初中数学沪教版八年级上册《一元二次方程根与系数的关系》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件
一元二次方程的根与系数的关系PPT免费课件下载
且0,
2
∴两根之和10, 1,且0
∴两根之积210, =
∴1时,方程的两根互为相反数.
∴ = 时,方程有一根为零.
②∵两根互为倒数 265,
∴两根之积211,1且0,
∴1时,方程的两根互为倒数.
1
2
课堂小结 分层作业
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
解: 根据根与系数的关系，可知:
1 + 2 = 4,
1 ⋅ 2 = 1
∴ 1 2 + 2 2 = (1 + 2 )2 − 21 2
= 42 − 2 × 1
= 14
1 + 2 = −
1 ∙ 2 =
课堂练习 巩固提升
试一试
1.口答下列方程的两根之和与两根之积.
1 2 − 8 + 4 = 0
− ，
1 ∙ 2 =
.
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
学以致用 深化理解
例题1
不解方程，请直接写出方程的两根之和和与两根之积各是多少？
1 2 − 3 + 2 = 0
解:
1
1 + 2 = − = −
1 ∙ 2 =
2
2
−3
1
2 2 − 3 = 5
=3
2 2 − 2 − 12 = 0
3
2 − 7 = 0
4 3 2 = 8 + 4
5 2 2 + 3 − 5 = 0
课堂练习 巩固提升
试一试
2.已知一元二次方程的 2 + + = 0 两根分别为 和 − ，
《一元二次方程根与系数的关系》word版 公开课一等奖教案 (3)
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因为下次再搜索到我的机会不多哦！方程应用本课教学反思本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写。
过程教案法的理论基础是交际理论，认为写作的过程实质上是一种群体间的交际活动，而不是写作者的个人行为。
它包括写前阶段，写作阶段和写后修改编辑阶段。
在此过程中，教师是教练，及时给予学生指导，更正其错误，帮助学生完成写作各阶段任务。
课堂是写作车间, 学生与教师, 学生与学生彼此交流, 提出反馈或修改意见, 学生不断进行写作, 修改和再写作。
在应用过程教案法对学生进行写作训练时, 学生从没有想法到有想法, 从不会构思到会构思, 从不会修改到会修改, 这一过程有利于培养学生的写作能力和自主学习能力。
学生由于能得到教师的及时帮助和指导，所以，即使是英语基础薄弱的同学，也能在这样的环境下，写出较好的作文来，从而提高了学生写作兴趣，增强了写作的自信心。
这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。
在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。
此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。
在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。
一元二次方程根与系数的关系省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
x1x2 0
x1 x
⑴不是一般式旳要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－
b a
时，
注意“－ ”不要漏写.
练习1
已知有关x旳方程 x2 (m 1)x 2m 1 0
当m= －1 时,此方程旳两根互为相反数. 当m= 1 时,此方程旳两根互为倒数.
1、已知方程3x2－19x+m=0旳一种根是1， 求它旳另一种根及m旳值。
解：设方程旳另一种根为x2,
则x2+1=
19 3
,
∴
16
x2= 3
,
又x2●1=
m 3
,
∴ m= 3x2 = 16
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0旳两个根，求(x1+1)(x2+1) 旳值.
解：由根与系数旳关系,得
由根与系数旳关系，得2 x2＝3k 即2 x2＝－6 ∴ x2 ＝－3
答：方程旳另一种根是－3 , k旳值是－2.
例2、方程2x2-3x+1=0旳两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（1） x12 x22 ;
11
（2)
x1 x2
;
(3) (x1 1)(x2 1) ; (4) x1 x2 .
另外几种常见旳求值:
解法一：设方程旳另一种根为x2. 由根与系数旳关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
答：方程旳另一种根是－3 , k旳值是－2.
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0旳一种根是2 , 求它旳另一种根及k旳值。
解法二：设方程旳另一种根为x2. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2
初中数学教学课例《一元二次方程的根与系数的关系》课程思政核心素养教学设计及总结反思
根，以及方程中的未知数。难点是会求已知方程的两根
的倒数和与平方和、两根的差。及在推导过程中，培养
学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的
思想与方法。
1、理解掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两
教学目标 根 x1，x2 与系数 a、b、c 之间的关系。
2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件
达定理（韦达是法国数学家）同时通过韦达定理的教学，
可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问
题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。重点 教材分析
让学生理解掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两
根 x1，x2 与系数 a、b、c 之间的关系。能根据根与系
数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一
尝试题 1：根据根与系数的关系写出下列方程的两 根之和与两根之积
（方程两根为 x1，x2、k 是常数） （1）2x2-3x-1=0x1+x2=________x1x2=________ （2）3x2+5x=0x1+x2=________x1x2=________ （3）x2+7x=-6x1+x2=_________x1x2=_________ （4）5x2+kx-6=0x1+x2=_________x1x2=_________ （学生迅速演算或口算） 尝试题 2：利用根与系数的关系，求一元二次方程 2x2-3x+5=0 的两个根的 （1）平方和（2）倒数和（3）差 尝试题 3：已知方程 6x2+kx-5=0 的一个根为 1，求 它的另一个根及 k 的值。 五：拓展创新 1．已知三角形的两边长 a、b 是方程 x2-12x+k==0 的两个根，三角形的第三条边 c=4,求这个三角形的周 长。 2、变式训练： 已知三角形的两边长 a、b 是方程 x2-12x+k==0 的 两个根，三角形的第三条边 c 能等于 15 吗？ 3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程， 使它的两根为 2 和 3.
【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的根与系数的关系》公开课课件.ppt
７/（－３／２）＝－１４／３
可否利用(X1+X2) 和X1X2的表达式表示下列各式?
(1) (X1-X2)2 (=X1+X2)2 4X1X2
(2) ︱X１－X２︱＝ x1x224x1x2
(3) X13+X23 (=X1+X2)[(X1+X2)23X1X2]
你想到了 吗??
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是 x1,x2 那么 x1+x2=－b/a, x1·x2=c/a
练一练:
已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条 求出p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6
(3) x1= －√7, x2=√ 7
(4) x1=－2+√5 ,x2=－2√5
P = －9 , q =P =6 9 , q = － 54 P = 0 , q =－21
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
解下列一元二次方程
(1)x2-12x+11=0 ;
(2)x2-9=0
(3)4x2+20x+25=0
解: (x-11)(x-
解:(x+3)(x-
解:(2x+5)2=0
1)=0 x1=11 , x2=1
3)=0 x1=3, x2=－ 3
x1=x2=-2.5
求出两根之和与两根之积?
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other
《一元二次方程的根的判别式》word教案 (公开课获奖)2022沪科版 (12)
一元二次方程根的判别式一、教学目标【知识和技能】1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；2.能运用根的判别式 ,判别方程根的情况和进行有关的推理论证；3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【过程和方法】1.培养学生的探索、创新精神；2.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度价值观】1.向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2.加深师生间的交流 ,增进师生的情感；3.培养学生的协作精神.二、教学重点、难点教学重点：会用判别式判定根的情况 ,用根的判别式解决实际问题.教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.三、教具准备 多媒体课件四、课时安排 〔1课时〕五、教学过程<一> 复习提问1、一元二次方程的一般形式 ?说出二次项系数 ,一次项系数及常数项.2、解一元二次方程的方法.一元二次方程的求根公式：()042422≥--±-=ac b a ac b b x <二> 设置悬念 ,进入新课同学们 ,我们已经学会了怎么解一元二次方程,那么 ,现在丁老师这儿还有一手绝|活 ,就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目 ,我不用具体地去解它 ,就能很快知道它的根的大致情况 ,不信呀 !同学们可以随便地出两个题考考我．〔学生会争先恐后地编题考老师．〕你们一定很想知道我的绝|活是怎么回事吧 ?那么好 ,现在就请同学们用公式法解以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘．用公式法解一元二次方程:⑴x 2 +3x +2 =0 ⑵ x 2 +8x +16 =0 ⑶3y 2 +10 =2y注：找三名学生板演 ,其余学生在位上做．〔学生都会在积极解答 ,寻找其中的奥秘．〕<三> 启发引导 ,发现结论请同学们观察这三个方程的解题过程 ,可以发现：在把系数代入求根公式之前 ,每题都是先确定了a 、b 、c 的值 ,然后求出x 1,x 2 ,b 2 -4ac 在解方程)0(02≠=++a c bx ax 起着重要的作用 ,显然我们可以根据b 2-4ac 的值的符号来判断一元二次方程的根的情况 ,因此 ,我们把b 2 -4ac 叫做一元二次方程的根的判别式 ,通常用符号 "△〔读作delta ,它是希腊字母〕〞来表示 ,即△ =b 2 -4ac ．我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况 ,同学们要逐渐适应这一点 ,它表达了数学的简洁美．通过解这三个方程 ,)0(02≠=++a c bx ax 同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种 ,谁能总结出来 ?我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：① 当△＞0时 ,方程有两个不相等的实数根；② 当△＝0时 ,方程有两个相等的实数根 a b x x 221-==；③ 当△＜0时 ,方程没有实数根． 课本中 "上述判断反过来说 ,也是正确的〞这句话可以理解为原命题的逆命题是正确的.① 假设方程有两个不相等的实数根 ,那么△＞0；② 假设方程有两个相等的实数根 , 那么△ =0；③ 假设方程没有实数根 , 那么△＜0．原命题与逆命题的用途不同:原命题的用途是：在不解方程的情况下 ,根据△值的符号 ,用原命题来判断方程根的情况．逆命题的用途是：在方程根的情况下 ,用逆命题来确定△值的符号 ,进而可求出系数中某些字母的取值范围．注意运用原命题与逆命题时 ,必须把所给的方程化成一般形式前方可使用．<四>应用新知例1 不解方程 ,判断一元二次方程的根的情况⑴ .02352=--x x ⑵ y y 204252=+ ⑶ 01322=++x x 解：⑴ 这里a =5 ,b = -3 ,c = -2 ,△ =b 2-4ac =9 -4×5×( -2) =49＞0 ,所以方程有两个不相等的实数根．⑵ ⑶ 两名学生板演 ,其余学生在位上做．例2 当m 取何值时 ,关于x 的方程 221(2)104x m x m +-+-=〔1〕有两个不相等的实数根 ?〔2〕有两个相等的实数根 ?〔3〕没有实数根 ?解： )141(4)2(22-⨯--=∆m m48m =-+〔1〕当084->+m ,即2<m 时 ,方程有两个不相等的实数根.〔2〕当084=+-m ,即2=m 时 ,方程有两个相等的实数根.〔3〕当084<+-m ,即2>m 时 ,方程没有实数根例 3 当k 取何值时 ,关于x 的方程222k k kx x -=-有实数根 ?并求出这时方程的根〔用含k 的代数式表示〕.分析：利用一元二次方程的根的判别式来判断.解:原方程可化为： )(4422k k k --=∆k 4=当04≥k 时 ,即0≥k 时 ,方程有实数根.这时 ,方程的根是242k k x ±=, 即k k x k k x +=+=11,教学结论：判定含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：把方程化为一般形式 ,确定a 、b 、c 的值 ,计算△ =2b －4ac 的值；根据根的判别式 ,写出结论．【说明】解字母方程是学生学习的薄弱处 ,在教学中应加以重视.试一试：如果关于x 的一元二次方程(k -2)x 2 +k =(2k -1)x 有实数根 ,那么k 的取值范围是什么 ?(由学生完成解题过程后 ,教师评价.)实系数一元二次方程有实数根必须具备两个条件：〔1〕0≠a ；〔2〕0≥∆ ,两者不可缺一 ,但在实际应用时 ,学生往往会无视a o ≠的情况 ,在教学时应引起注意.<五> 课堂练习 P 32 练习 1、2<六> 小结与评价1.本节课你学到了什么知识 ?掌握了什么方法 ?2.本节课你有什么收获 ?还有什么疑问?-222=+-k k kx x<七> 布置作业P33 1、3、4六、板书设计〔略〕七、教学反思有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义 ,理解有理数的除法法那么 ,会进行有理数的除法运算 ,会求有理数的倒数 .2、通过实例 ,探究出有理数除法法那么 .会把有理数除法转化为有理数乘法 ,培养学生的化归思想 .重点：有理数除法法那么的运用及倒数的概念难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商 ,0不能作除数以及0没有倒数的理解 . 教学过程：一、创设情景 ,导入新课1、有理数乘法法那么两数相乘 ,同号得正,异号得负 ,并把绝|对值相乘.几个数相乘 ,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时 ,积为负；当负因数有偶数个时 ,积为正 .有一个因数是0 ,积就为0.2、有理数乘法运算律：a×b = b×a (a×b)×c = a×(b×c). a×(b +c) =a×b + a×c3、计算〔分组练习 ,然后交流〕〔见ppt〕二、合作交流 ,解读探究1、〔1〕6个同样大小的苹果平均分给3个小孩 ,每个小孩分到几个苹果 ?〔2〕怎样计算以下各式 ?〔－6〕÷3 6÷〔－3〕〔－6〕÷〔－3〕学生：独立思考后 ,再将结果与同桌交流 .教师：引导学生回忆小学知识 ,根据除法是乘法的逆运算完成上例 ,要求6÷3即要求3×?＝6 ,由3×2＝6可知6÷3＝2 .同理〔－6〕÷3＝－2 ,6÷〔－3〕＝－2 ,〔－6〕÷〔－3〕＝2 .根据以上运算 ,你能发现什么规律 ?对于两个有理数a,b ,其中b≠0 ,如果有一个有理数c 使得c×b =a ,那么我们规定a÷b =c ,称c叫做a除以b的商 .2、从有理数的除法是通过乘法来规定 ,引导学生比照乘法法那么 ,自己总结有理数除法法那么 ,经讨论后 ,板书有理数除法法那么 .同号两数相除得正数 ,异号两数相除得负数 ,并且把它们的绝|对值相除 .0除以以何一个为等于0的数都得0教师指出：为了使商存在且唯一 ,要求除数不等于0 ,即0不能作除数 .三、应用迁移 ,稳固提高例1 计算〔1〕〔－24〕÷4 〔2〕〔－18〕÷〔－9〕〔3〕10÷〔－5〕引导学生按照有理数除法法那么进行计算 ,既先确定商的符号 ,再计算绝|对值 .请四位同学到黑板做 ,完成后 ,师生共同订正 .四、合作交流 ,解读探究1、小学里学过有关倒数的概念是什么 ?怎么求一个数的倒数 ?〔用1除以这个数〕 4和 +32的倒数是多少 ?0有倒数吗 ?为什么没有 ?2、小学里学过的除法与乘法有何关系 ?例如10÷0.5 =10×2；0÷5 =0×〔51〕 ,你能总结总结出一句话吗 ?〔除以一个数等于乘以这个数的倒数〕我们已经知道 10÷〔 -5〕 = -2 ,又 10×〔 -51〕 = -2 所以就有：10 ÷〔 -5〕 =10×〔 -51〕 引入倒数的概念 .如果两个数的乘积等于1 ,那么把其中一个数叫做另一个数的倒数 ,也称这两个数互为倒数 .这里( -5)×( -51 ) =1 ,我们把 -51 叫作 -5的倒数 . 3、5÷0 = ? ,0÷0 = ?呢 ?〔这些式子无意义〕也就是说0是没有倒数的 . 提问：〔1〕以上两组数的计算结果怎样 ?〔2〕5与51 ,52-与25-是一对什么数 ? 由上面的计算 ,你能得出什么结论 ?除以一个非零数等于乘上这个数的倒数 . 上述结论称之为有理数除法的第二个法那么 .例2〔1〕写出9 ,32- ,87 , -1 ,1 , -241的倒数 . 〔2〕计算：(1) ( -12)÷31； (2) 15÷( -73) (3) ( -152)÷( -32) 3、课堂练习：P36练习第1、2、3题四、总结反思〔1〕有理数的除法法那么是什么 ?〔2〕如何运用除法法那么进行有理数的除法运算 ?五、作业：P41习题组第6、7、8题。
一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。
一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数 的关系。
本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。
二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。
（2）过程与方法： 在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。
（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。
达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。
达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。
优质课 精品教案 (省一等奖)《一元二次方程的根与系数关系》公开课教案
21.2.4 一元二次方程的根与系数关系教学过程设计[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。
本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。
教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。
由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。
学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。
通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。
24.1 圆 (第3课时)教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决选做：补充作业：一元二次方程x 2+3x+1=0的两个根是βα、，求αββα+的值.教 学 反 思O BAC一些实际问题． 重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角．〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知问题：如下列图的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如下列图的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言． 老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞 〔1〕设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如下列图 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC 〔2〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．〔3〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，OBACD而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的． 从〔1〕、〔2〕、〔3〕，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD三、稳固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展例2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin cC=2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2cR，因此，十清楚显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC =2R∴sin a A =sin b B =sin cC=2R五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
《一元二次方程根与系数的关系》ppt省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
(2)(α－2)(β－2)．
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
6．(3分)孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得 x1＝1，x2＝2，则c旳值为____2____．
7．(3分)已知有关x旳方程x2＋mx－6＝0旳一种根为2，则这个方 程旳另一种根是___－__3___．
A．3 B．－3 C．13 D．－13 10．(8分)有关x旳一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0旳两个实数根 分别为x1，x2. (1)求m旳取值范围； (2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m旳值．
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
【易错盘点】
【例】已知x1，x2是有关x旳一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0旳
则xx2＋x1x旳值为( A )
A．－3
B．3
C．－6
D．6
12．(5分)解某个一元二次方程时，甲看错了方程旳常数项，因而得
出旳两根为8和2；乙看错了方程旳一次项旳系数，因而得出两根为－
9或－1，那么正确旳方程为( A )
A．x2－10x＋9＝0 B．x2＋10x＋9＝0
C．x2－10x－9＝0 D．x2＋10x－9＝0
3．(3分)下列一元二次方程两实根和为－4旳是( D )
A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0
24．3 一元二次方程根与系数旳关系
4．(3分)已知x1，x2是方程x2－4x－5＝0旳两个实数根，则(x1 －2)(x2－2)＝___－__9___．
一元二次方程的根与系数的关系市公开课一等奖省优质课获奖课件
方程
两个根x1，x2 两根之和
值
x1+x2
2x2+7x+3=0
3, 1 2
7 2
3x2+5x+2=0
2 , 1 3
5 3
2x2+3x-1=0 3 17 3 17
4
4
3 2
两根之积 x1x2
3 2
2 3 1 2
第5页
推理论证
Δ≥0
假如一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 两个根是x1x1，xx2 2，那b么
方法（一）
∵ 2是方程 ∴ ∴ 原方程可化为 解得：
根，
第9页
例：已知方程5x2+kx-6=0根是2，
求它另一根及k值。
方法（二）
设方程的一根为x1=2,
另一根为x2，那么
｛ ｛ 2＋x2＝－
k 5
解得
2x2=-
6 5
答：方程的另一根是－
3 5
x2＝－
3 5
k 7
，k的值是
7。
第10页
课堂总结
一、一元二次方程根与系数关系是 指一元二次方程两根和，两根积 与系数关系。 二、在实数范围内利用韦达定理，必须 注意 ,这个前提条件,而应用判别式 前提条件是方程必须是一元二次方程， 即二次项系数 ，
第11页
作业： P42 第6题
第12页Βιβλιοθήκη a c x1x2 a第6页
练一练·
练习1．（口答）以下方程中， 两根和与两根积各是多少？
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
第7页
一元二次方程根与系数关系应用 （1）验根。
（口答）判定以下各方程后面两个数是不是它 两个根。
沪教版初中数学八年级第一学期 一元二次方程根的判别式 课件 优秀课件资料
课堂小结
让学生自己小结
24、人真正的完美不在于他拥有什么，而在于他是什么。 大学励志语录大全
一、人生不过如此，且行且珍惜，每一次的失败，都是成功的伏笔；每一次的考验，都有一份收获；每一次的泪水，都有一次醒悟；每一次的 磨难，都有生命的财富。
13. 成功根本没有什么秘诀可言，如果真是有的话，就是两个：第一个就是坚持到底，永不放弃;第二个是当你想放弃的时候，回过头来看看第 一个秘诀：坚持到底，永不放弃。
步骤归纳为：一化，二算，三判断。
试一试
1.方程 x2 aax 有等根时,实数 a
的个数是( c )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
2. 关于 x 的一元二次方程
(m1)x22m xm0
有两个实数根，则m的取值范围为
m≥0且m≠1
拓展练习：
设 ABC的三边为 a b c ，方
程 x2 ax1(2bc)0 4
C.没有实数根
b2 4ac
D.根的情况无法确定 b24ac 0
例2：已知关于 x 的方程 x23xk0，
问 k 取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
解： （ 3 ） 2 4 1 k 9 4 k
⑴ 方程有两个不相等的实数根
94k＞0 解得 k ＜ 9
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 2 5 x 4 0 27t2 5t 2 0 3 x(x 1) 3 43y2 25 10 3y
2、在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 （ A ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
初中数学沪教版八年级上册《一元二次方程解法复习课》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件
提取公因式
十字相乘法
二次项系数为1， 一次项系数为偶数
例1.选择适当的方法解下列方程
13(x 1)2 5 0
整
2（ （ xx-2-2）2） 24(x 24) x 0 8
体
3 (3x 2)2 (3x 2) 20 0 思
4(x 2)(x 1) 10
想
不要忘记我哦！
当一元二次方程中有括号的时候，要先考虑 用整体的思想来解决，若不能用整体思想时， 再去括号整理为一般形式后，选取合适的方 法来解.
我试试
选择适当的方法解下列方程
1（ 2x-1）2 （x 1)2 2（ 2x-3）2 3-2x 3 (3x 1)2 (3x 1) 12 4 x 12 4x
2 3
3 x2 3x 2 0 因式分解法 x1 1, x2 2
4 x2 2x 399 52x2 3x 1 0
配方法 公式法
x1 21, x2 19 x 3 17 4
解析式
方法
开平方法 因式分解法 因式分解法
配方法 公式法
注意 x2 c
3.字母表示数的思想： 解含有字母已知数的一元二次方程时，要分 清字母和未知数，一般采用因式分解的方法 来解决. 4.化归思想：
用降次的策略将高次方程转化为低次方程
“作为知识的数学出校门不到两年 可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中 的数学的精神、数学思想、研究方法 等，这些随时随地的发生作用，使人 们终生受益。”
思考题
(x2 3x)2 2(x2 3x) 8 0
思考题
x2 2mx m2 n2 0(m, n是已知数 )
我总结
化归思想
初中数学-八年级数学优质公开课赛教获奖教案数学优质公开课赛教获奖教案-一元二次方程根与系数关系
初中数学-八年级数学优质公开课赛教获奖教案数学优质公开课赛教获奖教案－一元二次方程根与系数关系（4）6x2＝x；（5）2x2＝5y；（6）-x2＝04．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式：ax2 ＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．5．例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．6．练习1：教材P．5中1，2．要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价．题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数．练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项．8mx-2m-1＝0；（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx．教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．（四）总结、扩展引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．四、布置作业1．教材P．6 练习2．2．思考题：1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2 项的方程叫做一元二次方程？”2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）．五、板书设计第十二章一元二次方程12．1用公式解一元二次方程1．整式方程：……4．例1：……2．一元二次方程……：……3．一元二次方程的一般形式：……5．练习：………………12．6 一元二次方程的应用（二）一、素质教育目标（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识．（三）德育渗透点：进一步使学生深刻体会转化以及方程的思想方法、渗透数形结合的思想．二、教学重点、难点1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．2．教学难点：找等量关系．列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此求解后一定要检验，以确定适合题意的解．例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数等．三、教学步骤（一）明确目标初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决，但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，而是一元二次方程，这就是我们本节课要研究的一元二次方程的应用??有关面积和体积方面的实际问题．（二）整体感知本小节是“一元一次方程的应用”的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术法来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性．从列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意，作出正确的答案．列出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；本节课的内容是关于面积、体积的实际问题．通过本节课学习，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力以及用数学的意识，渗透转化的思想、方程的思想及数形结合的思想．（三）重点、难点的学习和目标完成过程1．复习提问（1）列方程解应用题的步骤？（2）长方形的周长、面积？长方体的体积？2．例 1 现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为（19-2x）cm，宽为（15-2x）cm，据题意：（19-2x）（15-2x）=77．整理后，得x2-17x+52=0，解得x1=4，x2=13．∴当x=13时，15-2x=-11（不合题意，舍去．）答：截取的小正方形边长应为4cm，可制成符合要求的无盖盒子．本题教师启发、引导、学生回答，注意以下几个问题．（1）因为要做成底面积为77cm2的无盖的长方体形的盒子，如果底面的长和宽分别能用含未知数的代数式表示，这样依据长×宽=长方形面积，便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．（2）求出的两个根一定要进行实际题意的检验，本题如果截取的小正方形边长为13时，得到底面的宽为-11，则不合题意，所以x=13舍去．（3）本题是一道典型的实际生活的问题，在学习本章之前，这个问题无法解决，但学了一元二次方程的知识之后，这个问题便可以解决．使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识．练习1．章节前引例．学生笔答、板书、评价．练习2．教材P.42中4．学生笔答、板书、评价．注意：全面积=各部分面积之和．剩余面积=原面积-截取面积．例2 要做一个容积为750cm3，高是6cm，底面的长比宽多5cm 的长方形匣子，底面的长及宽应该各是多少（精确到0.1cm）？分析：底面的长和宽均可用含未知数的代数式表示，则长×宽×高=体积，这样便可得到含有未知数的等式??方程．解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，据题意，6x（x+5）=750，整理后，得x2+5x-125=0．解这个方程x1=9.0，x2=-14.0（不合题意，舍去）．当x=9.0时，x+17=26.0，x+12=21.0．答：可以选用宽为21cm，长为26cm的长方形铁皮．教师引导，学生板书，笔答，评价．（四）总结、扩展1．有关面积和体积的应用题均可借助图示加以分析，便于理解题意，搞清已知量与未知量的相互关系．2．要深刻理解题意中的已知条件，正确决定一元二次方程的取舍问题，例如线段的长不能为负．3．进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力．。
2022年初中数学精品教案《一元二次方程根与系数的关系》公开课专用
教学目标【知识与能力】使学生掌握一元二次方程根与系数关系，并初步应用． 【过程与方法】不断提高学生观察分析及推理运用能力． 【情感态度价值观】使学生进一步了解事物都是相互制约得辩证唯物主义关系以及由特殊到一般在有一班到特殊的思想方法． 教学重难点 【教学重点】根与系数的关系与应用． 【教学难点】根与系数的发现与准确掌握． 课前准备 无教学过程一、复习提问一元二次方程一般式及求根公式让学生认识求根公式反映了根与系数关系(强调a ≠0) 引言、一元二次方程求根公式反映了根与系数关系吗？一元二次方程还有其他的根与系数关系吗？我们说有：今天我们就讲一元二次方程的根与系数关系． 引出新课，板书课题．二、学生活动一(出示小黑板)解以下方程并观察x 1+x 2，x 1x 2与a ，b ，c 的关系． (1)x 2-2x =0(2)x 2-3x -4=0 2学生答：二次项系数为1是为了研究问题的方便，我们把二次项系数为1的方程设为x 2+px +q =0的形式，同学们归纳总结x 1，x 2与x 2+px +q =0系数的关系x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ．板书型如x 2+px +q =0的方程的两根x 1，x 2那么x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ． 三、学生活动二1212板书型如ax 2+bx +c =0的方程的两根x 1，x 2那么x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac，这就是一元二次方程的根与系数的关系，同学们探索如果a ，b ，c 我们可求出x 1，x 2在a ，b ，c ，x 1，x 2是否3个量就可以求出其他3个量呢，看下面的问题．例1、关于x 的方程3x 2+mx -4=0有一个根是2，求另一个根及m 的值.例2、设12,x x 是方程22510x x ++=的两个根，求以下各式的值： 四、学生练习 (1)x 2-3x +1=0 (2)2x 2-9x +5=0(3)4x 2-7x +1=0 (4)2x 2+3x =0 (5)6x 2-1=0(6)3x 2-2x =-2(7)3x 2=1教师讲解同时归纳运用根与系数应注意哪些． 1、化成一般式． 2、二次项系数化1． 3、不要漏掉“—“．学生练习方程3x 2-19x +m =0的一根是1，求另一根及m 的值． (学生板演) 五、课堂小结今天这节课你学到了什么，由学生完成，教师适当讲解． 思考题m 取何值时方程x 2+mx +m -1=0 (1)两根之和为1. (2)两根之积为-1. (3)两根互为倒数. (4)两根互为相反数. (5)一根为0.第1课时教学目标：（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
初中数学沪教版八年级上册《一元二次方程根与系数的关系》优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件
A
B
习
一腰于E，以AB、CD为
E
根的方程是X2-12X+m=0， O
求m的值．
C
D
1、一元二次方程的一般形 式 ax2＋bx＋c=0 (a≠0) ．
2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根
分别为x1 、x2，则x1＋x2＝
b a
，x1x2＝
c a
．
3、用根与系数关系解题的条件是：
（1）a≠0 （2）△≥0
a
x1．x2= c
a
例1：已知方程 2x2+kx-4=0的 一个根是-4，求它的另一个 根及k的值．
x 解：设方程的另一根为 2 ，则
4
x2
k 2
x
4
x2
1
4 2
22
k 7 1
答：方程的另一个根是 2 ，k的值是7．
1．下列方程两根的和与两根的
积各是多少？（不解方程）
（1）x2-3x+1=0 （2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
b2-4ac 2a
+ -b-
b2-4ac 2a
=
-2b 2a
b a
x1x2= -b+
b2-4ac -b2a
b2-4ac 2a
= (-b+
b2-4ac )(-b4a2
b2-4ac )
=
b2-(b2-4ac) 4a2
=
4ac 4a2
=
c a
任意的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2， x1．x2与系数a，b，c 的关系是： x1+x2=- b
初中八年级数学教案- 一元二次方程的根与系数的关系-“江南联赛”一等奖
课题：一元二次方程的根与系数的关系（课型：新授课；第 1 课时）一．教学目标：1．知识与能力：（1）掌握一元二次方程的根与系数的关系（2）利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单的问题2过程与方法：提高发现问题，提出问题，然后解决问题的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。
3情感，态度与价值观：通过对一元二次方程的根与系数的关系的探究，使学生初步认识数学与现实生活的密切联系，体会科学的思想方法，激发学生探索创新精神。
二．重点难点：1．掌握一元二次方程的根与系数的关系2．利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单的问题三．教材分析：本节课的内容是一元二次方程的根与系数的关系，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。
它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
四．学情分析：课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。
本阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。
因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。
五．教学过程：1导入新课：前面我们学习了一元二次方程的一般形式及其它的解法，解法中有一种方法是求根公式法，求根公式是一元二次方程根与系数的一种体现（板书求根公式），那么一元二次方程的根与系数有没有更加简单的关系啊今天我们就一起来研究一下一元二次方程的根与系数的关系。
2学案反馈：大部分同学卷面干净、书写规范、正确率高。
出现的问题：不会灵活运用跟与系数的关系，忘记验证判别式。
3探究活动：探究一：根与系数的关系:填写下表完成思考1：21x x +21x x •a b -ac0432=-+x x思考1：观察上表，猜想一元二次方程的两个根1x 、2x 与a 、b 、c 之间有什关系思考2：如果关于的一元二次方程 ()002≠=++a c bx ax 的两个根分别是1x 、2x ， 求证： 跟踪检测一：求下列方程的两根之和与两根之积 探究二：根与系数的关系的应用1已知：21x x , 是一元二次方程 01322=-+x x 的两个根 求：(1) 2 的方程 ()01422=++-+k x k x 的两个实数根互为相反数，求的值4当堂训练：1．填空：（1）已知一元二次方程 0122=--x x 两根分别为 ,,21x x 则：_____=+21x x ____=⋅21x x（2）已知一元二次方程的 0932=+-m x x 的一个根为 1 ，则方程的另一根为_______，m=_________：（3）设21x x ,是方程 ,的根03422=-+x x 利用根与系数的 关系，则 =_______________ 2．解答： 已知关于的方程()0232222=-+--m x m x ，根据下列条件分别求出m 的值：① 两根互为倒数； ② 有一根为-15总结点评：1一元二次方程根与系数的关系：2应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式0652=+-x x 01322=++x x ()015212=--x x ()04622=+-x x ()07332=-x x ()5242=x ()53252-=x x 2221x x +2111x x +2112x x x x +3应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 042≥-ac b 时，才能应用根与系数的关系6布置作业：1、完成导学案；2、完成教材课本P72，习题7预习新课：结合教材P73—P74预习新课六．教学反思：。
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问题：你发现这些一元二次方程的根与系数
有什么规律？
当二次项系数为1时
x2+px+q=0的两根为x1，x2
则有
x x1
P
2
x1. x2 q
2、填表
方程
x1
x9 2 6x 1 0
1 3
x3 2 4x 1 0 1 3
x3 2 7x 2 0 1 3
x x x 2
A
B
习
一腰于E，以AB、CD为
E
根的方程是X2-12X+m=0， O
求m的值．
C
D
1、一元二次方程的一般形 式 ax2＋bx＋c=0 (a≠0) ．
2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根
分别为x1 、x2，则x1＋x2＝
b a
，x1x2＝
c a
．
3、用根与系数关系解题的条件是：
（1）a≠0 （2）△≥0
二、典型例题 例x2，题不2：解已方知程方，程求下12列x2各＝式2x的＋值1的．两根为x1， （1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23
（3） x2 x1 x1 x2
例题3： 设x1，x2是方程2x2－3x＋m＝0的两个根，且 8x1－2x2＝7，求m的值．
例题4： 已知关于x的一元二次方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0 有两个不相等的实数根，且方程的两根之和比两根 之积7，求k的值．
2、设x1．x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用 根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）（ x1+1）（x2+1）（2）—xx12 + xx—12
3、
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值．
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值．
a
x1．x2= c
a
例1：已知方程 2x2+kx-4=0的 一个根是-4，求它的另一个 根及k的值．
x 解：设方程的另一根为 2 ，则
4
x2
k 2
x
4
x2
1
4 2
22
k 7 1
答：方程的另一个根是 2 ，k的值是7．
1．下列方程两根的和与两根的
积各是多少？（不解方程）
（1）x2-3x+1=0 （2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
初中数学沪教版八年级上册 《一元二次方程根与系数的关系》 优质课公开课比赛获奖课件面试试讲课件
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17．4 一元二次方程的根与系数的关系
1、填表
方程
x1，， x1+ x2 x1．
x2
x2
① x2-3x+2=0 2，1 3
2
② X2-2x-3=0 -1，3 2
-3
③ X2-5x +4=0 1，4 5
4
例题5：已知二次函数y＝x2－mx－4
（1）求证：该函数的图象一定与x轴有两个不同 的交点．
（0该）2函），数设（图该x象2，函的0数）顶的且点图有坐象标x1与1．xx1轴2 的1交求点m坐的标值为，（并x求1，出
提
已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，
高 练
AD⊥DC，AD=10cm， 以AD 为直径的⊙O切另
x x
.
1
2
12
1
2
1
3
3
9
4
1
1
3
3
-2
7
2
3
3
说一说，你又有什么发现？
猜想：
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a=0）的两
根为x1、x2，则
b x1 x2 a
x1 x2
c a
x1 x2
x1. x2
x2=
-b-
b2-4ac 2a
x1+x2= -b+
b2-4ac 2a
+ -b-
b2-4ac 2a
=
-2b 2a
b a
x1x2= -b+
b2-4ac -b2a
b2-4ac 2a
= (-b+
b2-4ac )(-b4a2
b2-4ac )
=
b2-(b2-4ac) 4a2
=
4ac 4a2
=
c a
任意的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2， x1．x2与系数a，b，c 的关系是： x1+x2=- b