2019考研数学线性代数核心考点精讲——特征向量和特征值
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，在数学和工程领域中广泛应用。
它们与矩阵与向量的关系密切相关，可以用于解决许多实际问题。
一、特征值与特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的特殊性质。
特征值（eigenvalue）是一个数，表示矩阵变换后的向量与原向量方向相等或反向。
特征向量（eigenvector）则是与特征值对应的向量。
对于一个n维矩阵A和一个n维向量x，如果满足以下等式：Ax = λx其中λ为标量，称为特征值，x称为特征向量。
我们可以将这个等式分解为(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵，如果矩阵A存在一个非零向量x使得等式成立，则说明λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现，一个特征值可能对应多个特征向量。
二、特征值与特征向量的求解为了求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以使用特征值问题的基本公式：det(A-λI) = 0其中，det表示行列式求值。
解这个方程可以得到矩阵A的特征值λ。
然后，我们将每个特征值代入方程(A-λI)x = 0，求解得到对应的特征向量x。
三、特征值与特征向量的意义特征值和特征向量在许多应用中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质和变换规律。
在线性代数中，特征值和特征向量有以下几个重要意义：1. 几何意义：特征向量表示了矩阵变换后不改变方向的向量。
特征值表示了特征向量在变换中的缩放因子。
通过分析特征向量和特征值，我们可以了解变换对向量空间的拉伸、压缩、旋转等操作。
2. 矩阵对角化：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵P，并将其逆矩阵P^{-1}乘以A和AP^{-1}，就可以得到一个对角矩阵D，D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化，可以简化矩阵的运算和分析。
3. 矩阵的奇异值分解：特征值和特征向量也与矩阵的奇异值分解密切相关。
【学习】线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量
【关键字】学习第五章矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设是数域P上的n阶矩阵，若对于数域P中的数，存在数域P上的非零n维列向量X，使得则称为矩阵A的特征值，称X为矩阵A属于（或对应于）特征值的特征向量注意：1）是方阵；2）特征向量X 是非零列向量；3）方阵与特征值对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A的特征值与特征向量的步骤为：（1）计算n阶矩阵A的特征多项式｜E－A｜；（2）求出特征方程｜E－A｜＝０的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值；（3）设1 ，2 ，… ，s 是A的全部互异特征值。
对于每一个i，解齐次线性方程组0，求出它的一个根底解系，该根底解系的向量就是A属于特征值i的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A属于特征值i的全体特征向量.3．特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X是矩阵A属于特征值的特征向量，则kX（）也是A属于的特征向量；（2）若是矩阵A属于特征值的特征向量，则它们的非零线性组合也是A属于的特征向量；（3）若A是可逆矩阵，是A的一个特征值，则是A—1的一个特征值，是A*的一个特征值；（4）设是n阶矩阵A的一个特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0为一个多项式，则是f（A）的一个特征值。
性质2（1）（2）性质3 n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值性质4 n阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A、B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得Ｂ＝P―1ＡP则称A与B相似。
记作A∽B. 并称P为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是等价关系，满足：1°反身性：A∽A.2°对称性：若A∽Ｂ，则Ｂ∽A.3°传递性：若A∽Ｂ，B∽Ｃ则A∽Ｃ.5．矩阵相似的性质：设A、B为n阶矩阵，若A∽B，则（1） ； （2） ；（3）A 、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值；（4） A ，B 或者都可逆或者都不可逆. 当A ，B 都可逆时，∽；（5）设f （x ）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0 为一个多项式，则 f （A ）∽ f （B ） ； 6．n 阶矩阵A 相似对角化的条件（1）n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. （2）n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的每个k 重特征值恰好对应有k 个线性无关的特征向量.注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE 本身（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
特征值和特征向量、矩阵相似对角化
定理4.6 若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则 （1） R A = R B （2） Ａ与Ｂ有相同的特征多项式和特征值． （3） A B （4） tr ( A) tr ( B) 推论 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵 1 2 diag(1 , 2 , , n ) n 相似， 则 1 , 2 , , n 就是Ａ的ｎ个特征值．
二、特征值和特征向量的性质 定理 一个n阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值.
定理
设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1 , 2 ,
ann ;
, n
则 (1) 12
n A ; (2) 1 2 n a11 a22
证明① 当 1 , 2 ,
, n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2
n
n
1 2
n
n
n
n 1
1 12
n
令 0, 得 A 1 12 即 12
n
n A .
证明② 因为行列式 a11
这个向量组称为正交向量组，简称正交组.
3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
1 , 2 ,, m
T i
是标准正交向量组
1, i j j [ i , j ] 0, i j i , j 1,2, , m
定理4.11 正交向量组必为线性无关组.
Ｐ中的列向量 p1 , p2 , , pn 的排列顺序要与 （ 1） 1 , 2 , , n 的顺序一致． （2） 因 pi 是 ( A E ) x 0的基础解系中的解向量， 因此Ｐ也是不唯一的． 故 pi 的取法不是唯一的，
线性代数中的特征值与特征向量
线性代数中的特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于物理、经济、计算机科学等领域。
本文将介绍特征值和特征向量的定义、性质以及其在矩阵对角化和特征分解中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个 n×n 的矩阵 A，我们称零向量v≠0 是矩阵A 的特征向量，如果存在一个实数λ，使得Av=λv。
特征值λ 是使得上述等式成立的实数。
特征向量与特征值是成对出现的，每个特征向量都有一个对应的特征值。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的数目相等对于一个 n×n 的矩阵 A，它最多能有 n 个线性无关的特征向量。
而特征值也最多有n 个。
一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量。
2. 特征向量的积性质如果 v 是 A 的特征向量，那么对于任意实数 c，cv 也是 A 的特征向量，且特征值保持不变。
3. 特征向量的加性质如果 v1 和 v2 是 A 的特征向量，对应相同的特征值λ，那么 v1+v2也是 A 的特征向量，对应特征值λ。
三、特征值与特征向量的计算要计算一个矩阵的特征值和特征向量，我们需要求解方程Av=λv。
1. 寻找特征值对于一个 n×n 的矩阵 A，我们需要求解行列式 |A-λI|=0 的根，其中I 是 n 阶单位矩阵。
这样可以得到 A 的特征值。
2. 寻找特征向量对于每个特征值λ，我们需要求解方程组 (A-λI)v=0，其中 v 是特征向量。
解这个齐次方程组可以得到 A 的特征向量。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵对角化如果一个 n×n 的矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，那么可以找到对角矩阵 D 和可逆矩阵 P，使得 P^{-1}AP=D。
对角矩阵 D 中的对角元素就是特征值，P 中的列向量就是对应的特征向量。
2. 特征分解对于一个对称矩阵 A（A=A^T），可以进行特征分解，表示为A=QΛQ^T，其中 Q 是由 A 的特征向量组成的正交矩阵，Λ 是对角矩阵，其对角元素是 A 的特征值。
线性代数特征值与特征向量
线性代数特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在本文中，我们将详细介绍特征值与特征向量的定义、性质以及应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v使得满足以下等式：Av = λv其中，v称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征值与特征向量始终成对出现，不同特征向量对应的特征值可以相同，也可以不同。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征向量的性质（1）特征向量可以进行线性组合。
即若v1和v2是矩阵A相应于特征值λ的特征向量，那么c1v1 + c2v2也是矩阵A相应于λ的特征向量（其中c1和c2为常数）。
（2）特征向量的数量最多为n。
对于一个n阶方阵A，它最多有n个线性无关的特征向量。
2. 特征值的性质（1）特征值具有可加性。
对于矩阵A和B，相应的特征值分别是λ1和μ1，那么A+B的特征值为λ1+μ1。
（2）特征值具有可乘性。
对于矩阵A和B，相应的特征值分别是λ1和μ1，那么A·B的特征值为λ1·μ1。
三、特征值与特征向量的求解方法特征值与特征向量的求解是通过解方程Av = λv来实现的。
常见的求解方法有以下两种：1. 特征方程法将Av = λv转化为(A-λI)v = 0，求解矩阵(A-λI)的零空间，即可得到特征向量v，然后代入Av = λv中求解λ。
2. 列主元法通过高斯消元法将矩阵A转化为上三角矩阵U，求解Ux = 0的基础解系，其中x即为特征向量，对应的主对角线元素即为特征值。
四、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域都有广泛的应用，以下是其中几个典型的应用案例：1. 矩阵对角化通过找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = D，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素即为A的特征值。
矩阵对角化可以简化矩阵的运算，提高计算效率。
2. 矩阵压缩在图像处理和数据压缩中，特征值与特征向量可以用来进行矩阵的压缩。
特征值与特征向量定义与计算
特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，l是一个未知量，称为A的特征多项式，记ƒ(l)=| lE-A|，是一个P上的关于l的n次多项式，E是单位矩阵。
ƒ(l)=| lE-A|=l n+a1l n-1+…+a n= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。
特征方程ƒ(l)=| lE-A|=0的根(如：l0) 称为A的特征根(或特征值)。
n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P 也有关。
以A的特征值l0代入(lE-A)X=q，得方程组(l0E-A)X=q，是一个齐次方程组，称为A的关于l0的特征方程组。
因为|l0E-A|=0，(l0E-A)X=q必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于l0的特征向量。
所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。
一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A，由AX=l0X，l0EX=AX，得：[l0E-A]X=q即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式|l 0E-A| =0的根，由代数基本定理有n个复根l1, l2,…, l n，为A的n个特征根。
当特征根l i (I=1,2,…,n)求出后，(l i E-A)X=q是齐次方程，l i均会使|l i E-A|=0，(l i E-A)X=q必存在非零解，且有无穷个解向量，(l i E-A)X=q 的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
例1. 求矩阵的特征值与特征向量。
解：由特征方程解得A有2重特征值l1=l2=-2，有单特征值l3=4对于特征值l1=l2=-2，解方程组(-2E-A)x=q得同解方程组x1-x2+x3=0解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)分别令自由未知量得基础解系所以A的对应于特征值l1=l2=-2的全部特征向量为x=k1x1+k2x2 (k1,k2不全为零)可见，特征值l=-2的特征向量空间是二维的。
特征值与特征向量定义与计算
特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，l是一个未知量，称为A的特征多项式，记¦(l)=| lE-A|，是一个P上的关于l的n次多项式，E是单位矩阵。
¦(l)=| lE-A|=l n+a1l n-1+…+a n= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。
特征方程¦(l)=| lE-A|=0的根(如：l0) 称为A的特征根(或特征值)。
n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P 也有关。
以A的特征值l0代入(lE-A)X=q ，得方程组(l0E-A)X=q，是一个齐次方程组，称为A的关于l0的特征方程组。
因为|l0E-A|=0，(l0E-A)X=q 必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于l0的特征向量。
所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。
一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A，由AX=l0X，l0EX=AX，得：[l0E-A]X=q 即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式|l0E-A| =0的根，由代数基本定理有n个复根l1, l2,…, l n，为A的n个特征根。
当特征根l i(I=1,2,…,n)求出后，(l i E-A)X=q 是齐次方程，l i均会使|l i E-A|=0，(l i E-A)X=q 必存在非零解，且有无穷个解向量，(l i E-A)X=q 的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
例1. 求矩阵的特征值与特征向量。
解：由特征方程解得A有2重特征值l1=l2=-2，有单特征值l3=4对于特征值l1=l2=-2，解方程组(-2E-A)x=q得同解方程组x1-x2+x3=0解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)分别令自由未知量得基础解系所以A的对应于特征值l1=l2=-2的全部特征向量为x=k1x1+k2x2 (k1,k2不全为零)可见，特征值l=-2的特征向量空间是二维的。
矩阵的特征值和特征向量的计算
矩阵的特征值和特征向量的计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中比较重要的概念。
在机器学习、信号处理、图像处理等领域都有着广泛的应用。
本文将会介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、意义以及计算方法。
一、特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n维向量v和一个常数λ，使得下面的等式成立：Av=λv那么称λ为矩阵A的特征值，v为矩阵A的特征向量。
特征向量是非零向量，因为如果v为0向量，等式就无法成立。
另外，特征向量不唯一，如果v是A的特征向量，k是任意一个非零常数，那么kv也是A的特征向量。
但特征值是唯一的。
二、特征值和特征向量的意义矩阵的特征值和特征向量有着重要的物理和数学含义。
对于一个矩阵A，它的特征向量v和特征值λ描述的是矩阵A对向量v的作用和量变化。
当一个向量v与矩阵A相乘时，向量v的方向可能会发生变化，而特征向量v就是那些方向不变的向量，仅仅发生了缩放，这个缩放的倍数就是特征值λ。
也就是说，特征向量v在被矩阵A作用后仍保持了原来的方向，并且只发生了缩放。
从物理角度理解，矩阵的特征值和特征向量可以描述线性系统的固有特性。
在某些情况下，如机械振动、电路等自然界现象中，系统本身就带有某种特有的振动频率或固有响应。
而这些系统在一些特殊的情况下可以通过线性代数描述，正是因为它们具有特征值和特征向量。
三、特征值和特征向量的计算矩阵的特征值和特征向量可以通过求解特征方程来计算。
特征方程的形式为det(A-λI)=0，其中det(A-λI)表示A-λI的行列式，I是单位矩阵。
求解特征方程可以得到矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn。
接下来，针对每个特征值λi，都可以通过求解线性方程组(A-λiI)v=0来得到一个特征向量vi。
需要注意的是，一个矩阵的特征值和特征向量并不一定都能够求出来，只有在某些情况下才可以求出。
例如，对于一个非方阵，就不存在特征值和特征向量。
另外，如果矩阵的特征值出现重复，那么对应于这些特征值的特征向量可能无法确定，可以使用广义特征向量来处理。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的基本概念之一，它在许多科学领域中都有广泛的应用。
在矩阵中有两个与之相关的重要概念，即特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在线性变换中非常有用的性质，它们可以帮助我们理解和描述线性变换的特点。
本文将重点探讨矩阵的特征值和特征向量的定义、性质以及应用。
1. 特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值是指满足方程Av=λv的非零向量v以及对应的常数λ。
其中v是特征向量，λ是特征值。
换句话说，特征向量是矩阵作用后与自身平行（或成比例）的向量，而特征值则表示该向量在作用后的缩放倍数。
2. 计算特征值与特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值与特征向量，需要解决特征值问题，即求解方程|A-λI|=0，其中I是单位矩阵。
解这个方程可以得到特征值的集合。
对于每个特征值λ，再解方程(A-λI)v=0，可以得到特征向量的集合。
3. 特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有一些重要的性质：- 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
- 矩阵的特征值与它的转置矩阵的特征值是相同的。
- 对于n阶矩阵，特征值的个数不超过n个。
- 特征向量可以线性组合，线性组合后的向量仍然是对应特征值的特征向量。
4. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：- 特征值分解：通过特征值与特征向量的计算，可以将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积形式，这在数值计算和信号处理中非常有用。
- 矩阵对角化：特征值与特征向量可以将一个矩阵对角化，使得计算和处理更加简化和高效。
- 特征值的物理意义：在物理学中，特征值可以表示物理系统的某些性质，如量子力学中的能级等。
总结：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念。
通过计算特征值与特征向量，可以帮助我们理解和描述线性变换的性质，进行矩阵的对角化处理，以及在数值计算和信号处理中应用。
矩阵的特征值和特征向量是线性代数学习中不可或缺的内容，对于深入理解线性变换和矩阵的性质具有重要的作用。
线性代数中特征值与特征向量
线性代数中特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，它们在矩阵理论和线性变换中有着广泛的应用。
本文将针对特征值与特征向量展开探讨，介绍其定义、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得满足以下关系式：A*x = λ*x其中，λ为一个标量，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应特征值的特征向量。
特征值与特征向量通常是成对出现的，即一个特征值对应一个特征向量。
特征值与特征向量的定义为我们理解矩阵的性质和行为提供了重要的数学工具。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值和特征向量的性质：（1）特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
（2）特征值可以是复数，但特征向量通常是实数向量。
（3）特征向量的倍数仍为特征向量，即k倍的特征向量仍然是对应的特征向量。
（4）特征向量的长度可以为0，但特征向量不可能为零向量。
2. 特征值和特征向量的关系：（1）特征值和特征向量通过特征方程进行关联，特征方程的形式为：|A-λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
（2）特征值是特征方程的解，即满足方程|A-λI| = 0的λ即为矩阵A的特征值。
（3）特征向量在特征值所对应的方程中，为非零解。
通过以上性质我们可以发现，特征值与特征向量是矩阵的固有属性，它们具有重要的几何和物理意义，对于理解矩阵的本质和行为起着关键作用。
三、特征值与特征向量的计算方法计算特征值和特征向量是矩阵分析的关键步骤。
常用的计算方法有以下几种：1. 特征值与特征向量的直接计算：对于某些特殊的矩阵，如对角矩阵和上（下）三角矩阵，可以直接通过观察矩阵的对角元素或三角形式，得到特征值和特征向量。
2. 特征值与特征向量的求解算法：本征值问题是一个广义特征值问题，其计算方法较为复杂。
常见的求解算法有幂迭代法、Jacobi迭代法、QR方法等。
这些算法通过迭代过程逼近特征值和特征向量。
线性代数中的特征值和特征向量
线性代数中的特征值和特征向量线性代数是数学的一个分支，它主要研究向量空间、线性变换和矩阵等代数结构及其性质。
特征值和特征向量是线性代数中一个很重要的概念，广泛应用于诸多领域中，如物理、工程、计算机科学等。
一、特征值和特征向量的定义在线性代数中，如果一个向量空间 V 上的线性变换 A 对某个非零向量 v 作用后，得到的向量依旧在同一条线上，即存在一个标量λ，使得Av = λv，v ≠ 0其中λ 称为该线性变换的特征值，v 称为该线性变换的特征向量。
需要注意的是，特征向量不为零向量，否则，特征值会等于零，特征向量也就没有意义。
二、特征值和特征向量的意义特征值和特征向量在矩阵和线性变换中都有很重要的意义。
1. 矩阵的特征值和特征向量考虑一个 n 维方阵 A，其特征值和特征向量的意义如下：(1) 特征向量表示在变换矩阵 A 的作用下仍朝着原来的方向进行变化；(2) 特征值表示变换的幅度，即特征向量在 A 的作用下的缩放比例。
也就是说，矩阵的特征值和特征向量可以帮助我们更好地理解矩阵的变换效果及其缩放比例，从而更好地应用于各种实际问题中。
2. 线性变换的特征值和特征向量线性变换的特征值和特征向量同样具有重要的意义。
例如，在物理学中，线性变换通常表示各种物理量的转换关系。
研究线性变换的特征值和特征向量可以帮助我们更好地理解物理现象和探索物理规律。
此外，在工程领域中，线性变换的特征值和特征向量被广泛应用于自然频率、振动确定和控制等方面的工作中。
三、计算矩阵的特征值和特征向量的方法现在，让我们来看一下计算矩阵的特征值和特征向量的方法。
假设 A 是一个 n 维方阵，我们需要求得它的特征值和特征向量。
其步骤如下：1. 求解特征方程。
由特征值和特征向量的定义可知，Av = λv，即矩阵 A 作用在 v 上，等于将 v 的长度缩放λ 倍。
因此，根据矩阵的定义，我们可以得到以下方程：det(A - λE) = 0其中，E 是单位矩阵。
考研基础复习(线代)特征值
4、矩阵相似对角化的充分必要条件
（5） n 阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要 条件是：对于 A 的任一 k i 重特征值 i 有
r ( i E A ) n k i
. 即： i 对应有 k i 个线性
无关的特征向量.
一、特征值的基本内容
5、实对称矩阵及其性质
A
T
（1）设 A 为 n 阶实方阵，若 A 称 A 为 n 阶实对称阵；
一、特征值的基本内容
1、方阵的特征值和特征向量
Ax x
等价于： ( E A ) x 0 . 称矩阵 E A 为 A 的特征矩阵，
行列式
f A ( ) | E A | 称为 A
的特征多项式.
由于 ( E A ) x 0 存在非零解的充分必要 条件为 | E A | 0 ， 所以 | E A | 0 为 A 的特征 方程，它的根就是 A 的特征值（根）.
T
设 ( a 1 , a 2 , , a n )
， ( b1 , b 2 , , b n )
T
T
都是非零向量，且满足条件 记 n 阶矩阵 A
T
0
；
，求：
（1） A 2 ； （2）矩阵 A 的特征值和特征向量.
——题型I：矩阵的特征值和特征向量及其逆问题
例5.3
1
x
1
x
；
A* x
| A|
x
；
一、特征值的基本内容
6、重要结论：
A
T
注意：① 与 A 有相同的特征值，但特征 向量不一定相同；
② A 的特征向量不一定是 A 的特征向量.
大学线性代数4 特征值与特征向量知识点总结
4 特征值与特征向量1. 一个例子：随机矩阵与其稳态向量q满足Aq=q，此时特征值λ=1，特征向量即稳态向量q。
2. 由Ax=λx，可以推出(A-λI)x=0。
由于特征向量不能为0，该方程必须有非平凡解，因此A-λI不可逆；所以det(A-λI)=0。
据此可解出所有λ，再跟据λ可解出特征向量。
det(A-λI)=0称为特征方程。
3. 根据齐次线性方程组的特点，一个特征值对应的特征向量有无限多个，且对应于λ的所有特征向量加上零向量可以构成向量空间，称为矩阵A对应于特征值λ的特征空间。
4. n阶矩阵的特征方程是λ的n阶方程，如果将特征向量限制在R中，那么特征方程未必有解，即不是所有的矩阵都有R域中的特征值；但每一个矩阵一定存在n个复数域中的特征值（k重根按k个特征值计）。
5. 设λ1,...λr是n阶矩阵的r个相异特征值，v1,...v r是对应的r个特征向量，那么向量集{v1,...v r}线性无关。
6. 若存在可逆矩阵P使得两个n阶矩阵A，B满足A=PBP-1，则称A，B相似。
7. 若n阶矩阵A，B相似，那么这两者有相同的特征多项式，从而有相同的特征值（包括相同的代数重数）。
8. 特征向量的应用举例假设我们现在要分析x k+1=Ax k，x0已知。
如果我们能将x0分解为A的特征向量的线性组合，比如x0=c1v1+c2v2，v1，v2为A的特征向量，那么上述递归方程就能有一个简单的解法解出x k：x1=Ax0=A(c1v1+c2v2)=c1Av1+c2Av2=c1λv1+c2λv2x2=Ax1=A(c1λv1+c2λv2)=c1λAv1+c2λAv2=c1λ2v1+c2λ2v2...x k=c1λk v1+c2λk v29. n阶矩阵可对角化的条件是A有n个线性无关的特征向量。
若A=PDP-1，D为对角阵，那么P的列向量是A的n个线性无关的特征向量，D的主对角线元素是A 的对应于P中特征向量的特征值。
线性代数中的特征值和特征向量
线性代数中的特征值和特征向量线性代数是一门研究向量空间和线性变换的数学分支。
在其核心概念之一中，常常涉及到特征值和特征向量。
特征值和特征向量是在变换下保持方向的向量，这样的向量在研究中经常被用到，因为它们描述了变换对向量空间的作用。
在特征值及其对应的特征向量方面，我们可以从以下几个方面来展开：一、特征值和特征向量的定义特征值是指线性变换作用于某一向量时，其结果与这个向量的数量关系，这个数量关系可以用一个数值来表示，这个数值就称为这个向量在该变换下的特征值。
特征向量是一条非零向量，变换作用在这个向量上时，仅改变向量的长度，而不改变它的方向。
也就是说，这个向量在该变换下的方向不变，只是相应地拉伸或缩短了。
二、特征值和特征向量的计算方法在计算特征值和特征向量时，可以采用以下方法：1.求解对角矩阵对于n阶矩阵A，如果存在一个列向量X，使得AX=kX，其中k为一个数，则称k是矩阵A的一个特征值，而X称为A的对应于特征值k的特征向量。
而一个矩阵的特征值和特征向量可以通过求解其对角化矩阵得到。
2.求解特征多项式特征多项式是矩阵的特征值所满足的多项式方程，我们可以通过求解这个方程来求解矩阵的特征值和特征向量。
对于一个n阶方阵，其特征多项式是由其任意一行(列)对角线上各元素和行(列)号交织奇偶性给出。
三、特征值和特征向量在实际应用中的作用特征值和特征向量在实际应用中有着广泛的应用。
比如说，在图像处理中，我们可以采用特征向量的方法来实现图像的压缩和去噪；在机器学习中，我们可以采用特征值和特征向量的方法来实现数据的降维和特征选择。
另外，在计算机图形学、信号处理、量子力学和金融等领域中，特征值和特征向量也被广泛运用，它们帮助我们将复杂的问题转化成简单的数学运算，提高了问题的解决效率和精度。
总之，特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，在实际应用当中发挥着不可替代的作用。
了解它们的定义、计算方法和应用，对于我们掌握基本的数学分析能力和工程应用能力是必不可少的。
线性代数的特征值与特征向量
线性代数的特征值与特征向量在线性代数中，特征值与特征向量是非常重要的概念。
它们的定义和性质在很多领域中都有广泛的应用，包括数学、物理、工程等等。
特征值与特征向量是线性变换中的一种描述方法，它们能够揭示出线性变换对向量空间的影响。
通过求解线性变换对应的方程，我们可以找到这些特征值与特征向量。
一、特征值和特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v和一个实数λ，使得Av=λv，那么称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
可以看出，特征向量v在经过矩阵A的作用之后，只改变了向量的模，而没有改变方向。
二、计算特征值与特征向量的方法计算特征值与特征向量的方法有很多种，下面介绍其中两种常用的方法。
1. 特征多项式法根据特征值和特征向量的定义，我们可以得出以下定理：一个矩阵A的特征值λ是它的特征多项式det(A-λI)的根，其中I是单位矩阵。
因此，我们可以通过求解特征多项式的根来得到特征值。
举例来说，给定一个2阶方阵A，我们可以通过求解特征多项式det(A-λI)=0来找到特征值。
假设特征多项式为det(A-λI)=(a-λ)(b-λ)，则特征值λ1=a，λ2=b。
2. 可逆矩阵法另一种求解特征值与特征向量的方法是通过求解(A-λI)v=0的解。
如果(A-λI)是可逆矩阵，那么唯一的解是零向量。
如果(A-λI)不可逆，那么就存在非零向量v使得(A-λI)v=0，这时候v就是特征向量，λ是特征值。
三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下性质：1. 特征值之和等于矩阵的迹（即矩阵对角线上元素的和），特征值之积等于矩阵的行列式。
2. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
3. 如果特征值是复数，那么它的共轭也是特征值，对应的特征向量也是共轭的。
四、应用举例特征值与特征向量在线性代数的很多领域中有广泛的应用，下面举例说明：1. 对角化通过找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=Λ，其中Λ是一个对角阵，对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
矩阵论—特征值和特征向量
矩阵论—特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念，被广泛应用于各个领域，如数学、物理、工程等。
在这篇文章中，我们将讨论特征值和特征向量的定义、性质以及它们在实际问题求解中的应用。
首先，我们来定义特征值和特征向量。
给定一个n×n的矩阵A，非零向量v被称为矩阵A的特征向量，如果满足以下条件：Av=λv其中，λ为实数，被称为矩阵A的特征值。
注意到，特征向量可以乘以一个非零常数而不改变其性质，因此特征向量通常是被归一化的。
接下来，我们来讨论特征值和特征向量的性质。
首先，特征值可以是实数或复数。
如果特征值是实数，那么对应的特征向量也是实数向量；而如果特征值是复数，那么对应的特征向量是复数向量。
其次，一个矩阵的特征值的个数为其阶数n。
特征向量可以有多个，也可以不存在。
特征向量不唯一，只要是与之相关的非零常数倍数的向量都可以作为特征向量。
此外，特征向量之间是线性无关的。
如果一个矩阵有n个不同的特征值，那么对应的特征向量也是线性无关的，从而可以构成一个线性无关的特征向量组。
特征值和特征向量在许多实际问题中有广泛的应用。
例如，特征值和特征向量可以用于求解线性方程组，并且可以简化矩阵的乘法运算。
一个矩阵可对角化的充要条件是它具有n个线性无关的特征向量，其中$n$为矩阵的阶数。
此外，特征值和特征向量还可以用于矩阵的相似变换。
两个相似矩阵具有相同的特征值，但对应的特征向量可能不同。
相似变换可以将一个矩阵转化成一个相似的矩阵，从而简化矩阵计算的过程。
特征值和特征向量还有一些重要的性质。
例如，对称矩阵的特征值是实数；正交矩阵的特征向量正交；特征值的和等于矩阵的迹，特征值的乘积等于矩阵的行列式。
总结起来，特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念，它们不仅具有数学上的意义，还被广泛应用于各个领域的实际问题求解中。
深入理解和应用特征值和特征向量的概念，将有助于我们更好地理解和解决复杂的问题。
线性代数第六章特征值与特征向量课件
4）当 A 是可逆矩阵时，1是 A1的特征值，且 是 A1属于1的特征向量．
例4 设 A 是一个 4 阶方阵，且 2, -1, 1, 3 为 A 的 特征值．
１）求 A 的伴随矩阵 A* 的特征值； ２）求 A3 2A2 2A E 的特征值． 定理5 设 1, 2, , s 是矩阵 A 的互不相同的 s 个 特征值，1,2, ,s 为分别与之对应的特征向量， 则 1,2 , ,s 线性无关．
定理13 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上的一个线性变换． 那么 是可对角化的充分必要 条件是 存在个线性无关的特征向量．
推论 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上 的一个线性变换． 如果 存在 n 个互不相同的特征 值，那么 是可对角化的．
定理14 设 1, 2, , s 是线性变换 的 s 个互不相同 的特征值，i1, i2 , , iri 是 的属于特征值 i的线性
1 1, 2 2 , , n n 为 D 的全部特征值．
如果 A 是可对角化的，且与 A 相似的对角矩阵 D 如（10）所示， 那么， 由于相似矩阵具有相同的 特征值，
1 1, 2 2 , , n n 也是 A 的全部特征值． 若不考虑 1,2, ,n 的顺序， D 是唯一确定的． 因此，也称对角矩阵 D 为 A 的相
定理3 互为转置的两个矩阵具有相同的特征值．
对一个 n 阶方阵 A，我们也可以定义矩阵的多 项式．设
(x) as xs as1xs1 a1x a0
是一个以 x 为未知量的 s 次多项式， a0, a1, , as 为 常数，且 as 0 ．
《线性代数》第四章第二节 方阵的特征值与特征向量
若P是与对应的特征向量，则显然k 0时， kP也是与对应的特征向量.
6.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
例1
设
A
=
−2 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量．
− 4 1 3
分析：
1.特征方程的根就是特征值；
2. (A-E)x=0的通解（去掉零解）就是特征值对应
所以对应于 2 = 3 = 2的全部特征向量为 :
k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值(m是任意常数).
(2) 当A可逆时,−1是A−1的特征值.
证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A2 x = 2 x
有x.
3. A − E = 0 为A的特征方程。
a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an2
a1n
a2n
=0
ann −
记 f ( ) = A − E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
( ) 4. 设 n阶方阵A = aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann; (2) 12 n = A .
将1 = 2 = 1代入(A − E )x = 0,
解之得基础解系
− 2
1 = 1 ,
0
第五章特征值(考研精讲)
第五章 特征值与特征向量1、数字型矩阵的特征值与特征向量知识点：定义：1º设n A 是阶方阵，如果存在数λ和非零向量x 使得x Ax λ=，则称λ是A 的特征值，称非零向量x 是属于λ的特征向量.2º由0)(,=-=x A E x Ax λλ得称x Ax λ=为A 的特征矩阵A E -λ为A 的特征多项式，它的根就是A 的特征值.求法：1）特征值：0=-A E λ2）特征向量：0)(=-x A E λ即求解线性方程组.注：属于同一个特征值的线性无关的特征向量为 )(A E n --λ秩.例1. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=163053064A 解：2)1)(2(163053064-+=-+--=-λλλλλλA E2、抽象矩阵的特征值与特征向量例2. 设3阶矩阵A 的三个特征值为1，－2，3，则=A －6 ，A－1的特征值为31,21,1- A *的特征值为 －6,3,-2A 2+2A+E 的可逆性 可逆 4,1,16 例3. 设2=λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵1231-⎪⎭⎫ ⎝⎛A 有一个特征值为（ 43 ）. 例 4. 设向量()T n Tn b b b ),,,(,,,,2121 ==βαααα都是非零向量，且满足条件T T A αββα==记,0，求（1）A 2（2）矩阵A 的特征值和特征向量 例5. 设A 为3阶矩阵，且0322=+=+=-E A E A E A ，则=-E A 32* 解：A 为特征值为：323,2,1=∴--A 2,23,3:*--∴即λA A 7,6,3:32*---∴EA 11＝1263、已知矩阵的特征值和特征向量来求矩阵和行列式等问题1）已知特征向量，一般用x Ax λ=求解2）已知全部特征值和特征向量反求矩阵A=),,(21n A ααα ),,(2211n n αλαλαλ则),,(2211n n A αλαλαλ =121),,(-n ααα3）已知部分特征值和特征向量，反求另一部分特征值，特征向量或矩阵A4）已知特征值反求行列式例6.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=b a A 6633331有特征值4,221=-=λλ，试求参数a,b 的值. 解：分析：用特征议程0=-A E λ可建立两个方程02=--A E 得0)4)(5(3266323333=-+=--------b a ba04=-A E 得0]72)2)(7[(3466343333=++-=------b a ba由①②得4,5=-=b a例7.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a A 11121112可逆，向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11b α是A *的一个特征向量，λ是α对应的特征值，求a,b,λ. 解：αλαλααλααA A A A A A =⇒=⇒=)()(**由可逆，知λ≠0，从而αλαAA =. 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111121112b A b a λ. 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+λλλA b a b A b A b 1223①②③①－②得 a=2①b －②得 b=1或b=-24211121112==A 故b A +=3λ 当1=b 时，1=λ；当42==λ时b例8.已知3,6321===λλλ是实对称矩阵A 的三个特征值，且对徉332==λλ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121,10132αα，求A 对应于λ1＝6的特征向量及矩阵A解：设A 对应于λ1＝6的特征向量()321,,x x x =α，由于A 实对称属于不同特征值正交故⎩⎨⎧=+-==⇒=+-02032132131x x x x x x x x 故()T T Tx x x x )1,1,1(,)1,1,1(,,11321===αα取 ∴属于λ1＝6的特征向量为αk进一步 ())3,3,6(,,321321αααααα=A故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-4111411141112011113366063361A4、矩阵相似和对角化的题目（2000，2001，2002，2003，2005，2007）知识点：1º相似矩阵具有相同的特征多项式2º矩阵A 可对角化的充要条件且属于A 的特征值i x 的线性无关的特征向量个数之和有于n 。