ABP S△ACP S△ACP
图1
备用图
思路点拨
1．点 B 是确定的，点 C、P 随点 A 的改变而改变． 2．已知 a＞4 隐含了点 A 在点 B 的右侧这个条件．
满分解答
12 ＝2．所以点 P 的坐标为(6, 2)． x 1 由 O(0, 0)、P(6, 2)，得直线 AO 的解析式为 y x ． 3
满分解答
（1）在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，BC＝2，所以 AB＝4，AC＝ 2 3 ．在 Rt△ACD 中，∠A＝30°，AC＝ 2 3 ，所以 CD＝ 3 ，AD＝3．（2）如图 2，∠CDE 与∠BFD 都是∠EDF 的余角，所以∠CDE＝∠BFD．又因为∠DCE＝∠B＝60°，所以△CDE∽△BFD．所以

2015上海市各区高考物理二模分类汇编(专题四、曲线运动万有引力)

专题四、曲线运动万有引力（B 卷）一、单项选择题（每小题2分）。

1、虹口1、一物体在四个共点力作用下做匀速直线运动。

若突然撤去一个沿运动方向的力，其余三个力保持不变，则物体做（）（A ）匀速圆周运动（B ）匀加速直线运动（C ）类平抛运动（D ）匀减速直线运动 D2、某区3．物体做匀速圆周运动时，在任意相同时间间隔内，速度的变化量B （A ）大小相同、方向相同（B ）大小相同、方向不同（C ）大小不同、方向不同（D ）大小不同、方向相同3、浦东、一个小球在细绳的拉力作用下，绕某固定点在竖直平面内作圆周运动，空气阻力不计．小球在运动过程中不发生改变的物理量是（ D ）． A ．速度 B ．角速度 C ．加速度 D ．机械能4、长宁、下列现象中，不属于．．．由万有引力引起的是C(A)银河系球形星团聚集不散 (B)月球绕地球运动而不离去(C)电子绕核旋转而不离去 (D)树上的果子最终总是落向地面二、单项选择题（每小题3分）1、（2015奉贤）10．趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。

则如图（各俯视图）篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是答案：C2、虹口、将一只苹果水平抛出，苹果在空中依次飞过三个完全相同的窗户1、2、3，图中曲线为苹果在空中运行的轨迹，不计空气阻力。

下列说法中正确的是（）1 2（A ）苹果通过第1个窗户所用的时间最短（B ）苹果通过第1个窗户的过程中，重力做功最多（C ）苹果通过第3个窗户的过程中，重力的平均功率最大（D ）苹果通过第3个窗户的过程中，竖直方向的平均速度最小C 3普陀、如图，光滑平面上一质点以速度v 通过原点O ，v 与x轴正方向成α角，与此同时对质点加上沿x 轴正方向的恒力Fx和沿y 轴正方向的恒力Fy ，下列说法正确的是（ D ）（A ）质点一定做曲线运动（B ）质点不可能做直线运动（C ）如果Fy ＞Fx ，质点向y 轴一侧做曲线运动（D ）如果Fx ＞Fy cotα，质点向x 轴一侧做曲线运动4、普陀、如图，质量m =1kg 的物体放在水平放置的钢板C 上，与钢板的动摩擦因数μ=0.2。

2015上海二模物理压轴题

1．如图13所示的电路中，电源电压保持不变，滑动变阻器R 2上标有“50 2A ”字样。

闭合电键S ，移动滑片P 到某位置时，电压表 V 1 的示数为2伏，电压表V 的示数为6伏，电流表 A 的示数为0.2安。

求：（1）电阻R 1的阻值。

（2）通电10秒，电流通过电阻R 1所做的功W 1。

（3）是否存在某种可能，改变滑片P 的位置，使两电压表指针偏离零刻度线的角度恰好相同？若有可能，通过计算求出R 2的值；若没有可能，说明理由。

2．在图9所示的电路中，R 1的阻值为10欧，两电压表的规格相同，电源电压为15伏且保持不变，闭合电键S 后，电压表V l 的示数如图所示。

求：①通过电阻R 1的电流；②电流通过电阻R 2所消耗的功率；③若用标有“20Ω 2A”字样滑动变阻器来替换电阻R 2，通过移动变阻器的滑片，使两电表能分别达到某量程的满刻度，且电路能正常工作。

第一，要满足上述要求，两电压表量程的选择有 (1)种组合。

若有多种组合，请从中选择一组；若只有一种组合，请判断出：V l 表量程：0~ (2) V ，V 2表量程：0~ (3) V 。

第二，若再用电阻R 0替换R 1来满足上述要求，通过计算说明R 0的可能取值范围为多少。

3．如图12甲所示电路，电源电压为12伏，电阻R 1的阻值为20欧，滑动变阻器R 2上标有“100Ω 1A ”字样，当电键S 闭合时，电流表A 的示数为0.2①电压表V 1的示数； ②R 2消耗的功率P 2；③滑动变阻器的滑片P 移到另一位置时，电压表V 1的示数如图12乙所示，求此时滑4．在图10(a)所示的电路中，电源电压保持不变，电阻R 1为10欧，滑动变阻器R 2上标有“100Ω 3A ”字样。

当电键S 闭合时，电流表A 1的示数为0.8安，电流表A 2的示数为0.2安。

求：（1）电源电压U 。

（2）电阻R 1消耗的功率P 1。

（3）现设想用定值电阻R 0来替换电阻R 1，要求：在移动滑动变阻器滑片P 的过程中，能使两电表图13图101 2 3 A 00.20.40.6(b)(a)甲乙图12的指针偏离零刻度线的角度相同，且电路能正常工作。

2015年静安(青浦、宝山)区高考数学二模试卷含答案

2015年静安区高考数学二模含答案数学试卷（理科） 2015.04.（满分150分，考试时间120分钟）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p = ．2．已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm ，则此扇形的弧长为 cm ． 3．复数34ii-（i 为虚数单位）的模为． 4．函数221y x x =+-的值域为． 5．若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．6．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，31x 的系数是．7．方程)cos (lg )sin 3(lg x x -=的解集为．8．射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为45，则他得分的数学期望是分． 9．过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为． 10．在极坐标系中，点P (2，6π11)到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离等于． 11．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆公斤．12．设12,e e 是平面内两个不共线的向量，12(1)AB a e e =-+，122AC be e =-，0,0a b >>.若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值是．13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，等比数列{}n b 的前n 项和为n B ，若33a b =，44a b =，且53427A A B B -=-，则5353a ab b +=+． 14．已知：当0x >时，不等式11kx b x≥++恒成立，当且仅当13x =时取等号，则k = ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.如图，ABCDEF 是正六边形，下列等式成立的是（）（A ）0AE FC ⋅= （B ）0AE DF ⋅> （C ）FC FD FB =+ （D ）0FD FB ⋅<16.已知偶函数)(x f 的定义域为R ，则下列函数中为奇函数的是（）（A ）)](sin[x f （B ）)(sin x f x ⋅（C ）)(sin )(x f x f ⋅（D ）2)](sin [x f 17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（）（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始（B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.定义：最高次项的系数为1的多项式1110n n n p (x)x a x a x a --=++鬃?+（*∈n N ）的其余系数(0,1,,1)=⋅⋅⋅-i a i n 均是整数，则方程()0=p x 的根叫代数整数．下列各数不是代数整数的是（）（A ）22 （B ）3 （C ）152+ （D ）1322i-+三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．FA BCE D如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ．（1）求四棱锥111A BCC B -错误！未指定书签。

2015年二模压轴题6

2015年二模压轴题61．已知：如图1，AB ⊥BC ，AD // BC ， AB = 3，AD = 2．点P 在线段AB 上，联结PD ，过点D 作PD 的垂线，与BC相交于点C ．设线段AP 的长为x ．（1）当AP = AD 时，求线段PC 的长；（2）设△PDC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△APD ∽△DPC 时，求线段BC 的长．2．如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，AC =4，AD 是BC 边上的高，点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°．（1）求DE ︰DF 的值；（2）联结EF ，设点B 与点E 间的距离为x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；若不能，请说明理由.3．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =5，D 是BC 边上一点，CD =3，点P 在边AC 上（点P 与A 、C 不重合），过点P 作PE // BC ，交AD 于点E ．（1）设AP =x ，DE =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当以PE 为半径的⊙E 与DB 为半径的⊙D 外切时，求DPE 的正切值；（3）将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB /D ，联结B /C ．如果∠ACE =∠BCB /，求AP 的值．备用图DCBA E P DCBA （第1题图）图1B C DEF A 备用图1 B C D 备用图2B C DA A ABC DP （图1）ABCD（备用图）4．ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转︒180得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当OMP ∆是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设y NB =，x OA =，求y 关于x 的函数关系式及定义域．5．如图1，已知⊙O 的半径长为1，PQ 是⊙O 的直径，点M 是PQ 延长线上一点，以点M 为圆心作圆，与⊙O 交于A 、B 两点，联结P A 并延长，交⊙M 于另外一点C .(1) 若AB 恰好是⊙O 的直径，设OM=x ，AC=y ，试在图2中画出符合要求的大致图形，并求y 关于x 的函数解析式；(2) 联结OA 、MA 、MC ，若OA ⊥MA ，且△OMA 与△PMC 相似，求OM 的长度和⊙M 的半径长； (3) 是否存在⊙M ，使得AB 、AC 恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM 的长度和⊙M 的半径长；若不存在，试说明理由.BOACP图2BOACP图1图3 ONBAC图2Q POM备用图QPOAB 图1C Q P O M答案1．解：（1）过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ．∵ AB ⊥BC ，CE ⊥AD ，PD ⊥CD ，AD // BC ， ∴ ∠ABC =∠AEC =∠PDC = 90°，CE = AB = 3． ∵ AD // BC ，∴ ∠A +∠ABC = 180°．即得 ∠A = 90°．又∵ ∠ADC =∠DCE +∠DEC ， ∠ADC =∠ADP +∠PDC ， ∴ ∠ADP =∠DCE ．又由 ∠A =∠DEC = 90°，得 △APD ∽△DCE ．∴A D A PC ED E=．于是，由AP = AD = 2，得 DE = CE = 3．…………………………（2分）在Rt △APD 和Rt △DCE 中，得 22PD =，32CD =．…………………………………………（1分）于是，在Rt △PDC 中，得 22121827PC PD CD =+=+=．（1分）（2）在Rt △APD 中，由 AD = 2，AP = x ，得 24P D x =+．……………………………………………………（1分）∵ △APD ∽△DCE ，∴ A D P DC E C D=． ∴ 233422CD PD x ==+．…………………………………………（1分）在Rt △PCD 中，2221133(4)32224PCD S PD CD x x ∆=⋅⋅=⨯+=+．∴ 所求函数解析式为2334y x =+．…………………………………（2分）函数的定义域为 0 < x ≤ 3．…………………………………………（1分）（3）当△APD ∽△DPC 时，即得 △APD ∽△DPC ∽△DCE ．…………（1分）根据题意，当△APD ∽△DPC 时，有下列两种情况：（ⅰ）当点P 与点B 不重合时，可知 ∠APD =∠DPC ．由 △APD ∽△DCE ，得A P P D D E D C =．即得 A P D EP D C D =．由 △APD ∽△DPC ，得 A P A DP D D C=． ∴ A D D E C D C D=．即得 DE = AD = 2． ∴ AE = 4．易证得四边形ABCE 是矩形，∴ BC = AE = 4．…………………（2分）（ⅱ）当点P 与点B 重合时，可知 ∠ABD =∠DBC ．在Rt △ABD 中，由 AD = 2，AB = 3，得 13BD =．由 △ABD ∽△DBC ，得 A D B DB D B C=．即得21313BC =．解得 132BC =．………………………………………………………（2分）∴ △APD ∽△DPC 时，线段BC 的长分别为4或132．2. 解：（1）∵∠BAC = 90° ∴∠B +∠C ＝90°， ∵AD 是BC 边上的高 ∴∠DAC +∠C =90°∴∠B =∠DAC ………………………………………………………………………（1分）又∵∠EDF = 90° ∴∠BDE +∠EDA =∠ADF +∠EDA = 90° ∴∠BDE =∠ADF ∴△BED ∽△AFD ……………………………………………………………………（1分）∴DE BDDF AD= …………………………………………………………………………（1分） ∵3cot 4BD AB B AD AC === ∴DE ︰DF =34……………………………………（1分）（2）由△BED ∽△AFD 得34BE BD AF AD == ∴4433AF BE x == ……………………………（1分） ∵BE x = ∴3AE x =-∵∠BAC = 90° ∴2222425(3)()6939EF x x x x =-+=-+………………………………………（1分） ∵DE ︰D F =3︰4，∠EDF =90°∴ED =35EF ，FD =45EF …………………………………………………………………（1分） ∴216225y ED FD EF =⋅= ∴22365432525y x x =-+ (03)x ≤≤ ……………（2分）（3）能. BE 的长为543255或.……………………………………………………………（5分）（说明：BE 的长一个正确得3分，全对得5分）3. 解：（1）∵在Rt △ABC 中，AC =4，CD =3，∴AD =5，……………………1分∵PE // BC ，∴AD AE AC AP =,∴54AEx =，……………………………………1分 ∴x AE 45=,∴x DE 455-=，………………………………………………1分即x y 455-=，（40<<x ）…………………………………………………1分（2）当以PE 为半径的⊙E 与DB 为半径的⊙D 外切时，有DE =PE +BD ，即243455+=-x x ，…………………………………………1分解之得23=x ，∴25=PC ， …………………………………………………1分∵PE // BC ，∴∠DPE =∠PDC ， ………………………………………………1分在Rt △PCD 中， tan PDC ∠=56253==PC CD ；∴tan DPE ∠=56………………………………1分(3) 延长AD 交BB /于F ，则AF ⊥BB /，∴BFD ACD ∠=∠，又FDB ADC∠=∠，∴FBDCAD ∠=∠∴ACD ∆～BFD ∆，……………………………………………………………2分 ∴BF =58，所以BB /= 516，………………………………………………………1分 ∵∠ACE =∠BCB /，∠CAE =∠CBB /， ∴ACE ∆～/BCB ∆，∴2564=AE ,…………………………………………2分 ∴125256=AP ……………………………………………………………………1分4．（1）在R t △ABC 中，︒=∠90ACB，∵53sin ==AB AC B ，6=AC ∴10=AB ， 86102222=-=-=AC AB BC ………………（1分）过点M 作AB MD ⊥，垂足为D ．……………………………………（1分）在MDB Rt ∆中，︒=∠90MDB ，∴53sin ==MB MD B ， ∵2=MB ，∴56253=⨯=MD ＞1……………………………………（1分） ∴⊙M 与直线AB 相离．…………………………………………………（1分）（2）分三种情况：︒1 ∵56=MD ＞MP =1，∴OM ＞MP ；……………………………（1分） ︒2 当MP OP =时，易得︒=∠90MOB ，∴108cos ===AB BC BM OB B ，∴58=OB ，∴542=OA ；………（2分）︒3 当OP OM =时，过点O 作BC OE ⊥，垂足为E ．∴108cos ===AB BC OB EB B ，∴815=OB ，∴865=OA ．………（2分）综合︒︒︒321、、，当OMP ∆是等腰三角形时，OA 的长为542或865．（3）联结ON ，过点N 作AB NF ⊥，垂足为F ．在NFB Rt ∆中，︒=∠90NFB ，53sin =B ，y NB =； ∴y NF 53=，y BF 54=；∴y x OF 5410--=，…………………（1分）∵⊙N 和⊙O 外切，∴y x ON +=；…………………………………（1分）在NFB Rt ∆中，︒=∠90NFB ，∴222NF OF ON +=；即222)53()5410()(y y x y x +--=+； ∴4050250+-=x xy ；…………………………………………………………（2分）定义域为：0＜x ＜5．……………:………………………………………（1分）5. （1）图画正确（1分）过点M 作AC MN⊥，垂足为N ∴y NC AN 21== 由题意得：AB PM ⊥，又AB 是圆O 的直径∴1==OP OA ∴︒=∠45APO ， 2=PA∴y PN 212+= （1分）在Rt △PNM 中，PMPNNPM =∠cos 又x PM+=1，︒=∠45NPM∴ 22121245cos =++=︒x y∴ y 关于x 的函数解析式为22-=x y （1>x ）（2分）（2）设圆M 的半径为r因为 OA ⊥MA ，∴∠OAM=90°，12+=r OM又△OMA 与△PMC 相似，所以△PMC 是直角三角形。

2015年上海中考数学二模24题整理

已知B ：在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax 2 + x 的对称轴为直线 x =2，顶点为 A ．（1）求抛物线的表达式及顶点 A 的坐标； A点 P 24 题 y = ( x - m )2 + n 的顶点 D 在直线 AB 上，与 y 轴的交点为 C 。

动点之角度(2015 二模崇明)24．（本题满分 12 分，每小题各 6 分）如图，已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点 A (0, - 4) ，点 B (-2, 0) ，点 C (4, 0) ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点 M 在 y 轴上， ∠OMB + ∠OAB = ∠ACB ，求点 M 的坐标．yy(2015 二模奉贤)24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 8 分）B OC x O C xA（备用图）（2）（第为抛物线对称轴上一点，联结 OA 、OP ．x图）①当 OA ⊥OP 时，求 OP 的长；②过点 P 作 OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点 B ，联结 OB ，当∠OAP =∠OBP 时，求点 B 的坐标．(2015 二模杨浦)24．(本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分，)已知：在直角坐标系中，直线 y =x +1 与 x 轴交与点 A ，与 y 轴交与点 B ，抛物线12（1）若点 C （非顶点）与点 B 重合，求抛物线的表达式；y（2）若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值；（3）在第（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称轴于点P，使得∠DCP=∠CAD，求点P的坐标。

动点之相似(2015二模宝山嘉定)24．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知平面直角坐标系xOy（图9），双曲线y=k(k≠0)与直线y=x+2都经过点xA(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y=x+2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．y(2015二模金山)24．（本题满分12分）已知抛物线y=ax2+bx-8(a≠0)经过A(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx-8(a≠0)的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；B A 如图，在直角坐标系 xOy 中，抛x 物线 y = ax O 2 - 2ax + c 与 x 轴的正半轴相x 交于点 A 、与 y 轴（3）直线 y = kx + 2 与 y 轴交于点 N ，与直线 AC 的交点为 M ，当 ∆MNC 与 ∆AOC 相似时，求点 M 的坐标．动点之面积(2015 二模黄浦)24. （本题满第（1）小题满分 3 分，第（2）分 12 分，小题满分 4分，第（3）小题满分 5 分）如图 7，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A 的坐标为（a ，3）（其中a >4)，射线 OA与反比例函数y = 12 的图像交于点 P ，点 B 、C 分别在函数y = 12 的图像上，且 AB //x 轴，xxAC //y 轴．（1）当点 P 横坐标为 6，求直线 AO 的表达式；（2）联结 BO ，当 AB = BO 时，求点 A 坐标；（3）联结 BP 、CP ，试猜想：S ∆ABP 的值是否随 a 的变化而变化？如果不变，求出 S ∆ABP 的SS∆ACP∆ACP值；如果变化，请说明理由．(2015 二模静安青浦)24．（本题满分 12 分，第（1）小题满分 8 分，第（2）小题满分 4 分）PCO 图7的正半轴相交于点 B ，它的对称轴与 x 轴相交于点 C ，且∠OBC =∠OAB ，AC =3．（1）求此抛物线的表达式；如图，已知抛物线 y = x 2 - 2tx + t 2 - 2 的顶点 A 在第四象限，过点 A 作 AB ⊥y 轴于点 B ，A (-1,0)，B (4,0 )，C (0,2 )．点D 是点 C 关于原点的对称C 点A ，联结 B D ，点E 是 x 轴上的E （2）如果点 D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为 F ，DF 与线段 AB 相交于点G ，且 S∆ADG : S∆AFG= 3 : 2 ，求点 D 的坐标．y(2015 二模长宁)24．（本题满分 12 分）BCC 是线段 AB 上一点(不与 A 、B 重合)，过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D ，并交抛物线于点 P .（1）若点 C 的横坐标为 1，且是线段 AB 的中点，求点 P 的坐标；（2）若直线 AP 交 y 轴负半轴于点 E ，且 AC =CP ，求四边形 OEPD 的面积 S 关于 t 的函数解析式，并写出定义域；（3）在（2）的条件下，当△ADE 的面积等于 2S 时，求 t 的值.y动点之直角、等腰三角形存在性DO x(2015 二模普陀 ) 如图10，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像经过点 PB一个动点，设点 E 的坐标为(m , 0)，过点 E 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 P ．第 24 题（1）求这个二次函数的解析式；图（2）当点E 在线段 OB 上运动时，直线 l 交 BD 于点 Q ．当四边形CDQP 是平行四边形时，求 m 的值；（3）是否存在点 P ，使△ B DP 是不以 BD 为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．y y(2015二模松江)24．（本题满分12分，每小题各4分）C C如图，二次函数y=-x2+bx的图像与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与A OB x A O B xy轴的正半轴交于点B，与二次函数的图像交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．设二次函数图像的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．动点之梯形(2015二模徐汇)24．如图，在平面直角坐中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x点A（－1，0）和点B（3，0），D为抛物线的直线AC与抛物线交于点C（5，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且∆AEC和∆AED相似，求点E的坐标；标系轴交于顶点，（3）若直角坐标平面中的点F和点A、C、D构成求点F的坐标．其他直角梯形，且面积为16，试（(2015 二模闵行)24．（本题满分 12 分，其中每小题各 4 分）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2 - 2ax - 4 与 x 轴相交于 A 、B 两点，与 y 轴相交于点 C ，其中点 A 的坐标为（-3，0）．点 D 在线段 AB 上，AD = AC ．（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以 DB 为半径的圆 D 与圆 C 外切，求圆 C 的半径；（3）设点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 BC 上．如果线段 MN 被直线 CD 垂直平分，求BN 的值． CN(2015 二模浦东)24．本题满分 12 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分）已知：如图，直线 y =kx +2 与 x 轴的正半轴相交于点 A（t ,0）、与 y 轴相交于点 B ，抛物线 y = - x 2 + bx + c 经过点 A 和点 B ，点 C 在第三象限内，且 AC ⊥AB ，tan∠ACB = 1 ．2（1）当 t =1 时，求抛物线的表达式；（2）试用含 t 的代数式表示点 C 的坐标；（3）如果点 C 在这条抛物线的对称轴上，求 t2020-2-8的值．。

2015年高三二模客观压轴题解析(虹口、浦东、奉贤、崇明)

3
9、（2015 年奉贤理 14）在极坐标系中，曲线 3 cos 1 0 上的点到 A1, 0 的距离最小值是_______．
【答案】 2 2 1
【解析】本题考查动点与定点之间的距离问题，思路是设点、表示、代入消元、求值域。
5、（2015 年浦东理 12）若正项数列an 是以 q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项 ak 的值都大于从
ak2 开始的各项和，则公比 q 的取值范围是
．
【答案】 (0,
5 1 )
2
【解析】由题意知 0
q
1， ak
ak2 ,各项均为正数，q 1 q
0,1 q
q2 , 解得 q (0,
x yx y
xy ，
基本不等式的题型， 1 + 3 =(x+3y)( 1 + 3 )=1+9+ 3y + 3x 10 6 16 ，得最小值为 16-9=7。
xy
xy
xy
本题也可以代入消掉 y。
2、（2015 年虹口理 7）设数列 an 前 n 项的和为 Sn ，若 a1 4 ，且 an1 3Sn n N* ，则 Sn _________.
和 g(x) 的“隔离直线”. 给出下列四组函数；
① f (x) 1 1, g(x) sin x ； 2x
② f (x) x3, g(x) 1 ； x
③ f (x) x 1 , g(x) lg x ； x
④ f (x) 2x 1 , g(x) x 2
其中函数 f (x) 和 g(x) 存在“隔离直线”的序号是
【答案】 4n
【解析】由
an1 3Sn n N*
得an 3Sn-1 n 2，两式相减得an+1-an 3an (n 2), an+1 4an (n 2), 所以{an}是从第二项开始的等比数列，

上海2015二模试卷含答案(二套)

九年级数学共5页第1页2014学年奉贤区调研测试九年级数学 2015.04（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列计算中正确的是（▲）A .633a a a =+； B .633a a a =⋅ ； C .033=÷a a ； D .633)(a a =． 2．二元一次方程32=+y x 的解的个数是（▲）A ． 1个；B ．2个；C ．3个；D ．无数个． 3．关于反比例函数xy 2=的图像，下列叙述错误的是（▲） A ．y 随x 的增大而减小； B ．图像位于一、三象限；C ．图像是轴对称图形；D ．点（-1，-2）在这个图像上．4．一名射击运动员连续打靶8次，命中环数如图所示，这组数据的众数与中位数分别为（▲）A ．9与8；B ．8与9；C ．8与8.5；D ．8.5与9．5．相交两圆的圆心距是5，如果其中一个圆的半径是3，那么另外一个圆的半径可以是（▲）A ．2；B ．5；C ．8；D ．10． 6．如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，下列能使△ABD ≌△ACD 的条件是（▲）A ．∠B =45°；B ．∠BAC =90°；C ．BD =AC ；D ．AB =AC ．（第4题图）DCB A（第6题图）九年级数学共5页第2页二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．用代数式表示：a 的5倍与b 的27的差： ▲ ； 8．分解因式：1522--x x = ▲ ； 9．已知函数3+=x x f )(，那么=-)(2f ▲ ；10．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m ，这个数用科学记数法表示为 ▲ ； 11．若关于x 的方程022=--k x x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ▲ ； 12．布袋中装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其它都相同．如果从这个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ▲ ；13．已知函数b x y +-=2，函数值y 随x 的增大而▲ （填“增大”或“减小”）； 14．如果正n 边形的中心角是40°，那么n = ▲ ；15．已知△ABC 中，点D 在边BC 上，且BD =2DC ．设AB a = ，=，那么AD →等于▲ (结果用、表示)；16．小明乘滑草车沿坡比为1:2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为▲米；17．我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于 ▲ ；18．如图，已知钝角三角形ABC ，∠A=35°，OC 为边AB 上的中线，将△AOC 绕着点O 顺时针旋转，点C 落在BC 边上的点'C 处，点A 落在点'A 处，联结'BA ，如果点A 、C 、'A 在同一直线上，那么∠''C BA 的度数为 ▲ ；三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：1o )12(45cos 22218-++--+．CBOA （第18题图）九年级数学共5页第3页20．（本题满分10分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+<-x x x x 2371211513)(，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最．小整数解．．．．．21．（本题满分10分，每小题满分各5分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC =6，BC =4，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点D ．（1）求∠D 的正弦值；（2）求点C 到直线DE 的距离．CB A（第21题图）EDS22．（本题满分10分）某学校组织为贫困地区儿童捐资助学的活动，其中七年级捐款总数为1000元，八年级捐款总数比七年级多了20%．已知八年级学生人数比七年级学生人数少25名，而八年级的人均捐款数比七年级的人均捐款数多4元．求七年级学生人均捐款数．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是对角线AC上一点，∠DEC=∠ABC，且CACECD⋅=2．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE=∠DCE，求证：四边形EFCD是菱形．D BA九年级数学共5页第4页九年级数学共5页第5页24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线x ax y +=2的对称轴为直线x =2，顶点为A ．（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，联结OA 、OP ．①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，联结OB ，当∠OAP =∠OBP 时，求点B 的坐标．九年级数学共5页第6页25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图，线段AB =8，以A 为圆心，5为半径作圆A ，点C 在⊙A 上，过点C 作CD //AB 交⊙A 于点D （点D 在C 右侧），联结BC 、AD ．（1）若CD=6，求四边形ABCD 的面积；（2）设CD =x ，BC =y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）设BC 的中点为M ，AD 的中点为N ，线段MN 交⊙A 于点E ，联结CE ，当CD 取何值时，CE //AD ．DCB （第25题图）AB（备用图）A九年级数学共5页第7页奉贤区初三调研考数学卷参考答案 201504一、选择题：（本大题共8题，满分24分）1．B ； 2．D ； 3．A ； 4．C ； 5．B ； 6．D ．二、填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．b a 725-； 8．)3)(5(+-x x ； 9．1； 10．7104.9-⨯； 11．1->k ； 12．72； 13．减小； 14．9； 15．32+； 16．50； 17．2或1； 18．20°．三．（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式=1222223-+--+． (2)= 122+． ………………………………………………………………………2分20.（本题满分10分）解：由①得:2x >- ．………………………………………………………………………2分由②得:4x ≤．………………………………………………………………………2分所以，原不等式组的解集是24x -<≤．……………………………………………2分数轴上正确表示解集．………………………………………………………………2分所以，这个不等式组的最小整数解是-1．…………………………………………2分21. （本题满分10分）（1）过点A 作AH ⊥BC 于点H ………………………………………………………………1分 ∵ AB=AC ，BC =4 ∴BH =21BC =2 在△ABH 中，∠BHA=90°, ∴sin ∠BAH =31=AB BH …………………………………2分∵ DE 是AB 的垂直平分线 ∴∠BED=90° BE=3∴∠BED=∠BHA又∵∠B=∠B ∴∠BAH=∠D …………………………………………………1分九年级数学共5页第8页∴sin ∠D= sin ∠BAH=13……………………………………………………………1分即∠D 的正弦值为13（2）解：过点C 作CM ⊥DE 于点M ………………………………………………………1分在△BED 中，∠BED=90°,sin ∠D =13,BE=3 ∴BD =9sin =∠DBE∴CD=5………………………………………………2分在△MCD 中，∠CMD=90°,sin ∠D =31=CD CM ∴CM=35．…………………2分即点C 到DE 的距离为3522．（本题满分10分）解：设七年级人均捐款数为x 元，则八年级人均捐款数为)4(+x 元．…………………1分根据题意，得4%)201(1000251000++=-x x ．……………………………………4分整理，得 0160122=-+x x ．……………………………………………1分解得 20,821-==x x ．……………………………………………………2分经检验：20,821-==x x 是原方程的解，0202<-=x 不合题意，舍去．…………1分答：七年级人均捐款数为8元．……………………………………………………………1分 23．（本题满分12分，每小题满分各6分）证明：（1）CA CE CD ⋅=2 ∴CACDCD CE =∵∠ECD =∠DCA ∴△ECD ∽△DCA ……………………………………………2分 ∴∠ADC =∠DEC ∵∠DEC =∠ABC ∴∠ABC =∠ADC …………………1分∵AB ∥CD ∴∠ABC+∠BCD=1800 ∠BAD+∠ADC =1800∴∠BAD =∠BCD ………………………………………………………………………2分 ∴四边形ABCD 是平行四边形………………………………………………………1分（2）∵EF ∥AB BF ∥AE ∴四边形ABFE 是平行四边形∴ AB ∥EF AB=EF …………………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥CD AB=CD九年级数学共5页第9页∴CD ∥EF CD=EF∴四边形EFCD 是平行四边形 ………………………………………………………2分 ∵CD ∥EF ∴∠FEC=∠ECD 又∵∠DCE=∠FCE ∴∠FEC=∠FCE ∴EF=FC∴平行四边形EFCD 是菱形 …………………………………………………………2分24．（本题满分12分，每小题4分）(1)∵ 抛物线x ax y +=2的对称轴为直线x =2．∴221=-a ∴41-=a ．……………………………………………………………1分 ∴抛物线的表达式为：x x y +-=241．…………………………………………………1分 ∴顶点A 的坐标为（2，1）． ……………………………………………………………2分（2）设对称轴与x 轴的交点为E ．①在直角三角形AOE 和直角三角形POE 中，AE OE OAE =∠tan ，OEPEEOP =∠tan ∵OA ⊥OP ∴EOP OAE ∠=∠ ∴OEPEAE OE =……………………………2分 ∵AE =1，OE=2 ∴PE=4…………………………………………………………1分 ∴OP=524222=+……………………………………………………………1分②过点B 作AP 的垂线，垂足为F ………………………………………………………1分设点B （a a a +-241,），则2-=a BF ，a a EF -=241 在直角三角形AOE 和直角三角形POB 中，OE AE OAE =∠cot ，OPBPOBP =∠cot ∵OBP OAE ∠=∠， ∴21==OP BP OE AE ∵PEO BFP ∠=∠，POE BPF ∠=∠∴△BPF ∽△POE ，∴OEPFPO BP PE BF == ∵OE=2， ∴PF=1，1412+-=a a PE ∴2114122=+--a a a九年级数学共5页第10页解得101=a ，22=a （不合题意，舍去）…………………………………………2分 ∴点B 的坐标是（10，-15）．……………………………………………………………1分 25．解：（1）作AH ⊥CD ，垂足为点H ……………………………………………………1分∵ CD=6∴321===CD DH CH …………………………………………………1分 ∵AD=5∴AH=4………………………………………………………………1分∴28)(21=⋅+=AH AB CD S ABCD 梯形……………………………………………1分（2）作CP ⊥AB ，垂足为点P ∵⊙A 中，AH ⊥CD ，CD=x∴x CH 21=∴x CH AP 21==…………… ………………………………1分 ∴x BP 218-=……………………………… ………………………………1分 222DH AD AH AHD Rt -=∆中，24125x -=∴2224125x AH CP -==…………………… ………………………………1分在222BP CP BC BPC Rt +=∆中，即222)218()4125(x x y -+-= 解得：()100889≤<-=x xy ………………………………………………2分（3）设AH 交MN 于点F ,联结AE∵BC 的中点为M ，AD 的中点为N ∴MN ∥CD∵CE ∥AD ∴DC=NE=x ………………………………………………………………1分 ∵MN ∥CD ∴AD AN DH NF =∵ 2xDH = ∴4x NF = ∴43x EF =……1分在直角三角形AEF 和直角三角形AFN 中222EF AE AF -=222NF AN AF -= ∴2222)43(5)4()25(x x -=-∴265=x …………………………………………………………………2分即当CD 长为265时，CE//AD ．九年级数学共5页第11页崇明县2014学年第二学期教学质量调研测试卷九年级数学（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列运算中，正确的是 ……………………………………………………………………（）(A)1293=±3 (C)030-=（） (D)2139-=2．轨道交通给人们的出行提供了便捷的服务，据悉，上海轨道交通19号线即将开建，一期规划为自川桥路站至长兴岛，设6站，全长约为20600米．二期、远期将延伸到崇明岛、横沙岛，届时崇明县三岛将全通地铁．将20600用科学记数法表示应为 ………………………（）(A)52.0610⨯(B)320.610⨯(C)42.0610⨯(D)50.20610⨯3．从下列不等式中选择一个与12x +≥组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为1x ≥，那么可以选择的不等式可以是 ………………………………………………………………（） (A)1x >-(B)2x >(C)1x <-(D)2x <4．已知点11(,)A x y 和点22(,)B x y 是直线23y x =+上的两个点，如果12x x <，那么1y 与2y 的大小关系正确的是……………………………………………………………………………（）(A)12y y >(B)12y y <(C)12y y =(D)无法判断5．窗花是我国的传统艺术，下列四个窗花图案中，不是．．轴对称图形的是…………………（）(A)(B) (C) (D)6．已知在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是 ………………………………………………………………………………………（）九年级数学共5页第12页(A)AC BD =, AB CD ∥, AB CD = (B)AD BC ∥, A C ∠=∠(C)AO BO CO DO ===, AC BD ⊥(D)AO CO =, BO DO =, AB BC =九年级数学共5页第13页二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．因式分解：34x x -= ▲ .8.2，那么x = ▲ ．9．如果分式242x x -+的值为0，那么x 的值为 ▲ ．10．已知关于x 的一元二次方程2610x x m -+-=有两个相等的实数根，那么m 的值为 ▲ ．11．已知在方程222232x x x x++=+中，如果设22y x x =+，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ▲ ． 12．布袋中有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中取出1个球恰好是红球的概率为 ▲ ．13．某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级的360名同学中随机选出20名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表：用所学的统计知识估计这360名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 ▲ 吨．14．如图，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，设向量AB a = ，AD b = ，如果用向量,a b表示向量BC ，那么BC =▲ ．15．如图，已知ABC ∆和ADE ∆均为等边三角形，点D 在BC 边上，DE 与AC 相交于点F ，如果9AB =，3BD =，那么CF 的长度为 ▲ ．16. 如图，已知在O 中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为点E ，如果30BAD ∠=︒，2OE =，那么CD = ▲ ．17．如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为2y x px q =++，我们将[],p q 称为这个函数的特征数．例如二次函数242y x x =-+的特征数是[]4,2-．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是[]2,3，将这个函数的图像先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为 ▲ ．（第14题图）AB C D （第15题图）AC EF D （第16题图）B九年级数学共5页第14页18．如图，在ABC ∆中，CA CB =，90C ∠=︒，点D 是BC的中点，将ABC ∆沿着直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，折痕交AB 于点E ，交AC 于点F ，那么sin BED ∠的值为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）先化简，再求值：2122121x x x x x x +-÷+--+，其中6tan302x =︒-． 20．（本题满分10分）解方程组：222230x y x xy y -=⎧⎨--=⎩21．（本题满分10分，第(1)小题5分、第(2)小题5分）在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，AD BC ⊥，垂足为点D ．已知9AC =，3cos 5C =．（1）求线段AE 的长；（2）求sin DAE ∠的值．BACFD（第18题图）（第21题图）CABE D九年级数学共5页第15页22．（本题满分10分，第(1)小题4分，第(2)小题6分）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y (km)与小明离家时间x (h)的函数图像．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍．（1）小明骑电动自行车的速度为千米/小时，在甲地游玩的时间为小时；（2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，ABC ∆中，2BC AB =，点D 、E 分别是BC 、AC 的中点，过点A 作AF BC ∥交线段DE 的延长线于点F ，取AF 的中点G ，联结DG ，GD 与AE 交于点H ．（1）求证：四边形ABDF 是菱形；（2）求证：2DH HE HC =⋅．（第22题图）)A BDHG FEC（第23题图）九年级数学共5页第16页24．（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M 在y 轴上，OMB OAB ACB ∠+∠=∠，求点M 的坐标．（第24题图）（备用图）九年级数学共5页第17页25．（本题满分14分，第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，4tan 3B =，点P 是线段AB 上的一个动点，以点P 为圆心，PA 为半径的P 与射线AC 的另一个交点为点D ，射线PD 交射线BC 于点E ，点Q 是线段BE 的中点．（1）当点E 在BC 的延长线上时，设PA x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）以点Q 为圆心，QB 为半径的Q 和P 相切时，求P 的半径；（3）射线PQ 与P 相交于点M ，联结PC 、MC ，当PMC ∆是等腰三角形时，求AP 的长．（第25题图）（备用图1）B AC （备用图2）BAC。

2015年初三二模压轴题

2015年二模24题二次函数题型分析题型一：角度问题（2015年闸北二模）24、已知：如图七，二次函数图像经过点A （-6，0）；B （0，6），对称轴为直线x=-2, 顶点为点C ，点B 关于直线x=-2的对称点为点D ；（1）求二次函数的解析式以及点C 和点D 的坐标；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，点E 在线段AB 上，联结DE ，若DE 平分四边形ABCD 的面积，求线段AE 的长；（3）在二次函数的图像上是否存在点P ，能够使BAC PCA ∠=∠？如果存在，请求出点P 坐标；若不存在，请说明理由。

【参考答案】： 24. (1))8,2(6221y 2-+--=C x x D(-4,6)(2)ABCD 为直角梯形24AE 8S 16)262(221S ABCABCD =∴=∴=+=∆(3)存在1. P 和D 重合 P （-4，6）2.P 在X 轴下方CP:y=7x+22 P(-16,-90)（2015年崇明二模）24．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M 在y 轴上，OMB OAB ACB ∠+∠=∠，求点M 的坐标．【参考答案】解：（1）解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C∴44201640c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩……………………………………………………1分解得方程组的解为1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩………………………………………………2分∴这个抛物线的解析式为：2142y x x =--………………………………1分顶点为9(1,)2-……………………………………………………………2分（2）如图：取OA 的中点，记为点N ∵OA=OC=4，∠AOC=90° ∴∠ACB=45°∵点N 是OA 的中点∴ON=2 又∵OB=2 ∴OB=ON 又∵∠BON=90° ∴∠ONB=45° ∴∠ACB=∠ONB ∵∠OMB+∠OAB=∠ACB ∠NBA+∠OAB=∠ONB∴∠OMB=∠NBA ………………………………………………………………2分 1°当点M 在点N 的上方时，记为M 1 ∵∠BAN=∠M 1AB ，∠NBA=∠OM 1B ，（第24题图）∴△ABN ∽△AM 1B ∴1AN ABAB AM =又∵AN=2，AB=2∴110AM =又∵A （0，—4）∴1(0,6)M ………………………………………………………………………2分 2°当点M 在点N 的下方时，记为M 2点M 1与点M 2关于x 轴对称，∴2(0,6)M -……………………………………2分综上所述，点M 的坐标为(0,6)或(0,6)-（2015年奉贤二模）24．已知：在平面直角坐标系中，抛物线x ax y +=2的对称轴为直线x =2，顶点为A ．（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，联结OA 、OP ．①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，联结OB ，当∠OAP =∠OBP 时，求点B 的坐标．【参考答案】(1)∵抛物线x ax y +=2的对称轴为直线x =2．∴221=-a ∴41-=a ．……………………………………………………………1分 ∴抛物线的表达式为：x x y +-=241．…………………………………………………1分∴顶点A 的坐标为（2，1）．……………………………………………………………2分xyO（2）设对称轴与x 轴的交点为E ．①在直角三角形AOE 和直角三角形POE 中，AE OE OAE =∠tan ，OEPEEOP =∠tan ∵OA ⊥OP ∴EOP OAE ∠=∠ ∴OEPEAE OE =……………………………2分 ∵AE =1，OE=2 ∴PE=4…………………………………………………………1分 ∴OP=524222=+……………………………………………………………1分②过点B 作AP 的垂线，垂足为F ………………………………………………………1分设点B （a a a +-241,），则2-=a BF ，a a EF -=241在直角三角形AOE 和直角三角形POB 中，OE AE OAE =∠cot ，OPBPOBP =∠cot ∵OBP OAE ∠=∠， ∴21==OP BP OE AE ∵PEO BFP ∠=∠，POE BPF ∠=∠∴△BPF ∽△POE ，∴OEPFPO BP PE BF == ∵OE=2，∴PF=1，1412+-=a a PE ∴2114122=+--a a a解得101=a ，22=a （不合题意，舍去）…………………………………………2分∴点B 的坐标是（10，-15）．……………………………………………………………1 （2015年杨浦二模）24、已知：在直角坐标系中，直线y =x +1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线21()2y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C 。

2015年上海各区中考数学二模压轴题24、25题图文解析

《2015年上海各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2015年上海各区中考数学二模第24、25题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第24、25题图文解析/2例2 2015年奉贤区中考数学二模第24、25题图文解析/6例3 2015年虹口区中考数学二模第24、25题图文解析/10例4 2015年黄浦区中考数学二模第24、25题图文解析14例5 2015年金山区中考数学二模第24、25题图文解析/18例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第24、25题图文解析/22例7 2015年闵行区中考数学二模第24、25题图文解析/26例8 2015年浦东新区中考数学二模第24、25题图文解析/30例9 2015年普陀区中考数学二模第24、25题图文解析34例10 2015年松江区中考数学二模第24、25题图文解析38例11 2015年徐汇区中考数学二模第24、25题图文解析42例12 2015年杨浦区中考数学二模第24、25题图文解析/46例13 2015年长宁区中考数学二模第24、25题图文解析/50例14 2015年崇明县中考数学二模第24、25题图文解析/54例15 2015年闸北区中考数学二模第24、25题图文解析/592015年上海各区中考数学二模第18题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第18题图文解析/63例2 2015年奉贤区中考数学二模第18题图文解析/64例3 2015年虹口区中考数学二模第18题图文解析/615例4 2015年黄浦区中考数学二模第18题图文解析/66例5 2015年金山区中考数学二模第18题图文解析/67例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第18题图文解析/68例7 2015年闵行区中考数学二模第18题图文解析/69例8 2015年浦东新区中考数学二模第18题图文解析/70例9 2015年普陀区中考数学二模第18题图文解析/71例10 2015年松江区中考数学二模第18题图文解析/72例11 2015年徐汇区中考数学二模第18题图文解析/73例12 2015年杨浦区中考数学二模第18题图文解析/74例13 2015年长宁区中考数学二模第18题图文解析/75例14 2015年崇明县中考数学二模第18题图文解析/76例15 2015年闸北区中考数学二模第18题图文解析/77例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入8yx=，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．图22所以S△ABC＝12BA BC⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE＝AD＝22．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD=时，21021022CE=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图54例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ．过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合（如图1），求cot ∠BAE 的值；（2）若点M 在边BC 上（如图2），设边长AC ＝x ，BM ＝y ，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若∠BAE ＝∠EBM ，求斜边AB 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定25”，拖动点A 上下运动，可以体验到，△ABE 保持等腰三角形，∠BAE ＝∠EBM 按照点M 与点B 的位置关系存在两种情况．思路点拨1．第（1）题的特殊性是∠DEB ＝∠CAB ＝∠EBD ，△EDB 是等腰直角三角形．2．第（1）题暗示了第（2）题中蕴含着三个等角，因此寻找相似三角形．3．第（3）题∠BAE ＝∠EBM 要分两种情况考虑，各有各的特殊性．满分解答（1）如图3，当点M 与点B 重合时，EB //AC ．所以∠CAB ＝∠EBD ．又因为旋转前后∠CAB ＝∠DEB ，所以∠EBD ＝∠DEB ．所以△EDB 和△ACB 是等腰直角三角形．已知BC ＝2，所以AC ＝2，AB ＝22．在Rt △AED 中，ED ＝2，AD ＝222-，所以cot ∠BAE ＝AD ED＝2222-＝21-．图3 图4（2）在Rt △ABC 中，BC ＝2，AC ＝x ，所以AB ＝24x +．如图4，设EM 与AB 交于点F ．由FM //AC ，得BM BF BC BA =，即224y BFx =+．所以BF ＝242y x +．由于BD ＝BC ＝2，所以DF ＝2422y x +-．由∠DEB ＝∠CAB ＝∠DFE ，∠EDB 是公共角，得△DEB ∽△DFE ．所以DE 2＝DF ·DB ，即2242(2)2y x x +=-．整理，得2244x y x -=+．定义域是0＜x ＜2．（3）已知BA ＝BE ，所以∠BAE ＝∠BEA ．当∠BAE ＝∠EBM 时，∠BAE ＝∠BEA ＝∠EBM ．按照M 、B 的位置分两种情况： ①如图5，当M 在B 右侧时，由∠BEA ＝∠EBM ，得AE //CM ．此时∠BAE ＝∠ABC ．又已知∠ABC ＝∠EBD ，所以∠ABC ＝∠EBD ＝∠EBM ＝60°．在Rt △ABC 中，AB ＝2BC ＝4．②如图6，当M 在B 左侧时，在△BAE 中，∠BAE ＝∠BEA ＝2∠ABE ．所以∠ABE ＝36°，∠BAE ＝∠BEA ＝72°．延长EA 交BC 的延长线于G ，那么∠G ＝36°，AG ＝AB ，GE ＝GB ＝2CB ＝4．由于点A 是GE 的黄金分割点，所以512AG GE -=．所以AB ＝AG ＝252-．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，我们直接应用了黄金分割数，也可以用相似比来解．由∠BAE ＝∠BEA ＝∠MBE ，容易得到GB ＝GE ＝4，AG ＝AB ＝BE ．由△GBE ∽△BAE ，得到EB 2＝EA ·EG ．设AB ＝BE ＝m ．于是得到24(4)m m =-．整理，得m 2＋4m －16＝0．解得252m =．6例 2015年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋x 的对称轴为直线x ＝2，顶点为A ．（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，联结OA 、OP ．①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，联结OB ，当∠OAP ＝∠OBP 时，求点B 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤24”，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，△BNP ∽△PMO 保持不变，当∠OAP ＝∠OBP 时，△BOP ∽△AOH ．思路点拨1．根据等角的余角相等，通过已知的等角寻找未知的等角．2．过直角顶点P 向坐标轴画垂线，可以构造相似的直角三角形，于是通过对应边成比例，可以列方程．满分解答（1）由抛物线的对称轴为122x a =-=，可得14a =-．所以抛物线的表达式为2211(2)144y x x x =-+=--+．顶点A 的坐标为(2, 1)．（2）①如图2，设AP 与x 轴交于点H ．由A (2, 1)，可得tan ∠OAH ＝2．当OA ⊥OP 时，∠POH ＝∠OAH ．所以tan ∠POH ＝PH OH＝2．因此PH ＝2OH ＝4．所以OP ＝25．图2②如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，tan ∠AOH ＝tan ∠BOP ．所以2PO HO PB HA==．如图4，过点P 作PM ⊥y 轴于M ，过点B 作x 轴的垂线交直线PM 于N ．由△OMP ∽△PNB ，得2OM MP PO PN NB BP===．所以OM ＝2PN ，MP ＝2NB ．设21(,)4B x x x -+，P (2, n )，那么2(2)n x -=-，2122()4x x n =-+-．将n ＝4－2x 代入2114x x n -+-=，整理，得x 2－12x ＋20＝0．解得x ＝10，或x ＝2（B 与A 重合，舍去）．所以点B 的坐标为(10, －15)．图3 图4考点伸展如果应用四点共圆的知识，结合勾股定理，那么第（2）②题可以这样做：如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，A 、B 、P 、O 四点共圆．此时∠OAB ＝∠OPB ＝90°．所以OB 2＝OA 2＋AB 2．设21(,)4B x x x -+，那么22222211()5(2)(1)44x x x x x x ⎡⎤+-+=+-+-+-⎢⎥⎣⎦．整理，得x 2－12x ＋20＝0．解得x ＝10，或x ＝2．所以B (10, －15)．例 2015年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1，已知线段AB＝8，以A为圆心，5为半径作⊙A，点C在⊙A上，过点C作CD//AB 交⊙A于点D（点D在点C右侧），联结BC、AD．（1）若CD＝6，求四边形ABCD的面积；（2）设CD＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设BC的中点为M，AD的中点为N，线段MN交⊙A于点E，联结CE，当CD取何值时，CE//AD．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤25”，拖动点C在圆上运动，可以体验到，当CE//AD 时，四边形CEND是平行四边形，四边形CEAN是平行四边形，四边形CF AG是矩形．思路点拨1．已知△ABC的三边长分别为5，8，y，构造AB边上的高CK，那么CK为两个直角三角形的公共直角边，根据勾股定理列方程，可以得到y关于x的关系式．2．当CE//AD时，注意到CE与AN、DN的关系都是平行且相等．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ACD中，AC＝AD＝5，CD＝6，所以CH＝DH＝3．所以AH＝4．所以S梯形ABCD＝1()2CD AB AH+⨯＝1(68)42+⨯＝28．图2 图3（2）如图3，作CK⊥AB，垂足为K，那么四边形CKAH为矩形．在△ACD中，AC＝AD＝5，CH＝DH＝12 x．8在△ABC 中，BC ＝y ，AC ＝5，AK ＝12x ，BK ＝182x -．由CK 2＝BC 2－BK 2＝AC 2－AK 2，得222211(8)5()22y x x --=-．整理，得898y x =-．自变量x 的取值范围是0＜x ＜10．（3）如图4，已知MN 是梯形ABCD 的中位线，MN //CD ，当CE //AD 时，四边形CEND 是平行四边形，此时CE ＝DN ＝12AD ＝52．由CE //NA ，CE ＝NA ，得四边形CEAN 是平行四边形．所以CN ＝EA ＝CA ＝5．作CG ⊥AN 于G ，那么AG ＝12AN ＝14AD ＝54．所以DG ＝515544-=．在Rt △CAG 中，AG ＝54，CA ＝5，由勾股定理，得CG ＝5154．在Rt △CDG 中，CG ＝5154，DG ＝154，由勾股定理，得CD ＝562．图4 图5考点伸展第（3）题还可以用相似比来解：如图5，设直线AE 与DC 的延长线交于点P ，与⊙A 交于点Q ，那么CE 是△P AD 的中位线，因此PC ＝CD ＝x ，PE ＝EA ＝AQ ＝5．由CE //DA ，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4．于是可得∠Q ＝∠5＝∠6．由△PCE ∽△PQD ，得PC PQ PE PD =．所以1552x x =．解得562x = 由△PDA ∽△PQD ，得PD PQ PA PD =．所以215102x x =．解得562x =例 2015年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－1,0)、B(3,0)、C(2, 3)三点，与y轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC、CB，直线y＝4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口24”，拖动点P运动，可以体验到，经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．拖动点F在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，以A、B、C、F为顶点的梯形有3个．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，设两点式比较简便．2．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．3．过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(2, 3)代入，得3＝－3a．解得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.对称轴是直线x＝1．（2）如图2，由C(2, 3)、D(0, 3)，得CD//x轴．所以四边形ABCD是梯形．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．梯形ABCD的中位线的中点为3(1,)2，将点3(1,)2代入y＝4x＋m，得m＝52．（3）符合条件的点F有3个，坐标分别为(1, 3)，(1,－2)，(1,－6)．10图2 图3考点伸展第（3）题这样解：过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．①如图3，当CF//AB时，点F的坐标是(1, 3)．②如图4，当BF//AC时，由tan∠CAM＝tan∠FBH，得CM FHAM BH=．所以332FH=．解得FH＝2．此时点F的坐标为(1,－2)．③如图5，当AF//CB时，由tan∠CBM＝tan∠F AH，得CM FHBM AH=．所以312FH=．解得FH＝6．此时点F的坐标为(1,－6)．图4 图512例 2015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C 运动，可以体验到，CG ＝2GB 保持不变，△ABC 的形状在改变，EA ＝EM 保持不变．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E 在射线CD 上运动，可以体验到，△AEG 可以两次成为直角三角形．思路点拨1．第（1）题中的△CEF 和△CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比．2．第（2）题中的△ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG 分两种情况讨论．满分解答（1）如图2，由CE //AB ，得313EF CE AF BA ==．由于△CEF 与△CAF 是同高三角形，所以S △CEF ∶S △CAF ＝3∶13．（2）如图3，延长AG 交射线CD 于M ．图2由CM //AB ，得2CM CG AB BG==．所以CM ＝2AB ＝26．由CM //AB ，得∠EMA ＝∠BAM ．又因为AM 平分∠BAE ，所以∠BAM ＝∠EAM ．所以∠EMA ＝∠EAM ．所以y ＝EA ＝EM ＝26－x ．图3 图4（3）在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．①如图4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中点．所以G是BC的中点，BG＝6．②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得FC FA FE FG=．由CE//AB，得FC FB FE FA=．所以FA FBFG FA=．又因为∠AFG＝∠BF A，所以△AFG∽△BF A．所以∠F AG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH＝132．在Rt△GBH中，由cos∠B＝BHBG，得BG＝132÷1213＝16924．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt △AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝P A＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．图7 图814例 2015年上海市黄浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a , 3)（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x =的图像上，且AB //x 轴，AC //y 轴．（1）当点P 的横坐标为6时，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB ＝BO 时，求点A 的坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABPACPS S △△的值；如果变化，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦24”，拖动点A 在点B 右侧运动，观察度量值，可以体验到，△ABP 与△ACP 的面积保持相等．事实上，四边形ABDC 是矩形，△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形．思路点拨1．点B 是确定的，点C 、P 随点A 的改变而改变．2．已知a ＞4隐含了点A 在点B 的右侧这个条件．满分解答（1）如图1，当x ＝6时，12y x=＝2．所以点P 的坐标为(6, 2)．由O (0, 0)、P (6, 2)，得直线AO 的解析式为13y x =．（2）如图2，因为AB //x 轴，A (a , 3)，所以点B 的纵坐标为3．又因为点B 在反比例函数12y x=的图像上，所以B (4, 3)．因此OB ＝5．所以当AB ＝BO ＝5时，点A 的坐标为(9, 3)．（3）如图3，过点B 向x 轴作垂线交OA 于点D ，联结CD ．由于直线OA 的解析式为3y x a =，所以点D 的坐标为12(4)a，．由于AC //y 轴，所以点C 的坐标为12()a a ，．所以CD //x 轴．因此四边形ABDC 是矩形．所以点B 、C 到对角线AP 的距离相等．因此△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形，它们的面积相等．所以ABP ACPS S △△＝1．图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样说理：如图3，ABP ABD S S △△＝AP AD ，ACP ACD S S △△＝AP AD，而S △ABD ＝S △ACD ，所以ABP ACP S S △△＝1．第（3）题还可以计算说理：如图4，作PM ⊥AB 于M ，作PN ⊥AC 于N ．设点P 的坐标为12()m m ，．将点P 12()m m，代入直线OA 的解析式3y x a=，可以得到24m a =．于是，由A (a , 3)、B (4, 3)、C 12()a a ，、P 12()m m，，可得 S △ABP ＝12AB PM ⋅＝112(4)(3)2a m --＝3416(4)2a a m m--+＝2316(4)24m m m --+， S △ACP ＝12AC PN ⋅＝112(3)()2a m a --＝34(4)2m a m a--+＝2316(4)24m m m --+．所以S △ABP ＝S △ACP ．而事实上，如图5，由于S 1＝S 2，所以S △ABO ＝S △ACO ．所以B 、C 到AO 的距离相等．于是△ABP 与△ACP 就是同底等高的三角形．图4 图5例 2015年上海市黄浦区中考模拟第25题如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE 分别交于点F、G．（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦25”，拖动点E在AC边上运动，可以体验到，△EFG 与△CDG相似存在两种情况．一种情况是FC垂直平分DE，另一种情况是EF⊥AB．思路点拨1．图形中的垂直关系较多，因此互余的角较多，相等的角较多．把相等的角都标注出来，便于分析题意．2．求y关于x的函数关系式，设法构造相似三角形．3．△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似．按照对应的锐角相等，可以推出相似时的特殊的位置关系．满分解答（1）在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，所以AB＝4，AC＝23．在Rt△ACD中，∠A ＝30°，AC＝23，所以CD＝3，AD＝3．（2）如图2，∠CDE与∠BFC都是∠EDF的余角，所以∠CDE＝∠BFC．又因为∠DCE＝∠B＝60°，所以△CDE∽△BFD．所以CD BFCE BC=，即312yx+=．整理，得23xyx-=．定义域是32≤x＜23．图2（3）△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似：①如图3，当∠FEG＝∠DCG时，由于∠FDG＝∠DCG，所以∠FEG＝∠FDG．因此FE＝FD．所以FC垂直平分DE．此时CE＝CD＝3．16②如图4，当∠FEG＝∠CDG时，EF//CD．此时EF⊥AB．作EH⊥CD于H，那么四边形EFDH是矩形，DF＝HE．所以y＝32x．解2332xxx-=，得3393x-±=．此时3933CE-=．图3 图4考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图5，过点E作EH⊥CD，垂足为H．在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，CE＝x，所以CH＝12x，EH＝32x．如图6，由tan∠DEH＝tan∠DCF，得13(3)::322x x y-=．整理，得23xyx-=．图5 图6 图7 第（2）题还可以如图6这样，过点C作AB的平行线交DE的延长线于M．由tan∠M＝tan∠DCF，得CD DFCM DC=．所以CM＝23CDDF y=．由MC//AD，得CM CEAD AE=．所以323xCMx=-．由3323xy x=-，得23xyx-=．定义域的两个临界值，如图8，CE＝12CD＝32；如图9，CE＝CA＝23．图8 图9例 2015年上海市金山区中考模拟第24题已知抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）经过A(－2,0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；（3）直线y＝kx＋2 与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山24”，拖动点M在AC上运动，可以体验到，△MNC 与△AOC相似存在两种情况．思路点拨1．用面积法求等腰三角形P AB的腰上的高，进而可以求顶角的正弦值．2．探求△MNC与△AOC相似，可以转化为探求直角三角形MNC．满分解答（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A(－2,0)、B(4, 0)两点，设y＝a(x＋2)(x－4)＝ax2－2ax－8a．所以－8a＝－8．解得a＝1．所以y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9．所以顶点P的坐标为(1,－9)．（2）如图2，由A(－2,0)、B(4, 0)、P(1,－9)，得AB＝6，PB＝P A＝310．作PG⊥AB，AH⊥PB，垂足分别为G、H．由S△P AB＝1122AB PG PB AH⋅=⋅，得699105310AB PGAHPB⋅⨯===．在Rt△APH中，sin∠APB＝910331055AHPA=÷=．图2 （3）由y＝kx＋2，得点N的坐标为(0, 2)．由A(－2,0)、C(0, －8)，得直线AC的解析式为y＝－4x－8．因为△MNC与△AOC有公共的锐角∠ACO，所以分两种情况讨论相似：18①如图3，当∠MNC＝90°时，14NM OANC OC==．所以1105442NM NC===．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图4，当∠NMC＝90°时，过点M作x轴的垂线，过点N、C分别作y轴的垂线，构造直角三角形NEM和直角三角形MFC，那么△NEM∽△MFC．所以EN FM EM FC=．设点M的坐标为(x, －4x－8)，那么(48)(8)2(48)x xx x-----=----．解得4017x=-．此时点M的坐标为4024(,)1717-．图3 图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样解：①如图3，当∠MNC＝90°时，MN//x轴，所以y M＝2．解方程－4x－8＝2，得52x=-．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图5，当∠NMC＝90°时，设直线NM交x轴于K，那么△NOK≌△AOC．所以OK＝OC＝8．所以直线NM的解析式为124y x=+．联立y＝－4x－8和124y x=+，解得4017x=-，2417y=．此时M4024(,)1717-．例 2015年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝43．（1）求BC的长；（2）点D、E 分别是AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM交于点O．设MN＝x，四边形ADOE的面积为y．①求y与x的函数关系式，并写出定义域；②当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山25”，拖动点N在MC上运动，可以体验到，等腰三角形OMN存在两种情况．思路点拨1．把四边形ADOE分割为△ADE和△DOE，△DOE与△NOM是相似的．2．分三种情况讨论等腰三角形OMN，其中NM＝NO是不存在的．满分解答（1）如图2，作AF⊥BC，垂足为F．在Rt△ABF中，AB＝10，tan∠B＝43，设BF＝3m，AF＝4m，那么AB＝5m．所以5m＝10．解得m＝2．所以BF＝6，AF＝8．因为AB＝AC，AF⊥BC，所以BC＝2BF＝12．图2（2）①如图3，S△ABC＝1112848 22BC AF⋅=⨯⨯=．因为DE是△ABC的中位线，所以DE＝12BC＝6，S△ADE＝14S△ABC＝12．过点O作BC的垂线，垂足为H，交DE于G，那么GH＝12AF＝4．由DE//BC，得DE GONM HO=，即64GOx GO=-．所以246GOx=+．因此S△DOE＝11247262266 DE GOx x⋅=⨯⨯=++．所以y＝S四边形ADOE＝S△ADE＋S△DOE＝7212144 1266xx x++=++．定义域是0＜x＜12．②如图4，作EQ⊥BC，垂足为Q．在Rt△ECQ中，EC＝5，所以EQ＝4，CQ＝3．20在Rt△EMQ中，MQ＝11－3＝8，EQ＝4，所以EM＝45．如图5，在Rt△DMP中，DP＝4，MP＝3－1＝2，所以DM＝25．图3 图4 图5 因为△OMN∽△OED，所以讨论等腰△OMN可以转化为讨论等腰△OED．（I）如图6，当OM＝ON时，OE＝OD．此时点O在ED的垂直平分线上．所以BN＝CM＝11．此时MN＝22－12＝10．．（II）如图7，当MO＝MN时，EO＝ED＝6．此时MN＝MO＝45x（III）如果NM＝NO，那么DO＝DE＝6．如图8，因为DM＝25＜6，所以以D为圆心，DE为半径的⊙D与线段ME只有一个交点E，因此不存在NM＝NO的情况．图6 图7 图8考点伸展我们把图8局部放大，如图9，⊙D与直线ME的两个交点为E、O，此时点O在EM的延长线上，点N与点B重合，在点M的左侧，NO＝NM．图922例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，它的对称轴与x 轴交于点C ，且∠OBC ＝∠OAB ，AC ＝3．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且32ADG AFG S S =△△，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦24”，拖动点D 在抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，DG 与GF 的比值可以等于1.5，此时点D 的横坐标为3．思路点拨1．抛物线的解析式中待定两个系数，需要代入A 、B 两点的坐标列方程组．2．△ADG 与△AFG 是同高三角形，面积比等于对应的底边的比．3．把DG ∶GF ＝3∶2转化为GF ∶DF ＝2∶5，运算就简便一些．满分解答（1）由y ＝ax 2－2ax ＋c ，得抛物线的对称轴是直线x ＝1．因为AC ＝3，所以点A 的坐标为(4,0)．如图2，由∠OBC ＝∠OAB ，∠BOC ＝∠AOB ，得△BOC ∽△AOB ．于是可得OB 2＝OC ·OA ＝4．所以OB ＝2，B (0, 2)．将A (4,0)、B (0, 2)分别代入y ＝ax 2－2ax ＋c ，得1680,2.a a c c -+=⎧⎨=⎩ 解得14a =-，c ＝2．所以抛物线的表达式是211242y x x =-++．图2 图3（2）如图3，因为△ADG 与△AFG 是同高三角形，所以32ADG AFG S DG S GF ==△△．所以25GF DF =．由A (4,0)、B (0, 2)，得直线AB 的解析式为122y x =-+．设D 211(,2)42x x x -++，G 1(,2)2x x -+，那么21222115242x x x -+=-++ 解得x ＝3，或x ＝4（与A 重合，舍去）．所以点D 的坐标是5(3,)4．考点伸展第（2）题凭直觉，△ADG 的面积总要比△AFG 的面积小，但是32ADG AFG S S =△△确实是有解的．我们分析一下方程21222115242x x x -+=-++，等号左边是可以化简、约分的．因为1(4)222125(2)(4)4x x x x --==+-+-，所以原分式方程总有一个增根x ＝4，另一个就是一元一次方程的根．24例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第25题在⊙O 中，OC ⊥弦AB ，垂足为C ，点D 在⊙O 上．（1）如图1，已知OA ＝5，AB ＝6，如果OD //AB ，CD 与半径OB 相交于点E ，求DE 的长；（2）已知OA ＝5，AB ＝6（如图2），如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ，且 △OCD 是等腰三角形，求AF 的长；（3）如果OD //AB ，CD ⊥OB ，垂足为E ，求sin ∠ODC 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦25”，拖动点C 运动，观察度量值，可以体验到，当CD ⊥OB 时，sin ∠ODC 的值就是黄金分割数啊．思路点拨1．反反复复的勾股定理和三角比的运算，要仔细哦．2．第（2）题等腰三角形OCD 只存在两种情况，因为OC ＜OD ．3．第（3）题中的所有直角三角形都是相似的．怎样简化错综复杂的线段间的关系呢？设⊙的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ，然后把其他线段用x 表示出来．这个设法不多见哦．满分解答（1）如图2，因为弦心距OC ⊥弦AB ，所以OC 平分AB ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝3，所以OC ＝4．在Rt △OCD 中，OC ＝4，OD ＝5，所以DC ＝224541+=．由OD//CB ，得53DE OD CE BC ==．所以554188DE DC ==．图2 图3 图4（2）因为OC ＜OD ，所以等腰三角形OCD 存在两种情况：①如图3，当DO ＝DC 时，作DH ⊥OC ，那么DH 是△OCF 的中位线．在Rt △ODH 中，OD ＝5，OH ＝2，所以DH ＝225221-=．所以FC ＝2DH ＝221．此时AF ＝AC ＋FC ＝3221+．②如图4，当CO ＝CD 时，作CM ⊥OD ，那么CM 平分OD ．在Rt △OCM 中，OC ＝4，OM ＝12OD ＝52，所以CM ＝22539422⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由tan ∠COF ＝CM FC OM OC=，得3954394225CM OC FC OM ⋅==⨯÷=．此时AF ＝AC ＋FC ＝43935+．（3）设⊙O 的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ．如果OD //AB ，CD ⊥OB ，那么∠COD ＝90°，∠ODC ＝∠BOC ．如图5，在Rt △ODE 中，由sin ∠ODC ＝OE OD＝x ，得OE ＝x ．如图6，在Rt △OBC 中，由sin ∠BOC ＝BC OB＝x ，得BC ＝x ．如图7，由OD //CB ，得OD OE BC BE =．所以11x x x =-．整理，得x 2＋x －1＝0．解得152x -±=．所以sin ∠ODC ＝512-．图5 图6 图7考点伸展看到第（3）题的结果，不由得想起了黄金分割数，那么图形中的黄金分割点在哪里？如图7，因为51DE OE OE DC OB OD -===，所以点E 是线段OB 的黄金分割点，点E 也是线段CD 的黄金分割点．26例 2015年上海市闵行区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－3,0)，点D 在线段AB 上，AD ＝AC ．（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BN CN的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“15闵行24”，拖动点N 在BC 上运动，可以体验到，当DC 垂直平分MN 时，∠NDC ＝∠ADC ＝∠ACD ，此时DN //AC ．思路点拨1．准确描绘A 、B 、C 、D 的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系．2．第（3）题在图形中模拟比划MN 的位置，近似DC 垂直平分MN 时，把新产生的等角与前面存在的等角对比，思路就有了．满分解答（1）将点A (－3,0)代入y ＝ax 2－2ax －4，得15a －4＝0．解得415a =．所以抛物线的解析式为24841515y x x =--．抛物线的对称轴为直线x ＝1．（2）由24844(3)(5)151515y x x x x =--=+-，得B (5, 0)，C (0,－4)．由A (－3,0)、B (5, 0)、C (0,－4)，得 AB ＝8，AC ＝5．当AD ＝AC ＝5时，⊙D 的半径DB ＝3．由D (2, 0)、C (0,－4)，得DC ＝25因此当⊙D 与⊙C 外切时，⊙C 的半径为253（如图2所示）．（3）如图3，因为AD ＝AC ，所以∠ACD ＝∠ADC ．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，那么∠ADC ＝∠NDC ．这时∠ACD＝∠NDC．所以DN//AC．于是35BN BDCN AD==．图2 图3考点伸展解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，以为M就是点O．这是为什么呢？我们反过来计算：当DN//AC，35BNCN=时，38DNAC=，因此DM＝DN＝31588AC=．而DO＝2，你看M、O相距是多么的近啊．放大还原事实的真相，如图4所示．图4例 2015年上海市闵行区中考模拟第25题如图1，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝5，AD＝4．M、N分别是边AD、BC 上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．（1）如图2，如果EF//BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△AND 面积的38，求AM的长；（3）如果BC＝10，试探求△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15闵行25”，拖动点M在AD上运动，可以体验到，当EF//BC 时，EF是△AND的中位线．还可以体验到，当N是BC的中点时，△ABN、△AND和△DNC 是三个底角相等的等腰三角形．思路点拨1．由平行四边形MENF和平行四边形AEFM，可以得到E是AN的中点．2．第（2）题把四边形MENF与△AND的面积比，转化为△AEM与△MFD的和与△AND的面积比．再根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方列方程．3．第（3）题先探求两个三角形相似，再验证是否与第三个三角形相似．满分解答（1）如图3，由ME//DN，MF//AN，得四边形MENF是平行四边形．所以MF＝EN．如果EF//BC，那么四边形AEFM是平行四边形．所以MF＝AE．所以E是AN的中点．同理F是DN的中点．所以EF是△AND的中位线，此时EF＝12AD＝2．图3 图4 （2）如图4，设AM的长为x．28由ME //DF ，得224AEM AND S AM x S AD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△．由MF //AN ，得2244MFD AND S DM x S AD -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△．所以22(4)16AEM MFD AND S S x x S ++-=△△△．如果四边形MENF 的面积是△AND 面积的38，那么22(4)5=168x x +-．整理，得x 2－4x ＋3＝0．解得x ＝1，或x ＝3．（3）如图5，在等腰梯形ABCD 中，保持AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，∠3＝∠4．在△ABN 、△AND 、△DNC 中，保持不变的是∠B ＝∠C ．因此△ABN 与△DCN 相似时，存在两种可能：①如果=BA CD BN CN，那么BN ＝CN ．所以N 是BC 的中点． ②如果=BA CN BN CD ，那么510=5BN BN -．解得BN ＝5．所以N 也是BC 的中点．当点N 是BC 的中点时，△ABN 与△DCN 是两个全等的等腰三角形．此时△AND 也是等腰三角形，∠1＝∠2＝∠4＝∠3．因此△ABN 、△AND 、△DNC 两两相似．由=AB AN AN AD ，得5=4AN AN ．所以=25AN ．图5考点伸展有一种传说叫做数学典型题．这道题目里的3个题目，都是典型图，都有典型结论．如图3，联结三角形三边中点得到的三角形与原三角形相似，而且与其它三个小三角形全等．第（3）题可以推广为：如果等腰梯形ABCD 的下底BC 等于腰长的2倍，N 是下底BC 的中点，那么△ABN ∽△NCD ∽AND ．。

2015届上海市高考数学·二模汇编解析几何

2015届高中数学·二模汇编（专题：解析几何）2015届高中数学·二模汇编解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是．2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离等于．3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________.7. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆为正三角形，则双曲线的实轴长为__________.8.（2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.9．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是．10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是．11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为． 12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为．xy2F 1F A BO13.（2015闵行二模理11文11）斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .14.（2015闵行二模理13）如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O ：221x y +=， M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时， PM ON ⋅的取值范围为．15．（2015浦东二模理6文6）已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为．16.（2015普陀二模理6文6）如图，若,66π∠=⋅=-OFB OF FB ，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为．17．（2015徐汇二模理3文3）已知直线l 的一个法向量是()1,3n =-，则此直线的倾斜角的大小为． 18．（2015徐汇二模理14文14）对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是．19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________．20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥， BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（）A.3B.4C.6D.9βαP BA DCABDy xCP NMO3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或24．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．x y 21±=三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ．（1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分)(第22题图）F 2F1y xPQ O 3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=， O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.4.（2015黄浦二模理23）已知点()12,0F -、()22,0F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围；（3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．5.（2015黄浦二模文23）已知点12(2,0)(2,0)F F -、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF ．设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围；（3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点．（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时，求直线AB 的方程．7.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点．（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时，求直线AB 的方程．8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求ABM △面积S 的最大值．9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标；（3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标．10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标．11.（2015普陀二模理22文22）如图，射线OA OB 、所在的直线的方向向量分别是()()()121,1,0==->d k d k k 、，点P 在∠AOB 内，⊥PM OA 于M ，⊥PN OB 于N ．（1）若311,,22k P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1,∆P OMP 的面积为65，求k 的值；（3）已知k 为常数，M N 、的中点为T ，且1∆=MON S k，当P 变化时，求动点T 的轨迹方程．22465NMPyxAOBS RPQDC BAO12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度;（2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）13.（2015年杨浦文23理23）已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦. （1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值；（2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值；（3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-，求N 点坐标.14.（2015年闸北二模文17理16）已知圆()221:18C x y ++=，点()21,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2015长宁二模文22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个端点与左、右焦点1F 、2F构成等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 为椭圆上C 上任意一点，求21MF MF ⋅的最大值与最小值；（3）试问在x 轴上是否存在一点B ，使得对于椭圆上任意一点P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离之比为定值．若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．16.（2015长宁二模理22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，过点B 且与2BF垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且→=+02221D F F F ．（1）求证：△21F BF 是等边三角形；（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程；（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。

2015上海各区二模电学压轴题含答案概述

奉贤区1．在图12（a ）所示的电路中，电源电压为12伏不变，电阻R 1的阻值为10欧，电阻R 2的阻值为30欧。

电流表A 的表盘如图12(b )所示。

闭合电键S 后，求：①通过电路的电流I 。

②电阻R 1消耗的功率P 1。

③现用标有“20欧 1安”字样的滑动变阻器R 3，替换电阻R 1或R 2。

要求：（a ）说出替换的电阻；（b ）在移动变阻器滑片的过程中，电流表示数变化量△I 的最大值，及变阻器连入电路阻值的范围。

①R ＝R 1＋R 2＝（10欧＋30欧）＝40欧 1分 I ＝U/R ＝12伏/40欧＝0.3安 1分②U 1＝IR 1＝0.3安×10欧＝3伏 1分 P 1＝U 1I ＝3伏×0.3安＝0.9瓦 1分 ③（a ）用变阻器R 3替换电阻R 2； 1分（b ）I 最大＝1.0安 I 最小＝U/ R 最大＝12伏/（10+20）欧＝0.4安 1分 △I 最大＝1.0安—0.4安＝0.6安 1分 R 最小＝U/I 最大＝12伏/1.0安＝12欧 R 3最小＝R 最小－R 1＝12欧－10欧＝2欧变阻器R 3的阻值范围为2~20欧。

2．在图14所示的电路中，电阻R 1的阻值为20欧，滑动变阻器R 2上标有“10 2.5A ”字样。

闭合电键S ，电流表A 的示数为0.9安。

（1）若电源电压为6伏，求通过电阻R 1的电流I 1和变阻器R 2消耗的电功率P 2；（2）若电源电压可变，电流表A 选接“0~3A ”量程。

现用定值电阻R 0替换R 1，要求：电源电压取6~12伏之间任一值，在移动变阻器滑片P 的过程中，电流表A 的指针能达到满刻度处。

第一，现有阻值为10欧和15欧的两个电阻，满足上述要求时应选择的电阻阻值为_______欧。

第二，满足上述要求时替换的定值电阻R 0的取值范围为_______欧至_______欧。

（1）I 1=U 1/R 1 1分=6伏/20欧 1分 =0.3安 1分 I 2=I -I 1=0.9安-0.3安=0.6安 1分 P 2=U 2I 2=6伏×0.6安=3.6瓦 2分（2）10；6.7（或6.67或20/3）；12 闵行区3．如图12所示，灯L 上标有“12V 3.6W ”，定值电阻R 1的阻值为10欧，滑动变阻器R 2上标有“50Ω 1A ”。

2015上海物理二模卷(DOC)

2015年上海市六校联考高考物理二模试卷一.单项选择题（每小题2分，共16分．）1．（2分）（2015•上海二模）人类对光的本性的认识经历了曲折的过程．下列关于光的本性的陈述中不符合科学规律或历史事实的是（）A．牛顿的“微粒说”与爱因斯坦的“光子说”本质上是一样的B．光的双缝干涉实验显示了光具有波动性C．麦克斯韦预言了光是一种电磁波D．光具有波粒二象性【考点】：光子；物理学史．【分析】：牛顿的“微粒说”认为光是一种实物粒子，而爱因斯坦的“光子说”认为光是一种量子化的物质．光既具有波动性又具有粒子性，光是一种电磁波，干涉是波特有的现象．【解析】：解：A、牛顿的“微粒说”认为光是一种实物粒子，而爱因斯坦的“光子说”认为光是一种量子化的物质．故A错误．B、干涉是波特有的现象，故光的双缝干涉实验显示了光具有波动性，故B正确．C、麦克斯韦根据他的电磁理论，认为光是一种电磁波，而赫兹证实了电磁波的存在．故C正确．D、光既具有波动性又具有粒子性，故具有波粒二象性，故D正确．本题选不符合的，故选A．【点评】：多读教材，加强基础知识积累就能顺利解决此类题目．2．（2分）（2015•上海二模）关于原子和原子核，下列说法中正确的是（）A．汤姆孙发现了电子使人们认识到电子是组成物质的最小微粒B．原子核集中了原子的几乎全部正电荷和全部质量C．卢瑟福通过原子核的人工转变发现了质子D．β粒子是从原子核内发出的，说明原子核内有电子存在【考点】：物理学史．【专题】：常规题型．【分析】：根据物理学史和常识解答，记住著名物理学家的主要贡献即可．【解析】：解：A、电子的发现使人们认识到原子有复杂的结构．故A错误．B、原子核集中了原子的全部正电荷和几乎全部的质量，故B错误；C、卢瑟福通过原子核的人工转变发现了质子，故C正确；D、β衰变时，原子核中的一个中子转化为一个质子和一个电子，释放出来的电子就是β粒子，可知β衰变现象不是说明电子是原子核的组成部分．故D错误；故选：C．【点评】：本题考查物理学史，是常识性问题，对于物理学上重大发现、发明、著名理论要加强记忆，这也是考试内容之一．3．（2分）（2015•上海二模）在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献．关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是（）A．第谷通过对天体运动的长期观察，发现了行星运动三定律B．亚里士多德认为力的真正效应总是改变物体的速度，而不仅仅是使之运动C．牛顿最早指出力不是维持物体运动的原因D．卡文迪许第一次在实验室里测出了引力常量【考点】：物理学史．【专题】：常规题型．【分析】：根据物理学史和常识解答，记住著名物理学家的主要贡献即可．【解析】：解：A、开普勒通过对天体运动的长期观察，发现了行星运动三定律，故A错误；B、亚里士多德认为，必须有力作用在物体上，物体才会运动，没有力的作用，物体就要静止下来，故B错误；C、伽利略最早指出力不是维持物体运动的原因，故C错误；D、卡文迪许第一次在实验室里测出了引力常量，故D正确；故选：D．【点评】：本题考查物理学史，是常识性问题，对于物理学上重大发现、发明、著名理论要加强记忆，这也是考试内容之一．4．（2分）（2014•广东）如图所示，水平地面上堆放着原木，关于原木P在支撑点M、N处受力的方向，下列说法正确的是（）A．M处受到的支持力竖直向上B．N处受到的支持力竖直向上C．M处受到的摩擦力沿MN方向D．N处受到的摩擦力沿水平方向【考点】：共点力平衡的条件及其应用；摩擦力的判断与计算；物体的弹性和弹力．【专题】：共点力作用下物体平衡专题．【分析】：支持力是一种弹力，其方向总是与接触面垂直，指向被支持物．静摩擦力方向与物体相对运动趋势方向相反．【解析】：解：A、M处受到的支持力与地面垂直向上，即竖直向上，故A正确；B、N处受到的支持力与原木P垂直向上，不是竖直向上，故B错误；C、原木相对于地有向左运动的趋势，则在M处受到的摩擦力沿地面向右，故C错误；D、N处受到的摩擦力沿原木表面向上，故D错误．故选：A．【点评】：解决本题的关键要掌握支持力和静摩擦力方向的特点，并能正确分析实际问题．要注意静摩擦力总是与物体相对运动趋势方向相反．5．（2分）（2015•上海二模）已知声波在钢轨中传播的速度远大于在空气中传播的速度，则当声音由钢轨传到空气中时（）A．频率变小，波长变长B．频率变大，波长变短C．频率不变，波长变长D．频率不变，波长变短【考点】：波长、频率和波速的关系．【分析】：当声音由钢轨传到空气中时，频率不变，波速减小，由波速公式分析波长的变化．【解析】：解：当声音由钢轨传到空气中时，频率不变，由题意得知波速减小，由波速公式v=λf 可知，波长变短．故D正确．故选D【点评】：本题关键要掌握波的频率、波速和波长的决定因素，抓住频率由波源决定，波速由介质决定，而波长由介质和波源共同决定．6．（2分）（2015•上海二模）对于曲线运动，下列说法中正确的是（）A．速度方向和加速度方向不可能一致B．合外力一定与速度方向垂直C．合外力一定发生变化D．物体受到的摩擦力方向一定和速度方向平行【考点】：物体做曲线运动的条件．【专题】：运动的合成和分解专题．【分析】：物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，速度的方向与该点曲线的切线方向相同．【解析】：解：A、曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上；根据牛顿第二定律，加速度与合力同向；故曲线运动中，速度与加速度一定不共线，故A正确；B、曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，不一定垂直，故B错误；C、曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，合力可以不变，如平抛运动，故C错误；D、物体与曲线轨道间的摩擦力方向与相对运动方向相反，而速度方向是切线方向，故摩擦力方向和速度方向平行，故D正确；故选：AD．【点评】：本题关键是对质点做曲线运动的条件的考查，匀速圆周运动，平抛运动等都是曲线运动，对于它们的特点要掌握住．7．（2分）（2015•上海二模）游泳运动员以相对于水流恒定的速率垂直河岸过河，当水速突然增大时，则过河（）A．路程增加、时间增加B．路程增加、时间不变C．路程增加、时间缩短D．路程、时间都不变【考点】：运动的合成和分解．【专题】：运动的合成和分解专题．【分析】：将运动员的运动分解为沿河岸方向和垂直河岸方向，根据分运动和合运动具有等时性，渡河的时间等于在垂直河岸方向分运动的时间．最终的位移是两个位移的合位移．【解析】：解：当水速突然增大时，在垂直河岸方向上的运动时间不变，所以横渡的时间不变．水速增大后在沿河岸方向上的位移增大，所以路程增加．故B正确，A、C、D错误．故选：B．【点评】：解决本题的关键将运动员的运动分解为沿河岸方向和垂直河岸方向，知道分运动和合运动具有等时性．8．（2分）（2015•上海二模）下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘．坐标原点O 处电场强度最大的是（）A ．B ．C ．D ．【考点】：电场强度；电场的叠加．【专题】：电场力与电势的性质专题．【分析】：根据点电荷场强的公式和场强叠加原理，与选项相对比，分析求解问题．分析时要抓住电场线从正电荷出发发无穷远处终止，或从无穷远处出发到负电荷终止．【解析】：解：设带电圆环在O 点产生的场强大小为E ．A 图中坐标原点O 处电场强度是带电圆环产生的，原点O 处电场强度大小为E ；B 图中坐标原点O 处电场强度是第一象限带正电圆环和第二象限带负电圆环叠加产生，坐标原点O 处电场强度大小等于E ．C 图中第一象限带正电圆环和第三象限带正电圆环产生电场相互抵消，所以坐标原点O 处电场强度是带电圆环带电圆环产生的，原点O 处电场强度大小为E ；D 图中第一象限带正电圆环和第三象限带正电圆环产生电场相互抵消，第二象限带负电圆环和第四象限带负电圆环产生电场相互抵消，所以坐标原点O 处电场强度为0．所以坐标原点O 处电场强度最大的是B ．故选：B ．【点评】：本题关键抓住对称性和叠加原理分析O 点的场强．要求学生在牢固的掌握基本知识的基础上要能过灵活的分析问题．二、单项选择题（每小题3分，共24分．）9．（3分）（2015•上海二模）一定质量的理想气体，如果保持它的体积不变，降低温度，使它的压强变为0℃时压强的，则此时气体的摄氏温度数值是（）A ．B ． nC ．D ．【考点】：理想气体的状态方程．【专题】：理想气体状态方程专题．【分析】：气体经历等容变化，根据查理定律公式PV=C 列式分析即可．【解析】：解：气体经历等容变化，降低温度，使它的压强变为0℃时压强的，根据查理定律，有：故：解得：t1=故选：C．【点评】：本题关键是明确气体经历等容变化过程，根据查理定律列式分析即可，注意摄氏温标与绝对温标的联系．10．（3分）（2013•江苏）在输液时，药液有时会从针口流出体外，为了及时发现，设计了一种报警装置，电路如图所示．M是贴在针口处的传感器，接触到药液时其电阻R M发生变化，导致S两端电压U增大，装置发出警报，此时（）A．R M变大，且R越大，U增大越明显B．R M变大，且R越小，U增大越明显C．R M变小，且R越大，U增大越明显D．R M变小，且R越小，U增大越明显【考点】：闭合电路的欧姆定律．【专题】：压轴题；恒定电流专题．【分析】：电阻R与R M并联后与S串联，当电阻R越大时，电阻R与R M并联的电阻越接近R M，电压变化越明显．【解析】：解：S两端电压U增大，故传感器两端电压一定减小；当“有药液从针口流出体外”使传感器接触药液，R M变小；当R＞R M时，R越大，M与R并联的电阻R并越接近R M，U增大越明显；故选：C．【点评】：本题是电路的动态分析问题，关键明确当电阻R越大时，电阻R与R M并联的电阻越接进R M，电压变化越明显．11．（3分）（2009•安徽）为了节省能量，某商场安装了智能化的电动扶梯．无人乘行时，扶梯运转得很慢；有人站上扶梯时，它会先慢慢加速，再匀速运转．一顾客乘扶梯上楼，恰好经历了这两个过程，如图所示．那么下列说法中正确的是（）A．顾客始终受到三个力的作用B．顾客始终处于超重状态C．顾客对扶梯作用力的方向先指向左下方，再竖直向下D．顾客对扶梯作用力的方向先指向右下方，再竖直向下【考点】：牛顿运动定律的综合应用．【分析】：分加速和匀速两个过程对顾客进行运动分析和受力分析，加速过程合力斜向右上方，故支持力大于重力，静摩擦力向右；匀速过程重力和支持力二力平衡．【解析】：解：在慢慢加速的过程中，受力如图，物体加速度与速度同方向，合力斜向右上方，因而顾客受到的摩擦力与接触面平行水平向右，电梯对其的支持力和摩擦力的合力方向指向右上，由牛顿第三定律，它的反作用力即人对电梯的作用方向指向向左下，由于加速向右上方，处于超重状态；在匀速运动的过程中，顾客处于平衡状态，只受重力和支持力，顾客与电梯间的摩擦力等于零，顾客对扶梯的作用仅剩下压力，方向沿竖直向下；故选C．【点评】：本题关键要分两个过程研究，加速过程可以先找出加速度方向，然后得出合力方向，结合物体的受力情况，可以得出各个力的大小情况；匀速过程二力平衡，与运动方向无关！12．（3分）（2015•上海二模）两个等量点电荷位于x轴上，它们的静电场的电势φ随位置x 变化规律如图所示（只画出了部分区域内的电势），x轴上两点B、C点，且OB＞OC，由图可知（）A．C点的电势低于B点的电势B．B点的场强大小大于C点的场强大小，B、C点的电场方向相同C．正电荷可以在x轴上B、C之间的某两点做往复运动D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中电场力先做正功后作负功【考点】：电势能；电势．【专题】：电场力与电势的性质专题．【分析】：根据电势的图象直接读出电势高低．由E=可知，图象的斜率绝对值等于场强大小，由斜率分析场强的大小关系．根据顺着电场线方向电势降低，判断电场线的方向，确定正电荷所受的电场力方向，分析其运动情况．根据电场力与位移方向间的关系，判断电场力做功的正负．【解析】：解：A、由图知，C点的电势高于B点的电势．故A错误．B、由E=可知，图象的斜率绝对值等于场强大小，可以看出B点的场强大小大于C点的场强大小．斜率都为正值，说明B、C点的电场方向相同．故B正确．C、根据顺着电场线方向电势降低，可知电场线的方向从C指向B，正电荷在x轴上B、C之间所受的电场力始终由C指向B，正电荷做单向直线运动．故C错误．D、负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力方向由从B指向C，电场力方向与位移相同，电场力一直做做正功．故D错误．故选B【点评】：本题考查对电势与场强、电场线方向、电场力做功等等关系的理解，难点是根据匀强电场电势差与场强的关系E=理解图象的斜率与场强的关系．13．（3分）（2015•上海二模）如图所示，轻支架可绕O点无摩擦自由转动，A端靠在墙上，将一小物体放在支架上让其自由下滑．支架和小物体间光滑，当小物体经过O点正上方时，A 端受力N1；仅改变支架和小物体间的粗糙程度，使小物体能匀速下滑，当小物体经过O点正上方时，A端受力N2，则（）A．N1=0 B．N1＜N2 C．N1＞N2 D．N1=N2【考点】：共点力平衡的条件及其应用；力的合成与分解的运用．【专题】：共点力作用下物体平衡专题．【分析】：以O为支点，根据力矩平衡条件研究N1与N2的大小关系．支架和小物体间光滑，当支架和小物体间光滑小物体经过O点正上方时，N1的力矩与物块对支架压力的力矩平衡．当小物体匀速下滑经过O点正上方时，N2的力矩与摩擦力的力矩之和等于物块对支架压力的力矩．【解析】：解：设物体经过O点正上方时对支架的压力大小为N．以O为支点．当支架和小物体间光滑，小物体经过O点正上方时，根据力矩平衡得知N1的力矩与物块对支架压力的力矩平衡，即：M N1=M N．当小物体匀速下滑经过O点正上方时，N2的力矩与摩擦力的力矩之和等于物块对支架压力的力矩，即M N2+M f=M N．由于两次物块对支架压力的力矩相等，得M N1=M N2+M f，则有M N1＞M N2，而力臂不变，所以N1＞N2．故选C【点评】：本题是力矩平衡问题，分析除支点以外支架的受力情况是解题的关键，还要分析力矩的方向．14．（3分）（2015•上海二模）如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（）A．A的速度比B的大B．A与B的向心加速度大小相等C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小【考点】：向心力；线速度、角速度和周期、转速．【专题】：匀速圆周运动专题．【分析】：AB两个座椅具有相同的角速度，分别代入速度、加速度、向心力的表达式，即可求解．【解析】：解：AB两个座椅具有相同的角速度．A：根据公式：v=ω•r，A的运动半径小，A的速度就小．故A错误；B：根据公式：a=ω2r，A的运动半径小，A的向心加速度就小，故B错误；C：如图，对任一座椅，受力如图，由绳子的拉力与重力的合力提供向心力，则得：mgtanθ=mω2r，则得tanθ=，A的半径r较小，ω相等，可知A与竖直方向夹角θ较小，故C错误．D：A的向心加速度就小，A的向心力就小，A对缆绳的拉力就小，故D正确．故选：D．【点评】：解决本题的关键知道A、B的角速度大小相等，知道线速度、角速度、向心加速度、向心力之间的关系，并能灵活运用．15．（3分）（2015•上海二模）如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接．右端接一个阻值为R的定值电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好．则金属棒穿过磁场区域的过程中（）A．流过金属棒的最大电流为B．通过金属棒的电荷量为C．克服安培力所做的功为mghD．金属棒产生的焦耳热为0.5（mgh﹣μmgd）【考点】：法拉第电磁感应定律；焦耳定律．【专题】：电磁感应与电路结合．【分析】：金属棒在弯曲轨道下滑时，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律或动能定理可以求出金属棒到达水平面时的速度，由E=BLv求出感应电动势，然后求出感应电流；由q=可以求出感应电荷量；克服安培力做功转化为焦耳热，由动能定理（或能量守恒定律）可以求出克服安培力做功，导体棒产生的焦耳热．【解析】：解：A、金属棒下滑过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgh=mv2，金属棒到达水平面时的速度v=，金属棒到达水平面后做减速运动，刚到达水平面时的速度最大，最大感应电动势E=BLv，最大感应电流I==，故A错误；B、感应电荷量q=△t==，故B错误；C、金属棒在整个运动过程中，由动能定理得：mgh﹣W B﹣μmgd=0﹣0，克服安培力做功：W B=mgh ﹣μmgd，故C错误；D、克服安培力做功转化为焦耳热，电阻与导体棒电阻相等，通过它们的电流相等，则金属棒产生的焦耳热：Q R=Q=W B=mg（h﹣μd），故D正确；故选：D．【点评】：本题综合考查了机械能守恒定律、动能定理、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律等，综合性较强，对学生能力要求较高，需加强这方面的训练．16．（3分）（2015•上海二模）在如图所示电路中，R1是定值电阻，R2是滑动变阻器，闭合电键S，当R2的滑动触片P向下滑动时，四个理想电表的示数都发生变化，电流表、电压表的示数分别用I、U1、U2、U3表示，它们示数变化量的大小分别用△I、△U1、△U2和△U3表示．则下列分析判断不正确的是（）A．不变，不变B．变大，变大C．变大，不变D．变大，不变【考点】：闭合电路的欧姆定律．【专题】：恒定电流专题．【分析】：通过分析电路图可知，R1与R2串联，电压表V1测R1两端的电压，电压表V2测R2两端的电压，电压表V3测路端电压，电流表测电路中的电流；当滑动变阻器的滑动触头P向下滑动时，根据串联电路中电流的特点和电压特点，及欧姆定律逐项判断即可得出答案．【解析】：解：A、当滑动变阻器触头P向下滑动时，接入电路中的电阻变大，电路中的总电阻变大，则电路中总电流I变小；R1为定值电阻，则==R1，均不变，故A正确．BC、=R2，变大．由闭合电路欧姆定律可知U2=E﹣I（r+R1），则得=r+R1，不变；故B错误，C正确．D、=R1+R2，变大．由闭合电路欧姆定律可知U3=E﹣Ir，则得=r，不变．故D正确本题选不正确的，故选：B．【点评】：分清电路图，利用等效电阻法，根据电阻的变化确定比值的变化是解决本题的关键．三、多项选择题（每小题4分，共16分．）17．（4分）（2015•上海二模）B．如图所示，是现代化工业生产中大部分光电控制设备用到的光控继电器的示意图，它由电源、光电管、放大器、电磁继电器等几部分组成；当用绿光照射图中光电管阴极K时，可发生光电效应，则以下说法正确的是（）A．增大绿光照射强度，光电子最大初动能增大B．增大绿光照射强度，电路中的光电流增大C．改用波长比绿光波长大的光照射光电管阴极K时，电路中一定有光电流D．改频率长比绿光频率大的光照射光电管阴极K时，电路中一定有光电流【考点】：光电效应．【专题】：光电效应专题．【分析】：产生光电效应的条件是入射光的频率大于金属的极限频率，增大入射光强度只会增大光电流强度，不改变最大初动能．【解析】：解：A、B增大绿光照射强度，会增大光电流强度，光电子最大初动能不变，A错误B正确；C、改用波长比绿光波长大的光照射光电管阴极K时，电路中一定没有光电流，C错误；D、改频率长比绿光频率大的光照射光电管阴极K时，电路中一定有光电流，D正确；故选BD【点评】：本题考查了发生光电效应的条件：入射光的频率大于金属的极限频率．18．（4分）（2011•上海）受水平外力F作用的物体，在粗糙水平面上作直线运动，其v﹣t图线如图所示，则（）A．在0～t1秒内，外力F大小不断增大B．在t1时刻，外力F为零C．在t1～t2秒内，外力F大小可能不断减小D．在t1～t2秒内，外力F大小可能先减小后增大【考点】：匀变速直线运动的图像；牛顿第二定律．【专题】：压轴题．【分析】：（1）v﹣t图象中，斜率表示加速度，从图象中可以看出0～t1秒内做加速度越来越小的加速运动，t1～t2秒内做加速度越来越大的减速运动，两段时间内加速度方向相反；（2）根据加速度的变化情况，分析受力情况．【解析】：解：A．根据加速度可以用v﹣t图线的斜率表示，所以在0～t1秒内，加速度为正并不断减小，根据加速度，所以外力F大小不断减小，A错误；B．在t1时刻，加速度为零，所以外力F等于摩擦力，不为零，B错误；C．在t1～t2秒内，加速度为负并且不断变大，根据加速度的大小，外力F大小可能不断减小，C正确；D．如果在F先减小一段时间后的某个时刻，F的方向突然反向，根据加速度的大小，F后增大，因为v﹣t图线后一段的斜率比前一段大，所以外力F大小先减小后增大是可能的，故D正确．故选CD．【点评】：本题考查v﹣t图线的相关知识点，涉及牛顿第二定律的应用及受力分析的能力，难度较大．19．（4分）（2014•广东）如图所示，光滑绝缘的水平桌面上，固定着一个带电量为+Q的小球P，带电量分别为﹣q和+2q的小球M和N，由绝缘细杆相连，静止在桌面上，P与M相距L，P、M和N视为点电荷，下列说法正确的是（）A．M与N的距离大于LB．P、M和N在同一直线上C．在P产生的电场中，M、N处的电势相同D．M、N及细杆组成的系统所受合外力为零【考点】：电势差与电场强度的关系；电势．【专题】：电场力与电势的性质专题．【分析】：A、根据对M、N受力分析，结合平衡条件与库仑定律，假设杆无作用力，即可求解；B、根据整体受力分析，结合平衡条件，即可求解；C、由点电荷电场线的分布，依据沿着电场线的方向，电势降低，即可求解；D、由整体处于平衡状态，结合牛顿第二定律，即可求解．【解析】：解：A、对M、N分别受力分析，根据库仑定律，假设杆无作用力，设M与N间距为r，则有：，解得：r=（）L；故A错误；B、由于水平桌面光滑，若P、M和N不在同一直线上，则各自受力不共线，会出现不平衡现象，故B正确；C、由带电量为+Q的小球P，结合沿着电场线方向电势降低的，则M点电势高于N点，故C错误；D、由题意可知，M、N及细杆组成的系统处于静止状态，因此合外力为零，故D正确．故选：BD．【点评】：考查研究对象的选取，受力分析的进行，库仑定律的掌握，理解平衡条件的应用，注意电势的高低判定方法．20．（4分）（2015•上海二模）如图所示，圆心在O点、半径为R的圆弧轨道abc竖直固定在水平桌面上，Oc与Oa的夹角为60°，轨道最低点a与桌面相切．一轻绳两端系着质量为m1和m2的小球（均可视为质点），挂在圆弧轨道边缘c的两边，开始时，m1位于c点，然后从静止释放，设轻绳足够长，不计一切摩擦．则（）A．在m1由c下滑到a的过程中，两球速度大小始终相等B．m1在由c下滑到a的过程中重力的功率先增大后减小C．若m1恰好能沿圆弧轨道下滑到a点，则m1=3m2D．若m1恰好能沿圆弧轨道下滑到a点，则m1=2m2。

7、中考数学：2015 上海闵行区中考数学二模压轴题

图3 （2）如图 4，设 AM 的长为 x．
图4
S AM x ．由 ME//DF，得 △AEM S△AND AD 4
由 MF//DN，得
2
2
S△MFD DM 4 x ． S△AND AD 4
思路点拨
1．由平行四边形 MENF 和平行四边形 AEFM，可以得到 E 是 AN 的中点． 2．第（2）题把四边形 MENF 与△AND 的面积比，转化为△AEM 与△MFD 的和与 △AND 的面积比．再根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方列方程． 3．第（3）题先探求两个三角形相似，再验证是否与第三个三角形相似．
2
2
所以
S△AEM S△MFD x 2 (4 x)2 ． S△AND 16
3 8
如果四边形 MENF 的面积是△AND 面积的，那么
x 2 (4 x) 2 5 = ． 16 8
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中考数学
整理，得 x2－4x＋3＝0．解得 x＝1，或 x＝3．（3）在等腰梯形 ABCD 中，保持∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠3＝∠4． ①如图 5，如果∠B＝∠3，那么∠B＝∠4，AB//DN，此时四边形 ABND 是平行四边形．这时△DNC 中，DC＝DN＝5，NC＝6，它与△ABN 不相似． ②如图 6，如果∠B＝∠AND，那么由∠ANC＝∠B＋∠BAN，∠ANC＝∠AND＋∠4，可得∠BAN＝∠4．因此△ABN∽△NCD．所以
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图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名 “15 闵行 25” ，拖动点 M 在 AD 上运动，可以体验到，当 EF//BC 时， EF 是△AND 的中位线．还可以体验到，当 N 是 BC 的中点时， △ABN、 △AND 和△DNC 是三个底角相等的学