浙江省金华市东阳市2015届高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

浙江省金华市东阳市2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|y=ln（1﹣2x）}，B={x|x2≤x}，则∁A∪B（A∩B）=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣，1]C．（﹣∞，0）∪[，1]D．（﹣，0]2．（5分）已知l，m为两条不同的直线，α为一个平面．若l∥m，则“l∥α”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，﹣的图象关于直线x=对称，它的最小正周期为π，则（）A．f（x）的图象过点B．f（x）在上是减函数C．f（x）的一个对称中心是D．f（x）的一个对称中心是4．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=BB1，D是CC1中点，则CA1与BD所成角的大小是（）A．B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2015=（）A．22015﹣1 B．21009﹣3 C．3×21007﹣3 D．21008﹣36．（5分）若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（x）e x+1 B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1 C．y=f（x）e x﹣1 D．y=f（﹣x）e x+17．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是（）A．[﹣16，16]B．[﹣8，8]C．[﹣4，4]D．[﹣2，2]8．（5分）抛物线y2=2x的内接△ABC的三条边所在直线与抛物线x2=2y均相切，设A，B两点的纵坐标分别是a，b，则C点的纵坐标为（）A．a+b B．﹣a﹣b C．2a+2b D．﹣2a﹣2b二、填空题：本大题有7小题，9-12每题6分，13-15题每题4分，共36分．把答案填在答题卷的相应位置．9．（6分）若经过点P（﹣3，0）的直线l与圆M：x2+y2+4x﹣2y+3=0相切，则圆M的圆心坐标是；半径为；切线在y轴上的截距是．10．（6分）命题p：∂x0∈R，2x0≤0，命题q：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，其中真命题的是；命题p的否定是．11．（6分）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是；表面积是．12．（6分）设函数f（x）=，则f（f（4））=；若f（a）=﹣1，则a=．13．（4分）函数（x∈R）的最大值是．14．（4分）已知向量满足：|，|，|，则在上的投影的取值范围是．15．（4分）点P是双曲线上一点，F是右焦点，且△OPF为等腰直角三角形（O为坐标原点），则双曲线离心率的值是．三、解答题：本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，求△ABC的面积最大值．17．（15分）如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，△BEC为等边三角形，（1）若平面ABE⊥平面ADE，求CD长度；（2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．18．（15分）已知椭圆，离心率，且过点，（1）求椭圆方程；（2）Rt△ABC以A（0，b）为直角顶点，边AB，BC与椭圆交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．19．（15分）函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b（1）若时，求f（sinθ）的最大值；（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f （x）的表达式．20．（14分）各项为正的数列{a n}满足，，（1）取λ=a n+1，求证：数列是等比数列，并求其公比；（2）取λ=2时令，记数列{b n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项之积为T n，求证：对任意正整数n，2n+1T n+S n为定值．浙江省金华市东阳市2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|y=ln（1﹣2x）}，B={x|x2≤x}，则∁A∪B（A∩B）=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣，1]C．（﹣∞，0）∪[，1]D．（﹣，0]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：分别求出关于集合A、B中的x的范围，从而求出A∪B，A∩B，进而求出∁A∪B（A∩B）．解答：解：∵集合A={x|y=ln（1﹣2x）}，∴A={x|1﹣2x＞0}={x|x＜}，∵B={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，∴A∪B={x|x≤1}，A∩B={x|0≤x＜}，∴∁A∪B（A∩B）=（﹣∞，0）∪[，1]，故选：C．点评：本题考查了集合的交、并、补集的运算，是一道基础题．2．（5分）已知l，m为两条不同的直线，α为一个平面．若l∥m，则“l∥α”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：证明题．分析：本题由线面平行的判定定理可得，要想证明线面平行，必须注意定理的条件，强调面内外的线线平行才可以．解答：解：l，m为两条不同的直线，α为一个平面，l∥m，若l∥α，不一定推得m∥α，因为有可能m⊂α，故是不充分条件．同理，由m∥α，也不能推得l∥α，故也是不必要条件，综上可知，l∥m是l∥α既不充分也不必要条件．故答案选D．点评：本题借充要条件考查线面平行的判定，注意定理要满足的条件，属基础题．3．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，﹣的图象关于直线x=对称，它的最小正周期为π，则（）A．f（x）的图象过点B．f（x）在上是减函数C．f（x）的一个对称中心是D．f（x）的一个对称中心是考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据周期求出ω，根据函数图象关于直线x=对称求出φ，可得函数的解析式，根据函数的解析式判断各个选项是否正确．解答：解：由题意可得=π，∴ω=2，可得f（x）=Asin（2x+φ）．再由函数图象关于直线x=对称，故f（）=Asin（+φ）=±A，故可取φ=．故函数f（x）=Asin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z，故选项B不正确．由于A不确定，故选项A不正确．令2x+=kπ，k∈z，可得x=﹣，k∈z，故函数的对称中心为（﹣，0），k∈z，故选项C正确．选项D不正确．故选：C点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题4．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=BB1，D是CC1中点，则CA1与BD所成角的大小是（）A．B．C．D．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意，画出图形，通过作平行线得到所求角的平面角，利用余弦定理求大小．解答：解：如图过D作DE∥CA1交A1C1于E，则E是A1C1的中点，连接BE，则∠BDE 为CA1与BD所成角，设AB=2，则BD=，DE=，B1E=，BE=，在△BDE中，cos∠BDE==0，所以∠BDE=；故选：C．点评：本题考查了正三棱柱的性质以及异面直线所成的角的求法；关键是找到平面角，利用余弦定理求值．5．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2015=（）A．22015﹣1 B．21009﹣3 C．3×21007﹣3 D．21008﹣3考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得数列{a n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出前2015项的和．解答：解：∵a1=1，a n+1•a n=2n，∴a2=2，∴当n≥2时，a n•a n﹣1=2n﹣1，∴==2，∴数列{a n}中奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2015=+=21009﹣3，故选：B．点评：本题考查数列的前2015项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出数列{a n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．6．（5分）若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（x）e x+1 B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1 C．y=f（x）e x﹣1 D．y=f（﹣x）e x+1考点：函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由x0是y=f（x）﹣e x的一个零点知f（x0）﹣=0，再结合f（x）为奇函数知f（﹣x0）+=0，从而可得f（﹣x0）+1==0．解答：解：∵x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，∴f（x0）﹣=0，又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x0）=﹣f（x0），∴﹣f（﹣x0）﹣=0，即f（﹣x0）+=0，故f（﹣x0）+1==0；故﹣x0一定是y=f（x）e x+1的零点，故选：A．点评：本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题．7．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是（）A．[﹣16，16]B．[﹣8，8]C．[﹣4，4]D．[﹣2，2]考点：简单线性规划的应用；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出不等式表示的可行域，通过对a，b的符号讨论，然后求解ab的取值范围．解答：解：关于x，y的不等式|x|+|y|＜1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，﹣1），（﹣1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，当a＞0，b＞0时满足题意，可得，，可得0＜ab≤16，当a＞0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，0＜a≤8可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＞0时满足题意，可得，，可得：0＜b≤2，﹣8≤a＜0可得﹣16≤ab＜0，当a＜0，b＜0时满足题意，可得，，可得：﹣2≤b＜0，﹣8≤a＜0，∴0＜ab≤16，当ab=0时，不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解．故选：A．点评：本题考查线性规划的应用，考查分类讨论的应用，本题是选择题，可以利用特殊值方法判断求解．8．（5分）抛物线y2=2x的内接△ABC的三条边所在直线与抛物线x2=2y均相切，设A，B两点的纵坐标分别是a，b，则C点的纵坐标为（）A．a+b B．﹣a﹣b C．2a+2b D．﹣2a﹣2b考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意分别设出A（），B（），C（）．然后由两点坐标分别求得三角形三边所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，和抛物线方程联立，由判别式等于0得到a，b，c所满足的条件，把c用含有a，b的代数式表示得答案．解答：解：如图：设A（），B（），C（）．则，∴AB所在直线方程为，即．联立，得：（b+a）x2﹣4x﹣2ab=0．则△=（﹣4）2+8ab（a+b）=0，即2+ab（a+b）=0．同理可得：2+ac（a+c）=0，2+bc（b+c）=0．两式作差得：c=﹣a﹣b．故选：B．点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线和抛物线相切的条件，考查了运算能力，是中档题．二、填空题：本大题有7小题，9-12每题6分，13-15题每题4分，共36分．把答案填在答题卷的相应位置．9．（6分）若经过点P（﹣3，0）的直线l与圆M：x2+y2+4x﹣2y+3=0相切，则圆M的圆心坐标是（﹣2，1）；半径为；切线在y轴上的截距是﹣3．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：根据圆的标准方程即可求出圆心坐标和半径，根据直线相切即可求出切线方程．解答：解：圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=2，则圆心坐标为（﹣2，1），半径R=，设切线斜率为k，过P的切线方程为y=k（x+3），即kx﹣y+3k=0，则圆心到直线的距离d===，平方得k2+2k+1=（k+1）2=0，解得k=﹣1，此时切线方程为y=﹣x﹣3，即在y轴上的截距为﹣3，故答案为：点评：本题主要考查圆的标准方程的应用以及直线和圆相切的位置关系的应用，比较基础．10．（6分）命题p：∂x0∈R，2x0≤0，命题q：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，其中真命题的是q；命题p的否定是∀x∈R，2x＞0．考点：命题的否定；命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果，判断命题的真假即可．解答：解：命题p：∂x0∈R，2x0≤0，由指数函数的值域可知，P是假命题；命题q：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，由三角函数线可知，q是真命题；命题p：∂x0∈R，2x0≤0，否定命题是：∀x∈R，2x＞0．故答案为：q；∀x∈R，2x＞0点评：本题考查命题的真假的判断，命题的否定，基本知识的考查．11．（6分）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是2；表面积是2+3+．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积，再求出表面积即可．解答：解：由三视图可知，这个四棱锥的侧面都是直角三角形，其底面为一个对角线长为2的正方形，正方形的边长为2sin45°=，其底面积为=2．由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形，由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3，此棱锥的体积为=2，又直角三角形的直角边为=，则其表面积为：S=2+2×××3+2×××=2+3+．故答案为：．点评：本题考查由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积．12．（6分）设函数f（x）=，则f（f（4））=5；若f（a）=﹣1，则a=1或．考点：分段函数的应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数，由里及外求解函数值，通过方程求出方程的根即可．解答：解：函数f（x）=，则f（4）=﹣2×42+1=﹣31．f（f（4））=f（﹣31）=log2（1+31）=5．当a≥1时，f（a）=﹣1，可得﹣2a2+1=﹣1，解得a=1；当a＜1时，f（a）=﹣1，可得log2（1﹣a）=﹣1，解得a=；故答案为：5；1或．点评：本题考查函数的值的求法，方程的根的求解，分段函数的应用，考查计算能力．13．（4分）函数（x∈R）的最大值是．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，令t=sinx+cosx∈[﹣，]，可得y=﹣+，再利用二次函数的性质求得函数y取得最大值．解答：解：函数=sinx+cosx﹣2sinxcosx=（sinx+cosx）﹣2sinxcosx，令t=sinx+cosx∈[﹣，]，则t2=1+2sinxcosx，y=t﹣t2+1=﹣+，故当t=时，函数y取得最大值为，故答案为：．点评：本题主要考查三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，正弦函数的值域、二次函数的性质，属于基础题．14．（4分）已知向量满足：|，|，|，则在上的投影的取值范围是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将已知不等式两边平方得到两个向量的数量积的不等式，利用向量的投影的定义得到范围．解答：解：由已知：|，|，|，得到，所以169﹣10+25≤144，所以≥5所以在上的投影；又cos＜＞≤1，所以在上的投影的取值范围是[，1]；故答案为：．点评：本题考查了向量的模的计算以及向量的投影；关键是将已知不等式平方得到数量积的范围，进一步得到投影的范围，属于基础题．15．（4分）点P是双曲线上一点，F是右焦点，且△OPF为等腰直角三角形（O为坐标原点），则双曲线离心率的值是或．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分类讨论，确定a，c的关系，即可求出双曲线离心率的值．解答：解：若|OF|=|PF|，则c=，∴ac=c2﹣a2，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=；若|OP|=|PF|=，则P（，）代入双曲线方程可得，即e4﹣3e2+1=0，∵e＞1，∴e=．故答案为：或．点评：本题考查双曲线离心率的值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，求△ABC的面积最大值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理结合已知可得sin2B=sinAsinC．又，结合sinB＞0，可求sinB的值，结合B∈（0，π），即可求得B的大小，又b2=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC 的最大边，从而可求B的值．（II）由余弦定理结合已知可得ac≤9，由三角形面积公式可得，即可求得△ABC的面积最大值．解答：解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则b2=ac．由正弦定理得sin2B=sinAsinC．又，所以．因为sinB＞0，则．…4分因为B∈（0，π），所以B=或．又b2=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故．…7分（II）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得9=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，得ac≤9．所以，．当a=c=3时，△ABC的面积最大值为…12分．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，等比数列的性质等知识的应用，综合性强，属于中档题．17．（15分）如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，△BEC为等边三角形，（1）若平面ABE⊥平面ADE，求CD长度；（2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）设|CD|=d，取BE、AE中点O、F，连结OC、OF，以O为原点，OE、OC、OF为x，y，z轴建立坐标系，求出平面ABE的法向量、面ADE的一个法向量，利用平面ABE⊥平面ADE，求CD长度；（2）利用向量的数量积公式，求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．解答：解：（1）设|CD|=d，取BE、AE中点O、F，连结OC、OF，以O为原点，OE、OC、OF为x，y，z轴建立坐标系，则A（﹣2，0，4），B（﹣2，0，0），，可得平面ABE的法向量为设面ADE的一个法向量为则可得所有，所以CD长度为2．（2）由（1）可知：面ADE的一个法向量，设直线AB与面ADE所成角为θ，则，所以．点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．18．（15分）已知椭圆，离心率，且过点，（1）求椭圆方程；（2）Rt△ABC以A（0，b）为直角顶点，边AB，BC与椭圆交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，以及点满足方程，解方程，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）分别设出AB，AC的方程，代入椭圆方程，求得B，C的横坐标，运用弦长公式，以及三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．解答：解：（1）由，即=，又a2﹣b2=c2，得a=3b，把点带入椭圆方程可得：，所以椭圆方程为：；（2）不妨设AB的方程y=kx+1，则AC的方程为．由得：（1+9k2）x2+18kx=0，k用代入，可得，从而有，于是．令，有，当且仅当，．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，求得交点，同时考查三角形的面积公式和基本不等式的运用，属于中档题．19．（15分）函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b（1）若时，求f（sinθ）的最大值；（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f （x）的表达式．考点：复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函数区间的最值可得；（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，﹣1），进而可得ab的值，可得解析式．解答：解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴，由二次函数区间的最值可得（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]时，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，结合f（0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0，﹣1）∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．点评：本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题．20．（14分）各项为正的数列{a n}满足，，（1）取λ=a n+1，求证：数列是等比数列，并求其公比；（2）取λ=2时令，记数列{b n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项之积为T n，求证：对任意正整数n，2n+1T n+S n为定值．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）把由λ=a n+1代入，整理后求解方程求得．结合a n＞0可得为常数，结论得证；（2）把λ=2代入数列递推式，得到2a n+1=a n（a n+2），变形得到，然后分别利用累积法和裂项相消法求得T n，S n，代入2n+1T n+S n证得答案．解答：证明：（1）由λ=a n+1，得，∴．两边同除可得：，解得．∵a n＞0，∴为常数，故数列是等比数列，公比为；（2）当λ=2时，，得2a n+1=a n（a n+2），∴．∴，又，∴，故2n+1T n+S n==2为定值．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累积法求数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，是中档题．。