数字信号处理参考试题

第三章 离散傅里叶变换1. 如图P3-1所示，序列)(n x 是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。

图 P3-1解：由 nk jn n nk en x Wn x k X 625~56~~)()()(π-==∑∑==k jk jk jk jk jeeeee562462362262621068101214πππππ-----+++++=计算求得 60)0(~=X , 339)1(~j X -=, 33)2(~j X += 0)3(~=X , 33)4(~j X -=, 339)5(~j X +=2. 设)()(4n R n x =， 6~))(()(n x n x =，试求)(~k X ，并作图表示)(~n x ，)(~k X 。

解： 由k j k jk j nk jn n nk e eeen x Wn x k X ππππ----==+++===∑∑3236250~56~~1)()()(计算求得 4)0(~=X , 3)1(~j X -=, 1)2(~=X 0)3(~=X , 1)4(~=X , 3)5(~j X =)(~n x ，|)(|~k X 如图P3-2所示。

图 P3-23. 设⎩⎨⎧≤≤+=n n n n x 其他,040,1)(，)2()(4-=n R n h 令6~))(()(n x n x =，6~))(()(n h n h =，试求)(~n x 与)(~n h 的周期卷积并作图。

解：在一个周期内的计算值∑-=*=mm n h m x n h n x n y )()()()()(~~~~~)(~n xN)(~m n h -1 2 3 4 5 0)(~n y0 0 1 1 1 1 0 14 1 0 0 1 1 1 1 12 2 1 0 0 1 1 1 10 31 1 0 0 1 1 8 4 1 1 1 0 0 1 6 51111104. 已知)(n x 如图P3-4(a)所示，为｛1，1，3，2｝，试画出5))((n x -，)())((66n R n x -，)())((33n R n x ，6))((n x -，)())3((55n R n x -，)())((77n R n x 等各序列。

解：各序列如图P3-4（b ）所示。

图P3-3图P3-4（a）图 P3-4（b ）5. 试求以下有限长序列的N 点DFT （闭合形式表达式）：(1))()cos()(0n R n a n x N ω=(2) )()(n R a n x N n=(3) N n n n n x <<-=000),()(δ (4) )()(n nR n x N =(5) )()(2n R n n x N =解：（1）因为)()cos()(0n R n a n x N ω=，所以)()(21)()cos()(10212000k R e e e a k R en a k X N N n nk N j nj n j N n N nk Nj⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==∑∑-=---=-πωωπω)(2110210200k R e e a N N n n k N j N n n k N j ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=∑∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ωπωπ)(111121000022k R e e e e a N k N j N j k N j N j ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+--ωπωωπω⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---)()()()(21000000000000221221221222221221221222ωπωπωπωωωωπωπωπωωωk N j k N j k N j N j N j N j k N j k N j k N j N j N j N j e e e e e e e e e e e e a ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--02210202210221sin 21sin 21sin 21sin 210000ωπωωπωωπωωπωk N e N e k N e N e a k N j N j k N j N j （2）因为)()(n R a n x N n=，所以∑-=----==12211)(N n k Nj N nk Njnaea ea k X ππ（3）因为N n n n n x <<-=000),()(δ，所以 k n NjN n nk NjN n nk Njeen n en x k X 0212012)()()(πππδ--=--=-∑∑=-==（4）因为)()(n nR n x N =，所以 ∑∑-=+-===1)1(1)()(,)()(N n N kn N kNN n N nk Nk R nW k X W k R nWk X)()(11)1()())1(()()]1)2(2(132[)()()1)((11)1(22)1(321)1(1k NR k R W W N k R W N k R N W N W W W N W W W k R nW nWW k X N Nk N k N N N n nkN N kN N kN k N k N N k N k N k N N N n kn N N n nk Nk N-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--=+--=-+-⋯++--+⋯+++=-=-∑∑∑-=---=+-=）（所以 )(1)(k R W Nk X N kN--=（5）由)()(2n R n n x N =，则∑-==12)()(N n N nk Nk R Wn k X根据第（4）小题的结论 )()(1n nR n x N =则 )(1)(1k R W NnW k X N kNN n nk N --==∑-= kNN n nkNN n nk Nk N N kN k N k N N k N k N k N N n kn N N n nk Nk NW NN N k X N N nW N N W n N N W N W W W N W W W W n Wn W k X ----=+--=+--=-+--=-+-+⋯++--+⋯+++=-=-∑∑∑∑-=-=---=+-=12)2()(2)2(2)2()12()1(])1(24[194)1)((1111122)1(232)1(2321)1(212）（）（所以 10,)1()2()(22-≤≤---=N k W N W N N k X k N kN 6. 如图P3-6(a)画出了几个周期序列)(~n x ，这些序列可以表示成傅里叶级数∑-==10)/2(~~)(1)(N k nkN j ek X Nn x π问：（1） 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的)(~k X 成为实数？（2） 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的)(~k X ）（除)0(~X 外）成为虚数？ （3） 哪些序列能做到)(~k X ＝0，k=±2，±4，±6，…图 P3-6（a ）解：（1）要使)(~k X 为实数，即要求 )()(~~*k X k X =根据DFT 的性质，)(~n x 应满足实部偶对称，虚部奇对称（以n=0为轴）。

又由图知，)(~n x 为实序列，虚部为零，故)(n x 应满足偶对称 )()(~~n x n x -=即)(~n x 是以n=0为对称轴的偶对称，可看出第二个序列满足这个条件。

如图P3-6(b)所示。

图 P3-6（b ）（2）要使)(~k X 为虚数，即要求 )()(~~*k X k X -=根据DFT 的性质，)(~n x 应满足实部奇对称，虚部偶对称（以n=0为轴）。

又已知)(~n x 为实序列，故 )()(~~n x n x --=即在一个周期内，)(~n x 在一圆周上是以n=0为对称轴的奇对称，所以这三个序列都不满足这个条件。

（3）由于是8点周期序列，对于第一个序列有()k j kk j k j n nk jeee ek X 443821~11111)(ππππ---=----=--==∑当。

时，0)(6,4,2~1=⋅⋅⋅±±±=k X k 对于第二个序列有k j kj n nk j eeek X 443241~11)(πππ--=---==∑当。

时，0)(6,4,2~1≠⋅⋅⋅±±±=k X k 对于第三个序列有)4()()(~1~1~3+-=n x n x n x根据序列移位性质可知()kj kkj kj eek X ek X k X 4~1~1~3111)1()()()(πππ------=-=当。

时，0)(6,4,2~3=⋅⋅⋅±±±=k X k综上所得，第一，第三个序列满足⋅⋅⋅±±==,4,2,0)(~k k X7. 在图P3-7(a)中画了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。

图 P3-7（a ）解： )())(()()(650621n R m n x m x n y m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑=结果如图P3-7(b)所示。

图 P3-7（b ）8. 图P3-8(a)表示一个5点序列)(n x 。

（1）试画出)(*)(n x n x ；（2）试画出)()(n ⑤x n x ； （4） 试画出)()(n ⑩x n x ；图 P3-8（a ）解：个小题的结果分别如图P3-8(b)，P3-8(c),，P3-8(d)所示。

图 P3-8（b ）图 P3-8（c ）图 P3-8（d ）9. 设有两个序列⎩⎨⎧≤≤=n n n x n x 其他,050),()( ⎩⎨⎧≤≤=n n n y n y 其他,0140),()( 各作15点的DFT ，然后将两个DFT 相乘，再求乘积的IDFT ，设所得结果为)(n f ，问)(n f 的哪些点（用序号n 表示）对应于)(*)(n y n x 应该得到的点。

解：序列)(n x 的点数为N 1=6，y(n)的点数为N 2=15，故)(*)(n y n x 的点数应为 20121=-+=N N N又)(n f 为)(n x 与)(n y 的15点的圆周卷积，即L=15。

所以，混叠点数为N-L=20-15=5。

即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列)(n f 时，一个周期内在n=0到n=4(=N-L-1) 这5点出发生混叠，即)(n f 中只有n=5到n=14的点对应于)(*)(n y n x 应该得到的点。