[精品]2014-2015年江苏省淮安市涟水一中高一下学期期末数学试卷及解析答案word版

2014-2015学年江苏省淮安市涟水一中高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={﹣1，1，3}，B={x|x＜3}，则A∩B=．2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα的值为．3．（5分）方程22x﹣1=的解x=．4．（5分）某单位有青年职工、中年职工、老年职工共900人，其中青年职工450人，为迅速了解职工的家家听到状况，采用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为15人，则抽样的样本容量为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，当n是时运算结束．6．（5分）已知函数f（x）=（m•2x+2﹣x）cosx（x∈R）是奇函数，则实数m=．7．（5分）现有7根铁丝，长度（单位：cm）分别为2.01，2.2，2.4，2.5，2.7，3.0，3.5，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm的概率是．8．（5分）已知函数，则f（x）的最大值为．9．（5分）已知等比数列{a n}中，a6=2，公比q＞0，则log2a1+log2a2+…+log2a11=．10．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+3y的最大值是．11．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．12．（5分）如图，在△ABC中，若=2，=2，=λ（﹣），则实数λ=．13．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为．14．（5分）已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是．二.解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡相应位置上.15．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n+2﹣4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等差数列{b n}满足b7=a3，b15=a4，求数列{b n}的前n项和T n．16．（14分）在平面直角坐标系上，第二象限角α的终边与单位圆交于点A（﹣，y0）．（1）求2sin2α+sin2α的值；（2）若向量与夹角为60°，且||=2，求直线AB的斜率．17．（14分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．18．（16分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：；第二组：；（2）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．19．（16分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1），数列{b n}满足：对任意n∈N*有a i b i=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；（2）设C n=，数列{C n}的前n项和为T n，证明：当n≥6时，n|2﹣T n|＜1．2014-2015学年江苏省淮安市涟水一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={﹣1，1，3}，B={x|x＜3}，则A∩B={﹣1，1} ．【解答】解：∵A={﹣1，1，3}，B={x|x＜3}，∴A∩B={﹣1，1}，故答案为：{﹣1，1}2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα的值为．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为r=5，由任意角的三角函数的定义得cosα==．故答案为：．3．（5分）方程22x﹣1=的解x=﹣．【解答】解：22x﹣1==2﹣2，∴2x﹣1=﹣2，解得x=﹣，故答案为：﹣4．（5分）某单位有青年职工、中年职工、老年职工共900人，其中青年职工450人，为迅速了解职工的家家听到状况，采用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为15人，则抽样的样本容量为30．【解答】解：设样本容量为n，则，解得n=30，故答案为：30．5．（5分）如图是一个算法的流程图，当n是5时运算结束．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1S=3不满足条件S≥33，n=2，S=7不满足条件S≥33，n=3，S=15不满足条件S≥33，n=4，S=31不满足条件S≥33，n=5，S=63满足条件S≥33，退出循环，输出S的值为63，此时n=5．故答案为：5．6．（5分）已知函数f（x）=（m•2x+2﹣x）cosx（x∈R）是奇函数，则实数m=﹣1．【解答】解：f（x）是奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；∴（m•2﹣x+2x）cosx=﹣（m•2x+2﹣x）cosx；∴m•2﹣x+2x=﹣m•2x﹣2﹣x；∴m+1=﹣（m+1）•22x；∴m+1=0；∴m=﹣1．故答案为：﹣1．7．（5分）现有7根铁丝，长度（单位：cm）分别为2.01，2.2，2.4，2.5，2.7，3.0，3.5，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm的概率是．【解答】解：从2.01，2.2，2.4，2.5，2.7，3.0，3.5这7个数中，随机抽取2根铁丝，基本事件数是（2.01，2.2），（2.01，2.4），（2.01，2.5），（2.01，2.7），（2.01，3.0），（2.01，3.5）（2.2，2.4），（2.2，2.5），（2.2，2.7），（2.2，3.0），（2.2，3.5），（2.4，2.5），（2.4，2.7），（2.4，3.0），（2.4，3.5），（2.5，2.7），（2.5，3.0），（2.5，3.5），（2.7，3.0），（2.7，3.5），（3.0，3.5）共21种；其中它们长度恰好相差0.3cm的基本事件数是：（2.2，2.5），（2.4，2.7），（2.7，3.0）共3种；所求的概率是P==．故答案为：．8．（5分）已知函数，则f（x）的最大值为2．【解答】解：由题意可得，函数f（x）=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2cos （x﹣），故函数的最大值为2，故答案为：2．9．（5分）已知等比数列{a n}中，a6=2，公比q＞0，则log2a1+log2a2+…+log2a11= 11．【解答】解：由等比数列的性质得，a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a7=，∵a6=2，公比q＞0，∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…+a11）==11=11，故答案为：11．10．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+3y的最大值是13．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（2，3）．此时z的最大值为z=2×2+3×3=13，故答案为：13．11．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：函数f（x）==，得到图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知f（x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．12．（5分）如图，在△ABC中，若=2，=2，=λ（﹣），则实数λ=．【解答】解：∵=2，=2，∴=，=，，∵==，=λ（﹣）==，∴，故答案为：．13．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为2．【解答】解：∵a1，a3，a4成等比数列∴（a1+2d）2=a1•（a1+3d）∴a1=﹣4d=2故答案是214．（5分）已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是（0，）．【解答】解：由函数y=lg（﹣1）可得，﹣1＞0，解得0＜x＜1，即有A=（0，1），对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，即有﹣m2﹣2m＞﹣，整理可得m2+2m＜+在（0，1）恒成立，由+=（+）（1﹣x+x）=+2++≥+2=．即有m2+2m＜，由于m＞0，解得0＜m＜，故答案为：（0，）．二.解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡相应位置上.15．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n+2﹣4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等差数列{b n}满足b7=a3，b15=a4，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（1）因为数列{a n}的前N项和S n=2n+2﹣4．所以a1=S1=23﹣4=4当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n+2﹣4）﹣（2n+1﹣4）=2n+1，因为n=1时也适合，所以a n=2n+1（n∈N*）；（2）设等差数列{b n}的首项为b1，公差为d，因为b7=a3，b15=a4，a n=2n+1所以，解得，所以数列{b n}前n项和T n=nb1d=n2+3n．16．（14分）在平面直角坐标系上，第二象限角α的终边与单位圆交于点A（﹣，y0）．（1）求2sin2α+sin2α的值；（2）若向量与夹角为60°，且||=2，求直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可得+=1，y0＞0，求得y0=，∴cosα=﹣，sinα=，故2sin2α+sin2α=2sin2α+2sinαcosα=2×+2××（﹣）=．（2）∵向量与夹角为60°，且||=1，||=2，∴=1×2×cos60°=1．设B（x，y），则由题意可得x2+y2=4，且﹣x+y=1．求得x=，y=；或x=，y=，即B（，），或B（，）．再根据A（﹣，），根据斜率公式求得AB的斜率为=，或=，故直线AB的斜率为．17．（14分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3，（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=，（3）因为甲的平均数为：=（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，=[（64﹣75）2+（65﹣75）2+2×（71﹣75）2+2×（76﹣75）所以甲的方差S2甲2+（77﹣75）2+（80﹣75）2+（82﹣75）2+（88﹣75）2]=50.2，=[（56﹣75）2+2×（68﹣75）2+（70﹣75）2+（72﹣75）2+又乙的方差S2乙（73﹣75）2+（80﹣75）2+（86﹣75）2+（88﹣75）2+（89﹣75）2]=100.8，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．18．（16分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：；第二组：；（2）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）①设，即，取，所以h（x）是f 1（x），f2（x）的生成函数．②设a（x2﹣x）+b（x2+x+1）=x2﹣x+1，即（a+b）x2﹣（a﹣b）x+b=x2﹣x+1，则，该方程组无解．所以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．（2）因为，所以，不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，等价于在[2，4]上有解，令s=log2x，则s∈[1，2]，由，知y取得最小值﹣5，所以t＜﹣5．19．（16分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【解答】解：（1）由题意，△ACE中，AC=4，∠A=，CE=，∴13=16+AE2﹣2×，∴AE=1或3；（2）由题意，∠ACE=α∈[0，]，∠AFC=π﹣∠A﹣∠ACF=﹣α．在△ACF中，由正弦定理得，∴CF=；在△ACE中，由正弦定理得，∴CE=，该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，S△CEF==，∵α∈[0，]，∴0≤sin（2α+）≤1，取最大值为4，该空地产生最大经济价值．∴α=时，S△CEF20．（16分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1），数列{b n}满足：对任意n∈N*有a i b i=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；（2）设C n=，数列{C n}的前n项和为T n，证明：当n≥6时，n|2﹣T n|＜1．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2（a n﹣1），当n=1时，a1=S1=2（a1﹣1），解得a1=2，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1），化简可得a n=2a n﹣1，由等比数列的通项公式，可得a n=2n，数列{b n}满足：对任意n∈N*有a i b i=（n﹣1）•2n+1+2．即有a i b i=n•2n+2+2，b n+1=n•2n+2+2﹣（n﹣1）•2n+1﹣2两式相减，可得a n+1=（n+1）2n+1，=2n+1，可得b n+1=n+1，由a n+1即有b n=n，当n=1时，a1b1=2，可得b1=1，故有a n=2n，b n=n；（2）C n==，则T n=+++…+，T n=+++…+，两式相减，可得T n=++…+﹣=﹣，解得T n=2﹣，当n≥6时，n|2﹣T n|＜1，即为＜1，即证2n＞n（n+2）．运用数学归纳法证明．当n=6时，26=64，6×8=48，则64＞48，成立．当n=7时，27=128，7×9=63，则128＞63，成立．假设n=k（k≥7）时，2k＞k（k+2）．当n=k+1时，2k+1＞2k（k+2）．由2k（k+2）﹣（k+1）（k+3）=k2﹣3＞0，即有2k（k+2）＞（k+1）（k+3），则当n=k+1时，2k+1＞（k+1）（k+3）．综上可得，当n≥6时，2n＞n（n+2）．即有n|2﹣T n|＜1．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。