概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案一、单选题1. 在下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布.(A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 21,21,21,21- (D) 161,81,41,212. 下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布.(A) 41414121(B)161814121(C)1631614121 (D)81834121-3. 设连续型随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=,,0,10,2)(其他x x x f则下列等式成立的是( ).(A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 21)21(=<X P (D) 21)21(=>X P4. 若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式( )成立.(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=bax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()5. 设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数,则对任意b a <,有X a P <(≤=)b ( ). (A)⎰bax x F d )( (B)⎰bax x f d )((C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F -6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是( ).7. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ,则=<)2(X P ( ). (A) 0.1 (B) 0.4 (C) 0.3 (D) 0.28. 设)1,0(~N X ,Φ)(x 是X 的分布函数,则下列式子不成立的是( ).(A) Φ5.0)0(= (B) Φ+-)(x Φ1)(=x (C) Φ=-)(a Φ)(a (D) 2)(=<a x P Φ1)(-a9. 下列数组中,不能作为随机变量分布列的是( ).(A )61,61,31,31 (B) 104,103,102,101 (C) 12141818,,, (D) 131619112,,,10. 若随机变量)1,0(~N X ,则~23-=X Y ( ).(A) )3,2(-N (B) )3,4(-N (C) )3,4(2-N (D) )3,2(2-N11. 随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有=)()(X E X D ( ).(A) n (B) p (C) 1- p (D)p-1112. 如果随机变量X B ~(,.)1003,则E X D X (),()分别为( ). (A) E X D X (),().==321 (B) 9.0)(,3)(==X D X E(C) E X D X ().,()==033 (D) E X D X ().,().==032113. 设),(~p n B X ,2.1)(,2)(==X D X E ,则p n ,分别是( ).(A) 4.0,5 (B) 2.0,10 (C) 5.0,4 (D) 25.0,814. 设),(~p n B X ,且6.3)(,6)(==X D X E ,则=n ( ).(A) 30 (B) 20 (C) 15 (D) 1015. 设)10,50(~2N X ,则随机变量( )~)1,0(N .(A)10050-X (B) 1050-X (C) 50100-X (D) 5010-X16. 对于随机事件A B ,,下列运算公式( )成立.(A) )()()(B P A P B A P +=+ (B) )()()(B P A P AB P =(C) )()()(A B P B P AB P = (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+17. 下列事件运算关系正确的是( ).(A) A B BA B += (B) A B BA B += (C) A B BA B += (D) B B -=118. 设A ,B 为两个任意事件,那么与事件B A B A B A ++相等的事件是().(A) AB (B) B A + (C) A (D) B19. 设A B ,为随机事件,A 与B 不同时发生用事件的运算表示为( ).(A) A B + (B) A B + (C) AB AB + (D) A B20. 若随机事件A ,B 满足AB =∅,则结论( )成立. (A) A 与B 是对立事件 (B) A 与B 相互独立(C) A 与B 互不相容 (D) A 与B 互不相容21. 甲、乙二人射击,A B ,分别表示甲、乙射中目标,则AB 表示( )的事件.(A) 二人都没射中 (B) 至少有一人没射中 (C) 两人都射中 (D) 至少有一人射中22. 若事件A B ,的概率为6.0)(=A P ,5.0)(=B P ,则A 与B 一定( ).(A) 相互对立 (B) 相互独立 (C) 互不相容 (D) 相容23. 设A ,B 为两个任意事件,则P (A +B ) =( ).(A) P (A ) + P (B ) (B) P (A ) + P (B ) - P (A )P (B ) (C) P (A ) + P (B ) - P (AB ) (D) P (AB ) – [P (A ) + P (B ) ]24. 对任意两个任意事件A B ,,等式( )成立.(A) P AB P A P B ()()()= (B) P A B P A P B ()()()+=+ (C) P A B P A P B ()()(())=≠0 (D) P AB P A P B A P A ()()()(())=≠025. 设A ,B 是两个任意事件,则下列等式中( )是不正确的.(A) )()()(B P A P AB P =,其中A ,B 相互独立 (B) )()()(B A P B P AB P =,其中0)(≠B P (C) )()()(B P A P AB P =,其中A ,B 互不相容 (D) )()()(A B P A P AB P =,其中0)(≠A P26. 若事件A 与B 互斥,则下列等式中正确的是( ). (A) P AB P A P B ()()()= (B) P B P A ()()=-1(C) P A P A B ()()= (D) P A B P A P B ()()()+=+27. 设A ,B 为两个任意事件,则下列等式成立的是( ).(A) B A B A +=+ (B) B A AB ⋅= (C) B A B B A +=+ (D) B A B B A +=+28. 设A B ,为随机事件,下列等式成立的是( ).(A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=-29. 甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7,0.8,则甲、乙两人同时考上大学的概率为( ).(A) 0.56 (B) 0.50 (C) 0.75 (D) 0.9430. 若A B ,满足( ),则A 与B 是对立事件.(A) 1)(=+B A P (B) A B U AB +==∅, (C) P A B P A P B ()()()+=+ (D) P AB P A P B ()()()=31. 若A 与B 相互独立,则等式( )成立.(A) P A B P A P B ()()()+=+ (B) P AB P A ()()=(C) P A B P A ()()= (D) P AB P A P B ()()()=32. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN (2σ已知)的一个样本,按给定的显著性水平α检验0H :0μμ=(已知);1H :0μμ≠时,判断是否接受0H 与( )有关. (A) 样本值,显著水平α (B) 样本值,样本容量(C) 样本容量n ,显著水平α (D) 样本值,样本容量n ,显著水平α33. 假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率( ). (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大,一个减小34. 从正态总体),(2σμN 中随机抽取容量为n 的样本,检验假设0H :,0μμ=1H :0μμ≠.若用t 检验法,选用统计量t ,则在显著性水平α下的拒绝域为( ).(A) )1(-<n t t α (B) t ≥)1(1--n t α (C) )1(->n t t α (D) )1(1--<-n t t α35. 在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中,T 检验法解决的问题是( ).(A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值 (C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差36. 对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中,U 检验解决的问题是( ).(A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值 (C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差37. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN 的一个样本,2σ是已知参数,μ是未知参数,记∑==ni i x n x 11,函数)(x Φ表示标准正态分布)1,0(N 的分布函数,975.0)96.1(=Φ,900.0)28.1(=Φ,则μ的置信水平为0.95的置信区间为( ).(A) (x -0.975n σ,x +0.975nσ) (B) (x -1.96n σ,x +1.96n σ)(C) (x -1.28nσ,x +1.28nσ) (D) (x -0.90nσ,x +0.90nσ)38. 设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本,则μ的无偏估计是( ).(A)3321x x x -+ (B) 321x x x -+(C) 321x x x ++ (D) 321x x x --39. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本,则( )是μ无偏估计.(A) 321x x x ++ (B)321525252x x x ++ (C) 321515151x x x ++ (D) 321535151x x x ++40. 设21,x x 是取自正态总体)1,(μN 的容量为2的样本,其中μ为未知参数,以下关于μ的估计中,只有( )才是μ的无偏估计.(A) 213432x x + (B) 214241x x + (C) 214143x x - (D)215352x x +41. 设总体X 的均值μ与方差2σ都存在,且均为未知参数,而n x x x ,,,21 是该总体的一个样本,记∑==ni i x n x 11,则总体方差2σ的矩估计为( ).(A) x (B) ∑=-ni i x n 12)(1μ(C) ∑=-n i i x x n 12)(1 (D) ∑=n i i x n 12142. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知)的样本,则( )是统计量.(A) 1x (B) μ+x (C)221σx (D)1x μ43. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2(μ未知)的一个样本X X X 123,,,∑==3131i i X X ,则下列各式中( )不是统计量. (A ) X (B)∑=31i iX(C) ∑=-312)(31i i X μ (D) ∑=-312)(31i i X X44. 设X 是连续型随机变量,其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=],,1(,0],,1(,ln )(b x b x x x f 则常数b =( ).(A) e (B) e + 1 (C) e – 1 (D) e 245. 随机变量)21,3(~B X ,则X P (≤=)2( ).(A) 0 (B) 81(C)21 (D) 8746. 设),2(~2σN X ,已知2(P ≤X ≤4.0)4=,则X P (≤=)0( ).(A) 0.4 (B) 0.3 (C) 0.2 (D) 0.147. 已知)2,2(~2N X ,若)1,0(~N b aX +,那么( ).(A) 2,2-==b a (B) 1,2-=-=b a (C) 1,21-==b a (D) 2,21==b a48. 设随机变量X 的密度函数为f x (),则E X ()2=( ).(A) xf x x ()-∞+∞⎰d (B)x x f x d )(2⎰∞+∞-(C)x x xf d )(2⎰∞+∞- (D)(())()x E X f x x --∞+∞⎰2d49. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ,则等式( )成立.(A) )]([)(X E X E X D -= (B) 22)]([)()(X E X E X D += (C) )()(2X E X D = (D) 22)]([)()(X E X E X D -=50. 设随机变量X 服从二项分布B (n , p ),已知E (X )=2.4, D (X )=1.44,则( ). (A) n = 8, p =0.3 (B) n = 6, p =0.6 (C) n = 6, p =0.4 (D) n = 24, p =0.1二、证明题1. 试证:已知事件A ,B 的概率分别为P (A ) = 0.3,P (B ) = 0.6,P (B A +) = 0.1,则P (AB ) =0.2. 试证:已知事件A ,B 相互独立,则)()(1)(B P A P B A P -=+.3. 已知事件A ,B ,C 相互独立,试证)(B A +与C 相互独立.4. 设事件A ,B 的概率分别为21)(=A P ,32)(=B P ,试证:A 与B 是相容的.5. 设随机事件A ,B 相互独立,试证:B A ,也相互独立.6. 设A ,B 为随机事件,试证:)()()(AB P A P B A P -=-.7. 设随机事件A ,B 满足AB =∅,试证:P A B P B ()()+=-1.8. 设A ,B 为随机事件,试证:P A P A B P AB ()()()=-+.9. 设B A ,是随机事件,试证:)()()()(AB P B A P B A P B A P ++=+.10. 已知随机事件A ,B 满足A B ⊃,试证:)()()(B P A P B A P -=-.三、计算题1. 设B A ,是两个随机事件,已知5.0)(=A P , 4.0)(=A B P ,求)(B A P .2. 某种产品有80%是正品,用某种仪器检查时,正品被误定为次品的概率是3%,次品被误定为正品的概率是2%,设A 表示一产品经检查被定为正品,B 表示一产品确为正品,求P (A ).3. 某单位同时装有两种报警系统A 与B ,每种系统独立使用时,其有效概率9.0)(=A P ,95.0)(=B P ,在A 有效的条件下B 有效的概率为97.0)(=A B P ,求)(B A P +.4. 设A , B 是两个独立的随机事件,已知P (A ) = 0.4,P (B ) = 0.7,求A 与B 只有一个发生的概率.5. 设事件A ,B 相互独立,已知6.0)(=A P ,8.0)(=B P ,求A 与B 只有一个发生的概率.6. 假设B A ,为两事件,已知4.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P ,求)(B A P +.7. 设随机变量)2,3(~2N X ,求概率X P <-3(≤)5 (已知Φ3841.0)1(=,Φ7998.0)3(=φ).8. 设A , B 是两个随机事件,已知P (A ) = 0.6,P (B ) = 0.8,P (A B )=0.2,求)(B A P .9. 从大批发芽率为8.0的种子中,任取4粒,问(1)4粒中恰有一粒发芽的概率是多少?(2)至少有1粒种子发芽的概率是多少?10. 已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ,求)(B A P +.11. 已知4.0)(=A P ,8.0)(=B P ,5.0)(=B A P ,求P B A ().12. 已知7.0)(=A P ,3.0)(=B P ,5.0)(=B A P ,求)(B A P .13. 已知P (B ) = 0.6,)(B A P =0.2,求)(AB P .14. 设随机变量X ~ N (3,4).求 P (1< X < 7)(Φ3841.0)1(=,Φ2977.0)2(=).15. 设)5.0,3(~2N X ,求2(P ≤X ≤)6.3.已知Φ9884.0)2.1(=,2977.0)2(=Φ.16. 设B A ,是两个随机事件,已知4.0)(=A P ,5.0)(=B P ,45.0)(=A B P ,求)(B A P +.17.已知某批零件的加工由两道工序完成,第一道工序的次品率为0.03,第二道工序的次品率为0.01,两道工序的次品率彼此无关,求这批零件的合格率.18.已知袋中有3个白球7个黑球,从中有放回地抽取3次,每次取1个,试求⑴恰有2个白球的概率;⑵有白球的概率.19. 268-16.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8,该运动员投篮3次,⑴求投中篮框不少于2次的概率;⑵求至少投中篮框1次的概率.20.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.9,该运动员投篮3次,⑴求投中篮框不少于2次的概率;⑵求至少投中篮框1次的概率.21.某气象站天气预报的准确率为70%,在4次预报中,求⑴恰有3次准确的概率;⑵至少1次准确的概率.22.已知某批产品的次品率为0.1,在这批产品中有放回地抽取4次,每次抽取一件,试求⑴有次品的概率;⑵恰有两件次品的概率.23.某射手射击一次命中靶心的概率是08.,该射手连续射击5次,求:⑴命中靶心的概率;⑵至少4次命中靶心的概率.24.设箱中有3个白球2个黑球,从中依次不放回地取出3球,求第3次才取到黑球的概率.25.一袋中有10个球,其中3个黑球7个白球.今从中有放回地抽取,每次取1个,共取5次.求⑴恰有2次取到黑球的概率;⑵至少有1次取到白球的概率.26.有甲、乙两批种子,发芽率分别是0.85和0.75,在这两批种子中各随机取一粒,求至少有一粒发芽的概率.27.机械零件的加工由甲、乙两道工序完成,甲工序的次品率是0.01,乙工序的次品率是0.02,两道工序的生产彼此无关,求生产的产品是合格品的概率.28.一袋中有10个球,其中3个黑球7个白球.今从中依次无放回地抽取两个,求第2次抽取出的是黑球的概率.29. 两台车床加工同样的零件,第一台废品率是1%,第二台废品率是2%,加工出来的零件放在一起。
概率论和数理统计试题及答案
概率论和数理统计试题及答案概率论和数理统计试题及答案⼀、填空题:1、设A 与B 相互独⽴,P(A) =31, P(B) =21, 则P (B-A) = . 解:111()()[1()](1)233P B A P B P A -=-=?-=2、设~[1,3]X U (均匀分布),则2()E X = ,(2)D X = .(52)E X -= ,解:()2;()1/3E X D X ==22()()()13/3E X D X E X =+= (2)4()4/3D X D X ==(52)5()21028E X E X -=-=-=3、设随机变量X 服从指数分布,即 ~(2),X E 定义随机变量2,31,31,3X Y X X >??==??-则 Y 的分布列为。
解:3322620()()(1)(3)21Y x xF Y P Y y P Y P X e dx e e σσσ-----+=≤=≤-=<==-=-?33226()()(11)(3)21Y x xF Y P Y y P Y P X e dx e e ---=≤=-<≤=≤==-=-?3322620()()(12)(3)21Y xx F Y P Y y P Y P X edx ee σσσ++----=≤=<≤=>==-=-?其中σ是与y ⽆关的量4、设~(200,0.1)X B ~(3)Y P ,2~(3,2)Z N ,且X ,,Y Z 相互独⽴, 则(235)E X Y Z --+= , (235)D X Y Z --+=解:(235)2()3()()522000.1333533E X Y Z E X E Y E Z --+=--+=??-?-+=(235)4()9()()72274103D X Y Z D X D Y D Z --+=++=++=5、设总体2~(,)X N µσ,123,,x x x 为来⾃X 的样本,123?0.50.1x x ax µ=+-是未知参数µ的⽆偏估计,则a =。
概率论和数理统计试题及答案
概率论和数理统计试题及答案一、填空题:1 11、 设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)=.3 2 ----------------11 1解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)](1 ): 23 32、 设 X~U[1,3](均匀分布),则 E(X 2)=, D(2X)二 ______________.E(5X _2) = ___________________ ,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X 2) = D(X) E(X)2 =13/3 D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 102Y~ P(3),Z ~ N(3,2 ),且 X , Y,Z 相互独立,则3、设随机变量X 服从指数分布,即X ~ E(2),定义随机变量2,X 3 Y £,X =3-1,X :3解:F Y (Y)=P(Jy)二 P(丫 乞 一1) = P(X :: 3)2e'x dx = -e^x 0F Y (Y)二 P(Y D二 P(—1 :: 丫 乞1) = P(X 空 3)3=2e "dx =-e'xF Y (Y)二 P(丫 乞 y)二 P(1 :: Y ^2) = P(X 3)则Y 的分布列为二 1 —e ■6 -2C其中二是与y 无关的量2e"dx _ -e^x4、设 X ~ B(200,0.1)E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________2XE(D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =10325、设总体X ~ N(j 匚),X i, X2, X3 为来自X 的样本,二0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数丄的无偏估计,则a =。
解:因为是无偏估计所以E(?)=E(0.X+ 0.x1— ax =) 0E5x 什)E.2X-( aJEj x ()= (0.5 0.-1 E)X(=)( 0.5- 01"口二)(0.5 0•中=)1a ~ -0. 46、设X〜N(叫,打),Y~N(」2,/),X与丫相互独立,且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值,样本容量分别为n i,n2。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ,B ,C 为3事件,则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ,且A 与B 互不相容,则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球,2只红球,从中随机抽取3只,则取得2只白球,1只红球的概率 为 。
4、某人射击的命中率为0.7,现独立地重复射击5次,则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报,有60%的住户订日报,有80%的住户订这两种报纸中的一种,则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ,B 为两事件,3.0)(,7.0)(==B A P A P ,则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币,恰有1个正面的概率为 。
8、设A ,B 为两事件,2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ,则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球,不放回地取球,每次1个,则第5次才取得红球的概率 为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次,以X 和Y 分别表示先后掷出的点数,{}10=+=Y X A {}Y X B >=,则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件,则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组,且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ,=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件,,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件,且4.0)(,7.0)(==B P A P ,则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件,,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件,,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件,如果B A ⊃,且2.0)(,7.0)(==B P A P ,则=)|(B A P 。
概率论与数理统计试题及答案(自考)
概率论与数理统计试题及答案(自考)一、单选题1.如果D(X)=3,令Y=2X+5,则D(Y)为A、12B、18C、7D、11【正确答案】:A解析:D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(2X+5)=D(2X)=4D(X)=4×3=12,因此选A。
2.设总体X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),σ12=σ22未知,关于两个正态总体均值的假设检验为H0:μ1≤μ2,H1:μ1 > μ2,则在显著水平α下,H0的拒绝域为A、B、C、D、【正确答案】:B解析:无3.设总体为来自X的样本,为样本值,s为样本标准差,则的无偏估计量为( )。
A、sB、C、D、【正确答案】:C解析:样本均值是总体均值的无偏估计量。
故选C.4.设随机变量X的方差D(X)=2,则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-E(X)|≥8}的值为( )。
A、B、C、D、【正确答案】:B解析:5.如果D(X)=2,令Y=3X+1,则D(Y)为A、2B、18C、3D、4【正确答案】:B解析:D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(3X+1)=D(3X)=9D(X)=9×2=18,因此选B。
6.在假设检验中,H0为原假设,则显著性水平的意义是A、P{拒绝H0| H0为真}B、P {接受H0| H0为真}C、P {接受H0| H0不真}D、P {拒绝H0| H0不真}【正确答案】:A解析:本题考察假设检验“两类错误”内容。
选择A。
7.则k=A、0.1B、0.2C、0.3D、0.4【正确答案】:D解析:本题考察一维离散型随机变量分布律的性质:。
计算如下0.2 + 0.3 + k + 0.1=1,k=0.4故选择D。
8.掷四次硬币,设A表示恰有一次出现正面,则P(A)=A、1/2B、1/4C、3/16D、1/3【正确答案】:B解析:样本空间Ω={正正正正,正正正反,正正反正,正反正正,反正正正,正正反反,正反正反,反正正反,正反反正,反正反正,反反正正,正反反反,反反正反,反正反反,反反反正,反反反反};其中恰有一次正面向上的样本点是{正反反反,反反正反,反正反反,反反反正}所以概率就是1/4。
《概率论与数理统计》练习题(含答案)
《概率论与数理统计》练习题(含答案)一、单项选择题1.设,,A B C 为三个事件,且,A B 相互独立,则以下结论中不正确的是( ) (A )若()1P C =,则AC 与BC 也独立. (B )若()1P C =,则A C 与B 也独立. (C )若()0P C =,则A C 与B 也独立. (D )若C B ⊂,则A 与C 也独立.答案:(D ).解答:因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A ),(B ),(C )都是正确的,只能选(D ).事实上由图 可见A 与C 不独立.2.设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ,则(||2)P X >的值为( ) (A )2[1(2)]-Φ. (B )2(2)1Φ-. (C )2(2)-Φ. (D )12(2)-Φ.答案:(A )解答: ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选(A ).3.设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是( ) (A )X 与Y 独立. (B )()D X Y DX DY -=+. (C )()D X Y DX DY -=-. (D )()D XY DXDY =.SABC答案:(B )解答:由不相关的等价条件知,0y x cov 0xy =⇒=),(ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+(,) 应选(B ).4.设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立,则,αβ的值为( )(A )21,99αβ==. (A )12,99αβ==.(C ) 11,66αβ== (D )51,1818αβ==.答案:(A )解答: 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=, 19β=故应选(A ).5.设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本,则下列结论中正确的是( )(A )1X 是μ的无偏估计量. (B )1X 是μ的极大似然估计量. (C )1X 是μ的相合(一致)估计量. (D )1X 不是μ的估计量. 答案:(A ) 解答:1EX μ=,所以1X 是μ的无偏估计,应选(A ).6. 设A 、B 、C 为三个事件,()0P AB >且(|)1P C AB =,则有( )Y X(A )()()() 1.P C P A P B ≤+- (B )()().P C P A B ≤ (C )()()() 1.P C P A P B ≥+- (D )()().P C P A B ≥答案:C 解答:由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =,故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+,则在下列各组数中应取( ) (A )1/2, 1.a b == (B)2,a b ==(C )1/2,1a b ==-. (D)2,a b == 答案:B 解答:22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立,其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有( )(A )()0.P X Y == (B )()0.5.P X Y ==(C )()0.52.P X Y == (D )() 1.P X Y == 答案:C解答:()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ,若EX 存在,则[()]E E EX 等于( )(A )0. (B ).X (C ).EX (D )3().EX 答案:C 解答:[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本,x 表示样本均值,则μ的置信度为1α-的置信区间为( ) (A )/2/2(x u x u αα-+ (B )1/2/2(x u x u αα--+ (C )(x u x uαα-+ (D )/2/2(x u x u αα-+ 答案:D 解答:因为方差已知,所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本,为样本均值,则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是( D )。
概率论与数理统计测试题及答案
概率论与数理统计测试题一、填空题(每小题3分,共15分)1.将3个小球随机地放到3个盒子中去,每个盒子都有1个小球的概率为__________. 2.设A ,B 是两事件,()1/4,(|)1/3P A P B A ==,则()P AB =__________.3.掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和是5,则其中有一颗是1点的概率是__________.4.设随机变量X 的分布函数为0,1()ln ,11,x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,则X 的概率密度为__________.5.设总体X~U[0,1],123,,X X X 是其一个样本,则123{max(,,)1/2}P X X X <=__________. 二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设两事件A 与B 互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则( )正确. (A )A B 与互不相容; (B )()()()P A B P A P B =; (C )()()()P AB P A P B =; (D )()().P A B P A -=2.一种零件的加工由两道工序完成,第一道工序、第二道工序的废品率分别为p ,q ,设两道工序的工作是独立的,则该零件的合格品率是 ( )(A )1p q --;(B) 1pq -; (C) 1p q pq --+;(D) (1)(1)p q -+-. 3.设~(),X t n 则2X 服从 ( )分布(A) 2()n χ; (B )(1,)F n ; (C )(,1)F n ; (D )(1,1)F n -. 4.设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立; (B )()()()D X Y D X D Y +=+; (C )()()()D X Y D X D Y -=-; (D) ()()()D XY D X D Y =5.设12,,,n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本,2211,(())1n ii X S X X n ==--∑分别为样本均值和样本方差,则下面结论中不正确的是 ( ) (A)2~(,);X N nσμ(B)22();E S σ=(C)22();1nE S n σ=- (D)222(1)/~(1).n S n σχ--三、解答题(6个小题,共60分) 1.(10分)设一仓库中有10箱同样规格产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱,三厂产品的废品率依次为、、,从这10箱产品中任取一箱,再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率;(2)若已知取到的产品为废品,求该废品是由甲厂生产的概率. 2.(10分)对一批次品率为的产品进行重复抽样检查,现抽取3件产品,以X 表示抽取的3件产品中次品的件数,试求(1)X 的分布律;(2)至少有一件是次品的概率.3.(12分)设连续型随机变量X 的概率密度为sin ,0()0,a x x f x π<<⎧=⎨⎩,其它求:(1)系数a ; (2) 分布函数();(3){/4/2}F x P X ππ<<. 4.(8分)设二维随机变量(,)X Y 的分布律为求X 与Y 的协方差Cov (X ,Y )及P{X +Y 1}. 5.(10分)设随机变量(X,Y)的概率密度为 6,01(,)0,y y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它 (1)试求关于X 及Y 的边缘概率密度;(2)判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由.6.(10分)设总体X 的概率密度为(1),01(;)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它,其中(1)θθ>-是未知参数,12,,,n X X X 是X 的样本,求参数 的矩估计量与最大似然估计量.四、证明题(2个小题,共10分)1. (5分)设随机变量X ~N (0,1),证明随机变量(0)Y X σμσ=+>~2(,)N μσ.2.(5分)设4321,,,X X X X 是来自总体N(,2σ)的样本,证明2212342()()2X X X X Y σ-+-= 服从2χ分布,并写出自由度.Y X 0 10 1一、填空题(每小题3分,共15分) 1.2/9;2.1/12;3.1/2;4. 1/,1()0,x x ef x <<⎧=⎨⎩其它;5.1/8.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.(D )2. (C);3.(B );4.(B );5. (C). 三、解答题(6个小题,共60分)1.(10分)解: 123,,A A A 分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的,B 表示取出的产品为废品,P(A 1)=,P(A 2)=,P(A 3)=,P(B|A 1)=,P(B|A 2)=,P(B|A 3)= ………3分(1)P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)+P(A 3)P(B|A 3) ………5分=++= ………7分 (2)111()(|)0.50.15(|)0.29()0.1717P A P B A P A B P B ⨯==== (1)0分2.(10分)解:(1) X ~b(3,, 33{}0.10.9(0,1,2,3)k k k P X k C k -=== ………3分X 0 1 2 3p………7分(2)P{X 1}=1-P{X=0}= ………10分 3.(12分)解:(1)01sin 1;2a xdx a π=⇒=⎰………3分(2)()()xF x f t dt -∞=⎰ (6)分00,01sin ,02x x tdt x x ππ≤⎧⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩⎰1,0,01cos ,02x x x x ππ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩1, (10)分2412(3){/4/2}sin .24P X xdx ππππ<<==⎰ (12)分4.(8分)解: E (X )=,E (Y )=,E (XY )= ………4分Cov (X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y )=- ………6分 P{X +Y 1}=++= ………8分5.(10分)解: (1)()(,)X f x f x y dy ∞-∞=⎰06,010,xydy x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它23,010,x x ⎧<<=⎨⎩其它 ………4分 ()(,)Y f y f x y dx ∞-∞=⎰16,010,y ydx y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它6(1),010,y y y -<<⎧=⎨⎩其它 ………8分(2)X 与Y 不相互独立,因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………10分 6.(10分)解 (1)矩估计量1101()(1)2E X x x dx θθμθθ+==⋅+=+⎰ ………3分 11121μθμ-⇒=-12ˆ1X X θ-⇒=- ………5分 (2) 最大似然估计量 对于给定样本值12,,,,n x x x 似然函数为11()(;)(1)nni i i i L f x x θθθθ====+∏∏12(1)(),01n n i x x x x θθ=+<< ………7分1()ln(1)ln ni i lnL n x θθθ==++∑,1()ln 01ni i d nlnL x d θθθ==+=+∑ ………8分11ln ˆln nii nii n x xθ==+⇒=-∑∑,最大似然估计量为11ln ˆln nii nii n X Xθ==+=-∑∑ ………10分四、证明题(2个小题,共10分)1.证明 :X的概率密度为22(),x X f x -= ………1分函数,0,(,)y x y y σμσ'=+=>∈-∞∞,1(),(),y x h y h y μσσ-'===………3分22()22()[()]|()|~(,).y u Y X f y f h y h y Y N σμσ--'==⇒ ………5分2.证明:212~(0,2)~(0,1),X X N N σ-⇒~(0,1),N ………2分两者独立 ………4分因此 22212342()()~(2)2X X X X Y χσ-+-= ………5分。
概率论与数理统计练习题附答案详解
第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容,且P (A )>0,P (B )>0,则一定有( )(A )()1()P A P B =-; (B )(|)()P A B P A =;(C )(|)1P A B =; (D )(|)1P A B =。
2、设事件A 与B 相互独立,且P (A )>0,P (B )>0,则( )一定成立 (A )(|)1()P A B P A =-; (B )(|)0P A B =;(C )()1()P A P B =-; (D )(|)()P A B P B =。
3、设事件A 与B 满足P (A )>0,P (B )>0,下面条件( )成立时,事件A 与B 一定独立(A )()()()P AB P A P B =; (B )()()()P A B P A P B =;(C )(|)()P A B P B =; (D )(|)()P A B P A =。
4、设事件A 和B 有关系B A ⊂,则下列等式中正确的是( )(A )()()P AB P A =; (B )()()P A B P A =;(C )(|)()P B A P B =; (D )()()()P B A P B P A -=-。
5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件,则下列结论中肯定正确的是( ) (A )A 与B 互不相容; (B )A 与B 相容; (C )()()()P AB P A P B =; (D )()()P A B P A -=。
6、设A 、B 为两个对立事件,且P (A )≠0,P (B ) ≠0,则下面关系成立的是( ) (A )()()()P AB P A P B =+; (B )()()()P A B P A P B ≠+; (C )()()()P AB P A P B =; (D )()()()P AB P A P B =。
7、对于任意两个事件A 与B ,()P A B -等于( )(A )()()P A P B - (B )()()()P A P B P AB -+; (C )()()P A P AB -; (D )()()()P A P B P AB +-。
概率论与数理统计试卷及参考答案
概率论与数理统计 试卷及其答案一、填空题(每空4分,共20分)1、设随机变量ξ的密度函数为2(0,1)()0ax x x φ⎧∈=⎨⎩其它,则常数a =3 。
2、设总体2(,)XN μσ,其中μ与2σ均未知,12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本,2σ的矩估计为211()i ni i X X n ==-∑ 。
3、已知随机变量X 的概率分布为{},1,2,3,4,5,15kP X k k ===则1()15P X E X ⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭___ 0.4___。
4、设随机变量~(0,4)X U ,则(34)P X <<= 0.25 。
5、某厂产品中一等品的合格率为90%,二等品合格率80%,现将二者以1:2的比例混合,则混合后产品的合格率为 5/6 。
二、计算题(第1、2、3题每题8分,第4题16分,第5题16分,共56分)1、一批灯泡共20只,其中5只是次品,其余为正品。
做不放回抽取,每次取一只,求第三次才取到次品的概率。
解:设i A 表示第i 次取到次品,i=1,2,3,B 表示第三次才取到次品, 则123121312()()()()()1514535201918228P B P A A A P A P A A P A A A ===⨯⨯=2、设X 服从参数为λ的指数分布,其概率密度函数为0()00xe xf x x λλ-⎧≥=⎨<⎩,求λ的极大似然估计。
解:由题知似然函数为:11()(0)i niii x i nx ni i L eex λλλλλ==-=-=∑=∏=≥对数似然函数为:1ln ()ln i ni i L n x λλλ===-∑由1ln ()0i ni i d L n x d λλλ===-=∑,得:*11i nii nxxλ====∑ 因为ln ()L λ的二阶导数总是负值,故*1Xλ=3、设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度解:()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰1,01,10,0z x z x ze dy z e dy z z ---⎧<<⎪⎪=≥⎨⎪≤⎪⎩⎰⎰ 11,01,10,0z z z e z e e z z ---⎧-<<⎪=-≥⎨⎪≤⎩4、 设随机变量X 的密度函数为,01,()2,12,0,x x f x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它.求(),()E X D X 。
概率论及数理统计习题集及答案
第1章概率论的基本概念§1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图,其中A,B,C,D为开关。
设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。
A BL RC D1.甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相互独立,求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。
第1章作业答案§1 .8.1:用A,B,C,D表示开关闭合,于是T = AB∪CD,从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)422p224-+==pppp-2:(1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38;(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章随机变量及其分布0-分布和泊松分布§2.211 某程控交换机在一分钟接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布,求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;(2)每分钟只少有1次呼叫的概率;(3)每分钟最多有1次呼叫的概率;2 设随机变量X有分布律:X 23 , Y~π(X), 试求:p 0.4 0.6(1)P(X=2,Y≤2);(2)P(Y≤2);(3) 已知Y≤2, 求X=2 的概率。
§2.3贝努里分布2 设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ?§2.6均匀分布和指数分布2 假设打一次所用时间(单位:分)X 服从2.0=α的指数分布,如某人正好在你前面走进亭,试求你等待:(1)超过10分钟的概率;(2)10分钟 到20分钟的概率。
§2.7正态分布1 随机变量X ~N (3, 4), (1) 求 P(2<X ≤5) , P(- 4<X ≤10), P(|X|>2),P(X>3); (1)确定c ,使得 P(X>c) = P(X<c)。
《概率论与数理统计》题库及答案
《概率论与数理统计》题库及答案一、填空题1.设有两门高射炮,每一门击中飞机的概率都是0.6,则同时发射一发炮弹而击中飞机的概率为 .若有一架敌机入侵领空,欲以99%以上的概率及中它,至少需 ___门高射炮.2.设ξ在[0,1]上服从均匀分布,则ξ的概率分布函数F (x )= ___,P (ξ≤2)= ___.3.设母体)4,30(~N ξ,),,,(4321ξξξξ为来自ξ的一个容量为4的样本,则样本均值~ξ___,=>)30(ξP ___,),,,(4321ξξξξ的概率密度为___.4. 将一枚均匀硬币掷四次,则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为___.5. 两封信随机地投入四个邮筒, 则前两个邮筒没有信的概率为_______, 第一个邮筒只有一封信的概率为_________.6. 一批产品的废品率为0.2, 每次抽取1个, 观察后放回去, 下次再任取1个, 共取3次, 则3次中恰有两次取到废品的概率为_________.7.设ξ具有概率密度⎩⎨⎧<<+=其他031)(x b ax x f ,又)21(2)32(<<=<<ξξP P ,则a = ,b = .8.设ξ与η相互独立,ξ~N (0,1),η~N (1,2),令ζ=ξ+2η,则E ζ=___,D ζ=___, ζ的概率密度函数为___.9.已知B A ⊂,P (A )=0.1,P (B )=0.5,则P (AB )= ___,P (A +B )= ___,=)(B A P ___,P (A |B )= ___,=+)(B A P ___.10.设)4,3(~N ξ,则使得)()(c P c P ≤=>ξξ成立的=c ___. 11.已知1-=ξE ,3=ξD ,则 =-)]2(3[2ξE ___.12. 小概率原理认为:小概率事件在一次试验中是不会发生的,如果发生了则要 . 13. 相关系数的取值范围是 .14. 设总体),(~2σξa N ,2σ已知,),...,(1n X X 为来自ξ的一个样本,如检验00:a a H =(常数),则在0H 成立条件下,检验统计量服从 分布.15. 设总体ξ的概率分布列为),...,(,1)0(,)1(1n X X p P p P -====ξξ为来自ξ的一个样本,则=)(X D .16. 设ξ的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,00,2)(2x x e x f x 当当,则=ξD .17. 设),(ηξ的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f , 则η的边沿密=)(y f .18. =+==⊂)(,5.0)(,1.0)(,B A P B P A P B A 则 .19. 若,5.0)(,6.0)(==B P A P 7.0)(=+B A P ,则=)(AB P . 20. 公交车每5分钟发一辆,则乘客等车时间不超过3分钟的概率为 .21. ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,020,cos )(πx x A x f 为密度函数,则=A .22. 两随机变量ξ与η的方差分别为25及36,相关系数为0.4,则=-)(ηξD . 23. 设)1,0(~N ξ,)(~2n χη,且ξ与η相互独立,则统计量~nηξ. 二、选择题1.若事件A 、B 为互逆事件,则=)(B A P ( )A. 0B. 0.5C. 1D. Φ2.在四次重复贝努里试验中,事件A 至少发生一次的概率为80/81,则A 在每次试验中发生的概率p 为( )A.4532 B. 31 C.32D. 1-4532 3.若两个随机变量ξ和η的相关系数0=ξηρ,则下列结论正确的是( ).A. ()ηξηξD D D -=-B. ()ηξηξD D D +=+C. ()ηξξηD D D =D. ξ和η相互独立4. 设A 、B 、C 为三个事件,则A 、B 、C 至少发生一个的事件应表示为( )A. ABCB. A +B +CC. C B AD. C B A5. 每次试验成功的概率为)10(<<p p ,重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功的概率为( ).A. r n r r n p p C --)1(B. rn r r n p p C ----)1(11 C. rn r p p --)1( D. r n r r n p pC -----)1(1116. 设(ξ,η)具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他020,20)sin(),(ππy x y x A y x f ,则A=( )A. 0.1B. 0.5C. 1D. 27. 设),(~2σμξN ,且μ=0,12=σ,令βαξη+=,则D η=( )(α、β为常数)A.βα-B. βα+C.α ④2α 8. 已知ξ的概率密度函数为f (x ),则( )A.0≤f (x )≤1B.P (ξ=x )=f (x )C.⎰+∞∞-=1)(dx x f D.P (ξ=x )≤f (x )≤19. 若母体ξ的方差为2σ,则2σ的无偏估计为( )A.21S n n -B.2SC.21S n n- D.S 10.设A ,B 为两事件,B A ⊂,则不能推出结论( )A. )()(A P AB P =B. )()(B P B A P =⋃C.)()()(B P A P B A P -=D. )()()(A P B P B A P -= 11. 若事件A 、B 互不相容,则=)(B A PA .0.5B .0C .1D .0.25 12. 设事件A 、B 相互独立,已知5.0)(,25.0)(==B P A P ,则=-)(B A P A .12.0 B .125.0 C .25.0 D .5.013. 设随机变量ξ的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=其它,021,210,)(x x x x x f ,则=≤)1.5(ξPA .0.875B .⎰-5.10)2dx x ( C .⎰-5.11)2dx x ( D .⎰∞--5.1)2xdx x (14. 设)(x f 为连续型随机变量ξ的概率密度,)(x F 为ξ的分布函数,则下列正确的是 A .)()(x f x F = B .1)(0<<x f C .)()(x F x P ==ξ D .⎰∞+∞-=1)(dx x f15. 设),(ηξ的概率密度为⎩⎨⎧≥≥=+-其它,00,0,),()(y x Ce y x f y x ,则C =A . 1B .0.5C .0.25D .216. 设随机变量ξ的概率密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ , 则=ξEA .λB .λ1 C .2λ D .21λ17. 设A 、B 、C 为三个事件,则A 、B 、C 恰有两个发生的事件应表示为 A.C B A BC A C AB ++ B. AC BC AB ++ C.ABC C B A BC A C AB +++ D. C A C B B A ++18. 袋中有5个黑球,3个白球,大小相同,一次随机地摸出4个球,其中恰有3个白球的概率为 A .83 B .81)83(5 C .81)83(348C D .485C19. 设)1,0(~),4,(~2N a N ηξ记),1(),4(21≥=-≤=ηξp p a p p 则下列正确的是 A .21p p = B .21p p ≠ C .21p p < D .21p p >20. 设ξ的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,)(2x Ax x f , 则A =A .31 B .3 C .21D .221. 已知连续型随机变量ξ的概率密度为)(x f ,)(x F 为ξ的分布函数,则下列正确的是 A .)()(x f x P ==ξ B .1)(=⎰∞+∞-dx x f xC .1)(0≤≤x FD .)()(x f x P =≤ξ22. 设随机变量ξ的概率密度函数为)(x f ,如果( ),恒有1)(0≤≤x f .A .),1(~2σξN B .)1,2(~N ξ C .),(~2σξa N D .),0(~2σξN三、计算题1.如果在1500件产品中有1000件不合格品,如从中任抽150件检查,求查得不合格品数的数学期望;如从中有放回抽取150次,每次抽一件,求查得不合格品数的数学期望和方差.2. 如果n ξξξ,,,21 是n 个相互独立、同分布的随机变量,μξ=i E ,),,2,1(8n i D i ==ξ.对于∑==ni i n 11ξξ,写出ξ所满足的切贝晓夫不等式,并估计)4|(|<-μξP .3.在密度函数(),1)(ααx x f +=10<<x 中求参数α 的矩估计和极大似然估计.4. 已知随机变量ξ~N (0,1),求(1) ξηe =的概率密度; (2) ||ξζ=的概率密度.5. 全班20人中有8人学过日语,现从全班20人中任抽3人参加中日友好活动,令ξ为3人中学过日语的人数,求(1) 3人中至少有1人学过日语的概率; (2) ξ的概率分布列及E ξ.6. 设总体ξ服从指数分布,其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤=-001)(1x x ex f x θθ,(θ>0)试求参数θ的矩估计和极大似然估计.7.一个盒子中共有10个球,其中有5个白球,5个黑球,从中不放回地抽两次,每次抽一个球,求(1) 两次都抽到白球的概率; (2) 第二次才抽到白球的概率; (3)第二次抽到白球的概率.8.已知ξ~N (0,1),求(1)ξe 的概率密度; (2)2ξ的概率密度.9.设总体X ~N(μ,1), ),,(1n X X 为来自X 的一个样本,试求参数μ的矩估计和最大似然估计. 10. 设母体ξ具有指数分布,密度函数为⎩⎨⎧<≤=-00),(x xe xf xλλλ(0>λ),试求参数λ的矩估计和极大似然估计.11. 袋子中有5件某类产品,其中正品3件,次品2件,现从中任意抽取2件,求2件中至少有1件是正品的概率12. 一条生产线生产甲、乙两种工件,已知该生产线有三分之一的时间生产甲种工件,此时停机的概率为0.3,有三分之二的时间生产乙种工件,此时停机的概率为0.4.如该生产线停机,求它是在生产甲种工件的概率. 13. 有3人同时走进一栋五层楼房的入口,设每人进入1至5层是等可能的,求没有两人进入同一层的概率. 14. 某地区高考数学成绩服从正态分布)6,90(~2N ξ,某考生数学成绩为96分,问比他成绩低的考生占多少?()8413.0)1(=Φ。
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2008- 2009 学年第1学期概率论与数理统计(46 学时 ) A一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)。
1、 A、 B 为两个随机事件,若P( AB)0 ,则( A) A、 B 一定是互不相容的;(B)AB一定是不可能事件;(C) AB 不一定是不可能事件;(D)P( A)0或 P(B)0 .Y 0 1 22、二维离散型随机变量( X ,Y)的分布律为X1 1/6 1/3 02 1/4 1/6 1/12F ( x, y) 为 ( X ,Y) 的联合分布函数,则F (1.5,1.5)等于(A)1/6 ;(B)1/2 ;(C)1/3 ;( D)1/4.3、 X、 Y 是两个随机变量,下列结果正确的是(A)若E( XY)EXEY ,则X、Y独立;(B)若 X、Y 不独立 , 则 X、Y 一定相关;(C)若 X、Y 相关, 则 X、Y 一定不独立;(D)若D(X Y) DX DY ,则X、Y独立.4、总体 X ~ N ( , 2 ), , 2均未知, X 1, X 2 ,L , X n 为来自 X 的一个简单样本,X 为样本 均值, S 2 为样本方差。
若 的置信度为 0.98的置信区间为 (X c S n , X c S n ) ,则常数 c 为( A )t 0.01 (n 1) ;( ) 0.01 (n) ;B t( C )t0.02(n 1) ;( )(n) .D t 0.025、随机变量 X 1, X 2 ,L , X n 独立且都服从 N (2,4)__1 n分布,则 XX i 服从n i1(A ) N (0,1) ;(B ) N (2,4 n) ;(C ) N (2 n, 4n) ;(D ) N(2, 4) .n二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)。
6、已知 A 、 B 为两个随机事件 ,若 P( A) 0.6, P( AB) 0.1,则 P( A | AB) =1.7、已知随机变量 X 服从区间 (0, 2) 上的均匀分布,则 E(2X) =( ).8、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f (x)2 x,0 x 1,则概率 P(| X | 1 2) =0,其它( ) .9、随机变量 X : b(3, 1 ), Y : b(3, 2 ) ,且 X ,Y 独立,则 D(X Y) =() .3310 、 已 知 随 机 变 量 X i , i 1,2,3 相互独立,且都服从 N(0,9)分布,若随机变量Y a( X 12X 22 X 32) :2(3) ,则常数 a =( ).三、解答题(本大题共 6 小题,每小题 10 分,共 60 分)。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计一、单选题1.随机地掷一骰子两次,则两次出现的点数之和等于8的概率为()。
(4分)A :3/36B :4/36C :5/36D :2/362.A,B为任意两事件,若A,B之积为不可能事件,则称()。
(4分)A :A与B相互独立B :A与B互不相容C :A与B互为对立事件D :A与B为样本空间Ω的一个划分3.设A,B,C是三个事件,在下列各式中,不成立的是( ) .(4分)A :(A-B)UB=AUBB :(AUB)-B=AC :(AUB)-AB= UBD :(AUB)-C=(A-C)U(B-C)4.以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为().(4分)A :“甲种产品滞销,乙种产品畅销”;B :“甲,乙两种产品均畅销”;C :“甲种产品滞销”;D :“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
5..掷二枚骰子,事件A为出现的点数之和等于3的概率为()。
(4分)A :11B :44,214C :44,202D :都不对6.设A,B为两个事件,且B A,则下列各式中正确的是( ).(4分)A :P(AUB)= P(A)B :P(AB)=P(A)C :P(BIA)= P(B)D :P(B-A)=P(B)- P(A)7.某小组共9人,分得一张观看亚运会的入场券,组长将一张写有“得票”字样和8张写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽一张,以决定谁得入场券,则()。
(4分)A :A.第1个抽签者得“得票”的概率最大B :第5个抽签者“得票”的概率最大C :每个抽签者得“得票”的概率相等D :最后抽签者得“得票”的概率最小8.设A,B是两个事件,且P(A)≤P(AIB)则有( ).(4分)A :P(A)= P(AIB)B :P(B)>0C :P(A)≥P(AIB)D :前三者都不一定成立9.设有10个零件,其中2个是次品,现随机抽取2个,恰有一个是正品的概率为().(4分)A :8/45B :16/45C :8/15D :8/3010.设盒中有10个木质球,6个玻璃球,玻璃球有两个为红色,4个为蓝色;木质球有3个为红色,7个为蓝色,现从盒中任取一球,用A表示“取到蓝色球”;B表示“取到玻璃球”。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,那么P(X=2)等于:A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案:D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25),那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是:A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案:B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球,随机抽取3个球,那么抽到至少2个红球的概率是:A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案:C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p),那么E(Y)等于:A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案:A5. 以下哪个事件是不可能事件:A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案:C二、填空题(每题3分,共15分)6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4),那么P(X>2)等于______。
答案:1/27. 随机变量Z服从标准正态分布,那么P(Z ≤ -1.5)等于______(结果保留两位小数)。
答案:0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ),那么W的期望E(W)等于______。
答案:1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张,抽到黑桃A的概率是______。
答案:1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4),那么P(V=5)等于______(结果保留三位小数)。
答案:0.120三、解答题(共75分)11. (15分)设随机变量ξ服从二项分布B(n, p),已知P(ξ=1) = 0.4,P(ξ=2) = 0.3,求n和p的值。
答案:根据二项分布的性质,我们有:P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程,我们可以得到n=5,p=0.4。
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2008-2009学年 第1学期 概率论与数理统计(46学时) A一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
1、A B 、为两个随机事件,若()0P AB =,则(A )A B 、一定是互不相容的; (B )AB 一定是不可能事件; (C )AB 不一定是不可能事件; (D )()0P A =或()0P B =.2、二维离散型随机变量(,)X Y 的分布律为(,)F x y 为(,)X Y 的联合分布函数,则(1.5,1.5)F 等于(A )1/6; (B )1/2; (C )1/3; (D )1/4.3、X Y 、是两个随机变量,下列结果正确的是 (A )若()E XY EXEY =,则X Y 、独立; (B )若X Y 、不独立,则X Y 、一定相关;(C )若X Y 、相关,则X Y 、一定不独立; (D )若()D X Y DX DY -=+,则X Y 、独立.YX 01 2 1 1/6 1/30 21/41/61/124、总体2212~(,),,,,,n X N X X X μσμσ均未知,为来自X 的一个简单样本,X 为样本均值,2S 为样本方差。
若μ的置信度为0.98的置信区间为(,)X c S n X c Sn -+,则常数c 为(A )0.01(1)t n -; (B )0.01()t n ;(C )0.02(1)t n -; (D )0.02()t n .5、随机变量12,,,n X X X 独立且都服从(2,4)N 分布,则__11ni i X X n ==∑服从(A )(0,1)N ; (B )(2,4)N n ;(C )(2,4)N n n ; (D )4(2,)N n.二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
6、已知A B 、为两个随机事件,若()0.6,()0.1,P A P AB ==则(|)P A AB =1.7、已知随机变量X 服从区间(0,2)上的均匀分布,则(2)E X =( ).8、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,则概率(||12)P X <=( ).9、随机变量12(3,),(3,)33Xb Yb ,且,X Y 独立,则()D X Y -=( ).10、已知随机变量,1,2,3i X i =相互独立,且都服从(0,9)N 分布,若随机变量2222123()(3)Y a X X X χ=++,则常数a =( ).三、解答题(本大题共6小题,每小题10分,共60分)。
11、已知一批产品中有95%是合格品,检验产品质量时,一个合格品被判为次品的概率为0.04,一个次品被判为合格品的概率为0.02, 从这批产品中任取一个产品,求其被判为合格品的概率。
12、已知离散型随机变量X 的分布律为X -1 0 1P2a 1414a + (1)求常数a ;(2)求X 的分布函数()F x .13、设连续型随机变量X 的分布函数为:10()2,0xx e x F x B Ae x -⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩,(1) 求常数,A B ;(2)求X 的概率密度函数()f x .14、二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为,01,||(,)0,a x y xf x y <<<⎧=⎨⎩其它 ,(1)求常数a ;(2)求概率2()P X Y ≤.15、某种清漆的干燥时间(单位:小时)2(8,)XN σ,0σ>,且由以往观测的数据可知,此种清漆的干燥时间在8至10小时之间的概率为0.2881,已知(0.8)0.7881Φ=,(1)求σ的值;(2)求此种清漆的干燥时间不超过6小时的概率。
16、总体X 的概率密度函数为22,0()0,xx e x f x λλ-⎧⎪>=⎨⎪⎩其它,其中0λ>是未知参数,12,,,n X X X 是来自X 的一个简单样本,求λ的最大似然估计量λ∧.四、解答题(本大题共1个小题,5分)。
17、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为,0()0,x e x f x -⎧>=⎨⎩其它,若随机变量1,10,121,2X Y X X -≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩,求EY .五、证明题(本大题共1个小题,5分)。
18、随机变量,X Y 都服从(0-1)分布,即X 的分布律为11011p p ⎛⎫⎪-⎝⎭,Y 的分布律为 22011p p ⎛⎫⎪-⎝⎭,其中120,1p p <<.证明:X Y 、不相关是X Y 、独立的充要条件。
2009-2010学年 第1学期 概率论与数理统计A 卷一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
1、抛两颗均匀骰子,若已知两骰子出现的点数和为5,则其中有一颗骰子出现的点数是3的概率为(A )1/9; (B )1/2; (C )1/18; (D )1/4.2、事件A B 、独立,且()0P B >,则下列命题不正确的是(A )A B __、独立; (B )A B ____、独立; (C )____()()P A B P A =|; (D )__()()P A B P B =|.3、设随机变量X 的分布函数为()F x ,则()P X a =等于(A )()F a ; (B )_()F a ; (C )0; (D )_()()F a F a -.4、随机变量X Y 、相互独立,且(1,1)X N ,(3,2)YN ,则(32)D X Y -+ 等于(A )3; (B )7; (C )11; (D )14.5、设总体(0,1)XN ,1234X X X X ,,,是来自X 的一个简单样本,若122234()(2)a X X t X X++,则常数a 是(A )1; (B )2; (C )1/2 ; (D )12.二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
6、已知离散型随机变量X 的分布律为10120.20.30.10.4XP -⎛⎫⎪⎝⎭,则概率(21)P X -≤<=( )7、若二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,):01,02}x y x y ≤≤≤≤上的均匀分布,则(,)X Y 的联合密度函数(,)f x y =( )8、X Y 、为两个随机变量,且31X Y +=-,则XY ρ=( )9、一系统由100个独立工作的部件构成,各个部件损坏的概率都为0.1,已知必须有87个以上的部件完好,才能使整个系统正常工作。
由中心极限定理,整个系统不能正常工作的概率近似为( ).(已知(1)0.8413Φ=). 10、已知某木材横纹抗压力2(,)XN μσ(单位:公斤/平方厘米),现随机抽取X 的一个容量为9的样本,测得样本均值_457.5x =,样本标准差30.3s =,则μ的置信度为0.95的置信区间为( )(已知0.025(8) 2.31t =,0.025(9) 2.26t =,0.05(8) 1.86t =).三、解答题(本大题共6小题,每小题10分,共60分)。
11、某工厂有三种机床:钻床、磨床和刨床,它们的台数之比为5:3:2,它们在一定的期限内需要修理的概率分别为0.1,0.2,0.3.期限到后,随机抽检一台机床, 发现其需要修理,求这台机床为钻床的概率。
12、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为2,01()2,120,ax x f x x x ⎧<<⎪=-<<⎨⎪⎩其它,(1)求常数a ;(2)求概率(1232)P X <<.13、已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0()01/9,1/9x F x A x x B x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩,,(1)求常数,A B ;(2)求概率(0116)P X ≤<;(3)求X 的概率密度函数()f x .14、已知二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为26,01,1(,)0,xy y y x f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它 , (1)求概率()P X Y ≤;(2)求出边缘密度函数(),()X Y f x f y ,并判断,X Y 是否相互独立。
15、已知二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为(1)分别求出(,)X Y 关于X Y 、的边缘分布律;(2)求(,)Cov X Y .Y X -1 0 1 2-1 0.1 0.05 0.05 0.1 0 0.1 0.15 0 0.05 10.05 0.05 0.15 0.1516、已知总体X 的概率密度函数(5),5()0,5x e x f x x λλ--⎧≥=⎨<⎩, 其中0λ>是未知参数,12,,,n X X X 是来自总体X 的一个简单样本,求λ的最大似然估计量λ∧.1ln[()]ln (5)......................................(5')ni i L n x λλλ==--∑对数似然函数1^1ln[()]0(5)0..................................................(8')...................................................(10')(5)ni i n i i d L n x d nX λλλλλ===⇒--==-∑∑令的最大似然估计量 四、解答题(本大题共1个小题,5分).17、过点(0,)b 随机作一条直线,Y 表示坐标原点到所作直线的距离,求EY .五、证明题(本大题共1个小题,5分)。
18、X 为连续型随机变量,随机变量X Y e λ=,0λ>,若EY 存在,证明:对任何实数a ,都有()()a X P X a e E e λλ-≥≤.2011-2012学年 第1学期 概率论与数理统计A 卷一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分).1.设,A B 为两个随机事件,其中0()1P B <<,若(|)=(|)P A B P A B ,则必有 (A )A B ⊂事件; (B )A B 事件,互不相容; (C )B A ⊂事件; (D )A B 事件,相互独立.2.设随机变量X 的分布函数为0,012,01()23,131,3x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩,则(1)P X =等于(A )2/3; (B )1/2; (C )1/6; (D )0.3.设X 服从区间(0,5)上的均匀分布,则关于t 的一元二次方程24420t Xt X +++=有实根的概率为(A )0.6; (B )0.4; (C )0; (D )1.4. 随机变量X 和Y 独立同分布,方差存在且不为0. 记U X Y =-, V X Y =+, 则 (A) U 和V 一定不独立; (B) U 和V 一定独立; (C) U 和V 一定不相关; (D) 以上选项都不对.5.总体X 的分布为(0,1)N ,15,,X X 为取自X 的简单样本,则下列选项不正确的是(A)122252~(4)X t X X ++; (B) 22212322452~(2,3)3X X X F X X +++; (C)15~(0,1)5X X N ++; (D) 222231()~(2)2X X X χ++. 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分).6.设,A B 为随机事件,()0.5,()0.2P A P A B =-=,则()P AB =( ).7. 设连续型随机变量X 的分布函数为0,1()(arcsin 2),111,1x F x k x x x π<-⎧⎪=+-≤<⎨⎪≥⎩,则常数k =( ).8.已知,X Y 相互独立,4,1DX DY ==,则(2)D X Y +=( ).9.随机从一批香烟中抽取16包测其尼古丁含量的毫克数,从抽取的样本算得样本均值25.5x =,样本标准差 2.4s =. 设香烟中尼古丁含量的分布是正态的,则总体均值μ的置信度为95%的置信区间为( ).(已知0.025(16) 2.1199t =,0.025(15) 2.1315t =,0.05(15) 1.7531t =)10.某保险公司接受了某辖区内600辆电动自行车的保险,每辆每年的保费为50元.若车丢失,则得赔偿车主1000元.假设车的丢失率为125.由中心极限定理,保险公司这年亏损的概率为( ).(已知(1.25)0.8944,(2.5)0.9938Φ=Φ=) 三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共60分).11.某商店购进甲厂生产的产品20箱, 乙厂生产的同种产品15箱, 其中甲厂每箱装有一等品74个,二等品6个;乙厂每箱装有一等品95个,二等品5个. 从这35箱中任取一箱,从中任取一个,(1)求取到二等品的概率;(2) 若取到二等品,问这个二等品来自甲厂的概率.12.设随机变量X 的概率密度函数为,01()0,b ax x f x ⎧<<=⎨⎩其它,且(12)18P X ≤=,求:(1)常数,;a b (2)设2X Y e =,求Y 的概率密度函数()Y f y .13.二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为:24,01,0(,),0,x x y xf x y ⎧<<<<=⎨⎩其它求:(1)2()P Y X ≤;(2)(,)X Y 关于X 的边缘密度函数()X f x ;(3)条件概率(18|14)P Y X ≤=.14. 设随机变量Y 在区间(0,3)上服从均匀分布,随机变量0,,1,21,k Y k X k Y k ≤⎧==⎨>⎩.求:(1)12(,)X X 的联合分布律;(2)12(,)X X 的相关系数12X X ρ.15. 据以往经验,某种能力测试的得分服从正态分布(62,25)N ,随机抽取 9个学生参与这一测试,他们的得分记为19,,X X ,设9119i i X X ==∑.(1)求(|62|2)P X -≤;(2)若得分超过70分就能得奖,求至少一个人得奖的概率.(结果用标准正态分布的分布函数()Φ⋅表示)16.设总体X 的概率密度函数为)(x f =1,00xe x λλ-⎧>⎪⎨⎪⎩,其它, 其中(0)λλ>是未知参数. 设1,,n X X 为该总体的一个容量为n 的简单样本.(1)求λ的最大似然估计量λ;(2)判断λ是否为λ的无偏估计量.四、解答题(本大题共1个小题,5分).17.设随机变量X 在区间[,]ππ-上服从均匀分布,求[min(||,1)]E X .五、应用题(本大题共1个小题,5分).18. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元;发生一次故障仍可获利润5万元;发生二次故障所获利润0万元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求这部机器在一周内产生的期望利润(结果保留到小数点后面两位).2008-2009学年 第1学期概率论与数理统计(46学时) A 卷评分标准一、单项选择题1( C ) 2( B )3( C )4( A )5( D ) 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。