华南理工网络教育高等数学B(下)参考答案

一、判断题
1. ()4
4+0y y y y xy ''''''-=是三阶微分方程. （✔）
2. ()44+0y y y y xy ''''''-=是四阶微分方程. （✖）
3. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数存在，则(,)f x y 在00(,)x y 点可微. （✖）
4. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点的可微，则(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数存在. （✔）
5. 二重积分22:4(,)d D x y f x y σ+≤⎰⎰表示以曲面(,)f x y 为顶以区域D 为底的曲顶柱体的体积. （✖）
6. 若(,) f x y 是非负连续函数，二重积分
22:4(,)d D x y f x y σ+≤⎰⎰表示以曲面(,)f x y 为顶，
以区域D 为底的曲顶柱体的体积. （✔）
7. 若级数1n n u ∞=∑收敛，则lim 0.n n u →∞
= （✔）
8. 若lim 0,n n u →∞=级数1n n u ∞
=∑收敛. （✖） 9. 若级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞
=∑也收敛. （✔）
10. 若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数1||n n u ∞
=∑也收敛. （✖）
二、填空题 1. 2d d x y e x -=微分方程的通解是 -2e −x 2 + C ，其中C 为任意常数 .
2.
函数(,)f x y =定义域为 ｛x ，y| x 2 + y 2 > 16 ｝ .
3. =2,(,)D
D x y x y f x y d σ+⎰⎰若是由、轴、轴围成的闭区域则在计算等于 ∫d x 20∫f （x,y ）d y x−20 . 4. 级数1
23n n ∞=⨯∑（）
收敛性为 发散 （填“收敛”、“发散”或“无法判断敛散性”）.
5. 级数1123
n n ∞=⨯∑（）
收敛性为 收敛 （填“收敛”、“发散”或“无法判断敛散性”）. 6. 级数11
()p n p n
∞=∑为常数 无法判断敛散性（P>1时收敛，P ≤1时发散） .
三、解答题
1. 222x y xy xe -'+=求微分方程的通解.
解：由题可知该方程是一个一阶线性方程
那么 p(x) = 2x , q(x) = 2x e −x 2
由公式 y = e −∫p(x)d x ( C + ∫q(x)e ∫p(x)d x d x ) 可得该方程的通解 y = e −2x （ C + ∫2xe −x 2e x 2d x ）
= e −2x （ C + x 2 ）
∴ 该微分方程的通解是y = e −2x （ C + x 2 ），其中C 为任意常数 2. 求微分方程60y y y '''--=的通解.
解：由题可知该方程是二阶常系数线性齐次方程
而该方程的特征方程为 r 2-r-6=0 该特征方程有两实根
即 r 1,2=−(−1)2±√(−1)2−4(−6)2 可得 r 1=2, r 2=-3
∴ 该微分方程的通解是 y = C 1e 2x + C 2e −3x ，其中C 1 ,C 2为任意常数 3. 求由方程2224x y z z ++=所确定的隐函数(,)z f x y =的全微分.
解：全微分方程 d z = z x ′d x + z y ′d y
令原式 x 2+y 2+z 2-4z=F 可得
F x ′=2x , F y ′=2y , F z ′=2z-4
又∵ z x ′ = - F x ′F z ′ = - 2x 2z−4 = - x z−2
同理 z y ′ = - F y
′F z ′ = - 2y 2z−4 = - y z−2
再将z x′，z y′代入全微分方程，则可得到该方程的全微分
即d z = - x
z−2d x - y
z−2
d y
4. 若22(,)z f x y xy =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求z 的两个偏导数. 解：令u = x 2-y 2，v = xy
那么 z x ′ = ∂z ∂x
= ∂z ∂u ∂u ∂x + ∂z ∂v ∂v ∂x = z u ′*2x +z v ′*y 同理 z y ′ = ∂z
∂y = ∂z ∂u ∂u ∂y + ∂z ∂v ∂v
∂y = -z u ′*2y +z v ′*x
∴z 的两个偏导数分别为z x ′ = 2x z u ′ + y z v ′ ，z y ′ = -2y z u ′ + x z v ′
5. 计算二重积分2D
x yd σ⎰⎰，1.D y x x x ==其中是由直线、及轴所围成的区域
解：D 区域为如右图所示的阴影部分
原式 = ∫∫x 2yd x d y x
10 = ∫d x ∫x 2yd y x 0
10 = ∫[12x 2y 2]d x 1x 10 = 110 ∴二重积分∬x 2yd σ = 1
10 6. 计算二重积分2D
x d σ⎰⎰，2222416.D x y x y +=+=其中是由圆和之间的环形区域
解：D 区域为右图所示的阴影部分
由于是环形区域，所以可以用极坐标来表示
即 2≤r ≤4 ，0≤θ≤2π ，而被积函数则可
写成 f(r cos θ,r sin θ) = r 2cos 2θ 那么
原式 = ∫d θ∫r 2cos 2422π
0θrd r =∫cos 2θd θ2π0∫r 3d r 42 = [ θ
2 +
sin 2θ4 ] 02π[r 44
] 24 = 60π 7. 判定级数1
1(21)(23)n n n ∞=++∑的收敛性. 解：原式 = lim n→∞{
13∗5+ 15∗7+⋯+1(2n+1)(2n+3) } = lim n→∞{12(13−15)+ 12(15−17)+⋯+12(12n+1−1
2n+3)}
= 1
2lim
n→∞
(1
3
−1
2n+3
)
= 1
6
∴原级数是收敛的，而且它的和是1
6。