精选精品高三数学上学期第四次月考试题理Word版
试题精选_湖南省长沙长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学(理)调研试卷(word版)_精校完美版
湖南省长沙长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学（理）试题（word 版）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数iai-+12（a ∈R ）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为 A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 2．若S n ，是等差数列{a n }的前n 项和，有S 8－S 3=10，则S 11的值为 A ．12 B ．18 C ．44 D ．223．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．322+πB ．324+πC ．3322+π D ．3324+π 4．设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤+⎰ax dt t x x gx 020,30.,1，若f （f （1））=l ，则a 的值是 A ．-1B ．2C ．1D ．-25．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是 “m ⊥β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．△ABC 中，锐角A 满足sin 4A －cos 4A≤sin A －cos A ，则A ．0<A≤6πB ．0<A≤4π C ．6π≤A≤4πD ．4π≤A≤3π7．斜率为22的直线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，该椭圆的离心率为 A ．22B ．21C ．33D ．31 8．已知等边△ABC 中，点P 在线段AB 上，且AP AP λ=，若Cp ·PA AB =·PB ，则实数λ的值为 A ．2B ．22 C ．1－22 D ．33 9．已知方程kx+3－2k =24x -有两个不同的解，则实数k 的取值范围是A ．⎪⎭⎫⎝⎛43,125 B ．⎥⎦⎤⎝⎛1,125C ．⎥⎦⎤⎝⎛43,125D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛43,010．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A ．752B ．754C ．152D ．251 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．523⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为 。
安徽省寿县一中2014届高三数学上学期第四次月考试题 理
寿县一中2014届高三第四次月考试卷理科数学（时间120分钟，满分150分） 第I 卷（满分50分）—、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知集合{1|,|(),12x A x y B y y x ⎧⎫====>⎨⎬⎩⎭，则R A C B ⋂=（ ） A ．{}|01x x << B ．1|12x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ C ．{}|1x x ≥ D ．∅2.直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（ ）A ．α内所有直线与a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与a 平行D ．α内的直线与a 都相交3．右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为.则该几何体的表面积是（ ）A.20+B.24+C.8D.164．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,0)(2,)-+∞ C ．(2,)+∞ D ．(1,0)-5．已知角α为第二象限角且sin α=，则tan 2α=（ ）A．2 B．2 C．2 D．6．已知平面向量a 、b 、c 两两所成角相等，且||1,1,3a b c ===，则||a b c ++等于（ ） A ．2 B ．5 C ．2或5 D7．一个蜂巢里有1只蜜蜂。
第1天它飞出去找回5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回 5个伙伴，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂飞出去，一共找回（ ）个伙伴A ．55986B ．38880C ．46656D ．233280 8．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．79．数列{}n a 满足122,1,a a ==并且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+⋅⋅=≥--，则数列{}n a 的第100项为（ ） A ．10012 B ．5012 C ．1100D ．150 10．定义域为R 的函数()f x 满足()()[]22,0,2f x f x x +=∈当时，()[)[]22,0,1,1,1,2,2x x xx f x x -⎧-∈⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩若[]2,0x ∈-时，()12t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A.[)()2,00,1-⋃B.[)[)2,01,-⋃+∞C.[]2,1-D.(](],20,1-∞-⋃第II 卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
安徽省安庆市白泽湖中学高三数学月考试题(理)新人教版
2010届安庆市白泽湖中学高三（理应）数学月考试卷一：选择题（50分）1．全集U=R , A=}4|{2>x x ，B={1log |3<x x }， 则A ⋂B=( B ) A ．{2|-<x x } B ．{|23x x <<}C ．{|3x x >}D ．{2|-<x x 或23x <<} 2.若函数()f x 的定义域是[0,4]，则函数(2)()f x g x x=的定义域是（C ） (A) [0,2] (B) (0,2) (C) (0,2] (D) [0,2)3．已知不等式||1x m -<成立的一个充分非必要条件是2131<<x ，则实数m 的取值范围是 （ A ） A ．14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．41,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ． 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4. lg sin x x =方程 的解的个数为（ ） D A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．有下列四个命题，其中真命题有：（ B ）①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④6．已知集合}0,2|{)},2lg(|{2>==-==x y y B x x y x A x ，Ｒ是实数集，则A B C R ⋂)(＝（C ）A ．[]1,0B ． (]0,∞-C ．(]1,0D ．以上都不对7. 已知定义在R 上的偶函数()x f 为(0,)+∞上的增函数，则满足()2(1)1f x x f --<的实数x 的取值范围是（ D ）()()3261f x x ax a x =++++a12a -<<36a -<<1a <-2a >3a <-6a >()x f (0,)+∞()2(1)1f x x f --<x()1,2-()1,0()()1,00,1 -)()1,01,2-||||22c x b x xa -++-A.()1,2- B.()1,0 C.()()1,00,1 - D.()()1,01,2-8. 函数f(x)=||||22c x b x x a -++-(0<a<b<c)的图象关于 对称（ B ）A.x 轴B.y 轴C.原点D.直线y=x 9．若不等式)1,2(0)(2->--=的解集为c x ax x f ，则函数)(x f y -=的图象是（ B ）10．设函数[]x x x f -=)(，其中[]x 为取整记号，如[]22.1-=-，[]12.1=，[]11=．又函数3)(x x g -=，)(x f 在区间)2,0(上零点的个数记为m ，)(x f 与)(x g 图像交点的个数记为n ，则⎰nm dx x g )(的值是 A A -25 B - 23 C -21 D -27 二、填空题：（25分）11．设p ：x 2－x －20>0,q ：212-+x x <0,则p 是q 的 条件.12. 已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 .13已知偶函数y=f （x ）的定义域，值域均为（a ，a+4），则函数y=2f （x-2）的值域为14. 设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩取函数()2x f x -=。
四川省某重点中学2015届高三上学期第四次月考 数学理 Word版含答案
高2012级高三上期第四学月考试数学试题（理科）本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上．在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则（ ）A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ∪N ＝{1,4}D ．M ∩N ＝{2,3}2.2532()x x展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－403. 设是公比为的等比数列，则“为递增数列”是“”的（）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A. 1 qB.C.D.65．将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移俯视侧视图正视图个单位，所得到的直线为（）A.B.C. D.6．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）种A．12 B．18 C．24 D．487.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增8.已知函数，则y＝f(x)的图像大致为（）9．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（）（A）36万元（B）30.4万元（C）31.2万元（D）24万元10..已知R上的函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。
【解析】宁夏银川九中2014届高三上学期第四次月考数学(理)试题
【解析】宁夏银川九中2014届高三上学期第四次月考数学（理）试题（考试时间：120分钟，满分150分）第I 卷（共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，设函数lg(1)y x =-的定义域为集合A ，函数22y x =+的值域为集合B ，则()U A C B ⋂= （ ）A ．[1,2]B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(1,2)2. 已知复数1z i =-，则122--z zz =（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-【答案】B 【解析】试题分析：222(1)2(1)222221z z i i i i i z i i i------+====----，故选B. 考点：1.复数的运算.3．已知平面向量(12)a =，，(2)b m =-，，且a b ∥，则23a b +=（ ） A ．(510)--，B ． (24)--，C ．(36)--，D ．(48)--，4. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，162=，||||-=+,则=||（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8考点：1.向量加法的运算法则.5．已知数列{}n a 是等差数列，且π2741=++a a a ，则)tan(53a a +的值为（ ） A ．3 B ．3-C ．33D ．33-【答案】A 【解析】试题分析：因为147432a a a a π++==，所以423a π=，则4354242tan tan()tan 21tan a a a a a +==-==.故选A. 考点：1.等差数列的性质；2.二倍角公式的应用.6．若α是锐角，且cos （3πα+）=﹣，则sin α的值等于（）．．．．7. 设>0,>0.a b 是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ． 1 D ．14【答案】B 【解析】试题分析：由题意2333a b a b +=⋅=，所以1a b +=，则()1111()2224b aa b a b a b a b+=++=++≥+=，故选B. 考点：1.等比数列的性质；2.均值不等式的应用.8.在应用数学归纳法证明凸n 变形的对角线为)3(21-n n 条时，第一步检验n 等于（ ） A. 1 B.2 C ．3 D ．09.函数2()sin cos f x x x x =+在区间42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是（ ）A ．1 BC ．32D ．110.已知实数,,,a b c d 成等比数列，且对函数ln y x x =-，当x b =时取到极大值c ，则ad 等于（ ）【答案】A 【解析】 试题分析：由1'10y x =-=，即110b-=，所以1b =，y 的极大值为ln ln11y b b c =-=-=，所以1c =-，又因为ad bc =，所以111ad =-⨯=-.故选A.考点：1.等比数列性质；2.函数的最值求解.11已知数列{}{}n n b a ,满足11=a 且1,+n n a a 是函数n n x b x x f 2)(2+-=的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ． 48D ．6412．若函数()xxf x ka a-=-（a >0且1a ≠）在（,-∞+∞）上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）【答案】C 【解析】试题分析：因为()f x 是奇函数，则0(0)0f ka a =-=，所以1k =，又函数是增函数，所以1a >，因而()log (1)(1)a g x x a =+>，则选C. 考点：1.函数的单调性与奇偶性；2.函数的图像.第Ⅱ卷（共90分）二. 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知正项等比数列{n a }的前n 项和为n S ，且8,23221==a a a a ，则10S = __________.15. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边,若222sin A sin C sin B A sinC +-=，则角B 为 .【答案】6π【解析】试题分析：由正弦定理得，222a cb +-=，而余弦定理2222cos b ac ac B =+-，所以cos B =6B π=. 考点：1.正余弦定理的应用.16．已知()f x 为R 上的偶函数，对任意x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+且当[]12,0,3x x ∈， 12x x ≠ 时，有1212()()0f x f x x x ->-成立，给出四个命题：①(3)0f = ② 直线6x =-是函数()y f x =的图像的一条对称轴③ 函数()y f x =在[]9,6--上为增函数 ④ 函数()y f x =在[]9,9-上有四个零点 其中所有正确命题的序号为___________.三. 解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17（本题满分12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，22b S q =. （1）求n a 与n b ；（2）设数列{}n c 满足1n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）已知向量1(sin ,1),(3cos ,)2a xb x =-=-,函数()()2f x a b a =+⋅-． （1）求函数()f x 的最小正周期;（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐角,4a c ==且()1f A =,求,A b 和ABC ∆的面积S ．【答案】（1）T π=；（2）19. (本小题满分12分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．，需另投入成本为)(x C ，当 年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2+=（万元）.当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=xx x C （万元）.每件．．商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（Ⅰ）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件．．）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？当800<<x 时，2501031)100005.0()(2---⨯=x x x x L 25040312-+-=x x 当80≥x 时，25014501000051)100005.0()(-+--⨯=x x x x L =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 100001200 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<<-+-=).80(100001200),800(2504031)(2x x x x x x x L20. (本小题满分12分)已知{}n a 是正数组成的数列，11a =，且点1)()n a n +∈*N 在函数21y x =+的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，12n an n b b +=+，求证：221n n n b b b ++⋅<．【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）221n n n b b b ++⋅<.【解析】试题分析：（Ⅰ）将点1)()n a n +∈*N 代入到21y x =+，得11n n a a +=+，即11n n a a +-=，又11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列．故1(1)1n a n n =+-⨯=．21. (本小题满分12分)已知函数：()ln 3(0)f x x ax a =--≠ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数23()[2()]2x g x x m f x '=+-在 区间()3,a 上有最值，求实数m 的取值范围.试题解析：（1）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，且 1()f x a x'=-， 当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，减区间为1(,)a+∞； 当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间；（2）2332()[2()](),22x mg x x m f x x a x x '=+-=++- 2()3(2)1,g x x m a x '∴=++-()g x 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．如图,已知PE 切⊙O 于点E ,割线PBA 交⊙O 于A 、B 两点,∠APE 的平分线和AE 、BE 分别交于点C 、D .求证(Ⅰ)CE DE =;(Ⅱ)CA PECE PB=.【答案】(Ⅰ)CE DE =; (Ⅱ)CA PECE PB=. 【解析】试题分析：(Ⅰ)要证两边相等，只需证明角相等，根据圆中切线与割线的关系进行转化，PE 切⊙O 于点E ,A BEP ∴∠=∠ ，PC 平分A CPA BEP DPE ∴∠+∠=∠+∠,ECD A CPA EDC BEP DPE ∠=∠+∠∠=∠+∠, ,ECD EDC EC ED ∴∠=∠∴=.（2）证明边长成比例，需要证明两个三角形相似，,,PDB EDC EDC ECD PDB PCE ∠=∠∠=∠∠=∠23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为πcos 13ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． （Ⅰ）写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （Ⅱ）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【答案】（Ⅰ）(20)M ，,π2N ⎫⎪⎪⎭，；（Ⅱ）π()6θρ=∈-∞+∞，，. 【解析】试题分析：（Ⅰ）将πcos 13ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得1cos 12ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，则转化成直角坐标方程为112x y +=，那么M ，N 的极坐标0θ=时，2ρ=，所以(20)M ，，π2θ=时，24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设a ，b 是非负实数，求证：3322)a b a b ++．【答案】3322)a b a b ++ 【解析】试题分析：要比较两个数大小，最常用的方法是作差，。
河北省保定市重点高中2021届高三上学期第四次月考 数学试题
河北省保定市重点高中2021届高三上学期第四次月考数学试题考试范围：一轮复习前八章 考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知复数z 满足()1243z i i +=- (其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2i -C ．1D ．i2．设集合{}5,3,1,0,1,3U =---，{A x U y =∈=，则UA =（ ）．A ．[]5,3-B ．{}3,1-C ．{}5,3-D ．{}5,3,1,3--3．已知1tan 123πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则11tan 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．13- CD．4．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(41)n n a n +=-+，则111221a a a +++=（ ）A ．45B ．65C ．69D ．105-5．设22(02)()3log (2)x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，则[](2)f f =（ ）试卷第2页，总6页A ．2-B ．1-C ．0D ．86．已知()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩则关于a 的不等式()()21f a f a -<的解集为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．已知函数()ln ||f x x =，2()g x mx =，若方程()()0f x g x -=在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，则m 的取值范围为（ ）A ．1(0,)2eB ．1(,)2e+∞ C ．1(0,)eD ．1(,)e+∞8．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1312B．3C．5D二、多选题9．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论中正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．直线6x π=是()g x 图象的一条对称轴C．6g π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．()g x 为奇函数10．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ）A．若a b⊥，则tan 2θ=B．若b在a上的投影为12-，则向量a与b的夹角为23πC．存在θ，使得||||||a b a b+=+D．a b的最大值为311．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D－中，E，F分别是11AB BC，的中点．有下列结论，其中正确的是（）A．EF与1BB垂直B．EF与平面11BCC B垂直C．EF与1C D所成的角为45°D．//EF平面1111DCBA12．已知抛物线24y x=的准线过双曲线2222:1x yCa b-=(0,a>0b>)的左焦点F，且与双曲线交于,A B两点，O为坐标原点，AOB的面积为32，则下列结论正确的有（）A．双曲线C的方程为224413yx-=B．双曲线C的两条渐近线的夹角为60°C．点F到双曲线C3D．双曲线C的离心率为2三、填空题试卷第4页，总6页13．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，以此得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率1，则第七个单音的频率为______.14．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22a b c ab +=+，30B =︒，2a =，则ABC ∆的面积为______.15．如图，正四面体ABCD 中，异面直线AB 与CD 所成的角为_______，直线AB 与底面BCD 所成角的余弦值为_______．16．已知点P 是抛物线24y x =上动点，且点P 在第一象限，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，当PFPA取最小值时，直线AP 的方程为______．五、解答题17．在①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . （1）求角C ； （2）若5c =，11a b +=，求ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为22的直线方程； （2）求222||||||PA PB PC ++的最值.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()*4211n n S n a n N-+=∈．（1）求证：21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数数列；（2）求和：12231011111a a a a a a +++． 20．如图，四棱锥P ABCD －中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，CE AB ∥． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若1==PA AB ，3AD =，且CD 与平面PAD 所成的角为45︒，求二面角B PE A --的正切值．试卷第6页，总6页21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率，过x 轴正半轴一点()0m ,且斜率为l 交椭圆于A ，B 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使得以AB 为直径的圆过原点，若存在求出实数m 的值；若不存在需说明理由22．设a R ∈，函数21()ln (1)2f x a x x a x =+++. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设21()()(2)2x f x x a x ϕ=--+，若()x ϕ有两个相异零点1x ，2x ，且12x x <，求证：12ln ln 2ln 0x x a +-<.答案第1页，总28页参考答案1．A【解析】【分析】由题目条件可得()12435z i i +=-=，即512z i=+，然后利用复数的运算法则化简. 【详解】因为435i -=，所以()12435z i i +=-=，则()()()5125510121212125i i z i i i i --====-++- 故复数z 的虚部为2-.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.2．C【解析】【分析】先求出集合A ，再根据补集定义即可求出.【详解】{A x U y =∈={}2230x U x x =∈--+≥ {}31x U x =∈-≤≤{}3,1,0,1=--，所以{}5,3UA =-．故选：C.【点睛】本题考查集合的补集运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．3．B【解析】【分析】利用三角函数诱导公式tantan 进行求解.【详解】1111tan[()]tan()1212πππαα-+=-+，111tan tan 12123ππαα⎛⎫⎛⎫+=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴. 故选：B【点睛】答案第3页，总28页本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.4．B【解析】【分析】由题意可得1211(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，从而可得1112211112192021()()a a a a a a a a +++=+++++……，进而可得答案【详解】因为1(1)(41)n n a n +=-+，所以1211(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，则1112211112192021()()4585a a a a a a a a +++=+++++=-⨯+…… 65=，故选：B ．【点睛】此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题5．B【解析】【分析】先求()2f ，再求[]()(2)4f f f =即可．【详解】解：由已知()2224f ==，则[]()2(2)43log 41f f f ==-=-+． 故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的求值，是基础题．6．B【解析】【分析】分析函数单调递增，解不等式()()21f a f a -<等价于解：021a a <-<，即可得解. 【详解】由题：()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩， 当01x <<时，()ln 0f x x =<，且单调递增； 当1≥x 时，()10f x x =-≥，且单调递增，所以()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩在()0,∞+单调递增， 解不等式()()21f a f a -<等价于解：021a a <-<，解得：1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性求解不等式，关键在于准确识别函数的单调性，此题易错点在于漏掉考虑函数定义域，导致增根.属于较易题.7．A【解析】【分析】因为函数()ln f x x =，()2g x mx =都是偶函数，所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象两个不同的交点，画出函数图象，求出两函数图象相切时的m 值，利用数形结合可得结果.【详解】因为函数()ln f x x =，()2g x mx =都是偶函数， 所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在两个不同的交点， 0m <不合题意，当0m >时，20mx >,当()ln 01f x x x =>⇒>，即交点横坐标在[)1,+∞上，假定两函数的图象在点()00,P x y 处相切，即两函数的图象在点()00,P x y 处有相同的切线， 则有()()1'2,'g x mx f x x ==，则有0012mx x =，解得2012x m=， 则有()()20000111,ln ln ln 222g x mx f x x m=====， 可得111ln 222m =，则有12e m=，解得12m e =， 因为m 越小开口越大，所以要使得()f x ，()g x 在[)1,+∞上，恰有两个不同的交点， 则a 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在][(),11,-∞-⋃+∞四个不同的交点， 方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，所以a 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.8．B【解析】【分析】 先根据点到直线距离公式求得FA b =，再由513AF BF =用b 表示出FB .根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得a 与b 的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），右焦点(),0F c ，渐近线方程为b y x a =±. 将渐近线方程化为一般式为0bx ay ±=，双曲线满足222c a b =+，过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，如下图所示:由点到直线距离公式可知22bcFA b b a ==+， 根据题意513AF BF =，则135b BF =， 设AOF α∠=，由双曲线对称性可知2AOB α∠=，而tan b a α=，18185tan 25b AB b OA a aα===， 由正切二倍角公式可知2222tan 2tan 21tan ab a b ααα==--， 即221825b ab a a b=-，化简可得2249a b =， 由双曲线离心率公式可知221313193c b e a a==+==， 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线标准方程与性质的简单应用，渐近线方程与离心率的应用，属于中档题.【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律得出()sin 2g x x =，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项；计算6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值可判断B 、C 选项；利用奇函数的定义可判断D 选项. 【详解】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得到函数()sin 2sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 . 对于A 选项，函数()sin 2g x x =的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确；对于B 、C 选项，sin 163g ππ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，B 选项错误，C 选项正确； 对于D 选项，函数()sin 2g x x =的定义域为R ，()()()sin 2sin 2g x x x g x -=-=-=-， 所以，函数()sin 2g x x =为奇函数，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，同时也考查了三角函数图象变换，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.【解析】【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+== )θϕ+， a b D 正确. 【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确； 若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+== )θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a bD 正确，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．AD【解析】【分析】过E ，F 分别作AB BC ，的垂线，垂足为,M N 两点，连接MN ，可得//EF MN ，所以直线EF 可转化为直线MN 来求解平行，垂直及所成角问题.【详解】如图：正方体1111ABCD A B C D －过E ，F 分别作AB BC ，的垂线，垂足为,M N 两点，连接MN ，由题意可得//EF MN ，因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1⊥BB MN 即1BB EF ⊥，A 选项正确；由题意可得MN 不垂直BC ，所以MN 不垂直平面11BCC B ，即EF 不垂直平面11BCC B ，B 选项不正确；因为11//AB C D ，连接1C B 和C A ，所以1B AC ∠为EF 与1C D 所成的角，因为11AC B C B A ==所以160B AC ∠=，C 选项不正确；因为//EF MN ，MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD所以//EF 平面ABCD ，又平面1111D C B A ∥平面ABCD ，所以//EF 平面1111D C B A ，D 选项正确；故选：AD【点睛】本题考查了判断线线垂直，线面垂直，线面平行及线线角的求法，属于较易题.12．ABD【解析】【分析】根据抛物线24y x =准线过双曲线2222:1x y C a b -=(0,a >0b >)的左焦点F ，得到c ，再根据与双曲线交于,A B 两点，且AOB 的面积为32，求得双曲线的方程，再逐项验证. 【详解】因为抛物线24y x =的准线过双曲线2222:1x y C a b -=(0,a >0b >)的左焦点F ， 所以1c =-，又与双曲线交于,A B 两点， 所以221,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以AOB 的面积为2123122b a ⨯⨯=，即232b a =， 解得213,24a b ==， 所以双曲线C 的方程为224413y x -=，故A 正确； 双曲线C的渐近线方程为y =，所以两渐近线的的夹角为60°，故B 正确； 点F 到双曲线C的渐近线的距离为2d =，故C 错误； 双曲线C 的离心率为1212c e a ===，故正确； 故选：ABD【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13【解析】【分析】根据题意可知相当于求解等比数列的第7项，利用等比数列的通项公式可得结果.【详解】因为从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率1，所以第七个单音的频率为671a =⨯=.故答案为.【点睛】 本题主要考查以音乐文化为背景的等比数列问题，从中提炼出数学本质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14【解析】【分析】已知条件利用余弦定理求得C ，然后由三角形内角和可得A ，再由等腰三角形得b ，再由三角形面积公式求得面积．【详解】∵()22a b c ab +=+，∴222a b c ab +-=-，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，120C =︒， ∴30A =︒，∴2b a ==，∴11sin 22sin12022ABC S ab C ∆==⨯⨯︒=【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式．解三角形中有三类公式：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，掌握这些公式是解题基础．15．90° 3【解析】【分析】取CD 中点E ，连接AE 、BE ，作AF ⊥BE 于点F ，空1：根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可；空2：根据线面垂直的性质和判定定理，结合线面角定义、锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】取CD 中点E ，连接AE 、BE ，作AF ⊥BE 于点F .空1：因为AC AD BC DB ===，所以CD ⊥AE ，CD ⊥BE ， AE BE ＝E ，,AE BE ⊂平面ABE ，∴CD ⊥平面ABE ，AB平面ABE ，∴CD ⊥AB ，∴异面直线AB 与CD 所成的角为90°； 空2：∵CD ⊥平面ABE ，AF ⊂平面ABE ，∴CD ⊥AF ，又AF ⊥BE ，,,CD BE ECD BE =⊂平面BCD ，∴AF ⊥平面BCD ，∴∠ABF 是直线AB 与底面BCD 所成角，正四面体ABCD 中，因为AF ⊥平面BCD ，所以点F 是三角形BCD 的中心，设正四面体的棱长为a ，所以22213()32BF a a a =-= 则333cos 3a BF ABF AB a ∠===．故答案为：90°；33【点睛】本题考查了求异面直线所成的角和线面角的计算，考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.16．10x y -+=【解析】【分析】由()1,0A -在准线上，过抛物线上点P 作PD 垂直与准线，得到cos PD PAF PA=∠，得出 PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切，设出切线方程为(1)y k x =+，结合判别式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的方程24y x =可得焦点(1,0)F ，()1,0A -在准线上， 过抛物线上的点P 作PD 垂直与准线交于D 点， 由抛物线的定义，可得PF PD =，在PAD △中，cos cos PD DPA PAF PA=∠=∠， 所以PD PA最小时，则cos PAF ∠最小，此时PAF ∠最大， 而PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切，设过()1,0A -与抛物线相切的直线方程为(1)y k x =+，联立方程组2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，整理得2440y y k -+=， 则24()440k∆=--⨯=，解得1k =±，又由点P 在第一象限，所以1k =，所以直线AP 的方程为1y x =+，即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17．（1）3C π=；（23【解析】【分析】（1）若选①：利用正弦定理和余弦定理可求出角C ；若选②：利用正弦定理和两角和与差公式可得角C ；（2）利用余弦定理求出2ab =，代入三角形面积公式即可．【详解】（1）若选①： 由正弦定理得a c a b b a c--=+， 所以222a c ab b -=-，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=.若选②： 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 所以3C π=.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得225a b ab =+-，即25()3a b ab =+-，解得2ab =，则ABC 的面积11sin 22222ABC S ab C ==⨯⨯=，故ABC 的面积为2. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查三角形的面积公式，属于中档题．18．(1)7100x y ++=或20x y +-=;(2)最大值为88,最小值为72.【解析】【分析】(1) 依题意,直线的斜率存在, 设出直线方程, 结合点到直线距离公式,列出方程求解,即可得出结果.(2) 由(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----设P 点坐标为(),x y 则224x y +=. 代入化简可得222||||||804PA PB PC y ++=-,由22y -≤≤,即可求得求222||||||PA PB PC ++的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E 截得的弦长为,所以圆心到直线的距,设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=. (2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++ ()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72.【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程,考查圆上的点到定点的距离平方和的最值问题,熟记直线与圆的位置关系,以及点到直线距离公式即可,难度较易.19．（1）证明见解析；（2）1021【解析】【分析】(1)由()()*4211n n S n a n N -+=∈得()()1142112n n S n a n ----=≥,化简可得()122123n n a a n n n -=≥--即可证得结论; (2)由(1)可求得21n a n =-,利用裂项求和即可得出结果.【详解】解：（1）证明：由()()*4211n n S n a n N -+=∈得()()1142112n n S n a n ----=≥， 两式相减得()()()123212n n n a n a n --=-≥，即()122123n n a a n n n -=≥--， 在()()*4211n n S n a n N -+=∈中，令1n =，得11a =，故11121231n n a a a n n -====--，即21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数数列，得证． （2）由（1）知121n a n =-，即21n a n =-， 1223101111111113351921a a a a a a ∴+++=+++⨯⨯⨯ 1111111201012335192122121⎛⎫=-+-++-=⨯= ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列为常数列,考查利用递推公式求数列的通项公式,考查通过裂项求数列的和,难度一般.20 【解析】【分析】（Ⅰ）通过证明线线垂直BA PA ⊥，BA AD ⊥来证明线面垂直，即BA ⊥平面PAD CE BA ,CE ∴⊥平面PAD .（Ⅱ）以A 为原点建立平面直角坐标系，通过法向量之间的夹角余弦，得到二面角的夹角余弦值，再求出其正切值法二：连接PE ，作AH ⊥PE 于H ，找到二面角的平面角为AHB ∠，在直角三角形PAE 中求出线段长度，求出tan AHB ∠，即二面角的正切值.【详解】（Ⅰ）证明：PA ⊥平面ABCD ，BA ⊂平面ABCD BA PA ∴⊥BA AD ⊥,,AD PA ⊂平面PAD 且AD PA A ⋂=BA ∴⊥平面PADCE BA ,CE ∴⊥平面PAD（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CDE ∠为CD 与平面PAD 所成的角，所以45CED ∠=︒又1CD AB ==,90CED ∠=︒1,2DE CE AB AE ∴====连接,PE BE法一：以A 为原点O ，AD 为OX 轴，AB 为OY 轴，AP 为OZ 轴建立空间直角坐标系 ()00,0A ，，()0,1,0B () 2,0,0E由（I ）知AB 为平面PAE 的法向量且()0,1,0AB =设平面PBE 的法向量为(),,n x y z = ()()2,1,0,0,1,1BE PB =-=-由,n BE n PB ⊥⊥，得020y z x y -=⎧⎨-=⎩，取1x =，则()1,2,2n =设所求二面角为θ，则22cos 133AB nAB n θ⋅===⨯⋅sin 3θ∴==sin tan cos θθθ∴== 法二：作AH ⊥PE 于H ，由（I ）知BA PE ⊥，,AH BA ⊂平面AHB ，AH BA A ⋂=PE ∴⊥平面AHB BE ⊂平面AHB ，PE BE ∴⊥AHB ∴∠为所求二面角的平面角在直角三角形PAE 中，1122AH PE AE PA ⋅=⋅AH ∴=tan AB AHB AH ∴∠==21．（1）22162x y +=；（2）存在，m =【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求椭圆的,,a b c ，得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为)()03y x m x =->，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用0OA OB ⋅=，转化为坐标运算，建立等量关系求m 值.【详解】（1）根据题意，抛物线28y x =的焦点是()2,0，则()2,0F ，即2c =，，即3c e a ==，解可得a =26a =，则2222b a c =-=故椭圆的方程为22162x y +=.（2）由题意得直线l的方程为)()0y x m x =->由()221623x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 得222260x mx m -+-=. 由()224860m m ∆=-->，解得m -<又0m >，∴0m <<设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=.则))()2121212121333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 又由以AB 为直径的圆过原点，则0OA OB ⋅=，即()212121212410333m x x y y x x x x m +=-++= 即26m =，又023m <<6m ∴=即存在6m =使得以AB 为直径的圆过原点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的综合应用，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型.22．（1）当0a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，()f x 的单调递减区间是(0,)a -，单调递增区间是(,)a -+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分0a ≥，0a <两种情况讨论导函数正负，即得解；（2）由1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨-=⎩，构造1212ln x xa x x -=，结论12ln ln 2ln 0x x a +-<，可转化为()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，构造函数21()ln 2g t t t t =--+，分析单调性研究单调性，即可证.【详解】（1）(1)()()1a x x a f x x a x x++'=+++=，0x >， 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数；当0a <时，令()0f x '>，解得x a >-，则函数()f x 在区间(0,)a -上是减函数，在区间(,)a -+∞上是增函数.综上得：当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，函数()f x 的单调递减区间是(0,)a -，单调递增区间是(,)a -+∞.（2）由题意得，()ln x a x x ϕ=-.因为1x ，2x 是方程ln 0a x x -=的两个不同的实数根，所以1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()()1212ln ln 0a x x x x ---=，解得1212lnx xa x x -=. 要证：12ln ln 2ln 0x x a +-<，即证：212x x a <，即证：()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即证：()221211221221ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 令12(0,1)x t x =∈（因为120x x <<），则只需证21ln 2t t t<-+.设21()ln 2g t t t t=--+，∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭；令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，()h t 在(0,1)上为减函数，∴()(1)0h t h >=，∴()0g t '>，()g t 在(0,1)为增函数，()(1)0g t g <=.即21ln 2t t t<-+在(0,1)上恒成立，∴12ln ln 2ln 0x x a +-<.【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.。
湖南省衡阳八中2017届高三上学期第四次月考试题 数学(理) 含答案
衡阳市八中2017届高三第四次月考试题卷理科数学(考试内容：集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列、不等式、推理与证明)命题人:蒋金元、郭端香审题人：赵永益考生注意：本试卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．a为正实数，i为虚数单位，a i=2,则a=（)A．2 B3C2D．1 2．已知集合M＝｛1，2，3，4｝，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为( )A．8 B．4 C．3 D．23．下列关于命题的说法错误的是( ）A．命题“若x2﹣3x+2=0,则x=2"的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”B．“a=3”是“函数f（x）=log a x在定义域上为增函数”的充分不必要条件C．若命题p：∃n∈N，3n＞100，则￢p：∀n∈N，3n≤100 D．命题“∃x∈（﹣∞，0），3x＜5x”是真命题4．已知数列{a n}是等比数列，且a3=1，a5a6a7=8，则a9=（）A．2 B．4 C．6 D．85．已知212sin 2cos 1=+αα,则=αtan （) A ．2 B ．3 C ．21D ．316．已知公差不为0的等差数列{}na 满足134a ,a ,a 成等比数列，nS 为数列{}na 的前n 项和，则3253SS S S --的值为（ ）A ．2- B ．3- C ．2D ．37．已知3sin 5ϕ=，且(,)2πϕπ∈,函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为（ ） A ．35-B ．45-C ．35D ．458．已知函数()log (4)1a f x x (0,1)a a的图像恒过定点A ，若直线2-=+ny mx （,0m n）也经过点A ，则3m+n 的最小值为( ）A ．16B ．8C ．26611+ D ．149．已知：函数())20162016log 20162xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),0-∞ 10．设m ＞1，在约束条件1y xy mx x y 下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A ．（1，12）B ．（12，) C ．（1，3) D ．（3，)11．已知函数22 x 0()2 x<0x f x x x 则不等式(())3 f f x 的解集为(）A. (-,1]B.(-,2]∞∞∞12．设函数()f x 在R 上存在导数()f x ，对任意的x∈R，有2()()f x f x x ,且(0,)()xf x x 时，．若(2)()22f a f a a ，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,)B ．(,1]C ．(,2]D ．[2,)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13．已知a =4，b =2，且2a b=a 与b 的夹角为___________.14．已知222,,,238,49a b cR a b ca b c 则的最小值为___________.15。
【恒心】2015届江西省崇义中学高三上学期第四次(12月)月考数学(理科)试题及参考答案【纯word版】
江西省崇义中学2015届高三上学期第四次（12月）月考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则MN 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．7D ．52．1.已知11mni i=-+，其中,m n R ∈， i 为虚数单位，则m ni +=（ ） A ．12i + B.2i + C.12i - D.2i - 3．下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的函数是( )A . 3x y = B . 12+-=x y C . 1+=x y D . xy -=24．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线01=+-y ax 平行，则a =（ ） A ．2B ．2-C ． 12D ． 12-5．错误！未找到引用源。
为平行四边形错误！未找到引用源。
的一条对角线，错误！未找到引用源。
（ ） A ．(1,1)--错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．(2,4)6．已知0>t ，若8)22(0=-⎰tdx x ，则t =（ ）A .1B . 4C .- 2或4D . -27．已知变量y x ,满足条件 ，则 的最小值是（ ）A . 6B .4C .3D .28．边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．120 B ．135 C ．90D ．1509．已知0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值是（ ）A . 3B . 4C . 29D . 211 10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．16643π-B ．32643π-C ．6416π-D ．64643π-11．已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,521,2)(2x ax x x x x f ，若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x = 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A . 0<aB . 0≤aC . 3<aD . 30<<a俯视图侧视图正视图第（10）题12．已知函数20134321)(2013432x x x x x x f ++-+-+= 错误！未找到引用源。
东北师大附中～上学期“放飞希望”第四次摸底考试高三数学理科第四次月考
东北师大附中2007——2008学年上学期高三年级“放飞希望”第四次摸底考试数学（理）试卷命题人：杨志勇、刘丽君、马云龙、邢昌振、 审题人：杨志勇 田京爱、李海军本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．第Ⅰ卷的答案用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试题卷上的无效．2．答题前，考生务必将自己的“班级”、“学号”、“姓名”写在答题卡和答题纸上． 3．考试结束后，只交答题卡和答题纸．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则 A.1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在 B. 1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意 C.1>∈⌝x cos R x p ，使：存在 D. 1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意 2．已知向量()43，-=，()43-=，，则a 与b A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 3．复数211ii ++的值是A ．－21B ．21C ．21i +D ．21i -4．某校有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为A ．50B ．100C ．150D ．2005．双曲线x 2－y 2=4的两条渐进线和直线x =2围成一个三角形区域（含边界），则该区域可 表示为A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+200x y x y xB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+200x y x y xC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+200x y x y xD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+200x y x y x6．已知数列｛a n ｝对于任意m 、n ∈N *，有a m +a n =a m+n ，若，411=a 则a 40等于 A ．8 B ．9 C ．10 D ．117．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+，4上为减函数，且函数()4+=x f y 为偶函数，则 A.()()32f f > B. ()()52f f > C. ()()53f f > D. ()()63f f >8．如图，在正四面体S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为∆ABC 的中心，则异面直线EF 与AB 所成的角是A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 9．在821⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，含x 的项的系数是 A．55 B ．－55 C ．56 D ．－56 10．已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>∈+=200πϕωϕω，，，A R x x sin A x f 的图象（部分）如图所示，则()x f 的解析式是 A ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62ππ Ｂ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=622ππS EF A CＣ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32ππ Ｄ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=322ππ11．a n 是(1+x )n+1（n ∈N *）的展开式中含x 2的项的系数，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a lim 11121A ．1B ．2C ．3D ．412．已知椭圆15922=+y x ，过右焦点F 做不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ：A ．21 B ．31 C ．32 D ．41第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若函数()y f x =的图象与函数xy 4=的图象关于直线y x =对称，则()f x =________；14．若抛物线22y px =的焦点与椭圆14822=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 ； 15．为使函数211)(x xx f -+=在1-=x 处连续，需定义=-)1(f ； 16．对于函数的这些性质：①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数；⑤周期性；函数()R x x x x f ∈+=，35具有的性质的序号是 ．三．解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，，22sin 2sin=++CB A ． Ⅰ.试判断△ABC 的形状；Ⅱ.若△ABC 的周长为16，求面积的最大值． 18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．⑴求所选3人都是男生的概率； ⑵求ξ的分布列及数学期望； 19．（本小题12分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2,11===AB AD AA ，点E 在棱AB 上移动． （1）求证：D A E D 11⊥；（2）E 为AB 中点时，求点E 到平面 1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D EC D --1的大小是4π． 20．（12分）设数列{}n a 满足*N n na a a a n n ∈=++++-，444413221 ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n n n b a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求nn n S n lim 14+∞→⋅．21．（12分）已知函数x ax x x f ln 1)(2-++-=． （Ⅰ）若)(x f 在)21,0(上是减函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）函数)(x f 是否既有极大值又有极小值？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明 理由．22．（12分）已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是0=+y x ，且双曲线C 过点)1,2(-P . (1) 求此双曲线C 的方程；(2) 设直线l 过点)1,0(A ，其方向向量为),1(k e =)0(>k ，令向量n 满足0=⋅e n .双曲线C 的右支上是否存在唯一一点B=. 若存在，求出对应的k 值和B 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案：CDBBB CDCDA BB13、()04>=x x log y 14、4 15、2116、①③ 17．（10分）解：Ⅰ、)42sin(22sin 2cos 2sin 2sin ππ+=+=+-C C C C C 2242πππ==+∴C C 即 所以此三角形为直角三角形.Ⅱ．ab ab b a b a 221622+≥+++=2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号，此时面积的最大值为()24632-．18．（12分）（1）解：所选3人都是男生的概率为 513634=C C（2）解：ξ可能取的值为0，1，2，2,1,0,)(36342=⋅==-k C C C k P k k ξ，ξ的数学期望为1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE19．（12分）解：（1）由于 D AE 11D AA 面⊥，11AD D A ⊥，根据三垂线定理，得D A E D 11⊥． (4分) （2）设E 到平面1ACD 的距离为h ．在1ACD ∆中，51==CD AC ，21=AD ，231=∆C AD S ， 而21=∆ACE S ，h S DD S C AD ACE ⋅=⋅∴∆∆113131V 1-D ＝ＡＥＣ， 得31=h ． (8分)（3）过D 作CE DH ⊥于H ，连接DE H D 、1，则CE H D ⊥1．1DHD ∠∴为二面角D EC D --1的平面角．设,x AE =则,2x BE -=在DH D 1∆中，1DHD ∠∴4π=，得1=DH ．由于DA CD DH CE ⋅=⋅, 即21)2(2=+-x ，解得32-=x ．因此，当32-=x 时，二面角D EC D --1的大小为4π． (12分) 20．（12分）解：(I) ，444413221n a a a a n n =++++-()，241444123221≥-=++++--n n a a a a n n ()，241441≥--=∴-n n n a n n()241≥=∴n a nn 验证1n =时也满足上式， ()*N n a n n ∈=∴41(II) ∵n nnb a =，∴n n n b 4⋅=， ()1443424132nn n S ⋅++⋅+⋅+⋅=()()244143424141432+⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S（1）－（2）得1324414141413+⋅-⋅++⋅+⋅+⋅=-n nn n S()14414143+⋅---=-∴n nn n S()44439111+-⋅=∴++n n n n S ∴nn n S n lim 14+∞→⋅=.n n lim n n lim n n n n n n 3441394443491111=⋅+-=+-⋅⋅+∞→+++∞→ 21．（12分） 解：（Ⅰ）)(x f '=xa x 12-+- …………1分∵)(x f 在)21,0(上为减函数，∴)21,0(∈x 时012<-+-x a x 恒成立． ……3分即x x a 12+<恒成立．设x x x g 12)(+=，则)(x g '=212x -．∵)21,0(∈x 时21x ＞4，∴)(x g '0<，∴)(x g 在)21,0(上递减， ………5分∴g(x ) ＞g(21)=3，∴a ≤3． ………6分（Ⅱ）若)(x f 既有极大值又有极小值，则首先必须)(x f '=0有两个不同正根21,x x ，即 0122=+-ax x 有两个不同正根。
重庆市丰都实验中学2015届高三上学期第四次月考测数学理试题 Word版含答案
丰都实验中学高2015级高三上期第四次月考测试卷数学试题（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）１、已知集合{1,3,4,6,7,8}A =，{1,2,4,5,6}B =，则集合A B ⋂的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 ２、i 是虚数单位，复数3443iz i+=-+的虚部是（ ）A ．iB ．1C ．－1 D. －i３、已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a a b ⊥+，则向量a 与b 的夹角是（ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°４、直线1:(1)20l x m y m +++-=与2:280l mx y ++=平行，则m 的值为（ ）A ．1B ．－2C ．2D ．－2或1５、若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，10031013a a +=π，692b b ⋅=，则1201578tan 1a a b b +=+（ ）A ．1B ．－1CD ６、右图给出的是计算100181614121+++++ 的一个 程序框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A ．50<i B ．50>i C ．25<i D ．25>i７、若在区间[]0,2中随机地取两个数，则这两个数之和大于1的概率是（ ） A ．34B ．78 C ．916D ．3512 ８、已知直线:10l x y --=，1:220l x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程是（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．10x y +-=D ．210x y +-=９、设实数,x y 满足条件41002800,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为（ ） A ．256 B ．83 C ．113D ．4 10、设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，则关于x 的函数1()()g x f x x=+的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．0或2二、填空题：（本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分．）11、设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=12、右图是一次考试结果的频数分布直方图，根据 该图估计这次考试的平 均分数为13、给定下列四个命题：①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“对2,0x R x x ∀∈-<” ；②若:02p x <<是:1q a x a -<≤的必要不充分条件，则a 的取值范围是[1,2]；③幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--在0x =处有定义，则实数m 的值为2；④已知向量(3,4)a =-，(2,1)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影是25. 其中正确命题的序号是考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14、如右图，△ABC 是的内接三角形，PA 是的切线，PB 交AC 于点E ，交于点D ，PA ＝PE ，∠ABC ＝60°，PD ＝1，PB ＝9，则EC ＝15、已知曲线C的参数方程为x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，以x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为16、不等式125x x -++≤的解集是三、解答题：（共6小题，第17、18、19题各13分，第20、21、22题各12分，共75分）17、已知函数())(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-≤<的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(Ⅰ)求ω和ϕ的值； (Ⅱ)若2()()2463f αππα=<<，求3cos()2πα+的值．18、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，向量(cos ,)m a b C c =-与(sin ,1)n B =平行． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b =ABC ∆面积的最大值．19、第十七届亚运会于2014年9月19日至10月4日在韩国仁川举行，为了搞好接待工作，组委会在首尔大学某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者从事礼宾接待和语言翻译工作，将这30名志愿者的身高（单位：cm ）编成茎叶图（如图所示）．组委会决定：身高175cm 以上（包含175cm ）的志愿者从事礼宾接待，身高在175cm 以下的志愿者从事语言翻译．（Ⅰ）若用分层抽样的方法从从事礼宾接待的志愿者和从事语言翻译的志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，则至少有一人是从事礼宾接待的志愿者的概率是多少？（Ⅱ）若从所有从事礼宾接待的志愿者中随机选3名志愿者，用ξ表示从事礼宾接待的志愿者中女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望.20、设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S na n n =--，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且5352T T b =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n M ，求证：1154n M ≤<21、设函数ax xx a x f 21ln )2()(++-=，R a ∈（1）当0=a 时，求)(x f 的极值； （2）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间；22、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12,N n n na S n *+=∈． （Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n b 满足：211211,2n n n n b b b b a ++==+，试证明：当N n *∈时，必有①21111(1)n n b b n +-<+； ②1n b <丰都实验中学高2015级高三上期第四次月考测试卷数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：DCDAD BBBAC１、解：{1,4,6}A B ⋂=中有3个元素，∴A B ⋂的子集个数为328=个．故选D ．２、解：34(34)(43)43(43)(43)i i i z i i i i ++--===--+-+--的虚部为1-，故选C ．３、解：22()()00cos ,0a a b a a b a a b a a b a b ⊥+⇒⋅+=⇒+⋅=⇒+⋅⋅<>=2333cos ,0cos ,,150a b a b a b ⇒+⨯<>=⇒<>=-⇒<>=︒，故选D ．４、解：两直线平行1221122112(1)(1)82(2)A B A B m m B C B C m m =⨯=⨯+⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨≠+⨯≠-⎩⎩1212=⇒⎩⎨⎧-≠=-=m m m m 或，选A ．５、解：12015100310137869tantan tan 113a a a ab b b b π++===++D ．６、解：1i =时，12S =；2i =时，1124S =+；……；50i =时，11124100S =+++． 51i =时，结束循环，输出S 的值，所以判断框内应填入的条件是50>i ，故选B ．７、解：设这两个数为,x y ，则0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，∵不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域面积为1224S =⨯=，而不等式组02021x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+>⎩表示的平面区域面积为217221122S =⨯-⨯⨯=∴所求概率为2178S P S ==，故选B ． ８、解：由1:101(1,0):2200l x y x A l x y y --==⎧⎧⇒⇒⎨⎨--==⎩⎩ 在1l 上任取一个点(0,2)B -，设(0,2)B -关于直线l 的对称点为(,)B x y '''．由线段BB '的中点2(,)22x y ''-在直线:10l x y --=上得21022x y ''---=……① 由(2)1110BB l y BB l k k x ''--'⊥⇒⋅=-⇒⨯=-'-……………②联立①②解得1(1,1)1x B y '=-⎧'⇒--⎨'=-⎩ 由点(1,0)A 和(1,1)B '--可得直线2l 的方程为011011y x --=----即210x y --=，选B ．９、解：作出可行域（如右图所示）把目标函数(0,0)z ax by a b =+>>看作直线:(0,0)a z l y x a b b b =-+>>，其斜率0ak b=-< 由图知，当直线l 经过点A(4,6)时纵截距zb最大，即z 最大． ∴max 4612z a b =+=，即236a b +=．∴23123123166125()6()(23)(13)(1366666b a a b a b a b a b a b +=⋅+⋅=++=++≥+= （当且仅当66b a a b =且236a b +=即65a b ==时取“＝” ） ∴23a b +的最小值为256，故选A ．10、解：由()()0f x f x x '+>，得()()0xf x f x x'+> 当0x >时，()()0xf x f x '+>，即[]()0xf x '>，函数()xf x 单调递增；当0x <时，()()0xf x f x '+<，即[]()0xf x '<，函数()xf x 单调递减．又1()1()()xf x g x f x x x +=+=，函数()1()xf x g x x+=的零点个数等价为函数()1y xf x =+的零点个数．当0x >时，()1y xf x =+＞1，当0x <时，()1y xf x =+＞1，所以函数()1y xf x =+无零点，所以函数1()()g x f x x=+的零点个数为0个．故选B ．二、填空题：（本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分．）11、510-12、46 13、③ 14、4 15、cos sin 20ρθρθ+-= 16、[3,2]-注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．11、解：由1tan 111sin 1tan()tan cos 3sin 421tan 123cos 3πθθθθθθθθ++=⇒=⇒=-⇒=-⇒=--⨯代入22sin cos 1θθ+=得21sin 10θ=，∵θ为第二象限角，∴sin 0θ>，∴sin θ=∴cos 3sin 10θθ=-=-，∴sin cos 10105θθ+=-=-12、解：根据频数分布直方图，可估计有4人成绩在[0,20)之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20,40)之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40,60)之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60,80)之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80,100)之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1 380，平均数＝1 38030＝46.13、解：①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“对2,0x R x x ∀∈-≤”，故①不正确．②因为p是q的必要不充分条件，所以集合{|1}x a x a -<≤⊂≠{|02}x x <<，所以10122a a a -≥⎧⇒≤<⎨<⎩．故②不正确．③∵函数()f x 为幂函数，∴211m m --=，解得1m =-或2m =，当1m =-时331()f x x x-==在0x =处没有定义，当2m =时3()f x x =在0x =处有定义，∴2m =，故命题③正确；④向量a 在向量b方向上的投影是cos ,5a b a a b b⋅<>===，故④错误.14、解：由切割线定理知219PA PD PB =⋅=⨯，∴3PA =由弦切角定理知60PAE ABC ∠=∠=︒，又已知PA PE =，∴PAE∆为等边Δ∴3PE AE PA ===，∴312ED PE PD =-=-=，936BE PB PE =-=-=由相交弦定理知6243BE ED AEEC BE ED EC AE⋅⨯⋅=⋅⇒=== 15、解：化曲线C 的参数方程x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为普通方程222x y +=，得圆心(0,0)C ，又切点为(1,1)A ，连结AC ，则AC 的斜率为10110AC k -==-，又切线l AC ⊥，所以切线l 的斜率为1-，∴切线l 的方程为1(1)y x -=--即20x y +-=，化成极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=．16、解：（用零点分区间法求解）当2x <-时125(1)(2)53x x x x x -++≤⇒--+≤⇒≥-，又2x <-，∴32x -≤<-当21x -≤≤时125(1)(2)535x x x x x R -++≤⇒-++≤⇒≤⇒∈，又21x -≤≤∴21x -≤≤当1x >时125(1)(2)52x x x x x -++≤⇒-++≤⇒≤，又1x >，∴12x <≤综上可得，不等式125x x -++≤的解集为{x |32x -≤<-或21x -≤≤或12x <≤}即{}32x x -≤≤．三、解答题：（共6小题，第17、18、19题各13分，第20、21、22题各12分，共75分） 17．解：（Ⅰ）因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2. 又∵f (x )的图像关于直线x ＝π3对称，∴2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.（Ⅱ）由（Ⅰ）得ƒ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin(2×α2－π6)＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3，得0＜α－π6＜π2所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－π6）＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 18、解：（Ⅰ）由m ∥n (cos )1sin sin cos a b C c B a c B b C ⇒-⨯=⨯⇒=+sin sin sin sin cos A C B B C ⇒=+sin[()]sin sin sin cos B C C B B C π⇒-+=+ sin()sin sin sin cos B C C B B C ⇒+=+sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B B C ⇒+=+cos sin sin sin B C C B ⇒=∵(0,)C π∈，∴sin 0C ≠，∴cos sin B B =即tan 1B =，又(0,)B π∈∴4B π=………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）由余弦定理得到：2222cos b a c ac B =+-，即222a c =+所以2222a c ac +=+≥即2ac ≤=+当且仅当a c =即a c ==时取“=”11sin (22442ABC S ac B ac ∆+==≤+=故ABC∆面积的最大值为．…………………………………………13分 19、解：（Ⅰ）根据茎叶图，从事礼宾接待的志愿者有12人，从事语言翻译的志愿者有18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是5112186=+．所以抽中的从事礼宾接待的志愿者有11226⨯=人，从事语言翻译的志愿者有11836⨯=人． 用事件A 表示“至少有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”，则它的对立事件A表示“没有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”． 则23257()1()110C P A P A C =-=-= ………………………………………………6分（Ⅱ）由题意：ξ的可能取值为0，1，2，3.则3831214(0)55C P C ξ===， 124831228(1)55C C P C ξ===M由()0102f x x x '>⎧⇒>⎨>⎩，由()01002f x x x '<⎧⇒<<⎨>⎩∴)(x f 在区间1(0,)2上递减，在区间1(,)2+∞上递增．∴当12x =时)(x f 取极小值)(x f 极小值1()22l n 22f ==-，)(x f 无极大值．（2）)(x f 的定义域为{0}x x >，2222212(2)1(1)(21)()2a a x a x a x x f x a x x x x-+--+-'=-+== 当0a >时，由21021100)(>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-<⇒⎩⎨⎧>>'x x x a x x x f 或 由210021100)(<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><<-⇒⎩⎨⎧><'x x x a x x f 当20a -<<时112a ->，由a x x a x x x f 121012100)(-<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<<⇒⎩⎨⎧>>' 由a x x x a x x x x f 1210012100)(-><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-><⇒⎩⎨⎧><'或或 当2a =-时，22(21)()0x f x x-'=-≤当2a <-时112a -<，由211021100)(<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧><<-⇒⎩⎨⎧>>'x a x x a x x f 由2110021100)(>-<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-<⇒⎩⎨⎧><'x a x x x a x x x f 或或 综上，当0a >时，)(x f 的增区间为1(,)2+∞，减区间为1(0,)2；当20a -<<时，)(x f 的增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)2和1(,)a-+∞； 当2a =-时，)(x f 的减区间为(0,)+∞；当2a <-时，)(x f 的增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)a -和1(,)2+∞． 22、解：（Ⅰ）由1,2,3n =分别代入递推式即可得2342,3,4a a a === …………3分（Ⅱ）方法一：因112,(1)2n n n n na S n a S +-=-=，两式相减得11(1)2()2n n n n n na n a S S a +---=-= 即1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++=所以32412312341231n n a a a a na a a a n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-，*(N )n a n n =∈ ……7分方法二：先猜想出*(N )n a n n =∈，再用数学归纳法证明．（Ⅲ）①由（Ⅱ）得2111121,02(1)n n n n n b b b b b b b n +-==+>>>⋅⋅⋅>>+，所以{}n b 是正项单调递增数列，当N n *∈时， 21122(1)(1)n n nn n n b b b b b b n n ++=+<+++ 所以112(1)n n n n b b b b n ++-<+，1211(1)n n n n b b b b n ++-<+即21111(1)n n b b n +-<+ ②由①得，当2n ≥时，2121112b b -<，2231113b b -<，…… ，21111n n b b n--< 所以22212231111111111()()()23n n b b b b b b n--+-+⋅⋅⋅+-<++⋅⋅⋅+ 即22211111123n b b n-<++⋅⋅⋅+ 所以1111112132(1)n b b n n -<++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-111111()()()12231n n =-+-+⋅⋅⋅+--11n =- 所以1111111211n n b b n n n+>+-=+-=>， 即1n b <(2)n ≥ 又当1n =，1112b =<． 故当N n *∈时，1n b < ………………………12分。
山东省聊城市斜店中学2019-2020学年高三数学理月考试题含解析
山东省聊城市斜店中学2019-2020学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，则（）A． B．C．D．参考答案：A2. 已知函数，则下列结论中正确的是(A) 函数的最小正周期为(B) 函数的图象关于点对称(C) 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象(D) 函数在区间上单调递增参考答案：C3. 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为A．B．C．D．参考答案：D略4. 函数的图象的大致形状是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．5. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：D6. 斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（1，）D．B解：∵斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，∴，∴=2．7. 已知向量若与平行，则实数的值是(***). A.1 B. C.2 D.参考答案：C8. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若△的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的面积为，则A. 2B.4 C.6 D. 8参考答案：B9. 把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=（）A. B. C.D.参考答案：A10. 已知函数若，则（）A．2 B．3 C．4 D．15参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，则的值为参考答案：1略12. 执行如图所示的伪代码,输出的结果是▲ .参考答案：答案：2513. 为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为．参考答案：120014. 正方体的外接球与内切球的表面积的比值为_______.参考答案：315. （2012?肇庆二模）（选做题）如图，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，∠ACD的平分线交AD于E，则∠CED=．参考答案：45°【考点】：弦切角；圆周角定理．【专题】：计算题．【分析】：连接BD，BD与EC相交于点F，因为CD为圆O的切线，由弦切角定理，则∠A=∠BDC，又CE平分∠ACD，则∠DCE=∠ACE．两式相加∠A+∠ACE=∠BDC+∠DCE．根据三角形外角定理∠DEF=∠DFE又∠ADB=90°，所以△ADF是等腰直角三角形，所以∠CED=∠DFE=45°．【解答】：解：连接BD，BD与EC相交于点F，因为CD为圆O的切线，由弦切角定理，则∠A=∠BDC．又CE平分∠ACD，则∠DCE=∠ACE．所以∠A+∠ACE=∠BDC+∠DCE．根据三角形外角定理，∠DEF=∠DFE，因为AB是圆O的直径，则∠ADB=90°，所以△EFD是等腰直角三角形，所以∠CED=∠DFE=45°．故答案为：45°【点评】：本题考查有关圆的角的计算．根据图形寻找角的关系，合理进行联系与转化是此类题目的关键．16. 设双曲线C：作x轴的垂线交双曲线C于M，N两点，其中M位于第二象限，B（0，b），若是锐角，则双曲线C的离心率的取值范围是__________.参考答案：因为是锐角，故与的数量积为正数。
【名师解析】湖南省长沙市重点中学2014届高三上学期第四次月考数学(理)试题 Word版含解析
湖南省长沙市重点中学 2014届高三上学期第四次月考试卷理科数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合1{|0,},A x x x R x=-=∈则满足{1,0,1}A B =-的集合B 个数是（ ） .2A .3B .4C .8D2.1a =是直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行的（ ）.A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 .C 充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若非零向量,,a b c 满足a //b ，且0b c ⋅=，则a b c +⋅=（）（ ） .4A .3B .2C .0D【答案】D【解析】试题分析：非零向量a //b ，若所以存在实数λ使得a b λ=.又 0b c ⋅=，所以()(1)0a b c b c λ+⋅=+⋅=. 考点：共线向量基本定理、向量的数量积4.已知函数：22(),()2,()log x f x x g x h x x ===，当(4,)a ∈+∞时，下列选项正确的是 ( )A.()()()f a g a h a >>B.()()()g a f a h a >>C.()()()g a h a f a >>D.()()()f a h a g a >>5.已知平面α外不共线的三点C B A ,,到αα的距离都相等,则正确的结论是( )A.平面ABC 必平行于αB.平面ABC 必与α相交C.平面ABC 必不垂直于αD.存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内6.已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点B A ,，则AB 等于（ ） A 3 B 4 C 23 D 24【答案】C【解析】试题分析：设00(,)A x y ，因为B A ,关于直线0=+y x 对称，所以00(,)B y x --.又B A ,在抛物线7.平面上动点),(y x A 满足135=+yx，)0,4(-B ，)0,4(C ,则一定有（ ）考点：直线的方程、椭圆的几何性质8.在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若1512m S S n n ≤-+对*n N ∈恒成立，则正整数m 的最小值为（ ）A 5B 4C 3D 2第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在极坐标系中，曲线2cos 4sin ρθθ=的焦点的极坐标 .【答案】(1,)2π【解析】 试题分析：由2c o s 4s i n ρθθ=得4sin cos 4tan cos θρθθθ==，转化为直角坐标方程为4y x x=，即24x y =为抛物线.易知其焦点直角坐标是（0,1），写成极坐标为(1,)2π.考点：极坐标与直角坐标的转化 10.已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点， ACB ∠的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D .则ADF ∠的度数= .11.若存在实数x 使a x x >-++1463成立，求常数a 的取值范围 .【答案】(,8)-∞【解析】试题分析：由柯西不等式，22221]1++≥，即24(214)64x x ≤⨯++-=8≤1=，即10x =时取等号.值为8.则若存在实数x 使a x x >-++1463成立，8a <，所以常数a 的取值范围为(,8)-∞. 考点：柯西不等式（二）必做题（12-16题）12.计算：xdx 20cos ⎰π= . 【答案】2π 【解析】 试题分析：由定积分的定义得20001cos 2sin 2cos ()224x x x xdx dx πππ+==+⎰⎰ sin 20sin(20)()[]24242πππ⨯=+-+=. 考点：定积分的计算13.已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是.14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有 种不同的排法.（用数字作答）【答案】168015.定义：θθθsin cos i e i +=，其中i 是虚数单位，R ∈θ，且实数指数幂的运算性质对θi e 都适应.若12sin 12cos 12cos 223303πππC C x -=，12sin 12sin 12cos 333213πππC C y -=，则=+yi x ．16.已知函数,1ln )(+-=mx x x f 其中R m ∈,)(183)(2x f x x x g ++-=. （1）若0)(≤x f 在)(x f 的定义域内恒成立，则实数m 的取值范围 ；（2）在（1）的条件下，当m 取最小值时，)(x g 在))(,[Z n e n∈+∞上有零点，则n 的最大值为 .【答案】(1) 1≥m ；（2）-2.【解析】三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求:（1）函数()f x 的最小值及取得最小值的自变量x 的集合；（2）函数()f x 的单调增区间.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，31===AA BC AB ,F E B A AC 、上分别有一点、线段1，且满足12,2FA BF EC AE ==.（1）求证：AB BC ⊥；（2）求点B A E 1到直线的距离；（3）求二面角C BE F --的平面角的余弦值.到(1,1,1),EF =-- 1(0,3,3).BA = 所以1BA EF ⊥,即点B A E 1到直线的距离3==EF d ；（3）分（2）由（1）知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分 别为x 轴、y 轴、z 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，B (0,0,0), A (0,3,0), C(3，0，0) , )3,3,0(1A有由F E B A AC 、上分别有一点、线段1，满足12,2FA BF EC AE ==， 所以E(1，2，0), F(0，1，1)(1,1,1),EF =-- 1(0,3,3).BA = 所以1BA EF ⊥,所以点B A E 1到直线的距离3==EF d . …………………………8分19.长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示.其中有43的社长是高中学生，41的社长是初中学生，高中社长中有31是高一学生，初中社长中有32是初二学生. （1）若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率；（2）若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ. 1190297)(33629193361181919=+=C C C C C C C A P ……………………………………………6分 （2）ξ的可能取值为0，1，2，3 33391(0)84C P C ξ===, 1263393(1)14C C P C ξ===, 21633915(2)28C C P C ξ===， 215)3(==ξP ， 所以ξ的分布列为所以0123284142821E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ……………………12分 考点：1.组合；2.随机事件的概率；3分布列与期望.20.2013年我国汽车拥有量已超过2亿（目前只有中国和美国超过2亿），为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号.某市采取对新车限 量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为1x （1x =100万辆），第n 年（2013年为第1年，2014年为第2 年，依次类推）年初的拥有量记为n x ，该年的增长量n y 和n x 与mx n -1的乘积成正比，比例系数为λ)10(<<λ其中m =200万.（1）证明：λ50≤n y ；（2）用n x 表示1+n x ；并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内.试题解析：（1）依题 )1(mx x y n n n -=λ …………………………2分 ∴ 只需证明50)1(≤-mx x n n ，即证0)100(2≥-n x . 上式显然成立，所以λ50≤n y . …………………………5分21.定义：对于两个双曲线1C ,2C ,若1C 的实轴是2C 的虚轴，1C 的虚轴是2C 的实轴，则称1C ,2C 为共轭双曲线.现给出双曲线x x y 1:1+=Γ和双曲线xx y 1:2-=Γ，其离心率分别为21,e e . （1）写出21,ΓΓ的渐近线方程（不用证明）；（2）试判断双曲线x x y 1:1+=Γ和双曲线x x y 1:2-=Γ是否为共轭双曲线？请加以证明. （3）求值：222111e e +. 【答案】（1）x y =、0=x ；（2）是；（3）1.【解析】（3） 由（2）易得242221212121+==c a e ，242221222222-==c a e ， 所以222111e e +=1 . -------------13分 考点：1.双曲线的几何性质；2.共轭双曲线的定义；3.离心率.22.设函数()0ln )(2>+=p x q x p x f ，若22=x 时，)(x f 有极小值()2ln 121-， （1）求实数q p ,的取值；（2）若数列{}n a 中，()n f a n =，求证：数列{}n a 的前n 项和4n S n ≥； （3）设函数)0(ln )(>++=a c bx x a x g ，若)(x g 有极值且极值为t ，则t 与ab ac 442-是否具有确定的大小关系？证明你的结论.（2）由条件和第（1）问可知，函数)(x f y =在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,22x 上单调递增， …5分1),(≥=n n f a n44111n na S a a n n =≥⇒=≥∴ ……………………………7分 （3）b xa x g +=)('，由)(x g 有极值且)(x g 的定义域为()+∞,0可知：。
安徽省六安第一中学2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题含答案
六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1iz +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅= C.()2211111113A A A D A B A B ++=D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.26.过点()3,4P -作圆22:25C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5B.2C.4D.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.488.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（A.332πB.33πC.572π D.57π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB⊥10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD + C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为22D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为6131312.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.15.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n nn n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o .（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，若存在，求BFBC的值；若不存在，请说明理由.22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,xf x e a xg x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1i z +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】求出12i z =-+即得解.【详解】解：因为131i iz+=-，所以()()()()13i 1i 13i 24i 12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+，所以12z i =--在复平面内对应的点为()1,2--，在第三象限.故选：C.2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，当αβ⊥时，m α⊂或m α ，不充分；当m α 时，αβ⊥，必要.故选：B.3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.【答案】D 【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=2OA O A =''=，2OB O B =''=；所以原图形的面积为2⨯=故选：D4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅=C.()2211111113A A A D A B A B ++= D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心【答案】A 【解析】【分析】由1160A C D ∠=︒得向量AC 与1C D夹角，判断A ，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，得各点坐标，用空间向量法判断BCD ．【详解】正方体中，11//AC AC （由1AA与1CC 平行且相等得平行四边形11ACC A ），11A C D 是正三角形，1160A C D ∠=︒，但AC 与1C D夹角等于11A C 与1C D 的夹角为120︒，A 错；以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AB =，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，1(1,1,1)B ，1(1,0,1)A ，1(0,1,1)C ，1(0,0,1)D ，1(1,1,1)AC =- ，1(0,1,1)A B =- ，110AC A B ⋅=，B 正确；111111(1,1,1)A A A D A B AC ++==-- ，221111111()33A A A D A B A B ++== ，C 正确；1111113(,,333A P A C =--= ，P 点坐标为212(,,)333(1,0,0)(1,1,1)(0,0,1)3++=，所以P 是11AB D 的重心，即中心，D 正确．故选：A ．5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为半圆y =位于直线(0)y kx k =>下方的区间长度为2，由此可得2,4a b ==，求出直线与半圆的交点坐标即可求得k 的值.【详解】解：如图所示：因为y =表示以坐标原点为圆心，4为半径位于x 轴上方(含和x 轴交点)的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以2k ==.故选：C.6.过点()3,4P -作圆22:C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5 B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】根据平行关系可假设():434al y x -=+，由直线与圆相切可知圆心到直线距离d 等于半径，由此可构造方程求得a ，利用平行直线间距离公式可求得结果.【详解】由40ax y -=得：4ay x =；//l m ，∴直线l 斜率4a k =，则():434al y x -=+，即:43160l ax y a -++=，l 与圆C 相切，∴圆心()0,0C 到直线l的距离5d ==，解得：3a =，则:34250l x y -+=，:340m x y -=，l ∴与m 之间的距离5d ==.故选：A.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.48【答案】B 【解析】【分析】首先根据线面角的定义得12PA DA PB BC ==，再在平面α内，建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，得出点P 的轨迹，从而确定点P 到平面ABCD距离的最大值，即可求解体积的最大值.【详解】DA l ⊥ ，αβ⊥，l αβ= ，AD β⊂AD α∴⊥，同理BC α⊥，DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角，DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒，DAP CPB ∴~ ，3162PA DA PB BC ===，在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，∴=，整理可得：()22516x y ++=，P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆,所以点P 到直线AB 距离的最大值是半径4，因为αβ⊥，l αβ= ，点P 到AB 距离就是点P 到平面ABCD 的距离即点P 到平面ABCD 距离的最大值是4，所以四棱锥P ABCD -体积的最大值()1114366436332ABCD V S =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=.故选：B8.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（）A.332πB.33πC.572π D.57π【答案】D 【解析】【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.【详解】图1设底边长为a ，原四棱锥的高为h ，如图1，1,O O 分别是上下底面的中心，连结1OO ，11O A ，OA ，根据边长关系，知该棱台的高为2h，则11112173224ABCD A B C D h a h V -==，由1AA =11AOO A为直角梯形，111124O A A B a ==，2222OA AB a ===h =，11112724ABCD A B C D a h V -==283=当且仅当22482a a =-，即4a =时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径111r A O ==r AO ==，设球的半径为R ，显然球心M 在1OO 所在的直线上.显然球心M 在1OO 所在的直线上.图2当棱台两底面在球心异侧时，即球心M 在线段1OO 上，如图2，设OM x =，则11O M x =-，01x <<，显然1MA MA R===，即=解得0x <，舍去.图3当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M 在线段1O O 的延长线上，如图3，设OM x =，则11O M x =+，显然1MC MA R ====解得52x =，572R ==，此时，外接球的表面积为225744572R πππ⎛=⨯= ⎝⎭.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据倾斜角的定义即可判断A ；由题意可得14PEF PBC S S =△△，点G 到平面PBC 的距离是点A 到平面PBC 的距离的23，再根据棱锥的体积公式计算即可判断B ；分直线l 过原点和不过原点两种情况讨论，即可判断C ；将,,AB AC BC uu u r uuu r uu u r 分别用,,OA OB OC表示，再根据数量积的运算律及空间向量的线性运算即可判断D.【详解】解：对于A ，若直线l 的斜率为l 的倾斜角为2π3，故A 错误；对于B ，因为E F 、分别为PB PC 、的中点，所以14PEF PBC S S =△△，设点A 到平面PBC 的距离为h ，点G 到平面PBC 的距离为h '，因为23PG PA = ，所以23'=h h ，则13P ABC A PBC PBC V V S h --==，11213436P GEF G PEF PBC P ABC V V S h V ---==⋅⋅= ，则56EFG ABC P ABC P EFG P ABC V V V V ----==-，所以:1:5P EFG EFG ABC V V --=，故B 正确；对于C ，当直线l 过原点时，直线方程为12y x =-，当直线l 不过原点时，设直线方程为1x y a a+=-，则有211a a-+=-，解得3a =，所以直线方程为133x y-=，即30x y --=，综上，所求直线方程为12y x =-或30x y --=；对于D ，在四面体O ABC -中，,,AB OB OA AC OC OA BC OC OB =-=-=-，因为,OA BC OB AC ⊥⊥，所以()()0,0OA BC OA OC OB OB AC OB OC OA ⋅=⋅-=⋅=⋅-=，即,OA OC OA OB OB OC OA OB ⋅=⋅⋅=⋅ ，所以OA OC OB OC ⋅=⋅ ，即()0OA OB OC -⋅= ，所以0BA OC ⋅=，所以AB OC ⊥，故D 正确.故选：BD .10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据PA ⊥底面ABC 得到PA BC ⊥，结合AB BC ⊥得到BC ⊥平面PAB ,则BC AE ⊥，AE PB ⊥ ，最后利用线面垂直的判定得到⊥AE 平面BCP ，则AE PC ⊥；对B ，取点E 位于点B 处即可判断，对C ，由BC ⊥平面PAB ，//EF BC 得到EF ⊥平面PAB ，则平面AEF ⊥平面PAB ，对D ，利用反证法，假设平面AEF ⊥平面PAB ，根据面面垂直的性质定理得到线面垂直，从而得到与基本事实相矛盾的结论，所以当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直.【详解】对A 选项，PA ⊥ 底面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,AB BC ⊥ ，PA AB A = ，且,PA AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ,AE ⊂ 平面PAB ，BC AE ∴⊥，AE PB ⊥ ，BC PB B = ，且,BC PB ⊂平面BCP ，AE ∴⊥平面BCP ，PC ⊂ 平面BCP ，AE PC ∴⊥，故A 正确，对B 选项，当AF PC ⊥时,无法得出AEF △一定为直角三角形，例如E 点取点,B ABF 不是直角三角形，若90AFB ∠= ，则BF AF ⊥，又AF PC ⊥ ，BF PC F ⋂=，,BF PC ⊂平面BCP ，则AF ⊥平面BCP ，BC ⊂ 平面BCP ，则AF BC ⊥，而PA BC ⊥，AF PA A = ，,AF PA ⊂平面ACP ，则BC ⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，则BC AC ⊥，显然不成立，故此时90AFB ∠≠ ，若90BAF ∠= ，则AF AB ⊥，AP AB ⊥ ，AF AP A ⋂=，,AF AP ⊂平面ACP,AB ∴⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，AB AC ∴⊥，显然不成立，故此时90BAF ∠≠ ，若90ABF ∠= ，则BF BA ⊥，而CB BA ⊥，,BF CB ⊂平面BCP ，BF CB B = ，所以BA ⊥平面BCP ，BP ⊂ 平面BCP ，BA BP ∴⊥，显然不成立，故90ABF ∠≠ ，故B 错误，对C 选项，由A 选项证得BC ⊥平面PAB ，//EF BC Q ，EF ∴⊥平面PAB ，EF ⊂ 平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAB ，故C 正确，对D 选项，在平面PAB 内，过点P 作AE 的垂线，垂足为G ，假设平面AEF ⊥平面PAB ， 平面AEF ⋂平面PAB AE =，PG AE ⊥，且PG ⊂平面PAB ，PG ∴⊥平面AEF ，而若此时PC ⊥平面AEF ，这与过平面外一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，故当PC ⊥平面AEF 时,平面AEF 与平面PAB 不可能垂直，故D 正确，故选：ACD.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD +C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为2D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为61313【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：由题意确定点P 的位置，利用转换顶点法求体积；对B ：由题意确定点P 的位置，借助于展开图分析求解；对C ：由题意确定点P 的位置，分析可得直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，即可求得结果；对D ：由题意确定点P 的位置，利用等积法求点到面的距离.【详解】对A ：取,AB CD 的中点,M N ，连接MN ，则MN AD ，∵11A D AD ，∴MN 11A D ，MN ⊄平面11ACD ，11A D ⊂平面11ACD ，∴MN 平面11ACD ，若12λ=，则点P 在线段MN 上，∴点P 到平面11ACD 的距离相等，过N 作1NF CD ⊥，垂足为F ，∵11A D ⊥平面11CDD C ，1,CD NF ⊂平面11CDD C ，∴11111,CD A D NF A D ⊥⊥1111CD A D D ⋂=，111,CD A D ⊂平面11ACD ，∴NF ⊥平面11ACD ，故三棱锥11P ACD -的高为2NF =，∴1111122122323A PCD P A CD V V --==⨯⨯⨯⨯（定值），A 正确；对B ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得3AM BNDM NC==，连接11,,MN A M B N ，则MN AB ，又∵AB 11A B ，∴MN 11A B ，则11,,,A B M N 四点共面，135,22BN B N ===若34μ=，则P MN ∈，故1B P ⊂平面11A B NM ，如图，将平面11A B NM 和平面CDMN 对接成一个平面时，则113B C B N NC =+=，∴11B P PD B D +≥=B 正确；对C ：若1λμ+=，则P BD ∈，1A P ⊂平面1A BD ，设1111,A D D E M A B B E N ==I I ，则平面1A BD ⋂平面11B D E MN =，即直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，∵1112A M A N MD BN ==，∴12233MN BD ==，故直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长为223，C 错误；对D ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得12AM BN DM NC ==，连接11,,MN MD NC ，则MN CD ，MN =CD ，∵11C D CD ，11C D =CD ，∴MN 11C D ，11MN C D =，则11MNC D 为平行四边形，又∵11C D ⊥平面11AA D D ，1MD ⊂平面11AA D D ∴111C D MD ⊥，则11MNC D 为矩形，若11,23λμ==，则点P 为MN 的中点，12133D M ==，设点1B 到平面11PC D 的距离为d ，由111111B PC D P B C D V V --=，即1111222232332d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得13d=，故点1B 到平面11PC D 的距离为61313，D 正确；故选：ABD.12.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)【答案】AB 【解析】【分析】根据特殊值可判断A 项；设t =t ⎡∈⎣，原方程即为2t x -+=，将t 当成变量，设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，原方程有解等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，即可利用数形结合解出．【详解】对于A 项：由已知可得，0x =≥，且当0x =时，解得0y =，符合题意，故A 项正确；当0x >时，令t =0t ≥，又0x y -≥，则t ≤，即t ⎡∈⎣，则原方程可化为2t x -+=．设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，整理得()20t f t x +-=，t ⎡∈⎣，则()f t 的图象是斜率为2-的直线的一部分；整理可得()222t g t x +=，t ⎡∈⎣，()g t 的四分之一圆.如图，作出函数()y f t =与()y g t =的图象，则问题等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，观察图形可知，当直线与圆相切时，直线()2f t t x =-+的截距最大，此时x 有最大值，由=得5x =，故B 项正确；当直线过点(时，x =，解得1x =或0x =（舍去）；当直线过点)时，x =4x =或0x =（舍去）．因此，要使直线与圆有公共点，则有[]1,5x ∈，综上，[]{}1,50x ∈ ，故x 的最大值为5，最小值为0．对于C 、D 项：综上并结合图象可知，当0x =或5x =或[)1,4x ∈时，y 有一解；当[)4,5x ∈时，y 有两解．故C 、D 项错误.故选：AB ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆229x y +=可得圆心()0,0O ，半径为3，直线120kx y k -+-=，即()210k x y --+=，直线过定点P (2,1)，又因为22219+<，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN 距离最大时，弦长MN 最小，此时OP MN ⊥，此时4MN ==，故答案为：4.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.【答案】1或1【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，求出MEN ∠的值，利用余弦定理可求得线段MN 的长.【详解】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，M 、E 分别为AB 、BC 的中点，//ME AC ∴且112ME AC ==，同理可得EN //BD 且112EN BD ==，MEN ∴∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，则60MEN ∠= 或120 .在MEN 中，1EM EN ==.若60MEN ∠= ，则MEN 为等边三角形，此时，1MN =；若120MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =综上所述，1MN =故答案为：115.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）【答案】3250x y --=【解析】【分析】根据题意可知，y x =是角A 的平分线，所以点B 关于角平分线的对称点B '在直线AC 上，即可求得边AC 所在的直线方程.【详解】由题意可知，直线y x =为三角形内角A 的平分线，所以，点B 关于角平分线y x =的对称点B '在直线AC 上，设(,)B a b '，即1111122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=⎪⎩，解得1,1a b ==-，所以(1,1)B '-此时直线BC '所在直线方程即为边AC 所在的直线方程，即212(3)31y x +-=--，整理得3250x y --=.故答案为：3250x y --=16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n n n n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.【答案】115-【解析】【分析】分别讨论*21,n m n m m =-=∈N 、，由累加法得2122m m a a ++、的通项，即可求20S .【详解】当*21,n m m =-∈N 时，()()()2212121212111321162m m m m m m a a a a m m -+-+--+-=-=-+=-，∴()()212121212331126121216121312m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++---=-+-++-+=+-+++-++=-+=++ ∴()()2221319312912910a a a +++=⨯++++++++ ；当*2,n m m =∈N 时，()()2122222221161m m m m m m a a a a m +++-+-=-+=+，即()22261m m a a m +-=-+，∴()()222222224222612116113412m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++-=-+-++-+=-+-+++-+-+=-+=--+ ∴()()22224203129412910a a a +++=-⨯+++-⨯++++ .故()22220131924203129(129)10S a a a a a a =+++++++=⨯++++++++ ()()2229(19)31294129103201152+-⨯+++-⨯++++=-⨯+=- 故答案为：115-四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o.（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】【分析】（1）根据圆柱侧面积公式可求得母线长AD ，利用余弦定理可求得AP ，根据等腰三角形三线合一性质可证得AG DP ⊥；由AP BP ⊥，BP AD ⊥可证得BP ⊥平面ADP ，由线面垂直性质可得BP AG ⊥；利用线面垂直的判定和性质可证得结论；（2）取OB 中点E ，根据等腰三角形三线合一和线面垂直性质可证得PE ⊥平面ABD ，由线面角定义可知所求角为PDE ∠，根据长度关系可得结果.【小问1详解】由圆柱侧面积可知：2π4πOA AD AD ⋅⋅=⋅=，解得：AD =2OA OP ==，120AOP ∠=o，AP ∴=，AD AP ∴=，又G 为DP 中点，AG DP ∴⊥；AB 是圆O 的直径，AP BP ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，BP ⊂平面ABP ，BP AD ∴⊥，又,AD AP ⊂平面ADP ，AD AP A = ，BP ∴⊥平面ADP ，AG ⊂ 平面ADP ，BP AG ∴⊥，又,BP DP ⊂平面BDP ，BP DP P = ，AG ∴⊥平面BDP ，BD ⊂Q 平面BDP ，AG BD ∴⊥.【小问2详解】取OB 中点E ，连接PE ，18060BOP AOP ∠=-∠= ，OB OP =，OBP ∴△为等边三角形，PE AB ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，PE ⊂平面ABP ，PE AD ⊥∴；AB AD A =Q I ，,AB AD ⊂平面ABD ，PE ∴⊥平面ABD ，PDE ∴∠即为直线PD 与平面ABD 所成角，DP =，PE ==，2sin4PE PDE DP ∴∠==，即直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值为4.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.【答案】（1）2π3（2）1AP =，BC =【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理将(2)sin cos m n ββ+=化简为sin sin 3παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再结合所给角的范围，即可求解.（2）利用余弦定理求出AP ，再结合AP PC ⊥150BPC ∠=︒，，利用余弦定理即可求出BC .【小问1详解】已知()2sin cos m n ββ+=，由正弦定理可得22sin sin sin cos αββββ+=，由sin 0β≠，31sin cos sin sin sin 223παββαβ⎛⎫∴=-⇒= ⎪⎝⎭，πππ,0,0,333αββ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，3παβ=-，233APB ππαβ+=⇒∠=.【小问2详解】在APB △中，由余弦定理得知：2222cos AB AP BP AP BP APB=+-⋅⋅∠即231+1AP AP AP =+⇒=又AP PC ⊥ ，且2AC AP PC =⇒=，又150BPC ∠=︒ ，在BPC △中，2222cos BC PB PC PB PC BPC =+-⋅⋅∠，2312BC BC =+⇒=19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1x =或34110x y +-=（2）存在，两个【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线l 的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；(2)假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，利用题干条件得到点P 也满足22(1)4x y +-=，根据两圆的位置关系即可得出结果.【小问1详解】圆22:40C x y x +-=可化为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0),2r =，若l 的斜率不存在时，1l x =：，此时||MN =.当l 的斜率存在时，设l 的斜率为k ，则令:2(1)l y k x -=-，因为||MN =1d ==314k =⇒=-，34110x y ∴+-=所以直线l 的方程为1x =或34110x y +-=.【小问2详解】假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222||||(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=，|22|22-<<+ ，22(2)4x y ∴-+=与22(1)4x y +-=相交，则点P 有两个.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．【答案】（1）证明见解析；()112n n a n -=+⋅（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用公式()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得到1122n n n a a --=+，可构造等差数列并求通项.(2)求出的通项，利用裂项相消求和证明不等式.【小问1详解】因为22n n n S a =-①，所以2n ≥时，11122n n n S a ---=-②，-①②得112222n n n n n a a a --=--+，即1122n n n a a --=+，2n ≥，所以111222n n n n a a ---=，2n ≥，在①式中，令1n =，得12a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项12为公差的等差数列．所以111(1)222n n a n n +=+-⋅=，所以()112n n a n -=+⋅．【小问2详解】）由121311(2)(1)2(1)2(2)2n n n n n b n n n n ---+==-++⋅+⋅+⋅，所以1230011211111(1()(3232424252n b b b b ++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 2111111(1)2(2)2(2)2n n n n n n ---⎡⎤+-=-⎢⎥+⋅+⋅+⋅⎣⎦．因为110(2)2n n ->+⋅，所以1231n b b b b ++++< ，得证．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于43，若存在，求BF BC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）线段以上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，理由见解析．【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证线面平行//DE 平面ABC ，，再由线面平行的性质定理得线线平行//DE l ，从而再得证线面平行；（2）选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，由勾股定理证明AG EG ⊥，然后证明AC ⊥平面BCD ，从而得面面垂直，由面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直DO ⊥平面ABC ，又有OH BC ⊥，然后以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；选②，先证明平面ABC ⊥平面BCD ，然后取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，证明DO ⊥平面ABC ，然后同选①，选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，结合勾股定理证明BD DE ⊥，然后证明证明DO ⊥平面ABC ，再然后同选①；（3）设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，然后由空间向量法求二面角的余弦，求解t ，有解说明存在，无解说明不存在．【小问1详解】//DE AC ，AC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，//DE ∴平面ABC ，又DE ⊂ 平面BDE 且平面BDE ⋂平面=ABC l ，//DE l∴又DE ⊂ 平面ACDE ，l ⊄平面ACDE ，//l ⇒平面ACDE .【小问2详解】若选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，//ED AC ，12CG AC ED ==，∴四边形EDCG 为平行四边形，EG CD ∴∥，EG ∴=112AG AC ==，2AE =，222AG EG AE ∴+=，AG EG ∴⊥，又//CD EG ，AC CD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.则以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0B，(E ，()2,2,0AB ∴=-，(1,BE =- ，DO ⊥ 平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量()0,0,1m = ；设平面ABE 的法向量()1111,,n x y z = ，则11111112200AB n x y BE n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，解得：11y =，10z =，()1=1,1,0∴ n ，10m n ∴⋅= ，即1m n ⊥ ，∴平面ABE ⊥与平面ABC .若选②，AC BD ^ ，AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，DC BD ==DO BC ∴⊥，又2BC =，DO ∴=,O H 分别为,BC AB 中点，12OH AC ∴∥，又12ED AC ∥，OH ED ∴∥，∴四边形DEHO为平行四边形，EH DO ∴==AC BC ⊥，2AC BC ==，AB ∴=，12EH AB ∴=，AE BE ∴⊥，EAB EBA ∠=∠ ，2∴==BE AE ，222BD DE BE ∴+=，BD DE ∴⊥，又//DE AC ，AC BD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，又DO BC ⊥，DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；【小问3详解】设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，由（2）得：(1,,EF t =-，(AE =- ，设平面AEF 的法向量()2222,,n x y z = ，则2222222200AE n x y EF n x ty ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令24y =，则())2221,1x t z t =+=-，())()221,1n t t ∴=+- ，∵面ABF 的法向量为(0,0,1)n = ，222cos ,43n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ，化简得2417290t t -+=，21744291750∆=-⨯⨯=-<，方程无实数解，所以线段BC 上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343．22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．【答案】（1）(1)1=-+y a x （2）（i）)b ∞∈+；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出(0)f '可求切线方程；（2）（i ）当0a =时，曲线()y f x =和()y g x =有公共点即为()2e ,0t s t bt t =-≥在[)0,+∞)b ∈+∞.（ii ）曲线()y f x =和()y g x =有公共点即00sin e 0x a x +=，利用点到直线的距离x ≥22e >e sin x x x +，从而可得不等式成立.【小问1详解】()e cos x f x a x '=-，故(0)1f a '=-，而(0)1f =，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为()()101y a x =--+即()11y a x =-+.【小问2详解】（i ）当0a =时，因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，故e x =设t =，故2x t =，故2e t bt =在[)0,+∞上有解，设()2e ,0t s t bt t =-≥，故()s t 在[)0,+∞上有零点，而()22e ,0t s t t b t '=->，若0b =，则()2e 0t s t =>恒成立，此时()s t 在[)0,+∞上无零点，若0b <，则()0s t '>在()0,+∞上恒成立，故()s t 在[)0,+∞上为增函数，而()010s =>，()()01s t s ≥=，故()s t 在[)0,+∞上无零点，故0b >，设()22e ,0t u t t b t =->，则()()2224e 0t u t t '=+>，故()u t 在()0,+∞上为增函数，而()00u b =-<，()()22e 10b u b b =->，故()u t 在()0,+∞上存在唯一零点0t ，且00t t <<时，()0u t <；0t t >时，()0u t >；故00t t <<时，()0s t '<；0t t >时，()0s t '>；所以()s t 在()00,t 上为减函数，在()0,t +∞上为增函数，故()()0min s t s t =，因为()s t 在[)0,+∞上有零点，故()00s t ≤，故200e 0t bt -≤，而2002e 0t t b -=，故220020e 2e 0t t t -≤即02t ≥，设()22e ,0t v t t t =>，则()()2224e 0t v t t '=+>，故()v t 在()0,+∞上为增函数，而2002e t b t =，故12b ≥=.（ii ）因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，所以e sin x a x -=有解0x ，其中00x ≥，若00x =，则100a b -⨯=⨯，该式不成立，故00x >.故00sin e 0x a x +=，考虑直线00sin e 0x a x +=，表示原点与直线00sin e 0x a x +=上的动点(),a b 之间的距离，x ≥0222200e sin x a b x x +≥+，下证：对任意0x >，总有sin x x <，证明：当2x π≥时，有sin 12x x π≤<≤，故sin x x <成立.当02x π<<时，即证sin x x <，设()sin p x x x =-，则()cos 10p x x '=-≤（不恒为零），故()sin p x x x =-在[)0,+∞上为减函数，故()()00p x p <=即sin x <成立.综上，sin x x <成立.下证：当0x >时，e 1x x >+恒成立，()e 1,0x q x x x =-->，则()e 10x q x '=->，故()q x 在()0,+∞上为增函数，故()()00q x q >=即e 1x x >+恒成立.下证：22e >e sin xx x+在()0,+∞上恒成立，即证：212e sin x x x ->+，即证：2211sin x x x -+≥+，即证：2sin x x ≥，而2sin sin x x x >≥，故2sin x x ≥成立.e x >，即22e a b +>成立.【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.。
重庆市南坪中学校2019届高三数学上学期月考试题 理
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……重庆市南坪中学校2019届高三数学上学期月考试题 理考试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}(){}|sin ,x R ,|lg A y y x B x y x ==∈==-，则AB =（ ）A ．(]0,1B ．[)1,0-C ．[]1,0-D ．(],1-∞ 2.已知复数z 满足i z i 3)31(=+，则=z （ ）A ．i 2323+ B ．i 2323- C ．i 4343+ D ．i 4343- 3.设命题2:,ln p x R x x ∀∈>，则p ⌝为（ ）A ．2000,ln x R x x ∃∈> B ．2,ln x R x x ∀∈≤ C ．2000,ln x R x x ∃∈≤ D ．2,ln x R x x ∀∈<4.已知平面向量 与 00 相互垂直， =（﹣1，1）||=1，则|+2|=（ ）A ．B ．C ．2D ．5.已知实数()ln ln ln ,ln ,2a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>（c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ） A ．37 B ．273 C ．73 D ．7737.执行如图所示的程序框图，若输入2,1==b a ，则输出的=x （ ）A ．25.1B ．375.1C ．4375.1D ．40625.18.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则把函数()f x 的图像向左平移6π后得到的函数图象的解析式是（ ）A ．2sin 2y x =B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10.已知数列{}n a 满足:)2112,11n a a +==+, 则12a =（ ）A ．101B ．122C ．145D ．17011.已知函数()()1,1010lg 2,10x x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，若()()282f m f m -<，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()4,1-C ．()2,4-D ．()(),42,-∞-+∞12.已知函数()21,g x m x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
辽宁省阜新二高2024届高三下学期期末考试(第四次月考)数学试题
辽宁省阜新二高2024届高三下学期期末考试（第四次月考）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]2．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ． 1D ．1-3．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．4383π+B ．2383π+C ．343π+D ．8343π+7．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S8．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b α=，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<9．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．211．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．212．若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．132-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市2024届高三数学上学期第四次月考理试题含解析
高中2021级高三第四学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.在复平面内，复数342i i++对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可．【详解】由题意得()()()5234522222i ii i i i i -+===-+++-，所以复数342i i++在复平面内对应的点为()2,1-，在第四象限．故选D ．【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若53a a ＝59，则95S S 等于（）A.1 B.－1C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】95S S ＝19159()25()2a a a a ++＝5395a a ＝1.故选：A.4.已知向量a，b不共线，向量3c a b =+，2d a kb =+，且c d ∥，则k =（）A.－3 B.3C.－6D.6【答案】D 【解析】【分析】设d c λ=，从而得到23a kb a b λλ+=+ ，得到方程，求出k 的值.【详解】设d c λ=，则()233a kb a b a b λλλ+=+=+ ，故2,36k λλ===．故选：D5.南山中学某学习小组有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则选出的3名同学中男女生均有的概率是（）A.45B.56C.67D.78【答案】B 【解析】【分析】首先计算出基本事件总数，依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学；②2名男同学，1名女同学，计算出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯；依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学，有1254C C 30=（种）；②2名男同学，1名女同学，215440C C =（种）；故概率为30405846P +==故选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，古典概型的概率问题，属于基础题.6.已知1sin cos 3αβ-=，1cos sin 2αβ+=，则()sin αβ-=（）A.572B.572- C.5972D.5972-【答案】C 【解析】【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】由题意得()2221sin cos sin cos 2sin cos 9αβαβαβ-=+-=，()2221cos sin cos sin 2cos sin 4αβαβαβ+=++=，两式相加得()1322sin cos cos sin 36αβαβ--=，得()59sin 72αβ-=，故选：C7.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,80,90,90,100,90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A.该省考生数学成绩的中位数为75分B.若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A 【解析】【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图知中位数在[70,80]上，设其为x ，则700.5(0.10.150.2)80700.3x --++=-，解得71.67x ≈，A 错；要全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为y ，则4010.96100.1y --=，44y =，B 正确；由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为10000.1100⨯=，C 正确；由频率分布直方图得平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，考试数学成绩的平均分约为70.5,D 正确．故选：A.8.在[2,3]-上随机取一个数k ，则事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为（）A.715B.815C.25D.35【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆有公共点，求出k 的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线3y kx =+，即30kx y -+=与圆22(2)9x y ++=有公共点，则圆心到直线距离3d =≤，故5≥解得43k ≥或43k ≤-，由几何概型的概率公式，得事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为()()44323373215P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--.故选：A.9.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且3x π=时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（）A.6πB.56π C.23π D.3π【答案】D 【解析】【分析】由周期求得ω，再由最小值求得ϕ函数解析式，然后由单调性可得a 的范围，从而得最大值．【详解】由题意22πωπ==，cos(2)13πϕ⨯+=-，22,Z 3k k πϕππ+=+∈，又2πϕ<，∴3πϕ=，()cos(2)3f x x π=+，[0,]x a ∈时，2[,2]333x a πππ+∈+，又()f x 在[0,]a 上单调递减，所以23a ππ+≤，3a π≤，即03a π<≤，a 的最大值是3π．故选：D ．10.点P 是以12,F F 为焦点的的椭圆上一点，过焦点作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A 【解析】【分析】P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F 延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且M 是2PF 的中点，由此可求得OM 的长度是定值，即可求点M 的轨迹的几何特征．【详解】解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F P 延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==，连接OM ，知OM 是三角形12F F Q 的中位线OM a ∴=，即点M 到原点的距离是定值，由此知点M 的轨迹是圆故选：A ．【点睛】本题在椭圆中求动点Q 的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．11.已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=A.13B.3C.23D.223【答案】D 【解析】【详解】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k-4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2,|FA|=2|FB|,∴2x B +4=x A +2.∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =283k -4+2=283k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4.解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.12.已知函数()22e1xf x ax bx =-+-，其中a 、b ∈R ，e 为自然对数的底数，若()10f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（）A.()22e3,e 1-+ B.()2e3,-+∞C.()2,2e2-∞+ D.()222e6,2e 2-+【答案】A 【解析】【分析】由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，作出函数函数22e x y =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()22e1xf x ax bx =-+-，则()21e 10f a b =-+-=，可得21e b a =+-，所以，()()222e 1e1xf x ax a x =-++--，则()222e21e xf x ax a '=-++-，由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，因为函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，所以，函数22e xy =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，作出22e xy =与()2221e 211e y ax a a x =--+=--+的函数图象，如图所示：若直线221e y ax a =--+经过点()21,2e，则2e1a =+，若直线221e y ax a =--+经过点()0,2，则2e 3a =-，结合图形可知，实数a 的取值范围是()22e 3,e 1-+.故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若一组数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为10，则另一组数据1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为______．【答案】40【解析】【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.【详解】由题意设123,,,,n x x x x ⋯的平均数为x ，则1221,21,,21n x x x --⋯-的平均数为21x -，由题意123,,,,n x x x x ⋯的方差为()()()222212110n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，从而1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为()()()222221121222222441040n s x x x x x x s n ⎡⎤=-+-++-==⨯=⎢⎥⎣⎦ .故答案为：40.14.若二项式2nx的展开式中第5项是常数项，则展开式中各项系数的和为__________.【答案】1【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令x 的指数为0，求出n 的值，令1x =，可得展开式中各项系数的和．【详解】解：2nx ⎫⎪⎭展开式的第5项为44452()n n T C x -=-二项式2nx ⎫-⎪⎭的展开式中第5项是常数项，∴4402n --=，12n ∴=∴二项式为122x ⎫-⎪⎭令1x =，可得展开式中各项系数的和()12121n T =-=故答案为：1．【点睛】本题考查展开式的特殊项，正确运用二项展开式是关键，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为___．【答案】45π【解析】【详解】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆，则半径就是圆心C 到原点的距离，所以圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．16.过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为_________．【答案】152【解析】【详解】试题分析：因为,,OF c OE a OE EF ==⊥，所以EF b =，因为1()2OE OF OP =+，所以E为PF 的中点，2PF b =，又因为O 为FF '的中点，所以//PF EO '，所以2PF a '=，因为抛物线的方程为24y cx =，所以抛物线的焦点坐标为(,0)c ，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过F 点作x 的垂线l ，过P 点作PD l ⊥，则l 为抛物线的准线，所以2PD PF a '==，所以点P 的横坐标为2a c -，设(,)P x y ,在Rt PDF ∆中，222PD DF PF +=，即22222244,44(2)4()a y b a c a c c b +=+-=-，解得12e =.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点P 的横坐标为2a c -，再根据在Rt PDF ∆中，得出22244(2)4()a c a c c b +-=-是解答的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）12n n a -=（2）212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，21n n S a =-，当1n =时，11121,1a a a =-=，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214n n n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）789111213销量y （kg ）120118112110108104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b =()121((ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑，a y bx =-$$．【答案】（1） 2.5137y x =-+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知表格中数据求得ˆa与ˆb ，则可求得线性回归方程；（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．【详解】解：（1）()1789111213106x =+++++=，()11201181121101081046y =+++++=112．ˆb =()121()()ni i i ni i x x y y x x ==---∑∑═70 2.528-=-，()112 2.510137ˆˆa y bx =-=--⨯=．∴y 关于x 的线性回归方程为 2.5137ˆyx =-+；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=0336120C C =，P （ξ=1）=123336920C C C ⋅=，P （ξ=2）=213336920C C C ⋅=，P （ξ=3）=3336120C C =．∴ξ的分布列为：ξ0123P120920920120期望为E （ξ）=199130123202020202⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求离散型随机变量ξ的分布列与均值的方法：（1）理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；（2）求ξ取每个值的概率；（3）写出ξ的分布列；（4）根据均值的定义求E（）ξ19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）)【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.（2）根据π2B A =+及cos sin A B =，结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，先求出角A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=，由正弦定理得，2222sin b c a bc B +-=，由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==，所以cos sin A B =，又cos sin()2A A π=-，所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<，0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，所以π2A B +=或π2B A =+，又π2C ≠，所以ππ2A B C +=-≠，所以π2B A =+，得证.【小问2详解】由（1）知π2B A =+，所以ππ22C A B A =--=-，又cos sin A B =，所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以π04A <<，所以2cos 12A <<，因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在2cos 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，所以22213131322cos 2132222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-<+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20.椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),A B -过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q．（1）当2CD =时，求直线l 的方程；（2）当P 点异于,A B 两点时，证明：OP OQ ⋅为定值．【答案】（1）1y =+；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线l 不与两坐标轴垂直，设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出k 的值，从而可得直线方程；（2）表示直线AC ，BD 的方程，联立方程组可得1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-而12222kx x k =--+代入化简可得Q x k =-，而1P x k =-，则可得P Q OP OQ x x ⋅= 的结果【详解】（1）由题意，椭圆的方程为2212y x +=易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，设()()1122,,,C x y D x y ，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222210k x kx ++-=，判别式()2Δ810.k =+>由韦达定理得12122221,22k x x x x k k +=-=-++，①故12322CD x x =-=，解得k =即直线l 的方程为1y =+．（2）证明：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，故其方程为()1111y y x x =++，直线BD 的斜率为221BD y k x =-，故其方程为()2211y y x x =--，由()()11221,11,1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩两式相除得()()()()()()2121121211111111y x kx x x x y x kx x ++++===--+-1221121211kx x kx x kx x kx x +++-+-即1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-由（1）知12222kx x k =--+，故()()()()()()222222222222122111222212111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k x k x x k x k k k ---+--++-++++===-+-⎛⎫----+-++ ⎪+++⎝⎭11k k -+解得Q x k =-．易得1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==-⋅-= ，所以OP OQ ⋅为定值121.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）对函数求导得到()()()3e xf x x ax '=--，再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果；（2）对函数求导得()()()3e xf x x ax '=--，令()e xg x ax =-，将问题转化为()e xg x ax =-在()0,3内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得a 的范围.【小问1详解】因为2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，所以()()()()()()()24e e 33e 33e x x x xf x x a x x x ax x x ax '=-+--=---=--，又因为0a ≤，0x >，则e 0x ax ->，所以，当()0,3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()3,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,)+∞上的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞．【小问2详解】由（1）知，当0a ≤，函数()f x 在()0,3上单调递减，此时()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意，所以0a >，设()e xg x ax =-，[0,)x ∈+∞，所以()e xg x a '=-，当01a <≤时，当()0,3x ∈时，()e 0xg x a '=->，所以()g x 在()0,3上单调递增，所以当()0,3x ∈时，()()010g x g >=>，所以当()0,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()0,3上单调递减，故()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意；当1a >时，令()0g x '<，解得0ln x a <<，令()0g x '>，解得ln x a >，所以函数()g x 在()0,ln a 上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以函数()g x 的最小值为()()ln 1ln g a a a =-，若函数()f x 在()0,3上存在两个极值点，则()()()00,ln 0,30,0ln 3,g g a g a ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，即()310,1ln 0,e 30,0ln 3,a a a a >⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪<<⎩解得3e e 3a <<．综上，a 的取值范围为3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），222cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线()π06θρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（异于极点），点()2,0P ，求PAB 的面积．【答案】（1）224x y -=；22(2)4x y -+=（2【解析】【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得1C 的普通方程，利用22cos sin 1θθ+=得到2C 的普通方程；（2）分别求得12,C C 的极坐标方程，联立射线，从而得到A ρ，B ρ，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则22212x t t=++，22212y t t =+-，两式相减，得1C 的普通方程为：224x y -=；曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），所以2C 的普通方程为：()2224x y -+=.【小问2详解】因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=ππ()42k θ≠+，即24cos 2ρθ=，联立2π64cos 2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得A ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于A π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，而2C 的普通方程()2224x y -+=，可化为224x y x +=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，联立π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得B ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线2C 交于B π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点()2,0P ，所以2OP =，则1π||()sin 26POA B PAB POB A S S OP S ρρ=-=⨯⨯-= ．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()(),h x x m g x x n =-=+，其中00m n >>，.（1）若函数()h x 的图像关于直线1x =对称，且()()23f x h x x =+-，求不等式()2f x >的解集.（2）若函数()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，求11m n+的最小值及相应的m 和n 的值.【答案】（1）()2,2,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭；（2）11m n+的最小值为2，相应的m n 1==【解析】【分析】()1先根据对称性求出1m =，对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；()2根据绝对值三角不等式即可求出2m n +=，可得()11111m n m n 2m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式即可求出.【详解】()1函数()h x 的图象关于直线x 1=对称，1m ∴=，()()f x h x 2x 3x 12x 3∴=+-=-+-，①当x 1≤时，()321432x x x x =-+-=->，解得2x 3<，②当31x 2<<时，()f x 32x x 12x 2=-+-=->，此时不等式无解，②当3x 2≥时，()f x 2x 3x 13x 42=-+-=->，解得x 2>，综上所述不等式()f x 2>的解集为()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ．()()()()()2x h x g x x m x n x m x n m n m n ϕ=+=-++≥--+=+=+ ，又()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，2m n ∴+=，()111111n m 1m n 222m n 2m n 2m n 2⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1m n ==时取等号，故11m n+的最小值为2，其相应的1m n ==．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；。
2024届邵阳市邵东一中高三数学上学期第四次月考卷附答案解析
2024届邵阳市邵东一中高三数学上学期第四次月考卷2023-12（考试时间：120分钟卷面满分：150分）一、选择题1．若复数z 满足()1i 1i z +=-，则z =（）A ．i -B ．iC ．22-+D ．22i 22-2．设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在正项等比数列{}n a 中，4128a a a =422141log log 2a a +=（）A ．12B ．13C ．14D ．164．已知tan α，tan β是方程240x ++=的两根，且ππ22α-<<，ππ22β-<<，则αβ+的值为（）A ．π3B ．2π3-C ．π3或2π3-D ．π3-或2π35．在同一坐标系内，函数ay x=()0a ≠和1y ax a =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．在梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，若点M 在线段BD 上，则AM CM⋅的最小值为（）A ．35B ．920-C ．35-D ．9207．已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +是偶函数，()1f x -是奇函数，则下列命题正确的个数是（）①()()16f x f x =-；②()110f =；③()()20220f f =-；④()()20213f f =-.A ．1B ．2C ．3D ．48．若0.40.6e a =，2ln 4b =-，e 2c =-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b >>C ．b c a>>D ．c b a>>二、多项选择题9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2ϕπ<）的最小正周期为2π．把函数()f x 的图象向左平移23π个单位长度得到的图象对应的函数为偶函数，则（）A ．6πϕ=B ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的图象的对称中心C ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 在[]0,π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10．（多选）已知椭圆()2221024x y b b +=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +的最大值为5，则（）A．椭圆的短轴长为B ．当22AF BF +最大时，22AF BF =C．离心率为3D ．AB的最小值为311．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，有下列判断，其中正确的是（）A ．平面1PB D ⊥平面1ACD B ．1//A P 平面1ACD C ．异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．三棱锥1D APC-的体积不变12．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1]x ∈，不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-≥恒成立”的充分不必要条件可以是（）A ．10a e-≤<B ．4312a ee ≤<C ．3211a e e ≤<D ．1a e e ≤<三、填空题13．圆柱的高为1，它的两个底面在直径为2的同一球面上，则该圆柱的体积为；14．已知22()22f x x x a a =++-，若对于任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为.15．将函数()cos f x x =的图象先向右平移34π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的()10ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是．16．已知m R ∈，函数231,1()log (1),1x x f x x x ⎧+<=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有4个零点，则实数m 的取值范围是.四、解答题17．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若24a ，32a ，4a 成等差数列，且4282S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()122nn n n a b a a +=++，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：11124n T ≤<.18．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，π2sin 6b c B a +⎛⎫+=⎪⎝⎭．(1)求角A 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，4c =，求ABC 面积的取值范围．19．已知三棱柱111ABC A B C -中，1114,2,90,AC AA BC ACB A B AC ︒===∠=⊥.(1)求证:平面11A ACC ⊥平面ABC .(2)若160A AC ︒∠=，在线段AC 上是否存在一点P 使平面1BA P 和平面11A ACC所成角的余弦值为若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由.20．天水市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311.优秀非优秀合计甲班10乙班30合计110（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．参考公式与临界值表：．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82821．如图，已知圆22:(1)4E x y +-=经过椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左右焦点12,F F ，与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线.（1）求椭圆C 的方程；（2）设与直线OA （O 为原点）平行的直线交椭圆C 于,M N 两点，当AMN ∆的面积取取最大值时，求直线l 的方程.22．已知函数2()(ln 1)2a f x x x x b =---，,a b R ∈.（1）当1b =-时，讨论函数()f x 的零点个数；（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a bc e+≤，求c 的最大值.1．D【分析】由复数的模及复数的除法运算可求.【详解】由1i -=()1i z +，则i)1i (1i)(1i)222z -====-++-.故选：D.2．B【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B ．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3．A【分析】由等比数列的性质求解【详解】由题得838241a a a α==8a =221482a a a ==，所以4144224241l 1log l g og og lo 2a a a a +=+()421441log log 22a a ===，故选：A4．B【分析】由韦达定理得tan tan tan tan 4αβαβ+=-= ，即tan 0,tan 0αβ<<，得π0αβ-<+<，再根据两角和的正切公式解决即可.【详解】由题知，tan α，tan β是方程240x ++=的两根，所以tan tan tan tan 4αβαβ+=-= ，即tan 0,tan 0αβ<<，因为ππ22α-<<，ππ22β-<<，所以π02α-<<，π02β-<<，所以π0αβ-<+<，因为tan tan tan()01tan tan 3αβαβαβ+-+==-- ，所以2π3αβ+=-，故选：B 5．C【分析】根据幂函数的图象与性质，分0a >和a<0讨论，利用单调性和截距，由排除法，即可得到答案.【详解】由题意，若0a >时，函数ay x =在(0,)+∞递增，此时1y ax a =-递增，若a<0时，函数ay x =在(0,)+∞递减，1y ax a =-递减，所以当0x >时，ay x=()0a ≠和1y ax a =-单调性相同，故排除选项A ，B ，选项D 中：由ay x =图象可知a<0，此时1y ax a =-与y 轴交点为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以交于y 轴正半轴，可排除D ，故选：C.6．B【分析】根据//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，建立空间直角坐标系，设,01BM BD λλ=≤≤ ，得到(22,)M λλ-，再求得,AM CM的坐标，利用数量积的坐标运算求解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，所以(2,0)(0,1)(1,1)B D C ，，，设,01BM BD λλ=≤≤所以(22,)M λλ-，所以(22,)AM λλ=- ，(12,1)CM λλ=-- ，所以()()()2279·2212157251020AM CM λλλλλλλ⎛⎫=--+-=-+=--⎪⎝⎭ ，当7=10λ时，·AM CM 的最小值为920-，故选：B.7．D【分析】由()21f x +是偶函数，可得()()2121f x f x +=-+，令21t x =+，从而可得()()2f x f x =-，则有函数()f x 关于直线1x =对称，再根据()1f x -是奇函数，可得()10f -=，且()f x 关于()1,0-对称，从而可得()()8f x f x =+，即可得出函数的周期性，再根据函数的周期性和对称性逐一分析，即可得出答案.【详解】解：因为()21f x +是偶函数，所以()()2121f x f x +=-+，令21t x =+，则21x t =-，故212x t -+=-，所以()()2f t f t =-，即()()2f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为()1f x -是奇函数，所以()10f -=，且函数()1f x -关于()0,0对称，又因函数()1f x -是由函数()f x 向右平移1个单位得到，所以()f x 关于()1,0-对称，所以()()11f x f x --=--，所以()()2f x f x =---，所以()()22f x f x -=---，则()()()48f x f x f x =--=-，即()()8f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为8，故有()()()()2816f x f x f x =+-⨯=-，故①正确；由函数()f x 关于直线1x =对称，()10f -=，所以()()310f f =-=，所以()()1130f f ==，故②正确；因为()()()2022825322f f f =⨯-=-，因为()f x 关于()1,0-对称，所以()()20f f -=-，所以()()20220f f =-，故③正确；又()()()2021825333f f f =⨯-=-，故④正确，所以正确的个数为4个.故选：D.8．B【分析】通过构造函数，分别比较a 和b ，b 和c 与a 和c 的大小，即可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.40.6e a =，2ln 4b =-，e 2c =-对于a 和b ，∵()0.40.40.40.6e e 1ln e a ==-，()2ln 421ln 2b =-=-，∴可以构造函数()()1ln f x x x =-，则()0.4e a f =，(2)b f =.对()f x 求导，得()ln f x x '=-，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，∴()f x 在()1,+∞上单调递减.∵00.40.51e e e 2=<<<，∴()0.4e (2)f f >，即a b >；对于b 和c ，∵4ln 4e 42ln 2e b c -=--=--.∴可以构造函数()2ln e g x x x x =--，则()1ln g x x '=-，当()0,e x ∈时，()0g x '>；当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，∴()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，∴()()max e 0g x g ==，∴()20g <，∴0b c -<，即c b >；对于a 和c ，∵()0.410.4e e 2a c -=--+，∴可以构造函数()()1e e 2x h x x =--+，则()e xh x x '=-，当()0,1x ∈时，()0h x '<，∴()h x 在()0,1上单调递减.又∵()0.50.50.5e e 2h =-+，且0.5e1.6>，∴()0.50h >，∴()()0.40.50h h >>，∴0a c ->，即a c >.∴a c b >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键是变形、作差构造新函数，利用函数的单调性来比较大小.9．BCD【分析】由周期求得1ω=，利用平移后图象对应函数是偶函数求出ϕ，可判断选项A ；然后结合正弦函数的性质判断各选项．令6x π=，代入函数可判断选项B ；求出,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦可判断选项C ；整体代入法可判断选项D.【详解】∵函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为22ππω=，∴1ω=，()()sin f x x ϕ=+.把函数()f x 的图象向左平移23π个单位长度，得到函数2sin 3y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，由于得到的函数为偶函数，则2k 32ππϕπ+=+，Z k ∈，∴6πϕ=-，()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错误；令6x π=，求得()0f x =，可得,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的图象的对称中心，故B 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增，故C 正确；当[]0,x π∈，5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()f x 在[]0,π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确，故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的图象与性质．在求解三角函数的性质时，一般可以利用二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦公式，化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x h ωϕ=++形式，然后结合正弦函数的性质求解，把()sin()f x A x h ωϕ=++中的x ωϕ+视作sin y x =中的x 进行求解．10．ABD【分析】椭圆定义有224BF AF AB a++=，结合已知确定AB的最小值并确定此时AB 的位置，即可判断D 、B 的正误，此时设3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,2B c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭结合椭圆方程求短轴长，即可判断A 、C 的正误.【详解】由题意知2a =，所以2248BF AF AB a ++==．因为22AF BF +的最大值为5，所以AB的最小值为3，故D 正确．当且仅当AB x ⊥轴时，AB取得最小值，此时22AF BF =，故B 正确．由B 的分析，不妨令3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程，得221449c b +=．又22224c a b b =-=-，所以2249144b b -+=，得b =，所以椭圆的短轴长为A 正确．易得1c =，所以12c e a ==，故C 错误．故选：ABD.11．ABD【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理证得1DB ⊥平面1ACD ，从而利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B ，利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面11//BA C 平面1ACD ，从而得以判断；对于C ，利用线线平行将异面直线1A P 与1AD 所成角转化为1A P 与1BC 所成的角，从而在等边11BA C △中即可求得该角的范围，由此判断即可；对于D ，先利用线线平行得到点P 到面平面1AD C 的距离不变，再利用等体积法即可判断.【详解】对于A ，连接DB ，如图，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC⊥，因为在正方形ABCD 中DB AC ⊥，又DB 与1BB 为平面11DBB D 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面11DBB D ，因为1DB ⊂平面11DBB D ，所以1DB AC⊥，同理可得11DB AD ⊥，因为1AD 与AC 为平面1ACD 内两条相交直线，可得1DB ⊥平面1ACD ，又1DB ⊂平面1PB D，从而平面1PB D ⊥平面1ACD ，故A 正确；.对于B ，连接1A B，11A C ，如图，因为11//AA CC ，11AA CC =，所以四边形11AA C C是平行四边形，所以11//A C AC ，又11A C ⊄平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11//A C 平面1ACD ，同理1//BC 平面1ACD ，又11A C 、1BC 为平面11BA C 内两条相交直线，所以平面11//BA C 平面1ACD ，因为1A P ⊂平面11BA C ，所以1//A P 平面1ACD ，故B 正确；对于C ，因为11//AD BC ，所以1A P 与1AD 所成角即为1A P 与1BC 所成的角，因为1111A B BC A C ==，所以11BA C △为等边三角形，当P 与线段1BC的两端点重合时，1A P 与1AD 所成角取得最小值π3；当P 与线段1BC的中点重合时，1A P 与1AD 所成角取得最大值π2；所以1A P 与1AD 所成角的范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误；对于D ，由选项B 得1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，即点P 到面平面1AD C 的距离不变，不妨设为h ，则11113D APC P A C AD C D S hV V --==⋅ ，所以三棱锥1D APC-的体积不变，故D 正确．故选：ABD.【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握线面垂直与面面垂直的判定定理、线面平行与面面平行的判定定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化严密推理.12．CD【分析】根据奇函数性质判断()f x 在R 上的单增，将函数不等式恒成立转化为自变量大小恒成立，分离参数，构造新函数，研究新函数的最大值，从而求得参数取值范围，再根据充分不必要条件的定义判断选项即可.【详解】奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则在(0,)+∞上也单调递增，即()f x 是R 上的单增函数；222(2)(ln )0(2)(ln )(ln )x x f ae x f x x x f ae x f x x x f x x x ++-≥⇔+≥--=-，则22ln x ae x x x x +≥-，(0,1]x ∈，即22ln x x x x x a e --≥在(0,1]x ∈上恒成立；令22ln ()x x x x xg x e --=，则222(22ln 1)(2ln )43(1)ln ()x x xx x x e x x x x e x x x xg x e e -------+-+-'==(1)(3ln )x x x x e ---=，(0,1]x ∈记()ln 3h x x x =--，1()10h x x '=-≤恒成立，即()h x 单减，又3311()0h e e =>，(1)20h =-<，则必有0(0,1]x ∈，使000()ln 30h x x x =--=，故0(0,)x x ∈，()0h x >，0(,1]x x ∈，()0h x <，因此0(0,)x x ∈，()0g x '>，()g x 单增，0(,1]x x ∈，()0g x '<，()g x 单减，因此0020*******02ln (ln )2()()x x x x x x x x x x g x g x e e ----≤==，由0300000ln 30ln 3,x x x x x x e ---=⇒-==代入得00030003321()()x x x x x e g x g x e e e --≤===，故若使22ln x x x x x a e --≥在(0,1]x ∈上恒成立，则31()a g x e ≥=，根据充分不必要条件的定义可以判断C 、D 正确，A 、B 错误；故选：CD.【点睛】方法点睛：根据单调性把函数不等式转化为自变量大小比较，分离参数，借助导数研究函数最大值，从而求得参数取值范围.13．34π【分析】由题设，易知圆柱体轴截面的对角线长为2，进而求底面直径，再由圆柱体体积公式求体积即可.【详解】由题意知：圆柱体轴截面的对角线长为2，而其高为1，∴该圆柱的体积为23(124V ππ=⨯=.故答案为：34π14．(1,3)-【分析】题目转为为2222x x a a +>-，根据函数2()2g x x x =+的单调性计算最值得到223a a -<，解得答案.【详解】设2()2g x x x =+，()0f x >，即2222x x a a +>-.()0f x >在[1,)+∞上恒成立，只需2()2g x x x =+在[1,)+∞上的最小值大于22a a -即可.2()2g x x x =+在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)3g x g ==，故223a a -<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-.故答案为：(1,3)-.15．1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎝⎦⎣⎦【分析】根据三角函数的图象变换关系求出函数的解析式，结合函数的零点存在条件建立不等式进行求解即可．【详解】解：将函数()cos f x x =的图象先向右平移34π个单位长度，得到34cos y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变得到函数()g x 的图象．即3()c 4os g x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0g x =，得234x k πωππ-=+，得45x k πωπ=+，得15()4x k ππω=+，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则3222T πππ>-=，即2T π>，即22ππω>，则01ω<<，若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则153(242k ππππω<+<，Z k ∈即1153()242k ω<+<，当1k =-时，1113242ω<< ，得2423ω<<，即1162ω<<当0k =时，1153242ω<< ，得24235ω<<，即5562ω<<，综上若()g x 在3(,)22ππ上有零点，则1162ω<<或5562ω<<，则若没有零点，则106ω< 或1256ω，即1150,,626ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦故答案为：1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及函数零点的性质是解决本题的关键．16．{}5,107⎛⎫⎪⎝⎭【分析】画出函数()f x 的图像，对m 分成5550,0,0,,1,1777m m m m m m <=<<=<<=，14,4,4m m m <<=>等9种情况，研究[()]y f g x m =-零点个数，由此求得m 的取值范围.【详解】令()()22221122t g x x x m x m ==-+-=-+-，画出函数()f x 的图像如下图所示，由图可知，（1）当0m <或4m >时，存在唯一1t ，使()10f t m -=，而()1t g x =至多有两个根，不符合题意.（2）当0m =时，由()0f t =解得121,13t t =-=，由()1t g x =化简得22203x x --=，其判别式为正数，有两个不相等的实数根；由()2t g x =化简得2220x x --=，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.由于上述四个实数根互不相等，故0m =时，符合题意.（3）当4m =时，由()4f t =解得125,173t t =-=，由()1t g x =化简得226203x x -+=，其判别式为负数，没有实数根；由()2t g x =化简得22100x x --=，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.故当4m =时，不符合题意.（4）当04m <<时，由()f t m =，根据图像可知有三个解，不妨设12311,11,23t t t -<<--<<>.即()()()()()()()()21122223232313165313165log 1log 123f t t x m mf t t x m m f t t x m m ⎧⎡⎤=-+=--+-=⎣⎦⎪⎪=+=-+-=⎨⎪⎡⎤=-=-+-=⎪⎣⎦⎩即()()()22223175031550log 123x m x m x m m ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪⎡⎤-+-=⎪⎣⎦⎩①②③.i ）当507m <<时，750550230m m m -<⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，故①②③三个方程都分别有2个解，共有6个解，不符合题意.ii)当57m =时，750550230m m m -=⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，①有1个解，②③分别有2个解，共有5个解，不符合题意.iii ）当517m <<时，750550230m m m ->⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，①无解，②③分别有2个解，共有4个解，符合题意.iv ）当1m =时，750550230m m m ->⎧⎪-=⎨⎪-<⎩，①无解，②有1个解，③有两个解，共有3个解，不符合题意.v ）当14m <<时，()750550231,5m m m ⎧->⎪->⎨⎪-∈-⎩，①无解，②无解，③至多有2个解，不符合题意.综上所述，m 的取值范围是{}5,107⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查复合函数零点问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，难度较大，属于难题.17．(1)2,N n n a n *=∈(2)证明见解析【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列的通项公式；（2）求出nb ，然后运用裂项相消法求出n T 可得结论.【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由24a ，32a ，4a 成等差数列可得24344a a a +=，故244q q +=，解得2q =，由4282S a =-可得()4111216212a a -=--，解得12a =，故2n n a =，即数列{}n a 的通项公式为2,N n n a n *=∈.（2）由（1）可得()()()()1112112222222222n n n n n n n n n a b a a +++===-++++++，故1111111111114661010182222422n n n n T ++=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+++.当1n =时，1122n ++取得最大值16，当n →+∞时，11022n +→+1110226n +∴<≤+，故11124n T ≤<.18．(1)3π(2)(【分析】（11cos A A =+，进而求得解；（2）由题意ABC S = ，由正弦定理结合23A C π+=得2tan b C =+，根据ABC 为锐角三角形求得62C ππ<<，即可求得28b <<，即可得解.【详解】（1）由正弦定理得πsin sin 2sin 6sin B C B A +⎛⎫+=⎪⎝⎭即sin cos )sin sin A B B B C +=+又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B=+=+所以sin cos )sin sin cos cos sin A B B B A B A B +=++sin =sin +cos sin A B B A B又0B π<<，sin 0B ∴>，1cos A A=+cos 2sin 16A A A π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即1sin 62A π⎛⎫-=⎪⎝⎭又0A π<<，66A ππ∴-=，即3A π=（2）由题意得：1sin 2ABCS bc A == ，由正弦定理得：24sin sin 2sin 32sin sin sin tan C c B C C b C C C C π⎛⎫- ⎪+⎝⎭===+=，又ABC 为锐角三角形，∴2032C ππ<-<，02C π<<故62C ππ<<，∴tan 3C >，∴28b <<，∴<<从而ABC S <<△所以ABC 面积的取值范围是(19．(1)证明见解析；(2)在线段AC 上存在一点P ，且P 是靠近C 的四等分点.【分析】(1)连接1A C，根据给定条件证明1AC ⊥平面1A BC得1BC AC ⊥即可推理作答.(2)在平面11A ACC 内过C 作Cz AC ⊥，再以C 为原点，射线CA ，CB ，Cz 分别为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ACC 是平行四边形，而1AC AA =，则11A ACC 是菱形，连接1A C，如图，则有11A C AC ⊥，因11A B AC ⊥，111A B A C A ⋂=，11,A B A C ⊂平面1A BC，于是得1AC ⊥平面1A BC，而BC ⊂平面1A BC，则1AC BC⊥，由90ACB ︒∠=得AC BC ⊥，1AC AC A ⋂=，1,AC AC ⊂平面11A ACC ，从而得BC ⊥平面11A ACC ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面11A ACC ⊥平面ABC .（2）在平面11A ACC 内过C 作Cz AC ⊥，由(1)知平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，则Cz ⊥平面ABC ，以C 为原点，射线CA ，CB ，Cz 分别为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，因160A AC ︒∠=，14,2AC AA BC ===，则1(0,0,0),(4,0,0),(0,2,0),(2,0,C A B A ，假设在线段AC 上存在符合要求的点P ，设其坐标为(,0,0),(04)P λλ≤≤，则有1(2,2,(,2,0)BA BP λ=-=- ，设平面1BA P 的一个法向量(,,)n x y z =，则有122020n BA x y n BP x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令2x =得(2,n λ= ，而平面11A ACC 的一个法向量(0,1,0)m = ，依题意，|||cos ,|||||n m n m n m ⋅〈〉===，化简整理得：2340λλ+-=而04λ≤≤，解得1λ=，所以在线段AC 上存在一点P ，且P 是靠近C 的四等分点，使平面1BA P和平面11A ACC 所成角的余弦值为4.20．（1）优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110（2）按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”（3）736．【详解】试题分析：思路分析：此类问题（1）（2）直接套用公式，经过计算“卡方”，与数表对比，作出结论．（3）是典型的古典概型概率的计算问题，确定两个“事件”数，确定其比值．解：（1）4分优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110（2）根据列联表中的数据，得到K2≈7.487＜10.828．因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”（3）设“抽到9或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x ，y ）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36个．事件A 包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7个．所以P(A)=736，即抽到9号或10号的概率为736．考点：“卡方检验”，古典概型概率的计算．点评：中档题，独立性检验问题，主要是通过计算“卡方”，对比数表，得出结论．古典概型概率的计算中，常用“树图法”或“坐标法”确定事件数，以防重复或遗漏．21．(1)22196x y +=;(2)3y =±.【详解】试题分析：（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c ，再由条件得1F A为圆E 的直径，且14AF =，根据勾股定理求出22AF =，根据椭圆的定义和222a b c =+依次求出a,b 的值，代入椭圆方程即可；（2）由（1）求出A 的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA 的斜率，设直线l 的方程和,M N 的坐标，联立直线方程和椭圆方程消去y ，利用韦达定理和弦长公式求出MN，由点到直线的距离公式求出点A到直线l 的距离，代入三角形的面积公式求出AMNS ∆，化简后求最值即可.试题解析：(1)∵1F ，E ，A 三点共线，∴1F A 为圆E 的直径，且14AF =，∴212AF F F ⊥.由()22014x +-=，得x =，∴c =，∵222211216124AF AF F F =-=-=，∴22AF =，∴1226a AF AF =+=，3a =.∵222a b c =+，∴26b =，∴椭圆C 的方程为22196x y +=.(2)由（1）知，点A 的坐标为)2，∴直线OA的斜率为，故设直线l 的方程为y m +，将l 方程代入22196x y +=消去y 得：2263180x m ++-=，设()11,,M x y ()22,,N x y ∴12x x +=，212132x x m =-，2248724320m m ∆=-+>，∴m -<<又：21MN x =-=，∵点A 到直线l 的距离d =，∴12AMN S MN d m ∆=⋅==≤=，当且仅当22891429m=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，即3m=±时等号成立，此时直线l的方程为3y=±.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．22．（1）当20ae<<时，函数()f x有两个零点；当12ae=或2a≤时，即2ae=或0a≤时，函数()f x有一个零点；当12ae>即2ae>时，函数()f x无零点；（2）c的最大值为2.【分析】（1）整理得()2af x x x lnx⎛⎫=-⎪⎝⎭，故函数零点的个数取决于2ay x lnx=-的零点个数，等价转化为2ay=与lnxyx=的值域之间的关系，利用导数求解即可求得结果；（2）根据题意，()0f x'≥恒成立，据此求得,a b范围；再构造函数求得2a b+的最小值，即可求得c的最大值.【详解】（1）当1b=-时，()2af x x x lnx⎛⎫=-⎪⎝⎭，故()f x的零点个数，取决于2ay x lnx=-的零点个数.分离参数可得2a lnxx=，令()lnxh xx=，则()21lnxh xx-'=，令()0h x'>，解得()0,x e∈；令()0h x'<，解得(),x e∈+∞；故()h x在()0,e单调递增，在(),e+∞单调递减.故()()1maxh x h ee==，又()10h=，当1x>时，()0h x>恒成立.故当12ae=或2a≤，即0a≤或2ae=时，()f x有一个零点；当10,2ae⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即20ae<<时，()f x有两个零点；当12ae>，即2ae>时，()f x没有零点.（2）根据题意，()()0f xg x ax lnx b-'==+≥在0x>时恒成立.当0a =时，()g x lnx b =-+，显然不存在b 使得()0g x ≥恒成立；当0a <时，()g x 是单调减函数，且x 趋近于正无穷时，()g x 趋近于负无穷，不满足题意；当0a >时，()1ax g x x ='-，令()0g x '>，解得1x a >；令()0g x '<，解得10x a <<；故()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，要满足题意，只需110g lna b a ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭成立即可.综上所述，若()0g x ≥在0x >恒成立，则0a >且10lna b ++≥，即1b lna ≥--，则221,(0)a b a lna a +≥-->，令()21,(0)m a a lna a =-->，则()21a m a a ='-，令()0m a '>，解得12a >；令()0m a '<，解得102a <<，故()m a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.故()122m a m ln ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，即22a b ln +≥，则222a b ln e e +≥=.又2a b c e +≤，故()22a b min c e +≤=，故c 的最大值为2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，涉及利用导数研究恒成立问题，以及双变量问题，属综合困难题.。
安徽省六安第二中学2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题及答案
安徽省六安第二中学2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{1,1,2}A =-，{}02B x x =<≤，则A B =（ ） A ．{1,1,2}- B ．{1}C ．{2}D ．{}1,22．设复数z 满足11i 1i 2z =++，则z =（ ） A ．2BC ．12D ．523．若直线210x y -+=的倾斜角为θ，则sin 2cos 21θθ+的值为（ ）A ．2B ．43C ．32D ．44．若231,,,4a a 成等差数列；2341,,,,4b b b 成等比数列，则233a ab -等于（ ） A ．12B ．12-C ．12±D ．145．2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A 、B 、C 、P 满足P A ＝BC ＝5，PB AC =PC AB == ） A ．12πB ．8πC ．24πD ．28π6．化简()cos401︒︒的结果是（ ） A ．1BC ．2D ．127．高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义，利用“学科对总分上线贡献率”100%⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭双上线人数总分上线人数和“学科有效分上线命中率”100%⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭双上线人数单上线人数这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．安徽省某高中2023届高三参加10月份九师联盟联考，划定总分一本线为485分，数学一本线为104分，根据该校理科一本总体命中率、贡献率分析，下列说法正确的是（）理科一本总体命中率、贡献率分析A．语文学科有效分上线命中率为59.26%B．数学学科对总分上线贡献率为86.99% C．物理学科对总分上线贡献率最高D．生物学科有效分上线命中率最高8．定义在R上的奇函数()f x满足()0,x∈+∞时，都有不等式()()0f x xf x'->成立，若()32log2log3a f=，b=⎝⎭，21lnec f⎛=⎝⎭，则a，b，c的大小关系是（）A．a b c<<B．a c b<<C．b a c>>D．a b c>>二、多选题9．下列说法正确的是（）A．若函数()f x的定义域为[]0,2，则函数()2f x的定义域为[]0,4B．()11f xx=-图象关于点()1,0成中心对称C．2112xy-+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为12D．幂函数()()23433mf x m m x-=-+在()0,∞+上为减函数，则m的值为110．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x Aωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 2112g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减11．瑞士著名数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点()1,3B -，点()4,2C -，且其“欧拉线”与圆()222:3M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ） A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =-B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为C．若点(),x y 在圆M 上，则22x y +的最小值是11-D ．圆()()2218x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a 的取值范围是1⎡-+⎣12．棱长为1的正方体1111A B C D ABCD －中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱11A D 上一点，且111DQ D A λ=，[]0,1λ∈，N 为线段AQ 的中点，下列命题中正确的是（ ）A ．三棱锥A DMN -的体积与λ的取值无关B ．当12λ=时，点Q 到直线AC C ．当14λ=时，0AM QM ⋅=D ．当13λ=时，过,,A Q M三、填空题13．命题“2000,0x x x ∃∈+≤R ”的否定是____________． 14．设O 为ABC 的外接圆圆心，若2,33CA OA AB AB OA =+==，则BA 在BC 上投影向量的模为_________15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，若4b =，则ABC 的面积最大值为______．16．若1x =是函数()()43122022n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足121,3a a ==，设31n n b log a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231404640464046n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t ≥对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为__________．四、解答题17．已知圆M 过点(A ，()10B ,，()3,0C -． (1)求圆M的方程；(2)设直线l 经过点()0,2，且与圆M 相交于A ，B 两点，且AB = 18．已知数列{}n a 满足：132(2,),4n n a a n n N a *-=≥∈=,数列{}n b 的前n 项和22n S n n =-． (1)求数列{},{}n n a b 的通项公式;(2)设n n n c b a =⋅,求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．已知向量ππ23sin ,cos 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，向量ππsin ,2sin 44b x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且函数()f x a b =⋅．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足()1f A =．若3a =，BC 边上的中线长为3，求ABC 的面积S ．20．如图，在三棱锥A BCD -中，AB AD =，O 为BD 的中点，AO CD ⊥．(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积． 21．观察实际情景，提出并分析问题 （1）实际情境百年大计，教育为本．六安二中肇始于1923年创办的“海峰女子学校”，在近百年的追梦历程中，经历着沧桑、续写着辉煌．她是全省首批省级示范高中，也是一所规模宏大、条件先进、质量上乘、特色鲜明的现代化高级中学.2023年时值百年校庆，近百年来，海峰先贤的家国担当意识构成了六安二中厚重人文历史的基石，也是一直以来六安二中人坚守的信念． （2）提出问题六安二中校庆组委会宣传办公室需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务，社团成员提出如何制备氦气，才能使成本最低？ （3）分析问题校庆需要40L 氦气用于制作气球装饰校园，社团已有的设备每天最多可制备氦气8L ，按计划社团必须在30天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天L x 的速度制备氦气． （4）收集数据已知每制备1L 氦气所需的原料成本为1百元．若氦气日产量不足4L ，日均额外成本为21416W x =+（百元）；若氦气日产量大于等于4L ，日均额外成本为29173W x x=+-（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成． （5）建立模型根据分析问题和收集数据，写出总成本W （百元）关于日产量()L x 的关系式． （6）问题解决化学实验社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本．（7）问题拓展数学与我们日常生活密切相关，日常生活中的许多问题来源于数学思想的应用． 在上述模型的建立的过程中，我们在掌握一定的数学基础的前提下选择了不同的函数模型，利用求出对应的函数形式，否定了其它的函数模型，运用数学原理求解出行之有效的最优化方案．22．已知函数11()ln (0)f x a x x a a x ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，函数()g x 是定义在()0,∞+的可导函数，其导数为()g x '，满足()()0g x g x '<<-．(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 取值范围；(2)对任意正数()1212,x x x x <，试比较2112x x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与2221x x g x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小．参考答案：1．D【分析】利用交集运算即可.【详解】因为{1,1,2}A =-，{}02B x x =<≤，所以{}1,2A B = 故选：D 2．C【分析】根据复数的运算，化简复数可得12z =，即可得到结果. 【详解】因为11i 1i 2z =++()()1i 1i 1i 1i 2-=++-1i 11=i 222-+=， 所以12z =. 故选：C. 3．A【分析】首先得到直线的斜率，从而得到tan 2θ=， 再利用正弦余弦的二倍角公式将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为直线210x y -+=的斜率2k =， 设倾斜角为θ，所以tan 2k θ==， 由2sin 2sin cos cos 21cos 1122θθθθθ+-=+2sin cos 2co t s an θθθθ===，故选：A. 4．B【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，求出321a a -=，32b =，求出233a ab -. 【详解】由题意得：324113a a --==， 设2341,,,,4b b b 的公比为q ，则230b q =>，23144b =⨯=，解得：32b =， 2331122a ab --==-. 故选：B 5．D【分析】把四面体外接球问题扩展到长方体中，求出长方体外接球半径为R ，进而求出结果． 【详解】因为P A ＝BC ，PB AC =，PC AB =，所以可以把A ，B ，C ，P 四点放到长方体的四个顶点上，将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示：则该足球的表面积为四面体A -BCP 外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积， 设长方体棱长为a ，b ，c ，则有22220a b AB +==，22211a c AC +==，22225b c BC +==，设长方体外接球半径为R ，则有22222011252282R a b c ++=++==（），解得27R =， 所以外接球的表面积为：24π28πS R ==. 故选：D ． 6．A【分析】先利用“切化弦”思想，进行通分运算，根据辅助角公式结合二倍角公式化简即可得结果.【详解】()3sin10cos 4013tan10cos 401cos10⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭()cos 40cos103sin10cos10+=()cos 402sin 1030cos10⨯+=2cos 40sin 40sin 80=sin 801sin 80==. 故选：A. 7．B【分析】根据“学科有效分上线命中率”和“学科对总分上线贡献率”的公式计算、比较可得答案.【详解】根据题意可得：语文学科有效分上线命中率为451100%90.38%499⨯≈，故A 不正确；生物学科有效分上线命中率为603100%95.87%629⨯≈， 化学学科有效分上线命中率为574100%96.15%597⨯≈95.87%>，故D 不正确； 数学学科对总分上线贡献率为662100%86.99%761⨯≈，故B 正确； 物理学科对总分上线贡献率661100%86.86%761⨯≈86.99%<，故C 不正确. 故选：B 8．A【分析】根据()()0f x xf x '->构造函数()()f x g x x=，可得函数为减函数，又由()f x 为奇函数可知()g x 为偶函数，据此可比较,,a b c 大小.【详解】当,()0x ∈+∞时不等式()()0f x xf x '->成立，()()()20f x f x x f x x x ''⎛⎫-∴=< ⎪⎝⎭， ()()f x g x x∴=在(0,)+∞上是减函数． 则23222(log 3)log 2(log 3)(log 3)log 3f a f g ===，f b g =，21()112ln ()1e 22f c fg -⎛===- ⎝⎭-， 又函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()f x g x x∴=是定义在R 上的偶函数，则11()()22g g -=，21log 312>，()g x 在(0,)+∞上是减函数，21(log 3)()2g g g ∴<<，则a b c <<， 故选：A ． 9．BD【分析】根据函数的定义域、对称性、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，函数()f x 的定义域为[]0,2，所以对于函数()2f x ，有022,01x x ≤≤≤≤，即()2f x 的定义域是[]0,1，A 选项错误. B 选项，()()112211f x f x x x-===----，所以()11f x x =-图象关于点()1,0成中心对称，B 选项正确.C 选项，211x -+≤，所以211111222x -+⎛⎫⎛⎫≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为12，C 选项错误.D 选项，()()23433m f x m m x -=-+是幂函数，所以22331,320m m m m -+=-+=，解得1m =或2m =，当1m =时，()11x xf x -==，在()0,∞+上递减， 当2m =时，()2f x x =，在()0,∞+上递增，所以D 选项正确. 故选：BD 10．AD【分析】利用函数图像先把解析式求出来，然后逐项分析即可. 【详解】由图像可知函数()f x 的最大值为2，最小值为2-， 所以2A =，2πππ,π2362T T =-=⇒=， 又2π2T ωω=⇒=，又ππ()22cos(2)266f ϕ=⇒⨯+=， 所以ππ2π(Z)2π(Z)33k k k k ϕϕ+=∈⇒=-∈ 又π||2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得πππ()2cos 2++1=2cos 2+1436g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 错误．由ππππ2+π(Z)(Z)6262k x k k x k =+∈⇒=+∈，所以()g x 的图像关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误． 由π2π2+2ππ(Z)6k x k k ≤≤+∈即π5πππ(Z)1212k x k k -+≤≤+∈，所以选项D 正确 .故选：AD ． 11．ACD【分析】根据等腰三角形三线合一的性质确定“欧拉线”为BC 的垂直平分线即可判断A ，利用圆的性质求出圆心到直线的距离即可判断B ，由题意转化为求出圆心到原点的距离即可判断C ，根据两圆的位置关系，列出圆心距与半径和、差的不等关系即可判断D.【详解】对于A 选项，因为4AB AC ==，则ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，32114BC k +==---，线段BC 的中点为31,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以，ABC 的“欧拉线”方程为1322y x -=-，即1y x =-，A 对；对于B 选项，圆心()3,0M ，则r ==M 到直线30x y -+=的距离为d ==>所以，圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为d r +=B 错； 对于C 选项，记点(),P x y ，因为()220302-+>，则原点O 在圆M 外，所以，222P x y O +=的最小值为()(22311OM r -==-C 对；对于D 选项，圆()()2218x a y a --+-=的圆心为()1,F a a +，半径为R =R r FM r R -≤≤+11a -≤≤+D 对．故选：ACD 12．ABD【分析】根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对选项A ：由A DMN N ADM V V --=，因为N 到平面ABCD 的距离为定值12，且ADM △的面积为定值14，所以三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关，所以A 正确；对选项B ：当12λ=时，Q 是11A D 的中点，32AQ AC QC ===，592cos QAC +-∠=，所以QAC ∠为锐角，所以sin QAC ∠==, 所以点Q 到直线AC的距离是sin AQ QAC ⨯∠=，所以B 正确.对选项C ：当14λ=时，134A Q =，可得212AM =，2221192511616AQ AA AQ =+=+=， 取11,AD A D 的中点分别为,N E ，连接,EN EM ，则222EM MN EN =+， 在直角三角形MEQ 中，222222112112416QM EM EQ ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222221291616AM QM AQ +=+=>⎝⎭，所以0AM QM ⋅=不成立，所以C 不正确．对选项D ：当13λ=时，取11113D H D C =，连接HC ，则11//HQ A C ，又11//AC A C ，所以//HQ AC ，所以,,,,A M C H Q 共面，即过,,A Q M 三点的正方体的截面为ACHQ ，由3AQ CH ===，则ACHQ是等腰梯形，且1113QH AC ==，所以平面截正方体所得截面的周长为2l =D 正确；故选：ABD13．R x ∀∈，20x x +>【分析】根据命题的否定的定义，直接写出答案.【详解】命题“2000,0x x x ∃∈+≤R ”的否定是“R x ∀∈，20x x +>”故答案为：R x ∀∈，20x x +> 14．32##1.5【分析】根据向量的线性运算及三角形外接圆的性质，利用勾股定理及锐角三角函数，结合向量的投影向量及向量的模公式即可求解. 【详解】由2,CA OA AB =+得()12AO AB AC =+, 所以O 为BC 的中点，又因为O 为ABC 的外接圆圆心， 所以1OA OB OC ===,2BC =, 所以AB AC ⊥, 在Rt ABC △中，2222231AC BC AB ,cos AB B BC =所以BA 在BC 上的投影为3cos 2BA B ==, 所以BA 在BC 上投影向量为3324BC BC BC ⋅=, 所以BA 在BC 上投影向量的模为333324442BC BC ==⨯=.故答案为：32.15．【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得B ，利用余弦定理和基本不等式求得ac 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由题意得，2cos cos cos b B a C c A =+，由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin sin B B A C C A A C B =+=+=， 又()0,πB ∈，所以sin 0B >，则1cos 2B =，π3B =，因为4b =，所以22222162cos b a c ac B a c ac ac ==+-=+-≥， 当且仅当4a c ==时等号成立，所以11sin 1622ABCSac B =≤⨯=故答案为：16．2023【分析】由题可算得12(1)430n n n f a a a '++=--=，求得13nn a +=，31log n n b a n +==，根据()11404640461140461n n n b b n n n +⎛⎫==- +⎝+⎪⎭，计算得n S 的最小值为2023即可解决. 【详解】由题知，()()43122022n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N ，所以3212()43n n n f x a x a x a '++=--，因为1x =是函数()f x 的极值点，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=，即有2113()n n n n a a a a +++-=-，1{}n n a a +∴-是以21a a -=2为首项，3为公比的等比数列，∴1123n n n a a -+-=⋅，则累加得()2111132133323113nn n n a a -+--=+++=⨯=--，所以13nn a +=，31log n n b a n +∴==，则()11404640461140461n n n b b n n n +⎛⎫==- +⎝+⎪⎭， 所以1223114046404640461111114046()12231n n b b b b b b n n +++⋯+=-+-+⋯+-+1140461404612023111n ⎛⎫⎛⎫=-≥-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以n S 的最小值为2023，若不等式n S t ≥对n +∀∈N 恒成立，则只需()min n t S ≤即可， 所以2023t ≤，所以实数t 的最大值为2023． 故答案为：2023 17．(1)22(1)4x y ++= (2)0x =或324y x =+【分析】（1）利用向量0CA AB ⋅=，得CA AB ⊥，进而可求出圆心和半径，得到圆C 的方程； （2）由已知，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，列出相应方程，即可求出直线l 的斜率，进而得到直线l 的方程.【详解】（1）(4,0)BC =-，4BC =，(3,CA =，(1,AB =， 且0CA AB ⋅=，得CA AB ⊥，故BC 为直径，BC 的中点即为圆的圆心，半径为2r =，故圆心为()1,0M -，所以， 圆M 的方程为22(1)4x y ++=（2）设圆心到直线的距离为d ，则AB ===，解得1d =，对于直线l ，当直线l 的斜率不存在时，l 为0x =，满足AB =当直线l 的斜率存在时，设l 为2y kx =+，故1d =，解得34k =， 故此时l 为324y x =+； 综上，直线的方程为0x =或324y x =+ 18．(1)12,43n n n a b n -==-(2)(47)27nn n T =-⋅+【分析】(1)根据数列{}n a 的递推关系式判断数列类型求出通项公式,根据{}n b 的前n 项和,利用()12n n n b S S n -=-≥,求出数列{}n b 的通项公式即可,注意检验;(2)根据数列{}n c 通项公式的特殊性,利用错位相减法,求出其前n 项和即可. 【详解】（1）解:由题知12(2,),n n a a n n N *-=≥∈314,1a a =∴=,{}n a ∴是以2为公比的等比数列,12n n a -=,{}n b 的前n 项和22n S n n =-,2n ∴≥时,1n n n b S S -=-()()222211n n n n -=--+-43n =-当1n =时,111S b ==, 故43n b n =-,综上:12,43n n n a b n -==-;（2）由(1)知12,43n n n a b n -==-,()1432n n n n b a c n -∴=-⋅=⋅,1231n n n T c c c c c -∴=+++++()()01221125292472432n n n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅,①()()12312125292472432n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅,①①-①可得:()1231142424242432n n n T n -=--⋅-⋅-⋅--⋅+-⋅()()114212143212n n n -⋅-=--+-⋅-(47)27n n =-⋅+故(47)27nn n T =-⋅+.19．(1)πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【分析】（1）根据数量积的坐标运算可得()2sin 26πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，可得到函数()f x 的单调递增区间； （2）由已知可解出π3A =，根据中线的向量表示以及3a =，即可得到27||||2AB AC ⋅=，进而求出ABC 的面积S ．【详解】（1）因为()f x a b =⋅22sin cos 444πππx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin 2s22co ππx x ⎤⎥⎪⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎦2cos 2x x =+2sin 26πx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z 可得，ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）由()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ132π666A <+<，所以π5π266A +=，所以π3A =.又3a =，则||||3BC AC AB =-=，则()22229AC ABAC AB AC AB -=+-⋅=.又BC 上的中线长为3，则||6AC AB +=，即有()222236AC AB AC AB AC AB +=++⋅=.所以，274AB AC ⋅=，即127cos 24AB AC A AB AC ⋅=⋅=， 所以27||||2AB AC ⋅=，所以，1sin 2ABCSAB AC A =⋅12722=⨯=. 20．(1)证明见解析【分析】（1）先证明OA ⊥平面BCD ，再由平面与平面垂直的判定定理证明平面ABD ⊥平面BCD ；（2）建立空间直角坐标系，计算平面EBC 和平面BCD 的法向量，根据二面角E BC D --的大小为45︒，求出OA 的长，计算三棱锥A BCD -的体积. 【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥， 又OA CD ⊥，CD BD D =，所以OA ⊥平面BCD ， 因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD .（2）以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，过O 且垂直OD 的直线为x 轴，建立如图空间直角坐标系，OCD 为边长为1的等边三角形，则1,0)2C ，(0,1,0)D ，(0,1,0)B -，设(0,0,)A m ，0m >， 因为2DE EA =，所以12(0,,)33E m ，所以42(0,,)33EB m =--，33(,0)22BC =，设(),,n x y z =为平面EBC 的一个法向量，则00EB n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即42033302y mz x y ⎧--=⎪⎪+=，令(3,,2)n m m =--， 又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA m ==解得1m =，所以1OA =，22BCD OCDSS===113A BCD V -=⨯=所以三棱锥A BCD -21．（5）21644041,43934018,48x x x W x xx ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩；（6）当社团每天制备2L 氦气时，总成本最少，最低成本为680百元．【分析】（5）若每天生产L x 氦气，则需生产40x 天，由4030x≤解出43x ≥，气日产量不足4L 与产量大于等于4L ，即可得到分段函数；（6）当443x <≤时，164x x +利用基本不等式即可求出当2x =时，W 取得最小值680，换元，令1t x =，即()2409318W t t =-+，11,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即可求出答案.【详解】(5)建立模型：若每天生产L x 氦气，则需生产40x 天，4030x∴≤，则43x ≥； 若氦气日产量不足4L ，则1L 氦气的平均成本为116141W x x x+=++百元； 若氦气日产量大于等于4L ，则1L 氦气的平均成本为2293118W x x x+=-+百元； ∴21644041,43934018,48x x x W x xx ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩．(6) 问题解决：当443x <≤时，16416x x +≥=（当且仅当2x =取等号）∴当2x =时，W 取得最小值()40161680⨯+=；当48x ≤≤时，11184x ≤≤，令1t x =，则11,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2409318W t t ∴=-+，则当16t =，即6x =时，W 取得最小值11401871042⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭；综上所述：当社团每天制备2L 氦气时，总成本最少，最低成本为680百元． 22．(1){}1(2)22121221x x x g x g x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据()f x 在()0,∞+上单调性得到不等式，转化为11a x a x+≤+恒成立，结合基本不等式求出12x x+≥，得到12a a +≤，求出实数a 的取值范围；（2）构造()e ()x G x g x =，求导后得到()G x 在()0,∞+上是减函数，令21122221xx g x I x x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎪⎝⎭，换元后得到2()()111t g t tg t I g g t t t ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由101t t <<<得到1()G t G t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，变形得到112ln 2e e t t t t t I t -+->=，()0,1t ∈，结合第一问得到12ln 0t t t -+>，12ln 0e e 1t t t +->=，从而证明出结论.【详解】（1）①()f x 在()0,∞+上单调递减，①0x ∀>，211()10a a f x x x +'=--≤， 即11a x a x +≤+恒成立，又12x x +≥=， 当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，故min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，①12a a +≤，①2(1)0a a-≤，又0a >，①()210a -≤， ①1a =，①a 的取值范围是{}1；（2）令()e ()x G x g x =，得[]()e ()e ()e ()()x x xG x g x g x g x g x '''=+=+，①()()g x g x '<-， ①()()0g x g x '+<， 又e 0x >，①()0G x '<，①()G x 在()0,∞+上是减函数．①2112x x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与2221x x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭均大于0，记21122221x x g x I x x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，答案第15页，共15页 令()120,1x t x =∈，则2()()111t g t tg t I g g t t t ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由101t t <<<，得1()G t G t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11e ()e t t g t g t ⎛⎫> ⎪⎝⎭， ①11()e e 1e tt t t g t g t ->=⎛⎫ ⎪⎝⎭， ①112ln 2e e t t t t t I t -+->=，()0,1t ∈，由（1）知当1a =时，1()2ln f x x x x =+-在(]0,1上单调递减， ①01t <<时，()(1)2ln1110f t f >=-+=，即12ln 0t t t-+>， ①12ln 0e e 1t t t +->=，从而有1I >， 即22121221x x x g x g x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】利用函数()f x 与导函数()f x '的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若()()0f x f x +'>，则构造()()e x g x f x =⋅，若()()0f x f x '->，则构造()()xf xg x =e ， 若()()0f x xf x '+>，则构造()()g x xf x =，若()()0f x xf x '->，则构造()()f x g x x=.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
宁夏长庆高中2019届高三第四次月考试卷
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，集合2{|230}B x x x =-->，则A B =（）
A ．(,1)
(3,)-∞-+∞B ．(1,2]-C ．(,2](3,)-∞+∞D ．[2,1)--
2．若0a b >>，0c d <<，则一定有（）
A ．
a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c
< 3.函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛
⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝
⎭且的图象可能为（）
4．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）
A ．6斤
B ．7斤
C ．8斤
D ．9斤
5.已知锐角,αβ
满足()3
cos 5
ααβ=
-=-，则sin β的值为（） A
．
5B
．5C
．25D
．25
6、已知实数，满足24
240x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩
，则32z x y =-的最小值是（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7、若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则使{}n a 的前项和最大的n 的值是（）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8、已知向量＝(3，－2)，＝(x ，y －1)且∥，若x ，y 均为正数，则3x ＋2
y
的最小值是()
A ．24
B ．8 C.83 D.5
3
9．关于函数()1
π2sin 2
6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（）
①函数()f x 的图像关于直线8π
3
x =
对称； ②将函数()f x 的图像向右平移π
3个单位所得图像的函数为1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；
③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1
πcos 2
33a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 10.已知函数
满足
，若函数
与
图像的交点为
，则∑
=-10
1
)i i i y x （=（）
A. 10
B. 20
C.
D.
11．已知函数()3223f x x ax bx c =+++的两个极值点分别在()1,0-与()0,1内，则2a b -的取值范围是（）
A ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
12．已知函数()e x
f x ax x =-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221
0f x f x x x -<恒成立，则实数的取值范围为（）
A ．(],e -∞
B ．(),e -∞
C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．e ,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
二、填空题（每空4分，共20分）
13、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则
1220ln ln ln a a a +++=.
14．在△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于.
15、已知数列}{n a 的前n 项和为，且满足2
1
1=a ，)2(021≥-n S S a n n n ＝＋．则=
16．已知ABC △的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则sin cos B B +的取值范围是_________．
三、解答题：
17、在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1，0)，｜＝1，且∠
AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．
（Ⅰ）若x ＝3
4π，设点D 为线段OA 上的动点，求｜+的最小值和最大值； （Ⅱ）若]2
,0[π
∈x ，向量＝，＝(1－cosx ，sinx －2cosx)，求⋅的最小值及对
应的x 值.
18、设数列{}n a 的前项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1
{}n
a 的前n 项和，求使得1|1|1000n T -<
成立的n 的最小值.
19．设等差数列{}n a 的公差为，点(,)n n a b 在函数()2x
f x =的图象上（*n N ∈）。
（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前项和； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在轴上的截距为1
2ln 2
-，求数列{
}n
n
a b 的前项和.
20、如图，，，三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设1t t =时乙到达地
.
（Ⅰ）求与()1f t 的值；
（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过？说明理由.
21．(本小题满分12分)设函数()()2
11ln .2
f x x a x a x =--- （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫
'> ⎪⎝⎭
22-2.选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,
:sin ,
x t C y t αα=⎧⎨
=⎩（t 为参数,且0t ≠）,其中0απ≤<,在以O
为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （I ）求与交点的直角坐标；
（II ）若与相交于点A ,与相交于点B ,求AB 最大值.
23.选修4－5：不等式选讲
已知关于的不等式x a b +<的解集为{|24}x x << （I ）求实数,a b 的值；
（II ）的最大值. .
宁夏长庆高中2019届高三第四次月考试卷。